Beregninger på digitale signaler

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Beregninger på digitale signaler"

Transkript

1 KAPITEL NI Beregninger på digitale signaler Et digitalt signals værdier kunne repræsenteres ved tal med et endeligt antal cifre (med endelig præcision ). Dette krav er en naturlig følge af, at digital signalbehandling sædvanligvis foretages med materiel, som har en endelig registerlængde. Hvilken betydning, det får for de udførte beregningers nøjagtighed, afhænger bl.a. af, hvilke talformater der benyttes, samt af hvorledes beregningerne organiseres. Da det ofte er af stor betydning inden for digital signalbehandling, at beregninger foregår hurtigt, medens kravet om slutresultatets nøjagtighed ofte ikke er særligt stort, vil det næsten altid kunne betale sig at planlægge beregningsgangen og fordelingen af det til rådighed værende antal cifre nøje. 9.1 Talformater og aritmetriske operationer Næsten al digital signalbehandling foregår i det binære talsystem. Når der kun er få bit til rådighed til at repræsentere det digitale signals værdier, benyttes ofte 2 s komplement notation. De to mest almindelige metoder at fortolke et bit-mønster på under disse omstændigheder er vist på figur 9.1. Ved digital signalbehandling benyttes i overvejende grad multiplikationer og additioner. For begge disse operationer gælder det, at antallet af bit i repræsentationen for resultatet er større end det antal bit, de enkelte operander er repræsenteret med (ved addition b + 1 bit, ved multiplikation 2b bit). Medens man altid vil kunne risikere overløb ved addition, får man kun overløb ved multiplikation, når der benyttes heltalsrepræsentation. Dette er begrundelsen for en vis forkærlighed for anvendelse af brøkdelsrepræsentationen. Da additionsoverløb kan forhindres ved en passende skalering, d.v.s. en multiplikation med 2 1 før additionen, er det almindelig kutyme at regne med, at additioner kan foretages korrekt, således at alle fejlkilder optræder ved signalbehandlingens multiplikationer. Multiplikationsresultater skal altså afkortes til b bit, og dette kan ske enten ved en afrunding eller ved en Figur 9.1: Format for brøkdel og for heltal. 167

2 Figur 9.2: Model for kvantisering af resultat efter multiplikation. Figur 9.3: Sandsynlighedstæthedsfunktionerne for afrunding og afskæring af resultatet efter multiplikation. afskæring 1. I begge tilfælde er der tale om en ikke-lineær modifikation af det digitale signals værdier. Virkningen af disse modifikationer er ikke let at udtrykke nøjagtigt. Der benyttes derfor en stokastisk signalmodel, som i høj grad minder om den, der anvendes ved omsætning fra analogt til digitalt signal omtalt i afsnit 9.2. Til hver multiplikation, som udføres på den ovenfor omtalte unøjagtige måde, associeres et lille s- tokastisk signal s(n), hvis signalværdier er forskellen mellem det korrekte resultat af multiplikationen og det afkortede resultat, som benyttes i de videre regninger (se figur 9.2). Om signalet s(n) antages det sædvanligvis 1. at s(n) et stokastisk uafhængig af såvel signalet x(n) som af andre signaler, der opstår som følge af anden signalbehandling. 2. at sandsynlighedstæthedsfunktionen w s (ξ) for s(n) er rektangulær, hvor ξ ligger i et interval af bredden 2 b, hvis beliggenhed er afhængig af, om bitafkortningen sker ved afskæring eller afrunding, se figur 9.3, samt 3. at effektspektret S s (f) for s(n) er hvidt, altså S s (f) = 2 2b /12 suppleret med en DC-komponent af størrelsen 2 b 1, når der benyttes afskæring. Forudsætningen 1) er ensbetydende med, at støjens AC-effekt på et givet sted i en digital signalbehandling kan beregnes som summen af de enkelte delsignalers AC-effekt henført til det nævnte sted. 1 Som bekendt er afskæring bortkastning af de overskydende cifre, hvorimod afrunding indebærer, at der til det korrekte multiplikationsresultat adderes et tal svarende til halvdelen af det mindst betydende bit i slutresultatet, hvorefter der afskæres. 168 Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler

3 Hvad eventuelle DC-komponenter (hidrørende fra afskæring) angår, er de naturligvis helt korrelerede, og DC-effekten på et givet sted skal derfor beregnes på den måde, at DC-værdien først beregnes ved en summation af de enkelte DC-komponenter henført til det nævnte sted og derpå omsættes til en DCeffekt. På baggrund af denne signalmodel er det værd at fremhæve, at den rækkefølge, en forelagt digital signalbehandlings deloperationer i udføres i, kan få en ikke uvæsentlig indflydelse på slutresultatets nøjagtighed og støjfrihed. Et specielt problem frembyder konstanter, som indgår i den digitale signalbehandling, idet visse former for signalbehandling er meget følsomme for de uundgåelige unøjagtigheder, der følger af konstanternes repræsentation med et endeligt antal cifre. Også her gælder det, at man ved valg af en anden fremgangsmåde til at opnå den forlangte signalbehandling undertiden kan omgå vanskelighederne. Som grov hovedregel kan man anføre, at jo færre additioner og multiplikationer en digital signalbehandling består af jo bedre vil den normalt være i støjmæssig henseende 2. Med hensyn til beregninger foretaget på signalværdier i flydendetals repræsentation henvises til speciallitteraturen. 9.2 Kvantisering af samplede signaler Når det analoge og båndbegrænsede signal g a (t) skal omsættes til det digitale signal g(n), som repræsenteres ved hjælp af tal med endelig præcision, vil det ofte være således, at g(n) g a (n T ). Dette betyder, at g(n) og g a (t) ikke kan være helt ækvivalente. Betragter man nu et tænkt analogt signal, g k (t), som er båndbegrænset, og hvorom det gælder, at g k (n T ) = g(n), vil g k (t) og g(n) være ækvivalente. For ethvert n kan man således skrive hvor g e (n T ) er forskellen mellem g k (n T ) og g a (n T ). g k (n T ) = g a (n T ) + g e (n T ), (9.1) Man tænker sig nu, at g e (n T ) stammer fra en sampling af et lille båndbegrænset analogt signal g e (t), som kaldes kvantiseringsstøjen. Den digitale signalbehandling, som foretages på g(n), svarer derfor til en signalbehandling udført både på g a (t) og på g e (t). Er g a (t) et deterministisk signal, som er kendt, kan der korrigeres for afvigelserne, men denne situation er ikke særlig almindelig. Man antager derfor i reglen, at g a (t) er stokastisk, idet det derved bliver muligt at forudsige visse af fejlsignalet g e (t) s egenskaber Kvantiseringsstøjens egenskaber Antagelsen om, at g e (t) er stokastisk, er naturlig, såfremt g a (t) også er stokastisk. De resultater, der opnås på denne måde, viser sig imidlertid også at have gyldighed for andre former for signaler, når blot det antal cifre, som det digitale signal repræsenteres ved, ikke er alt for lille. Af afgørende betydning for beskrivelsen af g e (t) er kvantiseringskarakteristikkens form, dvs. sammenhængen mellem g a (n T ) og g(n). Den nævnte beskrivelse bliver enklest, når det antages, at alle karakteristikkens trin har samme bredde, e 0, dvs. at g a (t) s amplitudeområde deles op i lige store intervaller. Det er dog værd at bemærke, at denne forudsætning ofte ikke er opfyldt helt i praksis, enten fordi de elektroniske kredsløb, som udfører omsætningen, ikke er helt fejlfri, eller fordi man ved visse signaler - f.eks. tale - undertiden bevidst bruger varierende trinstørrelse. 2 I A. V. Oppenheim & R. W. Schafer: Digital Signal Processing, 1975, kap. 9, prob. 2, anføres det, at hvis man ved addition af mange heltal på 2 s komplement form på forhånd ved, at resultatet kan rummes inden for den givne registerlængde, spiller det ingen rolle, om der forekommer aritmetisk overløb undervejs i beregningerne Kvantisering af samplede signaler 169

4 Figur 9.4: Kvantiserings karakteristik. På figur 9.4 ses et eksempel på en sådan kvantiseringskarakteristik. Den værdi af g a (t), hvor g(n) skifter fra værdien 0 til værdien 3 1, kaldes e 1, og det ses umiddelbart, at 0 e 1 e 0 (9.2) Kvantiseringsstøjens sandsynlighedstæthedsfunktion Antager man, at e 0 er lille i forhold til bredden af sandsynlighedstæthedsfunktionen w a (ξ) for g a (t), kan man med den i afsnit 9.2 anførte sammenhæng mellem g e (n T ), g a (n T ) og g k (n T ) - og dermed med g(n) - let finde, at sammenhængen mellem g a (n T ) og g e (n T ) bliver som vist øverst på figur 9.5. Da sammenhængen er stykkevis lineær, må man for at finde kvantiseringsstøjens sandsynlighedstæthedsfunktion w e (η) benytte den metode, der er omtalt i afsnit I det interval, som indeholder g e (n T ) = 0, har man g e (n T ) = g a (n T ), (9.3) og følgelig gælder der her η = β(ξ) = ξ. (9.4) Bidraget fra w a (ξ) til w e (η) i dette interval fås altså som w e (n) = w a(γ(η)) β (γ(η)) = w a ( η), (9.5) hvor ξ = γ(η) er den omvendte funktion svarende til η = β(ξ). I det generelle tilfælde, når e 1 + (q 1)e 0 g a (n T ) e 1 + q e 0, (9.6) hvor q er et helt tal, bliver og resultatet bliver da hvor e 1 η e 0 e 1. η = β(ξ) = ξ + q e 0, (9.7) w e (η) = w a ( η + q e 0 ), (9.8) q= 3 eller svarende til den mindst betydende bit i talrepræsentationen for g(n) 170 Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler

5 Figur 9.5: Udregningen af sandsynlighedstæthedsfunktionen for kvantiseringsstøjen. w e (η) er altså kun forskellig fra 0 i det nævnte interval, og den findes gennem en addition af forskudte dele af w a (η). Kan man forudsætte, at disse forskudte dele er meget smalle, og at w a (η) er skikkelig og symmetrisk om η = 0, vil w e (η) med god tilnærmelse blive rektangulær (se figur 9.6). Det er herefter enkelt at beregne kvantiseringsstøjens middelværdi og effekt. Man får og E{g e (n T )} = E{g 2 e(n T )} = e0 e 1 e0 e 1 e 1 ξ 1 e 0 dξ = 1 2 e 0 e 1 (9.9) e 1 ξ 2 1 e 0 dξ = e2 0 3 e 0e 1 + e 2 1. (9.10) Bemærk, at disse størrelser er uafhængige af g a (t) under de opstillede forudsætninger, samt at de kun er funktioner af e 0 og e 1. Blandt de mange mulige kvantiseringskarakteristikker, som forskellige værdier af e 1 giver anledning til, er specielt to interessante. Betragtes først tilfældet e 1 = 1 2 e 0, får karakteristikken den symmetriske form, som kan ses på figur 9.7. På figuren vises også w e (ξ) samt støjens middelværdi og effekt. Det vil bemærkes, at såfremt w a (ξ) ikke er bred sammenlignet med e 0, hvilket tidligere har været forudsat, vil g(n) en god del af tiden være lig nul, og g a (t) omsættes under sådanne omstændigheder kun dårligt. Tilfældet e 1 = e 0 giver anledning til en anden form for kvantiseringskarakteristik, se figur 9.8, som udviser andre karakteristika, når g a (t) er lille. Her vil alle fortegnsskift for g a (t) bevirke, at g(n) skifter mellem to naboværdier. Omsætningsstøjen vil derfor hele tiden være til stede i g(n). Man kan vise, at kvantiseringsstøjens effekt under disse omstændigheder er større, end den er for afrunding. Signal/støjforhold ved kvantisering Det opnåelige signal/støjforhold ved kvantiseringsprocessen kan bl.a. udtrykkes derved, at støjens RMSværdi ses i forhold til RMS-værdien af det størst mulige sinusformede signal, som uforvrænget kan omsættes Kvantisering af samplede signaler 171

6 Figur 9.6: Summation af bidragene til sandsynlighedstæthedsfunktionen for kvantiseringsstøjen. Figur 9.7: Sandsynlighedstæthedsfunktionen for afrunding ved kvantisering. Figur 9.8: Sandsynlighedstæthedsfunktionen for afskæring ved kvantisering. 172 Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler

7 Benyttes en analog-digitalomsætter med b bit plus fortegn, kan det sinusformede signals spids-spids værdi højst være 2 2 b e 0. Har kvantiseringskarakteristikken den form, som ses på figur 9.7 (e 1 = 1 2 e 0), bliver signal/støjforholdet i db 20 log RMS {signal } RMS {kvantiseringsstøj } = 20 log 2 2b e e 0 = 7, , 02b db, (9.11) Kvantiseringsstøjens spektrum Kvantiseringsstøjen g e (t) er båndbegrænset med f g som øvre grænsefrekvens. Følgelig vil man kunne skrive g e (t) = g e (n T ) sin 2πf g(t n T ). (9.12) 2πf g (t n T ) n= For at få en rimelig let udledning af g e (t) s spektrum er det sædvanlig praksis at antage: 1. at det analoge signal g a (t) har passende store signalværdier i forhold til størrelsen e 0, samt 2. at disse signalværdier varierer passende usystematisk, således 3. at to støjværdier g e (n T ) og g e (q T ) er ukorrelerede for alle værdier af n q. Disse betingelser, som dels er affødt af ønsket om en enkel matematisk behandling af problemet, og som dels synes at stemme rimeligt godt med praksis, giver anledning til følgende regninger. Idet g e (t + τ) = q= g e (q T ) sin 2πf g(t + τ q T ), (9.13) 2πf g (t + τ q T ) vil kvantiseringsstøjens autokorrelationsfunktion kunne skrives på formen R e (τ) = E{g e (t)g e (t + τ)} (9.14) = E{g e (n T )g e (q T )} sin 2πf g(t n T ) sin 2πf g (t + τ q T ) 2πf g (t n T ) 2πf g (t + τ q T ) n= q= Ifølge betingelsen 3) ovenfor er { E{g 2 E{g e (n T )g e (q T )} = e (n T )} for n = q E 2 {g e (n T )} for n q (9.15) Betragtes nu først tilfældet E{g e (n T )} = 0, reduceres udtrykket for R e (τ) til R e (τ) = E{g 2 e(n T )} som kan skrives på formen q= sin 2πf g (t q T ) 2πf g (t q T ) R e (τ) = E{g 2 e(n T )} sin 2πf gτ 2πf g τ sin 2πf g (t + τ q T ), (9.16) 2πf g (t + τ q T ) (9.17) (se f.eks. appendix G). Heraf ses det straks, at kvantiseringsstøjens effekttæthedsspektrum S e (f) er båndbegrænset hvidt { 1 S e (f) = 2f g E{ge(n T 2 )} for f < f g (9.18) 0 ellers Kvantisering af samplede signaler 173

8 Er E{g e (n T )} = 0, tilføjes naturligvis til udtrykket for R e (τ) et konstant led svarende til kvantiseringsstøjens DC-effekt. Man får R e (τ) = E{(g e (n T ) E{g e (n T )}) 2 } sin 2πf gτ 2πf g τ + E 2 {g e (n T )}. (9.19) Følgelig kommer udtrykket for støjens effekttæthedsspektrum til at indeholde en δ-funktion ved f = 0, således at { 1 S e (f) = 2f g σ 2 {g e (n T )} + E 2 {g e (n T )} δ(f) for f < f g (9.20) 0 ellers. Som det er anført ovenfor, er de regninger, som er udført for at klarlægge kvantiseringsstøjens egenskaber, foregået på det analoge signal g e (t). Da g e (t) er båndbegrænset, er det i princippet muligt at overføre resultaterne til den digitale side. I praksis kan man imidlertid komme ud for, at det lille kvantiseringsstøjsignal ikke vil kunne repræsenteres med rimelig nøjagtighed i det talformat, som benyttes til beregningerne på de digitale signaler. Omsætningen af R e (τ) til digital form kan foretages på sædvanlig måde (se afsnit 8.3). Grov kvantisering Ved udtrykket grov kvantisering forstås den situation, der opstår, når w a (ξ) ikke længere kan anses for at være meget bredere end e 0. Den enkle udledning af kvantiseringsstøjense egenskaber ovenfor holder da ikke altid. Man kan dog vise, at det er muligt at nøjes med en kvantisering i få niveauer og alligevel få resultater, som er nøjagtige. Dette gælder specielt bestemmelse af middelværdier for stokastiske signaler (se f.eks. G. A. Korn: Random Process Simulation and Measurements, McGraw-Hill, 1966). Visse signaler - som tale f.eks. - varierer meget i styrke. Dette indebærer, at kvantiseringsstøjen kan blive generende, hvis A-D omsætterens område ikke udnyttes optimalt. Dette forhold kan i nogen grad afhjælpes ved addition af et lille støjsignal til det analoge signal før kvantiseringen. Efter kvantiseringen subtraheres det samme signal, og denne proces gør under navnet dither Digitale filtre Signalbehandling i et digitalt filter kan udtrykkes ved differensligningen y(n) = N 1 p=0 M 1 a p x(n p) + r=1 b r y(n r). (9.21) I udtrykket er x(n) indgangssignalet til filtret, y(n) udgangssignalet fra filtret og a p og b r filterkoefficienterne. Filtreringen udføres således ved en vægtet summation af indgangssignalet og tidligere udgangsværdier fra filteret. Hvis alle b r koefficienterne er lig 0 kaldes filteret et FIR (Finite Impulse Response) filter, da impulssvaret har endelig varighed. Hvis b r koefficienterne er forskellige fra 0 kaldes det et IIR (Infinite Impulse Response) filter. 4 N. S. Jayant og L. R. Rabiner: The Application of Dither to the Quantization of Speech Signales, B.S.T.J., Vol. 51, No. 6, July-August, Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler

9 For et filter, hvor koefficienterne ikke ændres over tiden, kan overføringsfunktionen beregnes ved en direkte fouriertransformation af (9.21): Y (f) = N 1 p=0 M 1 a p X(f)e j2πp T f + r=1 b r Y (f)e j2πr T f. (9.22) Hermed fås hvor Y (f) ( 1 M 1 r=1 ) N 1 b r e j2πr T f = X(f) H(f) = Y (f) X(f) = p=0 H 1(f) 1 H 2 (f) a p e j2πp T f (9.23) H 2 (f) = H 1 (f) = M 1 r=1 N 1 p=0 b r e j2πr T f a p e j2πp T f (9.24) Filterets impulssvar findes ved at påtrykke en digital δ-funktion på indgangen. For et FIR filter fås direkte, at impulssvaret er givet ved koefficienterne a p, således at h(n) = a n. For et IIR filter er impulssvaret væsentlige mere kompliceret at beregne, og ofte er det en fordel at opskrive et skema med de forskellige signalværdier. Et eksempel på dette er givet nedenfor. Eksempel 9.1 Beregning af impulssvar I et digitalt filter udføres signalbehandlingen: y(n) = a 0 x(n) + a 2 x(n 2) + b 1 y(n 1) hvor x(n) er indgangssignalet til filteret og y(n) er dets udgangssignal. a 0, a 2 og b 1 er reelle konstanter. Filterets impulssvar h(n) findes ud fra tabellen: n x(n) x(n 2) y(n 1) y(n) a a 0 b 1 a b 1 a 0 b 2 1 a 0 + a b 2 1 a 0 + a 2 b 3 1 a 0 + b 1 a b 3 1 a 0 + b 1 a 2 b 4 1 a 0 + b 2 1 a 2 b 4 1 a 0 + b 2 1 a 2 b 5 1 a 0 + b 3 1 a 2.. Der fås altså: 0 n < 0 h(n) = a 0 b n 1 0 n 1 a 0 b n 1 + a 2b n 2 1 N Digitale filtre 175

10 9.4 Realisation af digitale filtre Når et digitalt filter skal realiseres i praksis, er der flere forhold, som må iagttages, såfremt det resulterende filter skal leve op til forelagte specifikationer. Disse specifikationer afspejler sædvanligvis et ønske om, at filtret har en given overføringsfunktion, samt at signal/støj-forholdet på filtrets udgang er tilfredsstillende. Hertil kommer ofte kravet om, at den tid, der går til beregning af en ny værdi af udgangssignalet fra filtret, holdes inden for snævre grænser, således at filtret kan benyttes i sand tid. En digital filtrering kan naturligvis foregå såvel ved hjælp af specielt konstrueret digitalt udstyr som ved hjælp af programmerbart udstyr. I begge tilfælde benyttes sædvanligvis den tidligere anførte differensligning y(n) = N 1 p=0 M 1 a p x(n p) + r=1 b r y(n r) (9.25) som udgangspunkt. I udtrykket er x(n) indgangssignalet til filtret, y(n) udgangssignalet fra filtret og a p og b r filterkoefficienterne. Selv om et givet filter principielt kan realiseres direkte efter denne ligning, har erfaringen vist, at det er nyttigt at søge at omforme udtrykket således, at der tages passende hensyn til følgende forhold: 1. antallet af aritmetiske operationer (additioner og multiplikationer) minimeres, 2. antallet af gemte værdier af x(n) og y(n) minimeres, 3. antallet af bit i repræsentationen for x(n) og y(n) og for filtrets konstanter minimeres, og 4. filtre, hvor N og M er større end 2-3, undgås. Filtre, som konstrueres med skyldig hensyntagen til disse undertidende modstridende krav, giver i reglen en løsning, som er gunstig med hensyn til såvel stabilitet, støjforhold, udstyringsforhold og hastighed. Hvor der er tale om filtre af FIR-typen (d.v.s. hvor b r = 0), kræves der næsten altid en værdi af N, som langt overskrider den størrelse, der er anført i punkt 4. Sådanne filtre benyttes imidlertid ofte i forbindelse med løsninger, hvor der opereres med flere forskellige værdier af samplingtidsintervallet. Detaljer om sådanne realisationer må findes andetsteds (f.eks. Crochiere & Rabiner, 1983). Ved filtre af IIR-typen (d.v.s. hvor ikke alle b r = 0) er det som regel nødvendigt at opspalte filtrets overføringsfunktion H(f) i et produkt af passende valgte delfiltres overføringsfunktioner, som derpå hver kan realiseres med de begrænsninger i N og M, som punkt 4 tilsiger. Hvorledes man finder filterkoefficienterne, når H(f) er givet, vil ikke blive omtalt her, men der henvises til den omfattende litteratur om emnet, som også omfatter regnemaskinprogrammer til filterdimensionering. Det vil dog nok være på sin plads at omtale et par enkle regler, hvormed man kan modificere forelagte filtres impulssvar og på den måde få nye filtre med specielle egenskaber. Disse regler er specielt nyttige ved FIR-filtre, men kan også bringes i anvendelse ved IIR-filtre. Frekvensforskydningsreglen (se afsnit 4.2) kan generelt udtrykkes på formen hvor f 0 er en konstant. h(n)e j2πf 0n T T H(f f 0 ) (9.26) Der er altså mulighed for at forskyde overføringsfunktionen på frekvensaksen og således på simpel vis realisere en filterbank med ens filtre. Omsat til reel form lyder reglen f.eks. 2h(n) cos(2πf 0 n T ) T H(f f 0 ) + H(f + f 0 ) (9.27) 176 Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler

11 Figur 9.9: Symboler for digitale operationer. Bemærk, at med f 0 = f g, bliver cos-faktoren til ( 1) n. For god ordens skyld erindres det om, at H(f f 0 ) og H(f + f 0 ) godt kan være overlappende, når f 0 har værdier i visse intervaller på frekvensaksen, samt at H(f) jo er periodisk med perioden 2f g = 1 T. Reglen om indskydning af nuller mellem to på hinanden følgende værdier af et filters impulssvar er også en måde at konstruere nye filtre på ud fra et forelagt filter. Indskydes K 1 nuller mellem hver to på hinanden følgende værdier af h(n), fremkommer { h( n h K (n) = K ), når n K 0 ellers Dette filters overføringsfunktion H K (f) beregnes af er hel (9.28) H K (f) = = h K (n) e j2πfn T n= h(p) e j2πfpk T (9.29) p= eller Også her skal man være opmærksom på H(f) s periodicitet. h K (n) T H(Kf) (9.30) Realisationsformer Ved overvejelse om hvorledes en given filterberegning skal organiseres, er det nyttigt at benytte blokdiagrammer. I blokdiagrammerne indgår symboler for forsinkelse, multiplikation, addition og forgrening, se figur 9.9. Da digitale filtre er tidsinvariante, digitale netværk, kan elementer, som indgår i en af blokdiagrammets grene, ombyttes uden ændring af filtrets impulssvar og overføringsfunktion. Blokdiagrammer for digitale filtre kan også ændres ved en transponering. Transponering foregår på den måde, at transmissionsretningen for alle systemets komponenter vendes - herunder gøres dets indgang 9.4. Realisation af digitale filtre 177

12 Figur 9.10: Transponering af digitale operationer. Figur 9.11: Direkte form 1 (DF1). til dets udgang og vice versa -, at alle forgreninger ændres til summationspunkter og alle summationer til forgreningspunkter (se figur 9.10). Organiseres filterberegningerne direkte efter differensligningen, benævnes realisationsformen Direkte form 1, som er vist på figur Spalter man det viste additionssymbol op i to, et for de forsinkede x-værdier og et for de forsinkede y- værdier, ses det umiddelbart, at man kan fortolke de to dele af diagrammet som to separate, seriekoblede filtre. De to halvdele af blokdiagrammet kan derfor ombyttes, og således fremkommer realisationsformen Direkte form 2, se figur 9.12, hvor antallet af lagrede værdier reduceres til ca. halvdelen af det, som er nødvendigt i Direkte form 1. Det samme resultat kan fremkomme ved transponering. Ud over disse to former for filterrealisation er der ved filtre, hvor nogle af multiplikatorerne er ens, yderligere mulighed for at simplificere beregningsskemaet. I denne gruppe falder bl.a. de FIR-filtre, hvis impulssvar opfylder betingelsen h(n) = h(n 1 n), hvor N er længden af filtrets impulssvar. I øvrigt kan man undertiden i aktuelle tilfælde udnytte, at to eller flere filterkonstanter kan skrives som et produkt, hvori der indgår en fælles faktor. Ved yderligere manipulation med ligningerne for de digitale filtre - og med passende skelen til analog filterteknik - er det muligt at nå frem til endnu en strukturform: stige- og gitterstrukturen (se figur 9.13), hvor indholdet af de enkelte blokke kan antage forskellige former, af hvilke et par er vist på figur Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler

13 Figur 9.12: Direkte form 2 (DF2). Figur 9.13: Gitterstruktur. Figur 9.14: Gitter- og stige-blokke Realisation af digitale filtre 179

14 Denne realisationsform udmærker sig navnlig ved, at konstanten k m for sektion m er mindre end 1 for alle m, hvis filtret er stabilt, samt at det i reglen gælder, at den nøjagtighed, hvormed k m skal specificeres, er ret lav Filterberegningen Når de beregninger, som realisationen af et digitalt filter kræver, skal udføres, er det nødvendigt at fastlægge den talrepræsentation, der skal benyttes. Dernæst må man af hensyn til overløb ved beregningerne sørge for, at de tal, der regnes på, er passende skalerede, d.v.s. sørge for, at de varierer inden for acceptable grænser. Endelig må det antal bit, som regninger udføres med, afstemmes dels efter det udstyringsområde, der ønskes, dels med henblik på at den støj, der fremkommer ved beregningerne, holdes under foreskrevne grænser. Da erfaringen viser, at det beregningsskema, som benyttes ved en filterrealisation, har stor betydning for, hvorledes disse krav kan opfyldes, kan der her kun anføres visse almindelige retningslinier for problemernes løsning. I det følgende antages det, at signalværdierne, som skal bearbejdes, repræsenteres på brøkdelsform, samt at additioner ikke giver overløb. De eneste fejlkilder i beregningsprocessen er da den unøjagtighed, som optræder, når multiplikationer afkortes til b bit plus fortegn (se afsnit 9.1). Overløb i filterberegningen En metode til vurdering af hvilken maksimal størrelse man kan forvente, at udgangssignalet fra et digitalt filter - eller fra en vilkårlig del af et sådant filter - har, tager sit udgangspunkt i foldningsudtrykket y(n) = hvor h(n) er filtrets eller delfiltrets impulssvar. p= h(p)x(n p), (9.31) I praksis vil indgangssignalet x(n) til et sådant filter altid være begrænset, enten det stammer fra en anden digital beregning eller fra en A/D-konverter, d.v.s. med det givne talformat. hvor k x < 1 er en konstant. Derfor vil x(n) k x (9.32) y(n) k x n= Det anføres i litteraturen, at denne grænse ofte er for pessimistisk. En anden vurderingsmetode er baseret på ligningen y(n) = 1 2f g fg som ved hjælp af Schwarz ulighed (se appendix B) kan omformes til h(n) (9.33) f g X(f)H(f) e j2πfn T df (9.34) y(n) 2 y(n) ( ) 2 1 fg 2f g n= n= fg H(f) 2 df X(f) 2 df f g f g h 2 (n) x 2 (n) (9.35) 180 Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler

15 I dette udtryk er h(n) kendt. Ligning 9.34 kan også give y(n) 1 fg 1 fg X(f) H(f) df H max X(f) df (9.36) 2f g f g 2f g f g hvor H max er den maksimale værdi af H(f). Tilsvarende fås hvor X max er den største værdi af X(f). 1 fg y(n) X max H(f) df (9.37) 2f g f g For stokastiske indgangssignaler kan ovenstående vurderinger ikke anvendes. For sådanne signaler gælder det, at det er formen af sandsynlighedstæthedsfunktionen efter filteret, som er bestemmende for, om der finder overstyring sted. Som anført i afsnit 8.7, er det kun sjældent muligt at sige noget om denne sandsynlighedstæthedsfunktion, ud over at den ofte vil nærme sig en gauss-fordeling. Har man derfor kendskab til udgangssignalets effekt P y, er det enkelt at få et skøn over y(n) s maksimale amplitudeværdier. Man har P y = 1 fg H(f) 2 S x (f)df (9.38) 2f g f g hvor S x (f) er effektspektret for x(n). Såfremt S x (f) er konstant over det frekvensområde, hvor H(f) 2 antager betydende værdier, vil man tilnærmet have P y S x (f 0 ) 1 fg H(f) 2 df (9.39) 2f g f g eller P y S x (f 0 ) hvor f 0 er en frekvens i filterets gennemgangsområde. n= Dermed bliver sandsynlighedstæthedsfunktionen w y (ξ) for udgangssignalet h 2 (n) (9.40) W y (ξ) = 1 e ξ 2 2Py, ξ [, ]. (9.41) 2πPy Her kan altså fremkomme vilkårligt store amplitudeværdier. Vurderingen af, hvor hyppigt sådanne amplitudeværdier forekommer, vil blive fremlagt i afsnit Støj fra filterberegningen Egenskaberne ved den støj, som frembringes ved en multiplikation af en signalværdi med en filterkonstant, antages at være som omtalt i afsnit 9.1. I praksis er man ofte interesseret i, hvilken støj en sådan støjkilde giver anledning til på filtrets udgang. Dette afhænger af, hvor i filteret støjkilderne er anbragt. Er multiplikationerne anbragt direkte ved udgangen, bliver resultatet som anført i afsnit 9.1. Såfremt dette ikke er tilfældet, vil det næsten altid være sådan, at støjsignalet passerer hele filtret eller en del heraf, før det når udgangen. Kaldes delfiltrets impulssvar h d (n) og dets overføringsfunktion H d (f), vil støjsignalets effektspektrum på filterudgangen være P s H d (f) 2 (9.42) hvor P s er støjkildens effekt. Følgelig bliver støjsignalets effekt P y på filtrets udgang P y = P fg s H d (f) 2 df. (9.43) 2f g f g 9.4. Realisation af digitale filtre 181

16 Ideelle koefficienter Forstærkning [db] Forstærkning [db] Normaliseret frekvens [f/f s ] Kvantiserede koefficienter Normaliseret frekvens [f/f s ] Figur 9.15: Amplitudekarakteristik for digital FIR lavpasfilter uden (top) og med (bund) kvantisering af filterkoefficienterne. Anvendelse af Parsevals sætning giver som i visse tilfælde er enklere at beregne. P y = P s n= h 2 d(n), (9.44) Har filterberegningerne flere multiplikationer, betragtes de hertil hørende støjkilder som stokastisk uafhængige, hvorfor den samlede effekt på filtrets udgang hidrørende fra multiplikationerne fremkommer ved en addition af de effekter, som de enkelte støjkilder giver anledning til på udgangen. Det er ovenfor stiltiende forudsat, at der anvendes afrunding ved multiplikationerne. Såfremt der benyttes afskæring, må der tages hensyn til støjens DC-komponent (se afsnit 9.1). Kvantisering af filterkoefficienterne Ved implementering af digitale filtre er man tvunget til at kvantisere filterkoefficienterne til den præcision, der kan håndteres af den givne elektronik. Herved vil overføringsfunktionen for filteret også blive ændret. Denne ændring kan karakteriseres ved at benytte (9.23) med de kvantiserede koefficienter. I figur 9.15 er vist et eksempel for et digital FIR lavpasfilter. Den øverset kurve viser overføringsfunktionen med de ideelle koefficienter, og den nederste kurve viser overføringsfunktionen, når koefficienterne er kvantiseret til 16 bits præcision. Det ses, hvordan stopbåndet ændres, så dæmpningen her bliver mindre end antaget under designet af filteret Eksempler på realisation af enkle digitale filtre Til illustration af de ovenfor omtalte aspekter ved realisation af digitale filtre gennemgås nogle forskellige måder at organisere filterberegningerne på i et simpelt FIR-filter og i et simpelt IIR-filter. 182 Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler

17 0 5 N = 32 N = 16 N = 8 N = H(f) [db] Frekvens [f/f s ] Figur 9.16: Amplitudekarakteristik for den digitale integrator. Figur 9.17: Umiddelbar realisation af digital integrator. Den digitale integrator Den signalbearbejdning, som udføres af den digitale integrator, er givet ved y(n) = 1 N n q=n N+1 x(q) (9.45) Integratorens impulssvar h(n) er derfor h(n) = { 1 N n = 0, 1,... N 1 0 ellers (9.46) og dens overføringsfunktion (se afsnit 4.3.2) H(f) = 1 N sin(πfn T ) sin(πf T ) e jπf(n 1) T (9.47) Figur 9.16 viser amplitudetæthedsspektret H(f) for forskellige værdier af N. Filtret kan realiseres direkte efter udtrykket som vist på figur 9.17, hvilket er ugunstigt, set ud fra såvel et støjsynspunkt som et beregningstidssynspunkt. Da faktoren 1 N er den samme for alle multiplikationer, 9.4. Realisation af digitale filtre 183

18 Figur 9.18: Rekursiv realisering af digital integrator. kan de naturligvis slås sammen og enten flyttes til filtrets indgang eller til dets udgang. Man kan vise, at det sidstnævnte tilfælde er gunstigt set ud fra et støjsynspunkt, idet den til multiplikationerne hørende støjkilde da sidder direkte på filterets udgang. Regnes der med resultatværdier på b bit plus fortegn, er støjeffekten fra en multiplikation P 0 = b, (9.48) og støjeffekten P y på udgangen af filtret har da denne størrelse. Såfremt multiplikationerne anbringes ved filtrets indgang, må støjsignalet for at nå udgangen gennemløbe et delfilter med impulssvaret h d (n) = { 1 0 n N 1 0 ellers. (9.49) P y bliver derfor N 1 P y = P 0 n=0 h 2 d(n) = NP 0, (9.50) altså det samme som ved en realisation efter figur Den spektrale sammensætning af støjen på filtrets udgang er imidlertid forskellig i de to tilfælde. Med multiplikationerne på filtrets indgang bliver støjspektret medens det ellers er hvidt. Integratoren kan også realiseres rekursivt, idet P 0 H d (f) 2 (9.51) y(n) = 1 N x(n) 1 x(n N) + y(n 1) (9.52) N Dette beregningsskema kan omsættes til de blokdiagrammer, som vises på figur Heraf ses det umiddelbart, at realisationen kan opspaltes i et kamfilter og et ikke stabilt IIR-filter, og at der både er en Direkte form 1 og en Direkte form 2 løsning. Af disse giver den sidste problemer af numerisk art, hvis x(n) har en DC-komponent, og sædvanlig støjberegning kan ikke foretages i DF1 tilfældet. Når N = 2 r, hvor r er hel, vil den digitale integrator kunne realiseres som en seriekombination af r simple kamfiltre, se eksemplet på figur 9.19, hvor N = 8. To forhold ved denne realisationsform medvirker til at give mindre støj på filtrets udgang. For det første bliver antallet af multiplikationer 2r, og for det andet vil støjen fra en del af disse skulle gennemløbe forskellige delfiltre på vejen til filtrets udgang og dermed blive reduceret effektmæssigt. 184 Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler

19 Figur 9.19: Realisation af digital integrator N = 2 3 med 3 kamfiltre. Figur 9.20: Impulssvar for den digitale averager. For N = 8 realiseret som vist på figur 9.19 bliver støjeffekten på udgangen P y = 3.5P 0. Det kan vises, at r 1 P y = 4P 0 2 q (9.53) q=1 i det almindelige tilfælde. Bemærk, at P y 4P 0, når r. Nært beslægtet med den digitale integrator er den digitale averager. Den fremkommer, dersom man indskyder K 1 nuller mellem to på hinanden følgende værdier af impulssvaret for den digitale integrator (se figur 9.20). Averagerens impulssvar bliver da h(n) = Den tilhørende overføringsfunktion som ses afbildet på figur { 1 N H(f) = 1 N for n = pk, p = 0, 1,... N 1 0 ellers (9.54) sin(nkπf T ) sin(kπf T ) e j(n 1)Kπf T (9.55) Som det fremgår af udtrykket for overføringsfunktionen, er den periodisk med perioden 1 K T. Dens fasedel varierer lineært og har værdien 0 for alle frekvenser, som er et helt multiplum af (K T ) 1. Dette filter er følgelig meget velegnet til filtrering af et periodisk signal med periodetiden K T. Filtrets indsvingningstid er NK T Realisation af digitale filtre 185

20 1.2 1 Amplitudkarakteristikken for K=8, N=8 f s /K 2f s /K 3f s /K 0.8 H(f) 0.6 arg H(f) f/fs fasekarakteristikken for K=8, N= f/fs Figur 9.21: Amplitude- og fasekarakteristik for den digitale averager. Første ordens digitalt filter Det er en almindelig erfaring, at IIR-filtre kræver forholdsvis få beregninger for at realisere en given overføringsfunktion. At benytte sådanne filtre - specielt de hvor M og N er større end 2 - giver dog også visse problemer. De er således oftere følsomme over for unøjagtigheder i filterkoefficienterne, og de udviser den såkaldte dødzone opførsel (se nedenfor). Signalbearbejdning, som udføres i et første ordens IIR-filter, er givet ved y(n) = a 0 x(n) + b 1 y(n 1) (9.56) hvor a 0 og b 1 er konstanter. Det kræves at b 1 < 1, såfremt filtret skal være stabilt, og filtrets impulssvar er givet ved { a0 b h(n) = n 1 for n 0 (9.57) 0 for n < 0 Overføringsfunktion kan skrives på formen H(f) = a 0 1 b 1 e j2πf T (9.58) Filtrets forstærkning ved f = 0 er da a 0 /(1 b 1 ). Af bekvemmelighed antages det i det følgende, at H(0) = 1, hvilket har til følge, at a 0 = 1 b 1. Filtrets konstant b 1 kan findes af følgende udtryk b 1 = 2 cos(π f ( 0 ) 2 cos(π f ) 2 o ) 1 (9.59) f g f g hvor f 0 er den ønskede 3 db grænsefrekvens. f g er den halve samplingfrekvens d.v.s. f g = 1 2 T. Er f 0 meget lav i forhold til f g, vil det viste udtryk for b 1 kunne give unøjagtige resultater. I sådanne tilfælde 186 Kapitel 9. Beregninger på digitale signaler 1

Total systembeskrivelse af AD1847

Total systembeskrivelse af AD1847 Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse VIBRO CONSULT Palle Aggerholm Tilstandskontrol ved hjælp af vibrationsanalyse Et minikursus med særlig henvendelse til vindmølleejere Adresse: Balagervej 69 Telefon: 86 14 95 84 Mobil: 40 14 95 84 E-mail:

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit.

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit. Kapitel 20: Talsystemer 20 Resumé af talsystemer... 344 Indtastning og omregning af talsystemer... 345 Udførelse af matematiske beregninger med hexadecimale og binære tal... 346 Sammenligning eller manipulation

Læs mere

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal T ALKUNNEN 6 Allan C Allan C.. Malmberg Tilnærmede tal og computertal INFA Matematik - 2000 1 INFA - IT i skolens matematik Projektledelse: Allan C. Malmberg Inge B. Larsen INFA-Klubben: Leif Glud Holm

Læs mere

ORIENTERING FRA MILJØSTYRELSENS REFERENCELABORATORIUM FOR STØJMÅLINGER

ORIENTERING FRA MILJØSTYRELSENS REFERENCELABORATORIUM FOR STØJMÅLINGER ORIENTERING FRA MILJØSTYRELSENS MÅLEUDSTYR HOS DE GODKENDTE LABORATORIER Orientering nr. 3 Ole F. Carlsen/Torben Holm Pedersen 2-7-19 OVERSIGT OVER MÅLEUDSTYR LYDTRYKMÅLING FFT-ANALYSE BÅNDOPTAGELSE OKTAVANALYSE

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Dampturbineanlæg. Udvikling af fejl i planetgear.

Dampturbineanlæg. Udvikling af fejl i planetgear. VIBRO CONSULT Palle Aggerholm. Dampturbineanlæg. Udvikling af fejl i planetgear. Adresse: Balagervej 69 Telefon: 86 14 95 84 E-mail: palle@vibroconsult.dk www.vibroconsult.dk DK 8260 Viby J. Højtryksturbine

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie???

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie??? Romertal. Hvordan var de struktureret?? Systematisk?? I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Regler: Hvis et lille tal skrives foran et stort tal trækkes tallet fra: IV = 5-1 = 4 Hvis et lille tal skrives

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

860w 1060w 1062w 1260w 1262w

860w 1060w 1062w 1260w 1262w DEUTSCH ENGLISH R E F E R E N C E 860w 1060w 1062w 1260w 1262w PORTUGUÊS DANSK SVENSK ITALIANO NEDERLANDS ESPAÑOL FRANÇAIS SUOMI Русский POLSKI R E F E R E N C E Tak fordi du valgte en Infinity Reference

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

DE BEAR TECHNOLOGY. o Processer, metoder & værktøjer. e-mail: info@dbtechnology.dk WWW.DBTECHNOLOGY.DK

DE BEAR TECHNOLOGY. o Processer, metoder & værktøjer. e-mail: info@dbtechnology.dk WWW.DBTECHNOLOGY.DK Mission Critical o Projekt Information management o Processer, metoder & værktøjer. Side 1 of 11 Projekt information Projekt information management inkluderer alle de processer, som er nødvendige for at

Læs mere

Eksponeringskompensation

Eksponeringskompensation Eksponeringskompensation EC = Exposure Compensation Eksponeringskompensation; måles altid i EV-steps. Bruges når man ønsker at ændre kameraets automatiske eksponering, således at man gerne vil have det

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter Kollektor Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999 Basis Emitter 1 Indholdsfortegnelse Problemformulering 3 Transistorens opbygning 4 Transistoren DC forhold

Læs mere

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Kort introduktion til MATLAB

Kort introduktion til MATLAB BILAG H Kort introduktion til MATLAB Matlab er et interaktivt programmeringssprog udviklet til manipulering af vektorer og matricer, og er baseret på LINPACK og EISPACK bibliotekerne. På grund af den lette

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

CITIZEN TM CX-85. Strimmelregner. Instruktionsmanual

CITIZEN TM CX-85. Strimmelregner. Instruktionsmanual ITIZEN TM X-85 Strimmelregner Instruktionsmanual BESKRIVELSE AF TASTATUR OG KNAPPER... Slettetast (clear entry / clear) Anvendes til at slette et forkert indtastet beløb. Øvrige indhold af hukommelsen

Læs mere

Piano Tuning & String Analyzing Tool

Piano Tuning & String Analyzing Tool Piano Tuning & String Analyzing Tool Læs mig indeholder oplysninger om bedst brug af sitet samt oplysninger om Piano Tuning & String Analyzing Tool, operativsystemer og lydkort. Programmet vil herefter

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Principperne for takstfastsættelse af tillægsydelser

Principperne for takstfastsættelse af tillægsydelser Principperne for takstfastsættelse af tillægsydelser Styringsaftalen anviser de almindelige principper for beregning af takster for hovedydelser. I nedenstående beskrives de aftalte principperne for takstfastsættelse

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Lidt tankevirksomhed i fbm. udvikling og fremstilling af en 23 transverter

Lidt tankevirksomhed i fbm. udvikling og fremstilling af en 23 transverter Lidt tankevirksomhed i fbm. udvikling og fremstilling af en 23 transverter Af Istvan Zarnoczay OZ1EYZ 29. august 2008 Krav/ønsker osv. Inden man går i gang med sådan et projekt skal man gøre sig klart

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Dekoder type 628. Diagram. Print. Litra.DK

Dekoder type 628. Diagram. Print. Litra.DK Dekoder type 628 Denne dekoder anvendes hovedsagelig til signaler. Den kan også anvendes til andre opgaver, men her vil andre typer af dekodere være mere velegnet. Dekoderen forsynes med spænding og digital

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Rentesregning: Lektion A2. Intern rente, Flere rentetilskrivninger, Excel. Introduktion. Peter Ove Christensen. Forår 2012

Rentesregning: Lektion A2. Intern rente, Flere rentetilskrivninger, Excel. Introduktion. Peter Ove Christensen. Forår 2012 Rentesregning: Lektion A2, Flere rentetilskrivninger, Excel Peter Ove Christensen Forår 2012 1 / 26 Definition Hvilken rentesats giver vores betalingsrække en ønsket værdi? Denne rentesats kaldes for den

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

12.3. Kreditgivning eller investering

12.3. Kreditgivning eller investering 12.3. Kreditgivning eller investering 12.3. Kreditgivning eller investering Det forhold, at udlån i lovens forstand skal forstås bredt, og at udlånsvirksomhed som ovenfor nævnt omfatter enhver form for

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Modulationer i trådløs kommunikation

Modulationer i trådløs kommunikation Modulationer i trådløs kommunikation Valg af modulationstype er et af de vigtigste valg, når man vil lave trådløs kommunikation. Den rigtige modulationstype kan afgøre, om du kan fordoble din rækkevidde

Læs mere

De danske huspriser. homes husprisindeks. 180 Realkreditrådet. Home s Danske Husprisindeks. Danmarks Statistik. 80 www.danskebank.

De danske huspriser. homes husprisindeks. 180 Realkreditrådet. Home s Danske Husprisindeks. Danmarks Statistik. 80 www.danskebank. De danske huspriser homes husprisindeks København den 1. sept. 7 For yderligere information: Steen Bocian, Danske Bank +5 5 1 5 31, stbo@danskebank.dk Niels H. Carstensen, home +5 15 3 nica@home.dk Den

Læs mere