Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne

Transkript

1 Pricing of Oil Derivaives -Wih he SABR and Schwarz models Prisfassæelse af Oliederivaer -Med SABR og Schwarz modellerne Mark Søndergaard Pedersen CPR xxxxxx-xxxx Alex Rusanov CPR xxxxxx-xxxx Vejleder: Marin Richer Kandidaafhandling - 11 sider + bilag - ca anslag Copenhagen Business School Cand.merc.(ma.) July 4, 014

2 Absrac The aim of his paper is o inroduce and analyse he main characerisics of he commodiy marke, namely he crude oil segmen due o is imporance in he world economy, large marke share and simple price evoluion as compared wih oher commodiies. The commodiy marke is very differen from he regular and maure money marke. The crude oil marke is predeermined by he crude oil logisics. As a resul of delivery limiaions here is no cenralized spo marke for crude oil, and one has o model he fuure oil prices insead. For he above purpose he Black model is inroduced. This model is almos idenical o he more famous Black-Scholes model, bu wih fuures prices insead of spo prices. The Black model provides easy formulas for he fuure oil prices and common derivaives. Neverheless he assumpions of his model, especially he one abou consan volailiy, are no realisic and here is only one source of uncerainy (one-facor model). Nex he wo-facor model from Schwarz (1990) [11] is presened. Schwarz proposes a sochasic process for convenience yield, which is a measure of he benefi associaed wih physically owning crude oil. A closed formula for he fuure crude oil prices is calculaed analogously o Bjerksund(1991) [3]. The model is used for pricing oil fuures conracs and analysing differen aspecs of he fuures price curves. However Schwarz mehod canno cope wih he changing dynamics of he fuures price curve owards large mauriies, and consequenly i is shown ha he model is no suiable for pracical purposes. For his reason, and also since he Black assumpions are no realisic, he wo-facor SABR model from Hagan e al. (00) [6] is applied, in order o price opions on crude oil. The SABR model has an independen process for volailiy. The dynamic SABR model, which is an exension of he SABR model wih ime varying parameers, is also sudied. The model is used for pricing calls and pus wih crude oil as he underlying asse. Finally, he SABR model is used for hedging crude oil risks in accordance o Barle (006) []. Based on he aforesaid, and as proved by he conclusions of he paper, he SABR model, and is developmen dynamic SABR, may serve as a precise and effecive ool for assessing he marke price of crude oil derivaives. 1

3 Indholdsforegnelse 1 Absrac 1 Indledning 6 3 Problemformulering 8 4 Råvaremarkede Kendeegn ved råvaremarkede Modellering Arbirage Forskellige kaegorier Inveseringsmuligheder Olie Forwards og fuures Prisen på en forward Forskel mellem forvene spo og forward Fuureskurven I Teori 0 5 Blacks Model Blacks Formel Udledning af Black Scholes PDE en Greeks Dela Gamma Vega Thea Rho Bevis for Dela neural fuureskurve sraegi Anvendelse af Blacks model Schwarz-Modellen Inrodukion Proxy for spo Convenience yield Proxy for convenience yield Schwarz PDE Seemingly unrelaed regression (SUR)

4 6.5.1 Teori SUR-regression i Schwarz Bjerksunds fuuresprisformel Udledning af S(T ) Udledning af δ(t ) Formel for X(T ) X() Bevis af fuuresprisformel Grænseværdi for k V [S()] og PDE en Fuurespris fra Schwarz Esimering af λ Kriik af Schwarz model Local Volailiy-Modellen Local volailiy Kriik af local volailiy SABR-Modellen Inrodukion Løsning af SABR-modellen SABR-modellens elemener Beskrivelse af f Beskrivelse af α Beskrivelse af β Beskrivelse af ρ Beskrivelse af ν Parameeresimering i SABR-modellen Esimering af α, ρ og ν Esimering af ρ og ν (α implici) Hedging i SABR-modellen Originale hedges Nye hedges Oblójs formel Dynamisk SABR Kriik af SABR-modellen Hagans approksimaion Paramere i dynamisk SABR SABR og pengemarkede II Empiri 71 9 Schwarz Daabehandling Inrodukion Daa Beregning af convenience yield Parameeresimering Parameeresimering med SUR-regression Esimering af λ

5 9.5 Analyse af fuureskurver Ou-of-sample Ou-of-sample es Forecas Diskussion SABR Daabehandling Inrodukion Definiioner Likvidie Volume Open ineres Bid-ask spread Moneyness Daa Daasorering Volume Gyldige opionspriser Tid il udløb Black implied volailiy Open ineres Indre værdi sorering Konsisens af moneyness Konsisens over id Bid-ask spreade Pu-call parieen Volume over id Volume over srikes Grænseværdi for volume Likvidie i pæne srikes Helligdage Overlap på værs af soreringer Endelig daasæ Programmering Fejl pr.observaion Kalibrering i MATLAB Tes af minimeringsfunkion Global minimeringsalgorime Saisk SABR Anvendelse Kalibrering Dynamisk SABR Eksplici α Implici α Værdi af ρ og β Modellens performance Diskussion Afrunding

6 10.8. Rene Daa Arbirære valg Hedging med SABR Finie difference hedging meode Empirisk es af -hedging Porefølje eksempel Sokasiske poreføljer Resulaer Konklusion Blacks model Schwarz model SABR-modellen Likvidie Saisk SABR Dynamisk SABR Hedging A Bilag 113 A.1 Middelværdi A. Lognormal forvene værdi A.3 Inegraionsregneregler A.3.1 Subrakion af inegraler A.3. Muliplikaion af inegraler A.3.3 Forvene værdi og inegraion A.4 Iós isomeri A.5 Iós lemma med en proces A.6 Iós lemma med o processer A.7 Maringale prisfassæelse A.8 Finie Difference A.8.1 Tes af konvergens i finie difference A.9 ATM volailie med Dynamisk SABR

7 Indledning Moivaion Oliemarkede er en sor del af verdensøkonomien. Oliepriserne rækker opmærksomhed fra den finansielle elie, de professionelle i energibranchen sam almindelige forbrugere. Der er sor eferspørgsel efer råvarer generel, og i ak med indusrialiseringen af u-lande vil denne eferspørgsel sige. De eablerede i-lande vil også presse eferspørgslen pga. en voksende levesandard. Derfor er viden om råvarer hel esseniel, hvis man skal klare sig i fremidens finansielle verden. På rods af ovensående er handel med råvarer på børsmarkede ganske ny i forhold il radiionelle akier og obligaioner fra pengemarkede. I de hele age er der sor forskel på råvaremarkede og pengemarkede. Her kan især nævnes sæsoneffeker og nyen af a have råvarer på lager (convenience yield). Af den grund kræves der en særskil analyse af råvaremarkede. Denne opgave giver en kor inrodukion il råvaremarkede, hvor der særlig er fokus på olie. De er bekvem a foreage analysen med udgangspunk i olie, da dee er den sørse råvare på markede som samidig har en simpel prisudvikling grunde fravær af sæsoneffeker. Modelvalg Formåle er a finde en model il a forklare olieprisen og prisfassæe derilhørende oliederivaer. Følgende re modeller bliver analysere: Blacks model (også kalde Black- 76), Schwarz o-fakor model fra ariklen Schwarz(1990) [11] og il sids SABR-modellen som er præsenere i Hagan e al. (00) [6]. Der laves en analyse af syrker og svagheder i de forskellige modeller. Alle re modeller kan bruges på oliemarkede. Især Schwarzmodellen som indeholder en proces for convenience yield speciel designe il råvarer. Der findes ikke én korrek meode il a modellere olieprisen, og således er der i opgaven præsenere forskellige fremgangsmåder. Schwarz-modellen bruges her il a finde fremidige oliepriser (fuures) hvor der er indbygge en risikopræmie, under P-måle, som kan jenes hjem ved a holde akive il udløb. Selve prisfassæelsen foreages under Q-måle, men fuuren bliver realisere under P-måle. Efersom der ikke er indbygge en risikopræmie i SABR-modellen (selvom den sadig eksiserer), bruges i sede Schwarz model il a undersøge denne præmie. SABR-modellen bruges derimod il a prisfassæe olieopioner, da Schwarz-modellens evne il a prisfassæe viser sig a være vivlsom. Opbygning Opgaven er del op på følgende måde: Førs gives baggrundsviden og faka om råvaremarkede og især olie. Heribland inroduceres nyige begreber som forward, fuure, convenience yield, conango og backwardaion il brug i resen af opgaven. Derefer beskrives, og il dels udledes, de maemaiske modeller som der anvendes i opgaven (Black, Schwarz og SABR). Meode Til sids eses disse modeller på empiriske daa, overvejende Schwarz og SABR, og der konkluderes. Empiriske daa besår af fuurespriser på olie fra med ugenlige inervaller, sam daglige daa fra på amerikanske call og pu opioner med oliefuures som underliggende akiv. Al programmering er forrinsvis udfør 6

8 i MATLAB, men der er også udfør konrol af enkele programmer ved a anvende Excel og R. 7

9 Problemformulering Der ønskes en analyse af de cenrale forskelle mellem råvaremarkede og pengemarkede. Hvilke problemer kan der opså ved a bruge Blacks model på oliemarkede og hvilke andre muligheder er der? Hvad er Schwarz modellen og hvad er dens begrænsninger? Hvordan er dynamikken af fuuruskurven i Schwarz? Kan modellen forudsige den fremidige fuurespris? Hvad er convenience yield for en sørrelse og hvilke udfordringer er der ved a modellere convenience yield? Kan SABR modellen, som oprindelig er udvikle il pengemarkede, bruges il a modellere olieprisen og dermed prise olieopioner? Hvor er der mes likvidie i daa og hvilke soreringsmeoder er mes effekive? Hvordan ser hedges (risikosyring) ud for Black og SABR? Hvilken hedging meode er beds i eorien og hvilken er beds empirisk? 8

10 4.1 Kendeegn ved råvaremarkede Råvaremarkede Hele afsnie er basere på kapiel i Pilipovic (007) [8]. Her vises abel 4.1, som er age fra Pilipovic side 19 neders med enkele juseringer. Tabel 4.1 sammenligner pengemarkede med energimarkede, da Pilipovic har mes fokus på energimarkede. Men da energimarkede er en del af råvaremarkede, kan nogle af poinerne også overføres il råvarer som helhed. Tabel 4.1 belyser derfor de generelle forskelle mellem de finansielle markeder og råvaremarkede. De skal for god ordens skyld nævnes, a der med pengemarkede menes al fra obligaioner og reneswaps il akier og deres derivaer. Problemsilling Pengemarkede Energimarkede Eksisens Flere hundrede år Relaiv ny Fundamenale fakorer Få Mange Påvirkning af økonomiske cyklusser Høj Lav Begivenheder Få Mange Effek af opbevaring/levering: convenience yield Korrelaion mellem kor og lang sig Ingen Høj Sor Sæsoneffeker Ingen Mange Lav, spli personaliy Regulering Lid Mege forskellig Markedsakivie ( likvidie ) Høj Lav Markedscenralisering Cenralisere Decenralisere Derivaer og opioner Simple Komplekse Tabel 4.1: Hvad er de særlige ved energimarkede? Nu undersøges hver række i abel 4.1 fra Pilipovic (007) [8]. Eksisens: De førse punk i abel 4.1 foræller, a pengemarkede har eksisere i længere id end råvaremarkede. 1 Pengemarkede har eksisere i flere hundrede år, mens de førse oliefuures førs begynde a handle på NYMEX i Dee indebærer, a pengemarkede er mere moden og eablere end råvaremarkede hvad angår likvidie og modellering. Men samidig gennemgår råvaremarkede generel en udvikling, der vil gøre de mere eablere. 1 online-sock-rading-review.openreviews.com/where-did-sock-rading-sar-.hml 9

11 Fundamenale fakorer: Rene- og akiemarkede, også kalde pengemarkede, er leere a modellere sammenligne med råvaremarkede. Der er nemlig relaiv få fundamenale fakorer, som påvirker prisen, hvilke gør de leere a lave en maemaisk model. Desuden er de, som skal leveres i pengemarkede, blo e sykke papir eller en elekronisk regisrering, som le kan opbevares, og påvirkes relaiv lid af vejre. Med råvaremarkede er de anderledes. Her er der flere fakorer som ranspor, opbevaring, vejr og eknologiske fremskrid. Privae forbrugere bruger i sidse ende de færdige produker i deres bil eller il a opvarme deres hus, mens indusriens produkion afhænger koninuerlig af energi for a undgå sore omkosninger ved a lukke og åbne fabrikker. Alle disse akører bliver påvirke af forskellige fakorer, som il slu påvirker fuurespriserne. Der er derfor flere fundamenale fakorer i råvaremarkede end i pengemarkede. Påvirkning af økonomiske cyklusser: Dee punk er en af årsagerne il, a de kan være smar a have råvarer i sin inveseringsporefølje i forhold il en porefølje udelukkende af obligaioner og akier. De flese er klar over a økonomiske nedure kan påvirke akieprisen særk. Tænk bare på Lehman Brohers konkurs i forbindelse med den globale finanskrise omkring 008. Lehman Brohers akier blev værdiløse og gik i 0. Dee kan ikke ske på samme måde med fuurespriserne på råvarer, fordi prisen på olie eller guld kan ikke gå i nul. Dee er kendeegne for råvarer generel, men man bør speciel nævne guld. Økonomiske nedure kan skabe inflaion og i værse ilfælde gøre ens penge og opsparing værdiløse. På samme måde er obligaioner blo e sykke papir, og hvis e land går konkurs, miser agenerne de penge der var invesere i dee lands obligaioner. Her kommer guld ind i billede som en forsikring mod inflaion. Guld er le a opbevare, de fylder relaiv lid, og alle seder i verden er guld e anerkend bealingsmiddel, som le kan veksles il penge eller lignende. Så derfor kan de være fordelagig for en invesor a have fysisk guld, guldfuures eller lignende i sin porefølje i ilfælde af kriseider og poliisk uro. E eksempel på dee er For Knox i USA, der har over 7 ons guld liggende i reserve. Dee guld fungerer som forsikring mod kriseider og inflaion. Begivenheder: Tørke, krig og andre nyheder kan skabe uvene ubalance mellem udbud og eferspørgsel. E eksempel er golfkrigen i saren af 90 erne, som påvirkede olieprisen. Spoprisen og de korsigede fuurespriser havde sore spring, mens de langsigede fuurespriser forblev mere sabile. Dee skyldes en forvenning om a fuurespriserne ville komme ilbage i ligevæg på lang sig, og derfor forblev de langsigede fuureskurver forholdsvis uændrede. Forskellen mellem de korsigede og langsigede fuureskurver illuserer, hvor lang id de vil age produkionen a reagere på den pludselige ubalance mellem udbud og eferspørgsel. E ande eksempel er hedebølger om sommeren, der kan få prisen på elekricie il a blive mangedoble i forhold il den gennemsnilige pris. Men efer få dage, når varmen er oversåe, plejer prisen a falde ilbage il normal niveau. Her kan man også nævne naurgas, som generel har en høj volailie, fordi prisen er følsom overfor nyhedssrømmen. Der er også begivenheder i pengemarkede som har indflydelse på priserne, men de er ikke i samme omfang som i råvaremarkede. Effek af opbevaring/levering: convenience yield: Med mange råvarer er der ofe lagerbegrænsninger. Dee ses generel ikke i pengemarkede, hvor de er mulig [8] side 0 afsni.3 10

12 a blive ved med a købe akier, så længe man har nok kapial. Den enese opbevaring i pengemarkede er e sykke papir eller en elekronisk regisrering. I råvaremarkede skal du fx have en måde il a ransporere og opbevare olie. Desuden kan elekricie ikke lagres uden sore omkosninger, men skal bruges så snar de er producere. Dee resulerer i, a den korsigede spopris kan udvise eksrem volailie for mange råvarer, mens den langsigede fuureskurve er mere sabil, ide man forvener balance mellem udbud og eferspørgsel i fremiden. De bedse eksempel er elekricie, der en gang imellem kan have en korsige volailie på op mod 1000%, hvilke ikke er normal i pengemarkede. Disse opbevaringsusikkerheder gør, a fx landmænd kan have gavn af a have eksra korn liggende på lager il næse høs eller lignende. En fabrik har gavn af a have eksra brændsof (olie, kul eller lignende) liggende på lager, da der er sore omkosninger forbunde med a lukke og opsare hele produkionsprocessen. De flese agener i pengemarkede har ikke på samme måde gavn af a have en obligaion eller akie liggende i en skuffe, og derfor er der ikke noge der hedder convenience yield i pengemarkede. Korrelaion mellem kor og lang sig: Råvaremarkede udviser i høj grad de som kaldes spli personaliy, fordi priserne både er påvirke af korsigede opbevaringsbeingelser og af den poenielle langsigede råvareforsyning, som for eksempel mængden af olie i undergrunden. Dee resulerer i, a de korsigede fuurespriser opfører sig hel forskellig i forhold il de langsigede priser, og a korrelaionen mellem de langsigede og de korsigede fuureskurver er lav. I pengemarkede er der derimod højere korrelaion mellem de lange og de korsigede fuurespriser. Sæsoneffeker: Der er sore sæsoneffeker i naurgas og elekriciesmarkede sam i flere andre råvaremarkeder. Fuureskurven for naurgas har en opadgående sæsonsvingning hver år, der opper omkring januar. De er sjælden man ser sæsonsvingninger i pengemarkede, medmindre man køber akier i en virksomhed der enen direke eller indireke har med råvarer a gøre. Regulering: Råvaremarkede er som sag sadig e ung marked i forhold il pengemarkede. De er ikke så mange år siden a fx elekriciesmarkede blev deregulere og privaisere. De samme gælder naurgasmarkede. Deregulering beyder a saen ikke længere blander sig i markede. Der er en sor forskel fra land il land, men generel sker der en deregulering i råvaremarkede. Derfor ager de også noge id før råvaremarkede er fuld udvikle, hvad angår eksperise, likvidie og eoreisk modellering. Markedsakivie ( likvidie ): Pengemarkede er som nævn mere moden end råvaremarkede, så derfor er der overordne se mere likvidie i pengemarkede end i råvaremarkede. Samidig er konrakerne i pengemarkede ypisk mere sandardiserede, og derfor er der lille behov for bl.a. eksoiske konraker og OTC (over he couner) handler i pengemarkede. I råvaremarkede er der mere handel i eksoiske konraker, og derfor også mere akivie på OTC markede. Dee er dog ikke ensbeydende med a der er mege likvidie. Markedscenralisering: I pengemarkede er handlen og eksperisen ofe cenralisere. Her kan man nævne Wall Sree i New York, hvor de flese sore firmaer opskriver deres akier, og hvor mange sore banker er lokalisere. Samme mønser ses i mange andre indusrilande. For råvarer er markede derimod decenralisere. Der er enkele seder hvor man kan handle råvarefuures, men disse fuures har ofe 11

13 e forhåndsbesem leveringssed i konrakerne, som ikke alid er de samme som de fakiske leveringssed. Leveringssede har sor indflydelse på pris og risiko, og derfor er de ikke alid mulig/opimal for agenerne a hedge med sandardiserede råvarefuures. Denne decenralisering indebærer a der er en geografisk basisrisiko, som ikke findes i pengemarkede. Derivaer og opioner: I pengemarkede er der fles simple plain vanillaopioner med kende modeller a vælge imellem il prisfassæelsen. Ikke deso mindre er de opioner, som man i pengemarkede regner for værende eksoiske, blo plain vanillaopioner i råvaremarkede. I energimarkede er asiaiske opioner mes udbrede, men der er også europæiske, amerikanske, swaps, spread- og swingopioner m.m. Asiaiske opioner er basere på prisgennemsni og er som regel billigere end lignende europæiske opioner. 4. Modellering Råvarer er ofe svære a modellere. Man kan ikke umiddelbar bruge de samme modeller som for akier, fordi råvarer kan have sæsonsvingninger. Som eksempel kan man se på naurgas, hvor eferspørgslen er højes om vineren, da der er behov for opvarmning af huse, og dee giver en signing i prisen. Der er desuden en mindre signing i prisen om sommeren pga. eferspørgslen efer aircondiion og afkøling. Disse prissvingninger om vineren og sommeren kræver formenlig a man indrager nogle eksponenialled, fordi cosinusled ikke kan opfange de hurige og sejle sæsoneffeker i elekriciesmarkeder. Desuden kan der nævnes muliperiodiske sæsonudsving med cyklusser hver 10. eller hver 100. år. 3 De bliver endnu mere kompleks, når man ager højde for a eferspørgslen for naurgas er forskellig, al efer hvilken region man ser på. Hvis man befinder sig i e område, hvor der ikke er så varm om sommeren, så vil eferspørgslen efer naurgas og afkøling være mindre her i forhold il e område, hvor der er varmere om sommeren. Hvis der herefer er behov for a undersøge en hel anden råvare som fx hvede, så er der ale om hel nye sæsonsvingninger. Frø bliver plane i en periode som afhænger af hvilken ype hvede der er ale om. Bagefer skal hveden høses, hvilke igen afhænger af hvedeypen. Derudover har vejre en effek, og alle disse fakorer er med il a påvirke udbud og eferspørgsel. Samle se må man sige, a råvareprisen afhænger af mange fakorer som sæsonsvingninger, vejr, infrasrukur og så videre, hvilke kan skabe udfordringer i modelleringen. Modellen afhænger også af, hvilken råvare der undersøges. Alene elekricie kræver særskile modeller, fordi de ikke kan lagres uden sore omkosninger, og skal derfor forbruges ligeså snar de er bleve producere. Her kan man dog fremhæve olie som en af de råvarer der er leere a modellere, bl.a. fordi der ikke er sæsonsvingninger i prisen, hvilke beyder a olie på flere punker ligner akier. Men udover olie er der generel mange forskellige slags råvarer, som hver kræver forskellige modeller, hvilke gør modelleringen mere komplicere. 4.3 Arbirage De er usikker om råvaremarkede er arbiragefri. Der er ofe få cenraliserede organisaioner som OPEC som kan konrollere prisen. Der kan være regeringskonrol, markedsmanipulaion, begrænse udbud, begrænse opbevaring sam ranspor (som 3 Pilipovic (007) [8] side

14 idligere nævn kan elekricie ikke opbevares). Slubrugere har også begrænsninger i form af hvor mege de kan opbevare og ransporere. Disse fakorer skal der holdes øje med, da mange økonomiske modeller er basere på anagelsen om ingen arbirage. Dee er en af grundende il a pengemarkedsmodeller ikke skal overføres il råvaremarkede uden videre. 4.4 Forskellige kaegorier Der er mange forskellige slags råvarer, man som invesor kan handle. Her gives en kor inrodukion. Typisk deles råvarer op i 5 kaegorier: Energi: Besår af bl.a. olie, naurgas, elekricie og kul. De primære fokus i denne opgave er olie, og de undersøges nærmere i e afsni for sig. Landbrug: Besår af bl.a. hvede, majs og sojabønner. Kød: Her finder man eksempelvis kvæg, fjerkræ og svin. Sofs: Kan være fx bomuld, kaffe og sukker. Meal: Typiske mealler på markede er jern, aluminium, kobber, plain, palladium, guld og sølv. 4.5 Inveseringsmuligheder Der er flere måder, hvorpå man kan invesere i råvarer. Her beskrives nogle forskellige meoder. 4 Fuures: Da der generel ikke er noge cenralisere spomarked for olie, så er fuures de æese man kan komme på a invesere direke i olie. Køb af olie il spo er på grund af ranspor- og lageromkosninger generel ikke økonomisk forsvarlig for spekulaner. Akier: Man kan købe akier som er korrelerede med råvarer. Virksomheder, der skal bruge råvarer som inpu, vil være korrelerede med prisen på deres inpu. Hvis deres inpu bliver dyrere, så falder virksomhedens akie al ande lige, fordi de bliver dyrere a producere virksomhedens produk. E guldmineselskab bliver il gengæld mere værd hvis prisen på guld siger, fordi gulde så kan sælges il en højere pris. Man kan også invesere i virksomheder som ejer en olieboreplaform, og på den måde inveserer man indireke i en råvare. E ande eksempel er a invesere i en virksomhed, som er specialisere i a finde nye oliereserver. Sådanne virksomheder er der fles af når prisen på olie er høj, og de derfor kan beale sig a lede efer nye oliedepoer. De skal siges a der ikke er en 1:1 sammenhæng mellem den pågældende virksomheds akier og fx olieprisen, men der er ale om en høj korrelaion. Nogle virksomheder har dog hedge deres prisrisiko væk i ilfælde af a deres omsæning afhænger mege af råvareprisen, så ing som dee bør undersøges før en ev. invesering. 4 Beskreve ud fra Balarie (007) [1] side

15 Muual funds: Hvis man ikke ved så mege om markede eller ikke har lys il a være engagere, men sadig gerne vil invesere i råvarer, så kan man købe en andel i en muual fund. I en muual fund sidder der en manager som udvælger en porefølje af råvarer, akier og derivaer, som man kan køber sig ind på. Der er mange forskellige slags muual funds. Nogle handler kun med råvarefuures, andre handler kun med akier for energivirksomheder, og andre seder er de blande. Kvalieen af de forskellige muual funds er ligeledes forskellig, og mege afhænger af den pågældende manager der udvælger poreføljen. Her kan de være passende a undersøge hans erfaring og idligere performance. Man kan også undersøge nærmere om manageren er risikoavers eller risikosøgende og dermed vælge en manager, der passer il ens risikoprofil. Valua: Der er lande hvis økonomi afhænger af beseme råvarer. Ved a invesere i valua for de land kan man indireke invesere i den pågældende råvare gennem korrelaion mellem valua og råvare. Som eksempel kan man nævne Canada, hvis ekspor i høj grad afhænger af olie, og derfor er der mange invesorer der spekulerer i olieprisen ved a invesere i canadiske dollars. Der er dog ikke ale om en 1:1 sammenhæng mellem valua og råvare, og derfor er dee en indireke meode il a invesere i råvarer, hvor korrelaionen mellem valua og råvare afhænger af den pågældende kombinaion af land og råvare. Hvorfor invesere i råvarer? Prisen på olie eller en anden råvare vil aldrig gå i 0. Når man køber en akie il gengæld, så inveserer man i en virksomhed, og så er der risiko for a den virksomhed går konkurs. Desuden er de en mye a akier har bedre afkas end råvarer. Se over de sidse 50 år så har akier og råvarer klare sig lige god. 5 Balarie (007) [1] argumenerer også for a råvarer er e bull marked. De vil sige a de på lang sig vil sige i pris pga. fundamenale fakorer som udbud og eferspørgsel. Man skal huske på, a rigig mange udviklingslande er mid i en indusrialisering, som kræver enorme mængder råvarer il a bygge huse, jernbaner, fabrikker, biler osv. Ydermere kan nævnes Kina og Indien, som begge har enorme væksraer. Denne udvikling vil forsæe i mange år endnu, og når disse lande bliver moderne, rige og indusrialiserede, så vil eferspørgslen efer råvarer igen sige, fordi forbrugerne vil bruge flere penge. Den faige kinesiske farmer, hvis diæ før i iden primær besod af ris, vil nu også kunne købe dyre produker som kød. Han vil måske også have råd il en bil sam elekroniske apparaer i hjemme. Alle disse ing vil kræve sore mængder olie, elekricie osv. Samidig med dee vil jordens samlede befolkning vokse, hvilke vil øge eferspørgslen efer landbrugsproduker og kød. 4.6 Olie Dee afsni er primær basere på Geman (005) [5]. Olie udgør den sørse andel af råvaremarkede 6, og bl.a. ransporsekoren benyer i høj grad olie il alle yper biler der kører på enen benzin eller diesel. Både benzin og diesel er produker af olie. Peroleum er også e produk af olie, og de benyes bl.a. il a lave flybrændsof. Desuden bliver fyringsolie brug il opvamning af huse. Af de mindre kende anvendelser af olie kan nævnes CD-afspillere, øj, plasic, affaldsposer, kuglepenne, sko og lysesager. 7 Olie er 5 Balarie 007 [1]Side 50 6 hp://beseneveryhing.com/op-en-mos-raded-commodiies 7 hp:// 14

16 en endelig ressource, da de ager længere id for de a opså, end de ager a bruge de. De er lave af millioner år gamle planer og dyr, som ligger under jorden under sor ryk og høje emperaurer. På e idspunk vil jorden løbe ør for olie som er økonomisk forsvarlig a udvinde. Forskellige kilder sæer dee al mellem år ud i fremiden. Men man må formode a der i ak med de eknologiske fremskrid kommer nye økonomisk holdbare alernaiver. Olie er en sor del af energimarkede og selvom de findes i mange forskellige yper, er der sadig cenralisere handel i form af benchmarks for forskellige kvalieer. Bland de mes anvende er der WTI (Wes Texas Inermediae), Bren Blend fra Nordsøen og Dubai Crude fra de Forenede Arabiske Emiraer. Kvalieen af olie gøres op i svovlindhold og densie, hvor lav svovlindhold og lav densie normal forbindes med høj kvalie og pris. Der findes for de mese ikke noge spomarked for olie, da de før anvendelse skal gennem e olieraffinaderi, hvor de bliver behandle i sore mængder for a skabe forskellige olieproduker il brug hos virksomheder og forbrugere. Olien varmes op il høje emperaurer, hvorefer forskellige dele af olien fordamper og efer nedkøling bliver il forskellige olieproduker. Produkerne deles op fra lee il unge. Under de lee kan nævnes benzin og LPG (liquified peroleum gas), de mellemunge produker er bland ande diesel og peroleum, og under de unge produker er brændselsolier, smøringsolier og asfal. Olie er en del af infrasrukuren i de moderne indusrisamfund, og der bruges ca. 87 millioner ønder olie om dagen. 8 En ønde olie indeholder ca. 159 lier. Oven i de er den ypiske leveringsid på olie 30 dage. De beyder, a der er ca.,6 milliarder ønder olie under ranspor neop nu. De sore daglige mængder gør a mange akører inden for indusrien anvender jus-in-ime leveringsprincipper for a spare lageromkosninger. De sørse olieankere kan rumme over 3 millioner ønder olie. 9 Sæsonsvingninger i oliemarkede er ikke relevane, fordi olieankere relaiv le kan opbevare olie på vande i flere måneder, og desuden dirigeres hen imod de regioner der eferspørger mes. Med andre ord er olie e global marked. De sore forbrug beyder høj likvidie. Ejeren af e ankskib kan næsen alid sælge enhver slags olie i enhver slags havn uden a skære for mege i prisen. Da olie er så inegrere i infrasrukuren, kan man ud fra hisoriske oliepriser se sørre begivenheder som fx 11. sepember og finanskrisen. Nogle former for raffinere olie kan subsiuere eller subsiueres af andre råvarer på energimarkede, og dee giver en korrelaion i prisen med fx naurgas og kul. Hvis prisen på olie siger kan energiprodukionen sæes over i flere kul- og gaskrafværker, og de vil få prisen på kul og naurgas il a sige. I de finansielle markeder handles der mange forskellige derivaer på olie såsom fuures, calls og pus. På NYMEX (New York Merchanile Exchange) handles WTI konraker, som hovedsaglig bruges il daa i denne opgave. Disse konraker har selemen i Cushing, Oklahoma. Handel med levering andre seder foregår på OTC-markede, efersom der findes mange former for olie og mange leveringsseder. En sådan handel kan prisfassæes på mange måder, fx kan man bruge e gennemsni af prisen på NYMEX over e anal dage plus eller minus en specifik jusering, som har med levering og kvalie a gøre. En fuureskonrak på WTI har en sørrelse på 1000 ønder olie, og prisen er give per ønde. Tickerværdien i Bloomberg er CL, og hvis man ønsker hisoriske priser på oliefuures med 1 måned il udløb, så skrives der CL1 Comdy i Bloomberg-søgefele. Markede for olie er e månedlig marked, da dee er de mindse prissegmen. Der sælges fx juni-, okoberog decemberkonraker, men der kan ikke købes en irsdag d. 1 juni konrak. De vil sige, a der ikke findes daglige oliefuures. Generel er der mes handel for fuures med 1-6 måneders løbeid, men disse har 8 hp:// 9 hp://en.wikipedia.org/wiki/oil_anker 15

17 dog faldende likvidie mod længere udløb. Junikonraker har omkring års likvidie. Decemberkonraker har mange års likvidie, for hvis man skal bruge en sepember 017 konrak, så er de normal praksis a købe en december 017 konrak i sede for. Når iden er inde kan man konverere december konraken il en sepember konrak ved hjælp af en calendar swap. Hvad angår call og pu opioner, så har de god likvidie i 3-5 måneder al efer moneyness. Dog har de længere udløb mes likvidie i pæne srikes omkring ATM (a he money), fx 90, 95 eller 100. Hvis der egnes nogle volailiessmil med Blacks model, så viser de sig a likvidieen begynder a falde lang væk fra ATM. Her kommer der desuden spring i daa og især de halve srikes, som eksempelvis 91,5 og 105,5 kan være forker prisfassa. Ud over implied volailiies kan der også anvendes open ineres, volume eller Dela som en indikaor for likvidie. Der er desuden ingen kredirisiko i råvarederivaer handle på en børs. Førs og fremmes bliver al handel soppe hvis der sker for sore flukuaioner i prisen, og for de ande siller børsen sikkerhed (clearing house). Så hvis modparen går falli skal børsen dække hans bealinger. Evenuel falli af CME, som ejer NYMEX, virker mege urealisisk, da de er den sørse børsvirksomhed i verden. 4.7 Forwards og fuures I råvaremarkede handles der primær med forwards og fuures. En forwardkonrak er en afale om fx a købe en ønde olie om 1 år il en afal pris. Når man indgår denne forwardkonrak, har man som køber plig il a købe en ønde olie om e år, mens sælger af forwardkonraken har plig il a sælge 1 ønde olie om e år il den afale pris. De skal desuden nævnes a disse konraker alid indgås il en sarværdi på 0. En fuureskonrak er mege lig en forwardkonrak, borse fra a den fjerner næsen al modparsrisiko fra afalen. De skyldes a sælger og køber fra dag il dag afregner prisforskelle. De vil sige a hvis fuuresprisen den førse dag siger med kroner, så skal sælger af fuureskonraken overføre kroner il købers bankkono. Hvis fuuresprisen på andendagen derimod falder med 5 kroner, så skal køber beale 5 kroner il sælger. I praksis gøres dee ved hjælp af marginkoni, hvor sælger og køber som minimum skal indsæe e afal beløb, fx 500 kroner som sikkerhed. Når ens marginkono kommer under en afal nedre grænse, fx under 00 kroner, så skal man indsæe penge på konoen, så der igen er 500 kroner, ellers ophæves fuureskonraken. Endvidere kan en fuureskonrak ofe geares, da krav il marginkonoen ofe er mindre end værdien af de underliggende akiv (omkring 30% på oliefuures). De enese idspunk hvor der kan være prisforskel på en fuure og en forward, er pga. reners rene på ens marginkono, og i så fald er prisforskellen ikke sor. Hvis der ses bor fra fallirisiko, kan der derfor anages a forward- og fuuresprisen er ens, og begge udryk benyes i opgaven Prisen på en forward Nu konsrueres der en porefølje for a finde prisen på en forwardkonrak. For a finde prisen skal der foreages nogle handler il idspunk 0 og idspunk T for a se, hvad de giver af cash flow i al. Her er hvad der skal gøres il idspunk 0: ˆ Lån S 0 i banken, hvilke giver cash flow S 0 10 Pilipovic (007) [8] side

18 ˆ ˆ Køb 1 syk akie il spopris S 0 med de penge der blev lån i banken, og hold akien il idspunk T, hvilke giver cash flow S 0 Gå kor i en forwardkonrak, som skal afvikles på idspunk T, hvilke giver cash flow 0 Her er hvad der skal gøres il id T : ˆ Beal lån ilbage il banken med rener, hvilke giver cash flow S 0 e rt ˆ Du ejer nu en akie, som har værdien S T ˆ Ifølge forwardkonraken skal du give din akie il modparen, hvilke giver e cash flow S T. Den bealing du får for akien, er den på forhånd afale forwardpris F T. Di samlede cash flow er F T S T Cash flows kan illusreres i følgende abel 4.: ime 0 ime T Banklån S 0 S 0 e rt Akie S 0 S T Shor Forward 0 F T S T Sum 0 F T S 0 e rt Tabel 4.: Cash flow il a finde arbiragefri forwardpris I abel 4. er F T S 0 e rt e risikofri cash flow, og hvis beingelsen om ingen arbirage skal være opfyld, så må der gælde a forwardprisen er: F T = S 0 e rt (4.7.1) 4.7. Forskel mellem forvene spo og forward Afsnie er basere på Pilipovic (007) [8] kapiel Her bliver de vis a forwardprisen ikke nødvendigvis er lig med den forvenede spopris. Der ses på en akie der ikke bealer dividende, og som har forvene afkas µ. Den forvenede spopris er lig med: Nu kan ligning divideres med ligning 4.7.: E[S T ] = S 0 e µt (4.7.) F T E[S T ] = S 0e rt S 0 e µt = et (r µ) F T = E[S T ]e T (r µ) (4.7.3) Her kan de ses a forwardprisen er proporionel med den forvenede spopris, men ikke nødvendigvis lig med den. Forwardprisen er lig med den forvenede spopris, efer 17

19 Tid Fuurespris Fuurespris Fuurespris Tid Tid (a) Conango (b) Backwardaion (c) Mix Figur 4.1: Fuureskurve dynamik den er bleve jusere for prisen på markedsrisiko, hvor prisen på markedsrisiko er definere som: λ = µ r σ r = µ λσ (4.7.4) Her er λ prisen på markedsrisiko, og σ er akieprisens volailie. Ved a ersae renen r i ligning med udrykke i fås: F T = E[S T ]e λσt (4.7.5) Ligning viser med sørre ydelighed a forwardprisen er lig med den forvenede spopris jusere for prisen på markedsrisiko λ. Ligning slår derfor igen fas, a forwardprisen som regel ikke er lig den forvenede spopris Fuureskurven Backwardaion og conango siger noge om hvordan fuureskurven ser ud. I figur 4.1 er vis 3 grafer. En med conango, en med backwardaion og en, der sarer i conango, og derefer skifer over i backwardaion. Tid il udløb på fuureskonrakerne er på førseaksen, og den er sigende fra vensre mod højre. I disse grafer sår man på én dao og ser på priserne af fuures il alle løbeider. Her beskrives de 3 ypiske fuureskurver: Conango er når spoprisen er lavere end fuuresprisen, hvilke kan ses i figur 4.1a. En fuureskurve i conango vil være ilagende med længere udløb, alså vil en 6-måneders fuure have en højere pris end en 1-måneds fuure i dag. Conango kan ske, når der er cos-of-carry, alså opbevaringsomkosninger på en råvare, og conango-niveaue vil generel ikke oversige denne cos-of-carry. Hvis den gjorde, ville man kunne gå kor i en fuure og samidig låne penge il a købe råvaren spo og opbevare den. Ved fuurens udløb vil den kunne leveres il en profi. Backwardaion er når spoprisen er højere end fuuresprisen som vis i figur 4.1b. En fuureskurve der er afagende med længere udløb, er i backwardaion. Backwardaion sker når der er e posiiv convenience yield, som er højere end renen. Convenience yield er den præmie (eller omkosning), man jener (eller bealer) for a holde en vare fysisk i modsæning il a have en fuure. De er vigig a undersrege a convenience yield præmien ikke er noge der ren fakisk modages 18

20 men er en slags nyepræmie, undagen lageromkosninger som selvfølgelig alid skal beales. Hvis varen opbevares fysisk på en fabrik, kan produkionen holdes i gang i ilfælde af pludselige signinger i eferspørgslen, eller hvis der opsår spild eller uheld i produkionen, som ville kræve mere inpu. Convenience yield uddybes senere i afsni 6.3. Mix er når fuureskurven indeholder en blanding af backwardaion og conango. I figur 4.1c er dee vis med conango i saren af fuureskurven, som senere skifer over i backwardaion. Empirisk se kan man ofe observere denne ype fuureskurve i oliemarkede. I sjældne ilfælde kan kurven også sare i backwardaion og slue i conango. Inden for eksempelvis naurgas kan der også være sæsonsvingninger, der giver mange ændringer mellem conango og backwardaion i de lange udløb. 19

21 Del I Teori 0

22 Blacks Model Da der i råvaremarkede kun handles fuures (ikke spo) på diverse børser, er de nødvendig a bruge Blacks formel. Blacks formel og dens greeks bruges derudover i SABR-modellen, så derfor inroduceres modellen her. 5.1 Blacks formel Dee kapiel er primær lave ud fra McDonald (009) [7]. Blacks formel er sor se den samme som den mere kende Black-Scholes formel. C = N(d 1 )S e rt N(d )K d 1 = log(s/k) + (r + σ /)T σ T d = log(s/k) + (r σ /)T σ T = d 1 σ T (5.1.1) Forskellen er a i Blacks formel anvendes fuuresprisen i sede for spoprisen. Man korrigerer skife fra spo il fuure ved a bruge fuurespris-formlen fra S = e rt F Udrykke for fuuresprisen kan nu indsæes i de re ligninger for C, d 1 og d i Black-Scholes formel fra 5.1.1, og dermed fås Blacks formel: C = e rt (N(d 1 )F N(d )K) d 1 = log(f/k) + (σ /)T σ T d = log(f/k) (σ /)T σ T = d 1 σ T (5.1.) hvor C = C(F, K, σ, r, T ). De ses a der er anage konsan volailie, hvilke ikke semmer overens med virkeligheden. C er den europæiske callpris. P er den europæiske pupris. F den underliggende fuureskonrak. Den skal semme overens med opionen. K er srike prisen, alså den barriere som F skal være sørre end, hvis en call C skal have værdi. Omvend med en pu P. σ er opionens volailie. Deso sørre volailie, deso sørre er chancen for a opionen kommer i pengene, og de giver en højere pris. Der er en 1:1 sammenhæng mellem volailie og opionspris. r er den risikofrie rene. I Blacks model anages den a være konsan. T er opionens udløbsid. Tiden begynder desuden i = 0, som er saridspunke. 1

23 N( ) er den kumulaive normalfordeling, som har en værdimængde mellem 0 og 1. Desuden gælder Pu-Call parieen: P = C + Ke rt F e rt (5.1.3) hvor P = P (F, K, σ, r, T ). Ved hjælp af pu-call parieen kan man finde prisen på en pu ud fra prisen for en call: P = e rt (KN( d ) F N( d 1 )) 5. Udledning af Black Scholes PDE en I dee afsni udledes Black Scholes PDE, som kan bruges il a nå frem il Black Scholes ligningen og dermed også Blacks formel. De anages a de underliggende akiv følger en geomerisk Brownsk bevægelse: Derudover er der følgende anagelser: ds/s = µd + σdw ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ingen arbirage Ubegrænsede lånemuligheder i banken il en konsan risikofri rene Ingen ransakionsomkosninger Mulig a handle frakioner af akiver Mulig a gå kor i akiver Ingen dividender (som alligevel ikke ekiserer i Blacks model) fås Dee er de ypiske markedsanagelser, og de gælder for modellerne i denne opgave. En call opion C afhænger af S og : C = C(S, ). Ved a bruge Iós lemma fra A.5. dc = ( C C µs S + 1 ) σ S C d + σs C S S dw Herefer indsæes en lille ændring af S, hel præcis S: ( C d(c + S) = Hvis man så sæer = C, så fås: S C + µs S + 1 ) σ S C S + µs d + σs C dw + σsdw S d(c ( C/ S)S) = ( C + 1 ) σ S C d (5..1) S

24 Denne selvfinansierende porefølje 1 (Π = C C C S med ændringen dπ = dc ds) S S er nu Delahedge og risikofri, og grunde anagelsen om ingen arbirage bør den vokse med den risikofrie rene. dπ = rπd Her gælder der a dπ er lig med vensresiden i Nu går d ud på begge sider. ( r C C ) ( C S S d = + 1 ) σ S C d S r ( C C Herefer fås Black-Scholes PDE: ) S S = C + 1 σ S C S 0 = C + 1 σ S C C rc + Sr (5..) S S Denne PDE er konsisen med Black-Scholes formlen med grænsebeingelserne for en call opion: 5.3 Greeks C(0, ) = 0 C(S, ) S når S C(S, T ) = max{0, S K} Bemærk a greeks ikke kun findes i Black men også andre modeller. Imidlerid er de lees a udregne/inroducere greeks under Blacks model så her kommer definiionen. Greeks måler sensiivieen af parameerændringer i ens deriva, dog kun en parameer ad gangen og al ande holdes lige. Greeks foræller, hvor udsa man er for forskellige risici, og kan samidig bruges il a fjerne (hedge) disse. De er sjælden mulig a fjerne al risiko i sin porefølje, men en sor del kan fjernes. De mes anvende greeks er: = C F Dela viser ændringen i opionspris, når underliggende siger med 1 Γ = C F Gamma viser ændringen i Dela, når underliggende siger med 1 ν = C σ Vega viser ændringen i opionspris, når volailieen siger med 1 procenpoin Θ = C Thea viser ændringen i opionspris, når id il udløb falder med 1 år (normal deles resulae med 360 for a få de daglig i (T ) sede) ρ = C Rho viser ændringen i opionspris, når renen siger med 1 procenpoin r Der er definere en del flere greeks for både anden- og redjegradsaflede, men de bruges generel ikke i Blacks model, så de er ikke beskreve her. 1 hp:// 4&ved=0CEEQFjAD&url=hp\%3A\%F\%Fwww.frouah.com\%Ffinance\%50noes\ %FBlack\%50Scholes\%50PDE.pdf&ei=gKKyU-qiMuS6ygPRk4CIDg&usg= AFQjCNG15BDAdErMdH0eOCHBMlsvmSbGZg&sig=4RyDcEyB9g6LUEwG5MC4w&bvm=bv ,d.bGQ 3

25 5.3.1 Dela Dela-hedging er e kend udryk indenfor finansverdenen. Dela er mellem 0 og 1 eller -1 og 0, al efer om man har med call eller pu a gøre. Dee gælder hvis der er ale om en lang posiion, og hvis der er ale om en kor posiion bliver de omvend. Hvis man er dyb ITM (in he money), svarer de næsen il a eje de underliggende akiv, men de skal bemærkes a der er en lille chance for a havne OTM hvilke påvirker værdien, og desuden skal srikekursen frarækkes. I dee ilfælde vil Dela være æ på 1. Er man derimod lang OTM (ou of he money), er der en mege lille chance for a opionen er noge værd, og de svarer derfor il, a man næsen ejer ingening af de underliggende, og derfor er dela æ på 0. En call opion ATM vil il udløb have en dela på ca. 0,5. Dela-hedging foregår ved a man med en lang call med e dela på fx 0,6 hedger sig selv ved a gå kor 0,6 af de underliggende akiv. Dee vil skabe en porefølje, der er immun over for små ændringer i prisen af de underliggende akiv. Dog vil sørre ændringer sam ændringer i alle andre paramere kunne ændre ens opionsværdi Gamma Gamma er den aflede af Dela og dermed den andenaflede af de underliggende. Gamma viser hvor sensiiv Dela er over for ændringer i de underliggende akiv. Dee kan hjælpe med a afgøre, hvor i man bør rebalancere sin porefølje, også kalde dynamisk hedging. Hvis man har en opion dyb ITM, så vil en lille ændring i de underliggende ikke have særlig sor indflydelse på Dela, og derfor vil Gamma være lav. Kor sag vil en høj Gamma beyde, a ens Dela er mere volail, og man bør rebalancere sin porefølje ofere, hvorimod en lav Gamma beyder de modsae. Hvis man udelukkende ser på ATM, så er Gamma højes med korere id il udløb. Deso korere der er il udløb, deso mere varierer Gamma på værs af forskellige srikes fra OTM il ITM Vega Vega kan bruges il a finde sensiivieen overfor ændringer i volailie, og både calls og pus bliver begge påvirke posiiv af volailie. Vega er højere ved ATM end OTM og ITM. Dee giver god mening, da ATM opioner har den højese idsværdi indbygge i prisen, og en ændring i volailie påvirker kun den del af opionsprisen, som besår af idsværdi (ikke indre værdi). Dee er også grunden il, a Vega bliver højere, når id il udløb øges, da idsværdien af opionen bliver forøge. Hvis volailieen ændrer sig lang id før udløb, så vil den nå a få sørre indflydelse, end hvis den ændrer sig lige før udløb. Desuden bliver Vega (i procen af prisen) sørre fra ITM il OTM. Dee er fordi OTM opioner pr. konsrukion har ine a mise og al a vinde, og derfor er de der, a Vega kan skabe de sørse procenvise ændringer i opionsprisen. Empirisk se har derivaer en endens il eksplosiv volailie, når de nærmer sig udløbsidspunke. Grunden il dee er a prisen ikke kan nå a sabilisere sig efer evenuelle nyheder og/eller prischok. Lange udløb bliver ikke påvirke på samme måde, da de forvenes a effeken af begivenhederne forsvinder og dermed forbliver disse priser uændrede Thea Thea viser sensiivieen i opionsprisen, når id il udløb bliver mindre med e år. En opion vil mise værdi, når der fx er gåe en dag, hvis alle andre paramere holdes fas. Deso længere der er il udløb, deso mindre (numerisk) vil Thea være. ATM 4

26 opioner miser mes værdi pga. iden, fordi prisen indeholder en sor del idsværdi if. indre værdi, og disse opioner har dermed en sørre (numerisk) Thea if. OTM og ITM opioner. Desuden er der alid e radeoff mellem høj Gamma og høj (numerisk) Thea. En opion med den højes mulige Gamma har ilsvarende den (numerisk) højese Thea. Dee er fordi, a den høje Gamma forøger opionens idsværdi, hvilke skyldes, a der kan nå a ske mege mere, når Gamma er høj, og de giver en højere opionspris. Med samme argumen kan man sige, a opioner med høj volailie også har en høj (numerisk) Thea. Hvis der il gengæld ikke sker nogle ændringer i de underliggende, med iden, så bliver opionens idsværdi nedbrud af Thea. Thea (alså idsværdien) siges a være den greek der dræber fles opioner i de empiriske markeder Rho Rho er numerisk sørre deso længere der er il udløb pga. en krafigere diskonering. Generel er opionsprisen mindre sensiiv mh. renen i forhold il andre greeks, og derfor anvendes Rho ikke så ofe. I Blacks model diskoneres hele udrykke i prisformlen med renen, og derfor vil en call opion falde i pris, når renen øges med 1 procenpoin. Dee er i modsæning il Black-Scholes hvor prisen siger Bevis for Dela I dee afsni bevises formlen for, efersom denne værdi anvendes i daaafsnie om SABR-modellen. Førs bevises følgende ligning : F e rt N (d 1 ) Ke rt N (d ) = 0 (5.3.1) Hvis ovensående skal gælde, må følgende være opfyld: F e rt N (d 1 ) = Ke rt N (d ) F K = N (d ) N (d 1 ) (5.3.) Der mindes om, a den kumulaive sandardnormalfordeling N(x) differeniere blo giver densiesfunkionen for sandardnormalfordelingen: Så kan udrykke N (d ) N (d 1 ) udregnes: N (x) = 1 π e x / ( N (d ) N (d 1 ) = ( Så kan benyes il a omskrive 5.3.: 1 π e d 1 π e d 1 ) ) =e d 1 d (5.3.3) log F K = d 1 d Basere på hp:// (5.3.4) 5

27 Nu bruges kvadrasæningen il a omskrive d 1 d : 1 (d 1 d ) = 1(d 1 + d )(d 1 d ) Som de næse kan man indsæe udrykke for d = d 1 σ T fra 5.1.: = 1 ( d 1 σ ) T σ T Herefer indsæes udrykke for d 1 = log(f/k)+(σ /)T σ T fra 5.1.1: = 1 ( log(f/k) + (σ /)T σ T σ ) T σ T log(f/k) + (σ /)T 1 σ T = log(f/k) Hermed er de vis, a også højresiden i er lig med log(f/k), og dermed er udrykke fra bevis. Næse rin er a differeniere d 1 og d fra 5.1. mh. F for a vise, a resulae er de samme. Og nu med d : d 1 F = ( ) log(f/k) + (σ /)T F σ T 1 F = σ T σ T = 1 F σ T Dermed kan man konkludere a: d F = ( ) log(f/k) (σ /)T F σ T 1 F = σ T σ T = 1 F σ T d 1 F = d F = 1 F σ T (5.3.5) Nu differenieres Blacks formel fra 5.1. mh. F : call = C F = e rt N(d 1 ) + F e rt N (d 1 ) d 1 F e rt KN (d ) d F Så benyes 5.3.5: 6

28 call = e rt N(d 1 ) + d 1 [ F e rt N (d 1 ) e rt KN (d ) ] F Til sids bruges formel 5.3.1: call = e rt N(d 1 ) Dee var Dela for en call. Man finder Dela for en pu ved a differeniere pu opionsprisen fra Dee giver: pu = P F = F pu = C F e rt pu =e rt (N(d 1 ) 1) ( C + Ke rt F e rt ) neural fuureskurve sraegi I dee afsni vises e eksempel på hvordan kan bruges i praksis. Hvis man i sede for a invesere i olie ønsker a jene penge på dynamikken af fuureskurven kan der laves en -neural sraegi. Dee beyder a prisrisikoen på olie elimineres og der inveseres i fuureskurvens hældning ved brug af kore fuures. Lange fuures har lav korrelaion med kore fuures, så hvis der bliver brug en lang og en kor fuure vil Dela-neuralieen ikke holde særlig god over id. Derfor er de lees a foreage inveseringen i den kore ende, og fuureskurven er som regel også sejles her. Så skal ens posiion heller ikke geares så mege for a skabe e vis afkas. Der opnås e afkas, hvis fuureskurven er sejlere mellem 1 og måneder end mellem og 3 måneder, hvis der er conango, hvilke ofe er observere i markede. I ilfælde af backwardaion skulle man ro, a sraegien blo kan invereres, men de gør sharperaioen lavere. Dee skyldes a dynamikken under backwardaion, udover a skife foregn, er anderledes end under conango. Desuden vil backwardaion ofe falde ilbage il conango før udløb (i dee daa), så derfor er de umiddelbar beds kun a invesere med udgangspunk i conango. Dog under anagelse om a fuureskurvens form ikke ændrer sig ved spoprisskif men kun parallelforskydes op/ned. Endvidere er der anagelser om a fx en 3-måneders fuure bliver il en -måneders på 4 uger, og dee vil i enkele ilfælde være en fejlkilde. Dee er fordi a en hird-nearby fuure nogle gange quoes 5 uger i ræk inden den skifer il second-nearby. I abel 5.1 er de vis hvilke fuures der skal købes/sælges sam anal og købsidspunk. Fx er F (0) de anal 3-måneders fuures som der skal købes på idspunk 0. Grunden il F (0) F 3 (0) F 3 (0) er a der skal være en profi på 0 i førse periode, så man bruger præcis profien af den kore posiion il a finansiere den lange posiion. De ses i abel 5.1 a ens posiion (lang/kor) eferfølgende il id T er ingening, og a der kun er profi ilbage. Denne meode er udfør i en periode på over 0 år fra , hvor der inveseres hver uge, og hver invesering har en løbeid på en måned. Der er anage en risikofri verden, så ind- og udlånsrene er ens, der er ingen ransakionsomkosninger, og der er ingen margin requiremens. Sraegien har en sharperaio på 0,1696 om ugen (1, om åre). I figur 5.1 vises afkasfordelingen over de 0 år. 7

29 id 0 kor F (0) lang id T F (0) F 3 (0) F (T ) F (0) F 3 (0) F 3(0) F 1 (T ) profi 0 F (T ) F (0) F 3 (0) F 1(T ) Tabel 5.1: -neural sraegi Observaioner Afkas i dollars Figur 5.1: Hisogram af -sraegi anvend på 0 års daa De kan ses i figuren, a afkase ikke er normalfordel, efersom den røde kurve fier daa dårlig. Ligesom med mege ande daa inden for finansiering er der ikke nok halesandsynlighed i normalfordelingen, og derfor hives halerne ud hvilke giver e dårlig fi. Desuden er der en posiiv skævhed i daa, som normalfordelingen heller ikke kan fange. Sharperaioen på 0,1696 skal kunne dække margin requiremen coss, ransakionsomkosninger og invesors risikopræmie. Endvidere skal der være egenkapial nok il a kunne klare perioder med dårlige resulaer. Hvis disse beingelser ikke er opfyld, kan inveseringen ikke beale sig. Denne sraegi er også kend som e calendar spread, og den kan derfor lees udføres ved a handle med disse, da de kræver e mindre margin requiremen sammenligne med a gå lang og kor i fuures. For a sænke evenuel korrelaion i resulaerne, og dermed mindske sansynligheden for ab flere gange i ræk, kan man nøjes med kun a have en posiion åben ad gangen. 5.4 Anvendelse af Blacks model Black bruges i forbindelse med SABR-modellen il a konverere implicie volailieer il priser og omvend. I de førse ilfælde bruges en analyisk løsning i form af Blacks formel i ligning 5.1., og i de ande ilfælde løses denne formel numerisk. Der er argumener for a Blacks model ikke er forklarende nok, og især dens hedges kan ramme ved 8

30 siden af. Dog er modellen e fin redskab il a konverere priser il implicie volailieer il beregning i for eksempel SABR-modellen. De siges a man kommer de forkere al (implici volailie) ind i den forkere formel (Blacks formel) for a få den rigige pris. Desuden skal de nævnes a greeks i Blacks model er simple a udregne, da de har en analyisk løsning. I flerfakormodeller kræves der il ider endelig differens-meoder for a finde en løsning il de aflede. Generel vil Blacks greeks ligge i nærheden, og derfor kan disse anvendes il hurig a finde en brugbar, men måske ikke hel korrek løsning. E eksempel på dee er a Blacks udregnes senere i opgaven og bruges herefer il a sorere grof i daa il videre kalibrering af SABR-modellen. I de empiriske daa bruges Blacks model, selvom opionerne er amerikanske. Der anages a de amerikanske opioner har samme værdi som de europæiske, da der ikke er dividender, og pus, som er dyb ITM, vil næsen aldrig overleve likvidiessoreringen. Desuden er renen lav, så de ville ikke blive exercise før id, selvom de slap igennem soreringen. 9

31 Schwarz-Modellen 6.1 Inrodukion Denne sekion er basere på Schwarz (1990) [11]. Moivaionen bag Schwarz model er a benye convenience yield il a prisfassæe oliefuures. Der bliver nævn i ariklen, a convenience yield idligere har vis a have en sammenhæng med mange råvarepriser. Der er ale om en o-fakor model med o sokasiske processer, en for spoprisen og en for convenience yield. Formåle med modellen er a prisfassæe oliefuures sam oliederivaer, og få e indblik i de mekanismer der syrer olieprisen. Nu opskrives selve modellen: ds/s = µd + σ 1 dz 1 dδ = [k(α δ)] d + σ dz (6.1.1a) (6.1.1b) Desuden er de Brownske bevægelser korrelere med parameeren ρ: dz 1 dz = ρ. Modellen fra kan også skrives under de risikoneurale sandsynlighedsmål: ds/s = (r δ)d + σ 1 dz1 dδ = [k(α δ) λσ ] d + σ dz (6.1.a) (6.1.b) De brownske bevægelser er nu bleve ændre og de skrives derfor med en sjerne dz 1. Samidig er drifen µ ersae af r δ i ligning 6.1.a, og λσ er rukke fra i drifen i ligning 6.1.b, hvilke beyder, a processerne fra 6.1. nu er definere under de risikoneurale sandsynlighedsmål. Den nøjagige udledning af de risikoneurale processor bliver senere vis i ligningerne og Spoprisen på olie anages a være lognormal, og dee er de ypiske seup, som man kender fra Black Scholes modellen, hvor dividender blo svarer il convenience yield. Dog er der en udvidelse i form af den anden sokasiske proces fra 6.1.b. Dee er kernen i Schwarz model, da convenience yield nu er sokasisk og følger en mean-revering proces. Mean-revering beyder, som navne anyder, a processen søger ilbage mod en besem middelværdi, i dee ilfælde mod α. Convenience yield skrives som δ, og hvis δ > α, vil der være en negaiv drif i 6.1.1b, der i gennemsni rækker convenience yield ned. Hvis δ < α, vil der være en posiiv drif i 6.1.1b, der i gennemsni rækker convenience yield op. Her er en forklaring af modellens variable og paramere: S er spoprisen (Variabel) δ er convenience yield (Variabel) r er renen (Variabel) λ er risikopræmien, som er beskreve som markedsprisen for convenience yield risiko (Parameer) σ 1 σ er volailieen for den førse sokasiske proces z 1 (Parameer) er volailieen for den anden sokasiske proces z (Parameer) 30

32 ρ er korrelaionen mellem de sokasiske processer z 1 og z (Parameer) k viser hasigheden af mean reversion (Parameer) α er de langsigede convenience yield niveau (Parameer) 6. Proxy for spo Efersom der ikke er noge reel cenralisere spomarked for råolie, skal man i sede bruge en proxy for spoprisen S. Derfor anvendes den æese fuure som proxy for spoprisen. Nu illusreres spoprisen fra januar 1984 il november 1988, som reel er den hisoriske pris på en 1-måneds fuure, og dee kan ses i figur Spopris på Olie i dollars pr. ønde Tid Figur 6.1: Spoprisen på olie, De ses i figuren, a der i 1986 er e sor negaiv spring i prisen, hvor olieprisen falder med over 50% på grund af oil glu krisen i 1986, hvor der pludselig var e sor overskud af olie. 1 E sor overskud af olie gør, a spoprisen bliver sænke. Når man bruger æese fuure (firs-nearby) som proxy for spo, så kan der være nogle fejlkilder. Man kan få en problemaisk idsserieanalyse. Desuden så kan fuurespriser nogle seder være månedlige diskonerede vægede gennemsni af daglige, hvilke også ville give problemer. Dog er dee ikke ilfælde med konrakerne for WTI crude oil, og dee er derfor ikke e problem her. 6.3 Convenience yield Convenience yield er en præmie, som en producen er villig il a beale for a have en råvare liggende i modsæning il a eje en fuure. E posiiv convenience yield beyder a de kan beale sig a have råvaren på lager og omvend. Man kan enen holde en 1 hp://en.wikipedia.org/wiki/ _world_oil_marke_chronology Pilipovic (007) [8] side 103 linje 5 31

33 vare fysisk på lager, eller også kan man eje en fuure. Convenience yield er prisforskellen mellem disse o. Når en vare ligger på lager skal der beales lageromkosninger, men man er il gengæld også klar, hvis der kommer uvene spild i produkionen eller e pludselig posiiv eferspørgselsspring, der kræver øge produkion. Al efer hvor ilgængelig råvaren er, kan dee convenience yield være enen posiiv eller negaiv. Hvis der er overskud af korn, vil producenerne ikke beale en præmie for a have eksra korn på lager, da korn er nem a få fa i, og convenience yield vil falde. Man kan også se convenience yield som en dividende som ejeren af råvaren opjener ved a have den på lager. Hver enkel bruger har forskellig nye af a have varen på lager. Men selvom convenience yield er dreve af individuelle brugere, så er de e generel mål for balancen mellem ilgængelig lager og eferspørgsel. Convenience yield er alså summen af de individuelle brugers præferencer. Convenience yield kan være svær a esimere, da de dels er syre af individuelle brugere, og a der dels ikke er noge sandardmål for convenience yield på markede. Derudover er de sjælden, man ser konsan convenience yield, i sede ser man ypisk skifende convenience yield pga. ændringer i ilgængelig lager og/eller eferspørgsel. Derfor kan der være mange forskellige måder a definere convenience yield på, og man kan risikere, a begrebe bliver for løs definere. Dee er også en af grundene il, a man skal passe på med ikke a bruge convenience yield il a forklare alle slags fuureskurver Proxy for convenience yield Convenience yield kan ikke aflæses nogen seder i markede, ligesom renen eksempelvis, og skal derfor esimeres. I ariklen findes convenience yield ud fra formlen for fuureskonraker: F (S, T ) = Se (r δ)(t ) (6.3.1) Dee er den idligere udlede fuuresprisformel fra med den ændring, a convenience yield nu bliver rukke fra i ligning De ville svare il a udlede fuurespris formlen fra med dividendebealinger. En anden ændring i ligning i forhold il fuurespris formlen fra er, a sariden nu er ilføje. De beyder, a man ikke behøver sare på idspunk 0. Dee er der brug for, da der som idligere nævn benyes en proxy for spoprisen for olie. Så derfor indsæes F (S, T 1) i sede for S i ligning F (S, T ) = F (S, T 1)e (r T 1,T δ T 1,T )(T (T 1)) Her er idsenheden 1 måned, hvilke vil sige, a iden (T (T 1)) mål i anal år er lig 1. Derfor fås: 1 Dee omskrives il: F (S, T ) = F (S, T 1)e (r T 1,T δ T 1,T ) 1 1 F (S, T ) F (S, T 1) = e(r T 1,T δ T 1,T ) Her bruges log på begge sider, hvorefer der ganges med 1 på begge sider. 3 McDonald (009) [7] side

34 [ ] F (S, T ) 1 log = r T 1,T δ T 1,T F (S, T 1) 1-måneds convenience yield δ T 1,T kan nu isoleres: [ ] F (S, T ) δ T 1,T = r T 1,T 1 log F (S, T 1) (6.3.) Dee er formel (9) fra Schwarz (1990) [11]. Forskellen mellem F (S, T ) og F (S, T 1) er 1 måned, og derfor er r T 1,T en annualisere 1-måneds risikofri rene, og δ T 1,T er den annualiserede 1-måneds convenience yield. Dee kan lyde som en modsæning, men de beyder, a δ T 1,T gælder 1 måned frem fra T 1 il T, men a måleenheden er årlig ligesom iden. På samme måde er renen r T 1,T årlig (annualisere), men gælder 1 måned frem mellem T 1 og T. I ariklen benyes de o fuureskonraker, som kommer nærmes spoprisen, de vil sige, a F (S, ) og F (S, 1) kan indsæes i ligning [ ] F (S, ) δ 1, = r 1, 1 log (6.3.3) F (S, 1) hvor F (S, ) er en second-nearby fuure, og F (S, 1) er en firs-nearby fuure. Ligning skal bruges il a esimere convenience yield over næsen fem år fra januar 1984 il november 1988 ligesom i ariklen. Hel konkre beyder de, a der bliver hene 1-måneders og -måneders fuurespriser i Bloomberg fra januar 1984 il november 1988 med ugenlige inervaller. Formel bruges herefer il a beregne δ 1,, og den anages derefer il a være den insanane annualiserede 1-måneds convenience yield δ 0,1. Her egnes δ 0,1 fra januar 1984 il november 1988 med skridlængde på en uge. Hvis man har nok daa kan convenience yield egnes over id, hvilke er gjor i figur Convenience Yield i Procen Tid Figur 6.: Convenience yield, De ses a anagelsen om mean-reversion i convenience yield er udmærke. Efer sore posiive eller negaive afvigelser ser de ud il, a convenience yield hurig søger ilbage mod ligevæg. Figur 6. ligner mege figur i Schwarz (1990) [11], men ikke hel. De skyldes, a de ikke var mulig a skaffe daa med hisoriske reasury bills, som er brug i ariklen. I sede er en 3-måneders governmen rene bleve brug. De havde være 33

35 bedre a bruge 1-måneders reasury bill rener, men disse var ikke ilgængelige, og fx manglede 1-måneds Libor renen halvdelen af daa i slu 80 erne. Bemærk a convenience yield pr. konsrukion er en implici variabel, der opfanger residualen af de andre variable gennem formlen. Derfor skal man passe på med a illægge convenience yield for mege væg. 6.4 Schwarz PDE Iós lemma giver mulighed for a definere en ny proces for B(S, δ, τ), som er e deriva, der afhænger af olieprisen, convenience yield og iden. De kunne eksempelvis være en call opion eller en asiaisk opion. De anages a B er o gange differeniabel med hensyn il S og δ. Schwarz noaion for differenaion benyes, hvor fx B S = B. S Nu kan Iós lemma fra A.6.1 bruges på de o sokasiske processer fra 6.1. i Schwarz model. db = B S (ds) + B δ (dδ) B τ d + 1 B SS (ds) + 1 B δδ(dδ) + B Sδ (dsdδ) (6.4.1) hvor følgende sammenhæng mellem og τ er brug: df dτ dτ d = df dτ = df d = F τ = F Ovensående gælder, fordi dτ d(t ) = = 1. Nu kan de sokasiske processer fra d d 6.1. indsæes i 6.4.1: db = B S (S (r δ) d + σ 1 Sdz 1 ) + B δ ([k(α δ) σ λ] d + σ dz ) B τ d + 1 B SSσ 1S d + 1 B δδσ d + B Sδ Sσ 1 σ ρd (6.4.) Så kan man samle d led og de sokasiske led i [ db = B τ + 1 B SSσ1S + B Sδ Sσ 1 σ ρ + 1 B δδσ (6.4.3) + B S S(r δ) + B δ [k(α δ) σ λ] ]d + σ 1 SB S dz 1 + σ B δ dz Der mindes om a processerne fra 6.1. blev definere under de risikoneurale sandsynlighedsmål, og under dee mål skal de forvenede afkas på e akiv B være lig med en risikofri invesering. Processen for den risikofrie invesering ser således ud: E [db] = rbd (6.4.4) Den risikoneurale proces fra benyes nu på ligning Man ager den forvenede værdi il ligning og sæer de lig med rbd. Den forvenede værdi af den sokasiske proces er lig med drifsledde i den sore paranes foran d. De skyldes a den forvenede værdi af de Brownske bevægelser er lig med 0. Derfor fås: [ rb = B τ + 1 B SSσ1S + B Sδ Sσ 1 σ ρ + 1 B δδσ ] + B S S(r δ) + B δ [k(α δ) σ λ] 34

36 Nu rykkes rund på nogle led: 0 = 1 B SSS σ B δδσ + B Sδ Sρσ 1 σ + B S S(r δ) + B δ [k(α δ) σ λ] B τ rb (6.4.5) PDE en i svarer il ligning (4) i Schwarz (1990) [11] og ligning (4) i Bjerksund (1991) [3]. Alle derivaer skal opfylde denne PDE i fravær af arbirage. 6.5 Seemingly unrelaed regression (SUR) Afsnie er basere på Wikipedia 4. Navne seemingly unrelaed kan være misvisende, ide man med denne regression anager, a residualerne er korrelerede. Der er derfor nogen der mener a de bør hedde seemingly relaed regression. Poinen med denne meode er a lave én samle regression, der ager hensyn il korrelaionen mellem spo og convenience yield. Der kunne laves en separa regression for henholdsvis spo og convenience yield, men de ville ikke give e lige så god resula. Man kan forudsige spoprisen bedre ved a age hensyn il den informaion, der også ligger i den ilhørende convenience yield og omvend. De er samme princip hvis der er auokorrelaion i residualerne (korrellaion over id), så fås de bedse fi ved a age højde for dee Teori Anag a der er m regressionsligninger. y ir = x ir β i + ε ir for i = 1,..., m. (6.5.1) Her er β i en (h 1)-dimensional koefficienvekor, og ε ir er e fejlled, der viser, hvor mege modellen rammer ved siden af i regression nr. i og observaion nr. r. De ses også a i angiver hvilken ligning der er ale om, og r = 1,..., R er e observaionsindex. Analle af observaioner anages a være høj. De er fx ikke nok med 5 observaioner. Man skal gerne have så mange som mulig. I analysen anages nemlig a R. Hver ligning i har en responsvariabel y ir og en (h 1)-dimensionel vekor x ir med forklarende variable. Her kan man sacke observaioner fra ligning sammen il R-dimensionelle vekorer og de giver: y i = X i β i + ε i for i = 1,..., m. hvor y i og ε i er (R 1)-dimensionelle vekorer, og X i er en (R h)-dimensionel marix. Til sids kan man sacke alle observaioner i en ny vekor y, som har dimensionen ([R m] 1) og en marix X med dimensionen ([R m] [h m]). y 1 X β 1 ε 1 y y =. = 0 X 0 β ε. = Xβ + ε y m 0 0 X m De anages, a E [ε ir ε js X] = 0, når r s. Til gengæld er E [ε ir ε jr X] = σ ij. Den sidse ligning viser, a der anages en korrelaion på værs af residualerne i de 4 hp://en.wikipedia.org/wiki/seemingly_unrelaed_regressions β m ε m 35

37 i regressioner, men kun hvis disse residualer er fra samme idspunk r. Man kan nu definere Σ = [[σ ij ]], som er en (m m) kovariansmarix, der gælder for hver observaion r: σ 11 σ 1 σ 1m σ 1 σ σ m Σ = σ m1 σ m σ mm Kovariansmaricen Σ indeholder al informaion, der er om korrelaion på værs af de m regressioner. Tag fx σ 1, som er korrelaionen mellem regression 1 og. Den æge værdi (ikke observerbar) af σ 1 vil være gældende for alle R observaioner. De vil sige, a korrelaionen mellem residualerne ε 1r og ε r vil være lig σ 1 for alle r = 1,..., R. Dee skrives maemaisk som E [ε 1r ε r X] = σ 1. Dog skal de siges, a σ 1 er en eoreisk bagvedliggende korrelaion, som man ikke kender i virkeligheden. Man vil ikke kunne observere hverken σ 1 eller Σ nogen seder, men i bedse fald få esimaer basere på ens observaioner, som så ligger i nærheden af de virkelige bagvedliggende korrelaioner. Når de er sag, kan man igen se på den eoreiske Σ. Som idligere nævn gælder denne kovariansmarix for alle observaioner R. Derfor kan man nu definere Ω som den sackede kovariansmarix. Σ 0 0 Ω E [εε 0 Σ 0 X] = Σ I R = Σ Her er I R en (R R) ideniesmarix, og angiver Kronecker-produke. Når man ager Kronecker-produke af marix A og B, så beyder de, a hele marix A skal ganges med hver elemen i marix B. I dee ilfælde er marix B blo en ideniesmarix I R, så de beyder, a Σ bliver gange på en masse 1-aller i diagonalen, og derfor kommer der il a så Σ genage R gange langs diagonalen. Dimensionerne i Ω er således ([m R] [m R]). De viser sig a Ω blo er R genagelser af kovariansmaricen Σ. De skyldes som sag, a Σ gælder for alle R observaioner og bliver derfor genage R gange med henblik på a danne Ω. Nu vises hvordan man finder den beds mulige esimaor for kovariansen σ ij mellem de forskellige regressioner: ˆσ ij = 1 R ˆε i ˆε j For a finde esimaer af korrelaionen ˆσ ij skal man age vekorproduke af residualerne for regression i og regression j, og bagefer dividere med analle af observaioner R. Residualerne for model i og model j findes ved en hel almindlig ordinary leas squares regression (OLS). Ha-egne i ˆσ ij viser, a der er ale om e esima, der ikke er lig med den æge korrelaion, σ ij, men formenlig æ på. På samme måde er der ha-egn over residualerne ˆε i, fordi de også er en slags esimaer, ide de sammer fra observaioner, som ikke afspejler de æge bagvedliggende processer 100%, men formenlig æ på. Når man har funde ˆσ ij for alle i og j, så har man den samlede kovariansmarix ˆΣ, igen er der ha, fordi de er e esima. Ved hjælp af ˆΣ kan man nu finde koefficienerne i ens SUR-regression: ˆβ = (X (ˆΣ 1 ) ) 1 (ˆΣ 1 ) I R X X I R y (6.5.) 36

38 Marix X, marix I R, vekor y og Kronecker-produke er alle bleve inroducere idligere. De kræves desuden, a man ager den inverse af en marix nogle gange for a kunne få esimaerne ˆβ, som er en ([h m] 1) vekor med koefficiener. Denne esimaor ˆβ er unbiased, hvilke beyder, den forvenede værdi af ˆβ er lig med den æge vekor med bagvedliggende koefficiener. Skreve maemaisk beyder de, a E[ ˆβ] = β. Men en ing er forvene værdi, og en anden ing er observere værdi, så derfor vil ˆβ for de mese kun komme æ på den æge β. Som en sidebemærkning kan man sige, a hvis esimaoren ˆβ skal være unbiased, så kræver de, a residualerne har en symmerisk fordeling (kræves kun ved få observaioner R), hvis analle af observaioner R il gengæld bliver højere og højere, så vil ˆβ konvergere mod β med grænsefordelingen: ( ( ) ( d 1 R ˆβ β N 0, ( ) ) ) 1 R X Σ 1 I R X Alså er grænsefordelingen en normalfordeling med middelværdi 0, hvilke bekræfer, a esimaoren ˆβ er unbiased. Desuden vil variansen i denne normalfordeling konvergere mod 0, når R. Som en sidenoe skal de nævnes, a hvis der ikke er nogen korrelaion på værs af de m forskellige regressioner, så vil en SUR-regression naurlig give de samme som en almindelig OLS-regression på hver model nr. i for sig. Men de vil som sag kræve, a E [ε ir ε jr X] = 0 for alle i = 1,..., m og j = 1,..., m, når i j SUR-regression i Schwarz Jævnfør Schwarz (1990) [11] så ager man den koninuere model fra og laver de om il en lineær diskreisere approksimaion. ln(s /S 1 ) = a + b ln(s 1 /S ) + ɛ δ δ 1 = αk + kδ 1 + e (6.5.3a) (6.5.3b) De ses nu, a modellens ime sep er bleve diskreisere. De vil sige, a man nu kan bruge ugenlige daa il ovensående regression. Denne diskreisering er nødvendig, da eoreiske model er koninuer. Paramerene i de o regressioner fra esimeres samle vha. en SUR-regression, da den ager højde for korrelaion i residualerne. Denne korrelaion vil alid være der, da spoprisen indgår i begge processer. Dee skyldes, a spoprisen er bleve brug il a udregne convenience yield, som bruges i ligning 6.5.3b. Nu opskrives regressionens dimensioner med samme noaion som de eoreiske SURafsni. h = m = R = 5 Analle af regressioner er, fordi der er o ligninger i 6.5.3, så m =. Analle af observaioner er 5. Analle af koefficiener i hver regression er h =, men de o paramere fra sporegressionen skal ikke bruges. De enese o paramere, som skal bruges, er α og k fra processen for convenience yield fra 6.5.3b. Parameeresimeringen blev førs kør ved hjælp af saisikprogramme R og des indbyggede funkioner, som auomaisk laver SUR-regression. Dernæs blev SUR-regressionen lave manuel i MATLAB ud fra 37

39 de eoreiske SUR-afsni. MATLAB. Her skrives y 1, y, X 1 og X, som de bliver konsruere i y 1 = δ 1 δ. δ 5 log S 1 1 δ1 las 1 log S, y log S =., X 1 δ las 1 las 1 =.., X 1 log S las =.. log S 5 1 δ5 las 1 log S5 las Førs fuldføres en ordinary leas squares i hver regression for sig, og de giver o vekorer med residualer: ˆɛ 1 = ˆɛ 1,1 ˆɛ 1,. ˆɛ 1,5, ˆɛ = ˆɛ,1 ˆɛ,. ˆɛ,5 Når man har residualerne, kan man udregne den samlede kovariansmarix ˆΣ, og dernæs kan man finde koefficienvekoren ˆβ ud fra formel Både den indbyggede regression i R og den manuelle regression i MATLAB gav samme resula, som kan ses i abel Bjerksunds fuuresprisformel Dee afsni er basere på Bjerksund (1991) [3]. Formåle med dee afsni er primær a finde fuuresprisen. Derfor benyes nu noaionen fra Bjerksund, selvom der sadig er ale om Schwarz o-fakor model. Den enese forskel mellem dee afsni og Bjerksunds noaion er a Bjerksunds η svarer il σ 1 og Bjerksunds σ svarer il σ hvilke kan ses i abel 6.1. Tabel 6.1: Forskel i noaion fra Bjerksund Bjerksund Dee afsni η σ 1 σ σ De virker mere inuiiv a kalde volailieerne for σ 1 og σ. Når noaionen er på plads ses der nu nærmere på ligning hvor processen for S opskrives under de æge sandsynlighedsmål P. ds() = µs()d + σ 1 S()dW () (6.6.1) I ligning er der er ale om samme proces som 6.1.1a blo med noaionen fra Bjerksund. Her kommer også Bjerksunds definiion af processen for convenience yield: dδ() = k(α δ())d + σ dz() (6.6.) Dee er igen den samme proces som fra 6.1.1b, blo skreve med noaionen fra Bjerksund. Desuden defineres den kumulaive convenience yield fra 0 il : 38

40 X() 0 δ(s)ds (6.6.3) Man kan også angive, hvad der skal rækkes fra de Brownske bevægelser for a komme over il de risikoneurale sandsynlighedsmål. Her er udrykke for spo prisens dw (): ( ) µ + δ() r dw () = dw () d (6.6.4) Og her er udrykke for den Brownske bevægelse dz() i processen for convenience yield: σ 1 dz() = dz () λd (6.6.5) For a vise, a ovensående giver de risikoneurale processer, kan man indsæe ind i [ ds() = µs()d + σ 1 S() dw () ( µ + δ() r σ 1 ) ] d ds() = µs()d + σ 1 S()dW () S() (µ + δ() r) d ds() = S() [µ (µ + δ() r)] d + σ 1 S()dW () ds() = S() (r δ()) d + σ 1 S()dW () ds() S() = (r δ()) d + σ 1dW () (6.6.6) Ligning er hel magen il den risikoneurale proces fra Schwarz (00) [1], som blev definere i 6.1.a, borse fra enkele noaionsforskelle mellem Bjerksund og Schwarz. Alså er den Brownske bevægelse bleve ændre korrek. For a få den risikoneurale proces for convenience yield ages og indsæes i 6.6.: dδ() = k(α δ())d + σ [dz () λd] dδ() = k(α δ() σ λ)d + σ dz () (6.6.7) Ligning svarer næsen il den oprindelige proces fra Schwarz (00) [1] for convenience yield fra 6.1.b, når man ser bor fra noaionsforskelle mellem Bjerksund og Schwarz. Nu kan man age ligning og rykke rund på nogle led og bagefer inegrere på begge sider. Til sids bruges dw () = dw () µ r d 1 δ()d σ 1 dw (s) = dw (s) = dw (s) = σ 1 dw (s) µ r σ 1 dw (s) µ r σ 1 (T ) 1 σ 1 ds 1 δ(s)ds σ 1 ( δ(s)ds 0 0 ) δ(s)ds dw (s) µ r σ 1 (T ) 1 σ 1 (X(T ) X()) (6.6.8) Ligning svarer il foonoe 8 fra Bjerksund. 39

41 6.6.1 Udledning af S(T ) Der ages udgangspunk i den geomeriske Brownske bevægelse for spoprisen fra under de æge sandsynlighedsmål. Processen fra svarer il den generelle definiion fra A.5.1 af den underliggende proces. Derfor kan man nu benye Iós lemma fra A.5. il a finde e udryk for en ny proces d (log S()). 5 ( log S() log S() d (log S()) = µs() + S() log S() + σ 1 S()dW () S() Nu udregnes de aflede: ) + 1 log S() (σ S() 1 S()) d ( ) 1 d (log S()) = S() µs() S() (σ 1S()) d + 1 S() σ 1S()dW () = ( µ 1 σ 1) d + σ1 dw () Så inegreres der på begge sider: d (log S(s)) = ( ) T µ 1 σ 1 ds + σ 1 dw (s) Der foreages yderligere omskrivninger, og de udnyes, a der gælder følgende: T d (log S(s)) = log S(T ) log S() jævnfør samme argumenaion, som senere bliver vis i log S(T ) log S() = ( ) µ 1 σ 1 ds + σ 1 dw (s) Til sids udregnes ds = T log S(T ) log S() = ( ) T µ 1 σ 1 (T ) + σ1 dw (s) Ved a foreage yderligere omskrivninger fås følgende formel for sluværdien S(T ): } S(T ) = S() exp {(µ 1 σ1) (T ) + σ 1 dw (s) (6.6.9) 6.6. Udledning af δ(t ) Afsnie er basere på Wikipedias side om Ornsein-Uhlenbeck processer. 6 Der gælder, a θ = e k(t ). Ligning skal bevises, og denne ligning sår også som foonoe 5 i Bjerksund. 5 hp:// 6 hp://en.wikipedia.org/wiki/ornsein\%e\%80\%93uhlenbeck_process 40

42 δ(t ) = θδ() + (1 θ)α + σ e kt e ks dz(s) (6.6.10) Førs defineres en funkion f på følgende form: f(δ(), ) = δ()e k (6.6.11) De relevane aflede af f skal findes, før man kan benye Iós lemma: f δ() = ek f = kδ()ek f δ() = 0 Ved brug af disse aflede benyes Iós lemma fra A.5. il a udlede processen for funkionen f, og som den underliggende proces benyes udrykke for convenience yield fra df = ( e k (k(α δ())) + kδ()e k) d + σ e k dz() Der reduceres, og udrykke for f fra indsæes. d ( δ()e k) = e k kαd + σ e k dz() Der inegreres på begge sider med grænserne og T. d ( δ(s)e ks) = ( e ks kα ) ds + σ e ks dz(s) De udnyes, a d ( δ(s)e ks) = δ(t )e kt δ()e k med samme argumenaion, som senere bliver vis i δ(t )e kt δ()e k = ( e kt e k) α + σ e ks dz(s) Der ganges med e kt på begge sider: δ(t ) θδ() = (1 θ) α + σ e kt e ks dz(s) θδ() rækkes over på den anden side: δ(t ) = θδ() + (1 θ) α + σ e kt e ks dz(s) Dee er formel , som skulle bevises Formel for X(T ) X() Der gælder følgende formel, som også sår som foonoe 6 i Bjerksund. X(T ) X() = (1 θ) 1 (δ() α) + α (T ) k + 1σ k dz(s) 1σ k e kt e ks dz(s) Nu bliver der før bevis for formlen ved brug af appendix A i Bjerksund. (6.6.1) 41

43 Bevis af X(T ) X() Man ager ligning og inegrerer på begge sider, mens de udnyes, a ds = T : dδ(s) = kα(t ) k δ(s)ds + σ dz(s) (6.6.13) Nu undersøges dδ(s) ved a approksimere de med en sum, hvor der skal vælges e passende lav ime sep : dδ(s) = = T i=+ T i=+ δ(i) (δ(i) δ(i )) = δ( + ) δ() + δ( + ) δ( + ) δ(i) δ(i ) δ(t ) δ(t ) =δ(t ) δ() (6.6.14) For a opsummere, når 0, så gælder de i grænseværdien a: δ(t ) δ() = dδ(s) (6.6.15) Nu benyes definiion sammen med formlen fra A.3.1 for subrakion af inegraler med krydsende grænser for a finde e udryk for X(T ) X(). X(T ) X() = X(T ) X() = 0 δ(s)ds Herefer indsæes og ind i : 0 δ(s)ds δ(s)ds (6.6.16) δ(t ) δ() = kα(t ) k (X(T ) X()) + σ dz(s) (6.6.17) Indsæ udrykke for δ(t ) fra ind i , og de giver: 4

44 θδ() + (1 θ)α + σ e kt e ks dz(s) δ() =kα(t ) k (X(T ) X()) + σ dz(s) (θ 1) (δ() α) + σ e kt e ks dz(s) =kα(t ) k (X(T ) X()) + σ dz(s) (θ 1) (δ() α) kα(t ) σ dz(s) + σ e kt e ks dz(s) = k (X(T ) X()) Dernæs ganges der med k på begge sider: X(T ) X() = (1 θ) 1 (δ() α) + α(t ) k + 1σ k dz(s) 1σ k e kt e ks dz(s) Dee er ligning 6.6.1, som skulle bevises Bevis af fuuresprisformel Ideen bag bevise er a finde den forvenede værdi af den diskonerede fremidige spopris fra V [S(T )] = e r(t ) E [S(T )] (6.6.18) V beyder, a man ønsker a kende nuidsværdien af den forvenede fremidige spopris S(T ) il idspunk. Derfor skal E [S(T )] ilbagediskoneres med e r(t ), da den forvenede værdi skal omregnes fra idspunk T il de, som den er værd på idspunk. Grunden il, a der sår sjerne i den forvenede værdi, er for a vise, a man er under de risikoneurale Q-mål. Til a sare med kan ligning ganges med e r(t ) på begge sider. e r(t ) S(T ) = e r(t ) S() exp {(µ 1 } σ1) (T ) + σ 1 dw (s) e r(t ) S(T ) = S() exp {(µ 1 } σ1) (T ) r(t ) + σ 1 dw (s) e r(t ) S(T ) = S() exp {(µ r 1 } σ1) (T ) + σ 1 dw (s) (6.6.19) Ligning svarer næsen il ligning (0) i Bjerksund. Dog skal de nævnes, a der i ligning (0) i Bjerksund er o fejl, ide der mangler a blive gange med σ 1 foran den 43

45 Brownske bevægelse, ligesom de er gjor i ligning Desuden mangler der (T ) gange foran i paranesen (µ r 1 σ 1). Måden, hvorpå man kan se disse fejl i ligning (0) fra Bjerksund, er ved dels a foreage ovensående udregninger, der fører il ligning , og dels fordi Bjerksund senere indsæer ligning (1) ind i ligning (0) for a få ligning (), og dee kan kun give ligning (), hvis der sår σ 1 dw (s). Alle re ligninger (0), (1) og () er fra Bjerksund. Næse skrid i bevise er a gange på begge sider med σ 1 i ligning 6.6.8, og ligning bruges il a udskife (X(T ) X()). Til sids har man e udryk for σ 1 dw (s), som kan indsæes i σ 1 dw (s) = σ 1 dw (s) (µ r) (T ) (X(T ) X()) (6.6.0) Nu kan udrykke for X(T ) X(), fra ligning 6.6.1, indsæes i ligning σ 1 dw (s) = σ 1 dw (s) (µ r) (T ) [ (1 θ) 1 (δ() α) + α (T ) k ] + 1σ k dz(s) 1σ k e kt e ks dz(s) (6.6.1) Herefer ages ligning og indsæes i ligning Der reduceres: e r(t ) S(T ) = S() exp { ( µ r 1 ) σ 1 (T ) + σ 1 dw (s) (µ r) (T ) [ (1 θ) 1 (δ() α) + α (T ) k ] } + 1σ k dz(s) 1σ k e kt e ks dz(s) { e r(t ) S(T ) = S() exp 1 σ 1 (T ) + σ 1 dw (s) (1 θ) 1 (δ() α) α (T ) k } T 1σ k dz(s) + 1σ k e kt e ks dz(s) (6.6.) Nu indsæes udrykke fra ind i ligning

46 { e r(t ) S(T ) = S() exp 1 σ 1 (T ) + σ 1 dw (s) (1 θ) 1 (δ() α) α (T ) k 1σ k dz (s) + 1σ k λds } T + 1σ k e kt e ks dz (s) 1σ k e kt e ks λds Så inegreres der i de o led, som indeholder λ: { e r(t ) S(T ) = S() exp 1 σ 1 (T ) + σ 1 dw (s) (1 θ) 1 (δ() α) α (T ) k 1σ k dz (s) + 1σ k λ(t ) } T + 1σ k e kt e ks dz (s) 1σ k e kt e ks λds (6.6.3) Der skal foreages følgende mellemregninger: 1σ k e kt e ks λds 1σ k e kt λ e ks ds 1σ k e kt λ 1 T k eks Og så kan omskrives ved hjælp af k σ e kt λ ( 1 k ekt 1 k ek) 1 k σ λ ( 1 e k(t )) 1 k σ λ (1 θ) (6.6.4) e r(t ) S(T ) = S() exp { 1 σ 1 (T ) + σ 1 dw (s) (1 θ) 1 (δ() α) α (T ) k 1 k σ + 1 k σ e kt dz (s) + 1 k σ λ(t ) e ks dz (s) 1 k σ λ (1 θ) } (6.6.5) Der flyes rund på nogle led i for a få samme udryk som Bjerksund. 45

47 e r(t ) S(T ) = S() exp { ( 1 σ 1 + α 1 k σ λ ) (T ) ( + 1 k α δ() 1 σ k λ ) (1 θ) + σ 1 dw (s) 1σ k dz (s) } T + 1σ k e kt e ks dz (s) S() exp {z } (6.6.6) Ligning er lig med ligning () fra Bjerksund. Den sidse definiion af z i ligning er for a have en leere noaion og skabe overblik jævnfør Bjerksund. De er mulig a finde den forvenede værdi af z ved a udnye, a den forvenede værdi af de Brownske bevægelser er lig med 0. ˆµ E [z ] ˆµ = ( 1 σ 1 + α 1σ k λ ) (T ) ( + 1 k α δ() 1 σ k λ ) (1 θ) (6.6.7) Næse skrid er a finde variansen af z fra Her viser de sig, a alle de led, der ikke indeholder dw (s) eller dz (s), kan behandles som deerminisiske konsaner og bidrager dermed ikke il variansen. Tilbage sår man med re sokasiske led i z, som defineres som A, B og C: A = σ 1 dw (s) B = 1 k σ dz (s) C = 1σ k e kt e ks dz (s) Som en sidenoe skal de nævnes, a der i Bjerksund er forker foregn ved B, alså B uden minus foran. Men denne foregnsfejl er ree senere i Bjerksund, når der indsæes i de relevane formler, så de er ikke e problem. Med disse definiioner kan man bruge formlen for varians med 3 korrelerede sokasiske variable A, B og C: Var(A + B + C) =Var(A) + Var(B) + Var(C) + Cov(A, B) + Cov(A, C) + Cov(B, C) (6.6.8) Her er formlen il a finde variansen af en sokasisk variabel X: Var(X) = E [ (X E[X]) ] For A, B og C er den sokasiske variabel X en Brownsk bevægelse, hvor forvene værdi er lig 0, og dermed er E[X] = 0. Derfor fås: 46

48 Var(X) = E [ X ] Her følger nogle beregninger, hvor der udregnes varianser og kovarianser, som skal bruges som inpu i variansformlen fra 6.6.8, så variansen for z kan findes. Var(A) = E [ A ] [ ( ) ] = E σ 1 dw (s) = σ 1E = σ 1 [ ( ds ) ] dw (s) = σ 1 (T ) (6.6.9) Ligning svarer il ligning (4) i Bjerksund. For a komme frem il er Iós isomeriformel fra A.4.1 bleve benye. Dee er e relaiv simpel ilfælde af Iós isomeriformel, fordi g s = 1, h s = 1 og ρ = 1. En korrelaion på 1 skyldes, a de o Brownske bevægelser er ens. Var(B) = E [ B ] [ ( = E 1σ k [ ( = ( 1 k) σ E = ( ) T 1 k σ ds ) ] dz (s) ) ] dz (s) = ( 1 k ) σ (T ) (6.6.30) Ligning svarer il ligning (5) i Bjerksund. For a komme frem il er Iós isomeri fra A.4.1 bleve benye igen. I de næse udregninger benyes Iós isomeri igen, og denne gang er g s = h s = e ks, mens der sadig gælder ρ = 1. Var(C) = E [ C ] [ ( = E 1 σ k e kt = ( [ ( 1 k) σ e kt E ) ] e ks dz (s) ) ] e ks dz (s) = ( ) T 1 ( k σ e ) kt e ks ds ) σ e (( ) ( kt 1 e kt e k)) = ( 1 k = ( 1 k ) σ k k ( 1 θ ) (6.6.31) 47

49 Ligning svarer il ligning (6) i Bjerksund. Der gælder sadig, a θ e k(t ). I de næse udregninger benyes igen Iós isomeri, hvor g s = h s = 1, men med forskellige Brownske bevægelser, hvilke indebærer, a ρ 1. Cov(A, B) = E [A B] ) ( = E [(σ 1 dw (s) 1σ k [( ) ( = 1σ k 1σ E dw (s) = 1 k σ 1σ ρ ds )] dz (s) )] dz (s) = 1 k σ 1σ ρ (T ) (6.6.3) Ligning er lig med ligning (7) i Bjerksund. I de næse udregninger benyes endnu en gang Iós isomeri fra A.4.1. Denne gang er g s = 1 og h s = e ks. Cov(A, C) =E [A C] ) ( =E [(σ 1 dw 1 (s) [( = 1σ k 1σ e kt E dw (s) ) = 1σ k 1σ e (ρ kt e ks ds k σ e kt ) ( )] e ks dz (s) )] e ks dz (s) = ( ) 1 σ1 σ k e kt ρ ( e kt e k) = ( 1 k) σ1 σ ρ (1 θ) (6.6.33) Ligning er lig med ligning (8) i Bjerksund. I den sidse udregning benyes igen Iós isomeri som idligere. Cov(B, C) =E [B C] [( ) ( )] =E 1σ k dz 1 (s) σ k e kt e ks dz (s) = ( [( ) ( )] 1 k) σ e kt E dz (s) e ks dz (s) = ( ( ) T ) 1 k σ e kt e ks ds = ( ) 1 3 k σ e ( kt e kt e k) = ( 1 3 k) σ (1 θ) (6.6.34) Ligning er lig med ligning (9) i Bjerksund. Nu kan variansen af z findes ved a indsæe Var(A), Var(B), Var(C), Cov(A, B), Cov(A, C) og Cov(B, C) fra 6.6.9, , , 6.6.3, og ind i variansformlen fra

50 Var(z ) =σ 1 (T ) Nu samles led med (T ) og (1 θ) for sig. ( Var(z ) = + ( ) 1 k σ (T ) + ( ) 1 σ ( ) k k 1 θ + ( 1σ k 1σ ρ (T ) ) ( ( ) + 1 k) σ1 σ ρ (1 θ) ( + ( ) 1 3 k) σ (1 θ) ) ) σ (T ) ) σ1 σ ρ ( ) ) 1 3 k σ (1 θ) (6.6.35) ( ) 1 θ σ 1 1 k σ 1σ ρ + ( 1 k + ( ( 1 k + ( 1 k ) σ k Ligning er lig med ligning (30) i Bjerksund. I den videre analyse kan man se, a eksponenen z fra er normalfordel fordi den er summen af Brownske bevægelser, som alle er normalfordele plus en konsan ˆµ. Dermed er højresiden i lognormalfordel, fordi logarimen il højresiden er normalfordel, de vil sige, a log (exp {z }) = z. Med andre ord: så er exp {z } lognormalfordel, og derfor benyes formlen fra A..1 il a finde den forvenede værdi af en lognormal variabel: E [S() exp {z }] = S() exp {ˆµ + 1 Var(z ) } (6.6.36) Middelværdien ˆµ af z kendes allerede fra ligning 6.6.7, og variansen Var(z ) kendes fra ligning Disse værdier kan indsæes i V [S(T )] =S() exp {ˆµ + 1 Var(z ) } { V [S(T )] =S() exp + 1 k ( ( 1 k + 1 ( 1 σ 1 + α 1 k σ λ ) (T ) ( α δ() 1 σ k λ ) (1 θ) ( σ1 1σ k 1σ ρ + ( ) ) 1 k σ (T ) ) σ1 σ ρ ( ) ) 1 3 k σ (1 θ) ( 1 k ) σ ( ) } k 1 θ Herefer samles de led der passer sammen: 49

51 { ( V [S(T )] =S() exp α + 1 (σ ( ) k λ σ 1 σ ρ) k) σ (T ) ( 1 k + 1 ( 1 k ) σ ) (1 θ) δ() α + 1 (σ k λ σ 1 σ ρ) + ( 1 (6.6.37) k ( ) } 1 θ ) σ k Der mindes om, a θ = e k(t ). Ligning er lig med den forvenede fremidige værdi af S(T ) ilbagediskonere il idspunk. Ligning er også skreve op som Theorem 1 i Bjerksund. Læg mærke il, a på saridspunke så gælder V [S()] = S(). Alså er den forvenede værdi af de underliggende lige nu lig med den nuværende pris S(), hvilke også er korrek. Nu hvor man kender V [S(T )], så kan fuuresprisen F findes. I fravær af arbirage må der gælde: Så kan F isoleres i , og de giver: V [S(T ) F ] = 0 (6.6.38) F (T, S, δ) = e r(t ) V [S(T )] (6.6.39) Ligning er fuuresprisen på idspunk. V [S(T )] er lig med Grænseværdi for k Hvis man lader k i , beyder de, a V [S(T )] bliver lig med: lim V [S(T )] = e α(t ) S() k Ved brug af fuuresprisformlen fra fås hermed: F = e (r α)(t ) (6.6.40) Formel ser fornufig ud, ide k indebærer en mege krafig meanreversion, hvilke indebærer fas convenience yield, som er lig med middelværdien α. Ligning svarer også il en sandard fuureprisformel med en fas convenience yield ligesom i V [S()] og PDE en I dee afsni bliver de vis, a V [S()] opfylder PDE en. Ligesom Bjerksund defineres for leheds skyld: Ψ(, S, δ) V [S()] Før PDE en fra kan bruges, så skal der udregnes seks variable Ψ S, Ψ SS, Ψ δ, Ψ δδ, Ψ Sδ og Ψ. De er nyig a indse, a fuuresprisen er en sammensa funkion på formen Ψ = Se u. De førse led, som bliver udregne, er Ψ S, hvilke beyder, a fuuresprisen fra skal differenieres mh. S, og da der kun sår S é sed i fuuresprisformlen, så er svare lig med konsanen e u foran S, alså a Ψ S = e u eller skreve anderledes: 50

52 Ψ S = Ψ (6.6.41) S For a komme frem il Ψ SS skal man differeniere mh. S, og de giver: Ψ SS = 0 (6.6.4) Som de næse skal Ψ δ findes. Her gælder, a en sammensa funkion Ψ = Se u differeniere giver Ψ δ = Se u u, hvilke svarer il Ψ δ = Se u [ 1 k (1 θ)]. Dermed fås: Ψ δ = 1 Ψ(1 θ) (6.6.43) k For a finde Ψ δδ differenieres Ψ δ fra en enkel gang mh. δ, og de giver: Ψ δδ = ( ) 1 k Ψ(1 θ) For a finde Ψ Sδ differenieres Ψ S fra med hensyn il δ, og de giver: (6.6.44) Ψ Sδ = Ψ δ S = 1 Ψ(1 θ) (6.6.45) k S For a finde Ψ differenieres Ψ med hensyn il iden. Igen udnyes de, a Ψ er en sammensa funkion på formen Ψ = Se u, som differeniere giver Ψ = Se u u. Når u differenieres, skal man huske, a θ fra fuuresprisen også indeholder. Derfor bliver u lig med: ( u = +α 1 (σ ( ) k λ σ 1 σ ρ) 1 1 k) σ ( + δ α + 1 (σ k λ σ 1 σ ρ) + ( ) ) 1 k σ θ ( 1 k) σ θ 1 Nu haves u i udrykke Ψ = Se u u, og da Ψ = Se u, så fås de samlede udryk for Ψ : Ψ = αψ 1Ψ (σ ( k λ σ 1 σ ρ) 1 1 ) k Ψσ ( + δψ αψ + 1Ψ (σ k λ σ 1 σ ρ) + ( ) ) 1 k Ψσ θ (6.6.46) ) Ψσ θ 1 ( 1 k Her skal de siges, a Ψ ikke sår korrek i Bjerksund, fordi der bliver Ψ sa lig med u, og der bliver derfor ikke gange Ψ på hele udrykke. Men Ψ fra er skreve korrek og afviger derfor fra Bjerksund. Dog er alle de andre aflede i Bjerksund korreke. Nu indsæes de seks variable Ψ S, Ψ SS, Ψ δ, Ψ δδ, Ψ Sδ og Ψ fra , 6.6.4, , , og ind i PDE en fra 6.4.5, og hvis fuuresprisen opfylder PDE en, skal de hele give (1 θ) Ψσ k (1 θ) 1 Ψ k S Sσ 1σ ρ + Ψ S S(r δ) (1 θ) 1 k Ψ [k(α δ) λσ ] + Ψα 1 k Ψσ λ + 1 k Ψσ 1σ ρ 1 k Ψσ + δψθ αψθ + 1 k Ψσ λθ 1 k Ψσ 1σ ρθ + 1 k Ψσ θ 1 k Ψσ θ rψ 51

53 Reduceres: 1 Ψσ k 1 Ψσ k θ + 1 Ψσ k θ 1Ψσ k 1σ ρ + θ 1Ψσ k 1σ ρ Ψδ Ψα + Ψδ + 1Ψλσ k + θψα θψδ θ 1Ψλσ k + Ψα 1Ψσ k λ + 1Ψσ k 1σ ρ 1 Ψσ k + δψθ αψθ + 1σ k Ψλθ 1Ψσ k 1σ ρθ + 1 k Ψσ θ 1 k Ψσ θ En nærmere undersøgelse viser, a alle led går ud med hinanden i ovensående ligning, som derfor er lig med 0. Ergo er de vis, a fuuresprisen Ψ opfylder PDE en fra Fuurespris fra Schwarz Her følger fuuresprisen fra Schwarz (00) [1] skreve med Bjerksunds noaion. Dee udryk skal sammenlignes med Bjerksunds fuurespris fra F (T, S, δ) =S() exp + { δ() 1 θ k + ( αk λ + σ 1 σ ρ σ k ( r α + λ k + σ ) 1 θ k σ k σ 1σ ρ k } 1 θ k 3 ) (T ) (6.6.47) hvor θ = e k(t ). En undersøgelse viser, a ovensående udryk er lig med , borse fra a λ i Schwarz noaion svarer il λσ i Bjerksunds noaion. Dee skyldes, a Schwarz definerer de risikoneurale sandsynligheder anderledes i forhold il Bjerksunds definiion fra I Schwarz (00) [1] er der i sede følgende definiion: 6.7 Esimering af λ dz() = dz () λd σ Når alle paramere fra SUR regressionen er funde skal parameeren λ esimeres. Dee gøres ved a indsæe forskellige fuuresdaa ind i fuurespris formlen fra , og løbende ændre λ, for a se for hvilke værdier af λ de eoreiske priser kommer æes på de empiriske. Hel konkre minimeres summen af kvadrerede fejl (sum of squared errors). SSE = min N ( ˆF n F n ) (6.7.1) n=1 Her er N analle af observaioner, F n er de empiriske prisobservaioner, og ˆF n er de eoreisk beregnede priser som er funde ud fra fuurespris formlen fra Når den bedse λ-værdi er funde kan man undersøge om der er sysemaisk overprisning eller underprisning ved hjælp af MPE: MPE = 1 N N ( ˆF n F n ) (6.7.) n=1 5

54 MPE sår for mean pricing error og viser, hvor mege modellen prisfasæer forker i gennemsni pr. fuure. Opimal se vil modellen i gennemsni hverken prisfassæe for høj eller for lav. MPE kan være udmærke il a afgøre om der prisfassæes skæv, men dee al kan ikke benyes il a vurdere modellens fi fordi posiive og negaive værdier neuraliserer hinanden. Til dee formål skal i sede benyes RMSE. RMSE = 1 N ( N ˆF n F n ) (6.7.3) RMSE sår for roo mean squared error og viser hvor sore prisfejl der er i modellen i gennemsni. Når der opløfes i anden ælles både posiive og negaive fejl med i summen, og samidig får sore fejl eksra væg. Under de empiriske afsni benyes RMSE som de primære nøgleal il a sammenligne forskellige modeller. n=1 6.8 Kriik af Schwarz model ˆ ˆ ˆ Convenience yield er svær a esimere og definere, og der er ikke noge sed i markede hvor man kan aflæse convenience yield ligesom renen, så derfor benyes en proxy. Convenience yield findes ved udregninger der afhænger af andre variable og de kan give noge usikkerhed. Der bruges 1- og -måneders fuures il a fassæe convenience yield, og dee er e problem hvis daa indeholder 4, 6 eller måske 1-måneders fuures. Hvis der i virkeligheden sker en ændring af dynamikken i fuureskurven fra måneder og frem, så vil dee ikke kunne blive opfae af paramerene. I minimeringen vil den eoreiske graf forsøge a komme så æ på fuureskurven som mulig, men de vil ikke være nok og vil formenlig skabe bias. Schwarz (1990) [11] er nogle gange upræcis omkring hvilke fuuresdaa der bruges og hvordan beregningerne foregår. Samidig er der enkele fejl i ariklen, som fx foregnsfejl i ligning (3) hvor der sår 1 B SSσ 1S i ande led når der i sede skal så + 1 B SSσ 1S. Dee er dog senere ree i ariklens ligning (4). Man kan også finde fejl i Bjerksund (1991) [3] men her er der skreve flere rin op if. Schwarz hvilke derfor gør de leere a følge. 53

55 7.1 Local volailiy Local Volailiy-Modellen Local volailiy blev førse gang inroducere af Dupire, og der er ale om en enfakor model, hvilke beyder, a der kun er en Brownsk bevægelse. Afsnie er basere på Hagan e al. (00) [6]. Modellen prøver a løse de problemer, der er i Blacks seup med volailiessmil og bryder med anagelsen om konsan volailie. I sede vil volailieen variere, og der vil være e såkald volailiy grid. Under disse beingelser ser udviklingen i forwardprisen således ud: df = σ loc (, F )F dw, F (0) = f Dee er processen for local volailiy-modellen. Koefficienen foran den Brownske bevægelse er C(, ) = σ loc (, F )F. Dee ligner koefficienen fra Blacks model med den forskel, a σ er ersae af σ loc (, F ). Denne forskel gør, a volailieen ikke længere er konsan, men i sede afhænger af iden og forwardprisen F. Dee afhjælper probleme fra Blacks model hvor der skal bruges en ny model, hver gang srike ændrer sig. Dee er ikke ilfælde med local volailiy-modellen, som konsisen kan fie e smil med en enkel model. I sede for a prøve a finde den eoreiske form på ledde σ loc (, F ), kan man kalibrere modellen il empiriske markedspriser. I praksis er der ikke opioner på markede il enhver ænkelig udløbsid. I sede for er der beseme udløbsider fra i dag 1 ex, ex, 3 ex,... De kunne fx være 1 måned, måneder og 3 måneder. De indebærer, a local vols er konsane i beseme perioder og heraf navne local volailiy. σ loc (, F ) = σ (1) loc (F ) 1 for < ex σ loc (, F ) = σ (j) loc (F ) for j 1 j ex < < ex σ loc (, F ) = σ (J) loc (F ) for J ex < j =, 3,..., J (7.1.1) Man kan se i ligning 7.1.1, a local vol er konsan, når er under 1 ex. Indil kommer op på 1 ex, er der ale om en Black model i en kor periode, hvor volailieen er σ (1) loc (F ). Ved = 1 ex bliver volailieen ændre il σ () loc (F ), indil = ex. Sådan forsæer local vols med a blive ændre hele vejen igennem. De korreke local vols kan kalibreres, og udfra de opnåede paramere i kalibreringen kan modellen bruges il a prisfassæe europæiske call og pu opioner sam hedging. Dog er hedging i denne model problemaisk pga. nedensående problem. 7. Kriik af local volailiy Dynamikken i volailiessmile er forker under local volailiy-modellen. Hvis fuuresprisen f 0 siger, rykker volailiessmile il vensre ligesom i figur 7.1, hvilke er modsa i forhold il, hvad man ser på markede. Probleme fra figur 7.1 giver moivaion il a bruge en anden model i sede for local volailiy, nemlig SABR-modellen. 54

56 Original fuurespris Reducere fuurespris Implied volailiy f f_0 Srike Figur 7.1: Forker dynamik i local volailiy 55

57 SABR-Modellen 8.1 Inrodukion Dee kapiel er basere på Hagan e al. (00) [6]. SABR sår for Sochasic-αβρ, og denne model har følgende sokasiske processer: d ˆF β 1 = ˆα ˆF dw dˆα = ν ˆα dw (8.1.1a) (8.1.1b) dw 1 dw = ρd (8.1.1c) Med iniialbeingelser ˆF (0) = f og ˆα(0) = α. Desuden kræves de, a 0 β 1, 1 ρ 1 og a ν 0. Her følger en oversig over modellens variable og paramere. En variabel har en kend markedsværdi, som fx kan aflæses på en finansiel daabase. En parameer er konsruere i forbindelse med modellen og kan ikke aflæses på markede. f er fuuresprisen (Variabel) K er srikekursen (Variabel) er iden og T er udløbsiden (Variabel) α er volailieen (Parameer) dw 1 dw er en geomerisk Brownsk bevægelse for proces 1 (Parameer) er en geomerisk Brownsk bevægelse for proces (Parameer) β besemmer den underliggende proces (Parameer) ν er volailieens volailie (volailieen af α). (Parameer) ρ er korrelaionen mellem de sokasiske led dw 1 go dw (Parameer) Ved a sæe β = 0 fås en normalfordel model, ved β = 1 fås en lognormal model, og ved β = 1 fås en CIR-model (Cox-Ingersoll-Ross). Ved a sæe ν lig 0 fås en local volailiy model. SABR-modellen er en -fakor model, hvilke beyder, a der er o sokasiske processer i form af geomeriske Brownske bevægelser i modellen, nemlig dw 1 i forwardprocessen og dw i processen for volailie. Når førs alle de nødvendige paramere er esimere, så har man én samle model, der fier opionspriser for alle mulige srikes K uden juseringer. Dee er ikke ilfælde i Blacks formel, som er mere primiiv, hvor en ny model laves, når man ændrer K. SABR kan alså fange e hel volailiessmil med en model, hvorimod Black kræver en model for hver srike K. Dee er smar, hvis man vil hedge en porefølje af flere akiver. Hvis man fx har en porefølje med mere end en opion og bruger Blacks formel, så er de ikke åbenlys, hvordan man skal hedge. Hver opion har som sag forskellige modeller og forskellige hedges. Man kan prøve a inerpolere sine hedges mellem de forskellige opioner, men de virker uholdbar, da der så inerpoleres mellem forskellige modeller. I SABR-modellen derimod vil alle opionerne ligge i den samme model, og de vil derfor være nemmere a hedge. 56

58 8. Løsning af SABR-modellen I dee afsni opskrives resulaerne fra Hagan e al. (00) [6]. Fordelen ved SABRmodellen er, a den udregner implied volailiy, som så kan benyes il a finde prisen på en call eller pu opion ved Blacks formel. Her kommer udrykke for implied volailiy, som eferfølgende skal indsæes i Blacks formel: σ B (K, f) = { [ α 1 + (1 β) 4 α 0 (fk) 1 β + (fk) (1 β)/ [ 1 + (1 β) 4 log ( f K z = ν α (fk)(1 β)/ log f K ( ) 1 ρz + z + z ρ x(z) = log 1 ρ ρβνα 4(fK) (1 β)/ + 3ρ ] } ν T 4 ) + (1 β) log4 ( f K ) ] z x(z) (8..1) De er vigig a poinere, a 8..1 kun er en approksimaion og ikke en direke løsning af De er idligere vis, a denne approksimaion bliver dårligere, når srikeprisen K er lille, og udløbsiden T er lang. 1 Fordelen ved denne approksimaion er dog, a de er en lukke formel. Når førs man én gang har skreve den ind i programme, er den bekvem a bruge og kræver desuden mindre beregningsid i forhold il en numerisk løsning. Når f = K, så kan formel 8..1 forsimples il: σ B (f, f) = α { [ (1 β) 1 + f 1 β 4 f α0 ρβνα + ( β) 3ρ + 4f (1 β) 4 ] } ν T (8..) 8.3 SABR-modellens elemener I denne sekion beskrives virkningen af de forskellige paramere på smile i SABRmodellen. Graferne er egne med iniialværdierne: f = 100 ν = 0,5 α = 0,5 β = 0,5 ρ = 0,3 = 0,5. Analysen er basere på Rebonao (009) [9] Beskrivelse af f Når fuuresprisen siger, rykker smile il højre som på figur 8.1, hvilke også giver mening inuiiv. Dee semmer overens med empiriske observaioner. I local volailiymodellen er dee ikke ilfælde som idligere vis i figur 7.1, og neop dee er en del af moivaionen bag SABR-modellen Beskrivelse af α Når volailieen øges, så bliver smile forskud opad. Se figur Rouah [10] side 8 57

59 fuurespris=95 fuurespris=100 fuurespris= Implied volailiy Srike Figur 8.1: Implied volailiy i SABR ved forskellige værdier for f Beskrivelse af β ˆ Når β går fra 1 il 0, så bliver smile mere sejl og kurve. ˆ Når β øges, så løfes smiles niveau (gælder kun for F > 1) Se figur 8.3. De er ikke overraskende, a smiles niveau øges, når β siger. Den samlede volailie af ændringen i forwardprisen er give ved αf β. Så når β øges fra 0 il 1, bliver ledde F β sørre. Dee gælder kun for F > 1, hvilke også er ilfælde for daa i denne opgave, hvor fuurespriserne ypisk er omkring 100. For β = 1 er der ale om en lognormal model, og de er derfor umulig for forwardprisen F a blive 0. For 0 < β < 1 kan forwardprisen god gå i 0. I så fald skal 0 være en absorberende barriere. Hvis dee ikke er ilfælde, så kan prisen være 0, og så på e idspunk i fremiden pludselig blive posiiv. Så vil man kunne købe akive il 0 kroner og så eje noge, som i fremiden enen er 0 eller posiiv. Dee er definiionen på arbirage. Ergo må 0 være en absorberende barriere. Dee opnås kun for 1 β < 1. Hvis 0 ikke er absorberende, vil der i modelleringen forekomme misprisninger i de ilfælde, hvor prisen rammer 0 og ryger ilbage igen inden udløb. Men de kan måske være, a en lav β fier fordelingen af daa så mege bedre, a man sadig får e bedre resula. Fassæelse af konsan β Fordi β og ρ forklarer mege af de samme, så er de normal praksis i markede, a man holder en af paramerene fas, mens man esimerer den anden for a undgå overparamerisering og usabile koefficiener. Typisk lader man ρ fie kurvens sejlhed, mens ν fanger smiles kurvaur/krumning, og samidig holdes β konsan. Generel ror markede mes på, a β = 1, hvilke mange også vælger. Hvorfor har markede så valg denne værdi? I Rebonao (009) [9] mener forfaerne, a β = 1 giver de mes sabile værdier for ν og ρ. Argumene er, a værdier som ν og ρ er srukurelle paramere, som ikke bør ændres fra dag il dag, men kun når der sker noge sor i markede, som fx finanskrisen i 008. Der er værdier i modellen som forwardprisen f og 58

60 alpha=0,5 alpha=0,5 alpha=0,75 Implied Volailiy Srike Figur 8.: Implied volailiy i SABR ved forskellige værdier for α sarvolailieen α, som bør opdaeres daglig, men behove for a skulle rekalibrere de srukurelle paramere ν og ρ ofe er egn på problemer i ens model. Derfor bør man vælge en β værdi, der giver de mes sabile værdier for ν og ρ over id Beskrivelse af ρ Når ρ går fra 0, 3 il 0, 6, får smile en sørre negaiv sejlhed. Samidig bliver smile mindre kurve. Dee kan ses i figur 8.4. Desuden vil de lavese punk i smile gå skrå nedad il højre med sigende ρ over 0, og skrå nedad il vensre ved faldende ρ under 0. ρ = 0 vil ramme ATM som nederse punk. Bemærk a ATM for alle værdier af ρ er den samme Beskrivelse af ν En forøgelse af ν gør smile mere kurve. Se figur 8.5. Parameeren ν angiver volailieen af volailie i SABR-modellen, og derfor er de ikke overraskende, a implied volailiy øges på figur 8.5, når ν øges. De flese opioner har gavn af høj volailie pga. deres nohing-o-lose konsrukion. Se bare på en OTM call opion, den har al a vinde og ine a abe. Derfor vil den få en højere værdi, når volailieen øges. Dee kan ske med parameeren ν. En høj værdi af ν vil nogle gange give eksrem høj volailie, og dee har call opionen gavn af. 8.4 Parameeresimering i SABR-modellen Esimering af α, ρ og ν Når β er valg, mangler man a finde de re paramere α, ρ og ν. Dee kan gøres ved a finde værdier for disse paramere, som rammer markedspriserne beds mulig. I Blacks model er der en unik og direke 1:1 sammenhæng mellem priser og implied volailiies, hvorfor man flere seder angiver priser på calls/pus som implied volailiies. 59

61 bea=0,45 bea=0,5 bea=0, Implied Volailiy Srike Figur 8.3: Implied volailiy i SABR ved forskellige værdier for β I opimeringen minimeres derfor kvadrerede fejl mellem de observerede Black implied volailiies (markedspriserne) og implied volailiies fra SABR-modellens approksimaionsformel i (ˆα, ˆρ, ˆν) = min α,ρ,ν {σ } marke B (f i, K i ; α, ρ, ν) σ i i (8.4.1) Denne meode er bleve implemenere i MATLAB, hvor σ i marke blev funde numerisk ud fra markedspriserne vha. den indbyggede Black funkion for implied volailiies. I ønsker man a minimere summen af kvadrerede fejl, så den samlede mængde fejl er så æ på 0 som mulig. Deso æere på 0, deso mere præcis rammer SABR-modellen de rigige markedspriser. I bliver der desuden opløfe i anden (squared errors), sådan så fejl nr. i ælles posiiv: fejl(i) = { σ B (i) σ i marke }. Samidig giver kvadreringen også ouliere sørre væg. Hvis man ikke opløfer i anden, men i sede ager summen over alle fejl giver de: fejl(i) = { σ B (i) σ i marke }. Så kan der både være negaive og posiive værdier, der neuraliserer hinanden, og summen af fejl kan blive æ på 0, selvom de reel er sore hver for sig Esimering af ρ og ν (α implici) Der er en anden meode, hvor man kun esimerer ρ og ν og samidig sørger for, a MATLAB finder α implici ved 8... Nu omskrives 8.. for a få en redjegradsligning, hvor α er den enese ubekende. 60

62 rho= 0,6 rho= 0,3 rho=0,3 Implied Volailiy Srike Figur 8.4: Implied volailiy i SABR ved forskellige værdier for ρ σ AT M = α { [ ] } (1 β) α ρβνα 3ρ ν T f 1 β 4 f ( β) 4f (1 β) 4 { [ ] } (1 β) α ρβνα 3ρ 0 = α ν T σ 4 f ( β) 4f (1 β) AT M f 1 β 4 [ 0 = α + (1 β) T α 3 ρβνt α + + ] 3ρ ν T α σ 4 f ( β) 4f (1 β) AT M f 1 β 4 [ ] [ ] (1 β) T ρβνt 0 = α 3 + α + [1 + ] 3ρ ν T α σ 4f ( β) 4f (1 β) AT M f 1 β 4 [ ] [ ] (1 β) T ρβνt 0 = α 3 + α + [1 + ] 3ρ ν T α σ 4f ( β) 4f (1 β) AT M f 1 β (8.4.) 4 σ AT M er implied volailiy for k = f. Der kan være op il re reelle rødder i 8.4., og i de ilfælde vælges den mindse posiive rod. Så hvis man finder α = 1000, α = 1000 og α = 1, så vælges α = 1 som løsning. Dermed er 8.4. den formel, som implemeneres i MATLAB. Hver gang der bliver give e ny sæ ρ og ν, så vil α findes ved Ligesom før findes de værdier for ρ og ν, som rammer markedspriserne beds. (ˆρ, ˆν) = min ρ,ν { σb (f i, K i ; α (ρ, ν), ρ, ν) σ } marke i i (8.4.3) Ligesom før opløfes der i anden. Der skal for hver sæ ρ og ν findes rødder, som giver α. Dee gør a funkionen ager længere id a beregne hver gang der eses e ny sæ parameerværdier. Til gengæld har den numeriske solver kun paramere a opimere. Al efer hvor mange observaioner der er i opimeringen, vil den ene eller den anden meode være hurigs. 8.5 Hedging i SABR-modellen Denne sekion er lave ud fra Barle (006) []. opionsprisen V afhænger af i SABR-modellen. Nu opskrives de variable, som 61

63 volvol=0,5 volvol=0,75 volvol=1,5 Implied Volailiy Srike Figur 8.5: Implied volailiy i SABR ved forskellige værdier for ν V = B(f, K, σ(k; f, α, T ), T )) (8.5.1) hvor V er prisen, og B er en opion såsom en call eller en pu Originale hedges Dela Følgende viser de klassiske SABR hedges. For a finde Dela skal man differeniere opionsprisen V fra ligning med hensyn il f. I de originale Dela hedges fra Hagan e al. (00) [6] så har en ændring i f ingen indflydelse på α: f f + f (8.5.) α α (8.5.3) Med dee udgangspunk kan man finde den klassiske Dela, og som de førse er der brug for kædereglen for differeniering af en funkion z = H(x, y), hvor x = f() og y = g(): dz d = H 1 (x, y) dx d + H (x, y) dy (8.5.4) d Næse rin er a opskrive igen, hvor al undagen f fjernes, og dee giver B(f, σ(f)). De er kun, hvordan B afhænger af f, som er vigig, når man skal finde Dela. Her svarer B(f, σ(f)) il funkionen z = H(x, y) fra kædereglen i 8.5.4, hvor x er lig f og y er lig σ(f). Ved a benye kædereglen fra på B(f, σ(f)) fås nu: Dela = V f = B f + B σ σ f (8.5.5) Knu Sydsæer, Maemaisk Analyse Bind 1, afsni 11.9, side 40 6

64 Vega Her er B f den originale Black, og B σ σ f er SABR-modellens korrigering af Dela. For a finde Vega, som skrives Λ, så skal man differeniere opionsprisen V fra med hensyn il α. Fordi der sadig ses på de originale hedges, så har de ingen indflydelse på f, når α ændres: f f α α + α (8.5.6) Igen opskrives 8.5.1, hvor al undagen α fjernes. Dee giver B(σ(α)), og nu benyes kædereglen: Λ = B σ (8.5.7) σ α Nu er den originale Dela og Vega funde. Dog er disse ikke opimale, fordi SABRmodellen er definere ved, a f og α er korrelerede. Dee bliver der nu age højde for Nye hedges I ariklen Barle (006) [] bliver de foreslåe a opdaere de originale hedges fra SABR-modellen. I den forbindelse ages der nu højde for korrelaionen mellem f og α. På markede kan man ofe observere volailiy clusering, hvilke vil sige, a volailieen generel er højere i kriseider i forhold il gode perioder. Så når fuuresprisen falder, så vil man ofe se højere volailie, og når fuuresprisen siger, vil man generel se en lavere volailie. Dee kommer også il udryk ved en negaiv korrelaion ρ mellem processerne for f og α. Dela For a finde de nye Dela skal man igen differeniere opionsprisen V fra ligning med hensyn il f. Dog skrives 8.5. anderledes ved a inroducere en ny variabel δ f α, som ager højde for, a α også afhænger af f. f f + f α α + δ f α (8.5.8) De ses nu, a α også ændres, når f ændres. De skyldes δ f α, som er den gennemsnilige ændring i α ud fra ændringen i fuuresprisen f. Man aler om den gennemsnilige ændring, fordi afhængigheden mellem α og f ikke er deerminisisk, men sokasisk, så derfor kan δ f α forolkes som den gennemsnilige ændring se over en længere periode. For a udregne δ f α opskrives SABR-modellen fra ligning 8.1.1a og 8.1.1b igen, men med den ændring a den Brownske bevægelse dw i ligning 8.1.1b opskrives vha. dw 1 og den uafhængige Brownske bevægelse dz. df = α f β dw 1 dα = να (ρdw ρ dz ) (8.5.9a) (8.5.9b) 63

65 Her gælder som sag dw = ρdw ρ dz. Nu isoleres dw 1 i 8.5.9a og indsæes i 8.5.9b. dα = ρν f β df + να 1 ρ dz (8.5.10) Ligning viser den infiisimale ændring i α. De ses, a udviklingen i α nu er opdel i o led. De førse led i er deerminisisk, mens de ande led ikke bruges, fordi de involverer dz og er sokasisk. Ud fra drifen i ligning opskrives den gennemsnilige ændring i α: δ f α = ρν f β f Ved en omskrivning fås noge, der svarer il α, alså hvor mege α ændrer sig, når f f ændres. α f = δ fα f = ρν f β (8.5.11) Ligning skal bruges senere, men førs gælder de om a opskrive 8.5.1, så den kun afhænger af f. Dog skal man huske, a α nu også afhænger af f, så derfor bliver den nye omskrivning af lig med B [f, σ {f, α(f)}]. Dee udryk skal nu differenieres med hensyn il f ved brug af kædereglen: Nu kan B σ Dela = V f = B f + B σ σ f + B σ α σ α f sæes udenfor en parenes Dela = V f = B f + B σ ( σ f + σ α ) α f (8.5.1) (8.5.13) Til sids kan man ersae udrykke for α i ligning med udrykke fra f for a opskrive de nye Dela fra Barle (006). Dela = V f = B f + B σ ( σ f + σ α ) ρν Denne Dela indeholder de nye led B σ i forhold il Hagans originale Delarisiko σ α f β fra De nye led ager højde for, a α og f er korrelerede, og dee eksra led har ifølge Barle omkring samme sørrelse som de oprindelige led σ og bør derfor ikke f ignoreres. Desuden medvirker de nye led il, a ens Delahedging ikke er påvirke af de β værdier, der vælges, hvorimod den klassiske Delahedging er mere påvirke af β. Indenfor risikosyring er de beds a have sabile hedges, som ikke bliver påvirke af hvilken parameer, der vælges, så derfor er Barles nye Dela en forbedring i forhold il den originale Dela. Vega ρν f β For a finde den nye Vegarisiko opskrives med den ændring, a f nu afhænger af α: f f + δ α f α α + α (8.5.14) 64

66 Man bruger noge, der minder om 8.5.9, men denne gang er de den Brownske bevægelse i fuuresprocessen, der omskrives jævnfør df = α f β (ρdw + 1 ρ dz ) dα = να dw (8.5.15a) (8.5.15b) Her gælder, a dw 1 = ρdw + 1 ρ dz. Nu isoleres dw i b og indsæes i a: dα = dw να ( β df = α f ρ dα + ) 1 ρ να dz df = ρf β ν dα + α f β 1 ρ dz (8.5.16) Samme argumen som før benyes. De førse led i er deerminisisk og involverer fuuresprisens afhængighed af α. De ande led ses der bor fra, fordi de indeholder dz og er sokasisk. Derfor er de førse led i lig med δ α f, som er den gennemsnilige ændring i f grunde α. Fodegn fjernes, og d bliver il, fordi den gennemsnilige ændring skal bruges. δ α f = ρf β α (8.5.17) ν Ligesom før laves en omskrivning af , så udrykke minder om f, de vil sige, α hvor mege f forvene se ændrer sig, når α bliver ændre. f α = δ αf α = ρf β (8.5.18) ν Dee var lid forarbejde, og ligning vil blive brug senere. Førs skal opionsprisen V fra ligning differenieres med hensyn il α for a finde Vegarisikoen Λ. I de eferfølgende afviges der fra Barles meode, hvor de ligner, a der er en fejl i Vegarisikoen. 3 Hvis man skal opnå samme Vega som Barle, så skal man differeniere udrykke B [σ {f(α), α}] fra ligning Dee er dog ikke logisk, fordi de førse f i ligning bliver ignorere, og hvis man skal være konsisen, så afhænger de også af α. Derfor er de korreke led, der skal differenieres B [f(α), σ {f(α), α}]. Dee udryk differenieres nu mh. α ved brug af kædereglen: Nu kan B σ Λ = V α = B f f α + B σ f σ f α + B σ σ α rækkes udenfor en parenes: Λ = V α = B f f α + B ( σ f σ f α + σ ) α 3 hp:// 65

67 Nu kan man opskrive den nye Vega ved hjælp af udryk Λ = V α = B ρf β f ν + B ( σ ρf β σ f ν + σ ) α Dee udryk er en udvikling af 8.5.7, hvor der er ilføje de nye led B Vegarisikoen fra afviger fra Barles med ledde B ρf β f ν 8.6 Oblójs formel f ρf β ν som bliver addere. (8.5.19) + B σ ρf β. σ f ν Som idligere nævn er formlen for implied volailiy i SABR-modellen fra 8..1 blo en approksimaion. Der er komme forslag il forbedringer af denne approksimaion, og en af disse er Oblójs formel for implied volailiy. 4 ( 1 ( )) ν log f B (K, f, T ) = [ 1 + (1 β) log ( f K ) + (1 β)4 log 4 ( f K ) ] K x(z) { [ ] } (1 β) α ρβνα 3ρ ν T (Kf) 1 β 4(Kf) (1 β)/ 4 (8.6.1) σ oblój hvor z = ν ( f 1 β K 1 β) α(1 β) ( ) 1 ρz + z + z ρ x(z) = log 1 ρ Udrykke for z er anderledes end i Hagans approksimaion fra 8..1, dog er x(z) ligesom i Hagans approksimaion. De viser sig, a Oblójs formel fra kan forsimples yderligere il: σ oblój B (K, f, T ) = 1 ( 1 + A 1 log K ) ω f + A log K f + BT (8.6.) hvor konsanerne er give som følger: A 1 = 1 (1 β ρνω) [( A = ) β + 3((1 β) ρνω) + ( 3ρ )ν ω ] (1 β) 1 B = 4 ω + βρν 1 4 ω + 3ρ ν 4 ω = α 1 f 1 β (8.6.3) 4 Afsnie er lave ud fra Fernández e al. (013) [4] 66

68 8.7 Dynamisk SABR Her inroduceres den Dynamiske SABR-model. Den model, som er bleve analysere indil videre, hedder saisk SABR. Navne saisk skyldes, a paramerene anages for a være konsane over id, og de kan gøre de svær a fie daa med forskellige udløbsider. I saisk SABR er der dog en lukke analyisk approksimaion af implied volailiy, og dee er en syrke ved den ellers primiive model. I Dynamisk SABR illader man paramerene a ændre sig over id. Dee giver en bedre model, men il gengæld er de ikke alid mulig a få en lukke analyisk approksimaion af implied volailiy, og desuden kræves der mere beregningsid i ens program. Den opdaerede model ser således ud: d ˆF β 1 = ˆα ˆF dw dˆα = ν()ˆα dw dw 1 dw = ρ()d (8.7.1a) (8.7.1b) (8.7.1c) Læg mærke il, a der i Dynamisk SABR i gælder, a volvol parameeren ν() nu afhænger af iden. De samme gælder for korrelaionen ρ(). Dee gør modellen mere fleksibel, da disse paramere kan ændre sig over id. Her opskrives formlen for implied volailiy i dynamisk SABR: σ B (K, f, T ) = 1 ω A 1 (T ) = β 1 A (T ) = ( 1 + A 1 (T ) log (1 β) 1 + η 1(T )ω B(T ) = 1 ω ( (1 β) ν 1(T ) = 3 T 3 η 1 (T ) = T 0 0 ( ) ( ) ) K K + A (T ) log + B(T )T f f + 1 β η 1(T )ω ωβη 1(T ) 4 + 4ν 1(T ) + 3 (η(t ) 3η1(T )) ω 4 ) ω 4 + ν (T ) 3η (T ) (T ) ν ()d, ν (T ) = 6 (T ) ν()ρ()d, η = 1 T 4 T (T ) ν ()d, 0 ( s ν(u)ρ(u)du) dsd 0 (8.7.) Her er desuden en meode il a finde implici α ved brug af ATM volailieen med nogenlunde samme fremgangsmåde som = [ ] T (1 β) α 3 + 4f (1 β) [ T βη1 (T ) 4f (1 β) ] [ ] ν α + (T ) 3η(T ) T + 1 α σ ATM f 1 β 4 (8.7.3) 67

69 Ligning er bleve udregne i Bilag A.9. De mindes om a ω = α 1 f 1 β De ses i 8.7., a man også skal vælge en funkionsform il de o paramere ν() og ρ(). Værdierne af disse skal være (numerisk) mindre for lange udløb (høj T ) og højere for små udløb (lav T ), for a passe il markede. Hvis ν og ρ er konsaner, dvs. a hvis ν = ν 0 og ρ = ρ 0, så gælder der for ν 1 (T ): For ν (T ) gælder der: ν 1(T ) = 3 T 3 ν 1(T ) = ν 0 ν 1(T ) = ν 0 ν 1(T ) = ν 0 ν 1(T ) = ν 0 ν 1 (T ) = ν T T 3 3 T 3 3 T 3 (T ) ν 0d 0 (T ) d ( T T + ) d [ T T C (T 3 T ) T 3 ] T 0 ν (T ) = 6 T 3 ν (T ) = ν 0 ν (T ) = ν 0 ν (T ) = ν 0 ν (T ) = ν T T 3 6 T 3 6 T 3 ν(t ) = ν0 6 1 T 3 6 T 3 ν (T ) = ν 0 (T ) ν 0d 0 (T ) d ( T ) d ] T [ 1 3 T 3 + T + C ( 13 T 3 + T ) T 0 For η 1 (T ) gælder der: η 1 (T ) = T 0 (T ) ν 0 ρ 0 d η 1 (T ) = T [ T ν0 ρ 0 1 ν 0 ρ 0 ] T 0 η 1 (T ) = T [ T ν 0 ρ 0 1 T ν 0 ρ 0 ] η 1 (T ) = [ν 0 ρ 0 ν 0 ρ 0 ] η 1 (T ) = ν 0 ρ 0 68

70 For η (T ) gælder der: η (T ) = 1 T 4 η (T ) = 1 T 4 η (T ) = 1 T 4 η (T ) = 1 T ( s ν 0 ρ 0 du) dsd 0 [ν 0 ρ 0 s] dsd [ ν 0 ρ s3] 0 d ν 0ρ d η(t ) = 1 [ ν T 4 0 ρ 0 1 4] T 1 0 η(t ) = 1 [ ν T 4 0 ρ 0 1 T 4] 1 η(t ) = ν0ρ 0 η (T ) = ν 0 ρ 0 Ved a sæe de fire paramere il a være lig med ν 1 (T ) = ν, ν (T ) = ν, η 1 (T ) = νρ og η (T ) = νρ, så vil udrykke for implied volailiy i dynamisk SABR fra ligning 8.7. reduceres il saisk SABR fra ligningerne 8.6. og Dee viser, hvordan saisk SABR er e specielilfælde af dynamisk SABR. Hvis man definerer funkionen for ρ() og ν() som foreslåe af Fernández e al. (013) [4], kan man udregne de fire funkioner ν 1, ν, η 1 og η ved brug af 8.7.: ρ() = ρ 0 e a, ν() = ν 0 e b hvor ρ 0 [ 1, 1], ν 0 > 0, a > 0 og b > 0. Dee giver følgende udryk: [( ) ] ν1(t ) = 6ν 0 (bt ) bt + 1 e bt, (bt ) 3 ν (T ) = 6ν 0 (bt ) 3 [ (e bt 1) + bt (e bt + 1) ], η 1 (T ) = ν 0ρ 0 T (a + b) [ e (a+b)t (1 (a + b)t ) ], η (T ) = 3ν 0ρ 0 T 4 (a + b) 4 [ e (a+b)t 8e (a+b)t + (7 + (a + b)t ( 3 + (a + b)t )) ]. Efersom alle inegralerne har eksplicie løsninger, kan man med disse funkionsformer for ρ() og ν() bruge en dynamisk SABR-model med en lukke formel. 8.8 Kriik af SABR-modellen Hagans approksimaion Hagans Saiske SABR approksimaionen fra 8..1 konvergerer ikke mod de korreke resula når β 1 jævnfør Oblój (008). Hvis der er mege lange udløb og mege små 69

71 srikes er approksimaionen dårlig. Dee er i ariklen illusere med en løbeid på 15 år og mege lave srikes i pengemarkede. Dee problem vil ikke umiddelbar ramme nogen relevane opioner i oliemarkede, da man sle ikke kigger på så lange udløb for call og pu opioner, og heller ikke så lave srikes. For a ese approksimaionen kan man simulere løsninger og se om man får de samme. Dee er dog uden for afgrænsningen af denne opgave. Modellens approksimaion virker desuden ikke ordenlig i nuidens pengemarked hvor rener er mege lave og il ider negaive 5, men dee er ikke relevan for råvaremarkede Paramere i dynamisk SABR Den eksponenielle form af paramerene ν() og ρ() er forholdsvis simpel, og dee kan il ider ikke opfange idsdynamikken i empiriske daa SABR og pengemarkede SABR-modellen er oprindelig udvikle il pengemarkede, fordi man formodede a sokasisk volailie med en vol af vol parameer kunne fange variaionen i markede. Hvis råvaremarkede har flere fundamenale fakorer der ikke kan forklares af dee vil modellen ikke ramme markede konsisen. Dee er hvad der bl.a. undersøges i den empiriske del. 5 Hagan e al. (014) Arbirage-Free SABR 70

72 Del II Empiri 71

73 Schwarz Daabehandling 9.1 Inrodukion For a ese Schwarz-modellen er der anvend forskellige daasæ med flere formål: ˆ Førs er de originale daa fra 80 erne bleve brug ligesom i Schwarz (1990) [11]. De er ikke mulig a vide, hvilke rener og fuures der er benye, så resulaerne kan ikke replikeres fuldsændig, men kun ilnærme. ˆ Herefer er der kalibrere paramere med 3 års daa fra 010 og frem il 013. Dee daasæ anvendes i re delprogrammer med henholdsvis -4, -6 og -1 måneders fuures. I alle re delprogrammer bliver λ esimere, og RMSE bliver noere. -4 måneders fuures. Her bliver der kalibrere med de mes likvide fuures. Disse 1-4 måneders fuures er valg ved a kigge på volume og open ineres på Bloomberg og se, hvor der er mes likvidie. -6 måneders fuures. Dee delprogram har lid flere fuures. -1 måneders fuures. Formåle er a se effeken af de længere fuures, der ypisk er mindre likvide. Herefer benyes disse daa il forecasing og ou-of-sample ess. ˆ Der er også kalibrere fra år 00 og frem il 014 igennem finanskrisen med - 1 måneders fuures for a få mange års esimering, hvilke normal kan siges a være god for en regression, sam for a se, hvordan paramerene opfører sig under konjunkursvingninger. ˆ Til sids er der kalibrere paramere fra med -6 måneders fuures lige før finanskrisen med henblik på a forecase gennem krisen. Formåle er a se, hvordan modellen hånderer en sresse periode, og hvilken effek de har på forecasingen. 9. Daa I denne sekion beskrives mere dybdegående præcis hvilke daa, der er anvend il de forskellige programmer. ˆ I ariklen er der brug 1- og -måneders fuures med ugenlige priser for hver måned fra januar 1984 il november 1988, sam 1-måneds reasury bill raes som rene il a udregne spopriser og convenience yields. Derefer er der brug 40 forskellige konraker il a kalibrere λ. Renen fra Schwarz har ikke være mulig a finde, så i sede er der anvend en 3-måneders governmen rene. 1 Desuden er de 40 konraker ikke specificere nærmere, ande end a de er del op i 3 grupper, så disse har heller ikke være mulige a replikere. I sede er der her brug, 3, 4, 5 og 6-måneders fuures i kalibreringen af λ, og dee giver 130 daapunker. Dee valg er subjekiv basere på den generelle likvidie på konraker over perioden. Hel specifik er der kigge på både open ineres og volume i Bloomberg. 1 Ticker værdien i bloomberg er USGG3M 7

74 ˆ ˆ ˆ I programme er der anvend fuureskonraker fra 01 forskellige daoer (ugenlig) fra januar 010 il okober 013. Som rene er der brug en 4-ugers reasury bill rae fra USA. Denne giver e udmærke benchmark for den risikofrie rene for e amerikansk handle akiv. De skal desuden nævnes, a renen over hele perioden er så lav, a man får sor se de samme resulaer, uanse hvilken rene der benyes. Convenience yield udregnes igen udfra renen og 1- og -måneders fuures. I programmerne er der il kalibrering anvend forskellige udløb af fuures, nemlig -4 måneder, -6 måneder og -1 måneder. Til ou-ofsample esing i er der anvend fuurespriser for 14 daoer med ugenlige mellemrum fra okober 013 il februar 014, sam renerne der passer il daoerne, igen fra samme sed. I programme er der anvend ugenlige daa fra januar 00 il januar 014, og de giver 67 forskellige daoer med daa. Tilhørende rener il disse daoer er igen hene som 4-ugers reasury bills. På hver dao bruges der -1 måneders fuures il kalibrering. I programme er der anvend -6 måneders fuures, igen med ugenlige inervaller og samme rene som før. I al er der 339 observaionsdaoer fra januar 00 il juni 008. Til ou-of-sample er der anvend 6-måneders daa af -6 måneders fuures fra juli 008 il december 008, og de giver 6 observaionsdaoer. 9.3 Beregning af convenience yield Ariklen specificerer ikke, hvordan convenience yield bruges i esimeringen. Her gøres de simpel, hvilke beyder a der findes e convenience yield for hver dao ud fra 1- og - måneders fuures, ligesom a der er en rene for hver dao. Alså ages de annualiserede insanane convenience yield nu og anvendes i prisfassæningen af alle længder fuures il en besem dao. Måden som convenience yield konsrueres på, giver også e generel problem i modellen i forbindelse med prisfassæning af lange fuures. De er ikke opimal a bruge 1- og -måneders fuures il a esimere en længere fuureskurve, da disse ikke vil kunne opfange evenuelle dynamikændringer mod de længere udløb. Dee uddybes senere. 9.4 Parameeresimering I dee afsni beskrives førs resulaerne af SUR-regressionen og derefer esimeringen af λ Parameeresimering med SUR-regression For a esimere k, α, ρ, σ 1 og σ laves der en SUR-regression af daa som beskreve i sekion I abel 9.1 vises parameeresimaerne for alle regressionerne i de forskellige programmer. De skal nævnes, a alle paramere i abellen er annualiserede. De ses i regressionen fra , a paramerene er æ på regressionsparamerene fra Schwarz arikel, renerne er funde på 73

75 Koefficien Periode α k ρ σ 1 σ DW ,18 0,1 0,9 0,35 1,7 1, arikel 0,19 16,1 0,3 0,35 1,1 1, ,0 7,84 0,43 0,34 0,80 1, ,05 9,06 0,44 0,38 1,10, ,07 6,43 0,31 0,7 0,33,01 Tabel 9.1: SUR-regression men de er ikke mulig a få præcis de samme parameerresulaer. De skyldes, a de 1- måneds reasury bill raes fra 80 erne, som har være brug i ariklen, ikke er ilgængelige længere, og a der er brug en 3-måneders governmen rene i sede. De giver derfor andre værdier for convenience yield, hvilke også kunne ses på figuren for convenience yield fra 6., der som idligere nævn ligner convenience yield figuren fra orginalariklen, men med enkele afvigelser. Når der ikke bliver brug samme daa, så kan man ikke replikere de eferfølgende paramere i en SUR-regression. Til gengæld kan spoprisen findes og replikeres, som de blev gjor i figur 6.1, og Durbin-Wason esen giver de samme som i ariklen med e resula på 1,99. Når denne værdi er så æ på, så kan man med sor sikkerhed afvise, a der er førseordens auokorrelaion i residualerne fra OLS-regressionen fra 6.5.3a for log(s /S 1 ). Endvidere er mean reversion parameeren k fra kun ca. 40% af ariklens værdi fra (se abel 9.1). I convenience yield figuren 6. fra 80 erne var spænde for convenience yield sørre, nemlig fra -75% hel op il 150%. I daa går convenience yield fra -60% op il 10%. Dee mindre spænd gør, a der ikke behøves en lige så sor mean reversion parameer k for a komme ilbage il ligevæg. De ses også fra SUR-regressionen i 9.1, a volailieen σ var højes i , hvilke kræver en sørre værdi af k for a komme ilbage il ligevæg. I daa er k også lavere end i , selvom perioden har ca. 3 gange så mange observaioner, hvilke igen skyldes, a σ er højere i if En høj volailie i processen for convenience yield kræver en sørre mean reversion parameer k. For a give e grafisk overblik over daa kommer der her o grafer i figur 9.1 for henholdvis spoprisen og convenience yield fra perioden 00 il 014. De ses i figur 9.1, hvordan spoprisen bygger op il finanskrisen og herefer har e krafig spring nedad. Derefer vender prisen langsom ilbage il e normal niveau. De kan diskueres, hvorvid volailieen er sørre efer finanskrisen (010 og frem) end før (00-007). En mulig forklaring er, a markede ikke har sabilisere sig og sadig er påvirke af krisens efervirkninger. Hvis man ignorerer finanskrisen og rækker en konsan fra for a fjerne drifen, så ligner spoprisen en random walk. Imidlerid ser de ud il, a denne påsand passer bedre, hvis daa deles op i mindre perioder. Hvis der fx kun ses på daa fra , som også er esimere for sig selv i e af programmerne, så ser de umiddelbar pænere ud if. modelanagelserne om, a spoprisen er en random walk. Volailieen i spoprisen i figur 9.1 ser ud il a sare lav, blive mege høj under finanskrisen og så finde sig e ny niveau, der er en smule højere end i saren. Dee er undersøe af abel 9.1, der viser værdier for σ 1 i finanskrisen og efer. I convenience yield-grafen ser man ydelig, a der er mean reversion gennem hele perioden. Hvis man kigger efer, ser de ud som om, a middelværdi-niveaue skifer lid henover perioden. I abel 9.1 ses de også, a parameeren α har forskellige værdier i de forskellige 74

76 Spopris Tid Convenience Yield Tid Figur 9.1: Spopris øvers og convenience yield neders for regressioner. Grunden il de lavere langidsniveau af convenience yield efer krisen kunne evenuel være pga. faldende eferspørgsel eller lavere rene. E lavere convenience yield viser, a de er mindre arakiv a have olie på lager. Ud fra grafen er de svær a aflæse parameeren k, men den varierer heller ikke mege i abel 9.1 imellem de nye perioder efer 00. Volailieen i convenience yield figuren synes a være sor i saren, så rigig sor i finanskrisen, for derefer a blive mindre hen mod sluningen. Dee passer fin overens med parameeresimaerne af σ i abel 9.1 for perioderne efer 00. Ud fra disse overvejelser kunne de være hensigsmæssig a kalibrere modellen uden om finanskrisen. Schwarz model kan ikke age højde for hverken de sore udsving under krisen eller en skifende endens i paramerene. Skife i volailieen er en af de ing, SABR-modellen ville kunne fange. Korrelaionen mellem ændringen i spoprisen og convenience yield ρ er sørre i saren end i sluningen i abel 9.1 for perioderne efer 00. Dee kan være svær a se ud fra de o grafer i figur 9.1. Grunden il dee er (muligvis), a korrelaionerne i de finansielle markeder generel siger i kriseider. A ρ er posiiv er også forsåelig, da der indgår daa fra spoprisen (1-måneds fuure) i udregningen af convenience yield jf. ligning Alle Durbin-Wason essaisikker fra abel 9.1 er mege æ på, hvilke beyder, a der ikke er auokorrelaion i residualerne i regressionen for spoprisændringen. P-værdierne for alle disse DW-ess er over 0,35 og er dermed insignifikane, så H 1 hypoesen, der siger, a der er auokorrelaion i residualerne, kan afvises. DW-esen giver alid e resula mellem 0 og 4, og som ommelfingerregel er der kun problemer med værdier under 1 og over 3. Udover denne essaisik er der ikke lag væg på den saisiske signifikans af resulaerne jf. ariklen. Hvis der er auokorrelaion i residualerne, medfører de, a processen for S ikke er en random walk. De modsae gør sig ikke gældende, så når der i daa ikke er auokorrelaion i residualerne, så kan man ikke nødvendigvis konkludere a spoen følger en random walk. Alligevel anages de 75

77 a spoen følger en random walk da de er en af forudsæningerne for modellen Esimering af λ I ariklen er der brug en manuel søgealgorime il a minimere fejlene mellem de eoreiske og de empiriske priser. I nuidens compuerprogrammer anvendes i sede en af mange minimeringsfunkioner, som også finder den opimale værdi numerisk. Desuden kan man sæe en lavere olerance end i ariklen for a få e mere præcis resula. MAT- LAB funkionen nlinfi gør dee vekorisere. Denne funkion ignorerer NaN værdier (omme daapunker), hvilke er bekvem, hvis daa indeholder disse. Der findes også andre minimeringsalgorimer, og en es med eksempelvis lsqcurvefi giver samme resula, så valge af funkion er ikke vigig. Beregningerne er også bleve udfør i Excel for a sammenligne, og resulae semmer overens med MATLAB. Excel er dog langsommere, så dee er kun gjor en gang med daa fra ariklen, og ellers anvendes MATLAB. For a finde λ indsæes daa løbende i fuuresprisformlen fra for a minimere de kvadrerede fejl mellem empiriske og eoreiske priser ved brug af ligning Parameeren λ bliver løbende ændre af MATLABs nlinfi, og il sids er den opimale værdi funde. Udover den korreke værdi for λ fås også summen af kvadrerede fejl, så man kan se, hvor god modellen fier. Dernæs udregnes også RMSE fra ligning 6.7.3, og i abel 9. kan man se værdier af disse sammen med de ilhørende værdier for λ fra in-sample kalibreringerne i alle programmer over hele deres daamarice. Periode Fuures λ RMSE MPE Gns. pris Relaiv MPE i % mdr 0,98 0,48-0,05 1, 0,7% arikel - -1,80 0,69-0, mdr -0,07 0,93 0,08 53,9 0,16% mdr -0,39,78 0,05 69,4 0,07% mdr -0,36 0,58 0,0 9,4 0,0% -6 mdr -0,35 1,1-0,0 9,6 0,0% -1 mdr -0,40,47-0,18 9,8 0,19% Tabel 9.: λ-esimaer for alle programmer I abel 9. er Gns. pris gennemsnie af de empiriske daa, der er kalibrere il. Endvidere kan de ses a ariklens esimering af λ afviger fra kalibreringen foreage her. Dee skyldes som før nævn, a ariklens daa ikke kan replikeres, da de ikke er god nok beskreve. Af den grund vil de også være svær a sammenligne allene. Derfor bearbejdes ariklens daa ikke så grundig i denne opgave, men i sede behandles nyere daa, som er mere relevan, har højere likvidie og er mere ilgængelig. I de eferfølgende beskrives parameeren λ fra abel 9.. En posiiv værdi af λ beyder, a de ikke kan beale sig a holde convenience yield risiko. Convenience yield risiko er den risiko man har, ved a have en råvare liggende på lager. Hvis λ er posiiv kan de ikke beale sig a købe råvaren spo og ligge den på lager, og de er bedre blo a eje en fuure. Den posiive λ rækker kurven mere mod conango, så spoprisen bliver 76

78 billigere if. en fuure, og derfor er der overskud af den pågældende råvare lige nu. Når der er overskud af råvaren kan de ikke beale sig a have denne på lager så derfor er convenience yield lav. Ved a kigge nærmere på drifen i den risikoneurale proces for convenience yield i ligning 6.1.b, som er [k(α δ) λσ ], kan de ses, a en negaiv λ vil give en højere drif i convenience yield sam en lavere drif af S, og dermed en billigere fuure. Så hvis λ er negaiv, kan de beale sig a holde convenience yield risiko. En negaiv λ giver lavere fuurespriser, sam højere convenience yield, hvilke rækker kurven mod backwardaion. Under backwardaion er spo relaiv dyr if. fremidige fuurespriser, og dee beyder a der er knaphed af den pågældende råvare. De vil sige a de bedre kan beale sig a have råvaren liggende på lager. Generel ses de i abel 9., a λ er negaiv med en værdi omkring 0,35 i alle de nyere daa efer 00. Derudover indebærer en negaiv λ a priserne under P-måle er højere end under Q-måle, da man ved a holde fuures bliver kompensere med λ i perioder med negaiv λ. I så fald kan risikopræmien jenes ved a købe de fuures, der er brug il esimeringen, og holde dem il udløb. I abel 9. siger RMSE, når der medages flere og længere fuures i λ-esimeringen, og grunden heril beskrives i næse afsni. Desuden er sørrelsen af RMSE afhængig af den gennemsnilige pris på fuures indenfor kalibreringsperioden. I var den gennemsnilige spopris 1,7$ per ønde, mens den i var på 91,54$. Hvis man sammenligner RMSE i % for -6 måneders fuures i de perioder, fås 1,148 = 91,54 1,3% fra , mens der i var 0,4806 =,1%. Så selvom RMSE er 1,7 lavere i , så har denne periode sadig e dårligere fi. De ses i abel 9., a den højese relaive RMSE er fra Dee er ikke uvene, da der er ale om den længse kalibreringsperiode med flere dynamikændringer, skifende reneniveau sam finanskrisen. MPE er mean pricing error fra ligning 6.7., og som her benyes in-sample. Hvis MPE er negaiv, er der underprisning in-sample og omvend. Man skal passe på med a konkludere for mege ud fra MPE, da alle ikke viser, hvor god modellen rammer ligesom RMSE. I MPE vil en posiiv prisfejl på 100 sam en negaiv prisfejl på -100 gå ud med hinanden, og de ville ligne, a modellen rammer prisen i gennemsni. I sørre daasæ kan MPE god bruges il a undersøge, om modellen i gennemsni skyder over eller under de fakiske priser. For a sammenligne RMSE eller MPE på værs af programmer skal disse udregnes relaiv i forhold il den gennemsnilige empiriske pris i samme program. Når de kommer il MPE i abel 9., er der en blanding af underprisning og overprisning, så umiddelbar ser de ikke ud il, a modellen har underprisning, som ellers var konklusionen i ariklen. Der er fra overprisning, muligvis grunde den sejle signing i prisen over perioden. Denne prissigning giver de kore fuures nogle skub opad, mens de lange fuures er længere id om a flye sig. I Schwarz model opfaes kun de kore fuures vha. convenience yield, og derfor vil modellen ro, a de lange følger med, hvilke resulerer i, a de eoreiske priser i den lange ende ligger over de empiriske. I måneders kalibreringen ligger MPE æ på 0, og relaiv il den gennemsnilige pris er de den bedse MPE bland programmerne, men -6 måneders esimeringen ligger også i nærheden. I figur 9. vises prisfejlene in-sample for med kalibrering af -1 måneders fuures. De kan være svær a se ud fra figur 9.a, men der er i gennemsni underprisning. Figuren viser også, a der er enkele daoer efer 013 med mege sore prisfejl. Værdierne af convenience yield og rene ser normale ud og forklarer ikke disse fejl. Disse fejl skyldes, a der sker en dynamikændring il backwardaion, som kan ses i figur 9.b efer 77

79 Fejl 4 0 F 1 F Fuures måned Tid Tid (a) In-sample kalibreringsfejl (b) Conango vs backwardaion Figur 9.: , -1 måneders fuures Fejl 0 5 F 1 F Fuures måned Tid Tid (a) In-sample kalibreringsfejl (b) Conango vs backwardaion Figur 9.3: , -1 måneders fuures 013, hvor al over den røde linje beyder, a der er conango og al, som ligger under, beyder backwardaion. Dynamikændringerne i fuureskurven fra il 1 måneder giver problemer, da convenience yield konsrueres ud fra 1- måneders fuures. I figur 9.3a er der igen vis in-sample fejl over id, her med -1 måneders fuures fra 00 il 014. De ses, a der er flere ouliers og flere sørre skif i fuuredynamikken se ud fra figur 9.3b. Høj backwardaion i figur 9.3b giver høje posiive fejl i figur 9.3a. Omvend giver høj conango i figur 9.3b høje negaive fejl i figur 9.3a. I figur 9.4 skubbes il den opimale λ med 0,1 il hver side for a vise, hvordan dee ændrer gennemsnie af den eoreiske fuureskurve. De ser ud il, a λ har indflydelse på både hældningen og kurvauren, men der er kun en fri parameer, så hældningen og kurvauren bliver ændre på samme id. Dee gør, a man får sværere ved a fie prisen korrek vha. mindse kvadraers meode, og senere vises nogle eksempler på dee. Derudover kan de ses, jf. idligere diskussion, a når λ vokser så går grafen mere mod conango og omvend. 78

80 λ = 0,969 λ = 0,3969 λ = 0,4969 Gennemsnilig pris Fuures måned Figur 9.4: Effek af λ på gennemsnilig eoreisk pris 9.5 Analyse af fuureskurver I denne sekion beskrives fuureskurvedynamikken i daa sam de problemer, de kan medføre i Schwarz-modellen måneders fuures måneders fuures 6 måneders fuures Prisforskel Tid Figur 9.5: Prisforskel mellem spo og, 6 sam 1-måneders fuures I figur 9.5 svarer en prisforskel på 0 il spopris (1-måneds fuure) niveaue. Med en 1-måneders fuure som eksempel, så er figuren egne ved a udregne: prisforskel = F 1 S Derfor beyder alle posiive prisforskelle conango, og alle negaive prisforskelle beyder backwardaion. De ses, a backwardaion og conango følges ad i de flese ilfælde. Ideel, il modellering, ville fuures alid ligge længere væk fra miden (spoprisen), deso længere de var. Alså kun conango eller kun backwardaion. Dee skyldes, a der i den eoreiske model generel er 1- og -månedsfuuren, der besemmer resen af fuureskurven i de ilfælde, hvor renen er så lille, a den ikke har indflydelse (alså alle nyere daa efer finanskrisen). Fuureskurven findes alså ved punker (de fuures), og værdien af λ kan korrigere hældningen. Er der conango, vil dee forsæe på denne dao for alle fuureslængder og omvend (sadig give, a renen ikke har indflydelse, fordi den er for lav). Dee er, fordi fuureskurven lave af Schwarz model er monoon (på nær e specielilfælde, hvor kurven ligger næsen vandre). Dog er dee ikke ilfælde i virkeligheden. Nogle gange findes der conango i saren og backwardaion senere i fuureskurven (eller omvend). Dee kan måske forklares ved spli personaliy, som er 79

81 definere i sekion 4.1. Derfor vil de give en mere upræcis kalibrering af λ sam sørre fejl i en evenuel forecas, hvis en eoreisk conangokurve skal minimere sine kvadrerede fejl i forhold il en empirisk kurve, der sarer i conango og senere går over i backwardaion. I daa er dee problem mes relevan for fuures med udløbsider over 6 måneder. I , fra 1-1 måneder, er der 9 fuurespriser i backwardaion ud af 67. Tæller man derimod daoer i backwardaion fra 7-1 måneder, er der 367. Alså er der 76 daoer, som har e skif fra conango i saren il backwardaion i den lange ende af kurven. 3 Dee sker især før finanskrisen, hvor renerne var sørre end de nulrener, der findes i nyere daa. Kigger man udelukkende på , ses de, a kun 40 daoer ud af 01 ender i backwardaion fra 1-6 måneder, mens der er 64 daoer i backwardaion fra 1-1 måneder. De skal desuden nævnes, a backwardaion hovedsagelig foregår i sluningen af perioden. Dee er illusrere i figur 9.6. En høj rene (realrene) vil beyde, a de al ande lige er dyrere a holde varen spo if. a købe en fuure, da man ved e spokøb skal finansiere sin posiion ved a låne penge il en højere rene. En fuure koser 0 ved indgåelse, og man får som regel sadig rene på marginkoni. Grunden il, a man i realieen bør snakke om realrene er, a råvarer på lager er resisene overfor inflaion, da de selv vil sige i værdi på niveau med inflaionen (cirka). Hvis man kigger på formlen for convenience yield i ligning 6.3., vil en højere rene give e højere convenience yield, hvis fuuresprisen bliver hold fas. Convenience yield er dog implici, og ligningen er lave ud fra fuuresprisformlen i ligning Så denne anagelse om, a fuuresprisen holdes fas, holder ikke i virkeligheden. Ren empirisk passer en høj rene generel sammen med backwardaion, som kræver e høj convenience yield. I eksempelvis daa fra er der en høj (real)rene samidig med, a der er en del backwardaion pga. høje convenience yields. Fuureskurverne drives af udbud og eferspørgsel. Olieproducener ønsker a hedge deres produkion. En producen ved god, hvad kapacieen for e oliefel er lang frem i iden. Hvis olieprisen nu minus marginalomkosningerne for producenen giver en profi, vil de være i hans ineresse a låse denne profi fas. Både fordi han er risikoavers, men også fordi a e evenuel produkionssop ved prisfald, alså a markedsprisen falder under omkosningerne, kan have sore konsekvenser (land, maskiner og medarbejdere koser måske sadig penge ved ingen produkion). Især producenerne kan derfor være med il a besemme den lange ende af fuureskurverne. Forbrugere vil også have nye af a hedge deres indkøb af olie, igen for a sørge for a omkosninger ikke oversiger indæger, og dermed skaber en negaiv profi. Generel vil forbrugere sandsynligvis hedge korere id ad gangen, da de har sværere ved a se, hvor de sår om flere år. Udover reelle forbrugere af olie vil spekulaner også prøve a jene penge på olie, og dee kan også have en effek på udbuds- og eferspørgselskurverne. Alle disse fakorer ilsammen skaber udbud og eferspørgsel. En anden brug forklaring er, a e lav udbud (lav global lagerbeholdning - shorage) vil føre il backwardaion, da olien er dyr nu, og man regner med, a den lave lagerbeholdning vil blive udbedre i fremiden. I ilfælde af olie har denne forklaring ikke rigig nogen beydning, da der hisorisk se har være olie nok, siden fuures blev indfør på NYMEX, og der har fakisk være flere kriser, hvor der har være for mege olie, der har presse prisen ned. Hvad fremiden angår, er der mange forskellige meninger om, hvorvid dee sadig vil være ilfælde, og alle påsande vil indeholde en vis mængde af spekulaion. Når de kommer il risikopræmien for convenience yield, vil denne besemmes ud fra markedsforvenninger og nye af hedging for de forskellige agener (igen hisorien om udbud og eferspørgsel). I de eferfølgende illusreres nogle problemsillinger ved fuureskurven, hvilke kan 3 En enkel observaion som sarer i backwardaion og sluer i conango 80

82 Teoreisk pris Empirisk pris 9.5 Sandardafvigelse af eoreisk pris Sandardafvigelse af empirisk pris 9.6 Sandardafvigelse Gennemsnilig pris Fuures måned Fuures måned (a) Sandardafvigelser, -1 mdr fuures (b) Priser, -4 mdr fuures Gennemsnilig pris Teoreisk pris Empirisk pris Gennemsnilig pris Teoreisk pris Empirisk pris Fuures måned Fuures måned (c) Priser, -6 mdr fuures (d) Priser, -1 mdr fuures Figur 9.6: Empirisk vs. eoreisk i gennemsni ses i figur 9.6. Den førse graf i figur 9.6a viser, a sandardafvigelsen for empiriske priser er faldende mod de lange fuures. Dee hænger sammen med, a volailieen siger mod udløb, fordi de flese prischok ikke har nogen effek på de lange fuures, og derfor kun øger volailieen i den kore ende. Dee er endda rods conango i de flese ilfælde. I den eoreiske model er volailieen derimod nogenlunde konsan og har samle se e højere niveau. I figur 9.6b, 9.6c og 9.6d vises for henholdsvis -4, -6 og -1 måneders gennemsnie af de empiriske fuureskurver og de eoreisk opimale fuureskurver. Den empiriske kurve er ens for alle 3 grafer. Den eoreiske er lave ud fra a kalibrere λ il de måneder, der sår under hver graf. Hver figur er gennemsnie over 01 daoer af e OLS fi af den eoreiske graf il den empiriske. Efersom der kun er en fri parameer, rammer de eoreiske ikke så god, som man kunne håbe. I -4 måneders ilfælde i figur 9.6b er der e nogenlunde fi, hvor man sarer i overprisning og går over i underprisning. I -6 måneders ilfælde i figur 9.6c er der igen overprisning i saren og underprisning i sluningen. Desuden kan den eoreiske kurve ikke fange krumningen af den empiriske og er derfor mere flad. I -1 måneders ilfælde i figur 9.6d er den gennemsnilige dynamik af de empiriske fuureskurver conango, eferfulg af backwardaion efer ca. 7 måneder. Den eoreiske pris kan igen ikke håndere krumningen, som forekommer i den empiriske kurve. De ser ud il, a dynamikken beds opfanges i -4 og -6 måneders ilfælde, mens der derimod er underprisning på næsen 81

83 0,5$ i de miderse fuures i -1 måneders ilfælde. De kan se ud som om, a fejlene i figur 9.6d bliver lavere efer 7-8 måneder og frem. Dog skal man huske, a der er ale om gennemsnilige priser, så derfor kan man ikke drage den konklusion ud fra grafen, og i realieen bliver fejlene sørre deso længere id, der er il udløb. Til gengæld ses de ud fra graferne i 9.6, a dynamikændringer i fuurespriserne efer 7 måneder (conango il backwardaion i gennemsni) giver problemer i modellen, hvilke hænger sammen med RMSE værdierne i abel 9., som er højes for kalibreringer med lange fuures. 9.6 Ou-of-sample For a ese modellen bruges ou-of-sample daa umiddelbar efer kalibreringsperioden I abel 9.3 vises RMSE for både ou-of-sample ess og forecas. Ou-of-sample es Løbeid i mdr Fuures gns. -4 mdr 0,10 0,39 0, ,47-6 mdr 0,10 0,41 0,95 1,6, ,10-1 mdr 0,08 0,3 0,80 1,41,14,90 3,65 4,37 5,01 5,67 6,37,98 Forecas (1 måned) -4 mdr 4,5 4,7 3, ,4-4 mdr naiv 4,6 4,34 3, ,30-6 mdr 4,5 4,7 3,93 3,81 4, ,13-6 mdr naiv 4,6 4,34 3,95 3,57 3, ,95-1 mdr 4,5 4,7 3,93 3,81 4,10 4,75 5,84 7,18 8,46 9,65 10,9 6,1-1 mdr naiv 4,6 4,34 3,95 3,57 3,6,10,77,60,43,34,5 3,19 Forecas finanskrise (1 måned) -6 mdr 17,6 16,65 15,8 14,9 14, ,8-6 mdr naiv 17,7 17,3 17,0 16,7 16, ,0 Tabel 9.3: RMSE i ou-of-sample es og forecasing Ou-of-sample es Løbeid i mdr Fuures gns. -4 mdr 0,07 0,39 0, ,46-6 mdr 0,08 0,41 0,95 1,6, ,09-1 mdr 0,03 0,31 0,80 1,41,14,90 3,65 4,37 5,01 5,67 6,37,97 Forecas (1 måned) -6 mdr -0,80-0,4 0,67 1,80 3, ,90-4 mdr -0,80-0,4 0, ,13-1 mdr -0,80-0,4 0,67 1,80 3,07 4,44 5,84 7,18 8,46 9,65 10,9 4,63 Forecas finanskrise (1 måned) -6 mdr 17,6 16,6 15,8 14,9 14, ,8 Tabel 9.4: MPE i ou-of-sample es og forecasing Ou-of-sample es Ou-of-sample es går ud på a ese modellen med daa, som ikke blev brug i esimeringen. Fejlene besemmes ud fra RMSE og MPE af ou-of-sample daa. Formåle 8

84 er a undersøge, hvor god modellen rammer de empiriske priser ou-of-sample. I dee ilfælde er ou-of-sample perioden 14 uger umiddelbar efer kalibreringsperioden. I abel 9.3 vises resulaerne. Ou-of-sample ess rammer god i forhold il in-sample RMSE fra abel 9., og gennemsnisværdierne er næsen ens. Esimaerne for -4 og -6 måneder er endda bedre end in-sample. Der skal dog mindes om, a ou-of-sample perioden ligger pæn og har ikke sore ændringer, som kunne ses in-sample, sam a der er færre observaioner (14 uger) ou-of-sample. Denne kore periode beyder også, a paramere som blev kalibrere idligere (λ og SUR paramere), sadig vil være relaiv opdaerede. Derimod ville ou-of-sample esen højs sandsynlig give e dårligere resula, hvis den foregik med 01 ugers observaioner eller lignende, fordi paramerene så ikke ville være opdaerede. I abel 9.4 kan man se, a MPE for ou-of-sample er æ på eller lig med RMSE. Dee skyldes, a der i den givne periode næsen kun er overprisning i den eoreiske model. Når der næsen kun er overprisning, vil de beyde, a man ved a rekalibrere λ sikker vil kunne få e bedre fi. Dee aler for, a λ ændrer sig over id Forecas Der ønskes e forecas af prisen om en måned, men grunde begrænsede daapunker(ugenlige) er prisen i sede forecase 4 uger fremad. Førs findes den eoreiske pris på eksempelvis en 3-måneders fuure ˆF 1,3. Denne eoreiske pris er funde på uge 1 i ouof-sample daa. Denne pris sammenlignes så med den empiriske pris i uge 5 (prisen om en måned forecases). De skal noeres, a på dee idspunk er der gåe en måned, og derfor er den eoreiske 3-måneders fuure ˆF 1,3 nu bleve il en -måneders fuure (reel se er der kun gåe 4 uger, så der vil fremkomme en lille fejl her). Den sammenlignes derfor med F 5,. Formlen for forecas fejl ser ud som følger: (forecas fejl) i+4,j 1 = ˆF i,j F i+4,j 1 Til sids findes den samlede RMSE i ou-of-sample perioden. Her er ou-of-sample perioden 14 uger, men der skal bruges fuures daa 4 uger frem for a sammenligne, så der er kun forecas fejl for 10 uger. For a sammenligne Schwarz modellens performance laves også en naiv sraegi ved a age den empiriske 3-måneders pris F 1,3 og sammenligne denne en måned efer med den empiriske -måneders pris. (forecas fejl naiv) i+4,j 1 = F i,j F i+4,j 1 Den naive sraegi siger, a prisen om en måned er lig med prisen i dag korrigere for, a der er gåe en måned, hvilke beyder, a der sammenlignes med fuuren j 1, som har en måned mindre løbeid. P og Q måle Fuuresprisformlen blev udled under de risikoneurale Q-mål, men i virkeligheden indeholder fuurespriserne en risikopræmie og derfor er forecas i abel 9.3 foreage under P-måle. Dee gøres ved a fjerne λ fra de sokasiske processer. Når λ sæes lig med 0 i ligning bliver den brownske bevægelse for convenience yield forskud ilbage il P-måle. På samme id kan de ses ud fra ligning 6.6.6, a µ = r δ(). Derfor bliver de led, som sår i parenes foran d i ligning lig med 0, og så sår der dw () = dw (), hvilke beyder, a den Brownske bevægelse for spoprisen er ilbage under P-måle. 83

85 I sidse ende leder dee il, a λ forsvinder fra fuuresprisformlen i I de programmer, der bruges il forecasing ( og ), har kalibreringen give en negaiv λ, jævnfør abel 9.. Når λ er negaiv, så vil man få højere fuurespriser under P-måle. Dee skyldes, a en negaiv λ giver højere drif i convenience yield, og e højere convenience yield beyder lavere fuurespriser. Dee må beyde, a prisen under Q-måle vil være lavere end under P-måle, og forskellen mellem disse er neop den præmie, man forvener a jene ved a holde fuuren il udløb. Resulaer I abel 9.4 ses de, a den eoreiske fuureskurve begynder a ramme for høj ud over 6 måneder. Dee kan skyldes, a convenience yield kun bliver lave ud fra 1- og -måneders fuures, og a den empiriske kurve har en krumning, der ikke opfanges af modellen. Der opsæes følgende krierium il a se, hvornår modellen er god nok: Forecasingen skal, som minimum, være bedre end den naive forecas. Dee er den i ilfælde med -4 måneders fuures. Med -6 måneders fuures begynder den a være dårligere, og med -1 måneders fuures rammer den hel ved siden af. Så kor sag virker modellen dårligere deso længere udløb, der medages. Hvis risikopræmien skal jenes, skal man som sag gå lang, når der er negaiv λ og kor, når der er posiiv λ. Her er de vigig, a λ passer il den periode der forecases på. Hvis der esimeres over en periode med negaiv λ og forecaser en periode med posiiv λ, vil der abes på a invesere i fuures for a jene risikopræmien, da de posiive λ vil beyde, a man skulle have gåe kor. Udover dee er der ligesom i alle sraegier eksra omkosninger ved a indgå handlen i den virkelige verden, bl.a. ransakionsomkosninger, margin coss osv. I forecasingen ses de, a MPE i gennemsni ligger æ på 0 for med -4 og -6 måneders fuures. De er svær a konkludere, om der er konsisen over- eller underprisning, hvilke er god, da modellen gerne skulle være balancere. For i -1 måneders ilfælde er der dog overprisning, igen fordi dynamikken ændrer sig ud over de 7 måneder. I forecasing under finanskrisen er prisfaldene så eksreme, a modellen også giver overprisning. Dee er ikke overraskende, og øvelsen er lave for a vise e dårlig eksempel, hvor modellen ikke virker. På den anden side rammer modellen bedre end den naive, men dee bliver overskygge af de sore fejl i begge meoder. Generel virker de som om, a der ikke bør forecases med Schwarz-modellen i praksis. Modellen er allerede bleve kriisere for ikke a kunne fange fuureskurvedynamikken, og desuden kan λ nem ændre foregn, hvilke gør de kriisabel a handle ud fra denne parameer. 9.7 Diskussion ˆ Schwarz-modellen er beregne il a finde fuurespriser kun ud fra spoprisen og convenience yield lave af 1- og -måneders fuures. Den er ikke speciel brugbar, hvis man får en 1-måneders fuurespris der rammer 10$ ved siden af markedsprisen. Dog er fejlen mindre ved kalibrering il korere fuures, og derfor bør modellen kun anvendes med disse fuures. ˆ Convenience yield, som beyder så mege for modellen, er kun lave ud fra en proxy da de ikke kan observeres i virkeligheden. Hvordan skal man måle convenince yield? De kan diskueres hvorvid convenience yield overhovede eksiserer eller om de er blo en eoreisk ad-hoc konsrukion? Convenience yield er definere som 84

86 ˆ ˆ ˆ residuale af andre variable, så derfor skal man være forsigig med a forklare alle afvigelser med denne variabel. Af prakiske årsager anages de dog her i opgaven a convenience yield eksiserer i den beskrevne form jævnfør modelanagelserne i Schwarz. Probleme er imidlerid a convenience yield kun bliver lave ud fra 1- måneders fuures. Hvis der er en sørre ændring i fuureskurven ud over de måneder, så vil dee blive opfange af λ esimeringen og dermed give sørre fejl i residualerne. Modellen vil i så fald være fejlspecificere, da der mangler en variabel il a opfange fuuresdynamikken for de længere udløb. En løsning på dee vil kræve en omformulering af de sokasiske processer, eller ilføjelser af nye. Hvis der kommer for mange sokasiske processer, kan de desuden blive komplicere a udregne PDE en og de løsninger der følger med (sikker kun numeriske). Forecasing med Schwarz-modellen bør kun gøres for fuures på 6 måneder eller under, da modellen ellers rammer for mege ved siden af. Derimod ser de ud il a modellen har e bedre fi, if. en naiv forecasing, på korere fuures, men der er ale om en marginal forbedring så modellen kan umiddelbar ikke bruges il a forecase. Schwarz model er lave i 1990, og selvom den evenuel har passe il markede dengang, ser den ud il a have sørre problemer i nuiden. Schwarz selv har også eferfølgende udgive flere arikler med fokus på a udvide modellen med flere fakorer der kan fange den langsigede ende af fuureskurven. I denne opgave er der fokus på prisfassæning af fuureskonraker med Schwarz model. Til prisfassæning af andre derivaer anvendes SABR-modellen, da den ser ud il a kunne fange dynamikken i priserne bedre end Schwarz. SABR-modellen indeholder også en sokasisk proces for volailie, som generel kan bruges il flere ing i forhold il en sokasisk proces for convenience yield, som primær er beregne il råvaremarkede. 85

87 SABR Daabehandling 10.1 Inrodukion Dee kapiel er del op i følgende sekioner: ˆ Førs beskrives de forskellige begreber, der anvendes i kapile. ˆ ˆ ˆ Derefer forklares de forskellige soreringsmeoder, som bruges for a finde likvid daa il kalibrering af SABR-modellen. De programekniske dealjer og fremgangsmåden der kalibreres på inroduceres. Derudover eses nogle af funkionerne. Til sids anvendes SABR-modellen på de daa, der er bleve sorere idligere, og resulaerne analyseres. 10. Definiioner Her ses der nærmere på nogle forskellige begreber, som der anvendes gennem kapile Likvidie Likvidie er e udryk for markedsakivie og hvor mange handler, der bliver foreage. Mange handler og høj likvidie beyder ofe, a priserne er mere præcise på grund af konkurrence og gennemsigighed. Lav likvidie kan beyde, a opionspriserne ikke er fuld opdaerede pga. manglende konkurrence og sjældne handler. Derfor er de opimal a kalibrere modelparamere, der hvor daa har høj likvidie Volume Volume er summen af alle handler i en besem periode. Fx angiver daglig volume, hvor mange handler der har være i løbe af dagen. Volume er en indikaor for likvidie. En ulempe kan være, a high frequency rading, hvor man man prøver a jene penge på bid-ask spreade, kan give en høj volume, selvom der reel se ikke sker så mege på markede Open ineres Open ineres er definere som analle af konraker, der bliver åbne, minus analle af konraker, der bliver lukke. 1 De er kor sag analle af udesående konraker. Så hvis en invesor åbner 100 nye konraker og sælger dem, vil disse konraker ælle for en open ineres på 100, indil den samme invesor lukker konrakerne igen ved a købe en offseing posiion eller hvis modparen sriker dem. Open ineres går naurligvis også i nul når alle konrakerne er udløbe. E problem med open ineres kan være, a hvis der handles en sor mængde opioner lang fra ATM på en gang, vil open ineres være høj fremadree, selvom der reel se sle ikke handles på den pågældende srike mere. Open ineres (og volume for den sags 1 hp:// 86

88 skyld) har ikke nogen relaion il pris, så en open ineres på af konraker, der koser 1 cen pr. syk, giver kun en nominel værdi på 100$. Skulle denne opion så være mere likvid end en konrak, der har en open ineres på og en værdi på 10$, og dermed har en nominel værdi på $? Jo flere penge der er udesående for en konrak, jo mere vil denne konrak, ihverfald for spekulaner, blive ineressan, og dee burde øge likvidie. Hvis man kombinerer open ineres og volume som en likvidiesindikaor, kan man forhåbenlig fange de mes likvide opioner i markede Bid-ask spread Nogle gange også kalde bid-offer spread. Bid-ask spreade er forskellen i pris på a købe og sælge e finansiel akiv. Finansielle akiver handles som aukion, hvor de angives hvor mange akiver man ønsker a købe/sælge, og il hvilken pris. Hvis markede så kan finde o invesorer som er enige om en pris, bliver disse mache, og handlen går igennem. Hvis man lægger e salgsilbud il samme pris, hvoril der allerede ligger e købsilbud, bliver man mache med de samme og der er ale om e srakskøb. Nogle gange kan man jene mere ved a sæe prisen en smule højere, og så håbe på a posiionen bliver køb af en invesor, som ønsker a indgå e srakskøb. Til gengæld er der risiko for a man skal vene længere id på a få solg si akiv. Hvis der ikke er mege likvidie i markede, hvilke giver e sor bid-ask spread, kan de være dyr a købe eller sælge il srakspriser. Selv en fairprise ordre kan age længere id end normal. Hvis markede derimod har sor likvidie vil de forskellige invesorer overbyde/underbyde hinanden, så spreade bliver mindre. En compuers responsid er mange gange hurigere end e menneskes, og derfor findes der high frequency raders der forsøger a jene bid-ask spreade som marke makers. Bid-ask spreade åbner også op for forskellige sraegier. Spreade for firs- og secondnearby oliefuures er som regel kun 1 eller icks. Dee beyder, a for en fuurespris på 100 bealer man kun 1 eller cens for a købe og sælge den. Så hvis en besem sraegi kræver mange ransakioner, vil omkosningerne for disse sadig være forholdsvis lave hvis der handles med likvide fuures. Hvis sraegien il gengæld udføres i e illikvid marked vil hele profien formenlig gå il ransakionsomkosninger, som opsår grunde e sor bid-ask spread Moneyness Moneyness er for call opioner definere som F K og for pu opioner som K F. En posiiv moneyness beyder, a opionen er in he money (ITM) og vil have værdi, hvis den bliver srike lige nu. En moneyness på 0 beyder, a opionen er a he money (ATM) og vil ikke have værdi, hvis den bliver srike lige nu. En negaiv moneyness beyder, a opionen er ou of he money (OTM) og vil ikke have værdi, hvis den bliver srike lige nu. Som regel er der mes likvidie i OTM opioner, da disse bruges il hedging. Der skal selvfølgelig være e vis niveau af i disse, så de ikke er al for lang OTM. Derfor er der en mulig daasoreringsmeode (ud af flere), som kun benyer opioner OTM. Man vil sadig kunne modellere hele smile, da call opioner vil give sykke over ATM, og pu opioner vil give sykke under ATM Daa Daa besår af amerikanske call og pu opionspriser med udløb fra januar 01 il december 013. De underliggende akiv er en WTI crude oil fuure konrak, som har 87

89 udløb uger efer dens ilhørende opion. For hver af de 4 måneder med forskellige udløb er der en call og en pu icker, hvilke giver 48 opion ickers. For hver af de 48 forskellige ickers henes der srikes fra 67 il 16 med skridlængde ½ (117 srikes). Dee giver 5616 forskellige opioner. For hver af de 5616 opioner henes der daglige lukkepriser fra juni 011 il december 013, hvilke svarer il 613 dage med daa. Den samlede daamarice har derfor observaioner. De er en sor mængde daa, da alle opioner med mulig likvidie er hene, og derfor er der i al opioner med en pris. De reserende pladser i daamaricen har negaive udløbsider og har ikke nogen pris, men disse pladser er konsruere af prakiske grunde, så daa er leere a arbejde med i MATLAB. De opionspriser er de usorerede rådaa, og næse opgave er a afgøre hvilke priser i dee rådaa, der har likvidie Daasorering En sor udfordring er a finde likvid daa il kalibrering af paramere i SABRmodellen. NYMEX angiver priser for mange opioner der sle ikke bliver handle, eller kun er handle mege lid og derfor har forker pris. Der udføres således sorering i daa ud fra forskellige krierier for a skabe e daasæ il kalibrering der kun besår af likvide priser. Dee daasæ skal så give en mere præcis kalibrering af SABR-modellen, så de kalibrerede priser ligger æ på de empiriske inde for bid-ask spreade. Volume soreringen foreages førs og de andre krierier er hovedsaglig ese med udgangspunk i dee. Alså er rækkefølgen vilkårlig og de vil eferfølgende undersøges om nogle af meoderne rammer de samme illikvide opioner. De skal nævnes a der alid vil være e radeoff mellem kvanie og kvalie når der soreres i daa, og samidig bygger dele af soreringen på subjekive grænseværdier Volume Som de førse frasoreres alle priser, som ikke er bleve handle på den pågældende dag. Disse priser må siges a være illikvide. I nogle ilfælde kan de være uklar, hvordan priserne er opsåe. De kan være en quoe, der er give af en marke maker, men ikke er handle. De kan også være Bloomberg, der har modellere prisen udfra e volsmil. Kor sag kan de ikke vides, hvor priserne er fra, og alle priser uden en volume bør derfor soreres fra. Denne sorering fjerner 91,1% af daa, så man sår ilbage med observaioner. Disse daa bruges så il den videre sorering af forskellige krierier. Den oale volume for alle observaioner i de lid over års daa er over 59 millioner Gyldige opionspriser Alle opionspriser, der er negaive eller lig med 0, skal soreres fra. De giver ikke mening, a man kan købe noge for ingening, der har en evenuel fremidig værdi. Efer sorering af dee forsvinder 0,88% af volume. Al der bliver frasorere her er opioner der har under 1 uge i løbeid. Halvdelen er observere på udløbsdaoen. På disse dage nær udløb kan der ikke konkluderes noge ud fra lukkeprisen, så de er også hel legiim, a de bliver sorere fra som værende illikvide. Med lave og volaile priser kan der ses mere ud fra inraday markede end den sids handlede pris inden børslukning. 88

90 Tid il udløb De observaioner hvor id il udløb er lig 0 bliver sorere fra. På dee idspunk er der ikke nogen reel likvide i opionen udover, a alle posiionerne bliver lukke. Denne sorering er også god a foreage, før der udregnes Black implied volailiy (se næse punk), da formlen bryder sammen (NaN) ved T = Black implied volailiy Hvis en observaion er fejlprise i sådan en grad, a den numeriske solver ikke kan finde en gyldig Black implied volailiy sørre end 0, så soreres den fra. I al frasoreres 1,39% af volume, fordi de ikke er mulig a udregne Black implied volailiies. De er ikke umiddelbar klar hvilke opioner der er ale om, men de må anages, a de har lav likvidie og/eller er forker prise Open ineres Hvis open ineres er 0 er de enen på udløbsdagen med T = 0, eller fordi alle opioner er bleve solg, formenlig fordi de er for lang fra ATM. Alså må de formodes, a hvis open ineres er 0 så er opionen illikvid, også selvom der er posiiv volume. Derfor frasoreres alle disse observaioner. Alle observaioner som enen ligger på udløbsdaoen eller har en pris på nul ælles ikke med, fordi de åbenlys ikke har likvidie og allerede er bleve fjerne af soreringer på Black implied volailiy og pris. Udover udløbsdaoerne og nulpriserne er der 390 observaioner med en open ineres på 0. Når disse ages ud fjernes 0,1% af den oale volume. Udover denne sorering kan open ineres ikke bruges il mege ande. Open ineres er for usikker, da der ofe kan være høj open ineres, selvom der ikke er volume. Derfor vil de primære fokus i soreringen være volume, da volume indeholder lang sørsedelen af informaionen om likvidie if. open ineres Indre værdi Opionens ydre værdi er dens pris. Den indre værdi af en opion er hvad den er værd hvis den srikes lige nu, alså max(0, S K) i ilfælde af en call opion. Ren inuiiv bør den ydre værdi af en opion før udløb alid være sørre end den indre værdi, da volailieen og iden il udløb forøger værdien. Desuden vil man, hvis den ydre værdi er mindre, kunne jene penge ved a købe opionen og srike den med de samme (arbirage). Derfor frasoreres opioner hvis indre værdi er lig med eller sørre end ydre værdi. Denne sorering fjerner 0,96% observaioner og 0,63% af al volume. De er ganske udmærke a der bliver fjerne flere observaioner if. den mængde volume, som fjernes, da de er egn på a illikvid daa er bleve fjerne. 10,9% af den volume der bliver fjerne her, er daoer il udløb. Disse daoer har som regel sor volailie i pris, og der er usikkerhed omkring las price som ikke viser hvordan opionen er handle i løbe af dagen. Soreringen på indre værdi rammer mes i den kore ende, og 76,88% af den volume som fjernes har udløb korere end uger sorering En opions foræller noge om dens moneyness. Efersom der generel er likvidie omkring ATM, dog mes il OTM siden, vil en numerisk på mellem 0,1 og 0,6 (arbirære værdier) indeholde de mes handlede opioner på markede. Kalibreringen kan førs køres 89

91 når der er bleve sorere i daa, så de er ikke mulig a sorere efer SABR da dee al førs er kend efer kalibreringen. Derfor anvendes Black, som hurig kan regnes ud for hver enkel pris. De o er ligger æ på hinanden, og il daasorering kan de god anages a Black er god nok. Formlen for Black for calls er e rt N(d 1 ), og for pus er den e rt (N(d 1 ) 1). Disse er bevis i afsni Soreringen på fjerner 38,75% observaioner og 33,76% volume. Denne sorering har e dårlig forhold mellem frasorering af observaioner konra volume if. andre soreringer. På den anden side er denne sorering mere inuiiv, fordi der i markede hovedsaglig bruges OTM opioner, der ikke er for lang fra ATM. Soreringen sker primær på opioner lang OTM, alså < 0,1. Hvis den øvre grænse på fjernes vil der kun være ca. 3 procenpoin mere daa der ikke frasoreres Konsisens af moneyness En opion dyb OTM bør være billigere end en opion æere på ATM, hvis alle andre paramere som fx fuurespris og udløbsid holdes fas. De er logisk a en højere moneyness skal give en højere opionspris, fordi opionen er dybere ITM. Her eses de for alle opionspriser, a hvis moneyness er sigende, så skal opionsprisen også være sigende og omvend. Hvis dee ikke holder er der ale om fejl i priserne, og denne arbiragemulighed vil kunne udnyes ved a sælge en call opion il pris P + ɛ med srike X + 1 og købe en call opion med pris P og srike X. Hvis der fandes sådan en arbiragemulighed på markede ville der ikke forekomme handel il de quoede priser, da de ville være sikker ab af penge for modparen. Disse siuaioner kan opså ved a man ligger e sed med lav likvidie og e sor bid/ask spread, og de sids handlede priser for srikes ved siden af hinanden er henholdsvis e bid og e ask. Hvis dee er ilfælde vil handlen ikke kunne indgås alligevel, selvom de kunne ligne arbirage. I selve daa er der ikke nogle ilfælde hvor ovensående problemsilling er relevan, hvilke viser, a priserne er konsisene hvad angår moneyness Konsisens over id Hvis o opionspriser er fra samme dag og har samme srike, men den ene har en måned længere il udløb, så skal den opion med den længse udløbsid være mes værd. Dee skyldes a længere id il udløb er god for en opion al ande lige, da der kan nå a ske mere. De er allerede idligere forklare a øge volailie er god for en call/pu, og når der er længere id il udløb, har volailieen længere id il a påvirke udfalde. For alle priser i daa er der ikke nogle ilfælde, hvor der ikke er konsisens over id Bid-ask spreade De er ikke mulig a finde ordenlige hisoriske daa for bid-ask spreade. PX bid og PX ask på Bloomberg er ikke age ud fra inraday daa. De kan være op-of-book, som viser de højese ask og de lavese bid i løbe af dagen, eller de kan være lukkedaa der måske ikke har likvidie. Disse spreads kan derfor ikke bruges da de er urealisisk høje. I sede for a esimere bid-ask spreade ud fra inraday daa, hvilke kan være krævende, er der derimod bleve kigge på udvalge opioner i Bloomberg på en besem dag. Herefer kan bid-ask spreade findes ud fra e skøn. Hel specifik er der kigge på o opioner d klokken 09:45. En juli opion med 6 dage il udløb og en augus opion med 36 dage il udløb. Der er en call og en pu for begge opioner. Firs-nearby, med 6 dage il udløb, har volaile bid-ask spreads som ligger mellem 90

92 0,01 og 0,03 i implied volailiy æ på am (3$-4$). Bid-ask spreade angives i implied volailiy, i sede for priser, da dee gør de nemmere a sammenligne over srikes, udløb og opioner. Desuden er selve volsmile også volail og ligner egenlig ikke e smil, men blo nogle ilfældige punker. Second-nearby, der har 36 dage il udløb, har derimod e pæn volsmil og nogle mindre bid-ask spreads. Omkring ATM og OTM ligger bid-ask spreade på ca. 0,007 il 0,01 i implied volailiy, dee holder il over 5$ fra ATM. ITM derimod har fra saren af e højere spread der siger fra 0,01 il 0,015 når man er 4$ væk. Går man il hird-nearby med 67 dage il udløb er spreade næsen lige så god som second-nearby. Dog begynder der i nogle skæve srikes a være illikvide ouliers, og $ OTM har en observaion med e spread på 0,045 implied volailiy. De skal bemærkes a der er lavere implied volailies i dag end i daaperioden. Hvis der i sede ses på spreads i procen af implied volailiy, så er de for second nearby 4%-5%, og sigende for længere udløb, sam krafig sigende for kore udløb grunde højere volailie. Bid-ask spreade bruges i næse afsni il a lave en daasorering ud fra pu-call parieen Pu-call parieen Pu-call parieen C P = e r (F K) skal være opfyld i fravær af arbirage, men efersom der ikke er perfek likvidie vil den ikke holde præcis. Af den grund skal de i sede undersøges om den holder indenfor bid-ask spreade, da dee er den reelle pris der skal beales for a udnye ev. arbirage. For ikke a lave bid-ask spreade for avancere, jævnfør afsni , er der her sa en konsan grænse på 0,05 implied volailiy il hver side. Alså e samle bid-ask spread på 0,05 implied volailiy. Bid-ask spreade er som nævn lave ud fra e skøn, så grænsen er med vilje sa høj. Hvis en opion ikke opfylder pu-call parieen indefor de sore spread på 0,05, så er der hel ydelig illikvidie. Som bekend eses pu-call parieen for en call opion sammen med dens ilhørende pu opion. Ikke deso mindre har mange illikvide observaioner sle ikke nogen parner og kan ikke eses på pu-call parieen, så derfor giver de ikke mening a sraffe de opioner der har en parner. For ikke a risikere frasorering af likvide opioner der blo har en illikvid parner fjernes kun den observaion med laves volume, når pucall parieen brydes indenfor bid-ask spreade. Med denne sorering fjernes 4,64% af observaioner og 1,86% af volume. Samle se er denne sorering vivlsom, dels fordi bid-ask spreade er svær a esimere og dels pga. parner problemaikken Volume over id Hvis en opion har nogenlunde konsan volume over id som derefer falder, så kan de være a opionen har mise likvidie fordi den er glede for lang fra ATM. For a fjerne disse observaioner opsilles følgende krierium. Hvis en opions volume er under 10% af gennemsnie den sidse måned, så er den ikke længere likvid. For a soreringen skal give mening, så vil den kun ræde i kraf hvis der er volume på minds 5 daoer over den sidse måned. Denne sorering kan af den grund ikke opfange illikvide priser som har under 5 daoer med volume over den sidse måned. Man kan håbe a nogle af de andre meoder får fjerne disse priser. E ande problem med soreringen er a observaioner fra de førse 30 dage ikke kan blive frasorere. Senere viser de sig alligevel a denne meode er fuld dække af andre meoder, så de anages også a gælde for de 30 førse dage. 91

93 Med 10% olerance er der fald i observaioner på 0,86% og fald i volume på 0,5%. De observaioner der bliver sorere fra har en gennemsnisvolume på 10, hvilke er ganske fin Volume over srikes For kun a bruge likvid daa kan der også frasoreres observaioner på værs af srikes, hvis disse har en for lav volume. Soreringen udføres på en dao ad gangen. De anages a der kun er likvidie i srikes der har en vis procendel af de pågældende udløbs samlede volume (calls og pus lag sammen). Hel konkre ages summen af volume i de 34 punker i hver udløb, og volume i hver af disse punker enkelvis sammenlignes med denne sum. Hvis der soreres på a volume for en srike skal være minds 1% af den oale volume i de ilhørende udløb frasoreres 59,16% af observaionerne, men kun 5,74% af volume. Så dee viser sig a være en effekiv måde a fjerne mange observaioner uden a mise likvidie. Hvis grænseværdien sæes il % i sede siger begge disse al med ca. 6 procenpoin, hvilke giver e dårligere forhold mellem allene, så derfor er 1% valg Grænseværdi for volume Denne sorering fjerner alle observaioner med en volume under en vis grænseværdi. Dee er den mes effekive sorering fordi der fjernes mange observaioner og næsen ingen volume. På den anden side skal man passe lid på her, da dee mere er en maemaisk inspirere sorering uden særlig mege inuiion. Derfor soreres der ikke så hård med denne meode, da den er bygge il a fjerne mange observaioner og næsen ingen volume. Fordelen ved denne meode er a den fjerner illikvide observaioner som ikke kan opfanges af de andre soreringer. Alle observaioner med under 50 i volume bliver frasorere. Dee fjerner 1,96% af volume og 54,% af observaionerne Likvidie i pæne srikes Man kunne foresille sig a invesorer flokkes om opioner, hvis de har en pæn fælles divisor. I figur 10.1 ses de, a over de fulde daasæ er der lang mere volume i opioner der har 5 som fælles divisor. Så de kan som regel god anages a den pæne srike der er æes på ATM har sor likvidie. De kan desuden ses a opioner med srike på 1 har lavere volume end dem med hele srikes. Ikke deso mindre er de for eksrem kun a bruge srikes der går op i 5, så dee fænomen bør i sede holdes i baghovede under videre bearbejdning af daa. Sørse volume observaion Nu egnes volume for hver dao for hele daasæe. Den beskrevne langfredag fra afsni sam den sørse volume observaion kan ses i figur 10. Den sørse observaion af volume på en enkel dag er i forbindelse med e fald i olieprisen d Her blev der handle en masse opioner pga. en faldende oliepris. Så denne sore observaion af volume kan fakisk relaeres il en empirisk begivenhed. hp:// 01/, hp:// hp:// 9

94 9 x Volume Srike Figur 10.1: Volume for hver srike over hele perioden 4 x Volume Dao Figur 10.: Volume for hver dao over hele perioden Lagere af olie i Cushing Oklahoma var på si hisorisk højese, og grunde begrænsede ranspormuligheder for olien beød de a prisen for WTI var faldende. Dee kan forklare den sore akivie i markede. Observaionen d. 4 maj 01, som er den næssørse, kan også ilskrives faldende oliepris og e sor lager. Den redjesørse observaion, der ligger omkring d. 15 april 013 (har samme højde som ), semmer overens med endnu e prisfald i råvaremarkede omkring dee idspunk. 3 Den lave volume i saren af figur 10. skyldes a de mes handlede opioner, nemlig dem med kor id il udløb, ikke er med, da daasæe kun har udløb fra januar 01 og frem. Volume og id il udløb Figur 10.3 er udregne ved a age summen af volume for hver opion som er handle med x anal dage il udløb. De ses a der er lav volume når der er lang id il udløb. Volume siger herefer langsom og opper når der er -4 uger il udløb, for herefer a falde en smule når der er under uger il udløb. Selvom der er mege likvidie med under uger il udløb, så er der samidig også sigende volailie og dee kan give problemer for SABR-modellen i kalibreringen. Dee uddybes senere. 3 hp:// /19951, hp://oilprice.com/finance/invesing-and-rading-repors/commodiies- Updae-Open-Ineres-Analysis-for-April hml 93

95 15 x 105 Gennemsnilig ugenlig volume Daglig volume 10 Volume Dage il udløb Figur 10.3: Volume for x anal dage il udløb Helligdage Der kan opså priser på helligdage, og endda volume, selvom der er lukke i markede. 4 Hvad disse handler kan være er ikke il a vide, og priserne er formenlig ikke likvide. Derfor frasoreres disse dage. Som eksempel kan nævnes d , som er langfredag, med en volume på 34. Markede er lukke på denne dag, og derfor er der reel ingen likvidie. Alle andre helligdage har enen manglende daa eller har åben i korere id, men der kan sagens være likvidie i markede selvom der ikke er åben så længe som normal. Påskedaoen er den enese dao der udviser problemer og skal derfor fjernes. De skal siges a denne dao bliver sorere fra med de andre meoder og behøver derfor ikke en særskil sorering i MATLAB. Påskedaoen bliver frasorere hel af indre værdi krierie (også andre soreringer rammer denne). Dee bekræfer blo a der er ale om illikvid daa Overlap på værs af soreringer På værs af de forskellige soreringer er der overlap. Dee er vis i abel I hver række angives de hvor mege én meode dækker de andre meoder. I hver søjle vises hvor mege én meode er dække af de andre. Meoderne angiver hvilke daa der slees og de er nummerere således: ˆ ˆ ˆ ˆ Meode 1: 5 NaN værdier over/under Meode : Under 10% af gennemsnisvolume 30 dage ilbage i id Meode 3: Under 10 srikes på samme udløb (både call og pu) Meode 4: Hvis e punk er under 1% af sum af volume for samme udløb ˆ Meode 5: Volume er under 50 4 hp:// 94

96 ˆ Meode 6: Ydre værdi er mindre end indre værdi ˆ Meode 7: Black implied volailiy lig 0 eller NaN ˆ Meode 8: Priser lig 0 ˆ Meode 9: Open ineres lig 0 ˆ Meode 10: under 0,1 eller over 0,6 ˆ Meode 11: Pu-call parieen holder ikke indenfor e bid-ask spread på 0,05 Meode % 0,8% 7,1% 4,% 6,% 11,5% 8% % 6,7% 3,9% 5,9% 0,5% 100%,9% 4,7% 5,3% 5,1% 10% 19,4% 13,6% 3,4% 5,6% 3 6,7% 4,8% 100% 0,9% 4,5% 0,7% 1,8% 3,8% 5,5% 0,9% 1,4% 4 50,7% 97% 11% 100% 88,7% 80,8% 73,7% 61,4% 6,8% 75% 7,3% 5 68,9% 100% 51,4% 81,3% 100% 66,1% 60,3% 51,% 54,4% 63,8% 60,5% 6,3% 1,7% 0,1% 1,3% 1,% 100% 60,9% % 1,9% 0,1% 0,4% 7,5% 5,3% 0,6% 1,9% 1,7% 96,9% 100% 100% 81,3% 0,5% 0, % 8 0,% 3,1% 0,4% 0,5% 0,4% 1% 9,9% 100% 5,% 0,5% 0,% 9 1,% 4,1% 1% 0,9% 0,9% 11,6% 46,% 98,9% 100% 0,8% 1,6% 10 31,4% 46,3% 7% 49,1% 45,6% 3,1% 1,7% 4,5% 34% 100% 49,1% 11 5,7% 9,1% 1,4% 5,7% 5,% 1,9% 0,5% 1,5% 8,5% 5,9% 100% Tabel 10.1: Overlap på værs af soreringer De ses i abel 10.1 a nogle af meoderne dækkes hel eller delvis af andre meoder. Sorering af priser lig 0 er fx dække 100% af soreringen på Black implied volailiy eller 98,9% af open ineres lig 0 soreringen. Dee skyldes a Black implied volailiy giver 0 eller NaN, når prisen er lig 0. Soreringen med volume over srikes er den som fjerner fles observaioner ud af alle soreringer, og den dækker derfor alle meoder med minds 50%, borse fra meoden hvor der kræves minimum 10 observaioner pr. udløb, som kun er dække med 11%. Den sorering som fjerner næsfles observaioner er volume under 50, og den dækker også alle andre soreringer med minimum 50%. Denne sorering er også dække 89% af meoden som sorerer volume if. srikes. De ses a meode 4, 5 og 10 er påvirke mege lid af de andre meoder (udover dem selv imellem). Dee er fordi disse re meoder fjerner en mege sørre andel af både volume og anal observaioner. En anden nævneværdig sorering, som er dække 100% af de re sore meoder, er meode. De er begrænse hvor mege meode reel fjerner, da meode 5 allerede fjerner alle observaioner med under 50 i volume. Ergo ville de kræve a de observaioner som går 30 dage ilbage skulle have en gennemsnisvolume på over 500 (ses sjælden), før a meode måske ville begynde a fjerne noge. Dermed er de ikke sag a meode ikke kan bruges, den er blo allerede dække pga. meode 5. Forhåbenlig giver den samlede sorering fra alle meoder nogenlunde diversie og dermed e likvid daasæ. 95

97 Endelig daasæ Efer der er sorere på alle de ovensående krierier er der observaioner ilbage. De er omkring 78% af alle observaioner, der er bleve fjerne. Ses der på volume så er der samle volume ilbage i de endelige daasæ. De er 4% af de oprindelige volume som er bleve fjerne. De er god a så mange observaioner er sorere fra i forhold il mængden af volume. I de endelige daasæ er der også 7 daoer, som ikke har flere observaioner ilbage efer soreringen. Den ene af disse er påskedaoen , som er beskreve idligere. En anden dao er , som ikke havde nogen volume fra begyndelsen så den er ikke ineressan. De sidse fem daoer, som blev sorere fra, havde en lav volume fra saren. Desuden er der en dao med kun 4 observaioner ilbage, som ikke kan fie smile med SABR-modellen. Denne frasoreres også. Dee daasæ soreres yderligere på id, for a se hvilken effek de har på SABRmodellen a fjerne de hel kore udløb. Dee gøres ikke her men i selve analysen for a kunne sammenligne Programmering Her er opskreve programmeringsekniske noer og fremgangsmåde generel, både mh MATLAB og Excel. For a hene priser fra Bloomberg er der anvend Excel hvor der er e brugervenlig inerface sam nogle simple funkioner der kan hene sore daamængder. Hel nøjagig bruges funkionen BDH i Excel, sam noge VBA kode, for a hene opioner for mange måneder ad gangen. De forskellige soreringer, som blev beskreve i sidse afsni, er udfør i MATLAB. Disse soreringer er førs kør hver for sig på de fulde daasæ, for a se forholde mellem fjerne volume og anal observaioner, og dernæs er de bleve kør samidig for a skabe de endelige daa Fejl pr. observaion Til a analysere de forskellige meoder benyes bl.a. fejl pr. observaion. Fejl pr. observaion = n i σ SABR i σi marke n Fejlværdien er forskellen mellem SABR-prisen og markedsprisen (implied volailiies). Der udregnes en sum af den numeriske fejlværdi, hvor n er analle af observaioner. Til sids divideres udrykke med analle af observaioner n, og resulae er fejl pr. observaion Kalibrering i MATLAB For a fie paramerene α, ρ, ν, a og b il empiriske markedsdaa anvendes den numeriske solver lsqcurvefi i MATLAB. Denne solver minimerer SSE mellem de eoreiske SABR implied volailiies og de empirisk observerede Black implied volailiies. Efersom β og ρ påvirker modellen på næsen samme måde holdes β fas, og der vælges β = 1 jævnfør diskussionen i sekion I de ilfælde hvor α udregnes implici ud fra ATM volailiy, er de kun ρ, ν, a og b der esimeres. Opimeringen kræver realisiske gæ af sarværdier for a finde den bedse løsning, for ellers risikerer man a finde e lokal 96

98 minimum. I esfasen er samme øvelse også udfør i Excel for a ese solveren, og resulaerne semmer overens. I praksis er Excel for langsom sammenligne med MATLAB. For a sikre a der ikke findes lokale minima kan man forsøge a opnå samme løsning med flere forskellige sarværdier eller benye en global minimeringsalgorime Tes af minimeringsfunkion Figur 10.4 viser hvordan fejlene ser ud for forskellige værdier af ν og ρ i meoden med implici α (og i en saisk SABR-model). Der kalibreres il en SABR-model med frie paramere da de kræver for sore beregninger med flere, og fordi man med o frie paramere kan egne en graf med resulaerne. Denne es er lave for a se om der forekommer lokale minima i opimeringen, og for a checke resulaerne fra minimeringsfunkionen lsqcurvefi op mod en brue force algorime. Måle er a opnå samme parameerresulaer for ν og ρ med begge meoder. Der er i figuren ale om o års daa uden yderligere sorering. De vigige er ikke hvilke daa der bruges, men hvordan løsningsfladen ser ud. For a undgå al for lang beregningsid i MATLAB laves o vekorer for henholdvis ν og ρ som hver har omkring 100 pladser. De er sådan a ν går fra 0,5 il,5 med skridlængde 0,0, og ρ går fra 1 il 1 også med skridlængde 0,0. De er nødvendig a lave denne diskreisering for ellers ager beregningerne for lang id. Allerede med = pladser ager de e kvarer eller mere (afhængig af compuer) a udregne alle værdier. For hver af de værdier udregnes SSE med de valge værdier for ν og ρ. Alle disse værdier for SSE gemmes i en ( ) marix, som egnes grafisk i figur en for a se de opimale værdier af ν og ρ squared error ν (vol vol) ρ (rho) Figur 10.4: Tes af MATLABs minimeringsfunkion lsqcurvefi I figur 10.4 viser de røde linjer minimumsværdien for SSE. Denne værdi opnås med en ν på 1,5 og en ρ på 0,6 med en SSE på,8777. (I figuren er minimumsværdien højere fordi der er bleve lag 30 il, så figuren bliver løfe op og minimumsværdien leere kan ses). I den fakiske opimering med lsqcurvefi er der en SSE på,8759 med værdierne ν = 1,4869 og ρ = 0,658, hvilke er en smule bedre end den manuelle es. De var også forvene a den manuelle es ikke ville give en lige så god SSE som den fakiske lsqcurvefi opimering pga. ime sep diskreiseringen. Ud fra figuren ses de desuden a der ikke er nogen lokale minima, og de vil derfor være le a ramme de opimale værdier 97

99 med enhver numerisk solver, i hver fald i dee ilfælde af saisk SABR med o frie paramere Global minimeringsalgorime Ovensående resulaer ændrer sig når der anvendes en dynamisk SABR-model. I så fald er der 4-5 frie paramere og de ager derfor for lang id a køre en brue force algorime på løsningerne. I sede er der kør en global opimeringsalgorime, hvor der udvælges sokasiske sarværdier inden for grænseværdierne af de frie paramere. Ud fra hver enkel sarværdi køres der der en lokal solver, og il sids udvælges den bedse løsning. Dee er gjor med MATLAB s MuliSar-funkion hvor sokasiske sarværdier vælges på en sådan måde, så de ikke ligger i nærheden af hinanden. Når denne funkion bruges får de valge sarværdier mindre indflydelse da de kun benyes en gang, mens resen af værdierne findes sokasisk. Denne ype global opimering er valg fordi algorimen i lsqcurvefi er mege sensiiv overfor sarværdierne, og hvis der eksiserer lokale minima i daa kan solveren fejlagig give dee som resula Saisk SABR Anvendelse Èn enkel saisk SABR-model, må kun laves på én enkel dao og for en vife opioner der alle har samme udløbsdao. De vil sige a der reel er ale om én og samme opion, men hvor srikeprisen varierer for denne opion. Dee skyldes a saisk SABR ikke har idsvarierende paramere ligesom dynamisk SABR, og hvis der kalibreres over id il udløb giver de e dårlig fi. Dee er naurligvis en begrænsning for saisk SABR Kalibrering For a ese hvordan den saiske SABR-model rammer volsmile er der udfør kalibreringer på nogle få udvalge opioner, fra de endelige daasæ, med op il 90 dage før udløb. I de følgende bruges både Hagans og Oblójs approksimaion sam eksplici α meoden. Der kalibreres over en periode på 91 dage. Denne periode srækker sig fra 91 dage før udløb il 1 dag før udløb. Til sids er der age e gennemsni af de daglige parameeresimaer sam RMSE, og resulae ses i abel 10.. I abellen er der opskreve løsninger for begge approksimaioner for 4 likvide måneder i daa. De er umiddelbar svær a konkludere hvilken approksimaion der er beds. Oblój argumenerer for a den oprindelige approksimaion kun fejler ved specifikke ilfælde, og disse forekommer ikke her, så dee kan være grunden. Generel ser de ud il a Hagans approksimaion esimerer e højere ν mens Oblójs approksimaion kompenserer ved a esimere højere numerisk α og ρ. De empiriske volsmil er, især for de kore udløb, mege volaile og nogle gange diskoninuere når der skifes fra call il pu. Dee kan skyldes a der bruges amerikanske opioner. De kan også være fordi der bruges end-of-day daa, og løsningen er måske a frasorere observaioner hvor id il udløb er under uger. Saisk SABR bruges også il hedging i næse kapiel, da der hedges én dag af gangen og med samme udløb. Dee vil blive gjor med Oblójs approksimaion da den i nyere arikler, bl.a. [4] [13], synes a være sandarden. 98

100 meode måned ν α ρ fejl pr. obs RMSE Hagan mar-1,090,900-0,167 0,000 0,005 dec-1,567 3,88-0,03 0,005 0,0035 jun-13,595 1,993-0,373 0,0111 0,000 dec-13,163,13-0,68 0,009 0,0067 Oblój mar-1 1,918,918-0,169 0,004 0,0043 dec-1,305 3,31-0,03 0,0034 0,0044 jun-13,63,018-0,408 0,011 0,00 dec-13 1,993,134-0,69 0,0031 0,0068 Tabel 10.: Resulaer med saisk SABR. Udover dee kan saisk SABR, som førnævn, ikke bruges il daglig kalibrering med forskellige udløb. Til dee formål anvendes dynamisk SABR Dynamisk SABR I denne sekion kalibreres den dynamiske SABR-model il de endelige daasæ. Der soreres yderligere i daa på baggrund af id il udløb, og meoderne med henholdvis eksplici og implici α bliver ese Eksplici α Førs bliver meoden med eksplici α ese. Der kalibreres daglig for alle observaioner. Der fassæes grænseværdier for paramerene a og b på maks 0. Dee gøres efersom der på nogle dage forekommer sore uregelmæssigheder, især i de kore udløb, hvor modellen skruer a og b op il hel urealisiske niveauer for a kompensere. For a fange disse udsving ville de kræve inkorporering af spring i modellen. Af den grund skal man være forsigig med de kore udløb eller simpelhen frasorere dem. I de følgende undersøges de hvorvid der er brug for en global minimeringsalgorime, som beskreve i afsni Sarværdierne sæes il α =, ν = 1, ρ = 0,, a = 3 og b = 4. I abel 10.3 ses resulaerne af den lokale og den globale solver, både med og uden de observaioner hvor der er under uger il udløb. De skal noeres a paramerene i abel 10.3 er udregne som gennemsni over alle dage, så en dag med 10 observaioner har samme væg som en dag med 100 observaioner. De ses i abellen a den globale solver får en lille smule bedre parameerværdier if. den lokale solver. Med den eksplicie meode er forbedringen førs synlig ud over redje decimal i fejl pr. observaion (i nogle ilfælde er de ikke synlige i denne abel, men der er forskel 1 eller decimaler efer). Så der er behov for en global solver, især med implici α. Der er desuden hverken konsisen over- eller underprisning. MPE er posiiv på feme decimal for eksplici α og negaiv på redje decimal for implici α, så modellen er afbalancere. Variaion af paramerene over daoer er også forskellig, hvilke er illusere i abel 99

101 Meode α ν ρ a b fejl pr. obs RMSE Eks. α lokal > 0,736 1,740-0,414 8,61 8,374 0,0153 0,05 Eks. α global > 0,736 1,843-0,419 8,780 7,967 0,0153 0,05 Eks. α lokal > uger,757 1,731-0,413 6,896 7,615 0,0135 0,0 Eks. α global > uger,757 1,711-0,418 7,76 7,370 0,0134 0,0 Imp. α lokal > 0 -,10-0,403 6,91 11,01 0,031 0,048 Imp. α global > 0 -,164-0,39 6,657 9,837 0,063 0,040 Imp. α lokal > uger -,035-0,403 4,146 1,30 0,016 0,034 Imp. α global > uger -,050-0,397 4,90 11,60 0,0147 0,030 Tabel 10.3: Resulaer med dynamisk SABR Meode σ α σ ν σ ρ σ a σ b Eks. α > uger 0,6 0,68 0,4 8,5 7,5 Imp. α > uger - 1,01 0,4 7,44 7,61 Tabel 10.4: Sandardafvigelse af paramere over id I abellen er sandardafvigelsen over daoer bleve udregne for hver parameer. De ses a ρ, a og b er mes volaile i forhold il deres gennemsnisværdier fra abel En lav sandardafvigelse (sabile paramere) er alid a forerække, og imellem modellerne bliver sandardafvigelsen af ν forværre fra eksplici il implici α meoden. Den faslåse α skaber alså mere søj i vol af vol parameeren ν. Som de næse vil de blive undersøg hvor god den eoreiske model rammer de empiriske observaioner. De skal nævnes a der er enkele dage med sore fejl, hvilke er vis i figur Figuren viser residualerne for den globale solver med > 0. Den observaion i figuren med den sørse negaive fejl er samidig den dag ( ) der giver de dårligse fi. De empiriske observaioner og den eoreiske volflade på denne dag ( ), sammenlignes nu med en udvalg dag( ) hvor modellen fier god og har lave fejl. Dee er gjor i figur Bemærk a der er ens volflader i hver graf, en for pus il vensre sam en for calls il højre. Derudover er srikes bleve inverere, så lave srikes er il højre mens høje srikes er il vensre. De ses i figur 10.6b a volfladen rammer de empiriske observaioner god. Derimod passer volfladen overhovede ikke i figur 10.6a, da der kor før udløb ses e volsmil som ikke er konsisen mellem calls og pus. Så volsmile kan nogle gange divergere op mod udløb, hvilke kan skyldes a de er amerikanske opioner. Oven i dee er der nogle lange udløb, som bidrager il a volfladen får sværere ved a fie. Dee er pga. den eksponenielle form af ν() og ρ(), der er al for simpel il a kunne fange idsdynamikken. Med en omformulering af ν() og ρ() kan der måske opnås e bedre fi af den empiriske volflade. Til gengæld indebærer dee højs sandsynlig en numerisk løsning af inegralerne beskreve i ligning 8.7., hvilke ville kræve e sørre 100

102 Figur 10.5: Residualer i dynamisk SABR forløb Implici α Ved brug af ATM volailiy kan probleme reduceres il 4 frie paramere. Førs nævnes nogle udfordringer med denne meode. Den opion som er æes på fuuresprisen (il OTM siden) anages a være ATM volailiy, og her beregnes Black implied volailiy. Dee kan medføre fejlkilder. For de førse er opionen, der anages a være ATM, kun næsen ATM og derfor vil volsmile omkring ATM ikke fie daa så god. For de ande er der i nogle ilfælde ikke så mege likvidie i denne opion, se ud fra volume og de idligere beskrevne soreringskrierier, så der kan evenuel være quoed en pris der ikke passer il markede, og som dermed medfører en forker ATM volailiy. Når de er sag så er fordelen ved denne meode a der kun er 4 frie paramere. Solveren har leere ved a finde globale minima når der er en dimension mindre, og beregningsiden formindskes. Imidlerid øges beregningsiden for selve funkionen, da der for hver gennemløb skal løses en redjegradsligning for a finde α ud fra ATM volailiy. De er kend, a deso flere frie paramere der er i modellen, deso bedre kan smile fie. Spørgsmåle er om dimensionsreduceringen gør præcisionen og/eller beregningsiden gode nok il a kunne bereige implici α meoden. Desuden kan de undersøges om ATM volailiy giver en α, der ligger i nærheden af den α der blev kalibrere da den var eksplici. Meoden med implici α bringer også mere variaion end eksplici α, da der for hver udløb på samme dao kan eksisere forskellige ATM volailiies og dermed flere forskellige værdier for α. Dee kan give bedre resulaer, hvis ATM volailiy er præcis nok. Imidlerid er de ikke ilfælde for > 0 og > uger i abel 10.3, hvor der forekommer en smule højere RMSE for implied α meoden. Den globale solver giver også nogle markan anderledes værdier for a og b if. den lokale solver, og forskellen i fejl pr. observaion kan nu ses allerede på ande decimal. Samidig virker de som om a α har en lavere værdi i implied α meoden, hvilke modsvares af højere værdier for parameeren ν. Udover de ager implied α meoden næsen dobbel 101

103 (a) (b) Figur 10.6: Volflader sam empiriske observaioner så lang id som eksplici α, så indil videre virker eksplici α meoden som den bedse. ATM volailiy sorering Omkring halvdelen af observaionerne har ikke en ATM volailiy der er gåe igennem alle soreringer. Dee bør give illikvide ATM værdier. For a være sikker på a ATM volailiy har likvidie og er korrek prisfassa bliver de illikvide ATM værdier frasorere, og dee fjerner også alle observaioner som ikke længere har en gyldig ATM volailiy. Dernæs er både eksplici og implici meoden anvend på de nye og reducerede daa for a se om implici meoden giver bedre resulaer med likvide ATM volailiies. Svare kan ses i abel Meode α ν ρ a b fejl pr. obs RMSE Eks. α > 0,733 1,881-0,430 8,719 7,304 0,014 0,01 Eks. α > uger,769 1,66-0,463 7,550 7,08 0,0101 0,017 Imp. α > 0 -,543-0,389 6,744 13,57 0,0111 0,06 Imp. α > uger -,177-0,41 5,43 1,459 0,0089 0,00 Tabel 10.5: Resulaer med dynamisk SABR og ATM vol sorering I abellen vises kun kalibreringen med den globale solver. De ses a implici α meoden med denne sorering næsen har lige så god RMSE som eksplici α meoden, i modsæning il før. De er sadig længere beregningsid med den implicie meode, og hvis der skal frasoreres daa før modellen virker ordenlig må de være bedre a bruge den eksplicie meode. Den enese argumen for a anvende implici α er hvis dimensionsreduceringen gør modellen leere a forså eller fremmer nogle inuiive synspunker. Ren maemaisk er der ikke noge a hene, og derfor er konklusionen a eksplici α meoden er beds il daglig kalibrering med dynamisk SABR. 10