Algebraisk K-teori og sporinvarianter

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Algebraisk K-teori og sporinvarianter"

Transkript

1 Algebraisk K-teori og sporinvarianter Lars Hesselholt Algebraisk K-teori Algebraisk K-teori defineret af Quillen er af natur multiplikativ. Med sporinvarianter indlejrer man denne teori i en additiv teori, som man lettere kan forstå. Dette muliggør en bestemmelse den algebraiske K-teori (med koefficienter) af henselske diskrete valuationslegemer af blandet karakteristik. Lad mig først forklare den forventede struktur af den algebraiske K-teori af et legeme k. Tilsammen udgør grupperne K (k) en sammenhængende gradueret ring. Endvidere er der en kanonisk isomorfi l: k K 1 (k), og l(x) l(1 x) = 0. Det universelle eksempel på denne algebraiske struktur kaldes Milnor K-teori og betegnes K M (k) [21]. Det er let at beskrive disse grupper ved frembringere og relationer, men det er normalt ganske svært at bestemme deres struktur. Den kanoniske afbildning Kq M (k) K q (k) viser sig at være en isomorfi for q 2. Lad os nu betragte K-teori med endelige koefficienter. (De rationale K-grupper, som også er af stor interesse, er helt anderledes af natur [8, 9].) Grupperne K (k, Z/m) udgør en anti-kommutativ Dette arbejde var støttet af midler fra National Science Foundation og Alfred P. Sloan Foundation gradueret Z/m-algebra, og hvis k indeholder de mte enhedsrødder, findes der en kanonisk løftning K 2 (k, Z/m) b β m l µ m K 1 (k), som til en primitiv mte enhedsrod ζ tilordner det såkaldte Bott element b ζ. Ved at anvende den multiplikative struktur kan vi udvide b til en afbildning af graduerede ringe S Z/m (µ m ) K (k, Z/m). (S Z/m (µ m ) er en polynomiumsalgebra på en enkelt ikkekanonisk frembringer af grad 2.) En række formodninger af Beilinson og Lichtenbaum forudsiger, at den samlede afbildning K M (k) S Z/m (µ m ) K (k, Z/m) er en isomorfi [1, 19]. Der findes typisk et N, sådan at Kq M (k)/m = 0 for q > N. Formodningen siger derfor specielt, at K (k, Z/m) er (Bott-)periodisk i grader større end eller lig med N. I tilfældet m = 2 v følger formodningen fra Voevodskys bevis for Milnors Galois kohomologi formodning. Vi skal her betragte henselske diskrete valuationslegemer af blandet karakteristik (0, p), hvor p er ulige, og m = p v [15, 10]. Alle ringe i denne artikel antages kommutative med enhed. 1

