3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

Transkript

1 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side Defiitioer, formler, sætiger og idee i bevisere så det er muligt at huske bevisere. Oversigt side -! Stedvektor! Vektors koordiater! Midtpukt af lijestykke! Skalarprodukt (prikprodukt)! Lægde af vektor! Afstade mellem pukter! Projektio af vektor på vektor! Vikel mellem vektorer (med skalarprodukt) cosius! Lijes parameterfremstillig! Plas ligig! Plas parameterfremstillig Oversigt side 49-5! Krydsprodukt (vektorprodukt) TI-89: CrossP({,, },{,, })! Vikel mellem vektorer (med krydsprodukt) sius! Areal af parallelogram og af trekat! Afstad o Pukt "# pla o Pukt "# lije o Lije "# lije o Mellem parallelle plaer! Vikel mellem plaer! Vikel mellem lije og pla! Projektio o Pukt på pla o Pukt på lije o Lije på pla! Kugle o Ligig o Tagetpla Avedelse af skalarproduktet (prikproduktet) Ortogoale vektorer:!!!! a b a b hvis vektorere ikke er ulvektore.

2 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Avedelse af krydsproduktet (vektorproduktet) Parallelle vektorer:!!!!! a" b a b hvis vektorere ikke er ulvektore. Idee i beviser for sætiger/ metoder s. 7 Ædrig fra e parameterfremstillig til e ligig for et pla P kedes. Normalvektor for plae fides som krydsprodukt af de give retigsvektorer: r r Så ka ligige opskrives. s. -3 Skærig mellem plaer Skærige er e lije. Hvis begge plaer er givet ved ligiger, så sæt é af variablee lig med t. Derefter løse de ligiger mht. de øvrige variable. Her ka TI-89 avedes solve(ligig ad ligig, { variable}). Hvis et pla er givet ved e ligig, og det adet ved e parameterfremstillig, så idsæt parameterfremstillige i ligige, og fid t som fuktio af s. Sammehæge idsættes i parameterfremstillige, som hermed ku har é variabel. Dette er så parameterfremstillige for skærigslije. s. 3-7 Skærig mellem lije og pla Skærige er ormalt et pukt. Atag at plae er givet ved e ligig. Lijes parameterfremstillig idsættes i plae ligig. De fude værdi af t idsættes i lijes parameterfremstillig. s. 7-8 Projektio af pukt på pla NB: Ma går vikelret fra puktet på plae. Bestemmer e parameterfremstillig for ormale (lije vikelret på) til plae geem puktet P : Puktet P er kedt Lijes retigsvektor plaes ormalvektor Dee parameterfremstillig idsættes i plaes ligig. Parameter t fides, og idsættes i ormales parameterfremstillig. s. 8-3 Afstad mellem pukt P og pla ax by cz d a b c Bevis : Fid et pukt P plae: plaes ligig: idsæt værdier for x og y, løs så for z. P P projiceres på plaes ormalvektor. Afstade er så lig med projektiosvektores lægde.

3 3y MA, Stee Toft Jørgese side 3/5 Helsigør Gymasium Bevis : Gør som i projektio af pukt på pla. Projektiospuktet kaldes Q. Afstade QP s Afstad fra pukt til lije r P P r ###! PP vektore og r vektore udspæder e trekat. Arealet opskrives op forskellige måder: ½ dele af krydsproduktet af de vektorer ½ højde (d) gage grudlije Løs ligige mht. højde d. s. 34 Projektio af pukt på lije P kedes. P P projiceres på lijes retigsvektor. Q er projektiospuktet. OQ OP P Q s Afstad mellem lijer P P Normalvektor fides som krydsprodukt af de give retigsvektorer: r r Vælg et pukt P hhv. P på hver af de to lijer. PP projiceres på. Afstad lægde af projektioe. s Projektio af lije på pla Retigsvektore for lije projiceres på plaes ormalvektor. Projektiosvektore trækkes fra de give lijes retigsvektor, og facit bliver e retigsvektor for de projicerede lije. P fides som skærige mellem de give lije og plae. s Vikel mellem plaer Atag, at plaere er givet ved ligiger. Vikle mellem plaere vikle mellem de plaers ormalvektorer. NB: Der er forskellige vikler mellem plaere. Vikelsumme er 8 o.

4 3y MA, Stee Toft Jørgese side 4/5 Helsigør Gymasium s. 4-4 Vikel mellem lije og pla Bestem først vikle w mellem lijes retigsvektor og plaes ormalvektor. De korrekte vikel v er så: v 9 w Vikel mellem sider i et polyeder, bygig, telt mm.: Vikle mellem flader, som støder samme, fides ved at de ee flades ormalvektor går id i bygige, de ade ud af bygige. Vikle mellem fladere vikle mellem de ormalvektorer! a) 9 BC BT Areal af trekat BTC BC BT , b) Udadgåede ormalvektor for trekate BTC BC BT (jf. højrehådsregle). Idadgåede ormalvektor for trekate ATB BA BT (jf. højrehådsregle).

5 3y MA, Stee Toft Jørgese side 5/5 Helsigør Gymasium udreget i (a) BA BT BA Vikel: 9 58, ) cos( v v