H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

Transkript

1 H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede. K behav,1966.

2 Mat 1, M.A.Forordo Disse ~orelresigsoter er grudlaget ~or matematik 1, matematisk aalyse. De ~ rste kapitler er omredigerede, saledes at de bygger pa det matematikpesum, der ~orudsrettes i gymasiets ye lresepla. Matematikpesum ~ra gymasiets biologiske liie er i om~ag tilstrrekkeligt som grudlag ~or dette kursus, me studeter ~ra dee liie ra rege med at m de vaskeligheder, ~ordi de ikke har de samme matematiske trreig som studeter ~ra de matematisk- ~ysiske liie.

3 M.A. Idledig 1q Me hvad briger Dig til at smile? Der er aldeles ikke oget Forlystede ved Mathematik -- tvertimod I - Fra tekst til e tegig af Fritz Jurgese. Matematik er e deduktiv videskab. Det betyder~ at matematiske udsag ku ases for sade, ar der er f rt et bevis for demo Matematiske beviser bygger pa udsag, som tidligere er bevista Beviste (og derfor sade) udsag kaldes seetiger eller formler. B r opdager tidligt, at ma ka stille sp rgsmalet "hvorfortl~ Derfor ka ma ikke bevis ;:; aile udsag. De fudametale udsag, der ude bevis aerkedes som sade, kaldes aksiomer. De matematiske begreber ma defieres ud fra tidligere idf rte matematiske begreber, me de aller f rste matematiske begreber ka ikke defieres. Ud over de udefierede grudleeggede begreber og aksiomere ma vi ogsa tro pa de logiske slutigsregler, vi beytter i bevisere. De matematiske logik, begrebet "lig med", leere om meegder~ afbildiger og relatioer, teorie for ordede meegder, samt de aturlige tal udg r tilsamme matematikkes grudlag. Disse tilsyeladede forskelligartede emer lader sig ku meget ufuldsteedigt behadle hver for sig. Matematikkes udviklig f rer bade opad og edad. I toppe udledes stadig ye resultater pa basis af vor aktuelle vide. I

4 Mat 1~ M.A. Idledig 2. bude crbejdes der videre mod e stedse klarere f'orstaelse af' grudlaeets ature Desude g res der et stort arbejde f'or at af' korte veje f'ra b~de til toppe. Ude dette revisiosarbejde ville toppe hurtigt blive reserveret f'or et meget lille atal store geier. I pricippet er hele grudlaget udskif'teligt, saledes at ehver bar mulighed f'or at opbygge si ege matematik pa sit eget grudlag~ me det er etop det f'relles grudlag, der giver mulighed f'or mat8matikkes h je udviklig. Selvf'olgelig iddeles matematikke i mage disciplier, og det ka ",odt somme tider se Ud, som om disse hviler pa hver sit grudle,g og i det store og hele virker uaf'hregigt af' hiade. De virkelig store f're-skridt as imidlertid etop ved kombiatio af' f'orskelligartede dlsciplier. Fo::- de uge som lrerer matematik er det vigtigt at ha ikke bli ve::- hregede i matera tikl{es grudlag, me f'ar e chace f'or ogsa at f'a kedskab til arbejdet med de aktuelle problemer i t1toppeh, Derf'or v:u vi i dette kursub bygge pa det grudlag, der kedes f':'a udervi:3ige i gymasiet. Edvidere udbygig af' dette grud:"ag vii f'ide sted, ef'terhade som det b1iver dvedigt. Vi vii i det store og hele beytte de f'ra gymasiet kedte betegeler. De me~st i jef'aldede f'orskel er, at vi ikke beytter de buede af'bilcligspil. E af'bildig f' af' e mregde A id i e mreg:de B skri ves f':a id i Beller f':a ~ B Af'bildige kaldes ijektiv~ hvis origialmregde f'-1(b) til et elemet elemet vilkarligt b E B bestar af' h jst et De kaldes surjekti v 9 hvis bj_lledmregde f'(a) er idetisk med B. De kaldes

5 Mat 1, M.A. Idledig 3. bijektiv, hvis de er bade ijektiv og surjektiv. Vi vii avede de logiske syrboler v (eller) 1\ (og) "* (rc.edf' rer) $=} (alkvivalet red) i (ikke) De f'ire f' rste er bimre relatiosteg. De ra ku smttes reller relatioer - det er s~uedes ukorrekt at skrive 5 1\ 7, gr v r d. Derirod er det korrekt at skrive x 2-4x + 3 = 0 x = 1 v x = 3. Teget ""1 ka soot te s f'ora e relatio, f'. eks. i(x 2 _ 4x + 3 = 0) $=} i(x = 1) 1\ i(x = 3), me det er selvf' lgelig rimeligere at skrive dette pa f'orme x 2-4x + 3 to$=} x t 1 1\ X t 3. Negatio af' et relatiosteg beteges of'test ved geemstregig af' teget, dog aldrig ved ulighedsteg og iklusiosteg. I mmgdeloore beytter vi de soodvalige teg E:9c'~9::)';>9u,rl, samt teget \ f'or overskudsmoogde A\B (moogde af' elemeter, der tilh rer A)me ikke B) og teget C f'or komplemetmrmmgde, altsa A\B = ArICB. De moogdeteoretiske teg, de algebraiske teg +,-,.,:, ordigstegee <9~'>'~' lighedsteget, f'uktiossyrbolere cos, si, log etc, dif'f'eretiatiosteg, itegralteg o.s.v. avedes altid i f'orbidelse med udtryk og aldrig i f'orbidelse red relatioer.

6 Mat 1~ M.A. Idledig 4& e relatio mellem to udtryk. De adre teg er fuktioelle 9 idet de beyttes til fremstillig af mere sammesatte udtryk. Visse bogstaver reserveres som betegelse for kostater 7 saledes at disse specielle bogstaver altid har samme betydig. De t samme grulde'r sel vf lgelig tal tegee 7 heruder ogsa grudtallet e for de aturlige logaritmer samt tallet 7To Vi vil dog tillade os, at avede bogstavere e og 7T i ade betydig~ hvor dot ikke ka bevirke misforstaelser. Srerlig betydig hal' ogle kos t,"'tter, der beteger mregder: N (de aturlige tal, dov.s. de positive,hele tal) Z (de 1}.ele tal) Q (de ratioale tal) R (de reelle tal) C (de kompleksa tal) 0 I di sse tilfrelde har vi foretrukket at scette e accet ovor bog-- stavet 9 " '" i~~z'~~9r ar det avedes i de faste betydig. Derved. bliver og C frie til ade brug. E ade vigtig kostat or o (de torme mmgde). Ellers beyttes de fleste bogstaver sor betegelso for variable y hvilket betyder, at del' idefor visse gramser Im substi tueres adre syr'!joler for dem, evetuel t lwstater, evetuelt sammesatte udtryk~ hvori del' iugar flere variable. Det skal selvf01gelig altid vrere prreciseret (f.eks. ved at det fremgar af' sammehamge), hvilke symboler d.er Im substi tueres.:lo):i hver ekel t variabel. Kvatorere V og :3 er lllatematiske -ceg y som avedes pa

7 Mat 1, M.Ao Idlec1ig 5. rglatioer~ der ideholder variable. Kvatorer er of test betigec1e, idet de variabel or budot til e oller ade mregde. 3QX(X2+2<3x) betyder~ at der eksisterer et ratioalt tal x, saledes at x 2 +2<3xo Nu er det upraktisk at tumle med for mage idices, sa vi vii i regle foretrrekke at skrive ( 1 ) 3x E Q (x < 3x). Tilsvarede (2) Vx E R ( x > x ) Her er (1) og (2) relatioer, som ikke mere afhreger af e variabel, idet kvatorere bevirker, at x far ophrevet si status som variabel. Relatioe (1) berettiger os til at vrelgo et ratio- 2 alt tal p, saledos at p + 2 < 3p. Symbolet fx E Q I x < xj boteger m~gde af ratioale tal X9 for hvilke x < x Symbolet or e kostat, og vi bemrerk.or, at det redrer e relatio til et w..1tryk. Dar Im gives mage adre eksempler pa udtryk og relatioerjl der ideholder betegelser for e variabel, hvoraf urltrykkot eller relatioe ikke afhreger: b 1 f(x)dx afhreger ikke af x, a ~ a k afhreger ikke af k k=1 Det or ude betyc1ig om vi udskifter betegelse for e sada flpassivil variabel med et adet bogstav. Det er altid sil~rest at betegc e tlpassiv" variabel mod et bogstav, der ikke forekommer uclofor (let symbol, i hvi s betegelse de passive variable idgar.

8 Mat 1y M.A. Idledig 6. :avis dette symbol "dumper ed fra himle" med de "passive" variable beteget med et bog8tav~ der ogsa forekommer udei'or teg - ot y er det sikrest at skifte betegelse, da ma ellers fristes til at bega fejl. Saledes er forkert. Derimod er - l.} k(-k) = k k=1 k=1 l.} (-k) = 1 (-1) 2 1 k l.} k(-k) k=1 = ~ l.} j(-j) = j=1 Vi skal ikke opholde os mere ved sp rgsmalet om de matematislw symbolik. Det vii vcere forkert at slutte idledige u- de et fors g pa E't forklare, hvad matematisk aalyse er. Det er imidlertid ikke sa let, som ma skulle trot Lad os jes med at sige~ at matematisk aalyse beskceftiger sig med kotiuitet og grreseovergag. Nu skal vi imidlertid ikke udelukkede beskceftige os med matematisk aalyse. Al modere matematik beskceftiger sig med mregder~ som pa e eller ade made er orgaiserede. Algebra boskceftiger sig med mcegder, der er orgaiserede ved regeoperatioero Topologi beskbftiger sig med mregder, der er orgaiserec1e, saledes at begrebet "kotiuert af'bildig" far meig. E topologisk orgaisatio bestar i, at visse scerlig udmrerkede delmreg- Jer fremhreves, f.eks. omege af et elemet af mregde. Matematisk aalyse hadler om mregder, som har bade algebraisk og topologisk strulctur. Derfor er det aturligt 9 at vi ogsa taler om topologi.

9 Mat 1, ~,LA. Idleciig 7. For de$ som skal lrere matematik 9 er det vigtigt at Eors ge selv at skabe matematik. Matematikke udvikler rutiemetoder' til l sig af specielle typeopgaver. Avedelse af sadae rutiemetoder er ikke matematik. Udviklige af rutiemetodere er matematik. Ikke al matematik er svcer. DerEor er dot muligt at suppi ere et kursus som det Eoreliggede med et meget stort atal lette velsesopgaver. Ku Ea ae disse or velse i brug ae rutiemetoder. DerEor skaoer ma matematik y ar' ma l ser opgavere og fider frem til e pre Eormulerig ae l sigere. Det h rer ~ed til spillereglere i matematikke? at ma ku prceseterer det Ecerdige produkt. Overvejelser, ideer, Eorel bige bevisskitser? redaktiosarbejde Eoregar i d lgsmal, og ku det E~rJibe bevis publiceres. I disse forelresigsoter vii vi ikke altid overholde diese regler, me lejlighedsvis E lge de meget upcedagogiske metode, der tillader eleve at opdage, hvorda lrerere selv fumier med problemere. Metematikke bliver aldrig E~rdig. Ogsa dette kursus eeterlader utallige l se eder. Der vii blive spudet videre pa ogle ae disse i de E lgede kurser. Bladt de l se eder Eides ogsa virkelibe ui ste problemer. De reldste ae disse stammer Era oldtide. Arbejdet pa de matematiske bygigs top giver os stadig Ye opdagelser, og disse virker tilbage og ispirerer amdriger bade i matematikudervisige og i de metoder? med hvilke ma agriber de klassiske ui ste problemer u Saledes er matematikke altid levede og Eoraderlig

10 Mat 1, N.A.1.1 Nous croyos que la mathematique est destiee a survivre. N.Bourbaki Kapi tel 1. Tal. De reelle tal blev idf rt i gymasieudervisige~ og vi vii her idskrreke os til e skitsemressig geemgag af de fra gymasiet kedte tig Qg e mere grudig behadlig af ogle tilf jelser. Vi vii dog f rst omtale begrebere kompositiol1srogel og gruppe~ samt lidt mere udr rligt begrebere rig og legeme~ som ku behadles i gymasiets matematisk-fysiske liie. Def'iitio 1.1. Ved e kompositiosregel pa e mregde M forstas e ai'bildig cp: M x Mid i ~.1. Vi f'oretrrekker at udtrykke kompositiosregle vcc1 et teg~ f'.eks. +, altsa skrive cp(x~y) = x + y Defiitio 1.2. Kompositiosregle + kaldes associativ~ hvis Vx,y,z E M((x+y)+z) = x+(y+z)). Hvis + er associativ har xi + + x e gaske bestomt betydig~ saledes at pareteser slet ige rolle spiller. Derimou al'hreger ud trykket af leddee s rrekkef lge. Defiitio 1.3. Et elemet u E M kaldes eutralelemet for kompositiosregle +, Bafremt Vx E M (x + u = u + x = x) ka DetVvises, at e kompositiosregel har h jst et eutralelemet o

11 Mat 1, M.A. 1.2 Def'iitio 1.4. Lad + vwre e kompositiosregel pa Iv! med eutr8.1elemet u. To elemeter x,x 1 E Iv! med hesy til +, saf'remt kaldes hia-des iverse L8.d os atage, at + tillige er associativ. Det ka da vises, at hvcrt elemet har h jst et iverst. Hvis a,b E M og 8. har et iverst elemet a, 1 ka det vises, 8.t ligige a + x = b har a 1 + b som si eeste l sig, og at x + a = b har b + a 1 som si eeste l s±g. Def'iitio 1.5. E mwgde G med e kompositiosregel + kaldes e gruppe, hvis + er associativ og med eutralelemet, og edviclere hvert elemet af' Ghar et iverst elemet. Eksempel. Mwgde F(A,A) af' 8.11e bijektive af' bildiger f' :_t icl i A, idet A er e vilkarlig mwgde, udg r e gruppe med sammesmtige f' 0 g som kompositiosregel. De idetiske 8.f'- bildig er eutralelemet, og de iverse af'bildig bliver ogsa det iverse elemet af' gruppe. Def'iitio 1.~. E kompositiosregel + pa e mamgde Iv! kaldes kommutl1tiv, saf'remt Vx,y E M (x + y = y + x). x 1 + Hvis + er bade associativ og kommutativ, af'hwger.. 0+ x ikke af' elemeteres rwkkef' lge. E gruppe G)hvis kompositiosregel er kommutativ, kaldes e kommutativ gruppe eller e abelsk gruppe. I det f' lgede beskwf'tiger vi os med e abelsk gruppo G med kompositiosregel + og eutralelemet 0 (ulelemetet). Det iverse clemet til a beteges -a, og b +(-.) skrives b - fl.

12 M.A. 1.3 Vi kaljer -a det modstte elemet. Vi vii treke os, at der pa G er 8du e komposi tiosregel.vi vii ot'te udelade det adet kompositiosteg. Det'iitio 1.7. Vi siger, at. er distributiv med hesy til +, sat'remt Vx~y~z E G ((x+y)z = Xz+yz A X(Y+Z) = xy+xz) s@tig 1.S. Hvis' er distributiv med hesy til +9 grelder VX,y E G(O x = x'o = 0 1\ - x y = x'-y = -(xy)i\-x _y=xy). Bevis. At' O'x + O'x = (O+O)x = O'x t' lger, at O x =0 9 idet O'x + y = O x ikke h8r adre l siger ed y = O. Aalogt vises x'o = O. At' -x'y + x'y = (-x+x)y = O'y = 0 f lger9 at -x'y og xy er modsatte elemeter, altsa -x'y = -(xy). A~logt vises, at X'-y = -(xy). Herat' t' lger edelig -x _y = -(x'-y) = -(-xy) = xy, idet -(xy) ku har et modsat elemet, emlig xy. Vi skl ikke opholde os ved beviset t'or, at (x-y)z = xz-yz og z(x-y) = zx-zy. De distributive loy giver os mulighed t'or at multiglicere summer et'ter regle (x+y)(z+v) = xz+xv+yz+yv. Rreklcet' lge at' de t'ire led er ude iili'lydelse pa summe, me ombytig at' t'aktorere i de ekelte led ka tcekes at redre derme. Mere geerelt har vi t'or t'lerleddede summer m ~ x. ~ y. = j=1 J j=1 J m ~x. j=1 J k=1 ~Yk= m ~ Z x'yk j=1 k=1 J L.:.eg mffirke til, at vi t' rst s rger t'o: at bruge t'orskellige sum-

13 Mat M.Ao 1.4 matiosidices i de to summer. Det sidste udtryk agiver summe a.f aile produkter x j y k, hvor j er et a.f tallee 1' lim? medes k er et a.f tallee 1,,. Deriitio 1.9. De abelske gruppe G med de ekstra kom-.qositiosregel ' kaldes e rig, hvis er distributiv med hesy til + samt associativ. Eksempel. E gruppe G bli ver til e rig ved de.fii tioe 'l/x,y E: G(xy = 0). E rig med. dee trivielle produktde.fiitio kaldes e ulrig. Eksempel. Mregde a.f polyomier med hele tal (ratioale tal, reelle tal) som koe.f.ficieter og med operatiosreglere + og uc1g r e rig. Det'ii ti o E rig G kalde s et legeme 9 hvi s er komrutativ9 har et eutralelemet, og hvis yderligere ethvert elemet udtage 0 har et iverst. Neutralelemetet beteges 1 (etele:8t) og iverse elemeter kal de s reciprolce. Det iverse elemet til x beteges x- 1 For a t 0 har ax = b altsa etop e l sig, og de beteges b eller b/a ejler b:a a Sretig 1. 1'_. Lad G vrere et Ie geme. Vi har da Vx,y E: G (xy = 0 ~ (x = 0 v y = 0)) Bevis. At' x;r = 0 og x t 0 t' lger y = 1'y = (x- 1 x)y = x- 1 (XY) = x- 1 0 = O. Eksempel. Et legere ideholc1er i hvert.fald de to elemeter 0 og 1, og med disse to elemeter reges altid et'ter reglere 0+0 = 0; 0+1 = 1+0 = 1 0'0 = 0'1 = 1"0 = 0; 1'1 = 1.

14 Mat M.A. 1.5 Tilbage er blot 1+1. Det m~ grelde, at 1+1 ~ 1+0 = 1, me det t'orhidrer ikke, at 1+1= 0 0 sam et legeme. Ved dette valg orgaiseres f0911 Hvis M er e mregde med e kompositiosregel cp:m x Mid i M 9 som sl{ri ves cp (X9 y) = x+y, og A og B er delmamgde r at' M I er det a turligt at betege billedmamgde cp (A x B) med A+:S. I overesstemmelse hermed det'ierer vi ~et'iitio Lad G vrere et legeme, og lad A og B vrere delmwgder at' G. Vi defierer da A+B = fx+y I x E A AyE BJ -A = f-x x E Al; A-B = A+(-B); AB = f xy x E A AyE BJ, og t'or 0 A edvidere For 8. E: M skriver vi a+b og ab istedet t'or f8.j + B og fajb Eksempler: 0+A = 0A = -1 = 0. O+A = A; O'A = foj; 1"A = A; -1'A = -A Dut'ii tio ":.13. Et legeme G kaldes et ordet legeme 9 hvi s der foruligger e klasseiddelig af G\foJ i to klasser G+ og G_ 9 s~ledes at f lgecle 2 betigelser er opt'yldt: 1 ) Vx E G (-x E G ) - + 2)

15 M.A. 1.6 Elemotere i G+ kaldes positive og elemetere i G kalc1es egative. St:etig Hvis G er et orde~ legeme, grolder Vx E G (-x E G ). + -, Vx E G+Vy E G_(xy E G_) Vx, Y E G _ (x+y E 2 G /\ xy E G+); Vx E G(x=O v x E G ).1 E + ) G+ Bevis. Af x E G+ f lger x ~ O~ altsa -x ~ 0, altsa -x E G+ eller -x E G Me -x E G ville medf re 0 = (-x+x) E G, hvil ket il{ke er rigtigt. Altsa grelder -x E G_ o M x E G+ y y E G_ f lger -y C' G+, alts3. -xy = x'-y E G+, al tsa xy E G_o M x~y E G_ f lger '-x, -y E G+, al tsa -x-y E G +' al tsa x+y E G Edvidere xy = -x'-y E G+o,[;ilor x E G+ oller x E Ghar vi altsa x 2 E G+, og spe',clel~~ gj31de~ 1 = 12 E G+ o Dermed er alle pastadee bevist. D :::fii ti olj.2. For x, y E G, hvor G er et ordet legeme y deficrjs relatio~e x < y ved x < y <=> y-x E G + Vi skr-i "ler x ~ y i stedet for x<y v x=y. Rela tioe x < y skri yes ogsa y ) x og x ~ y skrives ogsa y ~ x.!atj.!lb 1.1 ii. For et ordet legeme G grelder Vx 9 y,z E G(x < Y <=> x + z < Y + z) E G 'liz E G (x < y <=> xz < yz). + B(~vis" De :' rste pastad f lger at', at y-x = (y+z)-(x+z). :0 Af x < ~r9 Y < z fljlger y-x E G+ 9 z-y E G+, al tsa z x = (:~-y)+(y-x) E G+, altsa x < z. Af x < y og z E G+ f lger tilsvarudo zy-zx = z(y-x) E G Af sretig 1.14 f lger u~ da 1 t?- t -X )y. l!!eclf.yj.r~!:1 z - 'z = 1 E G 9 rr; z-1 E: G 9 al~xzz 1< yzz eller x < y. Der + + med or fl33tige l Jevisto

16 Mat 1~ M.A. 107 Dermed har vi vist, at de fra gymasiet kedte regler for regig med uligheder er gyldige. Vi skal seere berige disse regler ved at bevise ogle mere dybtliggede uligheder. Defiitio Lad x vrere et elemet fra et ordet legeme G. Elemetet kaldes de umeriske vrerdi af x., x, hvis x E G + Ixl = J 0, hvis x = 0 \ [, -x, hvis x E G Scetig For et ordet legeme gcelder Vx E G (x ~ 0 => I xl > 0) Vx,y E G (jlxl-iyii ~ Ix+y/ ~ I xl + Iyl) Vx,y E G (Ixyl = Ixl I yl ). Bevi s. De f rste pas tad f lger umiddel bart af c1efii tio- e. De sidste f lger af scetig 1.8. Ai' x ~ lxi, y ~ Iyl f lger x+y ~ Ixl+lyl. Af -x ~ lxi, -y ~ Iyl f lger -(x+y)~lxl+iyi 0 Dermo~ har vi vist, at Ix+yl ~ Ixl+lyl. Her~f f lger Ixl = Ix+y +(-y)1 ~ Ix+yl + IYI, altsa Ixl-Iyl ~ Ix+ylo Aalogt fas Iyl - Ixl ~ Ix+YI. Dermed er scetige bevist. Vi svidlede ved at idf' re betegelsere 0 og 1 for de to eutrlelemeter i e rig og dermed i et legeme. Der er selvf lgelig itet i veje for, at f'orskellige rige (eller legemer) kg h~ve forskellige eutralelemeter, og sa er det forkert at 8.vee-:'e samme betggelse. De slags u jagtigheder i matematik hcever sig ved)at der seere i teorie optrceder resultater, som er idbyrdes modstridede, og dermed bliver hele teorie gaske yttel s. Forsydelser som de her omtalte optrceder imidlertid

17 Mat meget hyppigt i matematik - i det foreliggede tilfrelde ka vi a lagt, ude at forsydelse vil virke geerede, og sa lrege det gar godt, vil forsydelse spare os e del skriveri. Vi oterer os, at ogsa elemetere 1+1, 1+1+1, bliver frolles for alle rige og legemer. I et ordet legeme bliver disse elemeter alle idbyrdes forskellige (eksemplet efter sretig 1.11 viser, at dette ikke beh ver at grelde for ikke ordede legerer, og dermed tillige,,qt vort esartede valg af betegelser var uberettiget). Elemetere 1, 1+1, 1+1+1, udg r mregde N af ~turlige tal. Vi uderstreger, at N er e gaske bestemt mregdc 9 og de her omtal te delmamgde af et ordet legeme er stregt taget ikke mamgde N, me e "kopi II af de e mregde. Mamgde 2 = fi IJ r oj tj - N er mamgde af hele tal, og det ordede legeme ic1eholder ogsa e kopi af de e mamgde. Med regeoperatioe + er Z e gruppe. Produktet af to elemeter fra N er ige et ele-, met fra N, og heraf f lger, at det tilsvarede grelder for elemetor fra 29 Altsa er Z e rig. Ovestaede er selvf lgelig ikke e tilfredsstillede idf\drelse af N og Z. Vi ka ikke behaclle summere ude at kue trelle, hvor mage ettaller der er, og dertil beh ver vi etop de aturlige tal. Idf relse af N h rer med til matematikkes grudlag, me vi vil her ga ud fra, at vi ka stole pa vor ituitive'forstaelse af de aturlige tal. For det ordede legeme Ghar vi u N c 2 c Go For a E N, b E Z har ligige ax = b e l sig i G. Hvis a 1 x = b 1 og a 2 x = b 2 har de samme l sig x, far vi a 2 b 1 = R 1 R 2 x = a 1 b 2o Pa de ade side har a 1 x = b 1 de samme

18 Mat M.A. 1.9 som 1 sigva1a2x :; a 2 b 1 og a 2 x ::: b 2 har de samme l sig som a 1 a 2 x ::: a 1 b 2, og a~ a 2 b 1 ::: a 1 b 2 ~ lger der~or, at de to ligiger har de samme l sig. Hermed begruder ma let br kregige og Mregde a~ br ker med treller ~ra Z og wver ~ra N udg r legemet ~ a~ de ratioale tal. Det er ideholdt i ethvert ordet legeme. Det er meget let at vise, at e br k ka briges pa ~orkortelig ~orm. Det er ret vaskeligt at vise~ at dette ku ka g res pa e made, me det er bevist i gymasiet~ og sp rgsmalet vil blive diskuteret mere grudigt i matematik 2. De~iitio Ved e ~ lge pa G ~orstar vi e a~ildig ~:N id i G. Vi skriver ~() = a E G og beteger ~ lge (a). De~iitio F lge (a) siges at kovergere mod a E: G 9 hvis ~ lgede betigelse er op~yldt og vi skriver da (a) ~ a(midre korrekt a ~ a). F lge (a) kaldes koverget, hvis der eksisterer et a E G 9 saledes at (a ) ~ a~ Hvis dette ikke er til~reldet, kaldes ~ lge diverget. Eksempel. Hvis ~ ::: a ~or alle E: N)grelder (a) ~ a. Fa visse ordede legemer har ehver ~ lge ~ra et vist tri lig a. (a) ~ a alle elemeter 1 o < '2B < B Af ~ 2 = 1 og 1-~ = ~ sluttes 0 < ~ < 1 og ~or B > 0 altsa

19 Mat 1, Smtig Lad (a) vmre e f lge pa G. Af (a) ~ a og (a) ~ b f lger a = b. Bevis. For 8 E G+ ka vi vmlge 1 saledes at la-ai ~ ~8 og Ib-al ~ ~8. Heraf f lger imidlertid Ib-al~lb-al+la-al ~ 8. Dermed har vi bevist 1 at Ib-al er ~ ethvert elemet i G+o Af Ib-al E G+ ville f lge ~lb-aie G+ og ~Ib-al Ib-al = O. Dermed er sretihge bevist. < Ib-al. Altsa er Defiitio E f lge (a ) pa G kaldes voksede, hvis - "I E.: N(a ~ a + 1 L stregt voksede 1 hvis V E N(a < a _ 1 ). Aalogt defieres aftagede og stregt aftagede. Elcsempel. () Og(~1) er st~gt voksede f lgero Hvis (a) er (stregt)voksede 1 er (-a)(stregt)aftagede. Defiitio Lad A ~ G vrere e delmmgde. Et elemet a E G kaldes majorat for A, hvis Vx E A(a ~ x). Hvis A c Ghar e majorat, kaldes A opad begrmset. Aalogt defieres miorat og edad begrmset. Hvis A er bade opad og edad begrreset, kaldes A begrmset. Ved e majorat (miorat) fer e f lge (a) pa G forstas e majorat (miorat) for mmgde fa I E Nl. F lge (a) Imldes begrmset (opad, edad)1 hvis mregde fal E NJ er begrreset (opad 9 edad). Eksempel. F lge (-1L1) har 1 som majorat og 0 + som mio rat? og er s~uedes begrreset. P lge () har 0 som miorat og er S~lledes edad begrmset. Itet elemet af Q er mrjorat for (), me det ka trekes, at () har e majorat i G. Mmgde G er hverke opad eller edad begrmset. Smtig Ehver koverget f lge er begramset. Bevis. Af (a) ~ a f lger, at der eksisterer tal N E N9

20 Mat 1, M.A. 1~11 saledes at V N(la-al ~ i). For ~ N grelder da, at a-1 ~ a ~ a + i. Heraf f lger, at det midste af elemetere a-1,a,,a _ er e miorat, og at det st rste af elemetere 1 N 1 a + 1, a,,a _ er e majorat 0 1 N 1 Defiitio Et elemet beg kaldes supremum for mregde A ~ G, og vi skriver b = sup A, hvis b er de midste majorat for A. Et elemet a E G kaldes ifimum for A ~ G, og vi skrivcr a = if A, hvis a er de st rste miorat for A. Det fremgar heraf, at e mregde, som har et supremum (ifimum) or opad (edad) begrreset. Det er edvidere klart, at it A og sup A er etydigt fastlagte ved de foreskreve egeskaber, hvi s de overhovedet eksisterer. Dksempel. I legemet Q har mregde f~1 I E N1 supremum 1 og ifimum 1. Mregde N har ifimum 1 me itet supremum. Mregde fx E Qlx 2 < 21 har hverke ifimum eller supremum. Sretig N dvedigt og tilstrrekkeligt for, at beg er supremum for A ~ G or, at f lgede betigelser er opfyldt Vx E A(b ~ x),.aalogt for ifimum. V8 E G 3x E A (x > b - 8). + Bevis. De f rste betigelse udtrykker, at b er majorat for..:\., og de ade betigelse udtrykker, at itet midre tal er m8jorat for A. Deraf f lger pastade umiddelbart. Vi bemrerker, at lighedsteget i de f rste betigelse er v@sctligt, idet b = sup A ka vrere et elemet af A. Derimod er det ude betydig, om der i de sidste betigelse krreves > ellor ~. Tilsvarede er det uvresetligt, om der de to steder i

21 Mat 1~ M.Ao 1.12 de~iitio 1.20 skrives >«) eller (~). De~iitio Et par (A~B) a~ delmregder A ~ G, B ~ G kaldes et sit i G~ ss.~remt ~ lgede betigelser er 0:9~yldt: A ~ 0, B ~ 0, A u B = G Vx E A Vy E B(x < y). Sittet (A~B) siges at vrere bestemt a~ elemetet c E G, sa~remt c cr dct st rste elemet i A eller det midste elemet i B. Hvis c er det st rste elemet i A, bestar B etop ~ alle elemeter, som er st rre ed c, og B har da itet midste elemet. Hvis B har et midste elemet~ ses aalogt, at A ikke har et st rste elemet. Et sit er der~or bestemt a~ h jst et elemet a~ G, og et elemet at' G bestemmer' jagtigt 2 si to Dar ka evotuclt eksistere sit i G, som i~ce er bestemt a~ oget elemet a~ G. Sretig Hvis et ordet legeme Ghar e a~ ~ lgede tre egeskaber, har Galle tre egeskaber: 1 ). Ehver opad begrreset ikke tom delmregde a~ Ghar et supremum. 2)0 Ethvert sit i G er bestemt a~ et elemet a~ Go 3). Ehver voksede, opad begrreset ~ lge pa G er koverget. Bevis. Sretige udtaler, at pastadee 1),2) og 3) or 10- gisk rekvivaleto, altss. at ehver a~ dem med~ rer de to adre. Dette vil v~re bevist, hvis det lykkes at vise implikatioere 1) =>2), 2) => 3) og 3) => 1). Vi agriber e ad gage.

22 Mat 1, M.A ) - 2). Vi atager at 1) gmlder. Lad (A,B) vmre et sit i U. Ethvert elemet i B er e majorat for A. Af 1) ~ lg8r derfor eksistese af et elemet 0 = sup A. Da 0 er majorat for A, er o ~ ethvert elemet i A. Da 0 er de midste majorat for A~ er o ~ cthvert elemet i B. Da 0 tilh rer A eller B, cr c det st rste clemet i A eller det midste elemet i B. Dermed bar vi vist pas tde. 2) - 3). Vi atager~ at 2) grelder. Lad (a) vmre e voksede, opad begrmset f lge pa G. Lad B vrere mmgde af majorater for (a)' og lad A vmre overskudsmmgde G\B (mmgde af elemeter af G, som ikke er elemeter af B). Vi har abebart A t 0, B ~ og A IJ B = G. Af a A f lger, at a ikke er majorat for (a)' Der ~ides altsa et, sa a < ao Me for b B er a < b. Altsa er a < b. Dermed har vi vist, at (A,B) er et sit. Af 2) f lger u, at der fides et elemet 0, som er st rst i A eller midst i B. Vi vii Vise, at (a) -+ o. Lad 8 vrere et elemet af G+. Vi har da 0-8 A, 0+8 B. Altsa er 0+8 majorat for a 9 og vi har 'V N(a ~ OH:: ). Da 0-8 ikke er majorat for a' eksisterer N N, sa an > 0-8. Me da (a ) er voksede, f rer dette 'V ~ N(a > 0-8). Dermed har vi vist, at 'V? N(/a-a / ~ 8). Dermed har vi vist pastade. med- 3) - 1). Dette bevis er e hel del mere subtilt ed de to foregaede. Vi bemrerker f rst, at f lge () ikke er koverget. At () -+ 0 G f lger emlig, at vi ka vrelge, saledes at I-oj ~ ~ og /+1-01 ~ ~, me det ville medf re, at 1 ~ /(+1-o) + (o-)/ ~ /+1-o/+/o-/ ~ ~, hvilket ik.ke er rigtigt. Lad os u atage, at 3) gmlder o Vi ka

23 Mat 1, IvI.Ao da slutte? at f lge () ikke er opad begrffiset. Lad u A ~ G vrore opad begrceset. Der eksisterer da e majorat b for A. Me b er ildw majorat for () 0 Al tsa ka vi vrolge N E N, salede s at h < N, og sa er N e majorat for A. Da () ikke er opad begrreset, er (-) ikke edad begrreset, og vi far derfor aalogt~ hvert j E N betragter vi aile tallee ~, hvor. 2 J P ~ - 2 J N 1 er -lj ikke majorat for A, me for p 2 at vi lea vrelge N1 E N, sa -N 1 ikke er majorat for A. For etp E Z. For jorat for Ao Heraf f lger, at vi for hvert j E N ka vrelge det st rste tal p. E Z, for hvilket ~ ikke er majorat for A. p. 2- J 2 j er ~ = ~ Pj+1 2 J 2 j+1 ' og det medf rer, at Pj+1 ~ 2pj eller j+t? 2 :g. Altsa or (~) e voksede f lge pa G, og da itet af des ele- 2 J meter er majorat for A, er de opad begrroset og derfor koverget mod e grrosevrerdi a. For b > a er b-1- ikke majorqt for -a (), og vi ka derfor vrolge E N, sa > b2a,altsa ~ < b-a. Me sa &q vi ogsa vrolge j E N, :p. ytter, at ~ S a at 2 J -, sa 1 < b-a. Sa far vi, idet vi ud- 2 j p.+1 og da ~ er e majorat for A, er b e majorat for A. Altsa 2 J er itet elemet af II. st rre ed a. Dermed har vi vist, at a er e majorat for A. For b < a ser vi gaske aalogt, at vi lea vcelge j E N, saledes at _1 < a - b, og vi far da, idet vi udytp.+1 ter, at...l- er majorqt for A, og derfor ~ a, at 2 j 2 j ~ 2 j = Pj ~2 a > b 2 j - j, J hvilket viser, at b ikke er majorat for A. Dermed har vi vi st:

24 Mat M.A at a er de midste majorat ~or A9 altsa9 at a = sup A~ og dermed er sretige bevist. A~ bevisets sidste a~sit ~remgar u, at de ordede legemer, der har de i sretig 1.28 omtalte egeskaber, tillige har de i ~ lgede de~iitio omtalte egeskab. De~iitio Et ordet legeme G kaldes Archimedesk, hvis delmregde NeG ikke er opad begrreset. Dot kommer ud pa det samme at ~orlage~ at ~ lge () ikke er begrreset, og det er ige esbetydede med, at der til ethvert elemet a~ G svarer et aturligt tal som er st rre. Dette er ige esbetydede med, at (~) ~ o. Aksiom Mregde R a~ reelle tal or et ordet legeme, som har de i sretig 1.28 omtalte egeskaber. Dette er ikke e defiitio. For det ~ rste, er det ikke pa ~orhad klart, at der eksisterer ordede legemer med de omtalte ogeskaber. Fa de ade side er det klart, at der ~ides mage, hvis der ~ides et. De ~ rste vaskelighed kue overvides ved kostrukti vt at opbygge et legeme med de slwde e- ge11.s1~aljor som e udvidelse a~ ~~, der ige kue opbygges som e udvidelse a~ N. Dette er virkelig geem~ rligt9 me ret tidskr@vodo o Det ville ogsa klare de ade vaskelighed9 idet kostrlli~tioe ville give et gaske bestemt ordet legeme o Dot er imidlertid ogsa rigtigt~ at alle legemer, der har de i sretig 1.28 omtalte egeskabor, i e vis forstad or es, sa det ilti~e spiller oge rolle, hvilket a~ dem vi udrever til R. Elemetere a~ R kaldes (reelle) tal. Vi siger reol tal ~ lge i stedet ~or ~ lge pa R. Nar e tal~ lge (a) kovergorer mod a E R kaldos a grresevrerdi ~or (a ). Vi siger ovortal og 11.

25 Mat 1, M.A udertal i stedet for majorat og miorat. Lejlighedsvis beytter vi topologisk ispirgrede betegelser og kalder R de reelle talliio eller talakse, og et tal a E R kaldes da ogsa et pukt af de reelle talakse. Sretig Hvis e mregde A ~ R er edad begrreset, eksisterer if A og if A = -sup(-a). Ehver aftagede, edad begrwsot f lge pa R er koverget. BGvis. Hvis a E R er udertal for A er -a overtal for -A. Heraf f lger de f rste pastad umiddelbart. Hvis (a ) er afta gede og edad begrreset, er (-a) voksede og opad begrreset, altsa koverget. Heraf f lger de ade pastad. Defii tio )'~ Ved de udvidede reelle talakse R' f'or-, ~:( star vi mamgde R =:R tj f - oo,ooj ordet, saledes at ordige stemmer med ordige pa R, og saledes at 00 er det st rste og - 00 det midste elemet. Regeoperaloere pa :R udvides delvis til R~;;, idet vi sretter a + 00 = = 00 for a E R og a - 00 = = -00 for a E R samt a 00 = 00 '00 -a. 00 = = -00, a. -00 = = -00 og -a -00 = =00 for a E R + "( Nu er 00 majorat og -00 miorat for ehver delmregde af ft", og det bevirker, at sup A og if A bliver defierede for ehver >;' iklm tom mregde A c;: R'. Hvi s A har et overtal, der tilh rer R, bliver sup A det samme som f r. I modsat fald bliver sup A = 00 Aalogt for ifimum. Vi bemrerker, at de tomme mregde ~j far et- >!< hvert tal i R som bade overtal og udertal, og derfor far de -00 som supremum og 00 som ifimum. Vi vii foretrrekke ku at defiere if A og sup A for A 1 0, sa vi altid har if A ~ sup A.

26 Mat 1, M.A Vi uderstreger, at R* er e ordet mregde, me R>~ er hvcrlw gruppe ~ rig eller legeme. De a:f rte udvidclser at +,I..,I.. ".: og ti 1 R'" er ikke de:fierede pa hele R... x R" ~ og de op:fylder ikke aile de regler, vi har krrevet op:fyldt :for e rig (cller blot :for e gruppe). De:fiitio L. )" For a, b ER'" og a < b kaldes mregdere [a, b ] == {x E R'" a ~ x ~ bj [a, b [ ::= fx E R~< a ~ x < bl ]a~ b ] fx E R* a < x ~ bl ]a, b [ fx E '... ==, ::= R a < x < bj ", itervaller. For a,b E R kaldes [a,b] a:fsluttet, ]a,b[ abet og ]a,b] og [a,b[ halvabe. For a E R kaldes ]-oo~a] og [a,oo[ a:fslutteqe halvliier og ]-oo,a[ og ]a~oo[ kaldes abe halvliier. Edvic1cre Imldes [a,a] ::= faj et udartet iterval, og (2) kaldes det toidm8 iterval. Somme tider tillader vi os stiltiede at :forudsrette, at itervaller ikke er udartede eller tomme. Puktere a og b kaldes selv:f lgelig edepuktere a:f [a,b], [a,b[ etc. Et iterval er begrreset~ hvis og ku hvis edepuktere tilh rer R. E del- mregdc a:f R er begrreset, hvis og ku hvis de er ideholdt i et begr@sct iterval. Dc :f lgede s$tiger om itervaller er udertide yttige, me de ra dog rerest op:fattes som velse i at uc1ytte i:fimum og supremum. Sretipg :'t: E mregde A c R ku hvis :f lgede betigelse er op:fyldt: er et iterval, hvis og

27 Mat 1~ M. Ao 1.18 Bevis. Det er klart)at betigelse er dvedig. Lad u A vrere e m@gde~ som op~ylder betigelse. Hvis A ikke ideholder midst to pukterjer A et tomt eller et udartet iterval. Hvis A ideholder to purlliter)er i~ A < sup A. For Z c '- Ji~ A~sup A[ grelder U 9 at z hverke er udertal eller overtal ~or A. Vi ka der~or vrelge x E A og Y E A9 saledes at x < z < Y9 altsa z E [x,yj, me sa giver vor betigelse, at z E A. Dermed har vi vist~ at Ji~ A9 sup A[ c;: A. Pa de ade side er A ~ [i~ A9sUp AJo Altsa er A et a~ de ~ire itervaller med edcpulder i~ A og sup A. wtig For e vilkarlig mregde a~ itervaller grelder9 t ~rellesmregde'er et iterval, og hvis dette ikke er tomt9 er foreigsmregde tillige et iterval. Bevis. Hvis x og y med x < y tilh rer ~rellesmregde9 tilh rer x og y hvert af itervallere, me sa er [x,yj delmregde a~ hvert af itervallere og dermed af ~rellesmregdeo Derofter ~ lger de ~ rste pastad umiddelbart af sretig Hvis frellesmregde ikke er tom, ka vi vrelge c i ~rellesmregde3 Hvis x9y tilh rer ~oreigsmregde vii itervallere med x og y som det oe edepukt og c som det adet tilh re foreigsmwgde, og ved at ga de mulige tilfrelde (x ~ c ~ Y9 C ~ X ~ y, x $. y ~ c) igeem9 far Vi9 at [x,y] tilh rer foreig smregde 0 de sidste pastad bevist. Dermed er Vi skal u vise ogle sretiger om i~imum og supremum. ku Vi vil/bevise sretigere om supremum, idet sretigere om ifimum vises helt aalogt. Sretig Af A ~ B ~ R og A ~ 0 ~ lger sup A ~ sup B, if A ~ i~ Bo

28 Mat M.A. 1,,-19 Bevis. Pastade i' lger umiddelbart ai', at sup B er over tal i'or B og dermed i'or A, medes sup A er det midste overtal i'or A. Sretig Ai' A ~ R, B ~ R, A ~ 0, B ~ 0 og i' lger Va E A Vb E B(a ~ b) sup A ~ i ' B. Eevis. Lad b vrere et elemet ai' Bo Sa er b et overtal i'or.\., al tsa sup J\. ~ b. Da dette grelder i'or ethvert elemet b E B, er sup A et udertal i'or B, altsa sup A ~ i ' B. Kommetar: Vi beviste i' rst Vb E B(sup A ~ b). Lreg mrerke til at bcviset i'or dee pastad idledes med: Lad b vrere et elemet ai' B. Vi ma sa passe pa ikke at beytte adre egeslmber v:ed bed b E B og hvad derai' i' lgero Resultatet vil da abebart VcDre gyldigt i'or ethvert b i mregde B. (Et ulad-vrere-bevis"). Sretig Ai' A ~ R, B ~ R, A ~ 0, B t- 0 i' lger sup(a + B) - sup A + sup B i '(A + B) = i ' A + i ' B. Bevis. For a E A, b E B grelder a + b ~ sup A + sup B. J.l tsa er sup A + '3UP B et overtal i'or J'\. + B, altsa sup(.:\. + B) ~ sup "\. + sup B. Lad a vrere et elemet ai' ~\. For b E: B er a + 1) ~ sup(a -- B), altsa b ~ sup(a + B) - a o Dermed har vi vist, at sup(a + 13)-a er et overtal i'or B, altsa sup B ~ sup(a+b) -a, hvilket agsa ka skrives a ~ sup(a+b). - sup B. Dermed har vi vi s t ~ at sup (A--B ) - sup B er et overtal i'or A, al tsa sup ;~ ~ sup (A+B ).. sup B, hvilket er esbe tydede med

29 Mat 1~ M.A sup A + sup B ~ sup(a+b). Derved har vi stiltiede f'orudsat~ at sup B og sup(ihb) ikke begge er 00, me i dette specieiie tiif'reide er relatioe abebart rigtig. Dermed er sretige bevist. Hvis M er e viikariig mregde, og f,g: Mid i R er to afbildiger, defieres summe f + g: Mid i R som bekedt ved (f'+g)(x) = f'(x) + g(x). Vi vii u vise sretige: 8retig Iige arbildiger f,g: Mid i R grelder Lad M vrere e viikariig mregde. For vilkar ' irrf f(a) + sup J 1 I sup f(a) + irrf "" sup(f+g) (A) ~ sup f(a) + sup g(a) Bevis. Da vi har (f+g)(a) = [f(x) + g(x)lx E Al ~ [f(x) + g(y)ix9y E AJ = f'(a) + g(a) 9 f lger gyldighede af det f rste og det sidste ulighedsteg af sretig 1.36 og sretig Heraf f lger u sup g(a) ~ sup(f+g )(ll.) + sup( -f(a)) = sup ( f'+g) (A) - if f'(a), hvilket giver irrf fu;.) + sup g(.a) ~ sup (f'+g )(A). De tre resterede uligheder vises gaske aalogt. Hvis e voksede taif' lge (a) og e af'tagede talf lge

30 M.A (b ) til1'redssti ller betigelse V'( 3. ~ b ) ~ 1'ar vi e "iter- valids83vrig" og det vii da g831de, at itervallere har midst et 1'8311es pulc" idet supfa l er st rre eller lig ethvert a' me midre eller Iig ethvert b, idet b er overtal 1'or 1' lge (a). Ude bevis skal vi meve, at dee egeskab (og edda ku 1'or itervai1' Iger~ hvor itervall83gde gar mod 0) 1'or Archimedesk ordode legemer med1' rer de i s83tig 1.28 omhadlede egeskaber. Vi vii u ga over til e mere idgaede behadlig a1' tal- 1' lger. 883tigere om regig med tal1' lger er behadlet i gymasieudervisige og vii ikke blive getaget her. I stedet 1'or (a) ~ a vii vi ogsa skrive lim(a ) = a eller lim a = a. Defiitio Vi siger at (a) gar mod 00 (eller divergerer mod 00), ar f lgede betigelse er opfyldt ~oo og vi skriver (a) ~ 00 eller lim(a ) = 00 Aalogt defieres (a) ~ -co Vi bemrerker, at defiitioe giver meig ogsa for f lger o,,* 0 pa R, altsa 1' lger, hvor visse led er -00 eller 00. Dette vii vi lejlighedsvis udytte. Sretig For e voksede f lge (a ) grelder Bevis. Hvis supfal E Nl tiih rer R, er (a) koverget

31 Mat 1, M.A mod et tal a E R. Da elemetere a + 1,a + 2, er? a er a ~ a ;i.l t sa er a overtal. Fa de ade si de er de t klart, at (a ) ikke ka kovergerer mod oget adet overtal ed det midste. For sup~al = ~ og b E R fides et N med an ~ b, og sa er a f b for ethvert ~ N. Dermed er sretige bevist. Defii t.i o Lad (a ) vrere e talf lge. Et tal b E R* kaldes et reste-overtal, hvis mregde fla > bl er edelig. 2\.810et defieres et ~8te-udertal. Ifimum for mregde af wstc-overtal kaldes limes superior Rf (a) og beteges lim sup(a ). Supremum for mwgde af reste-udertal kaldes limes iferior af (a) og bet~ges lim if(a ). Swtig For e talf lge (a) gwlder Bevis. Idet ethvert reste~udertal er ~ ethvert resteoverto.1 9 f lger pastade afswtig Swtig N dvedigt og tilstrwkkeligt for, at (I:).-) --+ a 9 er, at Bevis. Lad os f rst atage, at (a) --+ a, og lad 8 vwre et positivt tal. Sa ligger a i itervallet Ja - 8,a + 8[ udtage for cdelig mage vwrdier Rf. Altsa er a - 8 wste-udertal or; a + 8 er wste-overtal, og derfor er a - 8 ~ lim if(a ) ~ lim sup(a ) ~ a + 8 og da dette gwlder for ethvert 8 > 0, ka vi slutte, at lim if(a ) = lim sup(a ) = a. Dermed har vi vist, at betigclse er dvedig. Lad. os derwst atage, at

32 Mat 1, M.~\' lim i~(a) = lim sup(a ) = a, og lad e vrere et positivt tal. Sa er ( - e resto-udertal og a + e reste-overtal, me dot mad,,:,. f rcr otop, at a E ]a-e,a+e[ udtage for edelig mage vrerdier 8f', al tsa at (a) ~ a. Dermed er sretige bevist, ar a har o edelig v~'lrdi. Nu er (a) esbetydede med, at eth7a..,t b E R Er reste-lmdertal, altsa med lim if(a ) == 00 og pastadel ~ f lger sretig Aalogt for (a) Dermcd er scetige bevi 1. ~5. For ehver talf lge (a ) grelder Bovi s. F lge (sup f a k I k ~ J) er aftagede At b or res ter:covertal er esbetydede med, at b er ~ et eller adet elemet i de e f lge. Altsa kovergerer f lge mod ifimum for mregde af resto-overtal, og dermed er de sidste relatio bevisto De f rsto vises aalogt. Det fremgar umiddelbart af defiitioere, at lim if(a) og lim sup(a ), hvis de er edelige, er karakteriserede ved de egoslmber, der er atydet pa f lgede ski tse. a her ror uedelig mage ~! a her f'or h jst ede lig mage a her for uedelig mage a her hpjst for ede lig mage 11

33 Mat 1, M.A Det abefales i strerkest mulig grad at illustrere bevisere med skitser som dee. De er avlig e vrerdifuld st tte ved ar~ bejde med l sig af opgaver. De er midre velegede til abri~ gelse i e frerdig tekst, og det er derfor dvedigt i forelresigsoter, som de foreliggede at beytte e formulerig, der ku i rige grad st tter sig til illustratioer. Hvis (a) er e talf lge og (P) er e stregt voksede f lle af aturlige tal~ er (~p ) e delf lge af(a ). Begrebet delf lge skal altid opfattes pa dee made. For emheds skyld vil vi dog ofte skrive "delf lge (b ) af f lge (a )". S'tig Lad (a) vrere e vilkarlig talf lge. De har da em delf lge, som gar mod lim if'( a) og e delf lge, som gar mod lim sup(a ). Ehver koverget delf lge af (a) har si grcesev[9rdi i itgrvallet [lim if'( a)? lim sup( a) J. Bovis. For ethvert 8, > 0 fides der uedelig mage pen, saledes at/lim sup(a ) - a p l ~ 8. Vi ka derfor vrelge P1~ saledes at Ilim sup(a ) - a p1 1 ~ 1, derrest P2 > Pi' sal~des at Ilim su~(a) - apr) I ~ t~ o.s.v. Derved far vi kostrueret e del- L f lge (a ), saledes at (a ) ~ lim sup(a ). Aalogt for P.fl lim if(a ). For E > 0 fides ku edelig mage p, for hvilke a p ~ lim sup(a ) -/- 8. Me sa vil ige koverget delf lge have grresevrerdi > lim sup(a ) + 8, altsa heller ikke > lim sup(a ). J.. alogt ses~ at ige delf lge har grresevrerdi < lim if(a ). Dermed er sretige bevist. Sretig Ehver begrreset f lge har e koverget del:f lge. \ Dette f lger' umiddelbart af sretig Sretige kaldes

34 Mat 1y Neierstrass-Bolzaots scetig. De udtrykkes ot'te pa de mere suggestive t'orm: E begrceset talt' lge ka udtydes, sa cle bliver koverge t, Scetig Hvis (a) ~ a~ kovergerer ehver delt' lge at' (a) mod a. Dette t' lger umiddelbart at' scetig 1.44 og scetig ge~ Det'ii ti o Talt' lge (a ) kaldes e t'udametalt' l hvis de opf'ylder t' lgede betigelse: Sretig E talt' lge er koverget, hvis og ku hvis de er e t'udametalf' lge. Bevis. Lad os t' rst atage~ at (a) ~ a E R~ og lad e vrere et positivt tal. Vi vrelger N E Ny saledes at For m, ~ N har vi da la - a I ~ la - a 1+la - a I $ e m '- m - ~\ltsa er e koverget f' lge e f'udametalt' lge. Lad derrest (a) vrere e f'udametalt' lge, og lad e vrere et positivt tal. Vi vcelger N E Ny saledes at og aile a med ~ N vii da tilh re itervallet [an - ~JaN + ~]. Sa vii lim if'(a ) og lim sup(a ) tilh re dette iterval, og de er derf'or begge edelige og 0 ~ lim sup(a ) - lim if(3 ) ~ e.

35 Mat 1~ M.A Da 8 var et vilkarligt positivt tal, ~ lger hera~, at lim if(a ) = lim sup(a ) og af sretirig 1.44 ~ lger (a) or koverget. Dermed er sretige bevist. derefter, at Betydige a~ scetig 1.50 er, at de giver os e mulighed for at uders ge om e f lge er koverget, ude at grcesevcerc1ie selv idgar i uders gelse. Scetige kaldes det almidelige kovergespricip eller Cauchy's kovergeskriterium. Eksempel. 3'or a = ~ 2- k cos k x, k=1 hvor x er et vilkarligt reelt tal, far vi a +p -a +p -k = ~ 2 cos k x, k=+1 al tsa I a +p -a I ~ +p k +p -k ~ 2- Icos k xl ~ ~ 2 < 2-, k=+1 k=+1 og for 8 > 0 ka vi vcelge N, saledes at 2- ~ 8 for? N. Altsa er (a) koverget if lge det almidelige kovergespricip. Grcesevcerdie kommer til at a~hcege af x, og de de~ierer e afbildig a~ :R id i R, me vi far ikke cermere oplysig om, hvad det bliver for e afbildig. Harmed vii vi betragte geemgage af de reelle tals teori som afsluttet i f rste omgag. Vi vii fortsrette med e geemgag a~ de komplekse tals teori, me det vii vi g re pa e holt ade made, idet vi ud fra R kostruerer et yt legeme 0, de komplekse tals legeme.

36 Mat 1~ M.A Defiitio Ved et komplekst tal forstar vi et ordet par (a,a 1 2 ) af reelle tal. Ved de umeriske vrerdi (modulus) af det lwmplekse tal a = (a1~a2) forstar vi lal = v(a~ + a~). E vikel e (malt i radiaer) kaldes et argumet for det komplekse tal~ safremt a = (Ialcos G, lalsi e). For a ~ 0 kaldes det specielle argumet~ der ligger i itervallet J-rr~rrJ hovedargumetet for a. For a = (~1,a2)~ b = (b 1,b 2 ) defierer vi Ved det kojugerede tal a til a forstar vi tallet (a 1, - a 2 ). Mcegde af komplekse tal beteges C. P'1rret (a ) er koordia ter for e vektor ~ i plae, de til det komplekse tal a svarede vektor. Til a+b svarer etop vektore ~+ Vi adderer al tsa komplekse tal som veldorer. Derfor er addi tioe associati v og lwmmutati v. Edvidere er o = (0 9 0) eutralelemet, og vi far e til additioe svarede subtralcti o defieret ved a-b = (a 1 -b l' a 2 -b 2 ). Dermed har vi vist, at C med kompositiosregle + er e gruppe. Dot ses umiddelbart, at multiplikatioe er kommutativ. Med c = (c 1,c 2 ) har vi Dermed har vi vist~ at multiplikatioe er distributive

37 Mat 1, M.A far vi ab = (Ial Ibl (cos G 1 cos si 8 1 si g2)' lal Ibl(cos 9 1 si cos 9 2 si 8 1 )) = Vi ka altsa multiplicere to komplekse tal ved at multiplicere de umeriske vwrdier og addere et argumet for hvert tal. Dette medf rer abebart, at multiplikatioe er associativ. Edvidere fik vi vist regle I ab I = I a I / b I. Specielt far vi (1,0)(a 1,u 2 ) = (a 1,a 2 ), hvilket viser, at multiplikatio (1,0) er eutralelemet for '.,0 FOI' (a 1,a 2 ) ~ (0,0) er sa vi har --1 a Dermed har "i vist, at C er et legeme. Dr, / a/ etol) er lamgde af vektore a, har vi trekatsulig- hede

38 M.A Vi vii derfor tillade os at idetificere disse specielle komplekse tal med reelle tal, idet vi sretter (a 1,o) ~ k E :Fe far vi da a 1 " For Vi sretter u (0,1) = i, og vi far da Et komplekst tal ka saledes udtrykkes simpelt ved to reelle tal og dot specielle komplekse tal i. Vi har.2 ). ::: (0,1)(0,1) = (-1,0) ::: -1 0 Det kom~lekse tal (a 1,a 2 ) = a 1 + ia 2 = a siges at have realdel a og imagirerdel a 1 2 Vi skriv-er a ::: Re a, a 1 2 = lm a. Bvis a 2 = 0, or a reelt. Bvis a ikke er reelt, kaldes a imagirert. Bvis a 1 = 0, kaldes a ret imagirert. Med Arg a beteger vi hoved vmrdie. af argumetet til a. Med arg a heteger vi mregde af argumeter til a. Tallet har ethvert reelt tal som argumete Vi har mregderelatioe arg(ab) = arg a + arg b. Det kojugerede tal til a ::: a 1 + ia 2 er a ::: a 1 - ia20 De tilsvarede vektorer er symmetriske med hesy til de f rste koordiatakse. Vi bemrerker, at a + a = 2 Re a, a - a = 2 i lm a, aa = lal 2 Edvidere har vi regereglere a + b = a + b, ab = a b

39 Mat 1~ M.A& 1.29 Dette betyder? at de ved ~(x) = x bestemte arbildig ~:C pa C bevarer regeoperatioere. E sada afbildig ar et legeme. pa'sig selv kaldes e automorri. Eksempel. Regig med komplekse tal roregar som regig med reolle tal~ idet det udyttes, at i 2 = -1: (2 - i 3)(4 - i) = 5 - i 14.J±=.i = 2-i3 = 11 + i = 13 + i 10 ' J\r mul tiplikatiosregle rar vi umiddelbart Moi vres formel ror E N. For a ~ 0 grelder rormle edda ror E Z~ hvilket ogsa r lger umiddelbart ar multiplikatiosregle. Vi betragter et polyomium P derieret ved P (z) hvor koerricietere a v = b v + ic v ' v = O~ ~>er og hvcr z = x + iy er kompleks. For a E C ka vi dividere p(z) mod z - a~ og derved far vi e relatio ~z E C(p(z) = (z - a) Q(z) + r)? komplekse tal, hvor divisiosreste r er et komplekst tal. Specielt giver relatioe i parete se, at p( a) = r, og a er derror rod i P~ hvis og ku hvis z - a er divisor i P. Hvis a er rod i polyomiet P? som er ar te grad)) har vi der:for

40 Mat 1, p(z) = (z - a) Q(z), hvor Q or et polyomium, hvis grad er - 1. Det ka trekes, at Q ikke har a som rod, me uder aile omstredigheder rides der et aturligt tal p ~, saledes at og vi siger da, at rode a har multiplicitet p, eller, at a er e p-dobbelt (p-multipel)rod. Nar vi treller r dder i et polyomium) er det oi'te hesigtsmressigt at trelle e p-dobbelt rod som p r dder, og det t'remgar da umiddelbart at' overvejelsere, at et polyomiu~ at' grad h jst har r ddero Hvad vi idtil u har sagt om polyomier,grelder for polyomier med koet't'icieter i'ra et vilkarligt legeme o Det srerlige ved de komplekse tals legeme er gyldighede at' t' lgedo sretig: to Algebraes i'udametalsretig. Et polyomium at' grad mod komplekse koei't'icieter har etop komplekse r dder. De i'oregaede overvejelser viser, at sretige vii vrere gyldig, hvis det blot greider, at et polyomium at' grad ~ 1 har miclst e rod, og vi t'ar samtidig, at hvis p(z) har r dclere a 1,900qa og h jeste koerficiet a' ka p(z) skrives som et produkt p(z) = a (z - a ) 1 (z - a ). Det vii vrere lidt akavet at vise algebraes fudametalsretig allerede u, me vi skal bevise de, ar vi har sa mage hjrelpemidler til radighed, at bevise~ gar ogelude let. Betegelse "algebra" blev i e lag peri ode avedt om teorie for polyomier, me avedes u mere om kompositiosregleres teori,

41 M.A og det har bevirket, at algebraes ~udameta18retig hj emme i ra ters. ti sk aalyse. u h rer Vi vil selv~ lgelig ikke edvrerdige os til at bygge oget op pa algebraes fudametalsretig, sa lrege vi ikke har bevist de. De sltal blot ~ortrelle os, at visse metoder, som vi skal udvikle i det ~ lgede9 er geerelt avedelige. A~ Moivres ~ormel ~ lger, at ligige z = la/cos 9 + i/a/si 9 har l sigsmregde ( lv/a/cos g+~pv + iv/a/ si g+~pv me vrerdiere O,190,-1 idsat ~or p vil give os hele l sigsmresde, idet adre vrerdier al p blot giver os de samme l siger ige. De specielle ligig z = 0 har 0 som -dobbelt rod. Eksempel. Vi vil s ge at bestemme z 0, saledes at hvor a 9b R. Vi sretter z = x + iy9 og ~ider derved ligigere 2 2 x - Y = a, 2xy = b til bestemmelse a1' x og y. Hera~ ~as og ~or 1: ~ ~ar Yi derlor z = c eller' z = -c, hvor For b < 0 ra +i erstattes med -i.

42 Mat M.A Vi vii u vise e yttig sretig: Sretig p. p(z) = ~ a.z J. 0 J J= Lad og Q(z) = i h.z j. 0 J J= vrere polyomier med komplekse koe~~icieter. Hvis de ee a~ de ~ lgede tre betigelser er op~yldt, grelder de aile tre: 1). p = g A a o = b o A a 1 = b 1 A A a p = b p 2). Vz E b(p(z) = Q(z». 3). Atallet a~ elemeter i mregde fz E bjp(z) = Q(z)l er st rre ed savel p som g. Bevis o Det er helt idlysede, at 1) ~ 2) og at 2) ~ 3. Vi skal altsa blot vise, at 3) :=} 1). Atallet a~ elemeter i fz cjp(z) = Q(z)J er atallet a~ r dder i p(z) - Q(z). Hvis.?(z) - Q(z) ikke er ulpolyomiet, er dette atal h jst grade a~ 2(z) - ~(z). Hvis 3) er op~yldt, ka vi altsa slutte, at p(z) - 1q:,(Z) er ulpolyomiet, me det betyder etop, at 1) grelder. Dermed er sretige bevist. li~ sretig 1.52 ~remgar, at P = Q e~ter behag ka ~ortolkes pa ~ lgede to mader: 1) Ydtrykkee p(z) og Q(z) har samme udseede (stemmer overes koe~~iciet ~or koe~~iciet). 2) P og Q er de samme afbildig a~ bid i b. Edvidere ~remgar det, at P = Q, sa~remt relatioe p(z) = Q(z) grelder ~oruedelig mage vrerdier a~ z. Hvis vi sker at vise e idetitet mellem polyomier, spiller det altsa overhovedet ige

43 Mat M.A rolle om beviset svigter ~or ekelte specielle voordier a~ de variable. Sretig Et polyomium p(z) har alle sie koe~~icieter reelle~ hvis og ku hvis PrZJ = p(z) ~or alle z E C. Bevis 4 For ~ar vi og dette vii ~or aile z voore idetisk med p(z'), hvis og ku hvis alle aver reelle. Dermed er sretige bevist. Sretig Hvis et polyomium p(z) med alle koe~ficieter reelle har e rod a, er ogsa a e rod og med de samme multiplici tete Bevis. Hvis a er reel, er pastade triviel. Vi atager altsa, at a er imagirer. ~ sretig 1.54 ~ lger p(a) ~ pta) = o. Edvidere er a ~ a. Vi har der~or hvor P1(z) er et polyomium. Nu er ) - (z-a)(z-a) = z- - (a+a)z + aa et adegradspolyomium med reelle koe~~icieter, og Pi har der ~or ogsa aile sie koe~~icieter reelle. Hvis a ige er rod i PH er ogsa a rod (og omvedt), og vi ka da trrekke det samme adegradspolyomium ud som ~aktor edu egag. E~ter edelig mage skridt far vi

44 Mat 1, M.A ex)j () P j Z 9 hvor hvcrke ex vi st. eller a: er rod i P. (z). Dermed er sretige be J te rr lge algebraes fvdametalsretig har et polyomium ar grad og med lutter reelle koerricieter etop komplekse r ddor, og if lge sretig 1.54 raider de imagirere i par af idbyrdes lcojugerede, og det medf rer ige, at polyomiet ka skri~ yes som et produkt af f rste-og adegradspolyomier med lutter reolle koefficieter, og saledes at aile adegradspolyomiere hclr imagirere r dder. D9fiitio Lad p(z) og Q(z) vrere polyomier af hvilkc ~(z) ikke er ulpolyomiet. Lad M vrerc mregde af r dder i ~(z). Do ved f(z) t= ~t~j dofierode afbildig f:c\m id i C kaldes e brude ratioal fullldio. Vi vii kytte ogle kommetarer til dee deriitio. Hvis vi forlreger br ke, d.v.s. multipliceror p(z) og Q(z) med et og samme polyomium L(z), idskrreker vi defiitiosmregde$ idet vi u ma ikludere r ddere i L(z) i mregde M, me i de tilbagebleve del af defiitiosmregde redres itet. Omvedt ka forkortig af br ke udvide deriitiosmregde. Hvis e relatio ( 1 ) hvor P1(z) og Q1(z) er to ye polyomier, er opryldt ror uedelig mage vrerdier ar z, gwlder

45 Mat 1~ M.A for de samme vrerdier af Z og dermed for aile z E C. Me sa er p( z) Q 1 (z) Q~ z) Q 1 (z~f = P1(Z) Q(z) Q(z) Q1(Z), hvilket viser, at de to br ker ka fremkomme ved at forkorte e og samme br k o Hvis p(z) og Q(z) har e rod a frelles, ka br ke Ef~. ~ forlwrtes med z - a. Er begge br kere i (1) uforkortelige~ ka vi derfor slutte, at Q(z) og Q1(Z) har jagtig de samme r dder og br kere derfor samme defiitiosmregde. Ved algebraes fudametalsretig vises let, at e brude ratioal fuktio i det vresetlige ku er lig med e uforkortelig brude ratioal fulctio, me det samme ka ogsa vises ret algebraisk. Det vii vi dog tkke komme id pa. Vi vil rege brude ratioale fuj::tio-, er es ~ ar de ka fremga af hfade ved at forlamge og for-- korte br,kere. Defiitio E brude rati~al fuktio af forme a (z-a )p., a,a E C, pen kaldes e partialbr k. E sum af partialbr ker ~ a j j = 1 ( z -a j ) p j kaldes reduceret, hvis aile de optrredede revere er idbyrdes forskellige o Det er klart, at ehver sum af partialbr ker ka reduceres (dovos. g res reduceret) ved at br ker med samme rever samles til e br k. Det er ogsa klart, at e sum af de agive form

46 er e brude ratioal i'uktio, idet aile br kere vii have e i'rellesrever, so er et polyomium. 1 de i' I ge!de sre ti g treke r vi 0 s de b rude, ra ti oal e fukti(ls 83ver opl st i t'aktorer at' f rste grad. Dette er alti d mujigt it' lge: algebraes t'udametalsretig, me ved de valgta i'ormulerir.g udgar vi etop at avede dee sretig. ~retig 1. :,7. E brude ratioal f'ukti o f(z) = p(z) ka pa e og ku e made f'remstilles som e sum at' et polyomium og e reduceret sum at' partialbr ker. Fremstillige vii have t'orme f'(z) = P1(z) + ~ v=1 idet vi har ataget, at a 1, o,a er idbyrdes f'orskellige. Bevis. Vi viser f rst9 at f'(z) ka f'remstilles pa de agive form. Beviset f' res ved iduktio ef'ter 83veres grad. Hvis de e er O~ er revere 1 og f'(z) = p(z), sa sage er klar. Vi atager derrest at pastade er vist f'or aile revere af' grad 1> -1. Vi sretter sa vi har og vi m[arker os, at Q(a 1 ) } O~ da vi har ataget, at r ddere a1~"'9a er idbyrdes f'orskellige. Vi har da

47 Mat M.A P(O:1) f( z) = -'--p~---"- (z-o:1) 1 Q(O:1) + Q(O:1) p(z) - P(O:1) Q(z) (Z-O:1)P 1 Q(z) Q(O:1), og ved idsrettelse af Z = 0: i de sidste br ks treller ser vi~ 1 at polyomiet i trellere har 0: 1 som rod. De sidste br k ka altsa forkortes med z-o:10 Efter forkortig med Q(O:1)(Z-O:1) far revere grade Pi P-1~ og de sidste br k har sa if lge iduktiosatagelse e fremstillig af de skede form. De f rste br k er e stambr k. Dermed er pastade bevisto ~ad os u atage~ at f(z) er lig med to forskellige fremstilliger som sum af et polyomium og e reduceret sum af partialbr ker. Vi far da e relatio af forme p(z) = + +, hvor p(z) er forskelle mellem de to polyomier og udtrykket pa h jre side er forskelle mellem de to summer af partialbr ker. Her er kostatere og p(z) selvf lgelig ikke de samme som i f rste del af beviset9 og cx1" 9cxm betyder ikke mere idbyrdes forskellige tal. Vi ka atage 9 at summe pa h jre side er reducereto Vi t' rer u beviset idirekte. Hvis de to t'remstilliger virlcelig var forskellige, vi lie summe pa h jre side iklte forsvide 9 og vi ka da trerure os rrekkef lge at' leddee valgt, saledes at Pi er de h jeste ekspoet, hvormed z1-0: 1 forekommer pa h jre side, og dermed at a 1 ikke er ul. Vi gager u pa beg- Pi ge sider med (z-cx 1 ) 0 Derved far vi + 0+ o

48 Mat M.A Efter at vi har f'orkortet br kere sa meget som muligt~ forekommer z-u 1 ikke mere i oge rever~ me i hver treller i midst f rste potes. Da relatioe er rigtig for uedelig mage vrerdier af Z9 er de ogsa rigtig for Z = u1~ me idsrettelse af Z = u 1 giver a 1 = 0 9 Eksempler: 1 x(x+1) altsa modstrid. Dermed er sretige bevist. x+1-x 1 1 = x(x+1) = x - x (1+x)(1-x) =. 2 I et mere kompliceret tilfrelde, som f.eks. f(z) beytter vip at sretige fortreller os~ forme z3_2z+3 = (Z+i)2(Z_i)2 at fremstillige har p( z) + a 2 + ~ + c 2 + d. (z+i) Z+l (z-i) Z-l Nu er det sa heldtgt, at p(z) forsvider, ar f(z) er e regte br k. Ved at trrehlre aile br kere samme far vi e regte br k e ses i det foreliggede tilfrelde umiddelbart, at trellere bliver af h jst tredie grad og revere bliver af f'jerde grad? og sada e br k ka selvf' lgelig ikke vrere lig med oget adet polyomium e ulpolyomiet. Vi gager u over med revere og far o Det Dette gwlder for aile vrerdier af z. For z = -i far vi specielt al tsa

49 M.A og for z ::; 1 far vi -i-2i+3 ::; -40, altsa c ::; - ~(1-i). Altsa er ::; - 3( z +4z-2) ::; - 2z - 3z + 2 Vi idsretter dette i ligige, samler de kedte led pa vestre side og far 3 7.: 2 ~ 2 z + ~z +z+ ~::; (b(z-i) + d(z+i))(z +1). Nu skal ligige heist kue forkortes med z2+1 - reget fejl. Forkortige giver ellers har vi z + ~ ::; b(z-i) + d(z+i). Dee r'31a ti o grelder for all e vrerdi er af z. Fo... z ::; -i far vi -i + ~ ::; -2ib, al tsa og for z ::; i far 'ri i + ~ ::; 2id, altsa d ::;1_J.,2 24 Dermed er opgave l st. Resultatet blev )(1+1) _ 3(1-i) 2-i3 ) 2 4(z+i) 2 + 4(z-i) 4(z+i 4(z-i) For e uregte br k som f 0 eks. f(z) ::; z4+2z3+z2+z_1 z3+z 2 betaler det sig bedst f rst at spalte fez) i et polyomium og e regte br k. Ved div~sio af reverpolyomiet i trellerpolyomiet

50 Mat M.A ~ar ma polyomiet som kvotiet og de regte br ks treller som rest. I det ~oreliggede til~relde ~ar vi og vi beh ver dere~ter blot at bestemme koe~~icietere a 9 b 9 c i opspal tige z-1 2 z (z+1) Ved multiplikatio med z2(z+1) far vi de ~or aile z E C gyldige rela tio Z - 1 = a(z+1) + bz(z+1) + 2 cz For z = 0 ~ar vi a = -i. For z = -1 ~ar vi c = -2. Da de to led 2 med z pa h jre side ma hreve hiade 9 ka vi slutte~ at b = 2. Vi har dermed ~det de skede opspaltig ~(z) 122 = z + 1-2' + Z - z+ 1 z Hvis reverpolyomiet ideholder e ~aktor (z-a)p9 og bestemmelse af koe~~iciete a i de tilsvarede partialbr k giver a = O~ betyder det, at de brude ratioale fuktio ka ~orkortes med z-a. Det er ikke dvedigt pa ~orhad at sikre sig 9 at de brude ratjoale fuktio er u~orkortelig. Sffirlig iteresse kytter sig til det til~relde9 hvor aile koef~icieter i de brude ratioale ~uktio f(z) er reelle. I dette specielle tilfrelde tilfredsstiller ~(z) betigelse ~Cz) = f(z) De ilcke reelle ~aktorer i reverpolyomie t ~alder i par (z-a)p og (z-a")p9 og leddee i partialbr ksudviklige ~alder der~or

51 Mat 1~ M.A ogsa i par og da der ku ~ides e udviklig a~ r(z) i partislbr ker~ ra det lwjugerede udtryk rremkomme ved at erstatte z med z~ altsa ~a + b = a~_ + CZ"-a)g (z-a)g (z-a)g b, (z-a)<l hvilket ku er op~yldt, hvis b = a Nu er a --'-- + (z-a)<l a (z-cx) g = a(z-a)<l + a(z-a)q ( (z~a)( z-a) ) g Det kojugerede til polyomiet i trollere er altsa etop det polyomium, der ~ab a~ trollerpolyowiet ved at er-statte z med Z 0 Dette me~ rer, at trellerpolyomiet i summe a~ de to partialbr ker har reelle koe~~icieter. De to partialbr ker tilsamme giver saledes et udtryk a~ ~orme s(z) med reelle koe~~icieter, og trellerpolyomiet har grade go For g > 1 ka vi dividere e ~aktor a~ revere op i trellere, og derved i'a sa br ke ka skrives +

52 Mat 1~ M.A. 1.. L~2 og her har S1(z) gl~ade q-2. Ved at getage dee proces f'ar v.l tilsidi3t e f'remr3tillig af' f'(z) som e sum at' et reelt polyo - mium~ e sum at' reelle partialbr ker og e sum at' reelle bl' kcr~ hvis mevere er ])oteser at' reelle adegradspolyomier og I1Vis trellerc er t' rstegradspolyomier. Dermed har vi. vist f"lhgede sretig. ffitig E brude ratioal f'uructio f'(x) :::: ,-~p~(~) _.~o ( ) P1 ( )P( 2 )q1 (2 )~Jl x-cx 1 x-cx x +f3 1 x+'y 1 x +f3. m ::+y m Ira sltri yes pa f'c!rme f'(x) I det reelle tilt'relde ka partialbr kudviklige sel vf\ol" gelig 'lmiddelbart daes pa basis at' de komplekse udv-iklig v me de ka of'te med t'ordel kostrueres direkte. Eltsempler. har e lldviklig af' t'orme og ef'ter multipli3atio med f'rellesrevere t'ar vi :::: (a 1 x+b 1 )(x -2x+2) + (a 2 x+b 2 )(x +1 )(x -2x+2) + (a 3 x+b 3 )(x 2 +1)2 0

53 Mat 1~ For x = i ~ar vi specielt hvora~ vi ~ar ~or x = 1+i ~ar vi hvora~ Ved idsrettelse ~ar vi u 2 2 (a 2 x+b 2 )(x +1)(x -2x+2) = 1 - ( ~x + ~)(x2-2x+2) + ( ~x - i 5 )(X 4 +2x 2 +1) = og forkortelse med x 2 +1 giver og ved divisio med x2-2x+2 ~ar vi og dermed har vi ~udet de reelle partialbr ksudviklig 4x (x -2x+1) Lreg mrerke til, at vi altid etop idsretter e rod i revere ~or at ~a ligiger~ der ku har to ubekedte. Hvis r ddere

54 Mat 1, M.A i a3vere er meget "grimme It 9 ka det evetuel t betale sig at opstille et ligigssystem med ~lere ubekedte, og det da bedst at udytte, at polyomiere pa de to sider a~ lighedsteget har de samme koe~~icieter. For at bestemme partialbr ksudviklige ax+b 2 x -4x+9 + cx+d 2 x -6x+12 skal vi bestemme a,b,c og d, saledes at x -4x = (ax+b)(x -6x+12) + (cx+d)(x -4x+9) Vi udtrykker, at koe~~icietere til hver potes a~ x skal vrere es pa de to sider a~ lighedsteget, og derved ~ar vi ~ lgede ligigssystem a +c -6a + b -4c 12a -6b +9c 12b = 0 +d = 5-4d =-4 +9d = 0 A~ de ~ rste og de sidste ligig ~ar vi c = -a, hvilket idsrettea i de to midterste ligiger -2a 3a 1 - -b = "b.= -4, som l ses 0 pa sredvalig vis. Vi ~ar a = -2, b= -3, c = 2, d = 4, sa partialbr ksudviklige bliver

55 Mat 1, M.A x+3 2 x -4x+9 t Hvis revere simpelhe er e potes ar et adegradspolyomium1ras partialbr ksudviklige ved divisio. Eksempel. x 3 r(x) = (x2+x+1)2 Divisio ar trellere med x2+x+1 giver sa vi rar x-1 2 x +x+1 Eksempel. Fid de tredie dirreretialkvotiet a~ 1 2 x(x -1) Ved direkte udregig bliver dette e hel del hardt arbejde, Vi beytter partialbr ksudviklige x+1 og rar let d 3 1 dx 3 ~::-( x-""2';---1-) = Dermed har vi i hvert raid vist, at partialbr ksudviklig ka vrere til ytte. Vi skal seere se, at der ogsa er adre avedelsesmuliglleder. Vi rorlader u polyomiere og de brude ratioale ruktioer og veder tilbage til studiet ar legemet C ar de komplekse

56 Mat 1~ M.A tal. Vi bemrerker f rst 9 at det er umuligt at orgaisere 0 som et ordet legeme. Vi har emlig set~ at i et ordet legeme er aile kvadrater positive eller u1 9 og det medf rer~ at x 2 +y2 :::: 0 ku ka grelde for x=y=o. Me i 0 er 1 2 +i 2 =09 og heraf f lger alts8.9 at de komplekse tal ikke ka orgaiseres som et ordet tallegeme. Nar vi siger at et komplekst tal ep positivt (egativt)9 reer Vi9 at det er reelt og positivt (egativt). Defiitio E f lge (a) af komplekse tal siges at kovergere mod a E 0 9 og vi skriver (a) ~ a 9 safremt Vi siger, at (a) er e fudametalf lge 9 safremt 8cetig Lad (b ) og (c ) vrere reelle talf lger9 og lad b og c vrere r~elle tal. De komplekse talf lge (b +i c ) vii da kovergere mod b+ic, hvis og ku hvis (b ) ~ b og (C ) ~ c, og de vii vrere e fudametalf lge, hvis og ku hvis (b ) og (c ) er fudametalf lger. Bevis. Hvis (b+ic ) ~ b+ic og e er et positivt tal, ka vi vcelge N~ saledf~s at vi for aile ~ N har me det medf rer, &t og derfor grelder (b ) ~ b og (c ) ~ c. Hvis (b ) ~ b og (c ) ~ c og 8 er et positivt ta19 ka vi vrelge N9 saledes at vi for aile

57 M.A ~ N har og me det med~ rer~ at og deri'or grelder (b +i C ) ~ (b+i c). pastade om ~udame tal~ l- ger vises pa gaske samme made. S03tig E kompleks tal~ lge er koverget~ hvis og ku hvis de er e ~udametal~ lge. Bevis. De komplekse tal~ lge (b+ic ) er koverget~ hvis og l~ul1 hvi s (b ) og (c ) er kovergete (i~ lge sretig ) ~ altsa hvis og ku hvis (b ) og (c ) er ~udametal~ lger (i~ lge sretig 1050)~ altsa hvis og ku hvis (b+ic ) er e ~udametali' lge (i~ lge sretig 1.59). Dermed er sretige bevist. Til slut skal vi reve~ at sretig 1.59 med~ rer~ at de ~ra gymasiet kedte sretiger om regig med kovergete tal~ ~ lger ogsa grelder ~or komplekse tali' lger. Bevisere udart0r til de kedsommeligst trekelige rutie, og vi skal blot vise~ at ((b +ic )(b'+ic' )) ~ (b+ic)(b'+ic'). Ud~ rligt betyder dette J at (b b'-c c' + i(bc'+cb ')) ~ (bbl-cc' + i(bc'+cbt))o Q E~ter s.btig 1.51 skal vi altsa blot vise~ at (b 0 I - C c') ~ b b ' - c c ' og (b c I + c b t) -+ b c ' + c b ' ~ me ved regereglere ~or reelle tal~ lger, ~ lger dette jo a~9 at Hermed ai'slutter -ri geemgage at' de reelle og de komplekse tal~

58 Mat 1, Opgaver Idledig 1 The idea is the importat thig. Tom Lehrer. Opgaver til kapitel 1. Idled1:dg. For reste aile matematiske opgaver grelder, at der sp rges efter et rresoemet. Dette idr mmes ofte gaske abet i opgayes tekst, idet sp rgsmalet stillet pa forme: "Bevis,at ". I adre tilfrelde sp rger opgave imidlertid efter e talvrerdi, e fucl(tio, e relatio e.l., me ogsa i dette tilfrelde er rresoemetet, der begruder det rigtige 8var, vigtigere ed svaret selva For at besvare e opgave ra ma f rst fide frem til de rigtige svar pa de stillede sp rgsmal og til e begrudelse af disse svar. Derrest ra ma redigere besvarelse af opgave, idet de e i regle ku b r omfatte selve svaret tillige med begrudel se, me ikke de ovel"it',ejelser, der har f rt til opdagelse af det rigtige svar. Det lader sig ikke g re at agive oge metode, sam med sikkerhed f rer frem til e opgaves l sig. Visse muligheder ka ma dog altid fors ge. 1. Ma treker over, om ma har lrert e rutiemetode, der vii fore til l sige. 2. Ma tffiker over, om problemet mider sa meget am et i tekste behadlet problem eller om et adet problem, hvis l sig ma keder, at ma ka l se opgave ved at kopiere de der beyttede metode, evetuelt med visse redriger.

