Rumgeometri Side 1 af 20

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Rumgeometri Side 1 af 20"

Transkript

1 Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle i ummet... Bestemmelse af cetum og adius.... Skæige i ummet..... Skæigspukt mellem to lije l og m..... Skæig mellem lije l og pla... 6 givet ved ligig... 6 givet ved paametefemstillig Skæig mellem to plae og... 6 og givet ved ligig... 6 givet ved paametefemstillig og givet ved ligig... 8 og givet ved paametefemstillig Skæig mellem lije l og kugle K Skæig mellem pla og kugle K Pojektio i ummet Pojektio af vekto på vekto Pojektio af pukt A på lije l Pojektio af vekto på lije..... Pojektio af et pukt på et pla..... Pojektio v af e vekto v på et pla Pojektio af lije på pla... Eksemple: Pojektio af lije på pla.... Afstade i ummet..... Afstad mellem to pukte..... Afstade mellem A pukt og lije l..... Afstade mellem pukt og pla... 7 Eksempel: Afstade mellem pukt og pla P (, 6,) og : Afstade mellem to lije... 7 Eksemple: Afstade mellem lije og pla... 9 Eksempel: Afstad mellem lije og pla Afstade mellem to plae... 9 Eksemple: Afstad mellem to plae.... Ideks... Fejl! Bogmæke e ikke defieet. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

2 Rumgeometi Side af. Puktmægde i ummet.. Lije i ummet Som i plae ka ma beskive e lije vha. e paametefemstillig. Po P Lad P (,, ) væe et fast pukt på lije. Lad P(,,) væe et tilfældigt pukt på lije. Lad væe e etigsvekto fo lije. O Da ka stedvektoe til puktet P skives som Dette give os, at lije l ka skives på fome: OP l : OP P P t t.. Pla Ligige fo e pla i ummet e givet ved a ) b ( ) c ( ) a b c d ( a hvo vektoe b e e omalvekto til plae, P,, ) c et kedt pukt og P(,,) et vilkåligt pukt i plae. ( Bevis: P P P = P P = b a ( ) b ( ) c ( ) a b c d, hvo d := -a - b - c Demed e ligige fo plae fudet. Bemæk at omalvektoe ka aflæses som koefficietee til, og. a c Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

3 Rumgeometi Side af : hvo = t og p = p p p s p p p P(,,) et vilkåligt pukt i plae. Bevis: OP = OP + P P = ) OP + t + s p, e udspædede vektoe til plae, P,, ) et kedt pukt og t s ( Fa ligig til paametefemstillig - fastlæg pukte i plae ud fa ligige, f (,,), (,,) og (,,) - bestem to udspædede vektoe ud fa disse te pukte - opstil paametefemstillige Eksempel: : p p p = og = : + = = - P -,, = og = : + = = - Q, -, = og = : - + = = R,, PR := og QR := = + t + s Fa paametefemstillig til ligig - bestem e omalvekto som kdspoduktet af de to udspædede vektoe (elle paallel med dee) - opstil ligige ud fa de fude omalvekto og det kedte pukt fa paametefemstillige Eksempel: = + t + s := = - : =.. Kugle i ummet ) Opløsig af P P efte 's og p 's etige. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

4 Rumgeometi Side af E kugle i ummet e mægde af de pukte P (,, ), som ha samme afstad (kugles adius) til et fast pukt C,, ) (kugles cetum). ( Ligig fo kugle K e da Bevis: ( a) ( b) ( c) P K CP = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bestemmelse af cetum og adius Omskiv til kvadatet på toleddede støelse ( a), ( b) og ( c), idet -, - og -leddee agive det dobbelte podukt (-a, -b, -c) og a, b og c lægges til på begge side af lighedsteget. Eksempel: = = + + = 9, dvs. cetum C(,-,) og adius =. Skæige i ummet.. Skæigspukt mellem to lije l og m l og m e paallelle, dvs. l m = o (elle l = k m ) Ikke- paallelle Et evetuelt skæigspukt fides ved at sætte paametefemstillige fo lije l lig med paametefemstillige fo m. Skæigspuktet skal jo have samme -, - og -koodiat i de to paametefemstillige. Opskiv de te ligige. Løs de to af ligigee mht. de to paamete (s og t) og udesøg, om de fude vædie passe i de tedje ligig. a. Skæig: Hvis paametevædiee passe i alle te ligige, skæe lijee hiade i et pukt, og skæigspuktet fides ved idsættelse af de fude paametevædie i paameteudtkkee fo, og. b. Vidskæve Hvis paametevædiee ikke passe i alle te ligige, e lijee vidskæve Eksempel: l : s og m : 6 t 6 s 6 t 6 Itesectio:,, Dette give ligige: s s s t 6 t 6t De to øveste løses Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

5 Rumgeometi Side af s t s t 9 8t 8 8t t s 6 t 9 s 8 9t t = - idsættes i de føste ligig: s ( ) s s t = - og s = idsættes i de edeste ligig: + = 6. De to lije skæe hiade. s = idsættes i paameteudtkkee i l. Skæigspuktet e S(,,). Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

6 Rumgeometi Side 6 af.. Skæig mellem lije l og pla l og e paallelle, dvs. l l = a. det kedte pukt fa l ligge i hele l ligge i b. det kedte pukt fa l ligge ikke i l skæe ikke l og e ikke paallelle l og skæe hiade i et pukt givet ved ligig - idsæt lijes paameteudtk fo, og i ligige fo, og løs ligige mht. paametee. - idsæt de fude paametevædi i paameteudtkkee fo at bestemme skæigspuktet S(,, ). Eksempel: l : t og : Itesectio: (,, ) := + t :: := - t :: := + t idsættes i ligige fo + t + - t - + t + = 8 - t = t :=, idsættes i paameteudtkkee fo, og, og, dvs. at l skæe i S(,,) givet ved paametefemstillig - omskiv paametefemstillige fo til ligig fo, og bet oveståede elle - opstil de te paameteligige (OBS! bet te foskellige paameteave), og løs disse mht. de te paamete (evt. ku paametee fa l). Bestem skæigspuktet ved idsættelse af de fude paametevædi i paameteudtkkee fo l. Eksempel: l : og = + t + s solve + = t ad - = s ad + = + t, = ad s = ad t = Skæigspukt T(,,).. Skæig mellem to plae og og e paallelle, dvs. = o og a. plaee e sammefaldede =, dvs. ligigee e esbetdede el. kedt pukt fa de ee pla ligge i de ade b. plaee skæe ikke hiade og og e ikke paallelle og skæe hiade i e lije givet ved ligig - sæt e af koodiatee til at væe paametee t, f := t - løs de to ligige mht. til de to ade koodiate (afhæge af t) - opstil paametefemstillige (kostatleddee fo sig og t udefo) Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

7 Rumgeometi Side 7 af Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

8 Rumgeometi Side 8 af Eksempel: : 7 8 og : 8 := t + 7 t - 8 = og 8 - t + - = = 8-7 t og = + t - 8 = + t t 7 t - 9 Skæigslije: 8 l : t givet ved paametefemstillig og givet ved ligig - idsæt s paameteudtk fo, og i ligige fo, og løs ligige mht. de ee paamete (udtkt ved de ade) - idsæt de fude paamete i s paametefemstillig og educe Eksempel: : = + t + s og = og Eksempel: : := t :: := s :: := + t = s + t = s = - t t, = - t og t + dvs. at skæigslije l: = + t - Itesectio Lie: (,,) = (,,) + Ü(-.8,.86,-.8) givet ved paametefemstillig (NB! giv de fie paamete foskellige ave) - omskiv paametefemstillig til ligig fo de ee pla elle begge og bet oveståede elle - løs de te koodiatligige mht. de te af paametee (udtkt ved de fjede) = = + q + t + + s og : Itesectio Lie: (,,) = (.7,.,) + (-.9,.7,.99) solve t = + q + ad s = ad + t = + q,, q, s = - ad s = - ad q = t dvs. at skæigslije l: = + t - = - + t Itesectio Lie: (,,) = (-,-,) + Ü(.77,,.77).. Skæig mellem lije l og kugle K - idsæt lijes paameteudtk fo, og i ligige fo K, og løs ligige mht. paametee. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

9 Rumgeometi Side 9 af - idsæt evt. fude paametevædi(e) i paameteudtkkee fo at bestemme skæigspuktet(ee) S(,, ). Eksempel: l : t og K: = := t :: := - :: := t + idsættes i kugles ligig: t - t t = t - t - = t = 9 t = t = elle t = -, dvs. at l skæe K i S (,-,) og S - (-,-,). t - t - =.. Skæig mellem pla og kugle K - bestem cetum C og adius fo kugle - bestem afstade dist(c, ) fa cetum til plae a. dist(c, ) > : plae skæe ikke kugle b. dist(c, ) = : plae tagee kugle c. dist(c, ) < : plae skæe kugle i e cikel. Pojektio i ummet.. Pojektio af vekto på vekto Pojektioe af b på a: b a = a b Pojektioe af b på a e skitseet på figuee heude. a a gælde i ummet som i plae - og beviset e det samme Som det ses, ka pojektioe fides ligegldigt, om vikle mellem a og b e spids elle stump... Pojektio af pukt A på lije l A l l : t vha. følgede metode P B Lad B væe pojektioe af A på l. O Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

10 Rumgeometi Side af Det femgå af figue, at OB = OP + P B og P B = P A, altså OB = OP + P A Da B ha samme koodiatsæt som stedvektoe, ka B s koodiate bestemmes ud fa fomle Eksempel: Pojektioe af puktet A (,, ) på lije l : 9 t A A l l Closest Poit:,,, Distace:.6 OP := 9 :: OA := :::= OB: = OP + dotp P A, - P A := OA - OP -8, dvs. pojektioe A l af A på l e B(,,).. Pojektio af vekto på lije E vekto pojicees på e lije ved at pojicee de på lijes etigsvekto:.. Pojektio af et pukt på et pla Pojektioe af puktet A ed på plae : a b c d med omalvekto = b c a fides ved at kostuee lije geem puktet A, som stå vikelet på. l A : a a a t a b c Pojektioe S af puktet A på plae e da skæigspuktet mellem l A og. Eksempel: Pojektio af puktet A (,,) på plae : 9 Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

11 Rumgeometi Side af Nomale l A til l A : t geem A bestemmes: Skæigspuktet mellem lije l A og plae fides A A Paameteudtkkee = + t, = - t og = + t idsættes i ligige fo : l a Closest Poit: (,, ), Distace: 6.6 t ( t) ( t) 9 t t De fude paametevædi idsættes i paametefemstillige: O A := + - -, så pojektioe A af puktet A ed på plae, dvs. skæigspuktet l A A (,,), e.. Pojektio v af e vekto v på et pla v = v - v Bevis Lad v væe pojektioe af v på omalvektoe. Da gælde, som det ses på figue, at v = v + v v = v - v = v - v Eksempel: Pojektio v af v := v = v - v - på plae, som ha omalvektoe := dotp v, v := v Pojektio af lije på pla Pojektio af e lije l på et pla deles op i to tilfælde:. Lije og plae e paallelle, l l =. Lije og plae e ikke paallelle, l l Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

12 Rumgeometi Side af. l Fo at fide pojektioe l af lije l på plae ha vi bug fo et fast pukt S på l og e etigsvekto fo l. Retigsvektoe l fo lije l ka buges som det faste pukt, da l og e paallelle. l l P s Som fast pukt på lije l buges pojektioe S s, s, ) af det faste pukt P på lije l. ( s Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

13 Rumgeometi Side af Paametefemstillige fo pojektioe l af lije l på plae e da givet ved: l s : s t l s. l Da lije l og plae ikke e paallelle, så skæe de hiade i et pukt S ( s, s, s). Dette pukt ka buges som det faste pukt fo lije l. Retigsvektoe fides som pojektioe af s l l etigsvektoe l på plae. Lije l få altså paametefemstillige s l : s t s Eksemple: Pojektio af lije på pla. E lije ha ligige : og e lije ha ligige l : t := - l := 8-8 l = =, så l Pojektioe af P på a: l : = - + t - := + t :: := - - t :: := + t idsættes i ligig, som løses mht. t solve - + =, t t = - 7 t := - 7 idsættes i paameteudtkkee fo liie S( 7, -8 7, - 7 ) = S(.7, -., -.87 ) Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

14 Rumgeometi Side af Pojektioe l / 7 : 8 / 7 t 8 elle l,7 :, t 8 / 7,86 Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

15 Rumgeometi Side af. Lad e lije og e pla væe givet ved l : t og : Retigsvektoe fo pojektiosliie l = l - l Skæige mellem l og l = + t := l - dotp l, e tidligee (..) fudet til S(,,), så 8 t + 7 t 7 -t 7 +. Afstade i ummet.. Afstad mellem to pukte Afstade mellem to pukte fides på samme måde som i plae AB = AB = ( a b ) ( a b ) ( a b Eksempel: A(,,) og B(,,) AB = - + ) = Afstade mellem A pukt og lije l Lad væe etigsvektoe og P væe det faste pukt fo l. dist(a,l) = A P Bevis: Fo at fide afstade d mellem puktet A og lije l ses på e etviklet tekat. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

16 Rumgeometi Side 6 af si v = d AP d = AP si v = AP si v = AP Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

17 Rumgeometi Side 7 af Eksempel: Afstade fa et pukt til e lije A (,,) og OA := l : t :: OP := AP := OP - OA - - :: := - dist(a,l) = cossp AP, Afstade mellem pukt og pla Afstade mellem puktet P,, ) og plae : a b c d e givet ved ( p p p dist(p, ) = a p + b p + c p + d a + b + c Bevis: Lad P (,, ) væe et pukt på plae dist(p, ) = P P = P P = ) a p - + b p - + c p - a + b + c Eksempel: Afstade mellem pukt og pla P (, 6,) og : P P = P P a p + b p + c p + d = a + b + c P: p := :: p := -6 :: p := : a := :: b := - :: c := d := - dist ( P, ) = a p + b p + c p + d a + b + c.69 = ).. Afstade mellem to lije. De to lije l og m skæe hiade. I så fald e afstade mellem de to lije. dist ( l, m). ) t a = t a ) Samme beegige som ved udledig af plaes ligig afstade e jo, hvis P ligge i plae d a b c Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

18 Rumgeometi Side 8 af. De to lije l og m e paallelle og skæe ikke hiade. He ka afstade mellem de to lije bestemmes som afstade fa et tilfældigt pukt på lije l til lije m. dist( l, m) dist( Pl, m) (se afstad pukt/liie). De to lije e ikke paallelle og skæe ikke hiade. I så tilfælde siges lijee at væe vidskæve. Afstade agives som de koteste afstad mellem pukte på de to liie, dvs. afstade, hvo de kdse hiade. De to liie vil ligge i to paallelle plae l og m geem hhv. P l og Eksemple:. P m og udspædt af l og m, dvs. l m Afstade mellem de to liie vil altså væe afstade mellem de to plae, som ige e afstade fa et pukt i de ee pla til de ade pla. P dist(l,m) = dist( l, m) = dist (P m, l) = dist (P l, m) = ) l P m NB! Dee fomel gælde også i det føste to tilfælde, idet afstade da e og de to plae e sammefaldede. De gælde ikke i tilfælde, da vektopoduktet af de to etigsvektoe jo så e ulvektoe. l : t og OP l := :: l := - P l P m := OP m - OP l - dist(l,m) = m : s :: OP m := - dotp P l P m, 9 :: m := := cossp l, m l : t og m : t 6 De to liie e paallelle ) jf. bevis fo afstad pukt/pla Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

19 Rumgeometi Side 9 af OP l := :: OP m := - :: m := 6 - P l P m := OP m - OP l - - dist(l,m) = dist(p l,m) = cossp P l P m, m m... Afstade mellem lije og pla Fo at fide afstade mellem lije deles de op i to tilfælde:. l l = l : t og plae : a b c d, Hvis lije og plae e paallelle, så fides afstade ved at fide afstade fa det faste pukt, P,, ) på lije og plae.. l l l ( l l l Hvis lije og plae ikke e paallelle, så skæe de hiade og afstade mellem lije l og plae e. dist( l, ). Eksempel: Afstad mellem lije og pla l : t og : P l : p := :: p := :: p := : a := - :: b := :: c := d := dist(l, ) = dist(p l, ) = a p + b p + c p + d a + b + c 6.6. Afstade mellem to plae Fo at fide afstade mellem de to plae og deles op i to tilfælde:. = o = Hvis plaee og e paallelle, så fides afstade ved at fide afstade fa et pukt i de ee pla til de ade til plae. Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

20 Rumgeometi Side af. o Hvis plaee og ikke e paallelle, e dist (, ), fo så skæe de hiade i e lije. Eksemple: Afstad mellem to plae. : og : og e paallelle := - :: := 8 cossp, - P l : p := :: p := :: p := : a := -6 :: b := 8 :: c := - d := dist(, ) = dist(p l, ) = a p + b p + c p + d a + b + c 6.. : og : 7 := - :: := - - cossp, - -8 dist(, ) Redigeet udgave af ote fa Flemmig Pedese HTX Thisted

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71.

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71. Beslutig FÆLLES GÅRDHAVE Gothesgade kaée Nasesgade 94-96, Gothesgade 155-159, Nøe Faimagsgade 65-71. Bogeepæsetatioe ha XX. XX 20XX tuffet byfoyelsesbeslutig om idetig af e fælles gådhave. De fælles gådhave

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

MSLT: Undersøgelse af søvnlatens

MSLT: Undersøgelse af søvnlatens MSLT: Udesøgelse af laes Du skal have foeage e Mulipel Søv Laes Tes - MSLT. Søvlaes e de id, de gå, fa du ha lag hovede på pude fo a, il du. SÅDAN FOREGÅR UNDERSØGELSEN Udesøgelse age e hel dag. Med 2

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk. Eksempel

Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk. Eksempel Ovesgt [S] App. I, App. H. Komplekse tal Nøgleod og begebe Komplekse tal Test komplekse tal Polæe koodate Kompleks polafom De Moves sætg Test komplekse tal Komplekse ødde Kompleks ekspoetalfukto Ved et

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Summeret for kommuner og region

Summeret for kommuner og region Summeet fo kommue o eio Tilbud Tilsy o odkedelse i åsvæk Løudift Øvie Oveheadomkostie Omkostie Atal tilbud, de ha Ledelse Admiistatio Tilsy Godkedelse tilsy o i alt diftsudifte 1-7 8-24 25-49 odkedelse

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

OPGAVE 3. A Hvilken opbevaringskasse har det største rumfang?

OPGAVE 3. A Hvilken opbevaringskasse har det største rumfang? Rumgeometi OPGAVE 2 Matildes lillebo og lillesøste a ve fundet en I kassene skal de 3 cm 39 3 cm sto sten på standen, og de kan ikke blive enige opbevaes skumteninge, I dette kapitel skal du abejde med

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og

Læs mere

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K.

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K. Hvd e mtemtik? A ISBN 978-87-766-497-4 Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Pojekt 2.4. Støelsesoden fo funktionene Intoduktion, og ln( ) I dette foløb vil vi dels få et edskb til t

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dmk ekke Uetet Sde f 6 de Skftlg pøe, de 4. deceme, Kuu yk Kuu. //4 Vghed: 4 tme lle hjælpemdle: Ige hjælpemdle "Vægtg": eele edømme om e helhed. Alle kl egude med mde det e get. Alle mellemegge kl mege.

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Geometrisk Optik. Teori og forsøg

Geometrisk Optik. Teori og forsøg Geometrik Optik Teori og orøg Køge Gmaium 004-005 Ole Witt-Hae Idold Kap. Geometrik Optik.... Strålegage i toer.... relekio i et plat pejl... 3. elekio i et kokavt ulpejl... 4. elekio i et kovekt ulpejl...6

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Lineære normale modeller (3) udkast

Lineære normale modeller (3) udkast E6 efteå 999 Notat 20 Jøgen Lasen 30 novembe 999 Lineæe nomale modelle (3) udkast 44 Tosidet vaiansanalyse Man ha nogle obsevatione y de e aangeet i et tosidet skema: 2 j s y k k=,2,,n 2 y 2k k=,2,,n 2

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

holstebro Åbningstider Svensk Bingo

holstebro Åbningstider Svensk Bingo holstbo Åbigsti Svsk Bigo Maag: 10.30-14.30* & 18.30-21.30* Tisag: 10.30-14.30* & 18.30-21.30* Osag: 10.30-14.30* & 18.30-21.45* Tosag: 11.00-14.00* & 18.30-21.30* Fag: 10.30-14.30* & 18.30-21.30* Løag:

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

Elektromagnetisme 9 Side 1 af 5 Magnetfelter 2. Biot og Savart

Elektromagnetisme 9 Side 1 af 5 Magnetfelter 2. Biot og Savart Eektomagnetisme 9 ide af 5 Magnetfete Biot og avat En aften i 8 havde fysikpofesso fa Københavns Univesitet Hans Chistian Østed inviteet venne og studeende hjem i pivaten fo at demonstee, at en stømføende

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Lokalplan nr. 391. Ringkøbing-Skjern Kommune

Lokalplan nr. 391. Ringkøbing-Skjern Kommune Lokalpla r. 391 For et område til erhvervsformål ved Tøstrupvej syd for Ådum o Tillæ r. 59 til Kommuepla 2013-2025 Rikøbi-Skjer Kommue Ortofoto@Rikøbi-Skjer Kommue Rikøbi-Skjer Kommue 12. april 2016 Lokalplae

Læs mere

At score mål på hjørnespark

At score mål på hjørnespark At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse,

Læs mere

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undvisningsbskivls Stamoplysning til bug vd pøv til gymnasial uddannls Tmin Tmin hvo undvisningn afslutts (Juni 2016) Institution Uddannls Rybns HTX Fag og nivau Matmatik B/A Læ Jack Sandbæk Hold 1.c Ovsigt

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2004 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og

Læs mere