Minilex Geom1 (Gak til myren og bliv viis)

Transkript

1 Minilex Geom1 (Gak til myren og bliv viis).. Henrik Dahl Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument! Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl. Jeg påtager mig intet ansvar overhovedet for noget som helst. Faktisk vil jeg for en sikkerheds skyld fraråde brug af det følgende... Check altid referencen for at være sikker, og lav kun henvisninger til de officielle lærebøger - absolut ikke til dette dokument. Referencerne heri er til HS s Geom1-noter. D betyder definition, S sætning, K korollar, Ex eksempel, Øv øvelse, U ugeseddel - og en reference som (4.3) henviser blot til brødteksten i afsnit 4.3. Overalt - tror jeg - er ligesom i noterne anvendt som synonymt med den gængse og provinsielt danske. Minilexet dækker kun sporadisk appendixer, afsnit 3.5 og 3.6. Check dem endnu bedre ud selv. Hvis du finder fejl - og der er med garanti flere end i noterne - eller har andre kommentarer hører jeg meget gerne om det. Send mig en mail, så minilexet kan blive forbedret. På forhånd tak!

2 INDHOLD 2 Indhold 1 Generelt Definitioner Sætninger Kurver Definitioner Sætninger Flader Definitioner Sætninger Kurver på flader Definitioner Sætninger Omdrejningsflader Definitioner Sætninger Specielle kurver 17 7 Specielle flader 18

3 1 GENERELT 3 1 Generelt Bijektion 1.1 Definitioner For at vise bijektion på S = {(x, y, z) f(x, y, z) = 0}: 1. Find invers: x = σ 1, y = σ 2, z = σ 3. Definer ψ : S R Vis højre og investreinvers 3. Da Im(ψ) U R 2 og 4. Im(σ) S (vis det) er σ en bijektion på S. Diffeomorfi Elementært område Flytning Glat Graf Lad U, W R n være åbne. En afbildning φ : W U som er glat, bijektiv og som har glat invers kaldes en diffeomorfi (D.2.4) En mængde D R 2 kaldes et elementært område hvis det er afsluttet i R 2 og begrænset, og hvis dets rand D er en endelig forening af stykvist glatte kurver, defineret på afsluttede intervaller. (D.3.5) Lad F : R 3 R 3 være en afbildning på formen F (x) = Ax + b hvor A er en ortogonal 3 3-matrix med det A = 1 og b R 3 er en konstant vektor. Da kaldes afbildningen en flytning (Øv.6.a.5) Glat := C (1.1) Grafen for en afbildning h : A B er mængden af alle par (x, h(x)) A B med x A. Vi ser generelt på grafen som den parametriserede kurve γ(t) = (t, h(t)), h glat (D.1.3) Tilsvarende for flader: h : U R glat på åbent U R 2 har graf {(u, v, h(u, v)) (u, v) U} R 3. Udstyret med afbildning σ(u, v) = (u, v, h(u, v)) er det en parametriseret glat flade (1.3) Indre geometri Kritisk punkt Kvadratisk form Kvadratisk form - egenværdier En størrelse eller egenskab ved en parametriseret flade σ, som kan udtrykkes helt ved hjælp af koefficientfunktionerne for første normalform, E, F, G kaldes indre (D.6.1) Lad f : Ω R være glat og Ω R n åben. Et punkt p Ω kaldes kritisk hvis f x i (p) = 0 for alle i {1, 2,..., n} (D.1.4) En kvadratisk form på R 2 er en funktion q : R 2 R af formen q(x, ( y) = ax 2 ) +2bxy+ ( ) a b x cy 2 for a, b, c R konstante. Skrevet på matrixform: q(x, y) = (xy). b c y Da koefficientmatricen er reel og symmetrisk kan den diagonaliseres (3.4, 5.1) Egenværdierne bliver, idet vi sætter d = 4b 2 + (a c) 2 : λ 1 = a+c d 2 og λ 2 = a+c+d 2 (Ren udregning) Kvadratisk form - De hertil svarende egenvektorer bliver w 1 = ( a c d 2b, 1) og w 2 = ( a c+d 2b, 1) (ren egenvektorer udregning - der gælder, at w 1 w 2 = 0) Kvadratisk form - rotationsmatrix Ortogonaliseret bliver w 1 = w 1 / w 1 og w 2 = w 2 / w 2 (skift evt. fortegn så deter-

4 1 GENERELT 4 ( cos θ sin θ minanten bliver +1), og vi får rotationsmatricen C = (w 1w 2) = sin θ cos θ for et passende θ R (5.1) ) Bemærk, at denne definition af rotation ikke er standard, idet den anvender den negative omløbsretning. ( ) cos θ sin θ Anvend i stedet C =. Med denne definition er førstnævnte C- sin θ cos θ matrix lig den inverse til den sidstnævnte (og korrekte) Storcirkel Snittet mellem en kugleflade og en plan gennem kuglefladens centrum kaldes en storcirkel. (Ex.4.8.2) Diagonalisering og symmetri Diffeomorfi 1.2 Sætninger Lad A være en n n-matrix. Hvis der findes en ortogonal matrix, der diagonaliserer A, så er A symmetrisk (Øv.5.b.3) Lad F : U R m være glat (U R m åben) og antag det(jf (q)) 0 for alle q U. Da er F (U) åben. Hvis også F er injektiv, er F en diffeomorfi af U på F (U) (K.2.7) Diffeomorfi har Der gælder, at Jacobianten for en diffeomorfi er invertibel, dvs. det(jφ(q)) 0 for invertibel Jacobiant alle q W (2.4) Flytning, resultater Lad F (x) = Ax + b være en flytning (så A er ortogonal med det A = 1). Der gælder da (Øv.6.a.5) 1. A(w 1 w 2 ) = Aw 1 Aw 2 for w 1, w 2 R 3 2. Hvis σ : U R 3 er en regulær glat flade, da gælder det samme for τ = F σ 3. σ og τ har samme første og anden fundamentalform 4. Hvis w R 3 er hovedkrumningsvektor for σ, da er Aw hovedkrumningsvektor for τ, og de har samme hovedkrumning κ Implicit funktionssætning Lad f : Ω R være en glat funktion med Ω R 2 åben. Lad C = {(x, y) Ω f(x, y) = c} være mængden af løsninger til f(x, y) = c. Lad p = (x 0, y 0 ) C være givet og antag, af f y 0 i p. Da findes åbne intervaller x 0 I, y 0 J sådan at rektanglet W = I J er indeholdt i Ω, og en glat afbildning h : I J sådan at C W = {(x, h(x)) x I}, dvs. sådan at i omegnen W om p er C grafen for h (S.1.5). Antag som ovenfor, men at p ikke er et kritisk punkt. Da findes åbent rektangel W Ω om p sådan at C W er grafen for en glat funktion h, enten som y = h(x) eller som x = h(y) Altså, en niveaukurve kan parametriseres som en glat kurve i en omegn af hvert ikke-kritiske punkt. (K.1.5) Lad f : Ω R være glat med Ω R n åben. Sæt (x, y) = (x 1,..., x n 1, y). Lad S = {(x, y) Ω f(x, y) = c} og lad p = (x 0, y 0 ) S. Antag, at f y 0 i p. Da findes åbne intervaller I R n 1 og J R om x 0 og y 0 således at W = I J er indeholdt i Ω, og en glat afbildning h : I J så S W = {(x, h(x) x I}, dvs. sådan at i omegnen W om p er S grafen for h (S. 1.6)

5 2 KURVER 5 Igen kan der byttes roller for de variable - se (K.1.6) Lad f : Ω R m være glat med Ω R n åben. Sæt x = (x 1,..., x n m ) R n m og y = (y 1,..., y m ) R m (sådan at (x, y) R n ). Lad c R m være fast og lad C = {(x, y) Ω f(x, y) = c}. Lad p = (x 0, y 0 ) C. Antag at determinanten af m m-matricen A = fi y j (p) bestående af de sidste m søjler fra Jacobianten Jf(p) er forskellig fra 0. Da findes åbne intervaller I R n m og K R m omkring x 0 og y 0 sådan at W = I K Ω og en glat afbildning h : I J sådan at C W = {(x, h(x)) x I}, dvs. sådan at i en omegn W om p er C grafen for h : R n m R m (S.1.7) Omordning af de variable er igen tilladt. Specialtilfældet m = 2, n = 3 er vist i (K.1.7) Invers funktionssætning Lad F : U R m være glat (U R m åben) og lad q U være givet. Antag, at det(jf (q)) 0. Da findes en åben mængde W U med q W og en åben mængde V R m med F (q) V, sådan at V = F (W ) og sådan at restriktionen af F til W er en diffeomorfi af W på V. NB: gælder kun i omegn af q, se Ex (S.2.7) Ortogonalitet af f og Lad F (t) R n være en glat funktion af t I R med F (t) = 1 for alle t. Da er f F (t) F (t) = 0 for alle t (L.4.2) Roteret kvadratisk Lad q(w) = w t Aw være en kvadratisk form med symmetrisk reel 2 2 matrix form A. Da findes en rotation af R 2 sådan at i de roterede x, y -koordinater gælder q(w) = λ 1 x 2 + λ 2 y 2 hvor λ 1 og λ 2 er A s egenværdier (S.5.1) - elliptisk paraboloid - hyperbolsk paraboloid - parabolsk cylinder - plan w = (cos, sin) For λ 1 λ 2 > 0 fås en elliptisk paraboloid For λ 1 λ 2 < 0 fås en hyperbolsk paraboloid For λ 1 λ 2 = 0 (men ikke begge 0) fås en parabolsk cylinder. (5.1) For λ 1 = λ 2 = 0 fås en plan Lad w(t) være en enhedsvektor i R 2, som afhænger glat af en parameter t i et åbent interval I R. Da findes for hvert t 0 I en omegn I 0 I og en glat afbildning θ : I 0 R sådan at w(t) = (cos θ(t), sin θ(t)) for alle t I 0 (L.4.3) 2 Kurver Binormal, b Binormalflade Buelængde 2.1 Definitioner Lad γ være en rumkurve med enhedsfart og antag, at κ(s) 0. Normalen til det osculerende plan b(s) = t(s) n(s) kaldes binormalen til kurven. (4.6) Lad γ : I R 3 være en glat kurve med enhedsfart og med krumning κ(t) 0 for alle t. Lad b(t) være binormalvektoren til kurven i t I. Sæt σ(u, v) = γ(v)+ub(v) for (u, v) R I. σ er regulær og kaldes kurvens binormalflade, og γ er geodætisk på sin binormalflade (Øv.5.a.6) Lad γ : I R n være en glat kurve. Buelængden af γ fra t 1 til t 2 er da givet ved

6 2 KURVER 6 t2 t 1 γ (t) dt. (For t 2 < t 1 er buelængden negativ) (D.3.1) Enhedsfart Fart Hastighedsvektor Hovednormal, n Krumning, plan kurve En kurve γ siges at have enhedsfart hvis γ (t) = 1 for alle t. Da anvendes normalt s for t. (3.3) Lad γ : I R n være en glat kurve. Farten af γ i t er da γ (t) (3.1) Lad γ : I R n være en glat kurve. Da kaldes γ (t) for kurvens hastighedsvektor i t (3.1) Lad γ være rumkurve med enhedsfart og antag, at κ(s) 0. Enhedsvektoren n(s) = kaldes hovednormalen til γ i s. Den er vinkelret på t(s) (4.6) γ (s) γ (s) Lad γ : I R 2 være en regulær parametriseret plan kurve. Tallet κ(t) (her er κ : I R), κ(t) = det[γ (t)γ (t)] γ (t) kaldes γ s krumning i t. Her er [γ (t)γ (t)] matricen, hvor første søjle er γ (t) og anden søjle er γ (t) (men det er faktisk i orden, hvis man sætter dem ind som rækker) (D.4.1) Enhed for krumning: [m 1 ]. Konstant krumning betyder linjestykke (κ = 0) eller del af cirkel (κ = ±1/r) (Ex , 4.1.2) Krumning, rumkurve Niveaukurve Omparametrisering Lad γ : I R 3 være en regulær parametriseret kurve. Det ikke-negative tal κ(t) = γ (t) γ (t) γ (t) 3 kaldes krumningen for γ i t. For en kurve med enhedsfart er κ(s) = γ (s) (idet γ γ = γ ved L.4.2) (D.4.4) Lad Ω R n være åben, og lad f : Ω R være kontinuert. Niveaumængderne for f er mængderne C = {x Ω f(x) = c} med c R fast (D.1.4) Lad γ : I R n være en parametriseret kurve og lad φ : J I være en glat bijektiv afbildning (idet I, J er åbne intervaller i R). Kurven β = γ φ : J R n kaldes en omparametrisering af γ (D.2.4) Hvis φ > 0 kaldes omparametriseringen retningsbevarende, og hvis φ < 0 kaldes den retningsvendende. Ex viser vigtigheden af, at φ er glat og bijektiv. Osculerende plan Parametriseret kurve Lad γ være rumkurve med enhedsfart og antag, at κ(s) 0. Planen gennem γ(s) med retninger udspændt af t(s) og n(s) kaldes den osculerende plan. (4.6) En parametriseret kontinuert kurve i R n er en kontinuert afbildning γ : I R n hvor I R er et åbent interval med endepunkter a < b (D.1.1). Vi arbejder normalt kun med glatte kurver, dvs. γ C (s.2) Spor af kurve Regulær kurve Sporet af en kurve er billedmængden C = γ(i) R n. Sporet har i modsætning til kurven ingen retning eller hastighed, og forskellige parametriserede kurver kan have samme spor. (D.1.1) Lad γ : I R n være parametriseret kurve og lad t 0 I være givet. γ kaldes regulær i t 0 hvis γ (t 0 ) 0. Ellers er γ singulær i t 0. Hvis γ er regulær i alle t I

7 2 KURVER 7 kaldes den en regulær kurve. (D.2.1) Tangentlinje Tangentretning, t Tangentvektor Torsion, rumkurve Hvis γ er regulær i t 0 kaldes linjen gennem p = γ(t 0 ) med retning γ (t 0 ) for kurvens tangentlinje (D.2.1) Lad en rumkurve, γ, have enhedsfart. Tangentretningen noteres t(s) = γ (s) (4.6) Lad γ : I R n være en parametriseret kurve og t 0 I være givet. Vektoren γ (t 0 ) kaldes γ s tangentvektor i t 0. (D.2.1) Lad γ : I R 3 være en regulær parametriseret rumkurve med krumning κ(t), Lad t I og antag, at κ(t) 0. Tallet τ(t) = det[γ (t)γ (t)γ (t)] γ (t) γ (t) kaldes torsionen 2 (snoningen) for γ i t (NB: for κ(t) = 0 er torsionen ikke defineret) (D.4.5) Enheden for torsion er [m 1 ] Nævneren ovenfor kan skrives κ(t) 2 γ (t) 6. Husk desuden regnereglen det[abc] = (a b) c = a (b c). Torsionen for en plan kurve er 0 (Ex.4.5.1) Enhedsfart og omparametrisering Enhedstangentvektor 2.2 Sætninger En regulær parametriseret kurve γ kan omparametriseres retningsbevarende, så den får enhedsfart. Sæt nemlig s(t) = t t 0 γ (u) du og φ = s 1. Da er β = γ φ en retningsbevarende omparametrisering med enhedsfart. (S.3.3) Antag γ regulær i t 0 og lad v = γ (t 0 )/ γ (t 0 ) være enhedsvektoren i retning af γ(t) γ(t tangentvektoren. Da gælder v = lim 0) t t + 0 γ(t) γ(t 0 ) = lim γ(t 0) γ(t) t t 0 γ(t 0 ) γ(t) (S.2.1) NB: Regularitet er tilstrækkelig, men ikke nødvendig betingelse (Ex.2.1.3) Frenets formler For en rumkurve med enhedsfart og κ 0 udgør t(s), n(s), b(s) en positivt ordnet ortonormalbasis for R 3, og der gælder, at t = κn, n = κt + τb, og b = τn (S.4.7) Der gælder, at t(s) og u(s) = m(s) t(s) udspænder T γ(s) σ (4.8) Graf for regulær kurve Antag, at γ er en plan kurve, der er regulær i t 0 I. Da findes en omegn om t 0 hvor γ kan omparametriseres som grafen for en glat funktion h, enten som y = h(x) eller som x = h(y). Mere formelt findes et åbent interval I så t 0 I I, et åbent interval J og en glat bijektiv afbildning φ : J I med glat invers, sådan at γ(φ(u)) = (u, h(u)) eller γ(φ(u)) = (h(u), u) for alle u J (S.2.6) En regulær parametriseret kurve γ er derfor lokalt injektiv (dvs. der findes for hvert t 0 I en omegn, sådan at restriktionen af γ til denne omegn er injektiv) (K.2.6) Invarians - Buelængde under omparametrisering Lad γ : I R n være en parametriseret kurve og lad β = γ φ : J R n være en omparametrisering. Lad u 1, u 2 J og sæt t 1 = φ(u 1 ), t 2 = φ(u 2 ). Buelængden for β fra u 1 til u 2 er da lig med ± buelængden af γ fra t 1 til t 2. Hvis φ bevarer retningen er fortegnet +, ellers er det - (S.3.1)

8 2 KURVER 8 Invarians - Krumning for plan kurve Invarians - Krumning for rumkurve Invarians - Torsion ved omparametrisering Krumningen for en plan kurve er uændret ved en retningsbevarende omparametrisering og multipliceres med -1 ved retningsvendende omparametrisering (S.4.1) Krumningen for en rumkurve er uændret under omparametrisering (S.4.4) Torsionen for en rumkurve er uændret under en omparametrisering (S.4.5) Krumning, graf Krumning, kurve med enhedsfart Krumning, rumkurve i fast plan Krumning - bestemmer plan kurve Lad γ(t) = (t, (h(t)) være grafen for en glat funktion h defineret på åbent interval h I R. Da er κ(t) = (t) (Ex ) (1+h (t) 2 ) 3/2 Lad γ : I R 2 være en kurve kurve med enhedsfart, og lad ˆγ (s) være normalvektor til γ (s). Da er κ = ± γ og γ = κ ˆγ. Fortegnet er + hvis γ og ˆγ har samme retning og - hvis de har modsat retning. (Bemærk, at ˆγ γ = det[γ γ ]) (S.4.2) En regulær rumkurve med κ 0 og τ = 0 overalt ligger i en fast plan. (K.4.6) To plane kurver med samme krumning overalt er ens overalt, op til en translation og en rotation (Øv.4.b.2) Krumning i Lad γ : I R 2 være en plan kurve (ikke konstant) og antag, at γ(t) har maksimaksimum mum i t 0 I. Da er κ(t 0 ) 1 γ(t 0 ) (Øv.4.a.7) Krumning og tangentvinkel Antag, at θ(s) er en glat tangentvinkel for en regulær plan kurve γ(s) med enhedsfart. Da er krumningen for γ i s givet ved κ(s) = θ (s) = det[γ (s)γ (s)] (S.4.3) For rumkurve med enhedsfart er κ(s) = γ (s) (D.4.4) Der gælder også t = κˆt (5.2), eller (ˆt = κt (Ex.5.2.1) Krumning og linjestykke Linje er korteste kurve Polære koordinater, buelængde og krumning Tangentlinje En regulær parametriseret kurve er en del af en linje hviss dens krumning er 0 overalt (K.4.2) Lad γ : I R n være en parametriseret kurve. Lad t 1 < t 2 i I og lad L betegne buelængden for γ fra t 1 til t 2. Da er L γ(t 2 ) γ(t 1 ) (S.3.2) En plan kurve givet ved polære koordinater γ(t) = (r(t) cos t, r(t) sin t) har en buelængde fra a til b givet ved b r(t)2 + r a (t) 2 dt og en krumning κ = r2 rr +2(r ) 2 (r 2 +(2 ) 2 ) 3/2 (Øv.4.a.5) Givet niveaukurve f(x, y) = c og ikke-kritisk punkt p. Da kan niveaukurven parametriseres som regulær kurve γ(t) i en omegn om p (Ex ). Tangentlinjen er givet ved f x (p)(x x 0) + f y (p)(y y 0) = 0 med normalvektor ( f f x (p), y (p)) (Ex ) Torsion og binormal For en kurve i R 3 b = τn (S.4.6) med enhedsfart og krumning 0 gælder, at τ = ± b og

9 3 FLADER 9 3 Flader Areal 3.1 Definitioner Lad σ : U R 3 være en parametriseret flade og lad D R 2 være et elementært område indeholdt i U. Antag, at restriktionen af σ til det indre, D, af D er regulær og injektiv. Da er arealet af billedet σ(d) S givet ved A(σ(D)) = D σ u σ v da = D (EG F 2 ) 1/2 da (D.3.7) Christoffelsymboler Koefficienterne Γ k ij for i, j = 1, 2 defineret ved ( ) ( ) Γ 1 1 ( ij g11 g Γ 2 = 12 σ ij ) σ 1 ij g 21 g 22 σ ij σ 2 ( ) kaldes Christoffelsymboler. Her er g ij = σ i σ j, dvs. g11 g 12 = g 21 g 22 σ ij := 2 σ(u 1,u 2) u i u j og σ i := σ(u1,u2) u i (L.6.2) ( E F F G ), Enhedsnormal Hvis σ er regulær i p = (u, v) kaldes vektoren N = N(p) = malen til parametriseringen i p (D.2.5) σ u σ v σ u σ v for enhedsnor- E,F,G (komponentfunktioner) Lad σ : U R 3 være en regulær parametriseret flade. Definer (for første funda- mentalform) E(p) = σ u(p) 2 = σ u(p) σ u(p), F (p) = σ u(p) σ v(p) og G(p) = σ v(p) 2 = σ v σ v for p U. (3.4) Fundamentalform, første Fundamentalform, anden Afbildningen I p : T p σ R som forbinder en tangentvektor i p med kvadratet på dens længde, w I p (w) = w 2 = a 2 E(p) + 2abF (p) + b 2 G(p) kaldes den første fundamentalform for σ i p. Koefficienterne E, F, G kaldes komponentfunktionerne (D.3.4). De er givet ved E(p) = σ u(p) 2 = σ u(p) σ u(p), F (p) = σ u(p) σ v(p) og G(p) = σ v(p) 2 = σ v σ v for p U. (3.4) ( ) T ( ) ( a E(p) F (p) a Første fundamentalform kan også skrives I p (w) = b F (p) G(p) b Altså er I p en kvadratisk form på T p σ. (3.4) Afbildningen w T p σ II p (w) = w W (w) R kaldes den anden fundamentalform for σ i p (D.5.3) ). Koefficienterne for anden fundamentalform er givet ved L = σ uu N, M = σ uv N, N = σ vv N (S.5.4) Gausskrumning Hovedkrumningsvektor og hovedkrumning Gausskrumningen (eller den totale krumning) af σ i p er K(p) = κ 1 κ 2 (D.5.8) En egenvektor for Weingartenafbildningen W p kaldes en hovedkrumningsvektor i T p σ og den tilhørende egenværdi kaldes den tilsvarende hovedkrumning i p. (D.5.5) Bemærk, at hvis w T p σ er hovedkrumningsvektor med enhedslængde og tilhørende egenværdi λ er normalkrumningen i w s retning k n = II p (w) = w W p (w) = λ (5.5) Omparametrisering, flade Ortogonal parametrisering Lad σ : U R 3 være en parametriseret flade og lad φ : W U være en diffeomorfi (U, W R 2 åbne). Fladen τ = σ φ : W R 3 kaldes en omparametrisering af σ (D.2.4) En fladeparametrisering σ(u, v) kaldes ortogonal, hvis F (p) = 0 for alle p U, dvs.

10 3 FLADER 10 hvis σ u(p) står vinkelret på σ v(p) for alle p (3.4) Parametriseret flade En parametriseret kontinuert flade i R 3 er en kontinuert afbildning σ : U R 3 hvor U R 2 er en åben, ikke-tom mængde (D.1.2) Vi arbejder normalt kun med glatte flader, dvs. alle komponentfunktionerne er C Punkttyper Regulær flade Tangentplan Tangentrum Typen af et punkt p U klassificeres som følger. Det er et elliptisk punkt på fladen hvis hovedkrumningerne κ 1, κ 2 i p er forskellige fra 0 og har samme fortegn. Hvis κ 1, κ 2 er forskellige fra 0 og har modsat fortegn er punktet hyperbolsk. Hvis netop en hovedkrumning er 0 kaldes punktet parabolsk, og hvis κ 1 = κ 2 = 0 kaldes punktet plant (D.5.6) Lad σ : U R 3 være en parametriseret flade med billede S = σ(u) og lad p = (u 0, v 0 ) U være givet. σ siges at være regulær i p hvis de partielle afledte σ u, σ v (evalueret i p) er lineært uafhængige. Ellers siges den at være singulær i p. Hvis σ er regulær i alle p U kaldes den en regulær flade. Betingelsen svarer til, at σ u σ v 0 (D.2.2) Hvis σ er regulær i p kaldes planen gennem σ(p) parallel med T p σ for tangentplanen for σ i p (D.2.2) Det lineære underrum i R 3 udspændt af de partielle afledte σ u(p) og σ v(p) kaldes tangentrummet for σ i p. Det betegnes T p σ. (D.2.2). Tangentrummet er todimensionalt lineært underrum hviss σ er regulær. Som underrum indeholder T p σ 0. Weingartenafbildning Lad p = (u 0, v 0 ) U. Den lineære afbildning W = W p : T p σ T p σ givet ved W (aσ u + bσ v) = an u bn v for alle a, b R kaldes Weingartenafbildningen af fladen i p. Alle afledede evalueres i p, og N = σ u σ v σ u σ v (D.5.2) Weingartenafbildningen er symmetrisk med hensyn til prikproduktet, dvs. w 1 W (w 2 ) = W (w 1 ) w 2 (5.5) Christoffelsymboler - er indre 3.2 Sætninger Christoffelsymbolerne Γ k ij er indre størrelser. De kan udtrykkes ved en formel, der kun inddrager koeffiecienterne for første fundamentalform og( deres første ordens ) gik g ij u k afledte med hensyn til u og v. Der gælder nemlig, at σ ij σ k = 1 2 (S.6.2) u j + g jk u i Christoffelsymboler - I tilfælde af ortogonal parametrisering (F = 0) fås (6.2): for ortogonal parametrisering σ 11 σ 1 = 1 2 E u, σ 12 σ 1 = 1 2 E v, σ 22 σ 1 = 1 2 G u σ 11 σ 2 = 1 2 E v, σ 12 σ 2 = 1 2 G u, σ 22 σ 2 = 1 2 G v Γ 1 11 = 1 2E E u, Γ 1 12 = 1 2E E v, Γ 1 22 = 1 2E G u

11 3 FLADER 11 Γ 2 11 = 1 2G E v, Γ 2 12 = 1 2G G u, Γ 2 22 = 1 2G G v Christoffelsymboler - og acceleration Fundamentalform, anden - koordinatudtryk Fundamentalform, anden - diagonaliseret Fundamentalform, anden - og normalkrumning Gausskrumning Graf for regulær flade Graf, areal Graf er regulær Grafs enhedsnormal Givet Christoffelsymbolerne Γ k ij gælder σ ij = Γ1 ij σ 1 + Γ 2 ij σ 2 + b ij N. Her er b ij = ( ) ( ) σ ij N,, dvs. b11 b 12 L M = (L.6.2) b 21 b 22 M N Den anden fundamentalform er en kvadratisk form på tangentrummet T p σ. Med hensyn til basen σ u, σ v er den givet ved II p (aσ u + bσ v) = La 2 + 2Mab + Nb 2, hvor L = σ uu N = det[σ u σ v σ σ u σ v, M = σ uv N = det[σ u σ v σ σ u σ v, N = σ vv N = det[σ u σ v σ hvor alle led evalueres i et givet punkt, p U (S.5.4) ( ) ( ) L M a Som matrixudtryk fås II p (aσ u + bσ v) = (ab) (5.4) M N b uu ] uv ] vv ] σ u σ v, Der findes for ethvert p U en ortonormalbasis w 1, w 2 for T p σ bestående af hovedkrumningsvektorer med tilhørende hovedkrumninger κ 1, κ 2 R. Med hensyn til denne basis er anden fundamentalform givet ved II p (aw 1 + bw 2 ) = κ 1 a 2 + κ 2 b 2 for alle a, b R (S.5.5) Lad θ R. Normalkrumningen i retningen w 0 = w 1 cos θ + w 2 sin θ er κ n = κ 1 cos 2 θ + κ 2 sin 2 θ. Specielt tilhører κ n intervallet mellem κ 1 og κ 2 (som således er ekstremværdier for κ n ) (K.5.5) Gausskrumningen opfylder K(p) = LN M 2 EG F (som man kan genkende som forholdet 2 mellem determinanterne for de to normalformers matricer) (S.5.8) Lad σ : U R 3 og antag, at σ er regulær i p U. Da findes en omegn om p hvor σ kan omparametriseres så den bliver graf for en glat funktion h, enten som z = h(x, y), y = h(x, z) eller x = h(y, z). (S.2.8) En regulær kurveparametrisering σ er lokalt injektiv, dvs. der findes en omegn om ethvert p U sådan at restriktionen af σ hertil er injektiv (K.2.8) Arealet over området D R 2 af grafen for en funktion z = h(x, y) er 1 + (h D x) 2 + (h y) 2 (Øv.4.a.2) Grafen σ(u, v) = (u, v, h(u, v)) er en regulær flade i R 3. Derfor kan niveaufladen f(x, y, z) = c parametriseres som regulær flade i omegnen af ethvert ikke-kritisk punkt (Ex.2.2.2) Lad σ(u, v) = (u, v, h(u, v)) være grafen for en funktion h : R 2 R. Da er enhedsnormalvektoren givet ved N(u, v) = ( h u, h v,1) (Øv.2.b.7) 1+(h u ) 2 +(h v )2 Hovedkrumningsvektor for diagonale fundamentalformer Lad σ : U R 3 være en regulær flade, og antag, at F (u 0, v 0 ) = 0 og M(u 0, v 0 ) = 0 i punktet (u 0, v 0 ). Da er σ u og σ v hovedkrumningsvektorer i dette punkt med tilhørende hovedkrumninger L/E og N/G. Omvendt gælder også, at hvis σ u og σ v er hovedkrumningsvektorer i et punkt og κ 1 κ 2, da er F = M i dette punkt (Øv.6.b.4) Invarians - Areal under omparametrisering Arealet er invariant under en omparametrisering τ = σ φ (3.7)

12 3 FLADER 12 Invarians - Anden Anden fundamentalform er uændret (på nær evt. fortegn) under omparametrisfundamentalform eringer (5.3) Invarians - Enhedsnormal under omparametrisering Enhedsnormalen N(p) er vinkelret på tangentplanen i p. Ved en omparametrisering τ = σ φ bevares retningen, hvis det(jφ(p)) > 0, mens den vendes hvis det(jφ(p)) < 0 (D.2.5) Parameterombytning vender retningen på enhedsnormalen (Ex ) Invarians - Gausskrumning under isometri Invarians - Hovedkrumningsvektor under omparametriseringer Invarians - tangentrum under omparametrisering Invarians - Weingarten under omparametrisering Isometri Lad ψ : U W være en isometri fra σ til ρ. Gausskrumningen af σ i p er lig med Gausskrumningen af ρ i ψ(p) for alle p U (S.6.4) For en orienteringsbevarende omparametrisering er hovedkrumningsvektoren uændret, mens den skifter fortegn for en retningsvendende omparametrisering (5.5) Lad τ = σ φ være en omparametrisering af σ. Da er tangentrummene ens, T q τ = T φ(q) σ, q W. τ er regulær i q hviss σ er regulær i φ(q) (S.2.4) Vi siger, at tangentrummet er invariant under en omparametrisering. Weingartenafbildningen er invariant under orienteringsbevarende omparametriseringer og skifter fortegn under orienteringsvendende omparametriseringer (S.5.2) Lad σ : U R 3 og ρ : V R 3 være regulære parametriserede flader og lad ψ : U V være en diffeomorfi. Da er ρ ψ : U R 3 er en omparametrisering af ρ. Lad E, F, G og Ẽ, F, G være komponentfunktionerne for første fundamentalform for σ hhv. ρ ψ. Diffeomorfien ψ kaldes en isometri fra σ til ρ, hvis komponentfunktionerne opfylder Ẽ = E, F = F, G = G. Med andre ord er alle indre egenskaber i så fald bevaret (D.6.4) L, M, N (komponentfunktioner) M = σ uv N, N = σ vv N Komponentfunktionerne for anden fundamentalform er givet ved L = σ uu N, (S.5.4) Plan og anden Lad σ være en regulær glat flade, hvis spor er indeholdt i en plan, {x R 3 a x = c} fundamentalform hvor a R 3 er en fast vektor forskellig fra 0 og c R er et fast tal. Da er L = M = N = 0. Den modsatte implikation gælder også (Øv.6.a.6) Tangentplan Teorema egregium Givet niveauflade f(x, y, z) = c og ikke-kritisk punkt p kan niveaufladen parametriseres som regulær flade σ(t) i omegnen af p. Tangentplanen er givet ved f x (p)(x x 0 ) + f y (p)(y y 0) + f z (p)(z z 0) = med normalvektor ( f f f x (p), y (p), z (p)) (Ex.2.2.4) Gausskrumningen er indre, dvs. der findes en generel formel, der udtrykker K ved hjælp af komponentfunktionerne E, F, G for den første fundamentalform. (S.6.3)

13 4 KURVER PÅ FLADER 13 Teorema egregiumfor ortogonal parametrisering For en ortogonal parametrisering (F = 0) fås: (6.3) ( ( K = 1 ) G ( ) ) 2 EG u E + EG v EG u v Weingartenafbildning - Matrix Weingartenafbildning - og hovedkrumninger Matricen for Weingartenafbildningen W p : T p σ T p σ med hensyn til basen (σ u, σ ( ) v) 1 ( ) E F L M er (S.5.7) F G M N Hovedkrumningerne κ 1, κ 2 er rødderne κ i ( ( ) 1 ( ) ( E F L M 1 0 det κ F G M N 0 1 ) ) = 0 (K.5.7) Weingartenafbildning - og hovedkrumningsvektorer ( E F F G Ækvivalent hermed er de løsningerne i det(f II κf I ) = 0 (Presley, D.6.1, p.132) ( ) a Hovedkrumningsvektorerne er aσ u + bσ v, hvor 0 og løser b (K.5.7) ) 1 ( L M M N ) ( ) ( ) a a = κ b i b Ækvivalent hermed skal løses (F II κf I )T = 0 (med T = (a, b)) (Presley, D.6.2, s.133) 4 Kurver på flader Enhedsnormalvektor langs kurve Geodæt Geodæt og alle kurver Geodæt og meridian Geodæt og ret linje 4.1 Definitioner Lad σ : U R 3 være en regulær fladeparametrisering og lad γ : I R 3 være en regulær parametriseret kurve på σ, dvs. γ = σ µ hvor µ : I U er en regulær plankurve. Enhedsnormalen for σ er N = σ u σ v σ u σ v og evalueret i µ(t) skriver vi m(t) = N(µ(t)) for enhedsnormalvektoren for σ langs γ (4.8) En geodæt (geodætisk kurve) på en flade er en regulær parametriseret kurve på fladen, hvor kurvens geodætiske krumning er 0 i alle punkter (D.4.10) (svarer til rette linjer i planen) For enhver kurve med κ 0 findes mindst een flade, hvorpå den er geodætisk. Vælg nemlig binormalfladen. (Øv.5.a.6) Lad σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)) være en omdrejningsflade. Meridianerne t σ(t, v) er geodætiske kurver (Øv.5.a.3) Lad γ : I R 3 være en glat kurve på en glat flade σ : U R 3. Hvis sporet af γ er en ret linje er γ geodætisk på σ (Øv.5.1.1)

14 4 KURVER PÅ FLADER 14 Geodætisk og normalkrumning Lad σ : U R 3 være regulær fladeparametrisering og lad γ : I U være en regulær parametriseret kurve på σ. Tallene κ g (t) = det[γ (t)γ (t)m(t)] γ (t) og κ 3 n (t) = γ (t) m(t) γ (t) kaldes henholdsvis den geodætiske krumning og normalkrumningen for γ 2 i t med hensyn til σ. For en kurve med enhedsfart er de κ g (s) = γ (s) u(s) og κ n (s) = γ (s) m(s), hvor u(s) = m(s) t(s) og t(s) = γ (s). (D.4.8) I basen u(s), m(s) er γ (s) = κ g (s)u(s) + κ n (s)m(s), og κ g (s)u(s) T γ(s) σ mens κ n (s)m(s) T γ(s) σ (4.8) Geodætiske koordinater Lad γ : J R 3 være en kurve med enhedsfart. En regulær fladeparametrisering σ : U R 3 kaldes et geodætisk koordinatsystem vinkelret på γ hvis U = I J for et interval I og 1. der findes u 0 I så γ(v) = σ(u 0, v) for alle v, og denne kurve er geodætisk 2. alle koordinatkurverne u σ(u, v) for u I er geodæter med enhedsfart som skærer γ vinkelret i u = u 0 Bemærk, at definitionen kræver, at σ(u, v) er geodætisk i u for alle fastholdte v, mens den kun kræver, at den er geodætisk som funktion af v i et enkelt punkt u 0, hvor den reproducerer den oprindelige kurve γ (D.6.7) Geodætiske koordinater - eksistens Geodætiske koordinater - Første fundamentalform Lad σ : U R 3 være en regulær parametriseret flade og lad p U og en geodæt med enhedsfart, γ = σ µ på σ være givet med µ(t 0 ) = p. Der findes da et åbent rektangel W = I J omkring (0, 0) i R 2 og en diffeomorfi φ af W på en åben omegn U U om p, så φ(0, 0) = p og sådan at omparametriseringen τ(s, t) = σ(φ(s, t)) af σ U er et geodætisk koordinatsystem vinkelret på γ J (S.6.7) Lad σ : U R 3 være en regulær flade defineret på U R 2 af formen U = I J med åbne intervaller I, J R. Lad u 0 J være givet og lad γ : J R 3 være kurven t σ(u 0, t) på σ. Fladen σ er et geodætisk koordinatsystem vinkelret på γ hviss (S.6.8) 1. koefficienterne for første fundamentalform opfylder E(u, v) = 1, F (U, v) = 0 for alle (u, v) U og 2. G(u 0, v) = 1, G u(u 0, v) = G v(u 0, v) = 0 for alle v J Lad σ : U R 3 være en regulær fladeparametrisering. Koordinatkurven u : σ(u, v 0 ) er en geodæt med enhedsfart hviss E = 1 og E v 2F u = 0 i alle kurvens punkter (L.6.8) Geodætiske koordinater - og Gausskrumning Kurve på flade Lad p = (0, 0) = µ(0) U. For ε > 0, lad D ε være kvadratet D ε = [ ε, ε] [ ε, ε] omkring (0, 0) R 2 (med areal A(D ε ) = (2ε) 2 ). Antag ε så lille at D ε U. Da kalder vi σ(d ε ) for et kvadrat om p på σ. Dets areal er A(σ(D ε )). Lad σ : U R 3 være et geodætisk koordinatsystem omkring p = (0, 0) U. Gausskrumningen K af σ i p er givet ved K = 3 2 lim ε 0 ε 4 (A(σ(D ε )) A(D ε )) (S.6.9) Lad σ : U R 3 være en parametriseret flade. En parametriseret kurve på σ er en parametriseret kurve skrevet på formen γ = σ µ : I R 3 hvor µ : I U er en parametriseret glat plan kurve (D.2.3) µ er ikke nødvendigvis entydigt bestemt, da σ ikke nødvendigvis er injektiv. Desuden er glathed af µ ikke nødvendigvis givet bare fordi σ er glat, og selv om µ er

15 4 KURVER PÅ FLADER 15 entydigt bestemt. Derfor vigtigt, at antage µ glat. Formelt er en parametriseret kurve på σ et par af glatte kurver µ og γ, der opfylder γ = σ µ Normalkrumning for flade Normalkrumning og geodætisk krumning Normalkrumningen for σ i p med retning w 0 er normalkrumningen κ n (t 0 ) for en vilkårlig parametriseret kurve, γ = σ µ med µ(t 0 ) = p og γ (t) = w 0 (D.4.9) Lad σ : U R 3 være regulær fladeparametrisering og lad γ : I U være en regulær parametriseret kurve på σ. Tallene κ g (t) = det[γ (t)γ (t)m(t)] γ (t) og κ 3 n (t) = γ (t) m(t) γ (t) kaldes henholdsvis den geodætiske krumning og normalkrumningen for γ 2 i t med hensyn til σ. For en kurve med enhedsfart er de κ g (s) = γ (s) u(s) og κ n (s) = γ (s) m(s), hvor u(s) = m(s) t(s) og t(s) = γ (s). (D.4.8) I basen u(s), m(s) er γ (s) = κ g (s)u(s) + κ n (s)m(s), og κ g (s)u(s) T γ(s) σ mens κ n (s)m(s) T γ(s) σ (4.8) Normalsnit Lad σ : U R 3 være en regulær glat flade og lad γ = σ µ : I R 3 være en regulær glat kurve på σ. Antag, at der findes en plan Π i R 3 således at sporet af γ er indeholdt i Π. Hvis det for et t 0 I gælder, at Π er ortogonal til tangentplanen til σ i µ(t 0 ) kaldes γ et normalsnit i dette punkt. For et normalsnit i t 0 gælder, at κ g (t 0 ) = 0 (Øv.5.a.5) 4.2 Sætninger Buelængde, første Buelængden for en parametriseret kurve γ(t) = σ(u(t), v(t)) på en flade σ er givet fundamentalform (mht. koordinaterne (u(t), v(t))) som t 2 t 1 (Eu 2 + 2F u v + Gv 2 ) 1/2 dt hvor komponentfunktionerne E, F, G evalueres i (u(t), v(t)) og de afledte u, v evalueres i t. (S.3.4) Elliptiske flader rummer ikke rette linjer Geodæt Geodæt - eksistens og entydighed Geodætiske ligninger Lad σ : U R 3 være en glat flade og lad γ = σ µ : I R 3 være en regulær kurve på σ, hvis spor er indeholdt i en ret linje. Lad κ 1, κ 2 være hovedkrumningerne for σ i et punkt på kurven µ(t 0 ) U, t 0 I. Da gælder, at κ 1 0 κ 2 eller κ 2 0 κ 1. Altså kan en elliptisk flade ikke rumme kurver hvis spor er indeholdt i rette linjer (Øv.6.b.5) Lad γ være en parametriseret kurve på σ med enhedsfart. Da er γ en geodæt hviss γ (s) er normal til T γ(s) σ for alle s (L.4.10) Gennem hvert punkt på en regulær parametriseret flade går en entydig geodætisk kurve i hver retning. Mere præcist gælder for hvert p U og hvert w T p σ \ {0} at der findes en geodætisk kurve γ = σ µ : I R 3 på σ med p = µ(t 0 ) og w = γ (t 0 ) for et t 0 I. Hvis to geodæter med enhedsfart defineret på intervaller I og J begge opfylder betingelserne for en fælles værdi t 0 I J, da er de ens på I J (S.6.6) Lad γ(s) = σ(u 1 (s), u 2 (s)) være en glat kurve på σ med enhedsfart. Da er γ en geodæt hviss koordinatfunktionerne u 1, u 2 opfylder de følgende 2. ordens differentialligninger (S.6.5): u i + 2 Γ i jku ju k = 0, i = 1, 2 j,k=1

16 4 KURVER PÅ FLADER 16 Invarians - buelængde under isometri Invarians - geodæt under omparametrisering Lad γ = σ µ : I R 3 være en parametriseret kurve på σ. Ved δ = ρ ψ µ : I R 3 defineres en parametriseret kurve på ρ som er billedet af γ ved ψ. Hvis ψ er en isometri, er buelængderme af γ og δ ens: Lad t 1, t 2 I. Da er buelængden af γ fra t 1 til t 2 lig med buelængden af δ fra t 1 til t 2 (L.6.4) Omparametriseringer af σ eller γ (også retnings- og orienteringsvendende) ændrer ikke ved, om en kurve er en geodæt (4.10) Invarians - Geodæt En isometri fører en geodæt over i en geodæt. Det fremgår af de geodætiske ligninger under isometri (6.5) Invarians - Geodætisk og normalkrumning under omparametrisering Krumningsrelation Normalkrumning bundet til fladen Normalkrumning og anden fundamentalform Tangentrum Tangentvektor og fælles koordinater Den geodætiske krumning κ g er uændret under en retningsbevarende omparametrisering af γ og multipliceres med -1 under en retningsvendende omparametrisering. Normalkrumningen κ n er uændret i begge tilfælde (S.4.8) Krumningerne for en kurve på en flade opfylder κ 2 = κ 2 g + κ 2 n (K.4.8) Givet et punkt p = (u 0, v 0 ) U og en vektor w 0 T p σ, w 0 0. Alle parametriserede kurver γ = σ µ på σ med µ(t 0 ) = p og γ (t 0 ) = w 0 har samme normalkrumning κ n (t 0 ) (S.4.9) Normalkrumningen i retningen w 0 er κ n = II p (w 0 ) (S.5.3) Tangentrummet T p σ er lig med mængden af tangentvektorer γ (t 0 ) for alle parametriserede kurver γ = σ µ på σ med µ(t 0 ) = p for et passende t 0 I (S.2.3) Lad γ = σ µ være en parametriseret kurve på σ og lad m(t) = N(µ(t)) for t I. Lad t I være givet og lad p = µ(t) U og (a, b) = µ (t) R 2. Da er γ (t) = aσ u(p) + bσ v(p) og m(t) = an u(p) + bn v(p) (L.4.9) Tangenvektor, Lad w T p σ have koordinater a, b mht. basen σ u(p), σ v(p), dvs. w = aσ u + bσ v. Da længde er dens længde givet ved w 2 = a 2 E + 2abF + b 2 G (3.4) Vinkel mellem Vinklen mellem to tangenvektorer w = aσ u(p) + bσ v(p) og w = ãσ u(p) + bσ v(p) er tangentvektorer givet ved (3.4) Eaã + F (a b + bã) + Gb b cos θ = (Ea 2 + 2F ab + Gb 2 ) 1/2 (Eã 2 + 2F ã b + G b 2 ) 1/2 Vinklen mellem σ u og σ v er givet ved cos θ = F EG (3.4) Weingartenafbildning Lad γ = σ µ være en parametriseret kurve på σ med µ(t 0 ) = p. Da gælder W (γ (t 0 )) = (N µ) (t 0 ) (L.5.2)

17 5 OMDREJNINGSFLADER 17 5 Omdrejningsflader Meridian Omdrejningsflade Parallelkurve Profilkurve 5.1 Definitioner Lad σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)) være en omdrejningsflade. Kurven t σ(t, v 0 ) kaldes en meridian, når v 0 er konstant. Den har konstant fart (Øv.3.b.3) Lad γ : I R 3 være en profilkurve, altså γ(u) = (f(u), 0, g(u)) med f(u) > 0 for alle u I. Ved rotation om z-aksen fremkommer en omdrejningsflade: σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)) (Øv.2.a.4) Lad σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)) være en omdrejningsflade. Kurven t σ(u 0, t) på σ kaldes en parallelkurve, når u 0 er konstant. Den har konstant fart (Øv.3.b.3) Lad γ : I R 3 være en plan kurve i xz-planen, altså γ(u) = (f(u), 0, g(u)) og antag, at f(u) > 0 for alle u I. Denne kurve kaldes for profilkurven (Øv.2.a.4) Areal Fundamentalformer Gausskrumning 5.2 Sætninger Lad σ være en omdrejningsflade. Arealet af området {σ(u, v) a u b, π v π} er givet ved 2π b a (f (u) 2 + g (u) 2 f(u)du. Her er antaget, at [a, b] er indeholdt i definitionsintervallet for profilkurven og at denne kurves restriktion til ]a, b[ er regulær og injektiv. (Øv.3.b.6) Lad σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)), ( f(u) ) > ( 0 u være en omdrejningsflade. ) E F (f Da er første fundamentalform givet ved ) 2 + (g ) 2 0 F G 0 f 2 og anden ( ) ( ) L M 1 fundamentalform er givet ved = f g f g 0 M N (f ) 2 +(g ) 2 0 fg (Øv.6.a.2) Lad σ(u, v) være en omdrejningsflade. Da er Gausskrumningen givet ved K = (f g f g )g f (f 2 +g 2 ) 2 f. Hvis profilkurven har enhedsfart er K = f (Øv.6.b.6) 6 Specielle kurver Arkimedes spiral: γ(t) = (t cos t, t sin t) (Øv.3.a.5) Cardioide: γ(t) = (2 cos t + cos 2t, 2 sin t + sin 2t) (Øv.2.a.2) Ellipse: γ(t) = (a cos t, b sin t), a, b > 0, spor: C = {(x, y) x2 a 2 (Ex.1.1.2) + y2 b 2 = 1} Helix: γ(t) = (λt, r cos(ωt), r sin(ωt)), r > 0, λ, ω 0 (Ex.1.1.4). Hyperbelgren: γ(t) = (a cosh t, b sinh t), a, b > 0, spor: C = {(x, y) x2 a 2 1, x > 0} (Ex.1.1.3) y2 b 2 = Hyperbolsk skruelinje (helix):γ(t) = (t, cosh t, sinh t) (Øv.4.b.5) Konstant kurve: γ(t) = p, t I, p R n (Ex )

18 7 SPECIELLE FLADER 18 Linje: γ(t) = p + tq, q 0, p, q R n (1.1) Logaritmisk spiral: γ(t) : (e ct cos t, e ct sin t), t R, c > 0. Vinklen mellem γ(t) og γ (t) er konstant (Øv.3.a.8) Traktrice: γ(t) = (sin t, cos t + ln tan(t/2)), 0 < t < π). Den er regulær for t π/2 (Øv.6.b.7) 7 Specielle flader Abesadlen: σ(u, v) = (u, v, h(u, v)) med h(u, v) = u 3 3uv 2 (Har N = ( 3(u 2 v 2 ),6uv,1) 9(u 2 v 2 ) 2 +36u 2 v 2 +1 ) (Øv.6.b.3) Binormalflade: Lad γ : I R 3 være en glat kurve med enhedsfart og med krumning κ(t) 0 for alle t. Lad b(t) være binormalvektoren til kurven i t I. Sæt σ(u, v) = γ(v) + ub(v) for (u, v) R I. σ er regulær og kaldes kurvens binormalflade, og γ er geodætisk på sin binormalflade (Øv.5.a.6) Cylinder: σ(u, v) = (r cos v, r sin v, u), (u, v) R 2, svarende til {(x, y, z) x 2 + y 2 = r 2. Injektiv for v ]0, 2π[ (Ex ) Generaliseret cylinder: Lad γ : I R 3 være en glat kurve i xy-planen (γ(t) = (x(t), y(t), 0) for alle t). Lad a = (a 1, a 2, a 3 ) være en fast vektor med a 3 0. Den regulære flade σ(u, v) = γ(v) + ua for (u, v) U = R I kaldes en generaliseret cylinder (Øv.5.a.4) Kegle: σ(u, v) = (λu cos v, λu sin v, u), λ > 0, (u, v) R 2, svarende til {(x, y, z) x 2 + y 2 = λ 2 z 2 } (Ex.1.2.4) Kugleflade: σ(u, v) = (cos u cos v, cos u sin v, sin u), (u, v) R 2. Svarer til S 2 = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1}. u er breddegrad, v er længdegrad. Restriktionen til u ] π 2, π 2 [, v ] π, π[ giver injektiv afbildning, men ikke surjektiv, da en halvcirkel bag på kuglen er fjernet (Ex ) Plan: σ(u, v) = p + uq 1 + vq 2, p, q 1, q 2 R 3, (u, v) R 2. Hvis q 1, q 2 er σ(u) en plan, ellers linje eller punkt (Ex.1.2.1) Pseudosfære: Omdrejningsfladen for traktricen: σ(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u+ ln tan(u/2), 0 < u < π, π < v < π. Har konstant Gausskrumning=-1 og areal lig med kuglefladen (Øv.6.b.7) Vindelflade: σ(u, v) = (u cos v, u sin v, v), (u, v) R 2. Er regulær i alle (u, v) (Øv.3.b.1)

19 Indeks κ g, 14, 15 κ n, 14, 15 b, 5 m, 13 n, 6 t, 7 Alle kurver kan være geodæt, 13 Anden fundamentalform, 9 Diagonaliseret, 11 Invarians under omparametrisering, 12 Koordinatudtryk, 11 Kurve i plan, 12 Normalkrumning, 16 Og normalkrumning, 11 Areal, 9 Graf, 11 Invariant under omparametrisering, 11 Omdrejningsflade, 17 Bijektion, 3 Binormal, 5 Og torsion, 8 Binormalflade, 5 Buelængde, 5 Første fundamentalform, 15 Invarians ved omparametrisering, 7 Invariant ved isometri, 16 Polære koordinater, 8 Christoffel Acceleration, 11 Christoffelsymboler, 9 Indre størrelse, 10 Ortogonal parametrisering, 10 Cylinder Parabolsk, 5 Diagonalisering Og symmetri, 4 Diffeomorfi, 3, 4 Har invertibel Jacobiant, 4 E,F,G, 9 Egenværdier Kvadratisk form, 3 Egenvektorer Kvadratisk form, 3 Eksistens af geodætiske koordinater, 14 Elementært område, 3 Elliptisk flade Ingen rette linjer, 15 Elliptisk paraboloid, 5 Elliptisk punkt, 10 Enhedsfart, 6 Krumning, 8 Omparametrisering, 7 Enhedsnormal, 9 Invarians under omparametrisering, 12 Langs kurve, 13 Enhedsnormalvektor Graf, 11 Enhedstangentvektor, 7 Første fundamentalform, 9 Geodætiske koordinater, 14 Fart, 6 Flade Normalkrumning, 15 Parametriseret, 10 Regulær, 10 Fladekurve Enhedsnormal, 13 Krumningsrelation, 16 Flytning, 3 Resultater, 4 Frenets formler, 7 Fundamentalform Anden, 9 Anden og normalkrumning, 16 Anden, diagonaliseret, 11 Anden, diagonaliseret og normalkrumning, 11 Anden, invarians under omparametrisering, 12 Anden, koordinatudtryk, 11 Diagonal og hovedkrumningsvektorer, 11 Første, 9 Første og buelængde, 15 Første og tangentvinkel, 16 For omdrejningsflade, 17 Gausskrumning, 9, 11 Geodætiske koordinater, 14 Indre størrelse, 12 Invariant under isometri, 12 19

20 INDEKS 20 Omdrejningsflade, 17 Ortogonal parametrisering, 13 Geodæt, 13, 15 Bevarelse under isometri, 16 Eksistens, 15 Entydighed, 15 Indre egenskab, 16 Invarians under omparametrisering, 16 Og alle kurver, 13 Og meridian, 13 Og ret linje, 13 Geodætisk krumning, 14, 15 Invarians under omparametrisering, 16 Geodætiske koordinater, 14 Eksistens, 14 Første fundamentalform, 14 Gausskrumning, 14 Geodætiske ligninger, 15 Glat, 3 Graf, 3 Areal, 11 Enhedsnormalvektor, 11 Krumning, 8 Regulær flade, 11 Regulær kurve, 7 Regularitet, 11 Hastighedsvektor, 6 Hovedkrumning, 9 Hovedkrumningsvektor, 9 Invarians under omparametrisering, 12 Hovedkrumninsgvektor For diagonale fundamentalformer, 11 Hovednormal, 6 Hyperbolsk paraboloid, 5 Hyperbolsk punkt, 10 Implicit funktionssætning, 4 Indre egenskab Geodæt, 16 Indre geometri, 3 Indre størrelse Christoffelsymboler, 10 Gausskrumning, 12 Invarians Anden fundamentalform og omparametrisering, 12 Areal under omparametrisering, 11 Buelængde under isometri, 16 Buelængde under omparametrisering, 7 Enhedsnormal under omparametrisering, 12 Gausskrumning under isometri, 12 Geodæt og omparamterisering, 16 Geodætisk og normalkrumning, 16 Hovedkrumningsvektor under omparametrisering, 12 Krumning for plan kurve, 8 Krumning for rumkurve, 8 Tangentrum, 12 Torsion, 8 Torsion for rumkurve, 8 Weingartenafbildning, 12 Invers funktionssætning, 5 Isometri, 12 Buelængde invariant, 16 Fører geodæt i geodæt, 16 Gausskrumning invariant, 12 Klassifikation af punkter, 10 Komponentfunktioner, 9 Anden fundamentalform, 12 Kritisk punkt, 3 Krumning Bestemmer plan kurve, 8 Gauss, 9, 11 Geodætisk, 14, 15 Graf, 8 i maksimum, 8 Invarians ved omparametrisering, 8 Kurve med enhedsfart, 8 Normal-, 14, 15 Og κ g og κ n, 16 Og linjestykke, 8 Plan kurve, 6 Polære koordinater, 8 Rumkurve, 6 Tangentvinkel, 8 Total, 9 Kurve Linje er kortest, 8 På flade, 14 Parametriseret, 6 Regulær, 6 Regulær og graf, 7 Spor, 6 Kvadratisk form, 3 Egenværdier og -vektorer, 3 Roteret, 5 Længde

21 INDEKS 21 Tangentvektor, 16 Linje Korteste kurve, 8 Krumning, 8 Og geodæt, 13 Meridian, 17 Og geodæt, 13 Niveaukurve, 6 Normalkrumning, 14, 15 Anden fundamentalform, 16 Fælles for kurver med samme retning og sted, 16 For flade, 15 Invarians under omparametrisering, 16 Og anden fundamentalform, 11 Normalsnit, 15 Notation I p, 9 K(p), 9 L, M, N, 11 T p σ, 10 Γ k ij, 9 κ g, 14, 15 κ n, 14, 15 b, 5 m, 13 n, 6 t, 7 W, 10 Omdrejningsflade, 17 Areal, 17 Fundamentalformer, 17 Gausskrumning, 17 Omparametrisering Areal invariant, 11 Buelængde uændret, 7 Flade, 9 Geodætisk krumning invariant, 16 Invarians af anden fundamentalform, 12 Invarians af enhedsnormal, 12 Invarians af geodætegenskab, 16 Invarians af hovedkumningsvektor, 12 Krumning invariant for plan kurve, 8 Krumning invariant for rumkurve, 8 Kurve, 6 Normalkrumning invariant, 16 Tangentrum, 12 Til enhedsfart, 7 Torsion invariant, 8 Område Elementært, 3 Ortogonal parametrisering, 9 Ortogonalitet Af f og f, 5 Osculerende plan, 6 Paraboloid Cylinder, 5 Elliptisk, 5 Hyperbolsk, 5 Parabolsk cylinder, 5 Parabolsk punkt, 10 Parallelkurve, 17 Parametriseríng Flade, 10 Parametrisering Kurve, 6 Ortogonal, 9 Parametrisering ved trig-funktioner, 5 Plan Osculerende, 6 Plan kurve Anden fundamentalform, 12 Krumning, 6 Krumning invariant ved omparametrisering, 8 Planpunkt, 10 Polære koordinater Buelængde og krumning, 8 Profilkurve, 17 Punkttyper, 10 Regulær flade, 10 Graf, 11 Regulær kurve, 6 Graf, 7 Rotationsmatrix, 3 Roteret kvadratisk form, 5 Rumkurve I fast plan, 8 Krumning, 6 Krumning invariant ved omparametrisering, 8 Torsion invariant ved omparametrisering, 8 Spor, 6 Storcirkel, 4 Tangentlinje, 7, 8

22 INDEKS 22 Tangentplan, 10, 12 Tangentretning, 7 Tangentrum, 10, 16 Invarians, 12 Uændret af omparametrisering, 12 Tangentvektor, 7 Længde, 16 Vinkel mellem to, 16 Tangentvinkel Og krumning, 8 Teorema egregium, 12 Torsion Og binormal, 8 Rumkurve, 7 Total krumning, 9 Vinkel Mellem to tangentvektorer, 16 Weingartenafbildning, 10, 16 Hovedkrumninger, 13 Hovedkrumningsvektorer, 13 Invarians under omparametrisering, 12 Matrix, 13