2 De Rham-Witt komplekset Lad V være en henselsk (f.eks. komplet) diskret valuationsring med kvotientlegeme K af karakteristik 0 og restlegeme k af ulige karakteristik p. (I skrivende stund er det nødvendigt yderligere at antage, at V er af geometrisk type [13].) Det simpleste eksempel på en sporinvariant er den logaritmiske afledede (K) Ω (V,M), K M der til et symbol {a 1,..., a q } tilordner differentialformen d log a 1... d log a q. Højresiden er de Rham komplekset med log poler defineret af Kato: en log-ring (A, M) består af en ring A og en afbildning af monoider α: M (A, ); en log-differential-gradueret ring (E, M) består af en differentialgradueret ring E og afbildninger af monoider α: M (E 0, ) og d log : M (E 1, +) som opfylder d d log = 0 og dα(a) = α(a)d log a for alle a M; de Rham komplekset Ω (A,M) er per definition den universelle log-differential-graduerede ring med underliggende log-ring (A, M). Vi vil altid give V den kanoniske log struktur α: M = V K V. (Man har da naturlige eksakte følger 0 Ω q V Ωq (V,M) Ωq 1 k 0.) Den logaritmiske afledede er imidlertid langt fra at være injektiv. Det viser sig, at man kan råde bod på dette ved hjælp af Witt vektor konstruktionen. Ringen af Witt vektorer hørende til en ring A, er givet ved mængden af vektorer W (A) = {(a 0, a 1,... ) a i A} udstyret med en ny ringstruktur, hvor ringoperationerne er visse polynomielle funktioner i koordinaterne, se [14]. Projektionen på første faktor W (A) A er en naturlig ringhomomorfi med en entydig naturlig multiplikativ sektion givet ved [ ]: A W (A), [a] = (a, 0, 0,... ). Hvis κ er et perfekt legeme af positiv karakteristik p, så er W (κ) den entydigt (op til entydig isomorfi) bestemte komplete diskrete valuationsring af blandet karakteristik (0, p) med W (κ)/p κ. Generelt er W (A) den inverse limes af ringene W n (A) af Witt vektorer af længde n. Men istedet for at danne denne limes er det bedre at betragte hele limessystemet W (A) som en pro-ring. Der er en naturlig afbildning Frobenius af pro-ringe F : W (A) W 1 (A) og en naturlig afbildning Verschiebung af W (A)-moduler V : F W 1 (A) W (A). Vi bemærker også, at hvis (A, M) er en log-ring, da vil sammensætningen M α A [ ] W (A) gøre (W (A), M) til en pro-log ring. Det viser sig, at man på naturlig vis kan kombinere differentialformer og Witt vektorer i en konstruktion, der kaldes de Rham- Witt komplekset. Dette blev først udført for F p -algebraer af Bloch-Deligne-Illusie [3, 17] 2

3 med det mål at opnå en bedre forståelse af Berthelot-Grothendiecks krystallinske kohomologi [2]. Den følgende udvidelse til log- Z (p) -algebraer (p ulige) blev opnået i samarbejde med Ib Madsen [14, 15]: Lad (A, M) være en log-ring, for hvilken A er en Z (p) - algebra (p ulige). Et Witt kompleks over (A, M) er per definition: (i) en pro-log differential gradueret ring (E, M E ) og en afbildning af pro-log ringe λ: (W (A), M) (E 0, M E ); (ii) en afbildning af pro-log-graduerede ringe F : E sådan at λf = F λ og E 1, F d log n a = d log n 1 a, for alle a M, F d λ[a] n = λ[a] p 1 n 1d λ[a] n 1, for alle a A; (iii) en afbildning af pro-graduerede moduler over den pro-graduerede ring E V : F E 1 E, sådan at λv = V λ, F V = p og F dv = d. En afbildning af Witt komplekser over (A, M) er en afbildning af pro-logdifferential-graduerede ringe, der kommuterer med afbildningerne λ, F og V. Det følger fra en generel sætning i kategoriteori, at der findes et universelt Witt kompleks over (A, M), og dette er per definition de Rham-Witt komplekset W Ω (A,M). Vi kan nu løfte den logaritmiske afledede til en afbildning K M q (K) W n Ω q (V,M), der til symbolet {a 1,..., a q } tilordner d log n a 1... d log n a q. Som den følgende sætning opnået i samarbejde med Thomas Geisser viser, giver denne sporafbildning et bedre billede af Milnors K-grupper [10]. Sætning 1 Hvis µ p v K, og hvis k er separabelt lukket, inducerer sporafbildningen en isomorfi af pro-abelske grupper K M q (K)/p v ( W Ω q (V,M) /pv) F =1. I beviset definerer vi en (ikke-kanonisk) k- vektorrumsstruktur på W n Ω q (V,M)/p og finder en eksplicit basis. Dimensionen er ( ) ( r + 1 dim k Wn Ω q (V,M) /p) n 1 = e p rs, q s=0 hvor k : k p = p r og pv = m e. Dernæst udregner vi kernen for 1 F og sammenligner resultatet med Kq M (K)/p, som er kendt fra en tidligere udregning af Kato [18, 4]. Der gælder en lignende sætning uden antagelsen, at k er separabelt lukket [13]. Antagelsen, at µ p v K, er formentlig heller ikke nødvendig. Sætning 1 har følgende globale analog. Lad V 0 være en henselsk diskret valuationsring med kvotientlegeme K 0 af karakteristik 0 og med perfekt restlegeme k 0 af ulige karakteristik p. Lad X være et glat V 0 -skema, og lad i (resp. j) betegne inklusionen af den specielle (resp. generelle) fiber: X Spec K 0 j X i Y Spec V 0 Spec k 0. 3

4 Antag yderligere, at µ p v K 0. Det følger da af beviset for sætning 1, at der er en isomorfi af sheaves af pro-abelske grupper på Y i den étale topologi i R q j Z/p v (q) ( i (W Ω q (X,M) /pv ) ) F =1. Det cyklotomiske spor Svarende til den logaritmiske afledede for Milnor K-teori har man for Quillens K-teori det topologiske Dennis spor K (K) THH (V K) til topologiske Hochschild homologi defineret af Marcel Bökstedt [5]. (Vi benytter her en variant af denne konstruktion, som skyldes Dundas-McCarthy [7, 20, 15].) Grupperne THH (V K) udgør en log-differentialgradueret ring med underliggende log-ring (V, M) [15], hvor afbildningen d log er givet ved sammensætningen M = V K Den kanoniske afbildning l K 1 (K) THH 1 (V K). Ω q (V,M) THH q(v K), som er kompatibel med sporafbildningerne fra Milnor og Quillen K-teori, er en isomorfi for q 2. I lighed med den logaritmiske afledede er det topologiske Dennis spor langt fra at være injektiv. Dette kan afhjælpes ved en konstruktion, der skyldes Bökstedt- Hsiang-Madsen, og som i retrospekt kan betragtes som en kombination af topologisk Hochschild homologi og Witt vektorer. Jeg vil nu genkalde denne konstruktion: det cyklotomiske spor [6, 11]. Det topologiske Dennis spor er defineret som den inducerede afbildningen på homotopigrupper hørende til en kontinuert afbildning mellem topologiske rum K(K) THH(V K). Som en følge af Connes teori om cykliske mængder har rummet på højre side en kontinuert virkning af cirkelgruppen T. Desuden er billedet af sporet indeholdt i fixmængden for T-virkningen. Man definerer nu TR n (V K; p) = THH(V K) C p n 1 til at være fixmængden for undergruppen C p n 1 T af orden p n 1. Det viser sig da, at homotopigrupperne TR n q (V K; p) = π q (TR n (V K; p)) udgør et Witt kompleks over (V, M) [16, 12, 15]. Frobenius-afbildningen F er induceret af den naturlige inklusionsafbildning og Verschiebung-afbildningen V af den tilhørende transfer. Men det er noget vanskeligere at definere strukturafbildningerne i limessystemet samt afbildningen λ; se [6] og [16]. Det topologiske Dennis spor inducerer en afbildning af pro-abelske grupper K q (K) TR q(v K; p), og dette er det cyklotomiske spor. Billedet er indeholdt i fixmængden for Frobeniusoperatoren. Den kanoniske afbildning W n Ω q (V,M) TRn q (V K; p), 4

5 som er kombatibel med sporafbildningerne fra Milnor og Quillen K-teori, er en isomorfi for q 2. Den følgende sætning, der er analog til sætning 1, er et resultat af samarbejder med Thomas Geisser [11] og Ib Madsen [16, 15]. Sætning 2 Hvis k er separabelt lukket, da inducerer det cyklotomiske spor en isomorfi af pro-abelske grupper K q (K, Z/p v ) TR q(v K; p, Z/p v ) F =1. Der er en mere generel version af denne sætning, hvor antagelsen, at k er separabelt lukket, kan udelades [13]. Det er heller ikke nødvendigt, at V er af geometrisk type. Tate spektralfølgen Hvis G er endelig gruppe og X et G-rum, er det normalt ikke muligt bestemme homotopigrupperne af fixmængden X G udfra kendskab til homotopigrupperne af X med deres inducerede G-virkning. Ved første blik er det dette problem, man står over for, hvis man ønsker at bestemme grupperne TR n q (V K; p) = π q ( THH(V K) C p n 1 ). Det viser sig imidlertid, at afbildningsfiberen af strukturafbildningen TR n (V K; p) TR n 1 (V K; p) lader sig identificere med Borel banerummet H (C p n 1, THH(V K)), hvis homotopigrupper er givet ved en spektralfølge E 2 s,t = H s (C p n 1, THH t (V K)) π s+t H (C p n 1, THH(V K)). Dette antyder muligheden af at udregne grupperne TR n q (V K; p) induktivt ved at løse disse spektralfølger. I praksis løser man i stedet en lignende spektralfølge Tate spektralfølgen som har bedre algebraiske egenskaber, og som desuden indeholder information om strukturafbildningerne i limessystemet TR (V K; p). Det er herved muligt at vise den følgende sætning, som er kulminationen på et tiårigt langt samarbejde med Ib Madsen. Sætning 3 Hvis µ p v K, er den kanoniske afbildning W Ω (V,M) S Z/p v(µ p v) TR (V K; p, Z/p v ) en isomorfi af pro-abelske grupper. Ved kombination af sætningerne 1, 2 og 3 får vi nu den følgende sætning, som bekræfter Beilinson og Lichtenbaums formodning for legemet K [15, 10]. Denne sætning er også gyldig, selvom k ikke er separabelt lukket. Sætning 4 Hvis µ p v K, da er den kanoniske afbildning K M (K) S Z/p v(µ p v) K (K, Z/p v ) en isomorfi. 5

6 References [1] A. A. Beilinson, Height pairing between algebraic cycles, K-theory, arithmetic and geometry (Moscow, ), Lecture Notes in Math., vol. 1289, Springer-Verlag, 1987, pp [2] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schemas de caracteristique p > 0, Lecture Notes in Math., vol. 407, Springer- Verlag, [3] S. Bloch, Algebraic K-theory and crystalline cohomology, Publ. Math. I.H.E.S. 47 (1977), [4] S. Bloch and K. Kato, p-adic etale cohomology, Publ. Math. IHES 63 (1986), [5] M. Bökstedt, Topological Hochschild homology, Preprint 1985, Universität Bielefeld. [6] M. Bökstedt, W.-C. Hsiang, and I. Madsen, The cyclotomic trace and algebraic K-theory of spaces, Invent. Math. 111 (1993), [7] B. I. Dundas and R. McCarthy, Topological Hochschild homology of ring functors and exact categories, J. Pure Appl. Alg. 109 (1996), [8] J. L. Dupont, Algebra of polytopes and homology of flag complexes, Osaka J. Math. 19 (1982), [9] J. L. Dupont and C.-H. Sah, Scissors congruences, II, J. Pure Appl. Alg. 25 (1982), [10] T. Geisser and L. Hesselholt, On the K-theory of a henselian discrete valuation field with non-perfect residue field, Preprint [11], Topological cyclic homology of schemes, K-theory (Seattle, 1997), Proc. Symp. Pure Math., vol. 67, 1999, pp [12] L. Hesselholt, On the p-typical curves in Quillen s K-theory, Acta Math. 177 (1997), [13], Algebraic K-theory and trace invariants, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Beijing, China, 2002), vol. 2, Higher Education Press, Beijing, China, 2002, pp [14] L. Hesselholt and I. Madsen, On the de Rham-Witt complex in mixed characteristic, Preprint [15], On the K-theory of local fields, Ann. Math. (to appear). [16], On the K-theory of finite algebras over Witt vectors of perfect fields, Topology 36 (1997), [17] L. Illusie, Complexe de de Rham-Witt et cohomologie cristalline, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. (4) 12 (1979),

7 [18] K. Kato, Galois cohomology of complete discrete valuation fields, Algebraic K-theory, Part II (Oberwolfach, 1980), Lecture Notes in Math., vol. 967, Springer, Berlin-New York, 1982, pp [19] S. Lichtenbaum, Values of zeta-functions at non-negative integers, Number theory, Lecture Notes in Math., vol. 1068, Springer-Verlag, 1983, pp [20] R. McCarthy, The cyclic homology of an exact category, J. Pure Appl. Alg. 93 (1994), [21] J. Milnor, Algebraic K-theory and quadratic forms, Invent. Math. 9 (1970),

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2 Indhold 1 Indledning 2 1.1 Baggrund.................................. 2 2 Elliptisk kurve 3 2.1 Gruppeoperationen på E.......................... 4 2.1.1 sjove punkter på E........................ 8 2.2

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b vil have samme chance for at få eller 7 skilling i et retmæssigt spil, som det senere vil blive vist. Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

CURRICULUM VITAE. Vagn Lundsgaard Hansen. Married 1964 to Birthe Broeng, Three children: Hanne (born 1965), Helle (born 1972), Martin (born 1979).

CURRICULUM VITAE. Vagn Lundsgaard Hansen. Married 1964 to Birthe Broeng, Three children: Hanne (born 1965), Helle (born 1972), Martin (born 1979). CURRICULUM VITAE Vagn Lundsgaard Hansen Name: Born: Marriage: Vagn Lundsgaard Hansen. September 27, 1940 in Vejle, Denmark. Married 1964 to Birthe Broeng, Three children: Hanne (born 1965), Helle (born

Læs mere

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Indhold DANSK Statistikregning Display...S.158 Startvejledning Funktionelle, Videnskabelige Beregninger Indtastning af Udtryk og Vœrdier

Indhold DANSK Statistikregning Display...S.158 Startvejledning Funktionelle, Videnskabelige Beregninger Indtastning af Udtryk og Vœrdier Indhold Statistikregning Valg af Statistiktype...S.171 Indtast Statistikdata...S.172 Redigering af Statistiske Stikprøvedata...S.172 Skærmbilledet Statistikregning...S.172 Statistikmenu...S.172 Statistikregning...S.174

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard Med udgangspunkt i FIPS-97-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen Af Mathias Vestergaard F O R O R D " " " # # " $ # % '(%) '(%) %* %* +,-.), ) ( " $ 0 2 2 + 3 $ ' {0000} $, AA ) 4555 67 +8 9 :;

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Teknisk dokumentation og brugervejledning 100.0 Regionalt estimat 68% konfidensgrænser Intensitet [µm/s] 10.0 1.0 T = 100 T = 10 T =

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik niveau

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

HøjModul asfalt og dens anvendelsesmuligheder i Danmark.

HøjModul asfalt og dens anvendelsesmuligheder i Danmark. HøjModul asfalt og dens anvendelsesmuligheder i Danmark. Af Diplomingeniør Claus Thorup, Colas Danmark A/S, ct@colas.dk Egenskaberne for HøjModul asfalt er så forskellige fra traditionel asfalt at der

Læs mere

Team Optimering. Ledergrupper og teams på alle niveauer

Team Optimering. Ledergrupper og teams på alle niveauer Team Optimering Ledergrupper og teams på alle niveauer Teamoptimering hvordan kommer dit team til at præstere på topniveau. Uddannelsen handler om at optimere et team til at yde det bedste, skabe bevidsthed

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Opnå optimal ydeevne samtidig med at du øger fortjenesten. Modicon M2xx PLC erne

Opnå optimal ydeevne samtidig med at du øger fortjenesten. Modicon M2xx PLC erne Opnå optimal ydeevne samtidig med at du øger fortjenesten Modicon M2xx PLC erne Få det maksimale ud af dine maskiners ydeevne med MachineStruxure Den NÆSTE generation af MachineStruxure er en komplet automationsløsning,

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Dynamicweb Quickguide

Dynamicweb Quickguide Brugervejledning Dynamicweb Quickguide Version: 1.1 2012.03.15 Dansk JURIDISK MEDDELELSE Copyright 2012 Dynamicweb Software A/S. Alle rettigheder forbeholdes. Dette dokument eller dele heraf må på ingen

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere