Pensionsformuen i forbrugsfunktionen (og den offentlige sektors budgetrestriktion) Resumé:

Transkript

1 Danmark Saiik MODELGRUPPEN Arbejdpapir Marin Junge 2. november 23 Penionformuen i forbrugfunkionen (og den offenlige ekor budgererikion) Reumé: Vi opiller forbrugeren problem kombinere med en vungen penionopparing Formåle er a finde en definiion af indkom og formue i forbrugfunkionen, dikuere anvendele af en anden afkaa på penionformue og reen af formuen, og endelig a få bely om der kal pecielle korrekioner il fordi formuen er under opbygning. Endelig vil vi dikuere probleme e fra den offenlige ekor i form af udkude kaer. MAJ Nøgleord: Penionformue, udkude kaer, priva forbrug, dikonering, Den offenlige ekor budgererikion. Modelgruppepapirer er inerne arbejdpapirer. De konkluioner, der drage i papirerne, er ikke endelige og kan vfre Fndre inden opillingen af nye modelverioner. De henille derfor, a der kun ciere fra modelgruppepapirerne efer afale med Danmark Saiik.

2 2. Indledning I HCOxxxx og HCOxxxx er der opille beregninger for nuidværdien af penionformuen og udkude kaer. Poinen er a indbealinger il penion bekae ved udbealing og er kaeundage ved indbealinger, dermed kabe e behov for a juere penionformuen, ide en or del vil være overførler il de offenlige (i form af fremidig ka). Derudover kan afkae af formuen afvige fra markedbeem afka og føre il forkelle mellem dikonering og afka. Forkellen får lov a ekiere pga. iniuionelle barrierer for penionformuen. For de føre er den for mange agener vungen og for de ande er den mege bekoelig a ophæve. Sore inveorer (penionkaerne) kan opnå en bedre forrenning end individuelle opparer og ev. kan kae forkelle yderligere vie forholde mellem markedafka og penionformueafkae. il idnævne kan vi ilføje a penionafkae er underlag en ærlig penionka, men markedafka ofe bekae i indkom kaeyeme. Se fra den offenlige ekor er fradrage i indkom af penionindbealinger før kaeberegning enbeydende med en dårligere neo balance hvi man ikke inkluderer den fremidige kaeindæg ved udbealinger. For a kære ingene ud i pap og gøre beregningerne klare vil vi i dee papir gennemgå før anagelerne bag forbrugfunkionen og dernæ bringe nogle nye bud på penionformuen, om er konien med die anageler både e fra forbrugeren og den offenlige ekor. Allerfør kal vi dog komme med e impel argumen a la HCOxxxx. De kommer vi lang vej med i eady ae; men i den mere komplicerede opbygning af formuen vil vi være begrænede og må y il løning af forbrugeren problem. Der er e pecifik problem i forbindele med die ordninger og der er muligheden for a kelne mellem kollekive og individuelle ordninger. Argumener for hvorfor vi ignorer denne diinkion: Der er flere grunde il a vi ignorerer diinkionen mellem die. For de føre er vi nød il a inroducere okaik i form af overleveleandynligheder og i eady ae vil en konan dødandynlighed blo ændre dikoneringraen og afkae fra kaerne vil ligelede blive hæve med de afdøde uudbeale opparing. For de ande bekæfiger vi o med repræenaive årgange. Hvi dødanduyn 2. En impel opilling af penionformuen og korrekion af kaer. Inden vi kaer o over opimerende agener og kid og kanel, å lad o følge HCO imple beragninger. Vi kan komme mege lang med blo a berage akkumulaion ligninger ec. I de følgende anager vi a der indbeale en alfa procen del af indkom. Formuen æe kun i obligaioner, om giver e afka der varierer over id. Den imple gennemgang fører il a vi ikke blo kan anvende formuen om nuidværdi ide dikonering og afka anage forkellig.

3 3 Udbealinger???? 2. Forbrugeren problem Hvorfor er de nødvendig a løe forbrugeren problem? Vi kal kende indbealing andele, vi kal vide hvordan formuen påvirker forbruge, vi kal vide hvilken indkom der bør indgå i forbrugfunkionen. I ADAM anvende Brumberg og Modigliani (98). Vi vil kor kiere modellen og derefer udvide med en vungen penionopparing. De vungne elemen kommer fra de offenlige ordninger og il del arbejdmarkedordningerne, om er afal via overenkomerne; endvidere er de mege vær a ophæve die ordninger (ygdom og død). Nedenfor anager vi a renen er konan, am a dikoneringraen er lig renen. Hvi die var forkellige kunne beregningerne adig gennemføre uden de ore ændringer, ide vi anager endelig idhorion. Vi har e individ, om har en releveid på perioder. Hun har give en iniial formue og planlægger a pendere den over releveiden ammen med in arbejdindkom. Vi anager a arbejdindkomen er ekogen og konan over releveiden. I ide periode rækker forbrugeren ig ilbage og lever af in opparede formue. Vi indekerer forbrugeren alder med τ. Vi anager ogå a forbrugeren præferencer er af ypen CRRA. U ρ τ cτ = max β, ρ > ρ { cτ } τ = τ = under budgererikionen A give A = ( + r)( A + y c ), < τ+ τ τ τ A = ( + r)( A c ) = + De ide lighedegn følger ogå af nyefunkionen form, ide umæelighed ørger for a al formue forbruge i ide periode. Bemærk a formuen er daere primo. I en udvidele af denne imple model lader vi plo penionopparingen være vungen; men illader a afkae ikke er de amme om på anden opparing. I forhold il ovenående beyder de a budgererikionen ændrer ig en anele il følgende: For de få om er inereere anvender Modigliani og Brumberg en anden anagele om rene ilkrivning end vi gør. Dere periode budge rerikion er A = ( + r) A + + y c. Derfor er vore reulaer ikke hel idenike.

4 4 A give A = ( + r)( A + y c ) for < τ+ τ τ τ j A = ( + r)( A c + ( + r ) ) = + j= hver periode indbeale kroner i en kae, om å udbeale i ide periode, inkluiv forrenningen r. A angiver anden formue end penionopparing. De vier ig a vi kal være en anele mere præcie i vore formulering af probleme. Her inroducerer vi den aggregerede penionopparing, S. A give Aτ+ = ( + r)( Aτ + y cτ) forτ < Sτ+ = ( + r )( Sτ + ) forτ <, S = A = ( + r)( A c + S ) = + Vi vil ogå anage a der er forkel i bekaning af ud- og indbealinger. Sålede anager vi a indkom bekae (il offenlig forbrug hvoraf ingen nye drage) il aen y og udbealinger fra penionkaen bekae med, om er lavere end y. I denne imple udgave bekae reneindkom ikke; men de kunne vi le ændre. A give τ+ ( )( τ ( y )( ) τ) τ A = + r A + y c for < j A = ( + r)( A c + ( ) ( + r ) ) = + j= Som før finde en udgave hvor vi opiller penionformuen ekplici. Hvilke vi overlader il læeren elv. Inden vi løer modellen er de værdifuld a udvide modellen med produkivievæk. De gør vi ved a anage a y iger med g hver år og de amme gør ig gældende penionindbealingerne. Budgererikionen ager ig lid anderlede ud. A give A = ( + r)( A + ( )( α) y c ) forτ < τ+ τ y τ τ j A = ( + r)( A c + ( ) α y ( + r ) ) = + j j= y = ( + g) y, y give τ+ τ I ede for bidrage, er der her anage a bidrage er proporional med indkomen med fakor α. Endvidere har vi anage a indkomen voker med g per år. Bemærk a her er indkom indekere med alder; men enere bliver de klar a vi indekerer indkom med kalenderen og lividindkomprofilen vil være forkellig fra værni indkomprofilen (alle amme indkom).

5 5 3. De individuelle opimale forbrug Vi løer før de ædvanlige problem og får, c y = A + j= ( + r) j ( + r) j= j Hvilke er e velkend udryk for forbrugfunkionen, hvor vi benyer o af a individe glaer forbruge over livforløbe og ubiuerer ind i budgererikionen. Da beregningerne igen og igen anvender nuidværdi beregninger inroducerer vi følgende noaion, j= ( + r) = ( + r) = V(, r) j ( + r) r Så kan vi krive løningen il forbrugeren problem om, c = A + V r y Vr (, ) [ (, ) ] Bemærk a følgende rick bliver anvend fliig i de følgende V (, r) = Vr (, ) + r ilbage il løningen hvor er fuldændig arbirær og derfor kan denne løning anvende for alle med releveid. Lad o nu udlede den amme løning; men med en vungen penionopparing. Vi kan krive, ( ) ( ) + r (, ) + r V r c = A + S + V(, r) y' + Vr (, ) ( + r) ( + r) Hvor y = y. I denne opplining af probleme kan vi e en pendan il HCOxxxx og ovenående imple argumen. Indeående på penionkaen kan ikke dikonere med markedrenen, ide afkae er anderlede. Den leee måde a overbevie ig elv om denne løning er korrek er formenlig gennem løning af modellen bagfra. Lad o kor gennemgå forbrugeffekerne. De o føre led i den kanede parene er indeående på kono, den ene er formuen, den anden penionformue (i nuidkroner). Herefer følger nuidværdi af indkomen frarukke penionindbealing, og de ide led er nuidværdien af de fremidige penionindbealinger.

6 6 Hvi r = r påvirker den vungne penionopparing ikke forbrugbeluningen, ide vi ender i der foregående ilfælde. A afkae i den vungne opparing er anderlede (ørre) end anden opparing komplicerer beregningerne væenlig. Vi kan ogå angive løningen med bekaning af penion ud- og indbealinger. ( ) ( )( ) + r (, ) + r V r c = A + S( ) + V(, r)( y) y' + Vr (, ) ( + r) ( + r) Selv hvi r = r har den iniuionelle opparing indflydele på forbruge. De er alå vær a komme uden om komplikaionen om penionformuen giver. I en verden med fri penionvalg vil ovenående løning blive bibehold mere eller mindre. De kylde a der ofe er e lof for hvor mege individe kan fradrage i ka. Mere problemaik er de a der adig er afka fordel, om vil ilige a al opparing burde lægge i die kaer. Vi kal dog minde om a opparingen er bunde og derfor vil der under normale forhold være e rade-off mellem afka og likvidie af opparingen. il id kan vi ogå angive forbrugeren løning med produkivievæk (nedenfor kelner vi mellem individuel produkivievæk (human kapial) og generel produkivievæk (eknologike fremkrid)). For a lee beregningerne anvender vi følgende approkimaion: + g + g = exp log exp( g r) = + r + r exp( r g) + r g Dv. vi anvender den væk korrigerede realrene il a dikonere variable med realvæk. Hvorefer de er en mal ag a finde de opimale forbrug: ( ) ( )( ) + r (, ) α y + r V r g c = A + S( ) + V(, r g)( y) y( α ) + Vr (, ) ( + r) ( + r) Dikonering af fremidig indkom og formue er nu med den væk juerede realrene, om er en del lavere end realrenen. Hvi økonomien er dynamik efficien vil g = r og ingen dikonering er nødvendig. Men med de normal valge markedrene (dikoneringfakor) vil r > g elv om de omvende kan forekomme i perioder. 4. De aggregerede forbrug Fra løningen for én forbruger vil vi aggregere over alle generaioner. ag løningen fra før og indeker nu releveiden med k, om løber fra il, der direke indikerer releveiden. Heraf får vi for andard modellen a de aggregerede forbrug i periode er,

