FAGPROJEKT KATEGORIER, DERES NERVE OG DERES (KO)HOMOLOGI.
|
|
- Albert Brandt
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 FAGPROJEKT KATEGORIER, DERES NERVE OG DERES (KO)HOMOLOGI. TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN VEJLEDER: JESPER GRODAL Resumé. I dette projekt vil jeg introducere homologi og kohomologi af en kategori. Dette er en generalisering af bl.a. (ko)homologien af en gruppe, da enhver gruppe kan opfattes som en kategori. Homologi og kohomologi af en kategori introduceres via de kategoriteoretiske konstruktioner limes og kolimes, og det vises hvordan kohomologien kan opfattes som en gradueret algebra. Desuden gives eksplicitte formler for at udregne homologien og kohomologien. Herefter skiftes synsvinkel fra det rent algebraiske til det topologiske. Jeg introducerer et topologisk rum tilknyttet en kategori kaldet nerven af kategorien og beskriver sammenhængen mellem (singulær) (ko)homologi af nerven og (ko)homologi af den underliggende kategori. Nerven er en funktor, og jeg viser, hvordan en naturlig transformation F G giver en homotopi fra nerven af F til nerven af G. Sidst i opgaven udregner jeg homologien og kohomologien for nogle konkrete tilfælde. Indhold 1. C-repræsentationer og RC-moduler 3 2. Limes og kolimes Limes Kolimes 7 3. Ext og ekstensioner Ext som algebra Den lineariserede repræsentable funktor Formel for H (C, M) og H (C, M) Nerven af en kategori Definition af nerven Kædekompleks for nerven Nerven og produkter Konkrete udregninger Homologi og kohomologi i dimension Kategorier med initialt eller terminalt objekt. 19 Date: 21. november
2 2 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN 7.3. Den cykliske gruppe af orden 2 20 Litteratur 21
3 FAGPROJEKT 3 I dette projekt betegner R altid en kommutativ ring med 1-element. Og C betegner altid en lille kategori. En stor del af projektet er baseret på [4]. 1. C-repræsentationer og RC-moduler Lad A og B være kategorier. Så defineres en ny kategori B A som følger: Objekterne er alle funktorer A B og Hom B A(F, G) er de naturlige transformationer fra F til G. Identitetsafbildningen i Hom B A(F, F ) er identitetstransformationen, dvs. transformationen som er identiteten på alle komponenter. Kompositionen af naturlige transformationer er blot komponentvis komposition. Det ses let, at aksiomerne for en kategori er opfyldt for B A. En funktor C R-mod kaldes en repræsentation af C over R. Her betegner R-mod kategorien af R-moduler. Lad Ob(C) betegne mængden af objekter i C og Mor(C) mængden af morfier i C. Lad dom(α) og cod(α) betegne hhv. domænet og kodomænet af morfien α. Så defineres kategorialgebraen RC som følger: Som R-modul er RC den frie modul med basis Mor(C): altså RC = R Mor(C). For α, β Mor(C) defineres produktet α β hvis dom(α) = cod(β) αβ = 0 ellers Produktet på hele RC fås ved bilineært at udvide dette produkt. Det ses let, at RC herved bliver en associativ algebra. Hvis Ob(C) er endelig er 1 RC = x Ob(C) 1 x 1-element for RC, da ( x Ob(C) 1 x ) α = 1cod(α) α = α og α ( x Ob(C) 1 x ) = α 1dom(α) = α for alle α Mor(C). I dette projekt vil jeg kræve, at en (venstre) RC-modul M opfylder, at M = x Ob(C) 1 x M. Og RC-mod betegner kategorien af sådanne moduler. Bemærk at kravet til M, i tilfældet hvor Ob(C) er endelig, er ækvivalent med, at 1 RC m = m for alle m M. Jeg vil nu definere en funktor r : (R-mod) C RC-mod og en funktor s: RC-mod (R-mod) C. Som R-modul sættes r(f ) = x Ob(C) F (x). For en morfi α : x y i C og et element (m z ) z Ob(C) r(f ) sættes α(m z ) = (n z ), hvor n y = F (α)(m x ) og n z = 0 for z y. Herved bliver r(f ) en RC-modul. For en naturlig transformation φ: F G defineres r(φ) ved r(φ)((m x )) = (φ x (m x )). Så er r(φ) en R-homomorfi, da alle φ x er det, og naturligheden af φ giver, at r(φ) også er en RC-homomorfi. Det ses let, at r er en funktor. Lad M være en RC-modul. Definer s(m) ved s(m)(x) = 1 x M og s(m)(α) = (m αm). Dette giver mening, da hvis α: x y og 1 x m 1 x M, så α(1 x m) = (1 y α 1 x )m = 1 y (αm) 1 y M. Det er klart, at s(m)(α) er en R-homomorfi. Lad f : M N være en RC-homomorfi. Definer s(f): s(m) s(n) ved at komponenten s(f) x : 1 x M 1 x N er restriktionen af f. Det giver mening, da f(1 x m) = 1 x f(m) 1 x N.
4 4 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN Naturligheden af s(f) følger af, at αf(m) = f(αm) for alle α Mor(C) og m M. Sætning 1.1. Funktorerne r og s defineret ovenfor giver en ækvivalens af kategorier. Dvs. 1 (R-mod) C sr og rs 1 RC-mod. Bevis. Definer den naturlige transformation η : 1 sr ved, for en funktor F : C R-mod og et objekt x i C, at lade (η F ) x være inklusionen af F (x) i r(f ) = x Ob(C) F (x). Der gælder netop, at 1 x x Ob(C) F (x) = F (x) set som undermodul af den direkte sum, så (η F ) x : F (x) 1 x r(f ) er en isomorfi. Naturligheden af η F tjekkes let. Vi har at η er naturlig, hvis givet en naturlig transformation φ: F G, at η G φ = rs(φ) η F. Og denne lighed gælder netop hvis (η G ) x φ x = (rs(φ)) x (η F ) x for alle objekter x i C, hvilket let ses gælder. Definer den naturlige transformation ɛ: rs 1 ved for ɛ M : 1 x M M at sætte ɛ((m x )) = m x. Som R-modul er M = x Ob(C) 1 x M (direkte indre sum), da hvis 1 x m = 0, så 1 y m = 1 y 1x m = 0 for alle y Ob(C). Dette viser, at ɛ M er en R-isomorfi. Det ses let, at ɛ M også er en RC-isomorfi. Naturligheden af ɛ tjekkes let. Bemærk, at funktoren r ved restriktion giver en bijektion r : Hom (R-mod) C(F, G) Hom RC (r(f ), r(g)). Dette gælder, da (jævnfør nedenstående kommutative diagram) σ 1 sr(φ) = φ for alle φ: F G og for alle ψ : r(f ) r(g). rσ 1 s(ψ) = τrsrσ 1 s(ψ) = τrs(ψ) = ψ Hom (R-mod) C(F, G) σ=η G η 1 F Hom (R-mod) C(sr(F ), sr(g)) r s r Hom RC (r(f ), r(g)) τ=ɛ r(g) ɛ 1 r(f ) Hom RC (rsr(f ), rsr(g)) Da Hom RC (r(f ), r(g)) er en R-modul bliver også Hom (R-mod) C(F, G) en R-modul via r. R-modulstrukturen er givet ved (φ + ψ) x = (φ x + ψ x ) og (aφ) x = (aφ x ) for alle φ, ψ : F G og a R. Herved bliver Hom (R-mod) C(, ): ((R-mod) C ) op (R-mod) C R-mod en funktor, der er naturligt isomorf med Hom RC (r( ), r( )) Bemærkning 1.2. En gruppe G kan opfattes som en kategori med præcis 1 objekt x og en endomorfi g : x x for hvert g G. I dette tilfælde er en funktor F : G R-mod en sædvanlig grupperepræsentation G F (x) og RG-algebraen er den sædvanlige gruppealgebra. Sætning 1.1 er en generalisering af det velkendte resultat, at repræsentationerne af G over R svarer til modulerne over RG. 2. Limes og kolimes Et stort antal konstruktioner i matematik kan karakteriseres ved en såkaldt universel konstruktion. Mange af disse konstruktioner kan
5 FAGPROJEKT 5 defineres som limes eller som kolimes af en funktor. I dette projekt bruges limes og kolimes til at indføre hhv. kohomologi og homologi af en kategori Limes. Lad A og B være kategorier. Så definerer vi en funktor : B B A ved at (B) er den konstante funktor der afbilder alle objekter i B og alle morfier i identitetsmorfien 1 B. For en morfi f i A er (f) den naturlige transformation, hvis komponenter alle er f. Lad F : A B være en funktor. Hvis man forestiller sig A tegnet som et diagram, kan man tænke på F som et diagram i kategorien B med form som A. En kegle over F er et par (B, η), hvor B er et objekt i B og η : (B) F er en naturlig transformation. Dette kan visualiseres som objektet B svævende over diagrammet F med en pil fra B til hvert objekt i diagrammet. Antag keglen (B, η) opfylder, at der for enhver anden kegle (C, ζ) findes en entydigt bestemt morfi f : C B, så ζ = η (f). Så kalder vi B for limes af F og skriver lim F = B. Vi har, at lim F er entydigt bestemt op til entydigt bestemt isomorfi: Hvis også (C, ζ) er limes af F, så findes entydigt bestemte morfier f : C B og g : B C, der kommuterer med keglerne. Dermed er ζ = ζ (gf), så gf = 1 C på grund af entydigheden af denne morfi. Tilsvarende er fg = 1 B. Givet en naturlig transformation θ : E F i B A og kegler (lim E, ζ) og (lim F, η) fås en kegle over F som (lim E, θ ζ), så vi kan definere lim θ : lim E lim F som den entydigt bestemt morfi, der opfylder θ ζ = η (lim θ). Hvis lim F eksisterer for alle funktorer F bliver lim herved en funktor B A B: At lim(1 F ) = 1 lim F og lim(θ 1 θ 2 ) = lim(θ 1 ) lim(θ 2 ) følger af entydigheden af disse morfier. Hvis A er den tomme kategori kategorien med 0 objekter kaldes lim F for et terminalt objekt for B. Så i dette tilfælde er lim F et objekt, til hvilket der eksisterer en entydig bestemt morfi fra ethvert andet objekt i B. Sætning 2.1. Antag lim: B A B eksisterer. Så er lim højre-adjungeret til. Dvs. der eksisterer en naturlig isomorfi mellem de to funktorer Hom B A( ( ), ), Hom B (, lim( )): (B) op (B A ) Set. Bevis. Lad B Ob(B) og lad F : A B med tilhørende kegle (lim F, η). Definer Φ: Hom B A( (B), F ) Hom B (B, lim F ) som følger: Lad ζ Hom B A( (B), F ). Så er (B, ζ) en kegle over F. Lad Φ(ζ) være den entydigt bestemte morfi, så ζ = η (Φ(ζ)). I den anden retning definer Ψ: Hom B (B, lim F ) Hom B A( (B), F ) som Ψ(f) = η (f). Så fås ΨΦ(ζ) = η (Φ(ζ)) = ζ og ΦΨ(f) = Φ(η (f)) = f hvor sidste lighed følger af entydigheden af f. Så Ψ er en bijektion. Lad g : B C være en morfi, lad E være en funktor med tilhørende kegle
6 6 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN (lim E, ζ) og lad θ : E F. Så følger naturligheden af Ψ af følgende diagram: ζ (f) f Hom( (C), E) Ψ Hom(C, lim E) Hom( (g),θ) Ψ Hom(g,lim θ) Hom( (B), F ) Hom(B, lim F ) θζ (f) (g) = η (lim(θ)f g) Bemærkning 2.2. Når vi beskæftiger os med repræsentationer af kategorier kan man vælge kodomænet for Hom (R-mod) C( ( ), ) og Hom R (, lim( )) som kategorien R-mod og ikke bare kategorien Set. Det ses let, at den naturlige isomorfi i beviset for sætning 2.1 også giver en naturlig isomorfi i dette tilfælde altså at bevisets Ψ er en R-isomorfi. Fremover bruges notationen R = (R) Ob((R-mod) C ) Sætning 2.3. Funktoren lim: (R-mod) C R-mod er naturligt isomorf med Hom (R-mod) C(R, ). Bevis. Vi har Hom (R-mod) C(R, ) Hom R (R, lim( )) lim Første isomorfi følger af sætning 2.1 plus efterfølgende bemærkning. Anden isomorfi følger af, at vi har en naturlig isomorfi Φ: 1 R-mod Hom R (R, ), givet ved Φ U (u) = (a au) for enhver R-modul U. Jeg har snydt lidt i dette bevis, da jeg ikke har vist, at lim eksisterer. Det kan dog vises eksplicit, for en funktor F : C R-mod, at keglen (Hom (R-mod) C(R, F ), η), hvor η x (φ) = φ x (1), opfylder betingelserne til at være limes af F. Så lim F eksisterer. Fra ovenstående sætning ses det, at lim: (R-mod) C R-mod er venstre-eksakt, så lim har højre-deriverede funktorer lim i for alle i 0 (se [5] for en definition). Per isomorfien (R-mod) C RC-mod følger det, at (R-mod) C har nok injektive moduler (jf. [1] sætning III.4.3), så lim i eksisterer. Det ses yderligere, at lim i Ext i (R-mod) C(R, ), (funktoren Ext i (R-mod) C(R, ) er netop defineret som den i-te højre-deriverede funktor af Hom (R-mod) C(R, )). Lad M være en repræsentation af C. Så definerer vi kohomologien af kategorien C med koefficienter i M som H (C, M) = Ext (R-mod) C(R, M). Vi ser, at H (C, M) er isomorf med lim M. Hvis R og M ved brug af sætning 1.1 opfattes som RCmoduler, kan Ext (R-mod) C(R, M) identificeres med Ext RC(R, M). Hvis C lim(θ)f g
7 FAGPROJEKT 7 er en gruppe ses det, at vores definition af kohomologi stemmer overens med den normale definition af gruppe-kohomologi Kolimes. Givet en funktor F : A B fås en ny (også kovariant) funktor F o : A op B op som har samme værdi som F på alle objekter og morfier. Så defineres kolimes af F som colim F = lim F o. Herved bliver også colim: B A B en funktor (hvis den eksisterer). En naturlig transformation fra : B op (B op ) Aop til F o svarer til en naturlig transformation fra F til : B B A. Dermed kan colim F beskrives som følger: En kokegle under F er et par (B, η), hvor B er et objekt i B og η : F (B) er en naturlig transformation. Dette kan visualiseres som B hængende under diagrammet F med en pil fra hvert objekt i diagrammet til B. Hvis kokeglen (B, η) opfylder, at, der for enhver anden kokegle (C, ζ) findes en entydigt bestemt morfi f : B C, så ζ = (f) η, så er colim F = B. Hvis A er den tomme kategori kaldes colim F for et initialt objekt for B. Som dual til sætning 2.1 gælder der, at colim er venstre-adjungeret til. Men det resultat vil jeg ikke bruge i denne opgave. Sætning 2.4. Funktoren colim: (R-mod) C R-mod er naturligt isomorf med R RC ( ). I R RC ( ) opfattes R som en højre RC-modul (svarende til en kontravariant funktor) og repræsentationen der erstatter skal opfattes som en venstre RC-modul, jævnfør sætning 1.1. Bevis. Lad M være en repræsentation af C. Vi har en naturlig transformation η : M (R M) givet ved η x (m x ) = 1 x m x. Givet endnu en kokegle (C, ζ) under M defineres Φ: R M T ved for m x M(x), at Φ(1 x m x ) = ζ x (m x ). Φ er veldefineret, da Φ er induceret fra afbildningen ((r x ) x Ob(C), (m x ) x Ob(C) ) (ζ x (r x m x )) x Ob(C), som er bilineær på grund af naturligheden af ζ. Vi har ζ = (Φ)η, og Φ er entydigt bestemt af denne ligning. Så R M er kolimes af M. Fra ovenstående sætning ses det, at colim: (R-mod) C R-mod er højre-eksakt og colim har derfor venstre-deriverede funktorer colim i for alle i 0 (se [5] for definition). Det er velkendt, at RC-mod har nok projektive moduler, så colim i eksisterer. Det ses yderligere, at colim i (R, ) (funktoren Tor RC i (R, ) er netop defineret som den i-te venstre-deriverede funktor af R RC ( )). Lad M være en repræsentation Tor RC i af C. Så definerer vi homologien af kategorien C med koefficienter i M som H (C, M) = Tor RC (R, M). Det ses, at H (C, M) er isomorf med colim M. Hvis C er en gruppe, ses det, at denne definition af homologi stemmer overens med den normale definition af gruppehomologi.
8 8 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN 3. Ext og ekstensioner Lad A være en algebra over R og lad M og N være moduler over A. En ekstension af grad n 1 er en eksakt følge 0 N U n 1 U 0 M 0 hvor U 0,..., U n 1 er A-moduler. Denne ekstension er relateret til ekstensionen 0 N V n 1 V 0 M 0, hvis der eksisterer A-homomorfier f i : U i V i så følgende diagram kommuterer: 0 N U 0 U n 1 f n 1 f 0 M 0 V n 1 V 0 Lad E n betegne mængden af ekstensioner af grad n modulo ækvivalensrelationen frembragt af ovenstående relation. Jeg vil vise, at Ext n A(M, N) er i bijektion med E n. Bemærk at jeg har antaget n 1, da Ext 0 A(M, N) ikke nødvendigvis er i bijektion med eksakte følger 0 N M 0. Som jeg introducerede Ext i foregående afsnit, er Ext A(M, N) = H (Hom A (M, I)), hvor N I er en injektiv resolution af N. Men der gælder, at denne definition er ækvivalent med Ext A(M, N) = H d (Hom A (P, N)), hvor 2 d 1 d P1 0 P0 M er en projektiv resolution af M (jf. [6]). Lad en sådan resolution være valgt (det er velkendt, at en sådan resolution eksisterer). Definer Φ: E n Ext n A(M, N) som følger: Lad E E n E = (0 N αn α n 1 α U n 1 1 α 0 U0 M 0) Da P 0 er projektiv, kan vi vælge φ 0 : P 0 U 0, så α 0 φ 0 = d 0. Antag φ i : P i U i er valgt for i = 0,..., k, 0 k < n, sådan at α i φ i = φ i 1 d i, hvor φ 1 = 1 M. Så er α k φ k d k+1 = φ k 1 d k d k+1 = 0, så Im(φ k d k+1 ) Im(α k+1 ), så da P k+1 er projektiv kan vi vælge φ k+1 : P k+1 U k+1, så α k+1 φ k+1 = φ k d k+1. Vi får altså følgende kommutative diagram (3.1) 0 N U n 1 U 0 M 0 φ n P n φ n 1 P n 1 φ 0 P 0 og jeg definerer Φ(E) = [φ n ]. Da α n er injektiv, er φ n d n+1 = 0 hvis og kun hvis α n φ n d n+1 = 0 og dette er sandt. Så φ n Ker(Hom A (d n+1, N)). β n 1 Lad 0 N βn β V n 1 0 V0 M 0 være en anden ekstension, der er relateret til E via en af de frembringende relationer. Dvs. vi har (f i : U i V i ) n 1 i=0 der kommuterer med α i erne og β i erne. Lad ψ i : P i V i, i = 0,..., n være valgt som φ i erne. Så vil jeg finde β 1
9 FAGPROJEKT 9 et θ n 1 : P n 1 N, så φ n ψ n = θ n 1 d n, da det så følger, at Φ er veldefineret. fφ (hvor f n = 1 N ) og ψ er begge kædeafbildninger, der udvider 1 M så der findes en kædehomotopi θ fra fφ til ψ: Lad nemlig θ k = 0 for k < 0 og lad induktivt θ k være et løft af f k φ k ψ k θ k 1 d k langs β k+1 (for k n er θ k = 0). Så er θ n 1 den ønskede homomorfi. Jeg vil nu definere en invers Ψ til Φ. Så lad [φ] Ext n A(M, N), φ: P n N. Definer U n 1 som push-out et af d n og φ dvs. som kolimes af nedenstående diagram med U n 1 fjernet: d n P n P n 1 φ N αn U n 1 φ n 1 Eksplicit definerer jeg U n 1 = (N P n 1 )/A{(φ(p), d n (p)) p P n } og lader α n (n) = (n, 0) og φ n 1 (p) = (0, p). Så er α n injektiv: Da φ Ker(Hom(d n+1, N)) er Ker d n Ker φ. Så antag [(n, 0)] = 0 i U n 1, dvs. (n, 0) = (φ(p), d n (p)) for et p P n (en sum er ikke nødvendig). Så er d n (p) = 0, så n = φ(p) = 0. Definer α n 1 : U n 1 P n 2 (hvor P 1 = M) ved α n 1 (n, p) = d n 1 (p) Så er α n 1 (φ(p), d n (p)) = d n 1 d n (p) = 0, så α n 1 er veldefineret. Det er klart, at Im α n 1 = Im d n 1 og at Im α n Ker α n 1. Og hvis α n 1 (n, p) = 0, så er p Ker d n 1 = Im d n, lad os sige p = d n (p n ). Og så (n, p) = (n φ(p n ), 0) Im α n. Altså er E = (0 N U n 1 P n 2 P 0 M 0) en ekstension, og jeg definerer Ψ([φ]) = E. Lad [ψ] Ext n A(M, N) og antag [φ] = [ψ], φ ψ = θd n, θ : P n 1 N. Lad Ψ([ψ]) = F = (0 N βn V n 1 β n 1 P n 2 P 0 M 0) hvor V n 1 = (N P n 1 )/B. Definer en A-homomorfi f n 1 : U n 1 V n 1 ved f n 1 (n, p) = (n + θ(p), p). Så er f n 1 (φ(p), d n (p)) = (φ(p) θd n (p), d n (p)) = (ψ(p), d n (p)) B, så f er veldefineret. Det er klart, at f n 1 α n = β n og β n 1 f n 1 = α n 1, så hvis vi sætter f i = 1 Pi for i = 0,..., n 2 ser vi, at E = F i E n. Så Ψ er veldefineret. ΦΨ = 1: Dette er klart: Hvis Ψ([φ]) = E givet ovenfor, kan jeg for i = 0,..., n 2 vælge løftene P i P i som identiteten og derefter vælge løftene P n 1 U n 1 og P n N som hhv. φ n 1 og φ n. ΨΦ = 1: Lad E E n og antag Φ(E) er givet som diagrammet (3.1) ovenfor. Lad Ψ(Φ(E)) = (0 N βn (N P n 1 )/B β n 1 P n 2 P 0 M 0). Så kan vi definere en A-homomorfi f n 1 : (N P n 1 )/B U n 1 ved f n 1 (n, p) = α n (n) + φ n 1 (p) (selv om φ 0,..., φ n 1 ikke er med i billedet Φ(E) ved jeg, at de eksisterer,
10 10 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN og de kan derfor bruges i definitionen af f i erne). Vælger jeg f i = φ i for i = 0,..., n 2 ses det let, at f i erne kommuterer med α i erne og β i erne. Så Ψ(Φ(E)) = E i E n Ext som algebra. Modulerne Ext n A(M, N) kan samles til en enkelt gradueret R-modul Ext A (M, N) = n 0 Ext n A(M, N) Et element i Ext n A(M, N) Ext A (M, N) kaldes et element af grad n. Givet ekstensioner 0 N U n 1 U 0 α M 0 og 0 M β V m 1 V 0 K 0 kan man danne en ny ekstension 0 N U n 1 U o βα V n 1 V 0 K 0 og det er klart, at ækvivalensklassen af den nye ekstension kun afhænger af ækvivalensklasserne af de to første ekstensioner. Så via bijektionen mellem Ext og ekstensioner får vi et veldefineret produkt Ext n A(M, N) Ext m A (K, M) ExtA n+m (K, N). Jeg har her antaget m, n 1, men man kan også definere et produkt hvis m eller n er lig 0: Lad [φ] Ext n A(M, N), φ: P n M. Da φd n+1 = 0 inducerer φ en homomorfi φ: Im(d n ) M. Hvis man vælger en projektiv resolution Q N, kan man vælge en kædeafbildning (φ k : P k Q k n ) k n der udvider φ (dvs. hvor d 0 φ n = φd n ). Tilsvarende kan man vælge en projektiv resolution S K og givet [ψ] Ext m A (K, M), ψ : K M kan man vælge en kædeafbildning ψ af grad m der udvider ψ. Så kan produktet af [φ] og [ψ] defineres som [d N 0 φ n ψ n+m ] Ext n+m (K, N) dvs. som elementet svarende til kompositionen φ ψ af kædeafbildningerne. Det kan vises, at dette produkt er veldefineret og for n, m 1 er lig produktet defineret ovenfor via ekstensioner. Se [6]. Hvis K = M = N fås et produkt på Ext A (M, M) og det kan vises, at dette produkt gør Ext A (M, M) til en gradueret R-algebra (her er det muligvis nødvendigt at lægge restriktioner på R og A, se [6]). 1- elementet i Ext A (M, M) er [1 M d 0 ]. 4. Den lineariserede repræsentable funktor I dette afsnit vil jeg indføre en projektiv repræsentation af C. Denne repræsentation skal bruges til at give en eksplicit projektiv resolution af repræsentationen R. Lad x være et objekt i C. Så defineres den lineariserede repræsentable funktor F x : C R-mod som følger: På et objekt y er F x (y) den frie R-modul med basis Hom C (x, y). Og for en morfi β : y z er F x (β) givet ved F x (β)(α) = β α for alle α Hom C (x, y). Det ses let, at F x
11 FAGPROJEKT 11 er en funktor. For en morfi γ : w x definerer vi F γ : F x F w ved (F γ ) y (β) = β α. Naturligheden af F γ følger af følgende diagram: α α γ F x (y) (F γ) y F w (y) F x(β) F x (z) (Fγ)z F w (z) F w(β) β α β α γ Herved bliver F : C op (R-mod) C en funktor. Lad M være en repræsentation af C. Så bliver Hom (R-mod) C(F, M) en (kovariant) funktor C R-mod, dvs. en repræsentation af C. Sætning 4.1 (Yonedas lemma). M er ækvivalent med Hom (R-mod) C(F, M). Bevis. Sæt H = Hom (R-mod) C(F, M). Definer en naturlig transformation σ : M H ved (σ x (m)) y (α) = M(α)(m). Naturligheden af σ x (m) følger af, at M er en funktor. Og σ x er en R-homomorfi: For alle m, n M(x) og α: x y, er σ x (m 1 + m 2 ) y (α) = M(α)(m 1 + m 2 ) = M(α)(m 1 ) + M(α)(m 2 ) = σ x (m 1 ) y (α) + σ x (m 2 ) y (α) så σ x (m 1 + m 2 ) y = σ x (m 1 ) y + σ x (m 2 ) y for alle objekter y og dermed σ x (m 1 +m 2 ) = σ x (m 1 )+σ x (m 2 ). Tilsvarende ses aσ x (m 1 ) = σ x (am 1 ) for alle a R. Naturlighed af σ: Lad γ : w x, m M(w) og α: x y. Så er (σ x (M(γ)(m))) y (α) = M(α)(M(γ)(m)) og (H(γ)(σ w (m))) y (α) = M(α γ)(m) så σ x M(γ) = H(γ) σ w. Definer nu τ x : H(x) M(x) ved τ x (φ) = φ x (1 x ) Jeg vil vise τ x er invers til σ x : og τ x (σ x (m)) = σ x (m)(1 x ) = 1 M(x) (m) = m (σ x (τ x (φ))) y (α) = (σ(φ x (1 x ))) y (α) = M(α)(φ x (1 x )) = φ y (F x (α)(1 x )) = φ y (α)
12 12 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN Altså er σ en naturlig isomorfi. Sætning 4.2. Lad x være et objekt i C. Så er F x projektiv. Bevis. Lad M og N være repræsentationer af C og lad naturlige transformationer φ: F x N og θ : M N være givet, så θ y er surjektiv for alle objekter y. Jeg skal så finde en naturlig transformation ψ : F x M, så φ = θ ψ. Vælg et m M(x), så θ x (m) = φ x (1 x ). Sæt ψ = σ x (m), hvor σ x er givet i forrige bevis. Så er så θ ψ = φ. (θ ψ) y (α) = θ y (M(α)(m)) = N(α)(θ x (m)) = N(α)(φ x (1 x )) = φ y (F x (α)(1 x )) = φ y (α) Per sætning 1.1 kan F x identificeres med en RC-modul og sætning 4.2 giver også, at denne modul er projektiv. 5. Formel for H (C, M) og H (C, M) Lad M være en repræsentation af C. Ligesom Ext n RC(R, M) kan udregnes ved brug af en projektiv resolution, kan også Tor RC (R, M) både udregnes ud fra en injektiv resolution af M og som jeg vil gøre som Tor RC (R, M) = H (P RC M), hvor P R en en projektiv resolution af R som højre RC-modul. Jeg vil give to eksplicitte resolutioner af R i (R-mod) C, dvs. resolutioner P 1 P 0 R hvor P n erne er funktorer, og randafbildningerne er naturlige transformationer. Lad n 0 og x Ob(C). Definer P n (x) som den frie R-modul med basis de lister af morfier (α 0, α 1,..., α n ) Mor(C) n+1, hvor cod α 0 = x og dom(α i 1 ) = cod(α i ). For listen (α, α 1,..., α n ) vil jeg enten bruge notationen α[α 1,..., α n ] eller x α α x 1 α 0 n xn. For en morfi β i C definer P n (β)(α[α 1,..., α n ]) = (βα)[α 1,..., α n ]. Det ses let, at P n herved bliver en funktor. Definer R-homomorfien (d n ) x : P n (x) P n 1 (x) ved (d n ) x (α[α 1,..., α n ]) = αα 1 [α 2,..., α n ] + ( 1) i α[α 1,..., α i α i+1,..., α n ] n 1 i=1 + ( 1) n α[α 1,..., α n 1 ] Definition kan skrives kortere som n (d n ) x (x x 0 x n ) = ( 1) i (x x 0 x i x n ) i=0
13 FAGPROJEKT 13 Definer desuden R-homomorfien ɛ x : P 0 (x) R ved ɛ x (α[]) = 1. Det ses let, at d n = ((d n ) x ) og ɛ = (ɛ x ) er naturlige transformationer. Desuden tjekkes det let, at d n d n+1 = 0 og ɛd 0 = 0. d Ved brug af sætning 1.1 kan kædekomplekset 2 d 1 ɛ P1 P0 R 0 opfattes som et kædekompleks af RC-moduler. Som R-modul er så P n = P n (x) = x Ob(C) α[α 1,...,α n] R α[α1,...,α n] (Her er R α[α1,...,α n] = R.) For en given kæde [α 1,..., α n ] (dvs. en kæde x α 1 α 0... n xn ) er undermodulen α Mor(C),dom(α)=x 0 R α[α1,...,α n] også en RC undermodul og det ses, at denne undermodul er isomorf med F x0 = y Ob(C) F x0 (y) (RC-modulen svarende til den lineariserede repræsentable funktor). Som RC-modul er altså P n = [α 1,...,α n] F cod(α1 ) og da alle summanderne ifølge sætning 4.2 er projektive er også P n projektiv. Definer R-homomorfier (h n ) x : P n (x) P n+1 (x) ved for n 0 at (h n ) x (x x 0 x n ) = (x 1x x x 0 x n ) og definer (h 1 ) x : R P 0 (x) ved h 1 (1) = (x 1x x). Sæt h n = ((h n ) x ) x Ob(x) : P n P n+1. h n er ikke en RC-homomorfi kun en R- homomorfi men det er heller ikke nødvendigt. Det tjekkes let, at d n+1 h n + h n 1 d n = 1 for n 1 og d 1 h 0 + h 1 ɛ = 1 og ɛh 1 = 1. Så h er en kontraherende homotopi og det følger, at P R er eksakt. Altså er P en projektiv resolution af R. Jeg vil kalde denne standardresolutionen af R. Definer D n (x) som undermodulen af P n (x) med basis de degenererede kæder af morfier dvs. de kæder α[α 1,..., α n ] hvor α i = 1 for et i {1,..., n}. Sæt P n (x) = P n (x)/d n (x) og lad (d n ) x : P n P n 1 være induceret af (d n ) x. Opfat P 1 P 0 R 0 som et kædekompleks af RC-moduler. Så er dette en resolution af R komplekset er eksakt, da h inducerer en kontraherende homotopi på det. Og resolutionen er projektiv, da P n ligesom P n er en direkte sum af F x er. Resolutionen vil jeg kalde den normaliserede standard-resolution af R. Bemærkning 5.1. Hvis C er en gruppe er de projektive resolutioner defineret ovenfor resolutioner af R og resolutionerne er faktisk frie, da F x RC (her er x objektet i C). Den første resolution er den såkaldte bar-resolution af C og den anden resolution er den normaliserede barresolution af C (jf. [1] I.5). Lad M være en R(C op )-modul. Så bliver M en højre RC-modul ved at sætte mα = αm. Betegnes nemlig kompositionerne i C og C op med
14 14 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN hhv. og fås m(α β) = (α β)m = (β α)m = β(αm) = (mα)β En projektiv resolution af R som højre RC-modul kan altså fås ved at bruge en af definitionerne ovenfor for kategorien C op. 6. Nerven af en kategori De projektive resolutioner af R beskrevet i foregående afsnit er ikke trukket ud af den blå luft, men har en tæt forbindelse til en topologisk konstruktion tilknyttet en kategori den såkaldte nerve af en kategori Definition af nerven. Lad n n = {(t 0,..., t n ) R n+1 t i = 1, t i 0} i=0 være standard simplekset. Lad A n = A C n = {(α 1,..., α n ) Mor(C) n dom α i = cod α i+1 } for n 1 og lad A 0 = Ob(C). Giv A n den diskrete topologi. Lad n 1 og i {0,..., n}. Definer d n,i : A n A n 1 som d n,i (x 0 x n ) = (x 0 x i x n ) hvor jeg bruger samme notation som i definitionen af randafbildningerne for standard-resolutionen af R. Definer desuden δ n,i : n 1 n som δ n,i (t 0,..., t n 1 ) = (t 0,..., t i 1, 0, t i,..., t n 1 ) Lad nu n 0 og i {0,..., n}. Definer s n,i : A n A n+1 som s n,i (x 0 x n ) = (x 0 x i og definer σ n,i : n+1 n som 1 xi xi x n ) σ n,i (t 0,..., t n+1 ) = (t 0,..., t i + t i+1,..., t n+1 ) Nu kan nerven C af C defineres som C = A n n / n 0 hvor er ækvivalensrelationen frembragt af relationerne (a, δ n,i (t)) (d n,i (a), t) for alle n 1, i = 0,..., n, a A n og t n 1 og relationerne (a, σ n,i (t)) (s n,i (a), t) for alle n 0, i = 0,..., n, a A n og t n+1. For alle n 0 og a A n har vi en afbildning φ a : n C givet ved φ a (t) = (a, t) og φ a ( n ) betegnes blot simplekset a. Hvis a = s n 1,i (b) for et b kaldes a for et degenereret simpleks og eller kaldes a ikke-degenereret. φ a restringeret til det indre af n er en indlejring hvis
15 FAGPROJEKT 15 og kun hvis a ikke er degenereret. Det kan tjekkes, at C er et CWkompleks med celler alle de ikke-degenererede simplekser, og φ a erne er de karakteristiske afbildninger for disse celler. En delmængde U C er åben hvis og kun hvis {t n (x, t) U} er åben for alle n 0 og x A n. Lad D være endnu en lille kategori og lad F : C D være en funktor. Definer en afbildning F : C D ved F ((α 1,..., α n ), t) = ((F (α 1 ),..., F (α n )), t) Dette er veldefineret, da F er en funktor. Givet U D, og (α 1,..., α n ) A n er φ 1 (α 1,...,α ( F n) 1 (U)) = φ 1 (F (α 1 ),...,F (α (U) n)) hvilket viser, at F er kontinuert. Det ses let, at 1 C = 1 C og G F = G F, hvor G: D E er endnu en funktor. Så er en funktor fra kategorien af små kategorier til kategorien af topologiske rum. Sætning 6.1. Nerven af C er homeomorf med nerven af C op. Bevis. Definer f : C C op ved f(a, t) = (f 1 (a), f 2 (t)) hvor og Så gælder der f 1 (α 0,..., α n ) = (α n,..., α 0 ) f 2 (t 0,..., t n ) = (t n,..., t 0 ) f 1 (d n,i (a)) = d n,n i (f 1 (a)) f 2 (δ n,i (t)) = δ n,n i (f 2 (t)) f 1 (s n,i (a)) = s n,n i (f 1 (a)) f 2 (σ n,i (t)) = σ n,n i (f 2 (t)) Ved brug af disse ligninger følger det, at f er veldefineret. Det ses let, at f er en homeomorfi Kædekompleks for nerven. For alle n 0 lad D n betegne de degenererede simplekser i A n. Lad n = RA n /RD n R(A n D n ) og definer en randafbildning n : n n 1 ved n n ([a]) = ( 1) i [d n,i (a)] i=0 Det tjekkes let, at n er veldefineret og at n n+1 = 0. Hvis C 1 C 0 0 betegner det singulære kædekompleks for C, så har vi en kædeafbildning f n : n C n givet ved for a A n D n, at f n (a) = φ a. I [3] afsnit 2.1 introduceres såkaldte delta-komplekser
