Mine noter om funktioner C. Ib Michelsen

Transkript

1 Mine noter om funktioner C Ib Michelsen Ikast 2006

2

3 Indholdsfortegnelse Funktioner...72 Generelt om funktioner...74 Variable...74 Talpar i tabeller...76 Grafer i koordinatsystemet...78 Det almindelige retvinklede koordinatsystem...80 Definition af funktionsbegreber...84 Oversigt: Vigtige funktionstyper...88 Funktioner, ligninger mv...97 Regneark...99 Diagram Millimeterpapir Enkeltlogaritmisk papir Dobbeltlogaritmisk papir Lineære funktioner Introduktion Definitioner Sætning: Forskriften for en lineær funktion Den omvendte sætning Sætning: Beregning af a Regel om tendenslinjer Den lineære funktion (Oversigt) Eksponentielle funktioner Eksempler på eksponentielle funktioner Definition: En eksponentiel funktion Sætning: Parametre Den eksponentielle funktion (Oversigt) Rentesregning Navngivning ved rentesregning Sætning: Kapitalfremskrivningsformlen Potensfunktioner Definition En potensfunktion Sætning: En potensfunktions parametre Potensfunktionen (Oversigt)...158

4 Funktioner

5

6 Generelt om funktioner Variable Se på en samling mennesker; du bemærker, at de er forskellige: tykke og tynde, gamle og unge, mænd og kvinder. De varierer på en lang række områder. Egenskaber som navn, cpr-nummer, vægt, højde, alder og køn er eksempler på variable, der kan knyttes til mennesker. Værdien er tit forskellig for forskellige mennesker: for en er højden 117 cm, for en anden 203 cm eksempelvis. Ofte måske for nemheds skyld bruges tal til beskrivelsen, men ikke altid. Øvelse: Lister over variable Lav selv lister over andre variable, der kan beskrive mennesker over variable, der kan beskrive huse over variable, der kan beskrive dage Eksempel: Afhængig og uafhængig variabel Tænker vi igen på samlingen af mennesker med hver sit navn kan vi danne par af variable som (Niels Madsen ; 78) Det kan læses som: Niels Madsen er 78 år. Og har vi valgt personen Niels Madsen og det er en bestemt person, da der i vor befolkning kun er én Niels Madsen - er der kun et svar, der giver den rigtige alder, nemlig 78. Derfor kaldes alderen her for den afhængige variabel den afhænger af personen Niels Madsen. Vi kan frit vælge Niels Madsen eller et hvilken som helst andet navn, der svarer til én person i vores mængde (befolkning): navnet er den uafhængige variabel. I nogle tilfælde kan du bytte om på den uafhængige og den afhængige variabel, men ikke her: Vælger vi 78 og spørger vi om: hvem er 78 år? kan der være flere end Niels Madsen, der er 78. Men der må kun være ét muligt svar, hvis navnet skal være en afhængig variabel... Nedenfor ser du en række eksempler på talpar i tabeller; i flere af dem er tiden den uafhængige variabel, hvilket ikke er tilfældigt. Det gælder jo for rigtig mange historier, at de beskriver et forløb over tid. Det kan være noget fortidigt som i de viste eksempler eller noget fremtidigt som vejrudsigter og andre prognoser. Men det behøver ikee at være sådan:

7 Værtshusets prisskilt og mange fysiske sammenhænge har ikke tiden som variabel. Øvelse: Variable, der beskriver et landbrug Hver eneste erhvervsvirksomhed i Danmark har et nummer på samme måde som mennesker har cpr-numre. Lad os tænke på landbrugene og deres nummer. Nummeret er en variabel. Kan det benyttes som en uafhængig variabel? Hvorfor? Nogle landbrug producerer korn, nogle svin, nogle æg, nogle mælk og nogle en blanding af flere produkter. Kan vi beskrive landbrug med en variabel, der kun antager to værdier? Hvilke variabler vil du bruge til at beskrive, hvor stor virksomheden er? Og er der flere muligheder? Kan du i landbrugseksemplet - tænke på variable, som kun kan være hele tal? som kun kan være nogle af de reelle tal? som kan være både positive og negative tal? som slet ikke er et tal? Hvor mange af de omtalte variable kunne være den uafhængige variabel? Begrund svaret. 75

8 Talpar i tabeller Eksempel: Kvinder i Ikast Folketal pr. 1. januar efter område, tid og køn År Kvinder i Ikast Kilde: Danmarks Statistik Tabel 1 Eksempel: Et spædbarns vækst Oles alder (måneder) Oles vægt (g) Oles alder (måneder) Oles vægt (g) Tabel

9 Eksempel: Prisindeks Forbrugerprisindeks, hovedtal (2000=100) År og Måned Forbrugerprisindeks 1993M M M M M M M M M M M M M M01 Kilde: Danmarks Statistik 84,8 86,3 88,2 89,7 92,1 93,7 95,3 98,3 100,6 103,1 105,8 107,0 108,1 110,4 Tabel 3 Eksempel: Henne om hjørnet Antal øl Pris i alt Tabel 4 Overalt i aviser, i fjernsynet, på opslag, i brochurer og mange andre steder ses sådanne oplysninger, hvor to tal knyttes sammen: I året 2006 var antallet af kvinder i Ikast Eller fra et af de andre eksempler: 77

10 Hvis du vil købe 4 øl på værtshuset Henne om hjørnet, koster det 72 kroner. Antallet du vælger at købe kaldes som tidligere nævnt den uafhængige variabel ; givet antallet kan prisen i alt bestemmes ved opslag i tabellen: prisen kaldes den afhængige variabel den afhænger af antallet. Sådan er tabellen tænkt: den uafhængige variabel skrives ofte i 1. række eller 1. kolonne. I dette eksempel kunne man dog også sige: Giv mig øl for 72. kr.! Øvelse: Tabellæsning Hvor mange kvinder var der i Ikast kommune (primo) år 2000? Hvad var forbrugerprisindekset i januar 2006? Hvor mange g vejede Ole, da han var 8 måneder? Hvad koster 5 øl hos Henne om hjørnet? Øvelse: Variabeltyper I hvilke af ovennævnte eksempler vil det give mening at bytte om på den uafhængige og den afhængige variabel? Hvad kunne man spørge om i stedet for Hvad koster 6 øl?, hvis der byttes om på variablene? Øvelse: Geometriens standardtrekanter Hvilke variable kender du i forbindelse med standardtrekanter? Kan du finde eksempler på en uafhængig og en afhængig variabel? Kan for nogle af eksemplerne bytte om på den uafhængige og den afhængige variabel? Grafer i koordinatsystemet Du har formodentligt set grafer i din avis: grafer, der fortæller om priser på parcelhuse eller aktiekurser, om dollarkurser eller renter på obligationer. Det kunne også være beretningen om, hvorledes omsætningen er vokset i et firma. Koordinatsystemet er uhyre populært, fordi det er så velegnet til at fortælle om talsammenhænge. Og koordinatsystemer er både lette at læse og hurtige at læse. 1 1 Se også Niels Bo Bojesens tegning på kapitlets forside. Prøv at beskrive, hvad den fortæller. 78

11 Carl Larsen A/S 100 Omsætning i millioner kroner år Øvelse: Aflæsning på graf Hvad var omsætningen i firmaet Carl Larsen A/S i 1990? og i 1998? Og i 2004? Kunne grafens oplysninger vises i en tabel? Hvis ja: lav den. Hvilke fordele er der ved at vise data i en graf? Og hvilke fordele har tabellen? Koordinatsystemet Det forudsættes, at du kender det almindelige retvinklede koordinatsystem og navne som x-akse, y-akse, 1. akse, 2. akse og navne som enhed på aksen, koordinater, et punkt i koordinatsystemet og punktets koordinater, 1., 2., 3. og 4. kvadrant, begyndelsespunkt (origo) 79

12 Øvelse: Koordinatsystemet Tegn et retvinklet koordinatsystem. Skriv (flest mulige af) ovennævnte betegnelser på figuren. Tegn punkterne A(-3 ; -1), B(-3; 5), C(-1 ; 3), D(1 ; 5) og E(1 ; -1). Forbind punkterne fra A til B til... til E med rette linjestykker. Hvad har du skrevet? Det almindelige retvinklede koordinatsystem Navnet antyder, at der findes andre koordinatsystemer: Du skal senere se både et enkeltlogaritmisk koordinatsystem og et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Hver type er velegnet til at vise en bestemt sammenhæng mellem x- og y-værdier for en række talpar. Hvert koordinatsystem har sit særlige papir, hvorpå det kan tegnes: til det almindelige retvinklede koordinatsystem anvendes millimeterpapiret (eller alm. ternet papir). Karakteristisk er: længdeenheden på akserne er overalt den samme (på den samme akse): længden af linjestykket på aksen fra 0 til 1 er den samme som længden af linjestykket fra 100 til 101. Aksen omtales som en almindelig tallinje. (Se figuren næste side.) Øvelse: Tegning af grafer 80 Tegn et koordinatsystem på mm-papir herunder. Lad det fylde (næsten) hele siden. x-aksen går fra 0 til 10 (Oles alder (måneder)), y-aksen fra 0 til (Oles vægt (g)). Indret akserne. Tegn støttepunkter for grafen. Benyt data fra Tabel 2 (Eksempel: Et spædbarns vækst) Forbind støttepunkterne med rette linjestykker. Hvad forudsætter det strengt taget? Hvor meget voksede Ole pr. dag i den 1. måned? Hvor meget voksede Ole pr. dag i den 9. måned?

13 Millimeterpapir (5 mm) 81

14 Hvorledes ser man forskellen på grafen? Hvad vejede Ole, da han var 1½ måned gammel? Beskriv hvorledes du finder svaret og hvorvidt du kan være sikker på, at det er rigtigt. Bemærk, at i princippet fortæller tabellen og grafen præcis den samme historie om Ole. Det er blot to forskellige måder at præsentere Oles vækst på. Regneforskrift Da momsen blev introduceret i 1967 regnede toldvæsnet ikke med, at alle kunne beregne moms og salgspris inklusive moms uden hjælp. Derfor blev der fremstillet tabeller, der i princippet så sådan ud: Pris uden moms Moms (10 %) 1,00 0,10 2,00 0,20 3,00 0,30 4,00 0,40 5,00 0,50 6,00 0,60 7,00 0,70 8,00 0,80 9,00 0,90 10,00 1,00 Pris uden moms Pris med moms 1,00 1,10 2,00 2,20 3,00 3,30 4,00 4,40 5,00 5,50 6,00 6,60 7,00 7,70 8,00 8,80 9,00 9,90 10,00 11,00 Dengang var procenten 10 % - i dag er den 25 %. I dag vil man nok beskrive metoden til at finde momsen med (med dagens procentsats) således: Momsen af et salg = salgsprisen uden moms * 25 /100 eller lidt nemmere at beregne: Momsen af et salg = salgsprisen uden moms * 0,25 Med en regneforskrift vil vi beskrive sammenhængen således: 82

15 Momsfunktionen x = salgsprisen for en vare uden moms (i kr.) f(x) = moms for en vare der koster x kr. (i kr.) f(x) = 0,25*x Bemærk: f(x) er en standardskrivemåde for at vise, at vi beregner noget ved hjælp af værdien x som er en slags joker, der står for en hvilken som helst værdi. Vi kunne lige så godt have skrevet moms(x) eller moms(salgspris_uden_moms). I stedet for f(x) benytter nogle andre matematikere betegnelsen y og ville skrive modellens sidste linje: y = 0,25*x. Øvelse: Moms og funktionsforskrifter Lav en matematisk beskrivelse med en regneforskrift, der ved hjælp af prisen uden moms beregner prisen med moms. Lav også en matematisk beskrivelse med en regneforskrift, der ved hjælp af prisen med moms beregner prisen uden moms. Kontroller modellerne på et eksempel, hvor du har en pris på 200 kr. uden moms, beregner prisen med moms og bruger resultatet i den anden funktion for at beregne prisen uden moms. Om funktioner Vi har studeret uafhængige og afhængige variable i forbindelse med talpar, i tabeller, vist med grafer eller forbundet med regneforskrifter. I alle tilfælde er der tale om funktionssammenhænge. En præcis definition på funktioner følger: 83

16 Definition af funktionsbegreber Funktionsbegreber Lad der være givet en mængde DM kaldet definitionsmængden. Hvis vi for ethvert element (ofte et tal) x i mængden har defineret præcist et andet element f(x) (i en anden mængde) så har vi defineret en funktion f. f er sammenhængen mellem variable. Denne sammenhæng kan være beskrevet på forskellige måder: med ord i almindeligt sprog (verbalt), med pile som ovenover, men oftere med en tabel, en graf eller en regneforskrift. f(x) kaldes funktionsværdien for x, men x er en ikke specificeret værdi fra DM x er en slags joker, der skal erstattes af en værdi fra DM. Når x erstattes med en bestemt værdi som for eksempel 8, kan man finde f(8) ved at benytte funktionsbeskrivelsen: gå det rigtige sted ind i den rigtige tabel, aflæse den til 8 svarende værdi på grafen, erstatte x med 8 i regneforskriften osv. afhængig af den måde, funktionen er beskrevet på. Mængden af alle mulige funktionsværdier kaldes VM eller værdimængden. DM og VM er symbolsk tegnet som dele af en større mængde: I eksemplet med spædbarnet Ole kan DM = [0 ; 15] dvs. at vægten 84

17 følges i perioden fra fødslen (Ole er 0 måneder) til og med at han er 15 måneder, og tilsvarende er VM alle mulige vægte han har haft i den periode: VM=[3585 ; 10895]. Det vil sige, at han har vejet mellem 3,585 kg og 10,895 kg. Punkterne i den ene mængdebolle vil i eksemplet være Oles aldre, punkterne i den anden mængdebolle er Oles vægte (i spædbarnsperioden.) Pilen fra x til f(x) med betegnelsen f er symbol på funktionen: hvorledes skal vi finde funktionsværdierne. Det vil kun sjældent i praksis være med pile; i eksemplet med Ole aflæses funktionsværdien i tabellen under x-værdien. Elementerne i DM er (symbolske) eksempler på den uafhængige variable; elementerne i VM er eksempler på den afhængige variable. I værtshuseksemplet Henne om hjørnet kan vi vælge at købe et eller andet antal øl: 1, 2, 3, 4, 5, 6 eller måske endnu flere. Disse tal udgør definitionsmængden. Alle mulige priser i alt: 6, 12, 18, 24, 30, 36,... udgør værdimængden. Vi kunne beskrive et eksempel på sammenhængen således: Prisen for 4 øl er kroner 72. Men i matematik bruges som sagt sproget: pris(4) = 72 eller mere generelt: f(4) = 72 Hvis vi ser på funktioner helt generelt uden at tænke på et bestemt eksempel kaldes den uafhængige variabel ofte x og den afhængige variabel f(x) eller y. Den første skrivemåde minder om, at den afhængige variabel findes ved hjælp af en værdi for x; den sidste, at vises talparret som et punkt i et koordinatsystem, benyttes den afhængige variabel som y-værdi. f er navnet på funktionen. Ofte bruges også g og h eller moms eller skat, såvel som sin, cos og tan. Funktionen er kendt, når vi på en eller anden måde kan forbinde ethvert element i DM med et bestemt element i VM. Det betyder i dette 85

18 eksempel: For ethvert antal øl vi kan købe, skal vi kunne finde prisen på dem. Det kan gøres som på værtshuset ved at lave en tabel eller måske bare et prisskilt: 1 øl koster 18 kr. Så ved kunderne, at forskriften for prisfunktionen er: pris_ialt(x) = 18*x Øvelse: Teaterforeningen Lav en matematisk model med regneforskrift, der kan beregne prisen på et abonnement, idet du bruger oplysningerne herunder: Nykøbings Teaterforening Årets kontingent er 150,00 kr. Derudover betaler medlemmerne 175,00 kr. for hver forudbestilt billet i gruppe B; dog betales mindst for 3 billetter. Antal billetter Samlet betaling Teaterabonnement Eksempel: Udvikling i antal beskæftigede Vi vil gerne vise, hvordan det er gået med tekstilbranchen i Herning. Antal beskæftigede Udvikling i antal beskæftigede i tekstilindustrien i Herning fra 1993 til

19 Udviklingen kunne beskrives med ord. Måske ville det blive lidt uoverskueligt. Måske er tegningen nemmere og hurtigere at opfatte? Hvert punkt svarer til et talpar med x-værdi og y-værdi. x-værdien angiver et årstal og y-værdien i samme punkt angiver antallet af beskæftigede dette år. Vi kan altså for ethvert årstal (mellem 1993 og 2003) finde et punkt og dermed den tilsvarende y-værdi: antallet af beskæftigede. Øvelse: Tekstilindustrien i Herning Viser tegningen i det foregående et eksempel på en funktion? Begrund svaret. Hvad er f(1993)? f(1996)? f(1999)? f(2004)? Hvad er DM(f)? og VM(f)? Kan du finde en regneforskrift for funktionen? Kan du finde f(1992)? Øvelse: Ugens menu For 200 år siden bestod morgenmaden i flåden af brød og brændevin. Brændevinsrationen var for eksempel på 2 pægl om ugen. Når 1 liter er 4,14 pægl, hvor mange liter har hver mand så fået om ugen? Udfyld tabellen herunder Antal pægl /16 Antal liter Brændevin i flåden. Beskriv sammenhængen mellem pægl og liter som en funktion med en regneforskrift. Det ses let, at dobbelt så mange pægl svarer til dobbelt så mange liter. 3 gange så mange pægl svarer til 3 gange så mange liter. Og så videre. Når dette forhold gælder, siges de variable at være ligefrem proportionale. 87