7 7 k k C = n ( A + V( k, r) y) k = V ( kr, ) På de lange ig er vi ikke inereerede i befolkningeffeker og anager a n k = for alle k og anagelen fra før om a alle generaioner rækker ig ilbage på amme id og har amme leveid. Vi kan direke aggregere denne relaion (om i ADAM i dag). Før bemærker vi a forbrugudjævning og budgererikionen ilammen giver a vi kan krive og får følgende aggregerede model, C = A +βy Her har vi udnye a y er idenik over alle agener. A ilde er ikke oberverbar aggrega af alderpecifikke formuer veje med releveiden. Men de er le a e a med en aionær indkom vil alderfordelingen af formuen være konan og koefficienen, om er give ved preference paramere, må ogå anage a være konane. Dermed er vægene konane, formuen konan og vi kan krive, A = δ A De er mulig a gå videre om i Modigliano og Brumberg og manipulere o frem il a forbrug er lig indkom inkl. kapial indkom. Denne formulering kylde a der ikke er forkel mellem iderieprofilen af indkom og værniprofilen. Derimod går vi videre og vi aggregerer model nummer o. Den forbrugbeemmende penionformue, varer il nuidværdien af hver enkel årgang amlede penionformue forrene med r og dikonere med r. Hvi vi definerer indeående i kaen i periode om i afni 2 får vi a k k k k ( + r) k ( + r) V( k, r) C = n A + S + V( k ) y' + k k k= V ( kr, ) ( + r) ( + r) Som før kan vi direke opille en aggregere udgave ved a normaliere n =. C = A + S + βy + δ Hvor S ilde er e veje aggrega af alderpecifikke penionopparing, og er aggrega for indbealinger. Som før vil den være proporional med den oberverede penionopparing i eady ae. Bemærk a lividindkom profilen kal være konan for a Y kan dekomponere om ovenfor, grunden er a den marginale forbrugilbøjlighed varierer over alderen.

8 8 De kræver ikke mege fanai a en ilvarende løning kan finde med kaer. Reulae bærer igennem fordi lividprofilen ikke er anderlede end værniprofilen i eady ae. I en eady ae uden væk i indkom eller befolkning er der ingen opparing. E velkend reula. De unge opparing varer il de ældre nedparing (appendix A). Lad o behandle ilfælde med produkivievæk. Lad o om før aggregere, C = k k k ( + r ) A + S ( ) + V( k, r g)( y)( α) y k + ( + r) ( + r) k k = V ( kr, ) α y( )( + r) V ( k, r g) k Som før kan vi krive modellen i en korere form, C = A + S +βy Hvordan opfører ilde variablene ig på lang ig? Er de proporionale med den aggregerede beholdning? Svare er ikke å impel om under aionær indkom; men vi kan bevare de bekræfende med følgende argumen: fra forbrugeren problem får vi a formuen er homogen i indkom ved a løe rekuriv for denne: Lø Dermed har vi vi a på de lange ig er penionformue og anden formue aggregae proporional med de oberverede ørreler. De er endvidere le a e Luka kriikken, ide kaeparamere og penionopparingparamere indgår i relaionen. De er derfor vigig a få pue de rigige variable ind i modellen. Føre led er formue ekkl. penionopparing, næe er penionopparing efer ka. Derefer følger diponibel indkom, og endelig penionudbealinger efer ka (på udbealingidpunke). Hvad nu hvi yeme er ikke lineær. Dermed er halvdelen af formål nummer 2 for papire opfyld. Med amme argumener, om i Modigliano og Brumberg, kan vi pecificere en lineær ammenhæng mellem indkom, penionformue og anden formue. Men for iden er penionformuen under opbygning. Perioden vi eimerer på er kendeegne ved a en ørre og ørre andel af arbejdmarkede underlægge en vungen arbejdmarkedpenion og de er ikke en ubeydelig del af arbejdmarkede, om har undergåe denne ranformaion. Derfor er de af en hvi ineree a aggregere forbruge under anagele af flere bidrager il den vungne ordning. E impel ræonnemen knyer ig il α foroven. Lad a være i år og gå mod langig indbealingen.

9 9 Hvordan ager de ig ud? De er ikke ligeil a løe for dee. Vi arer med e impel ekempel. Alle agener lever 3 perioder, o arbejdende og en hvor de er ilbage rukke. Vi løer for 3 perioder. Den periode hvor yeme bliver inroducere, og de o eferfølgende perioder. Den ide periode er hvor yeme er fuld ind fae og varer il analyen ovenfor. Før inroducere e opegn om angiver en årgang fødel år, C er derfor forbruge i periode for årgang. Vi beregner nu de aggregerede forbrug for 3 perioder,, +, og +2, dv. vi løer for alle generaioner i live på mind e af die idpunker: -2 il +. Vi anager endvidere a indkomen er konan, og iniialformuen er nul for alle generaioner. Generaion om er fød i - får inroducere yeme mid i livløbe. o alernaiver rejer ig her: Var de forvene eller var de ikke. Vi vælger her a løe om om de var forvene. De har den ulempe a yeme påvirker forbruge før de indføre. I periode - ved de unge a de om midaldrende vil blive pålag en opparing med anden afka end markedafkae. Periode -: C 3 = V(, r) y V(2, r) C 2 = V(, r) y V(2, r) V(, r) r r C = y+ 2 V(2, r) ( + r) Føre poine af opbygning kan illurere her, fremidig penion yem er vigig. Periode : C 2 V(, r) = y V(2, r) V(, r) r r C = y+ 2 V(2, r) ( + r) 2 V(, r) + r ( ) V r (, ) C = y + V(2, r) + r V(2, r) Anden poine kan e her, der vil være forkel i koefficiener. Periode +:

