KEGLESNIT OG BANEKURVER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "KEGLESNIT OG BANEKURVER"

Transkript

1 KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium

2 INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel Hyperbel Keglesnitsligninger generelt... 6 BANEKURVER... 7 GAUDÍ OG OMDREJNINGSFLADER... 8 Ellipsoider:... 8 Prboloider Elliptisk prboloide:... 3 Hyperbolsk prboloide: Konoider Helikoider Ktenoider Hyperboloider Dette forløb om keglesnit og bnekurver er bl.. pg. tidspres endt ud på en nden måde end den oprindelige idé. Ld os først se på, hvd forløbet skl bruges til: 1) Det er en forberedelse til studieretningsturen til Brcelon, hvor vi skl se på nogle f rkitekten Antoni Gudís bygningsværker og metoder. ) Det er en repetition f mnge f begreberne fr 1. og.g. 3) Det er en forholdsvis grundig behndling f keglesnit. 4) Det er en introduktion til mnge forskellige emner, der kunne behndles i en SRP. Ld os også se på nogle mngler ved forløbet: ) Der er en hel del løse ender og ting, der ikke bliver kædet ordentlig smmen. b) I den sidste del med omdrejningsflder er der ikke så meget mtemtik, som der kunne hve været. c) Delen med bnekurver er slet ikke blevet, som håbet. Det vr meningen, t der skulle hve været en udledning f, hvorfor objekter følger keglesnitskurverne, når de bevæger sig i et krftfelt, der ftger med kvdrtet på fstnden, men det hr jeg ikke nået t kigge på.

3 BEGREBET KEGLE Vi begynder med t se på, hvd en kegle er, så vi kn se, hvd det er, vi ikke skl bruge til keglesnit. En kegle defineres ud fr en lukket, pln kurve og et punkt uden for denne pln (se nedenstående figur): Keglens ledekurve kn hve lle mulige forskellige former, så det kn kegler også: Når mn tler om keglesnit, er det dog som nævnt slet ikke kegler, mn snitter. For som vi hr set ovenfor, dækker begrebet kegle over så forskellige former, t det ville være svært t sige noget generelt om snitkurverne. Det er en bestemt slgs kegleflder, der snittes, men det er ikke ltid, t mn går så meget op i, om mn siger kegle eller kegleflde (bortset fr, t mn ldrig bruger ordet kegleflde om en kegle). En kegleflde er et mere bstrkt begreb end en kegle, d det er en rumlig flde med uendelig udstrækning. Den fremkommer ved, t mn omdnner frembringerne til linjer i stedet for linjestykker. Vi skl se på den rette, cirkulære kegleflde, der dnnes ud fr den rette, cirkulære kegle. Det kldes også en omdrejningskegleflde. Dvs. det er en kegleflde, hvor ledekurven er en cirkel, og hvor toppunktets projektion på flden fgrænset f ledekurven er fldens centrum. Linjen gennem toppunktet og centrum kldes i en omdrejningskegleflde for keglefldens kse. Alle frembringere dnner smmen med keglefldens kse den smme spidse vinkel, der kldes ksevinklen. Vi er nu klr til t lægge vores omdrejningskegleflde ind i et tredimensionelt koordintsystem: 3

4 Vi plcerer kegleflden i et koordintsystem, så keglefldens kse flder smmen med z-ksen, og så toppunktet ligger i origo. Cirklen ligger prllelt med xy-plnen, så vi kn bestemme r ved hjælp f Pythgors, d vores delvist stiplede violette treknt er retvinklet (d x- og y-ksen er ortogonle): x y r. Som det ses på figuren, kn mn udtrykke r ud fr v, d vi hr endnu en retvinklet treknt (gul, violet og blå linjer). Her hr vi: r tn v r tn v z z Der gælder ltså: x y tn v z D ksevinklen er konstnt, kn mn også skrive: x y k z, hvor k tn v Vi hr ltså: Sætning 1: Ligningen for en omdrejningskegleflde med ksen smmenfldende med z-ksen og toppunkt i origo er: x y k z En del f kegleflden er illustreret med den røde cirkel, og punktet x, y, zligger på kegleflden. Afstnden fr punktet ind til z- ksen kldes r, og det er rdius i den røde cirkel. Bemærk, t den røde cirkel blot er en vilkårlig del f keglen, så dette r er ikke en størrelse, der hr noget som helst med kegleflden t gøre. Det er kun en størrelse, der skl hjælpe os gennem de følgende udregninger. Til gengæld er ksevinklen v en størrelse, der er knyttet til kegleflden, og den er ngivet med blåt. I de følgende fsnit rbejdes med ovenstående ligning smt ksevinklen v, dvs. det er hele tiden underforstået, t vi hr plceret omdrejningskegleflden som ngivet i Sætning 1. 4

5 KEGLESNIT Der er 4 keglesnit: Cirkel, ellipse, prbel og hyperbel. Apollonius fr Perg levede c. 6 c. 190 fvt. Hn blev uddnnet og underviste i Alexndri og vr på et tidspunkt på besøg i Pergmon. Men ld nu det være nok om hns liv. Vi kender Apollonius fr forløbet om Uendeligheder og verdensbilleder, hvor hn bidrger ved t opfinde både den excentriske model og epicykelmodellen. Desuden skrev Apollonius det næsten helt bevrede værk Keglesnit bestående f 8 bøger, hvor hn smler den tidligere viden om keglesnit og smtidig tilføjer en hel række nye egenskber og giver en mere generel behndling. I den forbindelse opfinder hn nvnene ellipse, prbel og hyperbel. Apollonius stod ltså både bg epicyklerne og ellipserne, dvs. både den forkerte og den rigtige beskrivelse f plnetbnerne. De fire keglesnit fremkommer som også set i Firenze ved forskellige fldesnit f en omdrejningskegleflde: 1: Prbel (nederst): Cirkel (øverst): Ellipse 3: Hyperbel Vi skl behndle keglesnittene ved t se på ligninger, differentilligninger, vektorfunktioner og geometriske konstruktioner og egenskber. Keglesnittene gennemgås ét d gngen. Derefter går vi over til t se på nogle mere komplicerede flder, bl.. den hyperbolske prboloide. 5

6 Cirkel Geometrisk: En cirkel er det geometriske sted for de punkter i plnen, der hr smme fstnd r til et givet punkt C i plnen. r kldes cirklens rdius, og C kldes cirklens centrum. Ligning: Hvis cirklen indtegnes i et koordintsystem (så mn går fr geometri til nlytisk geometri), kn C, b og rdius r: mn ngive en ligning for den cirkel, der hr centrum i Pythgors giver: x y b r Og hvis centrum plceres i origo: x y r Prmeterfremstilling: Hvis vi indfører vektorer, kn vi også ngive cirklen som en vektorfunktion, eller som vi også klder det: En prmeterfremstilling med prmeteren t: Indskudsreglen giver os: OP OC CP t t x cos r ; t y b sin Hvis centrum ligger i origo, hr mn ltså: t t x cos r ; t y sin 6

