Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne"

Transkript

1 Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium januar 2001

2 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige grene af matematikken ofte vikler sig ind i hinanden på en uforudsigelig måde, må vi have fat i ting som f.eks. gruppeteori, for at kunne forstå argumenterne i forbindelse med beviset af Lucas-Lehmer sætningen. Stilen Jeg skrive i et tekstformateringssystem som hedder L A TEX. Denne rapport ser derfor ikke helt ud, som hvis den var lavet med f.eks. Word. Henvisninger til litteraturlisten bagerst står i teksten som f.eks [1], hvilket skal læses som kilde 1. I forhold til Word har mine sider en større margin, både i siderne og i top og bund. Det betyder naturligvis, at der ikke står så meget på hver linie, og at der ikke er så mange linier på hver side. Opsætningen er valgt sådan, fordi det er nemmere at læse en tekst, når linierne ikke er alt for lange. Én side i L A TEX indeholder omkring 70% af hvad der kan stå på en side i Word, når vi snakker om ren tekst. Når det også er ligninger med på siden bliver forholdet endnu større, idet L A TEX bruger mere luft omkring ligningerne end Word vil gøre. Tager man disse ting i betragtning, mener jeg, at opgaven har den rigtige størrelse. Inddeling Opgaven er inddelt i 6 kapitler plus 3 bilag. Her kommer en kort disposition af hvad hvert kapitel og bilag indeholder. Kapitel 1 er den generel indføring i hvad vi forstår ved et primtal og en beskrivelse af deres egenskaber. Kapitel 2 beskæftiger sig med kongruensbegrebet og introducerer modulusregning. Vi starter med det, da vi næsten uafbrudt kommer til at bruge kongruenser i resten af opgaven. Kapitel 3 indeholder gruppeteori. Vi definerer grupper og en række af deres egenskaber. Vi skal bruge denne gruppeteori i næste kapitel til at bevise Lucas-Lehmer sætningen. Kapitel 4 indeholder så endelig beviset for Lucas-Lehmer sætningen. ii

3 Kapitel 5 viser hvordan man så bruger Lucas-Lehmer sætningen konkret til at finde primtal i et projekt kaldet GIMPS. Kapitel 6 er en opsummering og sammenfatning. Bilag A er en tabel med samtlige 38 Mersenne primtal og de tilhørende perfekte tal. Tallene er ikke skrevet ud i deres fulde længde, da det ville kræve flere tusinde sider. Bilag B samler de beviser fra afsnittet om kongruens, som det ikke var værd at bruge plads på i selve opgaven. Bilag C indeholder ligeledes en række sætninger om regnereglerne med grupper (og beviser derfor), som ikke var så vigtige for hovedteksten. Bilag D er en gennemgang af den algoritme som bruges ved division i mprime. Bilag E er egentlig ikke et bilag, men blot en henvisning til de elektroniske kilder som findes på den vedlagte diskette. iii

4 Indhold 1 Primtal og deres kendetegn Generelt om primtal Uendelig mange primtal Faktorisering af sammensatte tal At vise at et tal er et primtal Den naive metode Eratosthenes si Mersenne primtal Den historisk udvikling Sætninger om Mersenne primtal Mersenne primtals betydning Kongruens og modulusregning Kongruens Restklasser Grupper Algebraisk struktur Grupper Orden på sagerne Lucas-Lehmer sætningen Lucas-Lehmer Lucas-Lehmer sætningen i brug GIMPS-projektet Programmet mprime Lucas-Lehmer testen Dobbelttjek Konklusion 21 A Tabel over M p 22 B Kongruens 24 iv

5 C Grupper 25 C.1 Regneregler C.2 Den associative lov C.3 Den kommutative lov C.4 Neutralt og inverst element D Hurtig division 28 D.1 Algoritmen D.2 Eksempel E Elektroniske kilder 30 v

6 Kapitel 1 Primtal og deres kendetegn Vi vil starte med at se generelt på primtal. Mersenne primtal er blot primtal som opfylder nogle yderligere krav, men derfor stadig også opfylder de generelle krav til primtal. 1.1 Generelt om primtal Forskellige tal har forskellige divisorer. Ethvert helt tal a har de såkaldte trivielle divisorer 1, 1, a og a. Andre divisorer kaldes ægte divisorer ifølge [13, s. 168]. Nogle tal har ikke andre divisorer end de trivielle sådanne tal kaldes primtal. Vi kan formalisere definitionen: Definition 1.1 Et tal a større end 1 som ikke har andre divisorer end 1, 1, a og a kaldes et primtal. De første primtal er den kendte talfølge 2, 3, 5, 7, 11, 13,.... Et tal som ikke er et primtal, kaldes et sammensat tal. Har vi to tal som ikke har nogle fælles, ægte divisorer, siger vi at de er indbyrdes primiske. Der gælder så følgende om et sammensat tal: Sætning 1.2 Ethvert sammensat tal større end 1 har et primtal som divisor, da den mindste divisor som er større end 1 er et primtal. Bevis af 1.2 Vi har et helt tal a > 1. Den mindste divisor i a som er større end 1, d er så et primtal, da d ikke har nogen ægte divisor. En ægte divisor i d ville også være divisor i a og samtidig være mindre end d, hvilket ikke kan lade sig gøre, da d er den mindste ægte divisor i a Uendelig mange primtal Vi vil straks gå videre og vise den fundamentale sætning 1.3, som er taget fra [8, s. 14]: Sætning 1.3 (Euclid) Der findes uendelig mange primtal. 1

7 Bevis af 1.3 Vi vil vise at vi altid kan finde endnu et primtal. Hvis vi går ud fra, at der er et endeligt antal primtal, n, må vi kunne skrive dem op på en liste: p 1, p 2, p 3,..., p n. Ud fra denne liste, kan vi lave tallet T = p 1 p 2 p 3 p n + 1 (1.1) Nu har T ingen ægte divisorer blandt de allerede kendte primtal, da der ved division med et af p 1, p 2, p 3,..., p n altid vil fremkomme en rest på 1. Den mindste divisor i T som er større end 1, vil så ifølge sætning 1.2 på foregående side være et primtal, som vi ikke havde fundet endnu. Med hensyn til Mersenne primtal, har man endnu ikke kunnet give noget bevis for, at der også er uendelig mange af dem[14, s. 80]. Man kan dog heller ikke give nogen god grund til, at det ikke skulle være tilfældet Faktorisering af sammensatte tal En anden vigtig egenskab ved primtallene er, at de er alle sammensatte tals byggeklodser, forstået på den måde, at ethvert heltal kan skrives som et produkt beståede udelukkende af primtal: Sætning 1.4 Ethvert tal a > 1 kan skrives som et produkt af primtal. Skrives a som et sådant produkt, siger vi at a er opløst i dets primfaktorer. Bevis af 1.4 Sætning 1.2 på forrige side fortæller os at vi kan skrive a som p 1 a 1 hvor p 1 er et primtal, og a 1 er et heltal som er mindre end a. Hvis a 1 = 1 er a = p 1, altså et primtal. Vi er så færdige. Hvis a 1 > 1, så kan vi skrive a 1 som p 2 a 2 hvor p 2 er et primtal. p 2 vil så også være en primfaktor i a, da a = p 1 p 2 a 2. Hvis nu a 2 = 1, er vi færdige, ellers fortsætter vi på samme måde ved at opløse a 2 i p 3 a 3. Vi fortsætter indtil a n = 1, hvilket vil ske på et tidspunkt, da vi har en aftagende følge af positive hele tal: a > a 1 > a 2 > > a n 1 > a n = 1 (1.2) Der kan højst være a tal i følgen, da de alle er mindre end a og positive. Efter at have fundet n primtal, har vi fået opløst a i dets primfaktorer: a = p 1 p 2 p 3 p n, hvilket var det vi skulle. 1.2 At vise at et tal er et primtal Der er forskellige måder hvorpå man kan vise, at et givent tal er et primtal Den naive metode Det simpleste er at prøve at finde en faktor til tallet n ved division. Sætning 1.2 på foregående side siger, at hvis vi kan finde en ægte divisor til tallet n, så er n ikke et primtal. Kan vi omvendt vise, at der ikke findes nogen ægte divisorer, så er tallet et primtal. Så vi starter med at prøve at dele med 2, og hvis det ikke går op, prøver vi med 3, 4, 5 osv. Vi behøver kun at prøve indtil i 2 n, hvor i er det tal vi 2

8 prøver med, da tal derover ikke vil kunne gå op i n. Hvis ij = n, hvor i 2 n, må j i, men så er j allerede testet. Da man skal prøve med tal indtil i 2 n, bliver beregningstiden meget stor, når vi arbejder med store tal. Allerede i antikken havde man derfor fundet en mere effektiv metode kaldet Eratosthenes si Eratosthenes si Når man gerne vil finde alle primtal under en vis grænse g, kan man bruge en metode som går under navnet Eratosthenes si. Man starter med at skrive alle tallene mindre end g og større end 1 op efter hinanden. Sætter vi g = 20 får vi følgende talrække: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (1.3) Første tal på listen kan ikke have nogen ægte divisor, så 2 er derfor et primtal. Alle tal som 2 går op i har nu 2 som divisor, og er derfor sammensatte. Disse tal fjernes fra listen: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 (1.4) Det næste tal i listen er 3, kan ikke have nogen ægte divisor. Hvis det havde, ville 3 ikke længere være i listen. Vi fjerner så alle tal som har 3 som divisor: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (1.5) Vi kommer så til tallet 5. Men da 5 2 = 25 > 20, behøver vi ikke at fortsætte. Hvis der var flere sammensatte tal under 20, kunne det jo ikke have et primtal mindre end 5 som faktor. Det mindste sammensatte tal vi kunne ramme ville altså være 25. Fordelen ved denne metode er, at vi finder mange primtal på én gang, ved at udføre næsten de samme beregninger som ved det første metode. 1.3 Mersenne primtal Da denne opgave skal handle om Mersenne primtal, må vi hellere slå fast hvad det er for primtal vi kalder Mersenne primtal, samt indføre en notation for dem: Definition 1.5 Et Mersenne primtal, M p, er et primtal som kan skrives som: Den historisk udvikling M p = 2 p 1. (1.6) (Se tabel A.1 på side 22 for en komplet liste med alle kendte Mersenne primtal.) Det var tidligere en normal misforståelse, at 2 p 1 altid ville være et primtal, bare p var det. Men i 1536 viste Hudalricus Regius[5], at det ikke var tilfældet, idet = 2047 =

9 Pietro Cataldi fandt i 1588 ud af, at M 17 = og M 19 = Men han mente også at M 23 = , M 29 = og M 37 = var primtal. 1 Det kendetegner disse første forsøg på et finde store primtal, at man ikke havde ret hver gang. Men det er ikke så underligt, for man skal jo huske at f.eks. M 31 = jo har 10 cifre. Det er nogle enorme tal at arbejde med, hvis man ikke har elektroniske hjælpemidler. 2 Man fortsatte med at lede efter endnu større primtal, og i 1644 påstod den franske munk Marin Mersenne ( ) i sin bog Cogitata Physica- Mathematica at 2 p 1 var et primtal for p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257 (1.7) I denne liste var det kun tallene fra 31 og op efter, man var i tvivl om. Mersenne indrømmede endda at han ikke havde testet alle disse tal, men da tallene er så store, kunne ingen modbevise ham. Først over 100 år senere kunne L. Euler ( ) vise at M 31 virkelig er et primtal, og 230 år senere viste E. Lucas ( ) at M 127 også er et primtal. M 127 har 39 cifre og er det største primtal som er fundet ved håndkraft. Senere fandt man ud af, at Mersenne havde glemt 3 tal, nemlig M 61, M 89 og M 107. Han tog også fejl ved M 67 = Men hans navn blev alligevel knyttet til disse primtal Sætninger om Mersenne primtal Der gælder følgende sætning om M p : Sætning 1.6 Hvis M p = 2 p 1 er et primtal, er p selv et primtal. Det beviser vi nu, beviset er fra [4]. Bevis af 1.6 Vi har r, s Z +. Vi kan så skrive x rs 1 som ( ) x rs 1 = (x s 1) x s(r 1) + x s(r 2) + + x 2s + x s + 1 (1.8) Vi kan gøre prøve ved at gange (x s 1) ind i parentesen. Resultatet bliver så: x sr + x s(r 1) + x s(r 2) + + x 3s + x 2s + x s x s(r 1) x s(r 2) x 3s x 2s x s 1 = x sr 1 (1.9) Vi har nu vist at 2 p 1 ikke kan være et primtal, hvis p ikke selv er et primtal. Vi har nemlig vist at tallet 2 s 1 går op i 2 p 1, hvis p kan skrives som p = rs. 1 I [5] skriver de først at han tog fejl, da han mente at M 31 var et primtal. Men dernæst skriver de at Euler viste at M 31 virkelig var et primtal. Det kan godt være at Cataldi ikke kunne bevise at M 31 er et primtal, men han tog ikke fejl da han påstod det. 2 De faktoriseringer jeg har lavet her på siden, er alle lavet ved hjælp af min grafregner (en TI-89 fra Texas Instruments). Det viser hvor langt den teknologiske udvikling er nået, når jeg kan sidde og teste Mersenne tal på en grafregner 3 Den var en svær nød at knække for min grafregner. Men det er forståeligt, da primfaktorerne er meget store. 4

10 Sætning 1.6 på foregående side fortæller os, at vi nemt kan finde faktorer til 2 p 1, når p ikke er et primtal. F.eks. må være en faktor i , ligesom må være det. Hvis M p ikke er et primtal, kan vi faktisk udtale os om formen af divisorerne: Sætning 1.7 Hvis p og q er ulige primtal, og q går op i M p, så gælder der at p 1 (mod q) og p ±1 (mod 8) (1.10) Det er det samme som at sige at en faktor q skal have formen q = 2kp + 1, hvor k er et heltal. Jeg giver ikke noget bevis for sætning 1.7, i stedet henvises til [6] Mersenne primtals betydning Som med det meste talteori, har Mersenne primtal ikke nogen særlig konkret betydning. Men man må dog nævne at Mersenne primtallene er knyttet sammen med de perfekte tal. Om et perfekt tal gælder Definition 1.8 Et tal n er perfekt, hvis det er lig summen af dets (positive) divisorer, undtagen tallet selv. Derfor er 6 et perfekt tal, da 6 = Det samme er 28, da 28 = Perfekte tal er rimelig sjældne. Man kender også kun lige perfekte tal, men har endnu ikke kunne give noget bevis hverken for eller imod, at der skulle findes et ulige perfekt tal. Men man ved at et eventuelt ulige perfekt tal må være stort[11, s. 167], da man ved hjælp af computere har undersøgt alle tal op til ! Hvert Mersenne primtal vi finder, giver os samtidig et lige perfekt tal[14, s. 81] ifølge sætning 1.9: Sætning 1.9 For hvert Mersenne primtal M p = 2 p 1 gælder der at P p = 2 p 1 (2 p 1) er et lige perfekt tal. Før vi kan bevise sætning 1.9 må vi først introducere funktionen σ(n), se [7]: Definition 1.10 σ(n) betegner summen af de positive divisorer til n. Vi har så for et primtal p at σ(p) = p + 1 og at σ(m) = 2m hvis m er et perfekt tal. σ(n) har den egenskab at σ(nm) = σ(n) σ(m) når n og m er indbyrdes primiske. Der er lige en lille sætning vi også skal bruge, beviset for sætningen har jeg selv lavet: Sætning 1.11 Der gælder følgende om σ (2 n ): σ (2 n ) = 2 n+1 1 (1.11) 5

11 Bevis af 1.11 Hvis vi opløser 2 n i dets primfaktorer, får vi naturligvis 2 n. Derfor kan f.eks. 3 eller 5 ikke gå op i 2 n. En divisor skal så selv have formen 2 m hvor m n. Der må altså være n af disse divisorer, da 2 n er delelig med et hvert tal på formen 2 m : 2 n 2 m = 2n m Z (1.12) Divisorerne er altså {1, 2, 2 2, 2 3,..., 2 n 1, 2 n }. Deres sum er: n 2 n = 2 n+1 1 (1.13) 0 Derved har vi vist at summen af divisorerne, σ (2 n ), er lig 2 n+1 1. Vi kan så bevise sætning 1.9 på foregående side som i [3]: Bevis af 1.9 Vi går ud fra at M p = 2 p 1 er et primtal, og skal vise at n = 2 p 1 (2 p 1) er et (lige) perfekt tal, hvilket er det samme som at σ(n) = 2n. Vi har altså: σ(n) = σ ( 2 p 1 (2 p 1) ) = σ ( 2 p 1) σ (2 p 1) = (2 p 1)2 p = 2n (1.14) Vi benyttede undervejs at 2 p 1 og 2 p 1 er indbyrdes primiske, da 2 p 1 er et primtal som i hvert tilfælde ikke går op i 2 p 1. Det viser at n er et perfekt tal og at det må have formen n = 2 p 1 (2 p 1). Vi kan også vise at det omvendte gælder, nemlig at hvis n er et lige perfekt tal, så vil det kunne skrives som n = 2 p 1 (2 p 1). Vi har altså et lige perfekt tal, n. Det må vi kunne skrive som 2 k 1 m hvor k 2 og m er et ulige heltal. Vi regner nu på σ(n): σ(n) = σ ( 2 k 1 m ) = σ ( 2 k 1) σ(m) (1.15) Det giver os at σ(n) = ( 2 k 1 ) σ(m) (1.16) Vi benyttede at 2 k 1 og m må være indbyrdes primiske, da 2 k 1 kun har primtalsdivisoren 2 og m er ulige og derfor ikke delelig med 2. Vi ved også at n er et perfekt tal: Kombinerer vi de to sidste ligninger får vi σ(n) = 2n = 2 ( 2 k 1 m ) = 2 k m (1.17) 2 k m = ( 2 k 1 ) σ(m) (1.18) hvilket betyder at 2 k 1 går op i 2 k m. Men 2 k 1 kan ikke gå op i 2 k, og må derfor gå op i m. Vi kan altså skrive m som m = ( 2 k 1 ) M m + M = 2 k M (1.19) hvor M Z. Sætter vi m = ( 2 k 1 ) M ind i (1.18), får vi: 2 k ( 2 k 1 ) M = ( 2 k 1 ) σ(m) 2 k M = σ(m) (1.20) 6

12 Både m og M er divisorer i m. Da σ(m) netop er summen af divisorerne i m (som der godt kan være flere af ud over m og M), må σ(m) være større end eller lig m + M. Men da m + M samtidig er lig 2 k M ifølge (1.19), har vi at σ(m) = m + M (1.21) Det viser at der kun kan være to divisorer i m. Hvis nu M var lig ab, skulle vi have fået σ(m) = m + M + a + b. m må så være et primtal, og M må være lig 1. Vi har altså at m = 2 k 1 er et primtal. Tallet n får så formen 2 ( k 1 2 k 1 ), hvilket var det vi skulle vise. Som et eksempel på brugen af sætning 1.9 på side 5, kan vi se at tallet 2 12 ( ) = er et perfekt tal, da M 13 = er et primtal. 7

13 Kapitel 2 Kongruens og modulusregning Jeg har medtaget dette afsnit, da det er nødvendigt for beviset af Lucas-Lehmer sætningen senere. Når man regner med kongruenser, regner man faktisk med rester efter divisioner. Derfor er kongruensbegrebet uhyre vigtigt i forbindelse med primtal, da man netop i denne sammenhæng ofte beskæftiger sig med brøker, rester og tals delelighed generelt. 2.1 Kongruens Vi starter med at definere kongruens: Definition 2.1 Hvis differencen mellem to tal a og b er delelig af et andet tal m, siger vi at a er kongruent med b modulus m, og det skrives således: a b (mod m) (2.1) Vi kan også skrive det som en almindelig ligning i stedet: a b m = n a = nm + b, n Z (2.2) Det var C. F. Gauss ( ) som opfandt denne notation[11, s. 69]. Notationen ligner den vi bruger til almindelige ligninger, og det viser sig at man kan regne på kongruenserne efter nogle specielle regler. Det var et stort fremskridt, da man nu havde fået et værktøj til at beskrive de ting, der sker når tal går op i hinanden. Da de fleste af de følgende sætninger er ret trivielle at bevise, har jeg flyttet beviserne over i bilaget, se side 24. Sætning 2.2 Følgende kongruenser er altid sande: a b (mod 1) og a 0 (mod a). 8

14 Sætning 2.3 Vi kan gange både a og b med det samme tal: a b (mod m) ad bd (mod m). Som et specialtilfælde har vi at a 0 (mod m) an 0 (mod m). Sætning 2.4 Kongruenser modulus det samme tal kan lægges sammen og trækkes fra hinanden: Hvis a b og c d (mod m) så gælder der at a + c b + d (mod m). Sætning 2.5 Kongruenser modulus det samme tal kan også ganges sammen: Hvis a b og c d (mod m) så gælder der at ac bd (mod m). Hvis vi gentager processen får vi at der også gælder at: a k b k (mod m). Sætning 2.6 Hvis a b og b c (mod m) så gælder der at a c (mod m). Sætning 2.7 Vi kan lægge et helt antal m til eller trække det fra a, og vil stadig få samme rest: a ± nm b (mod m). Sætning 2.8 Kongruensen a b (mod m) er kun sandt, hvis der samtidig gælder at ac bc (mod mc). Sætning 2.9 Hvis ac bc (mod m) og største fælles divisor for c og m er d, så gælder der at a b (mod m d ). Hvis c og m er indbyrdes primiske (d = 1), og vi får så at a b (mod m). Bevis af 2.9 ac bc (mod m) kan skrives om til ac = jm + bc. Den største fælles divisor for c og m er d, så der gælder så også at a c d = j m d + b c d. Her er alle brøkerne heltal, da d går op i både c og m. Vi kan så gange igennem med d c, og får så at a = m c + b a hvilket viser at a er kongruent med b modulus m c. Som et eksempel kan vi se på kongruensen (mod 15). Her har vi at største fælles divisor for 6 og 15 lig 3. Vi kan derfor omskrive kongruensen til 6 1 (mod 5), hvilket tydeligvis også er sandt. 2.2 Restklasser Har vi en ligning som a b (mod m) a = nm + b får vi en hel række løsninger, da n Z. Det at vi får en hel klasse af løsninger, fører os over i begrebet restklasser: Definition 2.10 Tal som giver samme rest r ved division med et tal t, siges at tilhøre samme restklasse. Vi får t klasser, som kaldes restklasserne modulus t. Ud fra definitionen og det vi ved om kongruens, kan vi skrive at a og b ligger i samme restklasse modulus t sådan her: a k b k (mod t) a = n 1 t + k (mod t) b = n 2 t + k (2.3) 9

15 Det medfører faktisk at a b og at b a (mod t) da: a b = (n 1 n 2 )t a b (mod t) b a = (n 2 n 1 )t b a (mod t) (2.4) hvor både n 1 n 2 og n 2 n 1 er heltal. 10

16 Kapitel 3 Grupper Gruppeteorien beskæftiger sig med forskellige mængder af objekter, som er knyttet sammen af kompositioner, som opfylder nogle bestemte krav. Da der ikke er nogle bestemte krav til typen af objekter, er gruppeteori altså en del af det man vil kalde abstrakt algabra. 3.1 Algebraisk struktur Vi starter med at se på en komposition[13, s. 133]: Definition 3.1 En komposition i en mængde M er en forskrift, som knytter et hvert ordnet par af elementer fra M til et element i M. definerer en afbildning af M ind i M. Man skal lægge mærke til at symbolet ikke er brugt som et gangetegn. angiver blot en vilkårlig forskrift, som f.eks. kunne være givet ved a b = a + b 3 Ud fra en komposition får vi så en algebraisk struktur: (3.1) Definition 3.2 En algebraisk struktur er en mængde, M, hvortil der er knyttet en komposition,. Dette skrives som (M, ). Vi kan nu se, at vi allerede kender mange algebraiske strukturer. F.eks. har vi at (Z, +) er en algebraisk struktur, da der gælder a, b Z : a + b Z (3.2) Næste skridt ville så være at fastlægge, hvordan vi ville regne med elementerne i en algebraisk struktur. Men da disse regler blot er udtryk for en mere formel beskrivelse af de regler vi allerede kender, er de flyttet til bilaget, se afsnit C.1 på side 25. Vi vil dog lige ridse definitionerne op: For at den associative lov er opfyldt for kompositionen, skal der gælde følgende 11

17 Definition 3.3 En komposition i en mængde M er associativ, hvis den opfylder a, b, c M : (a b) c = a (b c) (3.3) En algebraisk struktur med en associativ kompositon (M, ) kaldes en semigruppe. Vi har også den kommutative lov: Definition 3.4 En komposition i en mængde M er kommutativ hvis den opfylder at a, b M : a b = b a (3.4) Er (M, ) er semigruppe, og er kommutativ, har vi en kommutativ semigruppe. I nogle algebraiske strukturer findes et element som er neutralt. Definition 3.5 I en algebraisk struktur (M, ) er elementet e neutralt hvis der gælder at a M : a e = e a = a (3.5) Ved addition kaldes det neutrale element for et nul-element mens det kaldes et et-element ved multiplikation. Når vi så har en vilkårlig semigruppe med et neutralt element, kan vi definere et omvendt element: Definition 3.6 Når a er element i semigruppen (M, ) med det neutrale element e, og ligningssystemet x a = e, a x = e (3.6) har en løsning, er a invertibelt. Løsningen kaldes det inverse element til a og betegnes med a Grupper Nu da vi har defineret en komposition, en algebraisk struktur, en semigruppe, et neutralt element og et inverst element, er vi endelig klart til at definere hvad vi forstår ved en gruppe (se [13, s. 148], [12, s. 27] eller [1, s. 186]): Definition 3.7 En gruppe er en algebraisk struktur G med en komposition, som opfylder følgende: opererer på to elementer og der gælder at a, b G a b G, er associativ, Der findes et neutralt element i G, Alle elementer i G har et inverst element. 12

18 Hvis kompositionen også er kommutativ, siges gruppen at være kommutativ. En kommutativ gruppe kaldes også en abelsk gruppe. 1 Vi ser nu hvorfor man kalder en associativ algebraisk struktur for en semigruppe, idet en semigruppe kun mangler at opfylde de to sidste punkter Orden på sagerne Både de enkelte elementer i en gruppe og gruppen selv kan have det vi betegner med orden. Vi definerer et elements orden således: Definition 3.8 I en endelig gruppe med kompositionen er et elements orden n det mindste tal større end 0 som opfylder at: a n = e (3.7) hvor e er det neutrale element i gruppen. Vi skriver det også som n = ord a. Vi vil nu bevise at ethvert element i en endelig gruppe har en orden Bevis af 3.8 element: Vi skal vise at man før eller siden vil komme til det neutrale n Z : a n = e (3.8) Vi går ud fra at det ikke er muligt. For at undgå at komme til det neutrale element, må man altså kunne cykle i ring blandt gruppens elementer. Da gruppen indeholder et endeligt antal elementer, vil man før eller siden komme tilbage til et element, man har været ved før. Dette element må endvidere være det oprindelige element a. Hvis ikke, skulle der være to forskellige løsninger til ligningen a (m 1), hvor a m er det første element, vi har været ved før. Vi har altså at a = a m = a 2m. Det er lovligt at tilføje a 1 på hver side af lighedstegnet, så det gør vi. Det giver os at a a 1 = a (m 1) e = a (m 1). Vi ser nu at vi alligevel når til det neutrale element, nemlig efter m 1 gange. En gruppe har også en orden: Definition 3.9 En gruppes orden n er lig antallet af elementer i G. Sætning 3.10 Hvis G er en endelig gruppe, er et elements orden højst lig gruppens orden: ord x ord G (3.9) Beviset kommer fra [11, s. 173]: Bevis af 3.10 En gruppe G med ordnen n og kompositionen består af n elementer. Følgende mængde {e, x, x 2, x 3,..., x n } hvor x G består af n + 1 elementer, så mindst to af dem må være ens. Vi har så at x u = x v hvor 0 u < v n. Det giver os at x (v u) = x 0 = e, hvor 1 v u n. Ifølge definitionen ef et elements orden (sætning 3.8) må ord x nu være mindre end eller ligmed v u, som selv er mindre end eller lig med n: ord x v u n. Det giver os at ord x n. 1 Opkaldt efter den norske matematiker N. H. Abel, der bl.a. beskæftigede sig med kommutative grupper. 13

19 Sætning 3.11 Vi har en endelig gruppe G hvor a G. Der gælder nu at Dette bevis stammer også fra [11, s. 173]: a r = e ord a 0 (mod r) (3.10) Bevis af 3.11 Vi sætter s = ord x, og går ud fra at x r = e, hvor der gælder at r b (mod s) r = as + b hvor a Z og 0 b < s. 2 Hvis b > 0 går r altså ikke om i s, der er b til rest. Vi får så at: e = x r = x (as+b) = (x s ) a x b = e a x b = x b (3.11) Ved næstsidste omskrivning brugte vi definitionen på et elements orden, som siger at x s = e. Hvis nu b > 0 har vi fundet en mindre eksponent end s som giver os det neutrale element, da b < s. Dette strider imod definitionen af et elements orden, som jo siger at s > 0 er den mindste eksponent for hvilken det gælder at a s = e. Derfor kan b kun være 0, hvilket giver os at r 0 (mod s) (3.12) hvilket fortæller os at r går op i s. Følgende sætning bruges i beviset af Lucas-Lehmer sætningen. Sætning 3.12 Lad X være en mængde med en binær og associativ operator, som indeholder et neutralt element. Mængden X af alle de invertible elementer i X udgør så en gruppe. Bevis af 3.12 Det neutrale element i X er invertibelt, så X er ikke en tom mængde. Det er også klart at alle elementer i X er invertible, da det netop er en betingelse for at være med i X. Vi mangler så blot at vise, a, b X : a b X. Vi tager to elementer fra X, a og b, som er invertible, med de inverse elementer a 1 og b 1. Det inverse element til a b er så b 1 a 1, hvilket vi kan vise ved brug af den associative lov: (a b) (b 1 a 1 ) = a (b b 1 ) a 1 = a e a 1 = a a 1 = e, (3.13) Dette inverse element findes, da både a 1 og b 1 tilhører X. Dermed opfylder X kravene for at være en gruppe. 2 I [11] har de at 0 b < r. De ender så med at konstatere, at vi finder en eksponent b som er mindre end r. De skriver at det strider imod definitionen af x s orden, men det kan jeg ikke forstå, da den kun fortæller os at b s og ikke at b > r. 14

20 Kapitel 4 Lucas-Lehmer sætningen Lucas-Lehmer sætningen bruges til at bevise at et givent Mersenne tal er et primtal. Derfor omtaler jeg den også sommetider som Lucas-Lehmer testen. 4.1 Lucas-Lehmer Det følgende bevis for Lucas-Lehmer sætningen er taget fra [11, s ], som har det fra [2]. Oprindeligt stammer beviset fra [15]. Sætning 4.1 (Lucas-Lehmer) M p = 2 p 1 er kun et primtal hvis det går op i S p 1 : S p 1 0 (mod M p ) (4.1) hvor serien S defineres således: S 1 = 4 S n = S 2 n 1 2 (4.2) Bevis af 4.1 Vi starter med at indføre to symboler ω = 2+ 3 og ω = 2 3. Vi ser at ωω = 1. Der gælder nu følgende om serien S, ω og ω: Sætning 4.2 Det m-te element i serien S er givet ved S m = ω 2m 1 + ω 2m 1. (4.3) Bevis af 4.2 Vi bruger et induktionsbevis, som i [9, s ]. Der skal altså gælde to ting om (4.3): 1. S 1 skal være sand, 2. Hvis S m er sand, skal S m+1 også være det. Vi kender S m+1 fra (4.2). Ifølge (4.2) er S 1 = 4. Vi ser at ω ω 21 1 også er lig 4. 15

21 Vi viser så, at hvis (4.3) er sand for m, så er den også sand for m + 1. S m+1 skal så være lig ω 2n + ω 2n : S m+1 = Sm 2 2 ( = ω 2m 1 + ω 2m 1) 2 2 = (ω 2m 1) 2 ( + ω 2m 1) (ωω) m 1 2 (4.4) = ω 2m + ω 2m Vi har nu vist at (4.3) gælder for både m = 1 og for m = m + 1, derfor gælder den for alle m Z. Vi går nu ud fra at M p går op i S p 1, og ud fra sætning 4.2 på foregående side får vi at det må betyde følgende: S p 1 0 (mod M p ) ω 2p 2 + ω 2p 2 0 (mod M p ) ω 2p 2 + ω 2p 2 = RM p, R Z (4.5) I sidste linie skrev vi kongruensen som en normal ligning. Denne arbejder vi videre på, først ganger vi igennem med ω 2p 2 og vi flytter 1 over på højresiden: Vi kvadrerer: ω 2p 1 = RM p ω 2p 2 1 (4.6) ω 2p = ( RM p ω 2p 2 1) 2 (4.7) Vi får brug for (4.6) og (4.7) lidt senere. Vi vil gå ud fra at M p ikke er et primtal, og vil vise at dette medfører en modstrid. Hvis M p ikke er et primtal, vil der være en primfakter q som opfylder at q 2 M p. Vi lader nu Z q betegne mængden af heltal modulus q og X betegne mængden {a 1 + a 2 3 : a1, a 2 Z q }. Vi definerer to kompositioner på mængden X, addition og multiplikation. I begge tilfælde reducerer vi koefficienterne med modulus q. Addition defineres på normal vis: (a 1 + a 2 3) + (b1 + b 2 3) = (a1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) 3 (4.8) På samme måde defineres multiplikation som: (a 1 + a 2 3) (b1 + b 2 3) = (a1 b 1 + 3a 2 b 2 ) + (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) 3 (4.9) Vi ser at (X, +, ) er en algebraisk struktur, da kompositionerne opfylder kravet om at de afbilder mængden X ind i X. Det neutrale element i X med hensyn til multiplikation er Da der ifølge sætning C.6 på side 27 højst findes ét neutralt element, er det nok at gøre prøve med for at vise at det virkeligt er det neutrale element: (a 1 + a 2 3) ( ) = (1a1 + 0a 2 ) + (0a 1 + 1a 2 ) 3 = a 1 + a 2 3 (4.10) 16

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Rasmus Sylvester Bryder 20. februar 2009 1 F08 opgave 1 (i) Der skal gøres rede for at [2] er en primisk restklasse i Z/49, og den inverse dertil skal ndes. Altså skal gælde, at

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING JOHAN P. HANSEN Resumé. Under den historiske indføring forklares, hvad der menes med en Diofantisk ligning. Der gøres rede for formulering af Fermats Store

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne

ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R. kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Om primtal og forhold i opgangene

Om primtal og forhold i opgangene Om primtal og forhold i opgangene af Christian Marinus Taisbak Tilegnet en 70 år gammel mager karl, som spiser ene sin målte mad (J.V. Jensen, Holberg) For 45 år siden skrev jeg i forordet til min disputats,

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere