Håndtering af TI-89 på AK

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Håndtering af TI-89 på AK"

Transkript

1 Håndtering af TI-89 på AK INGENIØRHØJSKOLEN I ÅRHUS Adgangskursus 2. semester April 2003 Klasse: Gruppen: A11 Søren Rasmussen Ulrich Bærentsen Edin Omic Jan Pedersen Vejledere: Laurids Østergaard Jette Iversen

2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...1 Indledning...3 Vejledning til brug af lommeregner TI Hovedskærmen på TI Parenteser...6 Brøker...7 Udvidelse bogstavudtryk...8 Numerisk værdi...8 Rødder...8 Løsning af ligninger af forskellig grad...9 Ligning med begrænsning...10 Uligheder...11 Linjers skæring...12 Sinus, cosinus og tangens...13 Faktorisering af bogstavudtryk med en variable...15 Logaritmefunktioner...15 Afledte funktioner...17 Grænseværdi...17 Differentiation (den afledte funktion)...17 Variable...18 Definerede og udefinerede variabler...18 Grundlæggende grafik...19 Window...19 Graf indstillinger...20 Zoom...21 Trace...22 Regraph...23 Math...23 Draw...26 Pen...27 Specielle graf funktioner

3 Generalt...28 Sammensatte funktioner...28 Stykkevise funktioner...29 Betingelser...31 Inverse funktioner...31 Parameterkurver...32 Kildefortegnelse...34 Funktionsliste

4 Indledning Vi har på adgangskurset på ingeniørhøjskolen erfaret at både på adgangskurset såvel som på ingeniørstudiet med fordel kan benytte en TI 89 grafregner i undervisningen. Vi har fundet det meget svært at komme rigtigt i gang med at bruge den da de manualer som er tilgængelige enten er for omfattende eller for utilstrækkelige. På baggrund af dette og fordi det kan lette det daglige arbejde at lære mere om grafregneren har vi besluttet at lave en manual for nybegyndere til TI 89 grafregneren. Vi har valgt at begrænse os til det stof vi til dato har gennemgået i matematikundervisningen da det vil være meget vanskeligt for os at gennemgå emner vi ikke selv har modtaget undervisning i. Manualen er blevet til i samarbejde mellem 4 studerende som har lavet hver sin del individuelt for til sidst at samle og redigere i fællesskab. Manualen er blevet et godt værktøj til at komme ind i de grundlæggende funktioner. De emner som ligger ud over begynderniveauet samt overflødige funktioner er sorteret fra. Det har bevirket at du her står med en enkelt koncentreret manual. Vi håber denne manual vil kunne hjælpe andre nybegyndere godt i gang med TI 89. 3

5 Vejledning til brug af lommeregner TI-89 Hvor de mest brugte funktioner og taster befinder sig. Y= Bruges til indtastning af forskrifter af en graf. [ ] [ F1 ] Window Bruges til indstilling af grafvinduet. [ ] [ F2 ] Graph Bruges til at tegne graf. [ ] [ F3 ] Table Bruges til at lave tabel over funktioner. [ ] [ F5 ] Mode Indeholder liste over tilstande og deres aktuelle indstilling. [MODE] Catalog Indeholder liste over alle kommandoer. [catalog] Var-Link Giver tabel over det variable man har i sving. [2nd] [ - ] Custom Bruger defineret MENU. [2nd] [HOME] Units Bruges til at tilføre en enhed til et tal. [2nd] [ 3 ] Abs( Absolut eller numerisk værdi. [catalog] [ = ] And Bruges til at tilføje en ekstra begrænsning til regnestykket. [catalog] [ = ] [ ] >Bin Andre talsystemer. [catalog] [ ( ] comdenom Bruges til at sætte på fælles brøkstreg. [catalog] [ ) ] cos( Trigonometrisk størrelse Cosinus. [2nd] [ Z ] cos -1 ( Trigonometrisk størrelse invers Cosinus. [ ] [ Z ] >Dec Konverterer til decimaltal. [catalog] [, ] d( Differentiere. [catalog] [, ] EE Eksponent. Opløfter i 10 potens. [EE] e^ Den naturlige eksponentiel funktion. [ ] [ X ] expand( Udvider et faktoreret stykke. [F2] [ 3 ] Factor( Faktorisere et udtryk. [F2] [ 2 ] If Kommandoen hvis. [catalog] [ 9 ] int( Den hele del af et decimaltal. [catalog] [ 9 ] In Den naturlige logaritam funktion. [2nd] [ X ] Log( Logaritmefunktionen. [catalog] [ 4 ] nderive( Numerisk differention. [catalog] [ 6 ] nsolve( Løsning af nummerriske ligninger. [F2] [ 8 ] propfrac( Forkorter en brøk. [catalog] [ STO ] 4

6 rcl Hent variable. [2nd] [STO ] round( Afrunding af tal. [catalog] [ 2 ] sin( Trigonometrisk størrelse Sinus. [2nd] [ Y ] sin -1 ( Trigonometriske størrelse Invers Sinus. [ ] [ Y ] solve( Bruges til at løse ligninger [F2] tan( Trigonometrisk størrelse Tangens. [2nd] [ T ] tan -1 ( Trigonometriske størrelse Invers Tangens. [ ] [ T ] when( Bruges til at lave stykkevise funktioner. [catalog] [ ] + Addition. [ + ] - Subtraktion. [ - ] * Multiplikation. [ x ] / Division. [ ] ^ Potens. [ ^ ] = Ligheds tegn. [ = ] > Større tegn. [ 2nd ] [ ] < Mindre tegn. [ 2nd] [ 0 ] Mindre end eller lig med tegn. [ ] [ 0 ] Større end eller lig med tegn. [ ] [ ] ( Kvadratrod. [2nd] [ x ] Grader. [2nd] [ I ] π Pi (3,14) [2nd] [ ^ ], Komma. [, ] 5

7 Hovedskærmen på TI-89 I dette kapitel fortæller vi om hvordan TI-89 kan bruges som almindelig lommeregner. Grundlæggende kommandoer bliver forklaret. I kapitlerne om hovedskærmen tager vi udgangspunkt i MAT 1 og MAT 2 (til kap 3). Der bliver vist eksempler på hvordan forskellige udtryk indtastes på grafregneren, og hvordan de evt. kunne løses ved TI-89 hjælp. Parenteser Det er vigtigt at sætte parenteserne rigtigt. Eks. 1 3*4+7 = 19 3*(4+7) = 33 Du skal være opmærksom på, at når negative lige potenser opløftes, skal der også sættes parenteser. Eks. 2 Fejlindtastning: -2 2 = -4 Rigtig indtastning: (-2) 2 = 4 [( ] [( )] [2] [ )] [ ] [2] TI-89 regner det første udtryk sådan: -(2*2) = -4. Lommeregneren ser [ ] tegnet som et regnetegn. Derfor skal [(-)] bruges når der regnes med negativt fortegn. 6

8 Brøker TI-89 kan sætte et udtryk på fælles brøkstreg ved anvendelse af ComDenom(. Du finder dette udtryk i: Nyt udtryk tryk: Hvis man kun har brug for fællesnævneren, er dette også muligt. Kommandoen getdenom( bruges. Tryk: [F2] [6] [catalog] [7] [ ] [getdenom( ] [ENTER] x,y,z,t findes som taster. Bogstaver som ikke står på linien hvor x,y findes tastes således: [alpha] [vilkårligt symbol] Eks y 4x Tast: = 8x + 3y 4xy comdenom((2/y)+3/(4x)) getdenom((2/y)+3/(4x)) Det er også muligt at reducere udtryk ved hjælp af TI-89. Eks. 4 12x + 9y 6x 15y Tast: = 4 x + 3 y 2x 5y ((12x+9y)/(6x-15y)) 7

9 Udvidelse bogstavudtryk Hvis du skulle komme ud for at udvide et bogstavudtryk, kan du bruge: expand(: [F2] [3] Bogstaver tastes som tidligere. Husk parenteser!. Eks. 5 ( kvadratsætningen). (x+y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy Tast: expand((x+y)^2) Numerisk værdi Hvis der bliver brug for at regne med numerisk værdi kan komandoen [abs( ] indsættes i indtastningslinien. Tryk: Og skriv derefter udtrykket du har tænkt dig at regne. [ CATALOG] [A ] [ ]op[ ] [abs( ] [ENTER] Eks = 3 Tast: abs(4-7) Rødder Kubikrødder skrives på TI-89 som en stambrøk. Det vil sige: x 1/n = n x Tryk: [8] [ ^ ] [(] brøken [)] 8

10 Eks. 7 8= (1/2) = (1/3) = 3 8 = 2 Potenser skrives på samme måde som kubikrødderne, blot uden brøken. (Dog kun hvis eksponenter er et heltal.) Løsning af ligninger af forskellig grad Ligningerne kan løses med forskellige forudsætninger med hjælp af TI-89. Vi bruger en andengradsligning som eksempel, men disse funktioner kan bruges til forskellige ligninger. Du kan finde skæring med x akse, finde begrænsede løsninger, positive løsninger og så videre. solve( er den der vi på adgangs kurset vil bruge mest. Derfor er det denne kommando der bliver omtalt. Tryk: [ F2] [ENTER] Hvis du blot skal finde x = 0 kan kommandoen zeros( bruges. Denne kommando kan dog ikke udtrykke underforståede løsninger,uligheder, men løsningen kan dog begrænses. Derfor er solve at foretrække, men zeros( er hurtigere at bruge end solve(. Tryk: [ F2] [4] 9

11 Eks. 8 x 2 2x 6 = 2, Find x = 0: x 2 2x 8 = 0 d = (-2)2 4*1*(-8) = 36 ( 2) +, 36 X = 2*1 = 4 og (-2) Tast: solve(x^2-2x-8=0,x) Zeros(x^2-2x-8,x) Ligning med begrænsning Hvis ligningen fra forrige eksempel skulle løses i intervaller: x > 0 kan [ ] with bruges. Whit fortæller grafregneren hvilke betingelser, ligningen skal løses ud fra. Efter det første udtryk tastes der [ ] [2nd] [>] [0] Intervallet kan begrænses mere ved at benytte [and]. [catalog] [A ] [ ]op[ ] [and] [ENTER] Eks. 9 Tryk: solve(x^2-2x-6=2,x) x > 0 solve(x^2-2x-6=2,x) x > 0 and x < 5 10

12 Uligheder Uligheder løses også ved brug af solve( eller en af de andre funktioner der bruges til løsning af ligninger. Ulighedstegnene [ ],[ ],[>] og [<] bruges blot i stedet for [=]. De indtastes på denne måde; [ ] [ eller ] [2nd] [> eller<] Der kan også tilføjes et interval. Det foregår på samme måde som ved udregning af ligninger, hvor funktionen [ ] bruges. Eks. 10 4x + 8 < -3x 3 x < (-11/7) Tryk: solve( 4x + 8 < -3x 3, x) solve( 4x + 8 < -3x 3, x) x > 0 11

13 Linjers skæring TI-89 kan i hovedskærmen ved hjælp af solve( finde skærings punktet for to linier der skær hinanden. Læg mærke til at ligningen skal løses med hensyn til det rigtige symbol. Læg også mærke til at [ ] komandoen bruges. Eks. 11 2x 3y = 4, x x = 3 y x +7y = -12, y x = 3 y + 4 y = -20/11 2 x = 3 y + 4 y = -20/11 x = -8/11 2 Tast: solve( 2x 3y = 4, x ) solve( -x+7x=-12,7) x = (3y+4)/2 x = (3y+4)/2 y = -20/11 Du kan også finde skæringer for en linie og en cirkel, Parabler osv. Dette vil vi blot vise med nogle billeder. Ved 2 løsninger skal du være opmærksom på, at begge ikke løsninger kan indsættes på en gang. Før markøren op på resultatet af udtrykket. X = - (-y 2-2y +24-4) or (-y 2-2y +24)+4 12

14 Eks.12 Tryk: De bliver nu vist på indtastnings linien. Slet den ene af løsningerne med slette funktionen. Og tryk: [ENTER] [ ] [ENTER] Udfør denne fremgangsmåde en gang til med den løsning du slettede og du har begge løsninger til det ene koordinat. Deres to koordinater findes på samme måde som fremgangsmåden ovenfor. Dette kan dog gøres nemmere med graf delen af lommeregneren. Dette vises senere. Sinus, cosinus og tangens Grafregneren er nyttig til at regne med disse begreber. Der kan regnes i grader eller radianer. Du kan tjekke statuslinien for at se om din grafregner står til grader ( DEG ) eller om den står til radianer (RAD ). Ved ændring til radian mål tastes: På samme måde kan du ændre det tilbage. Et par eksempler med radianer og grader. Tryk: [mode] [ ] [ ] indtil, [angle] [ENTER] [1:RADIAN] [ENTER] [2ND] [sin(] 13

15 Eks: 13 Rad: Tast: Sin(π ) Sin(π / 2) Deg: Tast: Sin(180) Sin(90) Hvis stykket på enheds cirklen kendes, er det muligt at finde vinklen eller radianmålet. Tryk: [ ] [sin -1 (] Eks: 14 sin(x) = 1 rad x = 2 π rad Tast: Deg Tast: sin(x) = 1enhed x = 90 sin-1(1) sin-1(1) 14

16 Faktorisering af bogstavudtryk med en variable Det er muligt at opløse et udtryk i faktorer, hvis der er en variabel. Kommandoen factor( bruges Tryk: [F2] [2] Eks. 15 ( polynomier): Tast: factor( 3x ^ 4 12x ^ 3 3x ^ 2 +48x 36) factor( kan også bruges til at faktorisere rationelle tal. Eks. 16 Logaritmefunktioner Når logaritmiske ligninger og uligheder løses skal man huske på at det kun er de positive løsninger som er brugbare DVS G = R +. Kommandoerne log( ( 10 tals logaritmen), og ln( (den naturlige logaritme) kan findes i menuen catalog på tidligere forklarede måder. 15

17 Eks. 17 Løs ligningen: Log( x 3 + x ) log(x) = 1 x 2 +1 = 10 x = 3 Tast: solve(log( x ^ 3 + x) log( x) = 1,x) Det ses at grafregneren giver 2 løsninger da den opløfte ligningen til 10 potens. Det er kun 3 der er brugbar. 16

18 Afledte funktioner Grænseværdi Det er muligt at finde grænseværdien y for en given variabel i punktet x ved brug af grafregneren. Man bruger kommandoen limit(. Det kan være en god hjælp hvis man er i tvivl om man har reduceret rigtigt på papiret ved et svært regnestykke. Tryk: [F3] [4] Eks. 18 Vi vil vise at funktionen f(x) = -x 2 + 2x +3 er differentiabel i et punkt. Trin 1: y = f( x 0 + h ) f( x 0 ) y = - h 2-2 x 0 h + 2h Trin 2: y/h = -h -2 x 0 +2 Trin 3: Findes lim y/h ( dette kan grafregneren regne) Tast : limit( - h 2x + 2, h, 0 ) limit( - h 2x + 2, x, 2 ) De to nederste udregninger er lavet udelukkende for at vise den afledte funktions hældning i punkterne 2 og 0. Differentiation (den afledte funktion) Hvis du har en funktion som er differentiabel i et punkt kan du nemt finde de funktioner som kan afledes i punktet. I stedet for regning med grænseværdier kan funktionen indtastes direkte ved brug af Kommandoen d( kan findes både i calc menuen og ved hjælp af knappen [2nd]. Calc tryk: 2nd tryk: [F3] [1] [2nd] [ d ] Eks

19 Variable Definerede og udefinerede variabler Det er vigtigt at forstå virkningen af disse. Hvis du har defineret (uden at vide det) et symbol kan du ende med et forkert resultat. Hvis du skal definere et symbol trykkes: [vilkårligt værdi] [sto ] [symbolet der skal defineres] Hvis du skal slette et defineret symbol : [catalog] [ ]op[ ] [Delvar] [ENTER] Eks. 20 Tast: 2[alpha] a + a + y 5 [sto ] a 2[alpha] a + a + y Delvar a 2[alpha] a + a + y Du kan hurtigt tjekke om et symbol er defineret: Eks. 21 Tast: Udefineret defineret a d 18

20 Grundlæggende grafik Dette kapitel vil lede dig gennem de grundlæggende funktioner på grafregnerens grafik side. Godt at vide Har du sat grafregneren til at tegne en graf som du fortryder, kan du trykke [ON] og dernæst gå videre til den funktion du ville have bruge. Grafregneren afsætter punkter med et interval som du selv fastsætter i window under xres ([ ] [WINDOW]) mellem disse punkter tegner den grafen. Det kan resultere i at grafregneren kommer til at tegne en linje hvor der ikke skal være en. Som eksempel kan vi tage Tan(x) den vil aldrig komme til at ligge i punktet 0,5pi*2p, men i skærmbilledet vil der vises en streg. Se Eks. 22 og læg mærke til at der ingen Y-værdi er defineret for 0,5pi. Det er også grunden til at du i Eks. 22 vil se at grafen umiddelbart ikke kommer helt ned til x- aksen. Standard vinduet er x- og y-værdier = 10, -x- og -y-værdier er = -10, hvilket betyder skærmbilledet går fra -10 til +10 i både x og y retning. x- og y-scl = 1 betyder at der er 1 enhed mellem punkterne på x og y aksen. x-res = 2 betyder at grafregneren afsætter punkter til at tegne efter med en afstand af 2 pixels mellem hver. Jo lavere man sætter x-res jo mere præcis bliver skærmbilledet, laveste mulige x-res værdi er 1. Eks. 22 Eks. 23 Det er de lodrette linjer som egentlig ikke burde være der Window [ ] [F2] Indstilling af det vindue man ønsker grafen tegnet i kan ske med de forudindstillede funktioner som ligger under Zoom menuen. Zoom menuen vil senere blive gennemgået, men det er selvfølgelig også muligt at indstille vinduet manuelt. Vi ønsker et vindue fra -10 til 10 på x- og y-akserne (x og y max. og min.), med hvert trin ad akserne på 1 enheden (x og yscl) og xres altså hvor fin eller grov grafen skal være til 2 på en skala fra 1 til 10 Trin Indtast på grafregner Eks. 23 Vælg Window menuen [ ][WINDOW] Sæt xmin hvor langt den negative del af x-aksen skal være [(-)][1][0] Sæt xmax hvor lang den posektive del af x-aksen skal være [ ][1][0] Sæt xscl hvor meget et trin ad x-aksen skal være [ ][1] Sæt ymin hvor lang den negative del af y-aksen skal være [ ][(-)][1][0] Sæt ymax hvor lang den posiktive del af y-aksen skal være [ ][1][0] Sæt yscl hvor meget et trin ad y-aksen skal være [ ][1] Sæt xres hvor fint grafen skal tegnes på en skala fra 1 til 10 [ ][2] 19

21 Graf indstillinger I dialogboksen er der 5 indstillingsmuligheder, hvor de 2 vil blive gennemgået. Det vil være: 1: function arbejde med grafer af almindelige funktioner (y= ax + b) og geometriskefigure 2: parametric Parameterkurvers ligninger består af en x- og en y-komponent, som begge udtrykkes som funktioner af samme uafhængige variabel t. Du kan anvende parameterkurver til at tegne et tidsafhængigt forløb Arbejder man i parametric er det ikke alle funktioner som bliver omtalt i dette kapitel der er tilgængelige, men de som er fungerer som omtalt under function. Parametric findes således. Trin Vælg Parametric indtast på grafregner [MODE][ ][2][ENTER] Som eksempel til at demonstrer de forskellige funktioner som ligger i grafregneren vil vi bruge en cirkel med radius 5 og med centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt hvilket giver ligningen y= r 2 + x 2 samt en ret linje med ligningen y=2x+4. Vi ser på 1:function da den har flest muligheder Eks. 24 Eks. 25 Cirklen ligner en ellipse fordi afstanden mellem punkterne på x og y aksen ikke er lige stor. Trin Indstil hvilken type graf du vil arbejde med. Vi vil starte med at se på 1: function Dette løses ved taste [F2] [5] se forklaring under Zoom Indtast på grafregner [MODE] [ ] [1eller2] [MODE] [ ] [1] [ENTER] Eks. 24 Tegn en cirkel med radius 5 Start med at sætte radius til 5 Tegn øverste del af cirklen Grafregneren tegner pr. definition en cirkel ad som to funktioner hvor den nederste er den øverste med modsat fortegn Tegn den nederste del af cirklen [5] [STO>] [alpha] [R] [ ] [Y=][ENTER] [2nd] [ ] [alpha] [R] [^] [2] [-] [x] [^] [2] [)] [ENTER] [ENTER] [(-)] [Y] [1] [(] [x] [)] [ENTER] Tegn en linje med ligningen Y=2x+4 [2][x][+][4] Tegn en funktion i et standart vindue: [F2] [6] 20

22 Du har nu flere muligheder for at for at bruge, undersøge og regne på funktionen. Vi vil nu gennemgå grafregnerens Zoom, Trace, Regraph, Math, Draw og Tegnefunktioner. Zoom [F2] Undermenuen Zoom har 11 valgmuligheder hvor vi kort vil beskrive hver enkelt og dernæst vise praktisk brug af de mest gængse. Punkt i menu funktion 1: ZoomBox du kan lave en ramme og zoome ind på indholdet 2: ZoomIn du kan lave et nyt centrum for skærmen og zoome ind på det 3: ZoomOut du kan lave et nyt centrum for skærmen og zoome ud fra det 4: ZoomDec centrer begyndelses punkt og gør hvert trin ad x- og y-aksen = 0,1 5: ZoomSqr justere vinduet så et trin på x svare til et trin på y akse (se eks. 1) 6: ZoomStd justere til en hver tid vinduet tilbage til standart (se note 1) 7: ZoomTrig justere vinduet så det passer til triognomiske funktioner (se?) 8: ZoomInt giver mulighed for at vælge nyt centrum, ændre xscl og yscl til 10 og gør hvert trin ad akserne = 1 9: ZoomData justere vinduet til fordel for statistiske tegninger A:ZoomFit justere vinduet så skærmbilledet passer til funktionen B:Memory du kan gemme for senere at åbne samme vindue. Du har mulighed for at gemme et vindue inden du f.eks. begynder at redigere i det. Memory giver også mulighed at gentegne skærmbillede som det så ud før sidste Zoomning ved at anvende ZoomPrev C:SetFactors du kan bestemme hvor meget ZoomIn og ZoomOut skal Zoome med Vi tager udgangspunkt i eksempel 1 hvor vi vil starte med at se på ZoomBox (eks.3), ZoomIn (eks.4) og ZoomOut (eks.5) som kan være nyttig hvis man kun ønsker at se en lille del af skærmbilledet. Eks. 26 Eks. 27 og 28 Indram det ønskede område. Flyt markøren til det nye centrum. Trin Indtast på grafregneren Eks. 26 Vælg ZoomBox [F2] [1] Flyt courseren til et hjørne af det felt du ønsker forstørret [ ][ ][ENTER] Flyt den dernæst til det diagonale hjørne [ ][ ][ENTER] Eks. 27 Vælg ZoomIn [F2][2] Vælg et centrum for skærmbilledet det sted du ønsker at Zoome ind [ ][ ][ENTER] 21

23 Eks. 28 Vælg ZoomOut [F2][3] Vælg et centrum for skærmbilledet det sted du ønsker at Zoome ud [ ][ ][ENTER] Eks. 29 Eks. 30 Et eksempel hvor det ser ud til at grafen ikke røre x-aksen som forklaret under Godt at vide. Funktionen er smart hvis man ikke ved hvilket område en graf vil befinde sig. Trin Indtast på grafregner Eks. 29 Vælg ZoomDec som er magen til ZoomIn her laves x- og y-aksernes værdi om til decimal tal med en decimal [F2][4] Eks. 30 Vælg Zoomfit for at være sikker på at have grafen i skærmbilledet [F2] [a] Trace [F3] Grafregnerens trace funktion bruges til at spore en graf. Har man flere grafer i samme skærmbillede kan funktionen være nyttigt til at kende forskel mellem dem. Hver funktion har et nummer efter hvilken linje man tastede funktionen ind på i y-editoren, dette tal vil stå i øverste højre hjørne i skærmbilledet (Eks. 31). Trace funktionen kan også bruges til at definere en eksakt y værdi til en vilkårlig x værdi. Eks. 31 Eks. 32 Her er det funktion 3 som er sporet Funktion 3 skære y-aksen i 4 Trin Eks. 31 Spor graferne. Vælg Trace og blader mellem funktionerne med piletasterne (se tallet øverst til højre) Indtastning på grafregner [F3][ ] 22

24 Eks. 32 Find y-værdien på funktion 3 ved x-værdi på 0 Vælg Trace, blader til funktion 3 og tast 0 [F3][ ][0][Enter] Regraph [F4] Med denne funktion kan du gentegne funktione, det kan være nyttigt hvis man har ændret i grafen og ønsker den tilbage i sin oprindelige form. Math [F5] I math funktionen har du mulighed for at få grafregneren til at finde forskellige nyttige punkter som for eksempel toppunkt, nulpunkt, skæringspunkter og finde tangenter. Vi vil beskrive de enkelte underpunkter i Math menuen og derefter regne eksempler med de mest gængse. Punkt i menu funktion 1: Value finder y-værdien til en given x-værdi i den først tegnede funktion i y-editoren med pilende kan du bladre mellem de tegnede funktioner 2: Zero finder et nulpunkt inden for et givet interval 3: Minimum finder minimum inden for et givent interval 4: Maximum finder maximum inden for et givet interval 5: Intersection finder skæringspunkt mellem to grafer 6: Derivatives finder differentialkvotienten i et punkt 7: f (x) dx finder det tilnærmede numeriske integral over et interval 8: Inflection finder vendepunktet på en kurve, hvor funktionens anden afledte ændre fortegn 9: Distance finder afstanden mellem to punkter A:Tangent tegner tangenten til et punk tog kommer med tangentens ligning B:Arc finder bue længden mellem to punkter langs en kurve C:Shade skravere områder omkring en graf eller et intervar mellem to grafer Vi tager igen udgangspunkt i vores cirkel og linje som tidligere for at se på hvordan de forskellige punkter virker. De første fire vil være Value, Zero, minimum og maximum Eks. 33 Eks. 34 y-værdien til x-værdien 2 Trin Eks. 33 Value. y-værdien til x-værdien 2 y-værdien på de andre funktioner Zero, min og max fungere efter samme princip. Indtast på grafregner [F5][1][2][ENTER] [ ] 23

25 Eks. 34 Zero, Minimum og Maximum. Funktion 3 s skæring med nul Vælg Zero og find funktion 3 Afsæt et punkt med y-værdi under nul Afsæt et punkt med y-værdi over nul [F5][2][2* ] [ ][ENTER] [ ] [ENTER] Funktion 2 s minimul Vælg minimum og find funktion 2 Afsæt et punkt til venstre for grafens laveste punkt Afsæt et punkt til højre for grafens laveste punkt Funktion 1 s maximum Vælg maximum og find funktion 1 Afsæt et punkt til venstre for grafens højeste punkt Afsæt et punkt til højre for grafens højeste punkt [F5][3][ ] [ ][ENTER] [ ][ENTER] [F5][4] [ ][ENTER] [ ][ENTER] Intersection og Derivatives Vi vil finde skæringspunktet mellem funktion 1 (den øverste halvdel af cirklen) og funktion 3 (linjen) Eks. 34 og derefter finde differentialkvotienten i punktet 2,? Eks.35 Eks. 35 Eks. 36 Punktet hvor de to funktioner skære hinanden tangent hældning i x = 2 Trin Eks. 35 To funktioners skæringspunkt Vælg intersection Vælg kurve 1 og 3 Afsæt et punkt til venstre for skæringspunktet Vælg et punkt til højre for skæringspunktet Eks. 36 Differentialkvotienten i x = 2 Vælg derivatives Vælg punktet hvor du ønsker at kende differentialkvotienten Indtast på grafregner [F5][5] [ENTER][ ][ENTER] [ ][ENTER] [ ][ENTER] [F5][6][1] [2][ENTER] 24

26 Distance og Tangent Vi vil bestemme en afstand mellem to punkter og derefter finde tangenten til x-værdien 4 på funktion 2. Eks. 37 Eks. 38 Afstanden fra x-værdien -3 på funktion 1 Ligningen til Tangenten for x-værdien 4 på til x-værdien 2 på funktion 2 funktion 1 Trin Eks. 37 Afstand mellem to punkter Vælg distance Vælg det punkt du ønsker afstanden målt fra Vælg det punkt du ønsker afstanden målt til Eks. 38 Bestem tangenten på funktion 1 til x-værdien 4 Vælg Tangent Vælg det punkt du ønsker tangenten Indtastning på grafregneren [F5][9] [(-)][3][ENTER] [ ][2][ENTER] [F5][alpha][A] [4][ENTER] Arc og Shade Vi starter med at gentegne for at komme af med tangenten fra forrige eksempel. Nu vil vi bestemme hvor langt der er den halve vej rundt langs cirklen og dernæst skravere området mellem linjen og y-aksen i det område som ligger inden for cirklen. Eks. 39 Eks. 40 Efter at have gentegnet finder vi den halve omkreds Eller skravere et ønsket felt 25

27 Trin Eks. 39 Den halve omkreds Vælg Ace Vælg hvorfra du ønsker måling foretaget Vælg hvortil du ønsker målingen Eks. 40 Skraver et område Vælg Shade Vælg nederste funktion for det skraverede felt Vælg øverste funktion for det skraverede felt Vælg nederste niveau for det skraverede felt Vælg øverste niveau for det skraverede felt Indtastning på grafregner [F5][alpha][B] [(-)][5][ENTER] [5][ENTER] [F5][alpha][C] [ ][0][ENTER] [ENTER] [(-)][5][ENTER] [0][ENTER] Draw [2nd][F1] Her kan du tilføje forskellige former for funktioner til dit skærmbillede uden om y-editoren. Det vil sige at når du gentegner dit skærmbillede får du kun de funktioner frem som er skrevet i y-editoren, altså er funktioner tegnet i Draw en slags engangsfunktioner. Punkt i menu funktion 1: ClrDraw slet grafer som er tegnet i menuen Draw (svare til Regraph) 2: DrawFunc tegn en funktion 3: DrawInv tegn en inversfunktion 4: DravPol tegn en polær graf 5: DrawParm tegn en parameterkurve Vi vil tilføje henholdsvis en funktion og en inversfunktion til vores kendte skærmbillede Eks. 41 Eks. 42 Det kendte skærmbillede med en funktion y = -2x-4 tegnet med Trin Eks. 41 Tegn funktionen y = -2x-4 til. her også den inverse funktion af y = -2x-4 begge kan slettes med ClrDraw Indtast på grafregneren 26

28 Vælg DrawFunc Skriv ligningen for den funktion du ønsker tegnet [2nd][F1][2] [(-)][2][x][-][4][ENTER] Eks. 42 Tegn den inverse funktion af y = -2x-4 Vælg DrawInv Skriv ligningen for den funktion du ønsker tegnet Slet de to funktioner igen [2nd][F1][3] [(-)][2][x][-][4][ENTER] [2nd][F6][1] Pen [2nd][F2] Her kan du manuel tegne streger og cirkler til på dit skærm billede Punkt i menu funktion 1: Pencil du kan tegne en linje som du selv ønsker den 2: Eraser du kan slette ved at føre firkanten hen på det du ønsker slettet 3: Line du kan tegne en ret linje 4: Circle du kan tegne en cirkel 5: Horizontal du kan få en vandret linje på tværs af hele skærmen 6: Vertikal du kan få en lodret linje på tværs af hele skærmen 7: Text du kan skrive tekst til et ønsket punkt 8: Save picture du kan gemme et billede Vi vil tegne en vilkårlig linje, en cirkel og vise en horizontal linje Eks. 43 Eks. 44 En vilkårlig linje Trin Eks. 43 Tegn en vilkårlig linje Eks. 44 Tegn en cirkel Afsæt centrum Afsæt radius Vis en horizontal linje Flyt den til ønsket position Hullet i cirklen er der hvor courseren står Indtast på grafregner [2nd][F2][1][ENTER][ ]. [2nd][F2][4][ENTER] [ ][ENTER] [2nd][F2][5] [ ][ENTER] 27

29 Specielle graf funktioner Generalt Grafregneren er opbygget så variable er de samme i alle skærme og menuer. Dette er f.eks. en fordel når man skal bruge et tal fra grafskærmen i hovedskærmen. Man kan også skrive til en variabel i hovedskærmen ved at bruge tasten [STO ]. Det kan både være en graf og en værdi. Eks. 45 I stedet for at huske på det tal man har fundet når man bruger kommanoden Intersection så skriver man kun variablen for den koordinat. Hvis det er y koordinaten så kan vi se den hedder yc. Eks. 46 Hvis vi vil lagre en ligning som f.eks. 3x 2 5 på y1= tastes: (3x 2-5) [STO ] y1(x) [ENTER] Sammensatte funktioner Man kan bruge den indtastede formel i y-editoren flere steder. Hvis vi i hovedskærmen indtaster y1(x) [ENTER] og har indtastet en formel i y-editoren på den plads så vil lommeregneren vise den formel. Hvis vi i stedet skriver y1(3) [ENTER] så kommer resultatet som funktionen af 3. Eks. 47 Man kan sammensætte funktioner ved at indtaste den anden formel hvor x skal stå. 28

30 Eks. 48 MAT1 side 241: g(x) = x 2 y1 = ( x 2) f(x) = 7 3x y2 = 7 3x Hvis vi skal finde ( f g)(x) så skal vi skrive: y1(y2(x)) Hvis det er ( g f )(x) vi skal finde, skal vi skrive: y2(y1(x)) Grunden til at resultatet y1(y2(2)) giver et ikke realt resultat er at værdien 2 ligger uden for definitionsmængden til det udtryk. Stykkevise funktioner Grafregneren kan vise stykkevise funktioner ved at bruge kommandoen when( i Y-editoren for at sammensætte de forskellige funktioner. When(betingelse,sandtudtryk,falskudtryk) Betingelse: Her indtastes en betingelse for at adskille de to funktioner. Sandtudtryk: Her indtastes funktionen for den sande betingelse. Falskudtryk: Her indtastes funktionen for den falske betingelse. (eks: [x][<][1]) (eks: [x][^][2]) (eks: [-][x][+][3]) Eks x + 2 for x < 1 f(x) = x + 3 for x 1 when(x<1,x^2+2,-x+3) Hvis man skal tegne mere end to funktioner i samme graf så er det nemmest at bruge en anden funktion der hedder Func. Funktionerne der bruges findes i menuen [catalog]. I denne funktion er der underfunktioner for at få betingelserne til at hænge sammen. Det er nogle af de samme som bruges indenfor programmering. 29

31 Func:If betingelse1 Then:Return udtryk1:elseif betingelse2 Then:Return udtryk2:else:return udtryk3:endif:endfunc Forklaring: Func If Then Return ElseIf Else EndIf EndFunc Funktion Hvis Da (så) Returnere Ellers hvis Ellers Afslutter If Afslutter Func Kolonet bruges til at adskille de forskellige sætninger, men skal huskes. Eks. 50 MAT1 side 213: 2x 1 for x < 1 f (x) = x for 1 x < 2 x + 4 for x 2 (indtastes i en linje) Func :If x<-1 Then :Return -2x-1 :ElseIf -1 x and x<2 Then :Return x :Else :Return -x+4 :EndIf :EndFunc Grunden til at udtryk 3 ikke har nogle betingelser er at det udtryk gælder for alle andre værdier end de værdier af x der er betingelser for. Læg mærke til at betingelsen x 2 ikke bliver brugt fordi x+4 automatisk vil gælde for alle andre værdier end -2x-1, -1 x og x<2. 30

32 Betingelser I y-editoren kan man som i hovedskærmen bruge betingelser for den x værdi man arbejder med. Det gøres med kommandoen with [ ]. Denne kommando bruges til at angive en definitionsmængde efter et udtryk. Eks. 51 ] ] 3 f (x) x 2x 4 Dm(f)= -1,8;2,5 = x3-2x-4 x>-1,8 and x 2,5 Nu vises kun grafen indenfor definitionsmængden. Inverse funktioner Grafregneren kan tegne den inverse funktion af en graf ved at bruge DrawInv funktionen. For at bruge funktionen skal du indtaste en funktion i Y-editoren og henvise til den i hovedskærmen ved at skrive y1(x) hvis det er y1 eller selve udtrykket. DrawInv udtryk [ENTER] Bemærk at grafregneren tegner hele den inverse funktion selvom den ikke er injektiv, fordi den kun tegner linjen, derfor forsvinder linjen også hvis man zoomer eller panorerer. Eks. 52 MAT1 side 245: f (x) 1 x 3 Dm(f)= [-4; 4] = + DrawInv y1(x) 2 For at beregne det rigtige udtryk for den inverse linje skal man bruge solve( funktionen. Det nemmeste er først at indtaste udtrykket i y-editoren og derefter henvise til det i solve( funktionen i hovedskærmen. Det er nemmest at se ved et eksempel. 31

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Knud Nissen. TI-89 Titanium Voyage 200. introduktion og eksempler

Knud Nissen. TI-89 Titanium Voyage 200. introduktion og eksempler Knud Nissen TI-89 Titanium Voyage 200 introduktion og eksempler Knud Nissen TI-89 Titanium / Voyage 200 introduktion og eksempler Copyright 2000 by Texas Instruments 4. reviderede oplag 2005 Tryk: Jelling

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2009 EUC

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb Januar 2014 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010 Institution Handelsskolen Sjælland Syd, Campus Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

TI-92 / TI-92 Plus. Skærmen består af fire dele: En menulinje, et historikområde, en indtastningslinje og nederst en statuslinje:

TI-92 / TI-92 Plus. Skærmen består af fire dele: En menulinje, et historikområde, en indtastningslinje og nederst en statuslinje: TI-92 / TI-92 Plus TI-92 har et væld af indbyggede funktioner og i dette lille hæfte kan vi kun stifte bekendskab med nogle ganske få udvalgte, der har til formål at vise den regnekraft og fleksibilitet,

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Finans applikationen. Tast O og vælg Finance i listen over Flash-applikationer:

Finans applikationen. Tast O og vælg Finance i listen over Flash-applikationer: 12 Finans applikationen Tast O og vælg Finance i listen over Flash-applikationer: Det sidste skærmbillede viser de finansielle variabler, Finansapplikationen benytter sig af, og hvilke værdier de aktuelt

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere