F O RG R E N I N G S G RU P P E R A RT I N F Ø R E R E N

Transkript

1 KÅRE SCHOU GJADBÆK HØJERE F O RG R E N I N G S G RU P P E R OG A RT I N F Ø R E R E N VEJEDER: IAN KIMING S P E C I A E F O R C A N D. S C I E N T G R A D E N I M AT E M AT I K I N S T I T U T F O R M AT E M AT I S K E FA G KØ B E N H AV N S U N I V E R S I T E T 2010

2 KÅRE SCHOU GJADBÆK 2010 AYOUT AF FORFATTEREN SAT MED ATEX AE FIGURER OG DIAGRAMMER ER AVET MED TIKZ-PAKKEN FORSIDEBIEDET ER AF EMI ARTIN GENGIVET MED TIADESE FRA Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach

3 Tak til Søren Gjaldbæk for korrekturlæsning ars Madsen for ATEX -hjælp Ian Kiming for vejledning og inspiration

4

5 iii Resumé Emnet for denne afhandling er overordnet talteori fra et valuationsteoretisk perspektiv. Den omfatter en introduktion af grundlæggende begreber inden for dette område med fokus på ikke-arkimediske valuationer og fuldstændiggørelsen af legemer mht. disse. Dette fører via Galoisteori til et af hovedområderne i afhandlingen, nemlig definitionen og studiet af højere forgreningsgrupper, herunder Hasse-Arfs Sætning. Det udmønter sig i hovedformålet, definitionen af Artinføreren. Abstract The general theme of this thesis is number theory from a valuation theoretical perspective. It entails an introduction of the basic concepts of this area with a focus on non-arhcimedean valuations and completions of fields with regard to these. This leads through Galois theory to one of the main themes of the thesis, that is the definition and study of the higher ramification groups, including the theorem of Hasse-Arf. It concludes in the main purpose of the thesis, the definition the Artin conductor.

6

7 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Notation Indledning v vii ix 1 Ikke-arkimediske valuationer Valuationer Fuldstændiggørelser Udvidelser Forgrening Galoisudvidelser Galoisteori for valuationer Højere forgreningsgrupper Abelske udvidelser Hasse-Arf Artinføreren Den lokale Artinfører Den globale Artinfører Appendiks Repræsentationer af endelige grupper 57 itteratur 61 v

8

9 Notation Symbolliste N Naturlige tal Z Hele tal Q Rationale tal R Reelle tal C Komplekse tal R 0 Ikke-negative, relle tal F q Det endelige legeme med q elementer K [X ] Ringen af polynomier i en variabel med koefficienter i K K (X ) egemet af rationale funktioner i en variabel med koefficienter i K K ((X )) egemet af potensrækker i en variabel med koefficienter i K K Enhedsgruppen i K a Hovedidealet frembragt af a O K Heltalsringen i det algebraiske tallegeme K o, O Valuationsring a,b,c,etc. Idealer p, P a) Maksimalidealet i en valuationsring b) Primideal K egemsudvidelsen K Gal( K ) Galoisgruppen for over K D w Dekompositionsgruppen for w I w Inertigruppen for w G s,g s Den s te højere forgreningsgruppe i Galoisgruppen G med hhv. nedre og øvre nummerering N K (α) Normen af elementet α i over K fortsættes vii

10 viii NOTATION Symbolliste (fortsat) Tr K (α) Sporet af elementet α i over K m α (X ) Minimalpolynomiet for elementet α µ n Gruppen af n te enhedsrødder G n (K ) Den generelle lineære gruppe af matricer med indgange i K Z/nZ Den additive, cykliske gruppe med n elementer Im(f ) Billedet af f Ker(f ) Kernen for f

11 Indledning Det primære formål med denne afhandling er at definere Artinføreren, opkaldt efter Emil Artin. Artinføreren er et ideal i et algebraisk tallegeme, der er forbundet med en irreducibel kompleks repræsentation af Galoisgruppen for en Galoisudvidelse. Den spiller en vigtig rolle inden for flere områder af talteori. Oprindelsen kommer fra videreudviklinger af teorien om -rækker, der er generaliseringer af Riemanns zeta-funktion, ζ(s). Denne opfylder den velkendte funktionalligning ( πs ) ζ(s) = 2 s π s 1 sin Γ(1 s)ζ(1 s). 2 Artin--rækker er en yderligere generalisering, og disse opfylder en lignende funktionalligning, hvori Artinføreren optræder. Inden for klasselegemeteorien knytter man til abelske udvidelser et ideal føreren af udvidelsen. Denne fører viser sig at stemme overens med Artinføreren forbundet med en 1-dimensional repræsentation. Artinføreren er således en generalisering af dette begreb. Generalisering af klasselegemeteorien er en af de helt store projekter inden for nyere tids talteori. Det såkaldte anglands Program, søsat i slutningen af 1960 erne af Robert anglands, bygger på filosofien, at talteorien er forbundet med analysen via Galoisrepræsentationer (ikke udelukkende komplekse) og såkaldte automorfe former. Et eksempel herpå er Dirichlet-karakterer. En Dirichlet-karakter mod m er en homomorfi χ : (Z/mZ) C. De finder mange anvendelser f.eks. i definitionen af Dirichlet--rækker, der er en type af de førnævnte -rækker. I klasselegemeteori indtager de en central rolle, idet de sammenknyttes med Galoisrepræsentationer af cykliske udvidelser K Q. En repræsentation af en abelsk gruppe er 1-dimensional. En (kompleks) repræsentation af Galoisgruppen G = Gal(K Q) er således en en homomorfi ρ : G G 1 (C) = C. Som nævnt knytter man til K Q en fører, der kan identificeres med et naturligt tal, N. Man har samtidig en fører forbundet med en Dirichlet-karakter, og der viser sig en sammenhæng, når disse førere stemmer overens, og igen viser disse førere sig at være specialtilfælde ix

12 x INDEDNING af den mere generelle Artinfører. Dirichlet-karakterer er eksempler på automorfe former på G 1 (C). Et andet eksempel, som nok har vagt mere opsigt end nogen anden matematisk landvinding i nyere tid, er sammenkoblingen af modulformer og elliptiske kurver. Modulformer er analytiske funktioner på den øvre komplekse halvplan, og elliptiske kurver er særlige typer algebraiske varieteter. Den berømte Taniyama-Shimura-formodning siger, at man til hver elliptisk kurve kan knytte en specifik modulform. Til hver af disse hører en fører, som er bevaret under denne korrespondance. Formodningen har nu fået status af sætning, takket være især Andrew Wiles. Det var bevist inden, at dette resultat, der nu er døbt Modularitetssætningen, ville medføre Fermats Sidste Sætning. Dette var i sig selv et stort resultat, og i arbejdet spillede førerbegrebet en vigtig rolle Disse emner spænder over et væld af dyb matematisk teori. For et lille indblik kan henvises til [Kim99] eller [Kna97]. Her følger en oversigt over, hvad læseren af denne afhandling kan forvente. Elementær algebraisk talteori og Galoisteori forventes kendt, og resultater herfra vil blive brugt frit uden henvisninger. Derudover forventes elementær repræsentationsteori kendt hertil følger dog i appendiks et resume over de resultater, vi bruger herfra. Afhandlingen består af tre hovedafsnit. Kapitel 1 Første kapitel er en introduktion af algebraisk talteori fra et valuationsteoretisk perspektiv. Formålet er ikke skabe et analyseværktøj, så nogle resultater, der bærer særlig analytisk karakter, vil være udeladt eller blot gengivet uden bevis. Det samme gælder resultater, der blot er valuationsteoretiske varianter af velkendt stof fra idealteoretisk talteori. Kapitel 2 I kapitel 2 indføres Galoisteoretiske aspekter af valuationsteorien. Igen vil varianter af velkendte fænomener gengives uden bevis. Særligt væsentlige emner bliver behandlingen af højere forgreningsgrupper herunder Hasse-Arfs sætning. Kapitel 3 Her anvendes den teori, vi har gennemgået, til at definere Artinføreren. Hertil bliver repræsentationsteorien et afgørende element.