20 Øvelse: Beskriv funktioner I de følgende eksempler skal du i hvert eksempel finde nogle variable og en funktion, der nogenlunde beskriver sammenhængen mellem dem. Benyt eventuelt flere forskellige metoder til at beskrive funktionen. Det betyder, at du skal gætte evt. meget upræcist på de tal, du skal bruge, og du behøver ikke at tage hensyn til alt: mindre væsentlige detaljer og undtagelser ses der bort fra. Prøv at medtage, hvilken måleenhed du bruger til at måle variable med (kr., meter, kg osv.) Model for en tur med taxa med variable: afstand og pris Vægten af træstolper med tværsnit på 10 cm x 10 cm Vægten af træklodser med kendte sider Vurder forbrug af maling udendørs for 1-plans træhuse af forskellig størrelse Model for varmeregning hvor de variable er udgift og forbrug (målt i liter olie eller kwh (fjernvarme) eller tons tørt træ) Model for varmeregning hvor udgiften sammenholdes med gennemsnitlig indetemperatur Oversigt: Vigtige funktionstyper V har allerede beskæftiget os noget med de trigonometriske funktioner: sin og sin-1, cos og cos-1samt tan og tan-1. I årets løb skal vi også beskæftige os meget med 3 andre funktionstyper: Lineære funktioner Lineære funktioner har regneforskriften: f(x) = a*x + b, hvor a og b kan være alle mulige reelle tal. For hver kombination af a og b fås en ny lineær funktion. a og b kaldes funktionens parametre. Eksempelvis kan a = ½ og b = 1: f(x) = ½*x

21 x f(x) ,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 En lineær funktion (tabel) Den type har fået navnet lineær funktion, fordi grafen tegnet på mmpapir i et sædvanligt retvinklet koordinatsystem er en ret linje. f(x) = 0,5 x + 1 4,0 3,0 2,0 1,0 0, ,0-2,0 En lineær funktion (graf) Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner har regneforskriften: f(x) = b*ax, hvor a og b kan være alle mulige positive reelle tal. For hver kombination af a og b fås en ny eksponentiel funktion. a og b kaldes funktionens parametre. Eksempelvis kan a = 2 og b = 3: 89

22 f(x) = 3*2X x f(x) ,09 0,19 0,38 0, , Figur 5: En eksponentiel funktion (tabel) Denne type funktioner tegnes ofte på et specielt papir kaldet enkeltlogaritmisk papir, fordi grafen for en eksponentiel funktion tegnet på dette papir er en ret linje og omvendt: er det en ret linje på dette papir, er funktionen eksponentiel. Det omtales nærmere i et senere kapitel. Bemærk: tallene på y-aksen følger ikke den almindelige skala. Givet en række talpar kan man altså let afgøre, om de kunne være samhørende talpar fra en eksponentiel funktion. x f(x) = 3*2 100,0 10,0 1, ,1 0,0 En eksponentiel funktion (graf) Øvelse: Koordinatsystemet tegnet på enkeltlogaritmisk papir. 90 Benyt det enkeltlogaritmiske papir herunder. Skriv værdierne fra 0 til 16 på x-aksen, idet hele bredden benyttes. På y-aksen erstattes det midterste 1 af 10 og det øverste 1 af 100.

23 Enkeltlogaritmisk papir (2 dekader) 91

24 Tallene mellem 10 og 100 betyder ikke 2, 3, 4, men 20, 30, 40 osv. Tegn en ret linje mellem punkterne (2 ; 0) og (16 ; 100) Aflæs koordinater for alle punkter på linjen med x-værdierne 1,2, Skriv resultaterne i en tabel, hvor første række er 0, 1, og anden række er de hertil svarende aflæste yværdier. Aflæs y-værdier som helt tal. Beregn for de samme x-værdier funktionsværdier for f(x) = 2 1,2770x. Skriv dem i en 3. række i samme tabel afrundet til helt tal. Sammenlign de beregnede y-værdier med de aflæste y-værdier. Potensfunktioner Potensfunktioner har regneforskriften: f(x) = b*xa, DM(f) = R+ R+ er de positive reelle tal; a kan være et vilkårligt reelt tal; b> 0.. For hver kombination af a og b fås en ny potensfunktion. a og b kaldes funktionens parametre. Eksempelvis kan a = 2 og b = 3: f(x) = 3*x2 x f(x) En potensfunktion (tabel) Denne type funktioner tegnes ofte på et specielt papir kaldet dobbeltlogaritmisk papir, fordi grafen for en potensfunktionfunktion tegnet på dette papir altid vil være en ret linje og omvendt: er det en ret linje på dette papir, er funktionen en potensfunktion. Det omtales 92

25 Dobbeltlogaritmisk papir (2x2 dekader)

26 nærmere i et senere kapitel. Bemærk: hverken tallene på x-aksen eller y-aksen følger ikke den almindelige skala. Givet en række talpar kan man altså let afgøre, om de kunne være samhørende talpar fra en potensfunktion. Råd om tegning af grafer Grafen skal kunne være på dit papir! Men den skal heller ikke gemme sig nede i et hjørne. Det skal du tage hensyn til, når du indretter skalaer på dine akser. Derfor starter du med at få overblik over, hvad der er den mindste og største x-værdi, henholdsvis mindste og største y-værdi. Almindelige tallinjer kan indrettes ret frit: enheden kan være større eller mindre afhængig af vor opgave. Hvis du har brug for tallene fra 10 til 20, behøver du ikke medtage tallene fra 0 til 10. Det eneste vigtige er: at målestokken er den samme overalt på samme akse, at enheden er valgt, så læsning af tal er nogenlunde nemt samtidigt med, at tegningen fylder så meget som muligt. På enkelt- og dobbeltlogaritmisk papir er der fortrykte tal på akserne. De bør konsekvent erstattes med dine egne klare og tydelige og store tal. På en logaritmisk skala, kan tallene ikke stå hvor som helst: der, hvor der er fortrykt 1 (10) skal der stå en hel potens af 10. Det vil sige tal som 0,01; 0,1; 1; 10; 100; 1000; osv. Hvis din mindste værdi på skalaen er 17, vælger du den potens af 10, som ligger nærmest under 17. Her vil potensen være 101 = 10. Dette tal skriver du længst til venstre på x-aksen eller længst nede på y-aksen i stedet for det 1-tal, der stod der i forvejen. Nu skal resten af tallene rettes: det næste 1-tal (til højre eller op) rettes, så det er den næste 10potens: her 100, den næste bliver 1000, så osv. Logaritmiske skalaer kan være forskelligt indrettede med forskelligt antal dekader (dvs. interval hvor største endepunkt er 10 gange større end mindste endepunkt.) Imellem 10 og 100 betyder 2 ikke 2, men 20. Det rettes. Ligeledes rettes alle andre tal på aksen. Bemærk i øvrigt, at der ikke er lige mange delestreger mellem tallene på en logaritmisk skala: jo større 94

27 tallene bliver, jo større spring bliver der mellem delestreger. Øvelse: Lommeregnerøvelse Kontroller beregningerne i tabellerne for de tre funktionstyper. Øvelse: Grafer og det rigtige papir. Følgende funktioner tegnes ind på et papir, så grafen bliver en ret linje. For hver funktion laves 5 støttepunkter i et sildeben, hvor x-værdier vælges jævnt spredt ud over aksen fra mindst til størst. Alle x-akser skal i hvert fald indeholde intervallet fra 1 til 10. f(x) = 3x-10 g(x) = 10/x h(x) = 1,5x 10 k(x) = 10*1,2x m(x) = 10*x 2 *1,5*x n(x) = 3x 2 p(x) = -2x r(x) = 10 s(x) = 10*0,8 x t(x) = 10*3x u(x) = -1,5x +10 Hjælp: Før du tegner: se på forskriften. Hvilken type ligner det? Prøv at indtegne den på det relevante papir. Hvis linjen ikke er ret, kan der være tre forklaringer: Du har regnet forkert Du har afsat støttepunktet forkert Du har valgt en forkert type papir Øvelse: Grafer for sin og cos Tegn et koordinatsystem på millimeterpapir; x-aksen har en skala fra 0 til 90 (der fylder 18 cm), y-aksen har en skala fra 0 til 95

28 1 (der fylder 10 cm.) 96 Indtegn støttepunkter for sinusfunktionen: (0 ; sin(0)), (10 ; sin(10)),, (90 ; sin(90)). Forbind dem med en udglattet graf. Tilsvarende tegnes grafen for cosinusfunktionen i samme koordinatsystem.. Kan du se et mønster? Kan du finde en forklaring på mønstret?

29 Funktioner, ligninger mv. Vi benytter det almindelige retvinklede koordinatsystem til at tegne mange slags linjer og kurver, og det er ikke altid muligt umiddelbart at se, om der er tale om en graf, eller hvad der er tale om. Her er en oversigt, der skal gøre det lidt nemmere: Funktion og graf En graf er det grafiske billede af funktionen Grafen består af alle punkter i koordinatsystemet af typen (x ; f(x)), hvor x er en værdi i DM ( = definitionsmængden) og f(x) er den tilsvarende y-værdi i VM ( = værdimængden) For én bestemt x-værdi findes der kun én y-værdi, som her skrives f(x); dvs. en graf har aldrig to punkter lodret over hinanden En graf er ikke nødvendigvis sammenhængende ( = kontinuert) Linjers, cirklers med fleres ligninger En ligning er som bekendt et åbent udsagn med et lighedstegn: y = 3x - 4 x=3 y2 = x x2 + y2 = 32 Der indgår oftest både x og y i ligningerne, men ikke nødvendigvis For hvert punkt i planen undersøger man om ligningen bliver sand, når punktets koordinater indsættes i ligningen: hvis sand, markeres punktet. Mængden af alle markerede punkter udgør sommetider en genkendelig figur: er figuren en ret linje, har vi benyttet ligningen for den-ne rette linje, er figuren en cirkel, taler vi om cirklens ligning. Omvendt kan man også starte med at tegne en figur og derefter forsøge at finde en ligning, der er sand, hvis man indsætter x- og yværdier fra punkter på figuren. Den fundne ligning er figurens ligning. Nogle figurer kunne evt. opfattes som grafer men ikke alle. 97

30 Tendenslinjer Når vi indsamler data ( = talpar) fra den fysiske verden, vil vi ofte opleve, at sammenhængen kan beskrives med en enkel funktionssammenhæng. Men: at der til samme x-værdi svarer forskellige y-værdier og / eller de nøjagtige y-værdier afviger lidt fra den enkle fremstilling. Hvis sammenhængen trods alt er tydelig, vil vi sige, at dataene er korrelerede. Sådanne data kan beskrives med tendenslinjer, som er grafer for den funktion, sammenhængen beskrives med. Parameterfremstilling af kurver Hvis vi - som et typisk eksempel vil beskrive en rejserute på et kort, kan vi arbejde med en model som: t = tid (målt i sekunder eller år eller? fra et eller andet begyndelsestidspunkt som for eksempel rejsens start.) x(t) = en værdi for, hvor langt man er kommet mod øst (eller vest) til tiden t (for eksempel målt i m eller km) og tilsvarende y(t) = en værdi for, hvor langt man er kommet mod nord (eller syd) til tiden t. Hvis der afsættes punkter for enhver t-værdi fås en kurve. Kurven er en figur, der viser (noget) om funktionen, hvor DM er tiden og VM er positionerne på rejsen. Funktioner 98 fejl, usikkerhed, unøjagtighed og tilfældigheder kan medføre, DM er en delinterval af de reelle tal og VM er en delmængde af planen

31 Regneark

32 Lav et regneark Et regneark kan sammenlignes med et stort stykke ternet papir. Kolonnerne nummereres A, B, C og rækkerne 1,2,3 Cellen B2 er det sted, hvor kolonne B og række 2 skærer hinanden. På figuren herunder står markøren i denne celle. Man kan se, at der er en sort ramme om cellen og at både B og 2 er skrevet med fed skrift. Ideen bag programmet er: 1. At man kan lave en fornuftig og klar opstilling af små og store regneopgaver 2. At man kan blande tekst og tal 3. At man kan anbringe formler i nogle af cellerne; disse regnes så automatisk ud, når man ønsker det. Det betyder, at man kan lave en mindre rettelse, og så kan programmet let gennemregne alt igen, uden at man selv får noget væsentligt arbejde. Åbn (kør) Excel 2 Tast teksten du ser: 2 Hvis det her omtalte om regneark ikke er fuldstændig kendt stof, skal du selv prøve at lave et regneark som beskrevet. 100

33 101 Marker cellerne A1:D1 og vælg en fyldfarve (fra malerbøtten ):

34 Fortsæt med at skrive tekst og prøv at lave rammerne. Går det helt galt, kan du starte forfra ved at benytte rammen uden kanter! Tallene skrives uden videre; du kan forøge decimalerne ved at markere cellen og klikke på ikonet med,

35 For at programmet ved, hvor der skal regnes noget ud, startes der med et = i cellen. A2*C2 betyder, at de to tilsvarende tal skal multipliceres (ganges); produktet (gangeresultatet) beregnes automatisk af programmet og skrives i cellen, hvor formlen står; det vil her sige D2. Da formlen i D3 skal være fuldstændig tilsvarende den i D2 (2 erstattes blot med 3 alle steder), kan den 103

36 kopieres: Højreklik på originalcellen, vælg kopier. Højreklik så på cellen, der skal indeholde kopien: vælg indsæt. 104

37 Så skal de to beløb adderes (lægges sammen) og resultatet skrives i D4. Derfor skrives formlen i D4. D2:D3 betyder alle celler mellem disse to. De behøver ikke at være fra samme kolonne eller samme række. Resultatet er så formateret med fyldfarve for at fremhæve dette. 105

38 Diagram Nu kan der konstrueres et diagram ved at markere de celler, der skal benyttes. Marker for eksempel først teksten (Æbler og Pærer), hold CTRL nede og marker de to tal: Så vælges guiden diagram og diagramtypen med videre: hvorefter man kan se et diagram: enten som objekt i regnearket eller som selvstændigt diagramark som her. 106

39 Det er muligt at formatere enkelte dele, ofte ved at man klikker på den pågældende detalje og derefter udfylder en dialogboks. På cirkeldiagrammet kan man se en lille gul seddel med oplysninger om et cirkeludsnit; den fremkommer, når man holder musen over udsnittet. Øvelse: Lagkagediagrammet Mål det røde cirkeludsnit med vinkelmåler. Beregn gradtallet med de oplyste tal. Får du det samme? Millimeterpapir Fra sildeben til punkter i det almindelige koordinatsystem Marker de data, der skal anvendes, vælg diagram og vælg derefter XYpunkt I næsten alle opgaver er dette det naturlige valg (i matematik.)

40 Efter øvrige valg kan diagrammet se ud som på næste side: 108

41 Enkeltlogaritmisk papir I et nyt eksempel ses det ret tydeligt på figuren, at punkterne ikke ligger på en ret linje. Da det er svært - eller næsten umuligt - at genkende alt andet end rette linjer, kan man kontrollere, om der er tale om en 109

42 eksponentiel funktion4, ved at indtegne punkterne på enkeltlogaritmisk papir. I Excel ændres det almindelige millimeterpapir til enkeltlogaritmisk papir ved at formatere y-aksen som herunder. Klik på y-aksen: Sæt flueben ved Logaritmisk skala. Klik OK. Herunder ses det, at nu ligger punkternepå en ret linje. Dobbeltlogaritmisk papir 4 Se forrige kapitel: Oversigt: Vigtige funktionstyper 110

43 Eksemplet her minder om det forrige, men der er ikke tale om en eksponentiel funktion, men derimod en potensfunktion5. For denne type - og kun denne type - vil punkterne ligge på en ret linje, hvis begge akser er logaritmiske. Derfor formateres begge akser: Først den ene, så den anden, 5 Se forrige kapitel: Oversigt: Vigtige funktionstyper 111

44 og efter begge ændringer ligger punkterne ganske rigtigt på en ret linje: For at se, hvor godt en model passer til de oplyste data, kan man i alle tilfælde tegne en tendenslinje. Det er en linje, som man selv eller regnearket prøver at lægge tættest muligt på alle punkterne i koordinatsystemet. I regnearket gøres det sådan: højreklik på et af punkterne og vælg: Tilføj tendenslinje (som på næste side.) Hvor godt det passer, kan afgøres på øjemål, men anvender du Excel, kan regnearket når du har valgt funktionstypen - finde 6 en tendenslinje med de parametre, der passer bedst (dvs. at programmet finder talværdier for a og b) og R2 der et mål for, hvor klar sammenhængen er mellem to variable er. Værdien 0 betyder, at der ingen sammenhæng er værdien 1, at der er en klar sammenhæng. 6 linregr, logregr, forklaringsgrad, korrelation og indeks. 112

45 113

46

47 Lineære funktioner

48

49 Introduktion Øvelse: En bageopskrift I La Cuisine Gourmande 7 findes en opskrift på en gærkage: En savarin. Forfatteren opremser omhyggeligt, hvad der er brug for af råvarer, tilbehør, køkkenredskaber med videre. Her ses et uddrag af informationerne: Opskrift for 4 kager hver beregnet til 5 personer 10 g gær 2 spiseskefulde lunkent vand 250 g hvedemel blandet med 6 g salt 3 æg 10 cl mælk 10 g stødt melis 125 g smør 1 træske 4 savarinforme, diameter 14 cm Hævetid 30 minutter Bagetid 20 minutter Bagetemperatur 200 C Hvorledes skulle opskriften ændres, hvis portionen skulle være dobbelt så stor? Hvorledes skulle opskriften ændres, hvis portionen skulle være til 10 personer? Hvilke antagelser gør du for at løse opgaven? Eksempel: En taxatur En tur med taxa koster 30 kr. i startgebyr; derudover betales 10 kr. pr. km. Det er nemt at lave en tabel med afstand og pris for forskellige ture: Afstand i km Pris i kr Plotter vi punkterne svarende til talparrene ind i et almindeligt retvinklet koordinatsystem, fås: 7 Michel Guérard, La Cuisine Gourmande (Robert Laffont Paris, 1978)

50 Pris for en taxatur 250 Pris i kroner Afstand i km Hvis alle punkter, vi kunne tegne, lå på en ret linje, er der tale om en lineær funktion. Da der kan tegnes en ret linje gennem alle de tegnede punkter, kan funktionen (måske?) være lineær. Øvelse: Om taxaturen Hvorfor kan du ikke være sikker på, at denne funktion er lineær? Hvordan kan man sikre sig, at den er lineær? Hvis vi går ud fra, at alle punkter på den tegnede linje svarer til sammenhørende værdier af en taxaturs længde og dennes pris: o Hvad koster så en tur på 4 km? Ved svaret benyttes kun tegningen. o Hvor langt kan vi køre for 200 kr.? Ved svaret benyttes kun tegningen. o Kontroller ved beregning, at dine svar på ovenstående 2 spørgsmål er rigtige. 118

51 Definitioner Graf Vi har en funktion. Er både funktionens DM og VM en mængde (eller en delmængde) af de reelle tal, har den en graf. Grafen for en funktion er mængden af alle punkter i koordinatsystemet som (x ; f(x)), hvor alle x-værdier i DM(f) anvendes. En lineær funktion En funktion er lineær, hvis grafen er en ret linje eller en del af en ret linje. En funktions regneforskrift En funktion f kan defineres ved, at vi får oplyst DM(f) og hvorledes man for ethvert x kan regne f(x) ud. Definition af en konkret (ganske bestemt) funktion som model x= Afstanden i km f(x) = Prisen for en taxatur på x km f(x) = 10x + 30 DM(f) = [ 0 ; [ ; det betyder, at taxaturen kan være fra nul kilometer og op; indrømmet: det er lidt skørt at køre 0 km. VM(f) = [ 30 ; [ ; det betyder at taxature koster fra 30 kr. og op. De to første punkter (x =... og f(x) =...) knytter funktionen med regneforskriften f(x) = 10x +30 sammen med virkeligheden. En primitiv model for samspillet kunne være: 119

52 Virkelighed Matematisk model Hvad koster en taxatur på 3 km? x=3 f(x) = 10x*3 Den koster 60 kr.! f(3) = 10* = 60 Øvelse 5-4 Flaske-Peter Peter tager imod tomme vinflasker for købmand Olson. Han skal give kunden en seddel, hvor der står, hvor meget kunden skal have for flaskerne. Olson har udstyret ham med en tabel som den nedenstående: Antal flasker Returbeløb i kr. Antal flasker Returbeløb i kr. Antal flasker Returbeløb i kr. Antal flasker Returbeløb i kr. 1 0,25 2 0,50 3 0,75 4 1,00 5 1,25 6 1,50 7 1,75 8 2,00 9 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Beskriv funktionen på tilsvarende måde som taxatursfunktionen. Tegn funktionens graf. Er den lineær? Hvorfor? Går den igennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (0;0)? 120

53 Hvis funktioner er lineær, hvad kaldes så en lineær funktion af denne type? Taxaturen igen Vi har tegnet lidt af grafen nemlig 5 støttepunkter og de ligger på en ret linje. Derfor tror vi, at alle punkter af typen (x;f(x) vil gøre det, men det kan vi faktisk ikke vide (endnu.) Hvis det er rigtigt, hvad vi tror, er taxafunktionen en lineær funktion. Vi benytter, at følgende regneforskrift kan bruges til beregning af prisen: f(x) = 10*x + 30; DM(f) = [0 ; [ Hvis vi vil finde (som ovenfor), hvor langt man kan komme for 200 kr., kan vi løse opgaven som en ligning ved at indsætte det (i andre tilfælde: de) kendte tal i forskriften (formlen.) Ligning indsæt hvad f(x) betyder 10*x + 30 = 200 træk 30 fra på hver side 10*x = regn ud (reducer) 10*x = 170 f(x) = 200 divider med 10 på hver side 10*x/10 = 170/10 regn ud (reducer) x = 17 Det vil sige, at for 200 kr. kan man køre 17 km 8 8 Den teknik, der her benyttes for at løse ligningen, er typisk. I den oprindelige ligning, er vi på jagt efter et tal, der gør ligningen sand (dvs. skaber balance mellem højre og venstre side.) Ved hele tiden at gøre det samme på begge sider af lighedstegnet fås nok nye ligninger, men ligninger, der har den samme løsning som den oprindelige ligning. Ideen er at komme frem til en så enkel ligning, at svaret ligger ligefor. 121

54 Sætning: Forskriften for en lineær funktion Er funktionen f lineær, kan funktionsforskriften for f skrives: f(x) = ax + b. Bevis I Først bevises, at er f en lineær funktion, hvis graf går gennem begyndelsespunktet (0;0), kan funktionsforskriften for f skrives: f(x) = ax Vi tegner et almindeligt retvinklet koordinatsystem og tegner grafen for en helt tilfældigt valgt lineær funktion gennem begyndelsespunktet O (origo). I første omgang forudsættes, at grafen går gennem 1. kvadrant. a O x 1 O Herefter vælges en tilfældig, men positiv x-værdi i første omgang; senere kan vi vise (som en øvelse), at selv om x-værdien er negativ, eller grafen går gennem 2. kvadrant, kan beviset gennemføres på næsten samme måde. Der tegnes to hjælpelinjer vinkelret på x-aksen gennem 1 og x på xaksen, så der opstår to ensvinklede trekanter, idet begge er retvinklede og de har en fælles vinkel O. I den skraverede trekant kaldes længden af den lodrette katete for a. Da skalafaktoren mellem trekanterne nemt ses at være k = x/1 = x, bliver længden af den anden lodrette katete a*x. Men længden er jo også funktionsværdien i x; dvs. 122

55 f(x) = a*x Hermed er første del af sætningen bevist, men kun hvor a og x er positive tal. Øvelse: Udvid beviset Vis, at funktionsforskriften også er rigtig for x=0 og for x<0. Vis, at funktionsforskriften også er rigtig, når grafen går gennem 2. og 4. kvadrant. Bevis II Vi tegner igen et almindeligt retvinklet koordinatsystem og tegner grafen for en helt tilfældigt valgt lineær funktion: f ; denne gang går grafen ikke gennem origo. Samtidig tegnes en linje parallel hermed gennem origo: Vi lader den være grafen for funktionen g. g har forskriften g(x) = a*x; jævnfør første del af beviset. Der tegnes en linje vinkelret på x-aksen gennem et tilfældigt punkt (x ; 0). Det punkt på y-aksen, hvor grafen for f skærer denne kaldes (0;b). f g (0 ; b) x Det medfører at linjestykket fra origo til (0;b) får længden b (hvis b som på tegningen er positiv); den samme længde får den anden lodrette side 123

56 i det skraverede parallellogram. Derfor gælder: f(x) = g(x) + b og da g(x) = ax, fås, at for enhver lineær funktion gælder: f(x) = ax + b. Også her kunne beviset nemt ændres, så det også gælder for negative værdier af b. QED Den omvendte sætning Har en funktion forskriften f(x) = ax + b er funktionen f lineær. Øvelse: Bevis for sætningen Tegn i et alm. retvinklet koordinatsystem de to støttepunkter (0 ; b) og (1 ; b+a) Tegn en ret linje gennem punkterne Lad linjen være grafen for funktionen g Find forskriften for g Begrund, at den rette linje også er graf for f hvormed sætningen er bevist. Sætning: Beregning af a En lineær funktion har en graf, der går gennem de to kendte punkter P(x1;y1) og Q(x2;y2). a i forskriften for f kan beregnes som: a = (y2 y1) / (x2 x1) Bevis: Q P R O O a 124 1