10 V(, r) r r C + = y+ 2 V(2, r) ( + r) 2 V(, r) + r ( ) V r + (, ) C = y + V(2, r) + r V(2, r) 2 + V(, r) + r ( ) V r + (, ) C = y + V(2, r) + r V(2, r) Reulae vier med al ydelighed a aggregere indkom og formue kan anvende il a forklare aggregere forbrug. Men en krølle i forhold il eady ae beragningen vil paramerene muligvi være uabile. Før anvender vi dog befolkningilvæken om e udryk for opbygning af yeme. Vi anager a ilvæken arer i e eller ande år og derefer går mod a alle bidrager il yeme når iden går mod uendelig. Dv. n = n + n ( + n ), n give + Vi kal nu implemenere aggregere forbrug Poinen her kommer ydelig frem. Under opbygningen af penionformuen kan vi ikke blo nøje med a korrigere indkomen; men må y il a inkludere hele formuen korrigere for afka og kaer. (beregninger mangler) Senere vil om ag være i and il a modellere poreføljen og denne beydning for forbruge. Men om de e af dee papir vil en ændring i huholdningen problem ogå føre il ændringer i den forbrugbeemmende formue. De fuldfører e ande mål med dee papir, nemlig a få bunde die ændringer ammen. 5. Effeken på den offenlige ekor budgererikion. De er begræne hvad penionformue kan have af indflydele på forbruge. Men på aen finaner kan den have en beydelig effek. For aen er regneykke dog en anele anderlede ud, ide nuidberegningerne ikke nødvendigvi bruger den amme dikoneringfakor om huholdningerne (offenlige ekor porefølje afka forkellig fra huholdningerne). E ande relevan pørgmål er elvfølgelig a aen måke nøje med a beregne nuidværdien af allerede indbeale penioner og ikke beregner effeken af fremidig adfærd. En ådan ilgang er mere konien med e decidere regnkab og derfor kal huholdningerne adfærd holde udenfor, elvom om vi har vi ovenfor de er impel a indbygge huholdningerne fremidige penionformue og derfor relaiv dum ikke a juere for denne (peciel i opbygningfaen). Saen horion er ligelede beydelig anderlede end huholdningerne, fordi den må anage a ekiere på livid.

11 Endvidere vil den offenlige ekor ogå kulle age højde for evenuel produkivievæk. De afhænger af hvordan reen af budgererikionen beregne. 6. Ricardiank ækvivalen. I ovenående dikuioner ville huholdningerne forbruge al og dermed ville enhver igning i lividformuen være enbeydende med e højere lividforbrug. Dee er konroveriel ide huholdninger formenlig vil vurdere beydningen af dere egne handlinger på andre generaioner. Emprik er der ikke de 7. Nogle obkønne reulaer. Lad o få lave e par regreioner. De føre problem vi øder ind i er definiion af variable. Vi følger ADAM og anvender forbrug inkl. forbruge af varige goder omformulere om ervice ydeler. Den diponible indkom er ogå ADAM, hvor vi kelner mellem Forvenningdannelen omkring indkom har pille en cenral rolle i formuleringen af forbrugfunkioner. Jo mere permanen indkom ændringer er, de ørre forbrugeffek må de vene a have. I ADAM er dee problem generel ikke behandle med undagele af Hanen og Dam. Vi plier formuen i penionformue og reen. Funkionformen er den amme om i ADAM. Pga. Af idligere forvener vi a hvi der ikke er likvidiererikioner kal koefficienen il S være ørre end il A. Men ved iledeværlee af likvidie I eimaioner inkluder kredirerikion og liberaliering af kapialmarked. 8. Lieraur Modigliani og Brumberg (98) Uiliy Analyi and Aggregae Conumpion Funcion: An Aemp a Inegraion, he Colleced work of Modigliani, Appendik A Her kal vi have beregne opparingen med penion og ka. Vi arer med de udkude kaer. r r y = y( ) + A + S ( ), < y r + r y =, =