7 Differentilligning: Først skl mn gøre sig klrt, t når mn rbejder med differentilligninger, er det funktioner, der er de prtikulære løsninger, og som bekendt kn cirklen ikke beskrives ved en funktion, d to forskellige y-værdier kn være knyttet til den smme x-værdi. Vi vil derfor ldrig kunne finde en løsning, der beskriver hele cirklen. Men vi kn finde løsninger, der beskriver en hlvcirkel, og to f disse smt to punkter kn sættes smmen til en cirkel. Vi begynder med det simple tilfælde, hvor centrum ligger i origo: Vi er ltså kommet frem til en differentilligning, der kn løses ved seprtion f de vrible. Undervejs blev der ikke tænkt så meget over vriblernes værdier, men det ser vi på nu. Mn kn sige, t vi kommer i problemer, både hvis x er 0, og hvis y er 0. I det første tilfælde fordi rdius bliver lodret og derfor ikke hr nogen hældning. I det ndet tilfælde er det tngenten, der bliver lodret. Vi vælger t rbejde videre med differentilligningen på den sidste form, og vi skl så hve fundet nogle åbne intervller, hvor y ikke er 0, som vi kn rbejde inden for. Vi lder i første omgng: x og y : Vores sætning om seprtion f de vrible giver så: y 0: dy x ydy xdx dx y Vi regner løs og husker vores konstnt, d det er ubestemte integrler: 1 1 y x k1 y x k Vi udnytter nu, t vores rdius i cirklen er r, og det giver os: r x y k Vi hr ltså: y x r y x r (i sidste skridt er betingelsen y 0benyttet). Vores prtikulære løsning er ltså: f x r x, r x r Definitionsmængden følger f, t y 0, og rgumentet i kvdrtroden må ikke være negtivt. Undervejs så vi, t vi kom frem til cirklens ligning. Hvis vi løser for y 0, får vi den nden hlvdel f cirklen, bortset fr, t vi mngler punkterne r,0og r,0, fordi vi rbejder med åbne intervller. Hældningen for det blå linjestykke, der løber mellem centrum og y punktet på cirklen, er r. x Hældningen for tngenten skrives dy pr. definition som t. dx D tngenten står vinkelret på rdius, hr mn: 1 r t y dy dy x 1 x dx dx y Øvelse: Vis, t differentilligningen 7 dy x fører til vores generelle cirkelligning. dx y b

8 Keglesnittet: Cirklen fremkommer som keglesnit, hvis snittet lægges prllelt med xy-plnen, dvs. hvis keglefldens kse står vinkelret på snitflden. På denne snitflde er z-koordinten konstnt, dvs. vi hr z c. Indsættes dette i ligningen for omdrejningskegleflden (Sætning 1), får vi: x y k c D k og c er konstnter, ser vi ltså, t vi genfinder cirklens ligning, og rdius i cirklen er: r k c tnv c. Krkteristiske egenskber: En cirkel hr den krkteristiske egenskb, t en ret linje, der udgår fr centrum og reflekteres på cirklen (cirkelperiferien), vil rmme tilbge i centrum. Dvs. hvis mn er vred og hr en tennisbold i hånden, er det ikke en god idé t stå i centrum f et cirkelformet rum (f.eks. i et ombygget vndtårn eller i en kornsilo). Ellipse Geometrisk: Der er to forskellige geometriske beskrivelser f en ellipse. punkter: Givet to punkter i en pln, er en ellipse det geometriske sted for de punkter i plnen, hvor summen f fstndene til de to givne punkter er den smme: De to givne punkter kldes brændpunkter (mrkeret med rødt). Ellipsen er den sorte kurve, og som vist med de ngivne fstnde, gælder det, t unset hvilket punkt på ellipsen, mn vælger, så er summen f fstndene ind til brændpunkterne den smme (i dette tilfælde 13). Denne beskrivelse f ellipsen kn bruges, når mn skl tegne den i sndet. Mn tger tre pinde og et reb, der bindes smmen, så det dnner en lukket kurve. De to pinde sættes fst og fungerer som brændpunkter, mens den tredje pind tegner ellipsen i sndet: 8

9 Punkt og linje: Givet en ret linje l og et punkt F, der ikke ligger på linjen, er en ellipse det geometriske sted for de punkter, hvor forholdet mellem fstnden til punktet F og fstnden til linjen l hr den smme værdi e, hvor 0e 1. Q G e QF QG F A D e AF AD H e PF PH Denne gng er der kun ét punkt F, der kldes brændpunktet, og linjen l kldes ledelinjen (den stiplede linje). Linjen, der står vinkelret på ledelinjen og går gennem brændpunktet, skærer ellipsen i to punkter (hvorf det ene er nvngivet som A ovenfor). Linjestykket mellem disse to punkter kldes storksen, og dets længde betegnes med, dvs. er den hlve storkse. Midtpunktet f storksen er ellipsens centrum C. Storksens midtnorml skærer ellipsen i to punkter. Linjestykket mellem disse kldes lilleksen, og den hlve lillekse hr længden b. Mn kn tegne en ellipse identisk med ovenstående ud fr et ndet punkt og en nden linje, nemlig det givne punkt og den givne linjes spejlinger i storksens midtnorml. F s spejlbillede er så ellipsens ndet brændpunkt. Denne geometriske definition lyder jo meget nderledes end den første. Fordelen ved denne beskrivelse er, t den som vi senere skl se er fælles for de tre keglesnit ellipse, prbel og hyperbel. Forskellen er kun værdien f e, der kldes excentriciteten. Vi hr: e 0: Cirkel (det svrer til ledelinjen uendelig lngt væk, hvilket selvfølgelig ikke kn lde sig gøre, og derfor regnes cirklen med denne definition ikke til keglesnittene). 0e 1: Ellipse e 1: Prbel e 1: Hyperbel Hvis mn kigger på plceringen f punktet A, kn mn ltså ret hurtigt fgøre, om mn får en ellipse, prbel eller hyperbel. Hvis punktet ligger tættere på F end på D, er det en ellipse. Hvis A ligger midt mellem F og D, er det en prbel. Hvis A ligger tættere på D end på F, er det en hyperbel. 9

10 Ligning: Vi vil benytte den sidste f de to geometriske definitioner til t udlede ligningen for en ellipse. Efterfølgende kn vi så vise, t denne ligning også opfylder den nden definition. Vi indfører et koordintsystem og lægger ellipsen med centrum i origo og brændpunktet på den positive del f x-ksen. Ledelinjen er tegnet med grønt: Vi hr fået indført en msse begreber (brændpunkt, ledelinje, storkse, lillekse, centrum og excentricitet). Vi kender kun den helt generelle regel, t det for ethvert punkt på ellipsen gælder, t forholdet mellem dets fstnd til brændpunktet og til ledelinjen er lig excentriciteten. Dette vil vi nu udnytte. Kig på figuren ovenfor og indse, t vores fire nøje udvlgte punkter giver os: : f P1 e d : f P e 3 d : b f P e d De to første smmenhænge giver os: : f x y P4 e d x Vi hr her fundet de første f en hel række smmenhænge mellem de enkelte objekters plcering. Bemærk, hvor meget informtionen fr P3 ligner den øverste f de gule smmenhænge. Det fortæller os, t deres tællere må være ens, dvs.: b f b f f b Vi hr her fundet en formel, der kn hjælpe os med t få plceret brændpunktet, når vi kender storksen og lilleksen. Storksen og lilleksen fstsætter også excentriciteten, der dermed bliver et udtryk for fldtryktheden. Det sker ved t indsætte vores netop fundne udtryk for f i den nederste f de to gule udtryk, vi fndt lige før: b b b e eller e 1 Vi ser ltså som postuleret ovenfor, t hvis b(svrende til en cirkel), så er e 0, og jo mindre lilleksen er i forhold til storksen, dvs. jo mere fldtrykt ellipsen er, jo tættere kommer excentriciteten på 1. 10

11 Vi er nu klr til t udlede ligningen for ellipsen, hvilket sker ved t regne på informtionen fr P4 og inddrge de udregnede smmenhænge: Vi hr nu fundet ligningen for en ellipse med centrum i origo og brændpunkterne liggende på x- ksen. Vi kn så prllelforskyde, spejle eller rotere grfen på sædvnlig vis. Hvis vi f.eks. x p y q prllelforskyder, så centrum flyttes til pq,, bliver ligningen: 1. b Ld os se, hvordn punkterne, der opfylder ellipseligningen, også opfylder vores første geometriske betingelse. Dvs. vi skl vise, t summen f hvert enkelt punkts fstnde ind til brændpunkterne er den smme for lle punkter. Vi ser på det generelle punkt P4 og beregner summen f fstndene til brændpunkterne: 1 dist dist y f x y f x y f x f x y f x f x b b b x b x e x b x b x e x b b x e x x e x e x e x e x e x ex e x e x e x Vi fik ltså ikke blot vist, t summen f fstndene er konstnt. Vi fik også vist, hvd denne sum er, nemlig storksen. Det sidste kunne punkterne P1 og P også hve vist os. Vi hr nu fået vist, t de to geometriske definitioner dækker over det smme, og vi hr fundet en ligning for ellipsen. 11

12 Prmeterfremstilling: Prmeterfremstillingen for ellipsen med centrum i origo og brændpunkterne på x-ksen er: x cos t ; t y bsin Vi kn vise, t dette er en rigtig prmeterfremstilling, ved t tjekke, t den psser med vores ligning: t cos t b sin t x y cos t sin t 1 b b Grundreltionen viser os til sidst, t vores prmeterfremstilling psser med ligningen. Som med lle ndre prmeterfremstillinger er det meget nemt t prllelforskyde grfen. Når vi prllelforskyder ellipsen, så centrum plceres i pq,, fås: t t x p cos ; t y q bsin Differentilligning: dy b x Vi ser på følgende differentilligning:,, b, b. dx y Mn ner en nelse snyd i opstillingen f denne differentilligning, for den er jo nærmest konstrueret til t give det ønskede, men ld os nu se, t den også gør det. Vi løser den ved seprtion f de vrible, og igen huskes det, t vi kun er i stnd til t se på hlvdelen f ellipsen: dy b x y x 1 y 1 x x y y 0: dy dx k 1 k dx y b b b Hvis vi udnytter, t punktet,0skl ligge på grfen, får vi: 0 k 1 b Og vi hr hermed set, t den funktion, hvis grf er vores hlvellipse, er en løsning til differentilligningen. Angående betingelsen b, så er den ikke vigtig for løsningen f differentilligningen. Den sikrer bre, t vores storkse er længere end lilleksen. Det er som vi senere skl se fortegnet i differentilligningen, der er vigtigt. Vores differentilligning fortæller os noget meget vigtigt, nemlig t hældningen for tngenten til ellipsen i punktet xyer, b x y. Det får vi brug for, når vi skl vise ellipsens krkteristiske egenskb. Keglesnittet: Vi lder w være vinklen mellem snitplnens normlvektor og z-ksen. Ellipsen fremkommer så, hvis 0 w v, hvor v er omdrejningskeglefldens ksevinkel. 1

13 Krkteristiske egenskb: Den krkteristiske egenskb for en ellipse er, t en prtikel, der udgår fr et f brændpunkterne og følger en ret linje, f ellipsen vil reflekteres hen i det ndet brændpunkt. Dvs. lysstråler eller lydbølger, der udsendes i lle retninger fr det ene brændpunkt, vil smles igen i det ndet brændpunkt. I kender dette fr det elliptiske loft (et hviskeglleri ) på mtemtikmuseet i Firenze. Egenskben kn illustreres på følgende måde: Pointen er ltså, t de rette linjer fr de to brændpunkter til punktet xydnner, kongruente vinkler med normlen (indfldsvinkel = udfldsvinkel). Det skl nu bevises. Fr vores differentilligning ved vi, t hældningen for tngenten i punktet xyer, b x y. Dvs. en retningsvektor for tngenten er: 1 rt b x. y En tværvektor til denne retningsvektor fungerer som retningsvektor for normlen, d denne står vinkelret på tngenten. Vi hr: b x rt y. 1 Som sgt kunne denne vektor benyttes som retningsvektor for normlen, men vi vælger først t sklere den op med y, så vi vælger: b x rn. y Som retningsvektorer for linjerne gennem brændpunkt og xyvælges, vektorerne, der går fr det ene punkt til det ndet, dvs: x f x f b1 b y y Vinklen mellem to f vektorerne bestemmes ved: rn b1 rn b cos v1 og cos v. r b r b n 1 13 n

14 Der er to vinkler mellem linjer, nemlig en spids og en stump, der er supplementvinkler. Vores indfldsvinkel og udfldsvinkel er begge spidse, men fhængigt f retningsvektorernes retninger kn vores vinkelformler godt give stumpe vinkler. Hvis vi får en stump vinkel, skl vi selv efterfølgende bestemme dens supplementvinkel. Vores overgngsformler fortæller os, t cos w cos 180 w, dvs. cosinusværdierne er numerisk ens, men med forskellige fortegn. Vi skl ltså blot vise, t højresiderne i vinkelformlerne er numerisk ens. Det kn vi gøre ved t vise, t deres kvdrter er ens. Vi vil ltså vise følgende: rn b1 rn b r b r b r b b r b b n 1 n rn b 1 rn b b1 b Vi ønsker ltså t vise, t det gule udtryk er en identitet. n n 1 1 Vi udregner først de størrelser, der skl indsættes. For t gøre udtrykkene simplere og få fjernet nogle vrible, benytter vi følgende smmenhænge, som vi udledte i forbindelse med ellipsens ligning: f b b f x y b 1 x y b b b b Dvs: f x y y f x b b b b x f rn b1 x x f y y x x f y b x f b 1 b b b b x f rn b x x f y y x x f y b x f b 1 1 b x f y x f x f y b x f y x f x f y De fire grønne udtryk indsættes nu i den gule ligning: 4 x f 4 x f 1 1 b x f x f y b x f x f y x f x f x f x f x f x f y x f x f y Hver side består f et produkt f to prenteser, hvor der er 3 og 4 led i hver. Dvs. når prenteserne gnges smmen, får mn 1 led. Men bemærk, t mnge f leddene går igen på begge sider, fordi mnge f leddene i prenteserne er ens. Mn får derfor følgende, når de ens led er gået ud med hinnden: xf x f x f xf xfy xf x f x f xf xfy 4 4 Bemærk, t leddene på de to sider hele tiden er numerisk ens, men med modstte fortegn. Værdierne vil derfor være hinndens modstte elementer ved ddition. Hvis de skl være ens, skl de derfor være 0. Der regnes videre på venstresiden for t se, om den giver 0: 14

15 x f x f xf xfy xf x f x f xf xf b xf f x x f x f b x f x f f b 1 3 x f f f 1 3 x f 00 Vi hr hermed vist, t udtrykket giver 0, og dermed hr vi vist, t indfldsvinklen er lig udfldsvinklen, hvorfor en stråle udsendt fr det ene brændpunkt vil reflekteres hen i det ndet. Prbel Geometrisk: Som tidligere nævnt er den geometriske beskrivelse f en prbel meget lig den ene beskrivelse f en ellipse. Vi definerer nemlig en prbel ved: Givet en ret linje l og et punkt F, der ikke ligger på linjen, er en prbel det geometriske sted for de punkter, hvor fstnden til punktet F er den smme som fstnden til linjen l. Vi klder igen linjen l for ledelinjen og punktet F for brændpunktet. Definitionen svrer til excentriciteten 1. Den rette linje, der går gennem brændpunktet og står vinkelret på ledelinjen, er prblens symmetrikse. Symmetriksens skæring med prblen kldes prblens toppunkt. Toppunktet ligger ifølge definitionen midt mellem brændpunktet og ledelinjen. 15

16 Ligning: Den geometriske beskrivelse kn nvendes til t bestemme ligningen for en prbel. Prblen plceres i et koordintsystem med toppunktet i origo og brændpunktet på den positive del f y- ksen. Vi klder fstnden mellem ledelinje og brændpunktet for p, og dermed får vi følgende figur: D fstndene fr punktet xytil, brændpunktet og ledelinjen skl være lige store, hr mn: x 0 y p y p x 0 y p y p x y p yp y p yp 1 x 4yp y x 4 p Vi genkender vores ligning for en prbel, hvor vores koefficient normlt kldes, og hvor vi ltså 1 hr: 4 p. Vi ved, t er et udtryk for, hvor sml prblen er. Jo større, jo smllere prbel. Vi ser her, t jo større -værdi, jo mindre p-værdi, dvs. jo tættere er brændpunktet på ledelinjen. Vi hr ltså, t prblen bliver smllere, jo tættere vi plcerer brændpunktet på ledelinjen. Vi siger ltså, t ligningen for vores prbel er: y x ; G. 1 Og her er fstnden p mellem brændpunkt og ledelinje ltså: p. 16

17 Prmeterfremstilling: Som vi så under vektorfunktioner, er prmeterfremstillingen for en prbel ret simpel, d mn sådn set blot kopierer ligningsudtrykket: x t ; t y t Differentilligning: f x x. Vi holder fst i vores ligningsudtryk og ngiver prblen ved funktionsforskriften Den fledede funktion, der fortæller os, hvd tngenthældningerne er, er så f ' x x. Vores differentilligning må derfor være: dy x dx Dette er den simplest mulige differentilligning, d vi hr et udtryk med kun en konstnt og vores ufhængige vribel på højresiden. Den kn løses ved integrtion, hvorved vi kommer tilbge til f x x f 0 0., når vi hr udnyttet begyndelsesbetingelsen Keglesnittet: Vi lder w være vinklen mellem snitplnens normlvektor og z-ksen. Prblen fremkommer så, hvis w v, hvor v er omdrejningskeglefldens ksevinkel. Krkteristiske egenskb: Den krkteristiske egenskb for en prbel er, t stråler, der flder ind i prblen med en retning vinkelret på ledelinjen, f prblen vil reflekteres ind i brændpunktet. Eller modst: Stråler, der fr brændpunktet udsender i lle retninger, vil efter refleksion på prblen bevæge sig prllelt med hinnden. Dette udnyttes bl.. i prboler, hvor rdiobølgerne kommer ind i prllelle stråler, og hvor prbolen, hvis den peger i den rigtige retning, derfor smler signlet i brændpunktet, hvor modtgeren sidder. 17

18 Mn kn også nvende det på en måde, der minder om det elliptiske loft: Vi skl nu vise denne egenskb. Vi plcerer igen prblen i et koordintsystem med toppunktet i origo og brændpunktet på den positive del f y-ksen. Og vi lder fstnden mellem ledelinjen og brændpunktet være p. Vi ved ltså, t der gælder følgende: 1 p 4 y x dy x dx Vi ser på følgende tre retningsvektorer: 0 x En for linjestykket fr xy, til F: r1 p y 0 En for linjen fr xyog, lodret op: r 1 1 x En for normlen, der peger ind i prblen: rn rt x 1 rn r1 rn r Vi skl vise, t vi får ens vinkler, og det gør vi ved t vise: r r r r Så vi regner løs: n 1 n r r r r r r r r x p y n 1 n n 1 n 1 r 1 n r1 rn r r1 r x p y I det følgende udnyttes de to øverste f de grønne smmenhænge til t få p og y væk: x p y 1 x p x x p y x p x p y py x p y 1 18

19 Og d begge sider f lighedstegnet er positive, kn mn kvdrere begge sider uden t nye løsninger opstår: 4 x p px x p y py x x x x x x x x 0 0 Vi får ltså den ønskede identitet, der fortæller os, t de to vinkler er ens unset hvilket punkt på prblen, vi tger udgngspunkt i. Hyperbel En stor del f gennemgngen f hyperblen vil minde om gennemgngen f ellipsen. Det begynder llerede i den geometriske beskrivelse, hvor der også er to versioner. Geometrisk: punkter: Givet to punkter F1 og F i en pln, er en hyperbel det geometriske sted for de punkter i plnen, hvor den numeriske værdi f differensen mellem fstndene til de to givne punkter er konstnt. De to givne punkter kldes hyperblens brændpunkter (ngivet med F1 og F ). Hyperblen (ngivet med blåt) kommer til t bestå f to dskilte dele, der kldes hyperblens grene. De to punkter, hvor linjen gennem brændpunkterne skærer hyperblen, kldes hyperblens toppunkter (ngivet med T1 og T ). Linjestykket mellem de to toppunkter kldes førsteksen, og længden f førsteksen sættes til, og midtpunktet på førsteksen kldes hyperblens centrum (ngivet med C). På figuren er ngivet tre punkter P1, T og P 3, hvorf det ndet toppunkt er det ene. Vi ser på den numeriske værdi f differensen mellem fstndene fr disse punkter til de to brændpunkter: PF PF 15,83 7, T F T F P F P F 3, 6 11, Pointen er ltså, t den numeriske værdi f differensen mellem fstndene er 8, og som ngivet i udregningerne svrer det generelt til længden f førsteksen. 19