13 Kapitel 1 Ikke-arkimediske valuationer 1.1 Valuationer Vi vil nu introducere de grundlæggende begreber, vi skal studere, vedrørende valuerede legemer. For udeladte detaljer henvises for dette kapitel til [Neu99], når ikke andet er anført. Definition 1.1. En multiplikativ valuation på et legeme K er en funktion : K R, for hvilken der gælder, at for alle x, y K er (i) x 0, og x = 0 x = 0. (ii) x y = x y. (iii) x + y x + y. Hvis sammenhængen tillader det, vil vi udelade multiplikativ og blot bruge betegnelsen valuation. Vi vil kalde et legeme K med en tilhørende valuation et valueret legeme og skrive (K, ). Vi kan på naturlig vis bruge valuationen til at definere en metrik på K ved at sætte afstanden mellem to elementer x, y K til x y, og dette giver os samtidig en topologi på K. To valuationer på K siges at være ækvivalente såfremt de inducerer den samme topologi på K. Man kan vise, at to valuationer og på K er ækvivalente, hvis og kun hvis der findes et s R, så s =, og at dette er ækvivalent med x < 1 = x < 1, for alle x K. Vi vil ikke beskæftige os med den trivielle valuation givet ved x = 1 for alle x 0, som svarer til den diskrete topologi på K. 1

14 2 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER Definition 1.2. Hvis følgen ( n ), n N går mod for n gående mod, kaldes valuationen arkimedisk. Hvis følgen omvendt er begrænset, kaldes valuationen ikke-arkimedisk. De arkimediske valuationer opstår alle som den sædvanlige absolutte komplekse værdi på en legemsindlejring af K i C, og disse vil vi heller ikke beskæftige os med. Det er de ikke-arkimediske valuationer, vi vil interessere os for, og vi har følgende: Proposition 1.3. En valuation på K er ikke-arkimedisk, hvis og kun hvis vi kan forstærke trekantsuligheden 1.1 (iii) ved x + y max{ x, y }. Bevis. Hvis x + y max{ x, y } gælder, har vi for n N n {}}{ n = , hvorved er ikke-arkimedisk. Antag omvendt, at er ikke-arkimedisk. Da findes et N N, så n N for alle n N. ad x, y K, med x y. Da er x n = x n v x v x n v y v, for v 0, og vi har ( ) x + y n = (x + y) n n n = x n v y v v=0 v ( ) n n v xn v y v (n + 1)N x n. Vi har dermed v=0 x + y (n + 1) 1/n N 1/n x = (n + 1) 1/n N 1/n max{ x, y }, og lader vi n, får vi x + y max{ x, y }. Definition 1.4. En eksponentiel valuation på et legeme K er en funktion v : K R { }, med følgende egenskaber for alle x, y K : (i) v(x) = x = 0.

15 1.1. VAUATIONER 3 (ii) v(x y) = v(x) + v(y). (iii) v(x + y) min{v(x), v(y)}. Her sættes a + =, + = for a. Udtrykket valuation vil kunne dække over både multiplikativ og eksponentiel valuation, når det ikke skaber forvirring. En eksponentiel valuation v på K er naturligt associeret med en ikkearkimedisk multiplikativ valuation ved, at man sætter x = a v(x) for et vilkårligt reelt a > 1. Forskellige valg af a vil blot give ækvivalente valuationer. igeledes får vi, hvis vi udskifter v med en valuation givet ved sv for et s R, en multiplikative valuation givet ved s, som er ækvivalent med den første. Vi kalder derfor to eksponentiele valuationer, v og v ækvivalente, såfremt sv = v for et s R. Modsat kommer vi fra en ikke-arkimedisk, multiplikativ valuation ved at sætte v(x) = log(x) for x 0 og v(0) =. Bemærk, at der igen gælder lighedstegn for den stærke trekantsulighed (iii), hvis vi har v(x) v(y). Vi vil igen ikke interessere os for den trivielle valuation, der for det eksponentielle tilfælde er givet ved v(0) = og v(x) = 0 for x 0. Vi introducerer nu følgende meget centrale størrelser i et ikke-arkimedisk valueret legeme K : o = { x K v(x) 0 } = { x K x 1 }. (1.1) Det følger umiddelbart af Def. 1.4, at o er en ring i K, i hvilken enhedsgruppen er o = { x K v(x) = 0 } = { x K x = 1 }. (1.2) K er brøklegemet for o, og o er en såkaldt valuationsring i K. Dvs. for ethvert x K er enten x K eller x 1 K. En valuationsring er en lokal ring, hvilket betyder, at der findes et entydigt maksimalideal i o. Dette maksimalideal er givet ved p = { x K v(x) > 0 } = { x K x < 1 }. (1.3) Kvotientringen er et legeme kaldet o s restklasselegeme. κ = o/p (1.4) Definition 1.5. Hvis der findes en mindste positiv værdi s for den eksponentielle valuation v, kaldes valuationen diskret. Man har da v(k ) = sz. Valuationen siges at være normaliseret, såfremt s = 1.

16 4 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER En diskret valuation er altid ækvivalent med en normaliseret, diskret valuation, idet vi blot kan dividere med s. Vi kalder denne proces at normalisere valuationen, og det ændrer ikke ved størrelserne o, o og p. Et element π o med v(π) = 1, hvor v er normaliseret, kaldes et primelement i o eller en uniformisator. Proposition 1.6. Ethvert x K kan for et vilkårligt valg af π entydigt repræsenteres som x = uπ m, hvor m Z og u o. Bevis. ad π være givet, og lad v(x) = m. Sæt u = xπ m. Da er så vi har u o. v(u) = v(xπ m ) = v(x) mv(π) = 0, Bemærkning. Det følger umiddelbart, at K /o Z. Proposition 1.7. ad v være en diskret eksponentiel valuation på K. Da er o et hovedidealområde. Hvis v er normaliseret er idealerne i o (bortset fra nulidealet) givet ved p n = π n = { x K v(x) n }, hvor π er et vilkårligt primelement. Vi har desuden p n /p n+1 o/p = κ. Bevis. ad a 0 være et ideal i o, og lad x a, så v(x) = n v(y) for alle y a. Vi har x = uπ n, for et u o, og vi har x = π n o a. Tag nu et vilkårligt y a, så y = u π m, u o, hvor m n. Da er y = (u π m n )π n, hvor u π m n o, så y π n o. Vi kan dermed konkludere, at a = π n o = p n. a er hovedidealet frembragt af x, så o er et hovedidealområde. Afbildningen p n o/p, x = aπ n a mod p er en surjektiv homomorfi med kerne p n+1. Dermed har vi en isomorfi p n /p n+1 o/p.

