Algebraisk K-teori og sporinvarianter

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Algebraisk K-teori og sporinvarianter"

Transkript

1 Algebraisk K-teori og sporinvarianter Lars Hesselholt Algebraisk K-teori Algebraisk K-teori defineret af Quillen er af natur multiplikativ. Med sporinvarianter indlejrer man denne teori i en additiv teori, som man lettere kan forstå. Dette muliggør en bestemmelse den algebraiske K-teori (med koefficienter) af henselske diskrete valuationslegemer af blandet karakteristik. Lad mig først forklare den forventede struktur af den algebraiske K-teori af et legeme k. Tilsammen udgør grupperne K (k) en sammenhængende gradueret ring. Endvidere er der en kanonisk isomorfi l: k K 1 (k), og l(x) l(1 x) = 0. Det universelle eksempel på denne algebraiske struktur kaldes Milnor K-teori og betegnes K M (k) [21]. Det er let at beskrive disse grupper ved frembringere og relationer, men det er normalt ganske svært at bestemme deres struktur. Den kanoniske afbildning Kq M (k) K q (k) viser sig at være en isomorfi for q 2. Lad os nu betragte K-teori med endelige koefficienter. (De rationale K-grupper, som også er af stor interesse, er helt anderledes af natur [8, 9].) Grupperne K (k, Z/m) udgør en anti-kommutativ Dette arbejde var støttet af midler fra National Science Foundation og Alfred P. Sloan Foundation gradueret Z/m-algebra, og hvis k indeholder de mte enhedsrødder, findes der en kanonisk løftning K 2 (k, Z/m) b β m l µ m K 1 (k), som til en primitiv mte enhedsrod ζ tilordner det såkaldte Bott element b ζ. Ved at anvende den multiplikative struktur kan vi udvide b til en afbildning af graduerede ringe S Z/m (µ m ) K (k, Z/m). (S Z/m (µ m ) er en polynomiumsalgebra på en enkelt ikkekanonisk frembringer af grad 2.) En række formodninger af Beilinson og Lichtenbaum forudsiger, at den samlede afbildning K M (k) S Z/m (µ m ) K (k, Z/m) er en isomorfi [1, 19]. Der findes typisk et N, sådan at Kq M (k)/m = 0 for q > N. Formodningen siger derfor specielt, at K (k, Z/m) er (Bott-)periodisk i grader større end eller lig med N. I tilfældet m = 2 v følger formodningen fra Voevodskys bevis for Milnors Galois kohomologi formodning. Vi skal her betragte henselske diskrete valuationslegemer af blandet karakteristik (0, p), hvor p er ulige, og m = p v [15, 10]. Alle ringe i denne artikel antages kommutative med enhed. 1