59 Mat 1, Idledig 2. Opgaver 3. Ma g r sig klart, hvilket ramateriale ma har at bygge pa (det give, samt kedte resultater, der har med sage at g re). Ma pusler med dette materiale og ser, hvad der kommer ud af det - me uder dette arbejde ma ma selvf lgelig ikke ta~ be malet af sigte. 4. Hvis studiet af ramaterialet ikke f rer til malet, ka ma tu:lke sig opgave l st og studere de derved opstaede situatio. Derved far ma mulighed for at fide frem til de relatioer mellem det give og det s gte, som evetuelt vii f re til opgaves l sig. 5. Somme tider ka ma med st rre eller midre sikkerhed gxtte svaret pa de stillede sp rgsmal. Det grelder da om at begrude 9 at ma har grettet rigtigt. Gretteri er et helt dvedigt led i l sige af matematiske problemer. 6. Hvis ma sker at bevise e pastad, er der ogsa e mulighed at atage, at dee pastad er falsk og at studere de derved opstaede situatio i hab om at a frem til et idirekte bevi So Vi vil kort behadle l sige af e simpel opgave vedr rede e gruppe. Vi skriver ~egeoperatioe som sredvalig multiplikqtio, og vi skriver a 2 for aa og a- 1 for det iverse elemet til a. Neutralelemetet beteges e. Opgave er at vise, at hvis det for ethvert elemet a i gruppe G greider, at a 2 = e, da er G e kommutativ gruppo. Dette er e opgave, hvor der ikke er ret meget ramateriale til radighed. Vi ser lidt rermere pa det give 2 a :=: aa = e 0

60 Mat Idledig 3. Opgaver Dette viser (hvis vi da ellers far je pa det), at a- 1 ~ a, altsa at hvert elemet i gruppe er sit eget iverse. For at vise de kommutative lov, ma vi studere to elemeter a og b. Da vi ved oget om iverst elemet, er det rimeligt at se pa det iverse elemet til abo Det er jesyligt b- 1 a- 1 9 altsa ba 9 me det er jo ogsa ab - me sa er sage jo klar. Maske opdager vi ikke, at a- 1 = a, f r vi giver os til at pusle med to elemeter. Vi ved jo, at ( ab ) ( ab) ~ e. Det er rerliggede ogsa at se pa (ba)(ab), og vi far (ba)(ab) = b(aa)b = bb = e. Me af (ab)(ab) ~ (ba)(ab) f lger jo ab = ba. Edelig kue vi straks vrere gaet i gag med at studere de relatio, der skes bevist, altsa ab = bag Evetuelt fider vi da pa, at ab = ba ==> -1-1 a b a b = e, og hvi s vi u ser pa det gi ve og opdager', at a -1 = a, l1ar vi ige let til e l sig. Det, vi f rst og fremmest vii fremhreve, er, at pusleriet med ramaterialet giver os chace for at opdage de eller de fiesser, der ka f re til opgaves l aig. Det er derfor vigtigt at ma holder godt je med, hvad der sker, mes ma arbejder med disse tig. Lykkes det ikke i f rste om gag, ka det vrere yttigt at studere ramaterialet sa grudigt, at ma har si tuatio:e

61 Mat 1] Opgaver Idledig 4. i eridrig, ar ma gar ~ra arbejdet. Sa er der e chace ~or, at ma seere vii komme i take om, hvad l sige er. r mere komplicerede problemer ra ma vrere idstillet pa, at gode ideer dukker op, mes ma arbejder med oget adet. De gode ideer b r efterpr ves med det samme, og der~or ra ma altid V03re idstillet pa at lregge adet arbejde til side. Visse velsesopgaver har e ade ~orm ~or problemstillig. Det ka dreje sig om opgaver til id velse a~ rutiemetoder. Sa ra ma selv~ lgelig beytte rutiemetode tri for tri~ me udervejs b r ma holde jee abe- dels for at se, om der skulle vrere e gevej, dels ~or at se, om der er chace for e kotrol af regigere. Adre velsesopgaver ~orlager blot et rermere studium a~ e bestemt situatio. Der ka vrere spurgt om udseedet a~ e ~igur eller e ~uktios grafiske billede. Opgaver af dee slags er illustratioer, som supplerer de geemgaede tekst. De er medtaget, fordi de giver de studerede e mulighed ~or selv at g re visse opdagelser, og det er bade opmutrede og lrererigt, ar det lykkes. De vii blive brugt til geemgag pa tavle i vel seskursere,.e ikke ti 1 skri~tlig afleverig. De skri~tlige ud~ormig a~ e opgavebesvarelse omfatter svar pa de stillede sp rgsmal og begrudelse a~ disse svar. Det ovef'or behadlede eksempel er e re bevisopgave; og besvarel # se bestar derfor blot a~ selve beviset. Ha idleder redaktioe a~ beviset med e sorterig a~ materialet, idet uyttige tig udskydes og reste ordes i rigtig rc.eklce~ 1ge. Sa sleri ver ma de t samme ud~orme t gaske som

62 Ma t 1, Idledig 5. Opgaver e tekst i e lrerebog. Besvarelse ar opgave ovefor ka udrormes pa r lgede made: For ethvert gruppeelemet a er aa = e, altsa a vilkarlige gruppeelemeter a og b grelder derror ab = (ab) = b a = bag -1 = a For Dermed har vi bevist, at G er e kommutativ gruppe. Besvarelse ka ogsa udrormes pa r lgede made: og Lad a og b vrere vilkarlige elemeter ar G~ (ab)(ab) = e, (ab)(ba) = a(bb)a = aa = e, sa er me ar (ab)(ab) = (ab)(ba) r lger ab = ba, og dermed er pastade bevi st. E meget kortrattet besvarelse: For a,b E: G er ab = abaa = aba (bb)a = (ab)( ab )(ba) = ba ~ hvilket skulle bevises. Det grelder ror matematisk literatur som ror al ade litteratur, at hver rorratter har si persolige stile Ma b r tidligt s)6ge at ride rrem til e rremstilligsrorm, der :raider 00- turligto Logisk og matematisk symbolsprog ra selvr lgelig idga i redaktioe ar besvarelseo Noge avedelse ar sredvaligt sprog er helt uudgaeligto Avedelse ar ret symbolsprog krrever helt

63 Mat 1~ Opgaver Idledig 6. prrecis ~ormulerig~ og det er ikke praktisk geem~ rligt, idet det giver alt for lage besvarelser. Vi har e matematisk etikette, som giver regler for~ hvilke former for svigtede prrecisio, der er tilladelige Dee etikette er desvrerre aldrig blevet edfreldet pa papiret, og derfor varierer de temmelig meget fra matematiker til matematiker. Det er let at krede led i beregiger samme ved hjrelp af sadae stadardvediger som Itheraf f lger", "hvilket ogsa ka skrives~' Hog ved idsrettelse af (9) i (11) far vi". Logiske teg erstattes pa aturlig made med tilsvarede ord, som Heller", Hog", "medf rer" etc. Sproget tillader dog e vresetlig st rre frihed i bruge af disse ord. F rst og fremmest heledes opmrerksomhede pa, at de logiske teg ku ka sta mellem relatioer. Dertil kommer, at ordee har adre betydiger (f.eks. "syv og i er sekste"). Kvatore 'V erstattes i regle bedst med "ehver". Ordet "alle lf er ikke altid helt emt at omgas. Teget => erstattes med "rekvivalet med" eller "esbetydede med", me vedigere Hhvilket ogss. ka skrives" eller "aderledes udtrykt" ka ogsa avedes. I litterature m der ma ofte formler kyttet samme med "eller lt eller "d.v.s.", me det er ikke altid klart~ om de star for => eller for' =9 Visse selvf lgeligheder b r ikke udeladeso Har ma vist A og A =9 B, b r ma fremhreve, at dermed er B ogss. bevist. Har ma vist e pastad~ der begyder med 3x, b r ma ikke glemme

64 Mat 1~ Idledig 7. Opgaver at vcelge et x i overesstemmelse med de af rte betigelser, f r ma arbejder videre med dette x. I e relatio, der begyder med 3x, optrreder der emlig slet ikke oget "rigtigt" Xo Efter disse almidelige betragtiger vii vi fumle os igeem l sige af edu e opgave: Blor e kompleks talf lge (a) grelder Vis, at talf lge er koverg~to Her er ikke spurgt om grresevrerdie. De stillede betigelse er slet ikke tilstrrekkelig til at fastlregge f lge, og grwsevrerdie er vel heller ikke fastlagt ved det give. Det er uder disse omstredigheder rerliggede at fors ge at vise, at f lge er e fudametalf lge. Vi fors ger derfor at vurdere a +p - a' hvilket ka skrives pa forme ( a -a) + (a -a ) + + (a -a ) p +p-1 ~ og dets umeriske vrerdi ka altsa, ar A er valgt, vurderes ved A +p-1 (+p-1 )! Dee sum er desvrerre ikke alt for overskuelig. Lad os kalde de S u,p og fors ge at vurdere de ogelude forsigtigt: S u,p AP- 1 1 (+1)ooo(+p-1) ) ~ p-1 (A1 1 ~) ).

65 Mat 1, Idledig 8 Opgaver Nu star der e kvotietrre~{e i parete se. De sum er Vi er jo ku iteresserede i store vrerdier af'. Sa er det rimeligt straks at atage > A, og vi ser da, at det sidste udtryk ka vurderes ved 1 = - A 1 -!l Nu er p f'orsvudet. Vi har alt i alt f'aet vurderige =:; A -A! 1 1 -!l Her gar de sidste f'aktor mod 1. Vi ra habe, at de f rste f'aktor gar mod O. De ka abebart skrives A!l. A!l. T. 2 '3.. 0 Det ser jo gaske lovede ud - me det er vor opgave at bevise, A at de gar mod O. 0jesyligt begyder l at aftage, sa sart bliver st rre ed Ao Vi vrelger o > A, og for > o har vi da vurderige A 0 ilt. o o!l ~ A 0 A - ill. o hvilket f'aktisk gar mod O. Ialt f'ar vi!l og vi beh ver blot at vrelge N, saledes at udtrykket pa h jre side 1 1 A '

66 Mat Idledig 9 Opgaver er ~ 8 ~or ~ No Dermed er vi parate til at ~ormulere e besvarelce. Det gpt' ikke oget~ at besvarelse ser ud, som om vi har vreret meget ~orudseede. Vi ka edda vrelge A som et helt tal og vrelge o = A. Altsa: Vi vrelger A E N, saledes at Lad 8 vrere et positivt tal. Vi vrelger N E N, saledes at N > A og \l' ~ AA+1 N ( Al...L A ~ 1-- 8), og ~or.:1 ~ N, P > 0 har vi da I a +p - a I +p Ak-1 A p-1 A k A :B fk-1 )! ~ iit k~o () ~! lc= ~ A - A 1 ~ 1 -!l - 8 Altsa er (a ) e 1udametalf lge og der~or koverget.

67 Mat 1, MA Opgaver 1.1 Lette opgaver. 1. Vi idf rer e komp6sitiosregel pa N ved e af f lgede defiitioer i). pxg er det st rste af tallee p og g ii). pxg er st rste frelles mal for p og q iii). Vp~ g E N(pxq = g). llgiv i hvert af de tre tilfrelde~ om x er associativ og kommutativ, og om der fides et eutralelemet. 2. Vis, at der fides et legeme med de fire elemeter 0 (ul- 2 elemet)~ 1(etelemet)~ a og a = aa~ hvor = a+a = a +a = O. 3. Vis, at betigelse 1) i defiitio 1.13 ikke ka udledes af de vrige betigelser i defiitioe~ idet valget G+ = 0, G = G\~ol sikrer~ at aile betigelsere parer 1) er opfyldt~ 40 Hvilke reelle talf lger (a) opfylder f lgede betigelse: 5. Agiv for ethvert x E R ifimum og supremum for talmregde 6. Vis, at talf lge (~) kovergerer mod 0 for ethvert x E R.. 7. E f lge (a) af positive tal er bestemt ved, at V E N (a 2 1 = a + 2). + Vis, at f lge er stregt voksede, og at 2 er et overtal for f lge. Vis derrest, at f lge kovergcrer mod 2.

68 Mat 19 MA Opgaver Vis~ at [a 1,b 1 J + [a 2,b 2 J ::: [a 1 +a 2,b 1 +b 2 J og agiv tilsvarede relatioer for adre typer af itervaller. 9. Vrier de sidste og vaskeligere del af beviset for Sffitig 1.38 ved. at udytte de i sffitig 1.26 omtal te karakteriserig af supremum for e mregde. 100 Giv et idirekte bevis for sretig 1~37 ved at udytte sretig Agiv if'imum og supremum for ~si x+(1+tg y)-1jx,y E [0,%[ Agiv vrerdiere af de i sretig 1.39 optrredede st rrelser for!vi ::: [09~'TT], f ::: cos, g ::: si. 14. Bestem lim if(a ) og lim sup(a ), idet a cos -2 1 'TT + +1 'si i YYIT ::: Lad (a) og (b ) vrere begrresede, reelle talf lger o Vis, at lim if(a +b ) S - ('11m if(a ) + lim sup(a»), l~ lim sup(a ) + lim if(a ) J Lad (a) vrere e reel talf lge, som kovergerer mod a E R. Lad (b ) vrere e vilkarlig talf lgeo Vis, at

69 Mat 1, IlIA Opgaver 1.3 lim sup(a+b ) ::: a + lim sup b lim if(a+b ) ::: a + lim irrf b 17. Lad (a ) vrere e reel tal~ lge, og lad k vrere et positivt, reelt tal. Vis, at Hvad grelder ~or k < 0, og ~or k ::: 0? '18. Agiv to reelle tal~ lger (a) og (b ), saledes at V(a < b ), lim sup(a ) > lim if(b ). 19. Lad ~: N id i Q vrere e surjektiv a~ildig (d.v.s. ~(N) ::: Q). Vis, at ~ lge (~()) ~or ethvert a E: R har e.. del~ lge, som kovergerer mod a. 20. Lad (a) vrere e reel tal~ lge og a et reelt tal. Det er givet, at hver del~ lge a~ (a) har e del~ lge, som kovergerer mod a. Ka ma dera~ slutte, at (a) -+ a? 21. E tal~ lge (a) er givet, ved at a ::: at ~ (_1)p-1p-1. Vis p:::1 og udled dera~:, at ~ lge er e ~udametal:r lge og der~or koverget. V:. skal aeere se, at grresevrerdie er log 2(... aturlig logari tme). 22. Samme opgave for a::: ~ (_1)p-1(2p_1)-1. I dette til~relde p=1 er grresevrerdie ~, hvilket ogsa vii blive vist seere.

70 Opgaver 1.4 Z Give kort beskrivelse (~igur) a~ puktmregdere ~ Z E b II Z I :::: 1 J, f Z E b II z- 21 :::: 3 J, fz E bjlz-11+lz+11 :::: 21, IZ E bllz-1i+lz+11 :::: '3J 25. Give kort beskrivelse a~ puktmregde ~Z Eel Z :::: -1 v Z :::: 1 v Arg ::~ ~[a,~jj, hvor [a,~j er et deliterval a~ ]-~~,~rrj. 26. Vis at puktmregde hvor a,b E H, pee er tom, hvis ab > Ip12, bestar a~ et ekelt pukt, hvis ab :::: 11",,2 og a 2 + b 2 * 0, medes de ~or ab < Ipl2 er e cirkel, hvis a * 0 og e ret liie, hvis a:::: O. Vis, at ehver cirkel og ehver ret liie i de komplekse pla ka ~remstilles pa de agive ~orm. 27. Vis, at de ved ~(z) :::: z-1 bestemte a~bildig ~: C\fOl pa 0\101 er bijektiv, og at billedet a~ e cirkel eller ret liie er e cirkel eller ret liie (med et rimeligt ~orbehold vedr rede rette liier og cirkler geem 0). Hvilke rette liier a~bildes i rette liier, og hvilke cirkler a~bildes i cirkler?

71 Ma t 1, MA ~' Opgaver La 1. a =. a 1 + j.a 2., b =b 1 +. ib 2 vrere fra ul forskellige komplukse:. tal... \Tis,.at vektorere.~ = (a 1,a 2 ), :e. = (b 1,b 2 ) er vil<.:elrette pa.hiade, hvis og ku hvi s ab + ab = , Fid o.lle l s:i.ger til. hver at' ligigere 30. L s ligige z2 - (2+i4)z -.3+i2 :: o. 31. Vis 9 at polyomiet.. har to dobbel tr dder) og agiv disse. 32. Agi v komplekse partialbr ksudvikliger at' t' lgede brude ra tioale t'ukti oer z-i I), (z+i )" 1 ~, z z +2z+2,. 330 AIlf;i v lwmplel:se partialbr ksudvikliger at' 1 ( z-o; )( z-,6 ) Lvor cx,,6 E C... '. 34. Arl.{;iv t'or E: N, a,b E b partialbr ksudvikliger at' Agi v reelle partialbr ksudvikliger at' 1-6-', x -1

72 Mat 19 ivl\ Opgaver ALiv reelle partialbr ksudvikliger af' =2 ~2O:- 2 x (x- 1)(x+1) 37. Udr'eg ;1 dx o Z x ) "7""C x-+...,.2... )..,-( x ) ~ ; 1 x5 -'""-"'.":"2 dx ~ o (x+1) 38e Udreg de tr edie af'ledede (d. v. s. dif'f'eretialkvotiete af' tredie orde) ai' 39. Agi v de reelle partialbr ksudvilelig af' 40. Hvilke f'ejl er begaet i f' lgede regig: 41 0 Vi s de f'or aile komplekse talf' lger greldede logi slee relatio ( a) ~ a=>( I a! ) ~ I a I Uders g om f' lgede talf' lger er kovergete: ((2+i31 '\ ~\-4-) ), Vaskeligere opgavep. kompositiosregle C 1 x 1 +C 2 x 2 (c 1,x 1 )x(c 2,x 2 ) = (c 1 +c 2, c + c ). 1 2 Er de assocl3. ti v og f'ides der et eutral t elemet?

73 Ma t 'I? lvia Opgaver Vi atager, at det er bevist, at ehver brude ratioal fuktio pa e og ku pa e made ka skrives som e uforkorte1ig br k Vis~ at de sa1edes ormer~de fuktioer ved srodva1ig additio og mu1tip1ikatio udg r et 1egeme K. Vis, at K ideho1- der e kopi af R. Vi. ka1der de brude ratioale fuktio positiv e11er egativ, eftersom a er positiv e11er egativo p Visy at K derved b1iver et ordet 1egeme. Vis, at K ikke b1iver Archimedesk ordet. 45. Lad [a 1,b 1 J vrore et deliterva1 af ]O?oo[. Vi defierer reel- 1e ta1f lger (a ) og (b ), idet vi for E N srotter Vis~ a+1 = 2(a +b ), at (a) b1iver voksede og (b ) aftagede. Visy at (a) og (b ) begge kovergerer mod V(a 1 b 1 ). Vis~ at der for ehver mrogde M med ikke a1t for fa e1emeter eksisterer afbi1diger f 1,f'2: Mid i R, sa1edes at Pi = if' f 1 (M), P2 = if f'2(m), p = if(f 1 +f 2 )(M), q1 = sup f 1 (M), q2 = sup f 2 (M ) ~ q = sup (f 1 +f 2) (M ) Heraf' f' lger, at srotig 1.39 ikke ka skmrpes vroset1igt. 47. For e talf' lge (a) gro1der V E N (a> 0 A a + 2 = a +a + 1 ).

74 Mat 1~ MA Opgaver 1.8 er koverget, og agiv grresevrerdie. 48. Lad b vrere et positivt tal, og lad (a ) vrere e ~ lge a~ po. sitive tal, som tilfredsstiller betigelse Vis~ at (a) ~ vb. Pr v at udytte dette til e tilrermet beregig a~ V Teg e skitse a~ puktmregde A+A~ idet Ace er givet ved A = fz=x+iy Eel x? 0 A Izi = 11. Uders g, om de ved ~(z1,z2) = z1+z2 de~ierede a~bfldig ~: AxA pa A+A er bi jekti v. 50. Pr v at bestemme partialbr ksudviklige a 1 =...Q + + ~ + zp(1-z)g zp z b b g O ( 1-z) g k Multiplicer med zp, dif~eretier k gage (O~k<p) og sret z = 0 0 Udlad at udrege di~feretialkvotietere af de led~ for hvilke det ka ~orudses, at der kommer 0, ar z = 0 idsrettes. Derved bestemmes a ko Resultatet bliver e biomipalkoefficiet ( 1 l = == ~ -k) kl(-k)l Opstil u de tilsvarede (halvvejs kedte) udviklig for de fuktio, der fas ved at bytte p og go I dee erstattes z med 1-z. Derved fas de resterede koefficieter. 51. Vis, at et trediegradspolyomium p(z) = z3+az+b med komplekse lwefficieter har e rod (roeks. ved at l se de sammeh rede

75 Mat 1? lyra Opgilver 1.9 ligiger p(u+v) = Op 3uv = -a). Geemf' r regige f'or de speciolle ligig med reelle r dder a,~ og -a-~, samt t'or ligige med r dder -2a, a+i~, a-i~, hvor a og ~ or reelle. For hvilke reelle apb har ligige aile sie r dder reelle 9 og t'or hvilke har de e multipel rod? Agiv e metode til l sig at' e geerel trediegradsligig. 52. Vis, at et t'jerdegradspolyomium p(z) = z4+az 2 +bz+c har e t'al{tori serig at' t'orme p(z) = (z2 + pz + q)(z2 - pz + r), hvor p ka vrelges som e vilkarlig rod i polyomiet z + 2a z + (a -4c)z - b = 0, og vis derved, at ethvert t'jerdegradspolyomium med komplekse koet't'icieter har e rod. (Lad vrere at geemt' re regigere) 0 Svrere opgaver. De HsvcBre,1 opgaverp som briges i tilslutig til de t'leste kapitler i disse t'orelresigsoter, er sa vaskelige, at de t'leste studerede ku vii kue rege gaske t'a at' demo De er ik}{e alle lige svrere, me de krrever ete temmelig mege opfidsomhed eller e ret betydelig arbejdsidsats. De svrere opgaver vil ihl{e blive avedt ved velsere o De er f rst og t'remmest met som e udf'ordrig til de dygtige studerede. Ehver studet har ret til ar som heist at at'levere besvarelser at' de svrere opgaver til si professor eller istruktor p og sadae besvarelser vii da altid blive rettet.

76 Mat 1~ MA Opgaver Med K beteg6r vi mregde a~ aile afbildiger ~: Z id i R, som til~redsstiller betigelse ( 1 ) 3p E Z ~k < p(~(k) = 0). Mregde K er orgaiseret ved sredvalig additio og ved e multiplikatio, der de~ieres ved 00 cptf; () == ~ ~ (k) tf; (-k), k=-oo idet (1) medf rer, at dee sum ku ideholder edelig mago ~ra ul ~orskellige led, og summe ~ortolkes som summe a~ disse led. Vi kalder ~ positiv (egativ),hvis ~(p) er positiv (egativ) ~or de midste vrerdi a~ p, ~or hvilke ~(p) ~ 0, hvis e sada vrerdi eksisterer. Vis, at I( er et ordet legeme, me at K ikke er Archimedeskordet. Vil3, at det for e aftagede f lge af afsluttede begrresede itervalier pa K greider, at itervallere vii have et frelles puructp hvi s itervallregde kovergerer mod 0, me il~ke al tid ellel~ s. 54. Vis, at det for et ordet legeme K greider, at f lgede to egeskaber er rekvivalete: i). For ehver aftagede f lge a~ afsluttede, begrresede itervaller, hvis lregder kovergerer mod 0, vii itervallere have et frolles pukt. ii). Det aimideiige kovergespricip grelder pa K.

77 Mat 1, MA MA 2.1 Kapitel 2. Uedelige summer. Souvet meme o se servira du lagage courat d'ue maiere bie plus libre ecore 9 par des abus de lagage voletaire 9 par l'omissio pure et simple des passages guio presume pouvoir tro resti tues aisemet par u lecteur tat soit peu exerce, par des idicatios itraduicibles e lagage ~ormalise et destiees a ~aciliter cette restitutio. N.Bourbaki. Lad J og M vrere vilkarlige mregder, og lad ~: J id i M Vffire e vilkarlig ai'bildig. For j E J vii vi betege ~(j) med a j, og vi vii da ogsa betege ai'bildige med symbolet (ajl jej) eller, midre prrecist, med (a j ), og vi vii kalde afbildige e ~amilio a~ elemeter a~ M med idexmregde J. For J = N bliver ~amilie specielt e ~ lge. Ehver mregde M ka op~attes som e ~amilie med idexmregde J = IvI og med ~ som de idetiske afiildig o Vi vii speciel t iteressere os i'or til~reldet M = t. Idette til~~lde er (ajl jej) altsa e ~amilie a~ komplekse tal. Hvis Vj E J(a j E R), er (a j l j E J) e ~amilie a~ reelle tal o Lejlighedsvis vii vi ogsa beskre~tige os med ~amilier a~ positive tal. Hvis J er e edelig mregde, og (aj1jej) e ~amilie a~ komplekse tal, eksisterer ~amilies sum ~ a. I det ~ lgede vii jej \J vi de~iere summer a~ visse ~amilier med uedelig idexmregder.

78 Mat 1, ~ra MA 2.2 Defiitio 2.1. Hvis J er e vilkarlig mregde~ beteger vi med b(j) mregde af delmregder af J og med (J) mregde af edelige delmregder af J. Defiitio 2.2. E familie (a j l jej) af komplekse tal siges at have summe a E C~ hvis og ku hvis f lgede betigelse er opfyldt: V8 > 0 3J E D(J) VI E 1)(J) (J ~ J ~Ia - ~ a.1 ~ 8). o 0 jei J Vi skrjver da ~ a. =: a~ og familie (a.1 jej) kaldes summabel. jeet J J SJ:rivemade ~ a. =: a ville selvf lgelig vrere gaske forjej J kastelj.g9 hvis df:t kurme trekes~ at e familie havde to forskellige summer. Derror viser vi f lgede sretig Smtig 2.3, Hvis e familie (aj1jej) af komplekse tal har summe a og summe b, er a =: be Bevis. Vi atager~ at (a j I jej) har bade sum a og sum b. Lad 8 vrere et posi ti vt tal Vi lea da vrelge J 1 ' J 2 <;;;: :D (J), saledes at VI E 1)( J) (I :;> J 1 ~ I a - ~ a. jej J VI E D(J) (I :;> J 2 ~ I b - ~ a. jej J ~ 8) 0 Vi vwller specielt I =: J 1 IJ J 2, og vi har da 1 a - b I ~ I a - ~ a. I + I b - ~ a. I ~ 28 9 je1 J jei J og da cette salec~es er vist for ethvert 8 > 0, ka vi slutte, at a =: b. Dermed er sretige bevist. Bvis J specj.elt er e edelig sur, ka vi i defiitio 2.2

79 Mat 19 MA t'or othvort 8 vrelgo J o = J, og vi ser, at a i dot tilt'relde bliver de sffidvalige sum ~ a,. Der er saledes tale om e udvidet brug jej J at' det sffidvalige sumteg o Stregt taget burde vi idt' re et yt teg t'or dot udvidede begreb, ligesom vi ogsa burde avede et yt ord i stedet t'or sum, idet de l{edte sretiger om summer ikl:e aile har gyldighed t'or t'amilier at' summer. Sproglige misbrug (abus de lagage) som dee bidrager imidlertid i h j grad til at t'remme over skt:.eli ghe de, og de t'orekommer dert'or meget hyp- 1',i.gt i ra tema til&e. Om e t'amilje er sumrabel eller ikke ka at'g res ved t' lgede Eretig, der je svarer til det almidelige kovergespricii t'or e telt' lge: s~tig 2.4. E t'amilie (a j l jej) at' komplekse tal er summabel, hvis og k~ hvis t' lgede betigelse er opt'yldt: V8 > 0 3J o E (J) VI E (J) (IJ o = 0 ~ I ~ a,i ~ 8). jei J Bevis. Lad os t' rst atage, at ~ a = a, og lad e vrere et 'EJ positivt tal. Vi ka da vrelge J o E tj), saledes at VI E t(j) (I ~ J ~ la - ~ a.1 ~ tr8). - 0 jei J For I E (J) og I J o t 0 har vi da I ~ a.\ = jei J I jej IJI J ~ a. - ~ a'l ~ jej J o 0 Dermed :1.ar vi vist, at betigelse er ll1dvedig.

80 Mat 19 MA MA 2.4 Lad os u atage p at (a' jej) er e familie af komplekse tal, for hvilke betigelse er opfyldt. For E N vrelger vi I E D(J)p saledes at \:1I E :D(J) (IJ = o :} I ~ a 1 ~ 1) 9 jei - J og vi metter J' = J 1 IJ IJ I, og ~ a = b For p > 0 har vi da jej' I b + p - bl = I ~ ai ~ 1 9 'EJ' \J' J +p da (J 1 \J') J = 0. Heraf f lger, at (b ) er e fudametal+p f lge 9 og der eksisterer derfor et komplekst tal a 9 saledes at (b ) ~ a. For I ~ J~ har vi la - ~ a I ~ la - ~ a I + I ~ a I ~ 2 jei jej~ jei\j~ hvilket etop viser 9 at (a j l jej) er summabel med sum a. Det viser sig imidlertid 9 at der fides bekvemmere metoder til at afg re om e forelagt familie af komplekse tal er summabel. Det viser sig emlig 9 at det er bade dvedigt og tilstrrekkeligt9 at mregde af delsummer er begrreset, og det viser sig edvidere9 at ma ved uders gelse af dette forhold ka tillade sig at erstatte hvert tal i familie med si umeriske vrerdi 9 sa det bliver tilstrrekkeligt at uders ge familier af positive tal. Dette er idholdet af de f lgede sretihg. Sretig 2.5. Hvis e familie (ajljej) af komplekse tal har, e af f lgede tre egeskaber 9 har de dem aile tre:

81 Mat 1~ MA MA 2.5 i). (ajl jej) er summabel. ii). Mamgde fl ~ a.11 I E 15(J)l er begrreset JEI J iii). Mregde f ~ la.1 I I E D(J)l er begrreset. JEI J BEVis. Vi viser i' rst, at i) => ii). Vi atager altsa, at (a j I jc::~) er summe.bel. Af 8retig 2.4 f lger, at vi ka vrelge J o E D(J)~ saledes at For I E D(J) har vi da VI E ( J) (IJ = 0 => I ~ a.1 ~ 1). o JEI J I ~ JEI aj.i = I ~ a. + ~ a I ~ I ~ a J 'EIJ o J J'EI\J 0 j - jeij j o Da atallet af aile mulige forskellige mregder IJ o er edeligt, idet J er edelig, er f I ~ a.11 1 E 15(J) 1 e edelig mre~... o jel\j 0 J de og derfor begrreset, og dermed er pastade bevist. Vi vii u vise~ at ii) => iii). Vi atager altsa, at ii) er opfyldt, og vi ka da vrelge K, saledes at me det medf rer, at VI E 13(J) (I ~ a.1 ~ K), JEI J VI E 13 (J) (I ~ Re a 1 ~ K /\ I ~ 1m a.1 ~ K). jel J JEI J Vi betragter e fast valgt mregde I E (J)~ Vi deler I i to mregder

82 Mat 19 MA MA 2.6 og vi har da ~ I Re a 1 = jei J Gaske aalogt viser vi9 at ~ 11m a.1 ~ 2K. Me sa er jei J og da I E (I) var vilkarligt va1gt, er pastade bevist. Edelig skal vi vise, at iii) ~ i). Hvis iii) er opfyldt~ eksisterer tallet K= sup { ~ laj.i/ IE:D(J)L jei Lad B vrere et positivt tal. Vi vre1ger J o E (J)9 sa1edes at ~ la.1 ~ K - B jej J o For I E (J), I J o = 0 har vi da I ~ a 1 ~ ~ I a.1 = ~ I a.1 - ~ I a.1 ~ K -(K-8) = 8 9 jei J jei J jej olji J jej 0 J og dermed har vi vist, at (ajl jej) ti1fredssti11er de i sretig 204 af0rte betige1se. Dermed er sretige bevist. Vi mider om 9 at e mregde J ka1des umerabe1 ("tre11e1ig" har ogss. vreret br'j.gt), safremt der fides e bijektiv afbi1dig cp: :N pa J. Dette er esbetydede med, at der fides e f01- ge 9 som etop bestar af e1emetere i J, og saledes at hvert elemet forekommer etop e gag. At e mregde J er uedelig er esbetydede med, at de har e umerabe1 de1mregde. Vi ska1 u v:i_se e sretig, som afs10rer, at studiet af

83 Ma t 19 M.A '1 MA summetb~.e familiej' i det vresetlige reduceres til studiet af summabie j' lger. SSJtig 2.6. Hvis familie (ajljej) er summabel~ er mregde fjejlaj~ol l~erabel eller edelig. B~:vis. I overesstemmelse med iii) i sretig 2.5 vrelger vi 1\9 s~ue des at 'iii E D(J) ( ~ la.1 ~ K). jei J Lad VCBre et aturligt tal. Hvis la j l ~ ~ for ethvert j E I, er atallet af elemeter i I h jst K. Heraf f lger, at hver af mamgd.(e og fjeji -1-1 s a. < 1J, ::: 1,2, + - J er edelig, me sa er f'oreigsmregde fjejlaj~ol umerabel.af sretig 2.6 fremgar, at e familie (ajljej) ikke ka vrere su:11idabel, ude at a j ::: 0 for aile j E J bortset f'ra e umerabel mregde. Derfor vii vi u rermere studere tilfreldet J ::: N ~ 3.1 tsa de s~mmable f lger (a). Af bevi set for sretig 2.6 fremgelr 9 at det fjr e summabel f lge a greider, at mregde f~n I lal ~ 8J er edelig for ethvert 8 > O. Heraf f lger sretige. Sre~ig 2.7. Hvis f lge (a) er summabel, grelder (a) -+ o. Seetig 2.8. Lad (a) vrere e kompleks talf lge. For hvert E: N s1atter vi A ::: I ail + + I ai. Da vii ehver af f lgede fire be'~igelser medf re de tre adre: i). (~ ) er summabel. ii). (Ial) er summabel. iii) 0 (A) er begrreset. iv). (A ) er koverget.

84 Mat 1~ MA MA 2.8 Bevis. At i) ~ ii) og at ii) ~ iii) ~ lger umiddelbart af sretig 285. Hvis iii) er op~yldt, er iii) i sretig 2.5 ligeledes op~yldt~ og der~or vii ii) vrere op~yldt, At iii) ~ iv) ~ lger a~ sretig 1., da (A ) er voksede. For e ~ lge (a) skriver vi Za i stedet ~or Z a Vi EN har u sretige: 8retis 2.9. Lad (a) vrere e kompleks tal~ lgeo For hvert E: N' scetter vi S = a a' Hvis (a) er summabel vii ~ lge (8 ) kovergere mod Za' Bevis. Lad 8 vrere et positivt tal. Hvis (a) er summabel~ ka vi vrelge e edelig delmregde J a~ N, saledes at det ~or o ehver edelig delmregde J a~ N med J o som delmregde, grelder at Iz a - Z a I ~ 8 9 EJ og hvis N E N vrelges, saledes at J o ~ f1,..,nj, har vi da specielt for p ~ N, at I~ a - 8pl ~ 8, me det betyder etop, at (8 ) ~ p Z a Dermed er sretige bevist. Vi ser a~ sretig 2,8 og 2.9, at e positiv tal~ lge (a) er summabel med sum a, hvis og ku hvis (8 ) ~ a, hvor 8 = a a Eksempel. For ~ lge ( (~+1») ~ar vi hvilket viser, at (S) ~ Z ( -k - ---k 1) = ' k=1 + 1 Altsa er Z 1 (+1) = For f lge ( 1 ) ~ar vi _1 _ = Z k -, 2-2, k=+1 1

85 Mat 1, MA MA 2.9 og det almidelige kovergespricip e1" sale des ikke opf'yldt for (S). Altsa e1" (S) ikke summabel. Sretig Lad (a) vrere e summabel talf' lge. Lad p vrere et atu1"ligt tal (elle1" 0), og lad c vrere et positivt tal. Da vii ehver talf' lge (b ), som tilfredsstiller betigelse vrere slumabel. Bevis~ la i ' + + lal ~ V( I b I ~ _"-"-,-+p c I a I) If lge sretig 2.8, iii) ka vi vrelge K, saledes at K f'or aile E N. Vi har da f'or aile E N, at I b 1 I 'b P I + ck, hvor parete se i de midterste sum udelades, hvis ~ sretig f lger u, at (b ) er summabel. p. Ai' Sretig 2.10 kaldes sammeligigskri teriet. De er vort vigtigste middel til at af'g re, om e f' lge er summabel. Eksempel. F lge (~) er suwmabel, idet 1 2 (+1) < 1 (+1) sa pastade f lger ved sammeligig med de i eksemplet ovefor betragtede f lge ((~1»)' idet vi har valgt p = c = 10 Ved metoder, som vi edu ikke har til radighed, ka vi vise, at 1 2 summe er 6" Defii ti o For v'ilkarlige komplekse tal a og q kalde s f lge (aq-1) e kvotietrrekke med kvotiet q.

86 Mat 19 MA MA 2010 Kvotietrrekke er behadlet i gymasiet. Vi mider om? at direkte udregig giver sa vi far de for q ~ 1 gyldige formel -1 a 1-("'t a + aq + + aq = ~ 1-q Sretig Kvotietrrekke (aq-1) er summabel, hvis og ku hgis a = 0 eller /q/ < 1. For a = 0 er summe O. For /q/ < 1 er summe -1 a -q Bevis. For q ~ 1 er /a/ + laq/ +. + /aq-1/ = /a/ + /allql + + /al/ql-1 = la/ ~=I~l og f lge (la/~=i~l) gar mod e grresevrerdi, hvis Iql < 1 eller a = O~ og kvotietrrekke er altsa i dette tilfrelde summabel i f lge sretig 2.8,iv). For a t- 0 og Iq/ ~ 1 gar (la/ Iq/-1) ikke mod 0 9 og sretig 2.7 siger da, at kvotietrrekke ikke er summabel. Dermed er sretige bevist. Eksempel: Xeos paradoks. Akilles ka aldrig idhete skildpadde, for, ar Akilles er aet dertil, hvor skildpadde u er, er skildpadde aet et lille stykke videre, og ar Akilles er l bet det styk:.ce, er skildpadde ige kr bet et lille stykke o.s.v.i det uedelige. Lad a vrere skildpaddes forsprig og lad q vrere slcildpaddes fart di videret med Akilles fart. Nar AJdlles har l bet strrekige a, har skildpadde kr bet styldcet aq, ar Akilles har l bet dee strrekig, har skildpadde kr bet stykket

87 Mat 1~ MA MA ag o.s.v. Akilles ra ialt geeml be strrekige 2 2 a + ag + ag a + = ---1 ~ og skildpadde kryber strrekige -g 2 ag + ag + = ~1. Forholdet mellem de to strrekiger er g og -g forskelle er a. Regestykket stemmer. Ved at avede sammeligigskriteriet og specielt sammelige med kvotietrrekker, far vi to kriterier~ som er meget bekvemme at avede~ me ikke "kraftige tt ok til at klare vaskeligere tilfffilde. Scetipg 2.,13. (Rodkriteriet). Talf lge (a) er summabel~ hvis lim sup( viai) < 1~ og de er ikke summabel~ hvis lim sup( V I ai) > 1. Bevis. Hvis de f rste betigelse er optyldt, ka vi vrelge g E ] lim sup( vi ai)" 1 [, og mregde feni vi ai > gj er da edelig. Vi ka derfor vrelge p, saledes at \i ~ p ( vi ai ~ g), hvilket viser, at og sammeligigskriteriet giver~ at (a) er summabel, Hvis lim sup( viai) > 1, er viai > 1~ altsa lal > 1 for uedelig mage vrerdier af, og deraf f lger, at (a) ikke kovergerer mod 0, og sretig 2.7 giver, at (a) ikke er summabel. Dermed er sretige bevist. Hvis lim sup( via I) = 1, afg r sretig 2.13 ikke~ om

88 Ma t 1 ~ lyra MA 2.12 (a) e1' summabel eller ej. Det blev bevist i gymasiet, at ( {Y) -> 1~ og derfor er sretig 2.13 ikke strerk ok til at afg re~ om f lgere (~) og (~2) er summable. ~Ial Eksempel. For p E: N, z E: C, a = Pz~ er = (XVri)Plzl, og vi far derfor (~Ial) -t Izl. Altsa er (Pz) summabel for Izi < 1, ikke summabel for Izi > 1~ blev ikke afgjort for Izi = 1. Det ses dog umiddelbart, at og sage (a) -t 00 for Izi = 1, og f lge er altsa heller ikke summabel for Izi = 1. Sretig 2.1l.j. (Kvotietkriteriet). Lad (a ) vrere e talf l ge, for hvilke a t 0 for alle. F lge (a) er da summabel, hvis og de er ikke summabel, hvis lim sup (l~+i)) < 1, a lim if (I~~+II) ~ 1. Bevis. Hvis de f rste betigelse er opfyldt, ka vi vrelge k E ] lim sup('~~+l'), 1[, og vi ka da vrelge p, saledes at I ~~+l' ~ k for alle ~ p, og vi har da for alle ~ p, at og deref'ter f lger det af sammeligigskriteriet, at f' lge er summabel. De ade betigelse medf rer abebart, at (Ial) vokser f'ra et vist tri~ sretige bevist. og derf'or er (a) ikke summabel. Dermed er

89 Ma t 1, ~:ja MA 2.13 Eksempel. Med a = Pz gaske som i det foregaede eksempel~ far vi og dette viser, at ('~~+11) ~ Izl~ sa vi far samme resultat som ovefor. De f lgede sretig er ku avedelig for meget specielle f lger, me vi ka beytte de til at skaffe os e hel del summable f01ger, del' sa ka udyttes ved brug af sammeligigskriteriet.. Sretig (ItegraIkriteriet). La~ 1': [1,oo[ id i ]O~oo[ vrere e aftagede fuktio. Da er f lge (f()) summabel~ og ku hvis f lge (!1f(X)dX) er koverget. hvis I~gde Bevis. Vi iddeler itervaiiet [1,] i deiitervaiier af 19 og vurderer itegralet ved de fremkome uder-og oversum. Derved far vi j, f(2) + + f() ~ 1f(x)dX ~ 1'(1) + + f(-1). Hvis (f()) er summabel, er f(1) + + f(-1) ~ ~f(), og vurj. derige giver, at f lge ( 1f(x)dX) er begrreset, og da de til Iige e1' voksede, er de koverget. Hvis (!1f(X)dX) er koverget med grresevrordi a, far vi 1'(2) + + f() ~ a, altsa f(1) + + f() ~ a +1'('l)og srotig 2.8, iii) medf rer af (f()) e1' summabel. Dermed er srotige bevist. Vi vii u udytte Iogaritmefuktioe e Da Iogaritmer med grudtal 10 praktisk talt ku avedes ved umerisk regig ved hjrolp af 10garitmetabeIIer, vii de aturlige Iogaritmef'uktio

90 \'. Ii Mat 1, MA \ MA 2.14 i dette kursus vrere de vigtigste a~ \ ( aile IcJaritme~lctioer, \ og vi vii der~or ~oretrrekke at beytte beteg~lse log ~or de haturlige logaritme~ktio. Vi mider om, at I J x 1 T dt d = log x, -dx log x -.:1. - :it at log: Jo,oo[ pa R er voksede, gar mod 00 ~or x ~ 00 og mod -00 ~or x ~ 0, samt at log x er positiv ~or x > 1, me egativ ~or For at udytte itegralkriteriet betragter vi ~or a E R de ved ~1(x) = xi-a, ~2(x) = (log(x+1))1-a, ~3(x) = (log log(x+2))1-a de~ierede af'bildiger ~1'~2'~3: [1,oo[ id i [0,00]. At vi har slcrcvet x+1 i ~2(x) og x+2 i ~3(x) sikrer etop, at fuktioere er positive pa det betragtede iterval. For x ~ 00 vii aile tre fuructioer ga mod 00, hvis a < 1, me mod 0, hvis a > 1. Vi udreger di~~eretialkvotietere (i-a) 1 (x+1)(log(x+1))a ( i-a) 1 a ' (x+2)log(x+2)(log log(x+2)) og heraf ~remgar umiddelbart, at log, hvis a = 1 [ 1~a ( 1 - a - 1), hvis a ~ 1,

91 Mat 1, MA MA 2.15 ( -.;..._d;;;,;x~ log log(+1)-log log 2, hvis CX = 1 J 1 (x+1)(log(x+1))cx hvi s <41 I ~d~x~ 1 (x+2)log(x+2)(log log(x+2))cx = ; [ 1 ~a( (log(+1 ) ).1-a - (log 2) 1-a > r log log log(+2) - log log log 3, hvis cx = 1 L f~a((log 109(+2»)1-a - (log log 3)1-a, hvis " ~ 1 te Det ses at ~ lgere med disse udtryk som led er kovergete ~or cx > 1, me divergete ~or cx ~ 1. Ved avedelse a~ itegralkriteriet ~ar vi der~or ~ lgede srotig: Sretig F lgere (...1.) (~ 1 ') cx ' \(+1)(log(+1))) cx og ( 1 ') \ (+2)log(+2)(log log(+2))cx ) er summable, hvis cx > 19 me ikke summable, hvis cx ~ 1. Eksempel. For cx E ]1,oo[ og vilkarlige reelle ~ lger (gt) og (G~) er ~ lgere (-cxcos g~), (-cxsi g~) og (-cx(cos G~ + i si g~)) summable. For at kue udytte srotig 2.16 ra ma have e ~orestillig orr:, hvor hurtigt fuktioere log og log log vokser. Populrert forestiller ma sig, at oget? som vokser ekspoetielt, voksel" meget hurtigt, og det er da ogse. rigtigt, me vi har brug ~or et mere prrosist udsag: vil de ved SCGtia For villcarlige positive vrordier a~ cx og fj, og X CX = --=.:..-- (log x)f3

92 Mat 1~ MA MA 2.16 defierede ai'bildiger qj 1: JO,oo[ id i :R og qj 2: ] 1joo[ id i ft ga mod 00 for x ~ 00 Bevis. Fuktioe ex - x har differetialkvotiete ex - 1, og er derfor aftagede for X < 0, voksede for X > 0 og atager midstevcerdie 1 for X = o. Altsa er og for y E JO,oo[ og > y far vi derfor hvilket viser, at X e -- ~ 00 for X ~ 00 x y Hvis vi vcelger y = {i og erstatter X med x CX far vi scetiges cx f rste pastad. Hvis vi erstatter x med log x, far vi for ~ te og ved at vcelge y = ~ og opl fte br ke til cx scetiges ade pastad. Dermed er sretige bevist. potes far vi Eksempel. For a :::: (log(+1))-log log(+1) far vi 2 -log a:::: (log log(+1)) ~ log(+p), ar p er stor ok, altsa a ~ 1_, +p hvilket viser, at (a ) ikke

93 Mat 1, MA MA 2.17 er summabel. For a ::; (log log(+1))-log(+1).far vi derimod log a ::; -log(+1) log log log(+1) ~ -2log (+1), ar e1' stor ok. Altsa a ~ hvilket viser 9 at (a) e:r (+1 ) summabel. De regeregler, der grelder.for edelige summer, ka i det store og hele geeraliseres til vilkarlige summable.familier. De associative lov grelder dog ku med visse.forbehold. Vi vil u vise de vigtigste regeregler.for summable.familier. ~retig Lad J vrere e mregde, J ~ 1 J e delmregde 9 (ajl j E J ) 1 e summabel.familie. Vi sretter b j ::; a j.for j E J 1 og b ::; 0 j.for j E J\J 1 Da er (bjlj E J) e summabel.familie. Bevi s. Tri viel t. Sretig Lad (a j l j E J) vrere e summabel.familie og It et komplekst tal. Da er (ka j I j E J) e summabel.familie og ~ lea. J,- 'cj J ::; k ~ a. jej J Bevis. Vi sretter a::; ~ a. For k ::; 0 er pastade trijej J viele Vi atager, at k ~ o. Lad 8 vrere et positivt tal. E.fter de.fiitio 2.2 vrelger> vi J o ' saledes at og vi har da ogsa \7'1 E b( J) (I ~ J :=} I a - ~ a.1 ~ I k 8,), o je1 J \7'1 E D( J) (I ;> J :=} 1 ka - ~ ka.1 ~ 8) 0 o je1 J Dermed er sretige bevist.

94 Mat 1? LA MA Sretig Lad (a j lj E J) og (bjlj E J) vrere summaole :familier med samme ideksmregde. Da er (aj+bjl j E J) e summabel :famiiie? og ~ (a.+b.) = ~ a. + ~ b. jej J J jej J jej J Bevis. Vi sretter a = ~ a.? b = ~ b. Lad e vrere et pojej J jej J sitivt tal. E:fter defiitio 2.2 vrelger vi J 1 og J 2, s~ledes at VI E D(J) (I ~ J 2 => Ib - ~ b.1 ~ -2 1 e)o jei J For I E D(J), I ~ J 1 u J 2 har vi da 1 a+o - ~ (a.+b.) 1 s 1 a - ~ a b - ~ b.1 ~ e, jei J J - jei J jei J og dermed er sretige oevist. Sretig Lad (a j l j E J) vrere e :familie og J 1 ~ delm@gde a:f idexmregde. Hvis :familiere (a j 1j E J 1 ) og (a j l j E J\J 1 ) summabie, da er (a j lj E J) summabel. J e Bevis. Vi sretter a. :f or j E J 1 :for j E J 1 o. = J [ J 0 :for j E J\J :for j E J\J 1 1 S~ er a j = bj+c j :for aile j E J, og sretige :f lger dere:fter a:f s~tig 2.18 og sretig 2.20 Sretig Lad (a.1 j E J) vrere e :familie og J (J1{1 k E E:) e klasseiddelig a:f idexmamgde J. Hvis (a j I j E J}41er summabei, er (a j I j E J k ) summabel :for ethvert

95 Mat 1~ MA MA 2.19 k E K~ og ( ~ a j IkE KJ er summabel med ~ ( ~ a.) = ~ a. jej k kek jej k J jej J Hvis hvert a. er positivt eiier ul~ og hver af familiere J (a./ j E J J k ) samt familie ( ~ a.lk E K) er summabie 9 da er 'EJ J J k (a j / jej) summabel. Bevis. At sretig 2.5~ iii) f lger umiddelbart, at hver af familiere (a j / j E J k ) er summabel, hvis (a j l j E J) er summabel. Vi vii u f rst behadle det tiifreide, hvor ~j E J(aj~O)o At' szatigere 2 0 J! c; J har 6 og 2.9 f lger da, at vi for ehver mregde ~ a. jej1 J = sup f ~ a. / I E ( J ' ) 1, JEI J saledes at forsta, at (a.lj E J9) er summabel, hvis og ku hvis J de supremum~ der optrreder pa h jre side, er edelig. Hvis de er uedelig, vii vi srette ~ a. = 00 For viikariige delmregder jej9 J J 9 c; J ~ JIt c; J har vi da ( 1 ) J' c; JtI ~ ~ a. ~ ~ a., jej t J jej" J og for L E 1J(K) har vi ~(~ a.)= kel jej k J a. J, if lge sretig 2.21, ar summere pa vestre side er edelige, og i moc1sat fald if lge (1). Me foryet avedelse af (1) giver u V'L E b(k) ( ~ (~ a.) ~ kel jej k J

96 Mat 19 1vIA MA 2.20 og herg'. ' t' lger ~ (~ a.) ~ 1""-"K 'EJ J,,c. J k ~ a k jej Lad u J o vrere e edelig delmamgde at' J. Vi vrelger L E 1)(1<:)9 saledes at J c U J, og vi har da o - kel k ~ a. ~ ~ a. j~j 0 J j=uj k J kel = ~ (~ a.) ~ ~ (~ a.)? kel jej k J leek jej k J hvilket medf rer 9 at ~ a. S ~ (~ a.) jej J - kek jej k J Dermed har vi vist sretige i specialtilfreldet Vj E J(aj~a)o Vi vii derrest behadle det kap sa specielle tilt'relde~ hvor Vj E J(a j E R)o Vi sretter (a. 9 hvis a. > a f-a j? hvis a. < 0 b. = i J J c. = J La hvis a j ~ a J La, hvis a. ~ a? J og vi har da for ethvert j E J J a.=b.-c. J J J og Herai' f lger umiddelbart,. at (a j 1j E J) er summabel, hvis og ku hvis (bjl j E J) og (c j l j E J) er summable, og vi har da ~ a. = ~ b. - ~ c. = ~ (~ b.) - ~ (~ c.) = jej J jej J jej J kek jej k J kek jej k J ~ (~ b. - ~ c.) = ~ (~ a.) 9 kek jej k J jej k J leek jej k J og dermed er pastade visto Hvis vi blot havde vidst9 at de

97 Mat 1, MA MA 2ft 21 sidste sum eksisterede, ville vi kue slutte, at ogsa de restsidste sum eksisterede~ me vi kue ikke slutte oget om de to summer i det tredie udtryk. For a j = bj+ic j, bj,c j E R far vi, at hvis (a j l j E J) er summa be I, er (bjl j E J) og (cjl j E J) summable, og vi far derfor ~ a. jej J = )j b, + i jej J ~ c. jej J = ~ (~ b.) kek jej k J + i ~ (~ c.) = kek jej k J ~ (~ b. + i ~ c.) kek jej J jej J k k = ~ (~ a.) kek jej k J Dermed er sretige bevist. ( _-1 \-1 / bksempel. Familie (~ E N) = (2+j/j = -1,0), og fj! E Nl sretter I delig af N. Idette tilfrelde er 00 (_1)k-1) ~ ( ~ k = =1 kej er ikke summabel. Vi er da e klasseid- og familie (2 C d-1) I E N) er summabel. Sretig Lad J og J vrere vilkarlige mregder og 1 <p: J id i J 1 e bi jekti v afbildig. Da er e familie (qjl j E J ) 1 summabel, hvis og ku hvis (a<p(j)1 j E J) er summabel, og i sa fald er ~ a (.) jej <p J ::: ~ a. J,-- 'CJ 1 J Bevis. A bildige I ~ <p(i) er e bijektiv afbildig af la - ~ a.1 ~ 8 je<p (I) J *=>Ia- ~a(.)1 ~ jei <p J 8

98 Ma t 1, IvtA MA 2.22 Heraf f lger sretige umiddelbart. Sretige viser, at de idf rte additio af summable familier er kommutativ i e meget kraftig forstad. Vi skal u ogsa vise, at de distributive lov ka udvides til at grelde for produkter af summable familier..?3tig Lad (a j l j E J ) 1 og (bjl j E J ) 2 vrere summabie familier. Da er (ajbkl (j,k) E J 1 x J ) 2 e summabel familie, og Bevis. Af sretig 2.5 f lger~ at (Ia j l /j E J 1 ) og (Ibjl j E J 2 ) er summable familier af tal, som er positive eller O. If lge sretig 2.19 er (Ia j l Ibkl Ij E J 1 ) for ethvert k E J 2 e sl..umabel familie, og 1 b I 2.j 1 a,i k = 'EJ J J 1 2.j I a,i I b k 1 = 'EJ J 1 J 2.j I a,bkl 'EJ J J 1 Foryet avedelse af de samme sretig giver, at ( I bkl,:8 I a j II k E J 2) er e summabel familie, og at JEJ 1 2.j I a, I 2.j I b k I = 2j 2j I a,b k I 9 jej 1 J kej 2 kej 2 jej 1 J og sretig 2.22 fortreller os u, at (Iajbkl I (j9k) E J 1 xj 2 ) er e summabel familie. Af sretig 2.5 f lger da 9 at (ajbkl(j,k)ej1xj2) er e summabel familie, og sretig 2.22 og sretig 2.19 giver u og dermed er sretige bevist.

99 Mat 1, MA Eksempel. Familie (z E N) er summabel t'or I zl < 'I, og it' lge sootig 2.12 er _1_ = ~ 1-z z-1 Sootig 2.24 giver u 1 p-1 q-1-2" = ~ z >-i z ( 1-'z) pen qen p+q-2 = ~ z, p, qen og at' sootig 2,22 t' lger deret'ter 1 ~ ( ~ 2 = (1-z) EN p+q=+1 zp+q-1 ) ~ -1 = z E~T ~ Det'iitio Lad (a) voore e kompleks talt' lge& For N srotter vi s = a a. Parret ((a),(s» kaldes da e uedelig rcekke. Midre korrekt taler vi om r83y..ke (a) 0 F J."~ ge (s) kal de s de ti 1 rookke (( a), ( s» (e 11 er rookj{e (a) svarede at'sitst' lge. Rookke siges at voore koverget med SUl a, hvis (s) ~ a, og vi skriver da ~a = a. Hvis t' lge (a ) er summabel med sum a, er roohlce (a). koverget med sum a, og ved det'iitio 2.25 har vi saledes uclvi det avedel se at' symbole t ~a pa e made 9 der iltke kormer i koi'likt med de tidligere brug. Hvis t' lge (a) er s"llmmabel, vil vi ogsa sige, at rookke (a ) er summabel, me vi vil dog t'oretroolcke at si ge, at rookke (a ) er ab solut kovedget 0 Hvi s llooldce (a) er koverget ude at voore ab sol ut koverget, vii vi sige, at rookke (a ) er betiget koverget o (Ial) er koverget, er rookke (a) absolut koverget" Yore betegelser i dette kapite~ Hvis r~hlce at'viger ret voosetligt t'ra de i de matematiske litteratur soodvaligt beyttede" I de

100 Ma t 1, IvIA MA 2.24 traditioelle litteratur kyttes til e tal~ lge (a) symbolet ~a' som kaldes e uedelig rookke. Summere s = a a kaldes roohlces a~sit, og hvis a~sits~ lge (s) er koverget med summe a, siges rookke at voore koverget med summe a, og ma skriver ~a = a o Det midre heldige ved de traditioelle betegelser er, at ~a bade beteger talvoordie a og et symbol, der kovergerer mod a. I de stregere ~ormulerig, der prooger de modere matematile, er et lighedsteg ~orpligtede, og hvis vi skriver ~a = a, skal vi ogsa have loy til at sige "rookke all i stedet ~or IfrreJ.rJce ~alf, og det gar abebart ikke. Da det stadig vii voore dvedigt at kue loose reldre matematisk litteratur ude alt ~or store vaskeligheder, er det hesigtsmressigt at holde ~remstillige sa trot op ad de traditioelle som muligt, selv om det med~ rer Der~or visse sproglige midbrug o har vi idrettet os, sa vi ka sige IIrookke (a) er absolut lwverge til i stedet ~or 1I~ lge (li) er summabel", og vi har slet ikke id~ rt vedige "~ lge (a) er oetiget summabel", me ku "rookke (a) er betiget koverget!l. ~or Regereglere ~or summable grelder ku i rige udstrookig betiget kovergete rrekker. Vigtigst er det at bemrerke, at sootigere 2.22, 2.23 og 2024 ikke goolder. Sootigere 2.19 og 2.20 ke derimod umiddelbart over~ res i ~ lgede ~orm: Sootig Hvis rookke (a) er koverget, og k er et I komplekst tal, er rookke (ka ) koverget, og ~ka = ~a Hvis rrekkere (a) og (b ) er kovergete, er rookke (a+b ) koverget og ~(a+b) = ~a + ~b0 Bevis. Hvis rookke (a) har af'sits~ lge (s) og rookke

101 Mat 1~ MA (b ) har afsitsf lge (t )9 har rrekke (ka ) afsitsf lge (ks )9 som kovergerer' mod k:ba, og rrekke (a+b ) har afsitsf lge (s+t)? som kovergerer mod ~a + ~b. Dermed er sreti6e bevist. For e reel rrekke (a) sretter vi [ a hvis ~ a>o hvis a <0 =[-a~ P = 0, hvis ~ a~o o 9 hvis a - 20, og vi har da a = I' - g og la I = I' + a Hvis rrekke (a) 'l1 er betiget koverget, er rrekke (Ial) ikke koverget 9 og af sretig 2026 f lger da, at rrekkere (p) og (g) ikke begge er kovergete, og da rrekke (I' -g ) er koverget, ka vi slutte, at ige af de to rrekker (I' ) og (g ) er koverget. Af disse overvejelser fremgar, at vi ka omorde leddee i f f lge (a)' saledes at vi afvekslede tager sa mage positive led, at deres sum er ~ er ~ 1, og sa mage egative led, at deres sum -10 Ved omordige far vi e f' lge (b ), for hvilke rrekke (b ) iillie er koverget. Al tsa ka sretig 2.23 ikke geeraliseres til betiget kovergete rrekker. E rermere uders gelse (ikke vaskelig) vii vise, at e betiget koverget reel rrekke ka omordes, sa de forbliver koverget, medes Summe redres, og hvillcet som heist tal ka fas som sum ved passede omordig af rreld~e~ For betiget kovergete komplekse rrekker er forholdee mere komplicerede og uders gelse vresetlig vaskeligere. Det almidelige kovergespricip for rrekker ka widdel+p forruleres; idet S +p - S = ~ a ~ far vi sretige:: k=+1

102 Ma t 1 ~ IvIA MA 2.26 Srotig Rrekke (a ) er koverget~ hvis og ku hvis f lsedo betigelse er opfyldt: 'ri 8 > 0 3N E if 'ri f N 'rip > 0 Spocielt ser vi, at hvis rrekke (a ) or koverget, grolder (a) ~O. Dot er ikke helt let at vise, at o rrokke er betiget kovorgot~ idet det vii vrore dvedigt at udytte; at loddoe til o vis grad hrever hiade 9 saledes at de umerislw vrordi af' summe bli vel" vrosetlig midre ed summe af de umeri slee vrordior. ~t Abel sic summa ti o) : vigtigt hjrelpemiddel er f lgedo sretig (sretige om Srotig Lad a1~&.0~a; b1~ o?b vrere vilkarligo komp: :lcse tal. Idet vi sretter er Bevi s. Idet vi skriver A 0 = 0 9 far vi -1 ~ akb k = ~ (A k -A k _ 1 )b k = ~ Akbk - ~Ab = k=1 k=1 1{=1 k=o It It+1-1 ~ Ak(b k - b k 1) + A b k=1 -I- Derrod or sretige bovist. Sretig Lad a 19 &,a vrere vilkarlige komplekse tal~ } og lad b 19 0,b sart K vrere posi ti ve tal. Hvi s betigel SOI'c

103 Mat 1, MA er opfyldt, grelder vurderige Bevis. Med betegelsere fra sretig 2.27 giver dee sretig og dermed er sretige bevist. retig (Abels kriterium). Lad (a ) vrere e kom plelcs talf lge, som for et passede valgt posi tivt tal K tilfredsstiller Lad (b ) vrere e aftagede reel talf lge, som gar mod O. Da or rrelcke (a:b) koverge t. Bevis. For E N, pen er i Lad 8 vwre et positivt tal. Vi vrelger N, saledes at b N ~ 8 21\ 0 For f E, P > o far vi da ved avedel se af sretig 2.28

104 Mat 1? fill MA 2.28 og pastade f lger u af sretig De f rste betigelse i sretig 2.27 udtrykker~ (a) har begrreset afsitsf lge. at rrekke Sretig 2.30 (Variat af Abels kriterium). Hvis rrekke (a) er lwverget, og (b ) er e moo to? begrreset~ reel talf lge~ er rrekke (ab ) koverget. Bevis. Det er abebart ok at vise sretige i det tiifreide, hvor (b ) er afteagede. Da rrekke (ca ) er koverget, vii sret iges pastad grelde for f lge (b+c), hvis de grelder for f lge b, Det er derfor ok at vise de i speciaitiifreidet (b)~oo Me da rrekke (a ) har begrreset afsitsf lge, er sretige u reduceret til de foregaede. Sretipg Rrekke (z-1) har begrresede afsit~ hvis Iz/ ~ 1 og z t 1. Rrekke (cos g)~ 9 E R har begrresede afsit, hvis 8 t 2ff Z. Rrekke (si g) har begrresede afsit. Bevis. For /zl ~ 1~ z t 1 er Vi s<.btter z = cos 9 + i ai 9 og far k ~ z = ~ cos kg + i ~ si kg 9 k~1 k~o k~o hvilket viser? at rrekkere (cos g) og (si g) har begrresede afsit, hvis z t 1, altsa hvis 9 2ff Z. For 9 E. 2ff Z er si e = 0 for aile E. Z, og rrekke (si g) har derfor begrresede afsit ogsa i dette tilfrelde.

105 Mat 19 MA MA 2.~9 Sretig Hvis (b ) er e a~tagede reel talr lge med grresevrerdi 0, er rrekke (b Z - 1 ) koverget ror Izl ::: 1, Z ~ 1; rrekke (b cos g) er koverge t ror aile 9 E H \ 21TZ og (b si g) ~or aile 9 E H. Eksempel a Rrekke ((_1)-1 -o:) er koverget ror 0: > 0 0 De er ab solut.kovere;et ~or 0: > 1 og be tiget koverge:, ror 0: ~ J':?1L J1ere geerelt greider, at rcel{]{e ((-1)-1 b ) er lwverget9 hvis r lge (b ) er a~tagede og gar mod 0 0 Uedelige rrekker avedes ved tilmermet beregig af irratioale tal (eller tfukedte H tal)o Hvis ~a ::: a og 8 > 0 e1" e. Give jagtighed, ka vi vrelge, saledes at la-sl ~ 8 9 og ved at udrege S::: a a rar 'vi a approksimeret med j- 1 agtie;hed 8 0 Vore eksempler hal" allerede a~sl retl' at visse i'uktioer ka udt:r';}rltltes ved uedelige rcekker: 1 :r:z ::::: 00 ~ z :::O I z I < 1. Hvis 1';, er e vilkarlig mregde og (~) e ~ lge a~ a~bildiger ~:~ii id i C siger vi, at ~ lge (r ) lwvergerer pulctvis mod grwseaf'oildihge g:m id i 0, sa~remt Tilsval'ede siger vi 9 at rcekke (r ) er puktvis lwverget med, S'LUTI g: Mid ie, sarrem t de t ~or hvert x E M greider, at rcelute Lad os atage, at ~ lge (f ) kovergerer puktvis mod go., Lad 8 > 0 vrere gi vet. For ethvert x E M ka vi da vrelge N E N,

106 Mat 1, MA MA 2.30 saledes at! 1'(x) - 1'(x)! ~ 1' lgede logiske relatio: e 1'or aile f N. Dette udtryld(es i E dvedig og tilstrrekkelig betigelse, 1'or at 1' lge (1') er puktvis koverget 9 har vi i det almidelige kovergesprieip~ al tsa Vi vii sige~ at 1' approximerer l' ligeligt pa M med jagtighed 8, sa~remt Eksempel: M = [O,1J; 1'(x) = xo For x E: [O,1[ har vi (x) ~ O~ og 1'or x = 1 har vi (x) ~ 1. Altsa kovergerer (f ) puktvis mod g:[o~1 J id i R9 hvor g(x) for x E: [O~1[ for x = 1 Lad u 8 og X vrere faste~ og e E JO,1[. Vi har da e ~ 8 for et hvert x E [0, V8]. Altsa approksimerer for ulfuktioe lige ligt pa itervallet [0, V8 ] med jagtighed 8, me overalt ude- 1'or dette iterval er approksimatios jagtighede rigere o et iterval~ Vi mider om, at e 1'uktio f: I id i R, hvor I ~ R er siges at vrere kotiuert i puktet x E I, safremt f lgede betigelse er op1'yldt: VB > 0 30 > Vy E 1(!y-x! ~ 0 ~ If(y) - f(x)1 ~ 8). Edvidere mider vi om, at f:1 id i R kaldes kotiuert, hvis de er kotiuert i ethvert pukt x E Ro

107 Mat 19 IrA l:ia 2.31 Sretig 2.33 Lad ~ vrere et positivt tal. Lad I ~ R vrere et iterval~ fuructioer~ og lad x vrere et pukt af I. Lad f9g:i id i R vrere Hvis g approksimerer f ligeligt pa I med jagtighed ~9 og g er lcotiuert i x, er f lgede betigelse opfyldt: Bevis. Lad 8 vcbre et positivt tal st rre ed 2~. Da g er kotiuert i x, ka vi vrelge 0 > 0, saledes at Vy E: I(ly-xl 5: 0 =* Ig(y) - g(x)1 ~ 8-2~). For JT E: I og I y-xl ~ 0 far vi da /f(y) - f(x)/ ~ /f(y) - g(y)1 + Ig(y)-g(x)I+lf(x)-g(X)/~89 og dermed er sretige bevisto 8retig Lad I ~ R vrere et iterval og f:i id i R e ful~ctio. Hvis det for ethvert positivt tal ~ greider, at f ka approximeres ligeligt pa I med jagtighed ~ ved hjeelp af e kotiuert fuktio, er f selv kotiuert. Bevis. Det f lger umiddelbart af sretig D~fiitio Lad M vrere e vilkarlig mregde og (f ) e f lge af afbildiger f :M id i C. F lge (f ) siges at ko vergere ligeligt pa M mod e grresefuktio f:m id i C, safremt f lgede betigelse er opfyldt: F lge (f ) siges at vrere ligeligt fudametalf lge pa ~!I.9 safremt

108 Ma t 1, M.A MA 2032 Disse defiitioer er opstaet af betigelsere for puktvis koverges og pulctvis fudametalf0lge ved at kvatore Vx E: M er flyttet om bag kvatore 3N E: No Dette har altid de virkig, at udsaget skrerpes. E ligelig fudametalf lge er derfor puktvis fudametalf lge og derfor puktvis koverget. Sretig Hvis (f ) er ligeligt fudametalf lge pa M, er (f ) ligelig koverget pa M. Bevis. Vi ved, at (f ) kovergerer puktvis pa M mod e grj3sefulctio f. Lad 8 vrere et posi ti vt tal. Vi ka da bestemme N E: N, saledes at Lad vrere et aturligt tal ~ N, og lad x vrere et pukt af M. For ethvert m ~ N grelder da og for m ~ 00 giver dette Dermed er sretige bevist. Sretig Lad I ~ R vrere et iterval og (f ) e ligelig koverget f lge af kotiuerte afbildiger f:i id i R. Da or grresefuktioe kotiuert. Bevis. F lger umiddelbart af sretig Pil de ade side ka det idtrreffe, at e f0lge af kotiuertefuktioer pa et iterval kovergerer puktvis mod e lwtiuert fuktio ude at kovergere ligeligt. Det spiller i dee forbidelse ige rolle y om defiitiosmregde er et af-

109 Mat sluttet 9 begrreset iterval. mtig Lad [a,b] vmre et afsluttet iterval, og lad (f ) vmre e ligelig koverget f lge af lwtiuerte afbildigel" f :[a 9 b] id i it med grresefuldioe f:[a,b] id 1 R. Da greldel" saledes at Bevis. Lad 8 v@re et positivt tal. Vi bestemmer N E N, For ~ K hal" vi da b If a (f(x) - f (x))dxl ~,b J alf(x) - f(x)ldx ~ (b - a) b~a = 8, og dermed er s@tige bevist. Rravet om ligelig koverges er ogsa i dette t11fcbldo o hel del stregere ed dvecligt, me puktvis koverges or i hvort fald ikke tilstr@kkeligt til at sikre ombyttelighede af itegratio med gr@seproces. ~efiitio Lad M vrero e vilkarlig mmgde og (f ) e f lge af fuktioer f:m id i C. For E N s@tter vi s = f1 + + f Parrot ((f),(s)) kaldes da e uedelig rmkke (af fuktioer pa M). Midro korrekt taler vi om rmldw (f ). Rrekko (f' ) siges at lwvergere puktvi s (11geligt) mod gramse _ fmllctioe f:ivi id i C, hvis f' lge (8 ) kovergerer puktvis (ligoligt) mod f, og vi skriver ~f ::: f'o

110 Ma t 1? lvi.a MA. 2. 3l.j er e kotiuert af Hvis I er et iterval, og hvert i' bildig i' :I id i R~ er hver s = i'1 + + f e kotiuert af'bildig s : I id i R. Hvi s I speciel t er et begramset og af. sluttet iterval [a~b] er ~tig Lad I ~ R vrere et ai'sluttet iterva1 9 og lad (f ) vrere e f lge af kotiuerte i'uktioer i' :I id i Ro Hvis r831dce (i' ) kovergerer ligeligt, er summe e kotiuert flu1ktio.,dersom yderligere I = [a,b] er begrreset og ai'sluttet, og.8f J b j,b = f, er rrekke ( ai'(x)dx) koverget med sum af(x)dxo Bevis. F lger umiddelbart ai' sretigere 2.37 og Vi har ikke udtalt os om dii'i'eretiabilitet i dee sammehffig 9 og det er af gode grude 0 Sel v om e difi'eretiabel~ fuktio 'pb. et iterval er meget lille overalt, beh ver des difi'oretialkvotiet slet ikke at vrere lille overalt. F.oks. er 1.. 1!. 1 SlD x, ~p E N, overalt umerisk midre el1er lig 9 me dii'feretialkvotiete P - 1 cos.px atager vrerdie P - 1 for 'L1.- edelig mage vrerdier ai' Xc Vi har imidlertid f lgede sretig: mtig Lad [a,b] vrere et ai'sluttet iterval. Lad (f ) vrere e i' lge ai' dii'feretiable i'uktioer f :[a 9 b] id i R, hvis dii'feretialkvotieter fl :[a,b] id i It er kotiuerte. Hvis f01ge (rrekke) (i') er puktvis koverget med grresefuktio (Sl~) i':[a,b] id i R, medes i' lge (rrekke) (i'~) er ligelig lwverget med grresefuktio (sum) g:[a,b] id i It, da er l' diff'eretiabel pa [a 9 b] med g som differetialkvotiet. ::=levis. Ai' (1" ) -t g ligeligt pa [a,b] i' lger, at g er ko- tiuert, og for x E [a,b] far vi af sretig 2.40, at

111 Mat 1~ IdA altss., idet vi udreger itegralet pa vestre side ( f ( x ) - f (a)) ~ JX g ( t ) d t, a me i:f lge det gi ve har f lge pa vestre side gramsevoordie f(x) - f(a), sa far vi f(x) = f(a) + J:g(t)dt, hvill~et etop viser, at f er differetiabel, og at f! = g. Resultatet vedr rede rookker udledes u~iddelbart af resultatet vedrvjrede f lger. Dermed er sootige bevi st. P r vi for alvor ka drage ytte af begrebet ligelig lwverges, ra vi have ogle simple kriterier til radighed, som g r det muligt at uders ge, om e rookke kovergerer ligeligt. Sootig Lad M vcere e vilkarlig moogde og (f ) e f lge af afbildige1" f':1vi id i C. Lad (a) vcere e f lge af posi tive tal, saledes at \i E: N \ix E: M (If(x) I ~ a) (vi siger da~ at 1"cekke (a) er e majoratrookke for rookke (f )). Hvis roo1d<.:e (a) er koverget, e1" rookke (f ) absolut og ligelig koverget. Beviso Lad 8 voore et positivt tal. Da rookke (a ) er ko ve1"get, ka vi voolge N E: N~ saledes at +p \i ~ N \ip E: N ( ~ a k ~ 8). k:+1 For ~ 1':, p E: N 9 X E: M har vida +p +p +p I ~ fk(x)1 ~ k=+1 ~ Ifk(x)1 ~ k=+1 ~ a k ~ k=+1 8,

112 MA 2~36 hvilket viser~ at at'sitst' lge t'or rrekke (t' ) er ligeligt t'u dametalt' lge, altsa ligelig koverget It' lge sretig Elcsempel. Hvis rrekke (b ) er absolut koverget, og (A ) er e vilkarlig reel talt' lge 9 er rrekkere (b si AX) og (b cos AX) ligelig kovergete pa hele R. Ved ~(x) ~ ~b si A x og ~(x) = ~b cos A x det'ieres saledes ko tiucrte t'uktioer ~,~:R id i R& Hvis talt' lge (A) specielt er 1)egrE8set, er ogsa rrekke ~ A b ab solut koverget.9 og ~ og ~ er da dit't'eretiable med ~I(X) = ~ b A cos A x og Sreti!l.R 2&43. (Abels kriterium). Lad IiI vrere e vilkarlig mgb[~clo og lad (t') og (g) vrei'e t' lger at' af'bildiger t'::rvr id i C, g:i~1 id i [0.900[, som tilt'redsstiller t' lgede betigelser: 1 ) :::lie E: R 'v' E: N 'v'x E: M (I ~ t' k ( x) I ~ K) k=1 3). (g) ~ 0.9 ligeligt. Da er rml{lte (t'g) ligelig koverget. Bevis. Lad 8 vrere et positivt tal p Lad K vrere valgt i 0- veresstemmelse med 1). Lad N E: N vrere valgt.9 saledes at Nu har vi 'v' E: N 'v'p E: N +p 'v'x E: M ( I ~ t' k ( x) I ~ 2K) 9 k=+1 og t'or ~ N.9 P E: 1), x E: l'h har vi dert'or it' lge sretig 2.28

113 Mat 1~ LA MA 2.37 og sretige f lger derefter af sretig Eksempel. Lad 0 vrere et posi ti vt tal. Vi defierer M c C ved hi = f zll zl = 1 og I z-11 :f oj. Vi har da (se beviset for sretig 2.31) Nar (a) er e aftagede f lge af positive tal og (a) -+ 0, far vi derfor~ at rrekke (az ) kovergerer ligeligt pa M5 Vi sretter z = cos G + i si 9, og betigelse I Z-1/ L 0 giver da hvil1wt er esbetydede med 1 - cos 9 > 40 2 = 2 Pa puktmregde f9 E R/1 - cos 9 :f 2J vii rrekke (- 1 si 9) kovergere ligeligt, og derved ({J(g) = ~-1 si 9 defierede af'bildig er derfor kotiuert pa de revte puktmregde, og da 6' er et vilkarligt positivt tal, medf rer det, at ({J er kotiuert pa R\2ff Z. E rermere uders glese vii afsl re, at ({J virlcelig har diskotiui teter i puktere af 2ff Z. Sretig (Abels kri teri ur). Lad M vrere e vilkarlig mc3d[;de og (g) e f lge af afbildiger g:m id i [o,ooj salodes at fyhge (g(x)) for ethvert x E!vI er aftagedeo Hvis g1 er begrreset, og (a) er e kompleks talf lge, for hvilke rrekke (a ) or koverget, da er rrekke (a g (x)) ligeligt koverget.

114 Ma t 1, rvia Boviso Vi vrelgor K~ saledes at I gi (x) I ~ K for a110 x E M. Lad 8 vrere et positivt tal. Vi vrelger N E N~ saledes at +p 'li ~ N 'lip E N (I ~ a I ~ R). k=::+1 og sretige f lger af sretig I det f lgede vii det vrere hesigtsmressigt at redre betegelsere p saledes at idex i e f lge l ber fra 0 i stedet for 1. Vi kue betege f lge (a 1)? me vi vii tillade os at beholde botegelse (a) for f lge (al E foj IJ N)o Defiitio Hvis (a) er e kompleks ta1f lge 9 kaldes rreluwll. (az ) e potesrrekke. Tallee a kalde s potesrreluws koei'ficioter. Det er klart~ at e potesrrekke altid er koverget for at potesrcejcke ikke er ko z = 0 mod sum a Det lw id trcefi'e ~ o verget for oge ade vrerdi af z. v1'--- z --r", = I z I ~ og for z t 0 gmlder (Izl) ~ 00 Ai' rodkriteriet f lger, at rreldte ikke er lwverget for z t- o. Smtig Hvis f lge (a z) er begramset i'or at 0 Herai' f lger Bevi So Vi vce1ger K E Ito saledes at I a z, ~ K for aile., 0 -

115 Mat 1$ MA IvLA og i'or 1 z 1 < 1 Z 0 1 er (K I z: I) e kove r get kv otie trroklw. Sammeligigskri teriet medt' rer deref'ter, at rrelu\:e (I a z/) er koverget, altsa at (az ) er absolut koverget. 2f8tis; Til ehver potesr83klce (az ) svarer R E :R~:~ saledgs at r83ue (a z) er absolut lwverget;l hvis / z/ < R9 divgrget$ hvis /z/ > R. Bevis. Hvis r83kke ku er koverget f'or z = 0 9 passer pastade 'or R = O. Hvi s r83kke ( az o) y hvor z 0 ~ 0 y er lwver " get9 or f' lge (az o ) begramset, og s83tig 2~Lt6 giver da 9 at r831cke er absolut koverget '01' aile z med 1 z/ < / zo/ 0 Lad A vcere mcegde at' positive tal 1" med de egeskab, at r83klw (az ) er koverget t'or aile z med /z/ < r. Vi s83tter R = sup A. For et z1 med / z1/ < R ka vi v83lge 1" E A] / z1/ ~ R[ ~ og r831clw er da absolut lwverget '01" aile z med / z/ < 1"9 al tsa er rrekl{e (a z 1 ) absolut koverget. Hvis rrekke (a z 2 ) er koverget~ er (som vi sa ovef'or) r83kke (az ) absolut koverget '01' ethvgrt z med Iz/ < /z2lo Det betyder9 at ]09/z2/ [ c A9 altsa /z2/ ~ Re Dermed er s83tige bovist. pef'iitio Tallet R i s83tig 2.47 kaldes lwvel' gesradius 'or potesrrokke (az ). Puktm83gde fzec/ Iz/ < R1 l\:alde s potesrrekkes kovergescirkelski ve. Puktmrogde fz~c/ Iz/ = R1 kaldes potesr83kkes kovergescirkel. Itervallet ]-R9R[ kaldes potesrrekkes kovergesiterval. S83tig dius R9 vii det t'or Hvis potesr83kke (a z) hal" kovergesra R1 E ]O,R[ g831de 9 at potesr83klw kovergerei' ligeligt pa cirkelskive fzec/ /z/ ~ R11.

116

117 Mat 1~ MA 1966~67 Bevis. Rrek}:e (a R1 ) er absolut koverget. Altsa er rrok, ke (I HlR1 ) koverget. For aile E: N tj ~01 og aile z E: C med Izl ~ R1 er /az / ~ /a /R Fastade 1 ~ lger der~or a~ sretil1 :, Sretig Kovergesradius R ~or potesrrekke (az ) er bestemt ved, at R- 1 = lim sup ( ~). Hvis ~ lge('~+rl) er koverget, er des grresevrerdi R- 1 0 a Bevis. Vi har lim sup (vl l = a z /zllim sup ( vra:t), og potesrrol{ke er koverget, hvis dette tal er < 1 og di verget9 hvis de+: er > 1. Hera~ t' lger de ~ rste pastad umiddelbart e Hvis ~ ( +1 ) a +1 ~ c, har vi (,a + 1 z /az, /) ~ c/z/ 9 og potesrrekke er kovei' get 9 hvi s dee grresevrerdi er < 1 og diverget, hvi s de er > 1. Dermed er srotige bevist. I stedet t'o:-:> at sige, at potesrrekke (a z) er };:overget, er det :3elv~ lgel:lg t'uldt l{orrekt at sige, at summe :8a z el{- sistere::'. Pra u at' vii vi ogsa tillade os at sige 9 at summe 2a z e~ koverge~t9 selv om dette stregt taget er gaske ude meig 0 Vi vii ogl3a tillade os at sige rrekke 2a z, sel v om det te ogsa er ukorrel:t, idet symbolet er rcekkes sum. Det svarer ret je til, at a tillader sig at sige t'uktioe ~(Z)9 selv om ~(z) beteger :f'uktiosvrerdie. Forsydelse giver os mulighed ~or mere bekve'mt at opskri ve potesrrekker 9 hvor ogle at' de t' rste l(oet'~icieter er 0 eller hvor hver ade koe~~iciet er Os idet vi Im vrolge idices pa passede made og skrive summatios-

118 Mat 11!vIA MA 2.41 gr~ser pa. F.eks z2+1 ~ L 9 ~ =1 =O z2+1? ~ (_1) =O (2+1)! Udertide vii ma ~oretrreltke at skrive ogle a~ de f rste led: z 1 z 2 z z z3 z5 T o z z3 z5 5! IT (der simi altid vrere tre priklcer). Det er yttigt uder visse omst;:.mdigheder at tillade tomme produkter at optrrede 1 og et tomt produkt tillregges vrerdie 19 Iigesom de tomme sum tiiiregges vrero die O. Velkedt er a= 1 (~or a =1= 0). Vi vii ogsa beytte o l :::: 1 ; ( ) l p = pl(-p)l ( ) o = sa vi har 00 z 2 z3 ~ 1 z ( = + z + 2T + 3T + =O 00 z2 2 z4 ~ (_1) z 1 =O (2)! 2! 41 = a~~rte Dksempel. Lad os bestemme kovergesradius ~or potesrrekker. Rrekkere de ovef'or ~ (_1)-1 : =1 og 00 z2+1 ~ (_1)~_ =O 2+1 erbegge betiget kovergete ~or z :::: 1. Det mem rer, at begge rcekkcr har kovergesradius 10 M sretig 2.50 ~ Iger~ at l{o-

119 Mat 1~ MA 2.42 vergeflradi us ku afheeger af koeffi cietere s umeri site veerdi D Altsa t.ar 00 og ligolodes lwverf'esradius 1. For (2+1 )! f " I ~r,±il d' I 11 ar 8~T veer lere +1~ (2+T),C2+2) og (,,2+ff( 2+3) a e a tre tilf'eelde far vi (.LI~+_~_) og lwvergesradius or derf'or 00 R~akkere kovergerer derfor for aile komplekse veerdier af z. Det samme vii fortsat gcelde, efter at vi i de to sidste reeldter 2 har erstattet z m3d z y sidste reeldte multipliceres med z. Altsa har og det delmgges heller ikke veel!} at de 00 2 ~ (_1) -(~ og =O 2): ~ (-1) TiL...:-::t\T' =O \ 2+1 )! kovergesradi us 00 0 For rreldte 2 I a +1 1 L a +11 = 9 lal lal -7 0 sa far vi ( ~1) altss. ( 1 7 de e rceklce har kovergesradi us 1 For z = 1 er rceldce aosolut koverget y og det medf rer? at de er absolut koverget for aile z med og ligelig koverget pa cirkelskive fz E oj Izi ~ 130 I zl ~ 1 8reti:gg Potesrceldmre (az ) 9 (az ) og ( (+1)a 1 z har fmmme ko\tergesracli us. +

120 Mat 19 EA r-:-. 100'. V' 1.- t t ( og ) ~ 0 og da log v :: ~ -, Bevls. 1 llar se ~ a' og da ekspoetielfuktioe er kotiuert, f'ar vi heraf' (hvad vi allerode tidligere har beyttet)9 at ( yi-) ~ 1. For et pas~ sede 1: > 1 har vi derf'or hvi lice t me df' rei', at vra;j ~ v'l ai ~ k vra;j, lim sup ( vitq") ~ lim sup ( v'l ai) ~ k lim sup ( vitq") 9 og da dotto er rigtigt I'or ethvert k > 1, slutter vi, at ~ lim sup ( vitq") = lim sup ( Vi1l a D ~ og scbtig 2.50 medf' rer derf'or, at de to f' rste potesrcekker hal' samme kovergesr::tdius. Det er klart, at rcekkero (a z) og ((+1 )a l 1+1 z+1) har samme kovergesradius9 og det er ogsa klart, at udeladelse af' e f'aktor z ikke vii cedre kovergesradius. Dermed er scetige bevist. Scetig Lad (az ) vcere e potesrcekke~ hvis koef' f'icieter er reelje, og lad R vcere des kovergesradius o De vod :f(x) == ~ax c.ef'iorede f'uktio f': ]-R,R[ id i It er d.i:ff'eretiahclj> og f't(x) = ~(+1)a 1x. + Bevis. If' lge scetig 2.51 har potesi'cekke ((+1)a + 1z) kovergesradius R. For R1 E JOj>R[ er potesrcekke ((+1)a + 1 X ) if' lge scetig 2.49 ligelig koverget pa itervallet ]-R 1 l>r 1 [, og af' scetig 2.41 f' lger deref'ter f'or x E ]-R 1,R 1 [9 at f' t (x) = dd (f'(x)-s ) = d ~ a x + 1 = x 0 dx =O ~ (+1)a 1x =O + Da dctto gcelder f'or ethvert R1 E ]O,R[, er scetigo dermed bevis't~

121 Mat 1, MA MA 2.44 log(1+x) = ~ (_1)-1 =1 Bevis. Potesrrekke (~) har kovergesradius 10 For z = '1 er rwkke betiget koverget. Altsa def'ierer x ~ (x) = 00 2j (_1)-1.L =1 e ai'bilfu1ig ~:J-1y1J scetig 2.52y at id i Ro For x E J-1,1[ har vi if' lge Altsa er ~(x) - log(1+x) kostat pa J-191[y og ved at srette x = 0 ser Vi9 at kostate er O. Dermed har vi visty at ~(x) = log(1+x) f'or x E J-1 9 1[9 og vi magler blot at vise 9 at ~(1) = (~ ):~. log 2. Sretig 2.44 med g (x) = x og a = ~ f'ortreller, at rceldte (( -1 )-1.L) er ligelig lwverget pa itervalle t [091]. If' lge sretig 2.37 er ~ altsa kotiuert pa itervallet [091J. Da de ved ~(x) - log(1+x) def'ierede f'ulttio er kotiuert pa [O,1J og idetisk 0 pa [091[ er de 0 ogsa f'or x = 1. Altsa ~(1) = log 2. Dered er sretige bevist. Eksempel. Do f'ude rrekkeudviklig g r det muligt at berege e tabel ovur aturlige logari tmer. Pa grud af' :fuldioalligige log(xy) = log x + log y er det f'oruf'tigt f' rst at udrege logaritmere af' de sma primtal. Rrekkeudviklige 00 kll = = log 2 2j -1 1 =1 3 kovorgcrer sa darligt9 at de er helt uavedelig til umerisk

122 Mat 1~ MA MA 2.45 beregig at' log 2. E vis t'ordel opar vi~ log ill 1... x = 10g(-'f+X) - 10g(1-x) 00 = ~ =1 (_1)-1 ved at vi har x x ~ =1 al tsa log 1+x = 1-x 00 x ~ -- =1 2+1 o ) 0 For x = ~ t'as 1 med x::: 9~ log 2 at' dee udviklig. Edu hurtigere gar det 1 2 F ~ ~o som giver os og 4. or x = 253 Lar Vl og 125 ~ og sa har vi log 2 = log ~~~ + 3 log ~ og deret'ter log 5 = log ~ + 2 log 2 Derrest udreger vi log ~6~ og dermed h ar Vl. 1 og 3. V i t'or t sretter med log 2Q. 49 og log ill 120 ~ som glver " os log 7 og log 11. Reste gar let. De kedte logaritmer vii sart ligge tret ok til~ at de vrige ka t'ides ved iterpolatio. Vi skal vise e opstillig til udregig at' log 2 med 8 decimaler log 5 =

123 Mat 1~ MA MA 2.46 Afrudigsfejlees virkig pa summe er midre ed 3 i sidste decimal. De bortkastede led er lagt uder 1 i sidste decimal. De samlede idflydelse pa slutresultatet er saledes uder 7 pa tiede decimal, sa de af rte 8 decimaler er aile sikre. Eksempel. F lgede lille regig illustrerer~ at summe af e betiget koverget rrekke ka amdres ved omordig af leddee: log = _ log = " log = " o Sretig Lad (az ) vrere e potesrrekke med reelle koefficieter og med kovergesradius R. De ved f(x) = ~a x defierede fuktio f:j-r,r[ id i R er vilkarlig ofte differe~ te tiabel, og des p differetialkvotiet er 00 (+p)! a xp = p! l +p 00 ~ (+P)a x P P +p =O Bevis. Umiddelbart ved getage avedelse af sffitig 2.52 kotiuert med sretig Sretig Lad a vrere et positivt tal, og lad f:j-a,a[ id i R vrere e fuktio, der ka udvikles i e koverget potesrc:eldce? a1 tsa f(x) = Da er f vilkarlig ofte differetiabel, og f(p)(o) = pi a p

124 Mat 1~ MA 2.47 Bevis. F lger umiddelbart a~ swtig retige viser~ at e reel ~uktio h jst pa e made ka udviklcs i potesrwkke 9 og udviklige er ~(x) co = 2j =O x Swtig For to vilkarlige potesrrekker (az ) og (bz ) gwlder~ at hvis der ~ides et positivt tal a~ saledeb at da er a = b ~or aile vwrdier a~. Bevis. Vi sretter c = b - a og ~or x E ]-a 9 a[ har vi da c x = c = +. ~ 0 For hvert skriver vi c' ic" c V c tt E R, ' ' og vi har da 2j c' 2j c" 0 ~or aile x E ]-a,a[. At: x = x = sret- ig 2.55 ~ lger u, at c' = c" = 0 ~or aile. Dermed er sret igcm bevist. Scetig Lad (az ) og (bz ) vrere potesrrekker 9 beggc har kovergesradi us ~ R > O. For / z/ < R grelder da som og 2j a + ~ b z ~(a +b )z z = z ~ a z ~ b = ~ cz, hvor c = 2j akb _ k ~ k=o Bovis. De :f rste pastad er idlysede. A~ sretig 2.24 ~ lger a b P q og ved sretig 2.22 ~ar vi dere:fter

125 MAT 1?!ViA a b p -p z = lj og dermed er sretige bevist. 9 tig For p E :N- og I zl < 1 er, " lj (1_z)p+1 = =O (+p) zj;l p Bevis. For XE]-1~1[ er 1 1-x = at og vodldit't'er~tie p gage og dividere med pi t'ar vi it' lge sretig 2.54 " ,',1,.:../,> '"1 t:' -.", ",' _"'" i-, At' sretig 2~ 57 t' lger 9 ~f'( 1..:.~)-p:"1 ka udvil\:l~s i e potesrq:lkkp,meq,. 1{QvGrg~.era4,i1iu?,~1,. -.'+;- - '...- ',.1 _.'.'... _L("; _.'..,'...," 1 At' sretig 2.56 t' lger dorrest9 at del1lle potesrrekke er idetisk med de allerede t'ude. Der- '.' I _ i _.' -:. ' ~. t~ \ - :'-..,.', me d e I' Sa:) tt ge Ii 'Se'v i st.' Ved at ers~:!!~... z med ~ t'&:r;'v;i,) ;;',, (,.!.,~ :::: 1 :::; (+p) --p-1 (ex-z )~+t,=o:,p" ex z 'J ;.," ~ ". J,.:... ~, '.' : \ [, hvor potesrrekke h~r ko~vergesradius lal. Herat' t'remgar? at.' ~, 'J ehver partialbr :{' < a j".c, hvor ex ~ 0 'J ka udvikles i e po-. (z-ex)p t'esrgbh:lc0.:'soill',ffap;l{o:verge-sradlus' " Itx~'. De:t' m:edf' ilel~j,igey1:';,ei,.ct ehhvo-r ljrude ratioal fuktio9 hvis rever ikke har 0 som rod') ka udviklos i potesrrekke. ''':.!. : f '_ i

126 Mat 1, lila Defiitio radius R > 0 og summe f(z) = ~ ferctialkvotiet af f ved Hvis potesrrekke (a z) har koverges az, defierer vi de pte dif- 00 Ved getage avedelse af sretig 2.51 ser Vi9 at f(p)(z) virkelig er defieret for I zl < R, og af sretig 2.54 fremgar, at dcfiitioe stemmer overes med de sredvalige y koefficietere samt z er reelle. ar aile ~retig (Taylors formel for e potesrrekke). Hvis potesrrekke (a z) har kovergesradius R > 0 og summe f(z) = ~ az, har vi for Izi + Ihl < R, at 00 f(z+h) = ~ p=o Bevis. Rrekke (Ial (izi + Ihl )) er koverget, og ved biomialformle og sidste del af sretig 2.22 far vi derfor er s~mmabel. Det samme grelder, ar vi sletter umerisk-tegee, og regige ka da geemf res bagfra ude umerisk-tegee, sa vi :far f(z+h) = ~ O~p~<oo og :foryet avedelse a:f sretig 2.22 giver

127 Ma t 19!vI.!.\ ~LA 2.50 f(z+h) = Her er og dermed er sretige bevist. Sretige udtrykker, at f(z+h) for fast z ka udvikles i e potesrrekke med kovergesradius L R - /z/

128 Mat 1~ MA Idledig 1 Opgavero Am beste ists auch hior.9 wo Ihr ur Ei e har t, Ud at des Meisters VVorte schwart. Goethe. Opgaver. Idledig Det or ikke e egetlig rutieopgave at uders ge 9 om e rce::lw er lwverget. Dertil er der tor mage kovergoskri terier at vcelgo imellem. Lad os tors ge at behadle et tiltreldigt valgt eksempel: koverget? Por hvilke vrerdi er at.p E: R er do uedelige rrelcke ( VIi - 1 I ~ (log(+1)).p ) R~~{e har positive ledo Betiget koverges ka altsa Ia des ude at betragtigo Da ( VIi ) ~ 1~ vii ledee i de uedeligo rreklw ga mod 0.9 i hvert fald for p > o. Der er al tsa hab om l{overgos. Rodkri teriet virker ikke tillokkede.9 og kvotietkriteriet egetlig heller ikke. Det ser ud til.9 at vi ra sarrelige med e 'passede rrekko. Disse overvejelser leder os til orkedelse at, at det cetrale sp rgsmal er: hvor stor er eget lig v-1. Mere psykologisk botoede betragtiger kormer vel ogss. id i billedet. st rrelse (log(+1))p er jo lagsomt voksede for.p > 0 og lagsomt aftagede tor p < 0 0 Dertor er der egetlig

129 Idledig 2. Opgaver iklce srerlig stor chace t'or, at vrerdie at' p overhovedet har idt'lydolse pa kovergessp rgsmalet. Disse overvejelser leder tarutore he pa sretig 2.16~ som viser at vrerdie at' p ka vrere udslagsgivede t'or kovergessp rgsmalet~ hvis v - 1 er omtret 11 (oller ~)o Idet vi veter? at opgavestillere har s rget t'or, at v<.erc1ie at' p spiller e rolle, tl'or vi, at v'-1 er omtret ~ og vi stiler mod at vise dette. Dee slags overvejelser er sel l vf' lgelig ikke sikre. Af og til m der ma opgaver ~ hvor svaret or lifor aile pi! eller "for itet pll St rrelse v er i sig selv uhadterlig? me des logari tme 1 er log? hvilket ser mere overskueligt ud. Vi ved? at * log v-1= -1= (1 log ) ~ 0 Hvorfor ikke pr ve at skrive det: 1 log 0 e - e hvor dot sidste bare er e rerliggede idskydelse. Vi ka jo se pa dif'fereskvotiete 1 - log e 1 log o - e som gar mod dit'feretialkvotiete at' ex for X = O. Vi har al tsa ( v - 1 '\ ~ eo = \ ~ log ) 1? og dar oksisterer derfor positive kostater k1 og k2' salodes at k k2 log Sammeligigskriteriet giver u, at rrekk:e forholder BOg som

130 Mat 19 MA Idledig 3. Opgaver. ( log 1 rrelcke ~ - ) og de f'orholder sig vel ige som (log(+1))p!i ( log(+1) ). Altsa koverges f'or p > 2, diverges f'or (+1)(log(+1))P p ~ 2. Vi ma u ga regigere kritisk igeem. Sa lrege vi bare f'umledc med opgave trekte vi pa store vrerdier af', og dct er f'oruf'tigt u at se ef'ter, om sma vrerdier af' giver aledig til s<.8rlige problemer. Vi sei', at = 1 giver 0 i mevere f'lere stedcr, me det f' rste led i de give rcekke cr 0 9 sa vi ka helt udelade vrerdie = 1. E mulig redaktio af' besvarelse: Rcelckes f' rste led er O. AIle de vrige led er positive. Da f'ukti oe ex har dif'f'eretialkvotiet 1 f'or X = 0 9 har de ved ~(eh_1) def'ierede f'ulctio grresevcerdie 1 f'or h ~ 1 a Idet vi udyt ter log 9 at ( ) ~ 0 f' lger heraf', ide t vi srot ter h = log!i at ( vii - 1 ) l log ~ 1!I hvor = 1 trekes udeladt. Idet f' lge er begramset og har positive led, ka vi vrelge k1,k2 E J0900[, saledes at ~ vii - 1 log k2 For > 1 e:c> vd " (log(+1 ) )p log k2 (log(+1 )p

131 Mat 1~ MA Idledig Lt. Opgavero og sammeligigskriteriet kombieret med sretig 2.16 giver, at de give rrekke er koverget for p > 2. p ~ O~ at For > 1 er log(+1) < 2 log? og derfor far vi for vii - 1 (log(+1) )p k1 log (log(+1»p og sammeligigskriteriet giver u~ at rrekke er diverget for o ~. p ~ 2. For p < 0 er vii - 1 (log(+1»p ~ vii - 1 k1 log og sammeligigskriteriet giver~ at rrekke er diverget. E del af de f lgede opgaver skal illustrere begrebet ligelig koverges, og disse opgaver er ikke i egetlig forstad problemer,9 og "l sihge" af dem vii ikke volde vaskeligheder. At udvikle e brude ratioal fuktio i potesrrel(ke er e rutieopgave i egetlig forstad: De brude ratioale fuktio slcrives som e sum af pljjrtialbr ker, og hver af disse udvikles i potesrrekke~ saledes som det er beskrevet efter sretig Det er de komplekse partialbr ksudviklig~ der kommer i brug, me for e brude ratioal fuktio med reelle koefficieter far potesrrekke selvf lgelig reel Ie koefficieter. Dette er ildce meget bevedt som kotrol pa? at ma har reget rigtigt.

132 Opgaver 1. Lette opgaver. 1. Uders g~ om rrekkere «v - 1)) og «log 2 log 3 1og(+1»-1 er lwvergete 0 2. Ud0rs g9 om rrekkere, f2lljt og 2! 3) er ko- (2) I vorgote. ( l ) (illl)~) (~! 3. Udcrs\?\g, om rrekkere ( 1 )' (( log( 1 + ~))) og (log(+1)) ( Clog log( 1 + ~)) ) er kovergete. 4. Uders g, om rrekkere ( 1 11 og (CIOg(+1 ))-log ) er log(1+-) kovergete 5. Uders g, om rrekkere og er lwvergete. 6. Udyt de vurderiger 9 der beyttedes i beviset ~or itegralkriteriet til at vurdere a~sittee i rrekke (- 1 )9 og ~id derved ~rem til et sk over9 hvor mage led 9 der ma medtages 9 ~\()r summe overstiger 100. Hvorledes ka et jagtigere sk opar? 7. Udyt vurderiger, der mider om de i ~eviset ~or itegralkriteriet beyttede til at vise 9 at ~ lge (1 + ~ ~ - log ) er koverget. Grresevrerdiere kaldes Eulers kostat. Ma vec1 ikke om Eulers kostat er ratioal eller irratioal.

133 Ma t 1, I\;A Opgaver For hvilke reelle p og q med 0 < q < p kovergeror rrekkere ( P 1 q) og - ( 1 ). p - q For hvilke For hvilke reelle p kovergerer rrekke reelle p kovergerer rrekke (e-(log )p). ((Vii - 1)P). 11. Vis, at familie ((p+iq)-31 (p,q) E Z x maoel Uders g om rrekke ( +lj) er koverget. 1+i Z \ ~(o,o)l) 13. Vis de for IZ11 < 1 $ IZ21 < 1 gyldige formel er sum- 14. Vis, at f'amilie ((p+q)zp zq I p 1 2 (p+1,q+1) E N x fu) er summabel, hvis og ku hvis I z11 + IZ21 < Udors g om rrekkere (si ~), (si ~) 11 er kovergete. og ((si ~)2) ( 1 (l' 1T)) 16. Vis, at rreltlce T cos 2"' + si"2' er koverget. 17. Lad p vrere et positivt ulige tal. Med pe) beteger vi de umcrisk midste divisiosrest ved uf'uldstredig divisio af' P i det hele tal, altsa = pq + p (), 'it E Z, I p () I < ~P 8 Vis, at rrekke (log{~~{)) er koverget. 18. For hvilke x E :R er rrekke ((1 + ~ + + ~) Si~ x) kovcrget.

134 Ma t 1 ~ I'.:A 2 ~ Opgaver IJad (a) vrere e t' lge ~ verl:,et. Vis~ at rrekke t'or hvilke rrelcke (a ) iklce er ko (a) heller ikke er koverget e 20. For p? q E N defierer vi 1 t'or p -- q a = pq [ -1 t'or p = q-1 0 t'or p < q - 1 og for p > q 0 Vis~ at begge dobbeltsummere j( 2ja) p=1 q=1 pq og 2j ( 2j a ) q=1 p=1 pq elmi sterer.9 me at de har forske llig vrerdi. 21. Vis, at e betiget koverget rrekke (a) med reelle led ka.q~ordes, saledes at summe t'ar e give vrerdi c(begyd med sa mage positive led, at afsitssumme Qverstiger c, derrest sa mage egative led, at afsitssumme etop bliver midro ed c, o.s.v.). 22. Vis? t rrekke ( (Vi1 ) + ~). er betiget koverget. Hvilke lwmplekse tal er sum at' rrekker, der t'as ved omordig at' de foreliggede. 23. A[,i v e betiget koverget rlliklce mod de egeskab, at ethvert komplekst tal ka t'remkomme som sum af e rffiluce der fas ved omordig af de t' rst revte. 24. Vis f lgede s::etig: Hvis rrelcke (a) er koverget og t' lge (b ) har de egeskab, at rrekke (b -b + 1 ) er absolut koverget ll da er rrekke (a b ) koverget. 25 Det atages ll at rffikke (a) er absolut koverget, samt at

135 Mat 1, Mat 2, Opgaver 4. 2 V(a f 1). Vis, at rrekkere (a 2 a 2 ) a -1, ( +), (a ~) er absolu~ kovergete. 26. E f lge (f ) af afbildiger f:[o,~j id i [o,ooj er defieret ved at a f (x) for for x E [~, ~ J. Vis, at (f ) er puktvis, me ikke ligelig koverget, og agiv grresefuktio. Uders g, om det samme grelder for f lge (Pf ), idet p er et aturligt tal. Uders g, om f lge (J~f(X)dX) og f lgere (!:Pf(X)dX) er kovergete. 27. Lad m vrere et fast aturligt tal. Vis, at f lge (f m ), hvor f or id i R er defieret ved f (x) = (cos mlffx)2 er uktm' m J:' vis koverget mod e grresefuktio fm og agiv dee grresefuwttio. Vis derrest, at f lge (f m ) er puktvis koverget, og agiv grresefuktioe. 28. Uders g om f lge (f ), hvor f :R id i R er defieret ved f(x) = X(1 + 2 x2)-1, er puktvis koverget. Er f lge ligelig koverget? Besvar de samme sp rgsmal for f (x) = 3 x2(1 + 4 x 4 ) Vis, at f lge (f ), hvor f i Rid i R er defieret ved f(x) = Vi kovergerer puwctvis. Er fuktioerc differetiable? Kovergerer f lge ligeligt? Kovergerer f lge ligcligt pa begrresede itervaller [-a,aj? Besvar de samme sp rgsmal for y = v(x ).

136 Ma t 19 j';la Opgaver 5. 30~ Uders g, om de ved f(x) = x - x+1 defierede f lge (f ) af afbildiger f :[0,1] id i [0 9 1] er ligelig koverget Uders g om rrekkere (e- (1+x» og (2-cos 2 x) er ligelig kovergete pa R. 320 Udors g om 00 f(x) ~ si - = 2 x og g(x) = =O defierer kotiuerte afbildiger ; e(x-) =O, f9g: R id i R Uders g om rrekkere -1. «-1 ) 2 ) s~ x 2. x) og ( «-1 ) e -x s~ er ligelig kovergete pa hele R. 34. Uders g om rrekke ( si ~ si x) er ligelig koverget pa itervallet [-ff,ff]4 35. Bestem kovergesradius for 00 og 00 ~ =1 Uders g, om rrekkere kovergerer pa kovergescirkle o 36. Samms sp rgsmal som, foregaede opgave for 00 ~ ( v + 1) z og =1 =1 00 ~ ( v - 1) z 37. Samme sp rgsmal som i foregaede opgave for 00 1 (. ) 00 1 ( ITlT) Z 1 + ~ z og ~ cos ~ z =1 =1

137 Mat 1~ MA 2, Opgaver 6. 38& Hvis potesrrekke (az ) har kovergesradius R E ]O,w[? og k er et positivt helt ta1 9 hvilke kovergesradius har da k hver af rrekkere (akz ), (a zk) og (a z ) 39. Fid e potesrrekkeudviklig far og for (z -1)(z -2)(z -3) 40. Fid e potesrrekkeudviklig for 1 2 z +2z Fid e potesrrekkeudviklig for (1+x) log (1+x) dels ved direkte udregig~ dels ved f rst at fide potesrrekkeudviklige for differetialkvotiete e Kotroller, at de saledes fude potesrrekker er idetiske. 42. Samme sp rgsmal som i opgave r. 41 for (log(1-x))2 Idette tilfwlde giver kotrolle aledig til e smule besvrere 43. Vis, at «1+-1)) kovergerer mod e (udyt~ at log«1+)) kovergerer mod differetialkvotiete af log i puktet 1). Fid derved kovergesradius for potesrrekke (!- zj)o). Vaskeligere opgaver. 44. Uders g om rrekke «log 109(+2))-lOg log(+2) er koverget.

138 Mat 19 MA 2, Opgaver 7. 45e For ye Q, sretter vi ~(x) = q9 hvis x = Q, hvor q E N ~ og q br ke er u~orkortelig. Uders g, om ~amilie «~(x) )-3 I x E Q [0,1]) er summabel. 46. For v = 0,1~.oo,9 beteger vi med Av mregde a~ de aturlige t~l9 som i 10-talssyst~met skrives ude ci~ret v. Vis, at det ~or v = 0,1'00.,9 grelder, at (- 1 l E Av) er e summabel ~amilie 9 medes ~amilie (- 1 I E N\UA v ) ikke er summabel Vis ~ormle e = ~ (!)- ved at udytte, at =O idet (1+- 1 ) udvikles e~ter biomialformle og gramseoverg811ge -t 00 geem~ res. Det er dvedigt at rege omhyggeligtl 48. Vis de ~or alle E N gyldige re~atioer Vis, at "Ix E [ ] ( L(x-)) 2' 2 x :6 (- -! dx) = 'Y', =1 x hvor y er Eulers kostat (se opgave 7). Udreg e tilrermet vrerdi ~cr y ved at beytte de jagtige sum a~ summos 10 ~ rste led, medes de vrige led vurderes ved hjrelp a~ de i opgaves idledig agive uligheder. 49. Vis pa grudlag a~ opgave 47, at e er et irratioalt tal (idirekte bevis.)

139 Mat 1~ MA 2p Opgaver Visp at der til hvert reelt tal x E [O~1[ svarer e ~ lge (a) a hele tal, saledes at \i E: l~ (0 ~ a ~ -1) 00-1 og x = ~ ( I ) a. =1 Visp at x er et ratioalt tal, hvis og ku hvis 3N E: N( (\i ~ N( a = 0)) v (\i ~ N( a = -1))) 0 Visp at ~ lge (a) er etydigt bestemt ved x, hvis x er et irra ti oal t tal. 51. Vis de or p,q E: N gyldige ~ormel log log q 52, Om e ~ lge (~) a~ af'bildiger ~:[O,1J id i [O,oo[ t@kes ~ lgede at grelde ~or ethvert E: N: 1 ). (x) = 0 9 hvis x ~ 11 eller x ~ 1 2). ~ er kotiuert. 3). Maksimumsvrerdie a~ ~(x) er ~ Hvis, at rrekke (~) (~) 2.. L~2 ). er ligelig koverget, me at rroldw iltlce har oge koverget majoratrrekke (sml. s@tig 53. Vis, at 00 ~(x) = ~ cos x =1 log dg~ierer e overal t di~~eretiabel af'bildig ~::R\21r Z id i R, og at di~f'eretirlkvotiete er givet ved

140 Mat 1, II-A. 2~ Opgaver ~ =1 ViS, at rrehl{eudviklige for ~ si x log er diverget i puktere af 21T2, redes rrekl{eudviklige ~or f t er koverget ~or aile x E R. Udled hera~, at de ved 00 g(x) = ~ =1 si x log defierede a~bildig g:r id i R er diskotiuert i puktcre 21TZ Vis at ; z! har kovergesradius 1, samt at =1 ~(z) = 00 ~ z! =1 ildw er begramset pa oge radius! r ( co s?r + i si 7) I o.~ r < 1 1\ P E Z 1\ q E N 1 Vis, idet Iz/ < 1, at Taylorrrehlte har lwvergesradi us 1 - / z I 55. Vis, at det ~or ~(z) = og Iz/ < 1 greider, at ~(z+h) = har lwvergesradius 11-zl 0 ff(z) = ~ z = (1_z)-1). =O (Uders g f rst

141 Mat 19 tiii. 2, Opgaver 10. Svrere opgavero Vis 9 at ~ (l )-1 ~ (-1 )(.t )-1 -_ 1, og V1S. ddt erve, a =O =O 0-1 = ~ (_1)(I)-1 0 Udled herar, at =O Here almideligt grelder me det er meget vaskeligt at vise. Tal med dee egeskab kaldes trascedete, og aile adre tal kaldes algebraiske. Idregcle ar algebraiske tal er umerabel. 57. Lad (r ) vrere e f lge af kotiuerte ruktioer f :[O,1] id i [o,ool Det atages, at (r(x)) er aftagede og kovergerer mod 0 ror ethvert x E: get (pr v idirekte). [0,1]. Vis, at (f ) er ligelig lwvor 58. Lad b vrere et positivt ulige tal, og lad a vrere et tal i itervallet JO,1[. Da defierer 00 W(x) = ~ a cos b ffx =1 e lwtiuert a:trbildig W:R id i R. For x E: R og E: N vrelger vi ~ E: Z, sale des at og vi sretter '2 < b x - ~ ~ 2 '

142 Mat 1, L.:'.. 2~ Opgaver 11. og daer differeskvotietere og W~X+k) k - W(x) o Vi sleri ver disse som uedelige rrekker o Vis at leddee fra og mod dot te aile far samme forteg i hver af de to rreidcer? og vis 9 at summe af disse led~ ar b er tilstrrekkelig stor 9 lagt vii overveje summe af aile de forudgaede ledo Foretag grreseovergage ~ 00 9 og vis derved 9 at W ikke er differctiabel for oge vrerdi af Xo Omhyggelig vurderig vii visc~ at dette idtrreffer 9 hvis ab > 1 + ~ Eksemplet skyldes ';;cierstrass og er det f rste eksempel pa e kotiuert$ itet stads differetiabel fuktio. 59. Va dor Waerde har givet et meget ekelt eksempel pa e kotiuert9 itet steds differetiabel fuktio. Ha defiercr cp ( x ) = ~ - x f or I x I ~ ~ 9 oe s@tter cp(x+) = cp(x) for aile E N og aile x med Ixl ~ Derrest sretter ha Vex) = ~ 4- cp(4 x) 0 =O For x E R og E N vre1ges h = 4- eller _4-0 Ved for hvert at vrelge forteget rigtigt opar ha, at h- 1 (V(x+h )-V(x)) blivcr lige, hvis er lige~ og ulige hvis er uligo$ og dot udelukker abebart~ vwre koverget. Pr v 9 at geemf re beviset. at f lge af differeskvotieter ka

143 Mat 1 ~ IrA 2~ Opgaver Fa vor mage mader ka et bel b pa d (d=pece) veksles i m ter med palydede 1d 1 2d 9 og 3d? Atallet er abebart koefficiete til z i rre~ceudvik~ lige 1 = ~ z ~ z 2 ~ z 3 =O =O =O og her ka vestre side udvikles i partialbr ker 1 som ige le udvikle s i potesrrekke 0 Vis 1 at det s gte atal bliver det hele ta1 9 der ligger 1 2 rermest ved 12(+3 )

144 Mat 1~ Ma MA 3.1 Kapitel 3. Elemetrere~ specielle fuktioer.. Ergo er I e Hae Ludvig Holberg., Idette kapitel vii vi studere de trigoometriske fuktioer~ logaritme- og ekspoetial fuktioere 1 samt ogle med disse beslregtede fuktioer. Et vresetligt ~ormal med dette kapitel er~ at bestemme potesrrekkeudvikliger ~or ogle a~ de mvte ~uktioer.. Vi vil dere~ter beytte potesrrekkere til at udvide ~uktioeres de~iitiosmregde til de komplekse pla. De elemetrere ~uktioer er kommet til verde pa meget ~orskelligvisp me i de ~leste gymasieb ger f des logaritme- og ekspoetial~uktioere af de matematiske aalyse, medes de trigoometriske fuktioer er a~ geometrisk opridelse og de hviler i vresetlig grad pa det aive vikel begreb 9 der ltedes ~ra mellemskole.. I det foregaede har vi brugt det aive vikelbegreb ved id~ relse a~ argumetet ~or et komplekst tal. Dette har vi ige brugt ved bevi set ~or de associative lov ~or de komplekse tals multiplikatio9 me dee udledes let direkte af produktets de~iitio. Desude avedtes vikelbegrebet i beviset ~or regle labl = lal Ibl, me de ka ogsa let ~as direkte af defiitioe. I vrigt er teorie ~or potesrrekker helt uafhregig af vikelbegrebet. Der er derfor foruft i at geidf re vikelbegrebet for~ra ved udyttelse a~ potesrrekker. Et vigtigt hjrelpemiddel er Taylors ~ormel~ som h rer til gymasiepesum. Vi mider kort om de e formel, og vi skal ogsa give et bevis for det.

145 MA 3.2 Sretig 301. Lad f:[a,b] id i R vrere gage differetial)el med f ~,.,f() kotiuerte.. Da er f(b) ;1 f(:;{a)(b_a)k + 1 /b f()(t)(b_t)-1 dt, k=o (-1 )! a hvor f(o)(a) betyder f(a). Bevis. Idet vi skriver f(o) istedet for f, har vi for k b k f(k)(a) Cb-a) + / f(k+1 )(t) (b-t) dt k! a kl' og edvidere er (svarede til k=o). Ved additio af aile disse ligiger far vi etop de i sretige af rte formel. Sretig 3.2. Lad I ~ R vrere et iterval, som ideholder 0, og lad f: lid i R vrere e gage differetiabel fuldio, hvi s f rste dj.fferetialkvotieter er kotiuerte., For x E I grelder da f(x) ;1 ~(k)(o) x ( ) = ~ ~ k + 1 / f (t)(x_t)-1 dt k=o k! x (-1)! 0 Bevis. Vi bemrerker f rst, at beviset for sretig 3.1 g@lder uredret, hvis itervallet er [b,a] istedet for [a,b]o Sa aveder vi sretig 3.1 med a = 0 og b = x, og de slcede formel fremkommer. Sretig 3.3. Lad I ~ R vrere et iterval, som ideholder 0, og lad f:i id i R vrere e vilkarlig ofte differetiabel fuk-

146 Mat 19 MA tio. Hvis det for ethvert x E I grelder~ at ( 1 JX (h) ( ) ( )-1 ) (-1)~ 0 f t x-t dt ~ 0, da er 00 f(x) = ~ =O for x E I. Potesrrekke kaldes MacLauri-rrekke for f. Bevis. Af sretig 3.2 fremgar~ at forskelle mellem f(x) og det teafsit af MacLauri-rrekke gar mod 0, og deraf f lger pastade umiddelbart De ved defierede fuktio R:I id i :R kaldes ~~aclaurirrekkes ( te) restled. At (R) gar mod 0 puktvis pa I er e dvedig og tilstrcblclcelig betigelse for, at MacLauri-rrekke er koverget med sum f(x) for x ~ 1. For et iterval [a~b] c I, hvis edepukter iklw er edepukter for I, vii MacLauri-rrekke da, som vi sa i kapitel 2, kovergere ligeligt, og restleddet vii altsa ga ligeligt mod 0 pa et sada iterval. Det skal tilf jes, at Mac Lauri-r@kke ka vrere koverget, selv om restleddet ikke gar mod 0, me des sum vii da afvige fra f(x). Det ka selvf lgelig udmrerket tcekes, at MacLauri-rrekke kovergerer pa et iterval, der har I som regte deliterval, og vi mider om, at MacLaurirreldces maksimale kovergesiterval uder aile omstredigheder er s~metrisk om O. mcsempel. For

147 Mat 1, MA IvIA 3.4 er f(o) o for p> Idette tilfrelde er MacLauri-rrekke altsa polyomiet selv. For 00 f(x) = Li =O hvor potesrrekke har positiv kovergerlsradius~ far vi ligeledes f()(o) = la for alle, og potesrrekke bliver derfor si ege MacLaurirrekke. Sretig 3.4. For alle x E R er 00 x e = ~ Bevis. Fuktioe ex er si ege differetialkvotiet. Restleddet i derme fuktios MacLauri-rrekke bliver derfor () 1 jx t -1 R x = (-1) 1 0 e ( x-t ) d t Her er 0 ~ e t ~ e 1xl i hele itegratiositervallet. Fm~{tioe (x_t)-1 har kostat forteg i itegratiositervallet. Vi far derfor hvor umeriskteget om itegralteget er dvedigt for egative Xo Vi udreger itegralet og far Vi vrelger N ~ Ixl og for > N har vi da I I IxlN Ixl IR(x)1 ~ e x ~

148 Mat 1, MA II/LA 305 O. MacLauri-rrekke er altsa kover hvilleet viser? at (R (x)) ~ get. For x = 0 bli ver differetiaikvotiete af ehver orde -1, og MacLauri-rrekke reduceres derfor til de af rte I'reIllie. Der'- med er sretige bevist. x Potesrrekkeudviklige af e, ekspoetialr231dm, hal" leovergesradi us 00 " Del"for hal" f lgede defii ti o meig: pefiitioll 3.5. For z E C sretter vi exp(z) 00 z ", z = e =. LJ l =.:O Afbildllige exp:;c id i C kaldes ekspoetialfuktioe. DetegelseJ'e exp(z) og e Z avedes t fireg. Det. el"l kiart~ at de saledes dc)fierede expoetialfuktio stemmer ove:r... el1s med dell kedtel> hvis z er reel. Vi skal u vise? at eimpoetiol- fu111~tioes fuk";ioalligig bevarer si gyldighed for de ye fuj.di o. retig 3.6. For z1,z2 E C er z1 7,2 z1+ z 2 e e -- e Devis. Da ekspoe tialrrel~lw ",p q zp q z z2 00 LJ 1 0::> z z2 e \:; = 2 "p! 2 p=o q=o P,Cl=O er absolut koverget, er q! = 2 - pfq:j- = 00 _1 -q 00 ('.p -p i z1 + z2) z'1+ z l )Z1 z2 = -_.--- p- = e =O p=o =O l Dermed er sreti,f,e bevisto gretlg 3ot. For z E C er

149 Mat 1, MA IVL Scetig 3.8. For ye, R er leiyi = 1 Bevi So le iy,2 = e iy e -iy = e iy-iy = 1 0 Vi id~ rer u de to ye fuktioer s(z) 00 z2+1 = ~ (-1) (2+1)! =O Potesrcekkere har kovergesradius 00 9 og der~or defierer disse rcelffieudvikliger afbildiger c 9 s:c id i C. Da koe~~icietere er reelle, de~ierer de tillige afbildiger c,s:r id i R. Disse afbildiger er vilkarlig o~te di~~eretiable9 og ved ledvis dif~eretiatio ~ar vi c'(x) = -s(xl s'(x) = c(x) 8cetig 3.9. For x E R er e ix = c(x) + is(x), 2 2 (c(x)) + (s(x)) = 1 Afbilili1ige c + is:r id i C er e afbildig a~ de reelle akse id i ehedscirkle i de komplekse pla. Afbildigere c,s:r id i R er kotiuerte. Bevis. Ved avedelse a~ ekspoetial~uktioe ~ar vi + i ~ (_1) x = =O (2+1 ) I c(x) + is(x) De ade pastad ~ lger umiddelbart a~ scetig 3 0 8, og de er

150 Mat 1, MA etop esbetydede med, at billedmregde ved c + is er e delmamgde af ehedscirkle. At c og s er kotiuerte f lger af~.qotesraikkere kovergerer ligeligt pa ethvert begrreset deliterval af R. Sretig Der eksisterer et positivt tal 1T med de egeskab, at c + is af'bilder itervallet [O~ ~] bijektivt pa de vcd fz Eel Izi = 1 A Rez ~ 0 A rm z ~ 01 bestemte cirkelkvadrat. Bevis. Da c er kotiuert, og c(o) = 1, eksisterer der et tal h > 0, saledes at c(x) > OJ for alle x E [O,h]. Da s'(x)=c(x), er s stregt voksede pa [O,h], altsa s(h) > O. Lad os u betragte et tal k > h, saledes at c(x) > 0 for alle x E [O,k]. Sa er s stregt voksede pa [O,kJ, altsa s(x) ~ x E [h,kl Da vi har c I (x) ::: -s(x), far vi heraf s(h) for alle k jt c ( h ) ~ c ( h ) - c ( k ) ::: -I h (- s ( x) ) dx = h s ( x ) dx ~ ( k - h) s ( h ), hvilket medf' rer, at at ForeiTIBsmregde af alle de halvabe itervaller [O.k[, pa hvilke c(x) er positiv, bliver u et iterval [O,~[, hvor.~ ~ h + ~t~j. Da c er kotiuert, er c(~) ~ 0, og da itervallet [o,~[ er det maximale halvabe iterval, pa hvilket c(x) er positiv~ er c(~) ::: 0 Da s er stregt voksede pa [o,~] er c + is ijektiv pa dette iterval, og bade c og s er positive pa ]o,~[. Af sretig 3.9 fremgar u, at billedet af itervallet [o,~] etop er de bue ai ehedscirkle, der ligger i f rste

151 Mat 19 IvL.l MA 3.8 l~vadrat iklusive bues edepukter. Dermed er sretige bevist. Det fremgar afbeviset~ at c(~) = 0 9 al tsa og Sretig De ved ~(x) = e ix = c(x) + i s(x) defierede at'bilc.ig ~::R id i Char periode 21r (doves. Vx E R(~(x + 21r) = ~(X))e Billedmregde ~(:R) er etop ehedscirkle i de komplekse pla. Ethvert iterval ]a 9 a+21r] at'bildes bij elcti vt ved (p pa hele ehedscirkle. Hvi s z er et pukt at' ehedscirkle og x E :R tilt'redsstiller ~(x) = z 9 da er ~-1(z) = x + 21r Z. Bevis. De t' rste pastad t' lger at'9 at ix = e -ix ix ::-r::::'i Edvidere er ~(-x) = e = e = ~\x) 9 og i f'orbidelse med smtig 3.9 medf' rer dette9 at ~ afbilder [- ~9 ~] bijektivt pa de ved fz Eel Izi = 1 A Rez? oj bestemte halvcirkel. Edvidere er i (x+1r) ix i1r ix.2 ix e = e e = e 1 =-e og dert'or vii ~ arbilde [ ~91r] bijektivt pa de bue at' ehedscirkle, der liggi3r i tredie kvadrat (eclepuktere medrege s) Tilsvarede ses 9 at e i (X-1r) = _e ix 9 og ~ vii dert'or a:fbilde

152 Mat 1, ~\ [-1T~ - ~J bijektivt pa de bue af' ehedscirkle~ der ligger i ade kvadrat. Ved at kombiere disse resultater f'ider vi~ at ]-rr,1t] af'bildes bijektivt pa hele ehedscirkle. Pa grlmd af' periodicitete gmlder det samme f'or ethvert iterval ](2:p-1 )1T, (2p+1 )1TJ. For a E I{ ka vi vmlge p E Z, saledes at a E J(2p-1)1T~(2p+1)1T], og pa grud af' periodicitete er billedet af' ] (2:0--1 )1T? a] det samme som af' ]( 2p+1 )1T? a+21t L og dette iterval af'bildes ijekti v. Dette medf'y:\rer, at Ja, a+21t] af'bi1des ijektivt pa hele ehedscirkle. Ai' ~(x) = z f'y:\lger pa grud af' periodicitete, at ~-1(z) ~ X+21T Z, og da ethvert iterval ]a,a+21t] hy:\jst ideholder et pukt af' ~-1(z), er ~-1(z) = X+21T Z. Fuw{tioere c(x) og s(x) er idetiske med de f'ra gymasieudervisige kedte f'uktioer cos x og si x. Hvis vi f'astholder, at cos x og si x er idf' rte pa grudlag af' et vikelbegreb, der ikke er eksaktjaf'skmrer vi os selvf'y:\lgelig f'ra at bevise dee pastad, og vi ra y:\jes med at overbevise os om, at pastade. i e vis f'orstad er rigtig. Vi starter et uerasmus - Motaus-bevis". Fuktioere c og s er begrmsede. Edvidere er og f'or a E :R er c(x + ~) = -s(x) og s(x + ~) = c(x)... c(x+a) dx = -s(x+a) = c(x+a+ ~)! s(x+a) = c(x+a) = s(x+a+ ~), sa getage avedelse giver

153 Mat 19 MA Edvidere er i:!!: c(~) = Re e 2 _ Re. 1, i7t = Im e 2 = Im i Furu{tioere cos og si har de samme egeskaber. Ergo 80m bevis er de e overvejelse selvf lgelig ikke meget vrerd. Det er imidlertid sa heldigt, at vi ka vise~ at c og s er de eeste fuktioer, som har de af rte egeskaber. Dette fremgar af f lgede sretig. Sretig 3&11. Lad y:r id i R og ~:R id i R vrere vilkarlig ofte differetiable fuktioer, og lad K vrere et positivt tal. Hvis og da er 't/x E R (y(x) = 00 Re i. ~ i X A vex) = Im i l x). Bevis. De af rte rrel~er er etop MacLaurirre~{ere? og vi beh ver derfor blot at vise, at Restleddee gar mod Oe For fuktioe y bliver restleddet sa vi far vurderige ( ) 1 j'x ( ) ( ) ( ) -1 R x = {-1) loy t x-t dt ~ IR(x)1 ~ (~1)! IJ~(x-t)-1dtl = K '~l, Ixl og vi har jo set, at (~) ~ 0 0 Det he Ie bliver ved at vrere rigtigt, hvis vi skriver v i stedet for Yo Dermed er sretige bevist.

154 Mat 'I? MA MA 3.11 Vi vil u avede betegelsere cos og si i stedot for c og s. Ethvert /zl E C med z t 0 ka pa e og ku e made fremstilles pa forme '9 z = lzle 1 = lzl (cosq + i sig) ~ -rr < 9 ~ 2rr ~ og vi srotter 9 = Argz ; argz = 9 + 2rr Z. Her er 9 altsa bestemt pa grudlag af srotig For vektorer ~ og b i plae og med koordiater (a,a 1 2 ) og (b,b 1 2 ) defierer vi malet for viltle b +ib 1 2 fra :. til som kel er saledes ved holtallige multipla af' 2rr. arg. for ~ t 0 ~ a 1 +J.a 2 b t O. Malet f'or e vi- e mrogde af reelle tal~ der idbyrdes afviger Def'iitio For z E C srotter vi cosz = ~ (Re i)! z = ~ (-1) (2)! =O =O 00 (1m i) z 00 (-1 ) =O =O siz = Lj r = ~ z2+1 (2+1)! til ~lle Derved har vi udstrakt defiitioere af' cosius og sius komplekse vrordier af' Za Def'iitioere stemmer abebart over es med de srodvalige, hvis z er reel. rotig For alle z E C er e iz. i siz -iz = cosz +, e = cosz - cosz = 1( iz - e 2 + e- iz ), siz = 1 ( iz 2i e i si z e- iz ) cos 2 2 z + si z = Bovis.Direkte regig giver 1 00 cosz + isiz = ~ (Re =O 00 I mj..)z - = '" L.J! =O..u.z ) =! iz e

155 Mat 1~ MA MA 3.12 De sidste rrekkeudviklig i defiitio 3.12 viser, at si(-z) = -siz 9 og de ade formel fas derfor af de f rste ved at crstatte z med -z Additio og subtraktio af de to f rste formler giver de to reste. De sidste formel fas ved multiplilm tio af de to f rste. Eksempel: si( ilog 2).3 == ~4 De fire f rste formler i sretig 3.13 kaldes.eulers formlor. De g r det muligt at omf'orme problemer vedr rede trigoome tri slm fuktioer til problemer vedr rede ekspoetialfuktioc. Ad dee vej udledes de fra gj~asiet kedte rcgereglor for de trigoometriske formler~ og disse er saledes aile gyldigc i de lwmplekse pla. Det vii ogsa fremga af det f lgede, at cosius og sius ku har reelle ulpukter 9 sa der vii ild~e optrrede ye udtagelsestilfrelde hidr rede fra ulpulli{ter i ~vcreo Formler 9 i hvilke der idgar kvadratr dder ra geev raliseres pa kvadreretjrorm og fortegsdiskussioere ka selv- " f lgelig ikke overf res. Eksempel vi s giver Eulers formler og ekspoetialf'ulctio-- es fulctioalligig 1 i(z1+z2) -i(z1+z2) i(z1-z2) -i(z -z ) 2i (e - e + e _ e 1 2) ==

156 Mat 1p MA MA 3.13 Ved omoytig ar z1 og z2 rar Vi9 idet vi udytter 9 si( -z) = -siz at Ved additio og subtraktio ar de to rude rormler rar vi erter multiplikatio med ~~ at El{sempel. Et itegral ar forme 1.7fT fo cos x cos 3x si 5x dx udreges ved at itegrade omskrives til e sum. Dette ka vi u rutiemressigt geemf re direkte ved Eulers rormler 9 f rer til r lgede regig: hvilket 1 ( 9ix 7i%. 3ix ix -ix -3ix -7ix -9ix) 8i e +e +e +e -e -e -e -e = t(sillx + si3x + si7x + si9x) 9 sa vi far J ~1T o cos X cos 3x si5x dx = - ~[cosx + ;cos 3x + tcos 7x ( ) = T ~cos 9xJ~ ==

157 Mat 1, MA MA 3.14 Defiitio For aile z E b sretter vi cosh z = cos iz 1( Z -z) = - e + e 2 sih z (z -z) ~ z2+1 = i S1 1Z = 2 e - e = ~O (2+1)1 Fuktioere,cosh og sih kaldes hyperbolsk cosius og hyperbolsk sius. Det fremgar umiddelbart af defiitio 3.12 og sretig 3.13, at de to sidste lighedsteg i hver af formelliiere i defiitio 3.14 virkelig grelder. Det er klart, at de trigoometriske formler overf res pa cosh ole;, sih i let redret skikkelse. Saledes er 2 sih 2 z 2 cosh z - = 1, cosh z + Sl 'h2 Z = cosh 2z cosh(z1+z2) = coshz 1 coshz 2 + sihz 1 sihz 2 Sih(z1+z2) = sihz 1 coshz 2 + coshz 1 sihz 2 0 Ved restriktio af cosh og sih far vi afbildiger cosh, sih:r id i R. Det fremgar direkte af defiitioe, at cosh(-x) = cosh x, me sih(-x) = -sih x. Det fremgar af potesrrekkeudvikligere, at cosh og sih er stregt voksede for x :? 0, samt at cosh x for I 1 2 sma vwi'dier af x ka approksimeres godt ved 1 + 2x, medes SiW1 x approximeres godt ved x + tx3. For st rre vrerdier af x bliver cosh x og sih x hurtigt lagt st rre ed de af rte tilrermelsesvrerdier, og de midterste udtryk i 3.14 viser, at cosh x 1 x og SiW1 x for store vrerdier af x begge omtret er lig med 2e

158 Mat 19 MA MA 3.15 Som et kuriosum skal vi ude bevis reve, at det grafiske billede af cosh etop er ligevregtsfigure for e tug 9 homoge krede ude b jigsmodstad 9 ar krede ophreges ved sie edepullitter? saledes at disse ikke er lodret over hiadee Sretig For x 9 y E R er x+iy e ~ ex(cosy + i siy) cos(x+iy) ~ cosx coshy - i six sihy si(x+iy) ~ six coshy + i cosx sihy 0 Bevis. De f rste pastad f lger umiddelbart af ekspoetialfuktioes fuktioalligig og sretig De to sidste ligiger ka vises ved at udtrykke aile de idgaede st rrelse ved ekspoetialfuktioer, me de f lger ogss. umiddelbart af addi tiosformlere for cos og si kombieret med defii tio 3.1L~f Sretig Ekspoetialfuktioe atager ikke vrerdie 0. Fuwttioere cos og si har ku reelle ulpukter. Nulpuru~tmregde for cos er fe + ~)ffl E zj 9 og ulpuktsmregde for si er f~l E z1. Nulpuktsmregde for cosh er fi( + ~)fflezl og ulpurudsmregde for sih er f irorl Ezl 0 Bevis. Af sretig 3.15 fremgar, at le X+iYI ~ e x 'F I 0 2\f rrel{keudviklige for cosh fremgar, at cosh y er positiv for allo reelle y. Ai' cos(x+iy) = f lger derfor cosx = 0 9 altss. six ~ 0 9 altsa sihy = 0, altss. y = 0. Dermed har vi vist, at cos klul har de allerede kedte reelle Ulpukter. Tilsvarede for si. Pastadee vedr rede cosh og sih fremgar umiddelbart af

159 Ma t 1, l.':.a MA 3.16 a~ disses udtryk ved cos og si. Dermed er sretige bevist. Def'ii tio Af'bildigere tg: b \ f( + ~)1T I E 21 id i b cot: b \ frorle 21 id i C tgh: coth: C \ fi( + ~)1Tl E 21 id i C C \ f iror I IT E 2J id i C defieres ved tgz = ~~~: ' cotz = cosz sr:z ' sihz tghz = h 9 cothz = cos z coshz sihz.. I de avedte rrekke~ lge bereves de saledes defierede af'bildiger tages, cotages, hyperbolsktages og hyperbolsk cotages. I udeladsk litteratur avedes ofte tag og cotag i- stedct ~or tg og cot. Lejlighedsvis m der ma betegelsere secz = --.L cosz og cosecz = --1- siz Disse af'bildiger beteges secas og cosecas Vi bemrerker at tgz = 1 ~e_i~z ~e_-_i~z_ = 1 e2iz - 1 ::: i iz -iz i 2iz e + e e iz 1_-~e~~ i 1-2iz' + e hvillwt viser, at tg har periode 1T, altsa tg(z+1t) = tgz 0 Edvidere er tghz ::: z e z e -z - e -z + e e 2Z _ 1 2z e z -2z 1 + e = """-_---..;;.e~-

160 Ma t 1 ~ lfla og vi har 1 ' tghz = -:- tg lz 0 l Ved restriktio af tg og cot far vi afbildiger tg: :R \ H + ~)1T1 ~ zj id i :R cot: :R \ [~I ~ zj id i :R, som etop er de fra gymasiet kedte. Formlere vedr rede tg og cot udledes af formlere, der grelder for cos og si gaske som i gymasiet. For tgh og coth fas et ligede formelsystem. Ved rcstriktio far vi afbildiger J-0090[ id i ]-009-1[ ooth: [ J 0, 00 [ i d i ] [ Differetialkvotietere af cosh og sih fas af kvotietrrelucere eller af de to fuktioers udtryk ved ekspoetialfuktioe 0 For reelle vrerdier af x far vi il cosh x sih X9 d dx = dx sih x = cosh x 9 d tgh x 1 cosh x dx = 2 = - tgh x d -1 coth x 2 dx = 1 'h 2 = - coth x, Sl X x ~ O. Fuktioere cos 9 si, tg 9 cot kaldes trigoometriske fuktioer 9 og cosh, sih, tgh, coth kaldes hyperbelfuktioer. Defiitio For Z E b \ [oj kaldes Logz = [w E blew = zj mamgde af logari tmer til Z 0

161 Mat 19 MA MA 3.18 Sretig For Z E C \ ~oj er Logz = loglz/ + iargz Bevis. At w E Logz 9 W = U + iv9 u 9 v E R er esbetydede med, Vi at e = Z9 og i~ lge sretig 3.15 er dette esbetydede med? at e U = /z/ og v E argz. Hera~ ~ lger sretige umiddelbart. De~iitio For z E C \ foj kaldes hovedlogaritme til z. logz = loglz/ + iargz Ii'or z = x > 0 er I xl = x og Arg x = 0 9 sa ligige reduceres til logx ~ logx. Dette udskylder bruge a~ betegelse log. 1T 1 +iv3 1T Eksempler: logi = i 2 9 log(-e) = 1 + i1t9 log 2 = i 3 ' Log(1+i) = ~~log2 + i(4 + 21T)j. I,ogari tmei'uktioes ~uktioalligig over~ res til det komplekse til~relde som e relatio mellem mregder, idet me for hovedlogaritmere grelder ku det svagere resultat hvor 8 har e a~ vibrdiere og -1 a~hamgigt a~ z1 og z2 De~iitio For a > 0 9 z E C sretter vi a Z = ezloga Hermed har vi id~ rt poteser med vilkarligt positivt

162 Mat 1~ MA MA 3.19 grudtal og vilkarlig kompleks ekspoet. Det sea umiddelbart,. at de aredvalige regeregler bevarer gyldighede o For z,w E a ~ hvor z er egativ eller ikke reel, vii vi ved ZW forsta e mregde~ emlig eller mere udf rligt for W = u+iv~ u,v E R (u+iv)(loglzl+iargz) W z = e == Ieulog/zl-vArgz - 2ffV+i(vIOglz1+uArgz+2uu)j E zl. For w E Q bliver mregde edelig, ellers altid uedelig. Hvis w er ret imagirer og Izl = 1 bliver alle elemeter i mregde reelle tri. Elcsempler: 2 (-8)3 == f4, -2(1+iV3)~ -2(1-iY3)} ~ (_2)3i == fe- 3 (2+1)ff(cos(310g2)+isi(310g2»)l E Z}, ii == {e~(4-1)ffl E Z}. Defiitio For z E b sretter vi arccos z = fw E alcos w = z}, arcsi z = fw E alsi w = zlo Ligige cos w = z giver~ idet cos udtrykkes ved ekspoe-

163 Mat 1, ~~ tialf'urll{tioe hvilket omf'ormes til adegradsligige som har 1 8igsmamgde Altsa er arcosz = + Log(z + (z2-1)t) 0 1 Aalogt f'ar vi 1 2 ~ arcsiz = r Log(iz + (1 - z )2) Vi bemcerker, at vi i begge tilf'celde f'ik adegradsligiger~ der ildw har 0 som rod. Derf'or eksi sterer Log al tidy og vi har dermed vist~ at cos og si af'bilder C surjeldivt pa C For y E (z _1)2 har vi (z _1)2 = ~yy-y1. Desude bliver (z+y)(z-y) = z2_y 2 = 1y sa vi far Log(z-y) = -Log(z+y). For w E arccosz vii iw tilh re Log(z+y) eller Log(z-y), og vi far derf'or arccosz = ~ w+2'1t/ E 21 IJ f -w+2'1tl E 21 ~ hvilket er i overesstemmelse med y hvad vi keder fra gymasieudervisige i det reelle tilfceldeo For w E arcsiz f'ar vi pa tilsvarede made arcsiz = ~ w+21t1 E 21 IJ f -w+( 2+i )'1T1 E 21 0

164 Mat 1~ fila MA 3.21 I,igige tgw = z giver 9 idet tg udtrykkes ved ekspoeti alf'urjdioe e2iw _ 1 ~-:o----- e 2iw + 1 = i z me brpke pa vestre side vii ikke f'or oge vrerdi af' w blive 1 eller -10 Altsa har ligige ige l siger f'or z = i eller z = -i I adre tilf'relde f'ar vi l sigsmregde 1 + iz 2I Log 1 - iz Def'iitio For z E 0 \ fi 9 -ij sretter vi arctgz -- fw E 0/ tgw = zl = 2 1 i Log ~ + iz - iz f arccotz= >'/ lw E v cotw = z = 2i Log z _ i e I det reelle tilf'&lde idf' rer vi omvedte f'uktioer til de trigoometriske f'uktioers restriktioer til passede mootoitetsitervaller. Def'iitio De omvedte af'bildiger til de stregt mootoe~ kotiuerte af'bildiger beteges i de samme rrekkef' lge Arccot: R pa JO~ff[ 0

165 Mat 19 ~~ MA 3.22 ~ de ~ra gymasieudervisige kedte sretig om omvedt ~ul~tio fremgar, at de 4 ye ~uktioer bliver kotiuerte 9 samt at Arcsi og Arctg bliver stregt voksede 9 medes Arccos og Arccot bliver stregt aftagede. Edvidere bliver de 4 ye ~uruttioller dif~eretiable 9 ar si 9 cos 9 tg og cot er det og har fra 0 ~orskellig differetialkvotiet. Sretig Fuktioere Arcsi og Arccos er dif~eretiable pa J-1 9 1[9 og Arctg og Arccot er di~feretiable pa R med d A 0 1 dx rcslx = 2 ~ V(1-x ) d -1 dx Arccosx = 2 V(1-x ) d dx Arctgx gx Arccotx = o Bevis. ~ y = Arcsix 9 x E ]-1 91[ ~ lger x = siy9 Y E ] - '!L 7!.[ 111 t sa dx _ I( 2) _ I 2 ) 2 Jl 2 9 dy = cosy =v i-si y =v(1-x JI altsa. x 1 A~ Y = Arctgx ~ lger x = dx = v( 1_x 2 ) dx = 1 + tg 2 y = 1 + x 2 9 al tsa QXdd x = ~ Regigere gar gaske dy 1+x tilsvarede for Arccos og Arccot. Furuttioere Arcsi? Arccos 9 Arcty og Arccot kaldes arcusfuldioere eller de cirkulrere fuktioer. I udeladsk mateo matisk 11tteratur m der ma betegelsere si 9 cos 9 tg JI cot- 1, og ma m der aelvf lgelig ogsa Arcsec og Arccosec (eller -1-1 ) sec og cosec Forstavelse arcus refererer ti19 at fullittiosv@rdie er et vikelmal~ altsa ogsa et mal for e cirkelbue.

