Tomografi (röntgen-skanner-princippet)
|
|
- Rebecca Susanne Fog
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Original Gendannelse Grafisk gengivelse af skanningen Tomografi (röntgen-skanner-princippet) I 1970-erne var tiden moden til at skabe et apparatur som man længe havde været sikker på var en teknisk mulighed: et röntgenapparat som gør det muligt at se rigtigt ind i legemer som er uigennemtrængelige for lys - i modsæt-
2 ning til det ældgamle röntgenbillede hvor det kun er en projektion af det indre man kan se. Problemet er af to-dimensional natur, siden man kun behøver at danne billedet af et plant snit igennem legemet. Og dette må nødvendigvis ske ved at sende röntgen- eller lignende stråler igennem legemet fra et stort antal retninger beliggende i den pågældende plan, og for hver retning måle hvor meget strålens intensitet aftager, og så ud fra alle disse informationer konstruere et billede. Men hvordan? Ved det sædvanlige röntgenapparat udsendes stråler fra röntgenrøret i alle retninger indenfor en kegle, og disse kan opfanges på en fotografisk plade eller på en glasplade som flourescerer der hvor den rammes af en stråle. Men nu skal der tilsyneladende også matematik til for at danne billedet: informationerne skal omdannes til tal som skal bearbejdes i formler, og ud fra de bearbejdede tal skal man få et billede frem på en skærm. Dette sidste var ikke noget problem, det havde man tv-skærme til, men det første problem kunne muligvis være formidabelt: der skal øjensynligt benyttes informationer fra "alle tænkelige" linier indenfor det plane snit, og da en linie er karakteriseret ved en vinkel og en forskydning, er der måske i praksis brug for 300x300 = linier, og for enhver af disse fås et tal (intensitetstabet) som skal opbevares da det skal bruges for alle punkterne på skærmen. Og denne skærm er måske på 400x400 = punkter. Altså: tal skal oplagres i en hukommelse og bearbejdes for hvert af de punkter, og til enhver sådan bearbejdning behøves måske flere tusinde operationer. For at danne et fraktalbillede skal der ikke oplagres nogen tal, og for hvert punkt skal der oftest kun udføres nogle hunderede udregninger. Og dog var det ikke dette oplagrings- og regneproblem man skulle slås mest med i 70-erne, har jeg ladet mig fortælle. Man rådede allerede dengang over computerkraft som var stor nok. Nej, det var matematikken: man kendte ikke de formler der skulle bruges. Det var især opstillingen af disse der var den store bedrift af de to medicinere som i 1979 fik Nobel-prisen for at have løst problemerne. Kan dette virkelig være sandt? Matematikerne har alle dage hævdet, at de fra deres elfenbenstårn har et glimrende udsyn over verden og at de er langt forud for denne i udvikling. Og når nogen har sat spørgsmål ved nytten af deres arbejde, har de altid forsvaret dette med at det engang vil vise sig nyttigt. Og her var der endda tale om et problem hvis løsning måtte være langt under deres niveau og som de længe burde have vidst at verden snart ville få brug for. Og selvfølgelig var et så elementært problem som der her er tale om, løst forlængst. Det er et centralt problem indenfor det fagområde der hedder integralgeometri, og denne disciplin havde eksisteret i over hundrede år. Og i 1917 offentliggjorde den franske matematiker J.K.A. Radon ( ) en afhandling, hvori han fremlagde og beviste de formler der skal til for at rekonstruere en funktion defineret på et område i planen ud fra dens integral langs