2 De Rham-Witt komplekset Lad V være en henselsk (f.eks. komplet) diskret valuationsring med kvotientlegeme K af karakteristik 0 og restlegeme k af ulige karakteristik p. (I skrivende stund er det nødvendigt yderligere at antage, at V er af geometrisk type [13].) Det simpleste eksempel på en sporinvariant er den logaritmiske afledede (K) Ω (V,M), K M der til et symbol {a 1,..., a q } tilordner differentialformen d log a 1... d log a q. Højresiden er de Rham komplekset med log poler defineret af Kato: en log-ring (A, M) består af en ring A og en afbildning af monoider α: M (A, ); en log-differential-gradueret ring (E, M) består af en differentialgradueret ring E og afbildninger af monoider α: M (E 0, ) og d log : M (E 1, +) som opfylder d d log = 0 og dα(a) = α(a)d log a for alle a M; de Rham komplekset Ω (A,M) er per definition den universelle log-differential-graduerede ring med underliggende log-ring (A, M). Vi vil altid give V den kanoniske log struktur α: M = V K V. (Man har da naturlige eksakte følger 0 Ω q V Ωq (V,M) Ωq 1 k 0.) Den logaritmiske afledede er imidlertid langt fra at være injektiv. Det viser sig, at man kan råde bod på dette ved hjælp af Witt vektor konstruktionen. Ringen af Witt vektorer hørende til en ring A, er givet ved mængden af vektorer W (A) = {(a 0, a 1,... ) a i A} udstyret med en ny ringstruktur, hvor ringoperationerne er visse polynomielle funktioner i koordinaterne, se [14]. Projektionen på første faktor W (A) A er en naturlig ringhomomorfi med en entydig naturlig multiplikativ sektion givet ved [ ]: A W (A), [a] = (a, 0, 0,... ). Hvis κ er et perfekt legeme af positiv karakteristik p, så er W (κ) den entydigt (op til entydig isomorfi) bestemte komplete diskrete valuationsring af blandet karakteristik (0, p) med W (κ)/p κ. Generelt er W (A) den inverse limes af ringene W n (A) af Witt vektorer af længde n. Men istedet for at danne denne limes er det bedre at betragte hele limessystemet W (A) som en pro-ring. Der er en naturlig afbildning Frobenius af pro-ringe F : W (A) W 1 (A) og en naturlig afbildning Verschiebung af W (A)-moduler V : F W 1 (A) W (A). Vi bemærker også, at hvis (A, M) er en log-ring, da vil sammensætningen M α A [ ] W (A) gøre (W (A), M) til en pro-log ring. Det viser sig, at man på naturlig vis kan kombinere differentialformer og Witt vektorer i en konstruktion, der kaldes de Rham- Witt komplekset. Dette blev først udført for F p -algebraer af Bloch-Deligne-Illusie [3, 17] 2

3 med det mål at opnå en bedre forståelse af Berthelot-Grothendiecks krystallinske kohomologi [2]. Den følgende udvidelse til log- Z (p) -algebraer (p ulige) blev opnået i samarbejde med Ib Madsen [14, 15]: Lad (A, M) være en log-ring, for hvilken A er en Z (p) - algebra (p ulige). Et Witt kompleks over (A, M) er per definition: (i) en pro-log differential gradueret ring (E, M E ) og en afbildning af pro-log ringe λ: (W (A), M) (E 0, M E ); (ii) en afbildning af pro-log-graduerede ringe F : E sådan at λf = F λ og E 1, F d log n a = d log n 1 a, for alle a M, F d λ[a] n = λ[a] p 1 n 1d λ[a] n 1, for alle a A; (iii) en afbildning af pro-graduerede moduler over den pro-graduerede ring E V : F E 1 E, sådan at λv = V λ, F V = p og F dv = d. En afbildning af Witt komplekser over (A, M) er en afbildning af pro-logdifferential-graduerede ringe, der kommuterer med afbildningerne λ, F og V. Det følger fra en generel sætning i kategoriteori, at der findes et universelt Witt kompleks over (A, M), og dette er per definition de Rham-Witt komplekset W Ω (A,M). Vi kan nu løfte den logaritmiske afledede til en afbildning K M q (K) W n Ω q (V,M), der til symbolet {a 1,..., a q } tilordner d log n a 1... d log n a q. Som den følgende sætning opnået i samarbejde med Thomas Geisser viser, giver denne sporafbildning et bedre billede af Milnors K-grupper [10]. Sætning 1 Hvis µ p v K, og hvis k er separabelt lukket, inducerer sporafbildningen en isomorfi af pro-abelske grupper K M q (K)/p v ( W Ω q (V,M) /pv) F =1. I beviset definerer vi en (ikke-kanonisk) k- vektorrumsstruktur på W n Ω q (V,M)/p og finder en eksplicit basis. Dimensionen er ( ) ( r + 1 dim k Wn Ω q (V,M) /p) n 1 = e p rs, q s=0 hvor k : k p = p r og pv = m e. Dernæst udregner vi kernen for 1 F og sammenligner resultatet med Kq M (K)/p, som er kendt fra en tidligere udregning af Kato [18, 4]. Der gælder en lignende sætning uden antagelsen, at k er separabelt lukket [13]. Antagelsen, at µ p v K, er formentlig heller ikke nødvendig. Sætning 1 har følgende globale analog. Lad V 0 være en henselsk diskret valuationsring med kvotientlegeme K 0 af karakteristik 0 og med perfekt restlegeme k 0 af ulige karakteristik p. Lad X være et glat V 0 -skema, og lad i (resp. j) betegne inklusionen af den specielle (resp. generelle) fiber: X Spec K 0 j X i Y Spec V 0 Spec k 0. 3

4 Antag yderligere, at µ p v K 0. Det følger da af beviset for sætning 1, at der er en isomorfi af sheaves af pro-abelske grupper på Y i den étale topologi i R q j Z/p v (q) ( i (W Ω q (X,M) /pv ) ) F =1. Det cyklotomiske spor Svarende til den logaritmiske afledede for Milnor K-teori har man for Quillens K-teori det topologiske Dennis spor K (K) THH (V K) til topologiske Hochschild homologi defineret af Marcel Bökstedt [5]. (Vi benytter her en variant af denne konstruktion, som skyldes Dundas-McCarthy [7, 20, 15].) Grupperne THH (V K) udgør en log-differentialgradueret ring med underliggende log-ring (V, M) [15], hvor afbildningen d log er givet ved sammensætningen M = V K Den kanoniske afbildning l K 1 (K) THH 1 (V K). Ω q (V,M) THH q(v K), som er kompatibel med sporafbildningerne fra Milnor og Quillen K-teori, er en isomorfi for q 2. I lighed med den logaritmiske afledede er det topologiske Dennis spor langt fra at være injektiv. Dette kan afhjælpes ved en konstruktion, der skyldes Bökstedt- Hsiang-Madsen, og som i retrospekt kan betragtes som en kombination af topologisk Hochschild homologi og Witt vektorer. Jeg vil nu genkalde denne konstruktion: det cyklotomiske spor [6, 11]. Det topologiske Dennis spor er defineret som den inducerede afbildningen på homotopigrupper hørende til en kontinuert afbildning mellem topologiske rum K(K) THH(V K). Som en følge af Connes teori om cykliske mængder har rummet på højre side en kontinuert virkning af cirkelgruppen T. Desuden er billedet af sporet indeholdt i fixmængden for T-virkningen. Man definerer nu TR n (V K; p) = THH(V K) C p n 1 til at være fixmængden for undergruppen C p n 1 T af orden p n 1. Det viser sig da, at homotopigrupperne TR n q (V K; p) = π q (TR n (V K; p)) udgør et Witt kompleks over (V, M) [16, 12, 15]. Frobenius-afbildningen F er induceret af den naturlige inklusionsafbildning og Verschiebung-afbildningen V af den tilhørende transfer. Men det er noget vanskeligere at definere strukturafbildningerne i limessystemet samt afbildningen λ; se [6] og [16]. Det topologiske Dennis spor inducerer en afbildning af pro-abelske grupper K q (K) TR q(v K; p), og dette er det cyklotomiske spor. Billedet er indeholdt i fixmængden for Frobeniusoperatoren. Den kanoniske afbildning W n Ω q (V,M) TRn q (V K; p), 4

5 som er kombatibel med sporafbildningerne fra Milnor og Quillen K-teori, er en isomorfi for q 2. Den følgende sætning, der er analog til sætning 1, er et resultat af samarbejder med Thomas Geisser [11] og Ib Madsen [16, 15]. Sætning 2 Hvis k er separabelt lukket, da inducerer det cyklotomiske spor en isomorfi af pro-abelske grupper K q (K, Z/p v ) TR q(v K; p, Z/p v ) F =1. Der er en mere generel version af denne sætning, hvor antagelsen, at k er separabelt lukket, kan udelades [13]. Det er heller ikke nødvendigt, at V er af geometrisk type. Tate spektralfølgen Hvis G er endelig gruppe og X et G-rum, er det normalt ikke muligt bestemme homotopigrupperne af fixmængden X G udfra kendskab til homotopigrupperne af X med deres inducerede G-virkning. Ved første blik er det dette problem, man står over for, hvis man ønsker at bestemme grupperne TR n q (V K; p) = π q ( THH(V K) C p n 1 ). Det viser sig imidlertid, at afbildningsfiberen af strukturafbildningen TR n (V K; p) TR n 1 (V K; p) lader sig identificere med Borel banerummet H (C p n 1, THH(V K)), hvis homotopigrupper er givet ved en spektralfølge E 2 s,t = H s (C p n 1, THH t (V K)) π s+t H (C p n 1, THH(V K)). Dette antyder muligheden af at udregne grupperne TR n q (V K; p) induktivt ved at løse disse spektralfølger. I praksis løser man i stedet en lignende spektralfølge Tate spektralfølgen som har bedre algebraiske egenskaber, og som desuden indeholder information om strukturafbildningerne i limessystemet TR (V K; p). Det er herved muligt at vise den følgende sætning, som er kulminationen på et tiårigt langt samarbejde med Ib Madsen. Sætning 3 Hvis µ p v K, er den kanoniske afbildning W Ω (V,M) S Z/p v(µ p v) TR (V K; p, Z/p v ) en isomorfi af pro-abelske grupper. Ved kombination af sætningerne 1, 2 og 3 får vi nu den følgende sætning, som bekræfter Beilinson og Lichtenbaums formodning for legemet K [15, 10]. Denne sætning er også gyldig, selvom k ikke er separabelt lukket. Sætning 4 Hvis µ p v K, da er den kanoniske afbildning K M (K) S Z/p v(µ p v) K (K, Z/p v ) en isomorfi. 5

6 References [1] A. A. Beilinson, Height pairing between algebraic cycles, K-theory, arithmetic and geometry (Moscow, ), Lecture Notes in Math., vol. 1289, Springer-Verlag, 1987, pp [2] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schemas de caracteristique p > 0, Lecture Notes in Math., vol. 407, Springer- Verlag, [3] S. Bloch, Algebraic K-theory and crystalline cohomology, Publ. Math. I.H.E.S. 47 (1977), [4] S. Bloch and K. Kato, p-adic etale cohomology, Publ. Math. IHES 63 (1986), [5] M. Bökstedt, Topological Hochschild homology, Preprint 1985, Universität Bielefeld. [6] M. Bökstedt, W.-C. Hsiang, and I. Madsen, The cyclotomic trace and algebraic K-theory of spaces, Invent. Math. 111 (1993), [7] B. I. Dundas and R. McCarthy, Topological Hochschild homology of ring functors and exact categories, J. Pure Appl. Alg. 109 (1996), [8] J. L. Dupont, Algebra of polytopes and homology of flag complexes, Osaka J. Math. 19 (1982), [9] J. L. Dupont and C.-H. Sah, Scissors congruences, II, J. Pure Appl. Alg. 25 (1982), [10] T. Geisser and L. Hesselholt, On the K-theory of a henselian discrete valuation field with non-perfect residue field, Preprint [11], Topological cyclic homology of schemes, K-theory (Seattle, 1997), Proc. Symp. Pure Math., vol. 67, 1999, pp [12] L. Hesselholt, On the p-typical curves in Quillen s K-theory, Acta Math. 177 (1997), [13], Algebraic K-theory and trace invariants, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Beijing, China, 2002), vol. 2, Higher Education Press, Beijing, China, 2002, pp [14] L. Hesselholt and I. Madsen, On the de Rham-Witt complex in mixed characteristic, Preprint [15], On the K-theory of local fields, Ann. Math. (to appear). [16], On the K-theory of finite algebras over Witt vectors of perfect fields, Topology 36 (1997), [17] L. Illusie, Complexe de de Rham-Witt et cohomologie cristalline, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. (4) 12 (1979),

