Fraktaler: Viskøse Fingre og DLA

Transkript

1 Fraktaler: Viskøse Fingre og DLA Projekt nr af Alexander Valentin Nielsen (17/11-90), Maximillian Fornitz Vording (23/7-91), Sofie Janas (06/11-92) og Solvej Knudsen (4/10-89) Vejleder: Jeppe Søgaard Juul Førsteårsprojekt i fysik - Københavns Universitet Rapporten omfatter 15 siders hovedtekst og 9 siders apix. Rapporten er indst som en pdf-fil d. 23 marts 2012.

2 Abstract Fractals seem to appear everywhere in nature: Cloud boundaries, coastlines and the branching of lightning are all examples of physical objects that are much better described by fractal geometry than by traditional Euclidian geometry. The basic concepts of fractal geometry are introduced and are applied to fractals in nature. The aim is to determine whether two types of physical fractals lie in the same universality class by measuring their boxcount and circle dimensions. The first fractal type is viscous fingering, which is made in a Hele Shaw cell using glycerol, glass beads and air. The other fractal type is diffusionlimited aggregation (DLA), which is simulated in Matlab for particles. The fractal dimension of viscous fingering was measured to be 1.62, while that of DLA was Given the large systematic errors of the experiment, the results imply that viscous fingering and DLA lie in the same universality class.

3 Indhold 1 Introduktion 1 2 Teori Kriterier Eksempel på matematisk fraktal Skaleringsinvarians og selvsimilaritet Dimensionsbegrebet Box-dimension Cirkeldimension Universalitetsklasser Fysiske fraktaler Viskøse fingre Diffusionsbegrænset aggregation Similariteter Eksperiment: Viskøse Fingre 8 5 Simulering: DLA 8 6 Databehandling Boxcount Cirkelmetoden Fit Resultater Databehandling 11 8 Diskussion 14 9 Konklusion 15 A Matlab-script: Off-lattice DLA-simulering 17 B Matlab-script: Boxcount-function (fundet og modificeret) 18 C Matlab-script: Billedeimport til Boxcount af viscous fingering 20 D Matlab-script: Converting DLA to matrix boxcounting 20 E Matlab-script: Cirkelmetoden på viscous fingering 21 F Matlab-script: Cirkelmetoden på DLA-simulering 22

4 1 Introduktion Kaostoeri og fraktaler er først for alvor blevet et populært emne i de sidste årtier, skønt matematikere har beskæftiget sig med disse fænomener siden slutningen af 1800-tallet. De nye muligheder elektronisk databehandling har ført med sig, har gjort det muligt at studere fraktaler og komplekse systemer meget nemmere hidtil. Dette har sat gang i en næsten ny opfattelse af vores fysiske verden. Vi vil her i rapporten undersøge to forskellige fraktaler; Viskøse Fingre og Diffusion Limited Aggregation. Den ene fremstillet i laboratoriet, den anden simuleret på computeren. Vi vil derefter ved hjælp af to forskellige mål for dimensioner prøve at vurdere hvorvidt de ligger i samme universalitetsklasse. 2 Teori 2.1 Kriterier Som Falconer formulerer det i sin bog Fractal Geometry (Falconer 1990), er definitionen af en fraktal lidt lig definitionen af liv; der er ingen fast definition, som alle kan blive enige om, men snarere en række kriterier der som hovedregel må være opfyldt. En sådan liste af kriterier for egenskaberne ved et fraktalsæt, F, udtrykker Falconer i fem punkter [1]: 1. F har minutiøs struktur, dvs. F er detaljeret selv på arbitrært lille niveau. 2. F er for irregulær til at blive beskrevet med traditionel geometrisk notation, både lokalt og globalt. 3. F er oftes selvsimilær; fuldstændigt eller statistisk. 4. Som oftest er den fraktale dimension højere den topologiske dimension. 5. I de fleste tilfælde er F defineret på en simpel måde, eksempelvis rekursivt. Det kriterie der kommer tættest på en strengt matematisk definition af fraktale sæt er punkt nummer 4. Der findes dog fraktaler, hvor deres fraktaldimension er lig deres topologiske dimension. Dette er en af grundene til at man vælger at bruge en mere løs definition af fraktaler. 2.2 Eksempel på matematisk fraktal Et simpelt eksempel på en matematisk fraktal er Von Koch kurven. Lad et linjestykke E 0 være én enhed lang. Deler man nu E 0 op i tre lige lange stykker og bytter det midterste ud med to stykker, af samme længde, placeret, som to sider af en ligesidet trekant, har man et nyt sæt. Dette sæt svarer til én iteration og kaldes E 1. Anden iteration E 2 laves på samme vis: Man tager alle de lige sidestykker i E 1 og gentager processen ovenfor. E k er således det sæt man får, når man tager alle de lige stykker i E k-1 og erstatter deres midterste tredjedele med to sider af en ligesidet trekant, med sidelængde lig en tredjedel af E k-1 s liniestykkers oprindelige længde. Sættet man får når man lader k gå mod uelig, således at sættet bliver ueligt detaljeret, kaldes Von Koch kurven og benævnes F, se Figur 1. [1] [3] F opfylder alle kriterierne på listen ovenfor; dens detaljerighed fortsætter ned i det uelige, den kan ikke beskrives med traditionel geometrisk notation, men er derimod rekursivt defineret. Dens topologiske dimension er 1 mens dens fraktaldimension er højere, nemlig 1.26 [20]. Opdeles F i fire lige store stykker, er hvert af disse stykker ens med F, blot skaleret med 1/3, og kurven er derfor selvsimilær. Ved hver iteration af E bliver sættet 1/3 længere, hvorfor E k må have 1

5 Figur 1: Kreation af en von Koch kurve; Ved hver iteration tager man den midterste tredjedel af hvert lige stykke og bytter det ud med de to andre sider der skal til at at forme en ligesidet trekant. Von Koch kurven er den fraktal der opstår når man man på denne måde itererer ueligt mange gange. [1] [3] længden ( 4 3 )k. At lade k gå mod uelig medfører altså, at F vil have uelig udstrækning. Fra samme ræsonnement må afstanden mellem alle punkterne på F også være uelig stor. På samme tid fylder F intet i planet, så hverken længde eller overflade vil give en god beskrivelse af F. F er tydeligvis en form for kurve, men det giver ikke mening at snakke om tangenter til F. F er kontinuert i alle punkter, men ikke differentialble nogle steder [9]. 2.3 Skaleringsinvarians og selvsimilaritet Da en af grundegenskaberne ved fraktaler er, at de er selvsimilære, er det oftes ikke muligt at skelne billeder fra forskellige størrelsesordener fra hinanden. Begrebet selvsimilariet er et udtryk for, at et objekt eller sæt har stor lighed med en mindre eller større del af sig selv. Som eksempel er et stykke af en linie selv en linie, og et stykke af von Koch kurven er helt magen til et mindre udsnit af sig selv, se figur 2a). I kontrast er et stykke af en cirkel ikke selv en cirkel. Man kan finde mange eksempler i virkeligheden som har en form for selvsimilaritet: blomkålshoveder, trækroner, bjerge, skyer etc. Disse naturlige eksempler er selvsimilariten snarere statistisk eksakt, dvs. at dele af figuren tilnærmelsesvis har samme udsee på forskellige skalaer [18] [19]. Sådan statistisk selvsemilaritet er et ketegn ved fysiske fraktaler. Matematiske fraktaler kan også være statisktisk selvsimilaritet; man kunne f.eks. forestille sig en von Koch kurve hvor man ved hver iteration slog plat eller krone om hvilken side liniestykket udskiftes på, se figur 2b).[1]. Selvsimilaritet er tæt forbundet med skaleringsinvarians. Man kan matematisk definere skaleringsinvarians af en funktion eller kurve, f(x), der skaleres med hensyn til en variabel x. Man er interesseret i formen af f(λx), hvor λ er skaleringsfaktor. For at f(x) kan betragtes som skaleringsinvariant skal den opfylde følge ligning med hensyn til en passe eksponent og for alle λ: f(λx) = λ f(x) (1) En type af funktioner som opfylder denne ligning er potensfunker, f(x) = ax b. Hvis man lader = b bliver sammenhængen mere tydelig. f(λx) = a (λx) b = λ b ax b = λ b f(x) (2) Logaritmen taget på en potensfunktion giver forskriften ln(f(x)) = b ln(x). En potensfunktion som beskriver en skaleringsinvariant mængde vil derfor give en ret linie på et log-log plot. Vi vil senere se at eksponenten (b) kan hjælpe os til at forstå den enkelte fraktal. [2] 2

6 (a) (b) Figur 2: a) Hver gang man zoomer ind på en del af en von Koch kurve ser man en en von Koch kurve igen. b) Eksempel på konstruktionen af en tilfældig von Koch kurve. Ved hver ny iteration er det tilfældigt hvilken side trekanten peger. Den har sammen egenskaber som en normal von Koch kurve, men er nu kun statistisk selvsimilær [1] 2.4 Dimensionsbegrebet Dimension, som man tænker på det i almindelige sammenhænge, er et udtryk, for hvor stor udstrækning et givent objekt har. Én definition kunne være, at dimensionen er lig det antal koordinater man behøver, for at kunne beskrive ethvert punkt i objektet. Fx er en linie 1- dimensionel, et areal 2-dimensionelt og en kasse 3-dimensionel. Fælles for de ovenståe er, at de alle er meget pæne geometriske figurer. For fraktaler forholder det sig anderledes. Eksempelvis kan vi tage et kig på von Koch kurven igen. Umiddelbart virker den en-dimensionel, da det er en kurve, men som nævnt i afsnit 1.2 har den uelig kurvelængde og afstanden mellem alle punkter er ligeledes uelig. Dette kunne tyde på at von Koch kurven er mere en-dimensionel. Og da den ikke har udstrækning i planen kan den ikke heller betegnes som to-dimensionel - den ligger altså et sted i mellem 1. og 2. dimension. Dens box dimension er 1.26 [20], hvilket er et udtryk for at linien udfylder planet i en hvis grad. [3]. Denne ikke-heltallige dimension er ikke unik for von Koch kurven, men er et generelt træk for fraktaler. Der er udviklet mange metoder til at måle fraktalers dimensioner, hvor Hausdorff dimensionen står som en anerkt teoretisk, men meget matematisk tung metode, der bygger på gruppeteori. Desværre er denne meget besværlig at bruge i praksis, og andre mere anvelige dimensionsmetoder er udviklet. Vi har valgt at gøre brug af Box-Counting metoden samt en ligne metode, hvor man ser på tætheden inden for cirkler af forskellige radier. En mere dybdegåe beskrivelse af Box dimensionen er gennemgået i følge afsnit Box-dimension Ved Box-Counting, tæller man de antal bokse med sidelængde ɛ, der skal til for at dække hele fraktalen. Man ignorerer så at sige de ujævnheder og mindre detaljer i strukturen, og ser kun på den specifikke størrelsesorden ɛ. Lader man så ɛ gå mod nul, vil sammenhængen mellem antallet af bokse, der dækker fraktalen, og sidelængden ɛ fitte til en potensfuntion, og på et log-log plot til en ret linie. Hældningen af denne rette linie, er lig med fraktaldimensionen. Box-dimensionen 3

7 er altså defineret som: D box = lim ɛ 0 ln(n ɛ ) ln( 1 ɛ ) (3) hvor ɛ er sidelængden og N ɛ er antal bokse. Den simpleste måde at foretage box-counting, og den vi har benyttet os af, er at lægge et gitter ned over billedet af fraktalen, og så tælle alle de kvadrater i gitteret(med sidelængde ɛ), som overlapper en del af fraktalen. Ved at lade ɛ 0 skulle samme eksponent opnås. Sammenhængen mellem antal bokse og deres sidelængde, er givet ved: N(ɛ) 1 ɛ D box Betragt fx en kvadratisk bordoverflade, som vi ved har dimensionen 2 (bemærk at vi kun ser på overfladen). Sætter vi for nemheds skyld bordets sidelængde til 1, kan vi se at antallet af bokse stiger proportionalt med 1 (se tabel 1), hvor vi har hver gang har forhøjet ɛ med en faktor 3. ɛ2 Metoden virker altså også for ikke-fraktale strukturer. 1 ɛ N(ɛ) Tabel 1: Sammenhæng mellem ɛ og N for box-counting, for en 2-dimensionel overflade som fx en firkant. (4) Cirkeldimension Varianten, hvor man i stedet ser på antallet af partikler, N, inden for cirkler fra forskellig radier, R, giver også et mål for fraktaldimensionen. Denne metode tager dog i højere grad højde for hvor meget fraktalen har spredt sig ud til alle sider fra et midtpunkt. Metoden er anvelig på fraktaler der spreder sig fra et midtpunkt. Sammenhængen mellem N og R for cirkelmetoden er: N R D (5) Selvom de forskellige metoder til måling af fraktale dimensioner i visse tilfælde adskiller sig drastisk fra hinanden, vil de fleste metoder give samme dimensionsmåling for en "pæn"fraktal, dvs. en der opfylder den løse definition på en fraktal givet i første afsnit. Vi forventer derfor, at få samme dimension fra box-counting metoden som fra cirkelmetoden. 2.5 Universalitetsklasser Fraktaler kan opdeles i universalitetsklasser, der sorterer fraktaler efter en række geometriske og vækst-dynamiske kriterier. Teorien bag universalitetsklasser er matematisk tung, og vi vil derfor blot nævne dem her i en kvalitativ sammenhæng. Teorien om universalitet stammer fra studiet af faseovergange [5]. Faseovergange karakteriseres ved en ordensparameter, f.eks. densiteten, der er en funktion af et af systemets parametre, f.eks. dets temperatur. Ved en speciel værdi af denne ordensparameter sker faseovergangen, også kaldet det kritiske fænomen. Nær et kritisk punkt (f.eks. en faseovergang) sker der fluktuationer i systemet i alle størrelsesskalaer. For at beskrive fænomenerne må man derfor have en skaleringsinvarient teori. Denne kan ofte beskrives ved et sæt af potensfunktioner med karakteristiske 4

8 eksponenter, kaldet de den kritiske eksponenter. Ethvert specifikt fysisk system kan have mange skalaafhængige parametre. Desto nærmere sytemet kommer på sit kritiske punkt spiller disse dog en mindre og mindre rolle for systemets opførsel. Ved det kritiske punkt kan man altså beskrive sytemet med dets skalainvariante dele. Dette er baggrunden for universalitetsklasser; forskellige systemer, der kan beskrives af samme skalainvariante teori nær deres kritiske punkt. Disse sytemer, der deler universielle egenskaber, kan derfor sættes i samme klasse. [4] At opdele systemer med skaleringsinvariante størrelser i klasser alt efter hvilke kritiske eksponenter, der beskriver dem, er oplagt at overføre til studiet af fraktaler. Det kan hjælpe med til at skabe en forståelse for, hvorfor fraktaler, der dannes via vidt forskellige processer på det mikroskopiske plan, kan e op med at have samme makroskopiske karakteristika (form, udsee, vækstdynamikker). For at to forskellige fraktaler kan placeres i samme universalitetsklasse, skal de dele visse skalainvariante karakteristika. Disse inkluderer deres embedded dimension, dvs. den dimension de så at sige "lever i"(fx. lever Von Koch kurven i 2-dimensioner), og hvilke symmetrier der gælder for fraktalen: Er den rotationsinvariant, translationsinvariant, spejlingsinvariant osv. Deler to fraktaler alle disse karakteristika er de i samme universalitetsklasse, og ud fra universalitetsklassen er det givet hvilken dimension fraktalerne vil have. Ofte, når man skal fastslå en fraktals universalitetsklasse, går man dog den modsatte vej: eksperimentelt bestemmer man dens dimension, hvilket så tillader en at placere den i en klasse. 3 Fysiske fraktaler Mange naturlige fænomener ser ud til at vokse i fraktale strukturer, med grene der gentaget splittes op og danner nye, mindre sidegrene. Eksempler på dette findes mange steder, fx. trækroner, rodsystemer, snefnug og blodårer. Disse mønstre kan med stor fordel beskrives vha. fraktalgeometri, så længe man er opmærksom på visse forskelle og begrænsninger mellem den matematiske model og de fysiske systemer. Den vigtigste af disse er, at fysiske objekter er af elig størrelse modsat matematiske sæt, der i princippet kan have uelige størrelse. Dette betyder, at hvor matematiske fraktaler vil være selvsimilære i arbitrært lille skala vil fysiske fraktalers selvsimilaritet kun gælde i et vist interval, som er begrænset opadtil af hele fraktalens størrelse, og nedadtil af størrelsen på fraktalens mindste bestandele (fx størrelsen af vandmolykyler i snefnug). Udover at selvsimilariteten er begrænset, har naturlige fænomener næsten altid et element af tilfældighed tilknyttet, og de naturlige fraktaler er derfor kun statistisk selvsimilære. Bestemmelsen af dimensionen må altså finde sted over passe skalaer. Plotter man potensfuntionen i et log-log plot vil grafen bøje af i toppen og i bunden, da fraktalen her har nået grænserne for sin selvsimilaritet, og ikke længere her vil være skaleringsinvarinte. 3.1 Viskøse fingre Et af de to fysiske eksempler på fraktaldannelse, som vi vil fokusere på i dette projekt, kaldes viskøse fingre, og kan ses i figur 3a. Viskøse fingre opstår når en mindre viskøs væske (fx luft) bliver presset ind i en mere viskøs væske (fx olie). Luften vil sprede sig ud i den mere viskøse væske som lange tynde, forgrenede fingre. Denne fraktalstruktur vil aproximativt have en dimension på 1.70 [1]. Fraktalstrukturen opstår pga. den store forskel i viskøsitet. Luften har nemmest ved at bevæge sig ud i den retning, hvor modstanden i olien er mindst og hvor luften nemmest kan skubbe til oliemolekylerne. Viskøse fingre bliver lavet i en opstilling, der er tilnærmelsesvist todimensional, hvilket gør det nemmere at måle på (se afsnit 4). Dette fænomen kan beskrives matematisk via fluiddynamik, idet det antages at begge væsker er newtonske og at der ingen tiltrække kræfter er imellem væskerne og glaspladerne. I denne 5

9 situation vil oliens hastighedsfelt (der beskriver oliens lokale strømningshastighed) være beskevet ved Darcy s lov: v = k P (6) Hvor v er strømningshastigheden, k er en permabilitetskonstant som er omvt proportional med viskositeten og P er trykgradienten. Darcys lov siger altså, at olien bevæger sig mod steder med lavt tryk, og fra steder med højt tryk. Derudover antages det, at olien er inkompressibel (hvorved dens volumen er bevaret og densiteten er ens overalt), hvilket giver at strømningshastigheden har nul divergens. Derved kan man tage divergens til begge sider af (6): v = 0 = (7) v = ( k P) = (8) 2 P = 0 (9) Da viskositeten af luften er markant mindre viskositeten af olien vil trykket i luften være nært konstant, fordi trykudligningen vil foregå så hurtigt ift. oliens. Derved har man nu en grænsebetingelse; langs fraktalens kant vil trykket være konstant (og højt), dvs. P (x) = P 0. Trykket i kanten af opstilligen vil derimod have samme tryk som omgivelserne (dvs. 1atm), idet olien, der ikke er kompressibel, skal kunne presses et sted hen, når den presses væk af luften. Hermed kan den matematiske beskrivelse assistere i vores forståelse, idet løsningen til Laplaceligningen altså kan opfattes som et felt, der går fra et højt tryk omkring fraktalen til et lavt tryk langs kanten af opstillingen, og stiger mod en spids omkring fraktalen. Fra "spidserne"af fingrene af fraktalen vil trykgradienten falde hurtigt, hvilket gør at olien hurtigt bevæger sig væk fra spidsen, hvilket altså gør at fraktalen vokser hurtigst derfra. Derimod er trykgradienten lille og næsten konstant inde mellem fingrene i fraktalen, hvilket gør at olien ikke bevæger sig bemærkelsesværdigt derinde, hvorfor der ingen fraktalvækst er der. En vigtig ting at bemærke er, at væksten her er kontinuert, dvs. at fraktalen kan vokse i alle retninger på en gang. 3.2 Diffusionsbegrænset aggregation Det andet eksempel på fysisk fraktaldannelse vi vil beskæftige os med er diffusions-begrænset aggregation (Diffusion-limited aggregation, DLA). DLA fremkommer i mange forskellige typer situationer, der er karakteriseret ved at man skaber fraktalklynger af partikler ved at lade enkeltpartikler bevæge sig tilfældigt rundt ved Brownsk bevægelse (altså ved at diffundere) indtil partiklen rammer et sted på klyngen og sætter sig fast. DLA fremkommer fx. ved krystalvækst i underafkølede væsker, som det ses i figur 3b. En væske kan underafkøles, hvis der ikke findes urenheder i væsken, som krystalvæksten kan begynde på. Introducerer man en urenhed til væsken sker krystaldannelse enormt hurtigt, og afhængig af graden af superkøling kan krystaldannelsen ske som "grene"ud fra start-partiklen. Dette er fordi, at krystaldannelse frigiver varme, så kolde partikler må diffundere ind, før fraktalen kan vokse. [8] DLA kan simuleres ved at lade en random walker bevæge sig rundt på et lattice, og sætte sig fast når den er ved siden af et punkt, der allerede er del af fraktalen. Det kan også beskrives matematisk vha. diffusionsligningen i 2 dimensioner: u t = κ 2 u (10) 6

10 (a) (b) Figur (3) : I figur a ses et eksempel på viskøse fingre lavet med luft injiceret i en blanding af glaskugler og glycerol (selv fremstillet) med dimension I figur b ses krystaldannelse i underafkølet GaSe-væske med dimension 1.70 [8]. Det ses, at de to fraktaltyper ligner hinanden utrolig meget, og da de begge beskrives ved Laplaceligninger må de være i samme universalitetsklasse. Hvor u er densiteten af de diffundere partikler, og κ er diffusionskoefficienten. Idet væksten af DLA er diskret (dvs. at den kun vokser med en partikel af gangen) kan man istedet for diffusionsligningen beskrive det ved at opstille et sandsynlighedsfelt for positionen af en partikel. For hver partikel man lader diffundere ind opstiller man et sandsynlighedsfelt, som kollapser når partiklen har sat sig, hvorefter man opstiller et nyt felt for den næste partikel. Feltet opstilles ved at forestille sig et reservoir af partikler en radius R langt væk fra fraktalen. Her er sandsynligheden for at træffe vores partikel lig 1. Herefter lader man så partikler fra reservoiret diffundere ind mod fraktalen. Alle partikler, der rammer fraktalen, bliver absorberet (men tilføjer ikke ny udstrækning til fraktalen), hvorfor sandsynligheden på fraktalen er lig 0, og partikeltætheden vil langsomt falde, jo nærmere man kommer fraktalen. Partikeltætheden for mange partikler kan opfattes som sandsynlighedstætheden for én partikel, og beskriver derfor et sandsynlighedsfelt for den ene partikel vi ser ind ad gangen. Dette sandsynlighedsfelt vil have samme form som diffusionsligningen, altså q t = κ 2 q, hvor q nu betegner sandsynligheden. Idet man har ladet partiklerne diffundere til ligevægt vil feltet være tidsuafhængigt, dvs. q t = 0. Altså vil sandsynlighedsfeltet opfylde Laplaceligningen: 2 q = 0 (11) Herved kan man også her visualisere væksten af fraktalen vha. løsningen af Laplaceligningen. Gradienten i Laplaceligningen betegner sandsynligheden for, at partiklen vil gå mod fraktalen i et givet punkt, og en høj gradient vil derfor betyde, at der er en stor sandsynlighed for at partiklen vil diffundere ind den vej. Løsningen af Laplaceligningen vil være som et 3-dimensionelt trommeskind, der starter i højden q = 1 og er i q = 0 på randen af fraktalen. Komme udefra ind mod det yderste af fraktalens fingre vil sandsynlighedsgradienten være høj - det er meget sandsynligt, at partiklen kan diffundere denne vej ind. Imellem fraktalens fingre vil gradienten derimod være lille, hvilket angiver at sandsynligheden for at partiklen diffunderer hele vejen ind mellem fingrene er meget lav. Altså vil fraktalen vokse mest i erne, og have en lille sandsynlighed for at kunne vokse mere inde i strukturen. 3.3 Similariteter Det ses altså, at både viskøse fingre og DLA har Laplaceligningen som ligge til grund for fænomenerne, og de har begge en konstant grænseværdi langt fra fraktalen, og en anden konstant grænseværdi på fraktalens kant. De "lever"også begge to i samme dimension, nemlig dimensionen 2. At de deler disse ting må betyder at de har samme symmetrier, hvilket også ses visuelt i figur 3 - de to fraktaltyper ligner visuelt hinanden meget. 7

11 Det er dog ikke klart, at disse to fraktaltyper må tilhøre samme universalitetsklasse; viskøse fingre vokser kontinuert indefra og ud, mens DLA vokser diskret udefra og ind. Matematisk er det nu ikke blevet vist at begge fraktaler kan beskrives af samme skalainvariante teori, men alle nyere artikler og lærebøger konkluderer vha. eksperimenter og simuleringer, at DLA og viskøse fingre har samme dimension, og er i samme universalitetsklasse [7]. I resten af denne rapport vil vi søge at verificere at viskøse fingre og DLA er i samme universalitetsklasse ved at måle deres dimensioner via Boxcounting og Cirkelmetoden. 4 Eksperiment: Viskøse Fingre Vi opstillede en Hele Shaw Celle, beståe af to parallele glasplader, en metalring, en lille plastikslange og en kanyle med luft (se Figur 4). Det var tiltænkt at mellemrummet mellem de to glasplader skulle udfyldes af præcis ét lag sfæriske glaskulger (i størrelseordnen 500 µm), hvorefter gycerol sprøjtes ind gennem et hul i midten af den øverste plade. Fordelen ved at ligge glaskuglerne i ét lag, er at fraktalen kun vil udbrede sig i to dimensioner. Når hele arealet er udfyldt af kugler og glycerol, sprøjtes luft ind gennem hullet i midten, og fraktalen vil opstå (se Figur 4). Vi fandt, at det var enormt vanskeligt at fordele glaskuglerne i præcis ét lag. Så snart kuglerne nogle steder lå dobbelt, hævede disse steder hele glaspladen op. Det resulterede i en tyk og klumpet fraktal. Hvis der derimod ikke var kugler nok, så de ikke lå helt tæt, trængte glycerolen kuglerne væk, og der opstod et kugleløst område i midten. Som et forsøg på en løsning lavede vi i stedet en fugtig blanding af glaskugler og glycerol, som vi påførte på midten af den nederste glasplade. Med den øverste glasplade pressede vi denne blanding ud i et tyndt ensartet lag, symmetrisk omkring midten. Når vi indsprøjtede luft gav dette nogle meget større og pænere fraktaler (se figur 4). Ulempen ved denne metode er, at vi ikke kan undgå at der kommer luftbobler i blandingen, samt at kuglerne ligger i mere ét lag. Luften har altså reelt tre dimensioner at bevæge sig i. Der kan derfor løbe luft igennem på flere niveauer, og disse luftarme vil ikke alle kunne ses oppefra. Vi vil se bort fra dette, og stadig behandle vores fraktaler som var de lavet i et plan. Fordelen er at vi undgår et stort kugletomt hul i midten af arealet, der hvor vi pumper luft ind, og luften vil påbegynde sin fraktaludbredelses med det samme. Til vores forsøg, brugte vi råsorterede glaskulger i størrelsen µm. Den øverste glasplade havde en radius på 12.5 cm. Vi udførte forsøget flere gange, hvoraf vi opnåede brugbare resultater fire gange. Disse fraktalerne udbredte sig mest i en retning. To af dem fik tykke og afrundede grene, hvor de to andre blev mere tynde og kantede. Fraktalern[]eb fik en diameter på imellem cm. Efterfølge redigerede vi billederne af fraktalerne i billedbehandlingsprogrammet Gimp. Disse kan ses under afsnit Simulering: DLA Simuleringen er skrevet off-lattice i Matlab med inspiration til fremgangsmåden ud fra de refererede scripts (on-lattice[10],off-lattice[11],off-lattice[12]) og med henblik på at efterligne naturlig DLA. Dette gøres her ved at placere et startpunkt i (0, 0), og herefter lade en partikel starte et tilfældigt sted på radius af en cirkel med center i (0, 0). Dette gøres ved at vælge en tilfældig vinkel, θ = rand 2 π 1, på en radius, R + 10, hvor R er den målte radius af fraktalen. Derefter gentages en while-løkke, hvor partiklen bevæger sig en længde, stepsize, svare til den mindste afstand hen til en partikel, der er med i fraktalen, med en tilfældig vinkel, theta. 1 rand er en funktion i matlab der giver et pseudo-tilfældigt tal i intervallet [0,1] 8

12 Figur 4: Opstilling - en stålring monteres på en firkantet glasplade. Herpå påføres glycerol-kugle-blandingen, hvorefter en passe rund glasplade presses ned over. Sprøjten med luft monteres i en slange, der er fastgjort til et hul på midten af den øverste plade. Dette gentages indtil partiklen "rammer"en anden partikel, der er med i fraktalen. Det afgøres ved, at se om stepsize <= 1 eller > R max. Når stepsize 1 stiger n med 1 (n = n + 1) og når stepsize > R max kasseres punktet og n forbliver det samme. Koordinaterne, (x n, y n ), hvor punktet satte sig fast, gemmes i en vektor, og en ny partikel (n+1) ses afsted. En overordnet while-løkke gentager processen indtil n N, hvor N er det antal partikler man ønsker. Det er vigtigt at pointere, at simuleringen er skrevet til at være off-lattice. Ved On-lattice er koordinaterne for hver partikel udtrykt i diskrete værdier af heltal, så de passer til indexnumrene i en matrix. Derved er der kun 8 mulige indgange omkring et firkantet punkt, hvor et andet punkt kan sætte sig fast. I off-lattice er koordinaterne ikke længere begrænset af at skulle være heltallige, og angives med en detaljeringsgrad på 4 decimaler. Altså vil der være markant flere muligheder for steder en partikel kan sætte sig. Det er et argument for, at off-lattice bedre efterligner den naturlige analogi, som ikke er begrænset til diskrete værdier, og årsagen til at vi har brugt den. I figur 5 ses vores simulering for N = punkter: (a) n = 10 (b) n = 100 (c) n = Figur 5: Her ses 3 trin i simuleringen, (a) efter 10, (b) 100 og (c) iterationer. (c) er den elige fraktal, hvor vi har sat N = Startpunktet (0,0) er rødt. Diameteren for punktet, der repræsenterer partiklen, er 1, da dette er berøringsgrænsen (stepsize <= 1) hvor partiklerne sætter sig fast. Da Matlabs markersize på plots ikke kan blive lavere 1, vil den fulde fraktal (c) forekomme mere tæt og overlappe partiklerne reelt ligger. 9

13 6 Databehandling 6.1 Boxcount Som nævnt i teoriafsnit er boxcount en skalering via bokse med en variabel sidelængde, ɛ, hvor antallet af bokse N(ɛ), indeholde den behandlede mængde, optælles og stiger som en potensfunktion med dimensionen som eksponent når ɛ går mod 0. For at efterligne dette bedst muligt i Matlab-databehandlingen, har vi delt en matrix op i et gitter af kvadratiske bokse med en variere sidelængde r = ɛ og optalt N(r). Hver indgang i matricen beskriver henholdsvis en pixel i billedet af den eksperimentielle fraktal og et interval af koordinater, (xpos, ypos), i den simulerede fraktal. For billederne af viskøse fingre gøres følge: i billedredigeringsprogrammet Gimp [13] øges først kontrasterne i billedet, hvorefter billedet importeres som matrix i matlab ved funktionen imread( filename.filetype ). Indgange med RGB-værdi 1 lavere f.eks. 80 omskrives til 1-taller, mens indgange med RGBværdi højere 80 omskrives til 0. Det var nødvigt at variere denne grænse alt efter hvilket billede vi arbejdede med. Ved behandling af de simulerede fraktaler, afrundes hvert punkts koordinater til heltalsværdier ved round(xpos, ypos). Ved denne fremgangsmåde mister vi punkter, da alle koordinater inden for f.eks. [ ] afrundes til værdien 1. Computeringstiden ville dog være markant højere hvis vi undlod dette. Dernæst laves en matrix, hvor indgange passe til de afrundede koordinater får værdien 1. Indgangene hvor der ikke tilsvarer nogen koordinater får værdien 0. Funktionen [N, r] = boxcount(matrix) [14] opdeler matricerne i N(r) bokse, hvor sidelængden r starter på værdien 1 (svare til hvert enkelt indgang) og stiger som 2 p, hvor p = 0, 1, 2,... Når r = matricens sidelængde (dvs. antallet af rækker og søjler i matricen) stoppes scriptet. Når boksenes sidelængde er én indgang bred (r = 1), optælles alle indgange indeholdene 1- taller, så N(1) = n, hvor n er antallet af bokse indeholde fraktal. Dette opgives i vektorform i matlab som N(1, p + 1), hvor 1 angiver første række i en matrix, og p + 1 angiver søjlenummer. Tilsvare laves en vektor r(1, p + 1). 6.2 Cirkelmetoden Cirkelmetoden er en måde at måle dimensioner, hvor sammenhængen er N(r) r D, hvor r er radius, N er mængde fraktal inden for cirklen og D er dimensionen. For en fuldstændig udfyldt cirkel vil N stige med π r 2. Før vi kan måle på de eksperimentielle fraktaler må deres centrum vurderes, og de tilsvare indgangsnumre i deres matrix findes (Imid, Jmid). Da optælles alle indgange ligge inden for r = (Imid i) 2 + (Jmid j) 2, hvor (Imid, Jmid) er indgangen for fraktalens centrum og (i, j) er indgangen vi tjekker for. r går fra 1 til r max, hvor r max er mindste antal indgange ud til matricens kant. Af denne grund bliver hjørnerne af billedet ikke medtaget. For de simulerede fraktaler måler vi cirkeldimensionen off lattice. Her har fraktalens startpartikel allerede koordinatet (0,0), så vi tjekker for r = xpos 2 + ypos 2, hvor xpos er x- koordinaten og ypos er y-koordinaten. Her går r fra 1 og ud til kanten af fraktalen. Begge metoder illustreres i figur 6. 1 (R,G,B) = (Red, Green, Blue) = (0:255,0:255,0:255) - farve angivet i 3 1 vektorer for hver pixel ved hexadecimal-system. 0 = lavest intensitet, sort og 255=højest intensitet, hvid 10

14 Figur 6: On-lattice illustration af de to metoder, hvor boxcount deler matricen ind i større og større felter indtil hele matricen og dermed alle n grå punkter kan dækkes med 1 boks, dvs. N(r)=1. Cirkelmetoden lader den sorte cirkel stige og noterer antal grå punkter inden for radius, N(r). Antal grå+hvide punkter vil gå som en udfyldt cirkel med r Fit Man kan behandle vektorene, N(1, p + 1) og r(1, p + 1) ved to forskellige plots. Man kan fitte dem som en potensfunktion efter normalt plot, hvor data vil følge formen y = a x b, hvor b er dimensionen, y er N(1, p + 1) og x er r(1, p + 1). Ellers kan man fitte dem som en lineær funktion i loglog-plot, hvor data vil følge formen log(y) = b log(x)+log(a). I begge tilfælde fitter man via metoden "Least Squares"[15]. Forskellen på loglog-fit og power-fit er, at med loglog-fit vægtes datapunkterne med procentvis fejl, hvor power-fittet tager højde for absolutte fejl. Vi har vurderet vores datapunkter til at have procentvise fejl, når vi øger sidelængde i boxcount eller radius i cirkelmetoden, og har derfor valgt at fitte med loglog. Vi fitter til log( 1 r ) og log(n(r)) for boxcount og log(r) og log(n(r)) til cirkelmetoden. Dette ses i tabel 2, hvor dimensionerne er målt efter cirkelmetoden og boxcount og fundet ved loglog-fits. På loglog-plot aflæser vi i begge tilfælde ved hvilken sidelængde eller radius, linien knækker permanent. At linien knækker er et udtryk for at skaleringsinvariansen for fraktalen i dette punkt ophører. Data efter dette punkt er ikke medtaget i dimensionsmålingen. Et eksempel på plot for fits af de to metoder ses i figur 7. Ved denne metode får man kun opgivet fitteusikkerheder på ens resultater (disse er angivet i tabel 2). Derfor tager vi det uvægtede gennemsnit for dimensionerne via formel 12, og finder fejlen på middelværdien, σ µ, via formel 13 [17]: 6.4 Resultater µ D = 1 N N D i (12) i=1 σ 2 µ = (µ D D i ) 2 N 1 I tabel 2 ses de målte dimensioner for hhv. de eksperimentelt fremstillede og de simulerede fraktaler. Derudover ses også billeder af de eksperimentielle fraktaler i figur 8 og af de simulerede i figur 9: 7 Databehandling Det ses umiddelbart, at selvom middelværdierne for fraktaldimension målt med hhv. boxcount og cirkelmetoden er meget ens, er der specielt for ekserimentet en vis forskel på dimensionerne målt med de to metoder. Dette er der en række årsager til, som vi vil forklare i det følge. (13) 11

15 Figur 7: Begge fit af DLA-simulering 5 (box t.v., cirkel t.h.) - Det ses, at de 3 første blå boxfitdatapunkter ikke ligger på fraktalens dimension, magenta linie D = 1.667, men nærmere planens dimension, D = (sorte stiplede linie). Det skyldes, at der skal lige så mange N(r) til at dække fraktalen som en udfyldt overflade, når r nærmer sig matricens størrelse. I de røde radfitpunkter knækker linien til sidst ved en radius, hvor fraktalen er ufuldkommen. Begge af disse slags punkter undlader vi at fitte efter. Antallet af punkter for boxcount er markant mindre for cirkelmetoden, da boxlængden stiger med 2 p (ca. 14 målepunkter) og cirkelradius stiger med 1 (ca målepunkter) (a) E1 (b) E2 (c) E3 (d) E4 Figur 8: Viskøse fingre. E1-E4 viser de billedbehandlede udgaver af de eksperimentielle fraktaler. Kontrasten er øget for at lette databehandlingen. Som det ses, er de fire fraktaler ret forskellige i tykkelse og udbredelsesretning, hvilket afspejles i deres dimensioner. Fraktaler skabt eksperimentelt med vores nivaeu af udstyr er ikke perfekte. Mange af dem havde en tens til at udvikle sig mest i den retning, hvor kugle/glycerol-blandingen var mindre tæt pakket. Fraktalerne udviklede sig altså ikke homogent i alle retninger. Disse eksperimentielt udviklede fraktaler egner sig derfor bedre til at få målt dimensionen via Boxcount metoden, der ikke tager højde for, om fraktalen faktisk er udbredt cirkulært. Det gør Cirkelmetoden derimod, så hvis fraktalen primært er vokset i den ene side, vil mængden af partikler man vil måle, hver gang man øger radius, ikke stige lige så meget, som hvis fraktalen var vokset homogent i alle retninger. Dette har vi dog prøvet at kompensere for i databehandlingen, ved kun at inkludere 12

16 Fraktal nr. Box-dim. v. loglog Cirkel-dim. v. loglog Eksperimentel Fraktal E ± ± 0.01 E ± ± 0.02 E ± ± 0.01 E ± ± 0.01 Middelværdi 1.63 ± ± 0.09 DLA-simulation S partikler ± ± S partikler ± ± S partikler ± ± S partikler ± ± S partikler ± ± S partikler ± ± S partikler ± ± Middelværdi ± ± Tabel 2: Fraktaldimensioner for viskøse fingre og DLA-simulering. Bemærk, at usikkerheden angivet for hver enkelt måling er fitteusikkerheden, mens middelværdien er udregnet via et ikkevægtet gennemsnit. Usikkerheden er den gennemsnitlige afvigelse af de enkelte datapunkter fra middelværdien. (a) S3 (b) S5 (c) S6 Figur 9: DLA. Tre af vores syv simulerede fraktaler (S3: partikler, S5: partikler, S6: partikler). Som det ses er de meget ens, trods en stor forskel i mængden af partikler. den del af billedet, hvor fraktalen nu ikke var vokset skævt. Cirkeldimensionen har dog ikke nogen klar tens til at være hverken højere eller lavere boxdimensionen for eksperimentet - det skifter fra fraktal til fraktal. Som det ses på figur 8 ser de fremstillede fraktaler også indbyrdes forskellige ud. E1 og E2 er tykkere og rundere i fingrene, hvilket, fordi de netop fylder mere i planet, giver dem en højere dimension ved begge metoder ifht. E3 og E4. Ydermere bliver deres grene tykkere længere væk fra midten. Dette kan være årsagen til den noget højere cirkeldimension for de to fraktaler, da boxcount måler på hele fraktalen hver gang, mens cirkelmetoden breder sig ud over fraktalen i takt med at radius øges. På E3 og E4 måles en lavere dimension ved begge metoder. Deres fingre er også tyndere E1 og E2. Grunden til dette er at de blev lavet i et tykkere medie de to andre, da kulge/glycerol blandingen lå i flere lag imellem glaspladerne. Luften kunne bevæge sig i forskellige 13

17 lag, og fingene er derfor ikke altid synlige udefra. Effekten af dette kan ses på figur 8, som har "huller"i fingrene for E3 og E4. Dette kan også delvist skyldes, at lysintensiteten ikke er helt ens i hvert billede, hvorfor der også der har været informationstab. Udover tykkelsen på kugle-glycerol-mediet kan nævnes følge systematiske fejl og usikkerheder: luftens indsprøjtningshastighed, som vi ikke kunne kontrollere, og kugle-glycerol-mediet der ikke havde præcis samme blandingsforhold for hver fraktal. En vigtig systematisk fejlkilde er opstillingens, og dermed også fraktalernes, elige størrelse. Det giver os ikke en særlig stor skala at måle dimensionen over, da størrelsen af kuglerne kun er få størrelsesordner mindre størrelsen af fraktalerne. Kunne vi normalisere forholdene og lave fraktalen i en Hele Shaw-celle med en radius på fx 1 km, ville vi få et meget bedre mål for dimensionen, idet vi ville have et større område at måle over. Ved simulering har vi dannet syv meget ens fraktaler. Tre af dem kan ses på figur 9. Grunden til at fingrene ser så tykke ud på figur 7 er, at simuleringerne er kørt for mellem og partikler, og billedet her er skaleret meget ned. Fraktalernes ensartethed kommer til udtryk i deres målte dimensioner, der ligger meget tæt på hinanden (jf. tabel 2). De simulerede fraktaler udbredte sig cirkulært omkring starpartiklen, og både cirkelmetoden og box-count gav dimensioner tæt på Ved box-count har vi kun nogle få datapunkter, som det ses i figur 7, hvorimod vi har ca datapunkter ved cirkelmetoden. Cirkelmetoden må derfor give det mest præcise mål for dimensionen. For den simulerede fraktal spiller dens elige størrelse også ind, idet den skalaen nedadtil er defineret af partikelstørrelsen og opadtil antallet af partikler. Mængden af partikler er i størrelsesordnen 10 5, hvilket giver os en større skala at måle over ifht. de eksperimentielle fraktaler. Derfor spiller de simulerede fraktalers elige størrelse en mindre rolle. 8 Diskussion Middelværdien for de to fraktalers dimensioner ligger tæt på hinanden, og tæt på den forventede værdi på De besidder begge fraktale egenskaber, og begge deres vækstdynamikker kan beskrives matematisk ved Laplaceligningen, hvilket medfører at de må have samme symmetrier. Sammenligner man billederne af viskøse fingre og DLA (figur 8 og 9) ses det, at de to fraktaltyper (næsten) ligner hinanden (specielt hvis man kun ser på E1 og E2 blandt de viskøse fingre, der har tykkere fingre de to andre), hvilket understøtter at de må dele dynamik-symmetrier. Alt defdftte stemmer overens med vores antagelse om at DLA og viskøse fingre ligger i samme universalitetsklasse. De eksperimentelt fremstillede viskøse fingre og simuleringerne af DLA opfylder begge K. Falkoners fire første kriterier for egenskaberne ved fraktalsæt (se afsnit 2.1). De er detajlerede på små skalaer, irregulære, statistisk selvsimilære og deres fraktaldimensioner er højere deres topologiske. Den statistiske selvsimilaritet er illustreret på figur 10. Her vises en af de simulerede fraktalers arme, zoomet ind hhv. 2, 3 og 4 gange. Det ses ligeledes at detaljegraden forbliver den samme ved indzooming. Fraktalerne, både de simulerede og de eksperimentielle, er eksempler på fysiske fraktaler. Der findes derfor ikke en simple rekursiv følge, der definerer fraktalerne, og de opfylder altså kun 4 ud af K. Falconers 5 kriterier. Ligeledes er de ikke detaljerede og selvsimilære på arbitrære små skalaer, grundet deres elige størrelser. 14

18 (a) (b) (c) Figur 10: En af de simulerede fraktaler ved forskellig zoomingsgrad. a) 2 x zoom, b) 3 x zoom og c) 4 x zoom. Det ses at detaljegraden og strukturen forbliver den samme ved indzooming 9 Konklusion Vi har undersøgt dimensionerne for to fraktaltyper, viskøse fingre og DLA, i håb om at vurdere hvovidt de er i samme universalitetsklasse. Forsøgsopstillingen for de viskøse fingre var vanskelig at få til at fungere. Vi blev derfor nødt til at ændre på metoden for at få anvelige data, hvilket formentlig har påvirket kvaliteten af fraktalerne. Dimensionerne blev målt ved to forskellige metoder, Boxcount og Cirkelmetoden. For viskøse fingre var den gennemsnitlige boxdimension på 1.63 ± 0.05 og cirkeldimension på 1.62 ± De simulerede fraktalers gennemsnitlige boxdimension ligger på ± og cirkeldimension på ± Derudover finder vi, at viskøse fingre og DLA begge kan beskrives matematisk vha. Laplaceligningen, hvilket medfører at de må have samme symmetrier. Sammenholdt med deres dimensioner, der inden for usikkerhederne ligger tæt på hinanden, kan vi understøtte teorien om, at DLA og viskøse fingre er i samme universalitetsklasse. Ud fra vores resultater alene ville vi dog ikke kunne sige dette med sikkerhed pga. vores simple forsøgsopstilling og fordi vi kun har undersøgt dimensionerne for de to fraktaltyper - fx kunne man også have undersøgt symmetrierne i deres vækstdynamik. Litteratur [1] K. Falconer - Fractal Geometry; Mathematical Foundations and Applications John Wiley & Sons, 1990 [2] P. B. Allen - Scale Invariance of power law functions [3] S. Strogatz - Nonlinear Dynamics and Chaos Westview Press, 2001 [4] K. A. Takeuchi, M. Sano, T. Sasamoto & H. Spohn - Growing interfaces uncover universal fluctuations behind scale invariance Nature, [5] L. P. Kadanof - Phase Transitions: Scaling, Universality and Renormalization 15

19 [6] J. Lee, A. Coniglio & H. E. Stanley - Fractal-to-nonfractal crossover for viscous fingers Physical Review A, Volume 41, Number [7] J. Mathiesen, I. Procaccia, H.L. Swinney & M. Thrasher - The universality class of diffusionlimited aggregation and viscous fingering Europhysics letters, 15. oktober [8] N.N. Kolesnikov, E.B. Borisenko, D.N Borisenko, S.I. Bozhko - Fractal structures of drites in GaSe crystals Journal of Crystal Growth, [9] P. S. Addison - Fractals and Chaos - An Illustrated Course Institute of Physics (IoP) Publishing (1997), side [10] J. Leto - DLA Matlab-script [11] P. Bourke - DLA C-script [12] Chi-Hang Lam - DLA Java-applet [13] The GIMP Team - GIMP Open-Source billedebehandlingsprogram [14] F. Moisy - boxcount.m (opdateret ) [15] Wolfram Mathworld - Least Squares [16] T.A Witten & L.M Sander - Diffusion-Limited Aggregation Physical Review B, Volume 27, Number 9 1. maj 1983 [17] Morten Dam: Computerfysik - Gennemsnit og std.afvigelse [18] R. L. Oldershaw - Nature Adores Self-similarity [19] M. He & S. Petoukhov - Mathematics of Bioinformatics: Theory, Methods and Applications Side [20] M. Pollicott - Lectures on Fractals and Dimension Theory 16

20 A Matlab-script: Off-lattice DLA-simulering tic clear close all % Decide number of iterations, particles in fractal. N = ; n = 1; % number particle to look at r = 2; % minimum variable radius changing with max distance to the middle. % creating x /yposition N vector xpos(:,1) = zeros(n,1); ypos(:,1) = zeros(n,1); q = 0; % run through all N while n<=n theta = rand*2*pi; % random angle % starting particle on radius r+10: on r, so it won't start to far away % and saves time. +10 so it won't start inside the fractal. xpos(n+1) = (r + 10) * cos(theta) ; ypos(n+1) = (r + 10) * sin(theta) ; stepsize = 2; % stepsize % take steps until min. distance to another coordinate in xpos,ypos is % lower than 1 or larger than 2000, and stick to that one. while stepsize > 1 && stepsize < 2000 stepsize = sqrt( min( (xpos(n+1) xpos(1:n)).^2 + (ypos(n+1) ypos(1:n)).^2 ) ); stheta = rand*2*pi; xpos(n+1) = xpos(n+1) + (stepsize 0.9) * cos(stheta); ypos(n+1) = ypos(n+1) + (stepsize 0.9) * sin(stheta); % only count the particle (add 1 to n), if the particle has not escaped if stepsize < 2000 % change radius,r, where new xpos,ypos starts, if distance to middle is % larger than r. if r^2 < xpos(n+1)^2 + ypos(n+1)^2 r = sqrt(xpos(n+1)^2 + ypos(n+1)^2) ; n = n+1; if mod(n,50000)==0 q = q+1; save(['dla1' num2str(q)]) % saves data every n. % plot the fractal, with 'markersize'=1, because it's unfortuneately the % lowest size. figure plot(xpos,ypos,'.','markersize',1) toc %display computation time used since start at 'tic' 17

21 B Matlab-script: Boxcount-function (fundet og modificeret) function [n,r] = boxcount(c,varargin) %BOXCOUNT Box Counting of a D dimensional array (with D=2). % [N, R] = BOXCOUNT(C), where C is a 2 dimensional array (with D=2), % counts the number N of D dimensional boxes of size R needed to cover % the nonzero elements of C. The box sizes are powers of two, i.e., % R = 1, 2, ^P, where P is the smallest integer such that % MAX(SIZE(C)) <= 2^P. If the sizes of C over each dimension are smaller % than 2^P, C is padded with zeros to size 2^P over each dimension (e.g., % a 320 by 200 image is padded to 512 by 512). The output vectors N and R % are of size P+1. For a RGB color image (m by n by 3 array), a summation % over the 3 RGB planes is done first. % % The Box counting method is useful to determine fractal properties of a % 1D segment, a 2D image or a 3D array. If C is a fractal set, with % fractal dimension DF < D, then N scales as R^( DF). DF is known as the % Minkowski Bouligand dimension, or Kolmogorov capacity, or Kolmogorov % dimension, or simply box counting dimension. % % BOXCOUNT(C,'plot') also shows the log log plot of N as a function of R % (if no output argument, this option is selected by default). % % BOXCOUNT(C,'slope') also shows the semi log plot of the local slope % DF = dlnn/dlnr as a function of R. If DF is contant in a certain % range of R, then DF is the fractal dimension of the set C. The % derivative is computed as a 2nd order finite difference (see GRADIENT). % % The execution time deps on the sizes of C. It is fastest for powers % of two over each dimension. % % Examples: % % % Plots the box count of a vector containing randomly distributed % % 0 and 1. This set is not fractal: one has N = R^ 2 at large R, % % and N = cste at small R. % c = (rand(1,2048)<0.2); % boxcount(c); % % % Plots the box count and the fractal dimension of a 2D fractal set % % of size 512^2 (obtained by RANDCANTOR), with fractal dimension % % DF = 2 + log(p) / log(2) = 1.68 (with P=0.8). % c = randcantor(0.8, 512, 2); % boxcount(c); % figure, boxcount(c, 'slope'); % % F. Moisy % Revision: 2.10, Date: 2008/07/09 % History: % 2006/11/22: v2.00, joined into a single file boxcountn (n=1,2,3). % 2008/07/09: v2.10, minor improvements % control input argument error(nargchk(1,2,nargin)); % check for true color image (m by n by 3 array) 18