12 2 oal indkom er give ved efer ka indkom. Her bekae arbejdindkomen y og penionudbealingerne S bar. Forbruge har vi lø for i afni 3 og ved a løe ekveniel for forbruge, + r c= V(, r)( y) y' + ( ) V(, r) Vr (, ) r + For de ælde er forbruge adig give ved, c = A + S Lad o aggregere for a få, r r Y = y = y( ) + A + S ( ) y j+ j+ j= j= + r j= + r ilvarende kan vi beregne de aggregerede forbrug om, r r C = c = c + A + S = c + A + S ( ) + ( y( ) c) j j+ j+ y j= j= + r j= + r eller ved a reducere c ud, C = Y Definiionen af indkom inkluderer alå efer ka afka af penionformuen. I forbindele med opgørelen empirik kræver vi alå a vi for den ekierende formue beregner fremidige kaer (i eady ae). Vi bevæger o nu mod en beregning med produkivievæk. Som før arer vi med a definere oal indkom, og dernæ beregne de aionære forbrug for en enkel forbruger og dernæ aggregere. I forhold il idligere er de væenlige a vi indekerer indkomen med alder/id og a vi anager a penionbidrage er en α procen af indkomen, r r y = y ( ) + A + S ( ) y y r + r = Med de givne anageler løber vi ind i vankeligheder, ide lividindkom profilen vil være forkellig fra værnifordelingen, e reula om før blev brug il a få de aggregerede forbrug il kun og kun a afhænge af de aggregerede værni indkomprofil. Derimod kan vi komme igennem beregningerne ved a beregne forbruge relaiv il indkom. Dee er e

13 3 andard rick, ide den ikke aionære indkom gøre aionær ved a dividere igennem med perioden indkom. De e le nu er livid- og værniprofilerne aer idenike og vi kan beregne forbruge in andel af arbejdindkomen om en funkion af oalindkom i forhold il xxxxx (ej hel færdig) Dernæ kal vi løe forbrugeren problem og finde de opimale forbrug ekveniel. For a få indbygge produkivievæk indfører vi e kalender indek, om beegne τ og kan olke om kohore. τ τ + r τ c = V(, r g)( y)( α) y + V(, r g) αy Vr (, ) + r Dv. forbrugudjævning; men forbrugmulighederne for kohorerne er forkellige pga. yngre generaioner kan forvene højere lividindkom med baggrund i produkivievæken. Vi aggregerer over generaionerne for a finde de aggregerede forbrug. Bemærk a hvi vi dividerer igennem med indkomen får vi a kohore effeken falder ud. Appendik B: Beregning af aggregere forbrug under opbygning af penionyeme. I dee appendik forbereder vi forbrugfunkionen i ilfælde med opbygning af e penionyem. Der er nu for hver årgang yderligere daering vi må holde øje med. For de føre alderen for inrodukion af penionyeme,. Dernæ idpunke for a hele årgangen bidrager il yeme,. Og vi anager a der er geomerik progreion i anal bidragydere med raio q, dv. q qq, q er give = + Dee har ingen beydning for nyefunkionen men udelukkende for budgererikionen. For a lee opkrivningen af budgererikionen definerer vi funkionen, for < gqq (,, ) = qq forqq < og eller Hvi vi opkriver lividrerikionen får vi noge mege ubehagelig, = S + A + + j j j j= ( + r) j= ( + r) + r j= ( + r) c y g( q, q, + j) + r g( q, q, + j)

14 4 Probleme kan le idenificere ide aggregering over en aionær befolkning vil beyde a hver generaion penionopparing er mege forkellig fra en anden. Speciel vil indbealingerne være mege ørre en udbealingerne. I afni 4 har vi imulere modellen for opbygningperiode på 4 år, leveid på 4 år og en iniial medlemandel på.5. (kal imulere)