3 alle tænkelige linier igennem området. Og hvis denne funktion er tætheden (i en eller anden forstand) af et materiale fordelt over det plane område, så må integralet langs en ret linie være et mål for den modstand som en stråle der er følsom overfor materialet møder, når den trænger igennem materialet langs linien, dvs. den aftagen i intensitet der sker i en strålen. Radon har dog næppe tænkt den tanke at hans teori i princippet kan bruges til at se ind i legemer. Röntgenbilleder havde man ganske vist haft i tyve år, men fra denne matematikløse teknik til hans regnekrævende formler er der lang vej. Radon havde udtænkt sin formel fordi den på hans tid var en oplagt udfordring, et naturligt trin i integralgeometriens udvikling, og måske viste formlen og dens bevis sig ligefrem at besidde en stor skønhed. Om formlen vil jeg sige, at den ser ud som enhver erfaren matematiker vil forvente, den er enkel og ganske køn. Det er mere beviset som den matematikinteresseret hungrer efter at se, og her vil han blive glædelig overrasket. Men inden vi skitserer teorien skal vi formulere Radons formel og efterprøve den på computeren: hvor lang tid tager det mon at danne billedet? - hvordan bliver det? Radons formel lyder således (når den formuleres ud fra vores problemstilling): For ethvert punkt p i området defineres en funktion M(p, r) af de positive reelle tal r ved: M(p, r) = middelværdien af modstanden i alle de rette linier som har afstand r fra p. Da gælder: D materialets tæthed i p = -1/π (dm(p, r)/dr) dr/r, 0 hvor D er områdets diameter. Vi vil forestille os at vi indenfor et rektangulært område har en fordeling af masse, men dette svarer til et billede med gråtoner, idet hver gråtone tillægges en tæthed. Da computerens farver er bestemt ved tripler (R, G, B) af hele tal fra 0 til 255 (nemlig farvens sammensætning af rød, grøn og blå), og da en gråtone er en sådan farve hvor de tre tal er ens, kan vi lade tætheden være dette tal. Tætheden er altså et helt tal fra 0 til 255. Billedet kan f.eks. være et fotografi. Vi laver to programmer: det ene ("Skan") "skanner" billedet og lagre disse informationer i en fil (af reelle tal), det andet ("Dan") gendanner billedet ud fra informationerne i filen, ved for hvert af punkterne at udregne den ovennævnte formel og tildele punktet den gråtone som tallet angiver. Skanningen foregår ved at vi for et stort antal rette linier igennem rektanglet tager
4 summen af tæthederne for de pixel linien går igennem. Vi må gøre os klart at vi må acceptere nogle fejl i det billede vi genskaber, da vi jo har med integrationer og differentationer at gøre og disse kun kan udføres med tilnærmelse. Og skal vi have en stor præcision vil programmet nok køre urimeligt langsomt. At der kan blive fejl kan vi tænke os til på forhånd: på de steder hvor der i den oprindelige figur er bratte overgange, vil der i det rekonstruerede billede kunne være nogle fejlfarvede punkter, og hvis den oprindelige figur er kompliceret, f.eks. sammensat af mange ens figurer ligesom et ark frimærker, vil der ved skanningen blive en tendens til at modstanden er næsten ens i alle retninger, så det rekonstruerede billede bliver grumset. På den anden side, da Radons formel jo er helt eksakt og da en moderne computer er hurtig, kan vi godt tillade os at stille store krav til billedet. At det måske vil tage en god tid at genskabe billedet, skal vi ikke bekymre os om, dette har ingen betydning hvis nogen vil bruge vores computerprogram i praksis. Ved skanningen vil man ikke bevæge én stråle i tusinder af stillinger, men vil sende tusinder af stråler afsted samtidig. Og ved dannelsen af billedet vil man ikke udføre operationerne lineært således som vi gør i vores program, men parallelt, så udregningerne udføres samtidig for flere punkter, og så billedet genskabes på en brøkdel af et sekund. Vi vil først udtænke et program som er simplest muligt, idet vi udfører integrationerne og differentationerne lige efter lærebogen, dvs. tager sådanne tilnærmelser som optræder i deres definition. Så vil vi undervejs opdage, at vi med enkle midler kan forbedre programmet betydeligt. Skanningen kan udføres på flere måder, og det har ikke stor betydning hvilken man anvender. I mit program har jeg defineret en funktion modstand(vinkel, afstand) på følgende måde: for en given vinkel og afstand går man stykket afstand ud fra rektanglets centrum i retningen vinkel og betragter den rette linie igennem dette punkt og vinkelret på denne retning: Den modstand som denne stråle møder ved at passere igennem figuren, fås
5 ved at addere tallene mat[i, j] for alle de punkter (i, j) den rammer. For at kunne finde disse punkter må vi lade den ene af koordinaterne i og j være uafhængig variabel og udregne den anden ud fra liniens ligning. Vi vælger i (x-koordinaten) for de linier hvor vinkel er nærmest y-aksen (dvs. cos(vinkel) < sin(vinkel) ), og j (y-koordinaten) for de linier hvor vinkel er nærmest x- aksen (dvs. cos(vinkel) > sin(vinkel) ). Men da modstanden i linien er et integral langs linien, skal vi gange det tal vi har fundet med længden af en pixel, denne længde er konstant langs linien, men den er ikke den samme for de forskellige retninger: en pixel er jo et lille kvadrat, og når linien ligger skå i forhold til dette, må den i gennemsnit passere en længere vej. Derfor skal vi i det første tilfælde dividere med sin(vinkel), og i det andet tilfælde dividere med cos(vinkel). Ved hjælp af denne funktion modstand(vinkel, afstand) kan vi nu skanne figuren, dvs. finde modstanden i et stort antal udvalgte linier, f.eks. lade vinkel gå fra 0 til 359 og lade afstand gå fra 0 til rektanglets radius R igennem f.eks. 300 trin - så har vi fået "alle tænkelige" positioner med. Herefter skal vi for hver pixel først finde funktionen M(p, r) og derefter udregne integralet 2R (dm(p, r)/dr) dr/r. 0 For et givet r > 0 er M(p, r) summen af modstanden i alle de udvalgte linier som har afstanden r fra punktet p divideret med antallet af disse linier (altså selv om en linie ligger helt udenfor rektanglet skal den tælles med alligevel). For enhver udvalgt vinkel v skal vi finde den udvalgte linie hvis afstand fra p er nærmest r. Det gøres på følgende måde: Hvis punktet p har koordinatsættet (a, b) er den rette linie som har afstanden r fra p og som er vinkelret på retningen v, den samme som den rette linie som har afstanden r* = r + a cos(v) + b sin(v) fra origo og som er vinkelret på retningen v (idet a cos(v) + b sin(v) er projektionen af linien fra origo til p ind på retningen v):
6 - med mindre at r* bliver negativ, for så skal vi lægge 180 til v, da vi har valgt at operere med vinkler hele vejen rundt, men kun med positive afstande. Derfor er den søgte udvalgte linie, linien givet ved den udvalgte vinkel v og den udvalgte afstand som er nærmest tallet r*, eller, hvis dette tal er negativt, linien givet ved den udvalgte vinkel v+180 og den udvalgte afstand som er nærmest tallet -r*. Herefter skal vi udregne det viste integral. I integranden ophæver de to dr-er hinanden, så vi skal blot dele intervallet fra 0 til 2R op i et stort antal lige store stykker - f.eks og hvis vi kalder længden af hvert stykke d, skal vi for stykket der går fra r til r+d udregne tallet (M(p, r+d) - M(p, r))/(r+d/2), og alle disse 600 tal skal adderes. Hvis summen kaldes s, skal vi i programmet først sætte s = 0 og r = 0, og succesivt gøre følgende indtil r > 2R: udregne (M(p, r+d) - M(p, r))/(r+d/2), addere dette tal til s, erstatte r med r+d. Til sidst skal vi gange s med -1/π, afrunde det tal vi får til et helt tal og tildele pixlen farven svarende til dette tal. Da dette primitive program kan forbedres betydeligt ved beskedne ændringer, vil vi straks gå igang hermed. Skanningen kan der ikke gøres meget ved. Ikke udover at øge nøjagtigheden ved at gøre de små bidder som en linie deles i kortere, f.eks. halv så lange. Dette svarer til at lade figuren være dobbelt så detaljeret, og dette svarer igen til at forestille sig at den er dobbelt så mange pixel på hver led. Men kun den figur vi skanner, billedet vi danner skal stadigvæk kun være det oprindelige antal pixel på hver led. Herefter kommer vi til differentationen og integrationen. Den inddeling vi foretager af intervallet [0, 2R] bør klart være finere jo nærmere vi kommer til 0, da integranden må formodes at være størst her (bemærk at der er en division
7 med r). Vi vil begynde med et meget lille d, og succesivt gøre d større ved at erstatte d med kd, hvor k er et fast tal lidt større end 1 (f.eks. k = 1.1). Men vi bør også undlade at gøre brug af vores opdagelse af at dr optræder i både tæller og nævner af integranden (dm(p, r)/dr) dr/r. Vi bør operere med to forskellige dr-er. Dannelsen af en differenskvotient der er en tilnærmelse til dm(p, r)/dr i punktet r, bør foretages ud fra r-værdier beliggende på hver side af r: dm(p, r)/dr (M(p, r 2 ) - M(p, r 1 )/(r 2 - r 1 ), hvor r 1 < r < r 2. Og i stedet for bare at lade bidraget til summationen fra r til r+d være d gange (dm (p, r')/dr')/r' taget i et punkt r' imellem r og r+d, vil benytte tilnærmelsesformlen: r+d f(r) dr/r (f(r)/(r+d/4) + f(r+d)/(r+3d/4)) d/2 r som bygger på værdierne af f(r) i de to endepunkter af det lille interval [r, r+d] (den er ikke svær at eftervise). Så bliver denne inddeling af intervallet [0, 2R] forskudt i forhold til den inddeling vi bruger til at danne differenskvotienterne (i programmet betegner r1 de succesive r-er brugt til at danne differenskvotienterne, idet r1 begynder med r1 = 0, og r betegner de succesive r-er brugt til at danne summationen, idet r begynder med r = d/2). De to første trin af denne succesive procedure er lidt anderledes end de følgende, derfor optræder et z som først er 0, derefter 1, og resten af vejen 2. En ny differenskvotient kaldes hele tiden g samtidig med at den foregående får navneforandring til h. For z = 0 dannes den første, for z = 1 dannes den anden og for z = 2 dannes alle de følgende. Der er en finesse mere i vores program: for at danne M(p, r) skal vi for enhver udvalgt vinkel v bruge modstanden i den udvalgte linie som har en afstand fra p der er nærmest ved tallet r. Her bør vi selvfølgelig indføre en interpolation: hvis r* 1 og r* 2 er de udvalgte afstande på hver side af den ovenfor fundne afstand r* fra 0, bør vi lade modstand(v, r*) være modstand(v, r* 1 ) + (r* - r* 1 )(modstand(v, r* 2 ) - modstand(v, r* 1 ))/(r* 2 - r* 1 ). Og til allesidst en lille tidsbesparende ting: i integrationen behøver vi ikke at integrere helt til tallet 2R, som er rektanglets diameter, vi kan nøjes med at integrere til R+afstanden fra 0 til p. Programmets virkemåde I vores program vil vi i stedet for et billede i sort/hvid anvende et billede i farver - dette vil ikke gøre programmet mere kompliceret. Et billede i farver
8 svarer nemlig til tre billeder i sort/hvid: intensiteten af rød, grøn og blå, og skanningen og gendannelsen af disse tre billeder kan foretages i én og samme procedure. For hver pixel i gendannings-proceduren giver Radons formel os tre hele tal R, G, B (fra 0 til 255), og punktet tildeles farven med disse RGBværdier. Vi forudsætter at billedet er i BMP-format og ikke for stort (f.eks. 600x600 pixel), og det gives navnet "Billede.bmp". I programmet "Skan" skal inden skanningen begynder indtastes antallet af vinkler og forskydninger (f.eks. henh. 400 og 300). Resultatet af skanningen er en fil af reelle tal, og den har navnet "Fil.julia". Programmet "Dan" tegner nu, ud fra informationerne i denne fil, et billede i halv så stor størrelse. Hvor fejlfrit det bliver, afhænger af antallet af vinkler og forskydninger, men også de af de tilnærmelser der er i programmet, og det vil altid blive lidt sløret: *** Programparret "Skan2" og "Dan2" er en variant af dette program, idet resultatet af skanningen i stedet for at være en fil af tal, er et billede (i BMP-format): tallene er afrundede til hele tal og justeret således at det største er 255, og vinklen og forskydningen er afsat ud af henh. den vandrette og den lodrette akse. "Dan2" danner billedet ud fra farveværdierne i dette billede (som er givet navnet "TransBillede" billedet til venstre nedenfor). Ved, forinden at vi anvender "Dan2", at ændre lidt i dets farver (med et billedbehandlingsprogram), får vi andre farver i resultatet:
9 Da skanningen af et billede ikke "véd" hvor stort det oprindelige billede er, må dettes dimensioner (bredde og højde) indtastes ved gendannelsen (i programmet "Dan2"). Indtaster man andre dimensioner (hvor størrelsesforholdet er korrekt) bliver billedet lysere eller mørkere, derfor må også indtastes en "farvefaktor" er billedet f.eks. halvt så stort skal den sættes til 0.5. Ved at tage udgangspunkt i et simpelt billede, kan vi ved skanning få et "kunstværk" frem:
10
11 Bevis for Radons transformationsformel Jeg vil nu skitsere Radons bevis for sin formel. Denne formel kaldes også for Radon-transformationen, og den hører blandt en type af matematiske formler som er særligt fascinerende, nemlig inversionsformlerne (i afsnittet om Riemanns primtalsteori omtales Möbius- og Fourier-inversionen). Inversionsprincippet kommer ind i billedet i forbindelse med en vis integralligning, som vi får brug for at løse, dvs. en ligning hvor den ubekendte er en funktion som indgår i en integraldannelse. Og den integralligning som skal løses lyder: givet en funktion g(y), find en funktion f(x) således at g(y) = f(x)/ (x-y) dx. y Men denne integralligning blev løst af Niels-Henrik Abel ( ), og løsningsformlen er ganske tankevækkende: f(x) = -1/π g'(y)/ (y-x) dy x - vi skal altså blot differentiere g(y) og bruge den samme formel (og dividere med -π). En så smuk inversionsformel må kunne ses i et højere perspektiv. Hvis faktoren 1/ (x-y) ikke havde været det, havde problemet lydt: løs ligningen g(y) = f(x) dx. y Og denne integralligning kan løses ved blot at differentiere begge sider: f(y) = -g'(y). Disse to integraldannelser er specialtilfælde af følgende integraldannelse: Lad α være et positivt tal, da kan vi for en funktion f(x) definere en ny funktion I α f(y) ved integralet I α f(y) = 1/Γ(α) f(x) (x-y) α-1 dx, y hvor Γ(x) er den såkaldte gammafunktion (den omtales nærmere i afsnittet om Riemanns primtalsteori), her skal blot siges at for et naturligt tal n er Γ(n) =
12 (n-1)! og Γ(½) = π. Denne integraltransformation har følgende elegante egenskaber: I α (I β f) = I α+β f (I α f)' = I α (f') (I 1 f)' = -f (I α f)' = -I α-1 f (den sidste gælder for α > 1). Bemærk at den anden siger at operationerne I α og differentation kan ombyttes, og at den tredie (hvor α = 1) er den ovennævnte formel g'(y) = -f(y) (idet Γ(1) = 1), og at den sidste siger at f' = -I -1 f, hvis I α var defineret for α = -1, men da den ikke er det, må vi tage I α for α > 1 på begge sider af lighedstegnet og anvende den første og anden egenskab. Vi får Abels teori ved at sætte α = ½, så har vi nemlig at Abels integralligning kan skrives g = π I ½ f, og så følger af de tre første formler at I ½ (g') = (I ½ g)' = π (I ½ (I ½ f))' = π (I 1 f)' = - π f, og dette er Abels løsningsformel. Og nu til hvordan Radon omformer Abels inversionsformel til sin egen inversionsformel. Vi betegner materialetæthedsfunktionen f(p). Lad L(ρ, θ) være den linie som har afstand ρ fra origo og hvis normal har vinkel θ (fra x-aksen), og lad f^(ρ, θ) være integralet af f(p) langs L(ρ, θ) (det tal vi har kaldt "modstanden" i linien): f^(ρ, θ) = f(p) ds, L(ρ, θ) idet p er det til parameteren s svarende punkt på linien. Og lad for et punkt p' og et tal r 0, M p' f^(r) være middelværdien af f^(ρ, θ) for alle tangenterne til cirklen om p' med radius r, dvs.: 2π M p' f^(r) = 1/(2π) f^(ρ, θ) dθ, hvor ρ er afstanden fra origo af den tangent hvis normal har vinkel θ, dvs.: ρ = r + projektionen af vektoren fra origo til p på retningen θ. For ethvert θ er der to tangenter til cirklen hvis normal har vinkel θ, hvis den ene er knyttet til θ, må den anden knyttes til θ+π (vi kan godt tillade ρ at være negativ). Radons inversionsformel siger at vi fra denne funktion M p' f^(r) kommer tilbage til funktionen f(p) ved: 0
13 f(p') = -1/π (dm p' f^(r)/dr) dr/r. 0 I definitionen af M p' f^(r) indgår to integrationer - én langs en ret linie og én langs en cirkel - og Radon viser at disse i en vis forstand kan ombyttes, idet M p' f^(r) = 2 M p' f(r*)/ (1-(r/r*) 2 ) dr*, r hvor M p' f(r*) er middelværdien af f(p) langs cirklen C(p', r*) med centrum i p' med radius r*, dvs. M p' f(r*) = 1/(2πr*) f(p) ds. C(p', r*) Med figurens betegnelser følger nemlig af s = (r* 2 - r 2 ) at ds/dr* = r*/ (r* 2 - r 2 ) = (1-(r/r*) 2 ) og dermed at f(p) ds = f(p)/ (1-(r/r*) 2 ) dr* 0 r (p er punktet svarende til s). Dette integral skal tages i begge retninger af linien og integreres rundt langs den inderste cirkel, herved fås udtrykket for M p' f^(r). Men denne sammenhæng imellem M p' f^(r) og M p' f(r*) er Abels integralligning: for hvis vi erstatter r med y og r* med x har vi at
14 M p' f^( y) = M p' f( x)/ (x-y) dx y (idet vi har benyttet at d( x)/dx = dx/(2 x)). Så derfor har vi ifølge Abel at M p' f( x) = -1/π (d(m p' f^)( y)/dy)/ (y-x) dy. x Og benytter vi at d(m p' f^)( y)/dy = (M p' f^)'( y) /(2 y), erstatter y med r 2 og sætter x = 0, så får vi Radons formel (da M p' f(0) = f(p')): f(p') = -1/π (dm p' f^(r)/dr) dr/r. 0
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter
Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,
Læs mereINERTIMOMENT for stive legemer
Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKapitel 1. Planintegraler
Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereMatematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereRumfang af væske i beholder
Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses
Læs mereGrafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer
Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2
Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 -----------------------------------------------------DELPRØVE 1------------------------------------------------------- Opgave 1 - Reduktion
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereLæringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4
Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereStorcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel
Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs mere