En teoretisk og empirisk analyse af nansielle bobler

Transkript

1 En eoreisk og empirisk analyse af nansielle bobler (A heoreical and empirical analysis of nancial bubbles) Kandidaafhandling i Finansiering Af Birger Buchhave Poulsen Årskornummer: Vejleder: Claus Munk, Professor, Ph.D. Insiu for Økonomi, Aarhus Universie A everingsdao:. sepember 009 Må o enliggøres

2 ii Absrac E ciency is a fundamenal concep when dealing wih nancial markes. In is mos simple form i can be de ned as price re ecing he value of fuure uncerain paymens accruing o he holder of an asse. Asse pricing models are concerned wih nding e cien prices, and hey refer o hem as fundamenal values. Prolonged relaively large posiive deviaions of prices from heir fundamenal values, for whaever reason, are called bubbles. Undersanding hem in more deph heoreically as well as empirically and he evens surrounding hem is he subjec of his paper. Speci cally he heoreical par ses up a uni ed framework for he discussion of he four main srands of models found in he lieraure. The rs wo groups of models analyze bubbles wihin he raional expecaions paradigm, bu di er in heir assumpion wheher all invesors have he same informaion or are asymmerically informed. A hird group of models focuses on he ineracion beween raional and non-raional invesors. In he nal group of models raders prior beliefs are heerogeneous, possibly due o psychological biases, and consequenly hey agree o disagree abou he fundamenal value of he asse. The main conclusion drawn from his par is hreefold; raional expecaions are more ofen han no able o rule ou bubbles as par of a general equilibrium. Secondly, if allowed o exis heir dynamic behavior is severely resriced if hey are o remain raional in he sric meaning of he word. Thirdly, any model wih saionary bubble equilibria mus incorporae some form of ine ciency or irraionaliy concerning respecively he iniial allocaion and/or individual expecaions of agens. The esablished heoreical framework ses he sage for he empirical pars. Firs, using daa for he Sandard & Poor s Composie Sock Price Index covering he period I calculae ex pos raional prices, es for explosive raional bubbles and ulimaely obain an esimae of he bubble process over he enire period by esimaing a sae-space model. All in all he resuls are somewha consisen and seem o sugges ha fundamenal price misalignmens did occur in he lae 990 s. However, each mehod has is drawbacks and he overall seup is sill conained in he raional expecaions framework. The second empirical par is concerned wih he DoCom bubble. I examine he price-formaion process of inerne relaed companies and heir relaive valuaions over he period in lieu of hree facors known heoreically and empirically o a ec prices. These facors are marke illiquidiy, asymmeric informaion and uncerainy abou fuure average pro abiliy. Illiquidiy and asymmeric informaion is generally hough o a ec prices negaively while he e ec of uncerainy on fundamenal values is someimes claimed o be posiive. The illiquidiy measures used here is he average or median across socks of he daily raio of absolue sock reurn o dollar volume and he relaive bid-ask spread. Asymmeric informaion is ideni ed by examining he dynamic relaion beween reurn and volume of individual socks. Reurns generaed by risk-sharing end o reverse hemselves while reurns caused by speculaive rades end o coninue hemselves. Ulimaely he relaion beween relaive valuaion and uncerainy is examined across inerne companies approximaing uncerainy abou fuure pro abiliy wih a closely relaed variable namely annual reurn volailiy. A sample of 65 inerne socks was seleced. The daa selecion process was resriced only o include socks lised on NASDAQ due o con icing designs in marke microsrucures among exchanges. My resuls provide evidence ha hese hree facors did behave in a way consisen wih relaively high valuaions during he period leading up o he burs of he bubble in March 000. In general, more liquid rms have relaively higher valuaions and he e ec seems o be sronger in he period Moreover, asymmeric informaion or speculaive rading does no sand ou as

3 iii a dominan facor in he marke for inerne shares. This fac, is a leas no inconsisen wih relaively high prices. Lasly, uncerainy is only a condiional posiive pricing facor. In he bull marke socks wih higher reurn volailiy sands ou as relaively more valuable. This e ec was reversed in he bear marke from The resuls hus sugges ha hese hree facors did behave in a way consisen wih heir heoreical implicaions and herefore o some exen jusi es relaively high valuaions of inerne rms. Wheher he e ecs semming from hese facors where large enough in scale o jusify observed valuaions is no invesigaed in his hesis. Overall, he resuls make a poin for poenial raional explanaions surrounding exreme price movemens. The erm bubble should herefore in general be used wih cauion unil we have obained a horough undersanding of he fundamenal pricing mechanisms in a marke. De oplyses, a opgaven har e omfang svarende il ca. 5 normalsider (.500 egn pr. side).

4 iv

5 Indhold Indledning. Baggrund og moivaion De niion Problemformulering Afgrænsning Meode og noaion Opsummering af eoreiske og empiriske resulaer Opbygning Finansieringseori - redegørelse for konceper 7. EMH og raionelle forvenninger Tilsandspriser De diskree ilfælde De koninuere ilfælde Ingen-arbirage Markedsligevæge De niion Pareo-opimalie Koninuere sokasiske processer Sandard Brownske bevægelser Di usionsprocesser En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 3 3. Raionelle bobler Euler-ligningen Den raionelle værdifassæelsesmodel Egenskaber og resrikioner Sokasiske, periodiske kollapsende og inrinsiske raionelle bobler Beingelser for eksisens i en eoreisk modelramme Eksisensen af bobler under asymmerisk informaion Allen, Morris & Poslewaie[993] Bobler som følge af begrænsede arbiragemuligheder En model med raionelle invesorer og noise raders Risici for raionelle invesorer Heerogen forvenningsdannelse og bobler v

6 Indhold vi 3.4. Scheinkman & Xiong[003] Delkonklusion Perfek forudseenhed og raionelle bobler Daa S&P-indekse Ex pos raionelle priser Risikoneuralie Tidsaddiiv CRRA-nye Habi formaion Eksplosive raionelle bobler Teori Diba & Grossman[988a] Resulaer Periodiske kollapsende bobler Raionelle bobler og sae-space modeller Teori Repræsenaion på sae-space form Kalman lere En prisfassæelsesmodel med variaion i renen Alessandri[006] Generalisering af krydsresrikioner En AR()-proces for dividenden En AR(3)-proces for dividenden Empirisk analyse Resringerede-uresringerede modeller Sae-space model Simulering Likvidiesaspeke af nansielle bobler Teori Likvidie Markedsdimensioner Likvidiesmål Convenience yield Daa Fremska else og beskrivelse Sorering og fravælgelse Empirisk analyse - e værsnisaspek Fremgangsmåde De niion af variable Deskripiv saisik Resulaer Empirisk analyse - e idsserieaspek Fremgangsmåde Resulaer

7 Indhold vii 7 Asymmerisk informaion Empirisk analyse Fremgangsmåde Deskripiv saisik Resulaer Usikkerhed og fundamenale værdier 3 8. Pasor & Veronesi[006] Modellen Værdiansæelse Implikaioner Empirisk analyse Fremgangsmåde Resulaer Delkonklusion Konklusion 3 9. Lieraur Appendiks 9 0. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler Froo & Obsfeld[99] En raionel forvenningsligevæg De Long e al.[990] Scheinkman & Xiong[003] Perfek forudseenhed og raionelle bobler Tidsaddiiv CRRA-nye Habi formaion Koninuer id Diba & Grossman[988a] Raionelle bobler og sae-space modeller Taylor-approksimaion af fundamenalværdien Krydsresrikioner - Alessandri[006] Krydsresrikioner når dividenden følger en AR(p)-proces Krydsresrikioner når dividenden følger en AR()-proces Krydsresrikioner når dividenden følger en AR(3)-proces Resulaer Likvidiesaspeke af nansielle bobler Fremgangsmåde Resulaer Asymmerisk informaion Usikkerhed og fundamenale værdier Gordons væksmodel i koninuer id Resulaer

8 Indhold viii

9 Kapiel Indledning. Baggrund og moivaion Finansiel værdiansæelse beskæfiger sig med fassæelsen af priser over akiver som modsvarer værdien af deres respekive (usikre) fremidige bealinger. Beydningen af en e cien prisfassæelse på e nansiel marked og prisdannelsen mere generel rækker lang. For markedsdelagerne sikres e fair og ordenlig marked. I e makroøkonomisk perspekiv opnås en mere e ekiv allokering af økonomiens ressourcer. I ligevæg vil markedsdelagerne gennem deres opimale adfærd påvirke prisdannelsen i e marked, ligesom priserne vil in uere på de inveserings- og nansieringsbesluninger økonomiens agener ræ er. Når e marked ikke længere kan siges a foreage prisfassæelsen korrek, er konsekvenserne en fejlallokering og omfordeling af ressourcer. Relaiv sore posiive afvigelser i prisen fra en eoreisk korrek prisfassæelse er emne for denne afhandling. Sådanne afvigelser omales ofe som nansielle bobler. Ofes beskrives her en siuaion hvori, e akivs pris ikke umiddelbar lader sig refærdiggøre af fundamenale elemener. En boble anyder eksisensen af noge uholdbar og forbigående. O enligheden og medierne især er ofe hurige i klassi ceringen af en hændelse som værende en nansiel boble. Men ofe er siuaionen den, a vi ikke forsår de cenrale såvel raionelle som irraionelle værdifassæelsesmekanismer i ilsrækkelig grad. Begrebe boble opræder som ofes i en negaiv sammenhæng. Dee må ilskrives de ofe medfølgende desabiliserende e eker på individniveau og poenielle negaive realøkonomiske konsekvenser. Bobler berages som omfordelende og e resula af udpræge markedsine ciens, invesor irraionalie, spekulaiv og grådig adfærd sam en fejlslagen økonomisk poliik inkonsisen med sabile økonomiske ligevæge. Poliikere, cenralbanker og andre cenrale besluningsagere bør derfor forsøge, a modvirke deres opsåen på hvad der berages som vigige markeder af ineresse for almenvælde. Pos[004] er delvis af en anden opfaelse i spørgsmåle om ønskværdigheden af bobler. Speci k er argumene, a bobler er en uadskillelig del af de kapialisiske sysem, des væks og evoluion. De opsår sponan i markedes allokering af ressourcer il des poeniel mes produkive formål. De er e ulimaiv egn på sundheden af og mulighederne i e kapialisisk sysem. Dee er hvad Pos[004] beegner som "reale bobler"modsa de desabiliserende bobler præge af mere spekulaive kræfer. En bobles kollaps mødes ofe med forvivlelse og opråb om o enlig indgriben. Ifølge Pos[004] bør e kollaps derimod hilses velkommen som løsningen på e problem. De grundlæggende problem er forvenningsdannelsen under usikkerhed. Kollapse bidrager blo il sabilisering af disse forvenninger og handlingerne som fører med dem. Bobler bør således overlades il markedskræferne selv a håndere. Ønske om a modvirke bobler og deres e eker fra cenral hold er en misforsåelse som poeniel kan ødelægge deres posiive

10 Kapiel. Indledning dynamiske e eker. I e hisorisk perspekiv er adskillige episoder med eksrem prisdannelse ofe bleve klassi cere som klare eksempler på forekomsen af bobler og se som e prima facie bevis på udpræge irraionel adfærd bland invesorerne. E speciel fremrædende eksempel er den hollandske ulipanboble hvor løgene af sjældne og særlig oe ulipansorer, blev handle il eksplosiv sigende priser fra november 636 og frem il januar 637. På dee idspunk havde priserne nåe asronomiske højder. I februar 637 kollapsede markede for disse sjældne ulipanløg og priserne udgjorde umiddelbar herefer kun en brøkdel af deres idligere niveauer. Af andre eksempler kan nævnes de æ forbundne Mississippi og Souh Sea Bubbles hvis hændelser deres navne il rods udspand sig i henholdsvis Frankrig og Sorbriannien. Disse episoder indebar reel gennemførelsen af makroøkonomiske og nansielle eksperimener i sor skala hvilende på John Law s økonomiske grundanker. Begge hændelsesforløb involverede monopolisiske handelsselskaber som søge en voldsom udvidelse af deres balancer. Dee foregik gennem opkøb af den samlede saslige gæld og andre selskabers handelsmonopoler med fjernliggende kolonier. Sasgælden var herefer samle hos en enkel kredior som kunne ilbyde debior (saen) mere lempelige vilkår. Finansieringen skee med genagne akieudsedelser hvor de nye bølger af akier blev solg il hver gang højere priser. Ulimaiv kollapsede begge disse selskaber dog, da den o enlige illid il deres grundlæggende ide forsvand. I nyere id er speciel inerneboblen e hyppig anvend referencepunk, i forklaringen af de mekanismer og forudsæninger som udgør grundlage for eksisensen af en nansiel boble. En lang række andre eksempler kunne nævnes. Tilsammen omfaer disse episoder e bred udsni af akivyper spændende fra reale akiver som jernbaner og ejendomme il nansielle akiver som akier, valua og penge. Moivaionen bag denne afhandling ligger i e ønske om, a opnå en sørre forsåelse for den mulige ilsedeværelse af bobler som e elemen af prisen på e handle nansiel akiv.. De niion Værdien af de fremidige pengesrømme e akiv kan generere, benævnes under e den fundamenale værdi. Fundamenalværdien er e eoreisk begreb besem af markedsdelagernes forvenningsdannelse. Derfor vil der ofe være en beydelig usikkerhed forbunde med e akivs reelle værdi. Denne usikkerhed varierer al efer akivype og akivernes individuelle karakerisika. En nansiel boble kan re bese kun eksisere, såfrem usikkerhedsmomene er ilsrækkelig sor. Usikkerhed er en dimension af e akivs værdi. Selv i e bagudree perspekiv er de ofe umulig, a besemme e akivs reelle værdi. Fornufen i givne ex ane forvenninger er vanskelige a vurdere ex pos. På den baggrund er de i princippe mulig, a refærdiggøre ehver prisniveau som værende udryk for markedes forvenninger. Dee forhold undersreger, a der formenlig aldrig hverken ex ane eller ex pos vil kunne opnås fuldsændig enighed omkring eksisensen af en boble. 3 Diskussionen vil alid cenrere omkring en korrek speci cere model for besemmelse af den fundamenale værdi. E begreb de nere på baggrund af en observerbar pris og en uobserverbar fundamenal værdi må nødvendigvis blive udgangspunk for deba. I lierauren ofe forekommende de niioner af en boble og spekulaiv adfærd er "A bubble is an asse ha rades wih a posiive price bu pays no dividends", Samuelson[958]; John Law s ide gik ud på, a en ekspansion i den realøkonomiske akivie kunne opnås gennem udsedelse af papirpenge (akier). Udsedelsen af akier skulle nansiere de projeker som skulle skabe den realøkonomiske væks. Derigennem skulle der genereres en ny akieeferspørgsel således prisen kunne opreholdes. Garber[990] er en ganske konroversiel beskrivelse af disse episoder. Han forholder sig kriisk il deres klassi cering som værende bobler forårsage af en eksrem grad af spekulaiv irraionel invesoradfærd. Han ser også disse episoder som havende hver sine raionelle elemener. 3 Kunne vi alle blive enige herom ex ane ville prisen falde allerede i dag.

11 Kapiel. Indledning 3 "Invesors exhibi speculaive behavior if he righ o resell a sock makes hem willing o pay more for i han hey would if obliged o hold i forever", Harrison & Kreps[978]; "A bubble is a sharp rise in price of an asse or a range of asses in a coninuous process, wih he iniial rise generaing expecaions of furher rises and aracing new buyers-generally speculaors, ineresed in pro s from rading in he asse raher han is use as earning capaciy"; Kindleberger[978]; "A bubble is a price movemen ha is inexplicable based on fundamenals", Garber[990]; "A bubble is an upward price movemen over an exended range ha hen implodes", Kindleberger[996]; "Bubbles arise if he price exceeds he asse s fundamenal value", Brunnermeier[008]. De niionen give af Brunnermeier[008] ovenfor, er den der i lierauren synes a være sørs enighed omkring. Denne de niion er bred og dækker reel alle de ilfælde som berages eferfølgende..3 Problemformulering Hensigen med nærværende afhandling er odel og jener på e overordne plan såvel e eoreisk som e empirisk formål. Gennem en opsille eoreisk forsåelsesramme undersøges og diskueres på e formel plan boblers eksisens. Hensigen er, a anskueliggøre under hvilke beingelser eksisensen af bobler er mulig henholdsvis umulig i en eoreisk sammenhæng. De undersreges i den forbindelse, a deres eksisens eller udelukkelse nødvendigvis må ses i sammenhæng med de grundlæggende modelanagelser. Inddragelse og diskussion af relevan lieraur om emne er en inegrere og naurlig forekommende del af den eoreiske analyse. Afhandlingens empiriske del viderefører i e vis omfang den eoreiske behandling af bobler. Anlæggende førs en grundlæggende raional indgangsvinkel undersøges deres relevans i relaion il S&P-indekse for perioden I den forbindelse ønskes de primær illusrere, hvorledes forskellige meodemæssige ilgange il raionelle bobler kan afdække hver deres vinkel på emne. Dernæs underligges omsændighederne omkring inerneboblen en nærmere empirisk analyse. De ønskes her undersøg, i hvilke omfang prisdannelsen i markede var relaere il og konsisen med re velkende fakorer med dokumenere beydning for e nansiel akivs fundamenale værdi. Disse fakorer er likvidie, asymmerisk informaion og usikkerhed. Poeniel overenssemmelse imellem disse fakorers respekive eoreiske implikaioner og de her fremlage empiriske resulaer, er i en vis udsrækning raionelle forklaringer på prisdannelsen i markede under inerneboblen..4 Afgrænsning Denne afhandling fokuserer på nansielle bobler og deres relaion il prisfassæelsen. Afhandlingen anlægger primær en raionel indgangsvinkel il prisdannelsen i e marked. I e mindre omfang er den adfærdsmæssige nansiering i cenrum. Ligeledes berøres kun i mindre udsrækning konsekvenserne som følge af boblers eksisens og kollaps. Poliikeres og cenralbankers rolle i modvirkningen af uhensigsmæssig kapialakkumulaion er heller ikke e cenral ema for afhandlingen. De skal dog undersreges, a omsændighederne omkring forekomsen af bobler herunder deres poenielle samfundsmæssige konsekvenser generel er af sor ineresse. I en fyldesgørende behandling af emne må sådanne aspeker nødvendigvis inddrages i en ikke ubeydelig grad. Den primære akivype som her behandles er e selskabs noerede akie. Lierauren om bobler inddrager dog også andre akivyper som eksempelvis valua og ejendomme. De er ingen ilfældighed, a disse yper af

12 Kapiel. Indledning 4 akiver ofe ses som værende ude af ri med deres fundamenale værdier. Alle er de fremrædende eksempler på akiver hvis udløbsidspunk i princippe er ude nere. Lierauren om bobler gør også brug af eksperimenelle sudier. Her analyseres espersoners inerakion i e marked under konsruerede forudsæninger. En sådan fremgangsmåde kan give en værdifuld indsig om årsager il boblers opsåen og senere kollaps. Dee skyldes, a sudierne foregår i e konrollere miljø og de ineressane mekanismer kan derfor isoleres ganske præcis. De skal dog poineres, a sande eksperimenelle sudier inden for de samfundsvidenskabelige discipliner forekommer uhyre vanskelige a gennemføre på en konsisen facon. Jeg vil ikke behandle sådanne sudier yderligere i denne afhandling..5 Meode og noaion Afhandlingens eoreiske ramme berører dimensionerne raionalie-irraionalie og symmerisk-asymmerisk informaion. Disse dimensioner vedrører egenskaber, der illægges henholdsvis markedsdelagerne og informaionsfordelingen i markede. Den eoreiske ramme om nansielle bobler har baggrund i Brunnermeier[008]. Den empiriske behandling af de raionelle bobler ager udgangspunk i S&P-indekse. Her undersøges førs eksisensen af fundamenale uligevæge anlæggende e ex pos raionel perspekiv. Denne meode er basere på Shiller[98a]. Herefer gennemføres der i forlængelse af Diba & Grossman[988a] økonomeriske ess med henblik på udelukkelsen af eksplosive raionelle bobler. Bobler er i sagens naur uobserverbare variable. En økonomerisk eknik anvendelig i esimeringen af sådanne variable er en såkald sae-space model. Her følges Alessandri[006] og der foreages udvidelser af modellen præsenere heri. Jeg behandler i relaion il inerneboblen særskil re empiriske problemsillinger med poeniel beydning for værdiansæelsen. Med udgangspunk i illikvidiesmåle fra Amihud[00] behandles førs e likvidiesmæssig aspek af prisdannelsen. Dernæs behandles asymmerisk informaion i markede for inerneakier. Dee sker i forlængelse af Llorene e al. [00]. Pasor & Veronesi[006] argumenerer for, a usikkerhed omkring fremidig pro abilie genererer en højere fundamenal værdi. Dee aspek af prisfassæelsen undersøges nærmere med akiernes årlige afkasvolailie approksimerende usikkerhed. Nærværende afhandling gør brug af en ikke ubeydelig mængde lieraur med nansiel prisfassæelse som den primære fællesnævner. Derved er ikke alid mulig eller hensigsmæssig a opnå en hel igennem konsisen noaion. En besluning må derfor ages omkring opgivelsen af enen inern noaionsmæssig konsisens over de forskellige afsni og kapiler eller eksern konsisens med den anvende originallieraur. Med visse undagelser har jeg valg, a ofre den inerne konsisens il fordel for bevarelsen af den ekserne originale noaion. Hvor de måe forekomme passende, har jeg ilpasse noaionen fra den anvende lieraur og derved forsøg a skabe inern konsisens omkring anvendelsen af cenrale variable og relaioner. En del af de beskrevne resulaer i de eoreiske afsni, de anvende maemaiske redskaber og den noaionsmæssige del i øvrig har baggrund i Munk[009]. Herfra er der på e generel plan hene inspiraion il såvel de eoreiske som empiriske problemsillinger behandle i denne afhandling..6 Opsummering af eoreiske og empiriske resulaer Raionelle bobler hviler på en grundlæggende raionaliesanagelse. De lader ubesvare spørgsmål omkring årsager il opsåen og kollaps. Langsige maksimerende invesoradfærd vil krafig begrænse forvenningsdannelsen og de illadelige priser som kan eksisere i en raionel forvenningsligevæg, når økonomien indeholder e endelig anal agener. Dee er den væsenligse implikaion af Tirole[98]. Selv under asymmerisk informaion kræver spekulaiv adfærd (en boble), a visse agener som udgangspunk har en forvenning om gevins ved handel. Denne implikaion om ikke-eksisens af bobler kan ændres såfrem en OLG-model be-

13 Kapiel. Indledning 5 rages. Beingelsen er dog en dynamisk ine cien økonomi. En implikaion heraf er, a eksisensen af bobler under mere generelle kondiioner kræver en vis grad af irraionalie i modellen. Undersøgelsen omhandlende inerneboblen nder, a fakorerne likvidie, asymmerisk informaion og usikkerhed er relaere il den relaive værdiansæelse af inerneselskaber på en måde forekommende konsisen med disse fakorers respekive generelle eoreiske implikaioner for prisdannelsen. Udviklingen i disse fakorer kan således berages som værende i overenssemmelse med relaiv høje raionelle fundamenale værdier..7 Opbygning Denne afhandling er opbygge som følger: I kapiel redegøres der kor for nogle cenrale konceper og de niioner relevan i forhold il disciplinen nansiel prisfassæelse. Kapiel 3 præsenerer den eoreiske forsåelsesramme om bobler. Kapiel 4 og 5 foresår den empiriske behandling af de raionelle bobler anvendende daa for S&P-indekse. Kapiel 6, 7, og 8 behandler henholdsvis fakorerne likvidie, asymmerisk informaion og usikkerhed i relaion il prisdannelsen under inerneboblen. Kapiel 9 konkluderer og kapiel 0 indeholder appendiks. Afhandlingen er naurlig opdel i re overordnede dele. Disse dele besår af en indledende eoreisk del eferfulg af de o empiriske dele som har hver si fokusområde. Den eoreiske forsåelsesramme har relevans for begge de empiriske dele. Teorien og empirien afslues med hver sin delkonklusion. E samle overblik over opgaven kan opnås ved a berage indholdsforegnelsen.

14 Kapiel. Indledning 6

15 Kapiel Finansieringseori - redegørelse for konceper Dee kapiel beskriver en række generelle eoreiske aspeker af nansiel prisfassæelse. Hensigen er primær, a inroducere nogle cenrale konceper som også lierauren om nansielle bobler ager i anvendelse. Den grundlæggende nansieringseori er naurligvis relevan for denne opgave, da bobler de neres med baggrund i eoreiske prisfassæelsesmodeller.. EMH og raionelle forvenninger Den e ciene markedshypoese (EMH) har idligere være cenral i spørgsmåle om eksisensen af bobler. EMH forudsæer, a al relevan ilgængelig informaion i besemmelsen af en fundamenal værdi er afspejle i priserne. Under EMH kendes den underliggende værdiansæelsesmodel og agenerne har raionelle forvenninger. Raionelle forvenninger (RE) indebærer, a agenerne anvender al relevan ilgængelig informaion opimal. repræsenerer her agenernes informaion på idspunk. Den på idspunk raionelle forvenning af den sokasiske variabel X +k (k 0:) med fordelingsfunkion f (X +k j ), er den beingede maemaiske forvenning E [X +k ] = E [X +k j ] = Z X +k f (X +k j ) dx +k : Denne forvenning afspejler den opimale raionelle forudsigelse af X +k beinge på. Implikaionerne af RE er følgende. E [X +k E [X +k ]] E [u +k ] = 0, hvor u +k er forvenningsfejlen: RE er unbiased,. E [u +k ] = E [u +k j ] = 0: RE opfylder orogonaliesbeingelsen, 3. E [E +j [X +k ]] = E [X +k ], k j 0: RE opfylder reglen om iererede forvenninger, 4. Hvis X er en del af ) E [X ] = X : 7

16 Kapiel. Finansieringseori - redegørelse for konceper 8 Raionel forvenningsdannelse forudsæer, a agenernes subjekive forvenninger er lig de maemaisk beingede forvenninger hvor sidsnævne baserer sig på den sande udfaldsfordeling. Agenernes forvenninger er danne på grundlag af en underliggende økonomisk model og er derfor homogene. Validieen af RE afhænger af elemenerne ovenfor og gyldigheden af den økonomiske model. EMH/RE pålægger ingen resrikion på momenerne af fordelingen for u +k udover middelværdien.. Tilsandspriser En ilsandspris eller ilsandsprisde aor udgør en generel prisfassæelsesregel som konsisen værdiansæer alle akiver i en økonomi. For hver mulig ilsand i økonomien hører på samme id en men ikke nødvendigvis unik de nere ilsandsprisde aor. Til en ilsandsprisde aor hører en unik de nere ilsandsprisvekor. Jf. Munk[009] gælder følgende for en ilsandsprisde aor De niion En ilsandsprisde aor eksiserer hvis og kun hvis priserne udelukker arbirage. De niion Anag a priserne udelukker arbirage. I så fald eksiserer en unik ilsandsprisde aor hvis og kun hvis markede er komple. Hvis markede er inkomple eksiserer adskillige ilsandsprisde aorer. E komple marked har den egenskab, a enhver risiko er handle. Da ingen-arbirage beingelsen alid forudsæes opfyld kan en ilsandsprisde aor rimeligvis anages a eksisere... De diskree ilfælde I diskre id er en ilsandsprisde aor de nere på idspunk = f0; ; ; :::; T g en ilpasse sokasisk proces = ( ) med egenskaberne. 0 = ;. > 0 for alle = ; ; :::; T; 3. for alle ; har en endelig varians, 4. for alle akiver i = ; :::; I og ehver ; opfylder prisen beingelsen P i = E " T X s=+ s D i;s hvor s >. Senere vil vi illade, a T!. P i og D i;s er henholdsvis prisen for akiv i på idspunk og dividenden på idspunk s. E [] repræsenerer forvenningen på idspunk, beinge på idspunk il rådighed værende informaion. Ifølge (:) er P i en ilbagediskonere værdi af den forvenede fremidige dividendesrøm. Dee er cenral indenfor nansiel prisfassæelse. s = indeholder informaion omkring en passende diskonering af den ilsandsbeingede dividende. Passende refererer il, a s = er forbunde med agenernes marginalnyer gennem udrykke s = har si grundlag i en opimerende adfærd bland økonomiens agener. Dee vil senere blive vis i kapiel 3 hvor Euler-ligningen inroduceres. # (.)

17 Kapiel. Finansieringseori - redegørelse for konceper 9 m ;s = s = e (s ) u0 (c s ) u 0 (c ) : er agenernes subjekive diskoneringsrae, c er forbrug på idspunk og u () en velde nere nyefunkion for agenerne i økonomien. s = benævnes agenernes marginale subsiuionsrae mellem idspunk og s. I forlængelse af (:) kan P i skrives som P i = E 4 0 X s=+ s D i;s + 0 P i; (.) med < 0 < T. P i er delvis besem af forvenningen il P i; 0 på idspunk 0. Dee indikerer e spekulaiv elemen i P i. Senere inroduceres ransversaliesbeingelsen som sikrer, a P i er lig sin fundamenale værdi og a løsningen il (:) derfor er unik. Ligning (:) kan skrives som P i = TX s=+ s s E E [D i;s ] + Cov ; D i;s : Prisen på idspunk for en nulkuponobligaion med udløb på idspunk s er give som B s s = E = ( + ^y s ) s hvor ^y s er nulkuponrenen. Følgende udryk for P i kan herefer opnås P i = TX s=+ ( + ^y s ) s E [D i;s ] + Cov s = E [ s = ] ; D i;s : (.3) (:3) viser, a P i kan ses som en risikofri nuidsværdi af de forvenede dividender illag en passende risikojusering ved kovariansledde. Inuiionen følger den grundlæggende ankegang bag CCAPM. Finansielle akiver som er behjælpelige i agenernes forsøg på a udjævne deres forbrug over id værdiansæes højere... De koninuere ilfælde I koninuer id er en ilsandsprisde aor de nere som en ilpasse sokasisk proces = ( ) med egenskaberne. 0 = ;. > 0 for alle [0; T ] ; 3. for hver idspunk, har en endelig varians, 4. for alle akiver i = ; :::; I og ehver [0; T ), opfylder prisen beingelsen

18 Kapiel. Finansieringseori - redegørelse for konceper 0 P i = E " Z T Ækvivalenen il (:) i koninuer id er med < 0 < T. " Z 0 P i = E i;s P i;s s ds + D i;t T i;s P s i;s ds + P 0 i; 0 # # : (.4) : (.5).3 Ingen-arbirage En arbirage er e risikofri afkas uden nogen modsvarende bealing. En konsisen prisfassæelse kræver fravær af arbirage og er i henhold il de niion give ovenfor forudsæningen for eksisensen af en ilsandspris. Begrænse il en enkel periode, vil en arbiragemulighed for poreføljen opfylde en af følgende beingelser. P < 0 og D 0;. P 0 og D 0 med P D > 0 > 0: P og D er henholdsvis prisen og dividenden for poreføljen. Den førse beingelse siger, a for en sreng negaiv pris i dag, er de mulig a opnå en ikke-negaiv dividende i den eferfølgende periode. Den anden beingelse fasslår, a ved bealing af en ikke-posiiv pris i dag, opnås med posiiv sandsynlighed en sreng posiiv dividende i den næse periode. I en erperiodes sammenhæng de neres en arbirage som en selv nansierende inveseringssraegi med den diskree værdiproces V = V hvor = f0; ; ; :::; T g opfylder en af følgende beingelser. V 0 < 0 og V T 0 med sandsynlighed en,. V 0 0 og V T 0 med sandsynlighed en og V T > 0 med sreng posiiv sandsynlighed. En sraegi er selv nansierende såfrem alle de mellemliggende dividender fra en porefølje er nul. For en selv nansierende inveseringssraegi er VT = D T = T D T og V0 = D0 = P = 0 P 0. Kendeegnende er endvidere, a de oprindelige kapialgrundlag forbliver uforandre. En selv nansierende inveseringssraegi er forbunde med en arbiragemulighed, hvis den genererer ikkenegaive dividender på idspunk 0 og T, hvor en af disse dividender er sreng posiiv med sreng posiiv sandsynlighed..4 Markedsligevæge I modelleringen og evalueringen af økonomiske sysemer er vi primær ineressere i deres ligevæge herunder ligevægenes beingelser, karakerisika og sabilie. Disse egenskaber er af ineresse i forhold il evalueringen af grundlæggende modelanagelser og ligevægsdynamikken i sysemes variable.

19 Kapiel. Finansieringseori - redegørelse for konceper.4. De niion En markedsligevæg beskriver en siuaion og e udfald, hvor markedsdelagerne gennem handel med økonomiens akiver opnår en allokering, hvor hver enkel agen individuel berage ikke har inciamen il a handle yderligere og opnå en ny allokering. Ligevæge i en periode Berag en økonomi srækkende sig over en enkel periode med I akiver og L grådige risikoaverse individer. Hver akiv i er karakerisere ved sin pris på idspunk 0, P i og en sokasisk variabel D i, udgørende dividenden på idspunk. Hver individ er kendeegne ved si nyeindeks U l og endowmen e l 0; e l. En ligevæg besår af en prisvekor P og poreføljer l, l = ; :::; L opfyldende de o beingelser. for hver l = ; :::; L er l opimal for individ l give P,. markedsclearing, dvs. P L l= l i = 0 for alle i = ; :::; I. Forbunde med ligevægen P; l ; :::; L er en ligevæg i forbrugsallokeringen c l 0; c l, l = ; :::; L de- nere vha. beingelserne c l 0 = e l 0 l 0 P 0 ; c l! = e l! + D l! ;! hvor = f; ; :::; Sg repræsenerer de mulige ilsande. Ligevæge over ere perioder Berages ere perioder er en markedsligevæg give ved en proces for prisen, P = (P ) hvor = f0; ; :::; T g og processer for de individuelle poreføljer, l = l ; l = ; :::; L opfyldende de o beingelser 0;;:::;T. for hver l = ; :::; L er l opimal give P,. markedsclearing, dvs. P L l= l i = 0 for alle i = ; :::; I; 0; ; :::; T. Med ligevægen P; l ; :::; L eksiserer en ligevæg i forbrugsallokeringen give ved processen c l, 0;;:::;T l = ; :::; L. Denne opimale forbrugsplan er e resula af hver enkel individs nyemaksimering under bibeingelserne c l 0 e l 0 l 0 P 0 ; c l ;! e l ;! + D l ;!; c 0;! ; c ;! ; :::; c T;! 0; = ; :::; T! :.4. Pareo-opimalie En forbrugsallokering c 0; c ; :::; c L 0 ; c L siges a være Pareo-opimal hvis den under de givne budgeresrikioner er mulig og ingen anden mulig forbrugsplan ^c 0; ^c ; :::; ^c L 0 ; ^c L sreng forerækkes således a U l ^c l 0; ^c l U l c l 0; c l, l = ; :::; L og hvor uligheden er sreng gældende for visse individer l. Følgende udsagn beskriver egenskaber ved Pareo-opimale forbrugsallokeringer i komplee markeder De niion 3 For enhver Pareo-opimal forbrugsallokering vil forbruge for hver enkel individ være en sreng ilagende funkion af aggregere forbrug, C. Dvs. for ehver l, er c l = f l (C) for en sreng ilagende funkion f l.

20 Kapiel. Finansieringseori - redegørelse for konceper De niion 4 Såfrem ligevægsallokeringen er Pareo-opimal vil økonomien have e repræsenaiv individ. De niion 5 Såfrem markede er komple vil enhver ligevægs forbrugsallokering være Pareo-opimal. Hvis de nansielle markeder er inkomplee vil forbrugsallokeringerne i ligevæg ikke nødvendigvis være Pareo-opimale. Fremgangsmåden med en repræsenaiv agen kan i så fald ikke længere anvendes i prisfassæelsen af nansielle akiver i en økonomi..5 Koninuere sokasiske processer.5. Sandard Brownske bevægelser I koninuer id repræseneres usikkerhed ofe ved en sandard Brownsk bevægelse. En sokasisk proces z = (z ) er en sandard Brownsk bevægelse hvis den har følgende egenskaber. z 0 = 0;. for alle ; 0 0 med < 0 : z 0 z N (0; 0 ) ; 3. for alle 0 0 < < < n, er de sokasiske variable z z 0 ; :::; z n z n gensidig uafhængige, 4. z har koninuere sier. En sandard Brownsk bevægelse er ineseds di erenierbar, længden af dens si er uendelig over ehver idsinerval og de forvenede anal gange bevægelsen anager enhver værdi i ehver given idsinerval er uendelig sor..5. Di usionsprocesser En di usionsproces er en sokasisk proces X = (X ) 0 hvor drifen og volailieen illades a afhænge af iden og processens nuværende værdi dx = (X ; ) d + (X ; ) dz : (.6) Ændringen i en di usionsproces over ehver idsinerval [; 0 ] er give som X 0 X = Z 0 Z 0 (X u ; u) du + (X u ; u) dz u : (.7) En di usionsproces er en Markov proces, ide drifen og volailieen kun afhænger af processens nuværende værdi. En geomerisk Brownsk bevægelse er e eksempel på en di usionsproces. De in niesimale ændringer i den sokasiske proces X = (X ) 0 er her give som dx = X d + X dz, dx X = d + dz : (.8) og er konsaner. Processens iniialværdi anages a være posiiv, X 0 > 0: De ses, a (X ; ) = X og (X ; ) = X. En geomerisk Brownsk bevægelse har konsan relaiv drif og volailie.

21 Kapiel 3 En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler Bobler i prisfassæelsen af nansielle akiver er en poeniel forekommende anomali hvor udbud og eferspørgsel besemmer ligevægsprisen. Som indledningsvis beskreve, indebærer den i lierauren hyppigs forekommende de niion af en nansiel boble, en siuaion hvori, prisen i markede for e given akiv afviger markan posiiv fra e elemen basere på en raionel forvenningsdannelse. Dee elemen benævnes fundamenalværdien. Prisen er derimod e produk af markedes aggregerede forvenninger uanse om de måe være raionelle eller ej. Den følgende eoreiske gennemgang vil vise, a eksisensen af bobler som med alle andre resulaer vedrørende økonomisk eori må forsås i sammenhæng med de opsillede modelanagelser. Speci k er bobler ikke udelukkende e irraionel anliggende. De må forsås mere bred som poeniel, og under givne forudsæninger, værende e produk af raionelle forvenninger også. Den præcise de niion af en boble kan variere i forhold il hvilken modelkaegori vi berager. Som ofes er disse de niioner konsisene med hinanden, men hvor en given modelleringsform kan have gjor de fordelagig a anvende en speci k ilpasse beskrivelse af en boble. Markedsprisens posiive afvigelse fra den fundamenale værdi vil i vid udsrækning være en passende beskrivelse af en boble. Således kan prisen P skrives som en lineær funkion af den fundamenale værdi P f og boblen B hvor P = P f + B : På e generel plan behandles bobler i lierauren fra re forskellige vinkler. De adskiller sig hvad angår grundlæggende modelanagelser og er re bese en periodisk sekveniel redegørelse for den udvikling lierauren omkring nansielle bobler har gennemgåe fra 970 erne og frem il i dag. De o førse modelklasser behandler en ype af bobler hvor anagelsen er ilsedeværelsen af raionelle invesorer - de såkalde raionelle bobler. Jeg vil i den forbindelse bl.a. diskuere beydningen af opimeringsadfærd, asymmerisk informaion, økonomisk ine ciens og invesorhorison for eksisensen af bobler i ligevæg. Under asymmerisk informaion kan bobler opså under mere generelle beingelser, ide deres eksisens ikke nødvendigvis er almen kend. En redje modelype anager sameksisensen af raionelle og irraionelle invesorer hvor sidsnævne benævnes noise raders. Denne gruppe af invesorer har forvenninger som indeholder en sysemaisk bias, dvs. de afspejler en unaurlig grad af opimisme eller pessimisme. De er her mulig for fundamenale uligevæge a eksisere, ide opsåede arbiragemuligheder er risikofylde. Dee medfører ilbageholdenhed bland de risikoaverse raionelle invesorer i korrekion af hvad de med sikkerhed ved er fejl i værdiansæelsen. Den sidse kaegori af eoreiske modeller omkring bobler inkorporerer heerogen forvenningsdannelse bland invesorerne. Disse divergerende opfaelser eksiserer på rods af, a invesorernes har den samme informaion. De er således enige om a være uenige. 3

22 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 4 De er med udgangspunk i disse modelkaegorier, a jeg i dee kapiel vil diskuere nansielle bobler, herunder beingelser for eksisens og deres karakerisika i øvrig. Kapile er samidig ilænk en funkion som baggrundslieraur og referenceramme for den videre empiriske behandling af emne. 3. Raionelle bobler Fundamene for EMH er raionelle forvenninger. Ligeså udgør raionel forvenningsdannelse grundlage for eksisensen af raionelle bobler. Hvad angår eksisensen af raionelle bobler må vi skelne imellem implikaionerne af de eoreiske modelrammer på den ene side og en mere generel prisfassæelsesmodel på den anden. Jeg vil senere diskuere mere konkre hvori forskellen imellem disse o ilgange il raionelle bobler besår. Lige nu konsaeres de blo, a en generel prisfassæelsesmodel ikke er eksplici omkring afgørende modelanagelser i relaion il raionelle boblers eksisens. 3.. Euler-ligningen Ligevæge i raionelle prisfassæelsesmodeller er som ofes ikke unikke. Prisernes dynamik i en raionel opsæning er besem af en di erensligning kalde Euler-ligningen. Ligevægen hvori prisen afspejler dens fundamenale elemener er blo en af uendelig mange løsninger il denne di erensligning. Tidligere ved udrykke i (:) så vi hvorledes, a prisen for akiv i på idspunk kunne udrykkes ved økonomiens ilsandsprisde aorer som P i = E 4 0 X s=+ s D i;s + 0 P i; : For 0 = + opnås + P i = E (D i;+ + P i;+ ) +, = E R i;+ (3.) hvor R i;+ = (D i;+ + P i;+ ) =P i. Ligning (3:) er Euler-ligningen besemmende dynamikken i akiv i s pris. Give en proces for ilsandsprisde aoren = ( ) =f0;;:::t g kan + = således besemmes. Tilsandsprisde aoren og derfor Euler-ligningen er e produk af den repræsenaive agens opimale dynamiske forbrugsallokering og poreføljevalg. I diskre id må økonomiens repræsenaive agen besemme en opimal forbrugsproces c = (c ), = f0; ; :::T g og poreføljeallokeringssraegi = ( ) =0;;:::T give en endowmen proces e = (e ). c 0 og e 0 er iniialværdierne af de respekive processer, mens c og e er sokasiske ilsandsafhængige variable. For e repræsenaiv individ med en idsaddiiv nyefunkion er nyemaksimeringsprobleme på idspunk 0 give som max u (c 0 ) + TX e E [u (c )] = Denne ype af bobler kan bl.a. ses som e forsøg på, a give raionelle forklaringer på de markedsanomalier EMH i 980 erne ikke var i sand il a forklare.

23 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 5 s.. c 0 e 0 0 P 0 ; c e + D ; = ; :::; T; c 0 ; c ; :::; c T 0: Beingelsen for forbrug på idspunk kan skrives som c e + (P + D ) P (3.) hvilke foræller os, a forbrug på idspunk er begrænse af periodens endowmen e, frasalg af den eksiserende porefølje (P + D ) og invesering i en ny opimal porefølje P. Via udrykke i (3:) har vi forvandle vores forbrugsallokeringsplan il en sraegi for sammensæningen af den opimale porefølje. I opimum vil den opimale forbrugsplan ikke indeholde negaive elemener og budgebeingelserne vil som alid holde med lighedsegn. Maksimeringsprobleme kan derefer omformuleres il max u (e 0 0 P 0 ) + TX e E [u (e + (P + D ) P )] : (3.3) = Enese led involverende den på idspunk 0 valge porefølje 0 = ( 0 ; 0 ; :::; I0 ) er u (e 0 0 P 0 ) + e E [u (e + 0 (P + D ) P )] : Førseordensbeingelsen med hensyn il i0 er hvilke giver os u 0 (e 0 0 P 0 ) P i0 + e E [u 0 (e + 0 (P + D ) P ) (P i + D i )] = 0 P i0 = E e u0 (c ) u 0 (c 0 ) (P i + D i ) : Mere generel kan opimeringsprobleme på idspunk skrives som eller blo max e u (e P ) + TX s=+ e s E [u (e s + s (P s + D s ) s P s )] ; (3.4) max u (e P ) + TX s=+ Førseordensbeingelsen med hensyn il i er e (s ) E [u (e s + s (P s + D s ) s P s )] : u 0 (e P ) P i + e E [u 0 (e + + (P + + D + ) + P + ) (P i;+ + D i;+ )] = 0; Dee giver os Euler-ligningen for dynamikken i P i mellem idspunk og + P i = E e u0 (c + ) + u 0 (P i;+ + D i;+ ) = E (P i;+ + D i;+ ) : (3.5) (c )

24 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 6 I (3:5) er u 0 (c ) P i redukionen i nyeniveaue ved køb af en eksra enhed af akiv i. E [e u 0 (c + ) (P i;+ + D i;+ )] er den forvenede diskonerede signing i nyeniveaue grunde akives afkas på idspunk +. En invesor vil vedvarende købe eller sælge akive indil de marginale nyeab, er lig den forvenede marginale nyegevins. Ved sammenligning af (3:) med (3:5) fremgår de, a + = e u0 (c + ) u 0 (c ) og s = e (s ) u0 (c s ) u 0 (c ) : (3.6) Med en repræsenaiv agen og idsaddiiv nyefunkion er den opimale forbrugsplan og poreføljesraegi alså forbunde med ilsandspriserne via (3:6). Tilsandspriserne fungerer som en generel prisfassæelsesregel i markede. Dee forbinder individuel opimering med prisfassæelsen på de nansielle markeder. 3.. Den raionelle værdifassæelsesmodel Vi er ineressere i u 0 (c ) P i som funkion af des fundamenale eksogene komponener. Disse eksogene variable er endowmen processen e = (e ) 0;;:::T, den dynamiske poreføljesraegi = ( ) =0;;:::T og processen for dividenden D = (D ) ;:::;T. Eferfølgende behandles dog kun ilfælde med en eksogen variabel i form af D : Forbruge kan i relaion il modellen berages som en endogen variabel. Den førseordens di erensligning fra (3:5) for prisen P i mellem idspunk og + kan skrives som u 0 (c ) P i = E e u 0 (c + ) (P i;+ + D i;+ ) Løser vi denne di erensligning fremad ved genagen subsiuion for u 0 (c s ) P i;s og samidig anvender reglen om iererede forvenninger opnås u 0 (c ) P i = 0 X s=+ E he (s ) u 0 (c s ) D i;s + e (0 ) u 0 (c 0) P i; 0 med < s 0. Prisen i dag er alså en væge sum af de forvenede fremidige marginalnyer muliplicere med deres respekive bealinger. Divideres ovensående udryk igennem med u 0 (c ) hvorefer der subsiueres il fordel for s = ; fremkommer udrykke i (:). Lader vi nu 0! ændres udrykke i (3:7) il i (3.7) u 0 (c ) P i =, P i = = = X s=+ X s=+ X s=+ X s=+ h i h i E e (s ) u 0 (c s ) D i;s + lim E 0 e ) (0 u 0 (c 0) P i; 0! E e (s ) u0 (c s ) u 0 (c ) D i;s + lim E 0 e ) (0 u0 (c 0)! u 0 (c ) P i; 0 E s D i;s + lim 0! E 0 P i; 0 E [m ;s D i;s ] + lim 0! E [m ; 0P i; 0] (3.8) hvor m ;s = s = og under anagelse af a ovensående grænseværdi eksiserer. De førse led på højresiden af (3:8) kan de neres som P f i og de ande som B i beegnende henholdsvis prisens fundamenale komponen og elemene udgørende boblen

25 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 7 P i = P f i + B i: (3.9) (3:9) er den generelle løsning il di erensligningen i (3:5) og er i overenssemmelse med de niionen af en boble som afvigelsen imellem pris og fundamenal værdi. Udrykkene i (3:8) og (3:9) er endvidere hvad raionelle forvenninger og værdifassæelse siger om den mulige eksisens af raionelle bobler. Grundlæggende illader den raionelle prisfassæelsesmodel og som følge deraf en raionel forvenningsdannelse eksisensen af en boble i prisen på e nansiel akiv, medmindre yderligere anagelser pålægges. Transversaliesbeingelsen Transversaliesbeingelsen er en sådan yderligere anagelse. Denne beingelse sikrer en e cien løsning hvor prisen afspejler dens fundamenale komponener, og ilsedeværelsen af en boble kan således udelukkes lim E 0 [m ; 0P i; 0] = B i = 0: (3.0)! Dee er en eksra førseordensbeingelse for den opimerende repræsenaive agen med en uendelig horison. Beingelsen i (3:0) sikrer en konvergerende pris hvor akives afkas, er i overenssemmelse med diskoneringsfunkionen i form af ilsandspriserne. Transversaliesbeingelsen skal ses i sammenhæng med den repræsenaive agens opimale forbrugsvalg og poreføljeallokeringsproblem. Objekfunkionen er her agenens livsidsnye. (3:0) er dog desværre normal vanskelig a forolke indenfor rammerne af en økonomisk model. Pålægges ransversaliesbeingelsen, vil EMH fremså som en valid beskrivelse af prisfassæelsen og markede for akive kan dermed siges a være e cien P i = P f i = X s=+ s E D i;s = X s=+ E [m ;s D i;s ] : (3.) (3:) inkorporerer gennem s = den repræsenaive invesors opimale forbrugs- og poreføljevalg i prisfassæelsen. Herved skabes e link fra realøkonomien il prisfassæelsen på de nansielle markeder Egenskaber og resrikioner Raionelle bobler er alså ikke inkonsisene med anagelsen om raionel adfærd. Men raionaliesbeingelsen pålægger i eoreisk sammenhæng resrikioner på udseende af og dynamikken i disse raionelle bobler. Dee har ulimaiv beydning for deres empiriske relevans. Diba & Grossman[988b] udleder eoreiske egenskaber for og resrikioner på en boble underlag raionaliesbeingelsen. Disse karakerisika er her ilpasse ilsandspriserne som den generelle prisfassæelsesmekanisme. Dynamik Sæes udrykkene for P f i og B i fra (3:8) lig udrykke fra (3:5) opnås Transversaliesbeingelsen i (3:0) er ikke universel accepere som en nødvendig opimaliesbeingelse for alle opimeringsproblemer involverende en uendelig horison. I alle de ilfælde som involverer diskonering er den dog nødvendig, (Barro & Sala-i-Marin[003]) og dee inkluderer jo reel alle relevane problemsillinger vedrørende prisfassæelsen af nansielle akiver.

26 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 8 P i = P f i + B i = X s=+ s E D i;s + lim E P i; 0 = E (P i;+ + D i;+ ) :! Dee resulerer i følgende udryk for den raionelle boble på idspunk B i = lim E P i; 0 = E (P i;+ + D i;+ )! = E " + (P i;+ + D i;+ ) = E " + P i;+ = E " + E + " X s=+ P i;+ = E " + P i;+ E + X s=+ s + D i;s X s=+ " X s=+ s D i;s!# s + D i;s s + D i;s # #!# #!# X s=+ " + = E P i;+ Sidsnævne udryk anvender reglen om iererede forvenninger. P i;+ de nerer neop den raionelle boble B i;+ på idspunk + " # X B i;+ = P i;+ E s + D i;s : + s=+ : s E D i;s X s=+ s D i;s E + [] i udrykke ovenfor Følgende gør sig derfor gældende for dynamikken i en raionel boble mellem idspunk og + # B i = E + = E Q " R f B i;+ B i;+ # + + = E E [B i;+ ] + Cov ; B i;+ : (3.) R f er kend på idspunk. De sidse led indikerer, a B i;+ forvenelig opnår de risikofrie afkas under Q - de risikoneurale sandsynlighedsmål. Ide en boble per de niion ikke bealer dividender indgår D i;+ ikke.(3:) er en hel grundlæggende relaion inden for nansiel værdiansæelse. Den er udled på baggrund af (3:8) og udryk ved den raionelle boble som akive. Den samme relaion som besemmer dynamikken i økonomiens akiver, er alså også besemmende for dynamikken i den raionelle boble. Dee er ikke e overraskende resula. Raionelle forvenninger illader umiddelbar en boble a eksisere, når blo dennes dynamik er speci - cere som i (3:). En nansiel boble kan eksisere samidig med, a ilsandspriserne udgørende diskoneringsfunkionen sadig er forbunde med agenernes marginale subsiuionsraer gennem deres opimale forbrugsallokeringer og poreføljevalg. Den raionelle boble har endvidere karaker af en (diskonere) maringale. Løsningen il (3:) opfylder den sokasiske di erensligning

27 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 9 B i = + B i;+ + " i;+ ; (3.3) med E [" i;+ ] = 0. Gennem ieraiv subsiuion resulerer dee i den generelle løsning på idspunk s > B i = Xs s B i;s + " i;+, B i;s = B i = s Xs = s " i;+ : (3.4) B i;s i (3:4) ses ikke a være en Markov proces, da B i;s afspejler sin hisorie gennem alle idligere realisaioner af " i;+ som en væge sum. Relaionen mellem boblens forvenede værdi på idspunk s og værdien på idspunk er i forlængelse af (3:) give som s B i = E B i;s = E Q " R f ;s Bemærk, a B i;s ikke er deerminisisk som den ellers fremsilles i Diba & Grossman[988b] og i sor se al den øvrige lieraur. 3 B i;s er derimod sokasisk varierende og sammenlignelig med de periodisk kollapsende bobler beskreve i Evans[99]. Den sokasiske variaion i B i;s opsår gennem variaion i den repræsenaive agens marginalnye. Såfrem de reale forbrug indeholder en posiiv rend og marginalnyerne derfor en negaiv rend, da vil B i;s forvenelig være eksplosiv ide s =! 0 når s!. Endvidere fremgår de af (3:), a invesorernes raionel forvenede afkas for akiv i og boblen er de samme = E + B i;+ + = E B i P i;+ + D i;+ P i B i;s # : + = E R i;+ ; hvor B i;+ =B i = (P i;+ + D i;+ ) =P i = R i;+ er bruoafkase for periode il +. Tilsedeværelsen af en raionel boble vil beyde, a P i med posiiv sandsynlighed vil vokse eksplosiv. Anages den raionelle boble a være uafhængig af marginalnyerne og derfor ilsandsprisde aorerne opnås + + B i = E B i;+ = E E [B i;+ ] = R f E [B i;+ ] ; hvor =R f = E + = per de niion og Cov + = ; B i;+ = 0. Tilsandspriserne er sokasiske, men den raionelle boble forvenes i hver periode under de virkelige sandsynlighedsmål P, a vokse med en idsvarierende risikofri rene. Ikke-negaivies beingelsen En negaiv raionel boble på idspunk, B i < 0 ville med nogen sandsynlighed beyde en raionel forvene negaiv pris inden for en endelig horison. Med begrænse hæfelse eller free disposabiliy er raionelle forvenninger ikke konsisene med en negaiv forvene pris på noge idspunk. Da P i 0 for alle, kan negaive raionelle bobler derfor ikke forekomme i ligevæg. 3 De som der reel anages i en siuaion hvor B i;s fremsilles som deerminisisk er risikoneurale agener, dvs. nyeniveaue er lineær i forbruge.

28 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 0 Dannelsen Udrykke i (3:) kan skrives som E [B i;+ ] R f B i + Cov ; B i;+ = 0: (3.5) Løsninger il (3:5) opfylder den sokasiske di erensligning som vis i (3:3) B i;+ R f + B i Cov ; B i;+ = " i;+ hvor " i;+ er en sokasisk variabel med egenskaben E s [" i;+ ] = 0 for alle s 0: (3.6) Grunde ikke-negaiviesbeingelsen på B i;+, må realisaioner af " i;+ opfylde beingelsen " i;+ R f + B i Cov ; B i;+ (3.7) for alle. Anages f.eks., a B i Cov + = ; B i;+ = 0 må "i;+ ifølge (3:7) være ikke-negaiv. Men da E s [" i;+ ] = 0 må sandsynligheden for " i;+ = 0 være og derfor indræ e med sikkerhed. I de mere generelle ilfælde hvor B i 6= Cov + = ; B i;+ pålægges resrikioner på mulige realisaioner af " i;+. Inuiionen bag dee er, a opsaren af en boble kræver en innovaion i dennes proces. Give ikke-negaiviesbeingelsen vil en sådan innovaion være inkonsisen med invesorernes raionel dannede forvenninger. Disse resulaer foræller os, a såfrem vi anager eksisensen af en raionel boble på idspunk, da har en sådan boble eksisere siden akive blev handle førse gang. Dee beyder e overvurdere akiv fra førse handelsdag. Hvis der modsa ikke eksiserer en raionel boble på idspunk, da kan der heller ikke senere opså en raionel boble. Endvidere kan bobler i forlængelse af den raionelle værdiansæelsesmodel udelukkes i akiver med en endelig horison, dvs. B i = 0 for alle 0; ; :::; T. Dee følger af e backward indukionsargumen. Argumene lyder, a såfrem der med sikkerhed ikke er en boble ilsede i akive på idspunk T, da vil ingen invesor købe e overvurdere akiv på idspunk T. Videreførelse af denne form for argumenaion udelukker derfor en raionel boble i prisen på idspunk. Ligeledes kan akiver hvis værdi er pålag en øvre grænse heller ikke indeholde e raionel elemen i form af en boble. Dee begrænser ulimaiv de yper af akiver som i en ligevægssiuaion formår a undersøe en boble Sokasiske, periodiske kollapsende og inrinsiske raionelle bobler Gennemgangen hidil har illusrere de forhold, a en raionel boble er pålag resrikioner i den henseende, a boblens dynamik nødvendigvis må være i overenssemmelse med dynamikken i prisen på akive. Dee gælder i såvel ilfælde hvor B i er sokasisk som i de deerminisiske ilfælde B i = + B i;+ + " i;+ = e u0 (c + ) u 0 B i;+ + " i;+ (c ) B i = e B i;+ + " i;+ ) B i = e (s ) E [B i;s ] ; s > :

29 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler Den implicie anagelse i sidsnævne ilfælde er risikoneuralie. De er vanskelig, a foresille sig deerminisiske raionelle bobler være egenlig relevan i en empirisk sammenhæng. Deril synes deres implikaioner a være for sringene. Sokasisk variaion i B i;s som her inroducere gennem + = synes a have såvel mere eoreisk som empirisk appel, omend deres dynamik sadig er underlag resrikive beingelser. I erkendelse af de deerminisiske boblers urealisiske implikaioner konsrueredes andre yper af raionelle bobler, der i højere grad mindede om dem man mene a kunne observere empirisk. Blanchard & Wason[98] de nerer en mege simpel proces for en sokasisk raionel boble 4 8 < B i;+ = : B i + " i;+ " i;+ med sandsynlighed med sandsynlighed (3.8) hvor boblen henholdsvis udvikler sig eller kollapser med sandsynlighederne og. er en diskoneringsfakor. Mens boblen opreholdes er de forvenede afkas =, hvilke er højere end de normale afkas =. Derigennem kompenseres invesorerne for risikoen ved e kollaps. En bobles gennemsnilige varighed er = ( ). Evans[99] undersøger en anden ype af raionelle bobler nu kalde periodisk kollapsende bobler. Han fremfører de synspunk, a idligere anvende økonomeriske værkøjer i esimeringen af raionelle bobler er uilsrækkelige il ideni cering af de periodisk kollapsende bobler. Speci k forudsæer Evans[99], a boblen følger processen 8 >< ( + r) B i u i;+ B i;+ = h >: + + ( + r) B i i +r u i;+ hvis B i a hvis B i > a (3.9) og a er posiive konsaner med 0 < < ( + r) a. u i;+ er en eksogen (iid) posiiv sokasisk variabel med E [u i;+ ] =. + er en eksogen (iid) Bernoulli variabel som anager værdien med sandsynlighed og 0 med sandsynlighed hvor 0 <. r er e konsan forvene afkas. Af (3:9) fremgår de, a B i følger forskellige processer med respekive gennemsnilige væksraer ( + r) og ( + r) = afhængig af om B i; Q a: De kan le veri ceres, a processerne i (3:9) opfylder beingelsen for dynamikken i en raionel boble, E [B i;+ ] = ( + r) B i gennem forvenningen il hver af udrykkene i (3:9). Denne ype af bobler er alid posiive. E kollaps bringer processen ilbage il en posiiv værdi med middelværdi. De ovenfor beragede bobler er alle eksogene i forhold il akives fundamenale komponener. Froo & Obsfeld[99] berager en anden form for raionel boble som de benævner inrinsiske bobler. Speci k anages de, a akive og dermed boblen opfylder den grundlæggende Euler-ligning P = e r E (D + P + ) B = e r E (B + ) : Sammen med en nuidsværdiformel a la (3:8) og en proces for log dividenden (ln D = d ) som en maringale med posiiv drif d + = + d + +, + N 0; ; opnås en fundamenal løsning direke proporional med D 4 Sreng forolke er den af Blanchard & Wason[98] konsruerede proces ikke raionel jf. Diba & Grossman[988b]. Dee skyldes som idligere beskreve ikke-negaiviesbeingelsen pålag raionelle bobler. Efer e kollaps (B i;s = 0) er en posiiv innovaion i boblen nødvendig (" i;s 0). Dee er inkonsisen med raionaliesanagelsen.

30 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler P f = D, = e r e + = hvor r > + = nødvendigvis må være opfyld. Boblen er de nere som en deerminisisk ikke-lineær funkion af D 5 (deraf navne inrinsiske bobler) P er derfor videre give som B (D ) = cd, c > 0: P = P f + B = D + cd : (3.0) En implikaion af (3:0) er, a såfrem innovaioner il D er persisene, da kan denne ype af bobler forklare en overreakion i P ved relevan ny omkring P f, dvs. ved en ændring il de forvenede fremidige dividender. Inrinsiske bobler er også e bud på, hvorfor afvigelser fra nuidsværdimodellen og D synes a være korrelere. Relevansen af inrinsiske bobler er dog sadig e åben spørgsmål, da en række saisiske anagelser er nødvendige for, a kunne opreholde validieen af de resulaer der fremlægges i Froo & Obsfeld[99]. 5 I appendiks 0.. er de vis, a B (D ) = cd opfylder B = e r E (B + ). er en posiiv rod i den kvadraiske ligning = + r = 0:

31 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler Beingelser for eksisens i en eoreisk modelramme De diskuerede resrikioner i relaion il den raionelle prisfassæelsesmodel beyder, a de i empirisk sammenhæng ofe er mulig a udelukke nansielle bobler som ilhørende den sreng raionelle kaegori. De eoreiske beingelser for raionelle boblers eksisens eller måske snarere udelukkelsen af dem har dog idligere ilrukke sor ineresse og være udgangspunk for ere bemærkelsesværdige sudier. Her er Tirole[98] og Tirole[985] ofe cierede arikler. Formåle med dee afsni er, a give en kor redegørelse for disse undersøgelsers grundlæggende anagelser og primære resulaer. Fælles for disse arikler er, a de beskæfiger sig med den raionelle prisfassæelse af nansielle akiver i en generel ineremporal ligevægssiuaion. Tirole[98] I denne arikel anages der a eksisere I risikoaverse eller risikoneurale opimerende agener. Hver agen har en uendelig horison. Under saisk spekulaion handles e akiv il prisen p med usikker værdi ~p. Agen i s gevins ex pos er G i = (~p p) x i hvor x i er den af agen i eferspurge mængde i markede. Agen i maksimerer forvene nye som er konkav i G i. Markede clearer når P i xi = 0: E er analle af afkasrelevane ilsande. Agen i s informaion besår i hver periode af e priva signal s i hørende il S i og den observerede markedspris p. Vekoren af alle signaler er s = s ; :::; s i ; :::; s I ilhørende S. E S er således anal saes of naure hvorom agenernes forvenningsdannelse vedrørende sandsynlighederne for modagelsen af e besem signal v s i > 0 er ens. Der eksiserer således asymmerisk informaion men homogene forvenninger i udgangssiuaionen. Saisk raionel forvenningsligevæg I en saisk raionel forvenningsligevæg (REE) hvor agenerne ikke har noge hedging- eller forsikringsmoiv i markede og kan afså fra a handle, må de nødvendigvis forvene en ikke-negaiv gevins E G i j s i ; S (p) 0: Dee må være sand for alle s i ilhørende vekoren af de mulige signaler S i (p) som er en projekion af S (p). Vi har derfor, a E G i j S (p) = X s i S i (p) E G i j s i ; S (p) v i s i j S (p) (3.) = E E G i j s i ; S (p) j S (p) 0: (3:) foræller os, a agen i s forvenede gevins give observaion af p udgør e væge gennemsni af de sandsynligheder der illægges realiseringen af s i S i (p) ; v s i og den gevins agen i forvener a opnå give modagelsen af signale s i. Handel i markede er e zero-sum game, dvs. P i Gi = 0. Derfor har vi, a X E G i j S (p) = 0 (3.) i ) 8i : E G i j S (p) = E G i j s i ; S (p) = 0: (3:) er opfyld, da E G i j S (p) = 0 holder på individuel niveau og således også på aggregere niveau.

32 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 4 I en saisk raionel forvenningsligevæg kan ingen agen raionel forvene en gevins. Risikoaverse agener vil afså fra a handle mens risikoneurale agener er indi erene herom. For a opnå spekulaiv handel må man inroducere risikoelskende agener, afvige fra anagelsen om idenisk forvenningsdannelse, dvs. P i E Gi > 0 for nogle agener i; inroducere irraionelle agener, lade handel være dreve af e hedging- eller forsikringsmoiv. Myopisk dynamisk raionel forvenningsligevæg Vi berager nu i en dynamisk sammenhæng de ilfælde hvor agenerne er myopiske, dvs. har en korsige opimerende adfærd. De handlede akiv bealer periodevise dividender d +. Tirole viser, a følgende beingelse vil være opfyld med såvel som uden korsalgsresrikioner 8; 8s ; 8i : p = E (d + + p + ) j s i ; S : (3.3) udgør her diskoneringsfunkionen. Denne beingelse ved vi udelukker arbiragemuligheder jf. (3:5) men ikke nødvendigvis bobler af den raionelle slags. Dee er igen Euler-ligningen som ikke angiver en unik løsning for p. Give agen i s informaionssæ s i ; S på idspunk de neres nu i lighed med idligere den fundamenale løsning som den raionel forvenede værdi af de fremidige dividender akive bealer p f s i! X ; S E d + j s i ; S : (3.4) = Boblen i prisen er individuel og afhænger af hver enkel agens speci kke informaion. Prisen p er også i lighed med idligere de nere som en lineær funkion af den fundamenale værdi p f s i ; S og boblen B s i ; p B s i ; p p p f s i ; S hvor B s i ; p 0. De kan vises, a for e akiv med endelig horison T vil B s i ; p = 0 være opfyld for alle agener akive i markede på idspunk, dvs. 8; 8i akive i markede på idspunk : p = p f s i ; S = 0 TX = d + j s i ; S A : (3.5) Billede fra (3:5) ændres ganske beragelig i ilfælde hvor akive og agenerne begge har en uendelig horison. Her kan de vises, a boblens dynamik i overenssemmelse med (3:) og en myopisk opimerende agenadfærd vil have karaker af en diskonere maringale 8i; 8 s i ; S ; 8T B s i ; p = T E B s i +T ; p +T j s i ; p :

33 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 5 Anages agenerne a være homogen informerede, dvs. de modager de samme signal s F og prisen p ikke afslører yderligere informaion, da vil boblen for alle agener anage den samme værdi 6 B (s ; p ) = T E (B (s +T ; p +T ) j s ; p ) : Såfrem en raionel forvenningsligevæg under heerogen informaion er fuld afslørende, da er S (p) en ilsrækkelig saisik il a opnå den informaion der i hver periode er indehold i alle de øvrige signaler. Fuld dynamisk raionel forvenningsligevæg I en fuld dynamisk raionel ligevæg anlægger agenerne en langsige opimerende adfærd. I e sådan scenarie kan nansielle bobler ikke forekomme som e elemen af prisen, når den iniielle endowmen allokering er Pareo-opimal. Vi har derfor uafhængig af korsalgsresrikioner, a 8; 8s ; 8i : p = p f s i ; S dvs. B s i ; p = 0: Langsige maksimerende adfærd begrænser alså krafig forvenningsdannelsen og de illadelige priser. De er dee resula som ofe refereres fra Tirole[98]. I en fuld dynamisk raionel ligevæg vil agenerne maksimere deres forvenede livsidsnye. Prisen er her lig værdien af de forvenede ilbagediskonerede dividender. Resulae er robus overfor den mulige asymmeri i agenernes informaion. Ideen bag resulae hviler på agenernes raionel dannede forvenninger. Agenerne vil indse, a i handlen med akive er aggregere forjenese lig aggregere ab. Samidig kan ikke alle besidde mere værdifuld informaion end gennemsnie. Denne højere ordens bevidshed sikrer e e cien marked. 7 Tirole[985] I Tirole[985] undersøges de, hvorvid implikaionerne af Tirole[98] kan opreholdes i en OLG-model. En OLG-model indebærer en koninuerlig ilførsel af nye generaioner som ersaer ældre generaioner. Ariklen er ganske vidspændende. Denne gennemgang er derfor udelukkende ilænk a illusrere den primære poine, nemlig beingelser for eksisensen og udelukkelsen af bobler i en generel OLG-sammenhæng. Hver agen lever o perioder men arbejder kun i den førse. Arbejdsudbudde er uelasisk så arbejdssyrken på idspunk, er lig sørrelsen på den nye generaion L. Produkiv opsparing foregår i modellen gennem invesering i realkapial. Ikke-produkiv opsparing er placere i en boble, dvs. i e akiv som ikke bealer dividender. Perfek forudseenhed gør, a disse akiver bærer de samme afkas. Tirole viser, a i denne OLGmodel må boblen b og kapial k ; begge berage per capia, udvikle sig ved di erensligningerne b + = + f 0 (k + ) b ; (3.6) + n ( + n) k + + b = s (f (k ) k f 0 (k ) ; f 0 (k + )) : (3.7) f (k ) er produkionseknologien som konkav funkion af kapial per capia, n er arbejdssyrkens og økonomiens væksrae. 8 s () er opsparingsfunkionen. r omal nedenfor er ligevægsrenen. En økonomi 6 F er en pariion af S som anages a blive nere og nere over id. 7 Vigigheden af den grundlæggende anagelse om e endelig anal agener skinner her ydelig igennem. De såkalde Ponzischemes kan nemlig udelukkes under raionelle forvenninger. 8 Der indgår ingen eknologiske variable eller rens (e redje akiv i modellen) (3:6) og (3:7). Punk -3 nedenfor illusrerer dog siuaionen hvori der også indgår rens.

34 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 6 berages som dynamisk e cien når r > n og ine cien hvis r < n. 9 (3:6) og (3:7) er afbilde nedenfor i e fasediagram illusrerende de ine ciene ilfælde k GR < k D eller n > r Figur 3.: Fasediagram for ilpasning af boble (b ) og kapial (k ) i en OLG-model. Figuren illusrerer de ine ciene ilfælde af Diamonds asympoiske bobbelfrie ligevæg k GR < k D og den e ciene golden-rule ligevæg indeholdende en boble. Kilde: Tirole[985, s. 077] Linjerne (b + = b ) og (k + = k ) repræsenerer henholdsvis (3:6) og (3:7). (3:6) angiver kombinaioner af k + og b som resulerer i uændre b +. Ligeså angiver (3:7) kombinaioner af k og b hvor k + forbliver uændre. b GR og k GR er de niveauer en social planner opimal ville vælge. Sysemes saddlepah sikrer konvergens mod golden-rule ligevægen. I denne ligevæg er b + = b beydende a n = f 0 (k + ). I hver segmen udspænd af di erensligningerne er der give eksempler på mulige ilpasningssier. Udgangsposiionen for syseme (k 0 ; b 0 ) besemmer alså gennem (3:6) og (3:7) hvorhen syseme konvergerer. Overordne se er de i relaion il de asympoiske ligevæge, deres egenskaber og karakerisika relevan a berage re mulige siuaioner for de relaive og absolue sørrelser af r og n 0. r > n : Der eksiserer en unik e cien ligevæg (Diamonds e ciene ligevæg). I ligevæg er økonomien bobbelfri og renen konvergerer mod r. Akkumuleringen af kapial oversiger ikke golden-rule niveaue.. 0 < r < n : Der eksiserer en maksimal illadelig boble ^b 0 > 0 sådan a i) for ehver b 0 [0; ^b 0 ) er der en unik ligevæg med iniiel boble b 0. Ligevægen er asympoisk bobbelfri og renen konvergerer mod r. Dee er den kompeiive ine ciene ligevæg berage i Diamond[965]. ii) der eksiserer en unik ligevæg med iniiel boble ^b 0. Dee er den e ciene golden-rule ligevæg hvis udgangspunk og 9 Dynamisk ine ciens vil sige, a opsparingen i seady sae er så høj, a kapialinensieen oversiger golden rule-niveaue. Golden rule-niveaue af boblen og kapial maksimerer forbruge og nyeniveaue per capia i økonomien. En allokering siges a være (Pareo) e cien, hvis de ikke er mulig a forbedre velfærden for samlige generaioner økonomien (og sreng forbedre velfærden for minds en generaion). 0 De niion: En ligevæg siges a være bobbelfri hvis der ikke eksiserer e idspunk hvor b > 0. Ligevægen er derimod asympoisk bobbelfri hvis boblen per capia konvergerer mod nul. Bemærk, a bobbelfri er e særkere resula end asympoisk bobbelfri.

35 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 7 konvergeringssi er sysemes saddlepah. I ligevæg har renen konvergere mod n: Boblen og kapial per capia anager her værdierne b GR og k GR. Variablene i syseme har i ligevæg fælles væksrae n. 3. r < 0 : Der eksiserer ingen bobbelfrie eller asympoiske bobbelfrie ligevæge. Der eksiserer en unik ligevæg som asympoisk indeholder bobler. Renen konvergerer mod n. Dee er igen den e ciene golden-rule ligevæg. Højere værdier af k illader højere værdier af b. Diamond ligevægen er her igen ine cien. Udgangspunke kan ikke være over sysemes saddlepah. I så fald ville boblen med iden vokse sig sørre end økonomien selv. Punk -3 klari cerer, a eksisensen af bobler er beinge på e ciensen af den bobbelfrie ligevæg (Diamond ligevægen). Såfrem Diamond ligevægen er e cien, da kan bobler ikke eksisere. Er Diamond ligevægen derimod ine cien, da vil en raionel boble kunne eksisere asympoisk i seady sae (golden-rule ligevægen). Bobler reducerer den produkive opsparing og hæver således marginalprodukivieen af kapial og dermed renen. b GR > 0 i golden-rule ligevægen er derfor opimal, da boblen og kapial uden usikkerhed bærer de samme afkas. Boblen kan således i en opimal ligevæg fungere som e akiv yende forbrug imellem generaioner. De primære budskab fra Tirole[985] er derfor, a raionelle bobler ikke kan udelukkes i en eoreisk OLG-sammenhæng. Deres eksisens beroliger dog på en dynamisk ine cien økonomi (r < n). Sammenhæng med raionel værdifassæelsesformel Men kan sille spørgsmåle, i hvilken sammenhæng semmer den raionelle værdifassæelsesformel og eksisensen af muliple prisligevæge overens med de neop beskrevne resulaer af Tirole[98] og Tirole[985] som generel udelukker eksisensen af raionelle bobler? Svare skal ndes i analle af agener i økonomien. Med e endelig anal agener er de udelukke, a e spekulaionsmoiv er en raionel årsag il a handle med e akiv. Den raionelle værdifassæelsesformel forholder sig ikke eksplici il analle af individer i økonomien og deres idshorison. Kun akive ved vi løber uendelig eller måske blo il idspunk T. E kend erminalidspunk T vil som ofes kunne udelukke bobler. Raionelle bobler kan ligeledes normal udelukkes såfrem analle af invesorer I, er endelig. I en OLG-model med e i princippe uendelig sor anal agener kræver raionelle bobler en dynamisk ine cien økonomi. Konsisens mellem Tirole s resulaer og den raionelle værdifassæelsesmodel med bobler bygger derfor implici på en anagelse hvad angår sidsnævne om e uendelig sor anal invesorer i markede udvisende en myopisk opimerende adfærd. Disse invesorer er koninuerlig villige il a overage andres posiioner i markede. Denne implicie anagelse bør man noere sig i den videre behandling af emne. Abel e al.[989] konkluderer i deres empiriske undersøgelse af OECD lande, a disse økonomier kan beegnes som dynamisk e ciene. De overakkumulerer dermed ikke kapial i subopimal grad. Denne undersøgelse søer derfor ikke den empiriske relevans af raionelle bobler, værimod.

36 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 8 3. Eksisensen af bobler under asymmerisk informaion Eksisensen af en boble er almen viden i siuaionen med symmerisk informaion. Bobler som er almen viden kan udelukkes ved brug af generelle ligevægsargumener. Dee resula bærer normal over il siuaionen hvori, en boble ikke længere er almen viden. Raionelle asymmerisk informerede agener og højere ordens usikkerhed giver fra en anden indgangsvinkel indsig i beingelserne for eksisensen af bobler. Men som Tirole[98] beskriver, bør man i en raionel model med såvel endelig som uendelig invesorhorison ikke forlade sig på forskelle i informaionsniveauer i forklaringen af bobler. Selv med asymmerisk informaion er bobler alså ikke e ligevægsfænomen medmindre grundlæggende anagelser ændres. 3.. Allen, Morris & Poslewaie[993] Allen e al.[993] berager under raionelle forvenninger og asymmerisk informaion en økonomi med endelig horison. De vises, a backward indukionsargumene i modsæning il men i øvrig konsisen med resulae af Tirole[98] ikke kan udelukke eksisensen af bobler i en raionel forvenningsligevæg. Forklaringen er den, a eksisensen af en boble kræver ilsedeværelsen af en fakor genererende en forvene gevins ved handel som også nævn i Tirole[98]. Denne fakor leveres i Allen e al.[993]. Invesorerne besidder priva informaion repræsenere ved pariioner af ilsandsrumme. Priva informaion har den e ek, a de ikke er almen viden, a prisen oversiger akiens fundamenale værdi og a boblen derfor uundgåelig vil brise. Dee indses dog af alle agener før eller siden men idspunke herfor er usikker. Hver agen holder en ex pos irraionel ro på, a akive kan videresælges inden des værdi bliver almen viden. Den asymmeriske informaion er nødvendig, men dog ikke særskil ilsrækkelig for eksisensen af bobler i relaion il modellen. I Allen e al.[993] kan de niionen af en relevan fundamenal værdi ikke være eksogen i forhold il modellen. De niionen må have sin baggrund i en speci k ligevæg. En nødvendig men ikke ilsrækkelig de niion vil være, a invesor bealer en pris afspejlende værdien af en buy-and-hold sraegi. Dee vil sikre, a prisen som minimum afspejler sin fundamenale værdi. Allen e al.[993] skelner imellem o de niioner af en boble, nemlig såkald forvenede og særke bobler. Under en forvene boble kan prisen en køber er villig il a beale oversige dennes personlige værdiansæelse. Denne maksimale bealingsvillighed hos køber afspejler forvenningen il de bealinger akive i hans ejerperiode vil generere. 3 Ingen yderligere beingelser omkring agenernes informaionssæ er nødvendige i genereringen af forvenede bobler. Enese beingelse er en korsalgsresrikion. En særk boble er de nere som en ilsand i økonomien hvori hver agen ved, a prisen med sikkerhed oversiger enhver ænkelig realisering af de fremidige dividender. Så enhver ejer af akive hvori der eksiserer en særk boble må alså raionel forvene, a akive med nogen sandsynlighed kan videresælges il en pris den nuværende ejer af akive ved oversiger den villige købers personlige værdiansæelse. Bemærk, a agenerne holder denne viden separa. De er derfor ilfælde, a ikke al relevan informaion i ligevæg er afspejle i prisen. Så selvom fundamenal værdi er e endogen begreb og derfor ikke nødvendigvis er enydig de nere sår de klar, a værdien rimeligvis må ligge under prisen i ilfælde med en særk boble. En særk boble kan berages som konservaiv i de niionen af en boble. Med almen viden omkring eksisensen af en boble menes der, a alle agener ved, a alle agener ved, a alle agener ved og således ad in nium, a en boble eksiserer. 3 Dee være sig dividender og den endelige afhændelsespris. Dee følger således beskrivelsen af spekulaion i Harrison & Kreps[978].

37 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 9 Modellen Lad os nu formalisere diskussionen af modellen. Modelanagelserne er som de vil fremgå i ganske æ overenssemmelse med Tirole[98]. Der berages e marked med I risikoaverse eller risikoneurale agener i = ; :::; I. Økonomien og agenerne har en endelig horison. I al kan mulige ilsande realiseres. d (!) repræsenerer dividenden der beales ved realisering af ilsand!. Akien kan handles il prisen p (!) = P (!; ) afhængende af! og perioden hvori handlen nder sed. x i (!) angiver agen i s neo anal handlede akier i periode når ilsand! realiseres. Sekvensen af neohandler x i er derfor x i = (x i ; :::; x it ). Korsalg af akien er ikke illad. Likvidering af akive og forbrug c i (!) i ilsand! nder sed på idspunk T. Agenernes informaion repræseneres ved en pariion af udfaldsrumme. s i (!) er en hændelse i S i indeholdende!. Dee er agen i s privae informaion. Den asymmeriske informaion besår i, a s i (!) for agen i i periode illades a adskille sig fra de øvrige ageners signaler s j (!), j = ; ::; i ; i + ; :::; I. i (!) er de subjekive sandsynligheder agen i ildeler!: u i () er agen i s nyefunkion. Den heerogene forvenningsdannelse besår i, a i (!) neop er subjekiv og derfor adskiller sig over agener. Agen i kan gennem observaion af prisen lære om informaionen hos de øvrige agener. Formel repræseneres dee som s P i (!) = s i (!) \ f! 0 j P (! 0 ; 0 ) = P (!; 0 ) 8 0 g. s P i (!) er de efer agen i s opfaelse mulige ilsande på idspunk efer observaion af prisen i de førse perioder. s P i (!) er således en pariion af de mulige ilsande : En raionel forvenningsligevæg (P; x) er en raionel forvenningsligevæg hvis. Agen i s neosalg x i er informaionskonsisen, dvs. s P i (!) f!0 j x i (! 0 ) = x i (!)g og der er fravær af korsalg.. Der eksiserer ine neosalg x 0 i for agen i som opfylder ingen korsalg, er informaionskonsisen og hvor X i (!) u i (c i (!; P; x i )) : 3. Markede clearer: P i x i = 0:! i (!) u i (c i (!; P; x 0 i)) > X! 4. P (; ) er målelig hvad angår foreningen af agenernes individuelle pariioner på idspunk. Krave il den raionelle ligevæg er alså individuel opimalie give de øvrige ageners handlinger og opfyldelse af modellens beingelser i øvrig. Punk 4 ovenfor fasslår, a agen i nødvendigvis må foreage den samme handling give e ækvivalen informaionssæ s P i (!) : Formel gælder følgende omkring eksisensen af de o yper af bobler omal idligere En forvene boble Der eksiserer en forvene boble i ilsand!; i en raionel forvenningsligevæg hvis og kun hvis der for hver agen i eksiserer! 0 s P i (!) ; 0 sådan a agen i er sreng begrænse i si korsalg i! 0 ; 0 : En særk boble Hvis der i en raionel forvenningsligevæg eksiserer en særk boble i ilsand!; hvor P (!; ) > d (! 0 ) for alle de mulige ilsande! 0 s P i (!), da har hver agen priva informaion i!; :

38 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 30 Diskussion I lighed med Tirole[98] fasslår Allen e al.[993], a en boble ikke kan eksisere i en raionel forvenningsligevæg hvor de iniielle allokeringer er ex ane Pareo-e ciene. For de forvenede bobler må den iniielle allokering være Pareo-ine cien og hver invesor være bunde af en korsalgsresrikion i perioden eferfølgende boblen. Ydermere vises de, a under en særk boble må den privae informaion i en vis udsrækning opreholdes efer prisen observeres. Dee er essensen af proposiionerne ovenfor. Nødvendige beingelser for eksisensen af særke bobler er alså korsalgsresrikioner, delvis bevarelse af agenernes privae informaion og de forhold, a individuelle neohandler med akive ikke er almen viden. I Tirole[98] udelukkes eksisensen af bobler i en raionel asymmerisk informaionsligevæg på grundlag af, a der forvenelig ikke er nogen forjenese ved handel. Eksiserer der ikke en mekanisme genererende en forvene gevins ved handel hvor P i E Gi > 0 for nogle agener i, er vi i Allen e al.[993] og med risikoaverse agener ilbage ved Tirole[98] og fravær af bobler uanse modellens idshorison og informaionsasymmeri i øvrig. Resulae ingen spekulaiv handel følger direke af agenernes (manglende) appei på risiko. Modsa vil fravær af en ex ane Pareo-e cien ligevæg kunne udgøre grundlage for en boble. Den ine ciene allokering illader forvenelig nogle agener i, a opnå en gevins ved handel. Dee er selv med asymmerisk informaion umulig i en raionel forvenningsligevæg som er ex ane e cien. Allen e al.[993] nævner re mekanismer i sand il a generere en forvene gevins ved handel på grundlag af en Pareo-ine cien ligevæg heerogen forvenningsdannelse, en ilsandsafhængig nyefunkion, sokasiske endowmens men ideniske konkave nyefunkioner, ideniske ikke-sokasiske endowmens men forskellige konkave nyefunkioner. Eksisensen af en Pareo-e cien allokering og bobler beinger sig hel fundamenal på en anagelse om risikoneuralie. Dee vil eksemple præsenere eferfølgende demonsrere mere ydelig. Eksempel på raionel boble med asymmerisk informaion De følgende eksempel fra Allen er al.[993] illusrerer, a eksisensen af bobler under asymmerisk informaion er konsisen med raionelle forvenninger i en økonomi med endelig horison. Med sidsnævne anagelse ville backward indukionsargumene normal udelukke raionelle bobler. Boblen som vises a kunne eksisere, er en særk boble. Resulae er således i udpræge grad robus overfor måden hvorpå fundamenalværdien de neres. I dee eksempel gøres der brug af punk 3 fra afsnie om Tirole[98] og punk ovenfor - heerogen forvenningsdannelse som mekanismen udløsende spekulaiv handel. 4 Eksemple omfaer re agener (i = A; B; C) agerende over re perioder. Anagelserne følger modelbeskrivelsen give indledningsvis, dvs. ingen korsalg, agenerne er risikoneurale, danner heerogene forvenninger, besidder poeniel priva informaion og omsæer udbeale dividender il e ilsvarende anal forbrugsgoder i periode 3. I økonomien handles en risikofyld akie. Hver agen holder en iniialbeholdning på re akier. Disse akier bealer på udløbsidspunke hver en likviderende dividende på 0 eller men ine i de mellemliggende 4 Dee er konsisen med en raionel adfærd, ide de enkele ageners forvenningsdannelse kun er kend af agenerne selv og ikke almen viden. Dee kaldes også underiden he common prior docrine.

39 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 3 perioder. Handel foregår i de førse o perioder. Agenernes privae informaion vedrører hvorvid akien viser sig a være værdiløs og dermed udbeale en likviderende dividende i periode 3 på 0. I eksemple ndes en ilsand med en særk boble, hvor alle agener med sikkerhed ved, a prisen oversiger den mulige dividende. På rods heraf, er alle agener villige il a holde eller købe yderligere akier. Handlingen er raionel, ide ingen af agenerne med sikkerhed ved, hvilke af de øvrige agener der ligeledes har denne informaion. Tilsandsrumme udspændes af elleve ilsande, = f! 0 ;! ;! ;! 3 ;! 4 ;! 5 ;! 6 ;! 7 ;! 8 ;! 9 ;! 0 g. Den sande ilsand kan opfaes som værende eksogen besem. Idenieen heraf afsløres gradvis over de re perioder.! er den ilsand hvori prisen med sikkerhed oversiger nogen mulig realisering af dividenden. De er i denne ilsand boblen eksiserer. De følgende rin som beskrives er nødvendige i veri ceringen af en raionel forvenningsligevæg. 5 Tilsandsafhængige dividender i periode 3 Tilsand! 0!!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0 Dividende Den asymmeriske informaion er repræsenere ved agenernes individuelle periodevise pariioner af udfaldsrumme. F i beegner agen i s pariion for periode = ; ; 3. F i ; F i ; :::; F ik angiver de k udømmende og gensidig udelukkende delmængder af F i. Usikkerheden omkring dividenden forløses gradvis. Informaions owe vedrørende agen i s erkendelse af den sande ilsand er give ved følgende sekvenser (F ) af pariioner F A = ff! ;! 4 g ; f! 0 ;! ;! 3 ;! 5 ;! 6 ;! 7 ;! 8 ;! 9 ;! 0 gg F B = ff! ;! 3 g ; f! 0 ;! ;! 4 ;! 5 ;! 6 ;! 7 ;! 8 ;! 9 ;! 0 gg F C = ff! ;! g ; f! 0 ;! 3 ;! 4 ;! 5 ;! 6 ;! 7 ;! 8 ;! 9 ;! 0 gg F A = ff! 0 g ; f! ;! 4 g ; f! ;! 3 ;! 7 ;! 0 g ; f! 5 ;! 8 g ; f! 6 ;! 9 gg F B = ff! 0 g ; f! ;! 3 g ; f! ;! 4 ;! 6 ;! 9 g ; f! 5 ;! 8 g ; f! 7 ;! 0 gg F C = ff! 0 g ; f! ;! g ; f! 3 ;! 4 ;! 5 ;! 8 g ; f! 6 ;! 9 g ; f! 7 ;! 0 gg F A3 = F B3 = F C3 = ff! 0 g ; f! g ; f! g ; f! 3 g ; f! 4 g ; f! 5 g ; f! 6 g ; f! 7 g ; f! 8 g ; f! 9 g ; f! 0 gg Agenerne informeres gennem deres individuelle pariioner og ligevægsprisen. Rækkefølgen i modellens handlinger er som følger. Førs observerer hver enkel agen sin egen pariion, F i i hver periode,. Dernæs udledes der om mulig yderligere informaion gennem observaion af ligevægsprisen p (!) = P (!; ), 3. Herefer illades handlen med akive a nde sed il den relevane ligevægspris P (!; ), Agenerne opnår på ine idspunk e direke kendskab il de øvrige ageners pariioner. Fra ligevægsprisen er de mulig delvis, a inferere hvilke signaler de øvrige agener har modage. Såfrem ilsand! indræ er og agen A,B og C derfor modager e signal i periode om henholdsvis hændelserne f! ;! 4 g, f! ;! 3 g og f! ;! g, da vil alle agener vide, a akien er værdiløs. Men dee er ikke almen viden. Hver 5 Se appendiks 0.. for en inroducerende beskrivelse il hvorledes en raionel forvenningsligevæg kan veri ceres. Dee er en gengivelse fra Brunnermeier[00].

40 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 3 enkel agen er usikker på, hvorvid de øvrige agener også er bekend med, a værdien er nul og derfor P (!; 3) = 0. Såfrem den sande ilsand er! 4, da vil kun agen A vide, a dividenden er lig nul. Agenernes heerogene forvenningsdannelse giver sig udslag i følgende subjekive forvenninger i (!) il realisering af de mulige ilsande (divider med for sandsynligheder) Subjekive sandsynligheder illag de enkele ilsande Tilsand! 0!!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0 Agen A 0 3 B 0 3 C 0 3 Der er bland agenerne enighed om sandsynligheden for ilsand! 0 il! 7 men delvis uenighed om hvorvid ilsand! 8 il! 0 realiseres. Dee eksempel har muliple prisligevæge i overenssemmelse med raionelle forvenninger. En raionel forvenningsligevæg med en boble i periode ilsand! er give ved følgende ligevægspriser P (!; ) Ligevægspriser i en raionel forvenningsligevæg Tilsand! 0!!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0 Periode De er de risikoneurale ageners heerogene opfaelser som illader dem, a forvene e ikke-negaiv afkas i markede give P (!; ). Derved opsår grundlage for handel med akive. 6 Ligevægsprisen i periode P (!; ) er ikke informaiv, ide den er lig 3 i alle ilsande. I periode kan viden om hændelserne f! ;! 4 g, f! ;! 3 g og f! ;! g for agen A, B og C lreres il henholdsvis ff! g ; f! 4 gg, ff! g ; f! 3 gg og ff! g ; f! gg gennem observaion af P (!; ). Agenernes informaion opdaere med en observaion af ligevægsprisen i periode er derfor følgende F P A = ff! 0 g ; f! g ; f! 4 g ; f! ;! 3 ;! 7 ;! 0 g ; f! 5 ;! 8 g ; f! 6 ;! 9 gg F P B = ff! 0 g ; f! g ; f! 3 g ; f! ;! 4 ;! 6 ;! 9 g ; f! 5 ;! 8 g ; f! 7 ;! 0 gg F P C = ff! 0 g ; f! g ; f! g ; f! 3 ;! 4 ;! 5 ;! 8 g ; f! 6 ;! 9 g ; f! 7 ;! 0 gg Observeres i periode e signal indeholdende ilsand!, da vil den af agenerne raionel forvenede pris adskille sig for de o ilsande indehold i dee signal. Med! som den sande ilsand vil alle agener gennem signalerne f! ;! 4 g,f! ;! 3 g og f! ;! g sam observaion af prisen i periode vide, a dividenden er lig nul. Enese raionel forvenede ligevægspris i periode forenelig hermed er derfor nul. Observeres derimod en pris forskellig fra nul, vil ilsand! 4,! 3, og! for agen A, B og C individuel berage kunne ideni ceres med sikkerhed. Men indræ er hændelsen f! ;! 4 g, er agen B og C kun delvis i sand il, a inferere den sande ilsand. En forvene pris forskellig fra nul er derfor raionel fra disse ageners synspunk. Lignende argumenaion kan anvendes ved signalerne f! ;! 3 g og f! ;! g. Dee leder il følgende neohandler x i (!) for periode. Handlerne er unikke for ilsandene! 0 -! 4 men ikke for! 5 -! 0. For sidsnævne ilsande kunne enhver omallokering, der opfylder ine korsalg i princippe refærdiggøres grunde anagelsen om risikoneuralie hos agen A, B og C. 7 6 Beingelsen E G i > 0 er ikke opfyld for nogen agener A; B og C. Derimod er E G i = 0 for dem alle. Dermed er udgangssiuaionen ex ane Pareo-e cien. Eksemples resulaer er så udelukkende dreve af anagelsen om asymmerisk informerede risikoneurale agener. 7 Allen e al.[993] omaler ikke begrundelsen for den valge allokering i ilsandene! 5 -! 0.

41 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 33 Neohandler i periode Tilsand! 0!!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0 Agen A B C Prisen er ikke informaiv i periode, hvorfor agenerne her afholder sig hel fra a handle. I periode ses analle af akier der handles i hver ilsand, a semme overens med agenernes individuelle pariioner. Markedsclearing forekommer i hver enkel ilsand ide den aggregerede handel over ilsande er nul. Anag for eksempel, a den sande ilsand er! 4. For agen A afspejler prisen med hændelsen f! ;! 4 g ikke den forvenede fremidige dividende som i ilsand! og! 4 er henholdsvis nul og seks beregne ved B (!) og C (!). Agen A ønsker derfor a afhænde alle akier, men kan maksimal sælge sin iniialbeholdning på re akier da korsalgsresrikionen binder. Køberne er agen B og C som er indi erene mellem a holde akive eller ej, ide prisen for deres vedkommende sadig afspejler en forvene værdi. Samme ræsonnemen ligger bag agen B og C s posiioner i henholdsvis ilsand! 3 og!. Anag nu i sede, a den sande ilsand er i inervalle! 5 -! 0. Vha. de beingede heerogene sandsynligheder indses de hurig, a agenerne er indi erene mellem a handle eller ej. De anages derfor, a agenerne forerækker en mindre eksrem omallokering af deres oprindelige beholdninger. Med hver agens iniialbeholdning på re akier er akieallokeringen ved saren af periode 3 efer handel i periode give som Akieallokering efer handel i periode Tilsand! 0!!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0 Agen A B C Prisfunkionen P (!; ) og allokeringerne er i hver periode konsisen med agenernes forvenninger. For a se de bemærk da førs, a ligevægsprisen i periode 3 P (!; 3) med perfek (symmerisk) informaion er lig den fundamenale værdi. Dee er blo den likviderende dividende over de mulige ilsande. Prisen supplerer kun agenernes informaionssæ i periode ved hændelserne f! ;! 4 g, f! ;! 3 g og f! ;! g for henholdsvis agen A,B og C. Beregning af de i periode raionel forvenede priser i periode 3 ved alle øvrige hændelser end f! ;! 4 g, f! ;! 3 g og f! ;! g give pariionerne F P A; F P B og F P C, resulerer i anden periodes ligevægspriser for alle ilsande med undagelse af! P (!; ) hvor! f! 0 g E A P REE 3 j f! 0 g = E B P REE 3 j f! 0 g = E C P REE 3 j f! 0 g = = 0 P (!; ) hvor! ff! g ; f! 3 g ; f! 4 g ; f! 5 g ; f! 6 g ; f! 7 g ; f! 8 g ; f! 9 g ; f! 0 gg E A P REE 3 j f! ;! 3 ;! 7 ;! 0 g = = 6 E B P REE 3 j f! ;! 4 ;! 6 ;! 9 g = = 6 E C P REE 3 j f! 3 ;! 4 ;! 5 ;! 8 g = = 6

42 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 34 E A E B E C P REE 3 j f! 5 ;! 8 g = E A P REE 3 j f! 6 ;! 9 g = 0 + = 6 P REE 3 j f! 5 ;! 8 g = E B P REE 3 j f! 7 ;! 0 g = 0 + = 6 P REE 3 j f! 6 ;! 9 g = E C P REE 3 j f! 7 ;! 0 g = 0 + = 6 hvor = 6 og + = er anvend i beregningen af de beingede sandsynligheder. P (!; ) er i ilsand!,! 3 og! 4 besem af de o imperfek informerede agener. De er give ligevægsprisen og deres privae informaion sadig villige il, a handle med hinanden og den perfek informerede agen. Den perfek informerede agen forerækker sreng sin beholdning reducere mes mulig. Korsalgsresrikioner gør dog, a kun iniialbeholdningen af akier kan afhændes. Med anonymie i handlerne er den perfek informerede agen i sand il a sælge, hvad der for ham er en overvurdere akie. Dee kan ske uden, a de øvrige agener er i sand il a udlede noge informaiv på den baggrund. 8 Dee resulerer på idspunk i følgende raionel forvenede ligevægspriser P (!; ) P (!; ) hvor! ff! g ; f! g ; f! 3 g ; f! 4 g ; g E A P REE 3 j f! ;! 4 g = E B P REE 3 j f! ;! 3 g = E C P REE 3 j f! ;! g = = 3 P (!; ) hvor! ff! 0 g f! g ; f! 3 g ; f! 4 g ; f! 5 g ; f! 6 g ; f! 7 g ; f! 8 g ; f! 9 g ; f! 0 gg E A E B E C P REE 3 j f! 0 ;! ;! 3 ;! 5 ;! 6 ;! 7 ;! 8 ;! 9 ;! 0 g = = 3 P REE 3 j f! 0 ;! ;! 4 ;! 5 ;! 6 ;! 7 ;! 8 ;! 9 ;! 0 g = = 3 P REE 3 j f! 0 ;! 3 ;! 4 ;! 5 ;! 6 ;! 7 ;! 8 ;! 9 ;! 0 g = = 3 hvor = 0. P (!; ) er alså lig re over samlige ilsande. Da P (!; ) er beregne med udgangspunk i ligevægsprisen for den redje periode, vil alle priser med en enkel undagelse afspejle den underliggende fundamenale værdi, dvs. den forvenede dividende. Undagelsen er ilsand! i periode. Ligevægen med en boble i ilsand! opfylder dog raionalieskrierie og er dermed en del af en raionel forvenningsligevæg. I ilsand! i periode er P (! ; ) = 0, da agen A,B og C gennem observaion af prisen alle kan lrere ilsand! ud. Boblen bliver således almen viden og kollapser derfor. Der er ere ing a bemærke omkring dee eksempel. En boble kan eksisere i en siuaion hvor alle agener med sikkerhed ved, a prisen oversiger nogen mulig realisering af d (!), dvs. P (!; ) > d (! 0 ) for alle de mulige ilsande! 0 s P i (!). Alligevel er alle agener give E G i = 0 og risikoneuralie indi erene omkring handel med akive.. En siuaion kan opså, hvor alle agener med sikkerhed ved, a prisen uundgåelig vil falde i en fremidig periode. Men da dee endnu ikke er almen viden, vil boblens kollaps kunne udskydes il idspunke hvor overvurderingen bliver almen kend. 8 Her er en anagelse om minimum re agener i modellen afgørende. Hver agen kan således kun udlede de samlede anal akier de øvrige agener har handle på neobasis.

43 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler Prisen er ikke perfek informaiv om den sande ilsand. Korsalgsresrikioner afholder endvidere a- generne fra korsalg af e opimal (uendelig) anal akier i den ilsand hvor de med sikkerhed erfarer, a akien er værdiløs. En posiiv pris eksiserer dog på rods heraf sadig i markede.

44 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler Bobler som følge af begrænsede arbiragemuligheder Implikaionerne af EMH er, a eksogen opsåede markedsuligevæge ikke har persisen ind ydelse på prisdannelsen i e e cien marked. Dee skyldes ind ydelsen af velinformerede og so sikerede invesorer som er i sand il, a korrigere fundamenale uligevæge. Agener underlag en irraionel adfærd ville ikke kunne overleve i markede på sig. 9 Lierauren om limis o arbirage var og er en indvending mod validieen af e sådan argumen. Man ønskede a rede nere en mege udbred opfaelse om, a raionalie alid er den grundlæggende og syrende mekanisme i ehver velfungerende marked. De grundlæggende argumen lyder, a irraionel adfærd må illægges mere en blo en negligerbar e ek på prisdannelsen. 0 To anagelser er cenrale for lierauren om limis o arbirage. Der eksiserer o yper af invesorer. Den ene gruppe besår af raionelle spekulaner hvis forvenningsdannelse omhandlende prisfassæelsen af økonomiens akiver er fuld ud raionel. Den anden gruppe benævnes noise raders. De udviser i deres adfærd en grad af irraionalie hvor forvenningsdannelsen er underlag en sysemaisk bias. Raionelle spekulaner er på udkig efer arbiragemuligheder forårsage af irraionelle agener. De raionelle ageners funkion i markede er vigig ide de sikrer, a den relaive prisfassæelse af akiver er konsisen og udelukker risikofrie arbiragemuligheder.. Raionelle spekulaner er begrænse i a kunne drage fordel af opsåede arbiragemuligheder. Dee skyldes deres relaiv kore inveseringshorisoner (leveid), kapialresrikioner, generel risikoaversion og de forhold, a e nansiel akiv i praksis kun approksimaiv har nære subsiuer anvendelig i skabelsen af en risikofri arbiragemulighed. En model af De Long e al.[990] kan poeniel forklare uligevæge i prisdannelsen gennem de ovenfor diskuerede modelanagelser. Nedenfor er modellen og dens cenrale mekanismer beskreve. I forlængelse heraf diskueres modellens primære implikaioner En model med raionelle invesorer og noise raders Modellen Modellen bygger på OLG-srukuren hvor hver generaion af agener er ilsede i o perioder som førs unge og dernæs gamle. Agenerne ager ingen besluninger angående deres arbejdsudbud, eferlader ine il eferfølgende generaioner og forbruger kun i den sidse periode af ilværelsen når poreføljen likvideres og omsæes il e forbrugsgode. Poreføljeallokering i den førse periode af modellen er dermed den enese besluning agenerne ræ er. I økonomien ndes o akiver med uendelig horison. De ene akiv u er forbunde med risiko mens de ande akiv s berages som risikofri. Den periodevise dividende beal af akiverne er ideniske og lig den risikofrie rene r. Men hvor udbudde af de risikofrie akiv er fuldsændig elasisk, er de risikofylde akiv i e normalisere begrænse udbud på en enhed. 9 Friedman[953]. 0 E af denne lieraurs sørse foralere er Rober J. Shiller. Men den har så sandelig også sine kriikere. Som de diskueres i Cochrane[00] er de grundlæggende problem, a modellerne på område mangler srukur og derfor kan forklare for mege. De åbner op for, a vi efer forgodbe ndende kan anvende beegnelsen irraionel opimisme/pessimisme al efer om priserne synes for høje eller for lave. De mese af iden er nansieringslierauren fakisk opage af, a forklare fakiske afkas som er for høje (den reciprokke forolkning af lave priser give væksraen i dividenderne) i forhold il hvad eoreiske modeller ville ilsige (equiy premium - og risk-free rae puzzle). En models syrke er også hvad den ikke kan forklare. Modellen behandler ikke-persisene uligevæge i prisdannelsen. Den undersøger ikke i modsæning il Tirole[98,985] og Allen e al.[993] ilsrækkelige og nødvendige beingelser for eksisensen af bobler.

45 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 37 Prisen på s afspejler værdien af de fremidige dividender. Prisen på u repræsenere ved p er derimod besem gennem inerakion imellem eferspørgslen og de fase udbud. I økonomien eksiserer de o agenyper beskreve ovenfor, nemlig raionelle spekulaner og noise raders. De eksiserer i andele af henholdsvis og. Hver agen uanse ype opimerer si poreføljevalg med henblik på maksimering af forvene livsidsnye U (w). Hver generaions repræsenaive raionelle agen har en korrek opfaelse af fordelingen for p og maksimerer således E (U (w)) give denne fordeling. Forvenningsdannelsen hos den repræsenaive noise rader indeholder derimod en sysemaisk bias. Denne bias er her en normalfordel sokasisk variabel N ; : (3.8) og angiver henholdsvis middelværdien af og variansen på en overnormal grad af opimisme eller pessimisme vedrørende forvenningen il fremidige realiseringer af p. For hver ny generaion af noise raders rækkes der alså en værdi fra fordelingen N ;. Noise raders maksimerer E (U (w)) give dividenden i næse periode, og p + : p + er den forvenede varians af p + på idspunk + give il rådighed værende informaion på idspunk : Uanse agenype er nyefunkionen på formen U (w) = e w ; (3.9) hvor w er den usikre formue i sidse periode af agenernes ilværelse. Med w N w; w er maksimering af (3:9) ækvivalen maksimering af agenernes cerainy equivalen w w: (3.30) w er forvene og w variansen på formuen over en enkel periode. Såvel den raionelle agen som noise raderen har som besluningsvariabel sørrelsen på deres risikofylde inveseringer gennem henholdsvis s og n. De maksimerer respekiv en objekfunkion på formen E (U s (w)) = c 0 + s [ p + p r (p )] ( s ) p + ; E (U n (w)) = c 0 + n [ + p + p r (p )] ( s ) p + : (3.3) p + er i lighed med p + den forvenede værdi af p + på idspunk + give informaion på idspunk : c 0 er en funkion af førse periodes arbejdsindkoms. r (p ) fra (3:3) afspejler, a man ved invesering i u il en pris højere end pådrager sig hvad der reel er en alernaivomkosning. 3 De respekive førseordensbeingelser for (3:3) med hensyn il s og n giver sig udslag i følgende opimale beholdninger af u, de risikofylde akiv Dee er vis i appendiks Denne omkosning opræder i objekfunkionen, da modellen ikke eksplici berager invesering i de risikofrie akiv. Alernaivomkosningen illusrerer de forhold, a merprisen på de risikofylde akiv i forhold il prisen på de risikofrie akiv kunne være placere i sidsnævne og opnåe e afkas svarende il r, den risikofrie rene.

46 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 38 s = p + p r (p ) ; p+ n = + p + p r (p ) : p+ (3.3) Af udrykke i (3:3) fremgår de, a eferspørgslen efer de risikofylde akiv som forvene er negaiv relaere il graden af risikoaversion, den forvenede fremidige varians p + og posiiv relaere il den forvenede fremidige pris p +. Eferspørgslen n af u ses som forvene a være posiiv relaere il noise raders forvenningsbias. I ligevæg skifer den samlede mængde af u i hver periode ejer fra den gamle il den unge generaion. Derfor må følgende nødvendigvis gælde ( ) s + n = (3.33) ( ) p + p r (p ) + + p + p r (p ) = p + p+ + p + p r (p ) = : p+ Isoleres p i ovensående udryk opnås Euler-ligningen fra idligere angivende en sammenhæng mellem prisen i periode og + p = h i p + + r p+ + + r : (3.34) De bemærkes, a (3:34) naurlig nok er i overenssemmelse med den raionelle nuidsværdiformel såfrem invesorerne alle er fuld raionelle, dvs. når = 0. Vi berager udelukkende sabile ligevæge hvor den ubeingede fordeling for p + er lig den for p. De er derfor mulig a eliminere p + fra (3:34) gennem fremadree rekursiv subsiuion p = + + ( ) p+ : (3.35) r + r r De fremgår af (3:35), a kun de redje led er sokasisk. p + er en lineær funkion af variansen på p + = ( ) p + = V ar + r = ( + r) ; (3.36) hvor de er anvend, a N 0;. Dee resulerer i følgende ligevægspris for de risikable akiv u på idspunk p = + r + ( ) + r r ( + r) : (3.37)

47 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 39 Forolkning (3:37) er beskrivende for siuaionen, hvor noise raders adfærd er af beydning for ligevægsprisen på u i form af de sidse re led på højresiden. De førse led angiver de risikofylde akivs fundamenale værdi. De ande led illusrerer den sysemaiske bias indehold i noise raders forvenninger. De redje led repræsenerer, a variaion i ligevægsprisen forårsages af generaionsspeci kke skif i noise raders sysemaiske fejlopfaelse. Dee sker i form af s afvigelse fra dens middelværdi. De sidse led i (3:37) er hel cenral for modellen. Raionelle spekulaner må i ligevæg kompenseres for den risiko noise raders adfærd påfører dem. Usikkerhed omkring hvorvid næse generaion af noise raders er mere eller mindre opimisiske end den nuværende generaion afspejles i en lavere pris og dermed e højere forvene afkas. Denne kompensaion afspejler udelukkende risici forårsage af noise raders. Der eksiserer ikke nogen langsige fundamenal usikkerhed om værdien af de risikable akiv. Denne OLG-model har ingen saionære ligevæge med bobler. De sår klar i forlængelse af Tirole[985], ide den risikofrie rene r per konsrukion er sørre end økonomiens væksrae g = 0. Økonomien er dermed dynamisk e cien. I modellen af De Long e al.[990] er der ingen persisens i : De er en Markov proces. Men noise raders har beydning i ligevæg hvis 6= 0. Ved f.eks. a lade følge en AR() proces kunne afvigelser fra fundamenalværdien i højere grad blive persisene Risici for raionelle invesorer Raionelle spekulaner har kore inveseringshorisoner og er risikoaverse. Begge forhold reducerer deres lys il, a korrigere fejl i prisdannelsen og derved eliminere arbiragemuligheder. Arbiragemuligheder eksiserer, men de er risikofylde. Akivieen fra noise raders kan således ikke fuld ud neuraliseres. Modellen påpeger beydningen af o yper risici forbunde med en arbirageposiion. Disse benævnes fundamenale og noise rader risici. En fundamenal risiko følger af usikkerhed omkring e akivs fundamenale værdi og poenielle skif heri. Ny relevan informaion vil f.eks. kunne korrigere mulige uligevæge og derigennem have beydning for pro abilieen af en åben arbirageposiion. I De Long e al.[990] er denne ype risici ikke ilsede. Noise rader risici er den anden primære risikofakor. Arbiragemuligheder er risikable selv uden en fundamenal risiko. Dee skyldes, a noise raders på kor sig kan forværre uligevæge i prisfassæelsen yderligere. I relaion il modellen, selv hvis < vil der være en hvis sandsynlighed for, a en ny generaion bliver endnu sørre pessimiser end den nuværende. Dee kan poeniel forværre omsændighederne under hvilke de raionelle spekulaner i modellens periode sælger deres akiebeholdninger. Følgende kan bemærkes omkring modellens overordnede funkionalie. Er horisonen hos de raionelle agener relaiv lang sammenligne med persisensen i noise raders forvenningsbias, da vil prisen på u konvergere mod sin fundamenale værdi. Udnyelse af en opsåe arbiragemulighed bliver derved mere arakiv for en risikoavers spekulan og noise raders handlinger neuraliseres dermed. OLG-modellens srukur er ganske afgørende for, a noise raders har beydning i ligevæg. Længere agenhorisoner kan i den sammenhæng kun illades, hvis der i modellen inroduceres fundamenale risici. Abreu & Brunnermeier[00,003] fremhæver en anden ype af risici ved a engagere sig i en arbirageposiion som også poeniel er hjælpsom i forklaringen af bobler. Disse risici beegnes synkroniseringsrisici. Argumene for en sådan risikofakor ligger i, a en raionel spekulan overbevis om eksisensen af en uligevæg i markede ypisk er ude af sand il selv a gøre arbirageposiionen pro abel gennem en priskorrekion. Dee kræver generel koordinaion mellem ilsrækkelig mange raionelle agener af samme overbevisning. Disse ageners handlinger skal alså synkroniseres. Såvel akive som agenerne har en endelig horison. Bland raionelle agener eksiserer normal ikke en højere ordens bevidshed som ville illade en sådan synkronisering. Agenerne har ine kendskab il de relaive idspunk for deres opnåelse af kendskab il uligevægen i prisen. Der hersker endvidere usikkerhed omkring idspunke for hvornår, de øvrige agener iniierer deres forsøg på udnyelse af arbiragerelaionen. Den raionelle agen sår derfor overfor e rade-

48 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 40 o : såfrem eksempelvis boblen forsøges modvirke for idlig, forbigås eferfølgende prissigninger; ageres for sen, er han sadig posiionere i akive ved boblens kollaps. Manglende højere ordens bevidshed omkring de relaive informaionsniveau er begrundelsen for, a e backward indukionsargumen ikke kan udelukke boblen. Synkroniseringsrisici udsæer selv risikoneurale ageners udnyelse af en arbiragemulighed. Korrekion af prisdannelsen kræver en synkronisering af handelssraegier. En implikaion af dee er, a selv mindre vigig informaion kan udløse relaiv sore prisreakioner, når blo informaionen illader agenerne a synkronisere deres handlinger. Raionelle invesorers sabiliserende rolle og overlevelsen af noise raders Noise rader ilgangens primære resula er, a irraionalie har beydning for prisdannelsen i ligevæg. Dee er i srid med EMH og argumener fra Friedman[953]. Her fremhæves raionelle ageners sabiliserende e ek i markede og de umulige i, a noise raders kan overleve i markede på sig. Noise rader ilgangen åbner for den mulighed, a raionelle ageners adfærd kan forværre en uligevæg i markede. Denne ide belyses i De Long e al.[99], hvor raionelle agener overlag forsøger, a skabe korsigede "kunsige"prisændringer som vil udløse en eferspørgsel fra agener agerende på momenum. Raionelle ageners korsigede adfærd er desabiliserende, ide de undlader a modvirke uligevægen. Dee er per de niion en spekulaiv handling, da enese formål med ejerskab af akive er videresalg il en højere pris. Dee følger også de niionen af spekulaiv adfærd give i Harrison & Kreps[978]. I en modelramme som den ovenfor, er overlevelse af noise raders i markede ikke udelukke på rods af, a de som e gennemsni berage køber il relaiv høje og sælger il relaiv lave priser. Dee skyldes, a nok fejlesimerer de generel den sande risiko ved deres poreføljer, men i ligevæg kompenseres de for risici de selv er med il a skabe.

49 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler Heerogen forvenningsdannelse og bobler Den fjerde og sidse ype af bobler denne eoreiske gennemgang vil beskrive opsår på baggrund af agenernes heerogene forvenningsdannelse. Heerogen forvenningsdannelse forekommer, hvis agenernes prior beliefs adskiller sig fra hinanden. Udgangspunke er eksisensen af almen kende psykologiske skævvridninger bland agenerne. Disse skævvridninger modelleres ofe gennem en overdreven grad af eksogen speci cere opimisme eller pessimisme. I en model som præsenere af Scheinkman & Xiong[003] er den psykologiske bias dynamisk og giver anledning il en koninuer inerakion imellem økonomiens invesorgrupperinger. Den psykologiske bias er kendeegne ved hver enkel invesors overbevisning om, a han er i besiddelse af mere relevan informaion i relaion il værdifassæelsen af e risikofyld akiv end de egenlig er ilfælde. Heerogene opfaelser kan således forårsage dannelsen af en boble. 4 Til forskel fra siuaionen med asymmerisk informaion forsøger agenerne ikke, a udlede den informaion de øvrige agener måe være i besiddelse af. Der eksiserer informaionssymmeri, men agenernes individuelle forvenninger hvad angår realiseringen af de mulige ilsande adskiller sig. Der er bland agenerne enighed om a være uenige. I Aumann[976] vises de, a raionelle agener med symmerisk informaion og heerogene opfaelser er inkonsisene anagelser, ide dee vil sride mod raionaliesanagelsen. Bobler i relaion il heerogen forvenningsdannelse anager derfor implici eksisensen af delvis irraionelle invesorer. Hver agen er raionel på vegne af de andre agener men irraionel i forolkningen af si ege signal. Til forskel fra f.eks. De Long e al.[990] repræsenerer denne irraionalie i modeller med heerogen forvenningsdannelse alle invesorgrupperinger og man skelner således ikke imellem raionelle og irraionelle agener. Ofek & Richardson[00,003] fremhæver de synspunk, a udbrede resrikioner på korsalg og heerogen forvenningsdannelse var primære årsager il inerneboblen. Pessimisiske invesorer havde ikke mulighed for a påage sig den sabiliserende priskorrigerende rolle i markede. Deres mening var ikke en del af prisdannelsen Scheinkman & Xiong[003] I en model som den i Scheinkman & Xiong[003], kan prisen på e risikofyld akiv oversige selv den mes opimisiske invesors værdifassæelse af akive. 5 Dee er mulig, ide de nuværende opimisiske ejere har, hvad der reel kan beegnes som en opionsre il videresalg. Skulle de blive relaiv mere pessimisiske på vegne af akive, er e videresalg mulig il den anden nu relaiv mere opimisiske gruppe af invesorer. Opimisme og pessimisme anages a oscillere på værs af invesorgrupperinger. Værdien af denne videresalgsopion som jo er en pu opion, er hvad Scheinkman & Xiong de nerer som en boble. Modellen arbejder i koninuer id med en uendelig horison. I økonomien handles e ligeledes evigløbende risikofyld akiv. Den kumulaive dividendeproces D er give ved o komponener. De førse led er en ikkeobserverbar fundamenal variabel f besemmende fremidige dividender. De ande led er søj. Dynamikken i dividenden D og den fundamenale variabel f er give henholdsvis som dd = f d + D dz D ; df = f f d + f dz f (3.38) hvor 0 er mean reversion parameeren for f mod f. f ses a følge en Örnsein-Uhlenbeck proces. Akive er i e begrænse udbud normalisere il. Der eksiserer o yper af risikoneurale agener, A og B hvis horison i lighed med økonomien er uendelig. Agenerne anvender observaionen af D og andre signaler 4 Korsalgsresrikioner er e i denne forbindelse forsærkende men ikke nødvendigvis afgørende elemen. 5 Jf. Allen, Morris & Poslewaie[993] svarer dee il en forvene boble. Der er også en direke forbindelse il Harrison & Kreps[978] de niion af spekulaiv adfærd.

50 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 4 korrelere med f i deres værdiansæelse af akien. Alle agener observerer en vekor af signaler s A opfyldende og s B ds A = f d + s dz A ; ds B = f d + s dz B : (3.39) Z D, Z f, Z A og Z B er gensidig uafhængige sandard Brownske bevægelser. D, f og s er konsane volailiesparamere. Processerne i (3:38) og (3:39) er di usionsprocesser da deres drifsled er idsvarierende. Agener i gruppe A (B) opfaer s A s B som deres ege signal. Heerogene forvenninger opsår, ide hver agenype ror, a deres ege personlige signal er mere informaiv end de egenlig er ilfælde. Speci k ror agenerne i gruppe A og B, a processerne for s A og s B er give som henholdsvis ds A = f d + s dz f + s q dz A ; ds B = f d + s dz f + s q dz B : (3.40) Korrelaionsparameeren mellem processerne ds C og df er lig (0; ) Corr ds C ; df = Corr dz C ; dz f = s s f p ( s ) + s f s f = q ( s f ) + ( s f ) ( s f ) = s f s f = hvor C fa; Bg. Agener i gruppe A (B) ror alså fejlagig, a dz A dz B er korrelere med dz f. Den sande korrelaionskoe cien er derimod lig nul. Modsa infererer agenype A (B) korrek, a innovaionerne i s B s A er ukorrelere med dz f. er en indikaor for agenernes såkalde overcon dence. Dee begreb dækker alså over agenernes irraionelle ro på, a processen for deres ege personlige signal er relaere il dividendeprocessen på sysemaisk vis, uden a de egenlig er ilfælde. De beingede forvenninger for agenerne i hver gruppe er Gaussian (normalfordele) med middelværdi ^f C og varians C. Dynamikken i de beingede forvenningers middelværdi kan beregnes for henholdsvis agengruppe A og B il d ^f A = f d ^f B = f A ^f d + s f + ds A s B ^f d + s f + ds B s ^f A d + ds B s ^f B d + ds A s ^f A d + dd D ^f B d + dd D A ^f d (3.4) B ^f d : Beinge på invesorernes informaionssæ er ^f C alså den forvenede fundamenale variabel besemmende dividenderne. Da f følger en mean reversion proces, vil også ^f C gøre de. De sidse re led af udrykkene i (3:4) angiver e overraskelsesmomen i form af uforvenede innovaioner i processerne for s A, s B og D. C Innovaioner i ^f repræsenerer en opdaering af de beingede forvenninger. Grunde overcon dence overreagerer agenype A (B) i forhold il s A s B vurdere på baggrund af signales reelle informaionsværdi. I agenype A og B s bevidshed er overraskelseselemenerne i deres egen beingede forvenning gensidig uafhængige Brownske bevægelser

51 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 43 s dw A;A s dw B;B = ds A = ds B ^f A d ; ^f B d ; s dw A;B s dw B;A = ds B = ds A ^f A d ; ^f B d ; D dw A;D = dd ^f A d D dw B;D = dd ^f B d: (3.4) Udrykkene i (3:4) er dog kun Wiener processer i agenype A og B s bevidshed. For agen A (B) er de klar, a ^f B ^f A ikke repræsenerer en e cien forvenningsdannelse. A (B) er således raionel på B s(a s) vegne. g A og g B de nerer forskelle i middelværdier for agenernes beingede forvenninger g A = ^f B ^f A = g B ; g B = ^f A ^f B = g A : (3.43) Disse forvenningsforskelle g A = g A og g B = g A vil følge mean revering di usionsprocesser hvor 6 = dg A = g A d + g dw A;g ; dg B = g B d + g dw B;g (3.44) s + f s + f + s ; g = p f : (3.45) D Med = 0 (ingen overcon dence) ses g A og g B a følge deerminisiske konvergerende processer. Uoverenssemmelser i agenernes forvenningsdannelse ville her forsvinde i grænsen med ^f A og ^f B konvergerende mod hinanden. De o agenyper vil på sig udvise e sammenfaldende reakionsmønser overfor eksogene chok. Flukuaioner i forvenningsdannelsen skaber grundlage for handel med akive. I forbindelse med en handel beales af den sælgende par en ransakionsomkosning c pr. solg enhed. Med korsalgsresrikioner, e endelig udbud og e uendelig anal poenielle købere sikres de, a prisen der beales neop er lig købers maksimale bealingsvillighed. Agenernes bealingsvillighed afspejler såvel e fundamenal som e spekulaiv elemen. De fundamenale elemen udgøres af de forvenede fremidige dividender. De spekulaive elemen besår i, a akien kan videresælges på e senere idspunk il den anden gruppe af agener, når de måe blive ilsrækkelig opimisiske på akives vegne. Vi lader o fa; Bg repræsenere gruppen af de nuværende ejere og o den anden gruppe af agener. Den maksimale bealingsvillighed og pris der beales af køber på idspunk, er give ved udrykke Z + p o = sup E o e r(s ) dd s + e r p+ o c : 0 Bealing af p o gør alså en poeniel køber il ny ejer af akive på idspunk. Ejer af akive maksimerer værdien af videresalgsopionen gennem valg af. På idspunk + videresælges akive il købers reservaionspris p+ o. Denne pris afspejler således de nye ejeres (A eller B s) heerogene forvenninger men oversiger såvel agenype A som B s fundamenale vurdering af akive. Anvendes nu dd = ^f o d + D dw o;d i kombinaion med ligningerne fra (3:4) opnås Z + e r(s ) dd s = Z + 6 Udledningen af (3:45) er vis i appendiks e r(s ) h f + e (s ) ^f o f i ds + M + :

52 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 44 Maksimeringsprobleme for p o i sede kan derfor skrives som Z + h p o = max 0 Eo e r(s ) i f + e (s ) o ^f f ds + e r p+ o c (3.46) ide E o [M + ] = 0. Scheinkman & Xiong anvender derefer følgende fremgangsmåde il besemmelse af prisfunkionen i ligevæg. De udleder førs nødvendige beingelser en sådan funkion bør opfylde. Herefer konsrueres en funkion som neop opfylder disse beingelser og de veri ceres a prisfunkionen udgør en ligevæg. 7 Speci- k søges der efer en ligevægs prisfunkion på formen p o = p o o ^f ; g o f = r + ^f o f r + + q (go ) (3.47) med q (g o ) ; q 0 (g o ) > 0 og g o = ^f o ^f o. f=r+ ^f o f = (r + ) er de nuværende ejeres værdiansæelse af de fremidige dividender. q (g o ) er værdien af videresalgsopionen som funkion af agenernes uoverenssemmelse omkring den fundamenale komponen. Prisen afspejler således forvenningen hos de mes opimisiske agener omkring akives fundamenale værdi illag værdien af videresalgsopionen. Anvendes nu (3:47) i (3:46) opnås hvor p o = p o o ^f ; g o f = r + ^f o f r + + sup E o 0 g q (g o ) = sup E o e r o + 0 r + + q go + g e r o + r + + q go + c c (3.48) Ved udøvelse af opionen opnår indehaveren srike prisen g+ o = (r + ) + q g+ o, hvilke igen er en funkion af den relaive overopimisme. 8 Opionens værdi bør være sørre end eller lig forjenesen ved e øjeblikkelig salg. Er denne beingelse ikke opfyld, er de opimal a udøve opionen. Er beingelsen derimod opfyld, bør akive forsa holdes. De vises af forfaerne, a denne såkalde coninuaion region er e inerval ( ; k ) med k > 0. Variablen k er den mindse meningsforskel g o, der er i sand il a generere en handel. Den opimale udøvelsessraegi besår i, a udøve øjeblikkelig såfrem g o > k og ellers vene il førskommende idspunk + hvor g+ o k. Således fungerer k som en barriere hvor akive skifer ejer. Når opionen udøves er g+ o = k = ^f B ^f A. g o har derfor værdien k = ^f A ^f B ved processens gensar. For handelsomkosninger c = 0 er k = 0 mens k = c (r + ) for c > 0. Opionsværdien q (g o ) er forskellen imellem den nuværende ejers eferspørgselspris p o og hans fundamenale værdiansæelse af akive. Denne siuaion er sammenlignelig med eksisensen af en boble. Beegnelsen boble er rimelig ud fra den beragning, a handelsprisen ikke længere er forenelig med en fundamenal værdiansæelse. Hver gruppe af agener bealer en pris for akive som oversiger værdien af en buy-and-hold sraegi. Når en handel nder sed er værdien af boblen give som b q ( k ) = h ( k ) r + h 0 (k ) + h 0 ( k ) (3.49) 7 De er i princippe fremgangsmåden il veri ceringen af en raionel forvenningsligevæg der her anvendes. 8 (3:48) er a sammenligne med Bellman-ligningen.

53 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 45 hvor b er boblen. h (x) er en funkion med pæne egenskaber, dvs. koninuer og med pæn de nerede a ede funkioner. Speci k har h (x) de nere for x R følgende egenskaber h (x) > 0; h 0 (x) > 0; h 00 (x) > 0; h 000 (x) > 0; lim h (x) = 0; lim x! x! h0 (x) = 0: På handelsidspunke er x = k. Værdien af videresalgsopionen q (g o ) er her idenisk med boblens sørrelse. A disse o sørrelser er ideniske, er kun ilfælde når en handel nder sed. Generel eksiserer der følgende sammenhæng imellem værdien af videresalgsopionen q (x) og boblen b afhængig af x Q k q (x) = ( b h( k ) h (x) for x < k x r+ + b h( k ) h ( x) c for x k (3.50) Af (3:50) fremgår de, a når x = k < k ; da er q (x) = b som vis i (3:49). x < k og x k repræsenerer henholdsvis opionens sopping og coninuaion region. Volailieen sammende fra opionskomponenen kan beregnes il (x) = p f r + h 0 (x) h 0 (k ) + h 0 ( k ) 8x < k : (3.5) (x) er en monoon funkion da h 0 (x) > 0. Variansen på agenernes værdiansæelse af de ilbagediskonerede dividender er " f V ar r + ^f # " s o # f f + = r + (r + ) + + : (3.5) s s D Ovensående udryk er en voksende funkion af hvis > 0 (husk a er mean reversion parameeren for f ). Hvis = 0 er variansen på værdien af dividenderne give som " f V ar r + ^f # h i h i o f V ar ^f o f V ar ^f o f = r + (r + ) = (r + ) = (r + ) : En sigende overcon dence medfører derfor jf. (3:5) en signing i volailieen af agenernes værdiansæelse af akives dividender. Scheinkman & Xiong ignorerer eferfølgende volailieen henførende il denne komponen som forsvinder i grænsen når! 0. Med = 0 er der ingen mean reversion i f, ^f A og ^f B som derfor ikke er relaere il f på nogen sysemaisk måde. o ^f er derfor uafhængig af des ex ane langsigede middelværdi f. Med = 0 er ikke længere relevan i besemmelsen af variansen i akives fundamenale komponen. Der fokuseres med denne anagelse i sede på volailieen henførende il videresalgsopionen, (x). En egenskab ved en sandard Brownsk bevægelse er, a de forvenede anal gange bevægelsen anager enhver værdi i e ehver given idsinerval er uendelig. Implikaionerne heraf er i grænseilfælde hvor c = 0, a e uendelig sor anal handler nder sed i e inerval indeholdende en enkel handel. Når c = 0 er den ubeingede gennemsnilige handelsvolumen derfor enen 0 eller uendelig. De forvenede idsrum mellem handler er en koninuer voksende funkion af c. Så principiel er de mulig a frembringe enhver ænkelig handelsvolumen. 9 9 Som jeg vil diskuere mere indgående i den empiriske analyse er handelsvolumen eoreiske boblers ømme punk. Poenielle bobler i en empirisk sammenhæng involverer ypisk også sor handelsvolumen hvilke de eoreiske modeller som ofes er siliende omkring. Så de forhold, a Scheinkman & Xiong[003] fanger de aspek er i princippe posiiv. Men dels er den opsåede handelsvolumen mere reel e produk af egenskaberne for den sandard Brownske bevægelse og dels bygger modellen sadig på anagelser om delvis irraionel agenadfærd.

54 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 46 Med c = 0 nder en handel sed i de øjeblik de o agenypers heerogene fundamenale værdiansæelser krydser hinanden. Ikke deso mindre anager boblen med k = c = 0 her en posiiv værdi da b = h ( k ) r + h 0 (k ) + h 0 ( k ) = h (0) (r + ) h 0 (0) > 0 De nuværende ejere af akive forvener ikke e videresalg il en pris højere end den fundamenale værdi. Men opionen har sadig en posiiv værdi. De kan vises, a b for lille c er ilagende i g, og afagende i r;. og g fra (3:45) kan med = 0 igen skrives som funkion af modellens øvrige paramere, D, f og s = = s + f s s + f + s = D f + s f D v u f s + f + f s D! Vi har derfor, a q = i s + i D ; g = p f (3.53) hvor i s = f = s og i D = f = D angiver den relaive informaion indehold i henholdsvis de o signaler og dividenden. Boblen er ilagende med volailieen i den fundamenale proces, f og informaionsgraderne i s ; i D. En voksende overcon dence, har som indikere af (3:53) og omal nedenfor o modsareede e eker på b. Numeriske øvelser udfør af forfaerne viser dog, a b ligeledes alid er en voksende funkion af. Modellen af Scheinkman & Xiong skaber en forbindelse mellem prisfassæelsen af nansielle akiver, volailie og handelsvolumen. Korrelaionen mellem disse sørrelser er ofe beydelig i siuaioner, hvor en boble synes a eksisere i e marked. Scheinkman & Xiong[003] illusrerer denne idé gennem e numerisk eksempel involverende e ekerne af en ændring i på ligevægsniveauerne af k ; E () ; b og. Figur 3. nedenfor er gengive fra Scheinkman & Xiong[003].

55 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler 47 Figur 3.: E ek af ændringer i : a, barriere for opionsudøvelse (k ); b, forvene varighed mellem handler (E ()); c, boblen i akive (b); d, volailie henførende il boblen (). Her er r = 0:05, = 0, = 0:, i s = :0, i D = 0 og c = 0 6. Boblens værdi er beregne på handelsidspunke. k, b og er angive som muliple af f = (r + ), akives fundamenale volailie. Kilde: Scheinkman & Xiong[003, s. 0] k : Med siger den opimale udøvelsesbarriere k. Dee afspejler, a de med en signing i g og redukion i er opimal, a udskyde udøvelsen af opionen ide dens forvenede værdi er sigende. Relaiv sørre uenighed er dermed påkræve for a kunne generere en handel. E () : Udviklingen med i den forvenede varighed mellem på hinanden følgende handler er besem af o modsareede e eker. En signing i g vil føre il øge handel med akive og ilsvarende reducere de forvenede idsrum imellem handlerne. Modsvarende heril vil k dog sige. Med k forøges de forvenede idsrum mellem handlerne. Scheinkman & Xiong viser, a e eken henførende il k er af sekundær beydning for relaiv små handelsomkosninger. Med reduceres derfor asympoisk de forvenede idsrum mellem på hinanden følgende handler. b : Med følger gennem e ekerne på g og en værdisigning i videresalgsopionen og dermed boblen fra den nuværende ejers synspunk. En signing i g beyder, a den anden gruppe af agener med sørre sandsynlighed vil have fundamenale forvenninger der oversiger forvenningerne hos de nuværende ejere i en sådan grad, a de udløser en handel. Dee resulerer al ande lige i en sørre værdi af opionen. Mindre mean reversion i g o () bevirker, a e eksogen chok har en forvene længerevarende e ek på g o. Dee resulerer ligeledes i en forøgelse af boblens værdi. : Mervolailieen fra boblen er også en voksende funkion af. Med overcon dence siger agenernes uoverenssemmelser omkring akives reelle værdi. Dee skaber jf. billede c og d i gur (3:4:) ikke alene en højere forvene værdi af boblen men også en sørre volailie i b. Scheinkman & Xiong viser alså, a ilsedeværelsen af en boble, høj prisvolailie og handelsvolumen er forenelig i en eoreisk modelramme med delvis raionelle agener. Forfaerne bemærker, a en boble på ere måder kan bringes il e kollaps hvor prisen derefer udelukkende afspejler værdien af de forvenede fremidige dividender. Af mulige årsager nævner forfaerne en observerbar fundamenal værdi, korrekion af agenernes irraionalie og endelig, a volailieen i dividendeprocessen ( f ) forsvinder. En implikaion af sidsnævne er, a fundamenalværdien kan udledes perfek gennem observaion af dividendeprocessen.

56 Kapiel 3. En eoreisk forsåelsesramme for nansielle bobler Delkonklusion Dee kapiel har beskreve forskellige yper af eoreiske nansielle bobler som grundlæggende adskiller sig langs dimensioner som graden af raionalie, informaionsniveau og invesorhorison. Raionelle bobler hviler på en grundlæggende raionaliesanagelse. De deerminisiske ilfælde giver anledning il en proces for boblen som ganske enkel forekommer urealisisk. De sokasiske ilfælde har såvel mere eoreisk som empirisk appel. Raionelle bobler lader ubesvare spørgsmål omkring årsager il opsåen og kollaps. Disse hændelser berages som eksogene. Den raionelle bobles relevans i en empirisk sammenhæng er sadig e åben spørgsmål. Lierauren omhandlende raionelle bobler har idligere være beskæfige med, under hvilke beingelser og anagelser en boble kan udelukkes eller illades a eksisere. Tirole[98] vise, a langsige maksimerende adfærd krafig begrænser den raionelle forvenningsdannelse og dermed de illadelige priser i ligevæg. Under sådanne anagelser kan raionelle bobler ikke eksisere og markede må nødvendigvis være e cien. I en OLG-model er grundlage for den raionelle boble en dynamisk ine cien økonomi. Asymmerisk informaion er en nødvendig men ikke ilsrækkelig beingelse for eksisensen af en raionel boble. Dennes eksisens kræver generel, a boblen ikke er almen viden og a den iniielle allokering er Pareo-ine cien. For nogle agener må der nødvendigvis være en forvene gevins ved handel således, a den Pareo-ine ciene ligevæg desabiliseres. Er der ingen gevins ved handel, må boblen undersøes af en knap så arakiv anagelse om risikoneuralie hvilke eksemple illusrerede. Allen e al.[993] vise, a en boble kan eksisere i en siuaion hvor alle agener med sikkerhed ved, a prisen oversiger nogen mulig realisering af dividenden. Alligevel er alle agener indi erene omkring handel med akive. En del af invesorerne i e marked som ex pos vurdere indehold en boble illægges ofe en irraionel og spekulaiv adfærd og værende in uere af en psykologisk bias. De grundlæggende spørgsmål er, i hvilke omfang sådanne invesorer kan overleve i e marked og in uere prisdannelsen. Noise rader lierauren giver e bud på hvorledes irraionelle invesorer kan medvirke il skabelsen af uligevæge. Men deres adfærd er eksogen speci cere. Raionelle spekulaner må i ligevæg kompenseres for den risiko noise raders adfærd påfører dem. Derfor er modellen af De Long e al.[990] primær velegne i relaion il underprisfassæelse. Forklaring af nansielle bobler gennem inkorporering af heerogene forvenninger er en anden eoreisk modelype anvend i forklaringen af bobler. Der er bland agenerne enighed om a være uenige. Denne ype af model indeholder hele spekre omkring udviklingen i en boble, de være sig dens opsåen, eksisens og kollaps. I Scheinkman & Xiong[003] bealer invesor for mere en blo værdien af de fremidige dividender. Prisen indeholder også værdien af en videresalgsopion. Værdien af denne videresalgsopion er hvad Scheinkman & Xiong de nerer som en boble. Ariklen fanger med nogen succes ere af de karakerisika der er indehold i fakiske episoder med bobler, nemlig meningsforskelle, høj volailie og inensivere handel.

57 Kapiel 4 Perfek forudseenhed og raionelle bobler Dee kapiel undersøger eksisensen og fravære af bobler anlæggende e ex pos raionel perspekiv. Til de formål benyes o forskellige fremgangsmåder. Førs anvendes en meode fra Shiller[98]. Her beregnes en ex pos raionel pris med baggrund i en anage nuidsværdimodel. Hvorledes vi speci cerer nuidsværdimodellens diskoneringsfunkion giver sig således udslag i forskellige ex pos raionelle priser. Meoden er ganske simpel men giver en god inuiiv forsåelse og indsig i umiddelbare sysemaiske afvigelser fra nuidsværdimodellen. En ex pos raionel pris ignorerer per de niion ehver elemen af usikkerhed om fremidige dividender. Sørre usikkerhed om fremidige dividender refærdiggør en højere fundamenal værdi. Ignoreres usikkerhed undervurderes således en ex ane raionel værdi. En naiv sammenligning af den fakiske og den ex pos raionelle pris er derfor formålsløs. Yderligere forudsæer raionelle forvenninger ikke, a den fakiske pris er lig den ex pos raionelle. Beingelsen er derimod, a den fakiske pris afspejler forvenningen il den ex pos raionelle pris. Den anden meode benyer sig af en række økonomeriske ess i relaion il raionelle bobler. Dee sker i forlængelse af Diba & Grossman[988a] og Bohl[003]. Diba & Grossman[988a] berager de deerminisiske eksplosive raionelle bobler hvor anagelsen er en konsan diskoneringsrene. Bohl[003] arbejder med de periodisk kollapsende bobler diskuere i Evans[99]. Begge disse arikler har som nærværende kapiel si udgangspunk i daasæe vedligehold af Rober J. Shiller. Omend den beragede idsperiode her er en anden, bringer nærværende analyse naurligvis ikke fundamenal ny omkring relevansen af de raionelle bobler i en empirisk sammenhæng. Ej heller er de hensigen a besvare eksisensspørgsmåle endegyldig. Hensigen er snarere, a ye diskussionen af raionelle bobler fra en sreng eoreisk ramme il en behandling af emne fra en empirisk indgangsvinkel. Tesproceduren anvend i Diba & Grossman[988a] repræsenerer på e overordne plan de idlige ess for raionelle bobler. Bohl[003] derimod, er e udryk for mere idssvarende ess. Meoden anvendes il påpegning af excess volailiy problemaikken. 49

58 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler Daa Rober J. Shiller har siden 98 vedligehold e daasæ vedrørende Sandard & Poor s Composie Sock Price Index som er e værdivæge indeks. Daasæe indeholder også oplysninger om aggregere per capia forbrug, kore og lange rener sam e forbrugerprisindeks. Daasæe er komple i relaion il S&P-indekse for perioden mens oplysninger om per capia forbrug kun er ilgængelige for perioden Dee daasæ er arakiv a anvende i empiriske sudier, ide de bygger på e af de længse il rådighed værende idsserier der kan opfaes som repræsenaiv for de amerikanske nansielle marked. I 957 blev S&P-indekse begrænse il kun a omfae 500 akiv handlede large-cap common socks som følge af en krafig signing i analle af noerede selskaber på NYSE. Derfor omales indekse i dag som S&P 500. Selskaber som indgår i indekse er alle noere på NYSE eller NASDAQ og er bland de absolu sørse noerede selskaber mål på markedsværdi. Selskaberne i indekse dækker e bred udsni af indusrier. S&P 500 indeholder således både væksakier og value-akier. 4.. S&P-indekse Figur 4. nedenfor viser e S&P-indeks som særlig i eferkrigsiden har være ganske volail. Omkring årusindeskife forekom priserne usædvanlig høje for så pludselig, a vende ilbage il idligere iders niveauer. Fundamenale forklaringer lød på eknologisk baserede fremskrif, økonomiske reformer, akkumulering af svær værdiansæelig kapial osv. Figur 4.: S&P-indekse og des udbeale dividender over perioden (reale priser i 007-dollars). P=D-raioen bringer os de samme budskab. Der synes a være fundamenale uligevæge i S&P-indekse omkring år 000. Dee gør sig i mindre udsrækning gældende hvis konklusionen drages på baggrund af P=E-raioen hvilke fremgår af gur 4..

59 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 5 Figur 4.: S&P-indekses P=D- og P=E-raioer over perioden (reale priser i 007-dollars). 4. Ex pos raionelle priser De undersøges nu hvorledes, de idligere behandlede ilsandspriser foreager en ex pos raionel værdiansæelse af S&P-indekse. Disse ilsandspriser beregnes ved forskellige speci kaioner af den repræsenaive agens nyefunkion. Speci k beregnes førs en ex pos raionel pris under anagelse af, a den repræsenaive agen er risikoneural. Her anvendes derfor en konsan diskoneringsrene. Eferfølgende undersøges beydningen af en idsaddiiv CRRA-nyefunkion. Herefer berages o ilfælde hvor habi formaion hos den repræsenaive agen påvirker ilsandspriserne og derfor den ex pos raionelle pris. (:) gengive nedenfor repræsenerer den på idspunk raionel forvenede værdi af de fremidige dividender, P s = er som i (3:6) de nere som P = E " T X = TX s=+ s=+ s D s + T P T s T E D s + E P T : # s = e (s ) u0 (c s ) u 0 (c ) : som nu- Rober J. Shiller de nerer en såkald perfec foresigh price (den ex pos raionelle pris), P idsværdien af de fakisk udbeale dividender, dvs. I (:) er D s lagge en enkel periode i forhold il de oprindelige udryk fra (:). De skyldes en anagelse om, a priser, forbrugerprisindeks, rener og forbrugsal alle observeres i saren af perioden. Dividender udbeales derimod i løbe af perioden og diskoneres derfor fra periodens sluning. Dividenden for periode T, D T er således indehold i P T.

60 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 5 P = TX s=+ s D s + T P T (4.) hvor T = 007 eferfølgende. De fundamenale elemen er her give ved de af S&P-indekse udbeale dividender. P repræsenerer hvad prisen på idspunk ville have være, såfrem markede havde perfek forudseenhed omkring de fremidige dividender. En proces for ilsandsprisde aoren = ( ) ; = f0; ; ; :::; T g kan mere konkre udrykkes ved speci cering af en nyefunkion for den repræsenaive agen. Tidsserien for P kan herefer sammenlignes med de fakiske priser, P il en ex pos ideni kaion af uligevæge i prisdannelsen. De undersreges igen, a uligevæge ex pos ikke nødvendigvis er irraionel ex ane. 3 Ej heller beyder en raionel værdifassæelse, a P = P. P 6= P har dog den implikaion, a realiserede dividender afveg fra forvenningen. Cenral er de dog, a forvenningsfejlen er unbiased, dvs. P = E [P ] = E " T X s=+ s D s + T P T Problemaikken omhandlende excess volailiy kan le illusreres. Frarækkes udrykke for P fra (4:) opnås # (4.) P = P + = P + TX s=+ TX s=+ s s T D s E D s + PT T w s + PT E T P T E T P T = P + hvor w s = (( s = ) D s E [( s = ) D s ]) : Såfrem P afspejler den opimale forvenning af P, vil have alle de raionelle forvenningsegenskaber. De følger direke heraf, a 4 V ar [P ] V ar [P ] (4.3) da Cov (P ; ) = 0 under raionelle forvenninger (orogonaliesbeingelsen). En problemaik opsår omkring fassæelsen af PT (den ex pos raionelle pris i dag) som per de niion er uobserverbar. PT realiseres gradvis med udbealingen af fremidige udbyer efer idspunk T. P T vil være af sigende vigighed eferhånden som! T, ide en relaiv sørre andel af P vil beså af PT og i mindre grad realiserede værdier af D s. De er valg her, a berage P T som perfek afspejlende værdien af de fremidige dividender, dvs. 5 P T = P T = X s=t + s T D s : 3 Virkeligheden er en realisering af en ilsand over e given udfaldsrum og kan derfor være mere eller mindre i overenssemmelse med forvenningen. 4 En afvisning af variansuligheden i (4:3) kan dog ikke forolkes som e udryk for ilsedeværelsen af en raionel boble. 5 P T = PT er også fremgangsmåden anvend i Grossman & Shiller[98] og Shiller[989]. Alernaiv kunne P T beregnes som e gennemsni af en række realiserede værdier af P T.

61 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler Risikoneuralie Anages førs en konsan diskoneringsrene uden relaion il ilsandspriserne i øvrig opnås følgende udryk for P P = TX s=+ s D s + T P T hvor = = + R g. R g er e geomerisk gennemsnilig afkas for den samlede periode. Figur 4.3 viser idsserierne for P og P hvor sidsnævne beregnes på grundlag af en konsan diskoneringsrene. Figur 4.3: S&P-indekse, P og den ex pos raionelle pris, P for perioden (reale priser i 007-dollars). P er beregne på grundlag af en konsan diskoneringsfakor, = = + R g hvor R g = 0:064. På idspunk T = 007 er anagelsen, a P 007 = P007. Tidsserien for P fremsår mindre volail end den ilsvarende idsserie for P. Dee er excess volailiy problemaikken. P og P er begge langsigede moving average processer med væge give ved. Sørre variaion i P kræver, a chok il fakiske dividender er ilsrækkelig persisene. Værdiansæelsen af S&Pindekse synes i visse perioder ex pos overvurdere relaiv il de senere udbeale dividender. Ligeledes forekommer indekse il ider fundamenal undervurdere. Figuren giver e ngerpeg om perioder med sørre fundamenale uligevæge i prisdannelsen. 4.. Tidsaddiiv CRRA-nye Den konsane diskoneringsfakor machede ikke videre god de sørre hisoriske udsving i S&P-indekse. En idsvarierende diskoneringsfakor inroduceres nu ved ilsandspriserne. 6 I e komple marked er en unik proces for ilsandsprisde aoren besem gennem den repræsenaive agens opimale forbrugs- og poreføljevalg. Vi har derfor, a 6 Med en idsvarierende diskoneringsfunkion er P en ikke-lineær funkion af de fremidige dividender. De er dermed alid mulig, a nde en idsvarierende diskoneringsfunkion som resulerer i overenssemmelse mellem P og P. Diskoneringsfunkionen er derfor i sig selv uineressan. De ineressane er a undersøge, i hvilken udsrækning en eoreisk fundere diskonering semmer overens med empirien.

62 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 54 P = TX s=+ e (s ) u0 (c s ) u 0 (c ) D s + e (T ) u0 (c T ) u 0 (c ) P T (4.4) hvor processen for per capia forbrug, c = (c ) besemmer = ( ) ved udrykke (3:6). En konkre speci kaion af = ( ) kræver eksplicie anagelser om u () og kombinere med en idsserie for per capia forbrug. Den idsmæssige variaion i diskoneringsfunkionen opsår således gennem variaion i den repræsenaive agens marginale subsiuionsrae, s =. Den repræsenaive agen anages a have en nyefunkion af CRRA-ypen u (c ) = c ; hvor > 0 og 6= (4.5) med egenskaber for den relaive risikoaversion og "prudence" give som (c ) = c u cc (c ) u c (c ) (c ) = c u ccc (c ) u c (c ) = c c (+) c = c ( + ) c (+) c = = ( + ) : (c ) og (c ) er i ilfælde med CRRA-nye begge konsaner. (3:6) kan nu skrives mere konkre som s = e (s ) cs c Figur 4.4 viser S&P-indekse og den ex pos raionelle pris hvor sidsnævne er beregne gennem anvendelse af (4:5) i (4:4). De anages yderligere, a = og = 0:0. :

63 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 55 Figur 4.4 : S&P-indekse, P og den ex pos raionelle pris, P for perioden (reale priser i 007-dollars). I beregningen af P er der anvend en CRRA-nyefunkion ( = og = 0:0). På idspunk T = 007 er anagelsen, a P 007 = P007. P beregne ved en konsan diskoneringsfakor er il sammenligning vis igen. De mindre bevægelser i S&P-indekse lader sig kun periodevis forklare ved en CRRA-nyefunkion. De sørre bevægelser derimod fanges sle ikke. Dee skyldes delvis anagelsen om konsan relaiv risikoaversion. CRRA-nye og lognormalfordel forbrug har nogle ganske urealisiske implikaioner for cenrale variable som den risikofrie rene og maksimale Sharpe-raio. De kan vises, a disse sørrelser er konsane under sådanne anagelser Habi formaion Med habi formaion afhænger den repræsenaive agens nyefunkion udover c af e benchmark i forbruge, X. Inernal habi formaion besemmer X som e væge gennemsni af idligere realiserede forbrugsniveauer. X er i dee ilfælde en endogen variabel. Ved sae-dependen/exernal habi formaion er X en eksogen variabel. En vigig anagelse er, a såfrem X er relaiv sor, da vil en agen ønske a øge si forbrug. Marginalnyen af forbrug for e give c er derfor voksende med X ; dvs. u cx (c ; X ) > 0. En enkel agens marginalnye af forbrug er ilagende med de øvrige ageners forbrug (benchmarke). Med habi formaion vil en agen opnå højere nye for e given forbrug deso lavere benchmarke er. Habi formaion illader variaion i den risikofrie rene, relaive risikoaversion og risikopræmien. (4:6) og (4:8) nedenfor viser o måder hvorpå habi formaion kan indgå i en nyefunkion og gennem ilsandspriserne in uere værdiansæelsen. Ved den førse speci kaion er u () give som () u (c ; X ) = (c X ) ; > 0 og c > X : (4.6) (c ; X ) og (c ; X ) er nu ikke længere konsane, ide 7 Dee er vis i appendiks 0...

64 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 56 (c ; X ) = c u cc (c ; X ) u c (c ; X ) (c ; X ) = c u ccc (c ; X ) u c (c ; X ) c (c X ) (+) c = (c X ) = = (4.7) c X S = c ( + ) (c X ) (+) c ( + ) (c X ) = ( + ) = c X S : S = (c X ) =c er den såkalde surplus-consumpion raio jf. Campbell & Cochrane[999]. (c ; X ) og (c ; X ) ses a være afagende i S og dermed modsaree konjunkurcyklen. Campbell & Cochrane[999] anager, a c + =c og S + =S er beinge lognormalfordele variable. Med disse anagelser følger de, a den risikofrie rene og maksimale Sharpe-raio poeniel er idsvarierende. 8 En anden nyefunkion speci cere med habi formaion er hvor () u (c ; X ) = c ; > 0 (4.8) X (c ; X ) = c u cc (c ; X ) u c (c ; X ) (c ; X ) = c u ccc (c ; X ) u c (c ; X ) = c c (+) X c X = = c ( + ) c (+) X c X = ( + ) : (c ; X ) og (c ; X ) er her ækvivalen med CRRA-ilfælde uden habi formaion. Nyefunkionen i (4:8) kan alså ikke generere en modcyklisk variaion i den risikofrie rene, relaive risikoaversion og maksimale Sharpe-raio. I Figur 4.5 er sammen med S&P-indekse afbilde den ex pos raionelle pris udled på baggrund af nyefunkionerne fra (4:6) og (4:8) inkorporerende habi formaion i forbruge. Habi benchmarke på idspunk anages i guren, a være e væge gennemsni af idligere realiserede forbrugsniveauer hvor X 0, og er ikke-negaive konsaner. X X = X 0 e + e ( s) c s : s=0 8 Dee er vis i appendiks 0...

65 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 57 Figur 4.5: S&P-indekse, P og den ex pos raionelle pris, P for perioden (reale priser i 007-dollars). Beregningen af P anvender nyefunkionerne fra (4 :6 ) og (4 :8 ) ( = ; = 0:0; X 0 = 000 og = = 0:5). På idspunk T = 007 er anagelsen, a P 007 = P007. P beregne på grundlag af en konsan diskoneringsfakor er igen medage. I grænsen hvor! 0 og! er nyefunkionen fra (4:6) ækvivalen med CRRA-nyefunkionen uden habi formaion. Figuren illusrerer på a simpel og uformel plan, a hvad der forekommer som fundamenale uligevæge give en konsan diskoneringsrene, delvis kan refærdiggøres med idsmæssig variaion i den repræsenaive agens marginale subsiuionsrae. I koninuer id vil habi formaion ligeledes in uere variable med beydning for prisfassæelsen såsom markedsrisikopræmien og den risikofrie rene. Relaionerne som påvirkes er her i + i r f = i og d = [m d + dz ] (4.9) hvor i er kapialgevinsen, i er dividendebealingen (begge mål i relaive sørrelser) og m = r f er den risikofrie rene. i er akiv i s samlede afkaskompensaion give des sensiivie overfor økonomiens eksogene chok-processer. 9 En udlægning af de gra ske illusraioner præsenere ovenfor er, a en sørre forsåelse for prisdannelsen og bobler mere generel kræver, a diskoneringsfunkionen speci ceres ganske dealjere. Tilsandspriserne berage her er e bud på en sådan speci kaion hvorved opimale forbrugsbesluninger kommer il udryk i prisdannelsen. 9 For yderligere illusraion af e ekerne som følge af habi formaion i koninuer id, henvises der il appendiks Her er de samidig vis, a m = r f og i + i r f = i nødvendigvis må holde i e arbiragefri marked.

66 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler Eksplosive raionelle bobler Den eferfølgende analyse følger proceduren beskreve i Diba & Grossman[988a]. Her implemeneres saionariesbaserede økonomeriske ess for eksplosive raionelle bobler anvendende en nuidsværdimodel basere på en konsan diskoneringsrene. Den beragede model illader en (for økonomerikeren) uobserverbar variabel a in uere den fundamenale løsning. Endvidere åbnes der op for poeniel forskellige værdiansæelser af kapialforjenese og dividender. Den uobserverbare variabel må nødvendigvis pålægges en saionariesbeingelse i førsedi erensen eller niveau afhængig af hvilke es vi berager, hvis eksplosive raionelle bobler skal kunne udelukkes Teori Saionarie E uni roo-es kan afgøre hvorvid en idsserie indeholder en deerminisisk eller sokasisk rend. I nærværende sammenhæng anvendes Augmened Dickey-Fuller (ADF) og Phillips-Perron (PP) esregressionerne X = c + + X + kx i X i + " (4.0) hvor X = P, D. De gælder for PP-ese, korrigerende seriekorrelaion i residualerne, a i = 0 for alle i = ; :::; k: Med henblik på opnåelse af maksimal essyrke er de ønskelig, a vælge k fra (4:0) så lille som mulig. H 0 er random walk alernaive mens H repræsenerer de saionære alernaiv i= H 0 : = 0 serien har en enhedsrod H : < 0 serien er saionær Tesproceduren for højere ordens inegraion af P og D er førs a evaluere I() mod I(). Forkases H 0 og acceperes de saionære alernaiv evalueres dernæs I() mod I(0). Koinegraion Der eses for e koinegraionsforhold imellem P og D ved følgende regression P = a + bd + e : (4.) Derefer gennemføres e ADF-es på residualerne ^e = ^e + hvor de opsillede hypoeser er give som kx i^e i= i + " H 0 : = 0 ingen koinegraion H : < 0 koinegraion

67 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 59 I Bohl[003] er udgangspunke ligeledes e es for koinegraion imellem P og D ved (4:). Herefer anvendes en såkald Momenum Threshold Auoregressive-eknik (MTAR) som undersøger en poeniel asymmerisk ilpasning i e fra (4:) imod en ligevæg. Dee gøres ved følgende ADF-inspirerede esregression Indikaorvariablen I er de nere som ^e = I ^e + ( I ) ^e + I = er en ærskel besemmende fordelingen af I : H 0 og H er her kx i^e i + " : i= hvis ^e 0 hvis ^e < H 0 : = 0, = 0 ingen koinegraion H : < 0, < 0 koinegraion med MTAR ilpasning Afvises H 0 kan hypoesen om symmerisk ilpasning = undersøges ved e F-es. Såfrem er signi kan negaiv og sørre i absolu værdi end, da forkases H 0 : =. Denne afvisning af H 0 er konsisen med relevansen af de periodisk kollapsende bobler. Inuiiv, ilpasningen mod e ligevægsforhold imellem P og D er særkere når ^e sammenligne med ilfælde hvor ^e < Diba & Grossman[988a] Modellen I Diba & Grossman[988a] er Euler-ligningen give som P = ( + r) E [P + + D + + u + ] : (4.) P er den reale pris på idspunk, r er e af invesorerne konsan forvene afkas, D + er den reale udbeale dividende fra idspunk il +, er en posiiv konsan vægende de relaive dividendebealinger imod de forvenede kapialgevinser og u + er en fundamenal komponen som markedsdelagerne observerer eller konsruerer på idspunk + ; men som økonomerikeren derimod ikke observerer. Prisen kan i lighed med idligere skrives som P = P f + B hvor P f er give som P f = X ( + r) j E [D +j + u +j ] : (4.3) j= B er en raionel boble muligvis indehold i P med en proces opfyldende beingelserne Resulaer E [B + ] ( + r) B = 0, B + ( + r) B = z +, E j [z + ] = 0 8j 0: Analysen ager udgangspunk i re forskellige perioder, alle sarende i 87 og sluende i henholdsvis 995, 000, 008 og 009. Disse perioder er udvalg speci k med henblik på, a undersøge uligevæge i S&Pindekses prisdannelse af nyere dao. 0 Eferfølgende indikerer (c) og (c), a de beragede es indeholder 0 Da dividender beales i løbe af åre er en observaion for dividenden ikke il rådighed for 009.

68 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 60 respekiv en konsan og en konsan sam en rend. Er ine angive, indeholder ese ingen deerminisiske elemener. Saionarie En implikaion af (4:3) er, a såfrem D +j og u +j er ikke-saionære i niveau men saionære i deres førsedi erens og bobler ikke eksiserer, da vil P have samme saionære egenskaber som D +j og u +j, dvs. P er ikke-saionær i niveau men saionær i førsedi erensen. Indeholder prisen derimod en eksplosiv boble, da vil ine endelig anal di erenser kunne gøre P saionær. Eksplosive bobler i deres renese form har den implikaion, a P og alle højere ordens di erencer, i P ; i følger eksplosive processer. Dee er en sreng eoreisk forolkning som reel ingen relevans har i en empirisk sammenhæng. Derfor reduceres ambiionsniveaue lid og de konsaeres, a en indikaion på en boble gives, såfrem P i højere grad fremsår ikke-saionær sammenligne med D. I abel 4. eses der for saionarie af P, D, P og D anvendende e ADF- og PP-es. For P og D afvises H 0 i alle perioder klar il fordel for de saionære alernaiv. For såvel P som D forkases I ()-alernaive dermed il fordel for I (). I relaion il P er dee eoreisk se inkonsisen med ilsedeværelsen af eksplosive raionelle bobler. Tabel 4.: Tes for saionarie Variabel Periode ADF P P c p c -værdi l c p c -værdi P : :798 0:000 :0465 0: :655 0: :655 0: :694 0: :694 0: :85 0:000 0:676 0:000 D : :045 0:000 0:830 0: :06 0:000 0:876 0: :948 0:000 0:76 0:000 P : :0873 0: :0873 0: :435 : :435 : :048 0:685 0:007 0: :906 0: :0708 0:380 D : :687 0:03 0:330 0: :67 0:08 0:69 0: :093 0:57 0:0578 0:654 Tes for saionarie af P, D, P og D anvendende e ADF- og PP-es. (c) indikerer, a esregressionen inkluderer en konsan og en rend. Den opimale lagsrukur l følger SIC (Schwarz Informaion Crierion). Berag nu serierne i niveau. For såvel ADF- som PP-ese fremsår P gennemgående ikke-saionær. Undagelsen heril er perioden hvor H 0 under ADF-ese afvises klar. Resulaerne for D er i nogen udsrækning konsisen med de saionære alernaiv. ADF-ese indikerer, borse fra perioden Denne konklusion afhænger dog i høj grad af den valge lagsrukur. Pålægges en mere resringere lagsrukur er de ikke længere mulig på e rimelig signi kansniveau a forkase H 0.

69 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler e saionær D på e 5% s signi kansniveau. PP-ese derimod kan ikke afvise H 0 på noge relevan signi kansniveau omend D fremsår borderline saionær i de førse o beragede perioder. PP-ese synes a indikere samme inegraionsorden af P og D hvilke i princippe er en forudsæning for den valide gennemførelse af e koinegraionses. Samme inegraionsorden er ikke i samme udsrækning ilfælde når ADF-ese anvendes. Kun i perioden fremsår P og D under ADF-ese begge a være I (). De gennemgående indryk er, a prisen i højere grad fremsår ikke-saionær (P I ()) sammenligne med dividenden (D I (0)). Mulige forklaringer er raionelle bobler eller srukurelle brud i prisdannelsen. Vi berager nu de o muliple P =D og P =E. Inuiiv bør der være e vis elemen af saionarie indehold i disse raioer. Den logransformerede P =D -raio med e idsvarierende forvene afkas kan skrives som p 3 X d = cons: + E 4 j (d +j r +j ) 5 (4.4) j= hvor p = ln P ; d = ln D, d +j = ln (D +j =D ) og r +j = ln R +j. kan berages som udrykkende graden af persisens i d +j og r +j : En lineær funkion af saionære variable er selv saionær. Saionarie af p d er således beinge på egenskaberne af forvenningen il d +j og r +j : Afvises saionarie af p d er forklaringen ikke-saionære forvenninger il d +j eller r +j. Dee forekommer i srid med raionaliesbegrebe. Saionarie af P =D og P =E udelukker eksisensen af raionelle boble. Saionarie af P =D og P =E er undersøg ved e ADF-es. Resulae fremgår af abel 4.. ADFregressionen er speci cere med såvel en konsan (c), en konsan og en rend (c) og ingen deerminisisk komponen. De ses, a H 0 om en enhedsrod i P =D med en enkel undagelse (ADF-ese med en konsan og en rend for perioden ) ikke lader sig afvise på noge relevan signi kansniveau. P =D fremsår dermed som værende I () : For P =E -raioen forerækkes H 0 klar i ilfælde hvor regressionen inkluderer e deerminisisk elemen. Dog forekommer de eoreisk se inkonsisen med en rend i P =D - og P =E - raioerne. Konklusionen der drages på baggrund af abel 4. beinger sig derfor delvis på sammensæningen af esregressionens deerminisiske komponen. Tabel 4.: Tes for saionarie Variabel Periode ADF c p c -værdi c p c -værdi p-værdi l c ; c ; P =D : :506 0:74 0:88 0:003 0:000 0:7 ; 0; :0465 0:997 0:0048 0:997 0:050 0:97 0; 0; :0504 0:45 0:0963 0:305 0:0030 0:607 0; 0; :07 0:86 0:7 0:99 0:07 0:345 0; 0; 0 P =E : :408 0:000 0:4083 0:000 0:0 0:37 0; 0; :340 0:000 0:353 0:00 0:0073 0:568 0; 0; :9 0:000 0:36 0:000 0:054 0:44 0; 0; :704 0:00 0:30 0:00 0:008 0:557 0; 0; Tes for saionarie af P =D og P =E anvendende e ADF-es. (c) og () indikerer, a esregressionen inkluderer henholdsvis en konsan og en rend eller dem begge. Sammensæningen af den opimale lagsrukur l følger SIC.

70 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 6 Srukurelle brud er som nævn en mulig forklaring på ikke-saionære P =D - og P =E -raioer. Uanse hvilken forklaring der hældes il kan de dog konsaeres, a S&P-indekses P =D -raio omkring år 000 forekom ude af ri med sine idligere hisoriske niveauer. Ved anvendelse af (4:3) og P = P f + B kan følgende udryk udledes P X r D = B + r 4 ( + r) 3 X j E [D +j ] 5 + ( + r) j E [u +j ] : (4.5) j= Hvis D +j og u +j er saionære i niveau og raionelle bobler ikke eksiserer, da er højresiden af (4:5) ligeledes saionær. P og D er da koinegrerede af orden (; ) med koinegraionsvekor ; r. Gennem speci kaion af r og kan der gennemføres e saionarieses for vensresiden af (4:5) ved en regression på formen P r D = c + P r D kx + i P r D + " (4.6) Dee svarer reel il es af e koinegraionsforhold imellem P og r D : De relevane hypoeser er her give som i= H 0 : = 0 serien har en enhedsrod H : < 0 serien er saionær De anages eferfølgende a = dvs. kapialgevinser og dividendebealinger påskønnes ligelig. De konsan forvenede afkas r anager respekiv værdierne 0:03, 0:06, 0:09 og 0:: I abel 4.3 er vis resulaerne når random walk alernaive i forlængelse af (4:6) eses imod de saionære alernaiv. j= Dee er vis i appendiks 0..4.

71 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 63 Tabel 4.3: Tes for saionarie Variabel Periode ADF PP p c -værdi l p c -værdi P D =0:03 : :399 0: :399 0: :66 : :66 : :0533 0:376 0:033 0: :05 0:09 0:0808 0:094 P D =0:06 : :090 0:856 0:0848 0: :599 : :599 : :0 0:776 0:007 0: :53 0:00 8 0:047 0:335 P D =0:09 : :0 0:96 0:0495 0: :477 : :477 : :050 0:839 0:0045 0: :338 0:00 8 0:0390 0:44 P D =0: : :038 0: :038 0: :43 : :43 : :06 0:86 0:007 0: :49 0:00 8 0:0354 0:494 Tes for saionarie af P r D anvendende e ADF- og PP-es hvor = og r = 0:03; 0:06; 0:09; 0:: (c) indikerer, a esregressionen inkluderer en konsan som des deerminisiske elemen. Sammensæningen af den opimale lagsrukur l følger SIC. Over alle værdier af r, kan ADF- og PP-ese ikke afvise H 0 for perioderne og I modsæning heril fremsår P D =r under ADF-ese gennemgående robus saionær i perioden Kun for r = 0:03 når PP-ese på e relevan signi kansniveau den samme konklusion. For perioden fremsår P D =r for såvel ADF- som PP-ese kun saionær når r = 0:03. Hvis de eksplosive alernaiv berages er H i sede give som H : 6= 0 serien er enen saionær eller eksplosiv. De viser sig, a ADF-ese forkaser H 0 il fordel for de eksplosive alernaiv for alle værdier af r når vi berager perioden (ikke vis). Anvendende = og r = 0:03, 0:06, 0:09 og 0: ved es for saionarie af P r D er resulae umiddelbar konsisen med fundamenale uligevæge sids i 990 erne.

72 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 64 Koinegraion Undersøgelsen af e koinegraionsforhold imellem P og D er en anden ilgang il eksisensen af bobler. Koinegraion imellem P og D er jf. Diba & Grossman[988a] inkonsisen med eksisensen af raionelle bobler. Fravær af koinegraion er dog ikke nødvendigvis e udryk for ilsedeværelsen af en boble. Dee følger af den uobserverbare fundamenale variabel u +. Tabel 4.4 viser resulae af de udføre koinegraionsess Tabel 4.4: Tes for koinegraion Periode Koe ciener ADF a b l :84 34:77 0:3458 4: :4 47:63 0:0653 : : 59:8 0:36 3: :84 57:5 0:585 3:48 Tes for koinegraion mellem P og D. Kriiske værdier er beregne ved abellen i MacKinnon[99] og er omren 3:98, 3:38 og 3:08 på henholdsvis e, 5 og 0% s signi kansniveau. Der synes grundlæggende a eksisere e koinegraionsforhold imellem P og D : Perioden er i den henseende speciel hvilke er i overenssemmelse med idligere resulaer. Fravær af koinegraion imellem P og D kan dog poeniel ilskrives den uobserverbare variabel hvorfor vi ikke kan konkludere noge på den baggrund. Da r = =b, fremsår de esimerede konsane afkas lav sammenligne med hisoriske niveauer. Raionelle bobler eller ej, fundamenale uligevæge synes a have eksisere i S&P-indekse omkring år 000. Dee er den primære implikaion af resulaerne præsenere ovenfor.

73 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler Periodiske kollapsende bobler Bohl[003] anvender den såkalde MTAR-eknik foreslåe i Enders & Siklos[00]. Hensigen er empirisk a fange specielle karakerisika ved de periodisk kollapsende bobler. Hvis periodisk kollapsende bobler er empirisk forekommende ville vi forvene, a se en asymmerisk ilpasning imellem P og D : Tilpasningen afhænger af sørrelsen på afvigelsen imellem P og D fra en ligevægsværdi. Resulaerne ved anvendelse af denne fremgangsmåde hvor = 0; 0; 0 er Tabel 4.5: Tes for asymmerisk ilpasning Periode ADF = 0 : p-værdi p-værdi F C F S l :067 0:39 0:784 0:009 3:88 : :0963 0:46 0:3 0:000 9:85 8: :0363 0:48 0:538 0:000 :65 5: :097 0:634 0:386 0:000 4:69 : = 0 : :09 0:3 0:506 0:07 3:40 0: :86 0:073 0:749 0:000 9:5 7: :0800 0:5 0:69 0:000 4:56 0: :06 0:80 0:3039 0:000 3:98 0:84 = 0 : :0886 0:386 0:456 0:05 3:36 0: :556 0:040 0:58 0:000 9:68 7: :068 0:5 0:358 0:000 :38 6: :007 0:97 0:988 0:000 4:06 0:98 Kriiske værdier for F -es: 8.85 (%), 6.5 (5%), 5.47 (0%). Tes for asymmerisk ilpasning. F C er værdien af e F-es for = = 0 (ingen koinegraion). F S er e F-es for = (symmerisk ilpasning). Kriiske værdier er fra Enders & Siklos[00]. > 0 er som udgangspunk ikke en valid ilpasningsparameer. er signi kan negaiv og sørre end for alle perioder og beragede værdier af. Koinegraion og symmerisk ilpasning afvises i alle af de re sidse perioder uanse værdien af. I perioden forekommer eksisensen af e koinegraionsforhold imellem P og D med symmerisk ilpasning overvejende sandsynlig. På e overordne plan forekommer disse resulaer inkonsisene med relevansen af periodisk kollapsende bobler i S&P-indekse for perioden give de absolue relaive sørrelser af og. De er mulig, a anvendelsen af daa på månedsbasis ville ændre denne konklusion.

74 Kapiel 4. Perfek forudseenhed og raionelle bobler 66

75 Kapiel 5 Raionelle bobler og sae-space modeller Bobler er i sagens naur uobserverbare variable. En økonomerisk eknik anvendelig i esimeringen af hel eller delvis uobserverbare variable er de såkalde sae-space modeller i kombinaion med e Kalman ler. Teknikken inroducerer idsmæssig variaion i uobserverbare variable hvis proces anages a være kend. Disse uobserverbare variable omales under e sae variable. Sae-space eknikken er her anvend i modelleringen af en idsvarierende boble i S&P-indekse. En generel nuidsværdimodel udledes nu med baggrund i anagede processer for dividenden og renen. Eferfølgende kan sae-space modellen og den uobserverbare sae variabel esimeres gennem e Kalman ler. Førs er dog give en kor indledende eoreisk beskrivelse af e sae-space sysem. 5. Teori 5.. Repræsenaion på sae-space form Lad (n ) være en vekor af uobserverbare variable kalde sae variable. g (m ) og z (l ) er vekorer af observerbare variable benævn henholdsvis inpu og oupu variable. Sae-space modellen kan så udrykkes som = F + ; (5.) z = H + Dg + ; (5.) hvor (n ) og (l ) er vekorer af ukorrelerede forvenningsfejl med egenskaber E ( ) = 0, E ( ) = 0, E ( ) =, E ( ) = R: F, H og D er konsane realmaricer af anvendelige dimensioner. (5:) og (5:) kaldes underiden også for henholdsvis en ransiions og measuremen ligning. Hamilon[994] og Harvey[989]. Den eoreiske beskrivelse af e sae-space sysem følger Wu[995] og Anaswah & Wil ing[009]. 67

76 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller Kalman lere Esimaion af sokasiske bobler er forbunde med sor usikkerhed. Den grundlæggende problemsilling besår her i, a esimere den uobserverbare sae vekor. E Kalman ler er her anvendelig. Lad j være de opimale lineære mean-squared esima på give e informaionssæ besående af modellen og alle observaioner af daa frem il idspunk : j og kovariansmaricen kan så esimeres ved følgende ligninger j = F j ; P j = F P j F + ;! j = z H j Dg ; K = P j H HP j H + R ; j = j + K! j ; P j = [I K H] P j : i i P j = E h j j og P j = E h j j er fejlleds kovariansmaricerne for T: Disse ligninger udgør Kalman lere og beregnes rekursiv fremad. E bedre esima på kan opnås ved anvendelse af den samlede informaion frem il idspunk T jt = j + J jt F j ; P jt = P j + J P jt P j J ; J = P j F P j ; = T ; T ; :::; : Dee kaldes en full sample smooher og beregnes rekursiv bagud. Denne meode vil blive anvend eferfølgende. Kalman lere opfaer paramerene indehold i maricerne F, H, D, og R som kende. Reel skal disse paramere dog førs esimeres. Samles alle ukende paramere i vekoren kan der gennem maksimering af loglikelihood-funkionen L ( j z; g) = cons: TX = ln de HP j H + R +! j HP j H + R!j ; opnås e esima på.! j og P j er implicie funkioner af. Maximum Likelihood esimae på kan så eferfølgende gennem Kalman lere anvendes i esimeringen af sae vekoren og des kovariansmarice. 5. En prisfassæelsesmodel med variaion i renen Som beskreve er sae-space modeller anvendelige i modelleringen af uobserverbare variable. Ideen er grundlæggende den, a der anages en speci k fundamenal prisfassæelsesmodel hvis paramere esimeres simulan med de uobserverbare sae variable. Vi så idligere, a den sokasiske raionelle boble var den deerminisiske boble eoreisk overlegen. Dee føres nu videre i en empirisk sammenhæng. Der inroduceres idsmæssig variaion i diskoneringsfunkionen gennem variaion i den risikofrie rene. I e sådan ilfælde er kilden il variaion observerbar og derfor

77 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 69 behjælpelig i esimaion af boblen. I nærværende sammenhæng er boblen sokasisk raionel med dynamik opfyldende AR()-resrikionen idligere diskuere. De sokasiske elemen besår i, a AR()-koe cienen i processen for boblen er idsvarierende ligesom de var ilfælde med den forbrugsbaserede prisfassæelsesmodel diskuere i kapiel 3. Alessandri[006] og Chen e al.[00] danner udgangspunk for den videre præsenaion. Begge sudier viser, a fundamenale værdier og bobler poeniel kan koeksisere i e scenarie med idsmæssig variaion i diskoneringsfunkionen og dermed den raionelle sokasiske boble. Alessandri[006] gør anvendelse af renen som de varierende elemen mens Chen e al.[00] inroducerer variaion i risikopræmien Alessandri[006] Alessandri[006] inroducerer sochasic discoun facors eller ilsandspriser i relaion il raionelle bobler. I e komple arbiragefri og frikionsløs marked udgør de den generelle prisfassæelsesregel. Tilsandspriserne har dog her ikke direke baggrund i e opimeringsproblem for den repræsenaive agen. I Alessandri[006] er den risikofrie reale rene enese årsag il variaion i diskoneringsfunkionen. Dividenden og den risikofrie rene anages begge a følge en AR()-proces. Eferfølgende beskrives modellen i Alessandri[006] og der redegøres for de krydsresrikioner modellens ligninger pålægger hinanden. Derefer generaliseres modellen il siuaionen hvor dividenden følger en AR(p)-proces. Såvel den oprindelige som relevane udgaver af den generaliserede model arbejdes der så med eferfølgende i en empirisk sammenhæng. Speci k anages dividenden i de udvidede versioner af modellen a følge auoregressive processer af orden og 3. Modellen Der berages en akie hvis pris P og dividende D opfylder arbiragebeingelsen (E [P + ] P + D ) =P r + hvor r er den reale risikofrie neorene mellem idspunk og +. er en real konsan risikopræmie. 4 Den fundamenale løsning il denne førseordens di erensligning er give ved udrykke " # 0 3 X X iy P f = E +i D +i = E A D +i 5 (5.3) + r +j + hvor 5 i=0 3 Resulaerne som præseneres eferfølgende inroducerer kun en sae variabel (boblen) som skal esimeres. Alernaiv er der forsøg med esimaion af nogle modeller hvori en uobserverbar risikopræmie ligeledes er idsvarierende. Således er der i disse modeller o sae variable. Resulaerne heraf er dog mindre klare og derfor udelad. De forevises dog på anmodning. 4 I sammenligning med den idligere omale af ilsandspriser har vi, a + + r + udgør den relevane diskoneringsfakor for dividenden i periode. Konsisens mellem + = og = ( + r + ) hviler dog på en anagelse om, a r er negaiv korrelere med u 0 (c + ) =u 0 (c + ) eller ækvivalen posiiv korrelere med c + =c. Dee er fakisk ikke en hel igennem urimelig anagelse, ide høj c + =c og derfor lavere marginalnyer må følges af højere r for a ilskynde opsparing. Se ev. Munk[009] kapiel 0 for mere om sammenhængen mellem renedannelsen og forbrug i ligevæg. 5 Bemærk, a +i er en konveks afagende funkion af r +j : De følger derfor af Jensens ulighed, a E + r +j + > i=0 j=0 + E [r +j ] + : Den ved modellen esimerede konsane diskoneringsfakor er derfor nødvendigvis mindre end dens sande forvenede værdi. Dee kan synes af mindre beydning. Men som Pasor & Veronesi[006] viser i relaion il usikkerhed omkring gennemsnilig pro abilie, er problemsillingen særlig vigig når +i er mege konveks i r +j indikerende sor usikkerhed omkring r +j. Usikkerhedsmomenes beydning for værdiansæelsen vil jeg mere indgående behandle senere i den empiriske del.

78 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 70 +i = iy j=0 + r +j + : r anages a have en endelig ubeinge middelværdi, E [r ] = r hvilke de nerer den gennemsnilige sokasiske diskoneringsfakor = + r + : (5:3) er e ikke-lineær udryk som umiddelbar er vanskelig a håndere. Hvis bevægelserne i r ikke er for sore kan en linearisering af P f anvendes i sede. Der foreages derfor en førseordens Taylor-approksimaion af P f omkring E [r ] = r. Dee resulerer i en fundamenal løsning på formen P f P L + R med P L R X i+ E [D +i ] ; (5.4) i=0 (" X i+ X i=0 k=0 k+ E [D +i+k ] # ) (E [r +i ] r) : (5.5) P L er værdien af dividendesrømmen på grundlag af den konsane diskoneringsfakor : R er e udryk for hvorledes observerede og forvenede afvigelser mellem E [r +i ] og des ligevægsværdi E [r ] = r påvirker værdien af den fremidige dividendesrøm P f : 6 Udrykke " # i+ X k=0 k+ E [D +i+k ] (E [r +i ] r) angiver således den samlede e ek på P f af e chok il r i den nuværende og alle de eferfølgende perioder. Summeres der over samlige perioder hvori r illades a variere, fås e udryk for den oale ændring i P f som følge af realiserede og forvenede forskydninger i r. R afspejler dermed e eken af ændringer il r på e aggregere niveau. R er negaiv, da værdien af en given dividendesrøm er afagende i forvenede posiive afvigelser mellem den beingede og ubeingede forvenning il r, E [r +i ] r. 7 Hvis en raionel boble eksiserer, følger den processen B + = ( + r + ) B + b + (5.6) hvor b N (0; b ) er e ukorrelere fejlled. Boblen er idsvarierende med periodisk væksrae ( + r + ). Dee indebærer en kaegori af raionelle bobler, der beds kan beskrives som poeniel periodisk kollapsende og indeholdende e sokasisk elemen. Dee gør den her anvende fremgangsmåde ganske arakiv. I Alessandri[006] bemærkes de, a r og eksiserer uafhængig af boblers eksisens. Lineariseringen i Campbell & Shiller[988] er beinge på H 0 (ingen bobler). Lineariseringen invalideres dermed under alernaivhypoesen. 6 Beregningen af P f P L + R som angive i (5:4) og (5:5) er vis i appendiks R er således ilnærmelsesvis sammenlignelig med varighedsmåle som er e velkend risikomål anvend indenfor speciel obligaionseorien. Her afhænger varighedsmåles præcision også af hvor konveks obligaionsprisen B s kan siges a være i den e ekive rene y s.

79 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 7 Krydsresrikioner I forbindelse med empiriske ess af modellen og opnåelse af mere konkree udryk for (5:4) og (5:5) er de nødvendig eksplici a udspeci cere processerne for de fundamenale variable D og r. Anagelserne gjor i Alessandri[006] er som sag, a D og r begge følger AR() processer med ilhørende egenskaber og resrikioner give som D + = D + + ; r + = 0 + r + + ; > ; < ; j j < ; r = 0 : + og + er ukorrelerede forvenningsfejl som begge er unbiased. AR() processerne for D og r illader os, a beregne forvenningen il værdien af disse variable på idspunk + i gennem ieraiv fremadree subsiuion. Resulae er E [D +i ] = i D ; E [r +i ] r = i (r r) : Processerne for D og r pålægger krydsresrikioner (cross-equaion resricions) på P f gennem P L og R. Udryk ved modellens paramere ; ; 0 og kan P L og R skrives som 8 P L = R = D ; (5.7) 0 D D r : (5.8) ( ) ( ) Den fundamenale pris P f P L + R er derfor give som P f D + 0 D ( ) ( ) D D r ; + 0 D r ; ( ) ( ) c 0 D + c D r : (5.9) Resrikionen pålag c 0 og c ses herefer a være c 0 = + 0, c = : ( ) ( ) Forolkning Markedsprisen P følger processen P = c 0 D + c D r + u. Hvis en raionel sokasisk boble B eksiserer, da vil prisen være give som P = P f + B = c 0 D + c D r + B : Boblen følger en auoregressiv førseordens proces B = u = #u +v. En indikaion på ilsedeværelsen af en boble gives hvis # > ved esimaion af de uresringerede-resringerede udgaver af modellen. Dee er 8 Udledningen af (5:7) og (5:8) er vis i appendiks 0.3..

80 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 7 en implikaion som lader sig ese empirisk. De følger umiddelbar af (5:9), a den ubeingede forvenning il P f =D -raioen afhænger af modellens paramere gennem udrykke E " # P f E [c 0 + c r ] = c 0 + c r: D Denne form af (5:9) er ifølge Alessandri[006] a forerække grunde de økonomeriske egenskaber for P f =D -raioen. Af (5:9) ses de, a D og r ineragerer i værdiansæelsen. Under modellens anagelser er c 0 > 0 og c < 0. Dee er i overenssemmelse med vores umiddelbare forvenninger. En signing i r reducerer gennem diskoneringsfakoren al ande lige P f =D : Denne sammenhæng er særkere deso sørre er, dvs. i hvor høj grad ændringerne i r er persisene. Modellen pålægger ikke-lineære krydsresrikioner på paramerene (c 0 ; c ; ; 0 ; ). Esimeringen af disse paramere må derfor nødvendigvis ske simulan og være i overenssemmelse. I de uresringerede sysem er der 5 paramere (c 0 ; c ; ; 0 ; ) mens der i de resringerede sysem kun er 4 (; 0 ; ; ) ) overideni cerende resrikion. Sammen med AR()-processerne for B ; D og r udgør P = c 0 D + c D r + B sae-space modellen. Boblen kan ikke observeres men må esimeres samidig med modellens paramere. Syseme er samidig beinge normalfordel, da r fra boblens ransiionsligning er kend på idspunk. Dee illader anvendelsen af e Kalman ler i esimeringen af B. Da modellen af Alessandri[006] yderligere berages i siuaionen hvor D følger AR() og AR(3) processer er de fordelagig, a se hvorledes krydsresrikionerne kan udledes i sådanne ilfælde. 9 Denne problemsilling er de følgende afsni beskæfige med. 5.. Generalisering af krydsresrikioner Den fundamenale værdi P f kan gennem P L og R fra (5:4) og (5:5) generaliseres il siuaionen hvor D følger en AR(p)-proces. Processen for D opsilles på companion form. Gennem anvendelse af den såkalde selecion vekor og ideniesmaricen opnås 0 P L = e (I A) Z (5.0) R = e ((I A) (I A)) Z (r r) (5.) P f P L + R = e (I A) Z e ((I A) (I A)) Z (r r) (5.) hvor r = 0 = ( ) og 3 p 0 0 A = ; Z = D D. D p ; e = : 0 9 Økonomeriske ess viser, a AR()- og AR(3)-processer begge er valide beskrivende processer for S&P-indekses udbeale dividender over perioden Udledningen af (5:0) og (5:) er vis i appendiks

81 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 73 De er i udledningen af (5:0) og (5:) igen anvend, a E [D +i ] = i D ; E [r +i ] r = i (r r) : A er en (p p) marice af konsaner beskrivende il dels processen for D. Z og e er (p ) vekorer. Funkionen af e er, a neop række i fra A udvælges i beregningen af P L og R. Med udgangspunk i (5:0) og (5:) kan P L og R besemmes som funkion af modellens paramere gennem de anagede eksplicie processer for D og r. Dee resulerer i modellens krydsresrikioner på P f som eferfølgende kan anvendes i en empirisk sammenhæng En AR()-proces for dividenden I forlængelse af Alessandri[006] anages D nu a følge en AR()-proces. Modellens krydsresrikioner ændres som vi vil se ganske beydelig. Øvrige anagelser følger de oprindelige fra Alessandri[006]. Således er denne udgave af modellen speci k give som D + = D + D + + ; r + = 0 + r + + ; ( + ) < ; j j <, r = 0 E [D +i ] = i D ; E [r +i ] r = i (r r) : I ilfælde p = har vi, a maricen A og vekorerne Z og + er de nere som D+ Z + =, A = D, Z 0 =, + = D Modellens krydsresrikioner ved de fundamenale komponener P L models paramere,,, 0 og som D + 0 : og R er nu give ved den udvidede P L = R = = X i+ E [D +i ] = D + D ; (" X X # ) k+ E [D +i+k ] (E [r +i ] r) i=0 i+ i=0 k=0 0 +! ( ) +! D r! + 0 ( + ( )) ( )! ( + ( )) D r : D D Således kan P f pålag modellens anagelser udrykkes ved processen Udledningen af P L og R i ilfælde hvor dividenden følger en AR ()-proces er vis i appendiks

82 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 74 hvor c 0 ; c ; c og c 3 er give som henholdsvis P f c 0 D + c D r + c D + c 3 D r (5.3) c 0 = c = c = c 3 = + 0 +!! ( ) +!!! + 0 ( + ( )) ( )! ( + ( )) : Berages paramerene c 0 ; c ; c og c 3 kan vi observere de forhold, a i ilfælde hvor = 0 reduceres modellen naurlig nok il den i Alessandri[006]. Sidsnævne model kan således ses som e specialilfælde af en AR()-proces for D. Modellen pålægger ikke-lineære krydsresrikioner på paramerene (c 0 ; c ; c ; c 3 ; ; ; 0 ; ). I de uresringerede sysem er der 8 paramere mens der i de resringerede sysem kun er 5 ( ; ; 0 ; ; ) ) 3 overideni cerende resrikioner. I kombinaion med AR ()-processen for D og AR ()-processerne for B og r udgør P = P f + B = c 0 D + c D r + c D + c 3 D r + B sae-space modellen. Processen for boblen er igen give som B = u = #u + v hvor # > indikerer ilsedeværelsen af en raionel boble. I de uresringerede-resringerede modeller er # igen en konsan mens der ved esimaion af sae-space modellen illades variaion heri En AR(3)-proces for dividenden I siuaionen med en AR(3)-proces for dividenden er de grundlæggende anagelser give som D + = D + D + 3 D + + ; r + = 0 + r < ; j j < ; r = 0 E [D +i ] = i D ; E [r +i ] r = i (r r) : Maricen A og vekorerne Z og + er videre de nere som Z + = 4 D 3 + D 5, A = , Z = 4 D 0 0 D D D 3 5, + = Følgende samme form for argumenaion som ovenfor og ved anvendelse af (5:0) og (5:) kan processerne for P f og P besemmes som værende lig 3 5 :

83 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 75 P f c 0 D + c D r + c D + c 3 D r + c 4 D + c 5 D r P = P f + B = c 0 D + c D r + c D + c 3 D r + c 4 D + c 5 D r + B hvor B = u = #u + v. Modellens krydsresrikioner pålag c -c 5 kan beregnes il c 0 = c = c = c 3 = c 4 = c 5 = ! 3 ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) ( ) ! ( ) I ilfælde hvor = 3 = 0 reduceres modellen igen il den i Alessandri[006]. Modellen pålægger krydsresrikioner på paramerene (c 0 ; c ; c ; c 3 ; c 4 ; c 5 ; ; ; 3 ; 0 ; ). I de uresringerede sysem er der paramere og i de resringerede sysem kun 6 ( ; ; 3 ; 0 ; ; ) ) 5 overideni - cerende resrikioner. Processerne for P ; D ; B og r udgør ilsammen sae-space modellen. Se appendiks

84 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller Empirisk analyse Dee afsni analyserer i relaion il ovennævne modeller de af Rober J. Shiller udarbejdede daasæ for S&P-indekse over perioden Førend en egenlig sae-space model esimeres, undersøges førs implikaionerne af de respekive modeller uden a lægge sig fas på e egenlig esima af B. # > er i sammenhæng med de resringerede og uresringerede modeller en indikaion på en boble Resringerede-uresringerede modeller Paramerene indehold i de følgende abeller er esimere ved Full Informaion Maximum Likelihood (FIML). En nødvendig anagelse er derfor approksimaiv normalfordele innovaioner i de respekive ligninger. I de følgende er essaisikker og forklaringsgrader udelad. I ilfælde med dividenden følgende en AR ()-proces er modellen esimere med P =D -raioen værende den afhængige variabel som forerukke af Alessandri[006]. I de øvrige ilfælde hvor dividenden anages a følge AR ()- og AR (3)-processer, udgør P alene den afhængige variabel. Resulaerne ved de o fremgangsmåder er generel i god overenssemmelse. 3 En AR() proces for dividenden Dee er modellen fra Alessandri[006]. De esimerede ligninger hvis paramere er vis i abel 5. er P D = c 0 + c r + u, u = #u +, D + D = + +, r + = 0 + r + + : Den primære implikaion i den uresringerede model holder: c er negaiv over alle de beragede perioder. P =D og r ineragerer dermed negaiv. Esimaerne på ; 0 og er sabile i såvel den resringerede som uresringerede model rods relaiv sor volailie i P =D. E esima på 0:94 - den gennemsnilige diskoneringsfakor, forekommer plausibel. er som følge af Jensens ulighed mindre end den fakiske forvenning, E +i. I alle perioder er beingelsen sikrende en konvergerende løsning for P - <, opfyld. 0:3 viser, a choks il r ikke er af særlig persisen karaker. Tabel 5.: Model/Periode Paramere Uresringerede c 0 c # :5 0:5 0:8698 :09 0:09 0: :46 9:39 :30 :088 0:09 0: :63 :08 0:9609 :006 0:089 0:3030 Resringerede # :9397 0:8676 :094 0:086 0: :948 :69 :089 0:085 0: :9444 0:9588 :005 0:08 0:330 Resringerede og uresringerede model esimere med FIML. Dividenden følger en AR ()-proces. # > indikerer ilsedeværelsen af en boble. 3 Da de anvende krydsresrikioner er ikke-lineære har der i visse ilfælde være problemer med konvergens hvor esimaerne er særlig følsomme overfor valg af sarværdier for de enkele paramere. Dee er primær e problem i esimeringen af sae-space sysemerne.

85 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 77 E robus esima på :0 viser, a S&P-indekses årlige modelindikerede dividendevæksrae er omren %. Anvendende 0 = 0:085 og = 0:37 for perioden har realrenen r en ligevægsværdi på r = 0:075. Dee synes også umiddelbar fornufig. Processen for u fremsår kun eksplosiv (# > ) i perioden Dee indikerer ilsedeværelsen af en raionel boble. Dee er på e uformel plan ilnærmelsesvis konsisen med de idligere fremlage resulaer for de ex pos raionelle priser og de saionariesbaserede økonomeriske ess jf. Diba & Grossman[988a]. En AR() proces for dividenden Følger dividenden en AR ()-proces ilføjes yderligere o variable il den fundamenale ligning, nemlig D og D r. Speci k esimeres følgende ligninger P = c 0 D + c D r + c D + c 3 D r + u ; u = #u + D + = D + D + + ; r + = 0 + r + + : De fremgår, a P og D nu i modsæning il idligere esimeres i niveau. Resulae er vis i abel og i den uresringerede model er de samme som i AR ()-ilfælde og derfor ikke vis igen. Esimaerne på og ses a være ganske sabile ligesom esimae på igen forekommer fornufig. er dog mindre end den sande gennemsnilige diskoneringsfakor som følge af Jensen s ulighed og derfor er esimae måske alligevel for høj. Med ( + ) < for alle perioder sikres igen en konvergerende løsning. E gennemgående negaiv c indikerer, a samidige realiseringer af P og D r er negaiv relaere. Tabel 5.: Model/Paramere Periode Uresringerede c 0 4:5 5:89 43:06 c 7:7 4:4 98:7 c :55 4:5 7:40 c 3 5:8 3:05 78:40 # 0:8843 :70 0:966 :770 :8 :500 0:734 0:777 0:407 Resringerede :957 0:9634 0:9606 # 0:889 :86 0:964 :73 :778 :578 0:669 0:74 0: :003 0:095 0:09 0:943 0:3068 0:340 Resringerede og uresringerede model esimere med FIML. Dividenden følger en AR ()-proces. # > indikerer ilsedeværelsen af en boble. 0 og for den uresringerede model fremgår af abel 5.. Den raionelle boble i perioden ræder ydeligere frem sammenligne med den fundamenale ligning speci cere i Alessandri[006] med værdier af # klar sørre end.

86 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 78 En AR(3) proces for dividenden I ilfælde med D følgende en AR(3)-proces er følgende ligninger esimere i relaion il såvel den resringerede som uresringerede model P = c 0 D + c D r + c D + c 3 D r + c 4 D + c 5 D r + u ; u = #u + D + = D + D + 3 D + + ; r + = 0 + r + + : Resulae er vis i abellen nedenfor Tabel 5.3: Model/Paramere Periode Uresringerede c 0 5:56 6:4 4:78 c 8:5 :4 95:4 c 4: 3:36 5: c 3 4:88 5:35 76:5 c 4 4:43 0:9 :05 c 5 7:70 3:00 0:40 # 0:88 :7 0:9609 :37 :8 :945 0:4375 0:44 0: :303 0:305 0:009 Resringerede :9558 0:960 0:9594 # 0:897 :855 0:966 : :39 :993 0:4389 0:469 0: :38 0:373 0: :099 0:090 0:088 0:93 0:3083 0:340 Resringerede og uresringerede model esimere med FIML. Dividenden følger en AR (3)-proces. # > indikerer ilsedeværelsen af en boble. 0 og for den uresringerede model fremgår af abel 5.. Igen er resrikionen < opfyld over de enkele perioder for begge modelyper. Esimae på ligevægsrenen r fremsår gennemgående sabil uanse processen for D, perioden og om der pålægges krydsresrikioner eller ej. De konkluderes, a # > er e robus resula for perioden uanse den egenlige speci kaion af processen for D og uanse om der berages en resringere eller uresringere model. Resulae kan ses som e udryk for, a P forudsa en korrek speci cere nuidsværdimodel ikke var i overenssemmelse med de fundamenale variable D og r omkring år 000. Modellerne adskiller sig kun marginal angående deres R. Dee er udryk for, a eksra ilføjede variable (en udvidelse af processen for D ) ikke bidrager nævneværdig i forklaringen af P. Dee er mege ænkelig e resula af, a D er en persisen variabel givende sig udslag i korrelaion mellem variable indeholdende D og laggede værdier heraf. Endvidere forekommer r omend med korrek foregn, ikke a være signi kan relaere il P. I Alessandri[006] er relaionen mellem P =D og r særk signi kan. Jeg har ikke umiddelbar

87 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 79 nogen fyldesgørende forklaring herpå. En mulighed kunne være, a der i nærværende opgave arbejdes med reale variable. I Alessandri[006] fremgår de ikke klar, om der arbejdes med reale eller nominelle sørrelser Sae-space model Esimeringen af en sae-space model kan i højere grad end de resringerede-uresringerede modeller give e indryk af uligevæge i prisdannelsen. Den gra ske afbildning vil illusrere anvendelsen af den indledningsvis beskrevne full sample smooher il opnåelse af e esima på B. De er processerne for P ; D ; B og r som ilsammen udgør sae-space modellen. En AR() proces for dividenden I abel 5.4 er vis resulaerne ved esimaion af sae-space modellen hvor D følger en AR()-proces. 4 Modellen i abellens øverse del viser ilfælde hvor udgørende risikopræmien, er esimere. fremsår volail og giver i af perioderne anledning il uplausible negaive risikopræmier. forekommer ligeledes urealisisk lav. Modellen neders i abellen viser ilfælde med en anage værdi for lig Tabel 5.4: Model/Periode Paramere Esimere risikopræmie 0 b :05 0:093 0:949 0:7449 0:099 4: :04 0:096 0:878 0:8495 0:0650 5: :03 0:09 0:907 0:8900 0: :8 Anage risikopræmie 0 b :9884 0:099 0:758 0:968-46: :00 0:095 0:895 0:8369-5: :04 0:094 0:858 0:964-74:39 Sae-space model esimere med ML. Dividenden følger en AR ()-proces. Krydsresrikioner er pålag esimaionsligningen for P =D. Modellen i abellens nederse del er esimere på baggrund af en anage risikopræmie () lig 0.06., 0 og er i begge udgaver af modellen i overenssemmelse med idligere fremlage værdier. b er volailieen i boblen og er sigende i ak med inkluderingen af ere observaioner. Resulaerne ved esimaion af den uresringerede sae-space model er 4 Sae-space modellen esimere med en AR()- og AR(3)-proces for dividenden adskiller sig ikke afgørende fra AR ()- ilfælde. De er derfor valg her, kun a medage resulaerne hvad angår sidsnævne. Resulaerne for AR()-ilfælde kan ndes i appendiks

88 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 80 Tabel 5.5: Model/Periode Paramere Esimere risikopræmie c 0 c b :56 7:95 0:08 35: :8 30:8 0:654 44: :95 3:0 0:03 66:4 Anage risikopræmie 0 b :53 7:64-36: :8 8:0-47: :77 3:9-69:95 Sae-space model esimere med ML uden krydsresrikioner. Dividenden følger en AR ()-proces. Modellen i abellens nederse del er esimere på baggrund af en anage risikopræmie () lig Jeg anvender nu den i eoriafsnie omale full sample smooher il, a opnå e (usikker) esima på B indehold i S&P-indekse over perioden Resulae er vis i gur 5.. Bemærk, a B i guren er esimere på baggrund af den uresringerede model. Figur 5.: ML (full sample smooher) esima på boblen i S&P-indekse over perioden for modellen uden krydsresrikioner. Dividenden følger en AR()-proces. anages lig Som de fremgår af guren, er B i visse perioder negaiv og således ikke konsisen med en sreng eoreisk forolkning af en raionel boble i henhold il Diba & Grossman[988b]. B > 0 er ikke en pålag resrikion i sae-space modellen. B kan opfaes som påpegende uligevæge i S&P-indekse give en fundamenal model basere på D og r. I en lang periode frem il 960 erne fremsår prisdannelsen af S&P-indekse ganske e cien. Dannelsen af bobler synes ikke a være e speciel udbred fænomen. Snarere synes underprisfassæelse i visse perioder a præge markede. Frem il 960 erne udgør boblen maksimal ca. 0% af S&P-indekse. Dee billede ændres markan herefer og i 000 anager boblen sin maksimale absolue og relaive værdi, udgørende ca. 75% af S&P-indekse.

89 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller Simulering Nedenfor er der gennemfør simuleringer af den resringerede model med baggrund i en AR(3)-proces for dividenden. Jeg undersøger her modellens evne il forudsigelse af S&P-indekses hisoriske værdier. Simuleringen er ske med udgangspunk i de esimerede Maximum Likelihood (ML) parameerværdier for de resringerede sysem på grundlag af perioden Figur 5. viser en simulering af modellen gennem e saisk one-period ahead forecas af S&P-indekse for perioden Figur 5.: Modellens saic one-period ahead forecas af S&P-indekse for perioden hvor ML parameerværdierne fra de resringerede sysem er anvend. Dividenden følger en AR (3)-proces. Simuleringen er gennemfør gange og middelværdien er herefer beregne. Modellens prædikioner synes kun i perioder, a semme overens med de fakiske S&P-indeks. Generel forekommer indekse undervurdere på baggrund af modellens forudsigelser hel frem il 995. Fra 995 og frem svækkes modellens forklaringsevne markan. E dynamisk forecas anvender alle realiserede værdier af de enkele variable frem il idspunk T og forudsiger på den baggrund fremidige værdier. E sådan simulere forecas er vis i gur 5.3 hvor T = 900.

90 Kapiel 5. Raionelle bobler og sae-space modeller 8 Figur 5.3: Modellens dynamic muliperiod ahead forecas af S&P-indekse for perioden hvor ML parameerværdierne fra de resringerede sysem er anvend. Dividenden følger en AR ()-proces. Simuleringen er gennemfør gange og middelværdien er herefer beregne. Modellens forudsigelser af S&P-indekse ses a være relaiv sabile sammenligne med de saiske ilfælde. Dee kendeegner e dynamisk forecas som ikke inkorporer ny informaion i esimaionen. Simuleringens på de kore sig er naurlig nok ikke videre god. Forecase skal dog evalueres på de lange sig, hvor modellens forecas kan opfaes som afspejlende en rend i S&P-indekse. Som en kuriosie ses S&P-indekses 009-niveau, a semme ilnærmelsesvis overens med modellens forecas.

91 Kapiel 6 Likvidiesaspeke af nansielle bobler Udgangspunke for dee og de o følgende kapiler er de som i den generelle o enlighed nu er bleve døb inerneboblen. Boblen opsod over perioden 998 il 000 i en sor gruppe af primær amerikanske selskaber med ilknyning il inernesekoren og anvendelsen af den nye eknologi. Disse selskaber var overvejende noere på NASDAQ. De ese af selskaberne gennemføre deres Iniial Public O ering (IPO) under markedes opur. Begrebe underpricing var udbred i sor sil. Men mange inerneselskaber solge alligevel deres akier il hvad der senere hen vise sig a være overpriser. I mars 000 kollapsede boblen. Dee pridannelsesfænomen har naurlig nok være udgangspunk for en sor mængde akademisk lieraur. Hvorvid beegnelsen boble er en passende beskrivelse heraf, er dog sadig e konroversiel og hefig debaere spørgsmål. I gur 6. er afbilde e indeks for en porefølje besående af de senere hen beragede eknologiakier sam de værdivægede S&P- og NASDAQ-indeks. Prisdannelsen for disse inerneakier omkring år 000 forekommer som værende e af de mes bemærkelsesværdige nansielle fænomener i nyere id. Frem il mars 000 gik værdiansæelsen af eknologiselskaber på NASDAQ reel kun gik en vej, og de var op. Jeg vil omale dee prisdannelsesfænomen som inerneboblen, ide de grundlæggende er en nemmere måde a referere heril. Men jeg er dog ikke fuld ud overbevis om, a kun en eksrem grad af irraionalisme lå il baggrund for de prisniveauer der observeredes i markede. Ifølge Ofek og Richardson[00] var invesorerne i markede for inerneakier overvejende privae invesorer og i mindre udsrækning nansielle insiuioner. Der herskede generel sor sikkerhed omkring inerneeknologiens fremidsperspekiver. Kun sjælden beale eknologiselskaberne udbyer. Ofek & Richardson[003] rapporerer, a sekorens aggregerede indjening fakisk var negaiv selv i bull-perioden. Som Ofek & Richardson[00] bereer, var de ikke unormal, a en inernerelaere akie fordoblede sin værdi på førse handelsdag efer IPO en. 83

92 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 84 Figur 6.: S&P- og NASDAQ Composie indeksene sammen med de konsruerede Inerne indeks for perioden januar 997 (=00) il december 00. Jeg behandler i relaion il inerneboblen særskil re empiriske problemsillinger med poeniel beydning for værdiansæelsen i inernesekoren omkring år 000. Med udgangspunk i Amihud[00] og Cochrane[00] behandles i dee kapiel e likvidiesaspek af prisdannelsen. Som de nu er veldokumenere, eksiserer der en posiiv sammenhæng mellem illikvidiesgraden af en akie og des ligevægsafkas. I Cochrane[00] argumeneres der for relevansen af e convenience yield (en forolkning af likvidiesproblemaikken) i handlen med inerneakier. Likvidiesaspeke er en raionel forklaring på relaiv høje priser og dermed fravær af boble. Dernæs behandles asymmerisk informaion i markede for inerneakier. Dee sker i forlængelse af Llorene e al.[00] s undersøgelse af de dynamiske afkas-volumen forhold. Deres grundlæggende ide er, a handel med en akie af spekulaive årsager eller forårsage af e hedging moiv resulerer i henholdsvis e posiiv og negaiv auokorrelere afkas følgende høj volumen. Asymmerisk informaion nævnes ofe som en fakor i markede under inerneboblen. Grundlæggende inuiion, eori og empiriske resulaer foreslår dog, a informaionsasymmeri har en negaiv værdie ek. Samidig synes markedsdimensionerne asymmerisk informaion og likvidie a være direke negaiv relaere. Så kun hvis fraværende synes asymmerisk informaion a være konsisen med prisdannelsen under inerneboblen. Den sidse problemsilling i relaion il inerneboblen ager udgangspunk i begrebe usikkerhed. Pasor & Veronesi[006] argumenerer for, a usikkerhed omkring e selskabs fremidige pro abilie al ande lige refærdiggør en højere fundamenal værdi give en konveks prisformel. Dee er yderligere en forklaring på raionel høje priser. De behandlede problemsillinger er ikke ilænk, a skulle afgøre om inerneboblen var reel. Snarere er de hensigen, a beskrive nogle omsændigheder med poeniel beydning for prisdannelsen i markede under inerneboblen. Speci k sammenholdes de empiriske resulaer med fakorernes umiddelbare eoreiske implikaioner. På den baggrund vurderes resulaernes konsisens med prisdannelsen under inerneboblen. Som beskreve i Cochrane[00] og Munk[009] er en advarsel her på sin plads. Fakorer som er ex pos e ciene i forklaringen af prisfassæelsen i en periode, er ikke nødvendigvis hverken ex ane eller ex pos særlig succesfulde i en anden. En mean-variance e cien porefølje vil alid perfek beskrive observerede Tilsedeværelsen af noise raders hvis eferspørgsel er ukorrelere med fundamenale værdier, kan dog ophæve sammenhængen imellem asymmerisk informaion og illikvidie.

93 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 85 priser ex pos. Så vi må nødvendigvis pålægge os selv disciplin, når fakorer udvælges med henblik på saisik evaluering. Ønskelig er medagne fakorer økonomisk moivere og kan ses som approksimerende væksen i marginalnyerne + = e u0 (c + ) u 0 a + b x + (c ) hvor x + er vekoren af beskrivende fakorer på idspunk +. a = (a ) og b = (b ) er ilpassede processer som illusrerer, a enhver ilsandsprisde aor er en beinge prisfassæelsesfakor. Essensen af den givne advarsel er, a udvalge fakorers in-sample og ou-of-sample egenskaber er fundamenal vigige a skelne imellem. Indledningsvis gives en uformel eoreisk diskussion af likvidiesdimensionen i e nansiel marked. Dernæs beskrives daa. Endelig præseneres de empiriske resulaer for værsnis- og idsserieanalysen hvor der i den forbindelse indledningsvis er redegjor for den speci kke fremgangsmåde. Daabeskrivelsen give i dee kapiel er også dækkende for de daa som er anvend i kapile omhandlende asymmerisk informaion (kapiel 7) og usikkerhed om fundamenale værdier (kapiel 8). 6. Teori 6.. Likvidie Likvidie er e fundamenal koncep når man berager prisdannelsen i e nansiel marked. Likvidie kan i des simplese form de neres som den id og de omkosninger der er forbunde med, a likvidere eller købe en given mængde af e nansiel akiv. Typisk ignorerer prisfassæelsesmodeller likvidie som en prisfassa fakor gennem anagelsen om e frikionsløs marked. Fakiske nansielle markeder er ikke frikionsløse. Der er omkosninger af forskellig ar forbunde med, a e nansiel akiv handles. De er ineressan a vide, om invesor kompenseres for illikvidie gennem en redukion af prisen og belønner høj likvidie ved bealing af en merpris. Likvidie er æ forbunde med e markeds mikrosrukur, dvs. de mekanismer som illader køber og sælger a nde en modpar i markede. Der er gode grunde il en anagelse om e frikionsløs marked, da generelle prisfassæelsesregler som ilsandspriser, risikoneurale sandsynligheder og ingen-arbirage forudsæer eksisensen heraf. Empiriske undersøgelser har dog vis, a såvel e akivs gennemsnilige likvidiesgrad som des sysemaiske likvidiesrisiko er prisfassae fakorer. Dee er eferhånden e mege robus resula. 3 Teorien ilsiger, a en likvidiespræmie indehold i de forvenede afkas kompenserer for de højere omkosninger forbunde med a handle e illikvid akiv. Der bydes om de mes likvide akiver bevirkende en signing i deres relaive pris sammenligne med mindre likvide modsykker. Markede for inerneakier var karakerisere ved en voldsom handelsvolumen og besad dermed en høj likvidiesgrad. Heerogene opfaelser i markede gående på inerneeknologiens fremidsperspekiver gjorde de nem for køber og sælger a nde hinanden. 6.. Markedsdimensioner På e nansiel marked mødes køber og sælger i forbindelse med henholdsvis erhvervelsen og afhændelsen af e nansiel akiv. For e velfungerende marked er de nødvendig, a dee kan ske med relaiv lave omkosninger il følge. 3 Amihud[00], Ascharya & Pedersen[005], Pasor & Sambaugh[003], Brennan & Subrahmanyam[996], Chordia e al.[000] og mange ere kunne nævnes.

94 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 86 Bernsein[987] diskuerer egenskaber for e velfungerende marked. Disse egenskaber er: dybde, bredde, elasicie, fairness og velordnede markedsforhold. Dybde og bredde indebærer, a der ndes ilsrækkelig med akører på både salgs- og købssiden således, a en handel kan gennemføres med minds mulig prispåvirkning. Den redje dimension, elasicie, indebærer a der som reakion på prisforskydninger opsår e modvirkende ordre ow. Fairness i e marked giver mulighed for, a invesorerne kan agere på baggrund af den samme informaion. E velordne marked baseres på den dybde og bredde, der ndes i markede. De forudsæer yderligere, a de observerede prisændringer er relaiv små, ide nye akører koninuerlig er villige il a overage en andens posiion i markede Likvidiesmål Likvidie er e ygig koncep, da de ikke direke kan observeres. Likvidie er en indikaion af ere fakorer, hvoraf ikke alle kan indeholdes i e enkel likvidiesmål. Umiddelbar er forhold som volumen, analle af handler, omsæningshasighed og graden af priskoninuie gode indikaorer på ilsedeværelsen af likvidie. Ligeledes er de relaive bid-ask spread e inuiiv mål for likvidieen af en akie. Ine likvidiesmål afdækker hele problemaikken omkring likvidieen af en akie. Såvel markeds- som selskabsspeci kke mål har beydning for likvidieen af e nansiel akiv. Undersøgelsen i dee kapiel er delvis cenrere omkring anvendelsen af illikvidiesmåle fra Amihud[00] ILLIQ mn i = Days X mn i Di mn d= jr mn id V mn id j : (6.) jrid mn mn j og Vid er henholdsvis de daglige absolue procenvise afkas og dollar handelsvolumen for akie i på dag d i periode m i år n. Di mn er analle af dage, for hvilke der er daa il rådighed for akie i i periode m i år n. For idsserieanalysen er perioden udgørende grundlage for ILLIQ mn i en måned. For undersøgelsen i værsnie er denne periode e kvaral. jrid mn mn j =Vid kan forolkes som den daglige absolue prisændring forbunde med en enheds nominel handelsvolumen. ILLIQ mn i er således e mål for den gennemsnilige daglige aggregerede markedspåvirkning. Dee er dog e grof mål for illikvidie. Højere værdier af ILLIQ mn i indikerer sørre illikvidie. Ascharya & Pedersen[005] påpeger o problemer med ILLIQ mn i : Da ILLIQ mn i er en nominel variabel korrigeres der ikke for in aion. Samidig er ILLIQ mn i ikke er e god mål for ransakionsomkosningen ved en handel. Begge problemer synes a være mindre relevane i relaion heril, da den beragede idsperiode er relaiv kor og hvad sidsnævne angår, så hviler den empiriske analyse ikke på nogen eoreisk model. I forbindelse med idsserieanalysen af likvidie er der i forlængelse af (6:) konsruere en idsserie AILLIQ mn som e gennemsni af ILLIQ mn i over akier i= AILLIQ mn = NX mn N mn ILLIQ mn i : (6.) N mn er analle af noerede selskaber i periode m i år n. Da ILLIQ mn i besår af jrid mn mn j =Vid som er en brøk med (dollar) volumen i nævneren, er problemaikken omkring behandlingen af eksreme observaioner speciel vigig. jrid mn mn j =Vid har sor følsomhed overfor dage med lille handelsvolumen i kombinaion relaiv høje afkas. Dee påvirker givevis gennemsnie af jrid mn mn j =Vid i højere grad end medianen heraf. Vedrørende idsserieanalysen, er akier hvis ILLIQ mn i oversiger i måned m i år n frasorere i beregningen af AILLIQ mn. I værsnisanalysen repræsenerer ILLIQ mn i

95 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 87 derimod medianen af jrid mn mn j =Vid. Robushedsess viser dog, a resulaernes kvaliaive og kvaniaive sørrelser reel er uafhængige af hvorledes illikvidiesmåle præcis de neres. Dee underbygges yderligere af, a korrelaionen imellem gennemsnie og medianen af jrid mn mn j =Vid over selskaber er ilnærmelsesvis lig. Som e supplerende illikvidiesmål er der beregne e relaiv bid-ask spread som RBAS mn id = Amn id A mn id Bid mn + Bmn id : (6.3) RBASid mn er de relaive bid-ask spread for akie i på dag d i periode m i år n. A mn id og Bmn id er henholdsvis ask-og bid-prisen for den ilsvarende periode. Eferspørgere af likvidie køber il A mn id og sælger il Bid mn. De som leverer likvidie il e marked køber il Bid mn og sælger il A mn id. I værsnianalysen berages RBASmn id som e gennemsni i modsæning il ILLIQ mn i som her er medianen af jrid mn mn j =Vid. ILLIQ mn i er i æ overenssemmelse med Amives-måle som er raioen over en given periode mellem summen af den daglige handelsvolumen og de daglige absolue afkas. ILLIQ mn i følger også Kyle[985] som de nerer e illikvidiesmål nu kend som Kyle s lampda. Der ndes illikvidiesmål som er bedre end ILLIQ mn i ; men som kræver mikrosrukurdaa. Disse daa er ofe ikke ilgængelige i ilsrækkelig omfang. Fordelen ved ILLIQ mn i er des klare inuiion og de fakum, a variablene hvorpå de konsrueres ofe er ilgængelige over lange idsperioder og er af høj kvalie Convenience yield E convenience yield er en prisfassa egenskab forbunde med de fysiske ejerskab af e akiv. De illægges her en selvsændig værdi a eje akive direke og ikke kun indireke gennem f.eks. en replikerende porefølje i ilfælde med e nansiel akiv. 4 E convenience yield fremhæves ofe som forklaringen på, a individer i en økonomi opbygger pengebeholdninger der hensår uforrene. Penge er per de niion ikke renebærende. 5 Deres værdi er derfor reel overvurdere sammenligne med en længevarende obligaion. Penge har en speciel egenskab som værende e bealingsmiddel. Men e bealingsmiddel er ikke nødvendigvis forbunde med e convenience yield og e convenience yield begrænser sig ikke il bealingsmidler. E beydelig convenience yield for akier gennemgående en såkald rading-frenzy basere på heerogen forvenningsdannelse er ifølge Cochrane[00] en arakiv forklaring på inerneboblen. Dee forklarer ifølge Cochrane[00] ikke kun boblen, noge mange eorier poeniel er i sand il, men også adskillige relaerede omsændigheder som høj volumen og volailie. High-frequency rading i inernerelaerede akier krævede ejerskab af akierne selv. Der var generel ingen nære subsiuer, så handel med disse akier krævede a man ejede dem direke. 6 Akierne var nødvendige, for de som ønskede a "sase"på inerneselskabernes fremidsperspekiver. Convenience yield-eorien kan kun forklare høje priser såfrem udsedelsen af akier er begrænse, der ikke ndes nogen nære subsiuer og handelsvolumen er sor. Tabel 6. gengive fra Cochrane[00] sammenligner forskellige fremføre eorier omkring prisdannelsen under inerneboblen. X indikerer, a udsagne ifølge John Cochrane semmer overens med eorien. 4 Convenience yields indenfor nansiel prisfassæelse er ikke e ny fænomen. Begrebe er cenral i relaion il commodiy fuures konraker. Se f.eks. Hull[005, s. 8]. 5 Penge kan i nærværende sammenhæng også omfae indesående på anfordringsmæssige vilkår som ligeledes kan jene ransakionsmæssige behov. 6 Ifølge Cochrane[00] blev inerneakier af mange anse for overvurderede som en langsige invesering men anvendelige som e korsige handelsinsrumen med forvene negaiv drif.

96 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 88 Tabel 6.: Hændelse Teorier og forklarende egenskaber Teori Prissigninger og eferfølgende fald X X X X X X Priserne forudsiger ikke fremidig indjening X X X X X Langsige korsalg er vanskelig X X X X Sor adspredelse i generel meningsdannelse X X Priserne høje men anal ilgængelige akier lav X X Priserne høje og samidig sor volumen X Priserne høje og samidig høj volailie X Boblen var sørs indenfor væksakier X Teorier og deres egenskaber. : Frikionsløs model dreve af indjeningsforvenninger; : Frikionsløs model dreve af risikopræmier; 3: Raionelle bobler; 4: Irraionel værdiansæelse; 5: Prisen afspejler kun opimisernes meningsdannelse grunde resrikioner på korsalg; 6: Convenience yield, akier nødvendige il high-frequency rading. Kilde: Cochrane[00, s. ] Eksisensen af en beydende likvidiesrelaere fakor kunne indikere relevansen af e convenience yield i prisdannelsen under inerneboblen. Alle eorier kan ifølge Cochrane[00] forælle os hvorfor priserne seg og siden hen fald. Kun convenience yield eorien siger dog noge om den voldsomme handelsakivie, der ofe forekommer samidig med eksrem prisdannelse. I Cochrane[00] gives argumene for relevansen af e convenience yield ganske uformel. De vises ikke, om e eken henførende heril er ilsrækkelig sor og refærdiggør de relaiv højere værdiansæelser. 6. Daa I dee afsni vil jeg redegøre for processen i forbindelse med fremska elsen og den eferfølgende sorering af daa vedrørende de beragede inerneselskaber. Eferfølgende beskrives disse selskaber kor. 6.. Fremska else og beskrivelse Ofek & Richardson[00] konsruerer en porefølje besående af 400 selskaber som er danne på baggrund af Morgan Sanley s brancheopdeling af inernerelaerede sekorer. Morgan Sanley s brancheopdeling inddeler inerneselskaberne i følgende kaegorier (i parenes er angive selskabernes poenielle "old economy"funkion) Inerne poral companies, (Media); Inerne infrasrucure companies, (Compuer hardware); Inerne infrasrucure services, (Compuer sofware); Inerne/BB sofware companies, (Informaion services); Inerne commerce companies, (Specialy reail); Inerne consuling/applicaion services, (Informaion services); Inerne nancial services companies, (Financial services); Muli-secor Inerne companies, (Informaion services);

97 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 89 Inerne verical poral companies, (Publishing); Inerne direc markeing and adverising, (Informaion services); Inerne BB commerce companies, (Informaion services). Der eksiserer ikke en sreng de niion af e inernerelaere selskab, da en række selskaber som specialiserede sig indenfor eknologisekoren kunne udføre såvel "old economy" som inernerelaerede funkioner. Poreføljen indeholder reel kun selskaber direke relaere il anvendelsen af inernee. Hovedparen af de 400 selskaber gennemføre deres IPO i 999 og førse halvår af 000. Kun få selskaber var børsnoere før 998. I dag eksiserer en sor del af disse selskaber ikke. Anvendelsen af inerneselskaber i relaion il denne opgave sker med udgangspunk i den af Ofek & Richardson udarbejdede porefølje. En lise indeholdende oplysninger om disse selskaber ndes på Eli Ofek s hjemmeside. 7 De anvende daa er hene gennem Wharon Research Daa Services (WRDS). Herfra er der adgang il CRSP-daabasen såvel som de kombinerede CRSP/COMPUSTAT daabaser. Fra CRSP er hene daa i form af daglige observaioner vedrørende de nansielle variable, mens der fra CRSP/COMPUSTAT er hene regnskabsmæssige daa på kvaralsbasis. Udgangspunk for undersøgelsen er en 6-årig periode fra / 997 il 3/ 00. Undersøgelsesperioden omfaer således alle ineressane aspeker af inerneboblen. 6.. Sorering og fravælgelse Eli Ofek s lise over selskaber indeholder kun oplysninger om akiens icker, navn, branche og dao for IPO. Ingen af disse variable er af varierende årsager perfeke ideni kaionsparamere i modsæning il f.eks. PERMNO og PERMCO som opimal bør anvendes. 8 Alle selskaber blev hene ved deres TICKER fra CRSP angivende daoen 8/ På den måde sikredes de, a de ese selskaber ville være noere ide IPO-bølgen oppede omkring dee idspunk. Selskabernes unikke ideni kaionsparamere blev sammenhold med den af Ofek & Richardson oprindelig udarbejdede lise. Dee resulerede i en konsisen lise på 397 inerneselskaber. Herefer blev e selskab frasorere, hvis følgende omsændigheder ikke var opfyld Akierne skal være af ypen common sock (share code - ), alså den mes almindelig forekommende akieype og ikke for eksempel preferred sock, Selskabe skal være noere på NASDAQ (exchange code - 3). Efer denne proces var de reserende anal selskaber 344. Krave om a akierne skal være af ypen common sock skyldes, a der dermed udvælges akier hvis afkas er underlag de samme beingelser. Eksempelvis har akieypen preferred sock krav på udbealing af dividender før common sock sam bedre prioriessilling i forhold il common sock i ilfælde af konkurs. Da jeg konsruerer e illikvidiesmål på baggrund af handelsvolumen er de endvidere vigig, a markedes mikrosrukur over akier er ens. Af den grund holder jeg mig udelukkende il selskaber noere på NASDAQ. 9 E yderligere krav var, a selskaberne i deres noeringsperiode skulle have komplee daaserier for de enkele variable. De drejer sig især om frasorering af selskaber hvis daa indeholder negaive observaioner. 7 hp://pages.sern.nyu.edu/~eofek/. 8 I denne opgave er PERMCO valg som den primære ideni kaionsparameer. PERMCO er en unik og permanen ideni- kaor ildel af CRSP. PERMCO er upåvirke af ændringer i f.eks. e selskabs icker eller navn. 9 NASDAQ volumen inkluderer som bekend også handler foreage af dealere (marke makers). Dee vil naurligvis have en endens il, a overdrive volumen i markede.

98 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 90 Dee er ikke de sore problem, da CRSP daabasen anses for a være af høj kvalie. Yderligere blev der dog af den vej frasorere 79 selskaber. Den endelige porefølje der arbejdes med i de videre forløb besår således af 65 selskaber. I behandlingen af likvidie beskreve i nærværende kapiel og usikkerhed i kapiel 8 blev dog yderligere e selskab frasorere grunde mangelfulde daa. Der indgår således kun 64 selskaber i disse analyser Empirisk analyse - e værsnisaspek De undersøges nu i hvilke omfang den relaive værdiansæelse af inerneselskaber havde e likvidiesmæssig aspek. Der gennemføres i den forbindelse en analyse af selskaberne i værsekionen. Markedsværdien af egenkapialen dividere med deres respekive bogføre værdier (M=B-raioen) er her og senere i kapiel 8 anvend som e udryk for den relaive værdiansæelse af e selskab. I de regressioner som er gennemfør, er den logransformerede M=B-raio en gennemgående vensresidesvariabel Fremgangsmåde I de følgende beskrives kor fremgangsmåden anvend i forbindelse med værsnisanalysen. De forklarende likvidiesvariable her anvend er ILLIQ og RBAS idligere de nere. Tværsnisanalysen i dee kapiel er særlig cenrere om beydningen af neop disse variable for den relaive værdiansæelse. Øvrige inddragede forklarende variable er V OL, ST og BET A repræsenerende henholdsvis handelsvolumen, omsæningshasighed og sysemaisk risiko. Sidsnævne variabel approksimeres omend på uilfredssillende vis ved CAPM-beae. Disse variable har funkion af konrolvariable. E eken af illikvidie og senere usikkerhed på den relaive værdiansæelse undersøges ved en værsnismodel esimere for hver kvaral på grundlag af selskaber med ilgængelige daa for den speci kke periode. Regressorerne er karakerisika ved selskab i = ; ; :::; I i kvaral m = ; ; 3; 4 i år n = 997; 998; :::; 00 benævn CHAR mn ; k = ; ; :::; K. Disse karakerisika er omal mere dealjere nedenfor. ki Fama-MacBeh proceduren og alernaiv heril Til undersøgelse af de esimerede modellers saisiske egenskaber anvendes den velkende Fama-MacBeh procedure sam e alernaiv heril. Disse meoder beskrives nu kor. I sammenhæng med Fama-MacBeh proceduren er den kvaralsvise (M=B) mn i -raio en funkion af CHARki mn ved udrykke ln ((M=B) mn i ) = mn 0 + KX k= mn k CHARki mn + mn i : (6.4) Anvendelsen af (6:4) resulerer i 4 koe cienesimaer for hver enkel variabel. Analle af selskaber udgørende værsnissekionen varierer mellem 7 i 997Q il 64 i 000Q. På grundlag af koe cienerne fra (6:4) kan meoden fra Fama & MacBeh[973] eferfølgende anvendes il opnåelse af saisisk inferens ^ mn k = T TX = ^ mn k;, ^ mn = k T TX = ^ mn k; ^ mn k : 0 En lise over disse selskaber kan ndes på vedlage CD-rom. En mere dealjere redegørelse for fremgangsmåden anvend i forbindelse med analyserne omhandlende likvidiesaspeke af nansielle bobler (nærværende kapiel) sam usikkerhed og fundamenale værdier (kapiel 8) kan ses i appendiks 0.4..

99 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 9 T er analle af kvaraler udgørende grundlage for Fama-MacBeh -saisikken. Variansen på ^ mn k er herefer ^ mn k mn = ^ k T = T (T ) TX = ^ mn k; ^ mn k : Fama-MacBeh -saisikken for H 0 : ^ mn k = 0 H A : ^ mn k 6= 0 bliver så -sa = ^mn k : mn ^ k Som e alernaiv il Fama-MacBeh proceduren kan følgende regression esimeres hvor ln M=B i = 0 + KX k CHAR ki + " i (6.5) k= CHAR ki = T i XT i = CHAR mn ki; ; M=B i = T i XT i = M=B mn i; : T i repræsenerer analle af kvaraler hvori daa er il rådighed for selskab i. M=B i og CHAR ki er derfor gennemsni beregne på grundlag af samlige kvaralsvise observaioner for selskab i i perioden 997Q- 00Q4. Regressionerne gennemfør ved (6:5) indeholder derfor alle 64 selskaber De niion af variable I anvendelsen af (6:4) og (6:5) beregnes der som anyde deskripive saisikker for hver af akie i s individuelle karakerisika. En oversig over disse variable og hvorledes de er de nere kan ses i abel 6.. Disse karakerisika er beregne på grundlag af daa i kvaral m i år n og opgjor ulimo kvarale. CHARki mn indgår derfor eoreisk se i invesorernes informaionssæ når de ræ er deres inveseringsbesluning i kvaral m i år n. For e relaiv høj anal observaioner er -saisikken approksimaiv sandard normalfordel. Med e lille anal observaioner følger -saisikken en Sudens- fordeling med T frihedsgrader.

100 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 9 Tabel 6.: Variabel M mn i B mn i ILLIQ mn i RBAS mn i RET V OL mn i RET HILO mn i V OL mn i ST mn i NUMT RD mn i BET A mn i De niion af variable anvend i værsnisanalyserne Beskrivelse Gennemsnilig værdi for selskab i den sidse måned i kvaral m i år n Bogfør værdi af egenkapialen for selskab i primo kvaral m i år n Median markedspåvirkning for selskab i i kvaral m i år n Gennemsnilig relaiv bid-ask spread for selskab i i kvaral m i år n Årlig volailie beregne ved daglige afkas for selskab i i kvaral m i år n Di erens mellem sørse og mindse afkas for selskab i i kvaral m i år n Gennemsnilig anal handlede akier for selskab i i kvaral m i år n Gennemsnilig omsæningshasighed for selskab i i kvaral m i år n Gennemsnilig anal handler for selskab i i kvaral m i år n CAPM-bea for selskab i esimere ved daa il og med kvaral m i år n RET V OL er beregne som den daglige volailie muliplicere med kvadraroden af de respekive årlige anal dagsvise observaioner. Denne variabel anvendes i kapiel 8 hvor sammenhængen mellem usikkerhed om fremidig pro abilie og relaiv værdiansæelse analyseres på baggrund af Pasor & Veronesi[006]. RET HILO og NUMT RD indgår med henblik på robushedsjek. 3 Alle variable med undagelse af BET A berages i logransformere ilsand. Med logransformerede variable er de esimerede regressionskoe ciener a forolke som elasicieer. Variablene benævnes under gennemgangen af esimaionsresulaerne uanse en evenuel logransformaion som de fremgår af abel 6.. Jeg vil forsøge, a gøre de klar hvornår jeg omaler en variabel i henholdsvis logransformere ilsand og niveau. Beragede relaioner I (6:6) er vis en oversig over de regressioner som er gennemfør og hvis resulaer eferfølgende præseneres. De fremgår, a ILLIQ og RBAS er de gennemgående forklarende variable i kombinaion med de forskellige konrolvariable. ln ((M=B) mn i ) indgår jf. (6:4) og (6:5) alid som den forklarede variabel. () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) 0 mn mn mn mn 0 mn mn 0 0 mn 4 0 ln (ILLIQ mn i ) mn mn ln(rbasi mn ) 5 mn 0 mn 3 0 mn B ln (V OL mn i ) C 5 mn 0 0 mn 4 ln (STi mn ) A 5 B 0 mn mn BET A mn 0 mn 0 mn C 4 0 A 0 mn 0 0 mn 5 (6.6) Deskripiv saisik Førend resulaerne fremlægges i de følgende afsni præseneres her nogle deskripive egenskaber ved daa. Tabel 6.3 viser deskripive saisikker for M=B-raioen og dennes komponener M og B. Hver selskab i noere i kvaral m i år n har indgåe i beregningen af e gennemsni over selskaber. De er disse 4 kvaralsvise observaioner abellen er udforme på baggrund af. 3 Resulaer indeholdende RET HILO og NUMT RD er udelad eferfølgende men forevises på forlangende.

101 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 93 Tabel 6.3: Deskripiv saisik Saisik M=B M B Middel 9: Median 7: Maksimum 9: Minimum : Sd. afv. 8:68 46 Deskripiv saisik for variablene M=B; M og B. Hver selskab noere i e given kvaral har indgåe i beregningen af e værsekionel gennemsni. Tabellens indhold er herefer danne på baggrund af idsserier besående af kvaralsvise observaioner for perioden 997Q-00Q4. Tabel 6.3 vidner førs og fremmes om e mege usabil marked for inerneakierne. De fremgår af saisikken for M=B-raioen, a disse selskaber på e aggregere niveau havde markedsværdier der i perioder lang overseg e konservaiv skøn på en fundamenal værdi - den bogføre værdi af egenkapialen. Markedes forvenninger il fremidig pro abilie var givevis enorme. Tabel 6.4 nedenfor viser ilsvarende deskripive mål for de forklarende variable de nere i abel 6. hvor fremgangsmåden i abellens konsrukion følger abel 6.3. Som de fremgår af abel 6.4 var inerneakierne særdeles volaile. Den årlige gennemsnilige volailie er % og niveaue fremsår ganske sabil. Markedslikvidieen vurdere på baggrund af ILLIQ; RBAS; V OL; ST og N U M T RD ukuerer ligeledes særk over perioden. Tabel 6.4: Deskripiv saisik Saisik ILLIQ RBAS RET V OL RET HILO V OL ST N U M T RD BET A Middel 0:45 0:076 : 0: : :79 Median 0:038 0:057 : 0: : :8 Maksimum 0:430 0:0335 :6 0: : :69 Minimum 0:0048 0:0068 0:78 0: : :9 Sd. afv. 0:36 0:0083 0:6 0: : :44 Deskripiv saisik for forklarende variable på grundlag af perioden 997Q-00Q4. For supplerende oplysninger se abel 6.3. De er ineressan a undersøge, i hvilken udsrækning de anvende variable er korrelerede. Dee kan poeniel medvirke il en sørre forsåelse af resulaerne for regressionsanalysen præsenere eferfølgende. De værsekionelle korrelaioner er beregne over selskaber noere i hver kvaral. Dee resulerer i 4 korrelaionsesimaer for hver enkel kombinaion af variable. Eferfølgende er der beregne e gennemsni over de kvaralsvise korrelaionskoe ciener. Resulae er vis i abel 6.5 og 6.6. Variablene opræder i de udgaver hvori de senere vil indgå i (6:4) og (6:5). 4 Tabel 6.5: Korrelaioner Variabel ln M=B ln M ln B ln M=B 0:59 0:3 ln M 0:7 ln B Tværsekionelle gennemsnilige korrelaionskoe ciener for de logransformerede variable M=B, M og B beregne på grundlag af kvaralsvise korrelaionskoe ciener. 4 Tilsvarende korrelaionskoe ciener hvor alle variable indgår i niveau, kan ses i appendiks 0.4..

102 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 94 ln M=B og ln M fremsår som forvene posiiv korrelere men dog ikke perfek. Dee gør sig også gældende såfrem variablene berages i niveau. Dee indikerer, a ln M=B i en vis udrækning indeholder en sørrelsese ek - mere værdifulde selskaber har også højere M=B-raioer. ln M og ln B er naurligvis posiiv korrelere i værsekionen. Korrelaionen de forklarende variable imellem udviser grundlæggende nogle sammenhænge i overenssemmelse med forvenningen. Illikvidiesmålene ln ILLIQ og ln RBAS er negaiv korrelere med ln V OL; ln ST og ln NUMT RD. Dee forekommer naurlig, da sidsnævne gruppe af variable normal berages som posiive indikaorer for likvidie. Variablene i disse grupper er særskil berage posiiv korrelere med hinanden. ln RET V OL og ln RET HILO er svag posiiv korrelerede med de øvrige variable. Resulaerne i niveau viser dog, a RET V OL og RET HILO ilnærmelsesvis er ukorrelere med såvel illikvidies- som likvidiesvariablene. BET A fremsår posiiv korrelere med proxyene for risici og likvidie og negaiv korrelere med illikvidiesvariablene. Tabel 6.6: Variabel Korrelaioner Logransformerede variable ILLIQ RBAS RET V OL RET HILO V OL ST NUMT RD BET A ln ILLIQ 0:34 0:8 0:0 0:85 0:64 0:89 0:39 ln RBAS 0:04 0:04 0:34 0: 0:33 0:3 ln RET V OL 0:89 0:3 0:8 0: 0:5 ln RET HILO 0:08 0:3 0:05 0:7 ln V OL 0:73 0:96 0:46 ln ST 0:74 0:40 ln NUMT RD 0:48 BET A Tværsekionelle gennemsnilige korrelaionskoe ciener mellem de forklarende variable beregne på grundlag af kvaralsvise korrelaionskoe ciener. De absolue korrelaionskoe ciener er generel på e niveau som afspejler, a de enkele variable poeniel beskriver forskellige aspeker ved den værsekionelle variaion i M=B-raioen. Figur 6. illusrerer udviklingen i illikvidiesmålene ILLIQ (ved medianen) og RBAS (ved middelværdien) basere på dagsobservaioner. Vis er også udviklingen i den gennemsnilige markedsværdi over selskaber. Den posiive samvariaion mellem ILLIQ og RBAS som indikaorer for illikvidie fremsår ydelig i guren.

103 Kapiel 6. Likvidiesaspeke af nansielle bobler 95 Figur 6.: Udviklingen i markedsværdier (mio. $) og illikvidiesvariable for inerneselskaberne over perioden Markedsværdierne og de relaive bid-ask spreads er daglige værsekionelle gennemsni. Markedspåvirkningsvariablen indgår i form af medianen over selskaber. Selskabernes gennemsnilige markedsværdi ses generel a være negaiv relaere il ILLIQ og RBAS. Som e gennemsni berage over markedsværdier oppede markede idlig i såvel 999 som 000. I en lang periode inden markede oppede i mars 000, indehold markede sor likvidie. I den periode kunne inerneakierne handles uden den sore markedspåvirkning. Samidig forekom ransakionsomkosningerne lave approksimere ved de relaive bid-ask spread. Til rods for generel sore negaive afkas i år 000 forblev markedspåvirkningen som følge af handlen med inerneakier på e relaiv lav niveau i denne periode Resulaer I de følgende præseneres resulaerne vedrørende esimaion af modellerne i (6:6) hvor den anvende fremgangsmåde følger (6:4) og (6:5). De primære sammenhænge som ønske undersøg er illikvidiesmålenes relaion il den relaive prisdannelse. Fremsår koe cienerne il ILLIQ og RBAS robus negaive, da er illikvidie konsisen med vores forvenning negaiv relaere il værdiansæelsen. Ydermere er de ineressan a undersøge syrken af denne relaion over udvalge delperioder. Om e eken af likvidie er af en sørrelsesorden som forklarer de relaive prisniveau, er dog sadig e åben spørgsmål uafhængig af de her fremlage resulaer. I den sammenhæng be nder nærværende undersøgelse sig sadig på e ganske uformel niveau. Resulae ved esimaion af (6:4) jf. (6:6) med eferfølgende anvendelse af Fama-MacBeh proceduren resulerer i abel 6.7 nedenfor. Den anvende esimaionsmeode er Generalized Leas Squares (GLS) korrigere for poeniel heeroskedasicie og korrelaion i residualerne. De kriiske værdier er fra en sudens- fordeling fordel med T frihedsgrader.