57 Trekant PQR er tegnet med de to sider (kateterne) parallelle med akserne i koordinatsystemet. Længden af kateterne er hhv. x2 x1 for den vandrette og y2 y1 for den lodrette. 9 Den grønne linje er tegnet parallel med den blå graf gennem P og Q og a kan som før findes som længden af den skraverede trekants lodrette katete. Ved benyttelses af sætningen om ensliggende vinkler ved parallelle linjer, ses at den skraverede og den ternede trekant er ensvinklede og derfor også ligedannede. Da den skraverede trekant har en vandret katete med længden 1 fås skalafaktoren k som: k = (x2 x1)/1 = (x2 x1) og a beregnes som: a = (y2 y1)/k = (y2 y1)/(x2 x1) QED Note: Er a negativ, skal beviset ændres en smule, men giver samme resultat. Hældningskoefficienten a (i funktionsforskriften f(x) = ax + b) kaldes grafens hældningskoefficent. Da f(x+1) f(x) = (a(x+1) + b) - (ax + b) = ax +a + b ax b = a, ses at a er tilvæksten i funktionsværdien når x-værdien vokser med 1. Eksempel: Beregning af a og b Lige ovenover har vi fundet en formel for a med geometriske argumenter. Her vises, at man med kendskab til punkternes koordinater kan beregne a og b ved at løse ligninger. Vi kender de to punkter P(x1 ; y1) = (3 ; 7) og Q(x2 ; y2) = (13 ; 2) på en graf for en lineær funktion og vil finde forskriften for funktionen: 9 Tegnene på hver side af differencen kaldes numerisk tegn ; det betyder, at er differencen negativ benyttes det tilsvarende positive tal. Derfor får det ingen betydning hvilket punkt der er P og hvilket Q. 125

58 Regneforskriften er f(x) = ax + b da f er lineær Da P er et punkt på grafen, gælder: a*3 + b = 7 [1] b = 7 a*3 Tilsvarende fås: a*13 + b = 2 [2] b = 2 a*13 Da de to venstresider er lige store, må højresiderne også være ens: 7 a*3 = 2 a* 13 7 a*3 + a*13 = 2 a* 13 + a* a = a 7 = a = a / 10 = -5 / 10 a=-½ (eller a= - 0,5) 10 Ved at indsætte resultatet i [1] eller [2], fås: b = 7 (-½) * 3 = 7 + 1½ b = 8½ Øvelse: Beregning af a og b Gennemfør beregningerne fra eksemplet ovenover, idet du ikke benytter de konkrete tal, men alene anvender de generelle betegnelser for koordinaterne: (x1 ; y1) og (x2 ; y2).11 Eksempel: Fra observation til model Aalborg Brutal Marathon Langfredag d. 9. april 2004 afholdtes Aalborg Brutal Marathon. Herover er mellemtider og sluttid for de to bedste kvinder. Vi vil undersøge, hvorledes de har løbet; ved hjælp af tabellen laves et x-y diagram (med regneark, andet programmel eller håndkraft). Vi 10 Var ligningen løst ikke med bestemte tal, men med koordinaterne (x1;y1) og (x2;y2), ville løsningen af ligningerne have givet den allerede fundne formel. 11 Det er et mål for matematikere at generalisere beregninger, regler, formler mv.; i tilfældet her går vi fra at have fundet a og b for en bestemt funktion til at se, at alle lineære funktioners parametre kan findes på fuldstændig tilsvarende måde. 126

59 Navn \ meter Helle Møland Mortensen Birgitte Munch Nielsen tilføjer tendenslinjer og finder forskrift for funktionen og kvalitet af tilpasningen. Bruges håndkraft er det vigtigt, at man ikke tegner tendenslinjen gennem noget specielt punkt, men forsøger at lade alle punkter være tæt på linjen, så den samlede afstand minimeres. I det tilfælde er kvaliteten af tilpasningen et rent skøn. Både af diagrammet og beregningen12 ses, at punkterne ligger (næsten) på en ret linje både for nr. 1 og 2. Marathon 250 m inutter 200 Helle Møland Mortensen 150 Birgitte Munch Nielsen Lineær (Birgitte Munch Nielsen) 100 Lineær (Helle Møland Mortensen) me te r HM BMN y = 0,0051x y = 0,0055x R2 = 0,9974 R2 = 0,9999 Når vi benytter en funktion til at beskrive virkeligheden, det vil sige laver en model, fortæller vi både hvad der måles og hvilke enheder der benyttes: Model for Helles løb x = antal meter Helle har løbet f(x) = tiden målt i minutter Helle har brugt til at løbe x meter 12 For begge løbere ses, at R2 er meget tæt på 1,000; det betyder, at begge løberes tider næsten er en perfekt lineær funktion af afstanden. Da b=0, er samenhængen ligefrem proportional. 127

60 Regneforskriften: f(x) = 0,0051*x, idet 0,0051 er den tid (i minutter) Helle bruger på at løbe 1 m (mere) Eksempel på beregning med f: f(35276) = 0,0051*35276 = 179,9 = 180 Det vil sige, at Helles beregnede mellemtid for m er 180 minutter. Dette resultat stemmer fint med den målte mellemtid; det gælder dog ikke helt præcist for alle mellemtiderne. Øvelse 5-7 En tilnærmet model Nævn to grunde til at ikke alle målte mellemtider passer med de beregnede. Hvordan kan det ses på regneforskriften for Helles løb, at hun har løbet med konstant hastighed? Regel om tendenslinjer Hvis du laver tegningen i hånden og skal lave en tendenslinje, må du ikke udvælge to af punkterne og tegne grafen gennem dem. Så er der jo ikke taget hensyn til alle de andre punkter (observationer). Du skal prøve at tage lige meget hensyn til alle punkter. Hvis de fuldstændigt ligger på en ret linje ja så tegnes tendenslinjen gennem alle. Øvelse: Hastighed og hastighed Bilspeedometre viser ofte forkert; for en bestemt bil er der målt den tid (i sekunder), det tager, at køre 1 km. De målte data er anført i tabellen herunder. Speedometeret viste Tid i sekunder Virkelig hastighed ,0 54,7 43,3 35,4 Hvad er den virkelige hastighed ved speedometervisningen 40, hvis den måles i km/sekund? Hvad er den virkelige hastighed ved speedometervisningen 40, hvis den måles i km/time? 128

61 Udfyld skemaet med de virkelige hastigheder. Gør rede for, at den virkelige hastighed er en tilnærmet lineær funktion af hastigheden, som speedometeret viste. (Med tilnærmet menes, at der må være små og usystematiske afvigelser fra en ret linje. Men f. eks. Må grafen ikke have bueform.) Beskriv sammenhængen. Hvad vil speedometeret vise ved hastighederne 50, 80 og 130 km i timen? Den lineære funktion (Oversigt) Funktion Lineær funktion Forskrift f(x) = ax + b DM R VM R Koordinatsystem Millimeterpapir Aflæs b f(0) "Aflæs a" f(1) - f(0) Beregn a (eller {k}) y 2 y1 x 2 x1 Indtastning i TI 30 (y2-y1) / (x2-x1) = Beregn b y1 ax1 Indtastning TI 30 (forudsat: a er lige regnet ud og kan findes via "ANS") y1 - [gul] [(-)] * x1= 129

62 130

63 Eksponentielle funktioner Se:

64 Eksempler på eksponentielle funktioner Eksempel: Et beløb indsættes i en bank Niels Ole sætter 10 kr. i Sparekassen; en gang årligt beregner Sparekassen renter og lægger beløbet til saldoen. Niels Ole glemmer alt om indskuddet, men finder bogen 16 år senere og kan så se, at hans formue i årene har ændret sig som tabellen viser: År Saldo , , , , ,40 Plotter vi punkterne svarende til talparrene ind i et almindeligt retvinklet koordinatsystem, får vi: Kroner Saldoens vækst 28,00 26,00 24,00 22,00 20,00 18,00 16,00 14,00 12,00 10, År Vi tegner en ret linje tæt ved alle punkterne og ser, at der er et mønster i afvigelserne fra den rette linje: en graf gennem alle punkterne ville være bueformet. Forbinder vi alle nabopunkter med rette linjestykker, ville disse blive stejlere og stejlere. Hvis væksten var lineær, blev der tilskrevet det samme beløb i renter hvert år. Men Niels Ole har også fået renter af renterne (= renters rente ); hans saldo vokser med den samme procent hvert år. Tegnes de samme punkter ind i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, 132

65 fås: Saldoens vækst Kroner 100,00 10, År Nu ses det, at punkterne ligger på en ret linje. Øvelse: Radioaktivitet Du eller bedre: en gruppe starter med at have 100 terninger. De simulerer det radioaktive materiale. Radiaktivt materiale henfalder dvs. den radioaktive stråling bliver mindre og mindre. For nogle materialer går det meget hurtigt og for andre meget meget langsomt. Men for alle typer er der tale om, at i løbet af en bestemt periode for hver materialetype henfalder en bestemt brøkdel af stoffet. Denne brøk er et gennemsnit; det faktiske henfald varierer tilfældigt. Ved denne simulation leger vi, at i tiden mellem 2 runder fjernes i gennemsnit 1/6 af radioaktiviteten. Noter, at du / I har 100 terninger (eller hvor mange I nu har.) Slå med alle terningerne fjern 6-erne og tæl de resterende. Noter resultatet. Slå med de resterende terninger fjern 6-erne og tæl dem, der 133

66 nu er tilbage. Noter resultatet. Gentag sidste punkt, indtil alt materiale er henfaldet det vil sige, at alle terninger er fjernede. Indtegn talparrene (x-værdier: tidspunkterne 0, 1, 2, 3... og yværdierne det tilsvarende antal terninger) på enkeltlogaritmisk papir find tendenslinjen. Hvis du benytter et program, der kan vise forskriften for tendenslinjen: kunne du have gættet, at den ville se sådan ud (omtrent)? Øvelse: Tændstikgenerationer Start med 1. generation: Adam og Eva (to tændstikker). Spillet spilles indtil Adam og Eva s slægt er vokset til mindst 30 tændstikmennesker. Adam og Eva får børn ved at slå med en terning. De får lige så mange børn som de øjne, terningen viser. Der slås med terningen en gang til: Hvis slaget viser et ulige antal øjne, dør der en tændstik i kernefamilien. Resultatet kunne se sådan ud for de første generationer: Generation Antal 1 2 Antal familier Familienummer Tilvækst Dødsfald Ialt Ialt 3 Overlevende til næste generation Prøv det. Udfyld en tabel som ovenstående. For hver ny generation dannes så mange par som muligt og hvert par gentager Adam og Evas historie: får tændstikbørn og kommer

67 måske ud for dødsfald. Enlige kan også dø. Du fortsætter med spillet, indtil slægten består af mindst 30 tændstiker. Indtegn slægtens vækst på enkeltlogaritmisk papir. Kan der ses et mønster? Har andre elever/grupper et lignende mønster? Hvilket mønster ses, hvis klassens simulationer samles (til totaler eller gennemsnit)? Kunne man have fundet det mønster uden at eksperimentere? Kan du beskrive sammenhængen mellem reglerne for fødsel og død (som bestemmer frugtbarheden og dødeligheden 13 ) og mønsteret for generationernes vækst? Definition: En eksponentiel funktion En eksponentiel funktion er en funktion med forskriften: f(x) = b ax; DM(f) = R ; a>0; b>0. Øvelse: Tegn grafer for eksponentielle funktioner Kan du ved at tegne en række grafer (på enkeltlogaritmisk papir) med forskellige valg af a og b sige noget om a s og b s betydning? Lav enten a eller b om ikke begge på en gang. Tegn grafen gennem y-aksen (x=0). Øvelse: Fordoblingskonstant Tag en af dine grafer, hvor a>1. Vælg et tal på y-aksen (y1) blandt de mindste fra VM(f), som er nemt at finde præcist. Marker det. Beregn et nyt tal (y2), som er dobbelt så stort. Marker det. Find de tilsvarende x-værdier (x1) og (x2). Beregn T2 = x2 - x1 13 Begreber, der bruges af Danmarks Statistik i forbindelse med befolkningsstatistik og befolkningsprognoser med videre. Forudsætningen er, at forholdene er uforandrede over en periode. 135

68 T2 kaldes fordoblingskonstanten. Kontroller, at vælger du to andre y-værdier (hvor den anden stadig er dobblet så stor som den første), vil du få (næsten) samme værdi af T2. Øvelse: Find a og b? Lad f(x) = 3*1,5x. Beregn f(0) og f(1) og f(2). Tegn grafen med god afstand mellem de tre tal på x-aksen. Hvis du ikke kendte formlen, men kun støttepunkter og tegning ville du så kunne finde regneforskriften for f? Sætning: Parametre Hvis f er en eksponentiel funktion, hvor f(x) = b ax, er: f(0) = b f(1) = b*a Hvis grafen går gennem punkterne P(x1;y1) og Q(x2;y2), kan parametrene beregnes med formlerne: a= b= ( x 2 x1 ) y2 y1 y1 a x1 Bevis: De to første påstande fås umiddelbart ved indsætning i regneforskriften for funktionen. Da grafen går gennem P, må y1 = b ax 1 b = y1/ax 1 hvilket viser den sidste påstand. Tilsvarende fås på samme måde da 136

69 grafen går gennem Q - at b = y2/ax 2 Heraf ses, at: y1/ax = y2/ax 1 2 ax /ax = y2/ y1 2 ax x1 a= Benyt potensregneregler på venstre side = y2/ y1 ( x 2 x1 ) y2 y1 hvormed den 3. påstand er bevist. Bemærkning: Kendes grafen kan man med de to første dele af sætningen nemt finde parametrene ved aflæsning og en simpel beregning. Unøjagtigheden ved af beregningen af a kan dog være ret stor. Øvelse: Tegn grafer for eksponentielle funktion Tegn grafer på enkeltlogaritmisk papir for de eksponentielle funktioner med nedenstående parametre. Benyt støttepunkter med x-værdierne 0 og 1. Kontroller efter at have tegnet grafen, om støttepunktet med xværdien 10 ligger på grafen. a = 1,3; b = 20; a = 0,8; b = 15; a = 1,04; b = 3; a = 0,98; b = 300; a = 1,01; b = 137; Øvelse: Find forskriften Find forskriften for en række eksponentielle funktioner, hvor du kender 2 støttepunkter: f(x): (3; 2) og (8; 6) g(x): (-4; 2) og (8; 6) h(x): (3; 6) og (8; 2) 137

70 k(x): (3; 2) og (8; 2) m(x): (-5; 2) og (-10; 6) n(x): n(9) = 2 og n(6) = 4 Bemærkning om eksponentiel vækst Lad os sammenligne to tilfældige nabo-y-værdier svarende til en tilfældigt valgt x-værdi x og nabo-x-værdien: x+1. f(x+1) = b*ax+1 = b*ax *a = f(x)*a og tilsvarende: f(x+7) = f(x)* a7 Den eksponentielle funktion (Oversigt) Funktion Eksponentiel funktion Forskrift f(x) = b*ax DM R VM R+ Koordinatsystem Enkeltlogaritmisk p. Aflæs b > 0 f(0) "Aflæs a" > 0 f(1) / f(0) Beregn a y2 y1 x 2 x1 Indtastning i TI 30 Beregn b (x2-x1)[gul]^(y2/y1)= y1 ax 1 Indtastning TI 30 (forudsat: a er lige regnet ud og kan findes via "ANS") 138 y1/[gul] [(-)] ^x1=

71 Rentesregning

72 140

73 Øvelse: Kapital og rentesregning I eksemplet med Niels Ole (side 3) har vi en funktion; hvilken tekst vil du bruge til at beskrive den? x=?? f(x) =?? DM(f) =??. VM(f) =?? Hvis man som første punkt havde valgt (0 ; 10) og som 2. punkt (4 ; 12,62), hvilken tekst ville du så bruge for x og f(x)? Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken derefter tilskriver rente et antal gange med en termins mellemrum, taler vi om kapitalfremskrivning. En termin kan være et år eller 3 måneder eller en hvilken som helst periode mellem to rentetilskrivninger. Opgaven er at finde værdien af kapitalen efter den sidste rentetilskrivning. I opgaver, hvor en kapital tilskrives rente benyttes traditionelt sprogbrugen: Startkapital = K0 Slutkapital = Kn Rentesatsen pr. termin = r (angivet som brøk eller procent) Antallet af terminer = n Eksempel: Rentetilskrivning I Når der tilskrives rente til en kapital eller en gæld på for eksempel kr med renten 5 % pr. termin, ser regnestykket således ud: Oprindelig kapital ,00 kr. Rente = *5/100 kr. = *0,05 kr. = 1.000,00 kr. Ny kapital = ,00 kr. Dette kan indsættes i en tabel som følgende: Beløb i kr. Oprindelig kapital Rente Ny Kapital Procent 100 % 5% 105 %

74 Ofte er man ikke interesseret i rentebeløbet, men alene i at beregne den nye kapital. Det kan naturligvis gøres direkte som 105 % af den oprindelige kapital: Ny kapital = *105/100 kr. = *1,05 kr. = kr. Den nye kapital kan altså findes ved at gange den oprindelige med tallet (faktoren) 1,05. Denne faktor kaldes fremskrivningsfaktoren. Med traditionel sprogbrug (se ovenover) fås generelt: K1 = K0*(1+r) Øvelse: Kapitalfremskrivning I Forklar, hvad forkortelserne = K0, K1 og r står for. Kontroller ved beregning, at ligningen K1 = K0*(1+r) er sand med anvendelse af tallene fra tabellen. Eksempel: Rentetilskrivning II Hvis der skal tilskrives rente flere gange, kan tabellen fra før anvendes igen med udskiftning af de angivne kapitaler: Beløb i kr. Procent Oprindelig kapital % Rente % Ny Kapital % Som ovenfor kan den nye kapital beregnes direkte: Ny kapital (efter 2. rentetilskrivning) = *105/100 kr. = *1,05 kr. = kr. Huskes beregningen af den nye kapital efter 1. rentetilskrivning, fås: Ny kapital (efter 2. rentetilskrivning) = ( *1,05 ) * 1,05 kr. = *1,052 kr. = kr. Generelt fås: K2 = K0*(1+r)2 og argumentet kan naturligvis gentages uendeligt mange gange, så man får: 142

75 K3= K0*(1+r)3 K4 = K0*(1+r)4... Kn = K0*(1+r)n 14 Øvelse: Kapitalfremskrivning II Forklar, hvad forkortelsen: K2 står for. Beregn som ovenfor i tabellen og ved multiplikation med potens kapitalerne efter 3, 4, og 5 rentetilskrivninger. Sætning: Kapitalfremskrivningsformlen Hvis: Startkapital = K0 Slutkapital = Kn Rentesatsen pr. termin = r Antallet af terminer = n gælder: Kn = K0*(1+r) n, (1+r) kaldes fremskrivningsfaktoren. Du har forhåbentligt noteret dig, at Kn = K0*(1+r) n, blot er en anderledes skrivemåde for den almindelige eksponentielle funktion: f(x) = b ax. Øvelse: Kapitalfremskrivning III Kan du oversætte betegnelserne vi normalt bruger i forbindelse med eksponentielle funktioner til navnene herover? a=?? b=?? x=?? f(x) =?? DM(f) =??. VM(f) =?? 14 Denne måde at bevise en sætning på kaldes et induktionsbevis. Formelt rigtigt bevises den ved først at vise sætningen er rigtig for n=1; dernæst at vise, at er sætningen rigtig for n=m, vil den også være rigtig for n=m+1. (Det er ovenover kun vist med n=2, men metoden kunne anvendes generelt.) 143

76 Eksempel: Beregning af Kn En eksamensopgave i 1993 lød: 3000 kr. indsættes på en konto til 5 % p.a. Bestem hvor meget der står på kontoen efter 14 år. Jeg noterer mig, at der er tale om indbetaling af et beløb een gang, som i flere terminer forrentes med samme rente. p.a. betyder pro anno, det vil sige (når der ikke skrives andet) at terminen er et år og at der en gang om året tilskrives rente her 5 %. Derfor kan jeg benytte kapitalfremskrivningsformlen. I opgaveteksten vil jeg markere tallene (som gjort) og skrive besvarelsen som herunder: Løsning Da der er tale om kapitalfremskrivning, noteres: Startkapital = K0 = 3000 Slutkapital = Kn =??? Rentesatsen pr. termin = r = 0,05 Antallet af terminer = n =14 Disse tal indsættes i : Kn = K0*(1+r) n Kn = 3000*1,0514 Kn = 5939,794 = 5939,79 Efter 14 år står der 5.939,79 kr. på kontoen Eksempel: Beregning af andet end Kn Find K0 Kn = K0*(1+r) n Find r Kn = K0*(1+r) n Kn = K0 (1 + r ) n Kn = (1 + r ) n K0 144

77 n Kn = (1 + r ) K0 Find n Kn = K0*(1+r) n log( Kn 1 K0 Kn = (1 + r ) n K0 r= n Kn ) = log[(1 + r ) n ] = n * log(1 + r ) K0 Kn ) K0 = n log(1 + r ) log( 15 Udregning med tal fra eksempel: Beregning af Kn 5939,79 log( ) 3000 = 13,99 = 14,0 log(1,05) n= hvilket stemmer med det forventede. Formler og ligninger Lige meget hvilke betegnelser der anvendes, kan vi beregne funktionsværdien med kendte parametre og kendt x-værdi ( = n). Kendes omvendt f(x) (= Kn), kan x-værdien beregnes. Mangler du kun oplysning om en af parametrene, kan den beregnes med kendskab til de andre 3 oplysninger. Dette er typisk for alle formler. Har vi en formel, hvor der optræder variable, og kendes værdierne af de variable (eller parametrene) på nær en, kan dennes værdi beregnes ved at indsætte de kendte tal og derefter løse ligningen. I nogle tilfælde kan der være flere løsninger. Det er normalt ikke tilfældet her. På de følgende sider vises gennemregning af typiske opgaver. Opsparingsannuitet Hvis man sætter et beløb på b kr, i banken, venter en termin, igen sætter b kr. i banken, venter en termin, igen sætter b kr. i banken... Hvis man i 15 log(x) er en funktion som mange andre; på din lommeregner kan du direkte finde funktionsværdier. Funktionen omtales yderligere i appendiks Log. 145

78 alt sætter n gange b kr. i banken på denne måde med en termins mellemrum mellem hver indbetaling kan saldoen lige efter sidste indbetaling udregnes med formlen herunder: Hvis: Hver af indbetalingerne = b Rentesatsen pr. termin = r Antallet af betalinger = n gælder: An = b (1 + r ) n 1 r hvor An er værdien af alle indbetalingerne inkl. rente lige efter den sidste indbetaling. Ved udregning på lommeregner: 1+r kan klarer du som hovedregning!? Men: Husk at sætte parentes om hele tælleren. Hvorfor? Bemærk i øvrigt, at selvom der er n betalinger, er der kun (n-1) terminer melem første og sidste indbetaling. Det har formlen taget højde for! På tegningen herunder vises med de tynde streger mærket 1, 2,..., n, hvornår indbetalingerne finder sted. Med den kraftige blå pil markeres tidspunktet for opgørelsen af annuitetens værdi n Gældsannuitet Hvis man låner penge i banken og får en gæld på G kr. og tilbagebetaler gælden med n lige store ydelser hver på y kr., hvor den første ydelse betales en termin efter lånets udbetaling, den næste ydelse en termin senere og så fremdeles gælder formlen herunder: 146

79 Hvis: Hver af ydelserne = y Rentesatsen pr. termin = r Antallet af ydelserer = n gælder: G= y 1 (1 + r ) n r hvor G er gælden 1 termin før første ydelse. På tegningen er vist tidspunkterne for gældens optagelse (med kraftig rød pil) og med tynde streger er vist tidspunkterne for ydelsernes betaling. Bemærk: første ydelse betales en termin efter lånet udbetales. Eksempel: Annuitetsopgaver Find A, G, b og y. Findes ved indsætning i den relevante formel. Find r og n. Findes ofte med tabel. n kan findes ved at løse ligningen. Både n og r kan findes ved lineær interpolation. Regneark og nogle lommeregnere kan også finde løsningen. Lineær Interpolation G = n = 30 y = r =?? Vi gætter på meget groft at rentesatsen er mellem 2 og 6 procent, beregner hvad gælden ville være i begge tilfælde og tegner dette diagram: 147

80 Gælden ved forskellige rentesatser G Lineær (G) Hvis den rette linje var grafen for funktionen Gæld, kunne vi aflæse, at rentesatsen er ca. 3,1 %. Det er kun omtrent rigtigt. Funktionen er ikke lineær og derfor fås et unøjagtigt resultat. Ved kontrolberegning fås at rentesatsen ligger mellem 2,8 % og 2,9 %. For at få et nøjagtigere resultat, kan proceduren gentages med gæt på, at det rigtige resultat ligger i intervallet 2,5% til 3,5%. Øvelse: Lineær interpolation Beregn G for r = 0,028 og 0,029 Find derefter på en tegning et nøjagtigere skøn over r Kontroller nøjagtigheden Øvelse: Opsparing og gæld Vælg et beløb du kan spare op hvert år til bil, udbetaling på ejerlejlighed o.l. Vælg også et antal år og en realistisk rentefod. Find den opsparede kapital for forskellige antal år. Prøv derefter at regne baglæns: Find med de 3 af tallene det 4. som helst skal give det, du valgte i forvejen. Prøv noget tilsvarende for et lån (gældsformlen.) Forestil dig for eksempel at du har sparet kr. op som udbetaling til en lejlighed; nu skal du bare låne resten. Regn med den samme rentefod gennem hele lånets løbetid det er forudsætningen for at bruge formlerne Det er blevet almindeligt at låne med variabel rente; i en periode har det været billigere, men også mere risikabelt. Stiger renten pludseligt, bliver lejligheden dyr. 148

81 Potensfunktioner