20 Punkt og linje: Givet en ret linje l og et punkt F, der ikke ligger på linjen, er en hyperbel det geometriske sted for de punkter, hvor forholdet mellem fstnden til punktet F og fstnden til linjen l hr den smme værdi e, hvor e 1. Den givne linje l kldes ledelinjen (ngivet med rødt). Det givne punkt kldes brændpunktet (ngivet med F ). Tre punkter er vlgt til t illustrere definitionen: PF 1 7,4 1,5 dist P, l 5,9 1 PF 9 1,5 e dist P, l 7, PF 3 11,4 1,5 e dist P3, l 9 Bemærk, hvor toppunktet mellem ledelinjen og brændpunktet ligger for ellipser, prbler og hyperbler. For ellipser er det tættest på brændpunktet, for prbler ligger det midt mellem ledelinjen og brændpunktet og for hyperbler ligger toppunktet tættere på ledelinjen end på toppunktet. Øvelse: Kunne mn få den smme hyperbel med udgngspunkt i en nden ledelinje og et ndet brændpunkt? e Ligning: Den geometriske beskrivelse ud fr ledelinje og brændpunkt skl nu benyttes til t udlede en ligning for en hyperbel. Vi skl ltså igen gå fr geometri til nlytisk geometri og hr derfor brug for et koordintsystem. Hyperblen lægges, så centrum ligger i origo, og brændpunktet ligger på den positive del f x-ksen: 0

21 Vi lder c være fstnden fr centrum til brændpunktet. Vi lder d være fstnden fr centrum til ledelinjen, dvs. ledelinjen beskrives ved ligningen x d. Vi hr stdig, t er den hlve førstekse, så punktet P3 mellem brændpunktet og ledelinjen l får koordintsættet P3,0. Desuden rbejder vi med punktet P vi hr et vilkårligt punkt 1,,0, der er spejlingen f P3 i førsteksens midtnorml, og P x y, der er punktet, vi skl bruge til t bestemme ligningen, d dette punkt repræsenterer smtlige punkter på hyperblen. Vores geometriske definition fortæller os, t for lle hyperblens punkter gælder, t forholdet mellem dets fstnd til brændpunktet og til ledelinjen er lig e, der er større end 1. Det giver os: PF 3 c P3 : e dvs. c e d dist P, l d 3 PF c P e c e d : dvs. dist P, l d Hvis mn lægger de to ligninger smmen, får mn: c c e d e d c e c e Trækkes den øverste ligning fr den nederste, fås: c c e d e d ed e d De to gule ligninger fortæller os også, t: c eed c e d Vi er nu klr til t se på, hvordn punktet P1 x, y kn føre os til en ligning for hyperblen: x c y 1 PF P1 : e e x c y e x d dist P, l x d 1 1 Dette er sådn set llerede en ligning, hvor konstnterne er størrelser, som vi kender betydningen f, men vi vil gerne hve den skrevet på en form, så den kommer til t minde mere om ellipsen, selvom vi dermed er nødt til undervejs t indføre en størrelse b, som vi ikke hr set på i forbindelse med hyperbler. Vi regner derfor videre på udtrykket ved i første omgng t nvende den. kvdrtsætning: x c cx y e x e d e dx x c y e x e d 1 e x y e d c 1e x y e d c e d c e d c e d c 1e x y 1 e c 1e x y 1 1 e c x y 1 b I sidste skridt indførte vi størrelsen b ved b c. D c, ved vi, t det er en mulig definition, og vi vælger desuden ligesom med lle de ndre størrelser t kræve b 0. Vi hr ltså vist, t en ligning for en hyperbel er: x y 1,, b, G b

22 Hvis b, kldes hyperblen ligesidet. k Vi er tidligere stødt på hyperbler beskrevet med ligninger på formen y. Dette ligner jo ikke helt x vores udledte ligning, men vi vil nu vise, t det netop er en nden form f ligningen for en ligesidet hyperbel, der er roteret med 45 omkring origo. Vi begynder med rottion i positiv retning (dvs. mod uret): Som bekendt roterer vi omkring origo med vinklen w ved t ersttte x med xcos w y sin w og y med ycos w x sin w. 1 Vi ved, t cos 45 sin 45. Vi roterer derfor på vores ligesidede hyperbel (hvor b) ved: x y y x x y y x x y x y y x y x xy y x k Vi ser, t dette netop svrer til ligningen y, hvor k er en positiv konstnt. Denne hyperbel x hr ltså grenene plceret i 1. og 3. kvdrnt. En rottion med 45 omkring origo i negtiv retning (med uret) giver os, når vi udnytter, t 1 1 cos 45 og sin 45 : x y y x x y y x x y x y y x y x xy y x k Vi ser, t dette netop svrer til ligningen y, hvor k er en negtiv konstnt. Denne x hyperbel hr ltså grenene plceret i. og 4. kvdrnt. k Opsmling: Vores gmle ligning y beskriver ltså kun ligesidede hyperbler, mens ligningen x x y 1 giver os lle hyperbler, når de lægges på den ngivne måde. Vi kn b derefter som ltid med ligninger nvende isometrier (dvs. prllelforskyde, spejle omkring kserne og rotere omkring origo). F.eks. kn vi prllelforskyde vores hyperbel med centrum i origo, så den får centrum i hk,, og 1 denne nye hyperbel beskrives ved ligningen x h y k b

23 Vi mngler stdig t vise, t vores ligning svrer til den geometriske definition, der tger udgngspunkt i to brændpunkter. Hyperblen indtegnes derfor med centrum i origo og brændpunkterne på x-ksen. Hyperblens ligning er indrmmet med sort, mens to smmenhænge, der skl nvendes undervejs, er indrmmet med rødt: Vi vil ltså vise, t for ethvert punkt på hyperblen er den numeriske værdi f differensen mellem fstndene til de to brændpunkter konstnt. Der tges udgngspunkt i figuren ovenfor, så i første omgng ses bort fr den numeriske værdi, d den længste fstnd sættes først: 1 PF PF x c y x c y x c xc y x c xc y b b x c xc x b x c xc x b b b 1 x xc 1 x xc b b x xc x xc c x xc c x xc c c c c x x x x Hvis vi hvde byttet rundt på fstndene, hvde vi fået, men den numeriske værdi f dette er, og dermed hr vi vist overensstemmelsen mellem ligningen og den geometriske definition. Og vi fik vist, t den beskrevne differens netop svrer til førsteksen. Differentilligning: dy b x Vi ser på følgende differentilligning:, b,. dx y Dette ligner temmelig meget differentilligningen for en ellipse, men der er den væsentlige forskel, t der mngler et minustegn på højresiden, og der er ikke nogen betingelse med, t b skl være mindre end. Differentilligningen løses ved seprtion f de vrible, og igen er vi opmærksomme på, t vi ikke kn få hele hyperblen med, d to forskellige y-værdier kn være knyttet til den smme x-værdi, dvs. det kn ikke være grfen for en funktion. Vi ser derfor på de dele f hyperblen, der ligger over x- ksen, og vi kn derfor med det smme se, t der må komme en lidt speciel definitionsmængde, d grfen kommer til t bestå f dskilte, hlve grene: 3

24 dy b x y x 1 y 1 x x y y 0: dy dx k 1 k dx y b b b Vi genfinder her næsten vores ligning for en hyperbel. Vi mngler dog lige t bestemme konstnten, og her kn vi benytte punktet,0, der er hyperblens ene toppunkt. Det indsættes: 0 k k 1. b Hermed hr vi vist, t den ngivne differentilligning psser til vores hyperbel. Hvis differentilligningen skl løses, skl vi rbejde videre med ligningen: x y y x x x y 0: 1 1 y b 1 y b 1 b b D rgumentet under kvdrtroden skl være positivt (0 er ikke nok, d vi så hr y 0), hr vi: x f x b 1, x x Keglesnittet: Vi lder w være vinklen mellem snitplnens normlvektor og z-ksen. Hyperblen fremkommer så, hvis w v, hvor v er omdrejningskeglefldens ksevinkel. Det er først, når snitplnen bliver vinklet på denne måde, t mn får skæringer med begge hlvdele f omdrejningskegleflden. Krkteristiske egenskb: Den krkteristiske egenskb for en hyperbel hr ikke overrskende noget med vinkler t gøre. To rette hlvlinjer, der udgår fr de to brændpunkter og går gennem smme punkt på hyperblen, vil dnne ens vinkler med tngenten til grfen i dette punkt. Det betyder, t en stråle, der udsendes fr det ene brændpunkt F og går igennem den ene gren for derefter t reflekteres på den nden, vil for en igttger uden for hyperblerne se ud, som om den udgår fr det ndet brændpunkt F 1. Eller modst: Hvis en række fjender uden for hyperblen sigter efter brændpunktet F 1, vil et skjold med form som hyperblens ene gren reflektere smtlige projektiler hen i brændpunktet F. 4

25 Vi kn vise dette, d vores differentilligning hr givet os tngentens hældning i punktet. Vi hr dermed en retningsvektor for tngenten til grfen i P: 1 rt b x y Desuden er to retningsvektorer for de to linjer, der udgår fr de to brændpunkter: x c r1 og r x c y y r1 rt r rt D vinklerne skl vises t være ens, skl mn ltså vise: cos v. r r r r Omskrevet giver det: t t r r r r r r t b b x c x x c y x c x x c y b b x c x c xc y x c x c xc y Argumenterne under kvdrtrødderne smt brøkerne genkender vi fr vores rbejde med hyperblens ligning, så ovenstående ligning kn omskrives til: c c c c x c x x c x 3 3 c c c c c c x x x c x x x c Vi får ltså den søgte identitet, der viser os, t de to vinkler er lige store. t 5

26 Keglesnitsligninger generelt Vi hr set følgende ligninger for keglesnit, hvor konstnterne hr forskellige betydninger, der ikke er relevnte i denne smmenhæng: Cirkel: x Ellipse: Prbel: x y r y b y x 1 x y Hyperbel: 1 b Vi husker nu på isometrierne (prllelforskydning, spejling, rottion), og vi kn se, t hvis vi inddrger prllelforskydninger, hvor mn ersttter x med x hog y med y k, smt spejlinger, hvor fortegnene på x eller y ændres, og endelig rottioner, hvor x erstttes f xcos w y sin w og y f ycos w x sin w, så får mn, t smtlige keglesnit kn skrives på formen: x by cxy dx ey f 0, der er en generel ndengrdsligning i to vrible, og grferne er ndengrdskurver. Ud over keglesnittene kn ovenstående ligning også repræsentere et punkt eller en ret linje. Disse kldes udrtede keglesnit. Hvis ligningen forkortes med f, kn vi se, t der er 5 konstnter, der er fgørende for hvilken slgs keglesnit, vi får med t gøre. For t bestemme disse 5 konstnter skl mn kende 5 lineært ufhængige ligninger, og disse kn opstilles ud fr 5 punkter. Dvs. t et keglesnit er entydigt bestemt ved 5 punkter i plnen (hvis der ikke blndt disse er tre punkter, der ligger på linje). Dette hr udviklerne f Geogebr udnyttet. Øvelse: Leg med Geogebrs keglesnit gennem 5 punkter. Prøv t rmme en cirkel eller en prbel. Hvor nemt er det? Mn kn ltså sige, t keglesnittene hr 5 frihedsgrder. Selve nvnene ellipse, prbel og hyperbel betyder henholdsvis udeldelse, smmenligning og overdrivelse. På denne måde nvendes de i dnsk om forskellige tlefigurer. I mtemtik hentyder nvnene så vidt jeg hr forstået til nvendelser i forbindelse med t finde reler, hvor ellipser åbenbrt hr givet for lidt, prbler det rigtige og hyperbler for meget. Hvis du vil vide mere om dette, må du nskffe dig Apollonius Keglesnit. 6

27 BANEKURVER Kepler kom ved hjælp f Tycho Brhes målinger frem til, t plneter bevæger sig i ellipsebner med Solen i det ene brændpunkt. Newton kunne bevise, t sådn vil objekter bevæge sig i et tyngdefelt, der ftger med kvdrtet på fstnden. Plneterne i Solsystemet bevæger sig i ellipsebner med forskellige excentriciteter. Merkurs bne er med excentriciteten 0,1 den mest fldtrykte ellipse. Venus bne kommer med excentriciteten 0,007 tættest på en cirkel. Men objekter kn også bevæge sig i hyperbelbner omkring et himmellegeme og i teorien også i en prbelbne. Det fgørende for dette er den mekniske energi i det pågældende to-legemesystem. Vi klder her de to legemer for Solen og Jorden, men det kunne også være ndre tolegemesystemer. Den mekniske energi er summen f potentiel og kinetisk energi: E E E mek pot kin Nulpunktet for den potentielle er vlgt, så den potentielle energi er 0, når Solen og Jorden er uendelig lngt fr hinnden. Dette gør, t den potentielle energi hele tiden er negtiv, d den potentielle energi øges, når fstnden mellem legemerne øges. Den kinetiske energi er 0, når Jorden står stille (i det pågældende system, dvs. i forhold til Solen), og den er derfor positiv, når Jorden bevæger sig. Det fgørende for, om den mekniske energi er negtiv, 0 eller positiv, er derfor de numeriske værdier f potentiel og kinetisk energi. Der er følgende muligheder: Emek 0. Ellipsebevægelse. Systemet er bundet. Den kinetiske energi er mindre end den numeriske værdi f den potentielle energi, og det lille legeme hr ltså ikke frt nok på til t kunne komme fri f det store legeme. Dette gælder for lle systemer f dobbeltstjerner, stjerneplnet og plnet-måne. Også kometer hr ellipsebner. De er bre meget fldtrykte, dvs. de hr excentriciteter tæt på 1. Emek 0. Prbelbevægelse. Dette er mere en teoretisk end en prktisk bnekurve. Det er ikke sndsynligt, t et legemes kinetiske og potentielle energi skulle være numerisk nøjgtigt lige store. 0 mek E Hyperbelbevægelse (selvfølgelig kun lngs én f grenene). Systemet er frit. Det lille legeme hr så meget frt på, t det kn undslippe det store. 7

28 GAUDÍ OG OMDREJNINGSFLADER Antoni Gudí ( ) vr en spnsk/ctlnsk rkitekt, der stod bg mnge bygninger i Brcelon heriblndt den ufærdige kirke L Sgrd Fmili. Gudí nvendte usædvnlig meget mtemtik i sin rkitektur, og det er en del f den, vi nu skl beskæftige os med. Gudís rkitektur hører under modernismen, og den hr ikke ltid været lige velset. Keglesnittene er plne figurer, der kn dnnes som snit i den rumlige figur en omdrejningskegleflde. Men det kn også gå den modstte vej, t mn begynder med plne figurer og ud fr dem dnner rumlige figurer, hvilket vi llerede hr set inden for vektorgeometrien i forbindelse med omdrejningslegemer. Ellipsoider: Vi begynder med omdrejningsellipsoiden. Det er den rumlige figur, der fremkommer, når en ellipse roteres omkring en f sine kser, dvs. enten storksen eller lilleksen. Vi husker, t hvis vi plcerer ellipsens centrum i origo og lægger storksen på x-ksen, så kn ellipsen beskrives ved ligningen: x y, b 1 hvor er den hlve storkse og b den hlve lillekse. Hvis ellipsen roteres omkring storksen, får mn en omdrejningsellipsoide bestemt ved ligningen: Eksempel: x y z b b 1 (Mn lver 3D-plot i Mple ved t højreklikke på ligningen og under plots vælge 3-D Implicit Plot ). 8

29 Hvis ellipsen roteres omkring lilleksen, får mn en omdrejningsellipsoide bestemt ved ligningen: Eksempel: x y z b 1 Omdrejningsksens endepunkter kldes polerne (unset om det er storksen eller lilleksen, der er roteret omkring), og den cirkel, som den nden kses endepunkter dnner, når ellipsen roteres, kldes for ækvtor. Bemærk, t det er fuldstændig i overensstemmelse med vores sprogbrug i forbindelse med jordkloden. Husk, t vi hr lgt storksen ud d x-ksen og lilleksen ud d y-ksen. Vores poler vil derfor enten komme til t ligge på x-ksen eller y-ksen, mens ækvtor vil ligge i yz-plnen eller xz-plnen. Ld os se på nogle snitflder, ligesom vi så på snit i forbindelse med omdrejningskegleflden. Vi tger udgngspunkt i omdrejningsellipsoiden med ligningen: x y z b b 1 Dvs. vi hr roteret ellipsen omkring storksen. Vores poler ligger så på x-ksen, mens ækvtor ligger i yz-plnen. Vi ser først på et snit med en pln, der er prllel med ækvtor. En sådn pln hr ligningen x og indst i ellipsens ligning får mn: k y z y z k k 1 1 y z b 1 b b b b Dette er ligningen for en cirkel i en pln prllel med yz-plnen med centrum i det nye 9 k, koordintsystems origo og rdius r b 1 k. Vi bemærker her, t k skl være mindre end, hvis vi skl hve et positivt rgument under kvdrtroden, hvilket stemmer med, t vi kun får en cirkel, hvis snitplnen ligger inden for polerne. Vi ser desuden, t vores snit får rdius b, hvis vi snitter med plnen x 0.

30 Ld os nu se på et snit med en pln, der er prllel med xz-plnen. Den hr ligningen y k, hvilket vi indsætter i ligningen for omdrejningsellipsoiden: x k z x z k x z b k x z b b b b b b b k b k b Vi ser, t dette er en ellipse i en pln prllel med xz-plnen, hvor storksen og lilleksen fhænger f snitplnen. Hvis y 0, genfinder vi vores oprindelige ellipse med den hlve storkse og den hlve lillekse b. For ndre værdier f k bliver de to kser mindre. Øvelse: Hvilken geometrisk figur får mn, hvis mn snitter med en pln prllelt med xy-plnen? Vi hr nu set på en omdrejningsellipsoide. Generelt er en ellipsoide det geometriske sted for punkterne bestemt ved ligningen: x y z 1, b c b c er den hlve storkse, b er den hlve mellemkse og c den hlve lillekse. Øvelse: Hvilken geometrisk figur får mn, hvis mn snitter med en pln, hvor normlvektoren er prllel med en f koordintkserne? Hvilken geometrisk figur får mn, hvis mn helt generelt snitter med en pln? 30

31 Prboloider Ellipsen er en begrænset figur. Det er en prbel ikke. Når mn derfor roterer en prbel omkring dens symmetrikse, får mn en ubegrænset rumlig figur kldet en omdrejningsprboloide. I prksis kn mn selvfølgelig bre skære den f et sted. Hvis mn plcerer en prbel i xz-plnen med toppunkt i origo og symmetriksen op d den positive del f z-ksen, får mn, hvis mn roterer den omkring symmetriksen en omdrejningsprboloide bestemt ved ligningen: x y z c Øvelse: Hvilken figur får mn ved snit med følgende plner: 1. En pln prllel med xy-plnen.. En pln prllel med xz-plnen. 3. En pln prllel med yz-plnen. 31

32 Elliptisk prboloide: Vi skl nu hve indført begrebet retningspln, som vi skl bruge i nogle f de følgende figurer. En retningspln er en pln, vi forestiller os plceret i et koordintsystem eller rummet, således t vi kn beskrive retningerne ud fr den. Vi kn f.eks. sige, t en ret linje skl bevæges, så den hele tiden er prllel med retningsplnen. Det giver mulighed for, t den kn rotere lige så tosset den vil omkring en kse prllel med retningsvektorens normlvektor, men lle punkter på linjen vil hele tiden hve smme fstnd til plnen. Vi forestiller os nu, t retningsplnen er prllel med xz-plnen, og t vi hr en fst prbel i yzplnen med toppunkt i origo og symmetriksen på z-ksen og med benene pegende opd. En nden prbel prllel med retningsplnen og også med benene pegende opd, glider nu med sit toppunkt plceret på den fste prbel hen lngs denne (og hele tiden prllelt med retningsplnen). Denne prbel vil således dnne en elliptisk prboloide, der er bestemt ved ligningen: Eksempel: x y z b c Øvelse: Hvilken figur får mn ved snit med følgende plner: 1. En pln prllel med xy-plnen.. En pln prllel med xz-plnen. 3. En pln prllel med yz-plnen. 3

33 Hyperbolsk prboloide: Vi gør nu som med den elliptiske prboloide, bortset fr, t den løbende prbel nu hr benene pegende nedd (den fste prbel hr stdig benene pegende opd). Vi får dermed en hyperbolsk prboloide bestemt ved ligningen: x y z b c Øvelse: Hvilken figur får mn ved snit med følgende plner: 1. En pln prllel med xy-plnen.. En pln prllel med xz-plnen. 3. En pln prllel med yz-plnen. Den hyperbolske prboloide ser jo temmelig glt ud, men som ovenstående to billeder viser, kn den fktisk også frembringes f rette linjer. Den er hermed en såkldt retlinet flde. Fktisk er det en dobbelt retlinet flde, d der gennem hvert punkt på flden går to rette linjer, hvilket også fremgår f ovenstående billeder. Definition: En retlinet flde er en flde, hvor der gennem hvert eneste punkt på flden går en ret linje, der ligger i flden. Alle disse rette linjer kldes frembringere. 33

34 Hvælvingen i L Sgrd Fmili. Det skulle være en hyperbolsk prboloide. 34

35 Konoider Der er forskellige slgs retlinede flder, og det er muligvis ikke lle slgs, der hr et dnsk nvn. Så jeg ved ikke, om ctlnflder findes på dnsk, men de skulle i hvert fld være opkldt efter den belgiske mtemtiker Eugène Chrles Ctln ( ). En ctlnflde er en retlinet flde, hvor lle frembringere er prllelle med en given retningspln. Og blndt disse skl vi se på konoider: Definition: En konoide er en ctlnflde, hvor lle frembringere hr et punkt fælles med en given ret linje. Den hyperbolske prboloide er et eksempel på en konoide. Kig på billedet side 33 med hånden. Hver f pindene, der peger den ene vej, kn bruges som den givne rette linje, som frembringerne, der så er lle pindene, der peger den nden vej, hr et punkt fælles med. Et ndet eksempel på en konoide er tget på skolen ved L Sgrd Fmili: 35

36 Helikoider En helix er en kurve i rummet, der som vektorfunktion er givet ved forskriften: x r cos t y r sin t ; t z t r er rdius i den cirkel, mn ser, når mn kigger oppe fr z-ksen. Jo større er, jo mere lngstrkt bliver helixen. En dobbelthelix kendes fr DNA: Mn kn også sige, t en helix er den kurve, der dnnes f det ene endepunkt f et linjestykke, når det bevæger sig prllelt med en retningspln, og når det ndet endepunkt bevæger sig med konstnt hstighed ud d en linje vinkelret på retningsplnen og smtidig roterer med konstnt vinkelhstighed. 36

37 En helikoide er så den flde, der dnnes f hele linjestykket. En helikoide kldes også en vindelflde eller en skrueflde. Der lder dog ikke til t være helt enighed om denne definition. I hvert fld er de fleste billeder, der skl illustrere en helikoide f typen nedenfor, der er flder dnnet mellem dobbelthelixer, dvs. hvor det bevægende linjestykke hr sit centrum på linjen vinkelret på retningsplnen. Denne flde kendes fr Archimedesskruen. Men definitionen fører til nedenstående flde, der er et eksempel på en minimlflde, hvilket er den flde med en given rndkurve (her helixen), der hr det mindste rel. Minimlflder er et emne, der kn behndles inden for den såkldte vritionsregning. Her kn mn også f.eks. vise, t cykloiden er brchistochronen, dvs. kurven der giver den hurtigste vej fr A til B i et homogent tyngdefelt (jf. Glilei-museet og mtemtikmuseet i Firenze). Hvis mn ikke vil regne på tingene, kn mn bruge sæbevnd til t finde minimlflderne (se ovenstående billede). Ved t rotere kvdrtiske flder med smme højde kunne Gudí konstruere helikoidle søjler. Det er en konstruktion, hvor knterne dnner en slgs dobbelt dobbelthelix (en qudrihelix?). Det er ltså ikke en helikoide. Sommetider hr Gudí vist også bre ldet sig inspirere f en helikoide (billedet til højre nedenfor): 37

38 Ktenoider En nden minimlflde er ktenoiden. En pln er en triviel minimlflde, der giver det mindste rel, hvis mn hr en lukket kurve i plnen, som flden skl hve som rnd. Ktenoiden vr den første ikke-trivielle minimlflde, der blev opdget og beskrevet. Det vr Leonhrd Euler ( ), der fndt den. Udgngspunktet for ktenoiden er en kædelinje. En kædelinje er den kurve, der dnnes f en (homogen) kæde, der hænger mellem to punkter. Gudí nvendte kædelinjer, når hn skulle finde formene til sine konstruktioner. Fr Cs Milà. 38

39 Ved t hænge lodder i kæderne kunne Gudì dnne trnsformerede kædelinjer. Hele pointen er, t kæderne er påvirket f trækkræfter, og lodderne nvendes til t vriere trækkræfterne. Når mn så lver en konstruktion, kommer der trykkræfter på konstruktionens dele, men dette er blot en slgs spejling f situtionen, og ved t hve nvendt nogle pssende lodder, hr konstruktionen fået den optimle form med hensyn til bæreevne. En ktenoide er den flde, der fremkommer, når en kædelinje roteres omkring sin ledelinje. Ktenoiden er som nævnt en minimlflde, og dermed kn den dnnes med sæbevnd. 39

40 Hyperboloider Som sidste type flde går vi væk fr minimlflderne, men vender tilbge til de retlinede flder. Vi skl se på hyperboloider. Vi begynder med omdrejningshyperboloiden, der er den flde, der dnnes, når en hyperbel roteres omkring førsteksens midtnorml: Det minder om ktenoiden, men det er en nden form, og som nævnt er det en retlinet flde. Mere generel er en elliptisk hyperboloide, der også er en retlinet flde, og som er givet ved ligningen: x y z 1 b c Øvelse: Hvilken figur får mn ved snit med følgende plner: 1. En pln prllel med xy-plnen.. En pln prllel med xz-plnen. 3. En pln prllel med yz-plnen. 40

41 Slmnder i Prk Güell Fr Sgrd Fmili 41

42 Cs Milà L Sgrd Fmili 4

43 43

44 44

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks Formelsmling for mtemtik niveu B og A på højere hndelseksmen Appendiks April Mtemtik B Procentregning Procentvis vækst Værdien f en given vriel x liver ændret fr x til x 1. Den %-vise vækst eregnes ved:

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere