Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Transkript

1 An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1 MHz på grund af srømforrængning, så selvindukionen afager med frekvensen og modsanden siger. E lederpar kan opfaes som en lang og smal spole hvor lederene afgrænser areale l 1l og den har selvindukionen L som følge af fele i areale mellem lederne, så selvindukionen er minds ved æliggende ledere. Den magneiske konsan μ (permeabilieen for vakuum) er en eksak værdi. L 1 l 1 8 = 5nH/m l 1, f khz L = l 1 lnl, l 1 l = 41 7 H/m l 1 l Selvindukionen beregnes fra rådlængden (L 1), ilsluningens løkke (L ) og en af formlerne (L X). L = L 1 L L X Simpel spole Diameer d og rådykkelse. Kan benyes for nogle få vindinger, hvis de ligger æ og er den samlede ykkelse af beviklingen (se side 34). L K = d N ln 1,7 d,,3 d N 1 Prakisk formel for lave frekvenser hvor L 1 nu er inkludere (l 1 = πd) og kun mangler illedningens selvindukion L. Se også Maxwell side 54. L = L d N ln 1,38d, f khz Enkellags spole En cylindrisk spole har beviklingen med N vindinger liggende i e enkel lag (evenuel N R lag). Diameeren beregnes fra indre og ydre diameer (d 1 og d ), ydre længden er l og rådykkelsen. Tykkelsen af beviklingen skal være lille. Formlen L N benyes for spoler med en længde sørre end 1/1 af diameeren og Wheelers formel L W giver højere præcision for længere spoler. Kore spoler beregnes efer L K1 ned il en minimum længde og L K giver højere præcision. Spoleformen skal være af ikke-magneisk og ikke-ledende maeriale som luf, ræ eller plas. L N = d N 4 l,4d L W = d N 4 l,45d L K 1 = d N ln,43d l L K = [1, l d ] L K 1, d = d 1 d = d 1, ±3,5% ved l,15 d 6% ved l =,1d ±,33% ved l,4d d ± % ved l,35d Minds l,3d ±,6% ved l,9d 1,5% ved l = d l = N l 1 N dn R lilslu l T d l d 1 d Tore Skogberg Under revision 1

2 Formlerne sammenlignes i Figur 1 med den eoreisk ideelle værdi for cylinderspolen som angive efer Lorenz og Nagaoka (side 54) og afvigelsen herfra vises i Figur. Bemærk a den eoreisk ideelle værdi gælder for en cylinder med uendelig ynd folie og ikke for en bevikling med endelig ykkelse. De er forklaringen for hvorfor Maxwells formel ilsyneladende ligger for lav. Figur 1 Sammenligning mellem de forskellige formler fra ariklen og den eoreisk ideelle spole efer Lorenz og Nagaoka. For Maxwells formel er rådykkelsen sa lig med længden. Cylinderspolen har kun eoreisk ineresse (L S side 3). Formlerne Normal og Wheeler benyes for beregning af reelle spoler (L N side 5 og L W side 59). Kore spoler (L K1 og L K) ager over for en beskeden spolelængde (se side 55). Maxwell (L M) vises i referenceafsnie (side 54). Figur Den procenvise afvigelse fra de eoreisk ideelle. Farverne svarer il Figur 1. Inden nøjagigheden illægges for mege beydning anbefales de a se eksemplerne på siderne 9-11, læse afsnie side 1 om nøjagighed og deril referenceafsnie side 54. Tore Skogberg Under revision

3 Skiveforme spole For plane, skiveformede spoler med beviklingen liggende i en spiralform giver Wheelers formel e god resula. Den gennemsnilige diameer af spolen d og ykkelsen af beviklingen b beregnes begge ud fra den indre diameer d i og ydre diameer d y. En alernaiv udgave af formlen benyer en form-fakor F, der angiver ykkelsen af beviklingen i forhold il den gennemsnilige diameer. Analle af vindinger N er give ved ykkelsen af beviklingen og den valge rådykkelse. Den oale ydre diameer, som kan måles med en skydelærer, er rådykkelsen sørre end d y og ilsvarende gælder for den indre diameer (D y og D i). L W = 4 d = d y d i 1 d N 4 d11b = 4, b = d y d i d N,41,1 F, F = b d = d y d i d y d i N = b, D y = d y, D i = d i d y d d i b Wheeler angiver nøjagigheden indenfor 5 %, men ifølge andre kilder kan der forekomme % afvigelse. Nedenfor vises den beregnede afvigelse fra selvindukionen beregne ved algorimen på side 49 for en spole med en ydre diameer på d y = 1 mm og en indre diameer d i fra nær nul il nær ved d y og med rådykkelsen som parameer. Selvindukionen falder særk af for en indre diameer over cirka 8 % af den ydre diameer fordi analle af vindinger på spolen afager. Figur 3 Til vensre vises selvindukionen for Wheelers formel (siple linje) sammenligne med en beregne værdi (fuld linje). Til højre ses den procenvise afvigelse. Trådykkelsen indgår ikke i formlen efer Wheeler, men den har beydning for nøjagigheden, og de bedse resula opnås med en relaiv ynd råd. En designreglen angiver d y 5d i hvor hulle i miden af spolen er på % af den ydre diameer og de er ganske accepabel i forhold il analyseresulae. Tore Skogberg Under revision 3

4 Flerlags spole To formler 1 for spoler med ykkelse af beviklingen er Brooks coil (L B) og en Wheelers formel (L W). Beviklingens ykkelse B og spolens længde C er ens for Brooks coil (kvadraisk værsni), mens Wheelers formel illader forskellig længde og ykkelse. De o formler giver samme resula med samme dimensioner, og Wheelers formel opfører sig pæn ved ynd bevikling (hvor formlen ideel skal give samme resula som cylinderspolen), men nøjagigheden af de o formler er ukend. L B =,676 d N d = 3B = 3 C = D y D i L W = 4 8 d N 3d1 B9C d = D y D i D i d D y C B De er uvis om formlerne benyer den fysiske ydre dimension (D y og D i) og endelig rådykkelse eller om formlerne regner med cenrum-il-cenrum afsanden. Dee afsni er under revision. 1 Formelmaeriale udvikles fra side 36 og frem hvor den gensidige indukion gennemgås og formler for beregning af koblingsfakoren udvikles, og senere samles maeriale i en generel formel for en spoles selvindukion. Maeriale er dog ikke færdigudvikle; den beregnede selvindukion er i øjeblikke cirka 5 % for høj hvorfor algorimen endnu ikke præciseres. Som nævn i forrige fodnoe er en revision af formelmaeriale på vej. Tore Skogberg Under revision 4

5 English resume I have included his resume as a guide o readers wih languages oher han Danish. The inerne offers free ranslaion services (Google ranslae, for insance), which may assis you decoding seleced pars of he documen. The aricle was iniiaed by a professional requiremen of charging baeries using inducive ransfer of energy. During he sudy I needed formulas for calculaion of he self inducion of air-coils and alhough he inerne is loaded wih formulas he was majoriy were saed wihou any informaion regarding error level or applicaion limiaion hus seriously affecing he usefulness. Several of he references were lecure noes from universiies bu mos ofen a he inroducory level and offering only he derivaion of he equaion for he solenoid coil again wihou any commens regarding he accuracy of he resul. As a consequence I decided o review he magneic heory and approach he subjec using he maerial found on he inerne as our guide. I am no an exper wihin he field of elecromagneic bu I believe ha he presened maerial is correc; however, I canno guaranee accuracy or applicabiliy. In he case you deec an error, or you encouner dubious informaion, please don' hesiae o forward he informaion o me. Formulas Theory Page 1 A collecion of formulas are presened wih he conducor iself being considered firs. The self inducion of he conducor is L 1 a low frequencies and is reduced oward zero for frequencies above approximaely khz due o he skin effec (see page 14). The self inducion of a pair of wires wih lengh l 1 and widh l is L and may represen he connecion wire o he coil. The self inducion of a simple coil wih one urn is called L K wihin his aricle, and may be used for a couple of urns if arranged in close proximiy. A collecion of formulas are presened wih he urns arranged in one single layer using a cylindrical coil, commonly known as he solenoid coil. A very useful formula is he Normal coil L N (page 56), which offers an error level of ±3.5 % wih he lengh downward limied o one-eigh of he diameer, and i can be used o one-enh wih an error of 6 %. An adjusmen of he formula generaes he well-known Wheelers formula L W (page 59), which is saed o wihin ±.33 % if he lengh is a leas.4 imes he diameer. For even shorer coils wo logarihmic equaions are presened wih onse from he Lorenz and Nagaoka formula (see page 54). The firs formula (L K1) is wihin % for coil lengh no exceeding one-hird of he diameer, and an improved formula (L K) is less han.6 % off for coil lengh less han.9 imes he diameer and he formula can be used for coil lengh up o he same lengh as he diameer wih an error of 1.5 %. Page The formulas are compared o he heoreical ideal. Page 3 A formula for he spiral-shaped coil wih ouer diameer d y and inner diameer d i due o Wheeler is presened and compared o an algorihm developed a page 49. An opimum shape is around d y = 5d i wih fairly hin wire hickness. Page 4 Two formulas are presened for coils wih several layers. They are grabbed from he inerne and no furher daa is available a presen ime. The magneic heory is inroduced on page 17 saring from Ampere's law and a coil build using long parallel wires is presened on page 1. The law of Bio and Savar is shown on page 6 and leads o equaions for shor coils and also saing he dependency o disance. Muual inducance is inroduced a page 36, and leads o an algorihm on page 49 for he spiral coil and work is being prepared for a general coil on page 5 bu he resul is no ye released. The reference formulas are considered on page 54, wih special focus on he cylindrical coil wih one layer (solenoid). I should be noed ha he Lorenz and Nagaoka formulas assume he coil being represened by a hin shee of conducing maerial and no a spiral of wire wih hickness. This curren shee is valuable for coils wih some minimal lengh bu he formula will no be correc for coils wih almos zero lengh, such as he coil wih one urn. Hence, he analysis of he Maxwell formula (page 54). The formula for L N is derived on page 56 and Wheelers formulas for coils wih non-zero layer hickness are considered a page 59. Tore Skogberg Under revision 5

6 Indholdsforegnelse Inrodukion...7 Om selvindukion...7 Eksempler...9 Skiveforme spole...9 Kor cylinderspole...1 Lang cylinderspole...11 Spolens paramere...1 Nøjagighed...1 Elekrisk model...14 Elekromagneisme...17 Selvindukion...17 Magneisk flux...18 Amperes lov...18 Enkel leder...19 Dobbel leder...1 Cylinderspole...3 Normal spole...5 Bio og Savars lov...6 Enkel leder...6 Cirkulær leder...7 Afsandsregel...8 Simpel spole...31 Magneisk fluxæhed...31 Magneisk flux...33 Selvindukion...34 Selvindukion...36 Gensidig indukion...36 Koblingsfakor...37 Spole med o vindinger...38 Spole med mange vindinger...38 To vindinger i samme plan...4 To vindinger i lille afsand (under revision)...4 To vindinger i sor afsand...46 To vindinger i vilkårlig afsand (under revision)...47 Algorime...49 Skivespole...49 Generel spole (under revision)...5 Referenceformler...54 Maxwells formel...54 Cylinderspolen...54 Kor spole...55 Normal spole...56 Wheelers formler...59 Cylinderspolen...59 Skivespolen...61 Generel spole...61 Brooks coil...6 Appendiks...63 Magneisk fluxæhed Leder...63 Magneisk fluxæhed Spolens værsni...65 Magneisk flux...69 Sensiivie...74 Lang spole...74 Wheelers formel...75 Kor spole...76 Referencer...77 Tore Skogberg Under revision 6

7 INTRODUKTION Jeg fik ved e job som opgave a besemme den elekriske effek en spole kunne overføre il e mindre elekronikproduk for a oplade des baeri. Opgaven blev løs, men de formler jeg fand frem il for beregning af spolens selvindukion var ikke gode, så jeg blev ineressere i a udforske emne. De vise sig a være en sørre opgave end førs anage, så for a genopfriske eorien er afsnie, der sarer side 17, mi forsøg på a rekapiulere de essenielle fra magneismen ved a inroducere Amperes og Bio & Savars love med en række eksempler som senere benyes il a løse problemerne. På side 36 inroduceres begrebe gensidig indukion, selvindukionen for en skiveforme spole findes på side 49 og en generel algorime er under udvikling i samme kapiel. De maeriale, der danner en slags facilise for arbejde gennemgås side 54. Du er mege velkommen il a konake mig på [email protected] hvis du har nogle spørgsmål, hvis du har kommenarer il indholde eller hvis du finder fejl i ariklen. Alle henvendelser er velkomne. Ariklen er skreve under Ubunu med Open Office version 3.1 og ved brug af Wrier og Calc. Analyserne er foreage med MATLAB, hvis kode i e vis omfang kan læses af Ocavia. Om selvindukion Enhver elekrisk komponen er omgive af e magnefel når der løber en srøm igennem den og magnefele påvirker funkionen af komponenen. De er ganske uanse om de er en ledning, en modsand, en kondensaor, en diode eller kobberbanen på e prinkor. Påvirkningen viser sig som en spænding i serie med de spændingsfald der i øvrig måe være over komponenen. En påfør virkning kaldes for inducere og heraf navne på begrebe: Indukion. Spændingsfalde over en ledning er derfor ikke alene give af den srøm der løber igennem dens modsand (og som er give ved Ohms lov), men er også give a de omgivende magnefel. Mere præcis er de hasigheden som magnefele varieres med, der giver e spændingsfald over ledningen, så spændingens værdi er proporionel med hvor hurig magnefele ændres. Derfor ses effeken mes ved mege høje frekvenser, hvor magnefele varierer hurig, eller ved abrupe ændringer i srømen, som ved konaker der omskifes; for eksempel i logiske kredsløb og swichmode srømforsyninger. I B NB U I Figur 4 Srømmen I giver anledning il magnefele med syrken B omkring lederen og en ændring i magnefele giver e spændingsfald U der ligger i serie med lederen og som er give ved hasigheden magnefele ændres med (vis som symbole på e baeri). Vikles ledningen op i N løkker vil hver løkke generere e magnefele på B, ide srømmen er den samme i alle løkker, og de samlede magnefel gennem spolen bliver NB. En ændringen i magnefele på ΔB indenfor e vis idsrum giver anledning il en spændingsændring på ΔU i hver af spolens løkker. Den samlede ændring i magnefele er NΔB så spændingsændringen bliver NΔU i hver af løkkerne, og da der er N løkker i spolen bliver virkningen for alle løkker ilsammen på N ΔU. De illusrerer hvorfor de er så effekiv a vikle råden op il en spole, og da de er råden selv der inducerer spændingen kaldes de: Selvindukion. For a denne beskrivelse skal være korrek er de nødvendig a magnefele fra hver løkke løber igennem samlige løkker. I praksis vil noge af magnefele ikke nå frem il alle løkker på grund af feles spredning, så den samlede virkning er mindre end N gange indukionen af den enkele løkke. De vises i formlerne ved maemaiske udryk, der korrigerer alværdien som funkion af længden og diameeren sam evenuel beviklingens ykkelse og rådykkelsen. Tore Skogberg Under revision 7

8 Alle formler for beregning af selvindukion indeholder den magneiske konsan μ = 1,6 μh/m, som med sin enhed anyder a formlen skal indeholde en karakerisisk længde for spolen, og de er oplag a anvende dens diameer il udrykke L = μ d, der i praksis kommer ganske æ på de korreke. Deril kommer kvadrae på analle af vindinger og den omale spredning i fele, som resulerer i en korrekionsfakor K, der afhænger af spolens geomeri. Den generelle formel for selvindukion af en spole med N vindinger og diameer d er derfor: L = d N K De er ariklens målsæning a angive brugbare udryk for korrekionsfakoren K, og da spolens geomeri er en afgørende fakor, er de ikke mulig bare a angive en konsan værdi. De undrer næppe nogen, a en spole med få og æsiddende vindinger giver en højere værdi af K, end end lang spole med mange vindinger hvor koblingen mellem de fjernese vindinger er ringe. Værdien er da også omkring,5 for den simple spole med en enkel vinding, og falder il cirka,5 for en cylinderspole med mange vindinger. Alle spoler vikles med en råd af en vis ykkelse, og råden selv bidrager med en selvindukion fra fele inde i lederen. Ved lave frekvenser er srømmen jævn fordel over lederens værsni, og felsyrken vokser fra nul i cenrum af lederen il en maksimalværdi ved overfladen, og dee fel giver en selvindukion, som her kaldes L 1 med en ypisk værdi omkring de 5 nh per meer råd. Ved højere frekvenser forrænges srømmen fra de indre af lederen og løber forrinsvis i e ynd bånd i overfladen af råden, så værdien af L 1 afager med sigende frekvens. Da srømmen nu er koncenrere i e mindre værsni vil DC modsanden sige. De kaldes for srømforrængning og omales i afsnie om spolens elekriske model (side 14). Tilsluningen il spolen danner en lukke sløjfe, som afgrænser e areal, og de magneiske fel i areale giver anledning il en selvindukion, der her kaldes L og ligeledes opræder som en del af spolens selvindukion. Værdien er give af rådens ykkelse og afsanden mellem lederene, og er med cirka 1 μh per meer af ganske sor beydning for især mindre spoler. I eksemple på næse side udgør selvindukionen i ilsluningen omkring 1 % af den oale selvindukion. Den resulerende selvindukion besår derfor af re led, é for lederen selv, é for ilsluningen il spolen, de vil sige hele de ekserne kredsløb, og endelig é for spolen selv. De beyder a alle formler i denne arikel skal benyes som følger, hvor K fremgår af de maemaiske udryk, og som er funkion af rådens ykkelse, spolens diameer og længde, sam ykkelsen af beviklingen. L = L 1 L d N K En simpel spole med lederen bukke il cirkelform har en selvindukion, der alene besemmes af diameeren og rådens ykkelse ved formlen L K på førse side. De er en ilnærmelse a illade spolen a indeholde flere vindinger end én, men resulae af a gøre de er god, hvis analle af vindinger er lille og vindingerne ligger æ sammen. Af samme grund er formlen begrænse il ni vindinger (re vindinger i re lag). De øvrige formler er enen simplifikaioner af de korreke udryk, eller de er udvikle af kreaive personer, der havde brug for en god formel. E god eksempel på de sidse er den velkende Wheelers formel (L W), der holder 33 % hvis den benyes korrek, men som kan give grof forker resula hvis den bruges uden omanke. Alle formler er ledsage af en begrænsning på deres anvendelsesområde, men der kan sadig opså overraskelser. Som e eksempel er formlerne L K1 og L K begge udvikle fra en maemaisk model, hvor spolen er repræsenere af en uendelig ynd folie med angive diameer og længde, og hvori den elekriske srøm flyder jævn. Ved en mege kor spole vil de maemaiske udryk kunne forvenes a ligne L K, men sidsnævne benyer en råd med en vis ykkelse, hvorimod modellens råd er en folie uden ykkelse og den beregnede selvindukion bliver derfor højere. De gør de svær a omsæe modellen il en fysisk realiserbar spole, men som eksemplerne viser, går de nu ganske god i praksis, blo diameeren er væsenlig sørre end rådens diameer. Tore Skogberg Under revision 8

9 Eksempler Tre spoler skal beregnes for a vise formlernes brug: en mege kor spole, en kor cylinderspole og en lang cylinderspole. Konklusionen er a formlerne er brugbare, men der kan forekomme overraskelser, så man skal ikke sole på a resulae er væsenlig bedre end ±1 %. Skiveforme spole Spolen har N = 4 vindinger og er vikle på en ræform med diameeren d 1 =,178 m. Trådens ykkelse er =,5 mm og isolaionen er,5 mm yk så diameeren bliver d = d 1 + 1,5 mm =,18 m. Længden af spolen er vurdere il l = 5 mm som re gange afsanden cener-il-cener mellem lederene (3 gange 1,5 mm) plus rådykkelsen. Længden af illedningen er på l 1 = 1 m. Spolen er mål på en målebro il 7,9 μh ved 1 khz, men den relaiv sore spole er følsom for mealdele i sin nærhed så målingen kan ikke venes a være præcis. Figur 5 Skiveforme spole vikle med isolere råd på en cirkulær ræform. L 1 Indukionen af selve råden beregnes fra den oale længde af råd l1 der besår af spolens rådlængde πnd plus illedningen il l 1 = πnd + l = π 4, = 4,6 m. L 1 5 nh/m l 1 L 1 5 nh/m 4,6 m =,1 H L Indukionen af ilsluningens løkke er give af ledningens længde på l 1 = 1 m, afsanden mellem rådene som vurderes il l = mm og ykkelsen af råden på =,5 mm. L = l 1 ln l L = ln 1 3 =,83 H 3,5 1 Den samlede indukion fra råden er L 1 + L = 1,4 μh (13 % af spolens værdi). L K Selvindukionen beregnes af udrykke for en simpel spole ide længden af spolen er lille. Præcisionen ved målingen er ikke kend, men resulae er god. Hvis den ilsvarende beregning gennemføres med L K1 vil resulae blive 11 % for høj, hvilke kunne indikere en nedre grænse for L K1 og L K ved en spolelængde mindre end 1/3 af spolens diameer. L = L 1 L L K L = 1,4 H N d L = 1,4 H ,18 ln 1,7 d ln 1,7, = 7,65H 3, % L N Spolen er al for kor il formlen for Normal spole (l/d,3), men resulae er rimelig. L = 1,4 H ,18 4 = 7,39 H 6,5 % 5 1 3,4,18 Tore Skogberg Under revision 9

10 Kor cylinderspole Spolen har N = 5 vindinger og længden l = 1,5 mm. Vindingerne ligger æ så signingen er lig med rådykkelsen (p = ) og med l = N findes rådykkelsen = l/n =,5 mm. Den indre diameer er d 1 = 3 mm så spolens diameer bliver d = d 1 + = 3,5 mm. Leverandøren har oplyse selvindukion for o spoler il henholdsvis L A = 4, μh og L B = 4,5 μh, hvilke giver e gennemsni af selvindukionen på L = 4,35 μh med en spredningen på ±,15 μh svarende il ±,6 %. Figur 6 Kor cylinderspole fra Coil Craf med opgive selvindukion på 4,35 H. L 1 Indukionen af selve rådens beregnes fra den oale længde af råd l 1 der for spolens del er πnd og for illedningen, m giver værdien l 1 = π 5 3, , =,95 m. L 1 = 5nH/m,95m =,15 H L Indukionen af ilsluningen er give af ledningens længde på l = mm og ykkelsen af råden på =,5 mm så kun bredden af løkken må gæes i mangel af daa fra producenen. Med en anage afsand mellem rådene på l = 5 mm giver de en indukion på L =,4 μh. L = 4 1 7, ln =,4 H 3,5 1 Den samlede indukion fra ledningen er L 1 + L =,39 μh (1,6 % af spolens værdi). L K1 Selvindukionen for kor spole L K1 kan sreng age ikke benyes ide l/d =,38 ikke er mindre end den øvre grænse (,35), men resulae bliver dog ganske pæn alligevel. L K 1 =,39 H ,5 1 3 ln,43 3, ,5 1 3 = 3,9 H 1,8 % L K Inkluderes korrekionsfakoren reduceres fejlen il cirka 1 %. L K =,39 H 1, , 3, , L K = 4,6 H 1,1 % ln,43 3, ,5 1 3 L W Selvindukionen efer Wheeler kan kun akkura benyes ide l/d =,38 er mege æ på,4. Resulae er indenfor måleusikkerheden give ved de oplyse værdier (±,6 %) og bekræfer den mulige præcision ved Wheelers formel. Med formlen for en Normal spole findes L N = 4,9 μh, der er,3 % over den måle værdi, og alle analyserede formler er dermed indenfor grænserne. L W =,39 H ,5 1 3 =4,4 H,5 % 1, ,45 3,5 1 Tore Skogberg Under revision 1