7 [18] K. Kato, Galois cohomology of complete discrete valuation fields, Algebraic K-theory, Part II (Oberwolfach, 1980), Lecture Notes in Math., vol. 967, Springer, Berlin-New York, 1982, pp [19] S. Lichtenbaum, Values of zeta-functions at non-negative integers, Number theory, Lecture Notes in Math., vol. 1068, Springer-Verlag, 1983, pp [20] R. McCarthy, The cyclic homology of an exact category, J. Pure Appl. Alg. 93 (1994), [21] J. Milnor, Algebraic K-theory and quadratic forms, Invent. Math. 9 (1970),

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder 48 Metodeartikel Sandsynlighedsbaserede metoder Et førstehåndsindtryk med pseudotilfældige tal Daniel Kjær For nogle uger siden pålagde jeg mig selv den opgave at aflevere to artikler til Famøs om Monte

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

Fejlkorrigerende koder Toriske varieteter, specielt Hirzebruch flader

Fejlkorrigerende koder Toriske varieteter, specielt Hirzebruch flader Fejlkorrigerende koder Toriske varieteter, specielt Hirzebruch flader Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus Universitet Trondheim, den 18. Oktober 2002 0-0 Informationsoverførsel.

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Matilde 14 foreligger ikke som samlet PDF-fil. Dette dokument er en samling af de Word- (konverteret til PDF) og PDF-filer der var at finde i Matilde

Matilde 14 foreligger ikke som samlet PDF-fil. Dette dokument er en samling af de Word- (konverteret til PDF) og PDF-filer der var at finde i Matilde Matilde 14 foreligger ikke som samlet PDF-fil. Dette dokument er en samling af de Word- (konverteret til PDF) og PDF-filer der var at finde i Matilde arkivet vedr. Matilde 14. MATH-AU 2015-11-18 Af: Johan

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Største- og mindsteværdi Uge 11

Største- og mindsteværdi Uge 11 Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )

Læs mere

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3 University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Kapitel 4: Nyttefunktioner

Kapitel 4: Nyttefunktioner Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Mængdelære og kategoriteori Anders Kock

Mængdelære og kategoriteori Anders Kock Mængdelære og kategoriteori Anders Kock Opsummering: teorien for kategorien af mængder er realistisk grundlag for matematik i (begyndelsen af) det 21. århundrede. Jeg er blevet bedt om at sige noget om

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2 Indhold 1 Indledning 2 1.1 Baggrund.................................. 2 2 Elliptisk kurve 3 2.1 Gruppeoperationen på E.......................... 4 2.1.1 sjove punkter på E........................ 8 2.2

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Anden grads polynomier og populations dynamik

Anden grads polynomier og populations dynamik matkt@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet 23. marts 2007 P = antal individer i en population Mennesker, mider, blomster, bakterier eller noget helt

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Exponentielle familer, ark 2

Exponentielle familer, ark 2 1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Termin Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Marie Kruses Skole Stx Matematik A Jørgen Ebbesen Hold 2.t Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel 3 Titel 4

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man. De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b vil have samme chance for at få eller 7 skilling i et retmæssigt spil, som det senere vil blive vist. Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001

Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001 Anders Thorup Elementær talteori Algebra og talteori, F2001 1. Primtallene... 1 2. Gruppen af primiske restklasser... 15 3. Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer... 21 4. Reciprocitetssætningen...

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Ramsey-teori for grafer

Ramsey-teori for grafer thesis 008/6/4 14:13 page i #1 Ramsey-teori for grafer Anders Lindberg Juel Mikkel Larsen Pedersen Aalborg Universitet c Institut for Matematiske Fag Gruppe G4-109 Juni 008 thesis 008/6/4 14:13 page ii

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere