Algebraisk K-teori og sporinvarianter
|
|
- Karina Lauridsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Algebraisk K-teori og sporinvarianter Lars Hesselholt Algebraisk K-teori Algebraisk K-teori defineret af Quillen er af natur multiplikativ. Med sporinvarianter indlejrer man denne teori i en additiv teori, som man lettere kan forstå. Dette muliggør en bestemmelse den algebraiske K-teori (med koefficienter) af henselske diskrete valuationslegemer af blandet karakteristik. Lad mig først forklare den forventede struktur af den algebraiske K-teori af et legeme k. Tilsammen udgør grupperne K (k) en sammenhængende gradueret ring. Endvidere er der en kanonisk isomorfi l: k K 1 (k), og l(x) l(1 x) = 0. Det universelle eksempel på denne algebraiske struktur kaldes Milnor K-teori og betegnes K M (k) [21]. Det er let at beskrive disse grupper ved frembringere og relationer, men det er normalt ganske svært at bestemme deres struktur. Den kanoniske afbildning Kq M (k) K q (k) viser sig at være en isomorfi for q 2. Lad os nu betragte K-teori med endelige koefficienter. (De rationale K-grupper, som også er af stor interesse, er helt anderledes af natur [8, 9].) Grupperne K (k, Z/m) udgør en anti-kommutativ Dette arbejde var støttet af midler fra National Science Foundation og Alfred P. Sloan Foundation gradueret Z/m-algebra, og hvis k indeholder de mte enhedsrødder, findes der en kanonisk løftning K 2 (k, Z/m) b β m l µ m K 1 (k), som til en primitiv mte enhedsrod ζ tilordner det såkaldte Bott element b ζ. Ved at anvende den multiplikative struktur kan vi udvide b til en afbildning af graduerede ringe S Z/m (µ m ) K (k, Z/m). (S Z/m (µ m ) er en polynomiumsalgebra på en enkelt ikkekanonisk frembringer af grad 2.) En række formodninger af Beilinson og Lichtenbaum forudsiger, at den samlede afbildning K M (k) S Z/m (µ m ) K (k, Z/m) er en isomorfi [1, 19]. Der findes typisk et N, sådan at Kq M (k)/m = 0 for q > N. Formodningen siger derfor specielt, at K (k, Z/m) er (Bott-)periodisk i grader større end eller lig med N. I tilfældet m = 2 v følger formodningen fra Voevodskys bevis for Milnors Galois kohomologi formodning. Vi skal her betragte henselske diskrete valuationslegemer af blandet karakteristik (0, p), hvor p er ulige, og m = p v [15, 10]. Alle ringe i denne artikel antages kommutative med enhed. 1
2 De Rham-Witt komplekset Lad V være en henselsk (f.eks. komplet) diskret valuationsring med kvotientlegeme K af karakteristik 0 og restlegeme k af ulige karakteristik p. (I skrivende stund er det nødvendigt yderligere at antage, at V er af geometrisk type [13].) Det simpleste eksempel på en sporinvariant er den logaritmiske afledede (K) Ω (V,M), K M der til et symbol {a 1,..., a q } tilordner differentialformen d log a 1... d log a q. Højresiden er de Rham komplekset med log poler defineret af Kato: en log-ring (A, M) består af en ring A og en afbildning af monoider α: M (A, ); en log-differential-gradueret ring (E, M) består af en differentialgradueret ring E og afbildninger af monoider α: M (E 0, ) og d log : M (E 1, +) som opfylder d d log = 0 og dα(a) = α(a)d log a for alle a M; de Rham komplekset Ω (A,M) er per definition den universelle log-differential-graduerede ring med underliggende log-ring (A, M). Vi vil altid give V den kanoniske log struktur α: M = V K V. (Man har da naturlige eksakte følger 0 Ω q V Ωq (V,M) Ωq 1 k 0.) Den logaritmiske afledede er imidlertid langt fra at være injektiv. Det viser sig, at man kan råde bod på dette ved hjælp af Witt vektor konstruktionen. Ringen af Witt vektorer hørende til en ring A, er givet ved mængden af vektorer W (A) = {(a 0, a 1,... ) a i A} udstyret med en ny ringstruktur, hvor ringoperationerne er visse polynomielle funktioner i koordinaterne, se [14]. Projektionen på første faktor W (A) A er en naturlig ringhomomorfi med en entydig naturlig multiplikativ sektion givet ved [ ]: A W (A), [a] = (a, 0, 0,... ). Hvis κ er et perfekt legeme af positiv karakteristik p, så er W (κ) den entydigt (op til entydig isomorfi) bestemte komplete diskrete valuationsring af blandet karakteristik (0, p) med W (κ)/p κ. Generelt er W (A) den inverse limes af ringene W n (A) af Witt vektorer af længde n. Men istedet for at danne denne limes er det bedre at betragte hele limessystemet W (A) som en pro-ring. Der er en naturlig afbildning Frobenius af pro-ringe F : W (A) W 1 (A) og en naturlig afbildning Verschiebung af W (A)-moduler V : F W 1 (A) W (A). Vi bemærker også, at hvis (A, M) er en log-ring, da vil sammensætningen M α A [ ] W (A) gøre (W (A), M) til en pro-log ring. Det viser sig, at man på naturlig vis kan kombinere differentialformer og Witt vektorer i en konstruktion, der kaldes de Rham- Witt komplekset. Dette blev først udført for F p -algebraer af Bloch-Deligne-Illusie [3, 17] 2
3 med det mål at opnå en bedre forståelse af Berthelot-Grothendiecks krystallinske kohomologi [2]. Den følgende udvidelse til log- Z (p) -algebraer (p ulige) blev opnået i samarbejde med Ib Madsen [14, 15]: Lad (A, M) være en log-ring, for hvilken A er en Z (p) - algebra (p ulige). Et Witt kompleks over (A, M) er per definition: (i) en pro-log differential gradueret ring (E, M E ) og en afbildning af pro-log ringe λ: (W (A), M) (E 0, M E ); (ii) en afbildning af pro-log-graduerede ringe F : E sådan at λf = F λ og E 1, F d log n a = d log n 1 a, for alle a M, F d λ[a] n = λ[a] p 1 n 1d λ[a] n 1, for alle a A; (iii) en afbildning af pro-graduerede moduler over den pro-graduerede ring E V : F E 1 E, sådan at λv = V λ, F V = p og F dv = d. En afbildning af Witt komplekser over (A, M) er en afbildning af pro-logdifferential-graduerede ringe, der kommuterer med afbildningerne λ, F og V. Det følger fra en generel sætning i kategoriteori, at der findes et universelt Witt kompleks over (A, M), og dette er per definition de Rham-Witt komplekset W Ω (A,M). Vi kan nu løfte den logaritmiske afledede til en afbildning K M q (K) W n Ω q (V,M), der til symbolet {a 1,..., a q } tilordner d log n a 1... d log n a q. Som den følgende sætning opnået i samarbejde med Thomas Geisser viser, giver denne sporafbildning et bedre billede af Milnors K-grupper [10]. Sætning 1 Hvis µ p v K, og hvis k er separabelt lukket, inducerer sporafbildningen en isomorfi af pro-abelske grupper K M q (K)/p v ( W Ω q (V,M) /pv) F =1. I beviset definerer vi en (ikke-kanonisk) k- vektorrumsstruktur på W n Ω q (V,M)/p og finder en eksplicit basis. Dimensionen er ( ) ( r + 1 dim k Wn Ω q (V,M) /p) n 1 = e p rs, q s=0 hvor k : k p = p r og pv = m e. Dernæst udregner vi kernen for 1 F og sammenligner resultatet med Kq M (K)/p, som er kendt fra en tidligere udregning af Kato [18, 4]. Der gælder en lignende sætning uden antagelsen, at k er separabelt lukket [13]. Antagelsen, at µ p v K, er formentlig heller ikke nødvendig. Sætning 1 har følgende globale analog. Lad V 0 være en henselsk diskret valuationsring med kvotientlegeme K 0 af karakteristik 0 og med perfekt restlegeme k 0 af ulige karakteristik p. Lad X være et glat V 0 -skema, og lad i (resp. j) betegne inklusionen af den specielle (resp. generelle) fiber: X Spec K 0 j X i Y Spec V 0 Spec k 0. 3
4 Antag yderligere, at µ p v K 0. Det følger da af beviset for sætning 1, at der er en isomorfi af sheaves af pro-abelske grupper på Y i den étale topologi i R q j Z/p v (q) ( i (W Ω q (X,M) /pv ) ) F =1. Det cyklotomiske spor Svarende til den logaritmiske afledede for Milnor K-teori har man for Quillens K-teori det topologiske Dennis spor K (K) THH (V K) til topologiske Hochschild homologi defineret af Marcel Bökstedt [5]. (Vi benytter her en variant af denne konstruktion, som skyldes Dundas-McCarthy [7, 20, 15].) Grupperne THH (V K) udgør en log-differentialgradueret ring med underliggende log-ring (V, M) [15], hvor afbildningen d log er givet ved sammensætningen M = V K Den kanoniske afbildning l K 1 (K) THH 1 (V K). Ω q (V,M) THH q(v K), som er kompatibel med sporafbildningerne fra Milnor og Quillen K-teori, er en isomorfi for q 2. I lighed med den logaritmiske afledede er det topologiske Dennis spor langt fra at være injektiv. Dette kan afhjælpes ved en konstruktion, der skyldes Bökstedt- Hsiang-Madsen, og som i retrospekt kan betragtes som en kombination af topologisk Hochschild homologi og Witt vektorer. Jeg vil nu genkalde denne konstruktion: det cyklotomiske spor [6, 11]. Det topologiske Dennis spor er defineret som den inducerede afbildningen på homotopigrupper hørende til en kontinuert afbildning mellem topologiske rum K(K) THH(V K). Som en følge af Connes teori om cykliske mængder har rummet på højre side en kontinuert virkning af cirkelgruppen T. Desuden er billedet af sporet indeholdt i fixmængden for T-virkningen. Man definerer nu TR n (V K; p) = THH(V K) C p n 1 til at være fixmængden for undergruppen C p n 1 T af orden p n 1. Det viser sig da, at homotopigrupperne TR n q (V K; p) = π q (TR n (V K; p)) udgør et Witt kompleks over (V, M) [16, 12, 15]. Frobenius-afbildningen F er induceret af den naturlige inklusionsafbildning og Verschiebung-afbildningen V af den tilhørende transfer. Men det er noget vanskeligere at definere strukturafbildningerne i limessystemet samt afbildningen λ; se [6] og [16]. Det topologiske Dennis spor inducerer en afbildning af pro-abelske grupper K q (K) TR q(v K; p), og dette er det cyklotomiske spor. Billedet er indeholdt i fixmængden for Frobeniusoperatoren. Den kanoniske afbildning W n Ω q (V,M) TRn q (V K; p), 4
5 som er kombatibel med sporafbildningerne fra Milnor og Quillen K-teori, er en isomorfi for q 2. Den følgende sætning, der er analog til sætning 1, er et resultat af samarbejder med Thomas Geisser [11] og Ib Madsen [16, 15]. Sætning 2 Hvis k er separabelt lukket, da inducerer det cyklotomiske spor en isomorfi af pro-abelske grupper K q (K, Z/p v ) TR q(v K; p, Z/p v ) F =1. Der er en mere generel version af denne sætning, hvor antagelsen, at k er separabelt lukket, kan udelades [13]. Det er heller ikke nødvendigt, at V er af geometrisk type. Tate spektralfølgen Hvis G er endelig gruppe og X et G-rum, er det normalt ikke muligt bestemme homotopigrupperne af fixmængden X G udfra kendskab til homotopigrupperne af X med deres inducerede G-virkning. Ved første blik er det dette problem, man står over for, hvis man ønsker at bestemme grupperne TR n q (V K; p) = π q ( THH(V K) C p n 1 ). Det viser sig imidlertid, at afbildningsfiberen af strukturafbildningen TR n (V K; p) TR n 1 (V K; p) lader sig identificere med Borel banerummet H (C p n 1, THH(V K)), hvis homotopigrupper er givet ved en spektralfølge E 2 s,t = H s (C p n 1, THH t (V K)) π s+t H (C p n 1, THH(V K)). Dette antyder muligheden af at udregne grupperne TR n q (V K; p) induktivt ved at løse disse spektralfølger. I praksis løser man i stedet en lignende spektralfølge Tate spektralfølgen som har bedre algebraiske egenskaber, og som desuden indeholder information om strukturafbildningerne i limessystemet TR (V K; p). Det er herved muligt at vise den følgende sætning, som er kulminationen på et tiårigt langt samarbejde med Ib Madsen. Sætning 3 Hvis µ p v K, er den kanoniske afbildning W Ω (V,M) S Z/p v(µ p v) TR (V K; p, Z/p v ) en isomorfi af pro-abelske grupper. Ved kombination af sætningerne 1, 2 og 3 får vi nu den følgende sætning, som bekræfter Beilinson og Lichtenbaums formodning for legemet K [15, 10]. Denne sætning er også gyldig, selvom k ikke er separabelt lukket. Sætning 4 Hvis µ p v K, da er den kanoniske afbildning K M (K) S Z/p v(µ p v) K (K, Z/p v ) en isomorfi. 5
6 References [1] A. A. Beilinson, Height pairing between algebraic cycles, K-theory, arithmetic and geometry (Moscow, ), Lecture Notes in Math., vol. 1289, Springer-Verlag, 1987, pp [2] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schemas de caracteristique p > 0, Lecture Notes in Math., vol. 407, Springer- Verlag, [3] S. Bloch, Algebraic K-theory and crystalline cohomology, Publ. Math. I.H.E.S. 47 (1977), [4] S. Bloch and K. Kato, p-adic etale cohomology, Publ. Math. IHES 63 (1986), [5] M. Bökstedt, Topological Hochschild homology, Preprint 1985, Universität Bielefeld. [6] M. Bökstedt, W.-C. Hsiang, and I. Madsen, The cyclotomic trace and algebraic K-theory of spaces, Invent. Math. 111 (1993), [7] B. I. Dundas and R. McCarthy, Topological Hochschild homology of ring functors and exact categories, J. Pure Appl. Alg. 109 (1996), [8] J. L. Dupont, Algebra of polytopes and homology of flag complexes, Osaka J. Math. 19 (1982), [9] J. L. Dupont and C.-H. Sah, Scissors congruences, II, J. Pure Appl. Alg. 25 (1982), [10] T. Geisser and L. Hesselholt, On the K-theory of a henselian discrete valuation field with non-perfect residue field, Preprint [11], Topological cyclic homology of schemes, K-theory (Seattle, 1997), Proc. Symp. Pure Math., vol. 67, 1999, pp [12] L. Hesselholt, On the p-typical curves in Quillen s K-theory, Acta Math. 177 (1997), [13], Algebraic K-theory and trace invariants, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Beijing, China, 2002), vol. 2, Higher Education Press, Beijing, China, 2002, pp [14] L. Hesselholt and I. Madsen, On the de Rham-Witt complex in mixed characteristic, Preprint [15], On the K-theory of local fields, Ann. Math. (to appear). [16], On the K-theory of finite algebras over Witt vectors of perfect fields, Topology 36 (1997), [17] L. Illusie, Complexe de de Rham-Witt et cohomologie cristalline, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. (4) 12 (1979),
7 [18] K. Kato, Galois cohomology of complete discrete valuation fields, Algebraic K-theory, Part II (Oberwolfach, 1980), Lecture Notes in Math., vol. 967, Springer, Berlin-New York, 1982, pp [19] S. Lichtenbaum, Values of zeta-functions at non-negative integers, Number theory, Lecture Notes in Math., vol. 1068, Springer-Verlag, 1983, pp [20] R. McCarthy, The cyclic homology of an exact category, J. Pure Appl. Alg. 93 (1994), [21] J. Milnor, Algebraic K-theory and quadratic forms, Invent. Math. 9 (1970),
Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereHyperelliptisk kurve kryptografi
Christian Robenhagen Ravnshøj NKS November 2007 Elliptiske kurver Gruppelov på elliptisk kurve R P Q P Q R = 0. Elliptiske kurver Elliptisk kurve kryptografi Gruppelov giver krypto baseret på elliptisk
Læs mere1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereDEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER. n 2 v 1. n 1. v 2. n 1 3(n 0 2) n 2 2(n 0 2)
DEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER ISABELLE LAUDE = {, n 0 {}}{ {v 0 },..., n 1 {}}{ {v 1, v 1},..., n 2 {}}{ {v 2, v 2, v 2 },..., } v 1 v 2 v 2 v 0 v 1 v 2 = S 1 = = n 1 n 0 = S 2 = =. n
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereSandsynlighedsbaserede metoder
48 Metodeartikel Sandsynlighedsbaserede metoder Et førstehåndsindtryk med pseudotilfældige tal Daniel Kjær For nogle uger siden pålagde jeg mig selv den opgave at aflevere to artikler til Famøs om Monte
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereGeom2-dispositioner (reeksamen)
Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereStuderende: Ole Lund Jensen Dato: Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer.
Specialekontrakt Studerende: Ole Lund Jensen Dato: 27.06.02 Vejleder: Søren Eilers Censor: Anders Jensen 1. Forventet indhold Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer. Hovedfokus: Kvantitativ analyse
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereMatroider Majbritt Felleki
18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte
Læs mereUniversity of Copenhagen Faculty of Science Written Exam April Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 16. April 2010 Algebra This exam contains 5 exercises which are to be solved in hours. The exercises are posed in an English and in a Danish version.
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mereInteger Factorization
Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder
Læs mereMatematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs merep = d, q = multiplikation med x, dx hvor d T θ har entydig (normaliseret) spor, dvs. en linear afbilding τ : T θ C
1. Den ikke-kommutative verden 1.1. Lidt historie. Historien begynder samtidig med det tyvende århundrede, med opdagelse af de sære egenskaber af mikrokosmos såsom spektra af atomer og molekyler, fotoelektrisk
Læs mereLINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereUniversity of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs mereKaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)
Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereSpingrupper og spinrepræsentationer Søren Ladegaard Kristensen
40 Formidlingsaktivitet Spingrupper og spinrepræsentationer Søren Ladegaard Kristensen Indledning Som en del af kandidatuddannelsen i matematik forlanges det, at den studerende udfører visse formidlingsaktiviteter.
Læs mereFejlkorrigerende koder Toriske varieteter, specielt Hirzebruch flader
Fejlkorrigerende koder Toriske varieteter, specielt Hirzebruch flader Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus Universitet Trondheim, den 18. Oktober 2002 0-0 Informationsoverførsel.
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereKapitel 4: Nyttefunktioner
Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereMatilde 14 foreligger ikke som samlet PDF-fil. Dette dokument er en samling af de Word- (konverteret til PDF) og PDF-filer der var at finde i Matilde
Matilde 14 foreligger ikke som samlet PDF-fil. Dette dokument er en samling af de Word- (konverteret til PDF) og PDF-filer der var at finde i Matilde arkivet vedr. Matilde 14. MATH-AU 2015-11-18 Af: Johan
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereArealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mere13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius
SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereKonstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit
Keeping it real Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit Speciale 10. januar 2018 Pernille Andersen Rikke Bod Lund Matematisk Institut Skjernvej 4A 9220 Aalborg
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mereMængdelære og kategoriteori Anders Kock
Mængdelære og kategoriteori Anders Kock Opsummering: teorien for kategorien af mængder er realistisk grundlag for matematik i (begyndelsen af) det 21. århundrede. Jeg er blevet bedt om at sige noget om
Læs mereDefinition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Læs mereKomplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mere