11 Lang cylinderspole Spolen besår af o sekioner med N A = 5 og N B = 15, vikle på en 1 mm form (ikke vis) med diameeren d = 1 mm. Trådykkelsen er =,3 mm (AWG8) og ykkelsen af papire er,3 mm så spolens diameer bliver d = 1 +,3 +,3 = 1,9 mm. Den lille sekion er vikle re æ så længden bliver l A = N A = 16 mm, mens den sore er vikle løsere med l B = 5 mm mål på spolen og der er mm afsand mellem sekionerne så oallængden bliver l AB = 68 mm. Spolernes selvindukion er mål med målebro il L A = 17 μh for den lille spole, L B = 48 μh for den sore spole og L AB = 65 μh for begge spoler i serie. Figur 7 Lang cylinderspole med mål selvindukion på 65 μh for begge spolens sekioner. L 1 Indukionen af selve rådens beregnes fra den oale længde af råd som l 1 = πnd +, m så l 1A = 1,7 m, l 1B = 5,1 m og l 1AB = 6,8 m og de giver rådens indukion il L 1A =,85 μh for den kore spole, L 1B =,5 μh for den lange og L 1AB =,34 μh for begge spoler i serie. L 1 = 5nH/m l 1 L Indukionen af ilsluningen beregnes af illedningens længde på l = mm, afsanden mellem rådene på l 3 = 5 mm og rådykkelsen på =,35 mm. L = 4 1 7, ln =,7 H 3,35 1 Den samlede indukion af råden bliver L 1 + L =,36 μh for den kore spole (A),,5 μh for den lange spole (B) og,6 μh for begge spoler i serie (AB). L K Formlen for kor spole kan ikke benyes ide l/d 1,76 ikke er under 1. L W Selvindukionen med Wheelers formel kan benyes da krave l/d,4 er opfyld. L W A =,36 H ,9 1 3 = 14,4 H ,45 1, % L W B =,5 H ,9 1 3 = 49,6 H ,45 1, , % L W AB =,6 H ,9 1 3 = 65, H ,45 1,9 1 3, % Der er, som de ses, en ganske sor fejl ved den kore spole hvorimod de o lange sekioner rammer god. Der er ikke nogen kend forklaring på den observaion. I afsnie om lange spoler er selvindukionen per vinding beregne il 366 nh/vinding, hvor de måle værdier giver 34, 3 og 35 nh/vinding og de yder ikke på målefejl. Tore Skogberg Under revision 11

12 Spolens paramere Spolen er ideel se en é-lags spole med viklingerne liggende æ som en skrue og diameeren er gennemsnisværdien af spolens indre og ydre diameer (d 1 og d ), som også kan beregnes ud fra diameeren af den form spolen vikles på og rådens ykkelse (d 1 og ). d = d d 1 = d 1 Vindingerne ligger ikke som koncenriske cirkler, men beskriver en spiral med en signing, som er give ved rådykkelsen hvis vindingerne ligger æ, eller med cener-cener afsanden mellem vindingerne p (pich) hvis der er luf mellem vindingerne (p > ). 4 d 1 d l T l l T1 Figur 8 Spolens længde forudsæer a analle af vindinger er e helal så rådenderne kommer ud i samme side, men af hensyn il egningens ydelighed er de vis lid forskud. En enkel vinding siger med afsanden p regne fra cenrum af vindingens sar il cenrum af vindingens sluning når den siger som gevinde på en skrue. Længden af spolen l er derved e fas bånd med N vindinger der skruer sig igennem spolens længde. Førse vinding siger fra il p for én omdrejning og sidse vinding siger fra (N 1)p il Np. Spolens længde bliver derfor: l = Np, p eller l = N, p = Lierauren er lid divergerende med hensyn il hvordan længde af spolen l angives. Jeg er af den opfaelse a spolens længde skal måles som anfør i egningen ovenfor, hvorved den oale længde l T1, der kan måles med en skydelærer direke på spolen, bliver: l T 1 = l = Np, p eller l T 1 = N1, p = Andre opfaelser er a spolens længde måles fra cenrum af førse leder il cenrum af sidse leder, de er fra il 4 i egningen, hvilke giver den oale længde il l T = Np+ eller l T = (N+). Den eoreiske model (se side 54) er en cylinder af ynd folie så begyndelsen og enden af røre er klar definere, og en model med skrueforme bevikling er derfor alid en ilnærmelse. Nøjagighed Wheelers formel skal være god indenfor ±,33 % hvis længden af spolen er sørre end radius, men de er under en forudsæning, som ikke kan nås i den virkelige verden. Som nævn ovenfor benyes e rør af en uendelig ynd folie for a udlede formelmaeriale, og de kan ikke bruges il re mege når man sår med en råd med en given ykkelse. Den røde kurve i figuren er korrek, men de er ud fra en ideel beragning, som ikke kan overføres direke il den reelle verden. Når beviklingen af spolen får ykkelse må man benye ingeniørmæssige anagelser, som for eksempel a holde beviklingen mege lille i forhold il spolens længde eller diameer. De giver dog blo e ny problem; for hvornår er mege lille, lille nok? Deril kommer hvor præcis man kan måle spolens dimensioner. Selv med sor påpasselighed er der en usikkerhed på ±1/ mm ved brug af en god skydelære, så en spole med en længde på 1 mm har allerede her en usikkerhed af den ene parameer (længden) på ±,5 % og de påvirker præcisionen af beregningen. Tore Skogberg Under revision 1

13 E bud på effeken heraf kan findes som vis herunder, hvor sensiivieen s X angiver den relaive ændring (procenvise ændring) i selvindukionen som følge af en relaiv ændring i parameeren X. En ændring beegnes med ΔX og med en skydelære som enese kilde il fejl er Δx = ±,5 mm. En relaiv ændring er ΔX/X, så man sæer usikkerheden i relaion il de, der måles på. En måde a besemme værdien af ΔX på, er a foreage den samme måling flere gange med lid forskellig ilgang og omhyggelig noere hver enese resula ned. Efer minds 1 målinger besemmes ΔX som den sørse afvigelse i måledaa; de vil sige a ΔX = X MAX X MIN. Sensiivieen forsås som følger: For s X = vil en målefejl på 1 % ændre på værdien (selvindukionen) med %, og for s X = 1 vil en målefejl på 1 % ændre værdien 1 %. For en samle vurdering af effeken af flere forskellige fejlkilder benyes kun posiive al (de lodree sreger). = N s N N s d d d s l l l Værdier for sensiivieen er vis nedenfor og beregningen er vis i e senere kapiel. For andre forhold mellem længde og diameer end de vise må man gæe sig il en mellemværdi. Formel Vindingsal, N Diameer, d Længde, l Wheeler (l =,d),3 Wheeler (l =,5d) 1,3,5 Wheeler (l = d) 1,5,7 Kor spole (l =,1d) 1,3,3 Kor spole (l =,d) 1,4,4 Kor spole (l =,5d) 1,6,6 For den kore spole side 1 er analle vindinger N = 5 og de bør kunne besemmes præcis, så ΔN =. Diameeren er vanskelig a måle fordi spolen fjedrer, så e gæ er Δd = ±,5 mm. Spolen er sabil i længdereningen så Δl = ±,1 mm anages. Forholde mellem længde og diameer er på,38 så gennemsnie mellem, og,5 benyes og for Wheelers formel bliver usikkerheden: =,5,1 1,65,4 =,9,9% 5 3,5 1 I eksemple er der en forvene måleusikkerhed på ±,9 % hvoril kommer usikkerheden fra selve formlen (±,33 %), om man fik huske a inkludere indukionen fra ledningen (L 1 og L ) for ellers mangler der cirka 1,6 %, og deril om man huskede a række rådykkelsen fra målingen af diameeren, for ellers har man mål 1,5 % for mege (fejlen bliver 1,65 gange sørre:,5 %). De er bedre a anage realisiske fejlsørrelser for ikke a bilde sig selv noge ind. Esimaes værdi er afhængig af hvor god man ren fakisk måler og man bør ikke overvurdere egne evner. Deril kommer selve målingen af selvindukionen, som danner referencen for ariklens sammenligning med beregningen. Daa er her oplys af producenen for o engineering samples. De er mål på en målebro, men som eksen viser er der en vis usikkerhed allerede i fabrikanens daa (±,6 %). Man kan diskuere om de skal med i vurderingen af fejlen i beregningen af selvindukionen, men de danner reference for vurdering om hvorvid resulae er korrek. Samles alle daa uden a skele il de refærdige i a gøre sådan, bliver e pessimisisk esima (ε TOT) på cirka ±7,5 % og som kommenaren anyder skal man ikke forvene re mege bedre. TOT = ±,9,331,6,5,6 =±7,5% Selv om beregningerne i de idligere afsni i mange ilfælde er mege æ på målingerne, så var der o ilfælde, som fald 1 il 15 % fra de forvenede. De kan være målefejl eller daa kan være før forker ind i loggen, men de viser lid om de overraskelser der kan forekomme. Tore Skogberg Under revision 13

14 Elekrisk model Spolen er ikke en ideel komponen, som blo er indukiv; fakisk er de den minds perfeke af de passive komponener. Spolen indeholder både en DC modsand R DC og en indukion L 1 på grund af den råd spolen vikles af, så en simpel model af spolen bliver selvindukionen L, beregne som vis på førse side, i serie med R DC og L 1. Modellen nedenfor inkluderer desuden en kapacie C P, som begrænser anvendelsen ved høje frekvenser og en modsand R P, som repræsenerer ab i spolen, for eksempel energi der abes ved magneisk kobling il omgivelserne. R DC L L 1 C P R P Figur 9 Model af spolen. DC modsanden begrænser impedansen nedadil og den parallelle kondensaor giver resonans ved en høj frekvens hvorover spolen ikke er indukiv. Spolens impedans er vis nedenfor og eksemples paramere kunne samme fra svingspolen i en almindelig højaler. Med de valge paramere er spolen indukiv fra cirka 1 khz og op il resonansen ved 16 khz over hvilken spolen ikke længere er indukiv (den er fakisk en kondensaor). 1 k 4 k k 1 k 4 I m p e d a n s / o h m k k 4 k 1 k k 4 k 1 k 4 k 1 M F r e k v/ eh n z s Figur 1 Impedansen som funkion af frekvensen for en spole med R DC = 6,8 Ω, L = 1 mh, C P = 1 nf og R P = 1 kω. Grænsefrekvenserne er f = 1 khz og f P = 16 khz. Kurven er egne med SPICE simulaoren SIMerix fra som kan downloades grais. Den er i graisudgaven begrænse ved analle af knudepunker. E mål for spolens kvalie (englesk: qualiy) udrykkes ved dens Q-fakor, der er forholde mellem den maksimale værdi af spolens impedans og DC modsanden af råden. Den maksimale værdi opnås ved den frekvens f hvor spolen sammen med en kapacie går i resonans. Q = Z MAX R DC Med spolen fra eksemple er Z MAX = 1 kω ved f = 16 khz og med R DC = 6,8 Ω er spolens godhed på Q = 16. Tore Skogberg Under revision 14

15 Ved lave frekvenser dominerer den elekriske modsand i den råd spolen er bevikle med og bliver den enese besemmende fakor for spolens impedans. Den er give ved maeriale (ρ Cu ), længden (l 1) og areale (A 1), og kan besemmes ved følgende formel, hvor maerialekonsanen gælder ved sueemperaur. R DC = Cu l 1 A 1 = Cu 4l 1 d 1, Cu =, m For en rådlængde på l 1 = 1 m og rådykkelsen på =,5 mm bliver modsanden R DC =,36 Ω. For aluminium er værdien ρ Al =,8 1 6 Ωm. For jern er værdien cirka ρ Fe =,1 1 6 Ωm og er afhængig af bearbejdningen af maeriale. For kulsof er værdien ρ C = Ωm. Daa for andre maerialer må værdien findes på inernee: prøv fx Wikipedia med Specifik modsand. Trådens længde er give ved analle af vindinger gange omkredsen af spolen il l 1 = Nπd for kore spoler hvor man kan se bor fra a råden også skal bevæge sig frem og ilbage gennem spolen. Kan man ikke se bor fra længden må værdien forøges med spolens længde gange med de anal lag beviklingen benyer. Trådens areal er give ved rådykkelsen il A 1 = π /4, og hvis den specifikke modsand for kobber indsæes kan formlen simplificeres. Formlen nedenfor il højre gælder for kobberråd ved C og med diameeren i meer og rådykkelsen i millimeer. N d R DC = Cu /4 = 4 N d Cu R DC,7 N d d i m og i mm For en spole med N = 5 vindinger, diameeren d = 3 mm og rådykkelsen =,5 mm er DC modsanden R DC, Ω. De repræsenerer daa for spolen på side 1. Den angivne værdi forudsæer a srømmen løber i hele rådens gennemsni. Ved høje frekvenser forrænges srømmen så den forrinsvis løber i overfladen af lederen. Fele inde i lederen formindskes og den inerne indukion afager mens modsanden siger. Tykkelsen af de lag hovedparen af srømmen løber i kaldes δ og er give ved rådens ledningsevne ρ, frekvensen f og den magneiske konsan μ som vis nedenfor (engelsk Wikipedia: Skin effec ). Hvis lederen er af magneisk maeriale skal μ ersaes af μ Rμ. Srømforrængningen angiver den afsand fra overfladen og ind i lederen hvori 63 % af srømmen løber, så man kan med en vis re anage a srømmen løber i en cylinderskal med den angivne ykkelse. Eksemple er for kobber. = f =, m H/mf 67 mm Hz f Allerede ved 5 Hz er srømmen begrænse il a løbe i de yderse 1 mm, og er forklaringen på a kabler i højspændingsmaserne ikke er over cm diameer ykkere kabler ville ganske enkel være spild af maeriale og i praksis besår højspændingskabler da også af en kappe af aluminium med en sålwire i miden il a give syrke. Hovedparen af srømmen løber i kappen og kun lid af srømmen løber i sålwiren så den bliver ikke for varm. Ved khz er srømmen begrænse il de yderse,5 mm, så effeken kan som ofes ignoreres indenfor de hørbare område, hvor diameeren af kabler sjælden er mege over 1 mm. De er god lain a anvende ykke kabler il eksempelvis højalere, men srømmen vil aldrig løbe i cenrum af kable ved de højese frekvenser, som derfor vil opleve en sørre modsand. Ved 1 MHz er srømmen koncenrere i e bæle på mindre end,1 mm og man kan med god ilnærmelse gå ud fra a srømforrængningen hel har fjerne srømmen fra de indre af lederen (hvorved L 1 ). Kredsløb il radioransmission udnyer dee il a de ledere, der har en sor srøm løbende, udføres som hule rør af sølvbelag kobber med kølevand inden i. Spolen har en beydelig kapacie i parallel, som dels skyldes den elekriske nærhed mellem naboviklinger og dels srømmens idsforsinkelse gennem beviklingen, ide sidsnævne opræder Tore Skogberg Under revision 15

16 som en fasedrejning. Kapacieen begrænser anvendelsen ved høje frekvenser, men værdien er mege vanskelig a besemme da den bland ande afhænger af den måde spolen vikles på og frekvensen der måles ved. En spole kan vikles i é lag, hvilke er de bedse for a holde kapacieen mellem vindingerne nede, eller den kan vikles i adskile grupper af vindinger hvorved kapacieerne effekiv se kobles i serie og derved reducerer den effekive værdi. Hvis beviklingen benyer flere lag vil lagene koble og dermed forøge kapacieen. De har især beydning for bygning af kredsløb ved højfrekvens. Jeg rende ind i probleme ved bygning af en AM-radio hvor mellemfrekvensen er i nærheden af 5 khz, og de var ikke mulig a få kapacieen lav nok il a kunne få resonans ved den frekvens uden a opdele beviklingen i sekioner. Modellen på side 1 kan kun benyes når bølgelængden af signale er mege sørre i forhold il længden af den råd spolen er vikle af. Bølgelængden er mege sørre når den er 1 gange spolens rådlængde for a få en ommelfingerregel. Signales hasighed gennem råden sæes il lyses hasighed c, hvilke er en grov ilnærmelse, men de beyder ine her. En cirkulær spole med diameeren d og med N vindinger har rådlængden l 1 Nπd, så for en lang bølgelængde på λ = 1 l 1 findes den øvre grænsefrekvens af følgende formel. f max = c f max = c = c c = 1l 1 1 N d, c 3 18 m/s For en spole med diameeren d =,1 m og e anal vindinger på N = 1 er den esimerede øvre grænse derfor f max = 1 khz. De er mulig a anvende spolen ved en højere frekvens og de burde i eorien være mulig a anvende spolen indil rådlængden svarer il en kvar bølgelængde, de svarer il,5 MHz, men de er der absolu ingen garani for a man kan. Den konservaive beregning ovenfor er e god udgangspunk for e gæ på den grænse man bør holde sig under. Hermed sluer inrodukionen il beregning af en spoles selvindukion og de begrænsninger der må ages i ed. De følgende kapiler gennemgår de fundamenale eoreiske maeriale for den magneiske eori og de udbygges hen imod en algorime for beregning af selvindukionen af en spoles med både diameer, længde og ykkelse af beviklingen. Spoler kobler il omgivelserne og kan derfor afsæe effek i ekserne komponener, for eksempel nærliggende baner på e kredsløbskor. Som de vises i e senere kapiel afager syrken af de magneiske fel med redje poens af afsanden fra spolen, så en måde a mindske abe er a øge afsanden. Hvis de er o spoler, der påvirker hinanden, er en mulighed a anbringe dem vinkelre på hinanden. Den eknik er mulig med indil re spoler (xyz-akserne), men for e højere anal spoler er enese mulighed a øge afsanden eller a skærme de enkele spoler. Tore Skogberg Under revision 16

17 ELEKTROMAGNETISME Sammenhængen mellem elekricie og magneisme blev opdage af Romagnosi brødrene i 18, men blev førs kend da Ørsed genopdagede effeken i 18 og publicerede resulaerne. En række beydende opdagelser følger i kølvande og Maxwell samler i 1873 den indhøsede viden i elekromagneismen. De er førse gang i hisorien a o kræfer samles i én fælles beskrivelse og desuden faslægges lyses hasighed ved o konsaner (c = 1/ε μ ), så den er konsan for alle iagagere hvilke inspirerede Einsein il udviklingen af relaivieseorien i 195. I dee kapiel inroduceres de grundlag, der er nødvendig for a udlede formler for selvindukion, men inden emne behandles er de nødvendig a inroducere begrebe linearie, der er en forudsæning for a superposiionsprincippe kan anvendes. Linearie beyder a der ikke er nogen øvre eller nedre begrænsninger, så når en srøm giver e magnefel af en vis sørrelse, vil en fordobling af srømmen også fordoble de magneiske fel, og hvis srømmen reduceres il nul vil magnefele også blive nul. De krav mødes af alle lufspoler under den forudsæning, a den elekriske srøm ikke varmer råden op over smelepunke. For en spole med mealkerne kan forudsæningen om linearie dog ikke forudsæes opfyld ide magnefele i kernen ikke falder il nul når srømmen slukkes (remanens) og de magneiske fel kan ikke vokse over en øvre grænse, der er karakerisisk for maeriale og som indræder ved cirka, T for ferrikerner (pulverkerner) og cirka T for jernkerner (ransformerblik). Superposiionsprincippe beyder a resulae af flere påvirkninger kan beregnes ved a addere de enkele bidrag og de er en direke konsekvens af linearie. De beyder a magnefele i e punk kan have flere kilder og værdien kan beregnes for hver kilde for sig selv med de samlede resula give ved addiion af bidragene. E eksempel er magnefele omkring o æliggende ledere, der fører den samme srøm; de magneiske fel udenfor lederene vil være summen af den magneiske felsyrke for hver af lederne og i sor afsand vil værdien være o gange fele fra den ene af lederne. Superposiionsprincippe anvendes både i Amperes lov, der inroduceres på side 18, og senere i Bio og Savars lov på side 6, hvor den magneiske fluxæhed i e punk besemmes ved a addere bidragene fra kore ledersykker. Selvindukion Enhver leder, der gennemløbes af en srøm I genererer e magneisk fel, som beskrives ved den magneiske flux Φ, der løber i rumme omkring lederen og relaionen mellem de o er give ved en karakerisisk konsan for kredsløbe, kalde selvindukionen, der har symbole L, sandsynligvis for a hædre Lenz. Produke NΦ er flux-vindingsalle, der også beegnes med Φ V, Φ eller og som kaldes den omsluede flux [1-154] ide de er den flux som de N ledere omsluer. N = L I Enheden for magneisk flux er weber (Wb) så enheden for selvindukionen bliver weber per ampere (Wb/A), der har fåe ildel den aflede SI enhed henry (H). Selvindukionen kan udledes direke af ligningen ved division med srømmen il e udryk der vil blive brug fliig i den følgende analyse. I ligningen er den magneiske flux der omsluer en enkel vinding af spolen og for N omsluede vindinger bliver værdien il flux-vindingsalle N. L = N I Opgaven er nu a finde e udryk for den magneisk flux gennem spolen som funkion af den elekriske srøm igennem lederen. Men før de kan gøres er de nødvendig a forså hvad magneisk flux er og hvordan den beregnes for e magneisk kredsløb. Tore Skogberg Under revision 17

18 Magneisk flux Formler for spoler Den magneiske flux Φ angiver den oale srøm af magnefellinjer gennem e areal A og en beegnelse for hvor krafig fele er kaldes den magneiske fluxæhed, der beegnes med B. De o sørrelser, Φ og B, kan virke fremmedarede, men der er en analogi il den mængde lys der falder ind gennem e vindue. Mængden af lys (fluxen Φ) er give ved lyses inensie (fluxæheden B) og vindues areal (A), så en fordobling af areale medføre en dobling af fluxen gennem de. = B A, for B = konsan Enheden for magneisk flux er weber (Wb) så enheden for magneisk fluxæhed bliver Wb/m der har den aflede SI-enhed esla (T). En anden form er H/A. Beregningen forudsæer a den magneiske fluxæhed er konsan over areale, hvilke kun sjælden er ilfælde. I analogien il lysindfalde gennem e vindue kunne der så e ræ foran vindue, hvorved bladene kaser en varierende skygge på vindueareale og en fordobling af areale derfor ikke nødvendigvis medfører en fordobling af den indfaldne lysmængde. Når anagelsen af konsan magneisk fluxæhed ikke er gyldig må en omvej benyes. Den magneiske flux gennem e lille arealelemen da kan god beregnes som produke af en konsan magneisk fluxæhed og areale, ide fluxæheden kan anages for konsan når areale er lille nok; derved er dφ = BdA for e give punk, men B er nu en funkion af hvor på fladen der skal beregnes. Den samlede magneiske flux gennem areale er en sum af alle bidragene dφ over hele fladen med areale A, hvilke i den maemaiske noaion beegnes ved inegraion over areale. Bruges vekorer skal B have samme rening som normalen il areale, hvilke svarer il en projekion af areale ind på en flade der sår vinkelre på den magneiske fluxæhed, og i de er ilfælde er vinklen il normalen nul og cosinus bliver én og de vil blive forudsa opfyld i resen af ariklen. d = B da = B da = B da cosda = BdA, = Inegrale af BdA vil blive bruge fliig i ariklen il beregning af fluxen igennem spoler. Amperes lov Ampere indså i 18'erne a de magneiske fel løber cirkulær omkring en lang og lige leder med en syrke give ved srømmen i lederen og afsanden fra lederen. Amperes lov er en balance mellem o inegraler; de ene for den elekriske leder og de ande for de magneiske fel langs en kurve omkring lederen. I formlen benyes symbole J for srømæheden i lederen hvis værsni er S, og den magneiske fluxæhed er B langs e linjeelemen dl på en lukke kurve, der omsluer lederen eller gruppen af ledere. I ligningen indgår desuden den magneiske konsan μ (idligere kald permeabilieen), som Maxwell indføre da han samlede rådene i elekromagneismen. J ds = B dl I = B cosdl, = H/m De førse inegral illader srømmen a variere over lederens værsni S, men hvis srømmen er konsan over hele lederen giver de vensre inegral JS, der er lig med den oale srømsyrke I, så vensre side af ligningen bliver I. En varierende fordeling af srømmen kan opfaes som de illadelige i a have o eller flere paralle ledere, der hver bærer srømmen I og derved adderes bidragene il de resulerende udryk NI, hvor N er analle af ledere. De ande inegral er udryk for magnefeles syrke langs med e linjeelemen dl på kurven. Vekor prik-produke er en projekion af magnefele ind på linjeelemene (B-feles syrke i linjeelemenes rening), så de er lig med de o vekorers længde gange med cosinus il vinklen imellem dem. N I = B cosdl Tore Skogberg Under revision 18

19 Enkel leder Amperes lov skal førs benyes il a beregne den magneiske fluxæhed omkring en lang og lige leder. Lederen er her vinkelre på papire og srømmens rening er posiiv ud mod læseren. I R dl B 1 B 1B R I B 1A B 1 a Figur 11 De magneiske fel omkring en enkelleder (vensre) og o ledere som illusraion af superposiionsprincippe (højre). Magnefeles rening er vedægsmæssig i posiiv omløb om lederen; de vil sige a hvis man griber om lederen med højre hånds ommelfinger i srømmens rening så vil fingrene pege i magnefeles rening. Der er ingen fysisk begrundelse for dee valg. Inegraionen vil blive udfør langs en lukke kurve med konsan afsand fra lederen; de vil sige på periferien af en cirkel med cenrum i lederen. Symmerien sikrer a den magneiske fluxæhed er den samme overal langs periferien så B 1 er konsan og delager ikke i inegraionen. Feles rening er orienere langs med linjeelemene dl, så vinklen mellem dem er θ = og cos(θ) = 1. Længden af linjeelemene er dl = Rdφ hvor R er radius og dφ er drejningens vinkel. Vinklen rund langs med periferien løber fra il π så inegrale af Rdφ giver πr. N I = B 1 dl N I = B 1 R B 1 = N I R For en srøm på I = 1 A bliver den magneiske fluxæhed B 1 = 4 μt i afsanden R = 5 mm fra en enkelleder (N = 1) hvilke er æ på jordens magneiske felsyrke (cirka 45 μt i Danmark). Kurven for B 1 vises i Figur 1 for en uendelig ynd leder som den røde sreg og uden μ NI/π; de vil sige a de kun er 1/R der er vis og a kurvens værdier skal ganges med den angivne fakor. Den magneiske fluxæhed går mod uendelig når afsanden fra lederen går mod nul. Magnefel (gang med μi/π) ,5-1 -,5,5 1 1,5 Normere afsand (x/a) Enkel Dobbel Figur 1 Den magneiske fluxæhed (uden fakor μ NI/π) for en enkelleder i x = (rød) og for en dobbel ledning (blå) med lederene i afsand ±a (vis som 1 og 1). Bemærk a fele mellem o parallelle ledere kun varierer ±1 % for x <,1a og mindre end ±1 % for x <,3a. Tegningen il højre i Figur 11 viser hvordan magnefele opbygges for e sysem med o ledere i parallel og med samme srømsyrke. I afsanden R fra cenrum af lederbunde må man forvene Tore Skogberg Under revision 19

20 en magneisk fluxæhed æ på de dobbele af den enkele leder. Den magneiske fluxæhed beregnes nedenfor i de o punker, som er angive på egningen, og som kommenaren viser er anagelsen særdeles god når radius er minds 1 gange sørre end afsanden mellem lederne. B 1 A = I R a / I Ra/ = I R B 1 B = I R a /4 I R a /4 = I R 1 a R a 1 R I en afsand fra lederne på 1 gange afsanden mellem lederne (a/r =,1) er den magneiske fluxæhed,5 % sørre i punk A end med srømmen I løbende i cenrum mellem lederne, og værdien er,15 % i punk B. Ved gange afsanden mellem lederne er allene på henholdsvis 6,7 % og 3 % så man skal ikke re lang væk for a kunne bruge en ilnærme beregning. Samme beregningsprincip blev benye il a beregne den magneiske fluxæhed i afsanden x fra cenrum af en leder med diameeren 1 mm (radius,5 mm), som bærer en srømsyrke på 1 A og hvor beregningen inkluderer de indre af lederen. Den røde kurve giver forløbe ved en jævn fordeling af srømmen over hele lederens værsni, og blev beregne ved a lederen blev repræsenere ved e sor anal parallelle ledere. Den grønne kurve giver forløbe for en srøm der kun løber i overfladen af lederen, og blev beregne ved e sor anal ledere langs en cirkulær kurve omkring cenrum. Den blå kurve repræsenerer Amperes lov med srømmen løbende i cenrum og som de ses er beregningen gyldig fra og med lederens overflade x 1 R a d i u s =. 5 m m T e o r e i s k v æ r d i J æ v n s r ø m f o r d e l i n g O v e r f l a d e s r ø m M a g n e i s k f l u x æ h e d ( T ) P o s i i o n x ( m ) - 3 x 1 Figur 13 - Den magneiske fluxæhed som funkion af afsanden fra cenrum af en elekrisk leder med.5 mm radius og en srøm på 1 A. Blå kurve viser forløbe efer Amperes lov når srømmen regnes for a løbe i cenrum af lederen. Forløbe vises med en jævn fordel srøm over lederen (rød) og en srøm der kun løber i overfladen af lederen (grøn). Felsyrken ved overfladen af lederen vokser over alle grænser for afagende ykkelse, men selv om de er korrek fra e maemaisk synspunk, så er de ikke fysisk realisisk, som de illusreres af kommenaren nedenfor. Afsanden skal være lille for a give en sor fluxæhed og lederen skal have en vis ykkelse for a kunne bære srømmen og de o krav srider imod hinanden. Hvis en srøm på 1 A løber i en leder med ykkelsen μm er den magneiske fluxæhed, T ved overfladen (1 μm fra cenrum). For en kobberråd vil modsanden være 6 Ω for en længde på blo en millimeer. Der kræves derfor en spænding på 6 V for a vinge 1 A igennem lederen, så der afsæes en effek på 6 W i råden, som hurig vil varmes op og fordampe så srømmen afbrydes. Tore Skogberg Under revision

21 Dobbel leder Hvis den lange leder foldes sammen il en aflang og rekangulær løkke hvor den lange side er mege længere end den kore kan den magneiske fluxæhed besemmes inde i løkken såvel som udenfor ved a berage syseme som o uendelig lange og parallelle ledere. I x l 1 l = a x Figur 14 Den magneiske fluxæhed omkring en aflang løkke med e dealjere sni vis il højre. Inde i spolen vil magnefelerne undersøe hinanden mens de udenfor modvirker hinanden, så fele afager med kvadrae på afsanden i nogen afsand fra lederparra. Den indbyrdes afsand mellem lederene er l = a og koordinasysem arrangeres med nulpunk mid mellem de o ledere så lederne går gennem x 1 = a og x = a. Den magneiske fluxæhed opskrives førs for hver enkel leder i e punke langs x-aksen. De o feler undersøer hinanden i område indenfor spolen hvor begge udryk giver e posiiv resula, mens de modvirker hinanden udenfor. For x > a er B A negaiv og for x < a er B B negaiv. B A x = I a x og B B x = I ax Den resulerende magneiske fluxæhed i de valge punk er give af summen af de o feler, og kurven vises i Figur 1 med blå sreg. B x = B A xb B x B x = I a a x Ved symmeriaksen mellem lederene (x = ), er den magneiske fluxæhed de dobbele af værdien i afsanden a fra en enkelleder, og i sor afsand fra løkken ( x >> a) er den magneiske fluxæhed omvend proporional med kvadrae på afsanden så fele afager ganske hurig udenfor o parallelle ledere hvor srømmen løber i hver sin rening i lederne. De resula kan umiddelbar overføres il almindelige el-kabler og il højspændingskabler i en passende afsand. B = I a for x a og B x x a I a a x Den oale magneiske flux i areale mellem lederene beregnes ved inegraion af B over areale. I de følgende vil beegne rådens ykkelse (rådens diameer), og inegraionen benyer e smal bånd med bredden dx og længden l 1 (lederparres længde). Der inegreres fra a il a på nær radius af lederen (/), så nævneren ikke bliver nul. De beyder a arealelemene bliver da = l dx og den magneiske flux findes af: a = B x da= / I a / a a x l dx = I al 1 1 a / a / dx a x På grund af symmerien vil inegrale fra a + / il nul give samme som fra nul il a /, så de er ilsrækkelig a foreage sidse inegraion og gange med o. Inegrale løses ved opslag i e abelværk [4-157, 5-65] og der kræves ombyning af a og x svarende il e foregnsskif. = I al 1 a / dx x a = I al 1 [ 1 a ln x a a / xa ] Tore Skogberg Under revision 1

22 Den nedre grænse fra inegraionen er x = og giver ln(1), som er lig nul, så de er kun den øvre grænse på x = a /, der giver e bidrag. Fakor a går ud mod divisor a og der er brug for den numeriske værdi af argumene il logarimen for a fjerne foregne il / i ælleren. = I al 1 ln a a / a a /a = I l 1 ln 4a Nævneren simplificeres ved a forudsæe a afsanden mellem lederene er mege sørre end rådykkelsen (a >> ) hvorved ledde 4a kan skrives som 4a. Foregne fjernes ved a inverere argumene il logarimen og desuden subsiueres l = a. ln 4 a = ln 4 a = I l 1 ln l, l Selvindukionen beregnes som L = Φ/I (ide N = 1 da der ikke er flere vindinger). L = l 1 ln l, l 1 l Selvindukionen varierer kun lid med rådykkelsen. For l / = 1 siger værdien 3 % ved halvering af rådykkelsen, og for l / = 1 siger værdien 13 % ved halvering af rådykkelsen. Eksempel: Tilsluningsråden il en spole danner selv en spole med en enkel vinding. A spolen ikke afslues med en korsluning er uden beydning, så længe den samme srømsyrke løber frem og ilbage igennem den. Hvis ilsluningsråden har længden l 1 = 1 m for hver af lederene, afsanden mellem rådene er l = 5 mm og rådykkelsen er = 1 mm, så bliver L =,9 μh. L = ln = 3,9 1 6 H De samme kabel vil have en DC modsand på R DC =, Ω (se side 14). Selvindukionen giver en impedans på X L = πfl så DC-modsanden bliver lig med impedansen (R DC = X L) ved en frekvens på f = R DC/πL = 4 khz, så kable er ikke en ren indukion og for frekvenser under cirka 4 khz er de DC modsanden, der er den dominerende fakor. De er forudsa a l 1 >> l, hvilke skyldes ønske om a kunne benye Amperes lov for en uendelig lang leder. Hvis de forsøgsvis anages a l 1 = πl vil areale imellem lederene blive l 1l = πl og de er lig med areale af en cirkel med radius l = R. Indsæes udrykke i formlen overnfor vil l 1/π blive il R og resulae er selvindukionen af en enkel vinding, der omsluer areale πr, de vil sige a formlen er e bud på selvindukionen af enkel vinding med radius R (eller diameeren d) og deril rådykkelsen. L = R ln R = d ln d Udrykke er ganske æ på den formel, der opbygges side 34 og deril Maxwells formel (side 54). For en diameer på d = 1 mm og rådykkelsen = 1 mm er selvindukionen L = 89 nh, hvor værdien efer Maxwells ligger mindre end % højere på L M HF = 94 nh. Beregningen ager ikke hensyn il den del af fele, der løber inde i lederen. Som vis i Figur 13 vil fele ved lave frekvenser sige fra nul il værdien B 1 = I/ ved overfladen af lederen, så der vil være en magneisk flux i selve lederen. Andelen falder mod nul ved høje frekvenser på grund af srømforrængningen, men de kan være relevan a medage den for analyse ved lave frekvenser. De beyder a inegraionen skal gå ind i lederen hvor noge af den magneiske flux vil løbe den anden vej omkring srømmen, så en del af fele vil modarbejde sig selv. Rosa [7] har anfør Tore Skogberg Under revision

23 a halvdelen af fele abes på denne måde og de anages a holde uden bevis. Felbidrage kan skrives som en vægning af B 1 med ved cenrum af lederen og lineær sigende il fuld værdi ved overfladen (x = /), hvilke svarer il vægning med x/, og inegraionens areal er e smal bånd på langs med lederen da = l 1dx. Inegrale er le a beregne [4-153, 5-57]. = 1 / I x l 1 dx = l 1 I / xdx = l I 1 [ x / ] = l I 1 8 L = l 1 8 Selvindukionen af lederen indgår i begge reninger. L DC = L L = l 1 lnl l 1 8 L = l 1 DC [ln l 1 4 ] De er mulig a omskrive udrykke ved a skrive ¼ = ln(exp(¼)) og derefer benye reglen om addiion af logarimer ln(xy) = ln(x) + ln(y). De bringer exp(¼) = 1,8 ind i logarimen som en fakor og resulerer i følgende udryk for selvindukionen af løkken ved lave frekvenser. L LF = l 1 ln,57l, f khz De sidse eksempel på anvendelse af Amperes lov angriber probleme fra en anden vinkel. Cylinderspole En lang, cylindrisk spole (engelsk: solenoid) er e af de klassiske eksempler på Amperes lov, der findes gengive i hovedparen af lierauren. Desværre er der også en klassisk fejl, som fleralle af referencer overser. Selvindukion findes ved a anage a spolen er så lang a fele langs dens akse kan anses for konsan, og deril a fele er nul udenfor spolen fordi fellinjerne spredes. Der benyes e udsni af en lang spole, udsnie omfaer N af spolens vindinger og længden af udsnie er l ab. Hele spolen er alså længere end de undersøge udsni for a give e ensare magneisk fel og de er den anagelse der ofe glemmes. De kan lyde som en srid om hvorvid månen er lave af grøn os, men de har en re voldsom beydning når resulae ukriisk anvendes på en spole med kor længde. c d b I l ab a Figur 15 En lang cylindrisk spole med inegraionsvejen langs en rekangulær kurve hvor den ene side følger cenerlinjen i spolen. Fra Amperes lov besemmes den magneiske fluxæhed ved inegraion langs en kurve der går omkring de srømbærende ledere i udsnie, og her benyes kurven a b c d a, som vis ovenfor. Kurven omsluer N af spolens vindinger, der bærer samme srøm I, så den omsluede srøm bliver NI. Inegraionen besår af fire led hver med sin magneiske fluxæhed og vejlængde. N I = B cos dl = B ab cos l ab B bc cos9 l bc B cd cos l cd B da cos9 l da De førse sykke a b ligger inde i spolen hvor den magneiske fluxæhed er B ab og sykke har længden l ab så inegraionen langs linjesykke giver B abl ab. De o sykker b c og d a sår vinkelre på fele så inegraionen giver nul ide cos(9 ) =. Sykke c d ligger udenfor spolen hvor fluxæheden anages mege lille da fellinjerne spredes, så B cd. Tore Skogberg Under revision 3

24 Der er derfor kun e enkel bidrag af beydning fra inegraionen og de er fra linjesykke l ab inde i spoleudsnie. N I = B ab l ab B ab = N I l ab Den magneiske flux er give ved den magneiske fluxæhed gange med areale af spolen hvis den magneiske fluxæhed kan anages konsan over areale af spolen. De er en ganske rimelig anagelse selv om de ikke er korrek (se Figur 1), men de har ikke en sørre beydning her. = B ab A = N I A l ab = 4 N I d Relukans er e mål for magneisk modsand og er hel ækvivalen il Ohms lov for e elekrisk kredsløb. Den magneiske flux er her analog il srømmen og spændingskilden er repræsenere ved srøm-vindingsalle NI. Den magneiske modsand, relukansen, er proporional med den magneiske vejlængde l ab dividere med de areale A, som magnefellinjerne flyder igennem. De er en vigig sørrelse ved beregning på kredsløb med magneiserbar kerne, fx ferri-kerner. l ab N I = R M R M = l ab A Selvindukionen L S af de undersøge udsni bliver som vise nedenfor hvor formlen il højre benyer areale af en cirkulær spole med d som diameer. Formlen præseneres ofe som gældende for en spole med længden l ab [1-154], selv om den kun er udled for e udsni af en lang spole. L S = N I = N A l ab eller L S = 4 N d, A = d l ab 4 Formlen kan anvendes for mege lange spoler hvor spolens længde er sor nok il a fele fra enderne af spolen er lang væk og virkningen kan ignoreres (l > 1d), men de er en lang og ynd spole, som kun sjælden mødes i praksis. Ignoreres krave il spolens længde, må man forvene en noge opimisisk værdi for den beregnede selvindukion. For en spole med længden lig med diameeren (l = d) er den beregnede værdi 45 % for høj, og for l =,5d er fejlen oppe på 9 % så den fakiske spole har kun cirka halvdelen af den beregnede værdi. Selvindukionen per vikling er en konsan værdi for lange spoler. Længden af spolen kan for en æliggende bevikling udrykkes ved analle af vindinger N gange rådens ykkelse. l ab = N L S = 4 N d N = 4 N d L S N = 4 d Den lange cylinderspole fra side 11 har en diameer på d = 1,9 mm og rådykkelsen =,3 mm hvilke giver L S/N =,366 μh som selvindukionen per vinding, så for e vindingsal på N = bliver L S = 73 μh, hvilke kun er 13 % fra den måle værdi (65 μh). Toroidspolen er en cylinderspole der er bøje il cirkelform hvorved de o ender møder hinanden så probleme med randfele ved enderne af spolen løses, men il gengæld skal fele løbe langs en cirkulær bane. Selvindukionen er æ på L S, men nøjagigheden er ukend. Den samlede længde af spoleudsnie bliver l ab = D, hvor D er den gennemsnilige diameer af oroiden. Spolens bevikling har som før diameeren d og der er N vindinger. L T = N d 4 D Tore Skogberg Under revision 4

25 Normal spole De er mulig a inkludere randfele i udledningen og de resulerer i en særk forbedre formel, der kan benyes for spoler med en længde l ned il,15d, svarende il en fjerdedel af radius hvor den maksimale fejl holdes indenfor 3,5 %, men formlen er brugbar ned il en længde på en iendedel af spolens diameer hvor fejlen er på 6 %. L N = N A l,4d eller L N = 4 N d l,4d Meoden, som er gennemgåe i appendiks, følger samme fremgangsmåde som fra forrige afsni, men fele anages ikke a falde il nul ved enden af spolen. I sede indses de a den magneiske fluxæhed ved enden af spolen B må være lig med B ab fra forrige afsni. Den magneiske flux spredes udenfor spolens ender, men de vises i e senere afsni a fele afager særk i sigende afsand fra spolen, relaionen er af redje orden så hovedparen af den magneiske flux må ligge indenfor e smal bånd omkring spolen. De vises under denne anagelse a halvdelen af den magneiske flux løber i e bånd der har samme ykkelse som spolens radius. Deril kommer en anagelse om a fele spredes på ydersiden af spolen når den ikke er mege kor. Når de forskellige anagelser bliver kombinere vil Amperes lov få ilføje ledde,4 Bd som derved inroducerer diameeren i udrykke. N I = B l,4b d B = N I l,4d L N = N BA I = N A l,4 d Formlen har sor lighed med Wheelers formel, der har,45 som fakor il diameeren, men der er ikke ale om en udledning heraf. Derimod er udledningen e forsøg på a nå frem il en generel anvendelig formel gennem brug af forholdsvis ukomplicere maemaik og resulae er i denne arikel kalde formlen for en Normal spole. Ved søgning på inernee ses også brug af formler med,43 som fakor il diameeren, så der er mange bud på e kompromis. Tore Skogberg Under revision 5

26 Bio og Savars lov Fra Amperes lov vides a de magneiske fel fra en uendelig lang leder afager med førse orden af afsanden (side 19), og hvis den uendelig lange leder foldes sammen il e lederpar med vil fele afage med anden orden af afsanden (side 1). De forudsæer a lederen er uendelig lang, men hvad med fele fra en kor leder der ilmed vikles op il en spole? Svare er a fele afager med redje orden i sor afsand fra spolen. For a undersøge spørgsmåle, er de nødvendig a inroducere e ny værkøj, der er en parallel il Amperes lov, men hvor den magneiske fluxæhed besemmes i e punk i rumme som følge af srømmen i e linjesykke. Bio & Savars lov giver mulighed for a arbejde med linjesykker, og dermed modificere overvejelser basere på Amperes lov, og deril en regel om fele som funkion af afsanden, som påbyder de magneiske fel a afage med afsanden i redje når afsanden fra spolen er sor i forhold il spolens dimensioner. Srømmen I i linjesykke dx giver e bidrag il den magneiske fluxæhed på db i de punk som vekoren r peger mod. Krydsproduke mellem dx og r beregnes som dx gange r gange sinus il vinklen mellem dx og r, og den resulerende magneiske fluxæhed i punke B beregnes ved a inegrere db over linjens længde fra x 1 il x. db = I 4 dx r r 3 db = I dxsin 4 r og B = db Meoden er a vælge punke hvor den magneiske fluxæhed skal beregnes og så gennemføre inegraionen over hele lederens længde. De skal vises for en enkleleder og en cirkel. db 1 θ r a db I dx C φ R I x 1 x x dx Figur 16 Bio og Svars lov vis i afsanden a for en leder (vensre) og en cirkel med radius R (højre) med srømmen I orienere som anfør. Den magneiske fluxæhed db i e punk beregnes ved a summere (inegrere) bidragene fra kore lenjesegmener dx i henhold il princippe om superposiion. For begge eksempler er magnefele vinkelre på papire. Enkel leder E eksempel er vis il vensre i figuren for e linjesegmen dx på en re linje fra x 1 il x, og som bærer srømmen I. De er en smule eoreisk fordi der ikke ages hensyn il a srømmen skal føres il og fra lederen, så resulae kan kun benyes for en leder der udgør en del af e sørre kredsløb og beskriver kun de bidrag som lederen giver. Sinus il vinklen φ mellem dx og db 1 er give ved den revinklede rekan x db 1 som modsående side a dividere med hypoenusen r [4-16] og hypoenusen r er give ved kaederne i den revinklede rekan efer Pyhagoras [4-67]. db 1 = I sin dx = I a 4 r 4 r dx hvor sin = a 3 r og r = x a Den magneiske fluxæhed i punke findes ved inegraion fra x 1 il x og selve inegraionen kan klares ved hjælp af en abel over inegraler [4-16, 5-67]. B 1 = I a 4 x dx = I a x x 1 x a 3 4 [ x a x a ] = I 4 a [ x x 1 x a x 1 x 1 a ] Tore Skogberg Under revision 6

27 En uendelig lang leder skal give samme resula som udled ved Amperes lov (side 19). Leddene i den firkanede parenes går mod 1 og 1 så parenesen giver og resulae bliver som vene. B 1 = I 4 a [ x x a ] = I 4 a [1 1] B 1 = I a En kor leder kan eksempelvis defineres som en leder med en længde på de dobbele af afsanden il observaionspunke (x 1 = a og x = a). Den magneiske fluxæhed i afsanden a bliver reducere med fakor ( )/ =,71 i forhold il en uendelig lang leder, en redukion på 9 %. B K = I 4 a [ x a x a ] a = I 4 a [ 1 1 ] B K = I a Er lederens længde gange afsanden il punke (x 1 = a og x = a) bliver fejlen 5 % og for e punk i afsanden 1 % af lederens længde (x 1 = 5a og x = 5a) er fejlen %. De beyder a længden af lederen er uden beydning når afsanden il punke er lille i forhold il længden. E kvadra med fire ens sider, hver med længden a, har felsyrken B 4 i cenrum af kvadrae give ved loven om superposiion som summen af de fire bidrag på hver B K. B 4 = 4 B K B 4 = I a Bemærk, a formlerne kun angiver den magneiske fluxæhed i cenrum af spolen; fele vil alid sige i nærheden af lederen i henhold il Amperes lov. Cirkulær leder For en leder forme il en cirkel med radius R er linjesykke langs periferien dx = Rdθ hvor θ løber fra il π. Vinklen mellem linjesegmene dx (angen il cirklen) og radius er φ = 9 så vi har sin(φ) = 1. Den magneiske fluxæhed i cenrum af cirklen er le a beregne ide afsanden il dx er konsan og lig med R. Indsæelse i udrykke for Bio & Savar giver db C i cenrum af cirklen, og ved inegraionen over θ er alle led konsane undagen dθ. Inegraionen af dθ fra il π giver resulae π. db C = I 4 R 1 Rd B = C d= I 4 R 4 R B = I C R = I d I cenrum af en cirkel med I = 1 A og d = 1 mm (R = 5 mm) er B C = 1,6 µt. Magnefeles syrke siger over dee niveau ved reducere afsand fra lederen i henhold il Amperes lov. Den magneiske fluxæhed i cenrum af cirklen er derfor π gange den magneiske fluxæhed i afsanden R fra en uendelig lang leder, så effeken af a vikle lederen il en cirkel er beydelig. Til gengæld for de mere koncenrerede magneiske fel inde i spolen reduceres de magneiske fel udenfor spolen; dels fordi lederen nu er af endelig længde og dels fordi felreningen i sor afsand fra spolen modvirkes af bidragene fra modsående sider. Selvindukionen kan i princippe beregnes af dee udryk, men resulae er emmelig nedslående fordi de er forker a anage a den magneiske fluxæhed er konsan over spolens areal. Resulae vises nedenfor og beregner en spole med d = 1 mm il L C = 1 nh, hvor e mere præcis resula er L K1 = 345 nh (for en rådykkelse på 1/1 af diameeren, se side 55). L C 1 = C I = B C A C I = d 4 d = d 4 Tore Skogberg Under revision 7

28 Afsandsregel Maeriale er nu klar il a besemme den magneiske fluxæhed i en vis afsand fra cenrum af en spole. Konklusionen er a den magneiske fluxæhed afager med afsanden i redje, så fele krummer hurig ilbage omkring løkkens yderside og spredes kun lid udenfor de volumen som spolen afgrænser. Den analyiske undersøgelse vil blive begrænse il o reninger; den ene rening er langs aksen gennem cenrum, hvor symmerien illader udledning af e eksak resula, og den anden rening er langs radius væk fra cenrum, hvor probleme må simplificeres. B z r z v z z y Figur 17 Den magneiske fluxæhed besemmes førs i højden z over cirklens cenrum, og dernæs langs radius i afsanden x fra cirklens cenrum. Fele langs aksen B z besemmes i afsanden z over cenrum af cirklen med radius R. Afsanden r z fra e punk på cirklen (x, y, ) il punke (,, z ) er give ved Pyhagoras og vinklen θ inegreres fra il π.linjeelemene langs cirklens periferi er dx = Rdθ og da dx sår vinkelre på radius er sin(φ) = 1. Fele for B z er ikke parallel med aksen (undagen for z = ), så de skal projiceres ind på aksen ved a gange med cos(v) = R/r z. db z = I sin cosdx = 4r z I 4R z R R z R d Den magneiske fluxæhed i højden z = er idenisk med de idligere udryk (cirklens cenrum), mens den for sore værdier af x afager med afsanden i redje, så spolen er ikke en srålekanon, der skyder magnefele lang væk, vær imod holder den fele æ ved spolen. B z = I 4 (x, y) dx R R d = I R z 3 4 R R 3 = I R z 3 R 1 1z /R 3 I cenrum af en cirkel med I = 1 A og R = 5 mm er B Z = 1,6 µt for z =, i overenssemmelse med de idligere eksempel med B C, og værdien er reducere il B Z = 4,44 µt for z = R. Relaionen er vis nedenfor hvor ledde I/R ikke er medage så maksimum på 1 beyder a den magneiske fluxæhed er på sin fulde værdi i cenrum. r x B x x x 1 Relaiv signalsyrke,1,1,1,1 1 1 Normere længde (l/r) Figur 18 - Den magneiske fluxæhed i afsanden l langs aksen fra en spole med radius R. Tore Skogberg Under revision 8

29 For kor afsand fra cirklens cenrum har ledde med kvadraroden ingen sørre beydning og den magneiske fluxæhed er konsan; den er indenfor % for x < R/1. I sor afsand fra cirklens cenrum kan 1-alle ignoreres og resulae bliver en omvend proporionalie med afsanden i redje. Ved x = 3R er ilnærmelsen indenfor % og ved z = 5R er fejlen 6 %. B z I R, z R og B I z R R 3, z z R Fele langs radius B x i spolens plan besemmes som den magneiske fluxæhed i punke x, der er placere langs x-aksen, men på grund af symmerien kunne ligge hvor som hels i xy-plane i afsanden x fra cenrum. Posiionen af linjesykke dx langs periferien af cirklen er give ved vekor r xy med længden R og vinklen θ der løber fra il π. Afsandsvekoren fra linjesykke dx il punke x kaldes r, og længden af linjesykke dx er give ved cirkelbuesykke Rdθ med en rening svarende il en drejning på 9 i posiiv rening af radiusvekor [4-78]. r = x, R cos r xy = R sin, r = r x R cos r xy = R sin, dx = Rd sin Rd cos Længden af r vil for x = R svinge mellem og, så den er ikke rar a have i nævneren for db så i sede vil der blive anvend en gennemsnisværdi, som besemmes for cosinus lig nul. De er en god ilnærmelse for punker lang udenfor cirklens periferi, men fejlen er beydelig for punker på eller nær ved cirklens periferi, så de generelle forhold skal undersøges senere. Afsanden bliver derfor repræsenere ved de ilnærmede udryk vis il højre. r = x R x R cos = R 1 x R x R cos r = R 1 x R, x R Krydsproduke giver nedensående resula [4-78], hvor der kun er en komponen langs z-aksen. De beyder a felreningen sår vinkelre på cirklens plan, og de er i god råd med opfaelsen af de magneiske fel afer Amperes lov som cirkulær omkring lederen. = Rd sin dx r Rd cos x R cos R sin = R d sin Rd cos x R cos Udrykke for z-komponenen reduceres og de udnyes a sin (θ) + cos (θ) = 1. dx r = R d sin x Rd cosr d cos dx r = R d [1 x cos] Den inkremenelle magneiske fluxæhed i punke x kan nu besemmes ved a samle leddene il den magneiske fluxæhed i de beragede punk. db = I 4 dx r r 3 = I 4 R x R cos d = I R 3 1 x 3 R 4 R [1 x 1 x 3 R cos]d R Inegraionen deles op i o separae inegraler svarende il de o led i den firkanede parenes. De førse er e inegral af dθ over inervalle π, der giver π, og de ande er e inegral af cosinus over inervalle π, der giver. For sore værdier af x kan udrykke simplificeres il den vise relaion af redje orden. De negaive foregn angiver a feles rening udenfor spolen er modsa Tore Skogberg Under revision 9

30 ree fele inde i spolen. Beregningen er gennemfør med den anagelse a afsanden var sor i forhold il radius (x >> R), så udrykke skal kke olkes for nøje æ på spolen; forholdene er mere komplicerede æ på spolen, hvilke undersøges i e eferfølgende afsni. B = I 4 R 1 R x 3 [ d x cosd ] = R I R 1 x 3 R Anvendes forudsæningen om sor afsand fra spolen bliver den asympoiske værdi den søge relaion af redje orden. B x I R R 3, x x R Konklusionen for felsyrken er a afsandsreglen giver en relaion af redje orden mellem den magneiske fluxæhed B og afsanden r fra spolen, når afsanden il spolen er væsenlig sørre end spolens udsrækning. Dee udryk anvendes bland ande i afsnie om Normal spole. Br I R R r 3, r R Hermed forlades den fundamenale lære om magneisme og ineressen rees imod de egenlige formål, a besemme selvindukionen af en spole. De værkøj, der skal inroduceres er den gensidige indukion, der er e mål for hvordan o vindinger i en spole kobler med hinanden. Tore Skogberg Under revision 3

31 Simpel spole En simpel spole dannes ved a bukke en leder il en cirkel og den magneiske fluxæhed kan beregnes for e punk langs x-aksen ved a inegrere alle bidrag fra cirklen. Inegraionen udføres numerisk og de vises a e simpel maemaisk udryk kan benyes for a beskrive den magneiske fluxæhed. En simpel formel for selvindukionen kan udledes fra dee udryk. r xy dl θ r φ R x B(x) Figur 19 - Den magneisk fluxæhed B(x) i punke x beregnes ved a summere bidrag fra kore linjesegmener dl langs med den cirkelformede leder. Magneisk fluxæhed Den magneiske fluxæhed besemmes i punke x, der er placere langs x-aksen, og som på grund af symmerien kunne ligge hvor som hels i xy-plane i afsanden x fra cenrum. Posiionen af linjesykke dl langs periferien af cirklen er give ved vekor r xy med længden R og en vinkel θ, der løber fra il π. Vekoren fra linjesykke dl il punke x kaldes r, og længden af linjesykke dl er give ved cirkelbuesykke Rdθ, med en rening svarende il en drejning på 9 i posiiv rening; de vil sige i rening af angenen i punke som vekor r xy angiver [4-78]. r = x, R cos r xy = R sin, r = r x R cos r xy = R sin, dl = Rd sin Rd cos Bio & Savars lov benyer krydsproduke mellem vekorerne dl og r, som giver nedensående resula [4-78]. Der er kun en komponen langs z-aksen, så felreningen sår vinkelre på plane. = Rd sin dl r Rd cos x R cos R sin = R d sin Rd cosx R cos Koordinae i z-aksens rening reduceres og de udnyes a cos (θ) + sin (θ) = 1 [4-15, 5-1]. dl r = R x R cosd Længden af vekor r er en funkion af observaionspunke x og vinklen θ, og for x = R er den nul ved θ =, hvilke giver problemer ved divisionen i Bio & Savars lov. r = x R cos R sin = x R x R cos = R 1 x R x R cos Vinklen θ er ikke koninuer ved den numeriske analyse, men anager diskree værdier over e inerval på π, der deles op i M lige sore dele så ændringen dθ er en konsan fakor. Addiionen med,5 har il formål a undgå den føromale division med nul. m = m,5, m =, 1,..., M 1 og d = M M Tore Skogberg Under revision 31

32 Den magneiske fluxæhed langs z-aksen beregnes ved a summere bidragene. M 1 B z x = I m = 4 dl r r 3 = M 1 I 4 m = R x R cos m R x 1 R x 3 R cos m M Efer redukion findes den magneiske fluxæhed i reningen vinkelre på spolens plan. B z x = M 1 I 1 x R cos m MR m = 1 x R x R cos m 3 Den magneiske fluxæhed vises nedenfor som den blå linje for en spole med radius på 5 mm og en srømsyrke på 1 A, som skal give B C = μ I/R = 1,57 μh/m i cenrum. Figur Den beregnede magneiske fluxæhed for en cirkulær spole med radius på 5 mm og en srømsyrke på 1 A (blå sreg), sammenligne med fluxæheden i ilsvarende afsand fra en uendelig lang og lige leder efer Amperes lov (grøn linje). Den punkerede, røde linje repræsenerer e mulig bud på en formel for den magneiske fluxæhed, kalde B K. Til sammenligning vises resulae ved brug af Amperes lov B 1 = μ I/π(R x), der er vis med en grøn linje. Den magneiske fluxæhed i cenrum er B 1 = μ I/πR = 4, μh/m ved samme srømsyrke og i en afsand på 5 mm fra en uendelig lang og lige leder. Algorimens blå linje falder af æ på lederen på grund af de lave anal linjesegmener, men der kan opnås bedre overenssemmelse ved brug af e sørre anal segmener. En kombinaionsformel, som reproducerer forløbe, kan nås ved a B 1 fra Amperes lov ilføjes en konsan, som giver B C i cenrum. De er relaiv le a indse a der skal adderes (π 1)/π gange med B C for a opnå korrek niveau ved x =. Formlen er ploe med siple, rød sreg og ses generel a ligge lid over algorimens værdi. Udrykke vil blive referere i de følgende ide de giver e god bud på en formel for selvindukionen af en spole med en enkel vinding. B K = 1 I R I R x Tore Skogberg Under revision 3

33 Magneisk flux Den magneiske flux beregnes ved a inegrere den magneiske fluxæhed over spolens plan og inegraionen udføres numerisk for a opnå en reference. Derefer foreage en analyisk beregning af den magneiske flux fra udrykke for B K. Inegraion over cirklens areal benyer e smal bånd i afsanden x fra cenrum og bredden dx, så længden af bånde er πx og areale bliver da = πx dx. Ved beregningen af den magneiske fluxæhed blev benye N = 51 diskree værdier for afsanden fra cenrum il cirklens periferi, så bredden af de enkele bånd bliver dx = R/(N 1) = 1 μm. A = Areal N 1 B da = B x xndx = R n = N 1 B xx n N 1 n = Resulae vil for en uendelig ynd elekrisk leder gå imod uendelig, så de er nødvendig a soppe summen ved den øvre værdi, der svarer il oversiden af lederen. Med cirklens radius R regne il cenrum af lederen og rådykkelsen, vil den øvre grænse blive definere af: R max = R Resulae afhænger af M, analle af punker langs med cirklens periferi, og N, analle af punker langs radius, så begge værdier blev sa op gradvis indil resulae sabiliserede sig. Værdien var en magneisk flux på 96,1 μwb, og forblev uændre for ændring af M = 1 il, mens den fald,1 % ved ændring af M = 4951 il 991. Den lave værdi svarer il dx = 1 μm og kræver lid under 5 millioner beregninger, hvilke med MATLAB på en,4 GHz processor og blo 5 s. Selvindukionen findes ved a dividere den magneiske flux gennem areale med srømsyrken. Ved spolen med radius R = 5 mm og rådykkelsen = 1 mm blev den magneiske flux som vis ovenfor ϕ = 96,1 nwb, og de giver referencen il L A = 96,1 nh. Ved anvendelse af de kombinerede udryk B K kan den magneiske flux gennem en spole med radius R og en rådykkelse på besemmes ved a inegrere fra cenrum (x = ) il overfladen af lederen (x = R /). Inegraionen foregår langs e cirkulær bånd i afsanden x fra cenrum og med bredden dx, så længden af bånde er πx og areale bliver da = πx dx. R / R / K = B K da = 1 I R I R x x dx De konsane led kombineres il μ I/R, som sæes udenfor inegrale og π forkores ud. Variablen x subsiueres med β = x/r for a lee brugen af e abelværk ved løsning af inegraionen, og de giver dβ = dx/r, hvoraf dx = Rdβ, og derfor xdx = R βdβ, hvor R sæes ud foran og ændrer den konsane fakor il μ RI. Den øvre grænse bliver β = 1 /R og inegrale deles op i o. 1 / R K = R I 1 /R 1 d d 1 De o inegraler løses ved hjælp af e abelværk [4-153, 5-57 og 6]. 1 / R K = RI 1[ ] 1 [ ln 1 ] /R Tore Skogberg Under revision 33

34 Kun den øvre grænse giver e bidrag ide alle led er nul for β =. Den magneiske flux bliver en funkion af både radius i vindingen og rådens ykkelse. 1 / R K = RI 1 1 R ln R De udnyes a rådykkelsen er lille i forhold il radius (/R << 1) og logarimens negaive foregn fjernes ved a benye de reciprokke il argumene. Konsanen omskrives ved x = ln(exp(x)) og de o led kan samles ved reglen om addiion af logarimer ln(xy) = ln(x) + ln(y) [4-11, 5-3], som giver fakoren il radius på gange med exp(,71) il,15. K = RI 1 R 1ln = ln R,71 = RI ln,15r Med R = 5 mm og = 1 mm bliver den magneiske flux ϕ = 93,9 nwb, hvilke er,8 % under den værdi der blev funde ved en numeriske analyse. De er ikke e bevis for den kombinerede formel, ikke minds fordi en numerisk beregning aldrig kan være eksak; og de gælder speciel når der er en singularie inde i billede. Selvindukion Ved division med srømmen findes e udryk for selvindukionen. L K = I =,15 R R ln = d 1,73d ln Beregningen inkluderer ikke selvindukionen fra fele inde i lederen, der er en funkion af hvor lang råden er, med værdien μ l 1/8π (se afsnie side 1). Længden af råden er l 1 = πr så der er e illæg på μ R/4, og de inkluderes på samme vis som ved konsanen ovenfor. De resulerende udryk har index K, hvor K valgfri kan opfaes som kombinaionsudrykke eller kor spole, og angiver a værdien kun gælder ved lave frekvenser; under cirka khz. L K = R ln,15 R R 4 L K = R ln,76 R = d ln1,38d Resulae er forbløffende æ på de udryk der ilskrives Maxwell (side 54), uden dog på nogen måde a være en udledning heraf; forskellen er blo,15 % ved d/ = 1. Resulae afviger fra referenceafsnies kore spole (side 55), men de er basere på en model hvor srømmen løber i en uendelig ynd folie (curren shee) og selvindukionen vokser derfor hurigere mod uendelig når spolens længde går imod nul end for de nærværende udryk. Hvis rådykkelsen ikke kan ignoreres, må parenesen for ϕ K ganges ud og minusse foran logarimen fjernes igen ved a inverere argumene. K = RI 1 1 R R 1 R Ledde af anden orden ignoreres og de øvrige led samles. K = RI R R ln R ln R Tore Skogberg Under revision 34

35 Konsanen simplificeres og ledde foran logarimen omskrives som forberedelse il muliplikaion med logarimens argumen, ved a benye idenieen ln(exp(x)) = x. 3 K = RI ln exp R ln R Eksponenialfunkionen skrives mere effekiv ved brug af exp(x + y) = exp(x) exp(y). Derved bliver førse del af udrykke exp((π 3)/) = 1,73 og ved brug af d = R kan udrykke skrives på samme måde som de kompake udryk fra før, men med en lille korrekion i argumene il logarimen. K = RI ln c d, c = 1,73 exp d Ved ynd råd ( ) går eksponenialfunkionen mod én og giver de kende udryk (ved høj frekvens). For beydende rådykkelse ses en redukion af fakoren 1,73 så selvindukion falder hurigere med sigende rådykkelse end give ved udrykke for L K alene. Ved = d/1 er der en redukion på 3 % og de giver anledning il e fald i selvindukionen på,7 % hvilke ikke af sørre beydning, hvorimod redukionen er på 1 % ved = d/3, hvor selvindukionen falder 3 % og de markerer således en øvre grænse for forholde mellem d og. Sofware: % CirkelformeSpole.m my=4*pi*1e-7; % Magneisk konsan (H/m). R=.5; % Spolens radius (m). =.1; % Trådens diameer (m). Rmax=R-/; % Inegraionens øvre grænse (m). x=:.1:rmax; % Koordina langs x-aksen (m). M=1; % Anal linjesegmener langs periferien. % Magneisk fluxæhed. Bz=zeros(1,lengh(x)); for m=:m-1 =*pi*(m+.5)/m; Bz=Bz+(1-x*cos()/R)./(sqr(1+(x/R).^-*x*cos()/R).^3); end Bz=Bz*my/(*R*M); BC=my/(*R); B1=my./(*pi*(R-x+eps)); BT=BC*(pi-1)/pi+B1; plo(x,bt,':r', x,bz,'-b', x,b1,'-g') ile(['magneisk fluxæhed (M=' numsr(m) ')']) xlabel('afsand langs x-aksen (m)') ylabel('mafneisk fluxæhed (Wb/m^)') legend('kombinaion','beregne fel','amperes lov','locaion','norhwes') grid on axis([.5 1.4e-4]) % Magneisk flux Fx=; N=lengh(x); for n=1:n Fx=Fx+Bz(n)**pi*R*x(n)/N; end disp(['m=' numsr(m) ' N=' numsr(n) ' Fx=' numsr(fx) ' Wb']) %prin -dpng /media/disk/torean/arikel/formlerforspoler/matlab/prinfile.png Tore Skogberg Under revision 35

36 SELVINDUKTION Som vis side 17 kan selvindukionen besemmes ud fra den magneiske flux ved a divider med srømmen i spolens vindinger. Opgaven er derfor a finde e udryk for den magneiske flux i en given spole, og udgangspunke er her den kombinerede formel for magneisk fluxæhed B K fra de idligere kapiel. Den magneiske flux, der kan overføres il en anden vinding, kan beregnes herfra, og de leder il inrodukion af den gensidige indukion, som igen giver en algorime for en beregning af en generel spoles selvindukion. Bemærk, a dee kapiel er under revision. Gensidig indukion En spole udsender e magnefel når den gennemløbes af en srøm, og hvis srømmen oscillerer vil magnefele også oscillere og de vil derfor generere e oscillerende spændingsfald over en eksern spole, der gennemsrømmes af magnefele. To spoler kobler følgelig med hinanden og denne påvirkning kaldes for spolernes gensidige indukion, med beegnelsen M efer de engelske udryk for gensidig, muual, og med enhed af selvindukion (henry). x L 1 y 1 R 1 L R z I 1 z Figur 1 - To spoler kobler indukiv gennem den gensidige indukans M. E sysem besående af o spoler vil have en magneisk flux med bidrag fra begge spoler. Spole 1 bærer srømmen I 1 og de giver e magneiske flux-vindingsal på L 1I 1. Spole bærer srømmen I og indvirkningen på spole 1 er give af den gensidige indukion som flux-vindingsalle M 1,I ved spole 1. Efer superposiionsprincippe er flux-vindingsalle for spole 1 give ved summen af de o bidrag. Noge ganske ilsvarende gælder for spole så ligningssyseme bliver: N 1 1 = L 1 I 1 M 1, I N = L I M,1 I 1 Den gensidige indukion kan besemmes ved a sæe srømmen i den ene af spolerne il nul og løse ligningssyseme. Her sæes I = for beregning af M,1 hvor srømmen er I 1. I 1 I = N 1 1 = L 1 I 1 N = M,1 I 1, For 1 = M,1 N = L 1 N 1 M,1 = N N 1 L 1 Spolerne anages a have samme diameer d 1 = d = d og selvindukionen L 1 kan besemmes fra formlen L K for en spole med N 1 vindinger og rådykkelsen, hvor udrykke nedenfor medager den inerne indukion fra den råd vindingen er danne af (de vil sige L 1 + L K fra førse side). M,1 = N N 1 N 1 d ln 1,38 d = N 1 N d ln 1,38d Ligningen minder om formlen L K, men i sede for kvadrae på vindingsalle sår der N 1N og de udnyes il simpel omskrivning af udrykke. E led kan skrives som kvadraroden af kvadrae på Tore Skogberg Under revision 36

37 ledde, hvilke fordobler alle led, så der bliver o magneiske konsaner μ, der kan fordeles mellem o de udryk, og så videre. Resulae bliver a udrykke kan skrives som produke af o selvindukioner, en for L 1 og en anden for L. M,1 = N 1d ln 1,38 d N d ln 1,38d M,1 = L 1 L Noge hel ilsvarende kan vises for M 1, ved a sæe I 1 =, så den gensidige indukion mellem o spoler er ikke følsom for reningen. De falder udenfor denne arikels rammer a føre e egenlig bevis for a relaionen også gælder ved forskellig diameer af spolerne, så argumenaionen vil i de følgende blive berage som e ilsrækkelig grundlag il a gå videre. Koblingsfakor De blev forudsa a den magneiske flux fra den ene spole løb fuld og hel igennem den anden spole, men de er ikke realisisk på grund af spredningen af de magneiske fel. Derfor indføres en koblingsfakor k, som beskriver hvor mege den gensidige indukion bliver reducere i forhold il den ideelle værdi [1-155]. Den fysiske begrundelse findes ved Amperes lov, der viser a den magneiske flux løber i lukkede baner omkring lederen, hvilke er illusrere i figuren herunder ved de siplede cirkler omkring lederen i spole 1. Ikke alle lukkede baner om spole 1 kan nå igennem plane for spole, som derved ikke gennemløbes af hele fele fra spole 1, men kun en del af de, og koblingen mellem spolerne bliver mindske i forhold il de eoreisk mulige. a L L 1 L 1 L Φ Φ d d d a 1 Figur En spole med o vindinger i samme plan (vensre) eller forskud aksial (højre). Den magneiske flux har en sor værdi æ på lederen, men ikke hele fele kobles over. Den ideelle værdi af den gensidige indukion (kvadraroden af L 1L ) bliver derfor reducere med koblingsfakoren k, og alværdien er højes 1, for ellers ville energien ikke være bevare. Den lavese værdi er kun nul hvis spolerne sår vinkelre på hinanden eller spolerne er er uendelig lang fra hinanden. M = k L 1 L, k 1 Fra ligningssyseme med o vindinger kan e udryk for koblingsfakoren besemmes. Srømmen i spole sæes il nul for beregning af den magneiske flux i spole som følge af den magneiske kobling fra spole 1. De giver e sysem hvor den magneiske flux Φ 1 i spole 1 er give af spolens selvindukion og srømmen i den, mens den magneiske flux Φ i spole er give ved den gensidige indukion mellem spolerne og srømmen i spole 1. I 1 I = 1 = L 1 I 1 = M I 1 1 = M L 1 = k L 1 L L 1 = k L L 1 Ligningen kan al efer behov løses enen for den gensidige indukion eller for koblingsfakoren. Desuden kan indices ombyes uden a de påvirker værdien af M eller k. M = L 1 eller M = 1 L 1 og ilsvarende k = 1 L 1 eller k = 1 L Tore Skogberg Under revision 37 L L 1

38 For den enkele vinding i en spole er selvindukionen give ved L K så koblingsfakoren mellem o vindinger kan skrives på følgende form, hvor koblingsfakoren beregnes ud fra kendskab il den magneiske flux i de o vindinger, der beskrives ved diameer d 1 og d og rådens ykkelse. Udrykke vil blive benye i de eferfølgende kapiel for beregning af selvindukion. L K = d 1,38 d ln k = d ln 1,38 d / d ln 1,38 d / for I = Jeg har ikke se noge der ligner denne formel i den lieraur jeg kender, men de er nødvendig med en form for korrekion for a kunne ombye vindingerne og opnå samme gensidige indukion. Spole med o vindinger Med vindingerne i serie bærer de den samme srøm (I 1 = I = I). De magneiske flux-vindingsal beregnes for N 1 = N = 1 og den samlede magneiske flux er give ved a addere de o ligninger. 1 = L 1 MI = L MI = 1 = L 1 L M I = L 1 L k L 1 L I Selvindukionen af de o serieforbundne vindinger beregnes som vis på side 17 ved division med srømmen og hvis de o vindinger er hel ens (L 1 = L ) så er M = L 1 og den resulerende selvindukion af de o spoler bliver en fakor + k gange med selvindukionen af den enkele vinding, som vis il vensre herunder. Resulae bør sammenlignes med formlen fra inrodukionen side 7, der vises il i miden (N = ) og som nu illader beregning af korrekionsfakoren. L = I = kl 1 versus L = K d N K = k 4 for N = Ved perfek kobling er k = 1 og de giver L = 4L 1, svarende il forvenningen il en spole med o vindinger ( = 4 og K = 1). En mere realisisk værdi af koblingsfakoren er cirka k,8 hvilke giver en selvindukion på L = 3,6L 1 eller 1 % under de ideelle (K =,9). De er derfor en ilsnigelse når alle formler indeholder ledde N og de forhold reflekeres så i korrekionsfakoren. Spole med mange vindinger Resulaerne kan generaliseres il en algorime for beregning af selvindukionen for en cylindrisk spole med både længde og ykkelse af beviklingen. Spolen besår af re mange vindinger, så der skal opsilles e sor anal ligninger for a beskrive den, men der er e sysem i ligningerne, som simplificerer algorimen il noge, der kan løses ved hjælp af en compuer. Flux-vindingsallene for en spole med fire vindinger vises nedenfor med selvindukionen for den enkele vinding som L 1, L, L 3 og L 4 og koblingsfakoren som k rs hvor r og s angiver de enkele par af vindinger i beviklingen. 1 = L 1 k 1 L 1 L k 13 L 1 L 3 k 14 L 1 L 4 I = k 1 L L 1 L k 3 L L 3 k 4 L L 4 I 3 = k 31 L 3 L 1 k 3 L 3 L L 3 k 34 L 3 L 4 I 4 = k 41 L 4 L 1 k 4 L 4 L k 43 L 4 L 3 L 4 I Selvindukionen for spolen kaldes L G hvor index G sår for Generel. Selvindukionen beregnes ved a dividere den samlede magneiske flux med srømmen (se side 17). Selvindukionen L n af vinding n er give ved dens diameer d n og rådykkelsen efer formlen L K, som benyes såvel Tore Skogberg Under revision 38

39 for den enkele vinding L n (de vil sige L 1, L, L 3 og L 4 i ligningssyseme ovenfor) som for L r og L s i udrykkene for gensidig indukion (de vil sige alle par af vindinger som for eksempel L 1L ) L G = I og L n = d n ln 1,38 d n Leddene fra ligningssyseme indsæes og arrangeres i sigende orden for indices. L G = L 1 L L 3 L 4 k 1 L 1 L k 13 L 1 L 3 k 14 L 1 L 4 k 1 L L 1 k 3 L L 3 k 4 L L 4 k 31 L 3 L 1 Indices kan ombyes, eksempelvis kan k 1 og k 1 begge repræseneres af k 1 og ilsvarende kan indices ombyes i kvadraroden. L G = L 1 L 4 [k 1 L 1 L k 13 L 1 L 3 k 14 L 1 L 4 k 3 L L 3 k 34 L 3 L 4 ] De kan skrives som o summer og generaliseres il a gælde for en spole med N vindinger. Den førse sum samler selvindukionen for de enkele vindinger og dobbel-summen ilføjer bidragene af gensidig indukion for alle par af vindinger, hvor de bemærkes a index r løber fra 1 il N 1 og index s løber fra r + 1 il N. N L G = n=1 N 1 L n r=1 N s=r1 k rs L r L s, N Opgaven er nu a besemme koblingsfakoren mellem vindingerne så spolens K kan beregnes. Koblingsfakoren besemmes førs for en skivespole, hvor beviklingen ligger som en spiral i e plan, og derefer udvides meoden for en mere generel spole med både en længde og ykkelse. Tæliggende vindinger skal analyseres separa, fordi de med nogen rimelighed kan anages a koblingsfakoren mellem vindingerne er k,8 som de vises i de følgende afsni. Hvis de deril anages a alle vindinger er ens, vil vindingernes selvindukion være ens og kan beskrives ved L K fra førse side. Selvindukionen af spolen er følgelig KN L K hvor K afhænger af hvor god de N vindinger kobler med hinanden. Fra de ovensående ligningssysem sæes selvindukionen udenfor en parenes som en fælles fakor og konsanen K beregnes. L n = L r = L s L G = K d N ln 1,38d, K = 1 N N n=1 N 1 1 r=1 N s=r 1 Sidse kolonne angiver den resulerende værdi af K for k =,8 og de ses a værdien falder langsom med en gennemsnilig værdi på,85 for e relaiv lav anal vindinger. k N = N = 3 N = 4 N = 5 r = 1 r = 1... r = r = s = s =,3,3 s =...4,3...4, 4 s =...5, 3...5, 4...5,5 k 36k 41k 5k K = N =,9,878,85,84 Følgelig bliver formlen for en spole med nogle få og æsiddende vindinger: L =,85 d N ln 1,38 d Prøves formlen på spolen på side 9 med d =,18 m, = 1,5 mm og N = 4 findes L = 7,86 μh, der er mindre end 1 % fra den måle værdi. De er en nøjagighed der ikke kan garaneres generel. Tore Skogberg Under revision 39

40 To vindinger i samme plan En ypisk spole for moderne højfrekvenseknik dannes direke på en prinplade og vindingerne ligger derfor i e plan. Den beskrives i denne arikel ved den ydre diameer d y, den indre d i og med b som ykkelsen af beviklingen. Der regnes fra cenrum il cenrum af råden, så den oale ydre diameer er D y = d y +, hvor er rådykkelsen, og ilsvarende er den indre diameer D i = d i. Vindingerne vil blive opfae som koncenriske, cirkelformede spoler hvilke selvfølgelig er en ilnærmelse og der ages ikke hensyn il a råden ikke er cirkulær. d y d d i L 1 L B(x) b x R R 1 Figur 3 - En skivespole har vindingerne liggende som en spiral i e plan. I den følgende analyse beegner vinding 1 den sørse a o vindinger i plane, som drives med en srømsyrke på I 1, og den magneiske flux Φ 1 fra vindingen udgør de maksimum af magneisk flux, der kan overføres. Værdien beregnes ved brug af definiionen på selvindukion fra side 17 med udgangspunk i formlen L K fra afsnie side 34 for en spole med kun en enkel vinding. 1 = L I K 1 N = d I 1 1 ln 1,38d 1 Formlen inkluderer den inerne magneiske flux i lederen så værdien gælder ved lave frekvenser, og ved høje frekvenser ersaes fakor 1,38 med 1,7 på grund af srømforrængningen. Den magneiske fluxæhed vil give anledning il en magneisk flux Φ i vinding i spolens plan, og fluxen beregnes ved a inegrere fra cenrum il overfladen af råden (R /), hvor R er radius af vinding, og areale da, der inegreres over er e smal, cirkulær bånd med en bredde på dx og en længde lig med omkredsen på πx. R / = R / B K da = 1 I 1 I 1 x dx R 1 R 1 x Den variable subsiueres med x = R 1β, som medfører a dx = R 1dβ og derfor er xdx = R 1 βdβ. Den øvre grænse normeres ligeledes med R 1 il R /R 1 /R 1. = R / R 1 / R 1 1 I 1 I 1 R 1 R 1 1 R 1 d Begge leds nævnere indeholder πr 1, som efer forkorning eferlader R 1 i ælleren, der sammen med μ I sæes udenfor som en fælles fakor. 1 R / R 1 / R 1 = R 1 I 1 d De o inegraler besemmes ved abelopslag [4-153, 5-57,6]. = R 1 I 1 1[ ] R / R 1 / R 1 d 1 R / R 1 / R 1[ ln 1 ] R / R 1 / R 1 Tore Skogberg Under revision 4

41 Kun øverse grænse giver e bidrag. = R 1 I 1 1 R R ln 1 R R 1 R 1 R 1 R 1 R 1 R 1 De o førse led kan simplificeres ved a anage a rådykkelsen er lille i forhold il R 1 og R, men nøjagigheden vil blive markan forværre for en beydende forskel mellem de o vindingers radier. Foregne il logarimen fjernes ved a inverere argumene og leddene sæes på samme brøk. De udnyes a diameeren er d = R for a give de resulerende udryk. = d 1 I 1 d d ln d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d Koblingsfakoren mellem o spoler i samme plan kan nu opskrives ved indsæelse i udrykke fra side 37. k 1 = d 1 I 1 1 d d ln d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 I 1 ln 1,38 d 1 d 1 d 1 d d1 ln 1,38d 1 d ln 1,38d Den fælles fakor μ d 1I 1/ forkores væk og de udnyes a førse leds nævner er lig med kvadrarodens æller (på nær d 1) hvorved udrykke kan reduceres il de følgende. k 1 = 1 d d ln d 1 d 1 d 1 d 1 ln 1,38d 1 ln 1,38d d 1 d 1 d d1 d Resulae hører ikke il de simplese, men de opfører sig pæn, som de ses af figuren herunder, hvor koblingsfakoren går asympoisk mod én når den indre vindings diameer går imod den ydre vindings diameer. Tore Skogberg Under revision 41

42 Figur 4 Den ydre vindings diameer er fas (d 1 = 1 mm) og koblingsfakoren vises for den indre vindings diameer i inervalle fra én rådykkelse og op il én rådykkelse fra den ydre vindings diameer. Selve rådens diameer er hold som parameer med re værdier. Til sammenligning vises relaionen for forholde mellem spolernes arealer (siple); en model, der kun er anvendelig ved mege sor forskel imellem vindingernes diameer. For en indre diameer blo én rådykkelse mindre end den ydre diameer, er koblingsfakoren så lav som k =,86 selv ved en rådykkelse på blo, % af diameeren af vindingen (d 1 = 1 mm og =, mm), og endnu lavere for sørre rådykkelse; så de er nærmes umulig a opnå en så perfek kobling a N kan forsvares i formlerne, og de har sor beydning for spoler med ganske få vindinger. Som e eksempel vises beregning af selvindukionen ved brug af formlen L K for en spole med én eller o vindinger. Korrekionsfakoren er K = ½ln(1,38d/) og ykkelsen af beviklingen (længden af spolen) sæes il for en spole med o vindinger og il for en spole med en enkel vinding. Korrekionsfakoren bliver K =,117 for spolen med o vindinger (d/ = 5) og K 1 =,464 for en spole med én vinding (d/ = 1). Forholde er K /K 1 =,86, hvilke kun er 5 % fra den beregnede korrekionsfakor efer side 38 (K =,91 ved k =,81 for d 1 = 1 mm og = 1 mm). To vindinger i lille afsand (under revision) To vindinger med radius R 1 og R, og med planerne forskud med afsanden z kobler sor se på samme måde som vindingerne fra skivespolen, dog skal der ages hensyn il feles krumning ide fellinjerne ikke går vinkelre igennem plane for vinding. I figuren beegner L 1 selvindukionen af den vinding, der gennemløbes af srømmen I 1 og producerer en magneisk flux på ϕ 1, som kun pariel gennemløber vindingen L. Tore Skogberg Under revision 4

43 L 1 L r B(x) z a R R 1 x Figur 5 - Beregning af hvor mege af den magneiske flux fra spole 1, der løber gennem plane for spole. De cirkulære magneiske fel er illusrere med siple linje. De forudsæes a afsanden er så kor a den magneiske fluxæhed fra lederen (B 1 fra Amperes lov) dominerer over værdien i cenrum (B C fra Bio & Savars lov), og a koblingen derfor primær er relaere il felsyrken æ på lederen. Afsanden mellem de o ledere skal være mindre end cirka 1/3 af radius. B 1 B C I r I R Afsanden mellem lederene beregnes efer Pyhagoras. r = a z, a = d 1 d r R r R For a kunne benye værkøje skal vinding projiceres ned på plane med en diameer jusere efer forskydningen og denne projekion kaldes d (). For o vindinger i planen er der afsanden a imellem de o periferier, så d 1 = d + a, og noge ilsvarende må gælde for projekionen, med den forskel a afsanden nu er give ved udrykke for r. d 1 = d r d = d 1 r Udrykke for d () kommer derfor il a indeholde d 1, d og z, der alle er kende sørrelser. d = d 1 d d 1 z Udrykke indsæes i k 1 i sede for d for derved a give e kvalificere bud på koblingsfakoren for en lille forskydning mellem de o vindinger. k = 1 d d ln d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1,38 d ln 1 ln 1,38 d --- Heril --- d 1 d1 d De magneiske fel æ på lederen i vinding 1 regnes for cirkulær og krydser plane for vinding i afsanden a fra cenrum af råden i spole 1 og i højden z over plane for vinding 1 så længden af radius vekor r er give ved Pyhagoras. Ampliuden af fele er derefer give ved B 1 fra Amperes lov (side 19), og reningen er give ved angenen il fele hvor de krydser gennem plane for vinding, og de er den samme vinkel som mellem radius vekor r og plane for vinding 1. Projekionen af fele ind på normalen il vindingens plan er ampliuden gange med cosinus il vinklen, som er give ved formlen for en revinkle rekan [4-68]. Endelig er afsanden a give ved den horison- Tore Skogberg Under revision 43

44 ale afsand fra lederen, og med x = i cenrum af vindingerne og R 1 som radius af i vinding 1, bliver udrykke afsanden en differens derimellem. Den magneiske fluxæhed projicere ind på den lodree z-akse fra fele omkring lederen bliver derfor give af følgende udryk. B 1 = I 1 r cos hvor r = a z a = r cos cos = a r = a a z og a = R 1 x Med brug af kombinaionsudrykke B K fra afsnie om den simple spole (side 31) bliver e rimelig bud på den magneiske fluxæhed projicere ind på z-aksen derfor: B z gange cosinus il vinklen. B z = 1 I 1 R 1 I 1 r cos = I 1 1 R 1 a a z 1 a z a a z Med a indsa findes feles komponen i z-aksens rening il e udryk med parmerene I 1, R 1 og z. B z = I 1 1 R 1 R 1 x R 1 x z R 1 x R 1 x z Den fælles divisor π sæes udenfor, pareneserne ganges ud og udrykke normeres med R 1, der også sæes udenfor. Den normerede variable x og parameer z subsiueres med henholdsvis β og γ. Den nye variable β går fra ved cenrum af vindingen il 1 ved cenrum af vinding 1, og parameeren γ er nul eller en lille, posiiv værdi. B z = I 1 R , x = R 1, 1 z = R 1, 1 Der inegreres fra cenrum af vindingen (β = ) il cenrum af råden for vindingen (β = R /R 1). Som før benyes e smal, cirkulær bånd i afsanden β fra cenrum, så areale af bånde er give ved omkredsen πx gange bredden dx og bliver derfor il da = πr 1 βdβ. Den magneiske flux, der flyder igennem vinding beregnes ved inegraion af følgende udryk, der svarer il fire inegraler. Definiionen af B z indsæes i udrykke for ϕ. = R 1 I 1[ 1 R / R 1 = B z R 1 d R / R 1 hvor P = 1 R d P / R 1 d R P / R 1 Inegralerne løses enkelvis med brug af e abelværk [4-164]. d P R / R 1 d P ] Tabelværke benyer polynomie P = ax + bx + c, hvor a = 1, b = og c = 1 + γ. Løsningen er afhængig af relaionen mellem paramerene 4ac = 4(1 + γ ) og b = 4. De er forudsa a afsanden mellem vindingerne er lille, de vil sige a γ er nær nul, og derfor skal løsningen egenlig vælges for 4ac > b, men de giver division med nul for z =, så derfor vælges a benye den løsning, der forudsæer 4ac = b, hvilke sreng age begrænser løsningen il z =. De anages med andre ord, a løsningen er koninuer hen over z =, og har samme angen fra hver side; men de er e forhold, som ikke efervises her. De sår dog fas a løsningen er korrek for z = og for alle x. Tore Skogberg Under revision 44

45 De enkele inegraler noeres her med S (1) for de førse inegral, S () for de ande, og så fremdeles. Som de fremgår er der mange ens led i løsningsmængden. S 1 = [ Pln P] R / R 1 S = [ P 6 4 Pln P 1 ln P] S 3 = [ 1 R / R 1 ln P ] S 4 = [ 1 R ln P 1 /R 1 ] For β = R /R 1 og z = er værdien af polynomie jævn afagende fra P() = 1 il P(1) = hvor der er vandre angen, og den forskydes opad for z >. For β = er værdien én plus kvadrae på z /R 1, så konklusionen er a polynomie aldrig bliver negaiv. For a reducere skrivearbejde vil de o grænseværdier blive beegne P 1 for øvre grænse og P for nederse grænse. R / R 1 = R / R 1 : P 1 = R R 1 R 1 R 1 og = : P = 1 Grænserne indsæes. S 1 = [ P 1 ln R R 1 P 1 ] [ P ln P ] S 1 = P 1 P ln R R 1 P ln P S = [ P 3 Pln P 1 ln P] S 3 = [ 1 R /R 1 ln P ] S 4 = [ 1 lnp Heril --- ] Vinding har diameer d så der inegreres fra rådens overflade ved x = / + a il den modsae side ved d + a hvor a er afsanden mellem vindingerne (a = d 1 d og d 1 > d ). Den magneiske flux beregnes ved a opfae lederen som en re leder med længden d, og inegraionen benyer e smal bånd med areale da = d dx. ad = / a a d B 1 cos da = I 1 / a x z R / R 1 x x z d dx Leddene samles og inegrale besemmes ved hjælp af e abelværk [4-157, 5-64]. R / R 1 Tore Skogberg Under revision 45

46 = d I ad 1 x dx / a x z = d I 1 [ 1 ln x z ad ] = d I 1 ln ad z / a 4 /a z Afsanden a mellem vindingerne subsiueres med vindingernes diameer og ligningen mulipliceres med 4 i æller og nævner for a fjerne divisionen med. a = d 1 d = d I 1 4 ln d 1d z d d 1 z = d I 1 4 d ln 1 d 4 z d 1 d 4 z Koblingsfakoren beregnes af udrykke fra side 37, hvor de forudsæes a frekvensen er så høj a udrykke med ln(d/) kan benyes for a simplificere redukionen; de svarer il en frekvens på minds khz. Den magneiske flux gennem vinding 1 beregnes efer side 4 og de forudsæes a de o spoler har samme rådykkelse. Udrykkene for de magneiske flux indsæes og der mulipliceres med i æller og nævner hvilke eferlader fakor ½ i ælleren. k = d lnd / d lnd / = d I 1 d ln 1 d 4 z d 1 d 4 z d 1 I 1 ln d 1 d1 ln d 1 d ln d De fælles led med I 1 divideres ud og de ses a nævneren i førse brøk er idenisk med ælleren i kvadrarodens brøk hvilke illader en redukion. Desuden udnyes a ln(x 1/ ) = (1/) ln(x) il a indføre en kvadrarod il logarimens argumen og samidig fjerne fakor ½ fra udrykke. k = d d 1 ln d 1d 4 z d 1 d 4 z d ln 1 ln d, d 1 d z d f khz For z = er udrykke idenisk med de idligere fundne for o vindinger i samme plan. I specialilfælde hvor spolerne er ens (d = d 1) og afsanden er minimal (z = ) er værdien af koblingsfakoren maksimal med værdien k max =,85 for d 1 = 1. I afsanden z = d 1 er k =,65, men de er ikke rimelig a anage a de holder da z ikke længere er lille i forhold il diameeren. Udledningen forudsæer a fele i lederen kan ignoreres. Hvis fele ages i beragning skal leddene med ln(d/) i nævnere ersaes med ln(,43d/) hvilke mindsker k med 3,7 % for en spole med d/ = 1. Tilsvarende bliver fakoren il z forøge fra = 4 il (,43) = 5,9 så leddene med 4z skal ersaes med 5,9z, hvilke yderligere reducerer k med 3,5 % i afsanden z =. Som vis i afsnie om gensidig indukion er udrykke gyldig uanse hvilken vinding der bærer en srøm blo alværdierne indsæes med d 1 for den sørse diameer og d for den mindse; de er give af udledningerne på side 37 som illader brug af den meode der er lees a arbejde med. To vindinger i sor afsand Krave om lille afsand mellem vindingerne kan ikke opfyldes for alle vindinger i en generel spole, så de er nødvendig med e udryk der er gyldig ved sor afsand mellem vindingerne. En mulighed er a benye udrykke B z (side 8) for den magneiske fluxæhed i afsanden z fra plane af vinding 1 og beregne den magneisk flux gennem vinding ved a gange den magneiske fluxæ- Tore Skogberg Under revision 46

47 hed med vindingens areal. Derved anages de a den magneiske fluxæhed er konsan over areale af vindingen og de er illadelig i sor afsand mellem vindingerne; de er dog ikke korrek og ager ikke hensyn il feles krumning, så resulae må forvenes a være i overkanen af de korreke. Areale af vinding er A = πd /4 så den magneiske flux gennem vindingen bliver: = B z A = I 1 1 d d 1 1 z /d = d I 1 4 d 1 1 z /d 1 3 Den magneiske flux gennem vinding 1 beregnes efer side 4 og koblingsfakoren bliver: 1,38d d I 1 k 3 = d 1 ln 1 4 d 1 d ln 1,38d = 1 1z /d 1 1,38d 3 d1 ln 1 d 1 I 1 ln 1,38d 1 d ln 1,38d Leddene πμ I 1/4 og μ I 1/ forkores il en fas fakor på π/. Ledde i nævneren er nu idenisk med ælleren i kvadraroden og illader derved en simplifikaion af udrykke. Ledde (d /d 1) ganges ind i kvadraroden af d 1d il kvadraroden af (d /d 1) 3. k 3 = d 3 d z 3 d 1 ln 1,38d 1 1 ln 1,38d, z d 1 Værdien er k 3 =,85 for z = d 1 = d = 1 og er cirka halvdelen af resulae fra de idligere afsni, som indikaion af a den idligere beregning kun er gyldig i kor afsand. Formlen er udled fra en anagelse om sor afsand, så der ages ikke hensyn il feles krumning ved plane for vinding og værdien må derfor forvenes a ligge i overkanen. Relaionen skal kun benyes som en øvre grænse for koblingsfakoren, så forløbe ved små værdier af z er ikke ineressan og komplicerer en kombinaion af udrykkene for k og k 3, så formlen simplificeres il de følgende udryk, der er asympoisk korrek ved sor afsand mellem vindingerne. k 3 = d 3 1 d /d 1 3 z ln1,38d 1 / ln1,38d /, z d 1 Som nævn e par gange før skal leddene ln(1,38 d/) ersaes med ln(1,7 d/) ved høje frekvenser hvor de magneiske fel inde i lederen går imod nul på grund af srømforrængning. To vindinger i vilkårlig afsand (under revision) Ved kor afsand mellem vindingerne er udrykke for k brugbar, men værdien afager ikke med den krævede redje orden for sor afsand hvorfor udrykke for k 3 må age over. For a få en blød overgang mellem udrykkene benyes en beregning der minder om modsande i parallel, ide den går imod k for k og k 3 for k 3, så den lavese værdi dominerer. k 4 = k k 3 k k 3 Noe: Der savnes videnskabelig dokumenaion for denne sammensæning af formler. Tore Skogberg Under revision 47

48 Resulae vises i figuren nedenfor med en rød sreg. Som de ses er k dominerende op il en afsand på 1 % af diameeren (z = 1 mm) og k 3 ager over ved 75 % af diameeren. Figur 6 Den resulerende koblingsfakor for o vindinger som funkion af afsanden for en spole med o vindinger hvor d 1 = d = 1 mm og = 1 mm. Koden vises nedenfor: Diameeren af de o vindinger sæes il d1 = d = 1 mm og rådens ykkelse il = 1 mm. Afsanden mellem vindingerne repræseneres af en vekor for z der har 1 elemener fra, de vil sige 1 mm, op il 1 m i spring af. Førs beregnes DN som er en fælles konsan i formlerne for k og k3. Dernæs beregnes k og k3 hvor prik-kommandoerne angiver a vekorerne (med z) skal ganges eller divideres elemenvis. Til sids beregnes k4 og resulae skrives ud dels på skærmen og dels il en fil i png-formae. % Koblingsfakorer clear forma compac d1=.1; d=.1; =.1; z=::1; % Ydre diameer (m). % Indre diameer (m). % Ledningens ykkelse (m). % Abscissens koordinaer (m). DN=sqr(log(*d1/)*log(*d/)); k=sqr(d/d1)*log(sqr(((d1+d)^+4*z.^)./((d1-d+)^+4*z.^)))/dn; k3=(pi/)*sqr((d/d1)^3)./(dn*(*z/d1).^3); k4=k.*k3./(k+k3); loglog(z,k, z,k3, z,k4) xlabel('afsand mellem vindingerne, z_ (m)') ylabel('koblinsgfakor') legend('k','k3','k4') axis([ ]) grid on % Skriv resulae il fil. prin -dpng /media/disk/torean/arikel/formlerforspoler/matlab/prinfile.png Tore Skogberg Under revision 48

49 Algorime I dee kapiel vises udledningen af algorimer for o spoleyper. Den førse er skivespolen, der kan bygges på e prinkor ide spolen grundlæggende er af o dimensioner. Den anden er for en generel spole med både ykkelse af beviklingen, ligesom skivespolen, og deril en længde. Skivespole Koblingsfakoren mellem o vindinger r og s beskrives som k rs hvor r er den indre og s den ydre af de o vindinger (se udledningen side 4). k rs = 1 d r d r ln d s d s d s d s 1,38d ln s ln 1,38d r d s d s d r ds d r Selvindukionen af vinding x beregnes af formlen L K hvor udrykke inkluderer selvindukionen fra lederen selv og derfor primær siger mod anvendelse ved lave frekvenser. For anvendelse ved højere frekvenser bør konsanen 1,38 ersaes med 1,7 som vis på side 34. Vindingerne har forskellige diameer, men rådykkelsen anages konsan for hele spolen. For prinkor kan man som en ilnærmelse benye en rådykkelse give alene ved bredden af kobberbanen. L x = d x ln 1,38d x Diameeren af vinding x besemmes som følger hvor d i er den indre diameer mål fra cenrum il cenrum af den inderse vinding. Tykkelsen af beviklingen b er fra cenrum af den inderse vinding il cenrum af den yderse vinding og analle af vindinger N er b/ nedrunde il e helal. Den fakiske afsand mellem vindingerne er derfor give ved spolens pich p så b ikke formindskes. d x =d i x 1 p, n = 1,, N x = r = 1,, N 1, N = helal b p = b N s = r1,, N Resulae sammenlignes med Wheelers formel for en skivespole L WD hvor ydre og indre diameer er henholdsvis d y og d i, den gennemsnilige diameer er d, ykkelsen af beviklingen er b og der er N vindinger ved æ bevikling. Spolens fakiske ydre diameer D y, som måles med en skydelærer, er én rådykkelse sørre end d y med og ilsvarende for den fakiske indre diameer D i af spolen. L WD = 4 1 N d 4 d11b, d = d yd i, b = d y d i, N = b, D y = d y D i = d i For en spole med ydre diameer d y = 1 mm og næsen hel opfyld bevikling (d i = mm) bliver spolens gennemsnilige diameer d = 51, mm ykkelsen af beviklingen b = 49, mm, hvilke levner plads for N = 49 vindinger på spolen. Den beregnede selvindukionen er L = 8, H efer algorimen for en rådykkelse på = 1 mm, hvilke er mindre end 4 % fra Wheelers formel, der giver en værdi på L WD = 83, H. De generelle billede vises nedenfor med en fas ydre diameer på d y = 1 mm, som funkion af den indre diameer med rådykkelsen som parameer. De bedse resula opnås med relaiv yk råd; omkring % af ydre diameer virker opimal, ide værdien ligger indenfor ±5 % for en indre diameer op il 9% af den ydre. Med yndere råd vil Wheelers formel give e noge opimisisk bud på spolens selvindukion. Tore Skogberg Under revision 49

50 Figur 7 Til vensre en sammenligning mellem beregne selvindukion efer algorimen (fuld sreg) og Wheelers formel (siple sreg) for re rådykkelser. Til højre vises afvigelsen fra Wheeler i procen i forhold il algorimens beregning. Konklusionen er a algorimen giver e god resula overfor Wheelers formel for en ynd råd og en indre diameer fra il 8 % af den ydre diameer. De arimeiske gennemsni af dee inerval er en indre diameer omkring 4 % af den ydre diameer og de giver en enkel designregel. d i =,4 d y, =, d y b =,3 d y N = b = 15 L = 45 H/md y Sofware: Algorimen beregner selvindukionen af en skivespole hvor vindingerne ligger i spiralform med en ydre diameer dy for en indre diameer fra il 1 % af den ydre diameer og en rådykkelse med re diskree værdier. % SelvindukionSkiveSpole.m clear forma compac dy=.1; % Diameer af yderse vinding (m). disp(' ') % Blank linje. my=4*pi*1e-7; % Magneisk konsan (H/m). for =1:3 % Sep igennem rådykkelserne. swich case 1, =.5; 1=; % Trådykkelse (m). case, =.1; =; case 3, =.; 3=; end Nmax=fix(dy/(*)); % Sørs mulige anal vindinger. disp(['=' numsr() 'm Nmax=' numsr(nmax) ':']) for q=1:nmax-1 % Indre diameer fra il dy-. di=q*dy/nmax; % Indre diameer (m). x(,q)=di; % Vekor med abscisse-koordinaen. d=(dy+di)/; % Gennemsnilig diameer (m). b=(dy-di)/; % Tykkelse af bevikling (m). N=round(b/); % Anal vindinger. if N== disp([' N= ved di=' numsr(di)]) N=1; end p=b/n; % Afsand (pich) mellem vindinger (m). M(,q)=N; % Wheelers formel. LW(,q)=(pi/4)*my*N^*d/(.4+1.1*b/d); LW(,q+1)=NaN; % Selvindukion efer algorimen. L(,q)=; % Klargør addiion. for n=1:n end % Summen af selvindukion af alle vindinger. dn=di+*(n-1)*p; L(,q)=L(,q)+my*dn*log(1.38*dn/)/; Tore Skogberg Under revision 5

51 end for r=1:n-1 % Summen af gensidig indukion for alle par. for s=r+1:n dr=di+*(r-1)*p; ds=di+*(s-1)*p; krs=( ((pi-1)/)*(dr/ds-/ds).^-(dr/ds-/ds)+... log(ds./(ds-dr+)) ).*sqr(ds./dr)./... sqr(log(1.38*ds/)*log(1.38*dr/)); L(,q)=L(,q)+krs*my*... sqr(dr*log(1.38*dr/)*ds*log(1.38*ds/)); end end if L(,q)== % Afvigelsen fra Wheeler il algorime. disp([' q=' numsr(q) ' x = ' numsr(x(,q))... 'm N = ' numsr(n)]) E(,q)=NaN; else E(,q)=1*(LW(,q)-L(,q))/L(,q); end L(,q+1)=NaN; % Underryk "flyback" linjer. x(,q+1)=nan; M(,q+1)=NaN; E(,q+1)=NaN; if q==1 disp([' di=' numsr(di) 'm d=' numsr(d)... 'm b=' numsr(b) 'm N=' numsr(n)... ' L=' numsr(l(,q)) 'H']) end if q==fix(nmax/) disp([' di=' numsr(di) 'm d=' numsr(d)... 'm b=' numsr(b) 'm N=' numsr(n)... ' L=' numsr(l(,q)) 'H']) end if q==nmax-1 disp([' di=' numsr(di) 'm d=' numsr(d)... 'm b=' numsr(b) 'm N=' numsr(n)... ' L=' numsr(l(,q)) 'H']) end end figure(1) semilogy(x(1,:),l(1,:),'-r', x(1,:),lw(1,:),'--r',... x(,:),l(,:),'-g', x(,:),lw(,:),'--g',... x(3,:),l(3,:),'-b', x(3,:),lw(3,:),'--b') grid on ile(['dy=' numsr(1*dy) 'mm']) xlabel('indre diameer di (m)') ylabel('selvindukion (H)') legend(['a ' numsr(1*1) 'mm'],['w ' numsr(1*1) 'mm'],... ['A ' numsr(1*) 'mm'],['w ' numsr(1*) 'mm'],... ['A ' numsr(1*3) 'mm'],['w ' numsr(1*3) 'mm'],... 'Locaion','SouhWes') prin -dpng /media/disk/torean/arikel/formlerforspoler/matlab/prinfile1.png figure() plo(x(1,:),e(1,:),'-r', x(,:),e(,:),'-g', x(3,:),e(3,:),'-b') grid on ile(['dy=' numsr(1*dy) 'mm']) xlabel('indre diameer di (m)') ylabel('afvigelse (%)') legend(['n ' numsr(1*1) 'mm'],['n ' numsr(1*) 'mm'],... ['N ' numsr(1*3) 'mm'],'locaion','souhwes') prin -dpng /media/disk/torean/arikel/formlerforspoler/matlab/prinfile.png figure(3) plo(x(1,:),m(1,:),':ro', x(,:),m(,:),':go', x(3,:),m(3,:),':bo') grid on ile(['dy=' numsr(1*dy) 'mm']) xlabel('indre diameer di (m)') ylabel('anal vindinger') legend(['w ' numsr(1*) 'mm'],['a ' numsr(1*3) 'mm'],... ['W ' numsr(1*3) 'mm'],'locaion','norheas') prin -dpng /media/disk/torean/arikel/formlerforspoler/matlab/prinfile3.png Tore Skogberg Under revision 51

52 Generel spole (under revision) Algorimen skal nu benyes il a beregne selvindukionen for en spole med både en længde og ykkelse af beviklingen. Spolen er bevikle med N L vindinger i længdereningen og ykkelsen af beviklingen er give ved N R lag af vindinger langs radius. De samlede anal vindinger er N. N R n R n L N L D i d i d n d y D y B Figur 8 Spolen opbygges indefra med vinding 1 og forsæer med N L vindinger i hver af N R lag indil sidse vinding, der i figuren er N = 1. Spolens mål, der kan findes med en skydelære, er den ydre diameer D y, den indre diameer D i, ykkelsen af beviklingen B og den oale længde af spolen C. Disse sørrelser benyes ikke i beregningen, men en omsæning er vigig. Den indre diameer er d i, den ydre diameer er d y og de er begge mål cenrum il cenrum af vindingen, rådykkelsen er og der er N L vindinger i e enkel lag, der er N R lag og i al N vindinger på hele spolen, der anages vikle æ. l C D y = d y D i = d i B = D y D i = N R C = l = N L d y = D y d i = D i = C N L Selvindukionen af spolen beregnes ved hjælp af følgende algorime, der er udvikle side Fejl: Henvisningskilde ikke funde. N L G = n=1 N 1 L n r=1 N s=r 1 k rs L r L s Den enkele vinding idenificeres ved n der dækker område n = 1 N og selvindukionen L n af vinding n er give ved dens diameer d n og rådykkelse fra formlen L K1: L n = d n ln,43d n Der indføres o variable hvor n L angiver en vindings afsand fra førse vinding i længdereningen som anal rådykkelser og n R angiver en vindings afsand fra førse vinding i rening af radius. n R = n 1 div N L d n = d i n R n L = n 1 mod N L l n = n L Division af helal benyer div for helal delen og mod for helal resen. Eksempelvis giver 11/5 e helal på o (11 div 5 = ) og en res på én (11 mod 5 = 1), hvilke svarer il a den sidse vinding i Tore Skogberg Under revision 5

53 spolen er forskud o vindinger langs radius og én vinding langs længden af spolen. Koblingsfakoren k rs beregnes ud fra en kombinaion af o formler. Formlen k, er gyldig ved kor afsand mellem vindingerne, og formlen k 3 er gyldig i sor afsand (se side 47). Den resulerende funkion er ikke eksak, men den udgør e kompromis mellem o funkioner der går imod de korreke i eksremerne. k rs = k k 3 k k 3 Formlerne er under revision ide den beregnede selvindukion er for høj. Formlerne for k og k 3 gengives herunder. k = d d 1 ln d 1d 4 z rs d 1 d 4 z rs d 1 ln ln d og k 3 = ln d 3 1 z d 3 rs d 1 d 1 ln d Vindingernes diameer indsæes med d 1 som den sørse og d som den mindse. Afsanden z rs i længdereningen mellem vindingerne skal kun bruges kvadrere så foregne er irrelevan og de er sreng age ikke nødvendig med den numeriske værdi. d 1 = maxd r,d s d = min d r,d s Afprøvning på spolerne fra eksemplerne: og z rs = l r l s Skivespole med ynd bevikling (side 9) benyer d i =,178 m, =,5 mm og N = 4. Den måle selvindukion er L 1 = 7,9 H og beregningen giver L 1 = 1.5 H, der er 3 % for høj. Kor cylinderspole (side 1) benyer d i =,3 m, =,5 mm og N = 5. Den måle selvindukion er L = 4,35 H og beregningen giver L = 3,5 H, der er 5 % for høj. Lang cylinderspole (side 11) benyer d i =,19 m, =,3 mm og der er re beviklinger med N 3A = 5, N 3B = 15 eller N 3C =, og de er mål il L 3A = 17 H, L 3B = 48 H eller L 3C = 65 H. Beregningen giver L 3A = 17,7 H, der er 4 % for høj, L 3B = 6,6 H, der er 3 % for høj og endelig L 3C = 85,3 H, der også er 3 % for høj. Tore Skogberg Under revision 53

54 REFERENCEFORMLER De var ønskelig med en formel der kunne beregne spolens selvindukion uanse dens geomeri, men de er ilsyneladende kun mulig ved numeriske meoder der beregner spolens gensidige indukion beregnes for hver enkel par af vindinger. Teoreisk korreke formler findes der dog for spoler med visse begrænsninger i den geomeriske udførelse og de gennemgås i dee afsni. Maxwells formel Formlen for en spole med en enkel vinding ilskrives Maxwell, og angiver a selvindukionen af en spole afhænger af dens diameer og rådens ykkelse. De beyder a selvindukionen vokser over alle grænser for en rådykkelse gående imod nul, men logarimen vokser mege langsom ved e sor argumen, så de er ikke e forhold der i praksis bliver re afdæmpe. L M = d [ln 8 d 1,75] En spole med diameren d = 1 mm og rådykkelsen = 1 mm har selvindukionen L = 31 nh. Hvis rådens ykkelse nedsæes il =,1 mm siger selvindukionen med 47 % il L = 455 nh. Talværdien 1,75 ersaes af ved høje frekvenser på grund af srømforrængning (se side 14), hvorved selvindukionen af spolen afager med cirka 5 % (afhængig af forholde d/). En oplag omskrivning benyer reglen om subrakion af logarimer ln(x/y) = ln(x) ln(y), og deril idenieen 1,75 = ln(exp(1,75)), il a bringe alle 1,75 ned i nævneren af logarimens argumen. Division af 8 med exp(1,75) = 5,75 giver 1,39. Den ilsvarende beregning med alværdien vises som Maxwells formel ved høje frekvenser. L M LF = d 1,39d ln eller L M HF = d 1,8d ln Formlen giver,15 % sørre værdi end formlen for simpel spole (L K side 34) for d/ = 1. Formlen er ikke udvikle for spoler med bevikling, men som de vises på side 9 kan de dog gøres med nogen forsigighed ved a indføre N som fakor il μ d, og med som den samlede ykkelse af beviklingen. Cylinderspolen I 1879 lykkedes de for Lorens a finde en eksak beskrivelse af selvindukionen for en spole med e enkel lag af endelig længde. Nagaoka omsae i 19-alle de ellipiske inegraler il nogle hånderbare udryk [6], som gengives her i ariklen med konsanerne afrunde il fire decimaler, så der skal ikke forvenes bedre end ±,1 %. Tråden er dog ersae af en uendelig ynd folie hvori srømmen løber (curren shee). De gør de umulig a realisere spolen i praksis, for selvom resulae nok er eoreisk korrek er de en ilnærmelse alene a bruge de på en fysisk realiserbar spole. De vil kunne ses ved en konrolmåling på spolen, men som vis i eksemple på side 1 kan man ramme emmelig præcis. L S = k N A l eller L S = k 4 N d l Meoden benyer den almindelige formel for cylinderspolen (L S) med en korrekion k ilføje. De er ideen a korrekionen dæmper formlen for cylinderspolen ned ved kor længde hvor den ikke er Tore Skogberg Under revision 54

55 korrek. Korrekionen går derfor fra ved uendelig kore spoler, hvor formlen går imod uendelig, og imod 1 for mege lange spoler, hvor formlen er korrek. For kore spoler (l < d) går værdien af k fra k = ved l =, il k =,688 ved l = d. k = [ln l d [ 4d,5][1 A l l d 1C l d B l d 4] D l E d l 4 F d l 6 d ] A=,3839, B=,171, C=,59, D=,938, E=,, F=,8 For lange spoler (l > d) går værdien af k fra k =,688 ved l = d, il k = 1 ved l. k = 1 A d l B d l 4 1C d l 4 3 d l Formlerne danner en reference for denne arikel for a vurdere hvor god en formel er for spoler med beviklingen liggende i e ynd lag. De er dog svær a relaere resulae il en reel spole så man skal ikke sole blind på resulae. Forudsæningen for meoden er en cylinder af uendelig ynd folie hvor en reel spole vil have srømmen løbende i en leder med en vis rådykkelse. For spoler med en bevikling i flere lag må ykkelsen af lage være lille i forhold il diameeren, men hvornår er lille, lille nok? De spørgsmål søges besvare i afsniene om spoler med bevikling, men førs skal formlen benyes analyisk il a danne e par effekive formler for kore spoler. Kor spole Spoler med mege kor længde er karakerisere ved l/d << 1 og illader derved en simplifikaion ved a fjerne led af anden og højere orden fra k, som derefer ganges på formlen for L S. L K 1 = l d 4d [ln,5 ] l 4 d N l L K 1 = d N [ln 4d,5] l De o led i den firkanede parenes kan samles ved a,5 skrives som ln(exp(,5)) = ln(1,65), hvorefer reglen om subrakion af logarimer ln(x) ln(y) = ln(x/y) flyer konsanen 1,65 ned i nævneren og endelig giver 4/1,65 =,43 som fakor il d/l. De resulerer i en god lille formel, der er indenfor % for en længde op il en redjedel af diameeren. L K 1 = d N ln,43d l, l,35d En forbedring af udrykke medager e af de eferfølgende led for korrekionen og da førse led er på 1 + Ax var de naurlig a forsøge med e enkel led med dee udseende. Efer lid arbejde med a besemme den opimale værdi af koefficienen blev resulae som følger. k = l d 1, l d ln,43d l Indsæes k i udrykke for den cylindriske spole L S findes følgende formel der er indenfor ±,6 % op il l/d =,9 og 1,5 % ved l/d = 1 (ved sammenligning med Lorenz og Nagaoka). Tore Skogberg Under revision 55

56 L K = [1, l d ] d N ln,43d, l d l Resulae ses nedenfor hvor den korreke værdi af korrekionen efer Nagaokas vises med siple rød sreg og den ilnærmede efer formlen ovenfor med blå sreg og begge benyer ordinaaksen il vensre. Afvigelsen fra de ideelle vises med gul sreg og benyer ordinaaksen il højre. 1,,9 1,8,7-1 Værdi,6,5,4,3,,1 Nagaoka Kor spole 1 Afvigelse 1 Kor spole Afvigelse Nøjagighed (%),,,5 1, 1,5, Relaiv længde (l/d) Figur 9 Sammenligning mellem korrekionen med den eoreisk ideelle efer Lorenz og Nagaoka. De gule kurver refererer il den højre akse. -8 Normal spole I dee afsni gennemgås udviklingen af en særk forbedre formel for cylindriske spoler, der på englesk kaldes for solenoid coils. Meoden er en udvidelse af den simple L S formel hvor der nu ages hensyn il randfele. Der forsøges ikke udled en eksak eoreisk model, men derimod anvendes en række af rimelige anagelser, som leder il e forbløffende nøjagig resula. De er give a den magneiske flux Φ løber i lukkede baner omkring lederene med en værdi give alene ved srømsyrken og spolens geomeri. Se fra enden af spolen vil fellinjerne forlade e område med areale A = πr, hvor R er radius i spolen, så vi har Φ = BA for den magneiske flux inden i spolen, ide den magneiske fluxæhed anages konsan over værsnie. Udenfor spolen spredes den magneiske flux over e mege sørre areal så fluxæheden afager mod nul. c B h = B/16 R Φ/ B b R R = B/ R/ R B(x) Φ A da = πxdx Figur 3 Fluxæheden falder særk med afsanden fra spolen så hovedparen af den magneiske flux flyder i e relaiv ynd bånd langs med spolens yderside. Den magneiske fluxæhed vil afage fra værdien B R ved randen af spolen, hvor x = R, og vil for Tore Skogberg Under revision 56

57 sørre afsand følge relaionen (R/x) 3, som de vises i afsnie side 8. De skal bemærkes a udledningen af formlen forudsæer x >> R, men de vil der ikke blive age hensyn il her. B x= R x 3 B R, x R Den magneiske fluxæhed B R er ikke kend så den skal førs faslægges. De benyes her a den oale magneiske flux udenfor spolen er den samme som inde i spolen. Den magneiske fluxæhed B(x) er konsan over e lille arealelemen da i afsanden x fra cenrum af spolen, så den magneiske flux gennem arealelemene er dφ = B(x)dA, og arealelemene er da = xdxdφ i afsanden x og da inegraion rund i en cirkel svarer il π gange radius kan arealelemene skrives som funkion af radius alene. De giver den magneiske flux gennem arealelemene. d =B xda, da= xdx d = B R R x 3 xdx Den oale magneiske flux er Φ = BπR inde i spolen, og den er lig med den oale magneiske flux udenfor spolen, som besemmes ved a inegrere dφ fra spolens radius mod de uendelige. Herved kan den magneiske fluxæhed ved kanen af spolen B R besemmes il a være halvdelen af værdien B inden i spolen. Værdien er ikke kend og kan førs faslægges på e senere idspunk i analysen, men indil videre vil den blive berage som om den var en kend sørrelse. = R d = B R R 3 R dx x = B R R3 [ 1 x ] R = B R R B R = R = B Dernæs beregnes ykkelsen af de bånd som hovedparen af den magneiske flux løber igennem på gennem sin vej ilbage il den anden ende af spolen. Område udenfor spolen ænkes opdel i o afsni som skal dele den magneiske flux i o lige sore dele. Den ene del har 5 % i område fra R il en ukend afsand h og de reserende 5 % i område fra h il de uendelig fjerne. For a besemme afsanden h balanceres o inegraler, som hver beregner den magneiske flux fra henholdsvis R il h og fra h il uendelig. Inegralerne er magen il de forrige inegral blo med andre grænser. Fakor πb RR 3 er fælles for inegralerne og kan divideres bor. Resulae viser a afsanden er h = R så halvdelen af den magneiske flux løber i e bånd mellem R og R, med resen af den magneiske flux udenfor dee bånd. h R dx x = dx 1 h x h 1 R = 1 h h= R Relaionen af redje orden benyes igen for den magneiske fluxæhed i afsanden h = R, hvor den magneiske fluxæhed vil anage en oendedel af niveaue ved ydersiden af spolen, hvor de ovenfor var funde il B/. Den magneiske fluxæhed i afsanden h udenfor spolen vil derfor være afage il B/16. B h = R h 3 B R = R R 3 B = B 16 Areale af bånde er give ved en cirkel med radius R minus spolens areal, så den gennemsnilige værdi af den magneiske fluxæhed indenfor bånde nærmes spolen bliver B/6. A h =R R =3 R B 5 =,5,5 B R = = B A h 3 R 6 Relaionen (R/x) 3 gælder når spolens længde er lille i forhold il afsanden. Ved lange spoler spre- Tore Skogberg Under revision 57

58 des fele så anagelsen om e smal bånd i nærheden af spolen ikke længere holder. Fele vil nå ud hvor den magneiske fluxæhed er svække, og de påvirker beregningen af B cdl cd. Fele anages a følge en halvcirkel med cenrum ved spolens overflade og en diameer lig med spolens længde l cd plus dens diameer d, hvilke giver en afsand på r = l cd/ + R, og deril kommer vejen langs linjesykkerne b c og d a, som begge anages a være kvare cirkelbuer. Produke B cdl cd for reurvejen er give af den magneiske fluxæhed B cd langs med linjesykke og længden l cd af linjesykke. Den magneiske fluxæhed i afsanden r fra spolens overflade er give ved relaionen af redje orden med afsanden som x = R + r, og vejlængden er give ved en halv cirkelbue med radius r så l cd = πr. Produke af de o udryk er nul for en mege kor spole (på grund af fakor r) og igen for en mege lang spole (på grund af r 3 i nævneren). Funkionen vokser fra nul il e maksimum for derefer a afage asympoisk mod nul i de uendelig fjerne. B cd =B R 3 R Rr 3 R, l cd = r, B cd l cd =B R Rr r r r Maksimalværdien er ved r = R/ og værdien kan udrykkes som,33 gange den magneiske fluxæhed inde i spolen B gange spolens radius R. r=r/ : 3 1 B cd l cd =B R 1,5 R =,456 B R R=,33 BR B cd l cd,33 BR De 5 % af den oale magneiske flux, som løber æ på ydersiden af spolens bevikling, vil inde i spolen også løbe æ på beviklingen. De kan benyes il a finde en omrenlig længde for de o buesykker l bc og l da i enderne af spolen. Værdien beregnes førs for en spole hel uden længde (l cd = ) og værdien anages halvere for en lang spole hvor fellinjerne løber som vis nedenfor. Spolens værsni deles op i en indre del og en ydre del, der hver bærer 5 % af den magneiske flux. De o dele må have samme areal på A/ = πr / og de kræver a radius fra kernen er R/ og afsanden herfra il kanen af spolen er derfor R R/ =,93R. De ydre bånd langs kurven b c beregnes som buelængden af en halvcirkel der srækker sig fra skillelinjen ved,93r indenfor spolens yderside il R udenfor spolen så diameeren er 1,93R. Vejlængden langs halvcirklen er π/ gange diameeren så den bliver l bc = (π/)1,93r =,31R som den sørse afsand og længden er nul ved spolens kan, så den gennemsnilige vejlængde ved enden af spolen beregnes som gennemsnie il l bc = 1,15R. Undervejs falder den magneiske fluxæhed fra B ved kanen il spolen, il B 5 = B/6 ved den gennemsnilige vej ilbage, og de vælges a benye de geomeriske gennemsni (kvadraroden af B gange B 5) på,48b. B cd l cd c R r R d l bc l da Figur 31 Beregning af vejlængden langs c-d for magnefele langs ydersiden af spolen. Dermed giver inegraionen langs randfele i hver ende af en mege kor spole: l B h l bc =B h l da =1,15,48 B R=,414 B R Når spolens længde vokser vil vejlængden af fellinjerne ved enderne afage fordi angenen il reurvejen bliver mere skrå, og for en lang spole vil fellinjerne kun gennemløbe en kvar cirkelbue i hver ende og ikke en halvbue. De beyder a B bcl bc og B dal da begge afager fra,414br ved l = il de halve når spolen er mege lang (,7BR). Undervejs, ved en længde på l = R/ = d/4, be- Tore Skogberg Under revision 58

59 nyes i mangle af eksak viden gennemsnie af de o værdier, så B bcl bc = B dal da =,311BR. Som e resumé af analysen er der give de følgende fikspunker for Bl-produkerne: Længde Endesykker Langs siden Sum l= B bc l bc =B da l da =,414 BR B cd l cd = Bl=,88 BR l=d / 4 B bc l bc =B da l da =,311 BR B cd l cd =,33 BR Bl=,855 BR l B bc l bc =B da l da =,7 BR B cd l cd = Bl=,414 BR Den resulerende værdi for reurvejen fra b ilbage il a er næsen konsan med længden fra nul il d/4 og de er rimelig a forvene nogenlunde samme resula for srækningen fra d/4 og e sykke op, ide værdien kun falder il cirka de halve ved de uendelig fjerne. Summen kan derfor opfaes som konsan med en gennemsnilig værdi på,84br for relaiv kore spoler. Amperes lov har i forvejen bidrage Bl ab fra inegraionen langs spolens cenerakse hvor den magneiske fluxæhed er B. De er nu mulig a besemme værdien af den magneiske fluxæhed i cenrum af spolen og de vil blive udnye a spolens længde er l = l ab. N I =BlB ba l ba B= N I l,841 R B= N I l,4d Selvindukionen besemmes fra L = N/I = NBA/I, og de giver relaionen for en normal spole med længden l og diameeren d. L N = N A l,4d eller L N = 4 N d l,4d Resulae er indenfor ±3,5 % for en længde på l >,1d. For spolen på side 1 giver formlen en værdi på L N = 4,9 μh, der er,3 % for lav. Der er megen lighed med Wheelers formel, blo er konsanen il diameeren her,4, hvor Wheelers formel benyer en konsan på,45. Wheelers formler Den mes kende formel for beregning af spolers selvindukion er givevis Wheelers formel, men andre formler eksiserer fra meserens hånd og e par af dem omales i de følgende. De er alle ilnærmede formler for esimering af spolers selvindukion. Cylinderspolen Formlen for L S (side 3) går imod uendelig for længden gående mod nul så korrekionen skal gå mod nul for a kompensere og korrekionen skal deril gå mod il én når længden vokser over alle grænser og formlen bliver asympoisk korrek. Wheelers formel for cylinderspolen er e elegan bud herpå med ±,33 % afvigelse for en spolelængde på l,4d hvilke svarer nogenlunde il en spolelængde sørre end radius. l k W = l,45d, l d,4 Korrekionen vises nedenfor som den blå sreg med afvigelsen som gul sreg. Indsæes korrekionen k W i udrykke for L S findes den berøme Wheelers formel, der gengives herunder for en spole med cirkulær værsni; for e ande værsni kan d /4 ersaes af areale A. Ved division med diameeren i æller og nævner bringes formlen på en form, der viser a spolens geomeri repræseneres af en parameer give ved forholde mellem længde og diameer. Tore Skogberg Under revision 59

60 L W = 4 N d l,45d = 4 N d,45l/d, l,4 d A dømme efer referencer på inernee er dee selve formlen for beregning af spolers selvindukion, og den benyes ilsyneladende fliig il spoler med flere lag råd i beviklingen, ganske uanse eksisensen af formler der ager hensyn il beviklingens ykkelse. Værdi 1,,9,8,7,6,5, ,3,,1 Koefficien Tilnærmelse Afvigelse ,,,,4,6,8 1, 1, 1,4 1,6 1,8, Relaiv længde (l/d) Figur 3 Sammenligning mellem korrekionen ved Wheelers formel med den eoreisk ideelle efer Lorenz og Nagaoka. Den gule kurve refererer il den højre akse. Kær barn har mange navne og formlen findes i e hav af udgaver på inernee, som ofes i en simplificere udgave hvor konsanerne er gange sammen i e forsøg på a lee brugen. A dømme efer de mange fora med hjælp il beregning af spolers selvindukion er de ikke den bedse fremgangsmåde, men da den er udbred vises baggrunden for formlerne. Produke af π/4 og den magneiske konsan μ = 4π 1 7 H/m giver resulae π 1 7 H/m, og da π kun er 1,3 % mindre end 1 kan konsanerne opfaes som en komplicere måde a skrive 1 μh på. -8 L W EU N d l,45 d L W EU i mikrohenry for d og l i meer For en spole med længden l = 1,7 mm og diameeren d = 5,4 mm er l/d =,5 så Wheelers formel er korrek indenfor ±,33 % og med N = 5 vindinger bliver L W = 16,49 μh. Den ilnærmede formel giver L W(EU) 17,71 μh der er 1,3 % for høj på grund af ilnærmelsen π 1. Formlen ses ofe gengive i amerikanske hjemmesider som følgende udryk hvor længde og radius indsæes i ommer (inch). Ide 1 m = 39,4 ommer, og da de er æ på 4 ommer, vil formlen blive 4 gange sørre med diameeren indsa i ommer. Men da der benyes radius, og r = d /4, bliver der kun gange med 1, og der kompenseres der for ved a dele i nævneren med 1. L W US = N r 9r1l L W US i mikrohenry for d og l i ommer For samme spole med l =,5 omme og r = d/ =,5 omme beregnes L W(US) 16,45 μh, hvilke er,3 % under værdien fra Wheelers formel, så de er en rigig god ilnærmelse. Tore Skogberg Under revision 6

61 Skivespolen Spolen har beviklingen liggende som en spiral i e plan og Wheeler angiver følgende formel [8-8] hvor N er analle af vindinger, d er spolens gennemsnilige diameer og b er ykkelsen af beviklingen, regne fra cenrum af den indre diameer d i il cenrum af den ydre diameer d y. De oale ydre mål bliver d y + og den indre diameer (hulle i cenrum af spolen) er på d i. Hvis spolen vikles æ vil N vindinger med rådykkelsen give en ykkelse af beviklingen på b = N, igen regne cenrum-il-cenrum af råden, så beviklingens oale ykkelse er b +. L WS = 4 1 N d 4 d11b, d = d d 1, b = d d 1 = N Wheeler angiver e fejlniveau på 5 % ved æ bevikling, men der rapporeres op il % fejl ved brug af formlen når der er en sor afsand mellem lederene så spolen bør vikles æ. For en mege ynd bevikling (b ) er hele beviklingen koncenrere i spolens periferi og formlen reduceres il L WS = 1,96 dn. Formlens resula skal svare il formlen for kor spole L K1 og de kræver en rådykkelse på = d/5, hvilke svarer il 1 mm for en spole med 5 mm diameer. Generel spole En udvidelse af Wheelers formel for en spole med radius r, længde l og en bevikling med ykkelsen b. I amerikanske kilder gengives den som vis herunder, hvor selvindukionen er i mikrohenry for dimensionerne i ommer. I dee dokumen benyes diameeren frem for radius og omsæning il meriske enheder klares ved a gange med 39,4 i ælleren ide der går 39,4 ommer på en meer. Formlen benyer en spoles areal på πr = πd /4, så de ilhørende konsaner indføres og fakoren i ælleren juseres ilsvarende. L WB =,8r N 6r9l1b d = r,d N 3d9l1b 39,4 m/in 7,874 d N 3 d9 l1b A = 4 d 4 1,d N 3d9l1b Endelig indføres den magneiske konsan og fakoren i ælleren juseres ilsvarende (il 7,97 der afrundes il 1) så vi når frem il e udryk, der er neural overfor de anvende enhedssysem. Den gennemsnilige diameer og ykkelsen af beviklingen beregnes som idligere og spolens oallængde er rådykkelsen sørre end spolelængden da der regnes fra cenrum il cenrum af beviklingen. L WB = 4 8 d N 3 d 9 l1 b, d = d d 1, b = d d 1 = N, l = l T Formlen skal sammenligned med Brooks coil. Med dimensionen l = b = d/3 indsa er de o formler mindre end,5 % fra hinanden. L WB = 4 8 d N 3d3d3,33d = 4 8 d N 9,33d =,673 d N hvor L B =,676 d N For spoler med ynd bevikling bør formlen nærme sig Wheelers formel, hvor nøjagigheden er kend, men de gør den desværre ikke; formlen giver 11 % for lid beregne selvindukion ved mege lange spoler; de er dog nok e problem de flese kan leve fin med. Referencen viser formlen som 31,33 N r /(8r+11b) hvor r er radius. Brug af diameer ersaer 8r med 4d i nævneren og konsanen 31,33 deles med 4 på grund af kvadrae på radius (r = d /4) il 7,83. De er æ på 1/4 = 7,85, og ide d /4 er areale af en cirkel, har Wheeler med sor sandsynlighed udryk formlen ved spolens areal og ikke ved radius. Tore Skogberg Under revision 61

62 b= L WM = 4 8 d N 3d9l =,889 4 d N,333 dl hvor L W = 4 d N,45dl Nær ved grænsen for den almindelige formel (l =,4d) er den beregnede værdi efer den modificerede formel 3 % for høj i sammenligning med Wheelers formel og de må egenlig regnes for e ganske god resula. l=,4 d L WM =,889 4 d N,333 d,4d =,95 d N hvor L W =,94 d N Ved hel kore og ynde spoler, hvor længde og ykkelse af beviklingen er give af rådykkelsen, bør formlen nærme sig de logarimiske udryk. Regnes rådykkelsen for repræsenere ved længden og benyes forholde d/l = 1 findes en fejl på 5 % så her må den modificerede formel siges a give op, men de gør den ikke-modificerede Wheelers formel også. l=b=,1 L WM =,889 4 d N,335 d =,8 d N hvor L K1 =,75 d N Dee er ikke e bevis af formlens generelle gyldighed, men en analyse af hvordan den opfører sig i e par udvalge siuaioner. Brooks coil I lierauren mødes Brooks coil, der skal være nær ideale for hvor mege selvindukion man kan få ud af en spole ved brug af minds mulig kobber. l d b En spole med sørs selvindukion for minds forbrug af råd kaldes for Brooks coil. Den har kvadraisk værsni af beviklingen og diameeren er re gange siden i værsnie. Spolens beviklingen har kvadraisk værsni med sidelængden l = b, og den indre diameer er o gange ykkelsen (d 1 = b) så den gennemsnilige diameer bliver 3 gange ykkelsen (d = 3b). Dimensionerne er ypiske for de spoler der eksempelvis findes i en højalers delefilre og selvindukionen varierer kun lid med geomerien så de er ikke live om a ramme dimensionen hel præcis. Selvindukionen er give af nedensående formel [8] der benyer spolens radius R. For brug her omregnes formlen il diameeren d. L B =1,353 N R L B =,676 N d Tore Skogberg Under revision 6

63 APPENDIKS I dee kapiel gennemgås emner der er for unge il den almindelige fremsilling. Magneisk fluxæhed Leder Den elekriske leder har en vis ykkelse og srømmen løber ikke kun i cenrum af lederen, som de er forudsa i de idligere afsni. I praksis løber srømmen enen i hele værsnie af lederen ved lave frekvenser eller i e ynd lag ved overfladen af lederen ved høje frekvenser. De har beydning for den magneiske fluxæhed inde i lederen, men en vigig konklusion på analysen er a resulae udenfor lederen uændre af srømmens profil inde i lederen, så i praksis kan man med god samviighed anage a srømmen løber i e uendelig ynd bånd i miden af råden. På grund af symmerien må cenrum af lederen være felfri uanse om srømmen løber jævn eller kun langs overfladen. Ved lave frekvenser er srømmen jævn fordel over lederens værsni, og den magneiske fluxæhed vokser lineær fra nul ved cenrum il den værdi som B 1 angiver ved overfladen af lederen (se side 19). Ved høje frekvenser er srømmen henvis il a løbe i overfladen af lederen og her er hele den indre del af lederen uden magneisk fel. p m B(x) a φ r m θ x Figur 33 - Beregning af fele indeni og udenfor en leder ved brug af Amperes lov. Modellen benyer e anal parallelle ledere og illusraionen benyer en leder p m langs periferien. Den magneiske fluxæhed kan beregnes ved hjælp af Amperes lov for en leder med radius a. Lederen opfaes som besående af A parallelle ledere, der hver bærer 1/A af srømmen. Den magneiske fluxæhed fra hver af disse ledere er μ I/πAr m, hvor r m er afsanden fra leder nummer m il de punk hvor den magneiske fluxæhed skal beregnes. Den fysiske leder placeres med cenrum i koordinasysemes nulpunk og hver af de A ledere vil blive placere langs periferien af M koncenriske cirkler. For den inderse cirkel er radius a/m og der anbringes seks ledere med 6 indbyrdes afsand (π/6) da de svarer il afsanden a/m mellem hver leder (der er neop seks korder i en cirkel). For den næse cirkel er radius a/m, men afsanden mellem lederene er sadig a/m så denne cirkel rummer 1 ledere med 3 indbyrdes afsand (π/1). Derefer kommer cirkel nummer re med 18 ledere i spring (π/18) og så videre. De samlede anal ledere for M koncenriske cirkler bliver [4-193, 5-18]: A=3M M 1, M=1,,3,... For leder nummer p er koordinaerne for lederen i punke p p give ved ligningerne for punker langs en cirkels periferi, og ledde π/1 er indfør for a undgå ledere langs med radius ide de giver division med nul når afsanden beregnes for punker inde i selve lederen. p p = x p y p =a m M cos p m, p = a m M sin 6 M, m=,1,...,m 1 1 p Punke på x-aksen hvor den magneiske fluxæhed skal beregnes vil blive beegne med x og Tore Skogberg Under revision 63

64 vekoren r p fra p p il x = (x, ) er give ved vekorsubrakion. Desuden besemmes normalvekoren N A der angiver reningen af fele [4-79]. r p = p p =x p p = x x p y N y p p = p x x p Afsanden fra p p il punke beegnes r p og beregnes ved Pyhagoras [4-77]. Vinklen af B(x) er θ p og er angive ved normalen il vekoren r p. Cosinus il vinklen er give af de rigonomeriske forhold som hossående side (x x p) del med hypoenusen (r p). r p = x x p y p og cos p = x x p r p Den magneiske fluxæhed for hver enkel af de A ledere opskrives direke efer Amperes lov som fele omkring en leder i afsanden r p og den resulerende magneiske fluxæhed beregnes ved hjælp af princippe om superposiion ved a addere dem alle. For hver af de M koncenriske cirkler er der 6M ledere og variable m og p benyes il a ælle igennem alle lederene. Cirklerne ælles med m fra 1 il M og for hver cirkel løber p gennem de 6M ledere fra il 6M 1. B p = I B= M r p m= M 1 p= 6m 1 I M r p Algorimen er ilsvarende for den anden model hvor der kun benyes ledere i den cirkel der repræsenerer overfladen af lederen. Her er radius fas på a og cirklen deles op i N ledere så hver enkel leder bærer en N'e del af den samlede srøm. Koden i MATLAB vises nedenfor og en kor forklaring af noaionen gengives korfae. Afsanden fra cenrum beskrives ved en x-vekor der går fra cenrum og ud il afsanden mm med spring på,1 mm som definere ved den lid krypiske MATLAB kode :.1e-3:e-3, der opreer en vekor med 1 elemener. Den nominelle magneiske fluxæhed beregnes BN og bliver ligeledes en vekor med 1 elemener. Divisionen benyer en prik-operaor ved punkumme før divisionsegne for a indikere a punkerne i BN skal beregnes for hver af punkerne i x. Division med nul undgås ved addiion med eps, der er en forud definere værdi. Den magneiske fluxæhed i punke x beregnes i de o løkker ved B1, der ligeledes bliver en vekor med 1 elemener, og for modellen kun med srøm i overfladen af lederen er de B der benyes. Til slu vises resulae ved plo-operaoren, hvor der førs ploes for BN(x) med blå farve, dernæs B1(x) med rød farve og endelig B(x) med grøn farve. clear forma compac x = :.1e-3:e-3; BN = (4*pi*1e-7)./(*pi*x+eps); a =.5e-3; % Vekor for x-aksens punker (m). % Nominel felsyrke (T). % Radius af leder (m). % Jævn fordeling af srømmen. M = 1; A = 3*M*(M+1); B1 = ; for m=1:m P = *pi/(6*m); for p=:(6*m-1); % Anal cirkler i lederens værsni. % Anal parallelle ledere. % Sep igennem analle af cirkler. % Faseinkremen for cirkel m (rad). % Sep gennem punkerne på hver cirkel. xp = (a*m/m)*cos(p*p+p/); % Koordina x for leder m. yp = (a*m/m)*sin(p*p+p/); % Koordina y for leder m. rp = sqr((x-xp).^+yp^)+eps; % Afsand il x for leder m. cosphi = (x-xp)./rp; % Afvigelse fra 9. B1 = B1 + cosphi./(*pi*rp); % Felsyrke fra leder m,p end end B1 = B1 * (4*pi*1e-7)/A; % Srøm i overfladen af lederen. Tore Skogberg Under revision 64

65 N = 1; B = ; P = *pi/n; for p=:(n-1); % Anal ledere langs overfladen. % Faseinkremen for cirkel m (rad). % Sep gennem punkerne. xp = a*cos(p*p+p/); % Koordina x for leder m. yp = a*sin(p*p+p/); % Koordina y for leder m. rp = sqr((x-xp).^+yp^)+eps; % Afsand il x for leder m. cosphi = (x-xp)./rp; % Afvigelse fra 9. B = B + cosphi./(*pi*rp); % Felsyrke fra leder m,p end B = B * (4*pi*1e-7)/N; % Plo resulae. plo(x,bn,'-b', x,b1,'-r', x,b,'-g') axis([ e-3 1e-3]) ile(['radius=',numsr(1*a), 'mm']) xlabel('posiion x (m)') ylabel('magneisk fluxæhed (T)') legend('teoreisk værdi', 'Jævn srømfordeling', 'Overfladesrøm') Magneisk fluxæhed Spolens værsni I den analyiske del er den magneiske fluxæhed beregne i cenrum af en spole ved hjælp af Bio og Savars lov og udnyelse af spolens symmeri. Der er behov for en generel besemmelse af den magneiske fluxæhed i ehver punk i nærheden af spolen for a kunne besemme koblingsfakoren mellem o spoler i en vis indbyrdes afsand. Den bagved liggende maemaik er ikke uoverkommelig og inegralerne kan løses med kend eknik, men arbejde involverer ellipiske inegraler hvis løsning er udenfor rækkevidde af ariklens forfaer, så en numerisk ilgang virker derfor som e arakiv alernaiv. L 1 x r (x,,z ) r xy 1 R 1 r x y z I 1 z Figur 34 - Model af en spole for beregning af den magneiske fluxæhed i e vilkårlig punk. Den magneiske fluxæhed besemmes i e punk beskreve ved vekor r fra cirklens cenrum og il punke (x,, z ) som vis ovenfor. Den valge beskrivelse dækker ehver punk forskud med x fra cenrum og i afsanden z fra cirklens plan. De er uden prakisk beydning a y-koordinae er sa il nul, for cirklen er upåvirke af en roaion i de plan den ligger i, så x repræsenerer blo en afsand væk fra cenrum. Vekor r angiver de punk hvor den magneiske fluxæhed skal beregnes. Spolens periferi beskrives ved vekor r xy fra cirklens cenrum il e punk på periferien med radius R og en drejning θ, der løber fra il π. På de punk ved spolens periferi findes linjesegmene dx. Vekoren fra linjesegmene r xy il de punk hvor den magneiske fluxæhed skal beregnes (r ) beegnes med r og beregnes som en vekordifferens [4-78]. Der er behov for orieneringen af linjesegmene dx og da den følger med rund langs spolens periferi vil den have samme rening som angenen il cirklen og er derfor give ved normalen il vekor r xy [4-79]. r = x z, cos r xy = R sin, r = r r xy = x R cos R sin z, dx = Rd sin cos Tore Skogberg Under revision 65

66 Længden af afsandsvekoren r beregnes som kvadraroden af kvadrae på de enkele led [4-77] og de udnyes a cos (θ) + sin (θ) = 1. r = x R cos R sin z r = x R cos x R cosr sin z r = R x z x R cos Krydsproduke mellem vekorerne dx og r er kræve i udrykke efer Bio og Savar og de findes il nedensående resula [4-78]. x R cos cosz R sin = Rd sinz z R sin cos x R cos dx r = Rd sin cos Parenesen for z-komponenen beregnes og de udnyes a sin (θ) + cos (θ) = 1. z cos z cos dx r = R d z sin = R z R sin x cosr cos d sin R x cos De o udryk for henholdsvis z-komponenen af krydsproduke og længden af vekoren r kan nu indsæes i Bio og Savars formel. Resulae er e udryk for den magneiske fluxæhed i observaionspunke (x,, z ) med en ligning for hver af de re akser. db = I 4 dx r r 3 db = I 4 z R d cos z R x z x R cos 3 sin R x cos Den magneiske fluxæhed i punke give ved vekor r besemmes ved inegraion over θ, der løber fra il π. Ved en numerisk inegraion kan θ ikke gennemløbe alle værdier, så der benyes N diskree værdier θ n, med n =,, N 1. Dermed er linjesykke dx ikke en uendelig kor del af spolens periferi, men har en længde på en brøkdel af omkredsen, så dx = R/N. Den magneiske fluxæhed i punke (x,, z ) beregnes derefer ved a addere bidragene fra de N linjesegmener langs med cirklens periferi. N 1 B = db n hvor db n = I n= 4 R d n z cos n z R x z x R cos 3 sin n R x cos n Konsanen μ I/4π ganges med Rdθ n = πr/n il μ RI/N, som er en fas fakor il alle led og derfor kan sæes udenfor addiionen. Vinklen mellem o punker bliver dθ n = π/n, og de faslægger længden af dx il Rdθ n. Spolens periferi kommer il a beså af N kore linjesegmener og for passende sor værdi af N vil de komme il a ligne en cirkel. Den føromale forskydning er på dθ/ så beregningen ikke kommer il a dividere med nul selv ved x = R og z =. B = R I N 1 N n= z 1 cos n z R x z x R cos 3 sin n n = R x cos n, n,5 N Tore Skogberg Under revision 66

67 Denne algorime benyes i de følgende il beregning af vekorkomponener af den magneiske fluxæhed og danner model for den eferfølgende analyse af fele fra en skivespole. En analyse af algorimens dimension vil vise a den bliver Hm A. Inegraion over e areal giver en flux il HA og division med srømmen giver selvindukionen il H. De er mulig a normere koordinaerne x og z efer radius, hvilke viser a feles form er give af ganske få paramere ide de nye variable x og z suveræn syrer variaionen i de re reninger, og radius er reducere il a skalere den magneiske fluxæhed, men delager ikke i beregningen på anden vis. Med andre ord, så opfører o spoler sig fuldsændig ens med hensyn il hvordan den magneiske fluxæhed varierer, hvis alle afsande regnes som proporioner ud fra radius. Den numeriske inegraion beregner den magneiske fluxæhed for e punk der ligger i afsanden z over spolens plan og i afsanden x fra cenrum af spolen. B= I N 1 R N n= z cos 1 n z sin 1x z xcos n 3 n 1 x cos n, n = n N, x= x R, z= z R Resulae vises nedenfor for den absolue værdi af den magneiske fluxæhed (uanse dens rening) for i al oe værdier af højden. Spolens periferi er opdel i linjesykker svarende il spring af 3 (N = 1). Ved afsanden z = vil fluxæheden gå imod uendelig ved periferien (x = 1). Den værdi, der kommer nærmes, vises for z =,1 i den vensre figur (røde kurve). Den magneiske fluxæhed skal være 1,6 μt i cenrum af spolen for z = (side 8) og den røde kurve er æ på. Den magneiske fluxæhed i cenrum er samme sed besem il 4,44 μt for en højde på z = 1 (blå kurve i højre figur) hvilke også er æ på. M a g n e i s k f l u x æ h e d B ( T ) 4. x R = 5 m m, I = 1 A z = z / R =. 1 z = z / R =. z = z / R =. 3 z = z / R =. 4 M a g n e i s k f l u x æ h e d B ( T ) x R = 5 m m, I = 1 A z = z / R =. 5 z = z / R = 1 z = z / R = 1. 5 z = z / R = N o r m e r e a f s a n d l a n g s r a d i u s x = x / R N o r m e r e a f s a n d l a n g s r a d i u s x = x / R Figur 35 - Den magneiske fluxæhed langs radius for en spole i oe forskellige højder over spolens plan angive som syrken af fele uanse felreningen. De ses a for z < R vil den magneiske fluxæhed sige over værdien i cenrum når punke er i nærheden af spolens periferi og for z > R vil den magneiske fluxæhed afage når punke bevæges væk fra cenrum. De ses også a værdien i cenrum kun ændres ganske lid for en afsand over spolens plan på z < R/1, hvilke er på linje med resulae fra side 8. Til sammenligning viser figuren nedenfor fele langs x-aksen (vensre) og y-aksen (højre); de vil sige i de plan spolen ligger. Den røde kurve il vensre (z =,5) er lid mindre end den absolue værdi fordi feles rening skifer i nærheden af lederen fra a så nogenlunde vinkelre på plane il a være mere i parallel med plane. I figuren il højre vises fele i y-aksens rening, og som de ses er der ale om søj fra beregningen; felreningen ligger i xz-plane og har ingen komponen i y-aksens rening, så værdien skal ideel være nul (maksimum er 11 1 ). De er en konsekvens af forudsæningen om roaionssymmeri fele beregnes sle ikke i y-aksens rening. Tore Skogberg Under revision 67

68 M a g n e i s k f l u x æ h e d B ( T ) x R = 5 m m, I = 1 A z = z / R =. 5 z = z / R = 1 z = z / R = 1. 5 z = z / R = M a g n e i s k f l u x æ h e d B ( T ) 1 x 1 - R = 5 m m, I = 1 A z = z / R =. 5 z = z / R = 1 z = z / R = 1. 5 z = z / R = N o r m e r e a f s a n d l a n g s r a d i u s x = x / R N o r m e r e a f s a n d l a n g s r a d i u s x = x / R Figur 36 - Den magneiske fluxæhed langs radius for en spole i fire forskellige højder over spolens plan vis for x-koordinaen (vensre) og y-koordinaen (højre). Feles rening skifer ved spolens periferi og maksimum nås lid udenfor periferien på grund af spredningen. Fele langs z-aksen er af sørs beydning for koblingen mellem o vindinger i en spole ide de er den enese komponen der repræsenerer fele som krydser ind igennem den anden spoles areal og derfor er udslagsgivende for den magneiske flux igennem denne anden kreds. Figurene nedenfor viser forløbe af fele langs med z-aksen i forskellige planer forskud fra spolens plan. M a g n e i s k f l u x æ h e d B ( T ) x R a d i u s = 5 m m, I = 1 A z = z / R =. 1 z = z / R =. z = z / R =. 3 z = z / R =. 4 M a g n e i s k f l u x æ h e d B ( T ) x R a d i u s = 5 m m, I = 1 A z = z / R =. 5 z = z / R = 1 z = z / R = 1. 5 z = z / R = N o r m e r e a f s a n d l a n g s r a d i u s x = x / R N o r m e r e a f s a n d l a n g s r a d i u s x = x / R Figur 37 - Den magneiske fluxæhed langs x med højden z over spolen som parameer. Til vensre er højden fra,1 il,4 gange radius, og feles signing nær ved lederen ses ydelig for afsanden x = R/1. Til højre er højden fra,5 il gange radius, og feles afagen med afsanden er ydelig. I kor afsand fra spolens periferi er felsyrken sor og fele skifer rening omkring x = 1, som de ydelig ses for den røde kurve i den vensre figur. I sørre afsand er felreningen posiiv udenfor spolens periferi på grund af feles spredning, som de ses af kurverne i den højre figur hvor der er e posiiv bidrag indil x 1, passeres. De ses også a feles forløb er mege flad for z =,5. Nedenfor gengives den benyede sofware for beregning af kurverne. Den magneiske fluxæhed beregnes for alle re akser og samles derefer i felvekorens numeriske værdi. De næse linjer afgør hvad der skal skrives ud, og i den vise lise er de z-aksens komponen. clear % Paramere. R =.5; % Radius af primære spole (m). N = 1; % Anal punker langs cirklens periferi. Z = 4; % Skalering af z-komponenen ( og 1). x = :.1:3; % Relaive koordinaer langs med x-aksen. for z=1:4 Bx=; Tore Skogberg Under revision 68

69 By=; Bz=; for n=:n-1 n=*pi*n/n; Bx=Bx+(z/Z)*cos(n)./((sqr(1+x.^+(z/Z)^-*x*cos(n))).^3); By=By+(z/Z)*sin(n)./((sqr(1+x.^+(z/Z)^-*x*cos(n))).^3); Bz=Bz+(1-x*cos(n))./((sqr(1+x.^+(z/Z)^-*x*cos(n))).^3); end Bx=Bx*(4*pi*1e-7)/(*R*N); By=By*(4*pi*1e-7)/(*R*N); Bz=Bz*(4*pi*1e-7)/(*R*N); B=sqr(Bx.^+By.^+Bz.^); if (z==1) plo(x,bz,'-r'); end if (z==) plo(x,bz,'-b'); end if (z==3) plo(x,bz,'-g'); end if (z==4) plo(x,bz,'-k'); end hold on end grid on ile(['r = ', numsr(1*r), ' mm, I = 1 A']) xlabel('normere afsand langs radius x = x_/r') ylabel('magneisk fluxæhed B (T)') legend(['z = z_/r = ', numsr(1/z)], ['z = z_/r = ', numsr(/z)],... ['z = z_/r = ', numsr(3/z)], ['z = z_/r = ', numsr(4/z)]) hold off Magneisk flux Algorimen fra de idligere afsni om beregning af den magneiske fluxæhed over spolens plan skal her benyes som model for hvor mege flux, der overføres mellem o spoler, der er forskud aksial. I førse ilfælde beregnes den magneiske flux for o spoler med hver en enkel vinding og derefer beregnes den magneiske flux for o skivespoler med vindingerne liggende i samme plan. De leer beregningen af den magneiske flux fra en skivespole hvor vindingerne ligger som en spiral, ide der ikke skal ages hensyn il rådens ykkelse. To spoler defineres ved deres radier R 1 og R sam afsanden z imellem dem. De forudsæes a der kun løber srøm i spole 1, så I 1 = 1 A og I =, sam a spolerne ikke er vinkle i forhold il hinanden. Den magneiske flux beregnes ved a inegrere den magneiske fluxæhed over den akuelle spoles areal. x L 1 y 1 R 1 L R z I 1 z Figur 38 - Model for beregning af den magneiske flux der overføres mellem o spoler. Den magneiske fluxæhed i z-aksens rening beegnes B z og beregnes langs x-aksen og i højden z over plane for spole 1 og roaionssymmerien udnyes il a lade dee repræsenere hele areale. Komponenerne i xy-plane medages ikke i beregningen ide de ikke kan give e felbidrag gennem spolens plan. Den elekriske leder repræseneres af N p diskree punker langs med periferien af en cirkel hvis radius er R 1 og hvor vinklen n er forskud e halv rin for a undgå en singularie ved sammenfald mellem e punk på periferien af spolen, de vil sige a division med nul for x = R 1, z = og n = ikke opræder fordi vinklen neop ikke bliver nul. B z = R 1 I 1 N p N p 1 n = R 1 x cos n R 1 x z x R 1 cos n 3, n = n,5 N p Tore Skogberg Under revision 69

70 Ved implemenering af algorimen er x repræsenere af en vekor hvor hver enkel celle svarer il e rin med rådykkelsen (de er e valg og ikke den enese mulighed). En posiion langs x-aksen er repræsenere ved x = m, hvor m løber fra ved spolens cenrum og op il M x ved il spolens periferi med M x = R /, ide beregningen kun angår den magneiske fluxæhed for spole. Den magneiske flux gennem spole kaldes og beregnes ved a inegrere B z i afsanden z over areale for spolen. Inegraionen af B zda udføres over cirkulære bånd med radius x ved numerisk inegraion. M x 1 = [,5 B M x,5b M mb m ] m = 1 For den magneiske flux gennem spole 1 benyes z = i formlen for B z sam R = R 1. Koblingsfakoren k beregnes som vis på side 37 hvor den magneiske flux fra spole 1 er give af = LI. Selvindukionen beregnes af L K1, for en spole med en enkel vinding. Korrekionen med kvadraroden er æ på 1 for de ypiske vindinger i en spole, men bliver vigig for o vindinger med væsenlig forskellige radier. k = R ln 4 R / R ln 4 R / hvor 1 = I 1 R 1 ln 4 R 1 Algorimen blev skreve il MATLAB programme MagneiskFlux.m og blev benye for a besemme koblingen mellem o spoler med variaion i R 1, R, z og. Beregningen konrolleres i de følgende imod resulaerne fra den analyiske del af ariklen. Konrol 1 Samme plan. Den magneiske flux kan beregnes for o spoler i samme plan hvis de fprudsæes a spole er væsenlig mindre end spole 1. Den magneiske fluxæhed B z kan da anages konsan og den magneiske flux bliver B z gange med areale af spolen med radius R. B z = I 1 R 1 1 = B z R I spolens plan er B z = 1,6 T for R 1 = 5 mm så fluxen bliver = 987 pwb for R = 5 mm, hvor algorimen med 99 pwb ligger små,4 % for høj. Relaionen vises nedenfor hvor algorimens procenuelle afvigelse fra eorien vises med rød linje. Radius varieres fra de noge eoreiske R =,1 mm il over mm med en fas værdi af den ydre spole på R 1 = 5 mm. Fejlen er lille for en relaiv spoleradius R /R 1 <,6 svarende il a spole skal være R < 3 mm, hvorover der er accelererende forskel mellem de o beregninger. Årsagen il denne forskel analyseres eferfølgende og vises som den grønne kurve. Tore Skogberg Under revision 7

71 8 6 Afvigelse (%) 4 - Afvigelse (%) Forvene (%),1,1 1 Relaiv afsand (r = R/R1) Figur 39 - Afvigelsen mellem algorimen og den eoreiske siuaion hvor den magneiske fluxæhed anages konsan over areale af spolen (rød). Den forvenede afvigelse på grund af Amperes lov (grøn). Den magneiske fluxæhed er ikke konsan, men vokser fra værdien B C i cenrum af spolen il B 1 æ ved lederen på grund af Amperes lov (se side 19 og Figur 4). Den magneiske flux, som løber gennem spole, er derfor ikke kun afhængig af areale af spolen, men også af den varierende magneiske fluxæhed hen over areale af spole 1. For a give e bud på denne sammenhæng beskrives forholde mellem den magneiske flux B 1 efer Ampers lov og den flux, som en konsan fluxæhed på B C ville afsedkomme. Den magneiske flux B 1 anager a cirklen kan opfaes som en lang og lige leder, og de kan illades æ på lederen. De er denne relaion, der er benye for den grønne linje, vis som procenuel afvigelse, de vil sige a er ploe som afvigelsen fra lille værdi af R. = B 1 da Spole Spole R 1 R I 1 B C da = R 1 R x R dx R I 1 xdx R 1 = I 1 R ln R 1 R R 1 R I 1 R R 1 = 4 R 1 R ln R 1 R R 1 R De førse led (ælleren) beregnes ved a inegrere fra saren af den indre spole (R 1 R ) il den modsae side af den indre spole en diameer væk (R 1 + R ). De anden led (nævneren) beregnes ved a inegrere B C fra spole 1 over areale af spole. Resulae vises som afvigelsen fra værdien i cenrum (grøn linje) og ses a bekræfe hovedrækkene i algorimens afvigelse. Konrol Over plane. Fra afsnie side 8 er den magneiske fluxæhed langs z-aksen for spole 1 give ved srømmen I 1, radius R 1 og højden z. Den magneiske flux gennem spole findes som ovenfor ved produke af den magneiske fluxæhed ved spolen og areale af spolen, så de anages a den magneiske fluxæhed er konsan og lig med cenerværdien. Resulae kan kun forvenes anvendelig for R <,6R 1 for en margin på,1 % eller R < 3 mm. B z = I 1 1 R 1 1z /R 1 3 = B z R For I 1 = 1 A, R 1 = 5 mm og z = 5 mm er den magneiske fluxæhed B z = 4,443 T i cenrum af spolen og den magneiske flux bliver = 55,83 pwb for en spole med R = mm. Algorimen giver værdien = 55,81 pwb, der ligger,4 % under og dermed indenfor den forvenede grænse. Som vis nedenfor (il højre) er variaionen fra 4,443 T ned il 4,439 T, hvilke er under,1 % variaion så den magneiske fluxæhed er nogenlunde konsan over spole. Tore Skogberg Under revision 71

72 Figur 4 Kurve over den magneiske fluxæhed langs radius af spole der ligger z over spole 1. Til vensre er afsanden nul og spolerne har samme radier, il højre er z = 5 mm og spole har lille radius, og i begge ilfælde er I 1 = 1 A. Resulae ved forskellige værdier af afsanden z mellem spolerne er vis for o radier af spole, og afvigelsen ligger indenfor de forvenede område. Forløbe omkring z = 1 skyldes en ændring i z-komponenen for den magneiske fluxæhed (se Figur 37) og ved reducere spoleradius ses fejlen a afage som egn på a den magneiske fluxæhed bliver mere konsan over areale. Beregningen benyede en relaiv afsand fra z =, il svarende il afsanden z =,1 mm over plane for spolen og op il 1 m fra spolen med en fejl indenfor,1 %. Algorimen må anses for a beregne korrek.,1 Afvigelse fra cenrumværdi (%),5 -,5 -,1 R = mm R = 1 mm,1, Relaiv afsand (z = z/r1) Figur 41 - Afvigelsen fra de forvenede ved R 1 = 5 mm. Falde i afvigelse ved redukion af R er ikke en fejl ved algorimen, men skyldes anagelse om konsan magneisk fluxæhed. Konrol 3 Ombyning af spoler. Afsnie om gensidig indukion viser a der ikke skal være nogen effek af a bye om på spolerne. Alle spoler blev beregne med R 1 = 5 mm mens R blev variere for o værdier af z som en referencesiuaion. Ved ombyning af R 1 og R blev z fashold. Resulae vises nedenfor med de normerede værdier (r = R /R 1 og z = z /R 1) og viser a algorimen illader ombyning af spole 1 og uden væsenlig påvirkning af resulae. Sørs nøjagighed opnås med R 1 > R, hvilke kunne også forvenes ide den magneiske fluxæhed omkring en lille spole er mere komplicere end for en sor spole i samme absolue afsand over spolens areal. Tore Skogberg Under revision 7

73 -, -,4 -,6 Afvigelse (%) -,8 -,1 -,1 -,14 -,16 Z = 1, Z =, -,18,1,1 1, Forhold mellem spoler R/R1 Figur 4 Afvigelse som følge af ombyning af spolerne (reference R 1 = 5 mm og alernaiv R = 5 mm). Figurere er opegne med N p = 1 punker langs cirklens periferi og M x = 1 diskree værdier langs med x-aksen og der var ikke nogen ændring i allene ved brug af værdierne N p = 1 eller M x = 1. Algorimen vises nedenfor. % MagneiskFlux1.m % Magneisk flux koble fra spole 1 il spole forma compac % Fjern overflødige linjer i udskrif. clear % Sle gamle daa. R1=.5; R=.; z=.5; 1=.1; Mx=round(R/1); Np=1; x=:1:mx*1; % Radius af spole 1 (m). % Radius af spole (m). % Afsand mellem spolerne (m). % Trådykkelse i primære spole (m) % Anal punker langs x-aksen. % Anal punker langs cirklens periferi. % Vekor for x-aksen (m). % Beregn Bz langs x-aksen for afsanden z (vekor med M+1 elemener). Bz=zeros(1,Mx+1); for n=:np-1 n=*pi*(n+.5)/np; Bz=Bz+R1*(R1-x*cos(n))./(sqr(R1^+x.^+z^-*x*R1*cos(n)).^3); end Bz=Bz*4*pi*1e-7/(*Np); % Srømmen er I=1A. F=; for m=1:mx-1 F=F+m*Bz(m+1); end F=pi*1^*(.5*Bz(1)+(Mx-.5)*Bz(Mx+1)+*F); % Skriv resulaer: disp(['r1=' numsr(r1) 'm R=' numsr(r) 'm 1=' numsr(1)... 'm z=' numsr(z) 'm => F=' numsr(f) 'Wb']) % Plo B-fele som graf. plo(x,bz,'-b'); grid on ile(['r_1=' numsr(1*r1) 'mm R_=' numsr(1*r) 'mm '... 'z_=' numsr(1*z) 'mm F_=' numsr(f) 'Wb']) xlabel('afsand fra cenrum x_ (m)') ylabel('magneisk fluxæhed B (T)') % Skriv resulae il fil. prin -dpng /media/disk/torean/arikel/formlerforspoler/matlab/prinfile.png Tore Skogberg Under revision 73

74 Sensiivie Formler for spoler Formlerne på førse side oplyses rask væk som værende indenfor en angiven olerance hvis spolens længde opfylder visse krav overfor diameeren og hvis rådykkelsen er mege lille, men en reel spole må nødvendigvis have en vis usikkerhed med hensyn il dens geomeri. De gælder både for måling på en selvlave spole og hvis man planlægger en serieprodukion hvor der må forvenes en spredning hen over produkionen. Man kan ikke måle re mege bedre end ±,1 mm med en skydelære, og selv om der findes bedre værkøjer vil spolen have en begrænse syrke overfor mekanisk belasning, så selve målingen kan deformere spolen og derved inroducere en usikkerhed. Man kan dog forholdsvis le give e kvalificere bud på hvor sor fejlen er. Ved analyse af fejl benyes sørrelsen S X, som angiver sensiivieen, de vil sige følsomheden overfor variaion i en parameer X. De paramere der er af ineresse er spolens vindingsal, sam dens længde og diameer, så eksempelvis S L angiver hvor mege selvindukionen ændres som følge af en ændring i længden. Ændringen kan skyldes deformaion ved målingen eller sle og re en usikkerhed ved selve måling. Sensiivieen har derfor en enhed den angiver ændringen i selvindukionen henry) som følge af en ændring i for eksempel længden (meer). Her skal den relaive ændring i selvindukionen benyes for a undgå relaionen il fakiske sørrelse af selvindukionen og den parameer der påvirkes. Fordelen er a sensiivieen derved angiver hvor mange procen selvindukionen ændres ved en given procenvis ændring i den pågældende parameer. Ved en relaiv ændring skal der normeres med både selvindukionen og parameeren, og denne form for sensiivie vil blive beegne med s X. S X = L X s X = L L X X = X L L X X L L X s X X L L L 1 X X 1 Differeniaionen L/ X kan selvfølgelig udføres, men mindre kan gøre de; man kan besemme sensiivieen ved a ændre parameeren X med ΔX (fra X 1 il X ) og beregne ændringen ΔL i selvindukionen (fra L 1 il L ) og sensiivieen er så give ved beregningen yders il højre. I denne arikel vil s X blive besem analyisk, men de er mulig a indsæe alværdierne direke i formlerne og beregne alværdierne for L 1 og L. De er ikke hel så le a ramme de korreke anal vindinger som man skulle ro. Der skal ælles med sor koncenraion for spoler over 1 vindinger og der kommer le en ællefejl ind undervejs. Analle af vindinger indgår kvadrere i alle formlerne så fejlen bliver ganske beydende, som følgende eksempel vi vise. Alle formler inkluderer μ N sam en kombinaion af d og l, så de vil i fællesskab blive repræsenere ved gn, hvor g er en individuel sørrelse. For den lange spole er den g = (π/4)μ d /l så formlen for en lang spole bliver L = gn. s N = N 1 L L 1 = N 1 g N gn 1 = 1 L 1 N N 1 g N 1 N N 1 N 1 N 1 [ N 1] s N N = 1 For en ændring på 1 % bliver N /N 1 = 1,1 og værdien findes il s N =,1. For,1 % ændring er N /N 1 = 1,1 og s N =,1, så udrykke går mod for afagende ændring, hvilke er hel i råd med selve definiionen på differeniaion. Lang spole Formeludrykke bringes på en passende form. Tore Skogberg Under revision 74

75 L W = 4 N d l L = gd, g = 4 N l og L = h l, h = 4 N d Diameeren er kvadrere så sensiivieen bliver, hvilke ses ved a indsæe værdier for d /d 1, der er æ på 1; for eksempel d /d 1 = 1,1 eller d /d 1 =,999. s d = d 1 L L L 1 d d 1 = d 1 g d 1 g d gd 1 = 1 [ d 1] s d d 1 d d d = 1 1 d 1 Længden er ikke kvadrere men sår i nævneren så sensiivieen bliver 1. s l = l 1 L L L 1 = l 1 l l 1 h l 1 h h l l 1 = l 1 l l 1 l l 1 [ 1 l 1 l 1 ] = 1 l l 1 1 [ l 1 l 1] s l = 1 Wheelers formel Denne formel indeholder en sum af længde og diameer i nævneren så de o paramere kan ikke behandles isolere og de vil være hensigsmæssig a foreage differeniaionen. Diameeren indgår både i æller og nævner, hvilke komplicerer udregningen. Førs indsæes udrykke for Wheelers formel og de konsane led forkores ud. s d = d L L d = 4 d N d l,45 d d [ 4 Reglen for differeniaion af en brøk benyes (RW-137). s d = l,45d d N d l,45d ] = l,45d d d d d [l,45d] d d [l,45d] [ ] l,45d d l,45 d Udrykke reduceres og sensiivieen bliver s d = for lange spoler (l ) hvor diameeren i nævneren bliver uden beydning, mens værdien for de kore spoler reduceres il s d = 1 for kore spoler (l = ) hvor diameeren i nævneren er beydende. s d = l,45d d dl,45d d,45 l,45d s d =,45 d l,45d = l,45d,45d l,45d For ypiske spoler er: s d = 1,31 for l =,d, s d = 1,53 for l =,5d og s d = 1,69 for l = d. Længden indgår kun i nævneren, så beregningen bliver knap så komplicere og sensiivieen bliver s d = 1 for mege lange spoler og dæmpes ved kore spoler. Tore Skogberg Under revision 75

76 s d = l L L l = 4 l N d l,45 d l [ 4 1 s d = ll,45d l,45d N d l,45d ] = ll,45d l [ 1 l,45d ] l l,45 d s = l d l,45d For ypiske spoler er: s l =,31 for l =,d, s l =,53 for l =,5d og s l =,69 for l = d. Kor spole Formlen for den kore spole benyer parameeren d/l il logarimen, hvilke oprindelig var e udryk for rådykkelsen (d/) fra Maxwell formlen. For a vise den redje meode il beregning af sensiivieen benyes definiionen direke. Diameeren indgår o seder og den logarimiske funkion begrænser muligheden for en effekiv redukion, så ændringen i selvindukionen beregnes sor se direke fra udrykke. Der er dog ikke grund il a gange med μ N / for den fakor er fælles i æller og nævner. Efer en kor redukion indsæes d /d 1 = 1,1 med længden fashold. Parameeren for diameer del med længde beregnes som d /l = 1,1d 1/l. s d = d 1 L 1 L L 1 d d 1 = L 1 L 1 = 1 [ d d 1 1 d 1 d 1 d ln,43 d l d 1 ln,43 d 1 l 1] = 1 [ d 1 d 1 d ln,43 1,1 d 1 l 1] d 1 ln,43 d 1 l For l =,1d 1 er d 1/l = 1 og s d = 1,31, for l =,d 1 er d 1/l = 5 og s d = 1,4, og for l =,5d 1 er d 1/l = og s d = 1,64. Talværdien er sørre end 1, svarende il a diameeren i de logarimiske udryk rækker svag i samme rening som diameeren foran logarimen. Længden indgår kun i de logarimiske udryk. Parameeren for diameer del med længde beregnes som d/l = 1,1d/l 1. s l = l 1 L 1 L L 1 l l 1 = L 1 L 1 = 1 [ l l 1 1 l 1 l 1 ln,43 d l ln,43 d 1] = 1 ln,43 d 1,1 l [ 1 l l 1 ln,43 d 1] 1 l 1 l 1 For l 1 =,1d er d/l 1 = 1 og s d =,31, for l =,d 1 er d 1/l = 5 og s d =,4, og for l =,5d 1 er d 1/l = og s d =,63. Talværdien er sørre end 1, svarende il a diameeren i de logarimiske udryk rækker svag i samme rening som diameeren foran logarimen. Udrykkene benyes i de indledende kapiel for esimering af fejlniveaue. Tore Skogberg Under revision 76

77 REFERENCER Referencer angives ved nummere og sidealle i kilden. 1 Hans Eber Elekronik Såbi, 7. udgave, Teknisk Forlag, M. A. Bueno and A. K. T. Assis A New Mehod for Inducance Calculaions, Journal of Physics D, 8:18-186, Ariklen er funde med Google. 3 M. A. Bueno and A. K. T. Assis Self-Inducance of Solenoids, Bi-Dimensional Rings and Coaxial Cables, Helveica Physics Aca 7 (1997) Ariklen er funde med Google. 4 Lennar Råde og Berel Wesergren Mahemaics Handbook for Science and Engineering, Feme udgave, Sudenlieraur, 4. 5 Murray R. Spiegel Mahemaical Handbook of formulas and ables, Schaum's ouline series, 7 h prining, hp:// David Knigh gennemgår eorien bag design af spoler. Der er rigig mege god informaion a hene, bland ande... 7 hp:// hvor Rosa gennemgår eorien. 8 hp:// og hp:// hvor Marc Thomson inroducerer den elekromagneiske eori og gennemgår designe af forskellige yper spoler, som fx odoiden og deril cylinderiske, plane, kvadraiske og spiralformede spoler. 9 hp:// Tim Healy giver en inrodukion il beregning af indukionen for en uendelig lang leder. 1 hp:// Beregningen vises for selvindukionen af o parallelle ledere. 11 hp://echdoc.kvindesland.no/radio/feed_lines/ pdf giver en inrodukion il kerner af ferri (OZ fra okober 1995). 1 hp://en.wikipedia.org/wiki/inducor hvor der er formler for spoler. Tore Skogberg Under revision 77