17 1.1. VAUATIONER 5 Bemærkning. En ring, R, med et entydigt maksimalideal kaldes en lokal ring. Ethvert legeme er således en lokal ring (idet {0} er det eneste maksimalideal). Hvis R er et hovedidealområde, kaldes R en diskret valuationsring. Ringen o som defineret i (1.1) er således jvf. ovenstående proposition en diskret valuationsring, hvis v er diskret. Idealerne i o danner således en filtrering o p p 2 p 3. Der findes ligeledes en filtrering af undergrupper i o : hvor o = U (0) U (1) U (2), U (n) = p n + 1 = { x K v(x 1) n }. U (n) kaldes den n te højere enhedsgruppe, og U (1) hovedenhedsgruppen. Det ses let, at U (n) er en undergruppe. Den er lukket under multiplikation: Hvis x = aπ n + 1 U (n), og y = bπ n + 1 U (n), da er x y = (abπ n + a + b)π n + 1 U (n). (1.5) Desuden vil 1/x U (n), hvis x U (n), idet ( ) ( ) ( ) v x 1 = v (1 x) = v + v( 1(x 1)) x x = v(1) v(x) + v( 1) + v(x 1) = v(x 1) n. Vi bemærker, at den stærke trekantsulighed umiddelbart medfører, at v(x + y) min{v(x), v(y)} v(x + y) = min{v(x), v(y)}, hvis v(x) v(y). Antag nemlig, at v(x) < v(y). Da har vi idet y/x p, hvorved 1 + y/x o. v(x + y) = v(x) + v(1 + y/x) = v(x), Proposition 1.8. Vi har og for n 1. o /U (n) (o/p n ), U (n) /U (n+1) o/p = κ,

18 6 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER Bevis. Afbildningen o o /p n, u u mod p n er åbenlyst en surjektiv homomorfi. Kernen er de elementer, der afbildes til 1, i.e. elementer af formen 1+ aπ n, a o, hvilket netop er elementerne i U (n). Afbildningen inducerer således en isomorfi mellem o /U (n) og (o/p n ). Afbildningen U (n) o/p, 1 + aπ n a mod p er en surjektiv homomorfi, og kernen er U (n+1), så afbildningen inducerer en isomorfi mellem U (n) /U (n+1) og o/p = κ. p-adiske valuationer Disse indledende definitioner og overvejelser vedrørende valuationer er helt generelle for vilkårlige legemer. Vores hovedinteresse er imidlertid de algebraiske tallegemer, i.e. endelige udvidelser af Q. Ikke-arkimediske valuationer på algebraiske tallegemer opstår alle på samme måde som de p-adiske valuationer på Q, blot ud fra et idealperspektiv: ad K være et vilkårligt tallegeme og p et primideal i heltalsringen O K i K. Vi sætter v p (0) =. K er brøklegemet for O K, Så et x K {0} kan skrives som α/β, α,β O K {0}. ad α = i p a i i, β = i p b i i være primidealfaktoriseringen af hovedidealerne frembragt af hhv. α og β. ad a være eksponenten af p i dekompositionen af α og b eksponenten for p i β. Vi sætter v p (x) = a b. v p (x) er en normaliseret eksponentiel valuation, og den tilhørende multiplikative valuation er givet ved x p = r v p(x),r > 0, for x 0, 0 p = 0. Denne normaliseres ved at sætte r = #O K /p. Dette kaldes den p-adiske valuation på K, og alle ikke-arkimediske valuationer på K har denne facon. 1.2 Fuldstændiggørelser Som nævnt kan et valueret legeme (K, ) betragtes som et metrisk rum. Et metrisk rum K kaldes fuldstændigt, såfremt enhver Cauchy-følge konvergerer

19 1.2. FUDSTÆNDIGGØRESER 7 i K mht. den tilhørende metrik. Vi vil nu konstruere fuldstændiggørelsen af K ud fra Cauchy-følger, på samme måde som man kan konstruere de relle tal ud fra rationale Cauchy-følger. En Cauchy-følge (a n ) n N i (K, ) er en følge af elementer i K, så der for ethvert positivt ɛ R findes et N N, så a n a N < ɛ, for alle n > N. Mængden af Cauchy-følger i K udgør en ring R i hvilken mængden af nulfølger m følger, der konvergerer mod 0 er et maksimalideal. Vi definerer nu ˆK ved ˆK = R/m. K er naturligt indlejret i ˆK ved at et a K sendes til følgen (a, a, a,...) ˆK. Valuationen på K kan fortsættes til en valuation på ˆK ved for et â = (a n ) ˆK at sætte â = lim n a n. Man viser let, at denne grænseværdi eksisterer, og at fortsættelsen af til ˆK er entydig. Vi kan som vi gør for reelle tal i stedet for at betragte elementer i ˆK som ækvivalensklasser af Cauchy-følger se elementerne som deres grænseværdier, dvs. ved identificere â = (a n ) med grænseværdien â = lim n a n. Endelig kan man vise, at ˆK er et fuldstændigt metrisk rum mht. fortsættelsen af, og at ethvert element â ˆK er grænseværdien af en Cauchy-følge i K. Årsagen til, at vi ikke vil beskæftige os med arkimediske valuationer, er følgende sætning af Ostrowski: Sætning (Ostrowski). Fuldstændiggørelsen af ethvert arkimedisk valueret legeme K er isomorf med enten R eller C. Vi kan altså vælge at arbejde med den eksponentielle valuation frem for den multiplikative, og det vil langt hen ad vejen vise sig mest belejligt. En eksponentiel valuation v på K kan fortsættes til ˆv på fuldstiggørelsen ˆK på analog vis ved at sætte ˆv(â) = lim v(a n ), (1.6) n Der findes et N N, så ˆv(â a n ) > ˆv(â) for alle n N. Det betyder, at vi har v(a n ) = ˆv(a n â + â) = min{ ˆv(a n â), ˆv(â)} = ˆv(â). Det betyder med andre ord, at følgen (v(a n )) på et tidpunkt bliver konstant, og vi kan konkludere, at v(k ) = ˆv( ˆK ).

20 8 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER Hvis v er diskret og normaliseret, gælder det samme dermed for ˆv. Desuden ser vi, at ˆx = lim x n = lim a v(xn) = a lim n v(x n ), n n så sammenhængen mellem den multiplikative og den eksponentielle valuation, ˆv( ˆx) = lim n v(x n ) = log ˆx, er stadig gældende. Overvejelserne fra forrige afsnit vedrørende størrelserne ô, ô, ˆp og ˆκ ((1.1) (1.4)) gælder også fuldstændiggørelsen. ô er afslutningen af o i ˆK. Et primelement π ô er et element, så ˆv(π) = 1, når ˆv er normaliseret, og Prop. 1.6 og 1.7 vises helt analogt for fuldstændiggørelsen. Vi har desuden Proposition 1.9. ad (K, v) være et diskret valueret legeme og ( ˆK, ˆv) være fuldstændiggørelsen af (K, v) og ô, ˆp hhv. o, p de tilhørende størrelser. Da er ô/ˆp n o/p n for n 1. Bevis. Afbildningen o ô/ˆp n, a a mod ˆp n er en homomorfi, og kernen er p n. Homomorfien er surjektiv, da ô er afslutningen af o i ˆK. Vi kan derfor nemlig for ethvert x ô vælge et a o, så ˆv(x a) n, hvilket betyder, at x a ˆp n og dermed x a (mod ˆp n ). Homomorfien inducerer således en isomorfi mellem o/p n og ô/ˆp n. Repræsentationen af et element x i fuldstændiggørelsen ˆK givet ved x = uπ m for et u ô kan også udtrykkes ved en uendelig sum.vi har følgende: Proposition ad R o være et system af repræsentanter for o/p = κ, der indeholder 0, og lad π o være et primelement. Da kan ethvert element x ˆK på entydig vis repræsenteres som en konvergent sum hvor m Z, a i R og a 0 0. x = π m (a 0 + a 1 π + a 2 π 2 + ), Bevis. Vi viser ved induktion. ad x = uπ m ˆK, hvor u ô og m Z. Da ˆκ κ iflg. Prop. 1.9, er der en entydig repræsentant a 0 R for u mod ˆp. Der findes altså et b 1 ô, så u = a 0 + b 1 π.

21 1.2. FUDSTÆNDIGGØRESER 9 så Antag nu, at vi for et vilkårligt n N entydigt har fundet a 0,..., a n 1 R, u = a 0 + a 1 π + + a n 1 π n 1 + π n b n, for et b n ô. Der findes da igen (husk ˆκ κ) en repræsentant a n R for b n mod ˆp, der er entydigt bestemt af u, så b n = a n + πb n+1, og vi har u = a 0 + a 1 π + + a n 1 π n 1 + π n a n + π n+1 b n+1. Vi opnår dermed en uendelig række ( nν=0 a ν π ν) n, hvori hvert a ν er entydigt bestemt af u. Rækken konverger mod u, idet restledet, b n+1 π n+1, går mod 0. Vi har dermed som ønsket. x = uπ m = π m (a 0 + a 1 π + a 2 π 2 + ), Man kan for et givet ikke-arkimedisk valueret legeme (K, v) på kanonisk vis fortsætte v til en valuation på funktionslegemet K (X ) ved for et polynomium, f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0, at sætte eller som multiplikativ pendant v(f ) = min{v(a 0 ),..., v(a n )}, f = max{ a 0,..., a n }. Det kan på forholdsvis enkel facon vises, at denne fastsættelse opfylder betingelserne for en ikke-arkimedisk valuation. Vi siger, at et polynomium f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 0 o[x ] er primitivt, hvis f (X ) 0 (mod p). Det betyder, at f er primitivt, hvis og kun hvis v(f ) = 0. Følgende vigtige resultat skyldes Kurt Hensel: 1 Sætning 1.11 (Hensels emma). ad K være et fuldstændigt legeme mht. til en ikke-arkimedisk valuation og o den tilhørende valuationsring. Hvis et primitivt polynomium f (X ) o[x ] kan faktoriseres modulo p f (X ) g (X )h(x ) (mod p), hvor g (X ) og h(x ) er indbyrdes primiske polynomier i κ[x ], kan det også faktoriseres i o[x ] som f (X ) = g (X )h(x ), 1 Resultatet er kendt som Hensels emma, men det indtager så markant en rolle, at det her får sætningsstatus.

22 10 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER hvor deg(g ) = deg(g ), og g (X ) g (X ) (mod p), h(x ) h(x ) (mod p). Bevis. Sæt d = deg(f ), og m = deg(g ). Da er d m deg(h). Vi vælger nu polynomier g 0,h 0 o[x ], så og g 0 g (mod p), og h 0 h (mod p), deg(g 0 ) = d, og deg(h 0 ) d m. æg mærke til at m te-gradskoefficienten i g 0 dermed er en enhed i o. Da g og h er indbyrdes primiske, findes der polynomier a(x ),b(x ) o[x ], så ag + bg 1 (mod p). Vi har nu f g 0 h 0 p[x ], og ag + bg 1 p[x]. Vi vælger nu en koefficient, ω, i et af polynomierne f g 0 h 0 og ag +bg 1, så v(ω) er minimal blandt samtlige koefficienter. Det betyder, at f g 0 h 0 0 (mod ω), og ag + bg 1 0 (mod ω). (1.7) Vi vil nu vise, at vi for alle n kan konstruere polynomier g n 1 = g 0 + p 1 ω + p 2 ω p n 1, h n 1 = h 0 + q 1 ω + q 2 ω q n 1, hvor p i, q i o[x ] med deg(p i ) < m, deg(q i ) d m, så der gælder og konstruktionen er rekursiv, så f g n 1 h n 1 (mod ω n ), (1.8) g n = g n 1 + p n ω n, og h n = h n 1 + q n ω n. (1.9) Det gælder umiddelbart for n = 1 pga. (1.7). Vi viser nu påstanden pr. induktion. Antag, at vi for et vilkårligt n 1 har fundet g n 1 og h n 1, så kongruensen (1.8) er opfyldt. Vi skal finde g n og h n, så f g n h n (mod ω n+1 ), hvilket ud fra (1.9) betyder, at vi skal finde polynomier p n, q n o[x ], så f g n 1 h n 1 + (q n g n 1 + p n h n 1 )ω n + p n q n ω 2n (mod ω n+1 ) g n 1 h n 1 + (q n g n 1 + p n h n 1 )ω n (mod ω n+1 ),

23 1.2. FUDSTÆNDIGGØRESER 11 som svarer til f g n 1 h n 1 (q n g n 1 + p n h n 1 )ω n (mod ω n+1 ). Vi dividerer med ω n og får, idet vi sætter f n = ω n (f g n 1 h n 1 ), kongruensen f n q n g n 1 + p n h n 1 q n g 0 + p n h 0 (mod ω). æg mærke til, at f n o[x ], da f g n 1 h n 1 ω n [X ] pr. induktionsantagelse. Da jvf. (1.7) ag 0 + bh 0 1 (mod ω), har vi f n a f n g 0 + b f n h 0 (mod ω). (1.10) Hvis vi var sikre på, at deg(a f n ) < m, og deg(b f n ) d m, ville vi være hjemme ved at sætte q n = a f n og p n = b f n, men det går desværre ikke. For at sikre at graden passer, sætter vi stedet p n + g 0 q = b f n, hvor deg(p n ) < deg(g 0 ) = m, og q o[x ]. Dette er muligt, fordi g 0 s m tegradskoefficient er en enhed. Vi får nu sammenholdt med (1.10) kongruensen f n a f n g 0 + (p n + g 0 q)h 0 (mod ω), hvilket svarer til f n g 0 (a f n + qh 0 ) + h 0 p n (mod ω), Vi udelader nu alle koefficienter i polynomiet a f n + qh 0 og kalder det resulterende polynomium q n. Vi har dermed f n g 0 q n + h 0 p n (mod ω). (1.11) Vi har deg(g 0 ) = m og deg(h 0 p n ) < d m + m = d, så idet ω ikke er divisor i nogen af q n s koefficienter, må deg(g 0 q n ) deg(f n ) d, og dermed har vi deg(q n ) d m. Kongruensen (1.11) medfører umiddelbart (1.8). Da det gælder for alle n, får vi for n polynomier med deg(g ) = deg(g 0 ) = deg(g ), og g = g 0 + p 1 ω + p 2 ω 2 +, h = h 0 + q 1 ω + q 2 ω 2 +, g g 0 g (mod p), og h h 0 h (mod p), så f = g h.

24 12 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER Korollar Hvis K er et fuldstændigt legeme mht. en ikke-arkimedisk valuation v, så gælder for ethvert irreducibelt polynomium at f (X ) = a 0 + a 1 X + + a n X n K [X ], v(f ) = min{v(a 0 ), v(a n )}. Det betyder, at hvis a n = 1, og a 0 o, så er f (X ) o[x ]. Bevis. Vi kan gange f igennem med et passende element i K, så f o[x ], og v(f ) = 0. ad r være det laveste indeks for koefficienterne a 0, a 1,... a n, så v(a r ) = 0. Vi har da kongruensen f (X ) X r (a r + a r +1 X + + a n X n r ) (mod p). f kan ifølge Hensels emma faktoriseres i o[x ] som produkt af polynomier af grad hhv. r og n r. Da f er irreducibel pr. antagelse, konkluderer vi, at r = 0 eller r = n. okale legemer Et globalt legeme er et begreb, der dækker over en endelig udvidelse af Q dvs. et algebraisk tallegeme eller en endelig udvidelse af F q (X ), legemet af rationale funktioner i en variabel over det det endelige legeme med q elementer. Et legeme, der er fuldstændigt mht. en diskret (og altså ikke-arkimedisk) valuation og har endeligt restklasselegeme, kaldes et lokalt legeme. Man kan vise, at ikke-arkimediske valuationer på globale legemer er diskrete, og at de tilhørende restklasselegemer er endelige. Dvs. fuldstændiggørelsen af et globalt legeme er et lokalt legeme. Faktisk er de lokale legemer netop de endelige udvidelser af Q p og F q ((X )), legemet af potensrækker i en variabel med koefficienter i F q. 2 De lokale legemer, der har vores særlige interesse, er fuldstændiggørelsen af algebraiske tallegemer mht. en p-adisk valuation. Disse kaldes p-adiske legemer. Proposition ad K være et lokalt legeme, lad q = #κ være antallet af elementer i restklasselegemet, og lad π være et primelement. Den multiplikative gruppe K kan da dekomponeres som 2 [Neu99] 5. K = (π) µ q 1 U (1),

25 1.3. UDVIDESER 13 hvor (π) = {π m m Z}, µq 1 er gruppen af q 1 te enhedsrødder, og U (1) er hovedenhedsgruppen (jvf. s. 5). Bevis. Vi ved allerede, at ethvert element x K kan skrives som x = π m u, hvor u o, og vi har dermed K = (π) o. Polynomiet X q 1 1 o[x ] kan spaltes ud i lineære faktorer over restklasselegemet κ = F q. Vi har konkret kongruensen q 1 X q 1 1 (X α) α (κ) (mod p). Vi har dermed ved gentagen anvendelse af Hensels emma, at X q 1 1 også kan spaltes ud i lineære faktorer over o[x ]. Konsekvensen er, at o indeholder de q 1 te enhedsrødder. Afbildningen o κ, u u mod p, er en homomorfi med kerne p + 1 = U (1), og homomorfien afbilder µ q 1 bijektivt på κ. Altså er o = µ q 1 U (1). 1.3 Udvidelser ad K være en algebraisk legemesudvidelse, og lad v være en valuation på K. Med en udvidelse af v på K til en valuation w på menes en valuation på, hvis restriktion til K er v. Vi vil nu gennemgå, hvordan sådanne udvidelser opstår. Den væsentlige konklusion af dette afsnit er, at når K er et fuldstændigt legeme, er udvidelsen af valuationen til entydig og eksplicit, og er fuldstændig mht. denne udvidelse. Udvidelser af fuldstændige legemer Vi kunne her behandle arkimediske og ikke-arkimediske valuationer på lige fod, men eftersom vores fokus hviler på det ikke-arkimediske tilfælde, vil dette være vores udgangspunkt, og vi vil formulere resultaterne ud fra en eksponentiel valuation. Sætning ad K være et fuldstændigt legeme mht. valuationen v, og lad o være valuationsringen i K. ad K være en vilkårlig algebraisk udvidelse. Da findes en entydig udvidelse af v på K til den eksponentiale valuation w på. Hvis [ : K ] = n er endelig, er den givet ved w(α) = 1 n v( N K (α) ).

26 14 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER Bevis. Vi kan antage, at K er endelig af grad n, idet enhver algebraisk udvidelse er foreningen af endelige udvidelser. ad O være den heltallige afslutning af o i. Vi påstår, at denne er givet ved O = { α N K (α) o }. (1.12) Det følger direkte af egenskaber ved normen, at hvis α O, så er N K (α) o. Antag omvendt, at N K (α) o for α. ad minimalpolynomiet for α i K [X ] være givet ved m α (X ) = X d + a d 1 X d a 1 X + a 0. a 0 er produktet af de d rødder i m α, så N K (α) = ±a0 k for et ikke-negativt k. Det betyder, at a0 m o, hvorved a 0 o. Ifølge Kor kan vi da konkludere, at f o[x ], og dermed at α O. ad nu w være givet ved w(α) = 1 n v ( N K (α) ). Vi skal vise, at w opfylder (i) (iii) i Def Det er klart, at w(α) = α = 0, idet N K (α) α = 0. (ii) er ligeledes trivielt opfyldt, da w(αβ) = 1 n v ( N K (αβ) ) = 1 n v ( N K (α)n K (β) ) Vi mangler således at vise, at Antag, at w(α) w(β). Vi har da = 1 n v ( N K (α) ) + 1 n v ( N K (β) ) = w(α) + w(β). w(α + β) min{w(α), w(β)}. w(α + β) = w(α) + w ( 1 + β ), α hvor w(β/α) 0. Dette er ud fra konstruktion af O i (1.12) ensbetydende med, at β/α O. Da har vi naturligvis også 1 + β/α O, og dermed w(1 + β/α) 0. Dermed er ( w(α + β) = w(α) + w 1 + β ) w(α) = min{w(α), w(β)}, α og vi fik endda undervejs indset, at O er valuationsringen i.

27 1.3. UDVIDESER 15 Vi viser nu entydigheden af w. ad w være en ny udvidelse med valuationsring O, og lad P og P være maksimalidealet i hhv. O og O. ad α O O. Det kendetegner en valuationsring, α O medfører, at α 1 O, og da α O kan vi tilmed konkludere, at α 1 P. Vi viste ovenfor, at minimalpolynomiet m α (X ) for α over K, givet ved har koefficienter i o, hvorved m α (X ) = X d + a d 1 X d a 1 X + a 0, 1 = a 1 α 1 a 2 (α 1 ) 2 + a d (α 1 ) d. Men da α 1 P, skulle da 1 P, hvilket er umuligt. Vi kan konkludere, at O O, hvilket netop betyder, at w(α) 0 w(β) 0, der er en betingelse for, at w og w er ækvivalente. Bemærkning. Det kan ud fra en normeret vektorrumsbetragtning desuden vises, at er fuldstændigt mht. w. Se [Neu99] s Bemærkning. En stor del af teorien kan udledes direkte fra Hensels emma. Dette fører til begrebet Henselske legemer legemer for hvilke Hensels emma er opfyldt. Dette er en bredere klasse af legemer end de fuldstændige. Vi vælger dog ikke at formulere teorien, så disse omfattes, idet vi udelukkende vil interessere os for fuldstændiggørelser. Generelle algebraiske udvidelser Vi vil nu se på udvidelser af valuationer for vilkårlige legemer. Vi er stadig hovedsageligt interesserede i algebraiske tallegemer, som er globale legemer. Hovedsagen er, at Sætning 1.14 om entydig udvidelse af valuationer på fuldstændige (og altså lokale) legemer ikke holder her. Sætningen vil dog være afgørende for vores diskussion. ad K være et vilkårligt legeme og K en endelig udvidelse, og lad v være en ikke-arkimedisk 3 valuation på K. ad K v være fuldstændiggørelsen af K mht. v og K v en algebraisk afslutning af K v. Situationen er altså som på figur 1.1. v fortsættes til ˆv på K v (se (1.6)), og der er jvf. Sætning 1.14 en entydig udvidelse til v på K v. ad nu τ være K -indlejring K v. Da er restriktionen af v til τ w = v τ en udvidelse af v til w på. Fuldstændiggørelsen w af mht. til denne valuation er da en endelig udvidelse af K v, og den kanoniske fortsættelse af w 3 Igen kunne vi snildt inkludere arkimediske, men vi lader være bare for at holde øjet på bolden.

28 16 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER K v K Figur 1.1: Diagrammet illustrerer overgangen til fuldstændige legemer K v på til ŵ på w er da den entydige udvidelse (jvf. Sætning 1.14) af ˆv på K w til w. For hver automorfi σ i Galoisgruppen Gal(K v K v ) får vi ved kompositionen τ = σ τ en ny K -indlejring. Vi benytter terminologien, at indlejringerne τ og τ er konjugerede over K v. Følgende sætning beskriver samtlige muligheder for udvidelser af v: Sætning ad v være en valuation på legemet K, K en algebraisk legemsudvidelse, og lad K v og v være som ovenfor. Da gælder: (i) Enhver udvidelse w af v til opstår som en komposition for en K -indlejring τ : K v. w = v τ (ii) To udvidelser v τ og v τ er ens, hvis og kun hvis τ og τ er konjugerede over K v. Bevis. (i) ad w være en udvidelse af v til, og lad w være fuldstændiggørelsen af mht. w. Valuationen ˆv er da ifølge Sætn den entydige udvidelse af ˆv på K v til w. Vi vælger en K -indlejring τ : w K v. w er da nødvendigvis samme valuation som v τ Restriktionen af τ til er dermed en K -indlejring τ : K v, så w = v τ. (ii) ad τ og τ være konjugerede K -indlejringer. Dvs. τ = σ τ for et σ Gal(K v K ). Eftersom v er entydig, må vi have v = v σ og dermed v τ = v (σ τ) = v τ. ad nu omvendt τ og τ være to K -indlejringer K v, så v τ = v τ. Da er σ : τ τ, σ = τ τ 1

29 1.4. FORGRENING 17 en K -isomorfi. Da τ indeholder K, er τ tæt i τk v. Et element x τk v kan således repræsenteres som en grænse x = lim n τx n, hvor (x n ) er en følge i. Da v τ = v τ konvergerer følgen τ x n = στx n til et element i τ K v, som vi benævner ˆσx, i.e ˆσx = lim n στx n. Valget af -følge (x n ) er irrelevant for ˆσ, og vi ser dermed, at ˆσ er en isomorfi ˆσ : τk v τ K v, der er en fortsættelse af σ, og som fikserer K v. Det betyder, at vi kan fortsætte σ til en K v -automorfi ˆσ Gal(K v K v ), og vi ser dermed, at τ = ˆσ τ er konjugerede. Bemærkning. Hvis vi har K givet ved = K (α), hvor α er rod i et irreducibelt polynomium f (X ) K [X ], og faktoriseringen af f (X ) i irreducible polynomier i fuldstændiggørelsen K v er givet ved f (X ) = f 1 (X ) n1 f s (X ) n s, (1.13) da er der en 1 1-korrespondance mellem de s udvidelser w 1,..., w s af v til og de s faktorer f 1 (X ),..., f s (X ). K -indlejringerne er givet ved rødderne i f (X ), som ligger i K v : τ : K v, τ(α) = β. To K -indlejringer τ og τ er konjugerede over K v, netop når τ(α) og τ (α) er rødder i samme irreducible faktor f i (X ). Det skal nævnes, at eksponenterne n i i faktoriseringen (1.13) naturligvis alle er 1, når K er separabel. Konkret finder vi udvidelsen w i svarende til en faktor f i i (1.13) med roden α i ved w i = v τ i, hvor τ i : K v er indlejringen givet ved τ i (α) = α i, og τ i kan fortsættes til en isomorfi mellem fuldstændiggørelsen wi og K v (α). 1.4 Forgrening Vi vil nu overføre begreberne vedrørende forgrening af primidealer i legemsudvidelser til den valuationsteoretiske indgangsvinkel. Der finder ikke meget

30 18 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER banebrydende nyt sted, så vi vil være kortfattede. For dybere gennemgang, se [Neu99]. I første omgang ser vi på situationen, hvor K er et fuldstændigt legeme med den tilhørende diskrete valuation v og er en legemsudvidelse af grad n med den tilhørende valuation w, givet ved w = 1 n v N K jvf. Sætn Som sædvanlig betegner vi med o, p, π og κ hhv. O, P, Π og λ valuationsringen, maksimalidealet, et primelement og restklasselegemet i hhv. K og. Vi har da v(k ) w( ), og κ λ. Definition forgreningsindekset e w v for K defineres ved e w v = (w( ) : v(k )), og inertigraden f w v for K defineres ved f w v = [λ : κ]. Når v er underforstået af sammenhængen, og w entydigt afhænger deraf, kan vi med god samvittighed bruge notationen e K og f K i stedet, når det synes passende. Når alt er underforstået, vil nøjes med at skrive e og f. Vi har e = (w( ) : v(k )) = (w(π)z : v(π)z), 4 så vi ser sammenhængen v(π) = ew(π) og dermed, at π = uπ e, for et u O. Vi opnår den velkendte sammenhæng mellem primidealer i o og O og fortolkning af forgreningsindekset p = P e, og vi siger som sædvanlig, at P er uforgrenet i O, hvis e = 1. Vi vil nu vise den fundamentale identitet i valuationssammenhængen, hvor w v er entydig. Vi forudsætter, nu at K er separabel, og identiten siger da, at [ : K ] = e f. Dette vil følge umiddelbart af Prop nedenfor. For at vise den, får vi brug for Nakayamas emma, som vi for en god ordens skyld lige nævner her. 5 Nakayamas emma. ad A være en lokal ring, og lad m være maksimalidealet i A. ad M være et A-modul og N M et undermodul, så M/N er endeligt frembragt. Da er M = N, 4 v er ikke antaget normaliseret, og w er det pr. konstruktion ikke, hvis v er. 5 Se [Mil09] for et bevis.

31 1.4. FORGRENING 19 hvis M = N +mm. Når v er diskret, er w(1), w(π), w(π 2 ),..., w(π e 1 ) repræsentanter for hver sideklasse i w( )/v(k ). Vi har nu Proposition Hvis K er separabel, og ω 1,...,ω f O er repræsentanter for en basis for λ κ, da er elementerne ω j Π i, 1 j f, 0 i e 1 en basis for K. De danner endda en basis for O o. Bevis. Vi vil først vise lineær uafhængighed. ad e 1 i=0 j =1 Antag, at ikke alle a i j = 0. Da er f a i j ω j Π i = 0, a i j K. s i = f a i j ω j 0 j =1 for mindst et i. Vi dividerer i det tilfælde s i med en koefficient a i k, for hvilken v(a i k ) er minimal blandt alle koefficienter. Vi får dermed en linearkombination af ω 1,...,ω f med koefficienter i o, hvoraf (mindst) en er lig med 1. Det betyder, at s i /a i k 0 (mod P),så hvormed w(s i ) v(k ). Se nu på summen w(s i ) w(a i k ) = w(s i /a i k ) = 0, e 1 i=0 s i Π i. Vi påstår, at valuationen af to af summanderne, der er forskellige fra 0, må være ens. Hvis de alle var forskellige, ville vi nemlig have ( ) e 1 w s i Π i = min { w(s 0 Π 0 ),..., w(s e 1 Π e 1 ) }, i=0 hvilket kun kunne passe, hvis alle led var 0, idet summen er 0, og w(0) =. Valuationen af to af summanderne er altså ens, lad os sige w(s k Π k ) = w(s l Π l ). Men da er w(π k ) = w(π l ) + w(s l ) w(s k ),

32 20 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER og vi har set, at w(s l ), w(s k ) v(k ), når de er forskellige fra 0. Det betyder, vi da skulle have w(π k ) w(π l ) (mod v(k )), hvilket strider imod, at de netop repræsenterer hver sin sideklasse. Altså er ω j Π i lineært uafhængige over K. Vi betragter nu o-modulet Vi vil vise, at M = O. Vi sætter så vi har M givet ved e 1 M = N = For alle α O har vi, idet P = ΠO, i=0 j =1 f oω j Π i. t o f oω j, j =1 e 1 M = Π i N. i=0 α a 1 ω a f ω f (mod ΠO), da ω 1...ω f netop er repræsentanter for en basis for λ κ = O/P o/p. Vi kan således skrive O = N + ΠO. Denne beskrivelse er rekursiv, så vi får e 1 O = N + ΠN + ΠO = = Π i N + π e O = M +P e = M +po. Vi kan nu bruge Nakyamas emma, idet O er et endeligt frembragt o-modul, når K er separabel. Vi ser, at {ω j Π i } endda er en heltalsbasis. Nu følger direkte Proposition Når v er diskret, og K er separabel gælder [ : K ] = e f. I denne sammenhæng giver følgende definition da mening i=0

33 1.4. FORGRENING 21 Definition ad K være separabel og λ κ separabel. Da siger vi, at K er uforgrenet, hvis [ : K ] = [λ : κ] = f K, og totalt forgrenet, hvis [ : K ] = e K. Vi forlader nu den fuldstændige situation og beskriver ganske kort det generelle tilfælde. ad K være en endelig udvidelse og lad jvf. forrige afsnit w 1,..., w s være de s udvidelser af v i. Vi knytter nu til hvert w i et forgreningsindeks og en inertigrad, og vi opnår en fuldstændig pendant til den fundamentale identitet fra idealteori Proposition Når v er diskret, og K er separabel gælder [ : K ] = s e wi f wi. i=1 Hvis K er en endelig, separabel udvidelse af algebraiske tallegemer, har vi for hvert primideal p O K givet den p-adiske valuation på K, og sammenhængen bliver identisk med den sædvanlige fortolkning po = P e Pe s s, og vi har e = e 1 = = e s, når K er en Galoisudvidelse, hvorved vi kan formulere [ : K ] = se f. Differenten og diskriminanten Vi vil nu med en kort gennemgang indføre to størrelser, der er generaliseringer af bekendte begreber, nemlig differenten og diskriminanten. De styrer, hvorledes primidealer forgrenes i udvidelser af valuerede legemer. Teorien falder lidt uden for vores øjemed, så vi vil ikke gå i detaljer. Vi henviser til [Neu99]. K være en endelig, separabel udvidelse og o K et Dedekindområde og O den integrale afslutning. Vi har på givet sporafbildningen, ud fra hvilken vi kan definere O s duale O-modul, O, ved O = { x Tr K (x) o }. Dette er et brøkideal i. æg mærke til, at O O. Vi definerer nu

34 22 KAPITE 1. IKKE-ARKIMEDISKE VAUATIONER Definition Differenten af O o er givet ved O s inverse ideal D O o = O 1. Idet O O, ser vi, at D O o er et ideal i O. Størrelserne O og o vil i vores sammenhæng altid være underforstået af sammenhængen, og vi vil derfor tillade os at benævne differenten D K. Vi vil faktisk komme til at arbejde ud fra et udgangspunkt, der tillader en helt konkret, enkel beskrivelse af differenten. Definition ad x O, og lad f (x) = m x (X ) o[x ] være minimalpolynomiet for x. Vi definierer differenten af x, δ K (x) som { f (x) hvis = K [x], δ K (x) = 0 ellers. Hvis situationen er, så O er givet ved tilføjelsen af et primitivt til o, kan man vise, at differenten tillader følgende simple beskrivelse: Proposition Hvis O = o[x] for et x O, så er D K hovedidealet frembragt af δ K (x), dvs. D K = δ K (x). Bemærkning. Dette var faktisk den oprindelige definiton af Richard Dedekind. Det bliver da også i denne sammenhæng, vi kommer til at bruge begrebet. Vi introducerer en en velkendt størrelse, diskriminanten for O o. I denne sammenhæng er diskriminanten et ideal i o. For at skelne mellem denne og den klassiske diskriminant, der for en basis (α 1,...,α n ) for K er givet ved d K = d(α 1,...,α n ) = det((σ i α j )) 2, hvor σ i er de forskellige K -indlejringer, bruger man undertiden udtrykket den relative diskriminant kontra den klassiske absolutte dikriminant. Der vil næppe opstå forvirring her. Definition diskriminanten d O o er idealet frembragt af diskrimanterne d(α 1,...,α n ) for alle baser α 1,...,α n indeholdt i O. Igen vil O og o for vores vedkommende være underforstået, og vi bruger notationen d K i stedet. Normafbildningen giver nu anledning til følgende sammenhæng mellem differenten og diskriminanten:

35 1.4. FORGRENING 23 Sætning Der gælder forholdet mellem differensen og diskriminanten: d K = N K (D K ). Man kan nemt vise, at der for legemer K M gælder følgende transitivitet for D M K : D M K = D M D K. Dette sammenholdt med transitivitet af normafbildningen medfører følgende korollar: Korollar For legemer M K gælder d M K = d [M:] K N K (d M ). Man kan nu endelig vise følgende ikke helt trivielle sætning, der illustrerer differenten og diskriminantens betydning for forgrening: Sætning (i) Et primideal P i er forgrenet over K, hvis og kun hvis P D K. (ii) Et primideal p i K er forgrenet i, hvis og kun hvis p d K.

36

37 Kapitel 2 Galoisudvidelser 2.1 Galoisteori for valuationer Vi vil nu studere sitautionen, hvor K en endelig Galoisudvidelse med G = Gal( K ). Man kan med lidt arbejde også få teorien til at omfatte uendelige Galoisudvidelser. Det vil vi dog undlade. Dette og næste afsnit følger især [Neu99]. ad v være en valuation på K. Vi definerer nu W v = {w 1,..., w s } som mængden af udvidelser af v til. Som vi så i forrige kapitel, får vi for en udvidelse w W v igen en udvidelse af v ved kompositionen w σ for hvert σ G. Vi har dermed en virkning af G på mængden W v. Proposition 2.1. Virkningen af G på W v er transitiv. Dvs. alle udvidelser i W v er indbyrdes konjugerede. Bevis. ad w og w være forskellige udvidelser i W v, og antag, at de ikke er konjugerede. Det betyder, at { w σ σ G } { w σ σ G } =. Vi ville da, idet w og w er ikke-ækvivalente, kunne finde et x, så w(σ(x)) > 0 w (σ(x)) < 0 for alle σ G. Sæt nu α = N K (x) = σ G σ(x). Så er også w(α) > 0, og w (α) < 0, men dermed skulle vi have v(α) > 0 og samtidig v(α) < 0, hvilket er en modstrid. 25

38 26 KAPITE 2. GAOISUDVIDESER Dekompositionsgruppen og inertigruppen Vi vil nu introducere dekompositionsgruppen og inertigruppen i G. Det er for en stor del igen en omformulering af de velkendte størrelser fra idealteori, så vi gør det kort. Definition 2.2. For hvert w W v defineres dekompositionsgruppen af w ved D w ( K ) = { σ G w σ = w }. Dekompositionsgruppen kan defineres, uanset om valuationen er arkimedisk eller ikke-arkimedisk. For det ikke-arkimediske tilfælde kan vi yderligere definere en række væsentlige undergrupper. Den første i rækken er inertigruppen, som bliver introduceret her. De øvrige er emnet for næste afsnit. Definition 2.3. For hvert w W v defineres inertigruppen af w ved I w ( K ) = { σ G w w(σx x) > 0 for alle x O }. Når K er underforstået, vil vi blot skrive D w og I w. Proposition 2.4. For alle τ G gælder D w σ = τ 1 D w τ, I w σ = τ 1 I w τ. Med andre ord: Hvis w og w er konjugerede valuationer, da er grupperne D w og D w hhv. I w og I w konjugerede. Bevis. ad w, w W v. Der findes da jvf. Prop. 2.1 et τ G, så w = w τ. ad σ D w og sæt σ = τ 1 στ G. For et vilkårligt x har vi w σ (x) = w (σ (x)) = w (τ 1 στ(x)) = w τ 1 (στ(x)) = w(στ(x)). Da σ D w, er w(στ(x)) = w(τ(x)), og da w(τ(x)) = w (x), har vi dermed w σ (x) = w (x), for alle x, hvilket betyder, at σ = τ 1 στ D w = D w τ. Vi har således σ D w τ 1 στ D w τ, og vi konkluderer, at τ 1 D w τ = D w σ. ad nu σ I w med σ som før. Da er w (σ (x) (x)) = w (τ 1 στ(x) (x)) = w (τ 1 (στ(x) τ(x))) = w(στ(x) τ(x)).

39 2.1. GAOISTEORI FOR VAUATIONER 27 Da σ I w, har vi w(στ(x) τ(x)) > 0. Dermed er w (σ (x) (x)) > 0, og vi konkluderer, at σ I w τ 1 στ I w, og dermed at τ 1 I w τ = I w τ. Når vi ser på udvidelsen af fuldstændiggørelsen w K w, er udvidelsen af valuationen entydig, så dekompositionsgruppen er blot selve Galoisgruppen Gal( w K w ). Inertigruppen vil vi betegne med I ( w K w ). Vi vil for en kort bemærkning anvende den multiplikative valuation w i stedet for w, da den passer sig bedre til det analyseargument, vi undtagelsesvis vil bruge. emma 2.5. D w ( K ) består af netop de automorfier i G, der er kontinuerte mht. w. Bevis. ad x w < 1. Da er x n en nulfølge mht. w. Hvis σ er kontiuert, er da σ(x n ) = σ(x) n en nulfølge, hvilket betyder, at σ(x) w = x w σ < 1. Vi har altså, at hvis σ er kontinuert, så gælder x w < 1 = x w σ < 1. Det betyder, at w og w σ er ækvivalente og dermed ens, da w K = w σ K. Altså er σ D w. emmaet medfører nu, at ethvert σ D w ( K ) kan fortsættes til en kontinuert K v -automorfi ˆσ på w, idet er tæt i w. Det følger umiddelbart af definitionen af inertigruppen, at ˆσ I ( w K w ), hvis σ I w ( K ), og vi har følgende Proposition 2.6. Der gælder D w ( K ) Gal( w K v ), og I w ( K ) I ( w K v ). Vi ved fra klassisk idealteori, at udvidelsen af restklasselegemerne λ κ er normal, og at følgen 1 I w D w Gal(λ κ) 1 er eksakt. Vi kan dermed i henhold til den fundamentale identitet opskrive formlerne formlerne #G = se f, #D w = e f, #I w = e. (2.1)

40 28 KAPITE 2. GAOISUDVIDESER 2.2 Højere forgreningsgrupper Vi skal nu studere en række vigtige undergrupper i Galoisgruppen for en endelig Galoisudvidelse K. Vi vil i dette afsnit arbejde ud fra antagelsen, at der for en diskret, normaliseret valuation v på K findes en entydig udvidelse til en valuation w på. Vi vil med v = ew betegne normaliseringen af w. ad O, P og λ betegne hhv. valuationsringen, maksimalidealet og restklasselegemet for forbundet med v, og vi vil antage, at udvidelsen λ κ af er separabel. Disse betingelser er opfyldt, når vi arbejder med udvidelser af lokale legemer. Definition 2.7. ad G være Galoisgruppen for K. For ethvert reelt tal u 1 definerer vi den s te højere forgreningsgruppe ved G s ( K ) = { σ G v (σa a) s + 1 for alle a O }. Da K i reglen vil være underforstået af Galoisgruppen G, vil vi blot skrive G s. Vi ser umiddelbart, at G 1 = G, G 0 = I. Vi har v ( τ 1 στa a ) = v ( τ 1 (στa τa) ) = v (σ(τa) τa), (2.2) så idet τo = O, ser vi, at de højere forgreningsgrupper danner en filtrering af normale undergrupper G = G 1 I = G 0 G 1 G 2..., og vi har G s = {1} for s tilstrækkeligt stor. Vi kan definere en afbildning mellem kvotienterne i filtreringen og kvotienterne i filtreringen af højere enhedsgrupper U (i ) i. Vi har Proposition 2.8. ad π O være et primelement i. Afbildningen θ s : G s /G s+1 U (s) /U (s+1), θ s (σ) = σπ, π er en injektiv homomorfi for alle heltal s 1, og denne homomorfi er uafhængig af valget af π. Bevis. Vi har for det første, at hvis σ G s, så er ( ) ( ) σπ σπ v 1 = v 1 + v (π ) π π = v (σπ π ) s + 1,

41 2.2. HØJERE FORGRENINGSGRUPPER 29 hvilket betyder, at v (σπ /π 1) s, idet v (π ) = 1, så σπ /π U (s). For et vilkårligt andet valg af primelement, π, har vi π = uπ, for et u O. Men da v (u) = 0, har vi ( σu ) ( σu ) v (σu u) = v u 1 + v (u) = v u 1 s + 1, så σ(u)/u U (s+1), hvorved π π (mod U (s+1) ). Altså er valget af primelement underordnet. θ s er en homomorfi, idet vi har θ s (στ) = στ(π ) π = σ(π ) π τ(π ) π στ(π ) π = σ(π ) τ(π ) στ(π ) π π σ(π ) π π τ(π ) σ(π ) π τ(π ) = σ(π ) τ(π ) σ(τ(π )/π ), π π τ(π )/π og vi har lige set, at u = τ(π )/π O, og at σ(u)/u U (s+1), så θ s (στ) σ(π ) π τ(π ) π (mod U (s+1) ). Hvis θ s (σ) 1 (mod U (s+1) ), betyder det, at ( ) σ(π ) v 1 s + 1, π hvilket medfører, at v (σ(π ) π ) + v (π ) s + 1. Det betyder, at σ G s+1, da v (π ) = 0. Altså er θ s injektiv. Vi skal nu undersøge, hvad der sker ved forgreningsgrupperne, når vi ser på del-galoisudvidelser i K. Vi får brug for følgende resultat: Proposition 2.9. Der eksisterer et primitivt element for ringudvidelsen O o, dvs. der findes et element x O, så O = o[x]. Bevis. Da λ κ er separabel, har vi λ = κ[x] for et x λ med minimalpolynomium m x (X ) = g (X ) κ[x ]. ad x O være en repræsentant for x, og lad g (X ) o[x ] være et løft af g (X ).

42 30 KAPITE 2. GAOISUDVIDESER Vi har da umiddelbart, v (f (x)) 1, idet g (x) = 0 g (x) P. Vi påstår nu, at vi yderligere kan antage, at repræsentanten x er valgt, så v (f (x)) = 1, dvs. g (x) = Π, hvor Π er et primelement i. Hvis det modsatte skulle være tilfældet, dvs. v (f (x)) 2, kunne vi tage et vilkårligt primelement Π O og i stedet vælge x + Π som repræsentant. Vi har ud fra Taylor-rækkeudvidelsen for g (X ) omkring x, g (X ) = g (x) + g (x)(x x) g (x)(x x) 2 +, at g (x + Π ) = g (x) + g (x)π + cπ 2, hvor c o. Vi har altså v (cπ 2 ) 2 og v (g (x)) 2. Men da g (x) 0, idet g (X ) er separabel, har vi v (g (x)) = 0, og dermed v (g (x)π ) = 1, så v (g (x + Π )) = min{v (g (x)) 2, v (g (x)π ), v (cπ 2 )} = min{2,1,2} = 1. Ifølge 1.17 danner x j Π i, 1 j f,0 i e 1 en basis for O over o, så, da Π i = g (x) i, har vi O = o[x]. ad jvf. ovenstående proposition O = o[x]. Vi definerer nu i K : G Z { }, i K (σ) = v (σx x), (2.3) i K afhænger tydeligvis ikke af valget af x. Denne funktion er ganske essentiel for resten af vores forløb. Vi vil undertiden benævne den i G for Galoisgruppen i stedet for i K for legemsudvidelsen. Dette skulle ikke kunne forvirre. Vi kan nu udtrykke de højere forgreningsgrupper G s ved i K : G s = { σ G i K (σ) s + 1 }. (2.4) Proposition ad være et mellemlegeme i K, og sæt H = Gal( ). Da er H s = G s H.