Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne"

Transkript

1 Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium januar 2001

2 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige grene af matematikken ofte vikler sig ind i hinanden på en uforudsigelig måde, må vi have fat i ting som f.eks. gruppeteori, for at kunne forstå argumenterne i forbindelse med beviset af Lucas-Lehmer sætningen. Stilen Jeg skrive i et tekstformateringssystem som hedder L A TEX. Denne rapport ser derfor ikke helt ud, som hvis den var lavet med f.eks. Word. Henvisninger til litteraturlisten bagerst står i teksten som f.eks [1], hvilket skal læses som kilde 1. I forhold til Word har mine sider en større margin, både i siderne og i top og bund. Det betyder naturligvis, at der ikke står så meget på hver linie, og at der ikke er så mange linier på hver side. Opsætningen er valgt sådan, fordi det er nemmere at læse en tekst, når linierne ikke er alt for lange. Én side i L A TEX indeholder omkring 70% af hvad der kan stå på en side i Word, når vi snakker om ren tekst. Når det også er ligninger med på siden bliver forholdet endnu større, idet L A TEX bruger mere luft omkring ligningerne end Word vil gøre. Tager man disse ting i betragtning, mener jeg, at opgaven har den rigtige størrelse. Inddeling Opgaven er inddelt i 6 kapitler plus 3 bilag. Her kommer en kort disposition af hvad hvert kapitel og bilag indeholder. Kapitel 1 er den generel indføring i hvad vi forstår ved et primtal og en beskrivelse af deres egenskaber. Kapitel 2 beskæftiger sig med kongruensbegrebet og introducerer modulusregning. Vi starter med det, da vi næsten uafbrudt kommer til at bruge kongruenser i resten af opgaven. Kapitel 3 indeholder gruppeteori. Vi definerer grupper og en række af deres egenskaber. Vi skal bruge denne gruppeteori i næste kapitel til at bevise Lucas-Lehmer sætningen. Kapitel 4 indeholder så endelig beviset for Lucas-Lehmer sætningen. ii

3 Kapitel 5 viser hvordan man så bruger Lucas-Lehmer sætningen konkret til at finde primtal i et projekt kaldet GIMPS. Kapitel 6 er en opsummering og sammenfatning. Bilag A er en tabel med samtlige 38 Mersenne primtal og de tilhørende perfekte tal. Tallene er ikke skrevet ud i deres fulde længde, da det ville kræve flere tusinde sider. Bilag B samler de beviser fra afsnittet om kongruens, som det ikke var værd at bruge plads på i selve opgaven. Bilag C indeholder ligeledes en række sætninger om regnereglerne med grupper (og beviser derfor), som ikke var så vigtige for hovedteksten. Bilag D er en gennemgang af den algoritme som bruges ved division i mprime. Bilag E er egentlig ikke et bilag, men blot en henvisning til de elektroniske kilder som findes på den vedlagte diskette. iii

4 Indhold 1 Primtal og deres kendetegn Generelt om primtal Uendelig mange primtal Faktorisering af sammensatte tal At vise at et tal er et primtal Den naive metode Eratosthenes si Mersenne primtal Den historisk udvikling Sætninger om Mersenne primtal Mersenne primtals betydning Kongruens og modulusregning Kongruens Restklasser Grupper Algebraisk struktur Grupper Orden på sagerne Lucas-Lehmer sætningen Lucas-Lehmer Lucas-Lehmer sætningen i brug GIMPS-projektet Programmet mprime Lucas-Lehmer testen Dobbelttjek Konklusion 21 A Tabel over M p 22 B Kongruens 24 iv

5 C Grupper 25 C.1 Regneregler C.2 Den associative lov C.3 Den kommutative lov C.4 Neutralt og inverst element D Hurtig division 28 D.1 Algoritmen D.2 Eksempel E Elektroniske kilder 30 v

6 Kapitel 1 Primtal og deres kendetegn Vi vil starte med at se generelt på primtal. Mersenne primtal er blot primtal som opfylder nogle yderligere krav, men derfor stadig også opfylder de generelle krav til primtal. 1.1 Generelt om primtal Forskellige tal har forskellige divisorer. Ethvert helt tal a har de såkaldte trivielle divisorer 1, 1, a og a. Andre divisorer kaldes ægte divisorer ifølge [13, s. 168]. Nogle tal har ikke andre divisorer end de trivielle sådanne tal kaldes primtal. Vi kan formalisere definitionen: Definition 1.1 Et tal a større end 1 som ikke har andre divisorer end 1, 1, a og a kaldes et primtal. De første primtal er den kendte talfølge 2, 3, 5, 7, 11, 13,.... Et tal som ikke er et primtal, kaldes et sammensat tal. Har vi to tal som ikke har nogle fælles, ægte divisorer, siger vi at de er indbyrdes primiske. Der gælder så følgende om et sammensat tal: Sætning 1.2 Ethvert sammensat tal større end 1 har et primtal som divisor, da den mindste divisor som er større end 1 er et primtal. Bevis af 1.2 Vi har et helt tal a > 1. Den mindste divisor i a som er større end 1, d er så et primtal, da d ikke har nogen ægte divisor. En ægte divisor i d ville også være divisor i a og samtidig være mindre end d, hvilket ikke kan lade sig gøre, da d er den mindste ægte divisor i a Uendelig mange primtal Vi vil straks gå videre og vise den fundamentale sætning 1.3, som er taget fra [8, s. 14]: Sætning 1.3 (Euclid) Der findes uendelig mange primtal. 1

7 Bevis af 1.3 Vi vil vise at vi altid kan finde endnu et primtal. Hvis vi går ud fra, at der er et endeligt antal primtal, n, må vi kunne skrive dem op på en liste: p 1, p 2, p 3,..., p n. Ud fra denne liste, kan vi lave tallet T = p 1 p 2 p 3 p n + 1 (1.1) Nu har T ingen ægte divisorer blandt de allerede kendte primtal, da der ved division med et af p 1, p 2, p 3,..., p n altid vil fremkomme en rest på 1. Den mindste divisor i T som er større end 1, vil så ifølge sætning 1.2 på foregående side være et primtal, som vi ikke havde fundet endnu. Med hensyn til Mersenne primtal, har man endnu ikke kunnet give noget bevis for, at der også er uendelig mange af dem[14, s. 80]. Man kan dog heller ikke give nogen god grund til, at det ikke skulle være tilfældet Faktorisering af sammensatte tal En anden vigtig egenskab ved primtallene er, at de er alle sammensatte tals byggeklodser, forstået på den måde, at ethvert heltal kan skrives som et produkt beståede udelukkende af primtal: Sætning 1.4 Ethvert tal a > 1 kan skrives som et produkt af primtal. Skrives a som et sådant produkt, siger vi at a er opløst i dets primfaktorer. Bevis af 1.4 Sætning 1.2 på forrige side fortæller os at vi kan skrive a som p 1 a 1 hvor p 1 er et primtal, og a 1 er et heltal som er mindre end a. Hvis a 1 = 1 er a = p 1, altså et primtal. Vi er så færdige. Hvis a 1 > 1, så kan vi skrive a 1 som p 2 a 2 hvor p 2 er et primtal. p 2 vil så også være en primfaktor i a, da a = p 1 p 2 a 2. Hvis nu a 2 = 1, er vi færdige, ellers fortsætter vi på samme måde ved at opløse a 2 i p 3 a 3. Vi fortsætter indtil a n = 1, hvilket vil ske på et tidspunkt, da vi har en aftagende følge af positive hele tal: a > a 1 > a 2 > > a n 1 > a n = 1 (1.2) Der kan højst være a tal i følgen, da de alle er mindre end a og positive. Efter at have fundet n primtal, har vi fået opløst a i dets primfaktorer: a = p 1 p 2 p 3 p n, hvilket var det vi skulle. 1.2 At vise at et tal er et primtal Der er forskellige måder hvorpå man kan vise, at et givent tal er et primtal Den naive metode Det simpleste er at prøve at finde en faktor til tallet n ved division. Sætning 1.2 på foregående side siger, at hvis vi kan finde en ægte divisor til tallet n, så er n ikke et primtal. Kan vi omvendt vise, at der ikke findes nogen ægte divisorer, så er tallet et primtal. Så vi starter med at prøve at dele med 2, og hvis det ikke går op, prøver vi med 3, 4, 5 osv. Vi behøver kun at prøve indtil i 2 n, hvor i er det tal vi 2

8 prøver med, da tal derover ikke vil kunne gå op i n. Hvis ij = n, hvor i 2 n, må j i, men så er j allerede testet. Da man skal prøve med tal indtil i 2 n, bliver beregningstiden meget stor, når vi arbejder med store tal. Allerede i antikken havde man derfor fundet en mere effektiv metode kaldet Eratosthenes si Eratosthenes si Når man gerne vil finde alle primtal under en vis grænse g, kan man bruge en metode som går under navnet Eratosthenes si. Man starter med at skrive alle tallene mindre end g og større end 1 op efter hinanden. Sætter vi g = 20 får vi følgende talrække: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (1.3) Første tal på listen kan ikke have nogen ægte divisor, så 2 er derfor et primtal. Alle tal som 2 går op i har nu 2 som divisor, og er derfor sammensatte. Disse tal fjernes fra listen: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 (1.4) Det næste tal i listen er 3, kan ikke have nogen ægte divisor. Hvis det havde, ville 3 ikke længere være i listen. Vi fjerner så alle tal som har 3 som divisor: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (1.5) Vi kommer så til tallet 5. Men da 5 2 = 25 > 20, behøver vi ikke at fortsætte. Hvis der var flere sammensatte tal under 20, kunne det jo ikke have et primtal mindre end 5 som faktor. Det mindste sammensatte tal vi kunne ramme ville altså være 25. Fordelen ved denne metode er, at vi finder mange primtal på én gang, ved at udføre næsten de samme beregninger som ved det første metode. 1.3 Mersenne primtal Da denne opgave skal handle om Mersenne primtal, må vi hellere slå fast hvad det er for primtal vi kalder Mersenne primtal, samt indføre en notation for dem: Definition 1.5 Et Mersenne primtal, M p, er et primtal som kan skrives som: Den historisk udvikling M p = 2 p 1. (1.6) (Se tabel A.1 på side 22 for en komplet liste med alle kendte Mersenne primtal.) Det var tidligere en normal misforståelse, at 2 p 1 altid ville være et primtal, bare p var det. Men i 1536 viste Hudalricus Regius[5], at det ikke var tilfældet, idet = 2047 =

9 Pietro Cataldi fandt i 1588 ud af, at M 17 = og M 19 = Men han mente også at M 23 = , M 29 = og M 37 = var primtal. 1 Det kendetegner disse første forsøg på et finde store primtal, at man ikke havde ret hver gang. Men det er ikke så underligt, for man skal jo huske at f.eks. M 31 = jo har 10 cifre. Det er nogle enorme tal at arbejde med, hvis man ikke har elektroniske hjælpemidler. 2 Man fortsatte med at lede efter endnu større primtal, og i 1644 påstod den franske munk Marin Mersenne ( ) i sin bog Cogitata Physica- Mathematica at 2 p 1 var et primtal for p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257 (1.7) I denne liste var det kun tallene fra 31 og op efter, man var i tvivl om. Mersenne indrømmede endda at han ikke havde testet alle disse tal, men da tallene er så store, kunne ingen modbevise ham. Først over 100 år senere kunne L. Euler ( ) vise at M 31 virkelig er et primtal, og 230 år senere viste E. Lucas ( ) at M 127 også er et primtal. M 127 har 39 cifre og er det største primtal som er fundet ved håndkraft. Senere fandt man ud af, at Mersenne havde glemt 3 tal, nemlig M 61, M 89 og M 107. Han tog også fejl ved M 67 = Men hans navn blev alligevel knyttet til disse primtal Sætninger om Mersenne primtal Der gælder følgende sætning om M p : Sætning 1.6 Hvis M p = 2 p 1 er et primtal, er p selv et primtal. Det beviser vi nu, beviset er fra [4]. Bevis af 1.6 Vi har r, s Z +. Vi kan så skrive x rs 1 som ( ) x rs 1 = (x s 1) x s(r 1) + x s(r 2) + + x 2s + x s + 1 (1.8) Vi kan gøre prøve ved at gange (x s 1) ind i parentesen. Resultatet bliver så: x sr + x s(r 1) + x s(r 2) + + x 3s + x 2s + x s x s(r 1) x s(r 2) x 3s x 2s x s 1 = x sr 1 (1.9) Vi har nu vist at 2 p 1 ikke kan være et primtal, hvis p ikke selv er et primtal. Vi har nemlig vist at tallet 2 s 1 går op i 2 p 1, hvis p kan skrives som p = rs. 1 I [5] skriver de først at han tog fejl, da han mente at M 31 var et primtal. Men dernæst skriver de at Euler viste at M 31 virkelig var et primtal. Det kan godt være at Cataldi ikke kunne bevise at M 31 er et primtal, men han tog ikke fejl da han påstod det. 2 De faktoriseringer jeg har lavet her på siden, er alle lavet ved hjælp af min grafregner (en TI-89 fra Texas Instruments). Det viser hvor langt den teknologiske udvikling er nået, når jeg kan sidde og teste Mersenne tal på en grafregner 3 Den var en svær nød at knække for min grafregner. Men det er forståeligt, da primfaktorerne er meget store. 4

10 Sætning 1.6 på foregående side fortæller os, at vi nemt kan finde faktorer til 2 p 1, når p ikke er et primtal. F.eks. må være en faktor i , ligesom må være det. Hvis M p ikke er et primtal, kan vi faktisk udtale os om formen af divisorerne: Sætning 1.7 Hvis p og q er ulige primtal, og q går op i M p, så gælder der at p 1 (mod q) og p ±1 (mod 8) (1.10) Det er det samme som at sige at en faktor q skal have formen q = 2kp + 1, hvor k er et heltal. Jeg giver ikke noget bevis for sætning 1.7, i stedet henvises til [6] Mersenne primtals betydning Som med det meste talteori, har Mersenne primtal ikke nogen særlig konkret betydning. Men man må dog nævne at Mersenne primtallene er knyttet sammen med de perfekte tal. Om et perfekt tal gælder Definition 1.8 Et tal n er perfekt, hvis det er lig summen af dets (positive) divisorer, undtagen tallet selv. Derfor er 6 et perfekt tal, da 6 = Det samme er 28, da 28 = Perfekte tal er rimelig sjældne. Man kender også kun lige perfekte tal, men har endnu ikke kunne give noget bevis hverken for eller imod, at der skulle findes et ulige perfekt tal. Men man ved at et eventuelt ulige perfekt tal må være stort[11, s. 167], da man ved hjælp af computere har undersøgt alle tal op til ! Hvert Mersenne primtal vi finder, giver os samtidig et lige perfekt tal[14, s. 81] ifølge sætning 1.9: Sætning 1.9 For hvert Mersenne primtal M p = 2 p 1 gælder der at P p = 2 p 1 (2 p 1) er et lige perfekt tal. Før vi kan bevise sætning 1.9 må vi først introducere funktionen σ(n), se [7]: Definition 1.10 σ(n) betegner summen af de positive divisorer til n. Vi har så for et primtal p at σ(p) = p + 1 og at σ(m) = 2m hvis m er et perfekt tal. σ(n) har den egenskab at σ(nm) = σ(n) σ(m) når n og m er indbyrdes primiske. Der er lige en lille sætning vi også skal bruge, beviset for sætningen har jeg selv lavet: Sætning 1.11 Der gælder følgende om σ (2 n ): σ (2 n ) = 2 n+1 1 (1.11) 5

11 Bevis af 1.11 Hvis vi opløser 2 n i dets primfaktorer, får vi naturligvis 2 n. Derfor kan f.eks. 3 eller 5 ikke gå op i 2 n. En divisor skal så selv have formen 2 m hvor m n. Der må altså være n af disse divisorer, da 2 n er delelig med et hvert tal på formen 2 m : 2 n 2 m = 2n m Z (1.12) Divisorerne er altså {1, 2, 2 2, 2 3,..., 2 n 1, 2 n }. Deres sum er: n 2 n = 2 n+1 1 (1.13) 0 Derved har vi vist at summen af divisorerne, σ (2 n ), er lig 2 n+1 1. Vi kan så bevise sætning 1.9 på foregående side som i [3]: Bevis af 1.9 Vi går ud fra at M p = 2 p 1 er et primtal, og skal vise at n = 2 p 1 (2 p 1) er et (lige) perfekt tal, hvilket er det samme som at σ(n) = 2n. Vi har altså: σ(n) = σ ( 2 p 1 (2 p 1) ) = σ ( 2 p 1) σ (2 p 1) = (2 p 1)2 p = 2n (1.14) Vi benyttede undervejs at 2 p 1 og 2 p 1 er indbyrdes primiske, da 2 p 1 er et primtal som i hvert tilfælde ikke går op i 2 p 1. Det viser at n er et perfekt tal og at det må have formen n = 2 p 1 (2 p 1). Vi kan også vise at det omvendte gælder, nemlig at hvis n er et lige perfekt tal, så vil det kunne skrives som n = 2 p 1 (2 p 1). Vi har altså et lige perfekt tal, n. Det må vi kunne skrive som 2 k 1 m hvor k 2 og m er et ulige heltal. Vi regner nu på σ(n): σ(n) = σ ( 2 k 1 m ) = σ ( 2 k 1) σ(m) (1.15) Det giver os at σ(n) = ( 2 k 1 ) σ(m) (1.16) Vi benyttede at 2 k 1 og m må være indbyrdes primiske, da 2 k 1 kun har primtalsdivisoren 2 og m er ulige og derfor ikke delelig med 2. Vi ved også at n er et perfekt tal: Kombinerer vi de to sidste ligninger får vi σ(n) = 2n = 2 ( 2 k 1 m ) = 2 k m (1.17) 2 k m = ( 2 k 1 ) σ(m) (1.18) hvilket betyder at 2 k 1 går op i 2 k m. Men 2 k 1 kan ikke gå op i 2 k, og må derfor gå op i m. Vi kan altså skrive m som m = ( 2 k 1 ) M m + M = 2 k M (1.19) hvor M Z. Sætter vi m = ( 2 k 1 ) M ind i (1.18), får vi: 2 k ( 2 k 1 ) M = ( 2 k 1 ) σ(m) 2 k M = σ(m) (1.20) 6

12 Både m og M er divisorer i m. Da σ(m) netop er summen af divisorerne i m (som der godt kan være flere af ud over m og M), må σ(m) være større end eller lig m + M. Men da m + M samtidig er lig 2 k M ifølge (1.19), har vi at σ(m) = m + M (1.21) Det viser at der kun kan være to divisorer i m. Hvis nu M var lig ab, skulle vi have fået σ(m) = m + M + a + b. m må så være et primtal, og M må være lig 1. Vi har altså at m = 2 k 1 er et primtal. Tallet n får så formen 2 ( k 1 2 k 1 ), hvilket var det vi skulle vise. Som et eksempel på brugen af sætning 1.9 på side 5, kan vi se at tallet 2 12 ( ) = er et perfekt tal, da M 13 = er et primtal. 7

13 Kapitel 2 Kongruens og modulusregning Jeg har medtaget dette afsnit, da det er nødvendigt for beviset af Lucas-Lehmer sætningen senere. Når man regner med kongruenser, regner man faktisk med rester efter divisioner. Derfor er kongruensbegrebet uhyre vigtigt i forbindelse med primtal, da man netop i denne sammenhæng ofte beskæftiger sig med brøker, rester og tals delelighed generelt. 2.1 Kongruens Vi starter med at definere kongruens: Definition 2.1 Hvis differencen mellem to tal a og b er delelig af et andet tal m, siger vi at a er kongruent med b modulus m, og det skrives således: a b (mod m) (2.1) Vi kan også skrive det som en almindelig ligning i stedet: a b m = n a = nm + b, n Z (2.2) Det var C. F. Gauss ( ) som opfandt denne notation[11, s. 69]. Notationen ligner den vi bruger til almindelige ligninger, og det viser sig at man kan regne på kongruenserne efter nogle specielle regler. Det var et stort fremskridt, da man nu havde fået et værktøj til at beskrive de ting, der sker når tal går op i hinanden. Da de fleste af de følgende sætninger er ret trivielle at bevise, har jeg flyttet beviserne over i bilaget, se side 24. Sætning 2.2 Følgende kongruenser er altid sande: a b (mod 1) og a 0 (mod a). 8

14 Sætning 2.3 Vi kan gange både a og b med det samme tal: a b (mod m) ad bd (mod m). Som et specialtilfælde har vi at a 0 (mod m) an 0 (mod m). Sætning 2.4 Kongruenser modulus det samme tal kan lægges sammen og trækkes fra hinanden: Hvis a b og c d (mod m) så gælder der at a + c b + d (mod m). Sætning 2.5 Kongruenser modulus det samme tal kan også ganges sammen: Hvis a b og c d (mod m) så gælder der at ac bd (mod m). Hvis vi gentager processen får vi at der også gælder at: a k b k (mod m). Sætning 2.6 Hvis a b og b c (mod m) så gælder der at a c (mod m). Sætning 2.7 Vi kan lægge et helt antal m til eller trække det fra a, og vil stadig få samme rest: a ± nm b (mod m). Sætning 2.8 Kongruensen a b (mod m) er kun sandt, hvis der samtidig gælder at ac bc (mod mc). Sætning 2.9 Hvis ac bc (mod m) og største fælles divisor for c og m er d, så gælder der at a b (mod m d ). Hvis c og m er indbyrdes primiske (d = 1), og vi får så at a b (mod m). Bevis af 2.9 ac bc (mod m) kan skrives om til ac = jm + bc. Den største fælles divisor for c og m er d, så der gælder så også at a c d = j m d + b c d. Her er alle brøkerne heltal, da d går op i både c og m. Vi kan så gange igennem med d c, og får så at a = m c + b a hvilket viser at a er kongruent med b modulus m c. Som et eksempel kan vi se på kongruensen (mod 15). Her har vi at største fælles divisor for 6 og 15 lig 3. Vi kan derfor omskrive kongruensen til 6 1 (mod 5), hvilket tydeligvis også er sandt. 2.2 Restklasser Har vi en ligning som a b (mod m) a = nm + b får vi en hel række løsninger, da n Z. Det at vi får en hel klasse af løsninger, fører os over i begrebet restklasser: Definition 2.10 Tal som giver samme rest r ved division med et tal t, siges at tilhøre samme restklasse. Vi får t klasser, som kaldes restklasserne modulus t. Ud fra definitionen og det vi ved om kongruens, kan vi skrive at a og b ligger i samme restklasse modulus t sådan her: a k b k (mod t) a = n 1 t + k (mod t) b = n 2 t + k (2.3) 9

15 Det medfører faktisk at a b og at b a (mod t) da: a b = (n 1 n 2 )t a b (mod t) b a = (n 2 n 1 )t b a (mod t) (2.4) hvor både n 1 n 2 og n 2 n 1 er heltal. 10

16 Kapitel 3 Grupper Gruppeteorien beskæftiger sig med forskellige mængder af objekter, som er knyttet sammen af kompositioner, som opfylder nogle bestemte krav. Da der ikke er nogle bestemte krav til typen af objekter, er gruppeteori altså en del af det man vil kalde abstrakt algabra. 3.1 Algebraisk struktur Vi starter med at se på en komposition[13, s. 133]: Definition 3.1 En komposition i en mængde M er en forskrift, som knytter et hvert ordnet par af elementer fra M til et element i M. definerer en afbildning af M ind i M. Man skal lægge mærke til at symbolet ikke er brugt som et gangetegn. angiver blot en vilkårlig forskrift, som f.eks. kunne være givet ved a b = a + b 3 Ud fra en komposition får vi så en algebraisk struktur: (3.1) Definition 3.2 En algebraisk struktur er en mængde, M, hvortil der er knyttet en komposition,. Dette skrives som (M, ). Vi kan nu se, at vi allerede kender mange algebraiske strukturer. F.eks. har vi at (Z, +) er en algebraisk struktur, da der gælder a, b Z : a + b Z (3.2) Næste skridt ville så være at fastlægge, hvordan vi ville regne med elementerne i en algebraisk struktur. Men da disse regler blot er udtryk for en mere formel beskrivelse af de regler vi allerede kender, er de flyttet til bilaget, se afsnit C.1 på side 25. Vi vil dog lige ridse definitionerne op: For at den associative lov er opfyldt for kompositionen, skal der gælde følgende 11

17 Definition 3.3 En komposition i en mængde M er associativ, hvis den opfylder a, b, c M : (a b) c = a (b c) (3.3) En algebraisk struktur med en associativ kompositon (M, ) kaldes en semigruppe. Vi har også den kommutative lov: Definition 3.4 En komposition i en mængde M er kommutativ hvis den opfylder at a, b M : a b = b a (3.4) Er (M, ) er semigruppe, og er kommutativ, har vi en kommutativ semigruppe. I nogle algebraiske strukturer findes et element som er neutralt. Definition 3.5 I en algebraisk struktur (M, ) er elementet e neutralt hvis der gælder at a M : a e = e a = a (3.5) Ved addition kaldes det neutrale element for et nul-element mens det kaldes et et-element ved multiplikation. Når vi så har en vilkårlig semigruppe med et neutralt element, kan vi definere et omvendt element: Definition 3.6 Når a er element i semigruppen (M, ) med det neutrale element e, og ligningssystemet x a = e, a x = e (3.6) har en løsning, er a invertibelt. Løsningen kaldes det inverse element til a og betegnes med a Grupper Nu da vi har defineret en komposition, en algebraisk struktur, en semigruppe, et neutralt element og et inverst element, er vi endelig klart til at definere hvad vi forstår ved en gruppe (se [13, s. 148], [12, s. 27] eller [1, s. 186]): Definition 3.7 En gruppe er en algebraisk struktur G med en komposition, som opfylder følgende: opererer på to elementer og der gælder at a, b G a b G, er associativ, Der findes et neutralt element i G, Alle elementer i G har et inverst element. 12

18 Hvis kompositionen også er kommutativ, siges gruppen at være kommutativ. En kommutativ gruppe kaldes også en abelsk gruppe. 1 Vi ser nu hvorfor man kalder en associativ algebraisk struktur for en semigruppe, idet en semigruppe kun mangler at opfylde de to sidste punkter Orden på sagerne Både de enkelte elementer i en gruppe og gruppen selv kan have det vi betegner med orden. Vi definerer et elements orden således: Definition 3.8 I en endelig gruppe med kompositionen er et elements orden n det mindste tal større end 0 som opfylder at: a n = e (3.7) hvor e er det neutrale element i gruppen. Vi skriver det også som n = ord a. Vi vil nu bevise at ethvert element i en endelig gruppe har en orden Bevis af 3.8 element: Vi skal vise at man før eller siden vil komme til det neutrale n Z : a n = e (3.8) Vi går ud fra at det ikke er muligt. For at undgå at komme til det neutrale element, må man altså kunne cykle i ring blandt gruppens elementer. Da gruppen indeholder et endeligt antal elementer, vil man før eller siden komme tilbage til et element, man har været ved før. Dette element må endvidere være det oprindelige element a. Hvis ikke, skulle der være to forskellige løsninger til ligningen a (m 1), hvor a m er det første element, vi har været ved før. Vi har altså at a = a m = a 2m. Det er lovligt at tilføje a 1 på hver side af lighedstegnet, så det gør vi. Det giver os at a a 1 = a (m 1) e = a (m 1). Vi ser nu at vi alligevel når til det neutrale element, nemlig efter m 1 gange. En gruppe har også en orden: Definition 3.9 En gruppes orden n er lig antallet af elementer i G. Sætning 3.10 Hvis G er en endelig gruppe, er et elements orden højst lig gruppens orden: ord x ord G (3.9) Beviset kommer fra [11, s. 173]: Bevis af 3.10 En gruppe G med ordnen n og kompositionen består af n elementer. Følgende mængde {e, x, x 2, x 3,..., x n } hvor x G består af n + 1 elementer, så mindst to af dem må være ens. Vi har så at x u = x v hvor 0 u < v n. Det giver os at x (v u) = x 0 = e, hvor 1 v u n. Ifølge definitionen ef et elements orden (sætning 3.8) må ord x nu være mindre end eller ligmed v u, som selv er mindre end eller lig med n: ord x v u n. Det giver os at ord x n. 1 Opkaldt efter den norske matematiker N. H. Abel, der bl.a. beskæftigede sig med kommutative grupper. 13

19 Sætning 3.11 Vi har en endelig gruppe G hvor a G. Der gælder nu at Dette bevis stammer også fra [11, s. 173]: a r = e ord a 0 (mod r) (3.10) Bevis af 3.11 Vi sætter s = ord x, og går ud fra at x r = e, hvor der gælder at r b (mod s) r = as + b hvor a Z og 0 b < s. 2 Hvis b > 0 går r altså ikke om i s, der er b til rest. Vi får så at: e = x r = x (as+b) = (x s ) a x b = e a x b = x b (3.11) Ved næstsidste omskrivning brugte vi definitionen på et elements orden, som siger at x s = e. Hvis nu b > 0 har vi fundet en mindre eksponent end s som giver os det neutrale element, da b < s. Dette strider imod definitionen af et elements orden, som jo siger at s > 0 er den mindste eksponent for hvilken det gælder at a s = e. Derfor kan b kun være 0, hvilket giver os at r 0 (mod s) (3.12) hvilket fortæller os at r går op i s. Følgende sætning bruges i beviset af Lucas-Lehmer sætningen. Sætning 3.12 Lad X være en mængde med en binær og associativ operator, som indeholder et neutralt element. Mængden X af alle de invertible elementer i X udgør så en gruppe. Bevis af 3.12 Det neutrale element i X er invertibelt, så X er ikke en tom mængde. Det er også klart at alle elementer i X er invertible, da det netop er en betingelse for at være med i X. Vi mangler så blot at vise, a, b X : a b X. Vi tager to elementer fra X, a og b, som er invertible, med de inverse elementer a 1 og b 1. Det inverse element til a b er så b 1 a 1, hvilket vi kan vise ved brug af den associative lov: (a b) (b 1 a 1 ) = a (b b 1 ) a 1 = a e a 1 = a a 1 = e, (3.13) Dette inverse element findes, da både a 1 og b 1 tilhører X. Dermed opfylder X kravene for at være en gruppe. 2 I [11] har de at 0 b < r. De ender så med at konstatere, at vi finder en eksponent b som er mindre end r. De skriver at det strider imod definitionen af x s orden, men det kan jeg ikke forstå, da den kun fortæller os at b s og ikke at b > r. 14

20 Kapitel 4 Lucas-Lehmer sætningen Lucas-Lehmer sætningen bruges til at bevise at et givent Mersenne tal er et primtal. Derfor omtaler jeg den også sommetider som Lucas-Lehmer testen. 4.1 Lucas-Lehmer Det følgende bevis for Lucas-Lehmer sætningen er taget fra [11, s ], som har det fra [2]. Oprindeligt stammer beviset fra [15]. Sætning 4.1 (Lucas-Lehmer) M p = 2 p 1 er kun et primtal hvis det går op i S p 1 : S p 1 0 (mod M p ) (4.1) hvor serien S defineres således: S 1 = 4 S n = S 2 n 1 2 (4.2) Bevis af 4.1 Vi starter med at indføre to symboler ω = 2+ 3 og ω = 2 3. Vi ser at ωω = 1. Der gælder nu følgende om serien S, ω og ω: Sætning 4.2 Det m-te element i serien S er givet ved S m = ω 2m 1 + ω 2m 1. (4.3) Bevis af 4.2 Vi bruger et induktionsbevis, som i [9, s ]. Der skal altså gælde to ting om (4.3): 1. S 1 skal være sand, 2. Hvis S m er sand, skal S m+1 også være det. Vi kender S m+1 fra (4.2). Ifølge (4.2) er S 1 = 4. Vi ser at ω ω 21 1 også er lig 4. 15

21 Vi viser så, at hvis (4.3) er sand for m, så er den også sand for m + 1. S m+1 skal så være lig ω 2n + ω 2n : S m+1 = Sm 2 2 ( = ω 2m 1 + ω 2m 1) 2 2 = (ω 2m 1) 2 ( + ω 2m 1) (ωω) m 1 2 (4.4) = ω 2m + ω 2m Vi har nu vist at (4.3) gælder for både m = 1 og for m = m + 1, derfor gælder den for alle m Z. Vi går nu ud fra at M p går op i S p 1, og ud fra sætning 4.2 på foregående side får vi at det må betyde følgende: S p 1 0 (mod M p ) ω 2p 2 + ω 2p 2 0 (mod M p ) ω 2p 2 + ω 2p 2 = RM p, R Z (4.5) I sidste linie skrev vi kongruensen som en normal ligning. Denne arbejder vi videre på, først ganger vi igennem med ω 2p 2 og vi flytter 1 over på højresiden: Vi kvadrerer: ω 2p 1 = RM p ω 2p 2 1 (4.6) ω 2p = ( RM p ω 2p 2 1) 2 (4.7) Vi får brug for (4.6) og (4.7) lidt senere. Vi vil gå ud fra at M p ikke er et primtal, og vil vise at dette medfører en modstrid. Hvis M p ikke er et primtal, vil der være en primfakter q som opfylder at q 2 M p. Vi lader nu Z q betegne mængden af heltal modulus q og X betegne mængden {a 1 + a 2 3 : a1, a 2 Z q }. Vi definerer to kompositioner på mængden X, addition og multiplikation. I begge tilfælde reducerer vi koefficienterne med modulus q. Addition defineres på normal vis: (a 1 + a 2 3) + (b1 + b 2 3) = (a1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) 3 (4.8) På samme måde defineres multiplikation som: (a 1 + a 2 3) (b1 + b 2 3) = (a1 b 1 + 3a 2 b 2 ) + (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) 3 (4.9) Vi ser at (X, +, ) er en algebraisk struktur, da kompositionerne opfylder kravet om at de afbilder mængden X ind i X. Det neutrale element i X med hensyn til multiplikation er Da der ifølge sætning C.6 på side 27 højst findes ét neutralt element, er det nok at gøre prøve med for at vise at det virkeligt er det neutrale element: (a 1 + a 2 3) ( ) = (1a1 + 0a 2 ) + (0a 1 + 1a 2 ) 3 = a 1 + a 2 3 (4.10) 16

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit.

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit. Kapitel 20: Talsystemer 20 Resumé af talsystemer... 344 Indtastning og omregning af talsystemer... 345 Udførelse af matematiske beregninger med hexadecimale og binære tal... 346 Sammenligning eller manipulation

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard Med udgangspunkt i FIPS-97-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen Af Mathias Vestergaard F O R O R D " " " # # " $ # % '(%) '(%) %* %* +,-.), ) ( " $ 0 2 2 + 3 $ ' {0000} $, AA ) 4555 67 +8 9 :;

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU Årsplan for matematik 10. klassetrin 2012 2013 v. CJU Når dette skoleår er omme, så er det målet, at undervisningen har bidraget til, at formålet for faget er opfyldt: Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere Indholdsfortegnelse Forord... 3 Diskettens indhold... 4 Grafer i koordinatsystemet... 5 Brug af guiden diagram... 5 Indret regnearket fornuftigt... 9 Regneark hentet på Internettet... 15 Læsevenlige tal

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere