Esimering af CES-eferspørgselssysemer - En Kalman Tilgang Anders F. Kronborg, Chrisian S. Kasrup og Peer P. Sephensen, DREAM May 18, 2018 1 Indledning Dee papir beskriver hvordan Kalman-filere - muligvis - kan bruges il esimering af fakoreferspørgslen i en nese CES-srukur sam beskrive udviklingen over id i de fakorspecifikke effekiviesindeks. Projeke er sadig»work in progress«og resulaer og konklusioner er derfor foreløbige. I DREAM har vi en lang radiion for a kalibrere nesede CES-produkionsfunkioner. Vi har ypisk kalibrere il e besem år. I den nye konjunkurmodel ønsker vi a kunne kaliberere il flere eferfølgende år, således a de kalibrerede paramere meningsfuld kan forolkes som en idsrække, for eksempel i forbindelse med fremskrivninger eller il beskrivelse af økonomiens srukurelle sørrelser. Ved kalibrering anager man subsiuionselasicieerne for kende og beregner fordelingsparamerene. I sede ønsker vi en meode, der (ideel se) både esimerer subsiuionselasicierne sam filrerer de fakorspecifikke effekivieesindeks. Som eksempler berages i de eferfølgende ADAM-sekorerne for fremsilling og priva service. 2 Probleme Anag a virksomhedens produkionsfunkion er give som: y = [ j ] E E µ 1 j q E 1 E 1 E j (1) Vi anager a subsiuionselasicieen E er konsan, mens andelsparameeren µ j illades a variere over id. De er velkend, a dee er nødvendig for a forklare en nogenlunde konsan fakoraflønning mellem kapial og arbejdskraf samidig med, a per capia indkomsen vokser over id - med mindre a E = 1 (så produkionsfunkionen er Cobb-Douglas). Hvis E < 1 kræver de derimod, a der er biased eknologiske E-mail: ank@dreammodel.dk 1
fremskrid. Eksemple illusrerer mege god, hvordan subsiuionselasicieen og den fakorspecifikke effekiviesvæks er uløselig forbunde. Virksomhedens omkosningsminimering, give produkionsfunkionen i (1) resulerer i CES-eferspørgslen: ( ) p E j q j = µ j Q (2) P hvor Q er e aggrega af de fakorinpu, der indgår i de beragede nes og P er de ilsvarende kædeprisindeks. Ved esimaion af produkionsfunkioner er de nødvendig a gøre nogle anagelser om den idsmæssige udvikling i µ j eller e j. De gøres ypisk ved a fie den hisoriske udvikling i effekiviesindekse il en deerminisisk, funkionel form, eksempelvis lineære rends (Anras [2004]), højere-ordens polynomier (eksempelvis ADAM), Box_Cox ransformere rendspecifikaion (Klump e al. [2007]) eller logisiske rappefunkioner (Thomsen [2015]). Afvigelserne fra en lineær rend giver for eksempel mulighed for a beskrive»mellemlangsigede«flukuaioner i fakoraflønning i effekiviesraerne for fakorinpuene (Blanchard [1997]). Hvis vi definerer budgeandelen s j = pq j q j p y s j = µ j ( p q j p kan (2) omskrives i forhold il budgeandele ) 1 E (3) Esimaionen kan pricipiel anvendes på begge specifikaioner, men (3) har den fordel i forhold il (2), a de er mindre sandsynlig, a der er korrelerede målefejl på både højre- og vensresiden, hvilke principiel kan give bias i esimae for E (vi finder dog, a dee har mege begrænse beydning). Ovensående specifikaion i (1) er måden hvorpå produkionsfunkioner ypisk ser ud i MAKRO. Hvis man fx bedre kan lide en specifikaion der indeholder e effekiviesindeks e j : y = skal man blo omregne fx således: [ α j (e j q j ) E 1 E j ] E E 1, e j0 = 1, (4) ( ) 1 µ j E 1 e j = µ j0 (5) hvor α j = µ 1 E j0 og = 0 er e basis-år. Ideen i nærværende papir er a anvende en fleksibel meode, som ved hjælp af Kalman-filere både esimerer subsiuionselasicieerne sam giver e bud på den hisoriske udvikling i de uobserverede fakorspecifikke effekiviesindeks (dee er beskreve i de følgende afsni). Vi har idligere afprøve nedensående meode ved Mone Carlo-eksperimener og fåe gode resulaer for så vid angår esimaion af elasicieen for simulere daa med den relevane længde. 2
3 Esimering af en nese CES-srukur: En Kalmanilgang Vi opsiller følgende sae-space model: log(s ) = Fθ + (1 E )log ˆP + ε s θ = Gθ 1 + ε θ E = E 1 + ε E hvor maricerne F og G har dimensionerne 1 n θ og n θ n θ og vekoren θ er passende konsruere og afhængig af specifikaionen. ˆP er fakorprisen, relaiv il prisindekse. Sødende ε s og ε θ kan ænkes som henholdsvis målefejl (eller søj i daeserierne) og ændringer effekiviesindeksene - begge er anage a være uafhængige og normalfordele. Vi resingerer variansen på ε E il 0, således a Kalman smooheren eferfølgende giver én værdi for E og vi benævner dee som vores elasiciesesima. Cenral for beskrivelsen af CES-nese er som idligere nævn de anagelser man gør omkring effekiviesindeksene e j i produkionsfunkionen i (4). Vi forsøger o forskellige ilgange: Den førse er en ieraiv proces: Anag førs a elasicieen E er kend. I dee ilfælde kan Kalman filere hurig bruges il a konsruere den hisorise udvikling i paramerene µ j (uden målefejl ville de være en ren kalibreringsøvelse). Udgangspunke er herefer a behandle serierne af paramere som»daa«og derefer anvende sandard økonomeriske meoder il a karakerisere dem, f.eks. graden af persisens eller hvorvid de har rends. I den førse ieraion anages, a log(µ ) følger en Random Walk og elasicieen esimeres fra Kalman smooheren. Herefer benyes den auomaiserede procedure, der er beskreve i Hyndman and Khandakar [2008], il a vælge den bedse ARIMA-model, bl.a. basere på informaions-krierie og uni roo ess. Hvis den bedse model er en Random Walk soppes, hvis ikke, esimeres E i næse ieraion, men hvor sae-ligningen nu specificeres som den valge ARIMAmodel. Denne ieraion forsæes indil den anagede beskrivelse af µ j bekræfes efer esimaionen. Uden i øvrig a forholde os il værdien af E eller de resulerende fakorspecifikke indeks finder vi, a denne ieraive meode generel forbedrer sysemes fi il daa, sam a modelspecifikaionen»konvergerer«efer nogle få ieraioner. En oplag risiko, se med økonombriller, ved ovensående ilgang er, a den resulerende serie for e j ikke bliver ilsrækkelig gla. Som e alernaiv og som ilgang nummer 2 anager vi derfor, a log(µ j ) kan beskrives som en I(2)-process, således a vores sysem svarer il en kombinaion af en regressionsmodel og e HP-filer. 3.1 Daa I esimaionsprocessen anvendes daa fra ADAMs daabank for perioden 1967-2016 (se Appendiks for en specifikaion af ADAM-variablene). Kapial besår udelukkende af maskinkapial, hvilke er konsisen med Thomsen [2015]. For fremsillingssekoren (nz) anvendes en LM-nesingsrukur og en EM-nesingsrukur anvendes for priva service (qz), da Thomsen 2013 finder, a disse srukurer forerækkes for de enkele sekorer. 3
Priser for de forskellige ness ( og L for fremsillingssekoren sam og E for priva service) dannes som e Paasche kædeindeks (se Appendiks). Mængdeindekse udledes herefer ud fra en konsisensanagelse om nul profi. I de øverse nes indføres en mark-up, så der illades for profi forskellig fra nul. Dermed gælder konsisensanagelsen om nul-profi i de sidse nes ud fra en opimeringspris (se Appendiks). 3.2 Resulaer (foreløbige!) Elasiciesesimaerne er vis i Tabel 2. For fremsillingssekoren er elasicieerne ikke lang fra Thomsen [2015], måske med undagelse af -nese. For den privae servicesekor ser særlig -elasicieen mege lav ud (dog fraregne random walk specifikaionen), og de samme gælder delvis for L-nese. EM-elasicieen på 0,74 ligger en anelse over Thomsen [2015]. De flese af elasicieerne ligger mellem 0 og 1 og dermed konsisene med en generel CES specifikaion frem for anagelser om henholdsvis Leonief of Cobb-Douglas produkionsfunkioner. De relaiv høje elasicieer i LM/EM nesene synes a undersøe valge i DREAM om, a maerialer ikke modelleres separabel il de øvrige produkionsfakorer. Overordne kan man nok også konkludere, a rend-specifikaionen (forsåe som resrikionerne der bliver pålag de fakorspecifikke effekiviesindeks) har en ikke uvæsenlig beydning. APPENDIKS A. Beskrivelse af daa De indre pris- og mængdeindeks er konsruere som følgende kædeindeks: P = pk K + p E E p 1 K K + p 1 E E P 1 X P L X L = pk 1 K + p 1 E E P 1 + p L L X 1 X = P P = P 1 X P 1 L + p L 1 L + p L 1 L P L 1 4
Table 1: ADAM-variable anvend il esimaion. i angiver erhverv Priser Mængder Produkionsværdi px(i) fx(i) Kapial uim(i) fknm(i) Energi pve(i) fve(i) Arbejdskraf hq(i) l(i) Maerialer pvm(i) fvm(i) B. Tabeller og figurer P = pk K + p L L p 1 K K + p 1 L L P 1 X P E X E = pk 1 K + p 1 L L P 1 + p E E X 1 X = P P = P 1 X P 1 E + p E 1 E + p E 1 E P E 1 y p = (1 + m)(p K K + p E E + p L L + p M M ) y p O = p K K + p E E + p L L + p M M, p O p 1 + m Table 2: CES-elasicieer, sammenligne med Thomsen [2015] for fremsillings- og servicesekoren (nz og qz) 1970-2016, subsiuionselasicieer Elasicie, esima TT Fremsillingssekoren 0,17 (0,17) [0,21] 0,35 L 0,29 (0,47) [0,24] 0,42 LM 0,68 (0,68) [0,42] 0,68 Servicesekoren 0,04 (0,46) [0,03] 0.61 E 0,05 (0,11) [0,05] 0.19 EM 0,74 (0,83) [0,76] 0.67 Anm.: Esimaerne er for den ieraion med laves AIC (Random Walk esimae er angive i paranes) [HP-filere er angive i kane paranes]. TT refererer il CES-elasicieerne i Thomsen [2015]. Bemærk, a perioden i de o papirer ikke er hel den samme. 5
Figure 1: Effekiviesindeks, LM-nese (ieraiv specifikaion) Effekiviesindeks M Residualer M 0.70 0.80 0.90 1.00 0.004 0.000 0.004 Effekiviesindeks L Residualer L 1 2 3 4 5 1e 06 0e+00 1e 06 6
Figure 2: Effekiviesindeks, LM-nese (HP-filer specifikaion) Effekiviesindeks M, Kappa = fri Residualer M, Kappa = fri 0.90 0.95 1.00 1.05 0.02 0.00 0.01 0.02 Effekiviesindeks L, Kappa = fri Residualer L, Kappa = fri 1 2 3 4 0.02 0.00 0.02 0.04 7
References P. Anras. Is he u.s. aggregae producion funcion cobb-douglas? new esimaes of he elasiciy of subsiuion. Conribuions o Macroeconomics, 2004. O. Blanchard. The medium run. Brookings Paper on Economic Aciviy, 1997. R. J. Hyndman and Y. Khandakar. Auomaic ime series forecasing: he forecas package for r. Journal of Saisical Sofware, 2008. R. Klump, P. McAdam, and A. Willman. Facor subsiuion and facor-augmening echnical progress in he unied saes: A normalized supply-side sysem approach. The Review of Economics and Saisics, 2007. T. Thomsen. Klem-esimaioner 1968-2013. Danish Energy Agency Working Paper, 2015. 8