Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Formler for spoler. An English resume is offered on page 5."

Transkript

1 An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1 MHz på grund af srømforrængning, så selvindukionen afager med frekvensen og modsanden siger. E lederpar kan opfaes som en lang og smal spole hvor lederene afgrænser areale l 1l og den har selvindukionen L som følge af fele i areale mellem lederne, så selvindukionen er minds ved æliggende ledere. Den magneiske konsan μ (permeabilieen for vakuum) er en eksak værdi. L 1 l 1 8 = 5nH/m l 1, f khz L = l 1 lnl, l 1 l = 41 7 H/m l 1 l Selvindukionen beregnes fra rådlængden (L 1), ilsluningens løkke (L ) og en af formlerne (L X). L = L 1 L L X Simpel spole Diameer d og rådykkelse. Kan benyes for nogle få vindinger, hvis de ligger æ og er den samlede ykkelse af beviklingen (se side 34). L K = d N ln 1,7 d,,3 d N 1 Prakisk formel for lave frekvenser hvor L 1 nu er inkludere (l 1 = πd) og kun mangler illedningens selvindukion L. Se også Maxwell side 54. L = L d N ln 1,38d, f khz Enkellags spole En cylindrisk spole har beviklingen med N vindinger liggende i e enkel lag (evenuel N R lag). Diameeren beregnes fra indre og ydre diameer (d 1 og d ), ydre længden er l og rådykkelsen. Tykkelsen af beviklingen skal være lille. Formlen L N benyes for spoler med en længde sørre end 1/1 af diameeren og Wheelers formel L W giver højere præcision for længere spoler. Kore spoler beregnes efer L K1 ned il en minimum længde og L K giver højere præcision. Spoleformen skal være af ikke-magneisk og ikke-ledende maeriale som luf, ræ eller plas. L N = d N 4 l,4d L W = d N 4 l,45d L K 1 = d N ln,43d l L K = [1, l d ] L K 1, d = d 1 d = d 1, ±3,5% ved l,15 d 6% ved l =,1d ±,33% ved l,4d d ± % ved l,35d Minds l,3d ±,6% ved l,9d 1,5% ved l = d l = N l 1 N dn R lilslu l T d l d 1 d Tore Skogberg Under revision 1

2 Formlerne sammenlignes i Figur 1 med den eoreisk ideelle værdi for cylinderspolen som angive efer Lorenz og Nagaoka (side 54) og afvigelsen herfra vises i Figur. Bemærk a den eoreisk ideelle værdi gælder for en cylinder med uendelig ynd folie og ikke for en bevikling med endelig ykkelse. De er forklaringen for hvorfor Maxwells formel ilsyneladende ligger for lav. Figur 1 Sammenligning mellem de forskellige formler fra ariklen og den eoreisk ideelle spole efer Lorenz og Nagaoka. For Maxwells formel er rådykkelsen sa lig med længden. Cylinderspolen har kun eoreisk ineresse (L S side 3). Formlerne Normal og Wheeler benyes for beregning af reelle spoler (L N side 5 og L W side 59). Kore spoler (L K1 og L K) ager over for en beskeden spolelængde (se side 55). Maxwell (L M) vises i referenceafsnie (side 54). Figur Den procenvise afvigelse fra de eoreisk ideelle. Farverne svarer il Figur 1. Inden nøjagigheden illægges for mege beydning anbefales de a se eksemplerne på siderne 9-11, læse afsnie side 1 om nøjagighed og deril referenceafsnie side 54. Tore Skogberg Under revision

3 Skiveforme spole For plane, skiveformede spoler med beviklingen liggende i en spiralform giver Wheelers formel e god resula. Den gennemsnilige diameer af spolen d og ykkelsen af beviklingen b beregnes begge ud fra den indre diameer d i og ydre diameer d y. En alernaiv udgave af formlen benyer en form-fakor F, der angiver ykkelsen af beviklingen i forhold il den gennemsnilige diameer. Analle af vindinger N er give ved ykkelsen af beviklingen og den valge rådykkelse. Den oale ydre diameer, som kan måles med en skydelærer, er rådykkelsen sørre end d y og ilsvarende gælder for den indre diameer (D y og D i). L W = 4 d = d y d i 1 d N 4 d11b = 4, b = d y d i d N,41,1 F, F = b d = d y d i d y d i N = b, D y = d y, D i = d i d y d d i b Wheeler angiver nøjagigheden indenfor 5 %, men ifølge andre kilder kan der forekomme % afvigelse. Nedenfor vises den beregnede afvigelse fra selvindukionen beregne ved algorimen på side 49 for en spole med en ydre diameer på d y = 1 mm og en indre diameer d i fra nær nul il nær ved d y og med rådykkelsen som parameer. Selvindukionen falder særk af for en indre diameer over cirka 8 % af den ydre diameer fordi analle af vindinger på spolen afager. Figur 3 Til vensre vises selvindukionen for Wheelers formel (siple linje) sammenligne med en beregne værdi (fuld linje). Til højre ses den procenvise afvigelse. Trådykkelsen indgår ikke i formlen efer Wheeler, men den har beydning for nøjagigheden, og de bedse resula opnås med en relaiv ynd råd. En designreglen angiver d y 5d i hvor hulle i miden af spolen er på % af den ydre diameer og de er ganske accepabel i forhold il analyseresulae. Tore Skogberg Under revision 3

4 Flerlags spole To formler 1 for spoler med ykkelse af beviklingen er Brooks coil (L B) og en Wheelers formel (L W). Beviklingens ykkelse B og spolens længde C er ens for Brooks coil (kvadraisk værsni), mens Wheelers formel illader forskellig længde og ykkelse. De o formler giver samme resula med samme dimensioner, og Wheelers formel opfører sig pæn ved ynd bevikling (hvor formlen ideel skal give samme resula som cylinderspolen), men nøjagigheden af de o formler er ukend. L B =,676 d N d = 3B = 3 C = D y D i L W = 4 8 d N 3d1 B9C d = D y D i D i d D y C B De er uvis om formlerne benyer den fysiske ydre dimension (D y og D i) og endelig rådykkelse eller om formlerne regner med cenrum-il-cenrum afsanden. Dee afsni er under revision. 1 Formelmaeriale udvikles fra side 36 og frem hvor den gensidige indukion gennemgås og formler for beregning af koblingsfakoren udvikles, og senere samles maeriale i en generel formel for en spoles selvindukion. Maeriale er dog ikke færdigudvikle; den beregnede selvindukion er i øjeblikke cirka 5 % for høj hvorfor algorimen endnu ikke præciseres. Som nævn i forrige fodnoe er en revision af formelmaeriale på vej. Tore Skogberg Under revision 4

