BETONKONSTRUKTIONER III

Transkript

1

2 ( - ( C ')-.0 TROELS BRØNDUM-NELSEN BETONKONSTRUKTONER AFDELNGEN FOR BÆRENDE KONSTRUKTONER DANMARKS TEKNSKE HØJSKOLE 1970

3 FORORD Denne Bog udgør et Supplement til mine Lærebøger "Betonkonstruktioner ", 1969 (BK), "Betonkonstruktioner ", 1970 (BK), "Spændbeton", 1969 (SB) og til Lektor E. Skettrups og min Eksempelsmling "Spændbeton-Beregninger", 1970 (SBB). Kpitler, Afsnit, Ligninger, Figurer og Tleksempler er nummereret i Fortsættelse f BK - BK. Formlet med Bogen hr først og fremmest været t belyse de Problemer, der knytter sig til delvis forspændte Betonkonstruktioner og Betonkonstruktioner med kombineret Armering, d. v. s. en Kombintion f forspændt og ikke-forspændt Armering. Sdnne Konstruktioner kn forventes t komme til t finde større Anvendelse i Fremtiden. De væsentligste Problemer vedrører s d nne Konstruktioners Forhold med Hensyn til R evnelst, Revnevidder, Deformtioner og Udmttelsespvirkning. Bogstvsymbolfortegnelse, Emne fortegnel se over Littertur, Forftterindex og lfbetisk Emneliste dækker bde BK, BK og nærværende Bog (BK), sledes t Opsøgning vi e n sdn ndex er begrænset til BK. D,. techn. H. Krenchel, Lektorerne P. Lnge-Hnsen og E. Skettrup og Civilingeniørerne H. C. Sørensen og S. R o stm hr gennemlæst Mnuskriptet eller Dele derf og bidrget med mnge Forslg til Forbedringer. Figurerne er tegne t f ngeniørssistent B. Leisten og Mnuskriptet renskrevet f Frk. Ebb Bengrd. Københvn, September ø Troels Brøndum-Nielsen 1970 Troels Brøndum-Nielsen POL VTEKN1 SK TRYKKER'

4 ~ NDHOLDS FOR TEGNELSE Forord Bogstvsymboler 17. Delvis Forspænding ndledning Kombineret Armering For spændings snitkræfter og Egenspændinger For spændingsgrd Dekompressionstilstnd Kls sifiktion f Betonkonstruktioner Sttisk ubestemte Konstruktioner Brugsstdiet Brudstdiet Lineær Trnsformtion Nominel Brudlst Tleksempel Nr Revnelst Tleksempel Nr Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnelsten Tleksempel Nr Revnevidder Tleksempel Nr Tleksempel Nr Forspændingsgrdens ndflydelse p Revnevidden Tleksempel Nr T - og -Profiler Deformtioner 61 Deformtioner før Revnednnelsen Deformtioner efter Revnednnelsen 62 Tleksempel Nr Forspændingsgrdens ndflydelse p Deforrntionerne Tleksempel Nr Forskydning Forskydningsberegning

5 ii ndholdsfortegnelse Hi Optiml Bøj levinkel Udmttelsespvirkning Beregning f Spændingsvrition Udmttelses styrke for Armering og Fornkringer Tleksempel Nr Littertur.. 0 Emnefortegnelse over Littertur Forftterindex Alfbetisk Emneliste Appendiks Nr. 7 Appendiks Nr. 8 Appendiks Nr. 9., ".... "... ff..,... " BOGSTAVSYMBOLER Det er tilstræbt t bringe de nvendte Bogstvsymboler i størst mulig Overensstemmelse med det Forslg til interntionle Bogstvsymboler, som er udrbejdet f den europæiske Betonkomite CEB (Comite Europeen du Beton). Spændinger betegnet er regnes positive som Trykspændinger. Spændinger betegnet et regnes positive som Trækspændinger. Tøjninger betegnet E' regnes positive som Forkortelser. Tøjninger betegnet E regnes positive som Forlængelser. øvrigt nvendes hyppigt følgende ndices etc.: å betegner Armering b betegner Beton k som ndex til et betegner krkteristisk Brudspænding m betegner Middelværdi u betegner Brudværdi et betegner tilldelig Spænding et~' betegner nominel Brudspænding 6. som Præfiks betegner Tilvækst Symbol Betydning Fig. Ligning Nr. Side A A' A p At A 1 Tværsnitsreler f Træk- og Trykrmering Tværsnitsrel f Spændrmering Tværsnitsrel f Forskydningsrmeringsstng b h b o o:~, et A 1 Tværsnitsrel f ikkeforspændt Armering

6 iv Bogstvsymboler Bogstvsymboler v Symbol Betydning Fig. Ligning Side Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Nr. B Tvær snitsrel f Beton Trnsformeret Betonrel B o Det største Betontværsnit, hvis Tyngdepunkt flder smmen med Trækrmeringens Tyngdepunkt F F Arel i Lseglidningsdigrm Arelet f Normlsnit i hult, lukket Tvær snit inden for Midtlinien f Profilets Vægge F Tværsnitsrel f Rør da, db, db nfinitesimle Elementer t f A, B og df nfini te simlt Arelele- ment io Bi' Bz C Areler, der benyttes ved Beregning f Fundmenter Cementmængde pr. m Beton E Stls Elsti:dtetskoeffi E' eient for Træk og Tryk H Krft ved Pldehjørner nertimoment om hen- 7,34, g holdsvis Tyngdepunkts kse, g -Akse og 11-Akse t nertimoment om vndret x Tyngdepunktskse (x-akse) E p E 1 E' b Spændrmeringens Els ticitetskoefficient 28 Den ikke-forspændte Armerings Elsticitetskoef- 28 ficient Betonens Elstieitetskoefficient for Tryk Det trnsformerede Be tontværsnits nertimo- n ment henholdsvis før og efter Revnednnelsen Det urevnede Betontværsnits trnsformerede nertimoment, idet der tges Hensyn til Betonens Krybning E' bo Ebt Elsticitetskoefficient svrende til Arbejdsliniens Tngent i Begyndelsespunktet Formel Elstieitetskoefficient ved Beregning f totle Tøjninger (ine!. Krybning) K Kmstl 29 K Krumning f udbøjet Søjle M Moment 75

7 vi Bogstvsymboler Bogstvsymboler vii Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. M Armeringskrftens (N r 77 eller N~ Moment M med Hensyn til Under- r 80 sidermering ~ M c Tillægsmoment ved Søjleberegning hidrørende fr U dbøjningen r 175 Ml M - M r N Træk- og Tryknorml r 55 N kræfter r 50 Betonnormlkrftens (Ni) Moment med Hensyn til Undersiderme- ring r 80 N Kritisk Søjletryk r 170 Ni N pon + N N,N~,Nb Normlkræfter i Arme- r 80 ring og Beton Mt Vridning s bær eevne f rmeret Tværsnit N p Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen ~ M tb Vridnings bæreevne f Armeringsnettet med Udnytteise f Betonlmellerne som TrykdigQnler Vridningsbæreevne f Betonen N pc N po Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen Fiktiv Krft, som pst Tvær snittet bringer dette i Dekompressionstilstnden M Den til to T == O svrende Værdi f Mt N pon Normlkomposnten f N po M~ M n M mx M r Moment om s- og 11- Akse Foreskrevet Mksimlmoment r r r Trækkrft i Spændrme- ring ved Fornkring hen holdsvis før og efter Lseglidning N o N 1 N 1 Den Værdi f Bøjnings- momentet, ved hvilken der fremkldes Revner i Bjælkens Trækside Resultnten f Spændingerne i den ikke-forspænd te Armering N 2 Værdien f N i Punktet s = s o M r Revnemoment N Armeringskrftens Reduktion ved Lseglidning