16 16 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN og det vises, at en kædeafbildning svarende til f inducerer en isomorfi på homologien af kædekomplekserne. Man kan lave et tilsvarende bevis for, at H n (f): H n ( ) H n (C) er en isomorfi. Tilsvarende er H n (f): H n ( ) H n (C) en isomorfi (her er H n givet ved først at anvende Hom(, R) før man tager homologi). Jeg vil definere H n ( C, R) := H n ( ) og H n ( C, R) := H n ( ). Sætning 6.2. Vi har H (C, R) H ( C, R) og H (C, R) H ( C, R). Bevis. Første isomorfi: Lad P R være den normaliserede standardresolution af R som højre RC-modul. Dvs. P n = R{x n x 0 x} som R-modul. Så er P n R en R-modul med basis {([α n,..., α 1 ]1 x ) 1 x [α n,..., α 1 ] A n D n, dom(α 1 ) = x} Dette svarer til at sige, at g n : P n R n givet ved g n ([α n,..., α 1 ]1 x ) 1 x ) = [α n,..., α 1 ] er en veldefineret isomorfi, hvilket let ses g n er veldefineret, da g n er induceret af en bilineær afbildning. For n 1 er desuden n g n = ( 1) n g n 1 (d n 1) dette vises ved at bruge, at α g n ((x n x x0 x 0 ) 1 x0 ) = g n ((x n x 1 1 x 1 ) 1 x1 ) = (x n x 1 ) Så g inducerer en isomorfi H (C, R) H ( C, R). Anden isomorfi: Lad nu i stedet P R betegne den normaliserede standard-resolution af R som venstre RC-modul. Så har vi en isomorfi h n : Hom RC (P n, R) Hom r ( n, R) givet ved h n (φ)(x 0 x n ) = φ(x 0 1 x 0 x n ) og det tjekkes på en tilsvarende måde som for g, at h inducerer en isomorfi H (C, R) H ( C, R). Ovenfor definerede jeg den normaliserede standard-resolution af R ud fra eksakte følger P 1 (x) P 0 (x) R 0 for hvert x Ob(C). P (x) er faktisk kædekomplekset for nerven af en bestemt kategori nemlig overkategorien over x: Dette er kategorien E x hvis objekter er morfierne y x og hvis morfier Hom(y α x, z β x) er morfierne y γ z, der opfylder α = βγ. Denne kategori har det terminale objekt x 1 x, og nerven E x er derfor kontraktibel (se eksempel 6.5 nedenfor). Dette er en anden måde at se, at kædekomplekset P 1 (x) P 0 (x) R 0 for E x er eksakt.
17 FAGPROJEKT Nerven og produkter. Næste bevis er temmeligt teknisk selv om ideen til beviset er simpel nok. Det er en variant af sætning 3.7 i [2] (bemærk at der i beviset i [2] er en lille fejl i dets definition af p k ). Sætning 6.3. Lad C og D være små kategorier. Så eksisterer der en kontinuert bijektion Φ: C D C D. Bevis. Vi har en bijektion A C D n A C n A D n givet ved ((f 1, g 1 ),..., (f n, g n )) ((f 1,..., f n ), (g 1,..., g n )) for n 1 og (x, y) (x, y) for n = 0, og jeg vil tillade mig at skrive elementerne i første mængde som elementer i den anden mængde. Bijektionen harmonerer med d n,i og s n,i. Definitionen af Φ kommer nu naturligt: Φ((a, b), t) = ((a, t), (b, t)) Det ses let, at Φ er veldefineret og kontinuert. Jeg vil nu definere en afbildning Ψ og vise, at Ψ er invers til Φ: f Lad ((a, t), (b, u)) C D, hvor a = x 1 f n 0... xn og b = g y 1 g m 0... ym, og t = (t 1,..., t n ) og u = (u 1,..., u m ). Punktet ((a, t), (b, u)) ligger altså i produktet af et n-simpleks og et m-simpleks, men hvis n 0 og m 0 deles dette produkt op i mere end et n + m- simplekser gennem Φ. Så jeg skal, ud fra t og u, bestemme hvilket n+msimpleks, som ((a, t), (b, u)) ligger i Φ s billede af. Definer T i = i j=0 t j og U i = i j=0 u j. Ordn T 0,..., T n, U 0,..., U m efter størrelse, kald det k-te tal for C k 1 og smid C n+m+1 væk: C 0 C n+m Jeg kan nu definere en kæde af morfier z 0 z n+m ved z k = (x α(k), y β(k) ), hvor α(k) (hhv. β(k)) er antallet af T j -er (hhv. U j -er) blandt C 0,..., C k 1. Morfierne fås ud fra (f 1,..., f n ) og (g 1,..., g m ) ved at indskyde identitetsmorfier, når et x i eller y i gentages. Definer v = (v 0,..., v n+m ) ved v k = C k C k 1 (så v 0 = C 0 ). Så er v n+m. Definer Ψ((a, t), (b, u)) = (z 0 z n+m, v) Det kan nu tjekkes, at Ψ er veldefineret, og er invers til Φ. Bemærkning 6.4. I de tilfælde, jeg vil bruge sætning 6.3 i resten af dette projekt, er afbildningen Φ faktisk en homeomorfi. Φ er en homeomorfi, hvis enten C eller D kun har endeligt mange ikke-degenererede celler, eller hvis både C og D kun har tælleligt mange ikke-degenererede celler. Se appendix A i [3]. Lad F, G: C D være funktorer mellem to små kategorier og lad η : F G være en naturlig transformation. Jeg vil vise, at η giver anledning til en homotopi mellem afbildningerne F og G. Til dette formål vil jeg indføre kategorien I som kategorien med præcis to objekter 0 og 1 og præcis en ikke-identitetsmorfi 0 ι 1.
18 18 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN Fra F, G og η kan man definere en funktor H : C I D som følger: Sæt H(x, 0) = F (x) og H(x, 1) = G(x). For en morfi α: x y sæt H(α, 1 0 ) = F (α), H(α, 1 1 ) = G(α) og H(α, ι) = η y F (α) (= G(α)η x ). At H er en funktor følger af, at F og G er det, og af naturligheden af η. Sæt nu h = H Φ 1 : C [0, 1] D, hvor Φ er afbildningen i sætning 6.3 og hvor I er identificeret med [0, 1] ved ((ι), (t 0, t 1 )) t 0. I dette tilfælde er Φ en homeomorfi, så h er kontinuert. Lad (a, t) C, a = (α 1,..., α n ) og t = (t 0,..., t n ). Så er h((a, t), 0) = H (Φ 1 ((a, t), ((ι), (0, 1)))) = H (Φ 1 ((a, t), (0, (1)))) = H ((a, 0), t) = F (a, t) Tilsvarende gælder der, at h((a, t), 1) = G (a, t). Altså er h en homotopi fra F til G. Det kan måske virke mærkeligt, at en naturlig transformation giver anledning til en symmetrisk størrelse som en homotopi h h giver jo en homotopi fra G til F ved ((a, t), v) h((a, t), 1 v), hvorimod der ikke nødvendigvis er en naturlig transformation fra G til F. Men η giver en en naturlig transformation η o : G o F o hvor F o, G o : C op D op er funktorerne som har samme værdier på objekter og morfier som hhv. F og G sæt blot ηx o = η x for alle x Ob C. Og η o giver en homotopi : C op [0, 1] D op. Sætning 6.1 giver homeomorfier C C op og D D op og ved brug af disse fås en homotopi C [0, 1] D fra G til F. Denne homotopi er netop ((a, t), v) h((a, t), 1 v). Eksempel 6.5. Antag at C har et terminalt objekt T. For funktoren (T ): C C gælder der (T ) ((α 1,..., α n ), t) = ((1 T,..., 1 T ), t) = (T, 1) så det ses, at (T ) er konstant. Man kan nu definere en naturlig transformation η : 1 C (T ) ved at lade η C være den entydigt bestemte afbildning fra C til T. Entydigheden af disse afbildninger giver, at η er naturlig. Som beskrevet ovenfor giver η anledning til en homotopi fra 1 C = 1 C til den konstante afbildning (T ). Altså er C kontraktibel. Antag nu i stedet, at C har et initialt objekt. Da et initialt objekt i C er det samme som et terminalt objekt i C op, er C op kontraktibel, så per sætning 6.1 er også C kontraktibel. 7. Konkrete udregninger 7.1. Homologi og kohomologi i dimension 0. Lad P R være standard-resolutionen af R som enten højre- eller venstre-modul. Så er P 0 RC. Så hvis M er en RC-modul er P 0 RC M M. Da tensorproduktet er højreeksakt er Tor RC (R, M) R RC M M C, hvor M C =
19 FAGPROJEKT 19 M/R{(α 1 cod(α) )m} er den største kvotient af M hvor RC virker trivielt. Den sidste isomorfi er induceret af den bilineære afbildning f : R M M/R{(α 1 cod(α) )m} givet ved f( x Ob C r x, x Ob C m x ) = x r x m x. Generelt gælder Hom RC (P 0, M) x Ob(C) 1 x M. Så antag Ob(C) er endelig; så er Hom RC (P 0, M) M. Da kontravariant Hom er venstreeksakt, er Ext 0 RC Hom RC (R, M) M C, hvor M C = {m M αm = 1 cod(α) m} er største undermodul af M, hvor RC virker trivielt. Sidste isomorfi er givet ved φ φ( x 1 x ) Kategorier med initialt eller terminalt objekt. Lad M være en vilkårlig RC-modul. Så er der en asymmetri i den projektive resolution for R som gør at (ko)homologien af C ikke nødvendigvis er lig (ko)homologien af C op i modsætning til hvis M = R, jf. sætning 6.2. Så lad mig starte med at antage, at C har et initialt objekt a. Lad P R være standard-resolutionen af R. For n 0 definer h n : P n P n+1 ved h n (x x 0 x n ) = (x x 0 x n a) Dette giver mening, da det eksisterer netop 1 morfi a x n. Og h n er en RC-homomorfi. Det ses let, at d n+1 h n + h n 1 d n = 1 for n 1, så h er en kontraherende homotopi, bortset fra i dimension 0. Givet n 1 og φ Hom RC (P n, M) er (Hom(h n, M) Hom(d n+1, M) + Hom(d n, M) Hom(h n 1, M))(φ) = φ d n+1 h n + φ h n 1 d n = φ (d n+1 h n + h n 1 d n ) = φ Så Hom RC (h, M) er en kontraherende homotopi i dimension 1 og H n (C, M) = 0 for n 1. Bemærk at hvis t er et terminalt objekt for C at g n (x x 0 x n ) = (t x x 0 x n ) definerer en R-homomorfi, men ikke en RC-homomorfi, så Hom RC (g n, M) eksisterer ikke. Derfor kan ovenstående argument ikke modificeres til at fungere i tilfældet hvor C har et terminalt, men ikke et initialt objekt. Her er et eksempel på en sådan kategori: Eksempel 7.1. Antag D er kategorien med tre objekter x, y og z og præcis to ikke-identitets-morfier f : x z og g : y z. Så er z terminalt objekt, men der er intet initialt objekt. Lad (P, d) være den normaliserede standard-resolution af R. Så er P n = 0 for n 2, så kun d 1 0. Sæt δ = Hom RD (d 1, M). Vi har P 0 = RD og P 1 = F z {[f], [g]}. Lad φ Hom(P 0, M) og m = Φ 0 (φ), m = 1 x m x + 1 y m y + 1 z m z. Så er δ(φ)([f]) = (f 1 z )m = 1 z (fm x m z ) δ(φ)([g]) = (g 1 z )m = 1 z (gm x m z )
20 20 TOKE NØRGÅRD-SØRENSEN Vi har en R-isomorfi Φ 1 : Hom(P 1, M) 1 z M 1 z M givet ved Φ 1 (ψ) = (ψ([f]), ψ([g])). Antag nu, at 1 z M 0, men fm = gm = 0 for alle m M. Så er Im(Φ 1 δ) = {(m, m) m 1 z M}. Dermed er H 1 (D, M) (1 z M 1 z M)/ Im(Φ 1 δ) 1 z M. Antag nu, at C har et terminalt objekt og lad nu P R betegne standard-resolutionen af R som højre-modul altså standardresolutionen over RC op. Så har C op et initialt objekt, så en kontraherende homotopi h kan defineres akkurat som h ovenfor, blot er nu h n en RC op -homomorfi. Det tjekkes nu let, at h 1 M giver en kontraherende homotopi på P M (stadig bortset fra dimension 0), så H n (C, M) = 0 for n 1. Eksempel 7.2. Dette eksempel er en fortsættelse af eksempel 7.1. D op er et initialt, men ikke noget terminalt, objekt. Jeg vil vise, at H 1 (D op, R) 0. P er en resolution af R som højremodul over RD op. Vi har P 0 M M og P 1 M 1 z M 1 z M via isomorfien ([f]1 z m 1 + [g]1 z m 2 ) (1 z m 1, 1 z m 2 ). Homomorfien 1 : 1 z M 1 z M M induceret af d 1 er givet som 1 (1 z m 1, 1 z m 2 ) = (f 1 z )m 1 +(g 1 z )m 2 = 1 z m z m 2. Så H 1 (D op, R) Ker( 1 ) 1 z M Den cykliske gruppe af orden 2. Antag C er kategorien svarende til den cykliske gruppe af orden to kald objektet x og den frembringende morfi f, f 2 = 1 x. Så er C RP, det uendeligtdimensionale reelle projektive rum. Jeg vil udregne Ext F2 C(F 2, F 2 ), hvor F 2 er legemet af orden to. Jeg vil bruge Φ og Ψ i samme betydning som i afsnit 3. Den normaliserede standard-resolution af F 2 har formen F 2 C d 2 F 2 C d 1 F 2 C ɛ F 2 0 da der kun er 1 ikke-degenereret kæde af morfier i hver dimension. Vi har d n (1 x ) = d n (f) = 1 x + f x (her er det rart, at vores basisring F 2 har karakteristik 2) og ɛ(1 x ) = ɛ(f) = 1. For et φ Hom F2 C(F 2 C, F 2 ) er φ(1 x ) = φ(f), så φd n = 0 for alle n 1. Da desuden F 2 Hom F2 C(F 2 C, F 2 ) fås, at Ext n F 2 C(F 2, F 2 ) F 2 for alle n 0 så som R-modul er Ext F2 C(F 2, F 2 ) F 2 n 0 Lad de to elementer i grad n være betegnet 0x n og 1x n. Ψ(0x n ), n 1: Push-outet af 0: F 2 C F 2 og d n : F 2 C F 2 C er (F 2 F 2 C)/F 2 (0, 1 x + f) F 2 F 2. Så ekstensionen bliver α 0 F n α n 1 2 F2 F 2 F2 C d n 2 F 2 C F 2 0 hvor α n (a) = (a, 0) og α n 1 (a, b) = b(1 x + f). Ψ(1x n ), n 1: Elementet 1x n svarer til homomorfien ɛ: F 2 C F 2 og push-outet af ɛ og d n er (F 2 F 2 C)/F 2 (1, 1 x +f) F 2 C. Så ekstensionen
21 bliver FAGPROJEKT 21 β n 0 F 2 F2 C d n 1 F 2 C d n 2 F 2 C F 2 0 hvor β n (a) = a(1 x + f). Da β n ɛ = d n følger det, at produktet af Ψ(1x n ) og Ψ(1x m ) er Ψ(1x n+m ). Så (1x n )(1x m ) = 1x n+m og dette gælder også hvis n = 0 eller m = 0. Produktet af Ψ(ax n ) og Ψ(bx m ) hvor a = 0 eller b = 0 vil have formen E = F 2 F 2 F 2 C d k 1 d1 F 2 C F 2 0 Jeg vil finde Φ(E), så antag der for E er valgt løft φ i for i = 0,..., k (som i diagram 3.1). Så er φ k (1 x + f) = (1 x + f)φ k (1 x ) = 2φ k (1 x ) = 0, så φ k d k+1 = 0. Dermed kan løftene φ k+1,..., φ n+m vælges lig 0, og Φ(E) = 0x n+m. Altså er (ax n )(bx m ) = abx n+m også hvis n = 0 eller m = 0. Dermed er produktet på Ext F2 C(F 2, F 2 ) fastlagt, og det ses, at Ext F2 C(F 2, F 2 ) F 2 [x] hvor F 2 [x] er polynomiumsalgebraen over F 2 i en variabel. Litteratur 1. K. S. Brown. Cohomology of Groups. Springer-Verlag, New York W. G. Dwyer and J. Spalinski. Homotopy theories and model categories. University of Notre Dame, Indiana. 3. A. Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press, New York P. Webb. An Introduction to the Representations and Cohomology of Categories. University of Minnesota, Minneapolis. 5. Wikipedia. Derived functor. 28. maj Wikipedia. Ext functor. 30. juli
Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe
D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatprojekt i matematik Sune Precht Reeh Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereMatematik: Videnskaben om det uendelige 1
Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereMatematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Læs mereGruppekohomologi og Gruppeudvidelser
DET NATURVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Lise Volsing Smith Gruppekohomologi og Gruppeudvidelser Bachelorprojekt i matematik. Institut for matematiske fag, Københavns Universitet Bachelor
Læs mereDEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER. n 2 v 1. n 1. v 2. n 1 3(n 0 2) n 2 2(n 0 2)
DEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER ISABELLE LAUDE = {, n 0 {}}{ {v 0 },..., n 1 {}}{ {v 1, v 1},..., n 2 {}}{ {v 2, v 2, v 2 },..., } v 1 v 2 v 2 v 0 v 1 v 2 = S 1 = = n 1 n 0 = S 2 = =. n
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereKommutativ algebra II, 2005
Kommutativ algebra II, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra II, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereFacitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].
Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mere- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Syntetisk differentialgeometris grundlæggelse i kategoriteori Lasse Grinderslev Andersen Juni 2010 nr. 471-2010 Roskilde University, Department of Science, Systems and
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mereTypes, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi
Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs merep = d, q = multiplikation med x, dx hvor d T θ har entydig (normaliseret) spor, dvs. en linear afbilding τ : T θ C
1. Den ikke-kommutative verden 1.1. Lidt historie. Historien begynder samtidig med det tyvende århundrede, med opdagelse af de sære egenskaber af mikrokosmos såsom spektra af atomer og molekyler, fotoelektrisk
Læs mereFacitliste til nyere eksamensopgaver
Facitliste Facitliste til nyere eksamensopgaver Listen indeholder facit (eller vink) til eksamensopgaverne (i MatAL, Alg og ) fra sommeren 003 og fremefter. Bemærk, at de facitter, der står på listen,
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereFundamentalgruppen af plane mængder
Fundamentalgruppen af plane mængder Jesper Just Højgaard 1. juli 2004 Speciale for cand. scient. graden i matematik ved Københavns Universitet. Vejleder: Jesper Michael Møller. Indhold 1 Indledning 3 2
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereMATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1
PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereKommutativ algebra, 2005
Kommutativ algebra, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereTrykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori
9. januar 2005 Stat 2A / EH Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2A-noterne indtil nu. 9 1 Forkert: x C x ro alle
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereEuler-karakteristik for fusionskategorier
Euler-karakteristik for fusionskategorier Martin Wedel Jacobsen 17. april 2010 Indledning Der findes mange forskellige metoder til delvis klassifikation af endelige grupper. En af de mest velkendte er
Læs mereSelvreference i begrænsningsresultaterne
Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereAlgebraisk K-teori og sporinvarianter
Algebraisk K-teori og sporinvarianter Lars Hesselholt Algebraisk K-teori Algebraisk K-teori defineret af Quillen er af natur multiplikativ. Med sporinvarianter indlejrer man denne teori i en additiv teori,
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mere1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereHyperelliptisk kurve kryptografi
Christian Robenhagen Ravnshøj NKS November 2007 Elliptiske kurver Gruppelov på elliptisk kurve R P Q P Q R = 0. Elliptiske kurver Elliptisk kurve kryptografi Gruppelov giver krypto baseret på elliptisk
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 9 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske variable,
Læs mereSelv-absorberende C*-algebraer
Selv-absorberende C*-algebraer Speciale af Randi Rohde 5. marts 006 Vejleder: Mikael Rørdam Indhold Indledning Tensorprodukter 3. Indledende resultater................................. 3. Fuldstændigt
Læs mereMatematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014
Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere1: Fundamentale begreber.
Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereVe j l e d e r : Je n s Ca r s t e n Ja n t z e n
Simple Lie-algebraer over vilkårlige legemer (Simple Lie algebras over arbitrary fields) Bachelorprojekt i matematik Sebastian Ørsted Ve j l e d e r : Je n s Ca r s t e n Ja n t z e n 20117762 21. august
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereNoter til Matematik 3AG Algebra og geometri
Pakke Mat 3AG 1994 Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri Anders Thorup 1 Noter til Matematik 3AG, 1994 Om ringe og moduler. 1. Nogle grundbegreber, s. 1 8 2. Kerne og kokerne. Exakte følger, s. 1
Læs mereMatroider Majbritt Felleki
18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte
Læs mere