5 English resume I have included his resume as a guide o readers wih languages oher han Danish. The inerne offers free ranslaion services (Google ranslae, for insance), which may assis you decoding seleced pars of he documen. The aricle was iniiaed by a professional requiremen of charging baeries using inducive ransfer of energy. During he sudy I needed formulas for calculaion of he self inducion of air-coils and alhough he inerne is loaded wih formulas he was majoriy were saed wihou any informaion regarding error level or applicaion limiaion hus seriously affecing he usefulness. Several of he references were lecure noes from universiies bu mos ofen a he inroducory level and offering only he derivaion of he equaion for he solenoid coil again wihou any commens regarding he accuracy of he resul. As a consequence I decided o review he magneic heory and approach he subjec using he maerial found on he inerne as our guide. I am no an exper wihin he field of elecromagneic bu I believe ha he presened maerial is correc; however, I canno guaranee accuracy or applicabiliy. In he case you deec an error, or you encouner dubious informaion, please don' hesiae o forward he informaion o me. Formulas Theory Page 1 A collecion of formulas are presened wih he conducor iself being considered firs. The self inducion of he conducor is L 1 a low frequencies and is reduced oward zero for frequencies above approximaely khz due o he skin effec (see page 14). The self inducion of a pair of wires wih lengh l 1 and widh l is L and may represen he connecion wire o he coil. The self inducion of a simple coil wih one urn is called L K wihin his aricle, and may be used for a couple of urns if arranged in close proximiy. A collecion of formulas are presened wih he urns arranged in one single layer using a cylindrical coil, commonly known as he solenoid coil. A very useful formula is he Normal coil L N (page 56), which offers an error level of ±3.5 % wih he lengh downward limied o one-eigh of he diameer, and i can be used o one-enh wih an error of 6 %. An adjusmen of he formula generaes he well-known Wheelers formula L W (page 59), which is saed o wihin ±.33 % if he lengh is a leas.4 imes he diameer. For even shorer coils wo logarihmic equaions are presened wih onse from he Lorenz and Nagaoka formula (see page 54). The firs formula (L K1) is wihin % for coil lengh no exceeding one-hird of he diameer, and an improved formula (L K) is less han.6 % off for coil lengh less han.9 imes he diameer and he formula can be used for coil lengh up o he same lengh as he diameer wih an error of 1.5 %. Page The formulas are compared o he heoreical ideal. Page 3 A formula for he spiral-shaped coil wih ouer diameer d y and inner diameer d i due o Wheeler is presened and compared o an algorihm developed a page 49. An opimum shape is around d y = 5d i wih fairly hin wire hickness. Page 4 Two formulas are presened for coils wih several layers. They are grabbed from he inerne and no furher daa is available a presen ime. The magneic heory is inroduced on page 17 saring from Ampere's law and a coil build using long parallel wires is presened on page 1. The law of Bio and Savar is shown on page 6 and leads o equaions for shor coils and also saing he dependency o disance. Muual inducance is inroduced a page 36, and leads o an algorihm on page 49 for he spiral coil and work is being prepared for a general coil on page 5 bu he resul is no ye released. The reference formulas are considered on page 54, wih special focus on he cylindrical coil wih one layer (solenoid). I should be noed ha he Lorenz and Nagaoka formulas assume he coil being represened by a hin shee of conducing maerial and no a spiral of wire wih hickness. This curren shee is valuable for coils wih some minimal lengh bu he formula will no be correc for coils wih almos zero lengh, such as he coil wih one urn. Hence, he analysis of he Maxwell formula (page 54). The formula for L N is derived on page 56 and Wheelers formulas for coils wih non-zero layer hickness are considered a page 59. Tore Skogberg Under revision 5

6 Indholdsforegnelse Inrodukion...7 Om selvindukion...7 Eksempler...9 Skiveforme spole...9 Kor cylinderspole...1 Lang cylinderspole...11 Spolens paramere...1 Nøjagighed...1 Elekrisk model...14 Elekromagneisme...17 Selvindukion...17 Magneisk flux...18 Amperes lov...18 Enkel leder...19 Dobbel leder...1 Cylinderspole...3 Normal spole...5 Bio og Savars lov...6 Enkel leder...6 Cirkulær leder...7 Afsandsregel...8 Simpel spole...31 Magneisk fluxæhed...31 Magneisk flux...33 Selvindukion...34 Selvindukion...36 Gensidig indukion...36 Koblingsfakor...37 Spole med o vindinger...38 Spole med mange vindinger...38 To vindinger i samme plan...4 To vindinger i lille afsand (under revision)...4 To vindinger i sor afsand...46 To vindinger i vilkårlig afsand (under revision)...47 Algorime...49 Skivespole...49 Generel spole (under revision)...5 Referenceformler...54 Maxwells formel...54 Cylinderspolen...54 Kor spole...55 Normal spole...56 Wheelers formler...59 Cylinderspolen...59 Skivespolen...61 Generel spole...61 Brooks coil...6 Appendiks...63 Magneisk fluxæhed Leder...63 Magneisk fluxæhed Spolens værsni...65 Magneisk flux...69 Sensiivie...74 Lang spole...74 Wheelers formel...75 Kor spole...76 Referencer...77 Tore Skogberg Under revision 6

7 INTRODUKTION Jeg fik ved e job som opgave a besemme den elekriske effek en spole kunne overføre il e mindre elekronikproduk for a oplade des baeri. Opgaven blev løs, men de formler jeg fand frem il for beregning af spolens selvindukion var ikke gode, så jeg blev ineressere i a udforske emne. De vise sig a være en sørre opgave end førs anage, så for a genopfriske eorien er afsnie, der sarer side 17, mi forsøg på a rekapiulere de essenielle fra magneismen ved a inroducere Amperes og Bio & Savars love med en række eksempler som senere benyes il a løse problemerne. På side 36 inroduceres begrebe gensidig indukion, selvindukionen for en skiveforme spole findes på side 49 og en generel algorime er under udvikling i samme kapiel. De maeriale, der danner en slags facilise for arbejde gennemgås side 54. Du er mege velkommen il a konake mig på hvis du har nogle spørgsmål, hvis du har kommenarer il indholde eller hvis du finder fejl i ariklen. Alle henvendelser er velkomne. Ariklen er skreve under Ubunu med Open Office version 3.1 og ved brug af Wrier og Calc. Analyserne er foreage med MATLAB, hvis kode i e vis omfang kan læses af Ocavia. Om selvindukion Enhver elekrisk komponen er omgive af e magnefel når der løber en srøm igennem den og magnefele påvirker funkionen af komponenen. De er ganske uanse om de er en ledning, en modsand, en kondensaor, en diode eller kobberbanen på e prinkor. Påvirkningen viser sig som en spænding i serie med de spændingsfald der i øvrig måe være over komponenen. En påfør virkning kaldes for inducere og heraf navne på begrebe: Indukion. Spændingsfalde over en ledning er derfor ikke alene give af den srøm der løber igennem dens modsand (og som er give ved Ohms lov), men er også give a de omgivende magnefel. Mere præcis er de hasigheden som magnefele varieres med, der giver e spændingsfald over ledningen, så spændingens værdi er proporionel med hvor hurig magnefele ændres. Derfor ses effeken mes ved mege høje frekvenser, hvor magnefele varierer hurig, eller ved abrupe ændringer i srømen, som ved konaker der omskifes; for eksempel i logiske kredsløb og swichmode srømforsyninger. I B NB U I Figur 4 Srømmen I giver anledning il magnefele med syrken B omkring lederen og en ændring i magnefele giver e spændingsfald U der ligger i serie med lederen og som er give ved hasigheden magnefele ændres med (vis som symbole på e baeri). Vikles ledningen op i N løkker vil hver løkke generere e magnefele på B, ide srømmen er den samme i alle løkker, og de samlede magnefel gennem spolen bliver NB. En ændringen i magnefele på ΔB indenfor e vis idsrum giver anledning il en spændingsændring på ΔU i hver af spolens løkker. Den samlede ændring i magnefele er NΔB så spændingsændringen bliver NΔU i hver af løkkerne, og da der er N løkker i spolen bliver virkningen for alle løkker ilsammen på N ΔU. De illusrerer hvorfor de er så effekiv a vikle råden op il en spole, og da de er råden selv der inducerer spændingen kaldes de: Selvindukion. For a denne beskrivelse skal være korrek er de nødvendig a magnefele fra hver løkke løber igennem samlige løkker. I praksis vil noge af magnefele ikke nå frem il alle løkker på grund af feles spredning, så den samlede virkning er mindre end N gange indukionen af den enkele løkke. De vises i formlerne ved maemaiske udryk, der korrigerer alværdien som funkion af længden og diameeren sam evenuel beviklingens ykkelse og rådykkelsen. Tore Skogberg Under revision 7

8 Alle formler for beregning af selvindukion indeholder den magneiske konsan μ = 1,6 μh/m, som med sin enhed anyder a formlen skal indeholde en karakerisisk længde for spolen, og de er oplag a anvende dens diameer il udrykke L = μ d, der i praksis kommer ganske æ på de korreke. Deril kommer kvadrae på analle af vindinger og den omale spredning i fele, som resulerer i en korrekionsfakor K, der afhænger af spolens geomeri. Den generelle formel for selvindukion af en spole med N vindinger og diameer d er derfor: L = d N K De er ariklens målsæning a angive brugbare udryk for korrekionsfakoren K, og da spolens geomeri er en afgørende fakor, er de ikke mulig bare a angive en konsan værdi. De undrer næppe nogen, a en spole med få og æsiddende vindinger giver en højere værdi af K, end end lang spole med mange vindinger hvor koblingen mellem de fjernese vindinger er ringe. Værdien er da også omkring,5 for den simple spole med en enkel vinding, og falder il cirka,5 for en cylinderspole med mange vindinger. Alle spoler vikles med en råd af en vis ykkelse, og råden selv bidrager med en selvindukion fra fele inde i lederen. Ved lave frekvenser er srømmen jævn fordel over lederens værsni, og felsyrken vokser fra nul i cenrum af lederen il en maksimalværdi ved overfladen, og dee fel giver en selvindukion, som her kaldes L 1 med en ypisk værdi omkring de 5 nh per meer råd. Ved højere frekvenser forrænges srømmen fra de indre af lederen og løber forrinsvis i e ynd bånd i overfladen af råden, så værdien af L 1 afager med sigende frekvens. Da srømmen nu er koncenrere i e mindre værsni vil DC modsanden sige. De kaldes for srømforrængning og omales i afsnie om spolens elekriske model (side 14). Tilsluningen il spolen danner en lukke sløjfe, som afgrænser e areal, og de magneiske fel i areale giver anledning il en selvindukion, der her kaldes L og ligeledes opræder som en del af spolens selvindukion. Værdien er give af rådens ykkelse og afsanden mellem lederene, og er med cirka 1 μh per meer af ganske sor beydning for især mindre spoler. I eksemple på næse side udgør selvindukionen i ilsluningen omkring 1 % af den oale selvindukion. Den resulerende selvindukion besår derfor af re led, é for lederen selv, é for ilsluningen il spolen, de vil sige hele de ekserne kredsløb, og endelig é for spolen selv. De beyder a alle formler i denne arikel skal benyes som følger, hvor K fremgår af de maemaiske udryk, og som er funkion af rådens ykkelse, spolens diameer og længde, sam ykkelsen af beviklingen. L = L 1 L d N K En simpel spole med lederen bukke il cirkelform har en selvindukion, der alene besemmes af diameeren og rådens ykkelse ved formlen L K på førse side. De er en ilnærmelse a illade spolen a indeholde flere vindinger end én, men resulae af a gøre de er god, hvis analle af vindinger er lille og vindingerne ligger æ sammen. Af samme grund er formlen begrænse il ni vindinger (re vindinger i re lag). De øvrige formler er enen simplifikaioner af de korreke udryk, eller de er udvikle af kreaive personer, der havde brug for en god formel. E god eksempel på de sidse er den velkende Wheelers formel (L W), der holder 33 % hvis den benyes korrek, men som kan give grof forker resula hvis den bruges uden omanke. Alle formler er ledsage af en begrænsning på deres anvendelsesområde, men der kan sadig opså overraskelser. Som e eksempel er formlerne L K1 og L K begge udvikle fra en maemaisk model, hvor spolen er repræsenere af en uendelig ynd folie med angive diameer og længde, og hvori den elekriske srøm flyder jævn. Ved en mege kor spole vil de maemaiske udryk kunne forvenes a ligne L K, men sidsnævne benyer en råd med en vis ykkelse, hvorimod modellens råd er en folie uden ykkelse og den beregnede selvindukion bliver derfor højere. De gør de svær a omsæe modellen il en fysisk realiserbar spole, men som eksemplerne viser, går de nu ganske god i praksis, blo diameeren er væsenlig sørre end rådens diameer. Tore Skogberg Under revision 8

9 Eksempler Tre spoler skal beregnes for a vise formlernes brug: en mege kor spole, en kor cylinderspole og en lang cylinderspole. Konklusionen er a formlerne er brugbare, men der kan forekomme overraskelser, så man skal ikke sole på a resulae er væsenlig bedre end ±1 %. Skiveforme spole Spolen har N = 4 vindinger og er vikle på en ræform med diameeren d 1 =,178 m. Trådens ykkelse er =,5 mm og isolaionen er,5 mm yk så diameeren bliver d = d 1 + 1,5 mm =,18 m. Længden af spolen er vurdere il l = 5 mm som re gange afsanden cener-il-cener mellem lederene (3 gange 1,5 mm) plus rådykkelsen. Længden af illedningen er på l 1 = 1 m. Spolen er mål på en målebro il 7,9 μh ved 1 khz, men den relaiv sore spole er følsom for mealdele i sin nærhed så målingen kan ikke venes a være præcis. Figur 5 Skiveforme spole vikle med isolere råd på en cirkulær ræform. L 1 Indukionen af selve råden beregnes fra den oale længde af råd l1 der besår af spolens rådlængde πnd plus illedningen il l 1 = πnd + l = π 4, = 4,6 m. L 1 5 nh/m l 1 L 1 5 nh/m 4,6 m =,1 H L Indukionen af ilsluningens løkke er give af ledningens længde på l 1 = 1 m, afsanden mellem rådene som vurderes il l = mm og ykkelsen af råden på =,5 mm. L = l 1 ln l L = ln 1 3 =,83 H 3,5 1 Den samlede indukion fra råden er L 1 + L = 1,4 μh (13 % af spolens værdi). L K Selvindukionen beregnes af udrykke for en simpel spole ide længden af spolen er lille. Præcisionen ved målingen er ikke kend, men resulae er god. Hvis den ilsvarende beregning gennemføres med L K1 vil resulae blive 11 % for høj, hvilke kunne indikere en nedre grænse for L K1 og L K ved en spolelængde mindre end 1/3 af spolens diameer. L = L 1 L L K L = 1,4 H N d L = 1,4 H ,18 ln 1,7 d ln 1,7, = 7,65H 3, % L N Spolen er al for kor il formlen for Normal spole (l/d,3), men resulae er rimelig. L = 1,4 H ,18 4 = 7,39 H 6,5 % 5 1 3,4,18 Tore Skogberg Under revision 9

10 Kor cylinderspole Spolen har N = 5 vindinger og længden l = 1,5 mm. Vindingerne ligger æ så signingen er lig med rådykkelsen (p = ) og med l = N findes rådykkelsen = l/n =,5 mm. Den indre diameer er d 1 = 3 mm så spolens diameer bliver d = d 1 + = 3,5 mm. Leverandøren har oplyse selvindukion for o spoler il henholdsvis L A = 4, μh og L B = 4,5 μh, hvilke giver e gennemsni af selvindukionen på L = 4,35 μh med en spredningen på ±,15 μh svarende il ±,6 %. Figur 6 Kor cylinderspole fra Coil Craf med opgive selvindukion på 4,35 H. L 1 Indukionen af selve rådens beregnes fra den oale længde af råd l 1 der for spolens del er πnd og for illedningen, m giver værdien l 1 = π 5 3, , =,95 m. L 1 = 5nH/m,95m =,15 H L Indukionen af ilsluningen er give af ledningens længde på l = mm og ykkelsen af råden på =,5 mm så kun bredden af løkken må gæes i mangel af daa fra producenen. Med en anage afsand mellem rådene på l = 5 mm giver de en indukion på L =,4 μh. L = 4 1 7, ln =,4 H 3,5 1 Den samlede indukion fra ledningen er L 1 + L =,39 μh (1,6 % af spolens værdi). L K1 Selvindukionen for kor spole L K1 kan sreng age ikke benyes ide l/d =,38 ikke er mindre end den øvre grænse (,35), men resulae bliver dog ganske pæn alligevel. L K 1 =,39 H ,5 1 3 ln,43 3, ,5 1 3 = 3,9 H 1,8 % L K Inkluderes korrekionsfakoren reduceres fejlen il cirka 1 %. L K =,39 H 1, , 3, , L K = 4,6 H 1,1 % ln,43 3, ,5 1 3 L W Selvindukionen efer Wheeler kan kun akkura benyes ide l/d =,38 er mege æ på,4. Resulae er indenfor måleusikkerheden give ved de oplyse værdier (±,6 %) og bekræfer den mulige præcision ved Wheelers formel. Med formlen for en Normal spole findes L N = 4,9 μh, der er,3 % over den måle værdi, og alle analyserede formler er dermed indenfor grænserne. L W =,39 H ,5 1 3 =4,4 H,5 % 1, ,45 3,5 1 Tore Skogberg Under revision 1

11 Lang cylinderspole Spolen besår af o sekioner med N A = 5 og N B = 15, vikle på en 1 mm form (ikke vis) med diameeren d = 1 mm. Trådykkelsen er =,3 mm (AWG8) og ykkelsen af papire er,3 mm så spolens diameer bliver d = 1 +,3 +,3 = 1,9 mm. Den lille sekion er vikle re æ så længden bliver l A = N A = 16 mm, mens den sore er vikle løsere med l B = 5 mm mål på spolen og der er mm afsand mellem sekionerne så oallængden bliver l AB = 68 mm. Spolernes selvindukion er mål med målebro il L A = 17 μh for den lille spole, L B = 48 μh for den sore spole og L AB = 65 μh for begge spoler i serie. Figur 7 Lang cylinderspole med mål selvindukion på 65 μh for begge spolens sekioner. L 1 Indukionen af selve rådens beregnes fra den oale længde af råd som l 1 = πnd +, m så l 1A = 1,7 m, l 1B = 5,1 m og l 1AB = 6,8 m og de giver rådens indukion il L 1A =,85 μh for den kore spole, L 1B =,5 μh for den lange og L 1AB =,34 μh for begge spoler i serie. L 1 = 5nH/m l 1 L Indukionen af ilsluningen beregnes af illedningens længde på l = mm, afsanden mellem rådene på l 3 = 5 mm og rådykkelsen på =,35 mm. L = 4 1 7, ln =,7 H 3,35 1 Den samlede indukion af råden bliver L 1 + L =,36 μh for den kore spole (A),,5 μh for den lange spole (B) og,6 μh for begge spoler i serie (AB). L K Formlen for kor spole kan ikke benyes ide l/d 1,76 ikke er under 1. L W Selvindukionen med Wheelers formel kan benyes da krave l/d,4 er opfyld. L W A =,36 H ,9 1 3 = 14,4 H ,45 1, % L W B =,5 H ,9 1 3 = 49,6 H ,45 1, , % L W AB =,6 H ,9 1 3 = 65, H ,45 1,9 1 3, % Der er, som de ses, en ganske sor fejl ved den kore spole hvorimod de o lange sekioner rammer god. Der er ikke nogen kend forklaring på den observaion. I afsnie om lange spoler er selvindukionen per vinding beregne il 366 nh/vinding, hvor de måle værdier giver 34, 3 og 35 nh/vinding og de yder ikke på målefejl. Tore Skogberg Under revision 11

12 Spolens paramere Spolen er ideel se en é-lags spole med viklingerne liggende æ som en skrue og diameeren er gennemsnisværdien af spolens indre og ydre diameer (d 1 og d ), som også kan beregnes ud fra diameeren af den form spolen vikles på og rådens ykkelse (d 1 og ). d = d d 1 = d 1 Vindingerne ligger ikke som koncenriske cirkler, men beskriver en spiral med en signing, som er give ved rådykkelsen hvis vindingerne ligger æ, eller med cener-cener afsanden mellem vindingerne p (pich) hvis der er luf mellem vindingerne (p > ). 4 d 1 d l T l l T1 Figur 8 Spolens længde forudsæer a analle af vindinger er e helal så rådenderne kommer ud i samme side, men af hensyn il egningens ydelighed er de vis lid forskud. En enkel vinding siger med afsanden p regne fra cenrum af vindingens sar il cenrum af vindingens sluning når den siger som gevinde på en skrue. Længden af spolen l er derved e fas bånd med N vindinger der skruer sig igennem spolens længde. Førse vinding siger fra il p for én omdrejning og sidse vinding siger fra (N 1)p il Np. Spolens længde bliver derfor: l = Np, p eller l = N, p = Lierauren er lid divergerende med hensyn il hvordan længde af spolen l angives. Jeg er af den opfaelse a spolens længde skal måles som anfør i egningen ovenfor, hvorved den oale længde l T1, der kan måles med en skydelærer direke på spolen, bliver: l T 1 = l = Np, p eller l T 1 = N1, p = Andre opfaelser er a spolens længde måles fra cenrum af førse leder il cenrum af sidse leder, de er fra il 4 i egningen, hvilke giver den oale længde il l T = Np+ eller l T = (N+). Den eoreiske model (se side 54) er en cylinder af ynd folie så begyndelsen og enden af røre er klar definere, og en model med skrueforme bevikling er derfor alid en ilnærmelse. Nøjagighed Wheelers formel skal være god indenfor ±,33 % hvis længden af spolen er sørre end radius, men de er under en forudsæning, som ikke kan nås i den virkelige verden. Som nævn ovenfor benyes e rør af en uendelig ynd folie for a udlede formelmaeriale, og de kan ikke bruges il re mege når man sår med en råd med en given ykkelse. Den røde kurve i figuren er korrek, men de er ud fra en ideel beragning, som ikke kan overføres direke il den reelle verden. Når beviklingen af spolen får ykkelse må man benye ingeniørmæssige anagelser, som for eksempel a holde beviklingen mege lille i forhold il spolens længde eller diameer. De giver dog blo e ny problem; for hvornår er mege lille, lille nok? Deril kommer hvor præcis man kan måle spolens dimensioner. Selv med sor påpasselighed er der en usikkerhed på ±1/ mm ved brug af en god skydelære, så en spole med en længde på 1 mm har allerede her en usikkerhed af den ene parameer (længden) på ±,5 % og de påvirker præcisionen af beregningen. Tore Skogberg Under revision 1

13 E bud på effeken heraf kan findes som vis herunder, hvor sensiivieen s X angiver den relaive ændring (procenvise ændring) i selvindukionen som følge af en relaiv ændring i parameeren X. En ændring beegnes med ΔX og med en skydelære som enese kilde il fejl er Δx = ±,5 mm. En relaiv ændring er ΔX/X, så man sæer usikkerheden i relaion il de, der måles på. En måde a besemme værdien af ΔX på, er a foreage den samme måling flere gange med lid forskellig ilgang og omhyggelig noere hver enese resula ned. Efer minds 1 målinger besemmes ΔX som den sørse afvigelse i måledaa; de vil sige a ΔX = X MAX X MIN. Sensiivieen forsås som følger: For s X = vil en målefejl på 1 % ændre på værdien (selvindukionen) med %, og for s X = 1 vil en målefejl på 1 % ændre værdien 1 %. For en samle vurdering af effeken af flere forskellige fejlkilder benyes kun posiive al (de lodree sreger). = N s N N s d d d s l l l Værdier for sensiivieen er vis nedenfor og beregningen er vis i e senere kapiel. For andre forhold mellem længde og diameer end de vise må man gæe sig il en mellemværdi. Formel Vindingsal, N Diameer, d Længde, l Wheeler (l =,d),3 Wheeler (l =,5d) 1,3,5 Wheeler (l = d) 1,5,7 Kor spole (l =,1d) 1,3,3 Kor spole (l =,d) 1,4,4 Kor spole (l =,5d) 1,6,6 For den kore spole side 1 er analle vindinger N = 5 og de bør kunne besemmes præcis, så ΔN =. Diameeren er vanskelig a måle fordi spolen fjedrer, så e gæ er Δd = ±,5 mm. Spolen er sabil i længdereningen så Δl = ±,1 mm anages. Forholde mellem længde og diameer er på,38 så gennemsnie mellem, og,5 benyes og for Wheelers formel bliver usikkerheden: =,5,1 1,65,4 =,9,9% 5 3,5 1 I eksemple er der en forvene måleusikkerhed på ±,9 % hvoril kommer usikkerheden fra selve formlen (±,33 %), om man fik huske a inkludere indukionen fra ledningen (L 1 og L ) for ellers mangler der cirka 1,6 %, og deril om man huskede a række rådykkelsen fra målingen af diameeren, for ellers har man mål 1,5 % for mege (fejlen bliver 1,65 gange sørre:,5 %). De er bedre a anage realisiske fejlsørrelser for ikke a bilde sig selv noge ind. Esimaes værdi er afhængig af hvor god man ren fakisk måler og man bør ikke overvurdere egne evner. Deril kommer selve målingen af selvindukionen, som danner referencen for ariklens sammenligning med beregningen. Daa er her oplys af producenen for o engineering samples. De er mål på en målebro, men som eksen viser er der en vis usikkerhed allerede i fabrikanens daa (±,6 %). Man kan diskuere om de skal med i vurderingen af fejlen i beregningen af selvindukionen, men de danner reference for vurdering om hvorvid resulae er korrek. Samles alle daa uden a skele il de refærdige i a gøre sådan, bliver e pessimisisk esima (ε TOT) på cirka ±7,5 % og som kommenaren anyder skal man ikke forvene re mege bedre. TOT = ±,9,331,6,5,6 =±7,5% Selv om beregningerne i de idligere afsni i mange ilfælde er mege æ på målingerne, så var der o ilfælde, som fald 1 il 15 % fra de forvenede. De kan være målefejl eller daa kan være før forker ind i loggen, men de viser lid om de overraskelser der kan forekomme. Tore Skogberg Under revision 13

14 Elekrisk model Spolen er ikke en ideel komponen, som blo er indukiv; fakisk er de den minds perfeke af de passive komponener. Spolen indeholder både en DC modsand R DC og en indukion L 1 på grund af den råd spolen vikles af, så en simpel model af spolen bliver selvindukionen L, beregne som vis på førse side, i serie med R DC og L 1. Modellen nedenfor inkluderer desuden en kapacie C P, som begrænser anvendelsen ved høje frekvenser og en modsand R P, som repræsenerer ab i spolen, for eksempel energi der abes ved magneisk kobling il omgivelserne. R DC L L 1 C P R P Figur 9 Model af spolen. DC modsanden begrænser impedansen nedadil og den parallelle kondensaor giver resonans ved en høj frekvens hvorover spolen ikke er indukiv. Spolens impedans er vis nedenfor og eksemples paramere kunne samme fra svingspolen i en almindelig højaler. Med de valge paramere er spolen indukiv fra cirka 1 khz og op il resonansen ved 16 khz over hvilken spolen ikke længere er indukiv (den er fakisk en kondensaor). 1 k 4 k k 1 k 4 I m p e d a n s / o h m k k 4 k 1 k k 4 k 1 k 4 k 1 M F r e k v/ eh n z s Figur 1 Impedansen som funkion af frekvensen for en spole med R DC = 6,8 Ω, L = 1 mh, C P = 1 nf og R P = 1 kω. Grænsefrekvenserne er f = 1 khz og f P = 16 khz. Kurven er egne med SPICE simulaoren SIMerix fra som kan downloades grais. Den er i graisudgaven begrænse ved analle af knudepunker. E mål for spolens kvalie (englesk: qualiy) udrykkes ved dens Q-fakor, der er forholde mellem den maksimale værdi af spolens impedans og DC modsanden af råden. Den maksimale værdi opnås ved den frekvens f hvor spolen sammen med en kapacie går i resonans. Q = Z MAX R DC Med spolen fra eksemple er Z MAX = 1 kω ved f = 16 khz og med R DC = 6,8 Ω er spolens godhed på Q = 16. Tore Skogberg Under revision 14

15 Ved lave frekvenser dominerer den elekriske modsand i den råd spolen er bevikle med og bliver den enese besemmende fakor for spolens impedans. Den er give ved maeriale (ρ Cu ), længden (l 1) og areale (A 1), og kan besemmes ved følgende formel, hvor maerialekonsanen gælder ved sueemperaur. R DC = Cu l 1 A 1 = Cu 4l 1 d 1, Cu =, m For en rådlængde på l 1 = 1 m og rådykkelsen på =,5 mm bliver modsanden R DC =,36 Ω. For aluminium er værdien ρ Al =,8 1 6 Ωm. For jern er værdien cirka ρ Fe =,1 1 6 Ωm og er afhængig af bearbejdningen af maeriale. For kulsof er værdien ρ C = Ωm. Daa for andre maerialer må værdien findes på inernee: prøv fx Wikipedia med Specifik modsand. Trådens længde er give ved analle af vindinger gange omkredsen af spolen il l 1 = Nπd for kore spoler hvor man kan se bor fra a råden også skal bevæge sig frem og ilbage gennem spolen. Kan man ikke se bor fra længden må værdien forøges med spolens længde gange med de anal lag beviklingen benyer. Trådens areal er give ved rådykkelsen il A 1 = π /4, og hvis den specifikke modsand for kobber indsæes kan formlen simplificeres. Formlen nedenfor il højre gælder for kobberråd ved C og med diameeren i meer og rådykkelsen i millimeer. N d R DC = Cu /4 = 4 N d Cu R DC,7 N d d i m og i mm For en spole med N = 5 vindinger, diameeren d = 3 mm og rådykkelsen =,5 mm er DC modsanden R DC, Ω. De repræsenerer daa for spolen på side 1. Den angivne værdi forudsæer a srømmen løber i hele rådens gennemsni. Ved høje frekvenser forrænges srømmen så den forrinsvis løber i overfladen af lederen. Fele inde i lederen formindskes og den inerne indukion afager mens modsanden siger. Tykkelsen af de lag hovedparen af srømmen løber i kaldes δ og er give ved rådens ledningsevne ρ, frekvensen f og den magneiske konsan μ som vis nedenfor (engelsk Wikipedia: Skin effec ). Hvis lederen er af magneisk maeriale skal μ ersaes af μ Rμ. Srømforrængningen angiver den afsand fra overfladen og ind i lederen hvori 63 % af srømmen løber, så man kan med en vis re anage a srømmen løber i en cylinderskal med den angivne ykkelse. Eksemple er for kobber. = f =, m H/mf 67 mm Hz f Allerede ved 5 Hz er srømmen begrænse il a løbe i de yderse 1 mm, og er forklaringen på a kabler i højspændingsmaserne ikke er over cm diameer ykkere kabler ville ganske enkel være spild af maeriale og i praksis besår højspændingskabler da også af en kappe af aluminium med en sålwire i miden il a give syrke. Hovedparen af srømmen løber i kappen og kun lid af srømmen løber i sålwiren så den bliver ikke for varm. Ved khz er srømmen begrænse il de yderse,5 mm, så effeken kan som ofes ignoreres indenfor de hørbare område, hvor diameeren af kabler sjælden er mege over 1 mm. De er god lain a anvende ykke kabler il eksempelvis højalere, men srømmen vil aldrig løbe i cenrum af kable ved de højese frekvenser, som derfor vil opleve en sørre modsand. Ved 1 MHz er srømmen koncenrere i e bæle på mindre end,1 mm og man kan med god ilnærmelse gå ud fra a srømforrængningen hel har fjerne srømmen fra de indre af lederen (hvorved L 1 ). Kredsløb il radioransmission udnyer dee il a de ledere, der har en sor srøm løbende, udføres som hule rør af sølvbelag kobber med kølevand inden i. Spolen har en beydelig kapacie i parallel, som dels skyldes den elekriske nærhed mellem naboviklinger og dels srømmens idsforsinkelse gennem beviklingen, ide sidsnævne opræder Tore Skogberg Under revision 15

16 som en fasedrejning. Kapacieen begrænser anvendelsen ved høje frekvenser, men værdien er mege vanskelig a besemme da den bland ande afhænger af den måde spolen vikles på og frekvensen der måles ved. En spole kan vikles i é lag, hvilke er de bedse for a holde kapacieen mellem vindingerne nede, eller den kan vikles i adskile grupper af vindinger hvorved kapacieerne effekiv se kobles i serie og derved reducerer den effekive værdi. Hvis beviklingen benyer flere lag vil lagene koble og dermed forøge kapacieen. De har især beydning for bygning af kredsløb ved højfrekvens. Jeg rende ind i probleme ved bygning af en AM-radio hvor mellemfrekvensen er i nærheden af 5 khz, og de var ikke mulig a få kapacieen lav nok il a kunne få resonans ved den frekvens uden a opdele beviklingen i sekioner. Modellen på side 1 kan kun benyes når bølgelængden af signale er mege sørre i forhold il længden af den råd spolen er vikle af. Bølgelængden er mege sørre når den er 1 gange spolens rådlængde for a få en ommelfingerregel. Signales hasighed gennem råden sæes il lyses hasighed c, hvilke er en grov ilnærmelse, men de beyder ine her. En cirkulær spole med diameeren d og med N vindinger har rådlængden l 1 Nπd, så for en lang bølgelængde på λ = 1 l 1 findes den øvre grænsefrekvens af følgende formel. f max = c f max = c = c c = 1l 1 1 N d, c 3 18 m/s For en spole med diameeren d =,1 m og e anal vindinger på N = 1 er den esimerede øvre grænse derfor f max = 1 khz. De er mulig a anvende spolen ved en højere frekvens og de burde i eorien være mulig a anvende spolen indil rådlængden svarer il en kvar bølgelængde, de svarer il,5 MHz, men de er der absolu ingen garani for a man kan. Den konservaive beregning ovenfor er e god udgangspunk for e gæ på den grænse man bør holde sig under. Hermed sluer inrodukionen il beregning af en spoles selvindukion og de begrænsninger der må ages i ed. De følgende kapiler gennemgår de fundamenale eoreiske maeriale for den magneiske eori og de udbygges hen imod en algorime for beregning af selvindukionen af en spoles med både diameer, længde og ykkelse af beviklingen. Spoler kobler il omgivelserne og kan derfor afsæe effek i ekserne komponener, for eksempel nærliggende baner på e kredsløbskor. Som de vises i e senere kapiel afager syrken af de magneiske fel med redje poens af afsanden fra spolen, så en måde a mindske abe er a øge afsanden. Hvis de er o spoler, der påvirker hinanden, er en mulighed a anbringe dem vinkelre på hinanden. Den eknik er mulig med indil re spoler (xyz-akserne), men for e højere anal spoler er enese mulighed a øge afsanden eller a skærme de enkele spoler. Tore Skogberg Under revision 16

17 ELEKTROMAGNETISME Sammenhængen mellem elekricie og magneisme blev opdage af Romagnosi brødrene i 18, men blev førs kend da Ørsed genopdagede effeken i 18 og publicerede resulaerne. En række beydende opdagelser følger i kølvande og Maxwell samler i 1873 den indhøsede viden i elekromagneismen. De er førse gang i hisorien a o kræfer samles i én fælles beskrivelse og desuden faslægges lyses hasighed ved o konsaner (c = 1/ε μ ), så den er konsan for alle iagagere hvilke inspirerede Einsein il udviklingen af relaivieseorien i 195. I dee kapiel inroduceres de grundlag, der er nødvendig for a udlede formler for selvindukion, men inden emne behandles er de nødvendig a inroducere begrebe linearie, der er en forudsæning for a superposiionsprincippe kan anvendes. Linearie beyder a der ikke er nogen øvre eller nedre begrænsninger, så når en srøm giver e magnefel af en vis sørrelse, vil en fordobling af srømmen også fordoble de magneiske fel, og hvis srømmen reduceres il nul vil magnefele også blive nul. De krav mødes af alle lufspoler under den forudsæning, a den elekriske srøm ikke varmer råden op over smelepunke. For en spole med mealkerne kan forudsæningen om linearie dog ikke forudsæes opfyld ide magnefele i kernen ikke falder il nul når srømmen slukkes (remanens) og de magneiske fel kan ikke vokse over en øvre grænse, der er karakerisisk for maeriale og som indræder ved cirka, T for ferrikerner (pulverkerner) og cirka T for jernkerner (ransformerblik). Superposiionsprincippe beyder a resulae af flere påvirkninger kan beregnes ved a addere de enkele bidrag og de er en direke konsekvens af linearie. De beyder a magnefele i e punk kan have flere kilder og værdien kan beregnes for hver kilde for sig selv med de samlede resula give ved addiion af bidragene. E eksempel er magnefele omkring o æliggende ledere, der fører den samme srøm; de magneiske fel udenfor lederene vil være summen af den magneiske felsyrke for hver af lederne og i sor afsand vil værdien være o gange fele fra den ene af lederne. Superposiionsprincippe anvendes både i Amperes lov, der inroduceres på side 18, og senere i Bio og Savars lov på side 6, hvor den magneiske fluxæhed i e punk besemmes ved a addere bidragene fra kore ledersykker. Selvindukion Enhver leder, der gennemløbes af en srøm I genererer e magneisk fel, som beskrives ved den magneiske flux Φ, der løber i rumme omkring lederen og relaionen mellem de o er give ved en karakerisisk konsan for kredsløbe, kalde selvindukionen, der har symbole L, sandsynligvis for a hædre Lenz. Produke NΦ er flux-vindingsalle, der også beegnes med Φ V, Φ eller og som kaldes den omsluede flux [1-154] ide de er den flux som de N ledere omsluer. N = L I Enheden for magneisk flux er weber (Wb) så enheden for selvindukionen bliver weber per ampere (Wb/A), der har fåe ildel den aflede SI enhed henry (H). Selvindukionen kan udledes direke af ligningen ved division med srømmen il e udryk der vil blive brug fliig i den følgende analyse. I ligningen er den magneiske flux der omsluer en enkel vinding af spolen og for N omsluede vindinger bliver værdien il flux-vindingsalle N. L = N I Opgaven er nu a finde e udryk for den magneisk flux gennem spolen som funkion af den elekriske srøm igennem lederen. Men før de kan gøres er de nødvendig a forså hvad magneisk flux er og hvordan den beregnes for e magneisk kredsløb. Tore Skogberg Under revision 17

18 Magneisk flux Formler for spoler Den magneiske flux Φ angiver den oale srøm af magnefellinjer gennem e areal A og en beegnelse for hvor krafig fele er kaldes den magneiske fluxæhed, der beegnes med B. De o sørrelser, Φ og B, kan virke fremmedarede, men der er en analogi il den mængde lys der falder ind gennem e vindue. Mængden af lys (fluxen Φ) er give ved lyses inensie (fluxæheden B) og vindues areal (A), så en fordobling af areale medføre en dobling af fluxen gennem de. = B A, for B = konsan Enheden for magneisk flux er weber (Wb) så enheden for magneisk fluxæhed bliver Wb/m der har den aflede SI-enhed esla (T). En anden form er H/A. Beregningen forudsæer a den magneiske fluxæhed er konsan over areale, hvilke kun sjælden er ilfælde. I analogien il lysindfalde gennem e vindue kunne der så e ræ foran vindue, hvorved bladene kaser en varierende skygge på vindueareale og en fordobling af areale derfor ikke nødvendigvis medfører en fordobling af den indfaldne lysmængde. Når anagelsen af konsan magneisk fluxæhed ikke er gyldig må en omvej benyes. Den magneiske flux gennem e lille arealelemen da kan god beregnes som produke af en konsan magneisk fluxæhed og areale, ide fluxæheden kan anages for konsan når areale er lille nok; derved er dφ = BdA for e give punk, men B er nu en funkion af hvor på fladen der skal beregnes. Den samlede magneiske flux gennem areale er en sum af alle bidragene dφ over hele fladen med areale A, hvilke i den maemaiske noaion beegnes ved inegraion over areale. Bruges vekorer skal B have samme rening som normalen il areale, hvilke svarer il en projekion af areale ind på en flade der sår vinkelre på den magneiske fluxæhed, og i de er ilfælde er vinklen il normalen nul og cosinus bliver én og de vil blive forudsa opfyld i resen af ariklen. d = B da = B da = B da cosda = BdA, = Inegrale af BdA vil blive bruge fliig i ariklen il beregning af fluxen igennem spoler. Amperes lov Ampere indså i 18'erne a de magneiske fel løber cirkulær omkring en lang og lige leder med en syrke give ved srømmen i lederen og afsanden fra lederen. Amperes lov er en balance mellem o inegraler; de ene for den elekriske leder og de ande for de magneiske fel langs en kurve omkring lederen. I formlen benyes symbole J for srømæheden i lederen hvis værsni er S, og den magneiske fluxæhed er B langs e linjeelemen dl på en lukke kurve, der omsluer lederen eller gruppen af ledere. I ligningen indgår desuden den magneiske konsan μ (idligere kald permeabilieen), som Maxwell indføre da han samlede rådene i elekromagneismen. J ds = B dl I = B cosdl, = H/m De førse inegral illader srømmen a variere over lederens værsni S, men hvis srømmen er konsan over hele lederen giver de vensre inegral JS, der er lig med den oale srømsyrke I, så vensre side af ligningen bliver I. En varierende fordeling af srømmen kan opfaes som de illadelige i a have o eller flere paralle ledere, der hver bærer srømmen I og derved adderes bidragene il de resulerende udryk NI, hvor N er analle af ledere. De ande inegral er udryk for magnefeles syrke langs med e linjeelemen dl på kurven. Vekor prik-produke er en projekion af magnefele ind på linjeelemene (B-feles syrke i linjeelemenes rening), så de er lig med de o vekorers længde gange med cosinus il vinklen imellem dem. N I = B cosdl Tore Skogberg Under revision 18

19 Enkel leder Amperes lov skal førs benyes il a beregne den magneiske fluxæhed omkring en lang og lige leder. Lederen er her vinkelre på papire og srømmens rening er posiiv ud mod læseren. I R dl B 1 B 1B R I B 1A B 1 a Figur 11 De magneiske fel omkring en enkelleder (vensre) og o ledere som illusraion af superposiionsprincippe (højre). Magnefeles rening er vedægsmæssig i posiiv omløb om lederen; de vil sige a hvis man griber om lederen med højre hånds ommelfinger i srømmens rening så vil fingrene pege i magnefeles rening. Der er ingen fysisk begrundelse for dee valg. Inegraionen vil blive udfør langs en lukke kurve med konsan afsand fra lederen; de vil sige på periferien af en cirkel med cenrum i lederen. Symmerien sikrer a den magneiske fluxæhed er den samme overal langs periferien så B 1 er konsan og delager ikke i inegraionen. Feles rening er orienere langs med linjeelemene dl, så vinklen mellem dem er θ = og cos(θ) = 1. Længden af linjeelemene er dl = Rdφ hvor R er radius og dφ er drejningens vinkel. Vinklen rund langs med periferien løber fra il π så inegrale af Rdφ giver πr. N I = B 1 dl N I = B 1 R B 1 = N I R For en srøm på I = 1 A bliver den magneiske fluxæhed B 1 = 4 μt i afsanden R = 5 mm fra en enkelleder (N = 1) hvilke er æ på jordens magneiske felsyrke (cirka 45 μt i Danmark). Kurven for B 1 vises i Figur 1 for en uendelig ynd leder som den røde sreg og uden μ NI/π; de vil sige a de kun er 1/R der er vis og a kurvens værdier skal ganges med den angivne fakor. Den magneiske fluxæhed går mod uendelig når afsanden fra lederen går mod nul. Magnefel (gang med μi/π) ,5-1 -,5,5 1 1,5 Normere afsand (x/a) Enkel Dobbel Figur 1 Den magneiske fluxæhed (uden fakor μ NI/π) for en enkelleder i x = (rød) og for en dobbel ledning (blå) med lederene i afsand ±a (vis som 1 og 1). Bemærk a fele mellem o parallelle ledere kun varierer ±1 % for x <,1a og mindre end ±1 % for x <,3a. Tegningen il højre i Figur 11 viser hvordan magnefele opbygges for e sysem med o ledere i parallel og med samme srømsyrke. I afsanden R fra cenrum af lederbunde må man forvene Tore Skogberg Under revision 19

20 en magneisk fluxæhed æ på de dobbele af den enkele leder. Den magneiske fluxæhed beregnes nedenfor i de o punker, som er angive på egningen, og som kommenaren viser er anagelsen særdeles god når radius er minds 1 gange sørre end afsanden mellem lederne. B 1 A = I R a / I Ra/ = I R B 1 B = I R a /4 I R a /4 = I R 1 a R a 1 R I en afsand fra lederne på 1 gange afsanden mellem lederne (a/r =,1) er den magneiske fluxæhed,5 % sørre i punk A end med srømmen I løbende i cenrum mellem lederne, og værdien er,15 % i punk B. Ved gange afsanden mellem lederne er allene på henholdsvis 6,7 % og 3 % så man skal ikke re lang væk for a kunne bruge en ilnærme beregning. Samme beregningsprincip blev benye il a beregne den magneiske fluxæhed i afsanden x fra cenrum af en leder med diameeren 1 mm (radius,5 mm), som bærer en srømsyrke på 1 A og hvor beregningen inkluderer de indre af lederen. Den røde kurve giver forløbe ved en jævn fordeling af srømmen over hele lederens værsni, og blev beregne ved a lederen blev repræsenere ved e sor anal parallelle ledere. Den grønne kurve giver forløbe for en srøm der kun løber i overfladen af lederen, og blev beregne ved e sor anal ledere langs en cirkulær kurve omkring cenrum. Den blå kurve repræsenerer Amperes lov med srømmen løbende i cenrum og som de ses er beregningen gyldig fra og med lederens overflade x 1 R a d i u s =. 5 m m T e o r e i s k v æ r d i J æ v n s r ø m f o r d e l i n g O v e r f l a d e s r ø m M a g n e i s k f l u x æ h e d ( T ) P o s i i o n x ( m ) - 3 x 1 Figur 13 - Den magneiske fluxæhed som funkion af afsanden fra cenrum af en elekrisk leder med.5 mm radius og en srøm på 1 A. Blå kurve viser forløbe efer Amperes lov når srømmen regnes for a løbe i cenrum af lederen. Forløbe vises med en jævn fordel srøm over lederen (rød) og en srøm der kun løber i overfladen af lederen (grøn). Felsyrken ved overfladen af lederen vokser over alle grænser for afagende ykkelse, men selv om de er korrek fra e maemaisk synspunk, så er de ikke fysisk realisisk, som de illusreres af kommenaren nedenfor. Afsanden skal være lille for a give en sor fluxæhed og lederen skal have en vis ykkelse for a kunne bære srømmen og de o krav srider imod hinanden. Hvis en srøm på 1 A løber i en leder med ykkelsen μm er den magneiske fluxæhed, T ved overfladen (1 μm fra cenrum). For en kobberråd vil modsanden være 6 Ω for en længde på blo en millimeer. Der kræves derfor en spænding på 6 V for a vinge 1 A igennem lederen, så der afsæes en effek på 6 W i råden, som hurig vil varmes op og fordampe så srømmen afbrydes. Tore Skogberg Under revision

21 Dobbel leder Hvis den lange leder foldes sammen il en aflang og rekangulær løkke hvor den lange side er mege længere end den kore kan den magneiske fluxæhed besemmes inde i løkken såvel som udenfor ved a berage syseme som o uendelig lange og parallelle ledere. I x l 1 l = a x Figur 14 Den magneiske fluxæhed omkring en aflang løkke med e dealjere sni vis il højre. Inde i spolen vil magnefelerne undersøe hinanden mens de udenfor modvirker hinanden, så fele afager med kvadrae på afsanden i nogen afsand fra lederparra. Den indbyrdes afsand mellem lederene er l = a og koordinasysem arrangeres med nulpunk mid mellem de o ledere så lederne går gennem x 1 = a og x = a. Den magneiske fluxæhed opskrives førs for hver enkel leder i e punke langs x-aksen. De o feler undersøer hinanden i område indenfor spolen hvor begge udryk giver e posiiv resula, mens de modvirker hinanden udenfor. For x > a er B A negaiv og for x < a er B B negaiv. B A x = I a x og B B x = I ax Den resulerende magneiske fluxæhed i de valge punk er give af summen af de o feler, og kurven vises i Figur 1 med blå sreg. B x = B A xb B x B x = I a a x Ved symmeriaksen mellem lederene (x = ), er den magneiske fluxæhed de dobbele af værdien i afsanden a fra en enkelleder, og i sor afsand fra løkken ( x >> a) er den magneiske fluxæhed omvend proporional med kvadrae på afsanden så fele afager ganske hurig udenfor o parallelle ledere hvor srømmen løber i hver sin rening i lederne. De resula kan umiddelbar overføres il almindelige el-kabler og il højspændingskabler i en passende afsand. B = I a for x a og B x x a I a a x Den oale magneiske flux i areale mellem lederene beregnes ved inegraion af B over areale. I de følgende vil beegne rådens ykkelse (rådens diameer), og inegraionen benyer e smal bånd med bredden dx og længden l 1 (lederparres længde). Der inegreres fra a il a på nær radius af lederen (/), så nævneren ikke bliver nul. De beyder a arealelemene bliver da = l dx og den magneiske flux findes af: a = B x da= / I a / a a x l dx = I al 1 1 a / a / dx a x På grund af symmerien vil inegrale fra a + / il nul give samme som fra nul il a /, så de er ilsrækkelig a foreage sidse inegraion og gange med o. Inegrale løses ved opslag i e abelværk [4-157, 5-65] og der kræves ombyning af a og x svarende il e foregnsskif. = I al 1 a / dx x a = I al 1 [ 1 a ln x a a / xa ] Tore Skogberg Under revision 1

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken 6. sepember 2013 JHO Priser og Forbrug Sammenhæng mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og årsal i ejendomssalgssaisikken Dee noa gennemgår sammenhængen mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

Transparent teknologi. Heat Sink. Kontakt DEFEND. Q1prime. Q3defend. Q1mini. Q7defend. V3air. Q3classic. V3air rechargeable.

Transparent teknologi. Heat Sink. Kontakt DEFEND. Q1prime. Q3defend. Q1mini. Q7defend. V3air. Q3classic. V3air rechargeable. DENMARK Q1 DEFEND Q1prime Q3defend Q1mini Q1 Q7defend Q2 Q2 V3 V3air Q3 Q3classic V3air rechargeable Q3 Q3r V3pro Q4 Q4xr V3pro rechargeable Transparen eknologi Hos Suprabeam er vi besae af a udvikle den

Læs mere

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast FJERNVARME 2 Muffer og fiings af plas INDHOLDSFORTEGNELSE Muffer Lige muffer Side 4 Krympemuffer Side 5 Svejsemuffer Side 6 Skydemuffer Side 7 Redukionsmuffer Side 9 Ballonmuffer Side 4 Slumuffer Side

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0 Micrologic oversømsrelæer.0 og.0 Lær oversømsrelæe a kende Idenifikaion af oversømsrelæe Oversig over funkioner 4 Indsilling af oversømsrelæe 6 Indsillingsprocedure 6 Indsilling af Micrologic.0 oversømsrelæ

Læs mere

EDR Frederikssund afdeling Almen elektronik kursus. Afsnit 9-9B-10. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Joakim Soya OZ1DUG Formand

EDR Frederikssund afdeling Almen elektronik kursus. Afsnit 9-9B-10. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Joakim Soya OZ1DUG Formand Afsnit 9-9B-10 EDR Frederikssund Afdelings Joakim Soya OZ1DUG Formand 1 Opgaver fra sidste gang Pico, nano, micro, milli,, kilo, mega Farvekode for modstande og kondensatorer. 10 k 10 k m A Modstanden

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Modellove ved fysiske modelforsøg

Modellove ved fysiske modelforsøg DANSIS emadag om eksperimenel fluid dynamik (EFD) på FORCE Technology, yngby, 8. okober 003 odellove ved fysiske modelforsøg Chrisian Aage Docen, ph.d. Danmarks Tekniske Universie ariim Teknik Absrac:

Læs mere

A. Valg af udførelsesmetode og materiel

A. Valg af udførelsesmetode og materiel A. Val af udførelseseode o aeriel I dee kapiel beskrives, vorledes ovedakivieerne udføres, sa vilke aeriel der benyes. I dee kapiel benyes der ænder. A.1 Val af raveaskiner I forbindelse ed val af askine

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998 Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Laurup Niels Bohr Insiue 3. okober 1998 Der har alid være fanaikere, som har men, a dommedag var nær, og for en del år siden kom nogle naurvidenskabelige forskere

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Filtre. Passive filtre har ikke forstærkende led, som fx operationsforstærkere.

Filtre. Passive filtre har ikke forstærkende led, som fx operationsforstærkere. 8/5 Filtre bruges til at fremhæve eller dæmpe nogle frekvenser. Dvs. man kan fx få kraftigere diskant, fremhæve lave toner Passive filtre Passive filtre har ikke forstærkende led, som fx operationsforstærkere.

Læs mere

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 4 Varenr. 572185 MTC4/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling Hvad er en diskre idsmodel? Diskree Tidsmodeller Jeppe Revall Frisvad En funkion fra mængden af naurlige al il mængden af reelle al: f : R f (n) = 1 n + 1 n Okober 29 1 8 f(n) = 1/(n + 1) f(n) 6 4 2 1

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

Danish and English. Standard Field Analysis (Diderichsen) Standard Field Analysis (Diderichsen)

Danish and English. Standard Field Analysis (Diderichsen) Standard Field Analysis (Diderichsen) Danish and English Some major poins of synacic conrass [Righ click for speaker s noes] Sandard Field nalysis (Diderichsen) Main clause able fel Forfel (Fundamenfel) Nexusfel ndholdsfel og Hvorfor Søren

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Hvor mange er der?

Hvor mange er der? A Familien Tal 9 0 Hvor mange er der? Tæl ing Læs hisorien om Familien Tal høj. Se lærervejledningen..-. Tæl analle af de vise ing og skriv, hvor mange der er. Tæl ing fra asken 0 Tæl ing fra klassen 9

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter Bilag 7 - Indusriel ovfladebehandling Bilag il Arbejdsilsynes bekendgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde kodenume produk 7.1. Bilages område a. Påføring af maling og lak på emn på fase arbejdsplads

Læs mere

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller 33 Finanspoliik i makroøkonomiske modeller Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Finanspoliik og pengepoliik er radiionel se de o vigigse økonomiske insrumener il sabilisering

Læs mere

Rustfrit stål i husholdningen

Rustfrit stål i husholdningen Rus f r i s åli hus hol dni ngen Hv i l k es ål y perbr ugerv iikøkk ene oghv or f or?oghv ader f l y v er us? Rusfri sål i husholdningen Hvilke sålyper bruger vi i køkkene og hvorfor? Og hvad er flyverus?

Læs mere

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKTER I MATEMATIK-KEMI OM REAKTIONSKINETIK OG DIFFERENTIALLIGNINGER. Indledning

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKTER I MATEMATIK-KEMI OM REAKTIONSKINETIK OG DIFFERENTIALLIGNINGER. Indledning KONSTELLATIONER (TVÆRMAT) REAKTIONSKINETIK OG DIFFERENTIALLIGNINGER DEN 4. MARTS 7 OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKTER I MATEMATIK-KEMI OM REAKTIONSKINETIK OG DIFFERENTIALLIGNINGER Inlening Reakionskineik

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Nærføring mellem banen Nykøbing F-Rødby og 132 kv kabelanlægget Radsted-Rødsand 2

Nærføring mellem banen Nykøbing F-Rødby og 132 kv kabelanlægget Radsted-Rødsand 2 Dette dokument beskriver en nærføringssag med de forskellige aktiviteter, der er foretaget. En dyberegående teori omkring formler og tilnærmelser, som er anvendt kan studeres i Nærføringsudvalgets håndbog

Læs mere

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led.

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Fasedrejning Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers

Læs mere

Help / Hjælp

Help / Hjælp Home page Lisa & Petur www.lisapetur.dk Help / Hjælp Help / Hjælp General The purpose of our Homepage is to allow external access to pictures and videos taken/made by the Gunnarsson family. The Association

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2.

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2. KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER MAKRO 2 2. årsprøve Klassisk syn: JORDEN/NATUREN er en produkionsfakor, som er - uundværlig i frembringelsen af aggregere oupu og Forelæsning

Læs mere

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic Sofsarere, moorsyringer og elekroniske konakorer CI-ronic INDUSTRIAL CONTROLS Elekroniske konakorer CI-ronic konakorer er skræddersyede il kræende indusrielle applikaioner. Takke ære indbygge LTE-eknik

Læs mere

Data og metode til bytteforholdsberegninger

Data og metode til bytteforholdsberegninger d. 3. maj 203 Daa og meode il byeforholdsberegninger Dee noa redegør for daagrundlage og beregningsmeoden bag byeforholdsberegningerne i Dansk Økonomi, forår 203.. Daagrundlag Daagrundlage for analysen

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.

Læs mere

Bilag 8. TDC technical requirements for approval of splitterfilters and inline filters intended for shared access (ADSL or VDSL over POTS).

Bilag 8. TDC technical requirements for approval of splitterfilters and inline filters intended for shared access (ADSL or VDSL over POTS). Bilag 8. TDC technical requirements for approval of splitters and inline s intended for shared access (ADSL or VDSL over POTS). Dette bilag udgør bilag 8 til det mellem parterne tiltrådte Produkttillæg

Læs mere

Teori om lysberegning

Teori om lysberegning Indhold Teori om lysberegning... 1 Afstandsreglen (lysudbredelse)... 2 Lysfordelingskurve... 4 Lyspunktberegning... 5 Forskellige typer belysningsstyrke... 10 Beregning af belysningsstyrken fra flere lyskilder...

Læs mere

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2.

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2. 2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

Brugervejledning & instruktion MHC 12/2. Varenr MHC 12/4. Varenr MHC12/1101-1

Brugervejledning & instruktion MHC 12/2. Varenr MHC 12/4. Varenr MHC12/1101-1 Brugervejledning & insrukion MHC / Varenr. 57405 MHC /4 Varenr. 57407 MHC/0- INDHOLD.0 Beskrivelse.0 Insallaion 3.0 Programmering 4.0 Forskellige funkioner 4. Toggle hygrosa (MHC /) 4. -rins hygrosa (MHC

Læs mere

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk)

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Arbejdspapir nr. 17/5 Tiel: Beregning af den srukurelle offenlige saldo 1 Forfaer: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Henvendelse: Michael Lund Nielsen (mln@fm.dk) Resumé: I arbejdspapire redegøres for den meode

Læs mere

OM SELVINDUKTION. Hvad er selvinduktion. 0 = 4 10 7 H/m

OM SELVINDUKTION. Hvad er selvinduktion. 0 = 4 10 7 H/m OM SELVINDUKTION Spoler finer mange anvenelser; fra elefiltre i højtalere til afstemte kresløb i raiomotagere, men spolen optræer også ve tråviklee mostane og for tilleningen til enhver komponent. Selv

Læs mere