8 viii Bogstvsymboler Bogstvsymboler ix Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. N Tryknormlkrft i Beton b V Bøjlevolumen pr. Længdeenhed f Bjælke N Resultnt f Betontrykbo spændinger N* Nominel Brudlst (centrlt Tryk) ~, q, For skydning skræfter pr. Længdeenhed W t W tf Tvær snittets trnsformere de Modstndsmoment, idet der tges Hensyn til Belstningens Vrighed Tværsnittets trnsformerede Modstndsmoment, idet der tges Hensyn til Betonens Krybning R Rundjern 28 y For skydning skrf t hidrøp rende fr Forspændingen Betontvær snittets sttiske S Moment om Bjælkeover knt Konstnt Sttisk Moment om x-akse f den Del f Tværsnittet, sp der ligger under en vndx ret Linie gennem det betr gtede Punkt Momentcentrums Afstnd fr Trækrmering Rektngulært Tvær snits stør ste Sidelinie T Middeltempertur T Tentor stl 33 '\ Nødvendigt Armeringstværsnitsrel pr. Længdeenhed T Forskydningskrft T For skydning skrft-andel optget f henholdsvis 153 Tb Armering og Beton Armering s bøjle s største Sidelængde, mlt mel- 1 lem Bøjlermeringens Tyngdepunktslinier b Bredde f Betontværsnit To V Den til M = O svrende Værdi f ~orskydnings b Ri b befstnd krft b Trykflngebredde Vndmængde pr. m 3 Be ton b Rektngulært Tvær snits mindste Sidelinie

9 ~ x Bogstvsymboler Bogstvsymboler xi Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. b Kropbredde e Normlkrfts Excentricio tet i Forhold til Tvær b Ribbebredde o b 1 Armeringsbøjles mindste Sidelængde, mlt mellem BØjlermeringens Tyngdepunktslinier snittets Midte e 1 e - h p p Resulterende Betontrykspændings Momentrm i ~ Forhold til Under sideb, b Flngebredde i T-Bjælke rmering 80 b Effektiv Trykflngebredde e c c, 1 "2' c 3 Konstnter c Betondæklg c 1 J:<b t Tykkelse f Betondæklg Armeringens Excentricic teter i Forhold til det e (e cp & ed) trnsformerede Tvær snits Øvre Kernepunkt ecn ' e cn e p Normlkrftens Excentricitet i Forhold til det trnsformerede Tvær snits øvre Kernepunkt For spænding skrftens Excentricitet i Forhold til det trnsformerede Betonrels Tyngdepunkt d Træk- og Trykrmerings Forspændingskrftens Exe centricitet i Forhold til d' Afstnde fr Tværsnittets 7. 3;! Knter pc det trnsformerede Tværsnits Øvre Kernepunkt d Fiktiv Tykkelse f Betonm tværsnit,m Cl.e N p Normlkrfts Excentrici- e tet i Forhold til Under side rmering f Reltiv Fugtighed N ormlkr fts Excentrici- f Nedbøjning l 23 e tet i Forhold til Tyngde punktsksen Hvilende, ensformigt g fordelt Belstning pr. 206 Arelenhed

10 xii Bogstvsymboler Bogstvsymbolel' xiii Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. h Armeringens Nyttehøjde h' Afstnden mellem Overog Under sidermering ~O Bøjlelængde for Normlbøjler h m Den smlede Armerings Nyttehøjde h Flngetykkelse i T-Bjælke o 117 Flytning f Spændrme- 661 ringen ved Fornkringen (Lseglidning) h o Mindste Vægtykkelse for lukket, hult Tvær snit d Stødlængde Revnefstnd Spændrmeringens Nytte- h øjde h p x' l Y Rektngulært Pldefelts Spændvidder \ Totlhøjde f Betontværsnit mx' m Pldes Bøjningsmomen Y ter pl'. Længdeenhed h 1 Den ikke-forspændte Armering s Nyttehøj de m xy ' m yx P l d es Vl'idn i ngsmomenter pr. L ængd eenh ed h hi - h P m 45 mxo ' m yo mi' Dz Enhedsmoment-Konstn ter Det trnsformerede Be- ~, m 4 i tontvær snits mindste nertirdius k Friktionskonstnt E n 2E 45 p E' b k k + f-l! s s 44 l Spændvidde 56 ndex, der l ngiver fr opbøjet Bidrg Længde rme- ring 157 l Fri Søjlelængde E 1 ni 45 E- m b Trykspænding i Forbinp delse med krum Arme- 194 ring p Trækkrft pr. Længdeenhed i T - Bjælke - Flnge l L æ ngden f Armeringsstng, der nvende s pr. Bøjle

11 xiv Bogstvsymboler Bogstvsymboler xv Symbol Betydning Fig. Ligning Side Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Nr. p Belstning pr. Arel enh e d t Bøjlefstnd Pn D en nominelle Brudværdi for Pldes Bæreevne 23 t Forskydningskrft pr. L ængdeenhed Pi Mksiml og Minimlværdi t o Given Værdi f t n P2 f P t, o ti Bøjlefstnde Bevægelig, ensformigt q fordelt Belstning pr Arelenhed 1{ Tiden i Døgn siden Bel s tningens P fø rels e r Krumningsrdius r Afs tnd fr Punkt O til Kurveelement ds ri 1'2 Rektione r p r. L æ n gd e- 1'3 1'4 enhed f Plder nd s Afstnden mellem Bjælke- v' overknt og den vndrette Tyngdepunktskse s ndex, der ngi ver Bidrg fr Bøjler 157 Kurvelængde mlt lngs Spændrmeringen ds Kurveelement s O Kur vel ængden f den D e l f Spændrmeringen, som pvirke s f Lseglidningen t r 6 t Betonens A lder (Døgn) p Belstning s tidspunk '1 tet Ant l Døgn m e d Midde l- temp e r tur T Z w Revnevidde w Revn evidden for \) = O 55 o x x Nulliniens Afstnd fr Bjælkeoverknt Afs tnd fr Bjælkeunderstøtning t Betonens Alder i Døgn Højde f Betontrykspæny dingszonen ved ensformig g 67 t Afstnd mellem Forskydningsr merings stænger Spænding sforde ling 134 t Afstnd mellem Tværr meringsstænger y Afs tnd fr vndret T yngd epunktskse

12 - xvi Bogstvsymboler Bogstvsymboler xvii Symbol Betydning Fig. Ligning Side Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr. Nr. YN For spændingskrftens 46 Excentricitet Ll."N Ændring f Y N 46 z Afstnd mellem N og Nb Udtryk for Krybnings og o.f Svinds Afhængighed f Betontvær snittets Dimeno.r sioner Fktol', der krkterise- 42. rer Spændrmeringens p Overfldeform z p z1 Momentrm (ved Brud) Fktor, der krkterisefor Spændrmering rer den ikke-for spændte Armerings Overfldeform Momentrm (ved Brud) for ikke~forspændt Ar~ x mering f3 li ø Jerndimeter ø Tværrmering ens Dim e~ 188 t e r ø Spændrmeringens nomi.. p n elle Dimeter ø 1 Den ikke~forspændte Ar~ merings nominelle Di ~ meter Betonens Vrmeudvidel- s e skoefficient o.. Reduktionsfktor for Betontrykspænding Vinkel mellem Forskyd. ningsrmering og Tyng depunkts ks e Fktor, der krkterise. rer Armeringens Over- l 68 fldeform Udtryk for Krybnings og f3 f Svinds Afhængighed f V nd ~ C enent- For holde t f3 r 13 o 'i 'i 'i n~cp(jnicp ) rr cr b Prtilkoefficient 39 p rtilko efficient for Ar~ mering Prtilkoefficient for Be~ 'ib ton svrende til dynmisk Belstning Prtilkoefficient for Be~ 'ibd ton svrende til dynmisk Belstning 'ig Prtilkoefficient for hvi lende Belstning

13 xviii Bogs t vsymbol e r Bogstvsymboler ixx Symbol Betydni ng Fig. Ligning Side Nr. Y q Prtilkoefficient for bevægelig Belstning 5. 2 l 39 Yi Supplerende Prti lkoef l 44 Yo ficienter l 42 6 Vr itionskoefficient 5.3 l 40 6 d' Symbol Betydning F i g. Ligning Side Nr. E' b Betonens Tøjning regnet positiv som Forkortelse l 12 E' Krybningstøjning regnet l 19 f positiv som Forkortelse E' Svindtøjning regnet posi l 14 r tiv Forkortelse som Resterende Svindtøjning E' rr r egnet positi v som For l 17 kortelse E Tøjning E' Svindtøjning for urmeret ro Beton Armeringens Tøjning reg net positiv som Forlæn l 27 gel se E E' ro Uhindret, totl Svindtøjning 27 efter Betonens Afbinding Arm eringen s T øjning r eg - net po sitiv s om For kor - l 80 telse E E Mksiml Armeringstøj -, mx n ing E (T >~ 1 o E E Tøjning i Spændrmering, p nr den omgivende Be- ton er spændingsløs l 7'l 21 Uhindret, r e sterende E' Svindtøjning efter Etble - 27 rp ring f For bindel s e mellem Spændrmering og Beton E' bu Tvær snittet s mksi ml e Værdi f Eh l 68 Armeringens T øjningstilvækst ud over den Tøj ning, der svrer til, t &; Betonspændingen e r lig med Nul E Q" ~~ po 2E E E 1 Den ikke-forspændte Armerings Tøjning regnet posi tiv som For længelse 23 6.E E - E p p t;, Krybni ngens Afhængi gh ed f Betonen s Al der t;, Fornkringsfktoren l 19 l 185

14 xx Bogstvsymboler Bogstvsymboler xxi Symbol Betydning Fig. Ligning Side Nr.!; 1') 1') Symbol Betydni ng Fig. Ligning Side Nr t f31') Empirisk Konstnt i De- fl formtions-formel Friktionskoefficien t fl Tlfktor, der fhænger f Betonstyrken ~z (3 - ~) 6 (1 - f Ordint i ;-1') Koordint system v poisson' s Forhold ') A 0-* (il ~ b z 1') At (T~( Ol ~ Fktor, der benytte s ved b e Beregning f Fundmen ter Armering sforholdet Ol o 1; For spænding sgrd At Ol to b t sin o Det fuldstændigt for spænd- {ti te Tværsnits Forspændings- 40 grds nedre Grænse 11 Den normerede Vrible for Guss' Fordelingslov ') (1 - (3) Fktor, som benytte s ved Bestemmelse f t Abscisse i ;-1') Koordint ; system P Forholdet mellem Mo- ; mentet fr Lngtidslst og Totlmomentet l 176 f Udtryk for Tidsforløb Svind og Krybning Konstnt i Formel for do b beltspændte P l der h o p ~O Spændrmeringens Krum P ningsrdius A Forkortelses symbol

15 xxii Bogstvsymboler Bogstvsymboler xxiii Symbol Betydning F ig. Ligning Side Symbol Betydning F ig. Ligni ng Side Nr. Nr. P (T:':~ Konstnt vedrørende Plders Nedbøjni ng Nominel Brudspændi ng 11. i9 23 r 40 Den til o-bp ~g \p sv - rende Spændmg l Spænd- rmeringen o- pp i ft Armeringsspænding (regne t positiv som T ræk) 3. i.1 r 27 o- ppo Spændingen i Spænd~me- ringen i DekompresslOns- tilstnden i ft ft, mx,min (T1.~ Øvre og nedre Værdi for ft i r 36 Nominel T ræk- og Tryk brudspænding r for 4 0 Arme- ring 5. 6 r 40 o-ip er ~~ Nominel Spænding (ved o-~1 Brudmomentet) i ikke - forspændt Armering Spænding i Armeringen ;,. (io) svrende til E = i O 0/ (evt. r ndre T 'lværdier) 86 Spændingen i den ikke - ft -1po for s pæ ndte Arme ring i D ekompre s s ions tils t nde n -ft Tilldelig Armerings _ spænding r ft - (J' pp ppo pp Den til ft bp ~g T?p sv.- rende Spændmg l den lkke for spændte Armering 17. ' ;,.k Krkteristisk Træk- og 5. 5 r 40 ft' k Tryksty r ke fo r Armeri ng 5. 6 r o- i p ft 1po - ft 1p ft Middelvær di f Træk- og Trykstyrke for Armeri ng m ft' ft m o N o p: r 34 i ft" o U d sving s styrken for Ar - mering r 36 0-* Nominel Spænding (ved p Brudmoment) i Spændr i 6 mering <T'b Betontrykspænding r 9 <T'b,mx Mksiml og miniml Betontrykspænding ved Ud- 0-' b, min m ttelse spvirkning r 10 <T'b2 Betontrykspænding svrende til P r 165 ft'i;, cr'b:' Nominel T r æk- og Trykbrudspænding for Beton 5. 7 r 41 - Tilldelig Betontrykspæn - ft' b ding r 62

16 - - ~-~ xxiv Bogstvsymboler Bogstvsymboler xxv Symbol Betydning Fig. Ligning Nr. Side Symbol Betydning Fig. Ligning Nr. Side Acr'b Spring i Betonspændingen (Tbk Krkteristisk Træk- og 5. 8 "'bk Trykstyrke for Beton 5. 7 (Tbm (Tbp Middelværdi f Betonens T r æk brudspænding Normlspænding i Betonen hidrørende fr For spænding en og Betonens eventuelle Svind U- x ' (Ty cr' * o CTo,2 N ormlspændinger i to p hinnden vinkelrette Snit Betonens Middeltrykspænding i Normlsnittet fremkldt f Forspændingen Armeringsspænding svrende til o, 2 % blivende Forlængelse Hovedspændinger (Tbr cr'br Betontrækstyrke ( Bøjningstrækstyrke) Betontrykstyrke (Cylinderstyrke) cr'br, 28 Cylinderstyrken efter Døgn T For skydning s spænding For skydnings spænding i Beton Forskydningsspænding i Betonen hidrørende fr Forspændingen og Betonens eventuelle Svind (Tb1 (Ti Hoved spænding i Beton For skydnings spændinger 19 CT b2 -(T2 Hovedspænding i Beton Forskydningsspænding optget f Betonen cr'. Jm Middelcylinderstyrke efter j Døgn Forskydningsspænding i fste Punkter CT m Middelværdi f Styrke (TR Krkteristisk Styrke Vinklen mellem Hovedsnittene og Snittene med Spændingerne CT og (Ty X );( t N ominel Spænding i skydningsrmering For A bh <p' A! bh

17 xxvi Bogstvsymboler ndledning 17. DELVS FORSPÆNDNG Symbol Betydning Fig. Ligning Nr. Side BK, Kpitel 14 er gjort Rede for nogle Forhold vedrørende delvis Forspænding. nærværende Kpitel gives en supplerende Rede Summen f de (numeriske) Vinkler, som Spændrme- 'P ringen er krummet m e l- len1 Opspændingspunktet og det betrgtede Punkt gørelse for de væsentligste Problemer, der knytter sig til delvis forspændte Betonkonstruktioner. 'Po Udtryk for Krybnings Afhængighed f den reltiv e Fugtighed NDLEDNNG Urmerede Betonkonstruktioner, rmerede Betonkonstruktioner U dtryk for Svindets Af- hængighed f d e n reltiv e Fugtighed X ljj 2h N --2l'. 3M (r eltiv For spænding) uden Forspænding ("Jernbeton"), delvis forspændte Betonkonstruktioner og fuldstændigt forspændte Betonkonstruktioner ("Spændbeton") er en Række mere eller mindre specielle Typer f Betonkonstruktioner. Der er jævne Overgnge mellem disse forskellige Konstruktionsformer, og de bør betrgtes som Dele f en Helhe d under Fællesbetegnelsen Betonkonstruktioner. Forholdet mellem nø dven- d i g Bøjlermering smængde med Bøjlevinkel og Bøjlevinkel 90 ljj t For delvis forspændte Betonkonstruktioner m Revner ntg es t optræd e under Bru gsl st. D e tte medfører, t Superpositionsloven ikke kn nvendes ved Spændingsberegning i Brugsstdi et (som f. Eks. for fuldstændigt forspændte Konstruktioner), fordi Nulliniedybden x og dermed det effektive Tværsnit vrierer med Belstningen. denne Henseende dskiller delvis for spændt Beton sig ikke principielt fr rmeret, ikke-forspændt Beton. Fordele og Ulemper ved Anvendelse f delvis Forspænding er omtlt i BK, Afsnit Her skl endnu nævnes et Pr Forhold, som kn være f Betydning. Ved Lngtidsbelstning f delvis forspændte Betonkonstruktioner er Trykspændingerne i den Beton, som omgiver Spændrmeringen, ofte mindre end ved fuldstændigt forspændte Betonkonstruktionel'. Dette medfører, t Krybningen mindskes, og derved opns en fordelgtig Reduktion f Spændingstbet i Spændrmeringen. Betontrykspændinger fremkldt f For spændingen kn være dimensionsbeste mmende for Betontværsnittet. Opspændingssitutionen er her lmindeligvis fgørende, idet denne normlt svrer til bde minimlt Spændingstb og Minimum f det Bøjningsmoment, som Tværsnittet forspændes mod. Ved delvis Forspænding kn i s Fld

18 ndledning Forspændingssnitkræfter og Egenspændinger 3 opns en Reduktion f den Del f Betontværsnittet, som omgiver Spændrmeringen, f. Eks. for T - eller -Profiler for spændt til Optgelse f positivt Moment en Reduktion f Kropbredde, henholdsvis Underflnge. En sdn Reduktion opns dog kun p Bekostning f det ovennævnte reducerede Spændings tb hidrørende fr Krybning Kombineret Armering Ved Beregning f fuldstændigt for spændte Betonkonstruktioner ses lmindeligvis bort fr den ikke-forspændte Armerings Bidrg. For rmerede, ikke-forspændte Tværsnit forudsættes Hovedrmeringen lmindeligvis ogs kun t best f en Armeringstype. Delvis forspændte Konstruktioner med en Kombintion f forspændt og ikke - for spænd t Armering m - som nævnt i BK, Afsnit forventes t finde øget Anvendelse. De to Armeringstyper, som indgr i en sdn kombineret Armering, kn hve helt forskellige Arbejdslinier. Der m i Beregningerne tges H e nsyn til d e tte F orhold og til Spænd r mel'ingens Forh nds tøjning, hv ilke t kræver Beregningsmetoder, som fviger fr de for ikke-forspændte og fuldstændigt for spændte Konstruktioner ngivne For spændings snitkræfter og Egenspændinger Forspænding kn betrgtes som en Forhndsbelstning f Konstruktionen. Denne Belstning medfører Snitkræfter, som her vil blive betegnet Forspændingssnitkræfter. Den f Forspændingen fremkldte Forhndsbelstning omftter de Kræfter, hvormed Spændrmeringen pvirker Betonen dels ved Fornkringerne, dels lngs Spændrmeringen. Sidstnævnte Kræfter kn omftte dels Friktionskræfter i Retning f Armeringens Tngent (ved efterspændt Armering), dels Kræfter vinl<elret p Armeringen (ved krumliniet Armering) rettet mod Krumningscentret. Forspænding er en Belstning f lignende Krkter som hvilende Belotning. Mn hr Mulighed for t fpsse Forspændingsbe- lstningen sledes, t ønskede Virkninger opns - f. Eks. Forebyggelse f Revner, Reduktion f Revnevidder, Modrbejdelse f Deformtioner eller Forebyggelse f Udmttelsesbrud. Forspændingen hr derimod ret uvæsentlig ndflydelse p Konstruktionens nominelle Brudlst (se Afsnit 17. 2). Ved Opspændingen pføres Spændrmeringen en Forhndstøjning. Senere ntges etbleret Forbindelse mellem Spændrmering og omgivende Beton. For efterspændt Beton sker dette ved njektion f Spændrmeringsknlerne og for for-opspændt Beton ved Betonens Afbinding. D der sledes er Forskel mellem Spændrmeringens og den omgivende Betons Tøjning, hr Spændingsfordelingen i et vilkrligt Normlsnit Krkter f en Egenspændingstilstnd. Betonens Svind og Krybning og Armeringens Relkstion influerer p Egenspændingerne. Et vilkrligt Normlsnit er pvirket f Snitkræfter fremkldt f Belstningsbidrg ssom f. Eks. hvilende og bevægelig Lst, Forspænding, Svind og Temperturvritioner. For s t tis k best emte Konstruktione r e r F or s p æ ndingssnitkræf terne lig med Nul, d de Kræ fter, hvormed Spændrme ringen p virker Betonen, dnner et Krftsystem i Ligevægt (smmenlign SB, Afsnit 2.13). For sttisk ubestemte Konstruktioner omftter de fr Forspændingen hidrørende Spændinger to Bidrg, hvorf det ene svrer til Forspændingssnitkrften, og det ndet stmmer fr, t Normlsnittets Spændingsfordeling hr Krkter f en Egenspændingstilstnd. For sttisk bestemte Konstruktioner er den smlede Resultnt f Spændingerne i Beton og Armering i et vilkrligt Normlsnit lig med Nul, d. v. s. Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen og Resultnten f Spændingerne i Beton og ikke-forspændt Armering ngriber i smme Linie, er lige store og modst rettede. Kendes Størrelse og Retning f smt Angrebspunkt for Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen, kn Betonens Norml- og Forskydningsspændinger smt den ikke-forspændte Armerings Spændinger derfor beregnes som for et ikke-forspændt Betontværsnit pvirket f en Krft smmenfldende med og f Størrelse som denne Resultnt, men med

19 F ndledning Forspændingsgrd 5 modst Fortegn, Sttisk ubestemte Konstruktioner udgør et mere generelt Tilfælde, som kn betrgtes som omfttende de sttisk bestemte Konstruktioner som specielle Grænsetilfælde. sttisk ubestemte Spændbetonkonstruktioner optræder som o v enfor nævnt Forspændingssnitkræfter, som bidrger til Normlsnittets Bøjningsmome nt, Normlkrft og Forskydningskrft. Ofte er Bidrgene til Normlkrften og Forskydningskrften uvæsentlige. s Fld fr kun Bidrget til B øjningsmomentet Betydning for Normlsnittets Betonspændinger. D dette Momentbidrg kn ækvivleres med et Krftpr, for hvilket den ene Krft hr smme Størrelse, Angrebslinie og Retning som Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen, svrer Momentbidrget til en Prllelforskydning f denne Krft, d. v. s. til, t Forspændingskrftens Angrebspunkt ændres. Dette ændrede Angrebspunkt er smmenfldende med Angrebspunktet for Result nten f Spændingerne i Beton og ikke- forspændt Arme ring. De ove nfo r nførte Princippe r er illustre r e t Fig Armering. For Overskuelighedens Skyld ses her bort fr ikke-forspændt For en sttisk bestemt Konstruktion (Fig ) er Forspændingssnitkræfterne lig med Nul. Resultnten f Spændingerne i Spændrmeringen er N. Resultnten f de f Forspændingen fremp kldte Betonspændinger (Fig b) hr smme Størrelse og Angrebslinie, men modst Fortegn. Disse Betonspændinger kn beregnes ved t betrgte Betontvær snittet som pvirket f den i Fig b viste Krft Np' Hvis Forspændingssnitkrften i et Tværsnit i en sttisk ubeste mt Konstruktion svrer til et Bøjningsmoment M, kn dette ækvivleres med et Krftpr, for hvilket den ene Krft hr smme Størrelse, Angrebslinie og Retning som Resultnten N f Spændingerne i Spændp rmeringen (Fig c). Betonspændingerne il'emkldt f Forspændingen kn beregnes ved Superposition, d. v. s. ved t betrgte Betontværsnittet som pvirket f Summen f de i Fig b og c ngivne Kræfter. Dette svrer til, t Betontvær snittet er pvirket f den i Fig d viste Krft N p' hvis Afst nd fr Spæ nd rme - r i ngen e r 6 e M N p Q ~ Np ----F~b Forspændingsgrd Et forspændt Tværsnit kn krkteriseres ved dets Forspændingsgrd {l:, som her skl defineres som Forholdet mellem Spænd C, Np,:E= ~p i Np Fig _---4~ ' i~: rmeringens og den smlede Trækrmerings Bidrg til Optgelse f det nominelle Brudmoment. For spændingsgrden Henhold til denne D efinition bestemmes f følgende Udtryk: (17.1.1) z A <T':' + z A <T~' P P p 1 1 1

20 ndledning Dekompres sionstilstnd 7 Her betegner: Dekompressionstilstnd z Momentrm ved Brud for Spændrmering (z ) p og ikke-forspændt Armering (zi)' A O'~' Tværsnitsre l f Spændrmering (A) og ikkep forspændt Armering (Ai)' Nominel Spænding ved Brudmoment i Spændrmering (O"~ ) og i ikke-forspændt Armering (O'"'i)' p Henhold til den her indførte Definition f For spændings grden. er denne ufhængig f den Forhndsspænding, som Spændrmering er opspændt til. Almindeligvis vil Forspændingsgrden i Henhold til ovenstende Definition vriere med Retningen f Tvær snittets Momentvektor og derfor med Momentets Fortegn. Bøjningsmomentet under Brugslst for et givet forspændt Tværsnit kn vælges vilkrligt inden for visse Grænser, og Størrelsen f d e tte M ome nt er uden n dflyde l se p visse f Konstr uktio n e n s kr kteristiske Egenskber ssom n om ine l Brudlst og Revn e lst. Forspæ ndingsgr den er derimod ufhængig f Brugslsten og kun fhængig f Tværsnittets Dimensioner og Mterileegenskberne. Konstruktionens mekniske Egenskber - Revnelst, Revnevidde, Deformtioner, Udmttelses styrke etc. - vrierer med For spændingsgrden. Forspændingsgrden er derfor en Størrelse, som er egnet til t krkterisere et Tværsnits mekniske Egenskber. BK, Afsnit i4.1, er Konstruktioner med fuldstændig Forspænding krkteriseret ved, t Betonens Trækstyrke ikke overskrides under Brugslsten. Dette indebærer, t Kriteriet for fuldstændig Forspænding er knyttet til Størrelsen f Brugslsten. Mn kn derfor ikke uden Kendskb til Brugslsten fgøre, om et Tværsnit er fuldstændigt for spændt. For et delvis forspændt Betontværsnit betegnes de fr Forspændingen og Betonens eventuelle Svind hidrørende Norml- og Forskydning s spændinger i Betonen O'bp og 'bp og de tilsvrende Normlspændinger i Spændrmeringen og den ikke-forspændte Armering O'pp og O'ip' Tænkes Tværsnittet desuden pvirket f en fiktiv Krft N po f en sdn Størrelse og Retning og med et sdnt Angrebspunkt, t de resulterende Norml- og For skydnings spændinger i Betonen overlt bliver lig med Nul, vil Tværsnittet være ækvivlent med et tilsvrende svindfrit, ikke"-forspændt, rmeret Betontværsnit med visse Modifiktioner, som omtles nedenfor. Spændrmeringen og den ikke-forspændte Armering hr i denne fiktive Sitution - Dekompressionstilstnden - Forhndsspændingerne O' ppo O' ipo = O' pp +.c,.0' pp } = O' 1 p +.c,. 0' i p (17.i. 2) hvor.c,.o'pp og.c,.o'1p betegner d e Spændingsændringer, som den fik - tive Krft N fremklder i Spændrmeringen og i den ikke-forspændpo te Armering. Det delvis forspændte Tværsnits Forhold - d. v. s. Spændinger, Revnevidder, Deformtioner etc. - kn beregnes som for det tilsvrende ikke-for spændte Tvær snit, idet følgende Forhold tges i Betrgtning: Tværsnittet betrgtes som pvirket f en Snitkrft svrende til Summen f dets fktiske Snitkrft og en Krft med smme Størrelse, Retning og Angrebspunkt som den ovennævnte fiktive Krft N po ' Fortegn. men med modst Armeringen regnes t svre til den smlede Armering, d. v. s. Spændrmering og ikke-forspændt Armering. Ved Beregning f Tværsnittets Spændinger ses ved Opstilling f Ligevægtsligningerne bort fr Bidrg fr O'ppo og O'ipo' hvorinr mod der tges Hensyn til de tilsvrende Forhndstøjninger,

21 F ndledning Sttisk ubestemte Konstruktioner. Brugsstdiet 9 Armeringernes Spændingstilvækster bestemmes f de r espektive Spændings - T Øjning sreltioner. N r T vær snittets Spændinger er be stemt p denne Mde, findes de fktiske Spændinger i Armeringerne ved Superposition, d. v. s. ved t ddere Forhndsspænding og Spændingstilvækst. Spændingsændringerne L:.er og L:.er 1 i Ligning (17 1 2) er pp p.. ofte s uvæsentlige, t mn tilnærmelsesvis kn regne: er - er ppo = pp } er - er 1po = 1p (17.1.3) spændinger optræder ikke for Lngtidslst. Klsse : Betonkonstruktioner med kombineret Armering. Krv med Hensyn til mksiml Revnevidde. For Lngtidslst kræves, t Betonens Trækstyrke ikke over skrides - eventuelt, t Betontrækspændinger ikke forekommer. Klsse V: Betonkonstruktioner uden For spænding. Krv med Hensyn til mksiml Revnevidde. For sttisk bestemte Konstruktioner svrer Størrelse, Retning og Angrebspunkt for den fiktive Krft N tilnærmelsesvis til Størpo relse, Retning og Angrebspunkt for Resultnten f Spændingerne er ppo i Spændrmeringen. For sttisk ubestemte Konstruktioner vil dette derimod i Reglen ikke være Tilfældet. At Reglen for sttisk bestemte Konstruktioner kun er tilnærmelsesvis opfyldt skyldes Spændingsomlejringer hidrørende fr Betonens Svind og Krybning Kls sifiktion f Betonkonstruktioner Det kn i visse Smmenhæng være formlstjenligt t gruppere Betonkonstruktioner efter deres Tilbøjelighed til Revnednnelse under Brugslst, Revnevidder etc. Herved opns en Mulighed for t kunne henvise til Konstruktioner med beslægtede krkteristiske Egenskber ved t referere til den pgældende Gruppe eller Klsse. CE B-FP' s Rekommndtioner, 197 O [70-1 J opdeler Betonkonstruktioner i fire Klsser, som kort kn krkteriseres sledes: Klsse : Klsse : Betontrækspændinger optræder ikke for nogen Belstningskombintion i Brugsstdiet. Betonens Trækstyrke overskrides ikke for nogen Belstningskombintion i Brugsstdiet, og Betontræk- Denne Klssifiktion skl ikke opfttes som en Kvlitets Klssifiktion. Det Milieu, som Konstruktionen vil komme ud for - tør, fugtig eller ggressiv Atmosfære (se BK, Kpitel 15) - kn dog være fgørende for Vlg f Klsse. Det smme gør sig gældende, hvis der stilles Krv om Sikkerhed mod Gennemsivning f Vædsker - f. Eks. for Beholdere og Tnke. Angende Revnevidder henvises til Afsnit Ogs H e nsyn til D eformtioner eller Udm ttelse kn motivere Anvendel se f Forspænding og sl edes blive bestemmende for, hvill<en Klsse Konstruktionen kommer til t tilhøre. Disse Spørgsml er behndlet i Afsnit 17.5 (Deformtioner) og Afsnit 17.7 (Udmttels e sp vir kning) Sttisk ubestemte Konstruktioner Brugsstdiet For delvis forspændte Konstruktioner m Revner ntges t optræde under Brugslst. Dette hr ndflydelse p Konstruktionens Stivhed og dermed p Snitkrftfordelingen i sttisk ubestemte Konstruktioner. Almindeligvis ses dog bort fr dette Forhold. Herved undgs en væsentlig Kompliktion f Beregningerne. Den Tilnærmelse, der begs ved t regne Konstruktionens Stivhedsforhold svrende til det ur evnede Stdium, nses for t give en for prktisk Dimensionering tilstl'ækkelig Nøjgtighed. En tilsvrende Tilnærmelse

22 """ ndledning nvendes ved rmerede Betonkonstruktioner uden For spænding. SB, Afsnit og 2.22, BK, Afsnit og SBB, Eksempel 16-18, er redegjort for Virkningen f Forspænding i sttisk ubestemte Betonkonstruktioner og for Begrebet lineær Trnsformtion f For spændingen. Ved delvis for spændte Konstruktioner hr For spændingen principielt smme ndflydelse p Konstruktionens mekniske Egenskber som ved fuldstændigt forspændte Konstruktioner bortset fr, t Revnednneise Brugsstdiet ikke er forebygget. Det, der er nført i BK, Afsnit , som gældende for det ur evnede Stdium, ses t kunne udvides til t gælde Brugsstdiet. De Konklusioner, der blev drget med Hensyn til Virkningen f Ændringerne t::.. y. f Spændrmeringens Tyngdepunktslinie ved en lip neær Trnsformtion f Forspændingen, kn i Forbindelse med det i Afsnit definerede Begreb Forspændingssnitkræfter udtrykkes sledes: St tisk ube stemte Konstruktioner. Brugsstdiet <t ru <t JlL <t ~ ~ <t <t W 11 For kontinuerlige Bjælker p fste Understøtninger og for Rmmer med fst Knudepunktsfigur og fste Understøtninger vil de Ændringer f Forspændings snitkræfterne, som opstr i Brugsstdiet ved en lineær Trnsformtion f Forspændingen, kompenseres f de tilsvrende Ændringer f Spændrmeringens Tyngdepunktslinie, forudst t Trnsformtionen ikke omftter sttisk bestemte Dele f Konstruktionen ellel' Fornkringer - bortset fr Fornkringer ved fste ndspændinger. Eksempler p Beregning f sttisk ubestemte Spændbetonkonstruktioner er nført i BK, Afsnit 14.3 og i SBB (Eksempel og 16-18). For symmetriske Rmmer med bevægelig Knudepunktsfigur (Fig ) vil en lineær Trnsformtion f den i BK, Afsnit definerede Art ligesom ved Rmmer med fst Knudepunktsfigur svre til, t der indføres Knæk i Spændrmeringens Tyngdepunktskurve ved nogle Knudepunkter, hvorved der her opstr Enkeltkræfter Hvis den lineære Trnsformtion opfylder Rmmens Symmetri, vil disse Kræfter kunne optges f Rmmens Knudepunktsfigur under Forudsætning f, t symmetriske Knudepunkter, hvor Vinkeldrejninger f Spændrmeringen forekommer, er indbyrdes direkte forbundne med Fig Symmetriretning. s Fld hr Trns Stænger (Bjælker) i Rmmens formtionen derfor ingen ndflydelse p Momentfordelingen, d. v. s. For symmetriske Rmmer med fste Under s tøtninger hr en lineær T r nsformtion f For spændingen f den i BK, Afsnit definerede Art, som opfylder Rmmens Symmetri og ikke omftter st tisk bestemte Dele f Konstruktionen e n.er Forn k rlnger. - bortset fr Fornkringer ved fste ndspændlnger _ ingen ndflydelse p Konstruktionens Momentfor.delin g i. Brugsstdiet, hvis symmetriske Knudepunkter, hvor VlllkeldreJninger f Spændrmeringen forekommer, er indbyrdes direkte forbundne med Stænger i Rmmens Symmetriretning.

23 forudsættes fornkret ved Chrnieret. s Fld kn R egl e rne vedps ndledning For de i Fig viste Rmmer, som ikke opfylder ovenstende Betingelse for en vilkrlig, symmetrisk, lineær Trnsformtion f For spændingen, s es en sdn t kunne f ndflydelse p Momentfordelingen. Dette hænger smmen med, t de tilsvrende Knudepunktsfigurer kn underg symmetriske Meknisme- Bevægelser (vist punkteret) Sttisk ubestemte Konstruktioner. Brudstdiet l / / Fi g Fi g For Rmmer med bevægelig Knudepunktsfigur vil en vilkrlig, lineær Trnsformtion f Forspændingen lmindeligvis medføre en Ændri ng f Momentfordelingen i Brugsstdiet. Betrgtes eksempelvis den i Fig viste Rmme med retliniet Spændrmering i Søjler og Bjælke, vil en lineær Trnsformtion f den i Figuren med p unkteret Linie ntydede Art Svre til, t de Kræfter, hvormed Spændrmeringen pvirker Betonkonstruktionen, øges med de viste tre Enkeltkræfter. Krften i h øjre, øverste Hjørne ses t fremklde Bøjningsmomenter i Rmmen. Hvis der i en kontinuerlig Bjælke forekommer et Chrnier mellem to Under støtninger, m Spændrmeringen fr begge Sider rørende lineær Trnsformtion ikke nvend es, d disse forudsætter dels Lineritet f Trnsformtionen mellem to Nbounderstøtninger, dels Bibeholdelse f Fornkringernes P l cering, og disse to Krver her i indbyrdes Modstrid. Hvis der i en Rmme forekommel' et. Chrnier mellem to Knudepunkter, ses Reglerne vedrørende.lineær Trnsformtion f tilsvrende Arsg t være unvendelige Brudstdiet For et givet Tvær snl' t i e n Betonkonstruktion fhænger det nominelle Flydemoment f Spændrmeringens Tværsnitsrel, nominelle Flydespændi ng og Plcering (Momentrm). ndflydelsen f Armeringens Forhndsspæ nding p Flydemomentet er derimod kun f sekundæ r Be tydning. D e tte fremg r f d e i Afsnit 17.2 i Forbindelse med nominelt Brudmoment nførte Ræsonnementer. For kontinuerlige Bjælker og plne Rmmer f rmeret, ikke-forspændt Beton bestemmes d e n nominelle Flydelst i Reglen un-

24 ndledning Sttisk ubestemte Konstruktioner. Brudstdiet 15 der den forenklende Forudsætning, t Tvær snittenes Moment-Krum_ nings-reltion svrer til stiv-ide lplstisk Opfø rsel. For forspændte Konstruktioner kn den smme Tilnærmelse benyttes. en Beregning f en kontinuerlig Bjælkes eller pln Rmmes nominelle Flydelst under proportionl Belstning indgr Størrelsen f de nominelle Flydernornenter; men Flydelsten er ufhængig f de Bøjningsmomenter, som tidligere hr optrdt i Konstruktionen (ufhængig f Konstruktionens B e lstningshistorie). Ekstrpvirkninger hidrørende fr Svind, Temperturvritioner, Understøtningsflytninger etc. hr derfor ingen ndvirkning p Flydelsten. De i Afsnit definerede Forspændingssnitkræfter hr smme Krkter som disse Ekstrpvirkninger, og Flydelsten er derfor ogs ufhængig f Forspændings snitkræfterne. Af ovenstende Redegø relse konkluderes: For kontinuerlige Bjælker og plne Rmmer er Flydelsten ved proportionl Belstning ufhængig f den Forh ndsspænding, m n h r g i vet Spænd rme r ingen. En lineær Trnsformtion f Forspændingen svrer til en Flytning f Spændrmeringen eller f en Del f Spændrmeringen. Dette medfører Ændringer i Tværsnittenes F Y d ernomenter. Ændringens Størrelse svrer til Produktet f Flytningen og den flyttede Armerings nominelle Flydekrft. For et givet Tværsnit er Ændringerne f de numeriske Værdier f det positive og det negtive Flydemoment numerisk lige store, og de hr modst Fortegn. Ændringerne i Flydemome nt mellem to NbOknudepunkter er en lineær Funktion f Afst ndene til disse Knudepunkter. En vilkrlig, lineær Trnsformtion kn opdeles i Elementer hvert omfttende to Nbobjælker, i hvis fælles Knudepunkt en Flytn ing f Spænd rmeringen forekommer, medens der ikke foregr nogen Flytning i Bjælkernes ndre Endepunkter. Den smlede Virkning f en vilkr lig Trnsformtion kn findes ved Superposition f sdnne Element r -Trnsformtioner. Virkningen f en Elementr-Trnsformtion p en kontinuerlig Bjælke p fste Understøtninger kn vurderes ved følgende Ræ- sonnement: MomentforlØbet i en kontinuerlig Bjælke med vilkrlig Belstning er illustreret i Fig Momenterne er ngivet som Ordintdifferencen mellem de krumme Momentkurver, der svrer til simpel Understøtning, og den knækkede, fuldt optrukne Slutlinie. Situtionen ntges t svre til, t Belstningen i Fg n-i, n netop hr net Flydelsten. Fig Foretges en lineær Elementr-Trnsformtion svrende til, t d e n nume ris k e V æ rdi f d e t negtive Flydemoment ved Knude punkt n øges med Størrel sen ~M, v il Bj æ lke fget kunne optge de med Skrvering ngivne negtive og positive Momenter. D dette slede s r e præsenterer et tilldeligt og sttisk muligt Momentfelt, hr Trnsformtionen ikke medført nogen Reduktion f Flydelsten. At den heller ikke hr medført nogen Øgning f Flydelsten, fremgr f, t Momenterne før Trnsformtionen svrede til Flydemomentet i tilstrækkeligt mnge Punkter til, t del' hr kunnet dnnes en Meknisme, og dette vil derfor ogs være Tilfældet i de smme Punkter efter Trnsformtionen. D en vilkrlig, lineær Trnsformtion kn dnnes ved Superposition f Elementr-Trnsformtioner, vil Flydelsten ikke ændres ved en vilkrlig, lineær Trnsformtion. For Rmmer med fst Knudepunktsfigur (Fig ) ses ovenstende Ræsonnement ogs t føre til, t Flydelsten ikke ændres ved en lineær Trnsformtion. Fol' symmetriske Rmmer med bevægelig Knudepunktsfigur (Fig ) ses ved et tilsvrende Ræsonnement, t en lineær Trnsformtion, som opfylder Rmmens Symmetri, ikke ændrer Flydelsten,

25 ndledning Sttisk ubestemte Konstruktioner. Brudstdiet 17 Fig hvis symmetriske Knudepunkter, hvor Vinkeldrejninger f Spændrmeringen forekommer, e r indbyrdes direkte forbundne med Stænger i Symm e tr ir etning en. Hvis Betingelsen - symmetriske Knudepunkter, hvor Vinkeldrejninger f Spændrmeringen forekommer, er indbyrdes direkte forbundne med Stænger i Symmetriretningen - ikke e r opfyldt, kn en symmetrisk, lineær Trnsformtion medføre Ændring f Flydelsten. Dette fremgr f d et i Fig viste Eksempel. Denne Rmme ntges lene belstet med symmetrisk, lodret Lst p de to skr Bjælker, og Momentforløbet ved Flydelsten er ngivet med Skrvering. et Fig En lineær Trnsformtion f den med punkterede Linier ntydede Krkter giver ikke Mulighed for en tilsvl'ende Flytning f Slutlinien, d dette forudsætter en Øgning f Horisontltrykket H, hvilket vilde medføre en Ændring f Momentet ved Rmmens Symmetrilinie (ntydet med stiplede Linier i Fig ).Det til denne Slutlinie svr e nde Momentfelt er sttisk muligt. Derimod er det ikke Fig. 17.!.7 sikkert, t det er tilldeligt, d de tilsvrende Momenter repræsen ~ terer en Øgning f Bjælkernes negtive Momenter, der er større end den, som den lineære Trnsformtion betinger.

26 ndledning Hvis den lineære Trnsformtion ikke opfylder Rmmens Symmetri, kn den medføre Ændring f Flyde lsten. Dette fremgr f det i Fig viste Eksempel. Denne Rmme ntges lene belstet f en symmetrisk Enkeltkrft. En lineær Trnsformtion f den med punkterede Linier ntydede Art giver ikke Mulighed for en tilsvrende Flytning f Slutlinien, d dennes Ordinter m være proportionle med Afstnden fr Horisontlrektionen H. et Lineær Trnsformtion 19 tingeiser, der med Hensyn til Brugsstdiet m stilles. dels om fste Understøtninger, dels om fste ndspændinger, ved hvilke Flytning f Fornkringer forekommer. Disse Betingelser er overflødige for s vidt ngr Brud- eller Flydelsten, hvis Konstruktionen forudsættes idel-plstisk. De fundne Resultter kn herudover smmenfttes følgende Konklusion: For kontinuerlige Bjælker p fste Understøtninger og for Rmmer med fst Knudepunktsfigur og fste Understøtninger hr en lineær Trnsformtion f For spændingen, som ikke omftter sttisk bestemte Dele f Konstruktionen eller Fornkringer - bortset fr Fornkringer ved fste ndspændinger - ingen ndflydelse hverken p Spændingerne i Brugs stdiet eller p Bæreevnen (Flydelsten) ved proportionl Belstning. Det smme gælder for symmetriske Rmmer med bevægelig Knudepunktsfigur og fste Understøtninger, hvis symmetriske Knudepunkter, hvor Vinkeldrejninger f Spændrmeringen fore kommer, er ind byrd es direkte forbundne med S t ænger i Rmmen s Symme t r i retning. Fig Lineær Trnsformtion SB, Afsnit og 2.22, BK, Afsnit 14.3, SBB, Eksempe og ovenstende Afsnit e r gjort Rede for Virkningen f en lineær Trnsformtion f Spændrmeringen. Det hr især ntere s se t f stsl de Tilfælde, hvor en lineær Trnsformtion er uden ndflydelse i Brugs- og Brudstdiet. Det fremgr, t de Tilfælde, hvor Brugsstdiet er upvirket f Trnsformtionen, er næsten smmenfldende med de Tilfælde, hvor Brudstdiet er upvirket derf. En Undtgelse herfr udgø r de Be-

27 Nominel Brudlst Nominel Brudlst NOMNEL BRUDLAST Beregning f et delvis fo r spændt Tvær snits nomine lle Brudmo - ment kn udføres Overensstemmelse med de BK og SB ngivne Principper unde r Bensyntgen til d e ls For s k e l Armeringstypernes Arbejdslinier, d e ls t mn hr g ivet Spændrmeringen en Forhnds Tøjning, som her vil blive betegne t (p (svr er til (f i SB). Beregningen kn f. Eks. gennemfør es ved t skønne de Spændinger rr~', som optræder i de to Armeringstyper. Som førs te Skøn kn f. Eks. vælges Armeringernes nominelle T rækflydespændinger svrende til 0,20/0 blivende Forlængelse. Herefter beregnes Trækspændingernes Resultnt N f Udtryk ket: og \ ). (, /00 bu -, ngiver d en ikke-forspændte Armerings Nyttehøjde (se Fig.! - hp h f hm Y = t X db t--l N' [!=====r- b _ N 2:,Arr" (17.2.1) E h vor A betegner de individuelle Armeringstypers Tværsnitsreler, og den tilsvrende Resultnt N b f Betontrykspændingerne. For ren Bøjning er: Fig For Spændrmeri ngen med Nytt e højde h p er N' b N (17.2.2) ( ( + 6( p p ( + (0, 75 p y. h p - 1\ t' J bu (' ) Er Tværsnittet pvirket f en excentrisk Normlkrft N med givet Angrebspunkt og dens nominelle Brudværdi ønskes beregnet, kn den til N svrende Værdi f Nb bestemmes f Momentligevægten om N's Angrebspunkt, idet Afstnden mellem N og Nb skønnes. Forudsættes ensformig Fordeling f Betontrykspændingerne rr!'-' b ' kn Højden y f Betontrykzonen beregnes svrende til Væ rdien f Nb' Ved excentrisk Normlkrft kn den SkØnnede Afstnd mellem N og Nb herefter om fornødent korrigere s. Den tilsvrende Tøjning i den ikke-forspændte Arme ring er Henhold til BlU, Ligning ( ): hvor ( = ( = ( ~- 1\' 1 y. ') bu hi (17.2.3) For tp bør h er formelt indfø r es den Tøjning, som optræder i Spænd rmeringen, nr den omgivende Beton er spændingsløs. Almindeligvis kn i denne Forbindelse ses bort fr Tøjningsændringer i Spændrmeringen hidrørende fr B e ls tningen, s længe Betonen er urevnet. Dette svr er til, t der fo r (p kn indføres d e n til den effektive Forspæ nding svre nde Værdi unde r Hensyntgen til Friktion og Spændingstb fr B e tone n s Svind o g Krybning og fr Armeringens Relkstion. Værdien f tp hr i øvrigt som oftest kun uvæsentlig ndflydelse p Brudmome nte t. Ud fr de fundne Værdier f ( kn beregnes korrigerede Vær' die r f Spændingerne rr':' i Arrneringerne. Beregningerne gentges, til fornø d e n Overensstemmelse er opnet. Ønske s e n eventu e l Trykrmering tget i Regning, kn dette gøres e fte r smme Princip som nført i BK, Afsnit , ud fr s k ø nnede eller beregnede Vær-

28 Nominel Brudlst 17.2 N ominel Brudlst 23 dier f E' Nr smtlige Spændinger er beregnet med tilstrækkelig Nøjgtighed, finde s det nominelle Brudmoment eller den nominelle Brudværdi f den excentriske Normlkrft som Spændingernes Resultnt med modst Fortegn. Det bør desuden undersøges, om det beregnede Brudmoment overskrider Tværsnittets mksimle Brudmoment svrende til BK, Ligning ( ). For Nyttehøjden indføres i denne Forbindelse Afstnden hm fr den mest trykkede Knt til Angrebspunkte t for Result nten f Spæ ndingerne i Trækrmeringerne. For r e n, enkeltsymmetrisk Bø jning og konst nt Trykzonebredde f s, hvis der ses bort fr Trykrmering: S pænd rmering kke - forspændt Armering ~ (17.2.5) Fig og hvor bde A, (Ti og h kn hve forskellige Værdi er Led. Desuden skl følgende Betingelse være opfyldt: (17.2.6) Summtionens Bet egnes d en nom ine lle F lydespænding for den ikke-forspændte Armering ~:, og for Spændrmeringe n (T~p' vil dis s e Spæ nding e r optræde i de respektive Armeringstyper, nr E overskrider følgende Værdier: For den ikke-forspændte Armering: E E o (17.2.9) (17.2.7) For Spændrmeringen: hvor 'l el' give t ved Ligning (7.32.2) i BK, og hm ngiver Nyttehøjden fol' hele Armeringen, idet de individuelle Armeringsreler reg E E po ( ) nes m e d Vægt i Forhold til deres Spænding, d. v. s. h m ~ ha(t ~' M l N N"+2Y ( ) Spændrmeringens Forhnds-Tøjning er under disse Forudsætninger helt uden ndflydelse p det nominelle Brudmoment, s længe dens Beregningen kn simplificeres ved t tilnærme de to Armeringstypers nominelle Arbejdslinier svrende til, t Stlet er lineær-elstisk-idelplstisk (Fig ). Brudtøjning blot er større end E po En god Udnyttelse f begge Armeringstyper ved Brudlst er opnet, hvis disses Spændinger ved Brud tilnærmelsesvis er henholds-