166 Mat 1, MA MA 3.23 Ved overs83ttelse af' de trigoometri ske f'ormler f'reml{ommer formlor f'or arcus-f'uktioere. Vi skal vise fremgagsmado vec1 et par oksempler, som vi dog vii give status som s83tiger..83tig Vx E [-1 9 1] (Arcsix + Arccosx =~) Vx E R(Arctgx + Arccotx = %). Bevis. For x E [-1,1J 9 u = Arcsix er -~ ~ u ~ % 9 altsa o ~ ~ - u ~ 1T Edvidere er cos(~ u) = siu = x Me det modf~ror 1T otop, at Arccosx = 2 - u _ Dermed er de f rste pastad bevist. De ade vises gaske aalogt. Sretig For x,y E R og xy ~ 1 er 0, hvis xy < 1 Arctgx+Arctgy-Arctg 2f.±L. = r 1T, hvis xy > 1 og 1-xy l -'it, hvis xy < 1 og x > 0 x < 0 e Bevis. For u = Artgx9 v = Arctgy er hvilkot viser, at For xy ~ tg(u+v) = tgu+tgv = ~ 'I-tgutgv 1-xy 9 u + v = Arctg 2 ±.L 1-xy + 1T, E Z o medf' rer u 9 v E ]-%,~[, at u+v E ]-%' ;[ Lad os dorrest atage, at x > 0 og y > o. Vi har da = 0 for u+v < % og = 1 for u+v > 1T 2- Nu er u+v < decl.o med v < 11: 2' - u, altsa mod y = tgv < tg(}u) =, altsa = O. umidc1eibart '!L 2 cotu=-. 1 x esbety-

167 IvTa t 19 HA MA 3.24 Aalogt vises9 at u+v > ; er esbetydede med y > ~ Dermed er s[atige vist t'or x > 0 og y > O. Ved at skif'te t'orteg pa x og y far vi umiddelbart sretige t'or x < 0 og y < 0 0 Dermed er beviset t'uldf' rto Srotig For x E [-191J er Arctgx = ~ (_1) x ' =O og potesrrekke er ligelig koverget pa hele itervallet [-1~1Jo Devis.. Rrekke ((-1 )(2+1 )-1) er koverget 9 og for x E [ 91] er t' lge (x) mootot at'tagede og tilh rer itervallet [0,1]. Altsa er rrekke ((-1 )(2+1 )-1 x2+1) ligelig 1wvcrgct pa [0,1] it' lge sretig 2. o Fortegsskit'te t'or x bevir1wr blot, at aile rrekkes led skit'ter t'orteg o Al tsa er rrekke ligelig koverget pa [-1,1J, og des sum er dert'or e kotiuort i'llktio pa [-1,1]. Derf'or er det tilstrrekkeligt at vise, at summe er Arctgx t'or x E ]-1,1 [0 Me i dette iterval er rrel\:- kos sum e f'uktio med dit't'eretialkvotiete ; (_1) x2 = (1+x 2 =O )-1, altsa samme dit'f'eretialltvotiet som Arctg x. Dermed har vi vist, at forskelle mellem rrekkes sum og Arctg x er kos-cmlt. For x = 0 or forskelle imidlertid 0. Dermed er s@tigo bevi st. For x = 1 fremkommer Leibiz 9 rrokke (_1) = ; De l:overgerer yderst lagsomt og er ikke srorlig veleget til boregig at' 7T. E bedre metode til beregig at' 1T beror pa t' lgec1e trick:

168 Vod at avede sretig 3027 to gage far vi 1 2 Arctg 5 ~ Arctg ' = Arctg 24 = Arctg L~ Arctg ~ ;:: Arctg = Arctg og foryet avedelse af samme sretig giver 1 1T 120 ) 4 Arctg 5' - 4 = Arctg Arctg(-1 = sa vi har formle J..gQ - 1 Arctg..:...1.;...19~_ = Arctg 239 ~ 1T = 4 Arctg 5 - Arctg Nu Im bade Arctg '5 og Arctg 239 bekvemt berege s ved hjrelp af rcekkeudvildige i sretig og dermed har vi e pralctisl{ avedolig metode til beregig af 1T

169 Mat 1, I,LA MA 3.26 Puktmamgde f(cosh 9 ~ sih 9)j9 E Rl er e gre af hyperble med ligig x 2 _y2 = 1. Pa figure hal" vi tog-et hyperbelgree med a- symptoter og afmcerket puktet ~x A(1~O) og ptmktet B(cosh G,sih g), samt disse pul<.:tors projeldioer Ai og B1 pa de ee asymptote. Vi vii udrege arealet af sektore OABo Fra gymasieudervisige ved vi, at hyperbles ligig i fyj-systemet (do v" s. med asymptotere som koordiatalcser) er 1 1 OBi fyj = '2 ' og Itfirkatell Ai A B Bi far derfor arealet '210g0A 1 Nu er OBi = ~2(coSh 9 + sih g) = sa IIt'irkate" far arealet ~g Af hyperbles ligig i fyj-systemet fremgar~ at trelmtere OA Ai og OB Bi hal" samme areal. Altsa hal" sektore OAB arealet ~g Dette viser, at det er muligt at give e geometrisk defiitio at' cosh og sih aalog med gymasieudervisiges defi-- itio at' cos og sio Vi vcelger B pa de ligesidede hypel"bol med 221 ligruge x -y = 1, saledes at sektoro OAB far arealet 2G ~ idet arealot roges positivt i f rste kvadrat~ egativt i fjorde l{vadrat. Puktet B har da koordiate1re (cosh g~ sih g). Hvis

170 Mat 19 MA MA 3.27 vi ho~ erstatter hyperble med ehedscirkle, far vi e defiitio af cos og si? som blot afviger fra de i gymasieudorvisige beyttede ved at beytte sektorarealet i stedet for buelregde. Det ka vises (ikke let)9 at lregde af hyperbelljue AB ikke pa simpel made ka udtryldces ved parametere 8 eller ved lwordiatere til B9 og derfor er det hel t udelukket at be10rtte buelregde i defiitioe af hyperbelfuktioere. Gaske som for de trigoometriske fuktioer idf rer vi origialmc:egdere arcosh z := ~ W E: olcoshw = zj] for z E: 0 arsih z = [w E: 01 sihw = z3 artgh Z = f w E: 01 tghw := zj] arcoth z = f w E: 01 cothw = zl for z E: 0\[1,-13. Forstavelse ar lreses area. Edvidere im rer vi om.vedte fuktioer til de stregt mootoe af'bildiger, coth: R\foJ pa R\[-1,1J, og de omvedte fuktioer beteges i de omvedte rreklcei'y-lige Arcosh: [1,co[ pa [0 9CO[? Arsih: R pa R Artgh: ]-1,1[ pa R Disso i'uill(tioer kaldes areafuw{tioere.

171 Mat 1, MA MA 3.28 Da de hyperbolske fulli{tioer lea udtrylelees reel t ved ekspootialfuktioere, lea areafuktioere bestemmes ved l sig 8f ekspoetiellle ligiger. Saledes er y = Arcosh x, x ~ 1 esbetydede med x = coshy, Y ~ 0, altsa med e Y + e- Y = 2x 9 Y ~ 0. Ved l sig af adegradsligige i e Y far vi Da de to r dder har produkt 1, giver de y-vrerdier med sum 0& De f rste rod giver de positive vmrdi for y. Altsa er Arcosh x = log(x + V(x 2 _1», x > 1. Ved de tilsvarede regig for Ars1.h fremkommer e adegradsligig med e positiv og e egativ roo... giver e l sig. Resultatet bliver Ku de positive rod Arsih x = log(x + V(x 2 +1» 0 For y = Artgh x, Ixl < 1 far vi x = tgh y, altsa som har l sige Tilsvarede fas 2y 1 e - = x, e 2y + 1 Art6h x = i2 log 1-x' 1+x I x I < 1 Arcoth x = ~log ~~~ 9 Ixl > 1

172 Mat 1~ MAj MA 3.29 DifferetiaIkvotietere af areafuktioere ka fas ved regle for differetiatio af omvedt fuktio eller ved at differetiere de etop fude udtryk. Vi skal blot af re resultatere: d 1 2 ' vex -1) dx Arcosh x =, d~ Arsih x = ~ vex +1) d. dx Artgh x 1 = ----~ x :x Arcoth x = --_1~~2 1 - x Det vii vrere forkert at sige 9 at Artgh og Arcoth har de samme differetialkvotiet. De to fuktioers defiitiosmregder er emlig disjukte. Vi vii u udlede ogle flere yttige potesrrekkeudvikliger for elemetrere fuktioer. Dertil far vi brug for f lgede hjrol- :pescetig: Sretig Lad (a) vrere e f lge af reelle tal, som kovergerer mod et tal a E J-191[. For b = a1o a grelder da (b ) -Y 0 0 Bevi s. Vi vrolger k E ] I a I 91 [ og derrest N E N,9 saledes at I ai ~ k for aile f N. For f N har vi da og pastade f lger u af,9 at (k - N ) -y 0 Defiitio For v E R,9 E N IJ fol sretter vi ( v ) = v(v-1)ooo(v-+1)! Udtryldcee (v) kaldes (geeraliserede) biomialkoefficieter o

173 Mat 1, MA MA 3.30 a1 tsa Vi mider om, at det tomme produkt reges 1ig i. Vi har For v N og ~ v b1iver (~) de sredvalige biomialkoefficioto For v N og > v bliver (~) = 0 For v = 0 har vi (g)=1 og (~) = 0 for No For p N er Sretig For x J-1~1[ er Bevi s. Da er de af rte rrekke etop MacLaurirrekke for (1+X)v~ sa vi beh ver blot at vise 9 at restledf lge gar mod 0 0 Det te rest1ed er x (v)! (x - t) (1 t)vdt t + Nu or og for x J-1t1[ og t mellem 0 og x f lger heraf~ at differese pa vestre side har samme forteg som x, altsa at

174 Mat 1, MA MA 3031 Derfor far vi vurderige I~:~I ~ Ixl Her er itegralet uafhamgigt af. Vi skal altsa blot vise, at Vi har imidlertid. og pastade f lger derefter af sretig idet ( I -1-v ~ I x I ) ~ I x I - Potesrrekke i sretig 3.31 kaldes biomialrrekke. For v 'E N reduceres de til biomialformle." Eksempler. For v = -p 1 pen far vi i overesstemmelse med, hvad vi fadt i kapitel 2. For v - ~ far vi sa f\ir vi 1 = - :2 4" e I

175 Mat 1, MA 3, MA 3.31a For v -- 1 f' 0 - ar 2 vi 1 00 (_ ) 1'3'5"'{2-1} X V(1+x) _. ~ 1 2'4'6"'2 =O Ved at erstatte x med 2r -x ar vi Ved itegratio mellem 0 og x f'ar vi heraf' IllO Arcsix = Z =O 2+1 x 2+1 For x = ~ f'as heraf' e rrekke til beregig af' ~ De er dog midre bekvem ed de tidligere omtalte metode til beregig af' ff. Det er of'te bekvemt at iddrage komplekse variable i regig med elemetrere f'uktioer~ og f'or bedre at kue udytte dette vii vi idf' re dif'f'eretiatio og itegratio af' f'uktioer, der a~oilder et iterval id i de komplekse pla. Def'iitio Lad g~h:[a,bj id i R vrere vilkarlige f'uktiocr. Fuktioe f' = g+ih:[a,b] id i C kaldes kotiuert, hvis g og h er kotiuerte, og dif'f'eretiabel~ hvis g og h er dif'f'eretirble, og i sa f'ald def'ierer vi f'(x) = g'''(x) + ih f (x) 0 Hvis f' or kotiuert, def'ierer vi Dot f'remgar umiddelbart af' dee def'iitio, at og at f'1(x) = f'(x) medf' rer, at b Jar.(t)dt = F(b) - F(a).

176 Mat 19 ilia IvIA 3.32 De elemetmre regeregler ~or dif~eretiatio og itegratio bevises let. For f1 = g1 + ih1? ~2 = g2 + ih2 ~ar vi saledes d~(f1(x)f2(x)) = d~(g1(x)g2(x)-h1(x)h2(x)+i(g1(x)h2(x)+ g2(x)h 1 (x)) ) = Tilsvarede ~or additio9 subtraktio og divisio. Hera~ ~ lger u reglere ~or lierere operatioer med itegraler samt regle om delt itegratio. For E N ~ar vi regle "ld (~(x)) = (~(x))-1~,(x) ex For e di~~oretiabel afbildig ~:[a19b1] id i [a9b] og e differetiabel afbildig ~:[a9b] id i C grelder kredoregle Beviset er umiddelbartc Vi har imidlertid e mere dybtliggede krederegel:

177 Ma t 1, 1IIJ~ MA 3.33 Sretig Lad 00 f'(z) = ~ az =O vrero summe af' e potesrrekke med kovergesradius R9 og lad E = fz E 0/ /z/ < Rl vrere kovergescirke1skive. Lad ~:[a,bj id i D vrere e dif'f'eretiabel af'bildig med kotiuert dif'f'eretia1kvotiet. Da er f' 0 cp: [a, b J id i b dif'f'eretiabe1 og! f'( cp (x)) = f" (cp (x) )cp I (x) Bevis. De ved ~(x) id i [0900[ er lwtiuert~ = /cp(x)/ def'ierede f'uktio ~:[a~bj og da [a9b] er begrreset og af'sluttet har ~ e st rstevrerdi R1 = ~(x ). Ai' ~(x ) E E f' lger o 0 R1 < R. Potesrrekke ~(+1)a+1z kovergerer ligeligt f'or Izl ~ RiO A1tsa er 1ige1ig koverget pa [a,bj. Da cp' er begrreset pa [a,bj~ 00 ~ (+1)a + 1 (cp(x))cp'(x) = f"(cp(x))cp'(x) =O er 1ige1ig koverget pa [a,bj. Me de e rmkke f'as etop ved 1edvis dif'f'eretiatio af' f'(<p(x)) = ~a (cp(x))9 og des sum er der f'or dif'f'eretia1kvotiete af' f'(~(x))o Dermed er sretige bevist. Specie1t har vi altsa :xcos <p(x) = -~'(x)si <p(x) ~ ixsi cp(x) = ~t(x)cos cp(x) p

178 Mat 19 MA MA 3.34 og ved regereglere ~ar vi!tg <p(x) = p~(x) = cos ~ (x) 2 (1+tg ~(x»~ t (x) Tilsvarede grelder ~or de hyperbolske ~uktioero Sretig Med H c C beteger vi halvplae fz E CIRez > 01. Lad <p:[a~b] id i H vrere e di~~eretiabel a~bildig. Da er log~:[a,b] id i C dif~eretiabel~ og!log <p(x) = p;f~j Bevis. Idet <Pi og ~2 er real- og imagirerdel a~ ~? er sa vi far + i ( <p 1 ( x )- i~ 2 ( x) ) ( ~ 1 ( x) + i ~ :2 ( x) ) ~1 (x)-i~2(x) )(~1 (X)+i<P2(x») = U2U q;rxy, og delrmed er sret~ge bevist. ~ti~ 3~35. For /zl < 1 er log(i+z) = ~ (-1 )-i =i B8vis. Lad 8 vrere et reelt tal. Vi sretter ~(r) r ]-1~1[. I~ lge sffitigere 3.34 og 3.33 er i8 = re ~or

179 Mat 1, Ma MA 3.35 d~(10g(1+cp(r)) _ ~ (_1)-1 (p(r))) = =1 Altsa er 10g(1+cp(r)) _ ~ (_1)-1 (p(r)) =1 ua~hffigigt a~ r. Me ~or r = 0 er vrerdie O. Dermed har vi beiq vist, at sretig 3035 grelder ~or z = re ~ r E ]-1~1[~ Q E ~, og dermed or sretige bevist. A~ sretig 3.35 ~ar vi umiddelbart ~or Izl < 1 ii(10g(1+iz) - 10g(1-iz)) = ~ (_1) ;;:;..z".-_ =O 2+1 ' og hor er st rrelso pa vestre side et elemet a~ arctgz. Det or rimeligt, at kalde detto elemet hovedvrerdie a~ arctgz og betoge det med Arctgz 9 idet dette etop kommer til at stemme mod de allerede id~ rte ~u1dio Arctg, hvis z er reel o Ogss. biomialrrekke bevarer si gyldighed ~or aile komplekse z med /z/ < 1. Beviset ~or Taylors ~ormel ka emlig geem~ res uredret ~or e kompleks fuktio, og resultatet ~as dere~ter vod hjrelp a~ McLauri-rrekke ~or R83kke giver altsa ogsa i dette til~cblde e hovedvrerdi ~or potese. Ved restledsvurderige avedes ~ lgede scbtig:

180 Mat 19 MA MA 3.36 retiug C grelder vurderige For e kotiuert afbildig f:[a 9 b] id i '9;b Bevis. Vi vrelger 9 9 saledes at e 1 af(x)dx er et reelt tal f O. Idct vi udytter~ afbildea id i R9 far vi at sretige allerede er vist9 hvis f Dermed er sretige bevist.

181 Mat 1, MA Formler og grafer 1D Formler og grafiske billeder. Simsalabimbambasaladusaladim J.L.Heiberg. Ucleadslrere dyrkes maske med st rst held, f r ma kommer i skole. Det er maske ikke alt for klart~ hvilke metode ma beytter pa det tidspukt9 me de syes vresetligt mere effektiv ed de metoder~ der beyttes ved idlrerig at' salmevers og sma og store tabeller. Seere t' lger grammatik og matematislw f'ormler og samtidig hermed de erf'arig~ at hvad ma har lrert udead~ glemmer ma hurtigt ige. Fa de f' lgede sider briges e oversigt over de vigtigste f'ormlcr vedr rede de specielle f'uktioer. Ved at bruge de ka ma spare at lrere dem udead. I det lage l b er det dog for tidsl{rrevede at se efter her 9 hvergag ma har brug f'or e f'ormel. Nu or det sa heldigt~ at kedsgeriger~ ma udytter meget hyppigt i e lregere periode, ef'terhade bliver e del af' es vide~ og sa beh ver ma ikke l~gere at se ef'ter i f'ormelsamlige. Dee proces ka fremskydes e smule~ hvis ma retter sig efter de f' lgede regler: i). Nar ma har brug f'or e f'ormel pr ver ma i' rst 9 om ma ka huske de. 2). Hvis ma ikke f' ler sig helt sikker, ser ma ef'ter, om ma har husket rigtigt. Det be taler sig ikke at udelade pukt i)!

182 Mat 19 MA Formler og grafer 2 Ekspoetialfuktioes og logaritmefuktioes fuktioallig~ iger. Sammehreg mellem ekspoetialfuktioe~ de trigoometriske fuktioor og de hyperbolske fuktioer. iz -iz e = cosz+isiz9 e = cosz-isiz e Z = coshz+sihz 9 e- z = coshz-si~~z 1( iz -iz) cosz = 2 e +0 9 siz 1 (iz -iz) = IT (z -z) coshz= ~ e +0, ~. 1( z -z) sihz= '2 0-0 tgz= ~ = cosz iz -iz 1 e -e i iz -iz' cotz o +0 1 = tgz sihz tghz= coshz = z -z o -0 z -z o +e y cothz = _1_ tghz Overgagsformlor coshz = COSiZ9 sihz = isiiz9 tghz = itgiz 9 cothz = +cotiz l cos(z+~) = -siz 9 si(z+~) = cosz 9 tg(z+~) = -tgz COS(Z+1T) = -cosz 9 si( Z+1T) = -siz, tg(z+1t) = tgz cos(t--z )= siz 9 si(~-z)= cosz 9 tg(~-z) = cotz COS(1T-Z) = -cosz 9 si(1t-z) = siz9 tg(1t-z) = -tgz cos(-z) = cosz 9 si( -z) = - siz 9 tg(-z) = -tgz cosh(-z) = coshz 9 sih(-z)= -sihzytgh(-z)= -tghz

183 Mat 19 Iil.t-'\ Formler og grafer 3 Tr'igoometriske j>ormler. Ved tilt' jelse at' h overal t og cedrig af' f'or-,;eg mrerl<:ei; med * f'as f'ormlere f'or de hyperbolslw f'uktioer, 2 :=:{ 2 1 cos Z+Sl Z = cos Z 1~ --2" tg * 2 1 Z Sl Z 2,;< - cot z+1 cos(z+w) = cos Z cos(z-w) - cos Z... '" cos w.. ',' "- ',. cos w -'-. I. sj Z si w si z si W si(z+w) = si z cos w + cos z si w si(z-w) = si z cos w.- cos z si w tg(z+w) td' z+tg w 1=tg z tg w = --':;:>----~---,', 9 tg(z-w) = t g_.!. 1ttg z tg WI.', cot z cot w t -'W::c ot -'2- cos 2z 2:.:< 2 " = cos z-si z = 2cos~z ~ -1 ':" 2 I = 1-2sJ z si 2z - 2 siz cos z cos2z :1; 2 1-t~ = * I-tg z si2z = tg2z, 2 1 * 1( ) Sl ~z = ~ 1-oosz 1 tg--z = 2,;! 1-c08z siz siz ","~,,,-- 1+cosz cos3z = 4cos 3 Z-3cosz, si3z - 3siz ~ 4si 3 z COSZCOSVI sizsiw '1 - ~(cos(z+w) -I- cos(z-w»,'" -I.. :: ~r(cos(zhv) _. cos(z-v/», 1! ' (,. ) Slzcosw = ~~sl ~+w + sie z--w) )

184 !VIa t 1 9 MA Formler og gra~er 4 cos~;+cosw = cosz-cosw =: 2 cos~(z+w)cos~(z-w) *-2 si~(z+w)si~(z-w) siz+siw = siz-siw = 2 2 si~( z+w) cos~( z-w) cos~(z+w)si~(z-w) tgz+tgw = si(z+w) cosz cosw g d * dxcosx =: -six,.9:-tgx 1 dx cos x = 2 = + 1 * -cotx d -1 = r, = *-1 dx - "- si x 2 tg x cotz+cotw d filix = dx 2 cot x =: si(z+w) siz siw cosx Arcus- og areafurktioere arccosz = ~Log(z+(z _1)2)? arcsix = ~Log(iz+(1-2 )2) 1 1 arctgz 1 1 +iz = -2-Log-1-'-, 1 -lz arccotz Arccot:R pa J09~[ A~cos x + Arcsi x =: Arctg x + Arccot x 1 =2ff d -1 1 :x:arcsix V'( 1-x ) V'( i-x ) dxarccosx = 2? = ""2" d t t 1-1 d~:arccotx 1+x 1+x d:l-l.rc gx = ~? = ~ Arcosh: J1900[ pa [09 CO [ 0 9 Arsih:R pa R

185 Mat 19 MA Formler og grafer 5 Arcoth:R\[-1,1] pa R\fol Arcothx = 11~gx+1 2 x-1 d~arcoshx = 1 9 v( x -1) d~arsihx = 1 v(x +1) d~artghx 1 = -:2 i-x d~arcothx 1 =~ i-x Udtryk ved real- og imagiruerdel x+iy x( ) e = e cosy + i siy logz = loglzl+iargz 9 Logz = loglzl+iargz cos(x+iy) = cosx coshy - i six sihy si(x+iy) = six coshy + i cosx sihy Rcekkeud vilcl ig er. z 00 z z 2 z3 1 =Ol - e = lj-- + z T +. 9 Z z4 lj (_1) z 1 z =O cosz = ( 2) I = - 2T ooq E C z E C z3 z5 siz L:. (_1) z =O = (2+1)! = z a 0 0, z z4 coshz z lj 1 z = (2)! = + 2T Z =O E: C E: G 00 z2+1 z3 z5 sihz = L:. =O (2+1)! = z + 3! , z E: G

186 MElt 19 MA Formler og grafer log(1+z) ~ (-1 )-1 z z == - z ==1 2 z3 3"- o 0, / z/ < 1 (og z=1) 00 (_1) z2+1 z3 ~otgz = Z 2+1 = z =O 3 00 z2+1 Arctghz = ~ 2+1 == =O z5 ' / z /<1 (og z=1,-1) I z/ < 1 1+Vx+ V (V-1) 1 2

187 J. -1 I ) 2 cot tg '\ 1 \ \. ) \ l / 1 I / -1 2 I Arcot! I '( h' Arctg ""...,...~ /< _I /-,... _-_ '"' _.- / == _. zr 1

188 MA3. Formler og grafer ".. 1-4; "~ ~ ~ Arcoth

189 Mat 19 MA Opgaver Idledig 1 Opgaver til kapitel 3 Idledig Jack? be imble? Jack9 jump over the c~dlestick. B rerim. Opgavere til dette kapitel er ~or st rste dele rutieprregede. Formalet med velsesopgavere er at opa e ret h j grad a~ fortrolighed med de elemetrere ~uktioer. A~ de i dette kapitel beyttede metoder er potesrrekkeudviklig ved hj<blp at Taylors ~ormel mest i jefaldede. Avedelse a~ dee metode i opgaver strader pa? at det ku ~or yderst ~a ~uktioer Ider sig g re at ~ide et tilstrrekkeligt simpelt eksplicit udtryk ~or de te di~~eretialkvotiet. De ~a eksempler, vi keder, ~ides bladt opgavere? og disse opgaver l ses ved rutiemetoder. Til gegreld vil vi i dee idledig omtale e opgave 9 som ma ra vrere bade Ilimble" og IIquick" for at kue 19)5e. Om f: [8 9 b ] id i R vides at f er vilkarlig ofte di~~ere '" tiabcl? og at f og alle di~feretialkvotieter af ~ ku atager vmrdier, der er l O. Vis 9 at Det er rerliggede at avede Taylors formel -1 ~(k)(su kit ()()( )-1 f(x) = Z k! (x-a) + ( 1)1 ~ t x-t dt. k=o -. a

190 Mat 1, MA Opgaver Idledig 2 Her er aile led positive. Heraf ka vi i hvert fald slutte~ at ;1 ~ f(kk.)r/a)(x_a)k_ ~ - ~ ~ aile E N og aile x E [a,b] 0 k=o / ~(x) Det medf rer i hvert fald 9 at ( 1 ) <p(x) Opgavc er imidlertid at vise, at lighedsteget grelder. Nu er det ikke helt let at se e vej frem. Vi star ved e slcillevej? idet vi for at geemf re opgave ra vise ete p at f(x) - <p(x) = 0, eller, at (R(x)) ~ 0, idet E(X) = 1 JX f'()(t)(x_t)-1 dt (-1)1 a De f'leste vii vel f'ide de:l sidste pla mest lovede. Me sa grelder det om at f'a oplysiger om, hvor stor f()(t) er det e1" vor eeste mulighed for at komme igag med e vurdel'" i~. Vort ramateriale: Taylors forme1 9 vurderige (1) 9 vor vi de om, at aile dif'f'eretialkvotieter er posi ti ve. Ai' (1) l;;:a vi i hvert f'ald slutte.9 at f'()(a),- (x-a) ~ f'(x).9. altsa Dette er tilsyeladede meget groft.? og det er rerliggede at Imssere det og f'ors ge oget hel t adet. Her har vi maslce fo1"--

191 Mat 1 ~ lvi.a Opgaver Idle dig 3 klarige pa~ at det ikke lykkes :for srerlig mage studerede at l se opgftve. De dygtige studerede vii etop vrere strerld tilsl{ydet til at kassere de 1'oreliggede grove resultater. Ekelte vii dog arbejde videre med idee. Det er dog ogsa gaske 1'oruftigt :f rst at pr ve 9 hvor l~gt ma kommer ved hjrelp a:f vurderigere - sa ved ma lidt om, hvad ma skal stile e1'tero Dot er u klart 9 at 1'ormle (1) ogsa ka bruges mod et adet pukt a:f itervallet i stedet 1'or a o For a~t~x~b har vi der:for ogsa l :f(x) (x_t) Her er det ok bedst at vrelge x = b, altsa som 1' rer til restledsvurderige Faktore er ubehagelig, me itegrade er "reste li de te potes a:f e regte br k. Itegralet ka maske edda reges ud? me vi ka jo ogsa 1'ors ge at vurdere itegrade. Det er x-t rimeligt at f'ors ge at studere br ke b-t 0 De er 0 f'or t=x Me de er e a1'tagede f'uktio a1' t? I sa 1'ald ka de vurderes ved b-a ~ Vl' ka ~ors~ge dl'rekteo ~ ~. x-a x-t = (x-a)tb-t~ - (b-a)(x-t) = b-a - b-t b-a (b-t) -tx-ab+bt+ax (b-a) (b-t) ::: (t-a) (b-x) (b-ahb-t) ~ 0

192 Mat 19 MA Opgaver Idledig 4 Me sa far vi jo vurderige. (~)-1;X dt R (x) ~ f'(b) b-a a b-t = x-a b-a ( ) -1 f(b) b-a log b-x 0 For x E ]a~b[ gar dette faktisk mod 0 for ~ oo~ me for x = b er vurc1erige il<jce god ok. De f rste restledsvurderig er heller ikke god ok. Betyder dette U 9 at metode ra kasseres? Nej! Vi har jo klaret det meete af opgave. Det er rimeligere at behadle forholdee i b som et problem for sig selv. Vi ved jo, at Taylorrrekke kovergerer for alle x E [a 9 b]9 og at summe etop er f(x) for x E [a 9 b[9 samt at summe i puktet b er ~ f(b) Vi magler altsa at vise at Me vi ved j09 at er voksede for x E [a 9 bj. Me sa far vi jo for ethvert x E [a~ b [. Me heraf f lger pastade j 0 umiddelbart.

193 Mat 1? MA Opgaver Idledig 5 Nu magler vi at fide fide frem til de edelige redaktio af besvarelse. I det foreliggede tilfrelde er det ikke srerligt vaskeligt - i hvert fald lagt lettere ed at fide freit til l sige. Da det er e god velse at pr ve at formulere et matematisk bevis 9 der ikke er trivielt vii vi overlade de edelige formulerig til lresere.

194 Mat 1, MA Opgaver Udform e edelig redaktio af besvarelse af de i idledige til disse opgave velser omtal te opgave 2. Agi v vrerdie af Lette opgaver i1t tlog2 e e e.17" 6" log5 + 3i1T Lad vrere et positivt helt tal. Vis, at -1 i 2kp1T = [ :for p E Z ~ e k=o. 0 for p Z 4. Lad vrere et positivt helt tal. Lad a o,,a _ 1 vrere komplekse tal. Fid x 9 'X 1 o - af ligigere -1 i 2k!1T ~ k=o xke = a p9 P = 0,1,,-1 (Beyt resultatet fra opgave r.3). 5. Agiv vrerdie af cos(ilog(2+v3)) og si(ilog(2+v3)) 6. Vis formle -1 Vp E Z' V E N (~ si ~ = 0) k=o 7. Agiv vrerdie af COS(~+ilog2),si(~-i), tg(~ilog ~) 8. Udled formlere 1-cosz siz = siz 1+cosz

195 Mat 19 MA Opgaver Udreg j 1T o cosxdx ~ J1T Ocosxcos2xdx og 1T JocOSXCOS2xcoS3xdX. cosh log ~ sih log 9 tgh log og coth log 11. Bevis de ~ormler~ der udtrykker cos2z og si2z ved tgz9 s&t de tilsvarede ~ormler ~or hyperbel~uktioere. 12. ~'~gi v ud~ rligt Log (-1 +iv3) 9 Log( 1-iV3) og Log(V3+i) Agiv ogsa i hvert til~relde hovedlogaritme. 13. Agiv um rligt 2 (1+i)3, (1+i)1+i 14. Uders g, om 150 Agiv vrerdie a~ Arccos ~ 16 0 A11giv um rligt,arcsi(-~) -1, Arctg - V3 arctg 1,arctg i,arccos ~, arcsi iv Reducer ~ lgede udtryk cos(arcsix) ~ si(2arctgx), Arcsi(cosx) 0

196 Mat 19 IlIA Opgaver Reducer om muligt f lgede udtryk Arcsi(tgx) 9 tg(2arctgx) 9 Arctg(2tgx). 19. Agiv metoder til l sig af ligiger af forme acosx + bsix = c eller acoshx + bsihx = c. 20. L s ligige cos h 4 x + Sl 'h4 X = a Agiv samtlige l siger til ligige 22. Udreg ~XArctg(2tgx) og :xarctg sih x 23~ Fors g at udrege rr med 8 rigtige decimaler. 24. Bevis relatioe Fr v at vise e ligede relatio med cos og si byttet om. 25. Udled de formler for arcus- og area-fuktioere 9 som modsvarer cos 2 x 2 = 2 cos X-19 cosh 2 x

197 Mat 1 9 ~i;a Opgaver Agiv e metodetil l sig at' e trediegradsligig ved hj@lp at' tabeller over trigoometriske t'uktioer og hyperbelf'uktioer samt avedelse at' t'ormlere t'or cos 3z Ob cosh 3z (eller si 3z og sih 3z)0 27. Vis at det grat'iske billede i et sredvaligt retvicltlet koord1atsystem at' t'uktioe cosh har t' lgede egesltab: M stade mellem tagete til det grat'i ske bille de i pul{tet (x? cosh x) til puktet (x,o) at'hreger ikke at' x. A:rstade reges ikke med t'ortego 28. Vis? at Vx > 0 Vy > 0 (Arctg(x+y) < Arctg x + Arctg y) Gwlder tilsvarede relatioer t'or sih og tgh? 29. Teg e t'igur 9 som illustrerer ai'bildige exp:c id i C. Dette ka g res ved at tege de komplekse pla to gage. r de ee pla teges et system at' r de liier parallelle med de reelle akse og et system at' gr e liier parallel Ie med de imagirere akse. r de ade pla teges billedere at' de r de liier med r dt og billedere at' de gr e liier med gr t. Det er i'orut'tigt tillige at give liier og billeder tilsvarede umre eller mrerker, evetuelt pile, der markerer tilsvarede geeml bsretiger Som opgave 28, me t'or si:~ id i Co Billedere at' rette liier parallelle med aksere bliver i dette tilt'relde ellipser og hyperbler (ekelte udarter), som aile har t'relles brredpukter.

198 Mat.11 MA Opgaver VisR at Udreg e tilrermet vrerdi for ved at udpytte ekspoetialrakke Udreg e til$r~et vrerdi for V35 ved hjrelp af biomial rreldce (skriv V35 = vt32+3) = ~(1 + ~)5). 34. Agi v e potesrrekkeudviklig for Arsih x. 35. Fid et eksplicit udtryk for de te differetialkvotiet at Artgh x? og derefter aalogt for Arctg x. Vaskeligere opgaver. 36. Bevis, at., Fid derved explicite udtryk for de te differetialkvotieter at excosx og exsix. Vis, at udvikligere i.. MacLaUI'i-rrekke afdisse tuktioer er gyldige for aile x E R og agiv rrekkeudvikligere. 37. Fid potesrrekkeudvikliger for eaxcosbx 'og eaxsibx, a,b E R, ved at udtrykke cos og si ved ekspoetialfuktioer og beytte ekspoetialrrekke. Sammelig med re-.sultatet i opgave 36.

199 Mat 1, MA Opgaver Opstil MacLauri-rrekker for Artghx og Arctgx og vis deres koverges t'or x E J-1~1[. (Beyt opgave 35). 39. Uders g~ om Arcsix + Arcsiy = Arcsi(xI(1-y2) + yi(1_x2)) for x~y E[-1~1Jo Pr v evetuelt at modit'icere relatioe, sa de bliver gyldig. Tilsvarede t'or Arccos. 40. V.is~ at,- hvor for othvert x E [ - ~ ~ ~ J Et tov lregges stramt omkrig jorde lags rekvator. Derrest t'orlreges tovet med 1 meter~ og det strammes ud ige, idet et purtict at' tovet t'astg res til toppe af' e passede h j mast~ som er rejst lodret i et pukt at' rekvator. Rvor hvjj er maste? J"ordes diameter srettes til km. (beyt opgave 40 som grudlag t'or f'remstillig at' e tahel over tgx - x i det relevate iterval). 42. Udled potesrrekkeudviklige f'or log(1+x) ved hjrelp at' IJacLauri-rrekke. 43. Uders g om rrekkere (Arctg 1) p or kovergete. (Arctg ~) 9

200 Mat 1, MA Opgaver Vis? at rrekke (- X - iy ), x E R er koverget? hvis x > 1, og ligelig koverget f'or x ~ a, hvis a > 1. Summe 00 -z ~ (z) = ~ kaldes Riema's zetaf'uktio. =1 45. Fid kovergesradius f'or hver af' potesrrekkere 46. To af'bildiger f'?g:r id i R def'ieres ved f(x) ~ [ Arctg(2tgx)+~ for x E l(-~)~,(+~)~[, (+~)1T f'or x = (+~)1T, E Z E Z g(x) = [ Arccot(~cotx)+1T f'or x E ]ff,(+1)1t[, E Z 1T f'or x = 1T, E Z. Vis, at f' og g er idbyrdes idetiske. Vis? at f' er overalt dif'f'eretiabel, og agiv dif'f'eretialkvotiete. Vis, at f' er vilk~rlig of'te dif'f'eretiabel. Vis? at f'(x)-x er periodisk med peri ode 1T 47. Vis, at de ved f(x) = ) Arctg(3tgx)-Arctg(2tgx) f'or x E R\(~ l 0 f'or x E ; + 1TZ + 1TZ) def'ierede ai'bildig f':r id i R er vilkarlig of'te dif'f'eretiabel pa hele R (smloopgave 46). Svrere opgaver. 48. Vis, at rrekke ((_1) - x - iy ), X,y E R er betiget koverget f'or x E JO,1], medes rrekke (- x - iy ) er diverget f'or x E ] 0,1 ].

201 Ma t 1 ~ M.A Opgaver Lad (a) vrere e i' lge ai' komplekse tal. Vi s? at der e1csisterer to tal a 9 b E R*, saledes at rrekke (a - X - iy ) er absolut koverget i'or x E ]a,oo[9 betiget koverget i'or x E ]b,a[ og diverget i'or x E ]-OO9b[ 9 samt at a E [b 9 b+1j. Det ka idtrrei'i'e at et eller to ai' de omtalte itervaller er tomme. 50. Lad (p ) vrere i' lge ai' primtal i de aturlige rrekkei' lge (altsa Pi = 29 P2 = 39 P3 = 59 P4 = 79 P5 = ) Q Vis relatioe (se opgave 44) 51. Vis, at rrokke (_1_) (8e opgave 50) er diverget~ (Beyt P opgave 50. Vrolg z = x E R og uders g i'orholdee, ar x gar mod 1).

202 MA 1~ MA 4.1 Kapi tel 40 Beregig a~ stamfuktioer o - "Hvor har Du ~ra?" - "Der ~ra: Imidlertid " - "Naa: Imillerti d 0 II - "Imidlertid gjorde Sved Tveskireg idelige I~ald i Norge~ hrergede La- o 0 " - "Hrergede Ladet 0 hvorpaa var det ha hrergede Ladet?" - lfpe. det Gru80mste, og ~orledet a~ de rergjerrige Jarl Hako, lod ha Hage Adelstee myrde ved sedige D~absmred 000"- Tekst til e tegig a~ Fritz Jurgese. Hvis I ~ :R er et iterval beteger vi med Ii'(I 9 R)mregde a~ fulctioer f:1 id i :R og med ]'(I90) mregde af ~uructioer ~:1 id i C. Hvis vi i disse betegelser skriver C i stedet ~or Ii', skat de betege delmregdere af kotiuerte fuldioer 9 og hvis vi skriver ]j i stedet ~or Ii', skal de betege delmregdere a~ dif~eretiable ~uktioer. Skriver vi :o, meer vi delmregdere af gage dif~eretiable fuktioer, og skriver vi cd, meer vi delmregdere a~ gage dif~eretiable ~ructioer med kotiuert di~~eretialkvotiet af orde o Hvis vi i stedet ~or I skriver (1)9 betyder det, at vi ikluderer a~-

203 Mat 1, MA 4i!2 b,ildihge t':i 1 :Ld i Reller b, hvor Ii er et vilkarl:1gt deliterval at' I. Eksempel o C 3 ( ([ 1 1 oo[ ), (j) er mamgde at' aile tre gage dit'- t'eretiable at'bildiger t':i id i 0, hvor I er et del iterval at' [1,co[ og t" f I er kotiuert pa I. Med D:((R),t) id i F((R),b) vii vi betege de ved D~ = t'l det'ierede afbildig. Vi kue ogsa betege dee at' bildig med ~, og det vii vi lejlighedsvis g re, me det har de ulempe, at det t'orpligter os med hesy til valg at' betegelser f'or de variable. Af'bildige D har restriktioere D:D'((R),R) id i E'((R),C) samt D:D'(I,b) id i J:1t(I,b) og D:D'(I,R) id i F(1,R), hvor I <; R er et itet''fal. Det er sel\>" t' lgelig ikke kor:r>ekt at bruge samme be't'egh~lse for aile disse at'bildiger, og vi skal da ogsa straks s:~.l',~ at, det giver ai edig til e hel del t'orvirrig. Hvis t':i id i R er et elemet at' F((R),R), beteger vi med It' origialmamgde D- 1 (t': I id i fo' V~d at'bildige D:O((R),R) id i F((R),R). Ethvert elemet at'lt' er e af'bildig g~1 id i R. For de t'leste valg at' t' er It' de t,,9wme mregde. Hvis der t'icles e t'uktio g E It' omt'atter It' etopalle t'uktioer t' + c, hvor c er e kostat reel t'uktio. Vi ka da skrive it' = g -;- c, hvor c beteger mamgde at' kostate fuktioer. Hvis f:1 i~d i 0 er et elemet at' J:1t((R),O) har vi pa tilsvarede made e origialmamcde D- 1 (f: I id i b), som vi ogsa beteger! t'. For g E! t' bli ver! f' = g + c, hvor c er mamgde af kos tate kompldu'e t'uktioer. Desvrerre ka t' E J:1t((R),R)ogsa opfattes som et elemet at' F( 0:,0) og derved t'ar! t' to t'orskellige betydi~gero Holdigvis refer vi i de t'leste praktiske tilt'relde hele tide med reelle eller hele tide med komplekse f'uktioer, og der-

204 Mat 1~ MA 4.3 for giver de ufuldstredige betegelser ikke aledig til misforstaelser. Mregde If kaldes mregde af stamfuktioer til f. Hvis f:i id i R (eller C) er e kotiuert afbildig~ og a I er et vilkarligt pukt, er de ved g(x) = f 'x f(t)dt defia erede afbildig g:i id i R (eller C) e stamfuktio til fo Idette tilfrelde eksi sterer e stamfuktio saledes al tid. Imid.. lertid eksisterer der ogsa stamfuktioer til mage diskotiuerte fuktioer, me det er e vaskelig opgave geerelt at afg re~ om stamfuktioer eksisterer. Vi bemrerker, at de ved g(x) = /xf(t)dt defierede afbildig aturligt ka beteges a g = / f(t)dt. Her er g de stamfuktio til f, som atager vrera die 0 i puktet a. I litterature har ma almideligt beyttet symbolet If(x)dx i betydige "e eller ade stamfuktio til fll. Betegel se forpligtermed hesy til valg af betegelse for de variable~ me d~t ka evetuelt vrere e fordel. Betegelse er uaturlig, fordi x ikke ka erstattes med e kostat. De er upralctisk, fordi de beteger flere forskellige fuktioer. Symbolet!f(x)dx kaldes det ubestemte itegral af fo Vi vii ogsa her beytte ubestemte, itegraler, me ar vi regor med ubestemte itegraler, vii vi aldrig beytte lighedstes, idet lighedsteg ku giver meig i forbidelse med gaske bestemte symboler. I stedet for vii vi bruge rekvivalesteget '" i betydige S f '" g ~ g - f er kostat. S Det or klart, at dee relatio er e rekvivalesrelatio. I ligiger, i hvilke der idgar ubestemte itegraler, betyder '" mel S

205 Mat 1, lem to udtryk9 at di sse har l~ostat i'orskel, ligegyldigt hvorda de idgaede ubestemte itegraler f'ortolkes. Eksempel. si 2 x tv 2'/sixcosxdx tv /si2xdx fv - ~COS2Xo S S S Teget fv lreses "subtraktiosrekvivalet med". Vi vii i regle S simplit'icere det til tv og sige "rekvi valet med" 9 ar der ikke er ri silw f'or f'orvekslig med adre rekvi valesrela ti oer. Mmgdere P(I,:R)9 C (I9:R), (I9:R)9 F(I9C)9 cfl(i,t:), (I,l:) kaldes f'uktiosrum 9 i'ordi de er orgaiserede som vektorrum, emlig ved regeoperatioe + samt ved multiplikatio med reelle eller komplekse tal. De tre f' rste er vektorrum over de reelle tals legeme og de tre sidste ep vektorrum over de komplekse tals legome. Saledes ka vi i'or f'9g E (I,:R) og a9~ E :R dae af' + ~g. A:fbildige D har egeskabe D(ai'+~g) = adf' + ~Dg. Pa grud at' dee egeskab siges D at vrere lierer. For a E I or de ved bestemte at'bildig Ia :C(I,:R) id i. Jj(I,R) ligeledes lierer9 idet / (af'(x)+~g(x)dx = a/ i'(x)dx + ~/ g(x)dx. a a a Lie03re at'bildiger af' i'uktiosrum id i f'uktiosrum kaldes oi'te operatorer9 og ma taler om dif'f'eretialoperatorer og om itegraloperatorer.

206 Mat MA 4.5 De ved defierede afbildig I a b:c([a,bj9r) id i R er e lierer a1' 9 bildig. E lierer a!bildig a1' et 1'uktiosrum id i Reller C l<;:aldes o1'te e 1'uktioal. Et adet eksempel pa e 1'ulctioal er de ved bestemte a1'bildig Da :IJ(I,R) id i R. V~rt kedskab til e hel del elemetrere specielle 1'uki tioers di1'1'eretialkvoueter giver os umiddelbart e hel del sta~~lu~ctioer. Vi af rer de vigtigste: og a E C, a ~ -1 For a = 12., p E: Z9 q E N9 q ulige~ a ~ Vi gyldig 1'or aile x E: R. q! d~ IV loglxl 1'or x E R\foJ. x x x a! adx -loga lv J cosxdx IV six 1'or x E R J sixdx IV -cosx 1'or x E R l' or x E R, a E J 0, 1 [U J 1,00[ 0 J ~ -'""""2- dx J' 2 rv ( 1 +tg x) dx rv tgx 1'or x cos x Z /coshxdx rv sihx 1'or x E R!sihxdx ~ coshx 1'or x E R )' _d~~2 rv /( 1-tgh 2 x)dx rv tghx 1'or x r;:: R cosh x

207 Mat 1~ MA 4.6! c1x 2 '" i( coth 2 x-1 )dx IV Vcoth x for x E: ]-oo~ 0 [U JO ~oo[. sih x! dx IV Arcsix IV -Arccosx for x E: J-1~1[ v( 1_x 2 )! Clx -2 - IV Arcoshx = v(x -1) f'or! dx _/2 2 IV -Arcosh(-x) = log(-x+v(x -1» v(x -1) f'or x E: R j ' dx ~ '" Arctgx 1+x f'or x E: :R j ' dx 1 1+x x -x ---- IV Artghx = - log --- f'or., d 1 1 j --;. '" Arcothx = - log ~ for x E: J-oo$ -1 [U ] 1,oo[ 0 1-x 2 x-1 Hvis det f'or f: [a~ bj id i R grelder$ at /f(x)dx N F(x)$ og ~:[a1~b1j id i [a$b] er e differetiabel af'bildig$ er!f(~(x»~'(x)dx IV F(~(x» if' lge regle om diff'eretiatio af' e sammesat f'uktioo Dette er regle om substitutio. Ma skriver sredvaligvis Jf'(~(x»~ I (x)dx IV!f'(~ (x) )d~(x) IV F(~(x» i overosstemmelse med def'iitioe af d~(x)o :Glmempler 0 j ' 1J' cos5xdx '" 5 cos5xd5x IV si5x f'or x E: :R / cotxdx N Jd~ix IV log/ six/ f'or x E: R\1TZ Slx

208 Mat ! ~ N f cosx 1 d~x+2rr) N logl tg(~+rr4) I t'or x E R\(~+rrZ) 8i(x+~). Udregihge at'! Slx ~x overt' res umiddelbart til hyperbelme vi har de alterative metode: t'uk.tioere~ J dx N 2/ dx N - f de x N sihx x -x 4' x 2 e -e (e ) -1 x ~x -~x _ilogl!l.±i1 1 le 2 ~e 2 I 2 = -2 1og -'-x -Lx = e X _1 e 2 +e 2 Tilsvarede t'as Edvidere er og / c.l.x 2 2 a +x x E :R Der er grud til at helede opmrerksomhede pa e rrekke itegraler, der meget let udreges takket vrere srerligt heldige omstamdighedel(9 IJle. 80m. do.g.optrreder gaske. hyppigt:! xdx J f V 2 2 N 2(a +x) d(a +x ) N v(a +x ), xe.:r (a +x )

209 lyra t MA 4.8 Somme tider er det hesigtsm@ssigt at avede metode flere gage: / 109(1~x2)d(1+x2) 1+x Kffideregle for differetiatio af e sammesat fuktio F(g(x)) gffilder ogsa~ ar F er e fuktio~ som ka udvikles i potesr83kke~ medes g er e differetiabel afbildihg id i kovergescirkelskive. Derfor har vi f.eks. for a 9 b E R J e (a+ib)xd x tv e(a+ib)x = eax(cosbx+isi(x) = a+ib a+ib ~eax( (acosbx+bsibx) + i(asibx-bcosbx) ). a +b Ved at spalte i realdel og imagirerdel far vi ax ~ 2(acosbx+bsibx) a +b ax! e sibxdx rv ax ~ 2(asibx-bcoSbx). a +b De ade vigtige itegratiosmetode er delt itegratio~ som bygger pa formle der er e f lge af regle for differotiatio af et prodw~t. Regle ka ogsa skrives j~(x)g~(x)dx tv f(x)g(x) - /g(x)fl(x)dxo Vod delt itegratio af et produkt f(x)g'(x) far ma altsa de ee faktor itegreret og de ade differetieret.

210 Mat 1, lvia 4.9 Eksempler. Vi vil :fide e stam:fuktio til xvlogx. Her simpliceres logx vresetligt ved dif:feretiatio. Der:for reger vi pa f' lgede made: J v 1! v+1 x logxdx ~ v+1 logxdx ~ :for x E Jo~oo[ og v t -1. For v = -1 klares itegralet ved substitutio: Vi vil derrest :fide e stamf'uktio til xpeax~ p E N7 a E R. Idette til:frelde bliver e ax ikke vresetlig vrerre eller bedre ved di:ff'eretiatio eller itegratio~ me x P simpli:ficeres lidt ved di:f:feretiatio. Dette er e rekursiosf'ormel til beregig a:f de skede stam- :fwlktio. I det :foreliggede tilf'relde :far vi let ved getage avedelse J ' xj::'e ax dx rv Ved at srotte a = i og spalte i real og imagirerdel ka vi :fa stamf'uruttioer til xpcosx og xpsix. Som vi sa i kapitel 1 ka e brude ratioal :fuktio skriyes som e sum af' stambr ker o Vi ka derf'or :fide e stamfuktio til de brude ratioale :fuktio ved at :fide e stamf'u1ttio til partialbr kere. Hvis det drejer sig om e reel brude ra-

211 Mat MA 4.10 tioal fuktio~ er det mest fordelagtigt at beytte opspaltige i reelle partialbr ker. Vi skal u vise9 hvorledes vi fider stamfuktioer til partialbr kere. De partialbr ker~ ige vaskeligheder, idet vi har der svarer til reelle r dder, voider log/x-a/ for p = 1-1 (p+1 )(x_a)p-1 for p > 1 For e partialbr k, der svarer til to idbyrdes kojugerede r dder9 beytter vi f rst opspaltige cxx+{3 ::: (x 2 +ax+b)p og vi har u J cx(x+~) --=---~--dx N za ~~2~~~~ 1 J d(x 2 +ax+b) N (x 2 +ax+b)p (x +ax+b)p 2 log/x +fix+b/ 1 for p = 1 for p > 1 9 og Her er b - ~a2 > 0 9 da adegradspolyomiet ikke har reelle r dder. Opgave er u reduceret til bestemmelse af e stamfuktio til e partialbr k af de specielle form 1 2 c)p 9 (x +

212 Mat 1, MA 4.11 hvor 0 > 0. For p = 1 har vi ovefor fudet stamfuktioe For p > 1 skaffer vi os e rekursiosformel ved at beytte delt itegratio e lille smule sedigt: i/ dx 1 (2 )p-1 + rv 0 20(;-1) /xd x +0 (2 x +0 )p-1 i/ dx + 1 x 1! dx 0 (2 )p-1 20( p-1 ) (2 ) p-1-20(p-1) (2 )p-1 x +0 x +0 x +0 Dermed har vi fudet rekursiosformle 2f-3 / dx 20 p-1) (2 )p-1 x +0 I udledelse har vi ikke beyttet, at 0 > 0, og de grelder saledes for 0 t 0, p > 1. For 0 > 0 far vi ved getage avedelse de iltke srerlig k e formel Sa er rckursiosformle dog mere tiltalede. Dertil kommer, at det efter avedelse af rekursiosfprmle pa leddet med h jeste

213 Mat 1, MA 4.12 vrerdi a~ p vii vrere aturligt at trrekke det resterede ubestemte itegral samme med de reste partialbr k. Eksemplero J dx IV J (.L _ --1-1) dx IV x (x +1) x x +1 (x +1) x 2 2(x +1) i/ ~ _ / ~ IV x +1 x +1 3X Arctgx e 2x(x +1) / -.9L 2 '" if 2 (1 1+x + 1=X 1) dx 1 l1±rl IV 2 1 -x log TT=XT 0 Det or selv~ lgelig vigtigt at beytte ehver lille gevej9 der letter regearbejdet. 2 d(x) IV J - dx r.j if x(x -1) x (x -1) 1)' 1 2 ( 2'3 (x -1) -1 Hvis vi skal ~ide e stam~ktio til 1 ka vi beytte (x 2 _1)p9 rekursios~ormle ove~or og derved helt spare at udvikle i partialbr kor. For p = 4 ~ar vi saledes

214 Mat 1, MA 4.13 I dx. -x :2/ dx (x2_1)4 ~ 6(x 2 _1)3-6 (x2_1)3 ~ x 5x 51 dx 6(x 2 _1)3 + 24(x 2 + '8 22 rv _t)2 (x -1) x 2x 2x - -f6/~x ~ 6(x 2 _1)3 + 24(x 2 _1)2 16(x 2 _-I) x -1 x 5x 5x t -# 24(X 2 _1)2 2 6(x -1) 16(x -1) + 3'2 log x-1 Vi ka saledes altid bestemme e stameuktio til e brude ratioal Euktio R(x), og e sada stameuktio er e liearkombiatio ae e brude r:;l,tioal Euktio og Euktioer ae Eorme logjx-aj eller Arctgax. Vi ka ogsa, hvis R(x) er e brude ratioal Euktio, bestemme stami'uktioer til R(e x ) og R(tgx), idet vi beytter omskrivigere samt evetuel t./ R(e x )dx / R(e x ) d x rv x e, e /R(tgX)dx ~ f R(tg~) dtgx, 1+tg x fr(tghx)dx ~ f R(tS~X} dtghx 1-tgh x Eksempler ) de x IV x e-1

215 Mat 1? MA 4,14 Ma beytter sig selv:f lgelig a:f evetuelle geveje. F.oks. ka ma ofte med :fordel beytte e 2x som variabel. Hvi s vi sker at :fide e stam:fuktio til 1 2 ' ka vi selv- 1+tgh x :f lgelig udtrykke tghx ved ekspoetial:fuktioer og ga :frem som i de to :foregaede eksempler. Hvis vi :foretrffikker at geem:f re regige i hyperbel:fuktioer~ :far vi J ~ J( )dtghx ~ 1+tgh x 1-tgh x ~(Arctg tghx + Artgh tghx) = ~(Arctg tghx + x). Aalogt :far vi J dx ~ J dtgx 1_tg 2 x (1-tg 2 x)(1+tg 2 x) 1!( tg x 1 --' (1+tgx) 1 )dtgx "" 2(1-tgx)

216 Mat MA 4.15 Vi bemrerker, at itegrade 1 er defieret for 1_tg 2 x x * (2p+1)~ og x ~ (2p+1)ff, p E Z. Itegrade ka imidlertid 2 ogsa skrives ~os ~ 2 ' og derved udvides defiitiosmregde cos X-SI X til R\I(2p+1)~lp E z1. Dette stemmer med~ at det sidste resulta t or e fukti o, som er defier~;t pa de samme mregde. Derimod er det restsidste udtryk ku defieret, hvor 1 2 er de- 1-tg X fieret, og de to sidste udtryk er ikke idetiske, me ku rekvivalote. Et ratioalt udtryk i six og cosx ka omformes til e brude ratioal fuktio af tg~, og derefter ka e stamfuktio bestemmes ved de ovefor omtalte metoder. Deter vigtigt at huska, at metode svigter for x = (2p+1)rr, p E Z, fordi tg~ ikke or defieret for disse vrerdier af x Eksempel. J 2+cdXosx ~ J d=x ~ 2+ 1-tg2~ 2 1 +( 'x tg'2 d\73 tg~ 2 v-f) I puktet (2p+1)~, p E Z har de fude stamfuktio grresevrerdie 73 fra vestre og grresevrerdie - 73 fra h jre. Vi ka udtrykke det ved at sige, at de fude fuktio "spriger ll - ~, ar x passerer e af vrerdiere (2p+1)~o Vi vee imidlertid 9 at de ved 2+C~SX defierede fuktio har e kotiuert stamfuktio F:R id i R, og vi ved, at forskelle mellem F og de ove-

217 Mat 1, for fude stamfuktio er kostat pa hvert af itervallere ](2p-1)w,(2p+1)w[, og F er derfor rekvivalet med de ved G(x)= for x = (2+1)~, defieredefuktio G:R id i R, Eksempel. E: Z 2x 1+tg 2" (1+tg 2 ~)dx r-. ( 1-tg~r~ tv 2 x 1-tg- 2 = ---~- COS--S1-2cos x 2 x. x 2 2 = 2 x 4 cos 2" = 2(1+cosx) tv 1+cosx-six 2six 1+cosx-six Idette tilfrelde er itegrade d.efieret og kotiuert for.l 1, x X T ~+2pw, P E: Z.Vi har beyttet tg2"' og vi ka derfor ikke u- middel bart s~,~ole pa vore regiger for x = (2p+1)W 9 P E: 2, me vort resultat, skrevet pa de ade af de af rte former, er e fuktio, som er kotiuert, hvor itegrade er kotiuert, og dette udtryk er saledes e korrekt l sig. Derefter har vi forlreget br ke med cos~, og derved har vi faet et udtryk, der ikke er defieret for x = (2p+1)w, p E: Z. De sidste omskriviger er dog ikke ude iteresse, idet vi viser, at resultatet "i det store og hele" ka udtrykkes ratioalt ved six og cosx. Det er selvf lgelig ofte muligt at udrege itegrale af triboometriske udtryk ved helt adre metoder. Isrer l er det

218 Mat 1, MA 4.17 sig ofte at idfy1re tgx eiier tg2x i stedet for tg~. Dette vii i regle give et simplere udtryk 9 me flere udtagelsespukter. Vi skal vise et far eksempier, me vi vii dog ikke geemf re e helt detaiiieret diskussio. Eksempel. / dx 2 / tv 1+3si x dx tv / 4, dtgx 2 2 cos x+ Sl x 1+(2tgx) 2 ~Arctg( 2tgx). Udtagelsespukter: x = ~+pff9 P E Z Overalt defieret stamfuktio: Eksempel. tg 2 xdtgx cos 3 x+si 3 x (1+tg 3 x)2 J( sixcosx )2dX tv J 3 'S. 3( cos x+si- x) Fa de sidst af rte form er det fude resultat e stamfuktio overait9 hvor itegrade er defieret. Vi skal i dee forbidelse af re rekursiosformle j ' J' -2 ( 2) J - 2 tg xdx tv tg x 1+tg x dx - tg xdx tv

219 Mat 1~ MA 4.18 som er gyldig ~or ~ 1. For E N ~ar vi ved getage avedelse~ at og 2-1!tg 2 xdx N tg x t~ x ! tg2+1 xdx N tg2x 2 tg 2-2 x ()+1 t ~+(_1)+ loglcosxl. Substitutiosmetode ka o~te med fordel udyttes I'om':'edt". Vi sker at bestemme e stamfuktio F til e afbildig f:1 id i Ito Hvi s (p :1 1 id i I er bijekti v og dif~eretiabel~ er F cp stamfulli{tio til (focp)cp'. Vi bestemmer derved Focp = G og derefter F = Gocp-1. Nar vi aveder dee metode vii vi atyde det i vedi ger som de f lgede: Ved at substituere x = cp(u)~ u E 1 1, far vi! ~(x)dx N ff(cp(u))cp I (u)du vi Eksempel. Ved at substituere x = siu~ u E [-~~~]9 ~ar u 2 Slu. + 2 ucosu - 2 Slu. = x(arcsix)2 + ~(1-x2)Arcsix - 2x Eksempel. Ved at substituere x x E [ 900[9 at!coffiixdx N 2/tcostdt N 2tsit + 2cost = 2Vx si/x + 2coffiix 0

220 Mat 1~ M.A 4.19 Disse to eksempler illustrerer, hvorledes substitutio udyttes til bortskaffelse af "ubehagelige" fuktioer, der idgar i itegrade. Srerlig iteresse kytter sig til bortskaffelse af rodst rrelser. I det f lgede skal vi agive e rrekke metoder til dette formal og derved skal vi specielt vise, at stamfuru~tiosbestemmelse altid ka reduceres til bestemmelse af e stamfuktio til e brude ratioal fuktio, safremt itegrade afhreger ra ti oal t af x samt ete 1) e rodst rrelse P,/~~~:~ s pen eller 2) e kvadratrod af et edegradspolyomium i X9 eller 3) to kvadratr dder af f rstegradspolyomier i x. Vi vii f rst beskmftige os med tage, at determ1ate Pv-"cxx+~, hvor vi vii ayx+ f3 o ::: cxo - f3y ikke er ul, idet rodst rrelse ellers reduceres til e kostat. Da vi har (yx+o) 2 ' varierer rodst rrelse mootot i si t (sie) defii ti ositer - val(-ler). Vi sretter u altsa x = og afbildige x ~ u vii da altid vrere mooto pa ethvert defiitiositerval for rodst rrelse. Edvidere bliver O p-1 dx = P u (-yup+cx) d 2 u.

221 Mat MA 4.20 Nar de af rte udtryk for xp rodst rrelse og dx idsrettes i itegradep reduceres dee til e brude ratioal fuktio af u. El(sempel. For ex d3 E :R 9 ex,< f3 ~ sker vi at udrege Idet mvere i itegrade ka skrives (x-ex) ~=~, ka de etop beskreve metode beyttes. Vi smtter [j-x x-ex hvilket giver J dx J -2 (@-ex)udu 21 du \/(( x-ex )(f'-x» ry (I' ) ( 2 /,) N '" -ex u u + I u +1-2~1rctgu = -2 Arctg Vr~~ N 2 Arctg \I;=~. I f rste omgag fik vi et ret kejtet udtryk for stamfuktioe. Dot skyldes~ havde v~ret at vi substituerede med e aftagede fuktio. Det bedre at trmkke f'-x udefor rodteget i stedet for x-ex. Vi har ikke agivet meget iterval for u, og vi har heller ikke haft brug for de t. Eksempel. Vi sker at udrege J xdx Lv(X-1)3 9 Vi aotter og derved far vi

222 Mat 1~ ~~ 4.21 ~(X+4) t (x-1). Hvis itegrade afhreger ratioalt af x og V(ax2+bx+c)~ ab veder vi f rst substitutioe x = t - 2a~ sam bortskaffer f rstegradsleddet i polyomiet. Derrest sretter vi faktore Vial udefor rodteget. Derefter er problemet reduceret til at bortskaff'e e kvadra trod af e af t'ormere V ( a 2 _x 2 ) ~ 2 2 V(x -a ). V (a 2 +x2) og Lad os t' rst betragte V(a 2 _x 2 ). De rerliggede substitutio f rer til e itegrad, som afhreger ratioalt af siu og cosu, og de ka behadles ved de ovef'or omtalte metoder. Vi ka i- midlertid ogsa beytte f lgede substitutio 2at V 2 2 1_t 2 2 x = 1+t 2 ' (a -x ) = a~, dx = 2a 1-t dt t E [-1,1 L 1+t (1+t2)2 ' eller t' lgede variat at' de samme: 1_t 2 V 2 2 2at -4at dt [ 0, oo[ x = a~, (a -x ) = 1+t 2 ' dx = (1+t 2 )2 ' t E 1+t De sidste udgave er e at'tagede substitutio, og de tlglemmer" edepuructet -a, hvilket dog ikke er e vresetlig ulempe o Vi abet'aler de trigoometriske substitutio t'rem t'or de ratioale,.fordi det ofte er muligt at t'ide e gevej ved behadlige af de trigoometriske itegrad. 80m et kuriosum skal vi reve subs ti tuti oe t h. I( 2 2 ) a dx = adu r ] [ X = a g u, v a -x = coshu' 2 ' u C -00,00 0 cosh u

223 Mat 1, MA De II glemmer" begge itervaledepukter. De er udertide ga ~ ske praktisk 9 me i de f'leste tilf'celde vii hyperbelfuktioere vcere et f'remmedelemet, del" let giver aledig til e del ekstra besvrer. Edelig skal vi reve~ at de ovef'or omtalte metode til behadlj.g af'v((x-cx)(j3-x)) selvf' lgelig ogss. ka avedes. Eksempel. Vi vii udrege! dx 22 x V(1-x ) Substitutioe x = siu giver 1"01" x E ]O,1[! cosudu ~ ~ -cotu = Sl ucosu hvilket i vrigt ogss. er rigtigt 1"01" x E ].-1,0 [0 De f' rs te a1" de ratioale substitutioer giver / -2"'"",--- jd..;...x """'2"""" ~! x v (1-x ) (1+t ) (1+t )2(1-t Ldt L~t (1--t )(1+t ) De hypcrbolske substitutio giver! dx ",J coshu du ~! dsihu V "h2 x (i-x) tgh ucosh u Sl u -1 v( 1_x 2 ) sihu = x 2 2 Til bortsl\:a1"f'else af' v(x +a ) er det mest a turligt at beytte substitutioe

224 Mat 1, MA 4.23 Ved her at srette t = e U far vi substitutioe Edvidere har vi de trigoometriske substitutio _ I( 2 2) a adu cosu cos u x = atgu, v x +a = ----, dx = 2 me de to f rstrovte vii of test vrore at foretrrekke. Fksempel. Vi vii udrege J dx (x+1)v(x 2 +1) De f0rste af de af rte substitutioer giver J ft( t+t )dt 1( 1 1 1) - t--+2) -( t+- 2 t 2 t 1,(t+1-V2) V2+t+C3-2V2)t t +2t-1 \72log 2 = V2 og = 1 Vi h:l.kke sat rr.uerisk-teg om st rrelse uder logari tmeteget" De:1 er emils al tid posi ti v for x E ]-1 yoo[ ~ fordi vi har passet pa udervl3js. Det er emmere at avede umerisk-teg og til isegreld vre::oe lidt midre omhyggelige. Vi bemrerker? at selve i::ltegratioe gik gaske let, me det kostede ikke sa lidt besvcer t brige j'esul tatet pa e pre form.

225 Mat 1, MA 4.24 Ved at substituere med hyperbel~uktioer ~ar vi / dx N / du (x+1}1(x2+1) 1+sihu 1( u -u). Hvis vi u idf rer sihu = 2 e -e 9 ~ar vi itegralet a~ e ratioal ~uktio a~ ekspoetial~uktioe, og avedelse a~ de tidligere omtal te ru tiemetode ~ rer id i de ~ rst omtal te regig ige. Vi ka imidlertid ogsa idf re tgh~, og derved ~ar vi 2 / du (1-tgh N / = N 1+sihu u 2 1+2tgh'2-tgh ~ _ r. t d_tg_h.-:: =-- 1 V2-1 +tg~ c:.,; (V \72log u = (tgh -1-V2)(tgh~-1+V2) V2+1-tgh'2 og dermed er vi ige kommet tilbage til et mellemresultat ~ra de ~oregaede metode, idet t = e U De trigoometriske substitutio giver dx du / rv / N / (X+1)V(x 2 +1) ( 1+tgu)cosu 2 u f' (1 +tg )du dt~ J 2 2/ u 2, u u 1+2tg 2 -tg u 1+2tg--tg du cosu+siu rv altsa E8ste samme itegral som de ~oregaede substitutioer gav

226 Mat 1, MA 4.25 alcdig til, me de edelige reduktio af resultatet bliver bosv"arligere i dette tilfrelde, og vi vil ikke udf re reste af ROdst rrelse v(x 2 _a 2 ), a > er defieret i hvert af de to itervaller J-oo,-aJ og [a~oo[. Vi vil ku beskreftige os med [1,00[, idet substitutioe x = -u vil overf re det adet iterval i dette. Vi ka avede substitutioe eller de hyperbolske substitutio x = acoshu, v(x 2 _a 2 ) = asihu, dx = asihudu 9 u E [O,oo[ eller de trigoometriske substitutio " x = ~ vex -a ) = atgu cosu ', d x - asiu f") d u, c.. cos u De ~L0rsto substitutio vil i regle vrore at foretr@kke o Eksempel. De f rste substitutio giver )' ~dx~_ (x+1)v(x 2-1) dt tv t+1 = 2 t +2t+1 x+1+v(x -1) = -2(x+1-V(x 2-1)) = (x+1)2_x2+1 x+1-v(x 2-1 ) x+1 x-1 x+1 ResultfLtet bliver altsa meget simpj.ere ed i det foregaede eksempel. Dette hreger samme med, at faktore x+1 fora rodteget er divisor i polyomiet uder rodteget. Vi skal i dette tilfcbilide ikke fors ge at avede de adre substitutioer.

227 Mat 1, MA 4.26 edertide vii ma ~oretrrekke at bortska~~e e kvadratrod ude f~rst at brige de pa e a~ de ove~or omtalte ~ormer. Vi ka bortska~~e v(x 2 +ax+b) ved at substituere e y variabel t, idet vi sretter altsa ax+b 2 = 2xt+t, 2 -t +at-b a-2t TilsvGrede ka vi bortskaffe V(1+ax+bx 2 ), idet vi sretter al tsa a+bx 2 2t-a = 2t+xt, x = b_t 2, v( 1 H~X+bx2) :::: 2 2 t -at+b dx 2 t -at+b dt. b_t 2, = (b_t 2 )2 Vi skal ikke ga rermere id pa disse substitutioer. Hvis itegrade a~hreger ratioalt a~ x samt v(a 1 x + b 1 ) og v(a 2 x+b 2 ) afska~fes de ~~rste kvadratrod ved substitutioe u 2 _b x = ai, og itegrade kommer dere~ter til at afhcege ra... e 1 a 2 2 a 1 b 2 -a 2 b 1 tioalt af u og v( --u + a ) og de vefor omtalte metoa 1 1 der ka avedes o Det 10er sig, ide de ove~or omtalte metoder til bortsk3.f~el se af kvadra tr dder briges i avedelse, at forel{le problcmet ved at reducere og spalte itegrade. Lad os betragte

228 Mat 1~ MA 4.27 e itegrad, der afhreger ratioalt af x og e kvadratrod af et polyo:i um i x. De vii da al tid kue reduceres til f'orme :1(x) + P 2 (x)vp(x) Q 1 (x) + Q2(Jt)VP(x) ~ hvor P 1 (x)? P 2 (x), Q1(x), Q2(x) og p(x) er polyomier. Vi ka u skaffe ratioal rever ved at forlrege med Q1(x)-Q2(x)vp(x), og ite~rade far derved forme P1(x)~1(x) - P2(X)Q2(X)P(X) (Q1(x)P 2 (x) - P1(X)Q2(X))VP(X) 2 2 ( Q 1 (x) ) - (Q2 (x)) p (x) + (Q1(X))2 - (Q2(X))2p(X) Her er det f rste led e brude ratioal fuktio, som ka itegreres for sig ved de tidligere omtalte rutiemetode. I det sidste led ka vi forlmge med Vp(x). Derved far vi et uu.trylc af forme h vor "() x og Q() x er po 1 yomler.. V' 1 s k' rlver u QTXT ~ som e sum af partialbr ker. Derved far vi leddet skrevet som e sum af led af forme;re a (x-a)9v'p(x) og ax+b (x 2 +ax+,b)9v'p(x) Hvis p(x) er et adegradspolyomium, vii stamfuktioer til disse udtryk kue fides i itegraltavler. Det skal tilf jes, at det ka vmre hesigtsmmssigt at beholde vp(x) i tmllere~ me eksemplere ovefor viser~ at ma altid vii kue forkorte e faktor vmk efter substitutioe~ hvis kvadratrode er i revere.

229 Mat 1, MA 4.28 E stamfuktio af forme hvor p(x) er et polyomium af grad ~ 3, medes p(x) og Q(x) er vilkarlige polyomier ka sredvaligvis ikke udtrykkes ved de elemetrere fuktioer. Hvis p(x) har grad 3 eller 4 kaldes stamfuructioe et elliptisk itegral. I elemetrere :ysisk-tekiske problcmer m der ma ofte det specielle elliptiske itegral J dx v((1-x )(1-k x )) og forslmllige beslregtede itegraler. Her er k e reel parameter. For k = 0,+1 eller -1 ka stamfuktioe udtrykkes ved de elemetwre fuktiosteg, ellers ikke. Ved substitutioe x = siu far vi / dx 222 V((1-x )(1-k x )) N J ciu 2 2 ' v( 1-k si u) og dermed har vi faet et yt itegral, der heller ikke ka udtryldces ved elemetrere fuktiosteg. Det ye itegral kaldes ligelcdes et elliptisk itegral, Vi bemrerker, at / du Vcosu J du v(1-2si :2 '2) u ' og det f rste itegral er derfor ogsa et elliptisk itegral. Dot er selvf lgelig ikke oge simpel sag at bevise 9 at e stamfuktio ikke kct udtrykkes ved elemetrere fuktiosteg, og vi slw.l ikke i oget tilfrelde geemf re et sada bevis. Det er imidlertid yttigt at have kedskab til de simpleste eksompler

230 Mat 1? MA 29 pa stamfuktioer? der ikke ku udtrykkes elemetaart? idet ma dervcd sparer e del overfl digt arbejde. ex x jxedx, ka udtrykkes ved elemetaare fuktiosteg? hvis ex er 0 eller et aturligt tal, me ellers ikke. Ved delt itegratio ka ex aadres til ex+1 eller ex-1 efter behag, dog ka -1 ikke redres til o (elleromvedt). Vi bema3i'ker at substi tutioe x = logu giver Derimod ka x fldxtvf~ x logu og f xexcotxdx for ex ~ 0 ikke udtrykkes ved elemetmre fuktiosteg. I'd: omskrivige J logcosxdx tv xlogcosx - f xtgxdx fremgar? at J' logcosxdx heller ikke ka udtrykkes ved elemetmre fuldi osteg. Aalogt for J logsixdx. Stamfukti oe til produktet af e trigoometrisk fuktio og e brude ratioal fuktio? som ikke er et polyomium? ka ikke udtrykkes ved elemetxro fuktiosteg. Stamfuktioere og j ' ex (six) dx ka uc1trykkes ved elemetmre fuktiosteg? hvis ex E: Z og ellers iklw? me

231 Mat 1? ka udtrykkes ved elemetrere fuktiosteg~ 1 E tj og ellers ikke. ex hvis a = 0 eller Bestemte itegraler udreges sredvaligvis ved beregig af e stamfuktio til itegrade. Det l er sig imidlertid ofte at beytte substitutio eller delt itegratio direkte i det bestemte itegral. er Eksempel. Hvis p og <l er hele, ikke egative tal og <l > 1, }rr 1 21T q-1 = j sipxcos xdsix x=o j2 sipxcos <lxdx o c T j21t ([cos l xsi~ xj - si P xdcos q x) = p+1 x=o x=o 1.1T (1_1/ 2 +2 ( ~ sl~ xcos~ xdx og heraf far vi rekursiosformle L@g mrerke til, at vi i de itegraler, hvor der star et mere kompliceret udtryk efter d, skriver x = 0 i edre grrese for at hidre misforstaelae. Ved substitutioe x = ~-u svarer x = 0 til u = ~ og omvedt? og vi far derfor o -1 cospusi<ludu ~1T ~1T = 1 si<lxcospxdx, o

232 Mat MA 4031 hvi.llwt medf rer~ at p og q ka bytte roller i rekursiosformle ovefor. Det hroder~ at et bestemt itegral ka udreges eksplicit~ selv om de relevate stamfuktio ikke ka udtrykkes ved de elemct83re fukti osteg. I det ekleste tilfrolde beror c1ette pa e symmetriegeskab: Hvis e kotiuert fuktio f:[ajlb] ic1 i :R tilfrec1sstiller betigelse Vu E [O,b-a](f(a+u) = -f(b-u)), da er b! a f(x)dx =. Substitutioe x = b+a-t giver emlig b J fa Ja af(x)dx = - bf(b-(t-a))dt = bf(a+(t-a))dt = og dermed er pastade bevist. Det er hesigtmrossigt at udvide itegralbegrebet til at omftte abe og ubegrwsede itervaller, sal(;des at ogsa visse ubegr... ;msede fuktioer bliver itegrable. For mere bekvcmt at kue geemf re dee vii vi idf re e vis geeralisatio af kotiuitets begrebet. Defiitio 4.1. Lad I ~ :R vrore et vilkarligt iterval. E mwgde A ~ I siges at vrore e omeg ai' a E I relativt til Iy sai'remt der eksisterer et tal 6' > 0 9 saledes at I ]a-6'jla+6'[g A. Mrogde Rf omege af a relativt til I beteges UI(a). For I = R udelrdes ordee lirelativt til I" og idex I. Det samme g res og sa i adre tilfrolde, ar der ikke er fare for misi'orstaelse. Eksempel. For I = [a 9 b] er e omeg at' a altsa e vilkarlig

233 MA 4.32 a~ 19 som ideholder et iterval [a,a + 0[9 0 > 4.2. Lad 11 og 12 vrere itervaller, a et pukt a~ 11 og ~: I 1 id i 12 e a:fbildig. A:fbildige ~ er ds. kotiuert i a, hvis og ku hvis dot ~or ehver omeg U E DI (~(a)) 2 a~ f(a) rols.tivt til I2 grelder, at origialmregde f- 1 (U) or e omeg af a relativt til 1 1 Bevis: At f:i1 id i 12 er kotiuert i puktet a udtrykkes ved relatioe Til~)6jel se "Ii' II i parete se har ikke oget med kotiui tetsbetibelse at g re, me er berettiget, da f afbilder id i 1 2 Betigelse ka ogsa skrives pa forme me pa grud af defiitio 4.1 er dette esbetydede med, at Ve > 0 (~-1(I2]f(a)-e,f(a)+e[) E DI (a), 1 og edu e avedelse af de~iitio 4.1 viser, at dee betigelse mod~ rer de stmrkere betigelse Dermed or swtige bevist. Kort og uprrecist siger sffitig 4.2, at kotiuitet betyder. J.7 origialm2'1gde til e omeg al tid er e omeg..1-" I <; R'" Defiitio 4.2. Ved e omeg a~ 00 relativt til et iterval med 00 E I forstas e mregde U E I, som ideholder et iterval Ja,ooJ, hvor a E R. Aalogt de~ieres e omeg af vribt avedes defiitio 4.1 ogsa for omege a~ pukter af

234 Mat MA 4033, 0,~( R relstivt til itervaller pa R Mregde af omege af a E I relativt til,i beteges UI(a). Vi bemrerker p at UI: I id i b(b(i))1 hvor b(a) beteger m@ 6 de af delmregder af A, er e afbildig, som ti I hvert pujct a I tilorder et system af delmregder af I, systemet af omege af 1. Hel t geerelt ka vi defiere: Defiitio 4.3. Et par (M,U) bestaede af e mamgde M og e afbildig U:M id i b(b(m)) kaldes et omegsrum. Por a E M kaldes ehver mregde U E U(a) e omeg af a. Vi uderstreger, at omegsrum i almidelighed har overordetlig rige iteresse. Begrebet er alt for geerelt 9 me ved tilf~jelse af passede supplerede forudsretiger vii vi seere udvikle:. det til oget mere yttigt. Teorie for det helt almidelige begreb er pa det rermeste udt mt ved f lgede defiitio og de derefter f lgede sretig: Defiitio 4.4. Lad (M,U ) og (M 1 1 2,U 2 ) vrere omegsrum, og lad a E M1 vrere et vilkarligt elemet. E afbildig f:m 1 id i M2 siges at vrere kotiuert i puktet a med hesy til U 1 og U29 so.fremt S@tig 4.5. Lad (M,U ), (M 1 1 2,U 2 ) og (M,U 3 3 ) vrere omegsrum, og lad f 1 :M 1 id i M2 og f 2 :M 2 id i M3 vrere afbildiger. Hvis f1 er kotiuert i a 1 E M1 og f2 er kotiuert i f 1 (U 1 ) = 2 E M21 er f2 f1 :M 1 id i M2 kotiuert i a 1 " har vi de Bevis. Vi swtter a 3 = (f 2 f 1 )(a 1 ) = f 2 (a 2 ). For U E u 3 (a 3 )

235 Mat MA 4.34 og da i'2 er kotiuert i a 2, er i';1(u) E U2(a2)~ og da i'1 er kotiuert i ai' i' lger herai', at i'11(i';1(u) E U (a ). Dermed er 1 1 s23tigo be vi st. E ai'bildig f:m 1 id i M 2, hvor (M,U ) og (M 1 1 2,U 2 ) er omegsrum, kaldes kotiuert (med hesy til U 6g U 1 2 ), hvis de er kotiuert i ethvert pukt ai' M1 (med hesy til U og 1 u 2 ). Hvis Ii og 12 er itervaller pa R* har det u e meig at tale om kotiuitet ai' e ai'bildig i':i 1 id i 1 2, idet vi beytter de i dei'iitio 4.2 idi' rte omege. I dee sammehwg er det ikke dvedigt at skele mellem i':i id i 12 og 1 i':i 1 id i Ai' sretig 4.5 t' lger umiddelbart, at sammesretig at' koi< tiuerte ai'bildiger ai' itervaller pa R' id i Itervaller pa R '" * ige giver ko.tiuerte at'bildiger. Dei'iitio 4.6. Lad I ~ R* vrere et iterval, lad A c I vrere eedelig puktmregde, lad F:I id i R* vrere e kotiuert ai' bildig, og lad f:i\a id i R vrere e vilkarlig ai'bildig. Vi siger, at F er e uegetlig stami'uktio til t' pa itervallet I (mod udtagelsesm@gde A), sai'remt i' lgede to betigelser er opf'yld t: 1) Vrerdiere 00 og ~ atages hver h jst e gag at' F og h jst i edepuktere ai' 1. 2) I ethvert pukt x E I\A er F difi'eretiabel med dii't'eretialkvotiete i'(x). Hvis B er e edelig delmregde ai' I og B ~ A, er F abebart ogsa u~etlig stamfuktio til f pa I med u.dtagelsesm@gde B~ DeI' er altsa ikke e gaske bestemt udtagelsesmliogde. Et

236 Mat 1, MA 4.35 pukt ka for eksempel reges til udtagelsesmregde, hvis vi ikke vcd, om F er differetiabel i puktet. Der fides e gas~e bestemt midste udtagelsesmregde, som omfatter etop de pukter af I, hvor F ikke er differetiabel med f som differetialkvotiet. Eksempler. Fa [-1,1J er Arcsi x uegetlig stamfuktio f) 1 til (1_X~)-2. De ved,'. --hr for x = -00 Arctg ", x = Arctg x for x E R ttr for x = 00 def'ierede f'ukti o Arctg1. l : R* id i R er uegetlig stamfukti o til (1+x 2 )-1 med udtagelsebmregde [-oo,ooj. Hvis F er uegetlig stamfuktio til f pa itervallet I, og c er et reelt tal, er F+c ligeledes e uegetlig stamfuktio til f pa itervallet I, og med de samme udtagelsesmregde som F. Hvis F er uegetlig stamfuktio til f pa itervallet I med udtagelsesmregde A, og 11 er et deliterval af 19 er restriktioe af F til 11 uegetlig stamfuktio til restriktioe af f til 11\A pa itervallet 11 og med udtagelsesmregde 1 1 \A. Lad a vrere et pukt af I. Det deler I i to delitervaller 11 og 1 2 Vi reger puktet a selv med til begge delitervaller., Lad A ~ I vrere e edelig mregde, og f:1\a id i R e fuktio. Hvis restriktioe af f til 11\A har uegetlig stamfuru~tio F1 og rostriktioe af f til 12\A har e uegetlig stamfuktio F 2, og begge disse atager e edelig vrerdi i puktet a, ka vi vrelfor x E 11 for x E 12 defierede lwtiuerte ai'bildig vii da Valre e uegetlig stam-

237 Mat 1, MA 4.36 f'ulctio til f' pa I. Nar vi s ger e uegetlig stamf'uktio til e f'uktio f' pa et iterval I, ka vi i kraf't af' de f'oregaede bemrorkig f' rst opdele I i delitervaller, der hver ku ideholder et ekelt udtagelsespukt, og opgave ka da l ses f'or hvert deliterval f'or sig. S@tig 4.7. Hvis F1 og F2 er uegetlige stamf'uktioer f'or f' pet itervallet I, eksisterer' der et reelt tal 0, saledes at F2 = F 1 +o. Bevis. Lad Ii ~ I vrore det iterval, som omf'atter etop de pukter x E I, hvor F 1 (x) E H, F 2 (x) E H. If' lge 1) i def'iitio 40 5 ka det h jst vrore edepuktere af' I, del" ikke tilh 1"er Ii" Med A vii vi betege e edelig mrogde, der ideholdel" udtagelsesm@gdere f'or F1 og F 2 Af'bildige G = F2 - F1 :1 1 id i R er kotiuert, og i alle pukter af' Ii \A er G dif'f'eretiabel med dif'f'eretialkvotiet O. Heraf' f' lger, at G er kostat :pet hvert af' de itervaller, hvori A deler Ii' og da G er kotiuert pa hele Ii' vii G have de samme kostate vrordi pa to sadae itervaller med ot f'@lles edepukt. Dette medf' rer, at Ghar e kostat vqrdi 0, altsa at F +o og F2 har samme restriktio til Ii' Vi 1 magler u blot at vise, at F 1 (a)+c = F 2 (a) ogsa, ar a er 6t pu.kt a:c I, hvor F og F2 ilcke begge atager e edelig v[brdl Vi 1 vii ~jes med at uders ge tilf'roldet F (a) 1 = 00, idet de 0vrige tilf~lde gar aalogt. Vi f' rer beviset idirekte, idet vi atager, at F 2 (a) < 00. Vi v@lger k, sale des at F 2 (a) < k < 00. Da F2 or kotiuert er F;1(]-00,k[) e omeg af' a. Da F +0 e1" idetisk mcd F2 pa 1 1 1, f'iblger heraf', at F 1 (x) < k-o f'or aile x E F;1 (J-oo,k[ )\~al i modstrid med, at F~1 (]k-o,ooj) er e omeg

238 Mat j~ IvlA 37 a~ a. Dermed er sretige bevist. De~iitio 4.8. Lad F vrere e uegetlig stam~ktio til ~ pa itervallet I. For a,b E I sretter vi da b f ~(x)dx a = F(b)-F(a)~ og dette udtryk kaldes det uegetlige itegral a~ ~ ~ra a til b, og hvis det har e edelig vrerdi, siger vi~ at ~ er itegrabel pa itervallet med edepukter a og b. A~ sretig 4.7 ~ lger~ at det uegetlige itegral ikke a~hreger a~ valget a~ de uegetlige stamfuktio. Hvis f er kotiuert pa hele I~ bliver F e stam~uktio til f i de sredvalige forstad og itegralet reduceres til det ~ra gymasieudervisige kedte. Eksempler.,. r -00 dx ---:2 = 1T 1+x Det er klart, at de regeregler, der grelder ~or sredvalige stam~uktioer og itegraler, ude videre ka over~ res til uegetlige stamfuktioer og uegetlige itegraler. Ku regele om substitutio f lger ikke helt umiddelbart, idet de bygger pa sretig L~.5 om sammesretig a~ kotiuerte ~ktioer. I stedet ~o~ at sige, at ~ er itegrabel pa itervallet med b edepukter a og b~ siger vi ogsa~ at f ~(x)dx er koverget, og i b a modsat ~ald siger vi~ at! ~(x)dx er diverget. Derved tillader a b vi os at se b~rt ~ra~ at f ~(x)dx i det sidste til~relde mua ligvis er et meigsl st symbol.

239 Mat 1, MA 4.38 Eksempel. Fuktioe 1 har pa [O~oo] >:< tio log defie ret ved x e uegetlig stamfuw{ ',' -'- log x = f:g x for for x = 0 x E ]O,oo[ Loo for x = 00 Altsa er = F dx J 1 x = F dx J O x = 00, og disse tre itegraler siges derfor at vrere divergete. Symbolet f1 dx -1 x er overhovedet ikke defieret? me vi tillader os altsa alligevel at sige~ at det er diverget Eksempel. Vi vii uders ge, om }.1 x o \/( 1-x) dx er koverget. Vi beytter substitutioe x = 1_t 2, t E [0?1L og derved far vi }.1 x fo 2 t ( 1 _ t 2 ) O\!(1_x)dX=-1 t dt. Her er det vresetligt? at de beyttede substitutio er bijektiv. Nar vi u forkorter med t i de sidste itegrad, bliver det sidste udtryk et sredvaligt itegral. F rst u ved vi, at det give itegral er defieret~ er rigtigt. Vi far altsa og dermed, at det vi allerede har skrevet 1 x f1 2 )0 \!(1_x)dx = 2 o(1-t )dt = = 4 3

240 Mat 1~ MA 4.39 Eksemplet viser, at e substitutio somme tider f rer et uegetligt itegral over i et sredvaligt itegral. Sretig 4.9. Hvis F:]a,b[ id i R vrere e mootot voksede, kotiuert fuktio. Da er de ved F:':' (x) (if F( ]a,b[) = < F(x) l, sup F( ]a, b[) for x = a for x E ]a,b[ for x = b defierede afbildig F>!<: [a, b] id i R>!< ligeledes kotiuert. Aalogt for mootot aftagede F. Sretige grelder ogsa for a = -co v b = 00 Bevis. Det er klart, at F* er kotiuert i ethvert pukt ", af ]a,b[. Vi beh ver altsa blot at vise kotiuitete af F'" edepuktet b. For k < sup F( ]a, b [) sretter vi ~~-1( '(] C)) A = F k,sup F a,b If lge defiitioe af supremum eksisterer f E ]a,b[ A, og da F er voksede, f lger heraf, at Jf,b] ~ A, altsa at A er e omeg af b. Dermed er sretige vist. Lad f:]a,b[ id i R vrere kotiuert og positiv (d.vos. b Vx ~ ]a,b[(f(x) ~ 0)). Sa eksisterer Jaf(X)dX altid if lge sretig 4.9. Sretig Lad f,g:]a,b[ id i R vrere kotiuerte fuktioer, som tilfredsstiller betigelse i Vx E ]a,b[ (lg(x)1 ~ f(x)). Da vii g vrere itegrabel pa ]a,b[, hvis f er det. Bevis. For ethvert x E ]a,b[ er o ~ f(x) + g(x) ~ 2f(x), 0 ~ f(x) - g(x) ~ 2f(x).

241 Mat 1~ MA 4.40 Da j,b a2f(x)dx har e edelig vrerdi, f lger heraf, at f+g og f-g begge er itegrable pa [a,b]. Altsa er de halve differes g itegrabel pa [a,b]. Dermed er sretige bevist. Defiitio E afbildig f:]a,b[ id i R siges at b vrere absolut itegrabel pa [a,b], hvis Jalf(x)ldX er koverget. Begrebet "absolut itegrabel tt er aalogt med begrebet Itabsolut koverget" for e uedelig rrekke. Sretig 4.10 er et sammeligigskriterium for absolut itegrabilitet. Eksempler. Af! dx (x_a)cx log I x-al 1 ( 1-cx)( x-cx )CX-1 for cx = 1 ellers fremgar umiddelbart, at 1 har e stamfuktio pa [agoo], og (x_a)cx at dee stamfuktio har e edelig vrerdi i a, safremt cx < 1, og e edelig vrerdi i 00, safremt cx > 1. Al tsa har vi for a<b<oo,.b at Ja(x-a)-CXdx er koverget~ hvis og ku hvis cx < 1, medes ;:(x-a)-cxdx er koverget, hvis og ku hvis cx > 1. For O<x~ ~ er o _/ six < 1 ~ X\7X Vx j '~. Altsa er 0 si;~dx koverget o For ~~x<oo er 3 I s*l~ x-"2 0 Altsa er ;;?;;~dx koverget. Dermed har vi bevist, at s~ er absolut itegrabel pa [O,ooJ. De beyttede metode viser i vrigt, at x-cxsix er absolut itegrabel pa [0,00] for cx E J1,2[.

242 Mat 1, IrA 4.41 For a E J091J er x-asix selv~ lgelig itegrabel pa [09ffJ9 idet de ka udvides til e ~uktio, der er kotiuert pa [0~1]. For at uders ge de samme ~uktio pa [ff,oo] beytter vi delt itegratio og t'ar Hvis vi tillregger -x-acosx vrerdie 0 i pumktet 00, bliver de kotiuert pa [ff900j. Fa grud a~ vurderige Ix-a- 1 cosxl ~ x- a - 1 -a-1 [ ] har x cosx e uegetlig stam~uktio pa ff,oo. Altsa er x-asix absolut itegrabel pa [0,00] ~or a E JO,2[. Stam~uktioere ka ikke ud.trykkes ved elemetrere f'uktiosteg, me videregaede metoder g r det muligt at Vise, at r: six 1 X- dx = 2". Sffitig Det uegetlige itegral ~e-ttx-tdt er koverget t'or x > O. Bevis. Itegralet!7e- t t X - 1 dt er koverget ~or ethvert x E R9 da e- t t x - 1 ~ e-~t ~or tilstrrekkelig store vrerdier at' to ; 1 -t x-1 Itegralet Oe t dt er koverget t'or x > 0 pa grud at' vur-. -t x-1 x-1 derlge e t ~ t Dermed er sretige vist. S&tig For x > 0 er Bevis. Ved delt itegratio fas

243 Mat 1, MA 4.42 og her bliver det ~ rste led pa h jre side kotiuert pa [0,OOJ9 hvis det tillregges vrerdie i begge edepukter. Hera~ ~ lger sretige umiddelbart. Sretig Hvis x E :R ikke er et helt, egativt tal el ler ul, og E N IJ foj vrelges saledes at +x>o, vii ( x ( x+1 ) ( x+-1 ) )-1 r: Oe -t t x+-1 dt vrere ua~hregigt c~. Produktet i paretese er tomt ~or ~ 0, og det tillregges da vrerdie 1. Bevis. F l er umiddelbart a~ sretigere 4.13 og De~iitio Vrerdie a~ det i sretig 4.14 omtalte udtryk beteges (x), og de derved de~ierede afiildig rl: R\ (-fi:")\ f OJ id i :R kal de s gamma~ukti oe. Swtig Gamma~uktioe til~redsstiller ~uktioalligige f' (x+1) ~ x (x), og edvidere er I'" () ~ (-1) I ~or ethvert aturligt tal. Bevis. De ~ rste pastad ~as umiddelbart a~ sretig De ade pastad ~as umiddelbart hera~, idet Dermed er sretige bevist. Gamma~uktioe er saledes e geeralisatio a~ l til ikke heltallige vrerdier a~. De viser sig pa mage mader yttig i de videregaede matematiske aalyse.

244 MA 4 Opgaver. Idledig 1. Opgavero Idledigo Udregig af itegraler er til e vis grad e rutiesag, me ogsa i h j grad e tram.igssage Det krrever e vis erfarig at afg l"e om e stamfu.ktio til e glve fuktio ka udtrykkes ved eleme J (j83rs fuktiostego Vej stam:ru~lk tioa bestemmelse har ma ku et ret begrreset atal I3 tdder JGil raclj.gl1e.d,9 og det vii i regle ikke vrere srerlig svrert a::', :9118J.O s:t:s :from til e metode? der hjrelper hvis e sada overho~3det fide30 Btlke~te krbver, at itegraler? der forlages udreget i eksamco '«-Og v(lls ;';sopgaver, ka udreges ved rimelige metoder. Ligeled ' 3s vii op-c::'33ci.ede stamf'uktiosproblemer kue l ses ved elemetlare :rukti,)l"l.8teg~ med midre der udtrykkeligt er gjort opma"]{'sl)li1 pa det Iodsatte" De'c me. dog bl~m33::'1~eg;~ at re@efejl eller ubehredige metoder i mere l3ammesatto opgaver lea bevirke? at del'- ops,tar itegratioei',? del' ikke lea geemf' res ved hjrelp af de eleme trere f'ukt~. Oll.S t.eg 0 DSI; tilrades at udytte al1e muligheder for at kotrollere melleijn'gigere,. E ai.dste kotrol, som bes.tar i at differetiere :lj, fuc1e,;tamfuktioj) er ofte bes-vrerlig. De hjrolper ku til at opdage e evetuel fejl~ ikke til at lokalisere fejle <' };:.lc.ellg Ir.~ me.: Hr.ke overse de mulighed? at fe jle ka lig- Ge i k )!.trolregil.geu f:lfaede fejj i l B::lige at' eksamesopgaver: Det er e formildede omgteeldighed 9 hvis. eksamiade g r opmrorksom pa at ha he::- beg:~1.8.t e :eejl9 ayl1g!] hvis ha ogsa af rer, hvoraf

245 MA 1, MA 4 Opgaver& Idledig 20 ha slutter dette. Det er e yderligere formildede omstamdighed, hvis fejle ogsa lokaliseres. til 80m et eksempel vil vi fors ge at bestemme e s,tamfuktio 2 x.arctgx~ 1 -I- X 2 Vor f rate j.dskydelse erp Arctgx har differetialkvotie- 1 te 1 + x 2 Det iiil derfor v;:ere e fordel at fa d.ee i'aktor differetieret. J.vedelse af d.el t itegratio kra3vel~ im:i.dlertid bef,temmelse I[,f' e stamfuktio til de f rfflte faktoro Det ser ikke sa rart ud~ me dee gag er det dumt at;, opgive pa forha6. Lad os. f'ors ge act omskri ve de f rste faktor 0 = 2--2 x. x x - o ( -1, ) x Derved far wi vor fuktio spal tet i e sum~ hvis led Ita itegreres. rutiemressigt" Lad os pr ve a.t rege l s rutiemressigt og samtidigt t'ormulere besvarelse pa e rimelig madeo Ved opspal tig at' de f rs te falttor far vi h x 2. Arctgxdx N 2 Z + x p=1 ( f J -- 1 J 2-2p --1, ~ x A.rctgxdx ~ i.:12p-~ J 2-1 J p= P+ 1 I!ArC.l~ +(-1) ~- 2 dx ~ 1, + x Arctgxdx -2:p+, +( --1 ) Arct~.Arct.gx N

246 MA 4 Opgaver. Idladig 3. (-''I \p-1 x 2-2p -it1 1 (_.-1 )lil..\.-l_ Arctgx + d_ (Arctgx)2 + ~21-2p ~ p=1 2-2p + 1 Vi sretter -p = 1: og udreger det vilkarlige itegral i de sids.te sum ved pe.rtialbr ksudviklig.! 2,S2k + 1, 1 + x2 dj: tv {-1 ) <1-1 x 2k - 2 <l+': + i::1i) k 2k - 2q log (1, + x ). Vi idsretter u dette resultat i det foregaede og far J 2 ~ Arctgxdx ~ 1 + x (_1.) x ) Arctgx De.t lykkedes i det store og hele. Det ra dog idr rmes, at dobbeltsurre ~reger til forffik else. Sumre er jo et polyoriur~ og de b r derfor ordes efter p,otes:er af x. Vi sretter p + q = j. sa skal j i de iderste sum l be frap + 1 til.

247 MA 4 Opgaver. Idledig 4. Nar vi der'efter omby-l:;ter summatioere, kommer j til at l be fra 2 til, medes p kommer til at l be fra 1 til j - 1. Summe bliver derfor j-1 ~ ~ j=2 P=~I Vi erll3j1;as.tter j meed j + 'j. $ og der.ved. far y vi "'11 2: j=:11 DE t vii li3~'1t'} pa opgavebesvarelse at fa dee s,ids.te omskrivigmed, I opgavebesvarelser vii det sredvaligvis ikke vrere rimeligt at omtaj.e udregige af evetuelle optrredede itegraler srerlig udf rligtc, Hvis opgavetekste ikke direkte l\:rrever fremgags).ade ved beregige udf rligt omtal t, lea resul tatet hetes fl'a e itegraltabel, me det b r da alti(l suppleres, med e hevisig til de beyttede tabel. Udgave og sidetal b r af res" Vei udregig at uegetlige itegraler b r ma vrere opmrerksm pa, a~t opspaltig af et lwmrerget itegral ka f re til d5v3rgete e~~eltitegraler. Hvis det sker, ra ma ete f rst g::memf re 3 stamfukti'.osbestemmelse (altsa udelade grres~r-16 ::. f rst::; omgag) elle:r ma ra fortsrette regigere med s'~m1e~l led u1de::."' samme itegraj. tego De her omtal te fejl vii il~k 1 aj tiel. um:.. ddelbart kue spares i det edelige resul tat.~ der::o:' er det ~5dvedigt at vrere gaske srerlig forsigtigo E<lelig skal vi tilrade ~ act ma id ver opgavere til dette l{api tal badf; 'led hjrelp af j.tegral tabel og ved direkte udregij tg"

248 MA 1, MA 4 opgaver 1~ Lette opgaver. 1,. Udreg stamf'uktioer til x og ~(1 x -=-;zr). 2. Udreg stamf'uktioer til x si x 2,!~~og x x 3. Udreg stamf'uktioer til 4. Udreg atamfuktio til cos ex x cos! f3 x cos I' x for wilkarlige reelle vrerdier af ex~f3 og 1'- Udtagelsestilfrelde uders ges f'or sig. xl' De ved xl' defie~ede fuktio har stamf'uktioe I'+r--. Uders g, hvorledes de e forholder sig, ar I' kovergerer mod Udreg f3 tamfuktioer til 2. 2 x x sj. x og - sj..2 x.. 7. Udrog f3 tamfuktioer til 8" Udreg stamf'uktioer til cos ';X9 Arctg-lx og 1 + Lx log r-:-.;x.

249 MA 1, 1i MA 4 Opgaver Udreg stamfuktioer til 1 og 1 v' (x+1) - v'x v'(x+1) Udreg stamfuktioer til og ~3--~2~---. x + x - 2 x + x - 2x 11t Udreg stamfuktioer til x + 2. og 2. x Udreg stamfuktioer till: 13. Udreg e stamfuktio til 2[3-6x + 6 og 3 x - 7x + 6 x4 + 4x 3-6x x - 3 (x 2 + 2x + 2)2 14. Udreg e stamfuktio til 1 fer vilkarlige 1>eelle vrerdier af ex og f3. Pr v ~ om atamfuktioe ka vrelges salede$'~ at de kovergerer mod e stamfuktio til -1,? ar f3 gar mod ex x - ex 15. Samme opgave for 1

250 MA 4 Opgaver Udreg J dx x (1 + x ) og J2 dx x 3 (1 + x ) 1!7. Udreg 1,8. Udreg stamfuktioer til x og -=-2 2 (x + 1)(x Udreg stamfuktioer til x + 1 x Udreg stamfuktioer til 1 x -x og 4 + e + 3e x e Udreg stamfuktio til 1 2 2' og cos x + Sl x cos x + Sl x cos x - s.i x cos 3 x + si 3 x Udreg e s,tamfulctio til 1 ---~ ex. cos x Udreg stamfuktioer til,9os 3x..!L.4x cos x cos x og cos 5x COB X

251 MA 1, MA 4 Opgaver Udreg stamfuktioer til cos X AJl."c'~g (,2tgx) og cos x log( 1 + cos x). 25. Udreg 26. Udreg J ~ 1,. si x dx 1 ~~~s x 21T r o for ehver vrerdi af p Z. og J 1T 1 + cos. x dx. o 1 + si x 27. Udreg / cosh x 1 dx og cosh 2.x J 1 0 '-1 dx + cosh x 28$ Udreg / 1, x dx og dx. x + 1 fo 1, + V x 0 X+1 2:9. Udreg s tamfuk t.i oer til ~2x - ill og fy 2x - 1,") - 11 Jx + &x 30. Udreg. e stamfuktio til 11 (1 + 2x) v( 1 + 2x 11-4x 2 ) 31. Udreg e s,tamfuktio til (x + 11) V (2.x - x )

252 MA MA 4, Opgaver Udreg J2 i 1 dx dx (i:-x 2 2 og ) v(1 [ ( x ) - x ) yi(1 + x ) 33. Udreg stami'uktioer til 2 2 x x: x yi( 1 2)' v(11 2), 2 ' - x + x vex - 11) x x og x 2)$ yi (1 - x yi( 1 + x ) yi (x - 1) 34. Som opgave 33, me med kwmira.tr ddere 160m i'aktor i stedet for divisor. 35. Som opgave 33, me for de reciprokke fuktioer..36. Udreg 37. Vis, a;t rr 1 5) -1T x tg - dx 2. X + J2 X cot ~ dx. -t- ~ ylx yi(x+1) har e uegetlig s tamfukt.io pa [O,ooJr og agiv! dee. 38. Vis at de uegetlige itegralev e kovergete, og udreg derea vrerdi. 39. Vis, at de uegetlige itegraler -y-- cos, x x + 11 dx

253 MA 1 ~ MA 4 Opgaver 60 er kovergeteo Etamfuktioere ka ikke udtrykkes ved de e1emetrere fuktiostegc 40. Udreg dx - -- cosh x J (1 tgh x) dx og J 0 -'00 41 "Udreg tl 2- cos x "2-- dx og + :2 dx~ x'+ 1 o v/( 1 + x ) r! 00 J si x -00 4a. Udreg for a f.e v.:rerdie af f3 J;((; a dx - x)(x - a)) Lreg ml9rke til at vrerdie ku "i rige grad ll Ialf'hreger af a og f3"

254 MA 11:, MA 4 opgaver 7. Vaskeligere opgaver. i.j,3o Lad t: [li3:t~b] iml i R VEare e kotiuert. E f lge (f ) af afbildiger f [a,b] id i R defieres ved t fo ::: f og f (x) :: J f - i (x)dx for = 1,2,3,. a Fid ved delt itegratio f udtrykt ved f, saledes at udtrykket ku ideholder et ekelt itegralteg. L~4o Udreg for 11 E N e st amfuktio til x tg 2 xo 1-l-5Q Udreg r o dx -~- = (x + 11)(x + 2) (x ~. ) 46c For E N seatter vi cos x dx. Udreg.'J. a ved del t itegratio. Vis, at Fid de rved e f<j,lge af ratioale tal, der k011vergerer med t1t. 47;<0 Udreg 21T fo cos x Arctg (2tg x) dx.!) '3-Arctg.x dxu r= ", o

255 MA 1, MA 4 opge;ver For hvilke reelle vrerdier af p er (x g - (x + 1)P) dx koverget. Avedelse af middelvrerdisretige SJamlt e pass.ede vurderig ka hjrelpe.

256 MA 4 opgav6li' 9. si ~w..w. ilx x dx. Vis, at itegr~et er koverget. Vis, at de sa1edem defierede fuktio FA : ]O,~[ id i R er differetiabe1 med 00 FAtlY) = 10 e-ax CO$ Y x dx. (Vej1edig: Da differesk~otiete og vis, at grreseovergage ka foretages uder itegra1teget. For et ede1igt :imtegratio~iteva1 f lger dette af e sretig om 1ige1ig koverges, ogbidraget fra det uede1ige rest ite,rva1 ka vises at vrere / 1i11e. ) Udreg FA'(Y) og bestem derved FA(y), idet det udyttes, at FA(y) har grresevrerdi 0 i puktet O. Foret~g A ~ 0 og fid derved grreseovergage si x... _--- dx. x De sidste grreseovergag krrever e omhygge1ig vurderigo

257 Trykfejlsliste til forelresigsoter MA ka~itel 1-8. Ku trykfejl, som er i h j grad meigsforstyrrede, er medtaget. MA 2.2~ I formelliie i defiitio 2.2 rettes det sidste J MA 2.3. MA 2.4. till Liie 4 f..: der skulle have staet I J o =. Liie 1.: (a j 1j E J). MA 2.9. Liie 2.: Altsa er (1) ikke summabel o MA I sidste formelliie i sretig 2.14 rettes ~ til > 0 MA I f rste liie i sretig 2.31 rettes Z til z. MA I liie 9 f.r. rettes c til x og i de f lgede liie rettes "for" til f (x). MA 3.31a. I liie 4 i defiitio 3.32 rettes f(x) til f'ex). MA 3. I liie 2 f.. rettes f'(x) til F'(X). Formler og grafer 2: De to sidste formelliier f r overgagsformlere skal vrere: cosh z = cos iz, sih z = + si iz~ ~ coth z = i cot iz. tgh z = +. tg iz, ~ De sidste overgagsformel i f rste liie skal vrere: tg(z + ~) = - cot z. MA 3. MA 3. Formler og grafer 4. Liie 6 f.. rettes til : Arccos:[-1,1] pa [09~]' Arcsi:[-1 9 1] pa [-~,~], Sidste liies f rste halvdel rettes til Arcosh: [ 1,co[ ~a [0,co[ Formler og grafer 5. Sidste halvdel af ade liie rettes til: Arsih x = log(x + V(x 2 +1)).

258 MA f'ejlliste MA 4.5. MA 4.6. MA 4. MA 5.6. MA Liie 10 f'.. Del' skal selvf' lgelig sta a =1= -1.. I liie 4 f'.. rettes cot x til -cot x. I f' rste liie rettes coth x til -coth x. Opgaver 4. De f' rste itegrad skal vrere.;-x V:t+1. Liie 4 f'..: x' + ax = b. Formel (27) skal rettes til (1+t 2 )2XII + (a+2t.)(1+t 2 )X' + bx = f'(arctg t). MA Liie 7 rettes til (1+t ) X" + 2t(1+t )X' + X = o. MA 5. Opgaver 1. De sidste dif'feretialligig i opgave 2 skal rettes til MA 5. X' + X(~-1) X = o. Opgaver 7.' Opgave 37 udgar. MA 7.7. I liiere 10 og 8 f'... rettes 12 til 1 1, MA I rest ederste liie rettes abet til af'sluttet. MA I liie 7 f'.. rettes b til Q. MA Liie 7 f'.. rettes til: Heraf' f' lger, at del' f'ides e omeg U E U 1 (x 1 ), saledes at U B = 0. Altsa er x 1 et ydre pukt for B. Sidste liie: det f' rste := slml vrere ~. MA I liiere 13, 10 og 9 f'.. skal lvi alle 5 steder rettes til T. MA 7~21. I de to sidste liier skal T1 og T2 ombyttes. 1~ Dee side skulle have vreret startet saledes: Eksempler. Et diskret rum or et T 1 -rum o Et trivielt rum~ del' ideholder mere ed et PUruCt9 er ikke et T 1 -rum" I sretig 7.55 rettes betigelse 2) til 2) YO E U(a) 3b E U A(b ~ a).

259 MA :Cejlliste MA Det sidste a i a1det~ liie rettes til c. MA Dee side skulle have vreret startet saledes: Regereglere for grresepuw{ter for a:cbildiger af et topologimk rum J sretig 7.64 er det sel vf lgelig f( og ikke AL der MA 8.50 skal pabtas at vcere kostat o J defiitio 8.10 ra A og B forudsrettes ikke tomme. MA Sidste liie rettes til MA /lall = v(a. a) Liiere 6-17 erstattes med: Heraf f lger, at (~o~(y)) = (~(+1)(y)) kovergerer mod savel ~(a) som ao Altsa er ~(a) = a og a er altsa fixpukt. Dermed er sretige bevist. MA 8. Opgaver 4. Ny tekst til opgave 16: Vis, at afstadsfulli{tioere ~ og ~odist i opgave 3 er idbyrdes rekvivalete, safremt ~ er kotiuert i o.

260 Mat. 1, MA 5.1 The domiatig rule of the expoetiaj. ad trigoometrical fuctios i mathematical aalysis ad its a})plicatios. to physical problems is rooted i the fact that these fuctios solve the simplest "differet,i8!1 e<luatios". Richard Courat. Kapitel 5. Liyrere differetialligiger. E differetialligig e~ e relatio mellem e fuktio af e reel variabel og ogle af des differetialkvctieter., Eksempler: Fuktioe f : ]o~oo[ id i ft defieret ved f(x) ~ x- 11 tilfredsstiller differetialligige x f'(x) + f(x) ~ o. De ved f(x) = e ix defierede fuktio f ft id i t tilfredastiller differetialligige f'(x) = i f(x). De ved f(x) = si x defierede fuktio f : ft id i ft tilfreds~ atiller hver af f lgede to differetialligiger f' I (x) + f(x) = (f'(x»~ + (f(x»2 = 1. Da e differetialli&ig er e rela,tio mellem fuktioer, vii ma foretrrekke at skrive ovestaede ligiger pa forme xf' + f ~ 0, f' = if, og f,2 + f2 = 1.

261 Mat. 1 ~ MA 5.2 Det er klart, at hver af de ovefor af rte differetialligiger hver for sig giver udtryk for e mere eller midre vresetlig egcskab ved de pagreldede fuktio_ Det er ogsa klart, at ehver dif~eretiabel fuktio tilfredsstiller e mregde forskellige differetialligiger. Idette kapitel ska;l vi beskreftige os med differetiallig.. iger fra de modsatte sysvikel~ idet vi treker os differetialligige givet ag sker at bestemme de eller de fuktioer, der tilfredsstiller de. Betra:gtet fra dette syspukt, vii vi slcrive de ovefor betragtede ligiger xx' + X = 0, x' = ix, X" + X = 0 og X,2 + X2:::: 1. Idet vi med D beteger de afbildig~ der til hver gage differetiabel fuktioer f : I id i C (eller R)9 hvor I er et iterval, tilorder fuktioe Df I id i C (eller R), og specielt med DO betegerr de idetiske afbildig, skriver vi ogsa de tre f rste ligiger o Her er xd + D de afbildig~ som til ehver differetiabel fuktio f : I id i t (eller R) tilorder fuktioe xf' + f id i C (eller R). I Bruge af faktore x i de f rste ligig er stregt taget ukorrekt~ me e korrekt skrivemade vii blive for besvrerlig. Det har visse fordele~ at beytte faste betegelser for de variable~ altsa skrive y = X(x) for de ubekedte fuktio 9 og ligigere ka da skrives x3x + y = 0. dx ' og (~) Y = 1~

262 Mat. 11 ~ og svarede tii forme (1) ovefor skriver ma sa ogsa (xcec + 1) y = 0, d d 2 (-d. - i) y = 0, og (2 + 1) y = o. x dx Dee meget ukorrekte skrivemade beyttes stadig meget i de matematiske litteratur. o Afbildige xd + D hal' sum defiitiosmregde aile differetiable fuktioer med aile mulige defiitios itervaller. I id iter kotiuerte afbildiger af itervallet o I, er ad + bd e afbildig~ hvis defiitiosmregde er aile differetiable fuktioer med delitervaller af I som defiitioso mregde. Vi y,il kalde ad + bd e differetialoperator pa itervallet Io Aalogt ka vi betragte differetialoperatorer, i hvilke der optrreder differetialkvotieter af flere forskellige ordeer& Ved ordee af e differetialligig eller differetialoperator, vii vi forata ordee af de h jeste differetialkvotiet,~ der optrreder i ligige eller operatore, ar dee er reduceret sa meget som muligt. E differet:.aj.ligig kaldes lierer, ar de er af f rste grad i de ubekedte fuktio og des differetialkvotieter. E lierer clifferetic:rlligig hal' saledes forme ( ~ D + a - 1D + + aid + a D )X = b, I 0 hvor a' a _,,a,a 1 1 o,b : I id i t(eller R) er kotiuerte fuktioer. Hvis b er ulfuktioe, kaldes ligige homoge. \ Hvi~ a ikke er ulfuktioe, er ligiges orde.

263 Mat. 1> MA 5.4 ME're geerel t ka vi betragte differetia1li.gigssystemer med flere ubekeo.te fuktioer, f.eks. X I =: a1 X + b 11 Y y' =: a 2 X + b 2 Y, I id i tj (eller R) er ko tiuer te fuk-' tioer. Pr oblemet at l se e differetialligig er e geeralisatio af stamfuktio problemet, der etop er esbetydede med l &ig af e dif'fere tialligig af forme X I =: f. Derfor er det ikke overraskede~ at l sig af visse simple differet.ialligiger ke geemf res ved s tamfuktiosbes temmelser. S~Uedes f lgede sretig: har vi!tigg 5.1. Lad I ~ R vrere et iterval og lad a, b : I id i tj vrere kotiuerte a:fbildigero Lad A vrere e stamful{tio til a~ og lad B vrere e stamfuktio til e~~ Da er ~ e -AB + ce -AI c E: tj J etop mamgde af l siger til differetialligige X' + ax = bo Hvis a og b a bilder id i R, og A og B vrelges, sa de ligeledes a:fbilder ia. i R, fas de reelle l siger etap for reelle vrerdier af c. tj Bevis. Lad Ii vrere et deliterval af I, og lad f vrere e differetiabel afbildig. Vi vil pr ve, om f passer i differetialligige X, + ax = b. For at geemf re det, sretter A -A ~ vi g = e f, altsa f = e go Sa er g : Ii id i v e differetiabel a:fbildig s og vi far (D + ado)f = D(e-Ag) + ae-ag _e,-ag DA + e -~g + ae -Ag = = idet DA = a& Vi sar saledes, at f tilfredsstiller differetial-

264 Mat. 1" MA 5.5 ligige, hvis og ku hvis Dg = eao, altsa g = B + e, hvor e er e kompleks kostat. L sigere er saledes etop f'uktioere (B + e)e- A Dermed er sretiges f rste pastad bevist. De amde f lger helt umiddelbart. Speeiel t far vi for b = 0, at de homogee differetiallig' ig X, + ax = 0 har l sigsmregde fee-ale E ~I, hvor A er e stamfuktio til a. Dette ville vi fa ved f lgede rrekke af ikke helt korrekte omformiger X, + ax = 0, X' X = -a, (loglxl)' = -a loglxi = -A + e 1 X + -A+ei -A = e = ce. Sretig 5.1 har aaledes legaliseret dee regemetode - me det gar selvf lgelig ikke a at srette logiske rekvivalesteg mellem ligigere" Efter at de homogee ligig X' + ax = 0 er l st, ka vi -A l se de ihomogee ligig X' + ax = b ved at pr ve med ue, hvor u er e ubekedt fuktio. Derved fas etop ligige Du = e +Ao til bestemmelse af u. Eksempler. Ligige X, - X = 0 har l sigsmregde fe exle E ~I fe exle E RI. For at l se ligige og de reel Ie l sigsmregde X I - X = e X pr ver vi med u ex og far Du = 1" u = X + e, sa l sigsmregde

265 Mat MA 5.6 bliver f(x + c)exlc E: CJ. Det er ofte let at grette e l sig til e differetialligig, og hvis vi ka grette e l sig, ka vi udytte vort kedskab til l sigsmregdes form ved bestemmelse af dee. Eksempler Xl - X = x. Vi pr ver at idsrette fuktioe -x pa vestre side, og vi far da resultatet x - 1. Derved kommer vi pa sporet af l sige -x - 1, og l migsmregde bliver f- x cexlc E: CJ. Vi lregger mrorke til, at a,lle l sigere til de betragtede differetialligiger ek$isterer pa hele det iterval, hvor a og b er kotiuerte. Det er klart, at ehver restriktio af e l sig til et deliterv~ ige bliver e l sig, me det er rimeligt ikke at tage sadae restriktioer med, ar vi agiver l sigsmregde. Af sretig 5.1 fas helt umiddelbart f lgede sretig: Sretigg 5.2. De homo gee differetialligig X' + ax = 0, hvor a : I id i C er kotiuert har ulfuktioe som l sig (ull sig), og for aile adre l siger grelder det, at de ikke atager vrerdie pa itervallet 10 Edvidere har vi f lgede sretig: retig 5.3. Lad I ~ R vrere et iterval og lad a,b:i id i C vrere kotiuerte ~ildiger. Lad Xo E: I og Yo E: C vrere vilo, karlig valgt. Da har differetialligige Xl + axijetop e l s~ igsfuktio f? der tilfredsstillei' betigelse f(x o ) = Yo' Bevis. L sige

266 Ma t. 1, MA 5.7 tilfredsstiller de stillede betigelse, hvis og ku hvis altsa hvis ~g ku hvis de komplekse kostat char vrerdie Dermed er sretige bevist. De i sretig 5.3 omtalte l sig kaldes de ved begydelsesvrerdiere (xo,y&) bestemte partikulrere l sig. I matematikkes avedelser i fysik~ kemi, tekik etc. far ma ofte brug for a~ bestemme e partikulrer l sig til e differetialligig pa grudlag af give begydelsesvrerdier. Eksempelft Et radioaktivt stof $ derdeles med e hastighed, der er propertioal med de forhadevrerede stofmregde. Er dee m gram er redrigshastighede ~gram/s:ekud aaledelb; lig med - km gram/sekud, l:vor k er e positiv kostat. Lad os atage, at stofmregde er mo gram pa tidspuktet t = o. Opgave er da, at fide de l sig til differetialligige t =0 har vrerdie mo. L sigsmregde bliver -kt de s gte l sig bliver derfor m = moe dm dt + km = 0, som for fce-ktlc E ttl, og Af sretig 5.1 far vi ogsa f lgede sretig, der i vrigt ikke vedkommer differetialligigsteorie, me som har e vis selvstredig iteresse: C \ f 0,1 vrere e differetiare 1 fuktio. Der fidee! da e differe~iabel ~retirg 5.4. Lad I ~ tt vrere et iterval, og lad f : lid i fuktio g : lid i t, saledes at f = e g Bevis. Fuktioe f er e l sig til differetialligige X I - ~ X 0 f =.,

267 Mat. 11 t MA 5.8 og de ka derf'or skri yes pa forme c e A ~ hvor A er e s tamfuk. f' tio tj.i :r-' Me da c=/:o, ka c skri yes pa form e e c 1 ~ far derfor f = e A + C1 Dermed er sretige bevist. og vi Fuktioe : i sretig 5.4 kaldes e kotiuert logari tme til f'. Der fidef, uedelig mage forskellige kotiuerte loga, ri tmer til f, err:lig aile fuktioere g + 2P1T i ~ hvor'p E Z. Sretig 5.4 bevar'er si gyldighed, hvis vi begge s teder redrer It diff'ere tiabel" til "ko tiuert", me dee mere geerelle pa - stad ma vises VEd helt adre metoder. Llad I ~ R vajre et iterval og a1~ao~b afbildiger. Differetialligige lid i C kotiuerte ka da l ses ved hjrelp af Eretig 5e1~ efter at vi har divideret igeem med ai' Hvis a 1 har ulpukter, vii sretig og dermed sretig 5.3 kue avedes pa hvert af de itervaller~ i hvilke ulpuktere for a 1 deler I. Sretig 5.3 vii sredvaligvis ikke grelde, hvis Xo er et ulpukt for a 1 Eksempler~ Differetialligige 2 x X' + X = 1 har l sigsmregde C E OJ. Ku fo~ c = 0 fa~ e l sig, der er defieret f'or x = O. AIle adre l siriger har grresevrerdie 0 f'ra vestre i puktet O~ medes des umeriske vrerdier gar mod 00, ar x gar med 0 f'rat h jre" Differetialligige cos x Xl + si x X = 1

268 Ma t. 11, har l sigsmregde f si x + c cos x ICE: t 1 " Her er samtlige l siger differetiable afbildiger af Rid i t, me hvis x er et ulige multiplum at t 1T, atager samtlige l siger &aidme vrerdi~ og begydelsesvrerdier (x o 9 Yo)' hvor Xo er et ulige multiplum af ~.1T' vii derfor ikke bestemme e partikulrer l sig.. Vi ViiI u ga over til a;t studere to samueh rede lierere homo gee differetialligiger med to ubekedte fuktioer, altsa et system (2) Xl = a 1 X + b 1 Y y' = a 2 X + b 2 Y hvor a 1 :b 1,a 2 og b 2 er kotiuerte afbildiger af et iterval I c; Rid i de komplekse tal 9 At et fuktiospar (f,g)~ bildiget' af et iterval Ii C; at hvor f og g er differetiable a1' er et l0sigspar~til (2) I id i de komplekefe talybgtyder Itervalle,t Ii kaldes defii tios::itervallet for l sigsparret (f,g). For to l sigspar (1' 1,g1) og (f 2,g2.) med samme defiitiositerval Ii C; I idf rer vi l sigsparrees determiat (4) 6. = L sigf1parrees c'.etermiat afhreger at' parrees rrekket' 19(\:l:;, idet

269 Mat. 1, MA 5.10 de skifter forteg, ar parree byttes.u Sreti~ 5.5. Hvis determiate for to l sigspar ikke er idetisk 0, vii de overhovedet ikke atage vrerdie O. Bevis. Ved differetiatio af determiate (4) far vi, idet (3) grelder for begge l sigspar, at 6' == f'1 g2 + f 1 g' 2 - f' 2g 1 - f 2 g ' 1 == (a 1 f1 + b 1 g 1 )g2 + f 1 (a 2 f 2 + b 2 g 2 ) - (a 1 f 2 + b 1 g 2 )g1 - f 2 (a 2 f 1 + b 2 g 1 ) == L sigsparrees determiat er saledes e l sig til differetialligige og pastade f lger derfor af sretig.5~2. Dermed er sretige bevist. Dei; lader sig ikke g re at opskrive l sigsmregde til (2) pa ligede made som for de ekelte lierere differetialligig at' f rste orde" Det ka faktisk vises, at l sig af systemet (2) ikke ka reduceres til edelig mage stamfuktiosbestemmelser. Vi ka ~_midlertid bevise 9 at der fides l siger til (2), idet vi har f lgede stig: ~El: Ligigssystemet (2) har to l sigspar med I s,om defiit:'ositerval og med determiat forskellig fra ul. Bevi$~ Vi vrelger Xo E I vilkarligto Vi defierer to f lger (~) og (~) af a~bildiger ~~ ~ : lid i O~ idet vi sretter ~o = 1, ~o = 0 og rekursiv.t for E N

270 Ma t IVIA 5. iii ( 5) CP+1 (X) = JX (a (t)p (t) + b 1 ( t)ifl ( t) ) d t X 11 0 ifl + 1 (x) = JX (a 2 ( t)cp (t) + b 2 (t)ifl (t))dt. x For E ~ har vi da relatioere 0 La u [a,~] ~ I vrere et begrreset~ afsluttet deliterval~ som ideholder xo. If lge e sretig fra gymasiematematikke er de kotiuerte fuktioer a 1 11b 1,a 2 og b 2 begrresede pa [a,~], ka derfor vrelge et positivt tal M, saledes at og vi Vi pasii;;ir u, a.t dette medf rer, at vi for = 0 v E N og for aile x E:: [a,~] hat' vurderigere Dee pastad vises ved iduktio efter. For = 0 er vurderigere abebart rigtige, og hvis (7) atages opfyldt, far vi ved hjrelp af (5), at x I cp + 1 (x) I ~ I J I a 1 ( t) cp ( t ) + b 1 ( t ) ifl ( t) I d t f ~ Xo og arialogt for lifl (x) I" Dermed er iduktiosbeviset geemf rt. Af (6) og (7) f l~er u) at vi for E N og x E [a11~] har vurderigere

271 Ma t 0 1, -I Af s<btig 2.42 f01ger u, idet vurderigere (7) viser, at del kovergete rrekke ((2M~1-a))) er majoratrwkke for rrekkere (~) ( 2M({3-cx) )-1 og (f ), og at de kovergete rrekke (2M (-1) i ) er majoratrrekke for rrekkere (~I) og (~')' at rwkkere (~)' (~)9 (~') og (~' ) aile er ligelig kovergete pa [a,f3j. Itervallet [cx,f3j var et vilkarligt afsluttet, begrwset deliterval af I, som ideholdt x 9 o liseli~t og vi har derfor vist, at de fire rwkker kovergerer pa ethvert afsluttet begrwset deliterval af I. Dermed har vi specielt vist, at de fire rrekker kovergerer i ethvert puld af I. Vi sret ter idet ~o og ~o er kostate, f'ar vi if lge sretig 2.42 og (6), at f' = ~ ~ I = a 1 ~ ~-1 + b 1 ~ ~-1 = a 1 f1 + b 1 g 1 1 =1 =1 = g I = ~ ~ I = a 2 ~ ~-1 + b 2 ~ ~-1 = a 2 f1 + b 2 g 1, 1 =1 =1 =1 hvillwt viser, at f1 og g1 er l siger til (2)0 Af (5) f lger, at ~ (x ) = ~ (x ) = for E N, og vi har derfor o 0 Vi gelti1emf rer u ordret de samme kostruktio med de ee wdrig, at vi begyder med ~ = 0, ~ = 1, og vi far derved et ao 0 det 10sigspar (f 2,g2) med f 2 (x o ) = 0, g2(x o ) = 1. Sa bliver 6(x ) = f 1 (X )g2(x ) - f 2 (x )g1(x ) = 1:; og l sigsparrets detero miat er derfor ikke idetisk 0 0 Dermed er s tige bevist. 8retig 5.7. Hvis (f 1,g1) og (f 2,g2) er l sigspar til (2) og c 1,c 2 er vilkarlige komplekse tal, er

272 Mat. 1, MA 5.13 et l sigspar til (2). Bevis. Det ses umiddelbart ved idsrettelse i ligigere. Det er u heldigt, at sretigere 5.6 og 5.7 i virkelighede giver os all l sigspar til ligigsystemet (2). Dette fremgar af de f lgede sretig: Sretig 5.8. Lad (f 1t g ) og (f 1 2,g2) vrere l sigspar med fra ul forskellig determiat 6 til ligigssystemet (2). Lad F,G : I id i t vrere kotiuerte fuktioer. Lad A11 og A2 vrere stamfuktioer til 1 (Fg 2 - Gf Z ) o~ t(gf 11 - Fg 1 ). Det ihomogee lierere differetialligigssystem X, = 1 X, = 2 a 1 X + b 1 Y + F a 2 X + b 2 Y + G har da l sigsmregde Bevis. Fuktioere f 1,g1,f 2,g2 og derfor tillige 6 = f g f 2 g er differetiable pa I og vrerdimregde 6(I) ideholder ikka O. Lad f,g : lid i t vrere differetiable fuktioer. 1 Der eksisterer da differetiable fuktioer u,u 1 2 : lid i t, saledes at vi har (10) u 1 f 1 + u 2 f 2 = f u 1 g 1 + u 2 g 2 = g. L sig af ligigere med hesy til u 1 og u 2 giver emlig

273 Mat. 1, MA 5.14 og da 6 ikke atager vrerdie O~ er disse udtryk virkelig differetia'jle fukti'jer pa I. Vi idsretter u f og g i ligigere (9), idet vi udytter (10) og beytter, at (f 1,gt) og (f2~g2) er l si,:?;spar til (2). Derved far vi ( 11 ) U 1 f 1 + u 2 f 2 = F u 1 g 1 + U 2 g 2 = G. Altsa er (f~g) eb l sigspar til (9), hvis og ku hvis u 1 og u 2 tilfredsstiller (11), altsa hvis og ku hvis u 1 ' -- +(. ';'I.ig 2 - Gf 2 ), u' - l(gf - Fg ) u. 2.-6, 1 l' hvilke'~ er esbe-tydede med~ at der eksiaterer komplekse kostater c19c2, saledes at u 1 = Ai + c 1 ' U 2 = A2 + c 2 Dermed er sretige bevist. ~tigg 5.90 Determiate 6, til to l sigspar (f 11,g1) og (f 2,g2) til (2) bliver 0 9 hvis og ku hvis et af l sigsparree fas ved at multiplicere det adet med e passede kostat~ Bevis. Af sretig 5.6 ~ lger, at (2) har l sigspar (f 1,g1) og (f 2,g2) med fra 0 forskellig determiatw Af sretig 5.8 f lger derrest, at to vilkarlige l sigspar til (2) har forme sa determiate bliver L sigsparret har aj.ts.a determiat 0, hvis og ku hvis c 11 c 2 - c 2 ci = 0, altsa hvis og ku hvis talparree (c 1 'c 2 ) og (c,c~) er propertioale" Dermed har vi bevist "ku hvis ll o Vi 1

274 Ma to 1" MA 5015 bema31>ker~ at "hvis" er helt trivjelt$' idet det erklartll at pro ' port},o llalc; l si gspal' har determiate 0., D:3 '7reS81rGl!_gote vaskelighed ved udvidelse af de forega - ede I' 3sul ta tertii diff'eretialligiger med ubeked te er ~ at vj Lkke edu hal' determiater med s jler og rrekker til I'adiE:h,::;do Dette vii del' im:ldlert:i.d j. arets 1 b bli ve radet bod pa i f')relresig:m over algebra og geometri ~ DerefteI' vii sel ve udvic:,e Lse af sre tigere t.il ligiger med ubeked te iklce fremty 1e revevre c>dige vaskeligheder, Det er edda sa heldigt ~ at ;:;t,)p det la~e bevis for sretig 5,,6 helt umiddelbe.rt lader sig ge:leralisere) hvorimod geeralisa tioere a:f 8.':at:igere 5.5 og 5.8 kmeve::> ekelte hjrelpemidler., I forskellige specielle tj.lfrelde ka l sig af to liece:l"'e differcmtiallibllger med to ubeke::ldte reduceres til l sig af to' ligrere dif:ce:c"e tialiigrdger af 1' rs te orcte med hver e ubekedt" Vi vjl blot omtale lj_gigse,ystemet ( 11 ) hvor a jk er kompleli:3e t81~ mede8 C{JJ f1.~ f2 tiuer'te f'ukttoer pa et :i.tei'y8.1 I., Vi idf rer e ;v ubeked t i'u.ktio lid i (12 ) Y' - u,x 1 + P2x 2".. 'II'.. -" hvor J?1 og P2. or kom:9lelme tals S:Jlll I.d seere C er koyil vp.alge pb. e passec.e made" V-: f'8.r da ai' (112 ) og (-1'1 L r).t Q~ ~:ll (lx'?,. dt -. P'l d'g + P2 c(e~ ( ( a"i '1 :p 1 + 8,2'1 1'2)z1 -!. ( '".) U. l 2J. -1,I a22j/2 )x 2 )~D (t) + J?'lf"b(t).L P2f 2.(t) ()

275 MA 5.16 Vrelger vi u specielt Pi og P 2 ' saledes at (13 ) a 11 P 1 + a21~2 = APi a 12 P 1 + a 22 P 2 = AP 2, hvor A er et komplekst ta1 9 far ligige forme og bliver saledes e lierer differetialligig af f rste orde, med e ubekedt. Forudsat, at Pi 4 0 og P 2 f 0 er ligigssystemet (11) esbetydede med det system, der bestar af e af ligigere (11) sam t ligige ('114) kombieret med defii tioe (12) af yo Det er klart, at valget Pi = P 2 = 0 er uavedeligt og Pi = 0 eller P 2 = 0 bevirker, 'at ligige (14) bliver idetisk med e af de opridelige ligigero Disse muligheder har derfor ige iteresse.. Af (13) fremgar 9 at Pi: og P 2 er l siger' til ligigssyste- met (15 ) (a 11 - A)Pi + a 21 P 2 = 0 a12p1 + (a 22 - A)P 2 = 0, og det er derfor dvedigt at vrelge A9 saledes at dette ligigs system har adre l siger ed (OsO). Dette idtrreffer, hvis og ku hvis ligigs,systemets determiat er O. Vi ra altsa vrelge a _. A 11 = 0,9 hvilket giver adegradsligige

276 Mat. 1, MA 5.17 (16 ) = o. Nar A er valgt, sa (1i6) er opfyldt, tilt'redsstilles (15) af (Pi,],1;2) = (~1,' A - a 11 ) samt af ethvert talsret, der t'as ved multiplikatio af de~te med vilkarlige komplekse tal. Nar A og (P1~P2) er valgt, ka (14) opskrives og ved l sig at' (14) fas e vis l sigsmregde. For hver l sig y = TJ(t) far vi e relatio P1 x1 + P2x2 = TJ(t). Dee giver x 2 = _p;1 P1x1 + p;1 TJ(t), hvilket idsrettes i de f rste afligigere (11), og dermed bestemmes xi' og derefter ras x 2 af det udtryk, vi etop beyttede. Hvis (116) har to forskellige l siger, far vi to sret vrerdier (A,P1,P2) f'lg (A t,pi,p~p. Ved l sig at' de to dertil svarede t'orskellige udgaver af (14) bes.temmer vi Pi xi + P2x2 og pix1 + P~x2' og xi og x 2 fas derefter ved l sig at' to sredvalige lierere ligiger med to ubekedte. Det ses umiddelbart~ at talsrettee (Pi,P'2) og (pi ~ p~) aldrig vii kue bli ve idbyrdes propotioale. E ulempe ved de her beskreve metode er det, at ligige (16) ka have imagirere l siger, selv om ligigere (11) er reelle, og l sigere fas da pa kompleks form, og det vii evetuelt krreve e del ekstra ulejlighed at sortere de reelle l siger fra. Eksempler. Vi fors ger f rst med ligigssystemet. 2t + s~ Idette tilfrelde bestemmes A af ligige

277 'A 2-3'A - 4 = 0 med r ddere 4 og-1 svarede til (P1 PP 2) = (1,1) og (P1,p~) = (3,-2)e I overesstemmelse hermed adderer vi ligigere og far som giver l sigere ( 17 ) x +x t 3 t. 4 t ;.. = -Sl t cos t - 3sl cos + c 1 1 Sl, c 1 E: v og aalogt fas ved at multiplicere de f rste ligig med 3, de ade med -2 og addere som giver l sigere c - 2 3si t si t e (18 ) 3x 1 2x 2 = 2 cot t - 5cos~ + Ved at l se (t7) og (118 ) fider "Wi 2. 3 t t 2. t 3 t 2. 4 t 5'sl cos' - 1'5sl cos + 3c1 Sl + c 2 5 si t x 2 = ~~~tt - 3cost - ~i3t cos t - ~si t cos 3 t + ~c1si4t 5si t' og dermed har vi fudet samtlige l siger til differetialligigsm~stemet. De reelle l siger fremkommer etop, ar c 1 og 02 er reelle. Lad os derrest fors ge at l se det homogee ligigssystem dx 3~-y ~ _ ~x-y dt = si t' dt - si t

278 Ma t. 1, MA 5.19 Idette tilfrelde bestemme$ A af ligige A2-2x + 1 = 0, som ku har de ee rod A = 1 svarede til (P1,P2) = (2 1-1). Vi far s.aledes ligige It (2x-y) = Si~t( 2x-y) med l sigsmregde f c tg tt ICE C 1 Idsrettelse af e l sig 2x - opridelige ligiger giver y = c 1 1 tg 2t i de f rste af de som har l sigere Edvidere far vi 1 y = 2x - (2x - y) = 2c 1 tg 2t log Vi har saledes fudet de to l sigspar (tg ~ t, 1 2 tg 2 t) og (tg ~t log Itg ttl, 2tg ~t log Itg 1tl - tg ~t). Som et sidste eksempel pa to lierere ligiger med to ubekedte betragter vi systemet

279 Mat., 1, MA '5020 dx dt--x-y+t-11 ~t==x+y+t+1i. Idette tilfrelde bestemmes ~ at ligige med r ddere 1 + i og 1-- i svarede til (P1,P2) lig med (i,i) eller (1,-i). Vi far saledes de to ligiger (119 ) it (x+iy) = (1I+i)(x+iy) + (1+i)t 1 + i ddt (x-iy) = (1-i)(x-iy) + (1-i)t 1 - i9 som har l sigere (20) + iy t (1,+i) t x = c 1, e 2 2 x - iy == - t e(1-i)t c 2 Vi ids.retter og far ved l sig af de sidste ligiger 1 et(c1 + C2 l' c 1, - c2 ) x ::: -t cos it. + si t 2:2 2 1 t c 1 - c 2 c 1 + c e (- :2' cos t si t). 2 "1 Vi idf rer u de ye kostater c + c 1 2 C 1 ' og l sigere ka skrives x 1 t = -t --+ e (c'cos t 2 i. - y =.- 1 t -+ 2 e (c 2 cos t + c 2si t) ci si t)

280 Mat. 11 $ Vi skal kytte et par kommetarer til regigere. Ligigere (19) er hiades kojugerede. De tilsvarede homo gee ligiger er l st rutiemressigt, me bidragee -t ~i er fudue ved at pr ve, om et f rstegradfsipolyomium tilfreldigvis, passer i ligigere. Da ligigere er hiades kojugerede~ ka l sige til de sidste umiddelbart skrives op~ ar de f r~te ligig er l st. Hvis vi sker at opskrive e tilfreldig valgt l sig til hver ligig, ra vi selvf lgelig idf re to forskellige itegra:t,ioskostater~ Idf relse af de ye kostater ci og c~ bevirker etop, at de reelle l siger til ligigssystemet fremkom~ mer, ar kostatere vrelges reelle. Vi vii u ga over til at omtale lierere differetialligiger af ade orde. Teorie for disse ligiger reduceres umiddelbart til de ovefor udf rligt behadlede teori pa grud af f lgede sretig: 8re tigg 5.1,0. Lad ai' a 2 ~ f : I id i l: vrere ko tiuer te pa itervallet I, og lad Ii ~ I vrere et vilkarligt delitervals E to gage differetiabel fuktio ~ : Ii id i l: vii da vrere e l sig til de lierere differetialligig hvis og ku hvis (~,~') er et l sigpar til differe tialligigssystemet (22) X, = y y' = -a 2 X - a 1 Y + f. Hvis (~,~) er et l sigspar til dette ligigssystem, er ~ = ~' og ~ er e l sig til (21). Bev:Ls. Lad ~ vrere e l sig til (2.1). Ved idsrettelse ai'

281 Mat. 1 ~ MA 5r.22 ~ (~,~I) i (22) ses umiddelbart, at (~~~') er et l sigspar. Lad derres t (~,if;) wrere et l sigspar til (22). De f' rste a.f' ligigere (22) giver da, at ~' = if;~ og deref'ter viser de sid s,te ligig~ at ~ er e l sig til (211). Der mea er sretige bevis;t. Ved hjrelp ~ eretig 5.10 ka vi overf re sretigere om sammeh rede lierere dif'f'eretia1lligiger af' ade orde til diff'eretialligiger af ade orde. Hvis ~11 og 'P 2 er l siger til de homo gee ligig er (~1' ~1) og ('P 2, 'P~) l sigspar til det homo gee ligigssystem (24) x' = Y y' = -a X - a Y, 2 1 og l sigsparrets. determiat = kaldes i. dette tilf'relde Wroski-determiate f'or 'Pi og ~2" Af' sretigerrce 5.5 og 5e9 f'ar vi u umiddelbart f lgede s.retig. ~ig Wroski-determiate for to l siger ~1 0g ~2 til (23) er idetisk ul, hvis og ku hvis e af' l sigere er e kostat gage de ad e l sig. Hvis Wrosld-determiate ikke er idetisk ul, atager de overhovedet ikke vrerdie ul. Yderligere f'remgal'" det af' beviset f'or sretig 5~.5~ at Wroski- determiate er e l sig til dif':feretialllgige x' + a 1 X = Oe

282 Mat" 11, MA 5~23 At: sretig 5.6 far vi eksistessretige: Ieti~ 5.11:2. Ligige (23) har to l siger med defiitiosllterval I og med fra ul forskellig Wroski-determiat. A~ sretig 3.8 far vi edelig f lgede sretig om l sigsmamgde21. til (21,): 8mtig Lad <P1 og <P2 vrere l siger med fra ul forskellig Wroski-determiat 6. til ligige (23). Lad A1 f CfJ2 f' <P1 vrere Ea'camfuktioer til - l sigsmregde og A2 --z;-'og -X-0 Ligige (21;) har da DE. vi ikke har e rutiemressig l sigsmetode til radighed s er yi for det mee.te hey,ist til at bestemme l siglb:ljilregde ved lidt systemll3l.tisk gretteri" Vi vii dog f' rst se pa et par speciel Ie tilfrelde, hvor gretteriet ka udgas. F rst bemrerker vip atvi i det specielle tilfrelde p hvor ligige har kostate koefficieter~ ka l se det tilsvarede system af to ligiger med to ubekedte, og gretteri bliver saledes overfl digt. Det er imidlertid lettere at beytte de f lgede to sretiger. 2 ~tig Lad x + ax + b vrere et adegradspolyomium med r dder a og ~o Hvis a f ~ har de hom 0 gee dif'f'eretialligig X" + ax' + bx = 0 l sigsmregde Hvi s a -- ~, har dif'f'eretialligige l sigsmregde BeviS Det ses direkte ved idsrettelse, at e ax og ~x er l siger. For a ~: ~ er ige af disse l siger e kostat

283 Mat. 1 ~ MA 5.24 gage de ade, og det f lger derfor af sretig 5.13, at l sigsmregde etop er de af rte. I tilfreldet a = ~ er a = -2a, b = a2~ og direkte idsrettelse viser, at x e ax i dette tilfrelde er l sig, og vi ka derefter rresoere som i det f~regaede tilfrelde. Sretis Lad x 2 + ax + b vrere et adegradmpolyomium med reelle koefficieter. Hvis polyomiet har to forskellige reelle r daer a og ~9 har differetialligige X" + ax' + bx = 0 de reel Ie l sigsmregde Hvis polyomiet har e reel dobbeltrad a9 har differetialligige de reel Ie l sigsmregde Hvis polyomiet har de idbyrdes forskellige komplekse r dder - ~a + iy og - ~ - iy, har differetialligige de reelle l sigsmregde 1 - -ax 2 f e (C 1 cos yx + c 2 si yx) I c 1, c 2 E: f{ 1. Bevis. I de to f rste tilfrelde fremgar resultatet umiddelbart af sretig I det sidste tilfrelde giver sretig 5.14, mt e ilkarlig kompleks l sig har forme (~ ~+iy)x (- ~a-iy)x c 1 e' + c 2 e = 1 - -ax e 2 (c 1 (cos yx + i siyx) + c 2 (cos yx - i siyx)) = 1-2'ax e ((c 1 +02)cOS yx + i(c 1 - c 2 )si yx), hvor c 1 og c 2 er vilkarlige komplekse tal. Resultatet bliver e

284 Mat. 1, reel l sig, hvis og ku hvis C 1 + c 2 = c 1 ic 1 - ic 2 = c~ er reelle tal. Hvis c 1 og c~ er vilkarlige reelle tal, ka c 1 og c bestemmes, sa disae ligiger grelder. Dermed er sretige be 2 vist. 2 Eksempler. Da polyomiet x ~~fferetialligige x" - 1 har r ddere 1 og -1, har - x = 0 l sigsmregde x -x '" 2 f c 1 e + c 2 e I c 1 ~ c 2 v J. Da x - 2x + 1 har 1, som dobb el trod~ har dif.feretiall:igige X" - 2X' + x = 0 l sigsmregde f (c 1 x + c 2 ) ex I c 1 '~2 E ~ 1. Da polyomie t x har r ddere i og -i, har differet:i.alligige X t I fc1cos x + c 2 si x/c 1 ~c2 E ~1. + X = 0 de reelle l sigsmamgde Hvis c 1 og c 2 er reelle tal, som ikke begge er 0, eksisterer der altid et posi~ivt tal c og et r~elt tal ~, saledes at c 1 = c cos ~, c 2.- c si ~, og vi far da omskri vige "'De sidste af de j. sretig 5.15 af rte l sigsmregder ka derfor ogsa--skriy~eis pa forme - -~. 1 " " ax fc e 2 eos(')'x - 1>-1Ic. [O,co[~q> ~1. Dee skri vemade :foretrrekkes ofte i de fysiske og tekiske avedelser. E l sig af de af rte form kaldes e drempet svigig, og ~ kaldes drempige (ma taler evetuelt om egativ drempig). St rrelse ')'X - q> kaldes fase, og q> kaldes fasekostate. Hvis a og b er kos.tater, og f lid iter e fuktio

285 Mat. 11, MA 5.26 pa et iterval I, l ses differetialligige X I I + ax I + bx = f ved, at de tilsvarede homo gee ligig f rst l ses ved hjrelp af sretig 5.14 eller 5.15, og de ihomogee ligig l ses derefter ved hjrelp af sretig 5.13~ I mage tilfrelde er det dog lettere at bruge lidt systematisk gretteri. De f lgede bemrerkiger er met som e vejledig i dette gretteri. Hvis f er et polyomium, har de ihomogee differetialligig e l sig, som er et polyomium at samme grad. Eksempel. Vi vii l se ligige Xl I + X, - 2X = 4x 2 + 2x - 7$ 2 Polyomiet x + x - 2 = 0 har r ddere 1i og -2~ og de homo gee ligig har derfor l sigsmregde Vi idsretter _2x 2 i ligiges vestre side og far 4x 2-4x - 4. Det er 6x - 3 "for lidt tl Vi idsretter -3x og far 6x - 3. Altsa 2 er - 2x - 3x e l sig~ og l~igsmregde er De reelle l sigsmregde fas ved a,t skri ve :R istedet for C. Hvis f(x) har forme p(x)e ax $ hvor p(x) er et polyomium har de ihomogee differetialligig e l sig af de samme form Hvis e ax ikke er l sig til de homo gee differetialligig 1 har det polyomium~ der idgar i l sige have samme grad som P(X)e Hvis e ax er l sig til de homo gee differetialligig ra polyomiets grad vrelges 1 h jere, og hvis xe ax ogsa er l s-

286 Ma t. 1, ig til de homogee differetialligig ma polyomiets grad yderligere forh jes med 1. Eksempel. Vi vii l se differetialligige x" - 4X' + 4X = (x + 1)e 2x 2x 2x De homogee ligig har l sigere e og xe Vi pr ver der - for at idsrette x 3 e 2x i vestre side og far Vi idsretter x 2 e 2x i vestre side og far 8 x 2 e 2x - 8 x e 2x + 4 x 2 e 2x = 2e 2x Det fremgar heraf, at de ihomogee differetialligig har l s-, (-6 1 x 3 1 2) 2x I.' d bl' lge + 2x e,og ~slgsmreg e lver Hvis f(x) har forme eax(p(x)cos x + Q(x)si x), hvor P og Q er polyomier, har de ihomogee differetialligig e l sig af samme form, me med polyomier hvis grad er lig med de h jeste af gradere for P og Q og edda 1 h jere, hvis eaxcos x og eaxsi x er l siger til de homogee differetialligig. Det vii evetuelt vrere fordelagtig$t at udtrykke cos og si ved ek~poetialfuktioer f rst. Eksempel., Vi vii l se differetialligige De homo gee differetialligig har l sigsmregde f c 1 cos x + c 2 si x I c 1 ' c 2 E: t 1, og excos x er saledes ikke l sig til de homo gee ligig. Vi idsretter excos x i ligiges ve-

287 Mat. 1, stre side og ~ar x e cos x - 2 e x Sl. x - e x cos x + e x cos x = x e cos x 2 x. e Sl x. Vi idsretter exsi x i ligiges vestre s.ide og ~ar x. r) x x. x. e Sl x + ~ e cos x - e Sl x + e Sl x = 2 x x. e cos x + e Sl x. Det fremgar heraf, at 1 ex(cos x + 2 si x) er e l sig til 5 de horogee differetialligig, og l sigsmregde bliver der- ~or Hvis ~(x) er e sum af ~lere led, ka gretteriet bekvemt geemf re$ for hvert led for sig~ F lgede sretig giver os mulighed f~r at ~ide ~rem til flere differetialligigstyper~ der ka l ses eksplicit. Sretig Lad g : I id i R~ hvor I er et iterval, vrere e l sig til differetialligige X" + ax' + bx = f~ hvor a,b : I id i R er kotiuerte afiildiger. Lad <p : 11 id i I, hvor 11 er et iterval, vrere e to gage differetiabel fuktio. Hvis differetialkvotiete <p' ikke atager vrerdie 0 pa itervallet I, og hvis' <p" er kotiuert, vii de sammesatte ~uktio g 0 <p : Ii id i R vrere e l sig til di~~eretialligige X I, + AX t + BX = F ~

288 Ma t. 11, hvor A, B, F : Ii id i R er de ved A(t) = a(~(t))~'(t) - ~ B(t) = b(~(t)(~'(t))2 F(t) = f(~(t))(~'(t))2 defierede afbildiger. Bevis. Vi sretter x = ~(t)g altsa g(x) = g(~(t)) = h(t). Krederegle for differetiatio af e sammesat fuktio giver da h'(t) = g'(x) ~'(t) og ved foryet avedelse far vi, at g'(x) har differetialkvotiete g"(x) ~'(t) med hesy til t, og ved regle om differetia tio af et produkt far vi derfor h"(t) = g"(x) (~'(t))2 + g'(x) ~ti(t). Ved l sig af de to ligiger far ~i Da g er e l sig til de opridelige ligig, er g't(x) + a(x) g'(x) + b(x)g(x) = f(x). Ved idsrettelse af x = ~(t) samt de fude udtryk fas hvilket etop viser, at h tilfredss,tiller de i sretige af rte ligig~ Dermed er sretige bevist.

289 Mat. 1, MA :;( 3:) F:)r cp( t) = loglat fas speciel t. cp'(t) a -- ~~p cp"(t) at + f3 Hvis g er l sig til diffei'etialligige (25) X I I -I- ax I + bx = f!> er g 0 cp saledes e l sig til X" +.L~+11g. X I a t+(3 eller pamere sj.ct'evet Her er diff'eretia tioere med hes;)rll tjl to Ligige (26) l ses ved at l se (25) og srette x == loglat -I- f31 i resultateto For cp(t) = Arctgt fas cp'(t) 1 - '~---"2' 1 + t cp'!(t) og hvi s g er e l sig til (25), er g 0 cp e l s::lg til hvilket ogsa ka skrives 2 2 (11 -I- t ) X 1 I -!- (a + 2 t) X! + bx == f (Arc tg t) (l Dee ligig l ses altsa ved alt l se (25) og srette x == Arctg t~ For cp(t) == Arc si t fas ", (, ) cp I I, 'G

290 Mat.. 1 s og (25) gar i dette tilfrelde o'ver i ligige der altsa l ses; I]ed at l se 25 og srette x :::: Arc si to Det skal dog bemrerkes.9 at selvi i tilfreldet a :::: 0, f :::: 0, ka metode ku forvetem at give e l sig i itervellet J-1,1[~ Eksempler. Ligige er ligige (2.7) med a "'., 0 9 b :::: 1. Ligige x't -I- X :::: 0 her 1<7 s1.igere C,)S x og si x, sa de gi ve ligig har l siger - e c02(arctg t) o~ si(arctg t), hvilket reduceres til og L sigl3mregde b '~i ver derfor Ligige f) (1 - t L. ) X' t - tx' + X :::: 0 er lig:.ge (2.8) med e :::: 0, b :::: 1, og de her derfor l sigere si(arc si t) og cos(arc si t) eller t og V(1 - t 2 ), og l sigsmregde bliver derfor pa itervellet J~i ~1 [Q Det er u merliggede at grotte PEt, at

291 Mat. 1, MA 5.32 l sigsmregde pa ]-oo~-1[ og J1,oo[ bliver og e pr ve vii vise 1 at dette faktisk slar til. Ekelte adre valg af ~(t) vii ogea f re til gaske pree differetialligigstyper, me i det store og hele har metode rige betydig. Differetialligige (26) kaldes Euler's differetialligig. I litterature omtales i regle ku det specialtilfrelde, der svarer til a = 1, f3 = o. Det idtrreffer ret of to, at ma ka grette e l sig til e lierer homoge differetialligig af ade orde. Vi skal derfor om tale e fremgagsmade, der ka beyttes til bestemmelse af l sigsmregde, ar e l sig er kedt. Vi vii a~t8a atage, at differetialligige X" + ax' + bx = 0, hvor a, b : lid i Char e l sig ~ : lid i C forskellig fra UI1 sige. Vi vii eta fors ge at bestemme e fuktio u : lid i C, sfiledes at u ~ er l sig til differetialligige~ Idsrettelse giver ~u" + 2cp 'u I + ucp' I + a~u' + au~' + bu~ = o. Da ~ e1' l sig til differetialligige" reduceres dette til hvilket viser, a.jj u' EH' l sig til ~X! + (2W' + a~)x = o. L s1g af dee ligig givei'

292 Ma t. 1, MA 5.33 U I = C hvor c er e vi:.karlig kompleks kostat og A er e stamfuktio til a~ Vi bemrerker, at de fude fuktio ~u er defieret i de delitervallet af I, hvor ~ ikke har ulpukter. Pa hvert at' dis.se itervaller far vi saledes l sigsmregde + c 1 ~ Ie, c 1, E C J Metodes ufuldkommehed er ikke srerlig geerede i praksis. Vi ved jo, at l sigere er fuktioer, defierede og to gage differetiable pa h~le I. Desude ved vi, at ~ og ~ = u~ har fi'a 0 forskellig Wraski-determiat, sa ~ og ~ har ikke frelles ulpukter, og sa ka u = t ikke vrere defieret, hvor ~ ~ atger vrerdie O. ligig Eksempel. De i vort rermest foregaede eksempel betragtede har l sige Xs der let fides ved gretteri. Idsrettelse af ux giver ligige sa u ' er l sig til ligige som har l sige 1 -r 2" x \/11, - x 1

293 MA 5.34 Vi far altsa u som e stamfuktio til dette udtryk. pa itervallere ]-1~0[ og JO~1[ far vi J dx 2 ~v( 1 :x 2 ) x x/( 1- x ) '" f\d 1 ; x 21 dx + J--2illL- rv F(:;,d dx - Jd v( :-x~) fl(i;~:). dx _i(i-x 2 ) - x X X JV(1-~2.L dx IV og i dette iterval har differetialligige derfor l sige V(1-x2.), og l s':ligsmregde fcix + c2.v(1 - x2)lc1.~c2 E OJ. Pa iteryallere ]-e>o, -ii[ og J1, e>o[ gar itegratioe gaske 8Jllalogt. Det ra idr mmes, at de metode, der her er beyttet til bestemmelse af 13tamfuktioe til x- 2 vi1,-x 2, i oge grad er ispireret af vor forhadsvide om resultatet. For et ligigssystem X' ::: y' ::: a 1 X + b 1 Y azx + b 2 Y fides der e gaslce tilsvarede ra tode til bestemmelse af l sigsmregde, ar e l sig er kedt. Det er imidlertid svrerere at grette et l sigspar til systemet ed at grette e l sig til e differetialligig af ade orde. Det vii der~or ofte vrere fordelagtigt at elimiere e af de ubekedte. Det ka vi g re ved at l so de f rste ligig pa foroo (2.9) hvilket ved differetiatio giver (30) 1 b 1 a 1 a 1 b 1 - a 1 bi y' ::: --X!' - (~ + -l)x' - 2 x. hi b 1 b 1 b 1

294 Ma.t 0 1, MA 5.35 NAr disse udtr~c idsrettes i de ade ligig i systemet, fremkommel' e liea31' diff8retialligig af ade orde med X sam de eeste ubekedte fuktio. Derefter bestemmea Y af (29). Det ses, at ulpuk',~ere for fuktioe b 1, vii vrere geerede, me. i itervallere mellem ulpuktere giver metode etop l sigsmregde for ays;temet. Vi har emlig s rget for, at de fude l sigspar tilfredss:tiller (30), sam er rekvi vale t med de f rs te ligig i systemet, og af (29) f lger (30), hvilket medf rer, at, de ade ligig i systemet er opfyldt, da idsrettelse af (29) og (30) etop giver de ade ordes differetia:j.ligig~ der tilfrdsstilles af' Xo Vi mider om, a,t l sigsmregde til et system x' = a i X + b 1 Y + F y' = a 2 X + b 2 Y + G if lge; sretig 5.8 ha;,r forme hvuar c,etermiat.e CfJ1tj;2- - CfJ2tj;1, ikke atager vrerdie O. Heraf f lger, at der til et givet t81.lsret (to'xo'yo)' hvor to tilh rer, defijtiositervallet for a 1,b 1.a 2,b 2, F og G, svarer etop et l sigspar (CfJ,tj;) med CfJ(t o ) = xo' tj;(t o ) = Yo' emlig det l sigspar, der fas ved at vrelge c1 cg c 2 sam l siger til f(t o ) + c1cfj1(to) + C 2 CfJ2-(t o) = xo g ( to) + c 1 tj; 1, ( to) + c 2-tj; 2( to) = Yo' og disse ligiger har fra ul forskellig determiat. Dette er begydelsesvrerdiproblemet for et system af to lierere differe~ tialligiger af f rste orde.

295 MA 5.36 Resultatet overf res umiddelbart til de lierere ligig af ade orde X I' + ax I + bx = f,, er et givet talsret, fides der etop e l sig ~ til differetialligige, som opfylder betigelsere ~ (x o ) = Yo og ~'(Xo) = Zo < I e fysisk fortolkig ka x = ~(t) opfattes ~om e fremstillig af e partikels bevregelse pa e ret liie~ og differetialligige udtrykker da, at de kraft, der frembriger partikles bevregelse er - a - bx + f multipliceret med partikles masse og med e eheds~ektor ~ i de rette liies retig, idet veer ~atikles hastighed. At begydelsesvrerdiproblemet har et- ; op e l;zlsig betyder, at partikles bevregelse er bestemt i al fremtid, ar det er givet9 hvor de starter, med hvilke hastighed og til hvilket tidspukt. Krafte afhreger af sted, tid og hastighed. Det er rerliggede at fors ge at fastlregge e l sig ~ :: Y1,' differetialligig ved et sret af krav af forme ~(x1) ~(x~) = Y2- Dette wil ogsa f re til bestemmelse af kostatere ved l sig af to ligiger med to ubekedte, me i dette tilfrelde har vi ige garati for, at ligigere far frat ul forskellig determiat. Determiate bliver ul, hvis og ku hvis de homogee 1i gig har e I sig ~, til som ikke er ull sige, og $.om '. tilfred3stiller b~tigelse ~(x1) = ~(x2.) = O. Flere af de behadlede ek3empler afsl rer, at dette virkelig ka fide sted. E mere idgaeie diskussio af disse sp rgsmal har betydelig iteresse, me vii f re for vidt her. La'! I ~ R vrere et iterval, og lad a, b lid It R vrere

296 Mat. 1 ~ MA 5.37 kotiuerte afbildiger. Ved q;g = gt t + ag f + bg defieres e ai'bildig q; de f rste tre sider). Afbildige q; kaldes e lierer differ etialoperator af ade orde. Vi skriver ogsa 2 0 q; = D + ad + bd : e 2 ( I, t:) id i C( I, t:). (Se kapi tel LI_, eller q; = D2 + ad + b, hvilket dog ofte vii kue misforstas. Lierere differetialoperagorer af f rste orde og af h jere ordeer defieres aalogt. Hvis q : lid i t: har kotiuert differetiaikvotiet~ de Iierere differetialoperator af f rste orde er e afbildig af e1(i~c) id i C(I,C) med de egeskab, at delmregde a2(i~c) afbildes id i e1.(i,c). Hvis p : lid i C er kotiuert og ~ beteger differetialoper~tore o ~ = D + pd har det derfor meig at betragte de sammesatte afbildig y 0 q; : e 2 (I,C) id i C(I,C). For f E e 2 (I,C) far vi q;f = f t + qf, altsa (~ 0 q;) f = f t t + q t f + qf t + pf t + P q.f ::: ftl + (p + q)ft + (pq + qt).f~

297 Malt. 1, hvilket viser~ at Sammeswtig at' to differetialoperatorer af f rste orde giver saledes e differ8tialoperator af ade orde..wt.,i,a 5$17. Lad cp : I id i C, hvor I er et iterval~ vwre e l sig til differetialligige ( 32 ) X I t + ax I + bx = 0 9 hvor a 9 b : I id i C er kotiuerte afbildiger. Hvis cp ikke atager vwrdie 0 pa itervallet I9 er 2 0 (()I 0 I 0 D - + ad + bd = (D + (a + ;t;;--)d ) 0 (D - L D ) r I cp Bevis. Vi aretter p = a + ~ 9 <'P cp stade vwre vist, hvis det lykkes os at vise, at pq + g' = b. Udregig giver q = - ~. I f lge (31) vii pa- pq + q' = -(a + cp) L cl..._ P. P. " - cp, 2 cp,2 p. = ~+ ap'~ b cp p', + a<p, + bp' b. cp = - = Dermed e:::-o sretige bevist. Det fremgar a:~ sretig ~ at ljj er e l sig til differet:i.- alligige ~c I t + ax' + bx = f, hvor de tilsvarede homogee ligig har l sige cp, som ikke, atager vrerdie 0, hvis og ku hvis ljj' - ~ ljj er e l sig til cp, X, + (a + ~)X = f. cp

298 Mat. 11' MA 5.39 Idet A er e stamfuktio til a, far vi heraf -A e J f ({? altsa Her er leddee med c 1 og c 2 overfl dige, me ved for hver mregde af stamfuktioer at vrelge e speciel 9 idsrette komplekse kostater far ma eto:p aile differetialligige l sigsfuktioer. Vj vii her tilf je ogle bemrerkiger med det formal at skabe e r.. rermere kotakt mellem ovestaede uders gelser over lierere d:lfferetialligiger og et kommede afsit af kursms over algeb::'e og geometri vedr rede lierere afbildiger. ErJ lierer djfferetialoperator ~ = D2 + ad + bdo afbilder et Vrektorrum V 1 = e 2 (I,6) id i et vektorrum V 2 = c(i,b), idet a og b forudsrettes at vrere kotiuerte afbildiger af lid i C. For <P1 s<p2 E V 1 og <X1 '<X 2 E C grelder al tid og det er etop pa grud af dee egeskab, at w siges at vrere lierer. L sigsmregde til wx = 0, altsa mregde ~-1(0), kaldes ulrummat for ~ eller kere for~. Af <P1,<P2E ~-1(0)~ <X1'<X 2 E C fas ved (33), at,x <P1 + <X2. 1 W 2 E ~-1 (0) & Dette viser, at q,-1 (0) selv er et vektorrum, et uderrum i vektorrummet Vi. Vore uders gelser viste, at der eksisterer fuktioer <P1,<P2 E q,-1(0), saledes at

299 MA 5.40 og at to sadae fulctioer <;01, og CP2 ikke har kostat forhold8 Dette, udtrykkea vedat sige~ at kere <1:>-1(0) er et 2-dimesioal t viektorrum 0 J-Jad os u betragte f E V 2 og l sigsmregde q, -1 (f) til q,x :: :f.' sam t et elemet t/j 0 E q, -1 (f). At et... eleme t t/j E Vi tilh rer q,-i(f) er da esbetydede med, at Altsa er q,-i(f) = t/jo + q,-1(0). E sada mregde kaldes e 2-dimesioal magfoldig1ed i Vi 8 E del af yore resultater vedr rede l sigsmrogderes struk+,u'<], ka al tea udledes ved ret algebraiske metoder, me resui taije:.:'e vedr r:mde eksistes af l siger krrever metoder fra matemat.lsk aalys3 9 og det samme grelder beviset for 9 at l sigsmrogde etop er :~-dimesioal. Di:tferetialligiger af h jere orde ka behadles pa ligede m~1.de som di:e'feretialligiger af h jere orde. Vi skal idskrrel~e os til e kort beskrivelse af forholdee. te E lieror dirferetialligig af orde har forme (3ll) X() + X('-1) Xl I Xl a X :: f t a a i 2 + a + 0, 1 hvor a 1'.' ~ao~f' : lid i C er kotiuerte fuktioer. De " tilsvare.de homo gee ligig fas ved at erstatte f med ulfulctioe. Hv:.s cp er e l sig til de homo gee ligig, der svarer til (3}+: ~ og u er ubelcedt fuktio~ giver idsrettelse af ucp i (34) e lieror di:f'feretialligig af -1 te orde til bestemmelse af ".j.t, me der.e ye diff'eretialligigs koefficieter vii have disko t::i ui, tetei' j ulpuktere for cp. Differetialligiges orde

300 Ma t. 1 ~ MA 5.41 reduceres derfor med 111 hvia ma ka gcerre e l sig. De homo gee ligig har l siger ~1'."'~' saledes at l sigsmregde til de homo gee ligig etop har forme N dvedigt og tilstrcekkeligt for at l sigere ~1~'" '~ har dee egeskab er det, at ligigssystemet Wi (x)u i + +~ (x)u = b 1 ~1(x)u1+ +~~(x)u = b 2 for ethver'j x E. I og ethvert komplekst talscet (b 1 ~ $b ) har. e og ku e l sig& I kursus over algebra og geometri vii det blive bevist, at dee betigelse er esbetydede med, at e vis determiat, Wroski-determiate$ er forskellig fra O. Som for, ligiger af e variabel grelder det~ at dette vii vcere opfyldt, for aile x E. I, hvis det blot gcelder for et x E. I. Hvis de revte betigelse er opfyldt, og ~ : lid i C er e vilkarlig fuktio for a(i$c), ka differetiable fuktioer u 1 $,u bestemmes~ saledes at u1(x)~1(x) + + u(x)~(x) = ~(x) u1(x)~1(x) + + u(x)~~(x) = ~'(x) Ved differetiatio af hver af de -i f rste af disse ligiger og hesytage til rermestf lgede far vi ligigere

301 Ma t. 1, u1(x)~1(x) + + u~(x)~(x) = 0 u 1 ' (x) ~ l' (x) +. eo + u' (x) W ' (x) = 0 Ved at differetiere de sidste ligig i det foregaede system og idsrette det fude cp() tillige med udtrykkee for <p(-1) t<>o,~' og cp i ligige 34 far "Ili uder hesytage til, at ~1'o 'CP er l siger i det tilsvarede homogde ligigssystem, at Vi har dermed ligiger til bestemmelse af u 1 '.. o,u~, og if lge vore forudsretiger har dette ligigssystem etop e l sigft Derrest fas u 1 ',u som stamfuktioer, og derred er l sigsrregde bestert. Differetialoperatorer med kostate Itoefficieter samresrettes efter regle p q p q b Dk L L b Dj + k r La. D j 0. J = a j k = -1 k j=o It=O j=o k=o p+q L ( L a.b.)d, J -J. ;:::.:O j=o alt~a gaske som polyomier~ Deraf f lger, at e differetialoperator ra kostate koefficieter ogsa ka spaltds i faktorer sor et polyomium. Ekserpler ) D - 3D + 3D - D = (D - D ) 0 (D - D ) 0 (D - D Differetialligige X' " - 3X' I + 3X' - x = 0

302 Mat. 1, MA 5.43 har derfor l sigsmregde Differetialoperatore har opl sige og differetialligige XIV _ X = 0 har derfor l sigsmmgde hvor reelle vmrdier af 1,, 4 etop giver aile reelle l siger. Vejledige, som vi ovefor har givet, vedr rede gretig af l siger til mhomogee lierere differetialligiger af ade orde med kostate koeffioieter bevarer stort set si gyldighed for differetialligiger af h jere orde.

303 MA 5, Opgaver Idle dig 1. Do't paic! Tom Lehrer Opgaver til kapitel 5. Idledig. Gretteri er o~te de eeste ~remkommelige udvej, og dot ma varmt abe~ales ehver studerede at ve sig i at grotte l si~ ger til di~~eretialligiger, hvad ete e rutiemetode foreligger oller ikke. Det er let at komme til at rege ~ejl uder avedelse a~ rutiemetodere. Der~or er det dumt at udlade at g re pr ve. Hvis pr ve viser sig ikke at stemme ma det ikke glemmes, at ma ogsa ka lave rege~ejl i pr ve. Hvis de virkelig ikke stemmer, er dot muligt at ma ka grette, hvorda resultatet skal modi~iceres ~or at komme til at stemme, og hvis det lykkes, sparer ma jo at s ge e~ter rege~ejl i rutieregigere. Det beror pa et sk, om ma i opgaves redaktio vii r be, hvorda ma er kommet pa sporet a~ e grettet l sig. Ma vii jo reppe r be det, hvis de grettede l sig er resultatet a~ usystematisk ~leri, hvilket ~ormodetlig o~te er til~reldet. Lad os ~.eks. ~ors ge at ~ide l sigsmregde til di~~eretialligige ( 1 ) cosx X" + 2six X' - cosx X = 1. Det er rerliggede at grotte pa 9 at de homogee ligig ( 2 ) cosx X" + 2six X' - cosx X = 0

304 MA 5~ Opgaver Idledig 2. har e trigoometrisk fuktio som l sig, og fors g med ogle at' de simpleste at'sl rer, at six passer i ligi1'ige. Ved idsrettelse af cosx i Iigiges vestre side far vi -2cos 2 x -2si 2 x = -20 Altsa er -~cosx e I sig til (1)0 Da six passer i (2) vii idsrettelse af xsix i vestre side at' (2) give oget af x uafhregigt. Vi pr ver at idsrette g(x) = xsix g'(x) = xcosx + six gtl(x) = xsix + 2cosx, og vestre side bliver 2cos 2 x + 2si 2 x = 2. Idet vi husker vore tidligere fors g, fider vi, at xsix + cosx er I sig til (2). Det er klart, at de fude l siger six og xsix + cosx til (2) ikke her kostat forhold o Vi ka dert'or bruge sretig , som fortreller os, at l sigsmregde er Redaktioe af besvarelse ka udt'ormes meget kart, me e hevisig til srotig 5.13 b r ikke udlades. Meget kort ka besvarelse udf'orme:s pa f lgede made: Ved idsrettelse i Iigiges vestre side ser vi, at -~cosx er e l sig til ligige, og at six og xsix + cosx er l siger til de tilsvarede homogee ligig. It' lge sretig 5.13 er l sigsmregde derfor Det syes at fremga at' dee besvarelse, at dif~eretialligiger som eksamesopgaver er af ret tvivlsom vrerdi o Imidler-

305 Opgaver Idledig 30 tid idgar di~~eretialligiger som et led i mag~oldige mere komplicerede problemstilliger ikke alee i det ~oreliggede~ me ogss. i ~lere a~ de ~ lgede kurser i ra tematikjl ligesom dif' ~eretialligiger ogss. idgar i mage ~ysiske problemer. Dette berettiger det store atal velsesopgaverj/ som blot bestar i at be steir:me l sigsmamgde til e di~~eretialligig.

306 MA 5~ Opgaver 1 Lette opgaver. i. Agiv l sigsmregde ~or hver a~ di~feretialligigere Xl - 2xX := 3 0: vxx' - X := 0; xx' + ax = 0, a E R 2. ALiv l sigsmregde for hver af differetialligigere X' logx X + ex x := 0, ex E R; xe ]O,oo[ X' + (a+ib)x := 0 1 a,b E R; Xl + 1 X 0, x(x+1) = x E ]-oo,o[u]o,1[u]1,oo[. 3. L s dif~eretialligigere X' - X := x 2 + 1~ X' - X = cosx, X' - X := -x e, 4A L s differetialligige X, + 2X = x 3 + 5cosx + 3sihx + 8cosh2x. 5. L~s differetialligigere xx' - X = x 3 1 xx' - X := log3x, xx' - X = x for x E ]O,oo[ 6. L s differetialligigere for ver xx' - ax cos log/x/ ::::; xx' ax = si log/x/ x E R\foJ, a E C. Lreg mrerke til, at tilfreldet a e srerskilt behadligo = i krre-

307 MA 5~ Opgaver Vis, at der t'ides e gevej til l sig at' dit't'eretiallig' iger at' t'orme ax' + a'x :: t' og, I ax - a )f :: t' Formuler resultatet som e sretig. 8. L s diff'eretialligigere x 3 1 xx' + X :: sixx' + cosxx ( 1 +x2) 2' = x (beyt opgave 7). 9. L s clit'f'eretialligigere x 3 xx' - X =, sixx' - cosxx = (1 +x2) 2 (beyt opgave 7).. 2 Sl x 2 1+x 10. Geeraliser opgave 7 til dit'f'eretialligiger af' forme: ax' + aa'x :: t', a R, 0[; lcostruer et illustrerede eksempel, der ikke falder id uder opgave r ,,: mgi v e lierer dit'feretialligig af f rste orde, der har de ved x 5 og x 5 + tgx defierede fuktioer som l siger pa R\f(p+~)rrlp zj som l siger. Uders g, om de fude differetialligig har e l sig ~:J-~,~[ id i R med ~(o) = 1.

308 MA 5, Opgaver E fuktio ~:]a,b[ id i [o,oo[ har som grafisk billede i et retviklet koordiatsystem e kurve r. Vi atager~ at ~ er differetiabel, saledes at r i hvert pukt P har e taget og e ormal. Lregdere af projektioere pa de f rste koordiatakse af de liiestykker pa taget og ormal, der afskzeres mellem kurvepuktet og de t' rste koordiatakse, kaldes subtaget og subormal til r i puktet P. For hvilke furuttioer ~ har subtagete kostat lregde? Samme sp rgsmal t'or subormale. Pr v selv, om det er foruftigt i dee t'orbidelse at rege sub taget og subormal med t'orteg pa passede made o 13. E kugle t'alder lodret ed geem e sej vreske. Derved er des edadrettede akceleratio tygdeakceleratioe g mius e t'ra bevregelsesmodstade stammede akceleratio kv, hvor k or e kostat og v er kugles fart. Idet bevregelse srettes i gag til tide t = med hastighede 0, skes hastighede bestemt som fuktio af tideo Skitser det grat'iske billede at' de t'ude fuktio. 14, Ved bestralig af e st rre mregde stof fremstilles fra tidspuru{tet t = at rege g gram pr.sekud at' e radioaktiv isotop, af hvilke kx gram ige s derdeles pr.sekud, idet k er kostat, og x er det jeblikkelige forhadevrerede atal gram af de radioaktive isotope Udreg mregde at' radioaktiv isotop som fuktio af tide. (Dette er t'ra matematisk syspukt bare opgave 13 i e y udgave)o

309 MA 5~ Opgaver Til tidspuktet t = ~oreligger Mgram a~ et radioaktivt sto~ refremstillet. ~ sto~~et s derdeles k 1 x 1 gram pr$ miut, idet k1 er kostat og xi er det ~orhadevrerede atal gram pro sekud. Derved opstar pr.sekud A 1 k 1 x 1 gram af at yt radioaktivt sto~, idet k1 og xi har samme betydig ~ r~ medes Ai E ]O,1[ er e y kostat. A~ det ye sto~ s derdeles k 2 x 2 gram pr.sekud 9 og derved opstar A 2 k 2 x 2 gram prosekud a~ et yt radioaktivt sto~ o.s.vo Bestem sto~mregdere som ~uktio a~ tideo I praksis ligger A 1,A 2 9 0o. o~test tret ved 1, medes k 1,k 2, ka have vidt ~orskellige positive vrerdier. Krede har ku edelig mage tri, idet k = 0 ~or e vrerdi a~. 16. Bestem e kotiuert ~uktio ~:R id i C, saledes at Vt E R(e~(t) = 3it 2 it 5 e + e - e -it) Vik: Vi sretter Her de~ierer de sidste ~aktor e afbildig id i h jre halvpla a~ de komplekse pla 9 og hovedvrerdie a~ logaritme til de vii vrere kotiuerto E l sig er der~or ~(t) = 3it + de revte hovedlogaritme, der umiddelbart ka opskrives. 17. Bestem e kotiuert ~uktio ~:R id i C 9 saledes at it) - e

310 Opgaver Uders g~ om der eksisterer e kotiuert ~uktio ~:R id i R~ saledes at Viru~: Vi ved~ at e sada fuktio fides pa ]~oo~o[ og ]0900[~ sa det er ok at uders ge situatioe for t = o. 19. Destem l sigsmregdere til dif~eretialligigssystemere x' = y y' = X og x' = y y' = -Xo 20. Bestem l sigsmregde til differetialligigssystemere x' = X + Y y' = X + Y og x' = 2X - 3Y y' = 4X - 6y 21. L s di~~eretialligigssystemere x' = X + 2Y yt = 2X + Y og x' = X - 2Y y' = X + 4Y 22.. L s differetialligigssystemere t! dt = y t! dt = y og t 9x x ~ dt = tdt = -x 230 L s differetialligigssystemee x' = Y + e t xt = Y + e t t og t y' = X + e Y t = - x+ e

311 MA 5~ Opgaver 6. 2L~. L s dii'i'eretialligigssystemet X t =: 2 (2X-Y) cos2t 3si2t 3 yt = 25. L s dii'i'eretialligigssystemet dx dt = 3x + 2y - 1 Ql = -4x - 3y + t dt 26. L s dii'i'eretialligigssystemet dx dt = 3x + y - 1 ~ = -10x - 3y + t 27. AGiv l sigsmregdere i'or dii'i'eretialligigere X" - 5Xt + 6x = 0 9 X" + X t - 2X = 0, X" + 7X' + 12X =: Agiv l sigsmregdere i'or dii'i'eretialligigere X" - 4X' + 4X = 0 9 X" + 4X' + 4X = Agiv l sigsmregdere i'or dii'feretialligigere XII - 6X' + 10X = 0 9 X" + 2X t + 2X =: 0 9 X" + X' + X = Agiv l sigsmregde i'or dii'i'eretialligige X" - 4X t + 3X = e 2x + 2cosx + 4six + 3x2-5x + 1

312 MA 5~ Opgaver Asi v l sigsmamgde i'or dii'i'eretialligige X" + 3X' + 2X ::: 3coshx 32. Agi v l sigsmamgde for dii'i'eretialligige X" - 6X' + 9X ::: sih3x 336 Agi v l sigsmamgde i'or dii'i'eretialligige 2 X" - 4X' + 8X ::: 65coshx + 8x L s dii'i'eretialligigere 356 L s dii'i'eretialligige 36. L s dii'feretialligige (X_2)2XII - 5(x-2)X' + 9X 3 ::: X L s dii'i'eretialligige (1+x2)X" + 2xX' + 4X ::: 10x 2 + Arctgxo 38. L s dii'i'eretialligige (1_x 2 )X" - xx' + 4X ::: x Formuler det specialtili'relde ai' sretig der i'as i'or ~(t) ::: log cost 0

313 MA 5, Opgaver L s differetialligige (six - xcosx)x" - xsix x' + six X = o. Lj.1. L s differetialligige 42. L s differetialligige 43. L s differetialligigssystemet (1+x 3 )X t = x 2 x - Y + x + 1 (1+x 3 )yt = 2xX + 2x 2 y ~ x 3-2x L s differetialligigssystemet (gevej!) x(1-x 2 )X' = (1-2x 2 )X + xy X(1-x 2 )y' = xx + (1_2x 2 )y Hvilke l sigssret atager for x = 2 vrerdie (1 9 5). Hvilke atager for x = 1 vrerdie (1 9 1). Hvilke atager for x = 0 vd3rdie (0,0). 45. L s difi'eretialligigssystemet dx d8 2X d8 = cos2~ (-2xsi8 + y) cos. = 2cOS 8 (x - ysi8) cos29

314 MA 5~ Opgaver L s di~~eretialligige d 2 d (tghx + tgx) ~ - 2 ~ + (tghx - tgx)y = O. Hvilke a~ l sigere ~ til~redsstiller betigelsere <p(o) = ~t(o) = Pid e l sig ~ til di~~eretialligige X" + X = 2e 3x + 5cosx + 2x2 + 3, saledes at ~(o) = 0 og ~t(o) = 1. ~(~) = log2 /\ ~'(~) = 0 og Vx E: ]O,1T[(~"(X) + ~(x) = slx). 49. Spalt di~~eretialoperatorere i di~~eretialoperatorer a~ ~ rste orde. 50. Spalt di~~eretialoperatorere i di~~eretialoperatorer a~ ~ rste orde. 51. L s opgavere 40~ 41 og 42 ved at spalte de optrredede differetialoperatorer i di~~eretialoperatorer a~ ~ rste orde. 52. L s di~~eretialligigere Xl 't + X = ex, X'I' - 7X' + 6x = cosx.

315 Opgaver L s di~~eretialligige cosh x 54. L s di~~eretialligige d 4 d 2 ~ + 2 ~ + Y = cos x dx dx 550 L s di~~eretialligige 4 2 ~ + 3 d ~ + 4y = 4x4 dx dx 56. For k > O~ h > 0 kaldes ehver l sigs~uktio til e drempet svigig. De kaldes aperiodisk, hvis k ~ h, periodisk, hvis k < ho Vis, at det ~or e periodisk l sig grelder, at itervallcegde mellem to pa hiade ~ lgede ulpukter er lig med itervallcegde ~ra et maksimumspukt til det cermest ~ lgede miimumspukt og ~ra et miimumspukt til det cermest ~ lgede maksimumspukt. 57. Uder ~orudsretigere ~ra opgave 56 kaldes e l sig til d 2 x + 2k dx + h 2 x = pcosgt dt2 dt e tvuge svigigo Vis at det ~or k > 0 greider, at der fides e l sig g med de egeskab, at det for ehver ade

316 MA 5, Opgaver l sig ~ greider, at ~ - g gar mod 0 ~or t ~ 00 0 Vis, at g(t) har forme a cos (qt-~) og udtryk a ved k,h,p og q. Premstil gra~i sk, hvorledes a a~hreger af q (og derefter af' h) for faste vrerdi af de tre vrige kostater. For h = q bliver a srerlig stor (resoastilfreldet). Uders g ogsa l sigere for k = 0 og specielt for k = 0, q = ho 58. Por k < 0 kaldes l sigere til differetialligige i opgave 56 svigiger med agativ drempig. Leddet 2k ~~ = 2kv reprreseterer e modstad, og i praksis vii de aldrig vrere egative Der fides imidlertid mage eksempler i fysikke pa modstade, der aftager med hastighede. De f rer til e differ'etialligig af forme ( m - 2kdt dx) + h 2 x = 0, hvor m,k og h er positive o Vis, at l sigere bliver svigiger med egativ drempig, me omkrig et adet pukt ed L sigere til et ligigssystem k!lldes koblede svigigero Fid e l sig (cp,tjj) med cp(o) = tjj(o) = tjj'(o) = 0, cp'(o) = 1. Skitser e grafisk fremstillig, idet h og k atages positiv og k meget midre ed ho Det svigigsf'reome, der beskrives ved disse ligiger

317 MA 5, Opgaver 12. illustreres ved to es peduler, som er ophregt mer hiade, og hvis ophregigssore ret rer ved ophregigspuktere er forbude idbyrdes med e elastik. 60. L s differetialligigssystemet x' = z - Y, y' = X - Z, Z, = Y - x. Vaskeligere opgaver. 61. L s differetialligige 62. L s differetialligige ~ - ylogx = (ex)xcosx pa itervallet JO,oo[. 63. L s differetialligige dv -x( 2 )-1 ~ + Y = e 1+3si x L s dii'fere tialligige d 2 2 ~ - (1+2tg x)y dx pa itervallet ]-~,~[o

318 Mo'\ Opgaver 13& 65& L s di~~eretialligige 2 x~ + 2 dy + xy = 0 dx 2 dx \ 66. L s di~~eretialligige d 2 2 d ~si 2x + 2~d si2xcos2x - 4y = O. dx x. 67. L s di~~eretialligige 3 2 d 2 2 d (x +6x -6x)~ - (4x +18X-12)~ + (6x+18)y = O. dx 68. L s di~~eretialligige 00 og idsret dere~ter i ligige y = ~ ax, idet det ata=o ges at potesrrekke har positiv kovergesradius. Bestem rrekkes koe~~icieter9 saledes at rrekke til~redsstiller ligige. Vis~ at de saledes bestemte potesrrekker virkelig ~ar positiv kovergesradius. Udled derved biomialrrekke pa e y made. 69. L s di~~eretialligige dels direkte~ dels ved som beskrevet i opgave 68 at idsrette e potesrrekke ~or y. Udled derved e potesrrekkeudviklig a~ e elemetmr ~ulctio.

319 MA 5, Opgaver 14~ 70. Vis, at dirreretialligige 2 d 2 d (x-x )~ - 3x~ - Y = 0 dx2 dx har e l sig, der ka udvikles i e potesrrekke (se opgave 68). De rude potesrrekke rremstiller e kedt ruktio. Ud~,t dette til bestemmelse ar dirreretialligiges l sif;smregde. 71. Samme opgave som 70 ror dirreretialligige d2y X 2 _ g[dd + 4x3 y = 0 dx x Svrer opgave. 72. Vi betragter dirreretialligige d 2 y + 2 dx ay = 0, hvor a:r id i R er kotiuert. Vis, at hvis ~x E R(a(x) ~ 0), ka ige l sig til dirreretialligige atage vrerdie 0 ror mere ed 1 vrerdi ar x. Vis, at hvis k er et positivt tal, og hvis ~x E R(a(x) ~ k 2 ), vii ehver l sig til dirreretialligige atagevrerdie 0 midst e gag i ethvert i- 21f terval ar lregde 1:.

320 Mat. 1 p MA 6.10 I livet som i huset: betretikeligt at blrede e d ro Frithio~ Bradto 6. Kapitel. Ikke lierere di~~eretialligiger. Mage problemer f'ra geometri, mekaisk ~ysik, tekik etc. ~ rer til di~~eretialligiger, der ikke er lierere o Mage a~ disse ka l ses eksplicit ved elemetrere metoder, og i dette kapitel vii vi geemga ogle a~ de vigtigste a~ disse~ Det her behadlede skal betragtes som e samlig yttige metoder, der stilles til radighed f'or lresere. Det er ikke hesigte at geemga disse metoder i f'orelresigere, og de vii il{:ke bli ve krrevet til eksame, me de vii evetuel t vise sig yttige vcd l sig af' visse opgaver, ikke midst i ogle a~ de ~ lgede matematikkurser og i ~ysik. Vi vii ~ rst behadle dif'~eretialligiger a~ f'orme (1) ~~ = ~(x,y) Her er ~ e f'uktio, som af'bilder e vis puktmregde 0, i plae id i R& E f'uktio ~:I id i R, hvor I er et iterval, er e l sig til (1), sa~remt 1 ) 'Vx E: I «x, ~ (x)) E: 0) 0 2)0 ~ er dif'f'eretiabel o 3). 'Vx E: I (~'(x) = f'(x,~(x)) ) 0

321 Mat. 1 p MA.6.2. Eksempel. Por dit'feretialligige'.s!il dx = er 0 puw{tmregde f(x~y)lx E R\fol AyE RI. De ved <p(x) = x - 2L logx det'ierede a~bildig <p:jo~oo[ id i R er e l sig til ligigee Det or emlig klart~ at 1) og 2) er opt'yldt. Edvidere er <p1(x) = 1 - l;gx (logx) = ~ + ~(1 - I~X ) = (logx) ( 2) logx Dif~eretialligige (1) kytter ril hvert pukt a~ 0 e yl vrerdi a~ ~. For e l sig~ hvis grat'iske billede gar geem (Xyy)~ er t'(xyy) etop Lreldige at' tagete til det grat'iske billede i (xyy). Det er derfor rimeligt at asl~ueligg re dift'eretialligi- '" -.- j /~~o,/ I ",/ "... -' ~--. ge ved geem pdkter af 0 at teg-=----1t x ) e sma liiestykker, hvis hreldig agives ved vrerdie ~(x,y) t'or det pagreldede pukt. Hvis e sada t'igur udf' res tilstrrekkeligt omhyggeligt~ vii de ot'te aslcueligg re t'orl bet at' de grat'i ske billeder at' l sigere. Askueligg relse at' magetiske feltliier ved hjrelp af jerspaer er et eksempel pa dette t'reome. Evis <p: lid i R er e l sig til (1), kaldes puktmreg-

322 Mat. 1, MA de f (x~<p (x» I x E I J, al tsa l siges graf'iske billede 9 e l s - igskurve. L sigskurvere er altsa kurver, der f'orl ber i 0 og i hvert pukt af' 0 har e taget med de til puktet kyttede h@ldig f'(x,y). Vi vil bruge ordet "kurve ll temmelig ukritisk i overesstemmelse med vor askuelse. Graf'iske billeder af'tf'uktioer y = <p(x) eller x = ~(y) er kurver. E kurve ka ogsa vrere givet ved e af'bildig <p: lid i 0, hvor I er et iterval, og <p(t) = (<P1(t),<P2(t»o Me hvis der f'oreligger e af'bildig F:O id i R, vil vi ogsa kalde l sigsmregde til F(x,y) = c e kurvc, ar c E F(O)o Omregig f'ra de ee til de ade af' disse mulit,e f'remstilliger f'or e k ve er f'or det meste muligt 10- kalt. Saledes er det velkedt 9 at buer af' ehedscirkle ka f'remstilles pa alle de her af' rte mader, me hele ehedscirkle er ilcke graf'isk billede af' oge f'uktio. L sigskurve til (1) har aldrig tageter i y-akses retit!> 0 l~ar vi sker at bruge dif'f'eretialligiger til at beskrive vilkarlige kurver er dette ikke helt rimeligt, og vi f'oretrreklwr derf'or of'te at have e dif'f'eretialligig skrevet pa f'orme hvor L,I 0 id i R er f'ukti oer. Dif'f'ere tialligige (2) f'or-- tolkes ef'ter behag som l hlb_u dx = - ~ eller, hvor L(x,y) t 0 og M(x,y) t 0 ka begge f'ortolkiger avedes.

323 Mat. 1, MA 6.4. Hvor L(x,y) = 0 og M(x,y) * 0, ka ku de f rste fortolkig bruges 9 og hvor L(x,y) 1= 0 og M(xpy) = 0, ka ku de ade bruges o De pukter, hvor L(xpy) = M(x,y) = 0 er sigulrere pukter, hvor ige af de to fortolkiger ka bruges. For e kurve, der er givet ved x = ~1(t), Y = ~2(t)9 hvor ~1 Og ~2 har kotiuerte differetialkvotieter, far vip hvis ~t1(t) 1= 0, at ;l 9x dt ~ dx = dt dx = dt dx dt, 92 (t) = <P1 '(t) og at };:urve er e l sigskurve til (2) kommer derfor til at betydo p at ~2'(t) ~1'(t) L(~1(t)'~2(t» = - M(~1(t)p~2(t», hvillwt er esbetydede med, at Dette er etop, hvad vi far ved at idsrette x = ~1(t), Y = <P2(t) i (2). Det gar aalogt, hvis ~2'(t) 1= 0, idet de ade fortolkig af differetialligige beyttes. E puktmregde U i plae siges at vrere e omeg af et pulli~t a i plae, hvis U ideholder e cirkelskive med cetrum a 0('; positiv radius. Med dee defiitio bliver plae et omegsrum o E puktmregde 0 i plae kaldes abe, hvis det for ethvert puruct a E 0 grelderp at 0 er e omeg af a o Vi vii i dette kapitel altid atage, at defiitiosmregde 0, hvor vi betragter differetialligige 9 er e abe mregde. Vi ka derefter beytte dcfiitioere i slutige af kapitel 4, og det har foruf-

324 Ma t. 1, MA 6.50 tig meig at tale om kotiuitet at' afbildige t' i (1). Hvis t'uktioe f' i (1) er kotiuert, ka det vi ses, at der 8~r e l sigskurve geem ethvert pukt at' O. Dee eksistessrotig er ikke srerlig vaskelig, me de krrever hjrelpemidier, vi edu ikke har til radighed. E lidt svagere eksistosscetig vii blive vist i et seere at'sit~ og sp rgsmalet vii blive taget op ige i matematik 2. Det ra dog uderstreges, at el<:.si stessretige har lokal karakter, sa de siger itet om, hvor Iagt e itegralkurve geem et pukt af' 0 t'ortsretter. Pa de ade side ka det udmrerket idtrref't'e, at der gar t'lere itegralkurve geem samme pukt. Me hvis der eksisterer e kostat K, saledes at det t'or (x'y1) E 0 og (x,y 2 ) E 0 grelder, at da gar der ku e itegralkurve geem hvert pukt af O. Lad os emlig atage, at er l0sil~er, at ~1(xo) = ~2(xo)' samt at h E ]O,K- 1 [o Vi sretter ~(x) = ~2(x) - ~1(x), og vi f'ar da a1 ts9. Idet vi bruger middelvrerdisretige, far vi heraf' hvor ~ er et passede valgt pukt at' itervallet med edepuk-

325 Mat. 1, MA 6.6. ter 0 og x. Nu vrulger vi specielt x~ saledes at 1~(x)1 atager si st0rste vrerdi~ og vurderige giver da me det medf rer~ at (1 - Kh) 1q>(x)1 ~ o. Her er de ~ rste ~aktor imidlertid positiv, og ulighede med ~ rer der~or 1q>(x)1 = O. Me dette med~ rer Vx [X O -h 9 X O +h] (~(x) = o)? og dermed er pastade bevist. E betigelse a~ ~orme (3) kaldes e Lipschitz-betigelse o E sada er altsa tilstrrekkelig betigelse ~or? at e etydighedssretig grelder ~or di~~eretialligige (1). Vi vii u ga over til at behadle e rrekke specielle typer a~ diff'eretialligiger. Disse typer brerer o~te traditioelle ave? i visse til~relde e~ter kedte matematikere. Vi vii uderdele det ~ lgede i a~sit svarede til de ~orskellige typer. 1. Di~~eretialligig med adskilte variable. Saledes beteges e di~~eretialligig a~ ~orme L(x)dx + M(y)dY = 0 1 hvor L: ]a 1,b 1 [ id i R og M: ]a 2,b 2 [ id i R er kotiuerte ~uktioer. Puktmregde 0 er rektaglet ]a 1? b 1 [x ]a 2 b 2 [. Vi vrelger e stam~uktio A til L og e stamfuktio B til M. For villdrlige di~~eretiable ai'bildiger ~ar vi da

326 Ma t 1, MA 6.7. Vi sa ovefor 9 at ~1 og ~2 de~ierer e l sigskurve, hvis og ku hvis dette udtryk bliver 0, altsa hvis og ku hvis A(~1(t)) + B(~2(t)) er kostat. Dette er etop, hvad vi meer~ ar vi siger~ at l sigskurvere ~remstilles ved A(x) + B(Y) = c 9 c E: R Det er dog ikke sikkert9 at ethvert valg a~ c giver e l sigskurveo Eksempler. For xdx + ydy = 0 ~ar vi l sigskurvere givet ved 2 2 x + Y = c. Ku positive vrerdier a~ c giver l sigskurver, og de bliver cirkler med cetrum i begydelsespuktet. For c = 0 udarter kurve til puktet (0 90)9 me dette er jo etop et sigulrert pukt. For xdx - ydy = 0 er l~sigskurvere givet ved 2 2 x - Y = c. I dette til~relde kommer aile vrerdier a~ c i betragtig. For c = 0 ~ar x-akse og y-akse. Der gar altsa to itegralkurver geem det sigulrere pukt. Di~~eretialligige ydx - xdy = 0

327 Mat. 1, MA 6.8. har ikke adskilte variable, me far det efter divisio med xy, og derved far vi l sigskurvere givet ved loglxl - loglyl = c 1 ' me det ses let~ at vrere esbetydede med y = cx~ c ~ 0. ]];dvidere er x-akse og y-akse l sigskurver, me vi tltabte tt dem ved divisioe med xy. L sigskurvere er saledes etop de rette liier geem det sigulrere pukt (0,0). Differetialligige (x - 1)y dx + x (y - 1)dy har sigulrere pukter (0,0), (1,1), (-1~1), (1,-1) og (-1,-1). Vi ser, at x-akse og y-akse er l sigskurver. Divisio med 2 2 x y giver (1 - ~)dx + (1 - ~)dy = O~ x y og derme ligigs l sigskurver er givet ved Multiplikatio med xy giver 1 1 x y + c x y - xy(x + y) + x+y = cxy Koordiataksere er ikke kommet med ige. For c = far vi l sigskurvere xy = -1 og x + Y = 0. Der gar altsa 3 l sigskurver 6eem (0,0). Geem (-1,1) og (1,-1) gar hyperble xy = -1 og liie x + y = 0. Evetuelle l sigskurver geem xy(x + y) + x+y = 4xy. Vi idf rer et koordiatsystem med begydelsespukt i (1,1).

328 Mat. 1, Idet ( ;',1l) er de ye koordiater beytter vi trast'orratioe x = ~~' + 1 ~ y = 1l + 1, og ved idsrettel se at' dette i ligige t'ar vi F r]o 1 [ ~2 2 2 I Y I / 1 2 I t= I 2 lt 0 or r 'C., og ~ + 1l = r er <0'11 ~ 2'r og s +1l ~ r, a sa 1~1l(~'+1l)1 ~ r 3, sa udtrykket pa vestre side at' ligige er f r2 - r3, altsa positivt. Dette viser, at l sige f = 1l = li~ger isoleret t'ra alle adre l siger. Der gar altsa ige itegralkurve geer (1,1). Det gar gaske aalogt i (-1,-1). 2. Horogee dit't'eretialligiger. Lad 11 og 12 vrere to rette liier geer (0,0), og lad 0 V83re de abe mamgde, som bestar at' puktere i to modstaede at' de viw{elrum, hvori 11 og 12 deler plae. Vi tillader 0 at udarte til hele plae, evetuelt med puktet (0,0) eller e ret liie geem (0,0) skaret vrek. For p E Z siges e af'bildig g: a id i R at vrere homoge at' grad p, sat'remt V't E 1< V'x, yeo (g ( tx, ty) = t p g ( x, y ) ) Hvis L,M:O id i R er homogee at' grad p, kaldes (4) L(x,y)dx + M(x,y)dy = a e homoge cut't'eretialligig at' grad p. Vi t'oretrrekker t' rst at behadle ligige pa t'orme L(x,y) + M(x,y) ~~ = O. Vi s~tter at L Og 1\1 y = UX, hvor U er e y variabel, og idet vi udytter, er homogee, t'ar vi

329 Me t. 1, MA hvillcet redueeres til dii'i'eretialligige (5) (L(1,u) + um(1,u))dx + xm(1,u)du ;:: 0 og her ka de variable adskilles. L sigere til L(1,u) + um(1,u) er hceldige i'or rette liier, der er l sigskurver til (4), Dertil kommer evetuelt y-akse, som krrever e srerlig uders gelseo Hvis A er e stamf'uktio til de ved M(1,u)(L(1,u) + um(1,u))-1 dei'ierede i'uktio, har (5) l sigsmre6de fee-ale E Rl, og vi i'ar l sigskurvere til (4) givet ved parameteri'remstillige x = ee-a(u), y = eue-a(u). Dertil ra altsa edu i' jes de l siger, der er rette liier geem Fremgagsmade ka varieres, idet x og y ka bytte rolle. Det ka godt trekes, at de to i'remgagsmader ikke er lige besvrerlige, me i'orskelle vii aldrig blive srerlig stor. Eksempel. Dii'i'eretialligige (x + y)dx + (x - y)dy = 0 er homoge ai' grad 1 i hele plae. Koordiataksere er ikke l sigskurver. Ligige (5) bliver i dette tili'relde Da vi har (1 +2u - u 2 )dx + (1 - u)xdu = O. J 1-u _ 1 f d(1+2u-u2 ) 1 I 21. 2du = 210g 1 +2u-u 1+2u-u 1+2u-u

330 Ma t. 1, MA Er l sigere givet ved hvilket giver 2 2.2IR: +2xy-y :;: c. L sibere bliver hyperbler. For c = 0 fas asymptotere~ 2 hceldiger er l sigere til 1+2u-u hvis :;: O. De har vcbret litabt" udervejs9 me de sidste omformiger har bragt dem id ige. Differetialligige (4) ka med fordel behadles ved idf relse af polrere koordiater (r,q), idet vi sretter (6) x = rcosq, y:;: rsiq Vi s ger derefter at fide l sigskurvere pa forme r = p(t)~ 9 = V(t). Af (6) f lger ~~ = ~~COSg - r~si9, ~ :;: ~~Sig + r~~cosq At x = ~(t) :;: p(t)cosv(t), y = ~(t) = p(t)siv(t) er e l sigskurve, betyder at ~ og ~ tilfredsstiller L(X'Y)~ + M(X,y)~ :;: 0, alts~, at p og ~ tilfredsstiller L(rcos9,rSig)(~~cOSg - r~~siq) + M(rcOSg,rSig)(~~Sig + r~~cosg) :;: 0 Idet vi udytter, at L og M er homogee, ka dee ligig omformes til (L(cos9,si9)cos9 + M(COSg,sig)sig)~~ -

331 Mat. 1, MA Vi idf rer betegelsere og vi ser 9 at ~ og ~ er parameterfremstillig for e l sigskurve til (~.)~ hvis og ku hvis p og ~ er parameterfremstillig for e l sigskurve til t(9)dr + rm(9)d9 I dee ligig ka de variable adskilles. Eksempel. For k E R betragter vi differ~tialligige (x - ky)dx + (kx + y)dy = O. Idette tilfrelde far vi t(9) = (cos9 - ksiq)cosq + (kcos9 + sig)si9 M(G) = -(cos9 - ksig)sig + (kcosg + sig)cosg ~ altsa t(9) = 1, M(9) = k, sa vi far differetialligige dr + krd9 = O. Dette 8r de lierere differetialligig beytter positive vrerdier af r. L sigskurvere kaldes logaritmisl\:e spiraler. E logari tmisk spiral skrerer aile liier geem (0,0) uder samme vikel. E ligedaethed med (0,0) 80m lighedsrukt har pa e logaritmisk spiral samme virkig som e

332 ~ drejig om (0,0). Dette giver aledig til de paradoxalt kligede bemrerkigl at et f'orst rrelsesglas ikke ka f'orst rre e logari tmisk spiral, me ogsa til de optiske illu3io~ at e logaritmisk spiral syes at vokse eller krympe, ar de drejes. De her omtalte metoder ka ogsa avedes, ar puktmamgde o er et vikelrum og betigelsere L(tx,ty) = tal(x,y), lvi(tx?ty) = tam(x,y) er opf'yldt f'or aile positive vcerdier af' to Uder disse omstredigheder ka a vrere et vilkarligt reelt tal. 30 Beroualli's dif'f'eretialligig. Lad agb:i id i R vrere kotiuerte af'bildiger~ og lad a vrere et reelt tal. Dif'f'eretialligige (7) Xl + ax = bx a kaldes da Beroulli's dif'f'eretialligig. For a = 1 reduceres de til e homoge lierer dif'f'eretialligig Xl + (a-b)x = O? og f'or a = 0 er de e lierer dif'f'eretialligig. Vi vii derf'or atage a ~ 0 og a ~ 1. Hvis a er et ratioalt tal med ulige rever, erpuktmregde 0 strimle f(x,y)lx E I,y E Rl. For adre vrerdier at' a ka ligil~e ikke have egative l siger? og 0 er da halvstrimle f(x 9 Y)lx E I,y E ]0,00[1. At cp er l sig til (7) betyder, at cp t + acp = bcp a For cp(x) ~ 0 er dette esbetydede med (1_a)cp-acp' + (1-a)acp i-a = (1-a)b,

333 Mat. 1, 1~66-67 hvilket ogsa ka skrives Bortset ~ra de pukter, hvor l sige er 0, ser vi~ at ~ er l sig til (7)~ hvis og ku hvis ~1-a er l sig til de lieoore differetialligig (8) X' + (1-a)aX = (1-a)b. Desude vii ul~uktioe voore l sig til (7), hvis a > o. Ekeempel. Vi vii l se differetialligige xx' + X = Xa. Ligige (8) bliver i dette tilfrelde xx' + (1-a)X = (1-a), og de har l sigsmoogde De opridelige ligig far saledes l sigere 1 (1 + C x a - 1 ) 1-c; C E. R. Dertil kommef evetuelt ull sige, samt de l siger, der fas ved a t s~dfte fort3g pa de allerede fude. For a = 2 fas ulfuktioe samt fuktioere 11 }cx ' C E. R. For C ~ I) fas e l,jsig med defii tiosmoogde J - 00, - ~ [ u ] - ~ 00 [, Der paaserer etop e l sigskurve geem hvert pukt af plae bortset :era puktere a~ y-akse.

334 Mat. i, MA For a = ~ fas ulfuktioe samt fuktioere For c + 0 fas l sigskurver, der skrerer x-akse. Der gar saledes to l sigskurver geem at pukt af x-akseg Det skyldeffij p fft Lipschi tz-betigelse ikke er opfyldt i e omeg af et sada pujrt. 4. Riccati's differetialligig. Lad p, q,r lid i R vrere kotiuerte afbildiger. Differetialligige ~ = p(x) + q(x)y + r(x)y2 kaldes da Riccati's differetialligig. Ligige ka ikke l ses ved elemetrere metoder? me hvis det lykkes at grette e l sig, ka l sigsffiregde bestemmes ved elemetrere metoder~ Hvis p er e l sig til ligige, er Lad u vrere e differetiabel fuktio. Sa er p + u l sig til ligige, hvis og ku hvis p'(x) + u'(x) = p(x) + g(x)p(x) + r(x)p(x)2 + q(x)u(x) + 2r(x)p(x)u(x) + r(x)u(x)2 v ltb da (9) er opf'yldt, er detta esbetydede med u'(x) = (q(x) + 2r(x)p(x))u(x) + r(x)u(x)2, altsa med, at u er e l sig til

335 Mat. 1, MA 6.16 hvilket er Berou:i.li' s differetiaiiigig. Ekoem:pel. DL'fere tiaiiigige dv _ ;;;;;:lI..dx - - -y + -y x x2 har I sige y = x" Vi idsretter y = x + U og far efter reduktio og de e Iigig er d1 u 1 <IX - x bortset fra uii sige esbetydede med s;om har I sigsmamgde sa vi fr.r { 1. =..i. + ex lee R 1 ft l U 2]~ 5, f u = lee Rl, hvortil kommer ulfuktioe. Rieeatiligige har ls:aiedes I sigere:; y = 3+2ex 2 ~ x samt y = x -~, e E.t{. 11+2ex DeI' er e iteressat sammehwg meiiem Rieeati's Iigig og differer.,.ti aio:p era iorer af ade orde. Lad vrere e Iierer dif'feretiaio:perator af ade orde. Vi vii s:palte de i to differetiaio:peratorer af f rste orde, altsa skrive de :pa fome

336 Mat. 1, Dertil m.a 'Wi vrolge p og q, saledes at p + <l = a, q I + pq = b, hvilket er esbetydede m.ed 2 P = a - q, ql = b - aq + q Problemet reduceres saledes til l sig af e Riccatiligigo 5. Differetialligiger~ som ikke er lierere i differetialkvotieteo Hvis e differetialligig er givet pa forme vii ma s ge at fide ~-udtrykt ved x og y ved at l se ligige F(x,y,p) = 0 med hesy til po Derved ma mem vete, at ma fider et af x og y afhregigt atal l siger for p. Hvis ligige er ogelude pre, vii et atal kurver dele (x,y)-plae i delmregder$ saledes at l sigsatallet er kostat i hver af disse. Edvidere ka ma~ evetuelt efter yderligere opdelig, i regle opas' at F(x,y,p) =0 i hver acc delmamgdere som l sig har et fast atal kotiuerte fuktioer p = ~ (x~y). Ligige vii v v derefter kue behadles ved de ovefor omtalte metoder. Hvis fuktioere ~ tilfredsstiller Lipsschitz-betigelse, vii der v geem hvert pukt ga e itegralkurve for hver vrerdi af v. Nar differetialligige har forskelligt atal l siger pa de to sider af e kurve r, ma ma forvete, at mage itegralkurver, som atydet pa figure, gar ud til rade, af r og veder om. Sredvaligvis vii der til

337 Mat. 1, hvert pukt af r svare e itegralkurve 9 der r rer r i puktet, me i sa fald er r selv e itegralkurve& Kurve r passer imke pa aturlig made id i ~amilie af itegralkurver~ og de kaldea derfor e sigulrer itegralkurve (e sigulrer l sirg)o Eksempel. Vi vii s ge at besvare f lgede sp rgsmal: Hvilko kurve i hal vpla6 bestemt ved y > 0 har de egeskab, at kurve-' ormale, reget fra kurvepuktet til skrerigspuktet med x-akse har de kostate lrogde a? De omtalte egeskab udtrykkes ved differetialligige 2 a ~ Vi l ser ligige med hesy til ~ og far ) 2 d:r = -LS :-Y.._) y fu{ eller dyr dx = _ -Lia 2 J:.'2) y for y ~ a~ For y > a far vi ige l sigero Skillelije y ~ a er e 1'?:Isigskurve til differetialligige, og det er umidder::~ bart klart, a t de~l har de forlagte geometriske egeskab.. De er differe tialligi:lges sigulrore l sig. I de fude differetialligiger ka de variable adsldlles - eller vi ka l t3~ ligigere pa forme eller dx _ ~=.x._ - 22$ dy v(a ~y ) hvorved problemet er reduceret til et stamfuktioproblem. Itegratio giver De to af rte kurvebuer er kvartcirkler, og de udg r tilsamme deved

338 Mat. 1, MA Y = v/(a - (x - c) ) bestemte halvcirkel. De vrige l siger til problemet bliver al tsa aile hal vcirkelbuer ~ som "s.tar pa" x-akse og har radius a. De r rer aile de sigulrore l sigskurve. Vi vii her dvrole et jeblik ved dit'feretialligigsteories omvedte problem~ emlig at t'ide e dit'feretialligig med e give t'amilie af kurver som l siger. Vi vil vise ved et par eksempler, hvorledes dette ka geemf res. Eksempel. Vi s ger e dift'eretialligig~ der som l sig har aile cirkler geem puktero (a,o) og (-a,o). Geem hvil-,. ket som helst tredie pukt i plae gar etop e af c1rkleree Vi skal derfor vete at fide e dit'feretialligig med (a,o) og (-a,o) som de eeste sigulrere pukter. E cirkel med cetrum (O$c) og geem (a$o) og (-a 9 0) har radius c 2 + a 2, og de er dert'or l sigsmregde til ligige 2 + a, hvilket reduceres til 222 x + Y - 2cy = a Dermed har vi faet m@gde at' cirkler geem (a,o) og (-a,o) orgaiseret som e t'amilie, idet der til hver vrerdi at' c svarer, e gaske bestemt af cirklere. Hvis y = ~(x) x,y og ~ = ~I(X) er e dift'eretiabel l sig til (10)9 vii tilt'reddtille de ligig, der t'as ved ~it'feretiatio af (10)9 efter at y = ~(x)) er idsat pa vestre side 9 altsa ligige

339 Mat. 1, MA 6.20 hvilket vi ogsa ka skrive xdx + (y - c)dy = o. Dette er e differetialligig med (10) som l sigskurve. Det tilsvarede rresoemet for e differetiabel l sig x = ~(y) til (10) f rer selvf lgelig ogsa til ligige (11). Ligige (11) giver os e differetialligig for hver cirkel i familie,, me vi sker jo e differetialligig med aile cirklere som l sigskurver. For cirkle med ligige (110) grelder u, at x,y og ~ vii tilfredsstille bade 1.0 og 11, og dermed ogsa de ligig vi far ved at elimiere c mellem (10) og (11) ved at fide y - c af (10) og idsrette i (1111). Af (10) far vi y - c = 222 a - x + Y 2y og dette idsrettes i (11). Derm8d far vi cirkelfamilies differetialligig Det er aturligere at skrive dee ligig pa forme (12 ) 222 2xydx + (a - x + Y )dy = 0, me derved ikluderes x-akse bladt l sigskurvere. Det er ikke umiddelbart idlysede, at ligige (12) falder id uder e af de ovefor omtalte typer af differetialligige. Skrevet pa forme 2ydx - x = _(a 2 + y~) 1 x afsl rer de sig som Beroulli's differetialligig&

340 Mat. 1, MA 6.21, 6. Differetialligiger, hvori x og y ikke begge optrreder. E differetialligig af forme reduceres til et stamfuktio problem, hvis det er muligt at l se de pa forme ~ = f(x). Hvis dette ikke ka geemf res, ka ma muligvis l se ligige pa forme hvor cp er e differetiabel fuktio. Vi far da dy dt-= dx dt = ~(t)cp'(t) ~ dx Eksempel. Differetialligige 3 d 3 dv x + (~) = 3x ~ Ka ikke ude urimjligt besvrer l ses, pa forme ~ = f(x)~ og bestemmelse af y som fuktio af t er reduceret til et stamfuktioproblem. at idsrette ~ dx-- Vi far i dette t:llfrelde Ved tx far vi imidlertid parameterfremstillige 2 ~ 3~_ dx - 1+t3...;~ (--L _ -L + 9 ) = 1-~t3 1+t 3 1+t 3 (1+t 3 )2 ( -18t 2 27t2 (1+t3 )2 + ~1+t3)3 9

341 MA 6.22 og stamfuktio bestemmelse giver eel; Dermed har Yi fudet l sigskurvere pa parameterform. For t ~ = fas et pukt, der h rer med til l sigskurve. Det er muiigt at elimiere t og derved fa e algebraisk ligig i x og y, me det vii vi ikke geemf re. E differetialligig af forme F(Y, ~) = 0, som ka l ses 0 pa forme Y = <p(t)~ 3~ - dx - if; (t) giver ({) t ( t) 5i - 2x ~ _,I, ( t) dx 't' =dt-dxdt-'r dt' altsa og x fas som fuktio af t efter e stamfuktiosbestemmelse. 7. Differetialligiger, som er Iierere i x og y. Vi vii studere e differetialligig hwor a,b lid i R er differetiable afbildiger. Ligige er abebart rekvivalet med Iigigsparret ( 14) y = a(p)x + b(p)~ ~~ - dx - p.

342 Mat. 1 ~ M.A Vi vii fors ge at fide l sigskurvere givet ved parameterfremstilliger pa forme x == <p (p), Y = t/j (p), hvor <p og p er differetiable. Sa giver de sidste af ligigere (14).9--Z _ 9x gx _ ~ dp - dx dp - Pdp, og det er pa de amde side klart, at ligige (15 ) Qil dx dp = p~ for ~ :? 0 medf r i 3r de sidste af ligigere (14) 0 Ved dlfferetiatio giver de f rste af ligigere (14) uder hesytage til (15~ 1>~; = a(p)~ + a'(p)x + b'(p) = o~ hvilket reduceres til de lierere differetialligig ( 16) (a(p) - p)~; + a'(p)x + b'(p) = O. Nar x = <p (p) er l )sig til dee ligig ~ fas y = t/j (p) umiddelbart at de f rste af ligigere (14). Det er klart~ at de saledes bestemte fuktioer <p og t/j tilfredsstiller de f rste af ligigere (14), og derfor ogsa de ligig, der fab ved differetiatio at dee, altsa ('l 7) = a (p) ~: + a' (p) x + b I (p) a Da <p tilfredsstiljer (16), vii <p og t/j ogsa tilfredsstille de ligig, der fas ved at idsrette (1,7) i (1,6), altsa ligige (-15L som medf rer de sidste af ligigere ~ 14), hvis~ ~ddx + o. p Som opgave er formuleret er der ikke meig i at sp rge om 1 f f S. t t. dx o d f ikk s~ger a orme x = c~ ~ ua ~oe dp == g~ver er or e aledi~ til l stgero

343 Mat. 1, 1; MA 6.24 To adre forhold b r imidlertid give aledig til bekymrig. For det f r&.te svigter metode helt, hvis a(p) er idetisk lig med p p ide t (116) degeererer hel t. Dermes t gar aile l sigejr af forre y = ax + ~~ a9~ E R tabt, da disse l siger giver p = a og derfjr ikke ka fremstilles pa parareterforme x = ~(t), y = J(t)" Vi ra derfor udera ge, om y = ax + ~, p = a tilfredsstiller (114). I::ldsrettelse giver betigelse ax + ~ = a(a)x + b(a,), hvilket er opfyldt for ~ = b(a) 9 hvis og ku hvis a er e l sig til ligige a(p); = p. Hver l sig til dee ligig giver derfor aledig til e l sig af forre y = ax + ~. Ek8erpel. Vi vii l se differetialligige y = (dy )2:x; + dx (~)3 dx Vi skal altsa betragte systemet 2 3 y=px+p? L " 2 1 glge J? = p har l sigere p = og p = i, som giver os l sigere y = 0 og y = X + 1. Ligige (16) bliver i det foreliggede tilfmlde ( 2 )dx 2 ~ - p dp + 2px + 3p = 0. Vi forkorter red p og far ( 1: - 1)~ dp + 2x + 3p _.. 0,

344 Mat. 1, MA 6e2.5 som har l sigere e E: R hvilket giver x 1 e :: - p - 2" (P;1)2 ] 1 2 y :: - -p - ee e E: R (p-1 ) s. Clairautts differetialligig~ Differetialligige Y ~x + b (2:il) = dx dx 1 hvor b : lid i R er e differetiabel afbildig, kaldes Clairautts diff'eretialligig. De er et spec,ielt tilfrelde af de i foregaede afsit behadlede diff'eretialligiger. Vi erstatter de derfor med systemet y :: px + b (p), dy P = dx~ ogde svarer etop til det udtagelsestilfrelde, vi ikke omtalte rermere. De rette liier med ligiger y = ex + b( e) ~ e E: R er aile l siger til ligige$ Til gegreld degeererer ligige (16) til x = -b t (p) ~.. som giver os e eeste l Sigskurve, emlig kurve med parameterfremstillige x = -b t (p) ~ y :: -p b t (p) + b (p )

345 MA 6.26 Hvis b er to gage differetiabel og b II (p) 4 0, fas heraf ~ = - pb"(p), wltsa ~ dx - I hvilket,dser, at parameterfremstillige v:irke,lig giver e l sigskurve & Kurvetagetes ligj_g i det s.amme pukt bli ver y + pb t (p).- b (p) ::-: p (x + b t (p) ) ~ hvdlke t reducere:3 til :r = px + b (p ) ~ Det 1"' ::,s,t fude system af rette liier er altsa etol? systemet af tageter til l{urveo Clairautligige er al tsa, etop differetial1igig for e kurve og alle des tagetero Eksempelo Lyjsigsmamgde t11 differe tialligige omfa tter kurve med l?armeterf'rems tillige Dee l:urve 1iggur hel t i de ved x ~ 0 bestemte halv:pla. De har e gre i hvor af de kvartplaer, hvori x -aksedeler hal v p1ae! og begge gree r rer x-akse i ( 0,0), saledes at kurve far e sl?ids i bugydelsespuj.::tet <I Begge gree b1i ver ved a.t krumme bort fra ~:-akse~ og tagethceldige gar m0d oo? ar et pukt '!: jerer Sig fra kurve" Geem et pul{t pa de side af kurve" hvor de posi ti ve x-akse 1igger ~ gar der al tid 3 tage--

346 Mat. 1~ MA 6.27 ter t,il kurve~ og i dee del af plae far ma tre l siger ~ ar ma l ser differetialih)igige med hesy til ~. Pa de ade aide af kurve faa ku 1 taget og 1 l sig. 90 Differetialligiger af ade orde 9 som ikke ideholder y. E differetialligig af forme 2 4 = f(x, d:y:) dx dx er rekvivalet med systemet dy dx = p, ~ = f(x,p), og de l ses derfor ved l sig, af e differetialligig af f rste orde i p~ hvorefter y fas ved e stamfuktiobestemmelse. Ligiger af dee slags op,trreder ret hyppigt i avedelsere, me da de ikke f rer til ye problemer~ skal vi ikke opholde os ved demo 110. Differe:ltialligiger af ade orde, lb:om ikke ideholder x. E differe'tialligig af forme d 2 d ~ = f(y'.':!x d ) dx - x er rekv~_valet mecl systemet ~ :0 p, ~ = f ( y,p) Vi vii fors ge a-,j fide l siger af forme x = cp(y). F rst s ger vi at bestemme p som fuktio af y. Vi bemrerker at ~ ~;y ==.9;Q. = dy dx dx f(y,p).

347 Ma t e 1, MA 6,28 Dette er e differetialligig a,f f rste orde til bestemmelse af p som fuktio af y. Nar e l sig idsrettes i ~ = p, fremkommer e differetialligig, i hvilke de variable ka adskil'- les. Metode svigter fuldstredigt for de kostate l siger. De gar tabt ved at x betragtes som e fuktio af y. Vrerre er detl act ligige ~~ == p efter idsrettelse af det fude p ka have kostate l~~siger, som viser sig at vrere forkerte" Eksempler. Fra fysikke heter vi differetialligige f'or det frie fald hvor g er kos.tat. De er rekvivalet med systemet dx - dt :;:: v ~ '.' og vi far ligige dv v- = -g dx til bestemmelse af v som fuktio af x. De har adskilte variable.. Itegratio giver 2 v = c - 2gx~ hvor c er e itegratioskostat.. I fysik fab dette direkte af eergi8re.tige. Vi far u x som fuktio af t ved at l se d" d~g == V (c-2gx) eller <1x _ ',/ (c-2gx) -d.j": = 'J v

348 Mat. 1, ef'te:rsom bevregels:e gar opad eller edado Begge ligiger har de kostate l sig x = 2~' som ikke passer i de opridelige ligig. Vi skal ikke fuldf re regigere, i~et det er klart, at metode er yderst upraktisk i det foreliggede tilfreldec' Eksempel. Lad os edu egag betragte det frie fru_d, me tage hesy til, at tygdeakceleratioe aftager~ ar vi fjerei' os f:rm. jordes cetrum~ Bevrege1.sesligige bli vel" da idet vi har lagt begydelaespuktet i jordes cetrum og 'beteget jordes radius med Ro Vi vii atage, at bevregelse starter for t = 0 ved jordes overflade og med e hastighed at st rrelse vo rettet lodret opad. Vi skal f rst itegrere ligige som giver dv v-= dx 2 v hvor c er e itegratioskostate For t = 0 giver ligige. sa vi far Sammehrege mel1em x og t er saledes givet ved ligige sa lrege hastighede er opadretteto Ved itegratio f'ar vi

349 Mat. 1 ~ MA 6.30 t = J? R udu 2 2 ~ v( (v O - 2Rg)u + 2R gu) 2 ~2 For Vo - 2Rg < 0 fas v = 0 for x = ----~ 2Rg-v ~ og dette er de st ro ste afstad fra jordes cetrum, partikle vii a. Dette idtrrei'- fer efter edelig lag tid, og derefter vii partikle begyde at falde. Fra dette tidspukt ra kvadratrode reges med modsat forteg. Vi vii ikke geemf re udregige, som er ret rutiearbejde. 2 For Vo :f 2Rg vii bevregelse stadlg fortsrette i samme retig, og partikle vii fjere sig vilkarlig lagt fra jorde~ 2 For Vo = 2Rg bliver itegratioe meget simpel~ E udregig giver~ at dette grresetilfrelde svarer til e hastighed pa lidt ove~ 11 km/sek.

350 Mat. 1, MA 6. Opgaver.Idledig 1 Det som gar id geem det ee re og ud geem det adet, g r ofte de ytte, at det Feser hjere. Piet Hei. Opgaver til kapitel 6. Idledig. Det er e vaskelig kust a,t l se ikke lierere differetialligiger. F rst og fremmest grelder det om at opa e god fortro-' lighed med de omtalte differetialligigstyper, sa ma keder dem, ar ma m der demo Evetuel t ra de omforme.s., f r de ka gekedes. Her er jo ikke tale om e klasse iddelig i typer, og e differetialligig ka udmrerket vrere af flere af de behadlede typer pa e gage Differetialligige (x - y)dx + xdy = 0 er de homo gee differetialligig, som vi har behadlet i afsit 2. De ka imidlertid omformes til x og afsl rer sig saledea som e lierer differetialligig. Det er selvf lgelig eklest at l se de som e lierer differetialligig, me i adre tilfrelde ka det vrere ret vaskeligt at trreffe et valg mellem de foreliggede metoder. E srerlig kust er det at fa je pa variabelsubstitutioer, der forekler e differetialligig eller f rer de over i e differetialligig, for hvilke ma keder e l sigsmetode. De t er jo rerliggede olc i differetialligige

351 Mat. 1 ~ MA 6. Opgaver. Idledig 2~ at beyt te x + 1 =: formes ligige til xi og y + 1 = Y 1 som ye vari able. Derved om- som er homoge af ade grad. Vaskeligere er det at udytte mulighede for at bruge et udtryk i begge variable som y variabel. Deter yttigt at treke sig ligige l st pa forme x = ~(t), Y = (t) og udytte relatioere d(x CX ) d(xy) = cxx cx - 1 dx $ d log x =!~ x = ydx + XdY9 d(x 2 + y2) = 2(xdx + ydy) d/(x 2 + y2) = ~g..x2+y~;y, d logv(x 2 +y2) =!. ~±y~~ vex +y ) x +y d il. = -ydx + xd;y x ydx - xdy x 2"" ' d- = Y 2 -, x y d log ;y = -;ydx + xd;z d Arctg -:l. = -;Zdx + xd~ x, x 2 2 xy x + y Ehver ka selv udvide dee tabel ved at udytte adre af de elemetrere differetiatiosregler. Ved hjrelp af tabelle opdager ma, 9m e eller ade af de fuktioer, hvis differetialer er af r~ pa aturlig made ka idf res i differetialligige. I de ovefor af rte differetialligig (x - y)dx + xdy = 0 optrreder udtrykket -ydx + xdy samt udtrykket xdx. Det er derfor rerliggede at omforme ligige til dx + =~~ + xd;y: _ 0 2 -, x x

352 MA 6, Opgaver. Idledig 3. hvilket ogsa ka skrive$ d log x + d ~ = O. x Nar vi bruger log X og ; som ye variable, er det e ligig med adskilte variable, og vi far ved itegratio log x + il = e, x e E t, hvilket ved reduktio giver y = ex - x log x, e E t. Desude er y-akse e l sigskurva, som er gaet tabt ved l sigsproeesse. Tilsvarede omskrives differetialligige (x-y)dx + (x + y)dy = 0 til hvilket ogsa ka skrives xdx + ldl + -ydx + xdy = 0, x + y x + y og itegratio giver e E t Det er u meget ~rliggede at idf re polrere koordiater~ Vi har divideret med x, og derfor far vi ikke puktere af y-akse med. Det bevirker, at l sigskurvere bliver delt op i flere buer? me overgag til polrere koordiater vii afsl re, hvorda de skal bygges samme.

353 Ma t. 1, 1, Ma 6. Opgaver. Idledig 4, Et rad: Reg ret formelt ude at skele til udtagelsestilfreldee ved de idledede fors g. Ellers risikerer De at spilde. Deres krrefter til ige ytte. Det er jo ikke sikkert, Deres f rste fors g f rer til malet. Nar malet er aet, b r De ga detaljere efter. Ved de edelige redaktio placeres detajere sel v" f lgelig id, hvor det er mest aturligt ~t omttlle dem.

354 Mat. 1, MA 6. Opgave 1,. Lette opgaver. 1. L s differetialligigere xdx + ~ dy = 0. Agiv de sigulrere pukter og l sigskurvere geem disse pukter. 2. L s differetialligige (x 3 _ x)dx + (y2 - y)dy = 0 og uders g l sigskurvere geem de sigulrere pukter. 3. L s differetialligigere ydx + xdy = 0, dx + xydy = 0 og l".ders g l sigskurvere geem de s:igulrere pukter. 4. Bestem alle kurver~ hvis tageter reget fra r rigspukt til skrerigspukt med x-akse alle har lregde a~ et givet positivt tal. hvor a er 5. Lad a vrere et positivt tal. E kurve geem koordiatsystemets begydelsespukt har f lgede egeskab: For ethvert kurvepukt vil de ee af de ligebeede trekater med be af lregde a, der som grudliie har det liiestykke pa kurveormale, som afskreres mellem kurvepuktet og x-akse, have det ee be vikelret pa x-akse. :Blid e parameterfrems.tillig for kurve. 6. L s differetialligige 2 2) xydx + (y - x dy = 0.

355 Mat MA 6& Opgaver 2 7. L s differetialligige (x 2 + 3y2)dx (3x + y )dy = O. 8. L s differetialligige 2 2 J(x + y )dx + xdy = o. 9. L s differetialligige I 2 2) I, X - Y dx + 2xydy = o L s for xy > 0 differetialligige (9x - Y) log il = 1. dx x x 11,. L fjj for ex E ~~ differetialligige X I + X ;:: Xex. 112 e L s differetialligige dy + ytghx = j- sih 2x.. dx Y 113. L s differetialligige idet a er et positivt tal L fl differetialligige Cty ( )( ) ~bc= y-ex y-.{3~ ide,t ex og {3 or reelle tal. 15. L 8 differetialligibge Ct;'T 2 2 -:~::: at + Y 0 ex

356 Ma t. 1, MA 6. Opgaver L s differetialligige 9x = x 2 _ y dx (I l sige idgar et itegral~ der ikke ka udtrykkes vee. elemetere fuktioer, og det forlages selvf lgelig ikke udreget) 1i7. L s differe'~ialligige. X) 2 'dx x 2 2 = ( 1 - y ) L f3 differe'~ialligige dy ) L s differe 1 ;ialligige 2 2 '.x + Y dx = - x - y 2 + (~)2 1: 0 :c = dx 20 c L s differetialligige 2 2 x 3 + (*)3 = 1. ~1a Agiv de kurver, for hvilke ehver tagets afstad fra (0,0) er lig med r rigspuktets abscisse. 22" L fj differetialligige 2 2 J_3 + (~):3 = " L f\ di ffere -;ialligige,~ ~ + Y -'.. dx = (~)3 dx 24. L f\ di ffere i;ialli gige

357 Mat. 11 $ MA 6. Opgaver L s di~~eretialligige V k B k t k dr t t 0 dy. d 0 lo : em83r, a va a e pa y - x _.- lo gar. V e d I. \Uslog. dx med hesy til dee st rrelse ~as: e Clairaut-ligig L s dif~eretialligige Y dy dx Fid e l sig til differetialligige som ~or x = 0 atager v83rdie y = 0 og har di~feretialkvo~- ~ tiete 2.

358 Kapitel 7. Topologisk rum. Kotiuitet. MA 7.1. I slutige af kapitel 5 idf0rte vi begrebet omegsrum. E mregde M med e afbildig ~M id i D(D(M)) (altsa id i mregde af mregder af delmregder af M)? kaldes et omegsrum. Vi beteger det T = (M 1 ). Vi kalder M de uderliggede mregde for rummet T. Et elemet x E M kaldes ogsa et pukt i rummet T og vi skriver x E T. E delmregde A ~ M kaldes e puktmregde i rulmet T og vi skriver A ~ T. Hvis P er e vilkarlig mregde og f:m id i P er e afbildig y kalder vi i overesstemmelse hermed f e afbildig af T id i P og skriver f:t id i P. Tilsvarede skriver vi g:p id i T i stedet for g:p id i M. I kapitel 5 beyttede vi omegsbegrebet til at give e mere geerel defiitio af begrebet kotiuitet idet e afbildig f:t 1 id i T2? hvor T1 = (M1y 1 ) og T2 = (M 2, 2 ) er omegsrum y kaldes kotiuert i et pukt x E T1 y hvis det for ehver omeg U E 2 (f(x)) grelder? at origialmregde f- 1 (U) E 1 (x). Afbildige f kaldes kotiuerty hvis de er kotiuert i ethvert pukt x E T 1. Det vii day som vi beviste i kapitel 5, vrere rigtigt? at sammesretig af kotiuerteafbildiger giver kotiuerte afbildiger. Begrebet omegsrum er alt for geerelt som eme for e matematisk teori. Bortset fra de omtalte sretig om sammesretig af kotiuerte afbildiger f0rer teorie ikke til oget som helsto Vi vii derfor i det f01gede forlage? at afbildige opfylder e rrekke betigelser, som sikrer? at et omegsrum dog i oge grad mider om det tredimesioale rum? de komplekse pla og de reelle akse.

359 Def'iitio 7.1. Et omegsrum T = (M,U) kaldes et topologisk rum, ar f' lgede betigelser er opf'yldt: u1). Vx E T(U(x) ~ 0) u2). Vx E TVU E U(x) (x E u) u3). Vx E TVU E t(x) VV ~ T (v ~ U ~ V E U(x» u4). Vx E TVU,V E t(x) (u V E fi(x» u5). Vx E~ TVU E t(x) 3V E u(x) Vy E V (u E U(Y»o Vi vii dvrele et jeblik ved disse betigelser. De 4 f' rste betigel ser vedr\zrer blot mregde af' omege af' et pulct x E: '1\ De to f' rste betigelser udtrykker, at ethvert pukt har omege og at puktet ligger i ehver af' disse. De ruste betigelse si,ger)l at e mamgde, der ideholder e omeg af' x sel v er e omeg af' x. De fjerde betigelse siger, at f'rellesmregde f'or to omobe af' x ep e omeg af' x. Dette medf' rer umiddelbart)l at f'rellesmregde f'or edelig mage omege af' x ige er e omeg at' x. I det tredimesioale rum sker vi, at e kugle med cetr'um i et puruct x og e positiv radius r skal vrere e omeg af' x. Kuglere med cetrum x og radius 1, E N har imidlertid ku puructet x f'relles. Det ville derf'or vrere et f'ejlgreb at udvide betigelse u4) til f'rellesmregde f'or uedelig mage omege. De mere komplicerede betigelse us) udtrykker, at o om~ eg af' x tillige er omeg af' aile pukter i e vis omeg af' x;, Det er de eeste af' de f'em betigelser, der vedr rer omoge al f'orskellige pukter. Eksempler. I det sredvalige tredimesioale rum er e

360 mamgde e omeg at' x, hvis og ku hvis de ideholder e kugle med cetrum x og positiv radius. De fer betigelser ses umiddelbart at vrere opt'yldte. I e pla bruges de samme defiitio119 idet dog "kugle" erstattes med tlcirkel tt Pa de reelle akse er e omeg at' x e mregde~ der ideholder et abet ikke tomt iterval med midtpukt i x. Idet M er e vilkarlig mregde ka vi t'or x E M lade U(x) vrere mregde af aile delmregder U E M for hvilke x E U. Specielt bliver sa {xl e omeg af x. Med dee defiitio bliver (M,U) et topologisk rum. Det kaldes et diskret rum. Pa de ade side kue vi ogsa for ethvert x E M have sat U(x) = fml. Ige bliver (M,U) et topologisk rum. Dette rum kaldes trivielt. Lidt midre trivielt kue vi for e vilkarlig mregde M det'iere: E omeg U at' x E M er e delmregde at'm, som ideholder x og har edelig komplemetrermregde. Det er ige hel t Idart, at (IvI,U) b:liver et topologisk rum. Hvis M er e edelig mregde bliver'(m,u) et diskret rum. Lad u M vrere e mregde, pa hvilke der er defieret e ordigsrelatio. Ved e omeg U af x forstar vi e delmregde at' M, som ideholder x og aile elemeter af M, som t' lger et' ter x. Det er ige klart, at betigelsere u1) us) er opt'yldto Pa mregde Z at' hele tal idf' rer vi for x E Z, ken delmamgdere Hvis vi u det'ierer e omeg af x E Z som e delmregde U ~ Z,

361 MA 7.4. der t'or et passede k E: N ideholder mregde Bk(x). Det er ikke vaslwl ig tat vi se ~ a t be tegel sere u 1 ) ~ 0, u5) er opfyld t ved dee det'iitio. Ku betigelse u4 krrever e gaske lille smu- Ie omtake. Det'iitio 7.2. Lad T = (M,D) vrere et topologisk rum, og lad A ~ T vrere e puktmregde i T. Et pukt x E: T kaldes et idre pukt i A, hvis og ku hvis A E: D(x). Mregde at' idre puko 0 ter i A kaldes det idre af A og beteger A eller A De idre pukter i A er altsa etop de pukter, der har A som omeg. For T = R og A = I, hvor I er et iterval, er de idre pukter at' I etop de pukter at' I, der ikke er edepukter. For T = 0 og A = fz E: 01 Izl ~ Rl, er de idre pukter at' A etop de z E: 0, der tilt'redsstiller betigelse Izl < R, meo des de pukter, t'or hvilke Izl = R tilh rer A me ikke Ao Altsa j~ = f z E: 0 I I z I < Rl ; A\A = f z E: 01 I z I = Rl. Vi bemrerker, at betigelse u2) medt' rer, at det altid o greider, at A <;: A. Vi ka selvt' lgelig ige dae det idre at' o 00 A 9 altsa A,me derved fremkommer itet yt, idet vi har sretige: 00 0 Sretig 703. A = A o Bevis. Sretige udtrykker, at aile pukter i A er idre o pultter i A, al tsa "Ix E: A (A E: D (x) ) Vi vii Vise, at dette virkelig er opt'yldt. Lad x vrere et vilo karligt pukt at' A. Vi har da if lge defiitio 7.2, at

362 A E U(x). Af u5) f lger u~ at vi ka vrelge V E U(x)y saledes at Vy E V(A E U(y))~ me dee relatio udtrykker etop, at 0) 0, V ~ A~ og u3 giver derfor 1 at A E U(x). Dermed er sretige bevist. Af sretig 7.3 f lger~ at systemet af de 5 betigelser u1) u5) er rekvivalet med det system af betigelser, der fas ved at erstatte u5) med ~~ u5 ) Vx E M VU E U (x) 3V E U (x) (V ~ U A Vy E V(V E U(y)) ). Det er emlig umiddelbart klart? at u3) og u5 * ) medf rer U5)1 o og s@tig 7.3 siger, at vi i betigelse u5) ka vrelge V = U,' og derved sikre, at u5' ) bliver opfyldt. Betigelsere u1) og u2) vii ofte blive atilt~de beyttet. Nar ma har opaet lidt mere velse, vii ma ogsa ofte beytte u3) ude rermere kommetarer~ Betigelse u5) beyttes " overordetlig meget, me ofte i forme u5~ eller som sretig 7.3. Betigelse u4) har e srerstillig, idet de forholdsvis sj@ldet kommer til avedelse i de idledede uders gelser, og det er ret let at frasortere de resultater, der hviler pa Defiitio 7.4. T = (M,U) vrere et topologisk rum. E o puktmregde A ~ T kaldes abe~ hvis A = A. E abe mregde er altsa e mregde, hvis pukter aile er idre. Sretig 7.3 udtrykker, at det idre af e mregde er e >:< abe mmgde, og betigelse u5 ) udtrykker, at ehver omeg af et purd~t x E T ideholder e abe omeg af x.

363 MA Sretig 7.5. Lad T = (M,t) vrere et topologisk rum, og lad o v@re mregde a~ abe delmregder a~ T. For ethvert pukt a E T gallder da Bevis. Pastade er esbetydede med, at relatioe U E U(a) ~ 30 E O(a E 0 A 0 ~ U) grelder ~or alle delmregder U ~ To Nu ~ lger ~ umiddelbart a~, at U for U E U(a) er e abe mregde i~ lge sretig 7.3, og ~ f lger af u3), idet vi vrelger 0 E 0, sa 0 ~ U og a E 0, og 0 er da e omeg af a if lge defiitioe af abe mregdeo Sretig 7.6. Systemet b af ahe mregder pa det topologiske rum T = (M,t) tilfredsstiller f lgede betigelser~ 01). 0 E 0, TEO 02). For ehver familie (OjljEJ) af abe mregder grelder, at foreigsmregde U O. er abe jej J 03). Af 0 1,0 2 E 0 f lger 0 1 r O 2 EO. Bevis, Det er trivielt, at 0 er abe, og det f lger af u1) 06 u3), at T er abe. Hvis fo.1 jejj er e familie af abe J mregder og a E 0 = uo j9 fides der e idex j E J, sa a E OJ' Da OJ er abe, grelder OJ E U(a), altsa if lge u3), at 0 E U(a)o Dermed har vi vist at 0 er abe, M 0 1, 2 E 0 og a E f lger 01 E U(a), 02 E b(a) og af u4) f lger dere~ter, E U(a), altsa at er abe. Dermed er sretige bevisto Bemrork, at u4) ka i brug, me ku ved beviset for OJ). at

364 MA 7.7. Eksempel. Et iterval pa R er e abe mamgde ~ hvi s og ku hvis det er et abet iterval. Ehver ~oreigsmregde a~ abe itervaller pa R er e abe mregde i~ lge 02). )" De udvidede reelle akse R P er et topologisk rum e ItervalIer J-oo,a[ og Ja,oo[ er selv~ lgelig abe, me ogss. [-oo,a[ og ]a,ooj er abe mregder. Sretig 7.7, E puktmregde 0 ~ R er abe, hvis og ku hvis de er ~oreigsmregde a~ h jst umerabelt mage disjukte abe itervaller. Bevis. I~ lge 02) er e mregde med de a~ rte egeskab abe. Lad u pa de ade side 0 ~ R vrere abe, og lad a E 0 Vrore et vilkarligt pukt. Da 0 E U(a), ~ides der et abet iterval I, sa a E I og I ~ O. Lad Ii vrere ~oreigsm@gde a~ aile abe itervaller med disse to egeskaber. Vi viste i kapitel 1), at Ii er et iterval~ og af sretig 7.6 ~ lger, at Ii er abeto Hvis b er et edepukt a~ Ii vii b ikke tilh re O. I modsat ~ald kue vi emlig vrelge et abet itervall 1 2, sa b E 12 og 12 ~ 0 1 og sa ville 13 = Ii IJ 12 vrere et abet iterval, 06 b E 1 3, 13 ~ 0 i modstrid med, at 12 var ~oreigsmregde af aile itervaller med dee egeskab. Vi vii udtrykke disse forhold ved at sige, at 12 er et maksimalt, abet deliterval a~ O. Vi har saledes vist, at ethvert pukt a~ 0 er ideholdt i et maksimalt, abet deliterval af O. Hera~ ~ lger, at o er foreigsmregde af sie maksimale, abe delitervaller. Det er klart, at de maksimale, abe delitervaller af 0 er idbyrdes disjukte. I hvert a~ dem ka vi vrelge et ratioalt tal, og de saledes valgte ratioale tal bliver idbyrdes forskellige. Derved far vi e ijektiv afbildig a~ mregde af maksimale,

365 MA 7.S. abe delitervaller id i mregde af ratioale tal, som er umerabel. Altsa er mregde af maksimale~ abe delitervaller umerabel, edelig eller tom. Dermed er sretige bevist. Allerede i plae ka abe mregder vrere overmade komplicerede. Det er gaske vist let at vise, at ehver abe mregde i.fjlae er foreigsmregde af abe cirkel ski ver (me maslw ikke idby-rdes disjukte). Det er heller ikke svrert at vise~ at de er foreigsmregde af h jst umerabelt mage abe cirkelskiver. Disse resultater er imidlertid ikke til stor hjwlp. Eksempel. I et diskret rum er aile puktmregder abe. I et trivielt rum er hele rummet og de tomme mregde de eeste abe mwgder. I det ovefor omtal te rum, hvor omegee er' mamgder med edelig komplemetrermregde, er de abe mregder de tomme mamgde, samt de mmgder, der har edeli!!3 komplemetrermregde. I m~gde Z med de srerlige topologi, der er baseret pa mregdere Bk(X), vii ehver foreigsmregde af mregder Bk(X) vrere abe, og der vii ikke vrere adre abe mregder. 8retig 7.S. Lad M vrere e mregde og S et system af delmregder af M med f lgede egeskaber: 1). 0 E S, M E S. 2). For ehver familie ~8jljEJJ af delmregder af M grelder U S.ES. jej J 3). Af S1,S2ES f lger S1s2ES. Der fides da e og ku e a:fbildig U:M id i b(b(m)) 9 saledes at T = (M,U) er et topologisk rum, og saledesat S etop er sys te:me t af abe mamgder it.

366 MA 7.9. Bevis. Lad os :f rst atage, at S er systemet a:f abe mamg der i det topologiske rum T = (M,U). Ai' sretig 7.5 :far vi d :for ethvert x E M u(x) = fu ~ M/3S E S(x E S A S ~ u)l& Dermed har vi vist, at der h jst :fides e af'bildig U med de skedo egeskab. Vi gar dere:fter over til at vise, at der virkelig eksisterer e afbildig U med de skede egoskab. Vi ved allertldo, at U(x) :for ethvert x EMma vrere dei'ierl;j,t som ove:for~ og vi magler altsa blot at vise, at T = (M,U) or et topologisk rum og at S etop or systcmct a:f abe mregder i T. Dot er imidlertid idlysede, at U :far egeskabere u1), u2) og u3). At U har egeskabe u4) :f lger a:f, at S har egeskabe 3). Do:fiitioe U med:f rer, at aile mregdere S E S :far egeskabe '\Ix E s(s E U(x», og derfor har tj egeskabe U5*), som samme med u3) med:f rer u5). Dermed har vi vist, at T = (M~tJ) er et topologisk rum, og vi :fik desude vist, at ehver mregde S E S har egeskabe '\Ix E S(S E U(x», altsa at ehver mrogde S E S 6r abe. Vl magler blot at vise, at ehver abe mregde o tilh rer S. Lad 0 vrere e abe mregde. Lad x vrere et vilkarligt pukt a:f O. Da 0 E U(x), ka vi vrelge e mrogde Sx E S, saledes at xes og S c O. Vi har da 0 = U S og 3) med:f rer, x x - xeo x at 0 E S. Dermed er sretige bevist. Betigelse 3) ka i beviset ku i brug ved beviset :for u4). Srotig 7.8 vii :faktisk bevare si gyldighed, hvis betigelsere u4) samt 3) begge udelades. Sretig 7.8 viser, at e mregde M ka orgaiseres som et topolobi sic rum ved at systemet 0 a:f abe mregder :fastlregges,

367 saledes at de tre betigelser i sretig 7 y 6 er opfyldt. Det saledes defierede topologiske rum T beteger da ogsa (M,O). Vi vii evetuelt skrive T = (M~U~O)~ saledes at bade U og 0 idgar i betegelse. Defiitio 7.9. Lad T = (M,O) vrere et topologisk rum. E mregde A ~ T kaldes afsluttet, hvis og ku hvis komplemetrermregde CA = T\A er abe. Eksempel. Et iterval I ~ R er e afsluttet mregde, hvis det or at afsluttet iterval. Vi bemrerker~ at itervallere J-009aJ og [a~oo[ er afsluttede delmregder af R, me de er ikke afsluttede delmregder af de udvidede talliie R*. Swtig Systemet A af afsluttede mregder i et topologisk rum T har f lgede egeskaber a1). 0 E A~ TEA a2). For ehver familie af afsluttede mregder i T greider, at frellesmregde er afsluttet. Bevis. Hver af de tre egeskaber fas umiddelbart af de tilsvarede egeskab i sretig 7.6 ved overgag til komplemetwrmregdere. Eksempel. Fa R er (]_- 1,1[ I EW) e familie af abe itervaller~ hvis frellesmregde er itervallet [0,1[9 som ikke er e abe mregde. Fa de ade side er ([- 1,oo[ I EW) e familie af afsluttede itervaller, hvis foreigsmregde er itervallet ]0,00[, som ikke er abet. Betigelsere 03) og a3), 80m umiddelbart geeraliseres til edelige familier, grolder sa-

368 ledes ikke for umerable familier. Eksempel. I et diskret rum er alle mregder samtidigt abe og afsluttede. Sretig De eeste delmregder af R, som er bade abe og afsluttede, er 0 og R. Bevis, Af sretig 7.7 f lger, at ehver ade abe delm~gde af Red 0 og R har et maksimalt deliterval med et edepulct R, der tilh rer komplemetrermregde. Dee er al tsa ikke abc, da a ikke er idre pukt i de. Dermed er sretige bevisto E mamgde 1:1 ka orgaiseres som et topologisk rum ved fastlw66else af.systemet A af afsluttede mregder, saledes at de tre betigelser i sretig 7.10 er opfyldt. Systemet af abe mwgder bliver etop systemet af kompelmetrermregder til mregdere i A, og det f lger umiddelbart, at de tre betigelser i swtig 7.6 er opfyldt for 0, saledes at sretig 708 ka avedes. Det fremkome topologiske rum beteges T = (M,A), eve~uelt T = (M,b,o,A) etc. Silltig Lad T vrere et topologisk rum. Lad 0 ~ T vrere e abe mregde, og lad A ~ T vrere e afsluttet mregde. Da er O\J~ abe og A\O afsluttete Bevis. Da CO er afsluttet og CA abe f lger pastadee widdelbart af, at O\A = OCA og A\O = ACO. Vi skal idf re ogle flere vigtige begreber. Defiitio Lad T vrere et topologisk rum og B ~ T e vilkarlig puktmregde. Et idre pukt i CB kaldes et ydre pukt for B. Mregde af ydre pukter for B kaldes det ydre for

369 MA o B og bcteges CB. De pukter af T, som ikke er ydre pukter fa~ B~ Imldes kotaktpukter af B, og mamgde af sadae kaldes afslutige af B og beteges B De pukter af T, som hverke er idre puru{ter af Beller ydre pukter for B kaldes radpukter for B~ og mregde af sadae pukter kaldes rade af B og beteges ob. Vi har saledes relatioere B = CCB, CB = CB, B = CCB 9 CB = CB o 0 ob = C(BIJCB) = BCB = B\:B Sretig Afslutige og rade er afsluttede mreg- Bevis. De etop auf rte relatioer afsl rer, at B og ob har abe komplemetrermregder. Eksempler. I et diskret rum er ehver mregde idetisk med sit idre og med si afslutig, og des ydre er etop komplemet~rmregde. Rade er de tomme mregde. For et iterval pa de rg011e akse udg res det idre af itervallets pukter udtage cdepukter og afslutige udg res af itervallets pukter samt edepuktere. Rade bestar blot af itervaledepuid{ tere. Delmregde a af R har ige idrepukter og R er bade des ai'slutig og des rad. Vi ved fra sretig 7.7, at e a be mwgde pa R er foreigsmregde af disjukte,. abe itervaller. Dot er klart, at aile itevaledepuktere h rer til mregdes rad, me rade ka omfatte mere ed itervaledepuruttere. Saledcs vii rade for 0 = samt puktere -1, E No ' U ](+1) [ besta at' purudet 0 9 EN

370 MA7.13. Sretig Lad B vrere e puktmregde i et topologisk o rw T. Da vii ehver abe delmffigde a~ B Vffire delmffigde a~ B, og 6hver a~sluttet mffigde med B som delmffigde vii have B som de Imffigde. Bevis. Lad 0 ~ B Vffire e abe mffigde. Da 0 or omeg a~ ethvert pukt a~ 0, er B omeg a~ ethvert pukt a~ 0, altsa o o ~ Bo Lad A ~ B vrere e R~sluttet mrugde. Sa gffilder CA ~ CB, o me da CA er abe, ~ lger hera~ CA ~ CB og overgag til komplemetffirmffigde giver A ~ B. Dermed er sffitige bevist. 8@tig Hvis B og C er puktmffigder i et topologisk o 0 rum T, og B ~ C, gffilder B ~ C og B ~ C. o Bevis. Da B er abe og B ~ C gffilder B ~ C i~ lge sffitig Da 0 er a~8iuttet, og B ~ 0, grelder B ~ C i~ lge sffitig Sretis Et pukt a i et topologisk rum T er kotaktpuld f'or e mffigde B ~ T~ hvis og ku hvi s ehver omeg a~ a ideholder et pukt a~ B. Puktet a er radpukt ~or B, hvis og ku hvis ehver omeg a~ a ideholder et pukt a~ B og et pukt a~ CB. Bevis. De ~ rste a~ de a~ rte betigelser udtrykker etop, at a ikke er ydre pukt ~or B, og de ade, at a hverke er idre pukt i Beller ydre pukt ~or B. Eksempel. Lad (a ) vrure e reel tal~ lge. Hvis (a ) ~ a er a kotaktpukt ~or puktmffigde fa /.&J pa R. For ehver,'. pulctmwgde B ~ R'" gffilder, at im B og sup B er kotaktpukter ~or B. Hvis de tilh rer R, er de tillige radpukter. Swtig Lad T Vffire et topologisk rum. De a~ildig af D(T) id i D(T), hvor D(T) er mffigde a~ puktmffigder

371 MA i T, som defieres ved at billedet af ehver puktmregde er des.ai'slutig~ tilfredsstiller i' lgede 4 betigelser: s1). 0" = 0 s2). VB ~ T(B ~ B) s3). VB ~ T(B = B) 84). VB ~ T VC ~ T(BW'C = BIJC). Bevis. Da 0 er ai'sluttet, f lger 81) umiddelbart ai' sretib Pastade s2) f lger umiddelbart af defiitioe af :8, og s3) i' lger af sffitig idet B er afsluttet og derfor ideholder 13. Lad u B og C vrere puktmffigder it. Da BIJC er e delmwgde af B IJ C~ som er afsluttet ii' lge a3) i sretig 7.10, gffildcr B IJ C <; B IJ C if lge sretig Dee sretig giver ogs8. 9 at B <; BIJC og C <; BIJC~ hvilket medf rer, at BIJC ~ BIJC. Dermed er sretige bevist. Vi bemrerker, at betige18e a3) ka i brug ved beviset for 9 at BI.JC ~ BIJC, medes de omved te ulighed BIJC ~ BIJC samt S1),82) og 83) or uafhregige ai' dee betigelse. Det er iteressat~ at begrebet "afslutig" Im beyttes som grudlag :for idf' relse ai' e topologi 9 idet f lgede sretie; g<.dder: Swtig Lad M Vffire e vilkarlig mregde, og lad cp :.0 (1v1) id i D(M) vrere e afbildig 9 som tilfredsstiller f lgede bctigelser: 1) cp(0) = 0 2) VB c M(cp(B) ~ B)

372 4) VB ~ MVC ~ M(<p(B!.JC) = <p(b) tj <p(c)). Det er da muligt pa e og ku e made at orgaisere M som et topologisk rum? saledes at det t'or ehver mregde B ~ M gwlder, at <p(3) etop er at'slutige at' B. Bevis. I e topologi med de skede egeskab grelder V13 ~ IIJI(B = <p(b))? og det medt' rer? at systemet A. at' at'sluttede mregder er givet ved A. = fb ~ M / <p(b) = Bl. Herai' t' lger, at del' h jst t'ides e topologi med de skede egeskab. Vi det'ie rei' u A som agi ve t..at: 1) t' lger da 0 E A. og at' 2) t' lger MEA.. Lad u (B./ jej) vrere e t'amilie at' mo:mg- J del', del' alle tilh rer A9 og lad B vrere t'rellesmregde B Ai' j 4) fas da B j = <p(b j ) = <p(b) tj <p(bj\b) -:J <p(b).9 altsa <p(:j) ~ f'ib. = B. At' 2) f lger u <p(b) = B, altsa B E ~\. Lad u J B og C VEBre elemeter at' A. Vi hal' da if lge 4), at <p(btjc) = <p(b) tj <p(c) = B tj C? vist? at Iv! altsa B tj C E A.. Dermed hal' vi ka orgaiseres som et topologisk rum, saledes at A etop bliver systemet at' at'sluttede mregder. Lad u B ~ M vrere e vilkarlig puktmregde. Vi skal vise~ at B = <p(b). Af 3) t' lgor, at <p(b) E A. Altsa er <p(b) ai'sluttet, og at' sretig 7.15 :f lger.9 at B ~ <p(b). Pa de ade side giver 4)9 at B = <p(b) = <p(b) tj <p(b\b) -:J <p(h). Dermed er sretige bevist. Det'iitio Lad T vmre et topologisk rum. Et pukt a siles at vwre et isoleret pukt at' e puktmregde B ~ T.9 sat'remt del' t'ides e abe mregde 0, saledes at faj = B O.

373 MA Betigelse~ er esbetydede med, at a E B ude at vrere kotaktpukt ~or B\fal. Puktet a E T er et isoleret pukt a~ T9 hvis og ku hvis faj E U(a). Eksempel. AIle pukter i et diskret rum er isolercqe.plae og de reelle talakse og de udvidede reelle talakse ideholder ige isolerede puw{ter. Delmregde Q a~ de reelle talakse har ige isolerede pukter, me aile pukter a~ delmregde Z or isolerede. De~iitio Lad T1 = (M 1,U 1 ) og T2 = (M 2,b 2 ) vrere topologiske rum, og lad x E T1 vrere et vilkarligt pukt. E a~ildig ~:T1 id i ~2 siges at vrere kotiuert i x, hvis og ku hvis A~bildige ~ kaldes kotiuert, hvis de er kotiuert i ethvert pukt a~ T. i Dette er blot e kopi a~ de de~iitio, vi id~ rte i slutige a~ kapitel 5. Eksempler. Hvis T1 er et diskret rum eller T2 et trivielt rum 9 er ~ altid kotiuert. I et isoleret pukt a~ T1 vii f altid v@re kotiuert. F lgede sretig blev bevist i kapitel 5, me vi getager s~tibc og beviset her, hvor de mere aturligt h rer hjemme: Sretig Lad T1 = (M 1,b 1 ), TC) c... = (M 2,b 2 ) og T3 = (M 3,u 3 ) vmre topologiske rum. Hvis e ai'bildig ~1 :Ti id i T2 er l{o- ~ tiuert i et PUW{t Xi E T1 og e a~ildig ~2:T2 id i T3 er kotiuert i bill e dpuk te t x 2 = ~ 1 (xi L er de sammesatte a~-

374 MA bildig r = r 2 0 r 1 :T 1 id i T3 kotiuert i puktet xi. Hvis r 1 og :f2 or kotiuerte, er r kotiuert. Bevis. Lad U vrere e omeg ar r(x ). Sa er 1 r- 1 (u) = r~1(r;i(u)). Da :f2 er kotiuert i x 2 er :f;1(u) e omeg ai' x 2 ' og da :f1 er kotiucrt i xi' er :f~1(:f;1(u)) e omeg a:f xi ~ Dermed er de :f rste pastad bevi st, og de emde :f Iger umiddelbart. v~re Sretig Lad T1 = (M 1,b 1,01,A 1 ) og T2 = (M 2,b 2,02,A 2 ) topologiske rum, og lad :f:t 1 id i T2 vrere e a:fbildig. F lgede 4 betigelser er da idbyrdes rekvivalete: 1 ) 0 :f er kotiuert 2), va E 2(:f- 1 (0) E 1 ) 3) VA E A2 (:(.-1 (A) E Ai ) 4) VB <; M 1 (:f(b) <; reb)). Bevis. Vi viser :f rst, at 1) ~ 4). Vi atager altsa, at :f:t id i T2 er kotiuert, og vi betragter e vilkarlig mregde B <; M. Lad Xi E T1 vrere et pukt med de egeskab, at :f(x 1 1 ) er et ydre pukt :for :f(b). Sa grelder T 2 \:f(b) E U 2 (:f(x )), aitsa pa grud a:f kotiuitete a:f :f, at :f- 1 (T 2 i \r(b)) E u (X ). 1 1 Hera:f :f lger U 1 (X 1 ) B = 0. Altsa er Xi et ydre pukt :for Bo Vi har saj.ode s set, at Im ydre pukter :for B arbilde s ved :f i ydre pulcter :for :f(b). Me det med:f rer, at pukter a:f B a:fbildes i pukter a:f :feb), og dermed er pastade bevist. Vi viser derrest, at 4) ~ 3). Vi atager altsa, at 4) er o.q:f:/id to For A E A2 :far vi da

375 hvillwt medt' rer, at t'-1 (A) ~,-1 (A), altsa, at t'-1 (A) er at' sluttet. Vi vii u vise, at 3) ~ 2). Vi atager altsa 3) opt'yldt. For 0 E 02 t'ar vi da og da T 2 \O er at'sluttet, er dette e ade mregde it' lge 3). Edelig viser vi~ at 2) ~ 1). Vi atager altsa, at 2) er opt'yldt. Lad xi vrere et pukt at' T 1, og lad U vrere e omeg at' t'(x 1 )o Vi ka da vrelge 0 E 02' saledes at t'(x 1 ) E 0 og 0 ~ U. o -1 ( ) o. -1 () -1 ( ) Sa er t' 0 abe og ldeholder xi' og da t' U '";2 t' 0, slutter vi, at t'-1(u) E U 1 (x 1 ). Dermed er sretige bevist. Eksempler. Lad os betragte et topologisk rum T = (IvI,U,O,A), hvor M er e uedelig mregde, og, hvor elemetere at' A er IvI og de edelige delmregder at' M. Det ses da umiddelbart ved hjrelp at' oetigelse 3), at e at'bildig t':m id i M er kotiuert, hvi s cle o te er kostat eller har de egeskab, at ethvert pukt hr edelig origialmregde. Specielt vii ehver ijektiv ai'bildig t':m id i M vrere kotiuert. Lad os betragto e at' bildig f:m id i R, og lad os atage, at billedmregde ideholder to pukter a og b med a < b. Vi ka da vrelge c E ]a,b[, og da t'-1(]-oo,c]) IJ t'-1([c,oo[) = M, er de ee at' disso mregder uodelig, og da de ikke ideholder bade a og b, er de il{l\:o holo hi, al tsa ikke at'sluttet. Al tsa er t' ikke kotiuert. Der t'ides al tsa il{:ke adre kotiuerte af'bildiger t':m id i Red de kostate. Det'iitio Lad T = (M,U) vrere et topologisk rum, og lad x vrure et pukt at' T. E delmregde V ~ U(x) kaldes e basis

376 eg U E U(x) har e. delmamgde~ der e:c> et elemet at' V. E ai', bildig.b:m id i (:t(m»)p kalc1es e omegrbas5.s for rurr.:.ret,.. T; sa.:fremt det for' ethvert x.. E T gmj.der). at Bey:) er e basis for u( x),...- Det er klart, at topo).og.i.e pa T 81" i'astlagt vecl. e ()i;l~" egsoasis :for T, i det e omeg at' x'e T simpeltl1.5 e.1" e mmg-, de~ der har e basisomeg at'.x som. de}mamgdeo At o og samli18 to,~.. ' poldgi giver acledig til mage i'orske.j.ltge omegl1.sh8ser 1:a.,,:' vrere e ulem:pe, og dee omstamdj,gbed ;i.dskramker.:i. l.'wg.e gi't.'.~d. avedelighede af basi somegee. Deres t'orde]. ligge:"' i, at dot ved uders.gelse af, om e afbildig 82'" kotim... lc t,r er~. o};: 'at vise betigelse for ehver basisomeg.:: sted.et.:fol' e:.hvor om~~ eg. o For shver omeg U' af x grelder 9 at U e:p Gr~ i~~j)ed. ow-:;g a:f' x. De.. abe om-sge at' ]I: 'udg r derf'or. altid.. e 'olljegsbasis '01' pul\:t e t x.. Eksempler ~. For K E :R udg r il1.tervaljere Jx -h~ x+h[ mod h >.0 e omegsba 8i s. E ade omegsbabi s udgy5r e 3 2:[" j:.tf;:r'voa~l ' lei'e Jx_1,. x+.1[; E:,, N og e:d e. u.clgpres at' ite:c'vclll-er1'}.e [.X-~?x+~L E Jr. Et pukt x i plae t.9.i' 'e om0gsba.sif:~'1 c1,:c bestar at' cirkals.ki vere (abeeller af'sj.u.ttede.) wed... c~etrutil. x og radius ~h.e~. Hvi s M er 'et di Ekret I'um p er [f x} J em O;-;legIl.S basis.for x E M.:Ivis M er et trivi.elt. rum, OJ,' [MJe omegs-- basis :fo.rx E.JvI., Smtipg 7. 2j. Lad M vo.'ll'\:j e. v:i.. U;::o.~('lig [email protected] og B ~ ~\i ij.1.d. :L b(b(m») e af'bildig. N dvecli.gt og ti13trmj.'jcclj.l~t f'ol~? at der fides et topologisk rum 'r = (M,U) Illed:B som omegc.,'bf.1o:ls, or,

377 MA at B til~redsstiller betigelsere b1). Vx E M(B(x) ~ 0) b2). Vx E M'ifU E B(x) (x E u) b4). Vx E M'ifU,V E B(x) 3W E B(x) (w <; U v) bs). Vx E M'ifU E B(x) 3V E B(x) Vy E V 3W E B(y) (w <; u). Bevis. Hvis der ~ides et topologisk rum T = (M,U) med B som basis, er U ~astlagt ved, at det ~or ethvert x E M grelder, at ( 1 ) U E U(x) ~ 3V E B(x) (V <; U). Vi ka derfor troke os U de~ieret ved dee relatio, og vi skal da vise, at U vii til~redsstille betigelsere u1),,us), hvis og ku hvis B til~redsstiller de i srotige a~ rte L~ betif;olser. Nu mem rer (1) umiddelbart, at u3) er op~yldt. Det er helt trivielt, at u1) er esbetydede med b1) og u2) med b2)o De i bli.) idgewde relatio 3W E B(x) (W ~ U V) udtrykker otop, at W E U(x), og derfor bliver u4) esbetydede med b4). Gaske tilsvarede ses, at us) er esbetydede med bs), og dermed or smtige bevist. De~iitio Lad T1 = (M,U 1 ) og T2 = (M,U 2 ) vrore topolosi ske rum med samme uderliggede mamgde M. Hvis det ~or ethvort x EM greider, at U (X) ~ U 1 2 (x), siges topologie pa T2 at VL8re ~iere ed topologie :p8. T, og topologie p8. T1 siges 1 at v~re grovere ed topologie p8. T 2 Det er klart, at "~iere ed" er e reflexiv ordigsrelatio, og at Itgrovere ed" er de omvedte ordigsrelatio"

378 Bortset t'ra det trivielle tilt'relde, hvor P er e mregde med ku ot elemet, bliver ordigsrelatioere selvt' lgelig ikke total-epa mregde at' topologiske rum med M som uderliggec1e mregde. I litterature m der ma ogsa "stc.erkere" med samme betydig som tlt'iere" og "svagere" med samme betydig som ligroverelt. Eksempel. De diskrete topologi er de t'ieste at' aile topolo~ier pa M, og de trivielle topologi er de groveste at' al- Ie to~ologier pa M. Sretis Lad T1 = (M,u 1,01,A 1 ) og T2 = (M,U 2,02'A. 2 ) Vffire tbpologiske rum med samme uderliggede mregde. F lgede t'ire egeskaber er da esbetydede: 1). Topologie pa T2 er t'iere ed topologie pa T 0 1 2). 01 ~ 02 3) Ai ~ 12 4). For ehver mamgde B <;: M er at'slutige at' B i rummet T2 e delmregde at' at'slutige at' B i rummet T 1 Bevis. Vi har 1) ~ 2), da e abe mregde 0 E 01 er omeg at' ethv0rt at' sie pukter som mregde i T1 og dert'or ogsa i T 2 Vi hell' 2) ~ 1), da e omeg U E U 1 (x) ideholder e mamgde o E 01 med x E 0, og sa grelder jo ogsa 0 E 02. At 2) ~ 3) t' lger umiddelbart at', at Ai etop omt'atter aile komplemetrermregder til mregdere i 01 og aalogt for A2 og 02. At 3) ~ 4) t' lger at', at at'slutige at'-b-i rummet T2 er at'sluttet i T2 og dert'or i T 1, og de har dert'or at'slutige i T1 som delmregde

379 MA 7.2'2. if'plge scatig At 4) =? 3) f' lger at', at e mamgde 9 der e:;:> af'sluttet i T1 er idetisk med si af'slutig i T1 og derf'or if'plge 4) samt s2) med si at'slutig i T 2 Dermed er smtigel bevist. Vi har saledes e t'orlelarig pa, at "t'iere" og "st@rkere lf er blcvot syoymer, idet "t'iere" betyder "rigere pa detaljer lf, ogilstwrkere" betyder "mere materiel til radighed". S&tis Lad T1 = (M,01) og T2 = (rvr,02) vrere topologisko rum med samme uderliggede mregde. De ideti slee af'bildig I:M id i M opt'attet som e af'bildig I:T 2 id i T1 er kotiuert, hvis og ku hvis topologie pa T2 er t'iero ed topologi e pa T 1. Bevis. At I er kotiuert betyder VO E 01 (I- 1 (0) E 02)' og da I- 1 (0) = 0, er dette etop esbetydede med, at 01 ~ Dermed er smtige bevist. 2 S&tig Lad M vmre e vilkarlig mamgde. Lad (T j = (M j' U j ) 1 j E J) vrore e t'amili e at' topologi ske rum, og lad (f'j:m id i T.I jej) vrere e t'amilie at' af'bildiger. Blad t de J topologiske rum T = (M,U) med M som uderliggede mregde 9 og t'or hvilke aile af'bildigere t'j er kotiuerte, t'ides der et, som har brovere topologi ed alle de adre. Bevis. Lad x vrere et elemet at' M, og lad j1,,jp vrere vilkarlige elemeter at' J. Lad Uk E Ujk(t'jk(x)) vrore abe for k = 1 9 " o.,po Hvis U er valgt, saledes at f'. ' 0,t'. :T id i T J. or kotiuerte, er (2) J1 Jp

380 Hvis datte er op~yldt ~or alle valg ar X,j1,,jp og U1~ 'Up vil det pa de ade side sikre, at alle afbildigere ~j er kotiuorte o Nu de~ierer vi B(x) som mregde ar de mrogder der ~as vod pa vestre side i (2) at vrelge P,j1,,jp, U 1,,U p pa alle mulige mader. Det er da umiddelbart, at B:M id i b(b(rvr)) til~redsstiller b1),b2),b4),b5) i sretig 7.25, og B er der~or e omegsbasis ~or et topologisk rum T = (M,U), som abebart har de egeskab, at alle afbildigere rj:t id i T j er kotiuerte. For ethvert adet topologisk rum T* = (M, u>:<) grelder dot, at de ved B de~ierede basisomege alle er omege, og dets topologi er der~or ~iere ed topologie pa T. Dermed er s@ti~e bevist. L@g mffirke til, at vi i beviset ikke ~orudsatte, j1,.0.,jp var idbyrdes ~orskellige. at Det har de virkig, at b4) bliver helt triviel. Betigelse b5) er i vrigt opfyldt pa de trivielle ~orm, at ehver basisomeg er omeg a~ ethvort a~ sie pulcter. Ved hjrelp a~ relatioe ~-:-1(u') ~-:-1(u") = :f-:-1(u' u") J J J ka udtrykket pa vestre side i (2) selv~ lgelig altid reduceros, salcdes at de optrredede idices bliver idbyrdes ~orskelligeo Hvis J er e edelig mregde, ~.ekso det der~or ok i (2) at beytte udtryk a~ forme mregde f1,.00,pj, er De~iitio Det i sretig 7028 omtalte topologiske rum T = (lvi, U) kaldes det ved afbildigere ~ j de~ierede topolo/:,iske origialrum (eller iitialrum). Swtig Med betegelsere ~ra sretig 7.28 og med

381 edu et topologisk rum T' = (M',U') vil e afbildig :t':t' id i T vrere kotiuert, hvis og ku hvis alle af'bildigero f'j :t':t' id i T j er kotiuerte. Bovis. Hvis :t' er kotiuertll er af'bildigere fj :t' kotiue:{ te if' ~go sretig Lad os u pa de ade side atagol' at aile af'bildigere :t'jof er kotiuerte. Lad x E M' V83~o ro vilkiirligt valgt, og lad U vrere e omeg af x. Sa vii U ideholde e basisomeg t'~1(u1) t'~1(u ), J1 J p P hvor hvort Uk er e omeg at':t'. (:t'(x)) i T. Origialmrogde til doe omeg er imidlertid Jk Jk t'-1(:t'~1(u1)) f-1(f~1(u )) = J1 J p P (f. of)-1(u 1 ) HO (:t'. o:t')-1(u ), J1 J p P og dette er if lge u4) e omeg af x. Dermed er sretige bevist. Begrebet "topologisk origialrum" er heldigvis e hel del yttigere ed dot ved :t' rste blik ser ud til. Idette kursus skal vi bruge det til idf relse af topologi pa delmregder og pa produktrum. Avedelse pa delrum er dog gaske triviel. A ~ Defiitio Lad T = (M,U) vrere et topologisk rum og T o vilkarlig delmregde. Ved delrummet A af T t'orstas det topologiske origialrum for ijektiosa:t'bildige j:a id i T de:t'ieret ved j(x) = x :t'or ethvert x E A. E mregde B ~ A kaldes abe relativt til A, hvis de er e abe mregde i delrummet A. Des a:t'slutig i delrummet A kaldes des relative a:t'slutig. Tilsvarede :t'or adre topologiske

382 MA 7. :5. begreber. Nar ordet "relativt" udelades, skal de topologiske begreber altid forstas i relatio til T. Hvis der optrreder flere clelmcagder pa e gag ka det vrere dvedigt at bruge vediger som ilabe relativt til A" for at udga misf'orstaelser. 8@tig Lad T ::: (M,u,o~A) vrere et topologisk rum, og A ~ T et delrum. For et pukt x E A og e puktmwgde B ~ A grelder da relatioere 1) B relativ omeg af' x ~ 3U E U(x) (B ::: AU) 2) B relativt abe ~ 30 E 0 (B ::: AO) 3) B relativt afsluttet ~ 3F E A (B ::: AF) De relative af'slutig af' B er B A. Det idre af' B er e delmregde af det relative idre af' B. Bevis. Lad j:a id i T vrere ijektiosafbildige. For U E U(x) er j-1(u) ::: A U e relativ omeg af x. De omege, der f'as pa dee made, udg r if' lge beviset f'or sretig 7.28 e omegsbasis f'or delrummet A. At A ~ V ~ A U f lger imidlertid V ::: A (UlN), og da U IJ V E U(x), viser dette, at u3) grelder for systemet af mregdere A U. Me det betyder, at systemere af mregdero A U etop omf'atter aile de relative omege, og dermed er 1) bevi st. 2). For 0 E 0 er A O::: j-1(o) relativt abeo Hvis B ~ A er relativt abe, har hvert pukt x e relativ omeg U x A ~ B, hvor U x E U(x). Me sa f'ides der e abe mregde Ox med x E Ox og Ox cu. al tsa A c B. Me sa er B ::: A 0, hvor - x' x- 0:: U er abe, og dermed er 2) bevist. xeb x

383 MA '- 3). At b er relativt at'sluttet er esbetydede med, at A\B er relativt abe, altsa, at der eksisterer 0 E 0, saledes at A\ B = A O. Me dette er esbetydede med, at B = A CO. Dermed or 3) bevist. Vi ved u t'ra 3), at B A er relativt at'sluttet. Hvis F t;: A er relativt at'sluttet og F ;; B, grolder F = F1.il, hvor F1 E A og F1 ;; B, altsa F1 ;; B, me det medt' rer, at F = F1 A ;; B A. De sidste pastad er triviel. Eksempler. De reelle talakse R er et topologisk delrum at' de udvidede talakse R*. E delmregde at' R er relativt abe~ hvis og ku hvis de er abe i R*, og de er relativt at'sluttet, hvis og ku hvis des t'oreigsmrogde med ~-oo,ool,~ i ~ er at'sluttet Tallegemet Q er et topologisk delrum at' R. Det relative idro at' ~,* er hele Q og det absolutte idre at' Q er tomt. Med N beteger vi det topologiske delrum N IJ fool at':r At e kompicks talt' lge (a) er koverget med grrosevrerdi a er esbetydede med, at de ved ~(oo) = a, ~() = a det'ierede af'bildig, >.'c ~ :~~ id i C er kotiuert. Et srerligt vigtigt eksempel pa et delrum er et iterval pa de reelle akse. Cirkelskiver eller rektagler i plae er ogsa eksempler pa delrum. De reelle akse er et delrum at' C. For e ret liie i plae stemmer delrumstopologie overes med topologie pa de rette liie opt'attet som talakse. ]Ior topologisk delrum giver sretig 7.30 blot udtryk t'or de trivielle kedsgerig, at kotiuitet at' e af'bildig id * i delrurrmet er esbetydede med kotiuitet at' af'bildige opt'attet som ai'bildig id i hele rummet.

384 MA Hvis T og Ti er topologiske rum, A ~ T et delrum og ~:T id i Ti e afbildig, da er restriktioe ~IA:A id i T1 idetisk med de sammesatte ai'bildig ~Oj:A ~~lger umiddelbart sretige: id i T i Hera~ Sretig Ehver restriktio af e kotiuert a~bild~ ig er kotiuert. Det er selv~ lgelig ikke rigtigt, at ehver kotiuert a~bildig g:a id i Ti er restriktio a~ e eller ade ai'bildig ~:T id i T i " Saledes er tg:j-~,~[ id i R kotiuert, me ikke restriktio at oge kotiuert aibildig ~:R id i R. Det er dumt (me udertide gaske tillokkede) at forveksle de 2 udsag 1 ) ~bildige f:t id i Ti er kotiuert i ethvert pukt a~ A. 2) Restriktioe a~ afbildige f:t id i T1 til mregde A er kotiuert. Det er imidlertid klart, at udsaget 1) er vresetligt strerkere ed 2). Udsaget 2) stiller overhovedet itet krav til restriktioe a~ ~ til T\A. Eksempel. De ved ~(x) = [ 1 o ~or ~or x E Q x E R\Q de~ierede af'bildig ~:R id i R er ikke kotiuert i oget pm1kt a~ R~ me des restriktio til Q er kotiuert. LE!d (Mjl jej) vrere e ~amilie af mregder. Produktmregde

385 MA M::: IT l":j er mregde af' a:rbildiger x:j id i U M., som tiljej jej J fredsstiller betigelse Vj E J(x(j) EM.). Sredvaligvis vii vi J skrive x. i stedet f'or x(j). Til hvert j E J svarer e projek- J tio~ som er e afbildig Pj:M id i M j defieret ved Pj(x) = x j Projektioere er surjektive afbildiger. For e f' lge (M I EN) aveder vi ogsa skri vemade M = M1 x M2 x 0 og aalogt f'or edelig mage. Projektioe Pj(X) ::: Xj kaldes ogsa J-lwordiate af x eller de j te koordiat af' x. Defiitio Lad (T. ::: (M.,u.)lj E J) vrere e f'amilie J J J af topologiske rum. Ved produktrummet T = IT T. forstas det tojej J pologiske rum T ::: (M,U), M::: IT T., som er topologisk origial J 'EJ J, rum for projektioere Pj. For J::: N skriver vi T ::: T 1 x'f 2 x og aalobt, hvis J er edelig. Lad u S = (M',U') vrere et vilkarligt topologisk rum e e afbildig f:s id it::: IT T. svarer koordiata:rbildiger jej J fj ::: PjOf:S id i Tjo Omvedt defierer e f'amilie af koordiatafbildiger (f'j:s id i Tlj E J) e a:rbildig f:s id i T, idet vi f'or t E S sretter f'(t) = x, hvor x. ::: f'.(t) for ethvept J J j E J. Sretig 7.30 giver u gaske umiddelbart f' lgede sretis: Sretig E a:rbildig id i et produktrum er kotiuert hvis og ku hvis ehver af' des koordiata:rbildiger er kotiuerte. Lad u x E T vrere et vilkarligt pukt af produktrummet T::: IT T.o Af beviset for sretig 7.28 f'remgar, at vi far et jej J system af basisomege af x ved pa aile mulige mader at vrelge Til q E ~-r l~? j1' ' j E J og omege Uk af x. it. Sa vii mregdere 'j. J k J k

386 MA () -1() p. U. p. D. J 1 J 1 J q J q udg re e omegsbasi s f'or x. Di sse mamgder ka imidlertid ogsa udtrykkes pa f'orme 1\ 1\ Vrelger vi u U j = T j f'or aile adre j E J, ka dette abebart skrives D = IT D. jej J E omegsbasis bestar altsa af' aile sadae "produktomege ii, hvor D j = T j udtage f'or edelig mage j E J. Vi berrerker 9 a-~ p.(u) = D. J J Vi t'ar selvf' lgelig e omegsbasis, selv om vi ku medtager de basisomege~ hvor aile U j er abe mrogder. I det specielle tilf'rolde J = N ka vi jes med 8G be~ trugte basisomege af' f'orme og i de t ti If'rolde ~ hvor T = T 1 x x Tm ka vi j e s m3d 08. S:L3~' omege af' f'orme U 1 x x Ur' Eksempel. RxR = :R 2 f'ar som basi somege at' x = (x'i' x 2 ) f'. elcs. mregde af' kvadra ter ]x - 1" x + 1[ x ] x _ 1 x + 1[ 1 ' 1 2 ' 2 9 og da hvert at' di sse k:wadrater ideholder de abe cirkelskiv\.j med cetrum x og radius 1, me er ideholdt i de abe di."l:c::jl

387 MA skive med cetrum x og radius ~, de smdvalige pla. bliver produktrummet R2 etop Defiitio Lad S = (M 1,01) og T = (M 2,02) vrere topologiske rum. E afbildig f:s id i T kaldes abe, hvis og ku hvis Gaske aalogt ka vi defiere e afsluttet afbildig. De to begreber er ikke rekvivalete. E kostat afbildig f:r id i R er afsluttet, me ikke abe. Begrebet "abe af'bildig" afhreger pa vresetlig made af det ruit:, vi afbilder id i. Ijektiosafbildige j:r id i C defieret ved j(x) = x er ikke abe, da j(r) = R c C ikke er a be, me j:r id i R er selvf lgelig abe. Sretig Projektioere p. er abe afbildiger o J Bevis. I produktrummet T = IT T. betragter vi e abe mregjej J de 0 og et vilkarligt pukt Xj E ~j(o)~ Vi skal vise, at Pj(O) E Uj(x j ). Nu eksisterer der et pukt x E 0 med Pj(X) = x j ' og 0 ideholder e basisomeg IT U. af XCI Altsa har vi jej J PJ' (0) ;; p. ( IT U.) = U., J jej J J og af u3) f lger sa, at p.(o) er e omeg af x. Dermed er sret- J J ige bevist. Eksempel. Mamgde ~(x,y)lx > 0 1\ xy == 1J er e afsluttet delmregde af R2 (e hyperbelgre). Des projektio pa x-akse er itervallet ]0,00[. projekt ioer beh ver al tsa ikke at vrere afsluttede afbildiger.

388 MA Defiitio Lad S og T vrere topologiske rum. E afbildig f:s id i T? som er bijektiv? kotiuert og abe~ kaldes e hom omorfi. Hvis der eksisterer e sada afbildig~ kaldes S og T hom omorfe. At f er bijektiv medf rer, at f har e omvedt af~ildig f- 1 :T id i S. At f er ab~ er esbetydede med, at f- 1 er kotiuert (og omvedt). Det er klart~ at sammesretig af hom omorfier giver hom omorfier. Heraf fas umiddelbart f lgede sretig : Swtig Relatioe S hom omorf med T er e rekvivalesrelatio pa klasse af topologiske rum. I tilslutig hertil skal vi reve, at e hom omorf afbildig f:8 id i T kopierer S over pa T, saledes at aile topologiske egeskaber bevares. Billedet af e abe mregde er e abe mregde og billedet af e afsluttet mregde er e afsluttet mwgde. Af A ~ 00_ f(ca.) = CB og f(a) = Bo o 0 S og B = f(a) f lger i'(a) = B9 f( oa) = ob? Edvidere er det klart, at restriktioe af f til A er e hom omorfi fra A id i B. De af rekvivalesrelatioe "hom omorf med" frembragte klasser bestar af rum? som fra topologisk syspukt ka betragtes som idbyrdes es. Egeskaber som altid er frelles for aile topologist.e rum i e rekvivalesklasse kaldes topologiske egeskaber. Vi betragter u ige familie (T. = (M.,9 U.) j j E (T) af to- J J J pologiske rum og produktrummet T = II T. = (M?U). Lad a = (a.) jej J J vrere et pukt af T~ og lad k vrere et elemet af j. Mregde Fk = fx E TjVj ~ k(x.=a.)l J J kaldes e k-fiber af rummet T. Det er klart, at k-fibree etop

389 udg r e klasseiddelig af T. Sretis 7.40& Restriktioe af projektioe Pk til fibere FIt er e hom omorfi Pk :F k id i Tk8 Bevis. Af defiitioe Pk(x) = ~ f lger umiddelbart~ at restriktioe af P k til Fk er e bijektiv af'bildig~ Vi ved allerede, at Pk er kotiuert9 og des restriktio til Fk er da ogss. kotiuert. Lad u ~:Tk id i Fk vrere de omvedte afbildig til Pk:Fk id i Tko Vi ka opfatte ~ som e afbildig ~:Tk id i T. Nu er PjO~ de idetiske afbildig, hvis j = k~ og e kostat afbildig9 hvis j ~ k. M sretig 7.35 f lger derfor~ at ~ er kotiuert. Dermed er sretige bevist. Sretige viser~ at rummet T for hvert k E: J er foreigs- mregde af fibre, som aile er hom omorfe med T k Lad T i, T2 og T3 vrere topologiske rum. Der fides aturlige ai'bildiger af rummee Ti xt2xty (T i xt 2 )xt 3 og Ti x (T 2 xt 3) pa hiade, idet (Xi,x 2,x ), ((xi,x 3 2 ),x ) og (xi' (x 3 2,x» sva~ 3 rer til hi ade. Hvis U 'U i 2 og U er omege af x 3 i,x 2 og x ' vii 3 U i xu 2 xu, (U xu 3 i 2 )xu og U x(u 3 i 2 xu ) svare til hiade ved de a 3 turlige afbildiger, og disse vii derfor vrere hom omorfier. I pral~sis er det sjreldet dvedi gt at skele mellem de tre her omtalte rum & Eksempel. Lad T = (IvI,U) vrere et topologisk rum. I produkt- rummet S = T x x T9 hvor der er m faktorer, betragtes diagoale D = f (x,,x) I x E Tl & Projelctioe p:d id i T defieret ved p(x,o,x) = x er kotiuert, og de ved ~(x) = (x, o,x) defierede omvedte af'bildig ~:T id i D er ligeledes kotiuert, da hver af des koordiataf'bildiger er de idetiske af'biilidig. Altsa er D og T hom omorfe.

390 MA Sretig Lad 8 1,8 2, T1 og T2 vwre topologiske rum, og lad f1 :8 1 id i T1 og f2 :8 2 id i T2 vwre kotiuerte af'bildigero De ved f(x 1,x 2 ) = (f (x ),f (x 2» defierede produktaf'bildig f = f i xf 2 :8 1 x8 2 id i T i xt 2 er da kotiuert~ Bevis. Vi far brug for projektioere :Pi :8 1 x8 2 id i 8 1, P2: 8 1 x8 2 id i 8 2 pi :T 1 xt 2 id i T1 p~:t1xt2 id i T2 0 If lge scetig 7.35 er det ok at vise, at koordiataf'bildigere :p~o(f1xf2) og p~o(f1xf2) er kotiuerte. Nu er pio(f 1 xf 2 ) = f1 0 Pi og f lgelig kotiuert. Aalogt for de ade aroildig. Dermed er sretige bevist. Sretig De ved ~(x1,x2) = x 1 +x 2 defierede af'bildig ~:R x Rid i R og de for k E R ved ~(x) = kx defierede.. afbildig ~:R id i R er kotiuerte. Bevis. Vi betragter (a 1,a 2 ) E R samt 8 > 0, og vi har da ~~1(Ja1+a2-8, a 1 +a 2 +8[) ~ Ja1-~8, a1+~8[ x Ja2-~89 a2+~8[9 hvilket viser, at ~ er kotiuert. For a E R og 8 > 0 er R, hvi s k = 0 hvilket viser, at ~ er kotiuert. 8retig Lad T vrere et topologisk rum, og lad f 1,f 2 :T id i R vrere kotiuerte af'bildiger. Da er f 1 +f'2: T id i R e kotiuert afbildig.

391 MA Bevis. De ved f'(x) = (f'1(x),f'2(x» def'ierede af'bildig f' ( f')..,2 t = f'1' 2 :T ld 1 R er kotiuer, da des koordiataf'bildiger er kotiuerte. Nu er f'1 + f'2 = ~ 0 f', hvor ~ har de samme betydig som i sretig 7.42, og dee sretig medf' rer altsa, at f'1 + f'2 f'as ved at sammesrette kotiuerte f'uktioer og derf'or selv er kotiuert. Sretig 7.44, Lad T vrere et topologisk rum, lad f':t id i R vwre e kotiuert af'bildig, og lad k vrere et reelt tal. Da er kf':t id i It vrere kotiuert. Bevis. F lger umiddelbart af', at kf' = ~ 0 f', hvor ~ har samme betydig som i sretig Vi har dermed bevist, at mregde af' kotiuerte af'bildiger f':t id i :R udg r et vektorrum. Dette vektorrum beteges Sretig For a 1,a 2,b 1,b 2 E R er de ved ~(X19X2) = (a 1 X 1 +b 1, a 2 X 2 +b 2 ) def'ierede af'bildig ~::R2 id i, 2.R koti uert. Bevis. De ved ~1(x1) = a 1 x 1 +b 1, ~2(x2) = a 2 x 2 +b 2 def'ierede af'bildiger ~1'~2:R id i :R er kotiuerte if' lge sretigere 7.42 og Pastade f' lger deref'ter af' sretig 7.41, For a 1 = a 2 viser sretige specielt, at e parallelf'orskydig af' plae er e kotiuert af'b ildig. Det er selvf' lgelig e ulempe, at vi udleder regereglere f'or kotiuerte afbildiger, og ikke mere geerelt f'or af'bildi~er9 som er kotiuerte i et pukt. Modsvarede sretigere 7.35 og 7.43 kue vi saledes ske os at have f' lgede sret-

392 MA 70 35~. iger til radighed: Sreti~ 7.35a. E afbildig af et topologisk rum Sid i et produktrum T :;: IT T. er kotiuert i et pukt a E S hvis jej J og ku hvis ehver af des koordiatafbildiger er kotiuert~ i a. Sretig Lad S vrere et topologisk rum, og lad 1~f2:S id i R vrere afbildiger, som er kotiuerte i et pukt a E S. Da er f1+f2:s id i R kotiuert i a. Disse sretiger ka udledes af de tilsvarede sretiger om kotiuerte ai'bildiger ved hjrelp a et simpelt triclt~ der ogsa lea avedes pa alle de f lgede sretiger om regeregler for afqildiger af et topologisk rum. Samme med rummet S :;: (M,U) betragter vi et adet topologisk rum S :;: (M,9U'L hvo;t-"> U'(a) ;;:: tha) ut(x)? {u E (M)lx E uj for x t- a~ Det er klart? at U t til,fredsstiller u1) - u4). E omeg U E UVea) er omeg a ethvert af sie pukter. For x ~ a og U E u(x) er U\faJ om~g af ethvert af sie pukter, Jtltsa er ogsa u5) op-~ fyl~t. D~t er klart, at topologie pa S er fiere ed topolo~ "J., gie pa S. De idetiske afbildig 1:M ~d i M opfattet 80m e afbildig +:S id i S er derfor kotiuert. De omvedte afbildig I~1;S id i S er kotiuert i a, da U'(a) :;: U(~). Bevisere for sretigere 7~35a og 7.43a beror p8.,9 at vi i stedet for af'bildige. f:s id i T betragter f 0 1:8 id i '}' og i stedet for f1.9f2' f1+f2:s id i R betragter vi f1 0 I, f2 0 1,(f 1 +f 2 ) 0 1:8 ia i R.

393 tv Hvis f:s id iter kotiuert i a, er f 0 I:S id i T ogsa lwtiuert i a, me sa er f 0 I abebart kotiuert, da lcotiui tetsbetigelse er tri viel t opfyldt i aile adre puktex' af S. Hvis f 0 I:S id iter kotiuert, er f = (f o I)oI- 1 kotiuert i a. Aalogt for de tre afbildiger id i R og for koordiatafbildigere PjOf. Sretig 7.35a f lger u umiddelbart af~ at p.o(foi) = (p.of)oi, og sretig 7.43a f lger af, at J J (f 1 +f 2 )oi = f1 I + f 2 I. Disse relatioer har geerel gyldighed, me de er selvf lgelig helt trivielle, ar I er de idetiske afbildig. Det skal tilf jes, at bevismetode glipper for sretig 7.41~ idet dee sretig hadler om afbildiger af tre forskellige vektorrum. Vi ka imidlertid i beviset udytte sretig 7.35a i stedet for sffitig 7.35 og derved fa e sretig om purtictvis kotiuitet. Geemf relse af dette vii vi dog overlade til lresere. I det f lgede vii vi idskrreke oa til at udlede regeregler for puktvis kotiuitet eller for kotiuerte afbildiger~ og det overlades til lresere at formulere og vise sretigere for det ikke behadlede tilfrelde. kvotiet. Vi gar u over til at behadle kotiuitet af produkt og ~:R2 Sretig De ved ~(x1,x2) id i R er kotiuert. Bevis. For B E JO,1] grelder = x 1 x 2 bestemte afbildig Heraf f0lger, at ~ er kotiuert i (O~O). For a 1,a 2 E R er de ved

394 defierede afbildig ~:R2 id i R altsa kotiuert i (0 9 0) i f lge srotigere 7.42 og De ved X(x 1,x 2 ) = (x 1 -a?x 1 2 -a 2 ) defierede afbildig X:R 2 id i R2 er kotiuert if lge srotil1, 70 LI5 9 og de afbilder puktet (a, a 1 2 ) i (0,0). Al tsa er cp = ~ 0 X kotiuert i (a, a ). 1 2 Dermed er srotige bevi st. ~rotig Lad T vrore et topologisk rum, og lad f 11 f 2 :T id i R vrere kotiuerte afbildiger. Da er f 1 f 2 :T id i It e kotiuert afbildig. Bevis. Gaske som srotig 7.43, idet srotig 7.46 avedes i stedet for srotig Srotipg De ved cp(x) = ~ defierede afbildig cp:~\fol id i R\Ioj er kotiuert~ Bevi s. ab > 0 og x E ]a, b[, er Dermed or sretige bevist. Srotig Hvis T er et topologisk rum og f:t id i R\Iol e kotiuert afbildig, da er i:t id i R\Iol e kotiuert afbildig. 1 Bevis. F lger umiddelbart af, at J = cpof, hvor cp scetig 7.48 omtalte afbildig. er de i El{:sempel: De ved

395 MA def'ierede afbi1dig f:r~i (0,0.,0 Hid i R er kotiuert. De ved Pj(X 1 'X 2 'X 3 ) = ;X:jde:et.er~de Pt'q;l~~tiosl:if'bildiger er emlig lcotiuerte, og pastade ~lger der1'or a.f regereglere. Hvis A 1,A 2,A 3 er reelle tal, som ikke aile er ~l, {(A 1 t~a2 t, A3 t) I tdd e ret liie i :R 3 germem (0,0, ~. I aile pukter a1' derme rette liie.atager l' v~rdie er Aderledes udtx"ykt: Restriktioe at' f til e vilkar1ig ret 1iie geem (0,0,0) er kostat~ For ehver omeg U at' (0,,0,0) g~lder derf'or f(r\r (0,0,0)1) = f(u\{ (O,O,O)j)tt For e regte delmoogde V af' vrerdimregde g~lder derfor, at f(v\{(o,o,o)}) ikke for oget valg af' U vii ~rere ideholdt i V. Heraf' :t' lger, at del" ikke f'ide~ oge kot1uert afbildig N f':r 3 id i R, saledes at f' er restriktioe afl til R\{(o~o,O)l. Vi skal for fuldstamdighedssky.ld a;f'~re et par hel t tri-. vielle sretiger om kotiuerte 1'uktioer. Sretig 7~50. Lad S og T vwre topologiske rum, a et pukt a1' S Og U e omeg a1' a. Sa er e a1'bildig f:s id i T kotiuert i a, hvis og ku hvis des reatriktio til U er kotiuert i a. Bevis. F~lger aamt omegsaksiomere u3) og u4). umiddelbart af' de1'iitioe pa kotiuitet, Sretipg Lad S og T vrere topologi ake rum og lad

396 MA = (OJ!jEJ) vere e amilie a abe mmgder, som udg r e overd031{ie-, a S. Sa er e afiildig :8 id i T kotiuert~ hvia og ku hvis det for hvert j E J greider, at restriktloe a f til OJ er kotiuert. Bevis. F lger umiddelbart af swtig De f lgede sretig er ikke sa triviel, og de er ofte gaske yt ti g. Sretig Lad S og T vrere topologiske rum, og lad A 1,,A vrere edelig mage afsluttede mregder, som overdrekker S. Sa or e afbildig f:s id i T kotiuert i et pukt a E S, hvis og ku hvis det for de vrerdier at' j E {1,,j, for hvilke a E A, j greider, at r~striktioe a f til Aj er kotiuert i a. Bevis. Vi bemrerker f rst, at "ku hvis" f lger at', at kotiuitet bevares ved restriktio. Vi skal u vise "hvis". Vi ka atage rrekket' lge at' A 1,,A valgt, saledes at a tiih rer Ai?'",App me ikke A p + "" 1,A (t'or p = bliver der ige mamgdar at' de sidste slags, me det vii ikke geere beviset). Lad u U ~ T vrere e omeg af (a). Vi har da -1(U) = (f- 1 (U) Ai) IJ IJ (f- 1 (U) A) ;; (f- 1 (U) Ai) IJ IJ (f- 1 (U) A ). p Da restriktioe af f til Aj for j = 1,,p er kotiuert~ er -1(U) Aj e omeg at' a relativt til A, j og vi ka dert'or velge ome8e v 1,,V p at' a, saledes at It' lge u4) er V :: Vi Vp e omeg a a, og vi har

397 l\11a Da S = Ai IJ lj A' har vi sa vi far For j = p+i,, er CA j abe og a E CA j Vi har alts8. bevist~ at r- i (U) ideholder e omeg af a og dermed er sretige beyist. Eksempel. De ved defierede afbildig f:r 2 id i R er kotiuert. De ved g(x,y) = 1 - x 2 - y3 defierede afbildig g:r 2 id i R er emlig kotiuert if lge regerejglere. Altsa er Ai = f(x,y)/x 2 +y3 ~ A2 = f(x,y)/x 2 +y3 ~ 11 = g-1([o,oo[) 11 = g-i(]_oo,o]) afsluttede, da [O,oo[ og ]-00,0] er afsluttede. Restriktioe af f til Ai er idetisk med restriktioe af g til Ai og derfor kotiuert. Restriktioe af f til A2 er idetisk 0 og derfor kotiuerto Altsa er f kotiuert if lge sretig Det er helt klart, at sretig 7.52 ikke ka geeraliseres til e vilkarlig overdrekig af a med afsluttede mregderc I det sqecielle tilfrelde (som omfstter aile sredvaligt beyttede rum),

398 MA hvor aile delmregder af S~ som ku ideholder et pukt, er afsluttede~ vii betigelse i sretige vrere opfyldt for ehver ai'bildig overhovedet, hvis vi beytter overdrekige af S med afsluttede mrogder, som hver ku ideholder et pukt, og sretige ville da sige, at ehver af'bildig f:s id i T var kotirrqert. Vi skal u ved et eksempel vise, at e afbildig f:r 2 id i R ka vrere diskotiuert i 0, selv om des restriktio til ehver ret liie i R2 er kotiuert. Eksempele De ved f(x,y) for (x,y) ~ (0,0) for (x,y) = (0,0) er if lge regereglere koti uert for (x, y) ~ (0, ). Fa parable ~(x,y)iy = x 2 1 atager f vrerdie for x = 0, me i aile a- dre gukter vrerdie to Altsa er f diskotiuert i (0,0). Det f lger u, at restriktioe af f til e ret liie, der ikke i-, deholder:' (0,0) er kotiuert. For Gideholdt i R defierer x = teos G, Y = tsi G e af'bildig ~G:R id i R2, og ~G er e hom omorf af'bildig af R ga e ret liie geem (0,0). Ehver ret liie geem (0,0) fa,s"for passede valgt G. Idet f* er restriktioe af f til de rette liie 1>G(R), far vi ~" teos 2 GsiG (f"o~g)(t) = t 2 eos 4 g + si 4 g for sig ~ 0 (f* O~g)(t) = for sig =.

399 MA Heraf ses~ at f* oepg er kotiuert. Al tsa er l~ = (l< oepg) oep~1 ligeledes koti l1uert. Det er klarty at de ved ep(x,y) = x+iy defierede afbild-.2 " ig ep:r id i v er e hom omori'i. Herai'i' lger, at e ai'bildig id i b er kotiuert, hvis og ku hvis des reelle og imagirere del (altsa koordiatafbildigere for de tilsvarede a:fbildig id i :R 2 ) er kotiuerte. Herai' udledes umiddelbart regereglere ['or e ai'bildig id i O. For at uders ge, om e ai'bildig i'ra C er kotiuerty ka ma blot ga over til at.2 betragte de tilsvarede af'bildig i'ra R Eksempel. De ved dei'ierede ai'bildiger ep.:0 id i 0 er kotiuerte, idet vi J ep1 ( x+iy ) = x, ep2(x+iy) = y, ep3(x+iy) = v(x +Y )9 _f 2 2 ep4(x+iy) = x - iy. De ved ep(z) = 1 = z x-iy 2 2 x +y defierede af'bildig ep:c\fol id i c\fol er kotiuert. De ved t/j(z) = Arg z dei'ierede afbildig t/j:c\fol id i :R er diskotiuert i alle pukter ai' de- egative reelle akse, me ellers kotiuert. De resterede del ai' de komplekse pla ka emlig dffikkes med de a.be mamgder

400 MA og vi har Arctg ~ for x+iy E 01 t/j(z) :; Arccot i for x+iy E 02 Vi skal rtu vede tilbage til de geerelle teori for topolo~iske Arccot i - ~ for x+iy E 03. rum, idet vi dog i det f lgede vii supplere betigelsere u1),,u5) med yderligere betigelser. Sretig Lad T = (M,U) v~re et topologisk rum. F lgede egeskaber er da idbyrdes rekvivalete: 1). For a,b E T og a ~ b eksisterer U E. U(a), saledes at b U. 2)0 Ehver puktmregde pa T, som ku ideholder et pukt, er afsluttet. 3). Ehver edelig puktmamgde pa T er afsluttet. Bevis. Det er trivielt at 3) ~ 2). Da foreigumregde af edelig mage af'sluttede puktmamgder er af'sluttet, har vi ogsa 2) ~ 3). Vi vil u vise 2) ~ 1). Lad a,b E T vrere to forskellige pukter. If lge 2) er T\fb} abe, altsa e omeg af a. Dermed er gastade bevist. Vi magler u blot at vise 1) ~ 2). Lad a vrere et pukt af' T og b ~ a o If lge 1) fides U E U(b) mod a Uo Altsa er b et ydre pukt for fal. Altsa er ra1 afsluttet. Dermed er sretige bevist. Defiitio Et topologisk rum T kaldes et T1-rum~ hvis det opfylder de tre rekvivalete betigelser i sretig 7~53. Vi siger ogsa, at T tilfredsstiller f rste adskillelsesaksiom.

401 MA Eksempler. Et diskret rum. der ideholder mere ed et puld~ Ehver mre~gde M ka orgaiseres sam T -rum, er ikke et T1-rum.~ogarre edetigea~rmamgder af III beyttes som afsluttede m~gder~ Det er klart, at R~ R og Calle er T -rum. 1 Det er helt trivielt~ at et delrum af et T -rum er et 1 T -rum. Det er ogsa reste trivielt at et produktrum er et 1 T1-rum~ hvis og ku hvis ehver af faktorere er det. Hvis S og T er topologiske rum og f:s id iter e kotiuert, surjektiv afbildig ka ma derimod ikke slutte, at det ee af rumm8e S og T er et T -rum, hvis det adet er det. 1 Sretig Lad S vrere et T 1 -rum, lad a vrere et pukt af S, 08 lad A ~ S vrere e puktmregde. F lgede tre betigelser er da rekvivalete: 1) a E.A.\T8L 2) VU E UCa) 3b E U (b * a). 3) VU E UCa) CU A er e uedelig mregde). Bevis. Det er klart, at 1) ~ 2) og at 3) ~ 2) og derved beyttes edda ikke, at S er et T 1 -rum. Lad os u atage? at 2) er opf;yldt. Hvis 3) ikke er opf'yldt, fides der e omeg U af a~ saledes at mregde UA er edelig, altsa Sa er u\fb1,,bj = v e omeg af a og if lge 2) fides der et pr1kt b + 1 E V\fal, me det strider mod(3). Dermed er sretige bevist. Defiitio Lad S vrere et T 1 -rum. Et pukt a E S

402 MA kaldes et ~ortretigspukt ~or e puktmregde A ~ S, safremt betigelsere 1), 2) og 3) i sretig 7.55 er op~yldt. Mregde.A r a~ ~ortretigspukter ~or A kaldes ~ortretigsmregde ~or A. Eksempler. I T 1 -rummet R har mregde ~~lenj pumu{tet 0 som det eeste ~ortretig6pukt. Mregde Q har ethvert pukt a~ R som ~ortretigspukt. Sffiti& E mregde i et T i -rum er a~sluttet9 hvis og ku hvis de ideholder aile sie ~ortretigspukter. Bevis. F lger umiddelbart a~ de~iitioere. Sretig 7~58. E mregdes ~ortretigsmregde er a~sluttet. Bevis. Lad a vrere kotaktpukt ~or ~ortretigsmregde A' for A9 og lad U vrere e vilkarlig abe omeg a~ a. Sa ideholder U et pukt a~ At og er der~or e omeg a~ dette pukt. Me i ~ lge 3) i sretig 7.55 med~ rer dette~ at U ideholder uedelig mage pukter a~ A, altsa, at a er ~ortretigspukt ~or a. Dermed er sretige bevist. Lad A vrere e puktmregde i et T -rum. A~slutige A ka 1 deles i to klasser Ai og Ai' * saledes at Ai om~atter t'ortretigspuktere, medes Ai *. omt'atter de lsolerede pukter. M@gde Ai ' ~ er a~sluttet i~ lge sretig 7.58, medes A~ ikke beh ver at vrere at'sluttet. Det ka udmrerket trekes, at Ai har isolerede pukter, 06 de vii da ige kue spaltes i to klasser. E a~sluttet mregde ude isolerede pukter er idetisk med si ~ortretigsmregdeo E sada mregde kaldes per~ekt. Ret liie 9 iterval, cirkelskive og cirkelbue er eksempler pa per- ~ekte,, 2 0 ' mregder pa Reller R Det ka vises, at der pa R ~ides

403 MA perfekte mregder ude idre pukter, og det ka vises, at perfekte pa R ikke er umerable. Vi skal ikke opholde os ved disse sp rgsmal. Defiitio Lad S v@re et T -rum og T et topologisk 1 rum. Lad A ~ S vrere e puktmregde og a E S et fortretigspukt for A. Lad f:a id i T vrere e afbildig og lad b vrere et pukt af T. Hvis de ved g(x) = [. f(x) b for x E A\fal.for defierede afbildig g:a tj falid iter kotiuert i a, siges f at have gramsepuktet b (eller at kovergere mod b) i puktet a (eller f'or x gaede mod a) pa mamgde A, og vi skri ver eller f(x) ~ b for x ~ a pa A lim f = b pa A. a Hvis a ikke er fort@tigspukt for A vii g blive kotiuert i a for ethvert valg af bet. Det vii derfor vrere uiteressat at idf re grresevrerdi i adre pukter ed fort@tigspuktore for A. Lreg mrerke til, at det er helt uvresetligt, om a selv er elemet af A, og hvis a E A, er billedet f(a) ude idflydelse pa gramsepukte t b. silcrer~ Gr@sepuktet b er et specielt valg af g(a), som etop at g bliver kotiuert i a, altsa i e vis forstad et "rigtigt" valg af g(a). I dee sammehamg er det iterossat, at hvis afbildige f i defiitio er kotiuert i et puruct c E A, hvor c ~ a, vii g ogsa v@re kotiuert i a. Hvis

404 U er e omeg af f(c) = g(c), vii f- 1 (U) emlig vrere e omeg af c, og da S er et T 1 -rum, er faj afsluttet, altsa f- 1 (U)\faJ e omob af c, me da g-1(u) ~ f- 1 (U)\fal, medf rer dette etop, at g-1(u) er e omeg af c. Lreg mrerke til, at dette rresoemet bygger pa, at S er et T 1 -rum. Sa3tig Lad S,T,f,A,a og b have samme betydig som i defiitio 7.59, og lad f have grresepuktet b i puktet a pa * ~ mrel18de A. Lad T VGBre edu et topologisk rum og h: T id it'" e kotiuert afbildig. Da har hof:a id i T * grresepulctet h(t) i puktet a pa mregde A. Bevis. F lger umiddelbart af sretige om af aalytiske fuktioer. sammesretig Eksempler. For afbildiger af et iterval id i R er det her idf rte grresepuktbegreb idetisk med det i gymasiet behadlede. Grresepuktet for f i a pa et iterval [a,b], ]a,b[ eller ]8,b] kaldtes i gymasiet grresevrerdie fra h jre. Ved at iddrage itervaller pa R* og afbildiger id i R* ~ar vi ogsa uedelige grmsevrerdier og grresevrerdier i 00 og -00 med. Gr@sepul~tet i 00 for e afbildig ~:N id i R* er grresev@rdie fop talf lge (~()). Defiitio Et topologisk rum S = (M,U) kaldes et T 2 -rum, hvis det opfylder f lgede betigelse: Vx,y E S(x~y ~ 3U E U(x) 3V E u(y) (u V = 0)). Vi sigel" ogsa, at S tilfredsstillep det adet adskillelsesaksiow eller (hyppigt), at S er et Hausdorff-rum. Eksempler. Hvis M er uedelig, og M samt de edelige del-

405 mregder af M er de eeste afsluttede puktmwgder i S, er S et T 1 -rum, me ikke et Hausdorff-rum. Det er kl.art, at R,:R 2,C er Hausdorff-rum. Et delrum af et Hausdorff-rum er et Hausdorff-rum 9 og et produkt af Hausdorff-rum er et Hausdorff-rum. Hvis S og T er to-- pologislce rum og f:s id i T e kotiuert og surjektiv afbildig, ka det ee af rummee S og T vrere et Hausdorff-rum, ude at dot adet er det. Det er klart, at et Hausdorff-rum tillige er et T 1 -rum. S@tig Hvis rummet T i s@tig 7.59 er et Hausdorffrum, er grresepuktet b etydigt bestemt. Bevis. Hvis b,b E T begge er grresepukter for f i puktet a pa m@gde A, er begge de 1 ved [ f(x) for x E A\faj [ f'(x) f'or x E A\fal g(x) = g1 (x) = b for x = a b for x 1 = a defierede afbildiger g:a IJ f aj id i T kotiuerte i a. Lad os at8ge, at b t b 1 Vi ka da fide U E tr(b) og V E tr(b 1 ), sa ledes 8t U V = 0. Me g-1(u) gi 1 (V) er e omeg af a, og da a er fort@tigspukt for A, fides der et pukt x t a, saledes at x E A g-1(u) gi 1 (V), me sa er g(x) = g1(x) = f(x) E UV i modstrid med, at U V = 0. Dermed har vi vist idirekte, at b 1 = b, og dermed er swtige bevist. B~tydige af begrebet Hausdorff-rum er, at det etop for Hausdorff-rum greider, at grresepukter er etydigt bestemt. Det er imidlertid ikke helt let at vise, at et topologisk rum med der~e egeskab er et Hausdorff-rum.

406 MA Rcgcreglere ~or afbildiger af et topologisk rum id i 2 eller C udledes umiddelbart af regereglere for kotiuerte fuktioer. De~iitio E puktmregde A i et topologisk rum T kaldes ovcralt tret, hvis A = T. Eksempler. Hvis T er diskret, er T de eeste overalt trette puru~tmregde pa To Hvis T er trivielt, er ehver ikke tor puktm@gdc pa T overalt twt. Edvidere er Q overalt tret pa R, og det samme grolder mregde a~ ratioale tal, der ka skrives som br ker med e potes af 2 i revere. I plae er mrogde af pukter med ratioale koordiater overalt tret. Swtig Lad A vrere e overalt tret puktmregde i et topologisk rum S, og lad f:s id i T, hvor T er et T 1 -rum, vrere e kotiuert afbildig. Hvis restriktioe af f til A er kostat, er A kostat. Bevis. Af f(a) = fcl ~ T f lger f(s) = f(a) ~ f(a) = TCT=fcl Dermed er srotige bevist. Swtig Lad A vrere e overalt tret puktmregde i et T 1 -rum S, og lad f,g:s id i T, hvor T er et Hausdorff-rum v@re kotiuerte afbildiger. Hvis restriktioere af f og g til A er idetiske, er f = go Bevis. Et vilkarligt pukt b E S\A er fortwtigspukt for A, og da f og g er kotiuerte, er bade feb) og g(b) grresepukt for f og g i puktet b pa puktmregde A, me da f og ghar samme restriktio til A, giver sretig 7.62., at feb) = g(b)& Der-. med er sretige bevist.

407 MA Eksempel. Lad a vwre et positivt tal. Vi sker at bestemme e kotiuert ai'bildig cp:it id i it, saledes at )0(12.) q =?a P i'or aile hele p og aile q E N. Vi ved, at de ved )O(x) = ax dei'ierede af'bildig l ser dette problem. Ai' sa::tig 7.65 i' lger, at problemet ikke har Lidre l siger. Udover adskillelsesaksiomere T1 og T2 har ma studeret et svag6re og tre sta::rkere adskillelsesaksiomer, saledes at ma alt i alt har e ka::de T O,,T. Navlig studiet ai' de strerke 5 adsldllelsesaksiomer i' rer til iteressate resul tater, me di s- se uders gelser i'alder helt udef'or dee i'orelresigs rammere E ai'bildig cp:n id i S, hvor S er et topologisk rum, kaldes e pukti' lge pa S. Vi i'oretrrekker, at behadle e i' lge som e f'amilie ai' pukter og i overesstemmelse hermed bruger vi e otatio (alen), hvor vi altid ai'korte til (a). a = cp(), og dee betegelse vii Dei'iitio E i' lge (a ) i et topologisk rum S=(M,U) siges at kovergere mod g~resepuktet a E S, sai'remt ~U E U(a) 3N E N ~ f N(a E U). Det er klart, at dee defiitio stemmer overes med yore '",2...,* tidligere dei'iitioer ai' kovergete i' lger i R,R,C,R etc. I geerelle topologiske rum er pukti' lgere i'or specielle til at g re st rre ytte. Vi skal imidlertid idi' re e speciel klasse af topologiske rum, hvor puktf lger virkelig er til stor ytte. Dei'iitio Et topologisk rum S = (M,U) siges at tilf'redsstille f rste umerabilitetsaksiom, safremt der eksisterer e omegsbasis B med de egeskab, at B(a) for ethvert a E S er

408 e h jst umerabel mmgde. Hvis B(a) = fulenj, ka vi srotte V = U 1 U og B 1 (a) = fvlenj ka da ogsa beyttes som omegsbasis i puru~tet a. Vi lea derf'or f'or hvert pukt i S vmlge e omegsbasis~ der bestar af' e af'tagede f' lge af' omege. S@tig E af'bildig f':s id i T hvor S og T er topolo~islee rum, og S tilf'redsstiller f' rste umerabilitetsaksiom, er kotiuert i et pukt a E S, hvis og ku hvis det f'or ehver puktf'~lge (a) pa S med grmsepukt a gmlder, at (f'(a )) er koverget med grmsepukt f'(a). Bevis. Lad os atage, at f' er kotiuert i a, og at (a ) -+ a. Sa er restriktioe af' f' til mrogde f aj IJ f a I EN} ligclcdes kotiuert, me det betyder etop, at (f'(a )) -+ f'(a). Lad os der@st atage, at f' ikke er kotiuert i a. Der f'ides da e omeg U af' f' () a, saledes at f' U ikke er e omeg a a. 0-1 ( ) f' Lad u (V ) v@re e af'tagede f' lge af' omege qf' a, som udg r e basis f'or omegee af' a. Da f'-1(u) ikke har oge omeg V som delm@gde, ka vi f'or hvert E N vmlge a Sa g~lder E V \ff'-1(u)1. (a) -+ a, me ikke (f'(a )) -+ f'(a). Dermed er s@tige

409 MA, 7. Opgaver. Idledig 1. Opgaver til kapitel 7. Idledig, Hoved~ormalet med opgavere til dette kapitel er at id ve de mage de~iitioer og begreber. Det er vigtigt at opa e hpj grad af ~ortrolighed med disse tig, sa det ikke er dvedigt at se e~ter i tekste, hver gag ma m der et a~ begrebere.. Der~or er de ~leste velsesopgaver til dette kapitel da ogsa meget lette. Trods dette abe~ales det at udarbejde besvarelsere a~ disse opgaver gaske ekstra omhyggeligt. Opgavere vii vcare mere prreget a~ rresoemeter ed a~ regeri 1 og der~or giver de e sud velse i at ~ormulere matematik. Det er ~oru~tigt ved de ~orel bige behadlig a~ disse opgaver at st tte sig til illustratioer u Demostrer ved hjrelp af "boiler", hvorda mregder er "placeret" i ~orhold til hiade. Lav diagrammer med pile, som illustrerer ai'bildiger" ar der ~orekommer mere komplicerede systemer a~ sadae. 80m eksempel vii vi bevise, at det ~or to puktmregder A og B i e t topologi sk rum 8 greider, at radee ~or ~oreigsmreg' de A IJ B og ~rellesmamgde A B er delmregder a~ ~oreigsmregde af radee ~or A og B. Vi teger e skitse som vi'st. De fas i hvert ~ald pastade til at se sadsylig ud. Me vi skulle jo gere a til et bevis. B

410 MA 7. Opgaver. Idledig 2. Lad os f rst aalysere, hvad det er, vi skal vise. Der er abebart to tig, idet pastade aturligt deles i e pastad om rada af A IJ B og e pastad om rade af A B. Lad os da f' rst studere rade af A IJ B. Det er vor opgave at vise, at ethvert radpukt for A IJ B er radpukt for ete A eller B. Lad os da se pa et radpukt x af' A IJ B og e omeg U at' x....\ t x er radpuhkt for A IJ B be tyder (for e thvert valg at' U), at U ideholder pukter (midst et) af C(A IJ B) og af A IJ B. Me et pukt af C(A IJ B) tilh rer bade CA og CB. Et pukt af' A IJ B tilh rer ete A eller B. Me sa vil U ete ideholde pukter at A og CA eller af B og CBe Me dette grelder f'or eoover omeg U at x. Vi pr ver at skrive rresoemetet omhyggeligt skridt for skridt. Vi bruger betegelse oa t'or rade af A. Lad x vrure et pukt af' o(a IJ B). Lad U vrure e omeg at' x. 3y E: U C (A IJ B) = U CA CB. 3 z E: U (A IJ B) = (U A) (U - B). 3y, z E: U ( (y E: CA /\ z E: A) v (y E: CB /\ z E: B)). Hvad var det, vi skulle vise? Vx E: o(a u B)(z E: oa v x E: ob). Hvis vi idf rer defiitioe af radpukt, far vi Vx E: o(a IJ B) ((VU E: u(x) 3y,z E: U(y E: CA /\ z E: A)) v (VU E: u(x) 3y,z E: U(y E: CB /\ z E: B)).

411 MA 7. Opgaver. Idledig 3. Vi har vist g at tlx E: a(a IJ B) tlu E: U(x)((3y,z E: U(y E: CA A z E: A))v(3y,z E: U(y E: CB A z E: B))). Vi kostaterer altsa, at vi ikke etop har bevist9 hvad vi skulle. Me hvilket af de to udsag er mo det st83rkeste? Vi dr~mmer os tilbage til f rste gymasieklasses udervisig i 10- gik og heter et par aaloge eksempler frem fra eridrige: Ete har aile pigere i klasse lyst har eller aile pigere i klasse har brue je. AIle pigere i klasse har ete lyst har eller brue je. Nu ka vi godt se, at det f rste udsag er st83rkere ed det audet. Vi har altsa bevist t'or lidt. Vi har vist, at for ehver omeg U af x ideholder U et pucltt at' CA CB samt et pukt at' ete A ellerbe Vi skulle vi S8? at ete A eller B ka forekomme for aile valg af U pa egag. Altsa, at der ikke fides e omeg U, for hvilke A ikke i ka bruges og e omeg U 2 ' for hvilke B ikke ka bruges_ Hvis A ikke ka bruge s for U 1 ' ges for U 2 er B U 2 = 0. er A U i = Me for U = 0, og hvis B ilcke ka bru- U i U 2 far vi sa A U = B U = 0, og det strider mod, hvad vi allerede har be- vista De st83rkere pastad f lger altsa alligevel af de svagereme iklce hel t umiddelbart. Vi beyttede u4). At srette rettelse pa som e tilf jelse til vort opridelige mislykkede bevis virker kejtet. Det er imidlertid 83rliggede

412 M.A. 7. Opgaver. Idledig 4. t'ra starte at betragte et pukt, der er radpukt t'or. A IJ B me ilrlw t'or Bo Vi pry5ver ige. Lad x vcere e t pukt at' 0 (A IJ B) \ ob. Ehver omeg at' x ideholder pukter at' C(A IJ B) := CA CB 9 altsa pukter at' CBo Da x ikke er radpukt t'or B ka vi vcelge e omeg U o at' x~ sa U o B = 0. Lad U vrere e omeg at' x. It' lge u4) er U U e omeg at' x. o Da x er radpukt t'or A IJ B ideholder U U 0 pukter at' A tj B og at' C(A tj B) = CA CB. Da U ikke ideholder pukter at' B9 medt' rer deto te, at U ideholder pukter at' A og at' CA. Dermed har vi vist, at x E oaf Nu har vi et rigtigt bevis t'or pastade. De ade pastad ka i'as at' de t' r s te ved overgag til komplemetmrmamgde. Dcrved beyttes, at e mcegde og des komplemet@rmcegde har samme rad. Hvis vi var startet pa e lidt ade made var vi evetuelt kommet id pa et helt adet spor. F lgede ide er rorliggede: Puktere i S er dels idre 9 dels ydre, dels radpukter t'or A og tilsvarede t'or B. Hvilke pukter ka u vcere radpukter t'or A tj B. Et pukt, der er idre i A eller B, er abebart idre i A tj B. Et pukt, der er ydre t'or bade A og B1 er

413 MA 70 Opgaver. Idledig 5. er abebart ydre for A IJ B. Me aile de pukter, vi ikke har gjort rode for, er radpukter for A eller B, og radpuktore for A IJ B ra jo fides reller di sse resterede puktero Dette er et holt rigtigt rrosoeret. Lwg rrerke til, at de lumske frelde~ vi faldt i ved det f0rste rrosoeret, slet ikke korme til at geere os~ hvis vi bruger det adet rresoeret.

414 MA 7. Opgaver 1. These are the times that try me's souls. Tom Paye. Lette opgaver. 1. Pa e mregde M er givet e klasseiddelig. For a E M beteger vi med U(a) systemet at' delma:mgder at' M, som ideholder de klasse, der har a som elemet. Vis, at M derved orgaiseres som et topologisk rum. 2. E mwgde U ~ R2 kaldes e omeg at' (a,b) E R2, s at'rem t der ifides et posi ti vt tal h, saledes at U d f(x,b) E R21 Ix-al < hl Vis, at tt 2 derved orgaiseres som et topologisk rum. 3. Mamgde N at' aturlige tal orgaiseres som et omegsrum, i det e delmamgde at' N kaldes e omeg at' a E N, hvi s de ideholder aile divisorer i a. Vis, at N derved orgaiseres som et topologisk rum. 4. Som opgave 3, idet dog "alle divisorer i a" redres til Halle tal med a som divisor". 5. E mwgde Ui plae kaldes e omeg at' et pukt a i plae, sat'remt de ideholder et liiestykke med positiv lregde og midtpukt i a. ViS, at de saledes det'ierede omege tilt'rdsstiller betigelsere u1),,u5) med udtagelse af u4)o

415 MA 7. Opgaver Kostruer et omegsrum, der til~redsstiller u1), ~u5) med udtagelse a~ u3). (Det er meget let, me g r det u ikke sa idviklet. Det skal vrere eklere ed eksemplet i opgave 5). 7. Samme opgave som r.6, me ~or u5). 8. Lad M vrere e mregde med 2 elemeter. Agiv aile topologiske rum med M som uderliggede mregde. 9. Samme opgave ~or e mregde med 3 elemeter. 10.Lad T vrere et topologisk rum, som ku om~atter edelig mage pukter. Lad A ~ T vrere de delmregde, der om~atter de puru{ter, der ikke har T som eeste omeg. Vis, at A ka deles i klasser, saledes at hvert klasse X ideholder et pukt x, dar har X som si midste omeg, og saledes at X ikke er regte delmregde a~ oge mregde med samme egeskab. 11. Lad III vrere e mregde, som ikke er edelig eller umerabel. Ved e omeg a~ a E M ~orstar vi e delmregde a~ M~ som ideholder a, og hvis komplemetrermregde er h jst umerabel.. Vis~ at u1),,u5) er op~yldt. 12.Vis, at e mregde i det i opgave 1 i~ rte topologiske rum er abe (a~sluttet), hvis og ku hvis de etop er e ~orei~smregde a~ klasser. 13.Vis, at i det i opgave 2 id~ rte topologiske rum er ehver ~oreigsmregde a~ rette liier parallelle med de ~ rste

416 MA 7. Opgaver 3. koordiatakse bade abe og a~sluttet. Fides der adre abe (afsluttede) mregder. 14. I dot i opgave 3 i~0rte topologiske rum betragtes m~gde a~ ulige tal. Agiv des idre og des a~slutige Fjer puru~tet 1 ~ra mregde og agiv, hvad des idre og des a~slutig dere~ter bliver. 15. Agiv det idre og a~slutige, samt rade a~ ~ lgede delm~gder a~ R med de sredvalige topologi: N, Z, JO,1J, Q, f ~I ENL " * m opgave 15, me ~or R 17. Abiv det idre, a~slutige og rade a~ ~ lgede delm&gde a~ C med de s@dvalige topologi 00 u rz =1 2-1 I I 2? 2 ~ z < Vis, at e abe mregde i et topologisk rum er delmamgde a~ det idre a~ si a~slutig, og vis ved et eksempel, at der lw bli ve tale om e regte delmregde. 19. Vis, at e a~sluttet mregde i et topologisk rum ideholder afslutige a~ sit idre, og vis ved et eksempel, at dee ka vrere e regte delmregde. 20. Vis, at a~slutige a~ det idre a~ a~slutige a~ det idr~ a~ e puktmregde i et topologisk rum er idetisk med

417 M.A 7. Opgaver 4. af'slutige at' det idre. 21. Vis, at det idre at' f'oallesmregde t'or to mamgder i et topologisk rum er t'rellesmregde t'or de to mregders idre. 22. Vis, at det idre at' t'oreigsmregde at' to mregder i et topologi sk rum ideholder t'oreigsmregde at' de to mamgders idre og vis ved et eksempel, at der ka blive tale om regte de Imamgde. 23~ Vis, at to mregder A og B i et topologisk rum tilt'redsstiller relatioere A IJ B ::: A IJ B og A IJ B ::: A IJ B. 24. ViS, at to mregder A og B i et topologisk rum tilt'redsstiller r81atioere A B ~ A B ~ A. B. Vi s, at der t'ides mamgder A og B pa :R med de scadvalige topologi, t'or hvilke itet at' lighedstegee grelder. 25. E af'bildig t':j 1 id i J 2y hvor J 1 og J 2 er itervaller pa R*, er mooto og surjektiv. Vis, at t' er kotiuert. 26. Vis, at de ved cp(x) ::: [ 0, 1 '1' hvis x er irratioal hvis x ::: ~9 hvor p E Z, '1 E fir og ( E er ut'orkortelig '1 det'ierede f'uktio cp::r id i Q er diskotiuert i ethvert

418 MA 7. Opgaver 5. puru{t af ~~ me kotiuert i ethvert pukt af R\Q. 27. Lad f:s id i T vrere e kotiuert afbildig af det topolo iske rum Sid i det topologiske rum T. Edvidere betrgter vi e puktmamgde A c S og billedmamgde B = f(a). Vis, at ige af f lgede pastade grelder for aile vrlg af 8,T,f og A: (, ~(A) ~ B, f(a) ~ B 28. Vis? at ige af f lgede pastade grelder for ehver kotiuert af'bildig f:r id i R: 1). Billedet af e abe mregde er abe. 2). Billedet af e afsluttet mregde er afsluttet. Derimod fremgar det af de fra gymasiet kedte sretiger om kotiuerte fuktioer pa afsluttede itervaller, at billedet af e begrreset, afsluttet mregde er e begrreset afsluttet mregde o 29. Vis? at f:[a?b] id i R er kotiuert~ hvis og ku hvis f(x 9 f(x))jxe[a,bjl er e afsluttet delmregde af R Vis 9 at tg:q id i R er kotiuert. Udyt~ at rr er et irrati oal t tal. 31. Vis 9 at e delmregde af R, som er bade abe og afsluttet~ er ete Reller 00

419 MA. 7. Opgaver JU1giv e delmregde af Q, som er bade abe og afsluttet~ og som er forskellig fra 0 og Q. 33. Vis, at e afbiljig af det i opgave 2 omtalte topologiske rum id i et adet topologisk rum er kotiuert, hvis og km hvis ehver af des restriktioer til rette liier parallel- Ie med de f rste koordiatakse er kotiuert. 3~ o Lad Vd3re et aturligt tal. Med 8 1 beteger vi mamgde af divisorer i l (iklusive 1 og l) som delrum af det i opcave 3 betragtede topologiske rum og med 8 2 de samme mffigde som delrum af det i opgave 4 betragtede topologiske rum. Er de ved () l CfJ I = x defierede afbildig af 8 1 id i 8 2 lwtiuert, og er des omvedte afiildig kotiuert? 35. Vis, at de ved ~(x ) = e ix bestemte afbildig ~:[-~,~ [ id i y, hvor y er ehedscirkle i de komplekse pla, er kotiuert og bijektivo Vis~ at de omvedte afbildig ikke er kotiuert. 36. Er de i opgavere 2-4 idf rte topologier fiere eller grovere ed de sredvalige topologier pa R2 og N. Agiv de groveste (fieste) topologi pa N, som er fiere (grovere) ed begge de i opgave 3 og 4 idf rte topologier. 37~ Lad 1'1 Vffire e mamgde, (Sj I jej) e familie af topologiske rum og CfJj:8 j id i M e familie af afbildiger. Vis, at der fides e fieste topologi pa M, for hvilke aile ai'-

420 MA. 7. Opgaver 70 bildigere <P j er koti uerte 0 Dee topologi kal de s de til af'bildigere <p. svarede f'ial-topologi pa M. J 380 Vis 9 at f'ial-topologie (se opgave 37) pa 'Y (se opgave 35) ved de ved ~(x) = e ix bestemte af'bildig ~:R id i 'Y etop er delrumstopologie pa 'Y. 39. Vis 9 idet vi beytter betegelsere f'ra opgave 35, at e af'bildig f':m id i T9 hvor T er et topologisk rum 9 og topologie pa M er f'ial-topologie bestemt ved af'bildigere <P.9 er kotiuert, hvis og ku hvis hver at' de samme J satte afbildiger f'0<pj:sj id iter kotiuert. 40. Lad (SjljEJ) vrere e f'amilie af' topologiske rum med de egeskab at f'or j1 * j2 er de uderliggede mregder f'or S. og S. disjukte. Vi sretter S = U S. og med J1 J 2 jej J <Pj:Sj id i S beteger vi de ved <Pj(x) = x def'ierede ijektio. Vis 1 at f'ial topologie pa S ved afbildigere <Pj er karakteriseret ved 9 at e delmregde af' S er abe 9 hvis og ku hvis ehver af' des f'rellesmamgder med et S. er abee J Vis 9 at hvert Sj bliver e abe og af'sluttet puktmregde pa S. Rummet S kaldes det disjukte f'oreigsrum af' rummee Sj. 41. Vis 9 at de ved 222 x 1 +x 2 +x 3 x 2 +x 3 e Arctg 2 1+x1 def'ierede af'bildig <p:r 3 id i R er kotiuert.

421 faa 7. Opgaver Vis~ at de ved x = e 1Arctg 3 2 x 1 -x 2 x 3 +x X3 ----:2 + 1+x2 defierede afbildig ~ = (~1~~2);R3 id i R2 er kotiuert.,2 defierede afbildig ~:R id i R er kotiuert. 44. Vis? at de ved ~(z) = z2 defierede afbildig ~:c id i C er lwtiuert. Vis edvidere, at ethvert pukt a:f c\foj har e omeg~ der afbildes hom omorft ved ~, medes ige omeg af 0 afbildes hom omorft ved ~. 45. Uders g, om de i opgavere 2-4 idf rte rum er T 1 -rum, og om de er Hausdorff-rum. 45. Vis at mregde fxezlx-~ E ZJ = U (a) udg r e omegsbasis. for e topologi pa Z. Vis, at det saledes defierede rum er et Hausdorff-rum. Er f lge (!) koverget? 47. Vi betragter delmregde

422 MA 7. Opgaver 9. a~ R. Bestem At~ dees de AI' o. s. v. Det vii ok yttigt at ~ors ge at ski t- sere pa e talakse. 48. l,ad I v@re e t iterval. Vi s, a t e voksede fukti o ~: lid i R har e gr@sev@rdi ~ra vestre og e grresevrerdi ~ra h~jre i hvert pukt a~ I. Vis, at mregde a~ diskotiuitetspu:;.l1cter er h jst umerabel. 490 Lad (a) vrere e f lge a~ positive tal, for hvilke ~a < 00. Lad (b ) vrere e f lge af idbyrdes ~orskellige Vi sretter reelle tal. Vis? at f:r id i R er e mooto f'uktio, som er diskotiuert etop i puktere b Et topologisk rum T = (M,U) kaldes et To-rum, hvis f lgede betigelse er opfyldt for ethvert par x,y E T at' idbyrdes ~orskellige pukter: (3U E U(x)(y U)) v (3U E U(y)(x U)). Vis, at dette er esbetydede med, at betigelse ikke er opfyldt for oget par af ~orskellige pukter pa T. Vis? at de ved x -< Y {==} x E TYT defierede relatio < pa T er e ordigsrelatio. Hvad ka

423 !via 7. Opgaver 10. yderligere siges om dee ordigsrelatio, hvis T specielt 51. Lad T = (M,U) vrore et T -rum (se opgave 50) med de egeo skab; at ehver t'rollesmrogde at' abe mrogder pa T selv er abe. Vis, at e mrogde 0 ~ T er abe~ hvis og ku hvis t' 1- gcde betigelse er opt'yldt: Vx E 0 Vy E T (x -< Y ~ yeo). 52. Lad It,; vmre e ordet mmgde. Ordigsrelatioe skrives -<. Vis~ at der t'ides et topologiskrum T = (M,O), hvor 0 er def'ieret ved o E 0 ~ Vx E 0 Vy E M(x -< Y ~ yeo). Vis dercest, at x -< Y ~ x E TYT, samt at T = (M,O) er et To-rum med de egeskab, at ehver f'cbllesmamgde at' abe mamgder er abe (sml. opgavere 50 og 51 ). 53. Vis, at et T 1 -rum, i hvilket ehver t'cellesmrogde at' abe mwgder er abe, er et diskret rum. 54. Lad T vrore et topologisk rum, der tilt'redsstiller t' lgede betigelse: Til hvert puktpar (a,b), hvor a,b E T og a ~ b t'ides e kotiuert t'uktio ~ b:t id i R, som tilt'redsa, stiller betigelse ~ b(a) ~ ~ a, a, b(b). Vis, at T er et Haus- dorf't'-rum.

424 Mil., 7. Opgaver Vis at restriktioere a~ Arg:C\foj id i R til hver a~ de abe halvplaer, hvori C deles a~ de reelle akse 1 har gramsev~rdier i ethvert pukt a~ de reelle akse udtage O. 56. Uders g~ om de ved 222 x ex +y ) x +(x +y ) de~ierede afbildig ~:R2\fo~oj id i R har e gr~sev@rdi 57. Samme sp\<5rgsmal som i opgave 56 ~or ~(x,y) = 2 2 x(x +y ) x +(x +y ) 58. Et abet iterval a~ lregde k E ]0,1[ abriges som deliterval a~ [O?1], sa de to itervaller ~ar ~relles midtpukt. Pa hvert a~ de to delitervaller, der bliver tilovers (altsa [0, 1;k] og [1;k?1J abriges abe itervaller at' lregde 1. 3k, og ige saledes~ at midtpukt ~alder i midtpukt. Hvis Ie er lille ok~ vii der u vcere 4 a~sluttede delitervaller af [0,1] tilovers, og midt pa hvert a~ disse abriges da 1 delitervaller af lregde 9k o.s.v Vis, at dee proees ka ~ortsa3ttes i det uedelige, hvis og ku hvis k E: ]O,~]. Idette tilfcelde ~ar vi e umerabel mregde a~ abe itervalier abragt som delitervaller a~ [0,1], og disse udg r tilsamme e abe mregde, som vi vii betege O(k). Komplemetfurmcegde C(k) = [O,1J\O(k) kaldes Cators mregde. Her er aitss. k E ]O,~].

425 MA 7. Opgaver 12. Vis~ at O(k) er overalt tmt. Vis~ at C(k) ikke har idre pukter~ Vis~ at C(k) heller ikke har isolerede pukter, altsa at C(k) er idetisk med si fortretigsmregde. Udreg de samlede lregde af de delitervaller~ hvoraf O(k) er opbygget, udtryk ved k. Lffig mrerke til, at dee oliver 1 for k = ;. 59. Vi beytter betegelser fra opgave 58. Vis at der fides e voksede afbildig ~: 0 (k) id i Q [0,1] med f lgede boskaber: 1). ~ er kostat pa hvert deliterval. 2). For = 0~1929'" atager ~ pa delitervallere af lmgde 3-~ etop vrerdiere , 2-~-1' ,o, (2 + 1 _1 ). Vi defierer u for x E [O,1J _ r 0 for x = 0 <p(x) - l sup ~([o,x]o(k)) for x E JO,1J. Vis, at ~ er restriktioe af <p:[o,1] id i.r til O(k). Vis, at <p er voksede Vis, at <p([o,1]) = [O,1J. Vis, at <p or lwtiuert. Vis, at <p(c(k)) = [O,1J. Udled heraf, at C(k) ikke er umerabel. For k = ~ ser vi specielt at e kotiuert fuktio lea vokse fra 0 ti 1 1 pa itervalle t [0, 1 ] og dog vrere kostat pa itervaller med Bamlet l&gde 1.

426 MA 70 Opgaver Lad S v@re et topologisk rum, for hvilket f rste umerabilitetsaksiom g@lder. Lad T v@re et Hausdorff-rum. Vis? at e afbildig f:s id iter kotiuert, hvis og ku hvis ehver restriktio af f til e umerabel delm@gde af S er kotiuert. 61. Lad!vI vwre e vilkarlig m@gde. Vis, at e afiildig f:m id i R er begr@set, hvis og ku hvis ehver restriktio af f til e umerabel delmregde af M er begrreset. Vaskeligere opgaver. 62. Lad T = (M,U) vrere et topologisk rum og (AjljEJ) e familie af afsluttede mregder. Det atages, at hvert x E T har e omeg U, saledes at fjejlua,t0j h jst er edelig. Vis~ J U A. er e afsluttet mregde. jej J at 63. Lad T v@re det i opgave 3 idf rte topologiske rum. Vi srettor ~2(P,q) = st rste frelles divisor for p og q. ~3(P,q) = midste frelles multiplum af p og q. Hvilke af afiildigere ~1'~2'~3:TxT id iter kotiuerte? 64. Lad A og B vrere puktmregder i et topologisk rum T. Vis, at af'slutige af A B rela ti vt til delrummet A er e

427 Opgaver 14. ar A B, og vis ved et eksempel, at det ka vrere delmregde, selv om A er arsluttet. 65. E puktmregde A i et topologisk rum T = (M,U) kaldes 10- kalt afsluttet, hvis hvert pukt x E T har e omeg U, saledes at UA er arsluttet relativt til U o Vis, at e.mmgde er lokalt arsluttet, hvis og ku hvis de er r@llesm@gde ror e arsluttet og e abe mregde. Vis ved eksempler, at l{oplemetrermamgde til e lokal t arsl uttet mwgde ikke altid er lokalt arsluttet, og at foreigsmregde ar to 10- Imlt arsluttede mamgder ikke altid er lokalt arsluttet. Hvad gcelder om rrellesmregde? 66. Lad T1 og T2 vrere topologiske rum og A1 ~ T 1, A2 ~ T2 villcarlige puktmregder. Vis relatioe idet A1 x A2 betragtes som puktm@gde i T1 x T Vis for et vilkarligt produktrum, at arslutige af et produkt ar e mregde rra hvert koordiatrum er produktet ar afslutigere 68. pa et topologisk rum T kaldes afsluttot Cabe), hvis det ror ehver arsluttet Cabe) puktmregde A ~ T greider, at roreigsmamgde ar de rekvivalesklasser, der har pukter f@lles med A, er arsluttet Cabe). Uders~g om de ved x ~ y ~ y-x E Z derierede rekvivalesrepa it latiover arsluttet Cabe). Samme sp rgsmal for des restrikti o ti 1 [0;1].

428 MA 7. Opgaver Vis9 at ehver mregde i et T -rum er frellesmregde af abe 1 mi.:agder og t'oreigsmamgde af afsluttede mregder. Vis pa de ade sj.e, at et topologisk rum T er et T1-rum~ hvis eru1ver mregde, der bestar at' ku et Pukt9 er f'rellesmregde for abe mregder. Vis, at et topologisk rum er et Hausdort'f' ru1ll 9 hvis og ku hvi s ehver mregde, der bestar af l{u et purud, er frellesmamgde af de afsluttede omege af dette pul\.t Vis, at et topologisk rum T er et Hausdorff-rum, hvis og l{u hvis diagoale f (x,x) I xetl er e afsluttet puktmamgde i TxT. 71. Vi orgaiserer:n * = N I.J fool som et omegsrum S ved f lgede c1efiitioer: Omeg af et lige tal er ehver mamgde, der ideholder tallet; omeg af et ulige tal x er ehver mregde,. f p+l{ I ' 1 c1er ldeholder x samt e delmregde af forme ~ 2 x kenj for e passede vrerdi af pj omeg af 00 er ehver mregde der ic1eholder 00 for e passede v~rdi samt e delmamgde af forme f 2 P + k ( 2p+2j+1 ) I j 9 kenl af p. Vis, at S er et Hausdorff-rum. Vis, at mregde af ulige tal er afsluttet. Vis, at ehver abe mregde, der har mregde af ulige tal som delmregde, har pukter frelles med ehver omeg af ~. Et topologi sk rum, i hvilke e afsluttet mwgde A og et pukt a A altid ka idesluttes i hver si abe mregde, sa de abe mregder har tom frellesmregde, kaldes et T 3 -rum. opbave giver et eksempel pa et Hausdorff-rum, der ikke er T 3 -rum. Et rum, der er bade T 1 -rum og T 3 -rum, er Hausdorff-

429 MA 7. Opgaver 16. rum (bevis detl) og kaldes regulrert. Det er ikke svrert at ride et eksempel pa et T3-rum~ der ikke er T 1 -rum (pr vl). 72. Vis, at et topologisk rum er et T 3 -rum (se opgave 71)~ hvis og ku hvis de arsluttede omege udg r e omegsbasis. 73. Lad M V8::lre e vilkarlig mamgde~ og lad ~ vrere et system ar delmamgder ar M. Lad U vrere systemet ar abe omege ar 0 i " C. hied F(M, C) beteger vi mamgde ar arbildiger.f':ivi id i A Co For A E ~, 0 E U og f E F(M,C) sretter vi A UAo(f) = fg E F(M,C)IVx E A(g(x) - rex) EO)} A og ror r E F(M,C) sretter vi " Vis, at B er omegsbasis ror e topologi pa F(M,C). Vis, at A F(M,C) med dee topologi bliver et Hausdorrr-ruffi, hvis og l;,:u hvis ~ er e overdrekig ar M. A De her idf rte topologi pa F(M,C) kaldes ofte Z- a- be-topologie. Hvis Zer systemet af alle edelige delmregder, kaldes de edelig-abe-topologie. At (f ) ~ r i edelig-abe-topologie er esbetydede med, at (r ) kover serer puktvis mod r(bevis det!). For M E ~ bliver Z-abetopologie riest mulig (bevis detl) og det tilsvarede kovcr,esbegreb bliver ligelig koverges pa M (bevis det, ar M er et iterval pa ~).

430 MA 7. Opgaver 17. Svrere opgaver. 74. Vis, at e arsluttet delmrogde at Rude isolerede puru~ter ikke er umerabel. Aderledes udtrykt: Ehver umerabel, atsluttet delmregde at R har et isoleret pukt. 75. V1S~ 0,2 at de sredvalige topologi pa R. er de eeste topoiogl o,2 pa R $ som sikrer, at r lgede tre betigelser aile er optyldt: 1) Vektoradditio er e kotiuert afbildig at ~2 ~2. d. R' 2.J:( x.j:( I 1 0 2) Multiplikatio at vektor med reelt tal er e kotiuert afbildig ar R2 x Rid i R$ 3) R2 er et Hausdortr-rum.

431 MA 8.1 Es ist etwas Abliches, sich i eier Stadt ud i eiem Wissesgebiet auszukee: Ma muss vo jedem gegebee Pukt I i \ zu jedem adere gelage koe. Ma ket sich och besser aus, we ma. sofort ~e " l bequemste oder de schellste ~ileg vo ~ eiem Pukt zum adere eizuschlage vermag. G.Polya. G.Szego ( ) Kapitel 8. Metriske rum. Et metrisk rum har e mere specialiseret struktur ed et topologislc rum. De metri ske struktur frembriger e topologi pa rummet, og det bliver e topologi med srerlig k e egeskaber. Eksempelvis grelder aile adskillelsesaksiomere samt f rste t&llelighedsaksiom. Vi gar straks i gag med de f rste defiitioer. I ) Defiitio 8.1. Lad M vrere e vilkarlig mregde. E afbildib dist:mxm id i Rkaldes e afstadsfuktio pa M)l ar f lgede betigelser er opfyldt. d1). ~x E M (dist(x,x) = 0) d2). ~x, y E M (x ~ y ~ di s t (x? y) > 0) d3). ~x,y E M(dist(x 9 y) = dist(y?x» d4). ~x,y,z E M(dist(x,z) ~ dist(x,y) + dist(y~z». Parret T = (M,dist) kaldes da et metrisk rum. \ ) Betigelse d4) kaldes trekatulighede.

432 MA 8.2 dist opfylder betigelsere Sretig 8.2. Afstadsfu~tioe Bevi s. Lad x, y, z vrere pukter af M. Af d3) og dl.j.) f lger da umiddelbart di s t ( x, y) - di s t ( y, z) ~ di s t ( x, z ) dist(y,z) - dist(x,y) ~ dist(x~z), og dermed er de f rste pastad bevist. De ade fas ved at smmere ulighedere for k = 1~o,-1. Dermed er sretige bevist. Eksempler. R~R2,R3 og' C er metriske rum med de sredvalige a:cstad sam afstadsfukti o. Ehver mregde M ka orgaiseres som et metrisk rum med afstadsfuktioe defieret ved dist(x,y) = ) 1 L 0 for for x ~ y x = y ;]t mctrisk rm med de e afstadsfuktio kaldes et diskret metrisk rum. Mwgde M kaldes de uderliggede mregde for det metrisite rum T = (M,dist). Vi siger pukt af T i stedet for elemet i M. Vi siger puru:tmregde i T i stedet for delmregde af Mo Til svarede vii vi ogsa bruge de adre geometrisk prregede vediger, sam vi brugte: for de topologiske rum.

433 MA 8.3 Defiitio 8.3. Lad T = (M 9 dist) vrere et metrisk rum 9 a E T et vilkarligt pukt og r et positivt tal. Puktmregde K(a,r) =!x E Tldist(a,x) < rl kaldes kugleomege af a med radius r. Eksempler~ pukt a og lregde 2r. I R I R bliver K(a,r) det abe iterval med midt- 2 ' og C bliver det cirkelskive med cetrum a 08 radius r, medes det i it 3 bliver kugle med cetrum a og radius r. I det diskrete rum ideholder K(a,r) for r ~ 1 ku pulliltet a, medes K(a,r) for r > 1 omfatter hele rummet. S~tig 8.4. Lad T = (M,dist) vrere et metrisk rum o Hvis kugleomegee K(a 1,r 1 ) og K(a 2,r 2 ) har e ikke tom frellesmregde, er dist(a 1,a 2 ) < r 1 + r 2 0 Bevis. For x E K(a 1,r 1 ) K(a 2,r 2 ) far vi dist(a 19 a 2 ) ~ dist(a 1,x) + dist(a 2,x) < r 1 + r 2 Dermed er sretige bevist. Eksempel. I de velkedte rum R,R 2,R 3 og 0 grelder de omvedte implikatio. Pa de ade side vii to kugleomege med forskelligt cetrum i et di skret metrisk rum og med radius 1 a- bebart tilfredsstille ulighede ude at have pukter frelles. Scetis 8.5. Lad T = (M,dist) vrere et metrisk rum, K(a,r) e lcugleomeg i T, og b et pukt af dee kugleomeg o Da grelder Bevis. Uder de af rte betigelser er dist(a,b) < r, sa K(b,r - dist(a,b)) eksisterer.~for x E K(b,r - dist(a,b)) er dist(a,x) ~ dist(a,b) + dist(b,x) < r. Dermed er sretige bevist.

434 MA () Eksempel. I rummee R,R,R og C er r - dist a,b radius i de st rste kugle med cetrum b, som helt er ideholdt i K(a,r). I et diskret metrisk rum vii e kugleomeg med radius > 1 omfatte hele rummet og dermed helt ideholde aile adre kugler. Sretig 8.6. Kugleomegee i et metrisk rum er omegsbasis for e topologi. Bevis. Lad T = (M,dist) vrere et metrisk rum. For a E T fides kugleomege K(a,r) for ethvert r > 0, og aile disse kugleomege idehotder a. For r 1 ~ r 2 er K(a,r 1 ) () K(a,r 2 ) = K(a,r 1 ). Dermed har vi vist, at betigelsere b1), b2) og b4) er opfyldt. For b E K(a,r) eksisterer der if lge sretig 8.5 e kugleomeg K(b,r 1 ) ~ K(a,r). Altsa er ogsa bs) opfyldt. Defiitio 8.7. Lad T = (M,dist) vrere et metrisk rum. De topologi pa M, der har kugleomegee som omegsbasis, kaldes de af afstadsfuktioe dist idicerede topologi pa M. Mregde M med dee topologi kaldes for kortheds skyld det topologiske rum T = (M,dist) eller(mere korrekt) det uderliggede topologiske rm til T = (M,dist). Ved at ga over til det topologiske rum T = (M,dist) ser vi bort fra e vresetlig del af strukture pa det metriske rum T = (M,dist). Vi vii imidlertid alligevel have samtlige resultater fra kapitel 7 til radighed. I det f lgede skal vi derfor i dot vj3setlige beskreftige os mod de resultater vi ka opa ved at udytte de yderligere struktur, der foreligger pa det metriske rum. F rst vii vi dog vise, at T = (M,dist) er et srerlig "pamt \I topologi sk rum.

435 MA 8.5 Sretig 8.8. Det topologiske rum T = (M,dist) er et Hausdorff-ru~, for hvilket det f rste umerabilitetbaksiom grelder. Bevis. Hvis a 1 og a 2 er forskellige pukter af T og r 1,r 2 er positive tal, som tilfredsstiller r 1 +r 2 < dist(a 1,a 2 ), vii K(a 1,r 1 ) og K(a 2,r 2 ) if lge sretig 8.4 have tom frellesmregde. Altsa er T er Hausdorff-rum. Ehver kugleomeg K(a,r) ideholder K(a?~) for E N, > r- 1 Altsa udg r kuglere K(a,~), E N e omcgsbasis for puktet a. Dermed er sretige bevist. Sretig 8.9. Ehver kugleomeg i et metrisk rum T = (M,dist) er e abe mregde i det topolog.iske rum T = (M,dist), og ehver abe mregde er foreigsmregde af kugleomege. Bevis. Sretig 8.5 viser, at ethvert pukt i kugleemege K(a,r) er et idre pukt, altsa, at K(a,r) er e abe mregde. Hvis 0 er e abe mregde, lea vi for hvert x E 0 vrelge r(x) > 0, saledes at K(x,r(x)) ~ Dermed er sretige bevist. 0, og sa far vi abebart 0 = U K(x,r(x)). xeo Defiitio Lad A og B vrere puktmregder i et metrisk rum T = (~1, di st). Tallet kaldes afstade mellem A og B og beteges dist(a,b). For A = {aj kaldes dist({ a J,B) ogsa afstade mellem puktet a og mregde B, og de beteges dist(a,b) eller dist(b,a).,2 Eksempel. I R har puktmregdere f (x, y) I xy = 0 J og f (x, y) I xy = 11 (teg dem!) afstade O. De er begge afsluttede, og de har ige fmllespukter.

436 MA 8.6 Det er klart, at de saledes idf' rte at'stad mellem mreg, der altid vii opt'ylde betigelsere dist(a,b) ~ 0 og dist(a,b) = dist(b,a). For A B ~ 0 er dist(a,b) = O. For A = faj, B = fbj er dist(a,b) = dist(a,b). For at'stad mellem mregder grelder der ikke oge relatio, som svarer ti 1 trel(ats ulighede. Sretig 8.1'1. For et metrisk rum T = (M,dist) grelder Va E: T VA ~ T ( di s t ( a,a) = 0 <=> a E: A). Bevis. Lad a vrere et pukt at' T og A e delmregde at' T. At dist(a,a) > 0 er esbetydede med, at der t'ides et positivt tal r, saledes at K(a,r) A = 0. Me det er esbetydede med, at a er et ydre pukt for A. Altsa er dist(a,a) = 0 esbetydede med, at a ikke er et ydre pukt t'or A, altsa med a E: A. Dermed er sretige bevist. Det'iitio Lad T = (M,dist) vrere et metris1\: rum og A ~ M e vilkarlig delmamgde. Det metriske rum, :avis uderliggede mregde er A, og hvis at'stadsf'uktio er restriktioe at' dist til AxA, kaldes det metriske delrum A at T (eller blot delrummet A at' T). Det er helt idlysede, at betigelsere d1), o,d4) bevares ved restriktio til AxA, saledes at restriktioe at dist virkelig er e at'stadstuktio. Sretig Topologie pa det metriske delrum A ~ T = (M,dist) er idetisk med delrumstopologie pa A optattet som delrum at det topologiske rum T. Bevis. E kugleomeg med cetrum a og radius r > 0 i det

437 MA 8.70 metriske delrum A er etop A K(a,r), altsa e omeg i det topologiske delrum A. E omeg U a~ a i det topologiske delrum A har ~orme U := A V1 hvor V er e omeg a~ a i rummet To Me sa ideholder V e kugleomeg K(a1r)~ og dera~ ~ lger, at U ideholder A K(a,r), hvilket er e omeg i det metriske delrum A. Altsa er U e omeg a~ a i det metriske delrum A. Dermed er sffitige bevist. Eksempel. A~stads~uktioe pa R er givet ved dist(x,y) := Iy-xl. De samme de~iitio ka altsa bruges pa ehver delmregde a~ R, ~.eks. pa ethvert iterval og pa Q,Z,N etc. Vi bemrerker, at Z ikke er et diskret metrisk rum, selv om Z er et diskret topologisk rum. Sretig Lad T1 = (M 1,dist 1 ) og T2 = (M 2,dist 2 ) vrere metriske rum. E a~bildig ~:T1 id i T2 er' kotiuert i a E T 1, hvis og l{.u hvis ~ lgede betigelse er op~yldt: Bevis. De sidste del af betigelse, startede med Vx, udtrykker, at kugle K 1 (a,o) i rummet T1 afiildes id i kugle K2(~(a),8) i rummet T 2, altsa at ~-1(K2(~(a),8)) ~ K 1 (a,o). He Ie betibelse udtrykker der~or, at ehver omeg a~ ~(a) som origialmregde har e omeg a~ a. Dermed er sretige bevist. Betigelse ~or, at ~:T1 id i T2 er kotiuert, ~as altsa ved helt til vestre i betigelse i sretig 8.14 at til~ je Va E T 1 0 De~iitio To metriske rum T1 = (M,dist 1 ) og T2 := \. (IVI,dist 2 ) kaldes rekvivalete, hvis de uderliggede topologiske rum er idetiske, og a~stads~uktioere dist 1 og dist 2 kaldes da ogsa rekvivalete.

438 MA 8.8 Det er klart, at "rekvivalet med" virkelig bliver e rekvivalesrelatio i begge til~relde. Det er selv~ lgelig vresetligt~ at T1 og T2 har samme uderliggede mregder. Sretig Lad T1 = (M,dist 1 ) og T2 = (M,dist 2 ) vrere topologiske rum med samme uderliggede mregde. N dvedigt og tilstrrekkeligt, ~or at topologie pa T2 er ~iere ed topologie pa T1~ er, at f lgede betigelse er opfyldt: idet K 1 (a,r) er e kugle i T 1, medes K 2 (a,s) er e kugle i T 2 N dvedigt og tilstrrekkeligt ~or, at T1 og T2 er rekvivalete, er, at ovestaede betigelse er op~yldt tillige med betigelse Bevis. De f rste betigelse udtrykker, at ehver kugleomeg (og dermed ehver omeg) i T1 er e omeg i T 2, altsa, at T2 er ~iere ed T At begge betigelser er op~yldt er der~or 1 esbetydede med at topologie pa T2 er fiere ed topologie pa T, og at topologie pa T1 er ~iere ed topologie pa T 1 2, altsa, at de to topologiske rum er helt idetiske. Eksempel. Det metriske rum Z er rekvivalet med Z med de diskrete metrik. Vi skal u beskre~tige os med sp rgsmalet om produld af to metriske rum T1 = (M 1,dist 1 ), T2 = (M 2,dist 2 ). For elemetere i M xlvi 1 2 vii vi beytte de a~kortede betegelser!. = (x 1,x ), 2 ~ = (Y1'Y2) etc. Sreti!)g Lad T1 = (M 1,dist 1 ), T2 = (M 2,dist 2 ) vrere metriske rum. Vi sretter

439 MA 8.9 dist(ls,;yj =V«dist 1 (x 1 'Y1))2 + (dist 2 (x 2 'Y2))2) dist'(ls,;y.) = SUp{dist 1 (x 1 'Y1)' dist 2 (x 2 'Y2)1 di s t tf ( ls, ;z) = di s t 1 (x 1 ' Y 1) + di s t 2 ( x 2 ' Y 2 ) Sa er dist, dist' og dist" idbyrdes rekvivalete afstadsfuktioer pa M1xM2 og de frelles topologi pa (M xm 1 2,dist ), (M xm 1 2,dist') og (M xm 1 2,dist ll ) er topologie pa det topologiske produktrum T xt 1 2 Bevis. Det er klart, at dist, dist' og distil tilfredsstiller d1), d2) og d3). Vi skal Vise, at dist tilfredsstiller d4). Det bliver et kedsommeligt regestykke, me her er det altsa: dist(ls,~j =V«dist 1 (X 1 'Z1))2 + (dist 2 (x 2 'Z2))2) ~ V«dist 1 (x 1 'Y1) + dist 1 (Y1'Z1))2 + (dist 2 (x 2 'Y2) + dist 2 (Y2'Z2))2)= V«dist(lS,;Z))2 + (dist(;z,~))2 + Nu metter vi for kortheds skyld og beytter vurderige Derved far vi

440 MA 8.10 dist(!,~) ~ V((dist(!,~))2 + (dist(~,~))2 + 2dist(!,~)dist(~,~)) = di s t (,!, ~) + di s t ( ~, ~), og dermed har vi vist, at dist tilfredsstiller trekatsulighede. Det g&r lettere at vise, at dist' tilfredsstiller trekatsulighede: dist'(x,z) = supfdist1(x1,z1)' dist 2 (x 2,z2)1 ~ sup f di s t 1 (x 1,y 1) + di s t 1 (y 1 ' z 1 ), di s t 2 ( x 2 ' Y 2) + di s t 2 ( y 2 ' z 2 ) 1 ~ su p ( f dis t 1 ( 6l: 1,Y 1 ), di s t 2 ( x 2 ' y 3 ) 1 + f di s t 1 (y 1 ' z 1 ), eli s t 2 ( y 2 9 Z 2 ) 1) =: aupfdist1(x1'y1),dist2(x2'y2)1 + supfdist1(y1,z1),dist2(y2,z2)1 = dist'(!,~j + dist'(y,~). At trekatsulighede grelder for dist" er helt trivielt. Vi har saledes vist, at dist, dist' og dist" er afstadsfuktioer p& M xm, Vi bemrerker u, at de tre afstadsfuktioer tilfredsstiller 1 2 ulighedere Heraf f0lger at e kugle med cetrum a og radius r svarede til e af afstadsfuktioere vil ideholde kugle med cetrum a og radi us ~r svarede til ehver af de adre afstadsfulcti oer. Af s~tig 8.16 f0lger derfor, at de tre afstadsfuktioer er idbyrdes rekvivalete. De svarer alts& til de samme topologi p& M 1 xm 2 o Vi magler derfor blot at vise, at dist' svarer til produldrums topologi e,

441 MA 8.11 svarede til dist' er abebart eto:p givet ved E kugleomeg Kt(~,r) og er derfor e omeg af ~ i :produktrumsto:pologie. E omeg U af ~ i :produktrumsto:pologie ideholder e basisomeg af forme U 1 x U? 2 hvor U 1 er e omeg af a i T1 og U er e omeg U af a 2 i T20 Me sa fides der et tal r > O~ saledes at K 1 (a1y r) <; U og K 1 2 (a 2,r) <; U 2, og vi far Altsa er U e omeg af ~ i de to:pologi, der svarer til dist'. Dermed er smtige bevist. Idet vi udytter de aturlige hom omorfi mellem :produktrwmee T 1 x xt og (T 1 x xt 1)xT, udvides smtige umid - delbart ved idllictio til :produkter af metriske rum T. = (M., di st. ), j = 1,,. J J J Vi far i dette tilfmlde, at to:pologie i :produktrummet svarer til tre idbyrdes mkvivalete afstadsfuktioer dist, dist' og dist'l som for x = (x1y,x ), il. = (Y1'."'Y) defieres ved 2 dist(x,y) = v' ~ (dist.(x.,y.)) j =1 J J J ~ dist.(x.,y.). j =1 J J J Produktrummet T = (M 1 x XM,dist) kaldes det Euklidiske :produkt af T1 p 0.,T,

442 Det -dimesioale talrum er produktrummet R "" = Rx xr " ( faktorer). Som metrisk rum er det orgaiseret ved afstadsfuktioe dist, defieret ved me det er rekvivalet med de metriske rum, der fas ved at beytte afstadsfuktioere Ved kotiuitetsuders gelser for afbildiger :fra eller id i k ka ma altsa frit vrelge de af de tre afstadsfuktioer, det i det foreliggede tilfrelde er mest bekvemt at arbejde med. Defiitio Lad T1 = (M 1,dist 1 ) og T2 = (M 2,dist 2 ) vrere metriske rum. E afbildig f:t 1 id i T2 kaldes a:fstadsformidskede 1 hvis de tilfredsstiller betigelse Hvis li~hedsteget grelder for aile x og Y, kaldes afbildige isometrisk. \ Vigtige eksempler pa a:fstadsformidskede afbildiger er projeldi oere af det -dimesi oalie l talrum pa et koordia t- uderrum~ f.ekso de ved p ( x 1 ~ ~ x ) = ( x 1 ~, x <1), <1 < - 0 -<1 t defierede afbildig p:r pa R $ Srerligt vigti ge er projelc i 0- -oere p.:r pa R, som defie res ved J p.(x 1,,x ) = x. J J

443 MA 8.13 Scetig Ehver afstadsformidskede afbildig er kotiuert. Ehver isometrisk ai'bildig er kotiuert og ijektiv. Hvis e isometrisk afbildig er surjektiv, er de e hom omorfi. Bevis. Hvis f:t 1 id i T2 er afstadsformidskede, o~fyides kotiuitetsbetigelse i scetig 8~14 ved valget 6' = 8. E isometrisk afbildig er afstadsformidskede og derfor kotiuert. Hvis f er isometrisk og f(x) = fey) er dist(x,y) = dist(f(x),f(y» = 0, altsa x = y. Altsa er f ijektiv. Hvis f tiiiige er surjetiv, fides der e omvedt afbiidig f-1, og dct er klart, at f- 1 ogsa er isometrisk og dermed kotiuert. Altsa er f e hom omorfi. Dermed er scetige bevi st. Scetig Lad T = (M,dist) vcere et metrisk rum. Da er dist:txt id i R e kotiuert afbildig. If lge scetig 8.17 svarer topologie pa TxT til afstadsfukti oe di s t 1/ defiere t ved distl/(!.,;yj = dist(x 1 'Y1) + dist(x 2 'Y2) for x = (x 1,x 2 ), y = (Y 1,Y 2 ). Vor scetig vii f lge af scetig 8.19, hvis det lykkes os at vise, at dist er afstadsformidskede, ar distil beyttes som afstadsfuktio pa TxT. Nu er sa far vi

444 MA 8.14 Hvis vi foretager de samme regig med rollere byttet for x og y, far vi dist(y1'y2) - dist(x 1,x 2 ) ~ dist"(2s,y), og de to uligheder er etop esbetydede med, at I di s t (y 1,y 2) - di s t ( x 1. ' x 2 ) I ~ di s t " ( [!, ;l), hvilket etop viser, at det er afstadsformidskede. Dermed er sretibe bevist. Det er klart, at sretig 8.20 er e meget aturlig sreti6, 08 at ma pa forhad matte habe pa des gyldighed. De vii ogsa seere vise sig meget yttig. Sretig 8.21& Lad T = (M,dist) vrere et metrisk rum og A ~ T e puktmregde. Da er de ved ~(x) = dist(x,a) defierede afbildig ~:T id i R kotiuert. Bevis. Lad x og y vrere vilkarlige pukter af T. Lad r vrere et positivt tal> dist(x,a). Sa er A K(x,r) ~ 0. If lge sretig 8.5 er K(x,r) ~ K(y,dist(x,y)+r), og derfor er A K(y,dist(x,y)+r) ~ 0, altsa dist(y,a) ~ dist(x,y)+r Da dette grelder for ethvert tal r > dist(x,a), ka vi slutte, at al tsa di s t ( y, A ) ~ di s t ( x, y) + di s t ( x, A), Ved 3t lade x og y bytte roller i regigere far vi de tilsvarede ulighed med x og y byttet om, og de to uligheder er esbetydede med, at

445 MA 8.15 l<p(y) - <p(x)1 ~ dist(x,y), altsa at <p er afstadsformidskede og dermed kotiuert. Dermed er sretige bevist. Defiitio Lad T = (M,clist ) vrere et metrisk rum, og lad A ~ T vrere e puktmregde. Da kaldes supfdist(x,y)lx,y E Al diametere at' A og beteges diama. Hvis diama < 00, kaldes A e begrreset puktmregde. Hvis diamt < 00, kaldes T et begrreset metrisk rum, og afstadsfuktioe dist kaldes begrreset. E puktf lge (a) pa T kaldes begrreset, hvis puktmregde fal E NJ er begrreset. Begrresethed er e metrisk og ikke e topologisk egeskab. E~1ver afstadsfuktio er emlig rekvivalet med e begrreset afs tadsfukti o. Lad dist:mxm id i :R vrere e afstadsfuktio. For x,y E M sretter vi Det er da klart, at dist 1 tilfredsstiller d1), d2) og d3)o For dist(x,y) + dist(y,z)? 1 er dist 1 (x,y) + dist 1 (y,z) ~ 1 og dist opf'ylder trekatsulighede. For dist(x,y) + dist(y,z) 1 < 1 er dist(x,z) < 1, og trekatsulighede for dist f lger derfor 1 umiddelbart af trekatsulighede for dist. Altsa er dist 1 e afstadsfuktio. Det er klart, at dist er begrreset og rekvivalet med dist. 1 Eksempel. E kugleomeg er e begrreset mregde. E kugleomegs diameter er h jst det dobbelte af des radbus, me de ka vrere meget midre.

446 MA 8.16 S83tig E m83gde A i et metrisk rum T = (M~dist) er begrwset, hvis og ku hvis de ka overd83kkes med edelig mage lcugleomege. Bevis. Hvis A er begrreset, a E A og r > diama, er A ~ K( a, r)" Dermed har vi bevi st "ku hvi s ". Lad os u atage ~ at A ~ K1 (a 1 ~r1 )lj oljk(a,r ). Vi vrelger PER, saledes at dist(aj,a k ) ~ P for j,k = 1,,, og saledes at rj ~ P for j = 1,,. For x,y E A, ka vi vrelge j og 1(~ saledes at x E K(aj,r j ) og y E K(ak,r k ) og vi far da Dermed er sretige bevi st. E puktf lge (a) pa et metrisk rum T = (M,dist) kovergerer mod a E T, hvis og ku hvis f lgede betigelse er opfyldt. Det ses umiddelbart, at dee betigelse virkelig semmer overes med de betigelse, vi beyttede i et topologisk rum. Det er selv~ leelig uvresetligt, om vi skriver ~ N, ~ 8 eller udelader det ee eller begge lighedsteg. De~iitio E puktf lge (a ) pa et metrisk rum T = (M,dist) kaldes e ~udametal~ lge, hvis f' lgede betigelse er opfyld t : Det ses umiddelbart, at dee betigelse virkelig stemmer overes med de betigelse, vi beyttede i et topologisk rum. Det er selv:f lgelig uvresetligt, om vi skriver ~ N, ~ 8 eller udelader det ee eller begge lighedsteg.

447 MA 8.17 Defiitio E puktf lge (a) pa et metrisk rum T = (M~dist) kaldes e fudametalf lge, hvis f lgede betigelse or opfyldt: Begrebet fudametalf lge er kyttet til metriske rum~ og det Im ikke geeraliseres til helt geerelle topologiske rum, Det afb rede er, at rummet har sa mege struktur, at det har e meig at tale om lies" eller "lige store" omege af forslcellige pukter. Sreti!l8' Ehver fudametalf lge er begramset. Bevis. Lad (a) vrere e fudametalf lge pa et metrisk rum T = (M~dist). Vi vrelger N~ saledes at Udefor kugle K(aN~1) fides ku edelig mage af pulctere a' Altsa ka mregde fal E NJ drekkes med edelig mage kugler, Sretige f lger derefter af sretig Smtig E koverget f lge er e fudametalf lge. Bevis. Lad (a ) vrere e f lge pa T = (M~dist)~ koverget mod a E T, og lad 8 vrere et positivt tal. Vi vrelger N E N, saledes at For m~? N far vi da Altsa er (a ) e fudametalf lge, Dermed er sretige bevist~

448 MA 8.18 fretlpg E :fudametal:f lge, som har e koverget del:f lge 9 er selv koverget. Pevi s. og lad (a P ) positivt tal. Lad (a) vrere e :fudametal:f lge 0 pa T = (M,dist) ~ a E T vrere e del:f lge a:f (a ), og lad 8 vrere et Vi vrelger N E N, saledes at ka vi vrelge men, saledes at Pm ~ 1 2'8. For ~ N har vi da N og di s t ( a, a ) ~ di s t ( a, a ) + di s t ( a,a) $ 8. Pm Pm - Dermed har vi vist, at (a ) ~ a? og dermed er sretige bevist. De:fiitio Et metrisk rum T = (M,dist) kaldes :fuldstrdibt, hvis ehver fudametal:f lge pa T er lwverget. Eksempel. De metriske rum R og G er :fuldstredige. Delrummet Q a:f R er ikke :fuldstredigt. E :f lge pa et diskret metrisk rum er e :fudametal:f lge, hvis og ku hvis des elemeter :fra et vist ummer at rege er idbyrdes idetiske, og :f lge vii der:for vrere koverget. Altsa er et diskret metrisk rum :fuldstrdigt. Hvis T1 = (M,dist 1 ) og T2 = (M,dist 2 ) er rekvivalete metriske rum, og T1 er :fuldstredigt, ka vi ikke slutte, at T2 er :fuldstredigt. Fulds tredighed er der:for e me tri sk og ikke e to ~ pologisk egeskab ved et metrisk rum. Elmompel. Vi vrelger T1 = R med de sredvalige a:fstads:fuk tio dist 1 (x,y) = Iy-x/. Vi vrelger T2 = (R,dist 2 ), hvor dist~(x9y) = IArctg y - Arctg xl. Sa er T1 og T2 rekvivalete metri slec r'um. Rummet T1 er fuldstredigt. F lge () er e fudametalf' 18e pa T 2, m'3 ikke lwverget.

449 MA 8.19 A ~ Sretig Lad T = (M,dist) vrere et metrisk rum og T e puktmregde. Hvis det metriske delrum A af T er et fuldstredigt metrisk rum, er A e afsluttet delmregde af T. Hvis T er fuldstredigt og A afsluttet, er det metriske delrum A fuldstredi t. Bevis. Lad os f rst atage at det metriske delrum A er fuldstredigt, og lad a vrere et pukt af A. For ethvert E N ka vi da vrelge a E A K(a,~). Lad 8 vrere et positivt tal. Vi vrelger N ~ ;. For m, ~ N har vi da am,a E K(a,~), altsa dist(a,a ) ~ 8. Dermed har vi vist, at (~) er e fudametalm 11. f lge pa A, altsa koverget mod et grresepukt b E A. Pa de ade side har vi ogsa for ~ N, at dist(a,a ) ~ 8. Altsa grelder (a) ~ a. Me da (a) h jst kovergerer mod et pukt af T, far vi a = b, altsa a E A. Dermed har vi vist, at A er afsluttet. Lad os derrest atage, at T er fuldstredigt, og at A er afsluttete Lad (a) vrere e fudametalf lge pa A. Sa er (a) ogsa e fudametalf lge pa T, al tsa koverget mod a E T. Me sa lea a ikke vrere et ydre pukt for a, og da A er afsluttet, ka vi slutte, at a E A. Dermed er sretige begist. Eksempel. Et iterval pa R er et fuldstredigt metrisk rum, hvis og ku hvis det er afsluttet. Smtig Lad T1 = (M 1,dist 1 ) og T2 = (M 2,dist 2 ) vmre fuldstredige metr~ske rum. Da vii de i sretig 8~17 omtalte produktrum (M 1 xm 2,dist), (M 1 xm 2,dist') og (M 1 xm 2,dist tl ) alle vrere fuldstredige. Bevis. Lad (a ), hvor a = (a',a ll ) vrere e fudametalf l ge i et af de tre produktrum. Pa grud af ulighedere

450 MA 8.20 til e sada f lge vrere fudametalf lge i aile tre produktrum. Pa grud af ulighedere di s t (a tat) ~ di s t t ( a a)' di s t ( a II a ") ~ di s t t ( a a) 1 m' - -m'- ' 2 m' - -m~- ' 'vii koordiatf lgere (a~) og (a~) vrere fudametalf lger og {i -.. ~, derfor kovergete. Me af (a') ~ a' og (a") ~ a" f lger (a ) ~ (a',a") i det topologiske produktrum og dermed i hvert - af de tre metriske produktrum. Dermed er sretige beviste Ved iduktio udvides sretige umiddelbart til produkter af flere metriske rum, - Sffitig Det metriske rum R er fuldstredigt. Bevis. F lger umiddelbart af sretig Vi skal i dee forbidelse gaske kort mide om de mere detaljerede geometriske struktur pa R. For pukter i R vii vi avede betegelser x = (x 1,,x ) har vektoradditioe ~ + ~ = (x 1 + y 1,,x + Y ) og for A E R har vi produktet Vi mider om ule.rettet (ulvektore) Q. = (0,,0). - - L For a E R og b E R, hvor ~ T Q, er, \,,' [(1-t)~ + t b t E Rl de rette liie geem ~ og Q og

451 MA 8.21 f( 1-t)~ + t 12. I t E [0,1 J1 er det afsluttede liiestykke med edepuructer a og Vi idf rer det idre produkt for hvilket vi har regereglere Det reelle tal kaldes orme af x Det er ikke egativt. For A,~ E R er IIA~ + ~~112 ::; (A!. + ~l.) (A!. + /-ly) ::; 1I!.1I2A2 + 2(~.~)A~ + liy,,2~29 og da dette adegradspolyomium i A og ~ egative vrerdier, ka vi slutte, at saledes ikke atager Dette er Cauchy-Schwarz's ulighed o ( 1 ) For A ::; ~ ::; 1 giver relatioe ovefor og vurderig ved Cauchy-Schwarz' ulighed giver Norme har saledes egeskabere

452 MA ) IIQII = 0 2) V~ E: rl\fql (/'I~" > 0) 3) V~,x.. E R(lI~ + ;y:ii ~ II~II + II;y:II) 4) V~ E R VA E R (II,,-xll = I "- III~II) 0 Her medf rer 1), 2) og 3), at dist(~,;y:) = 1I;y:-~1I er e afstacsfuktio pa R, og dette er etop de ovefor beyttede afstad i R opfattet som Euklidisk produktrum. Pa grud af 4) kaldes R et ormeret vektorrum. t, Af Cauchy-Schwarz s ullghed f lger, at der for x,y E R y ~ t Q, x.. t 0 fides etop et tal L (x,x..) E: [O,ff], saledes at Tallet L (~,;y:) kaldes vikle mellem x og ;L. At (1) i'ar vi ved at erst3tte ~ med -;L relatioe som er cosimusrelatioe for trekate med vikelspidse Q, x og ;y:. Vi har fors gt at atyde, hvorledes orgaisatioere af og R som vektorrum som metrisk rum ka sammebygges og udbygges, til de komplicerede orgaisatio vi plejer af kalde e Euklidisk geometri. Det ka ogsa lade sig g re at kostruere uedeligdimesio-- ale rum med mage af de edelige rums geometriske egeslcaber i behold. Vi vii kort omtale et vigtigt eksempel.

453 MA 8.23 Ivied Iv! bete,ger vi mregde af' reelle talf' lger a = (a)' 2 f'or hvilke rrekke (a) er koverget. For ~, b E M, har vi og sammeligigskriteriet giver, at rrekke ((a +b )2) er ko verget. Alts& def'ierer e 8.dditio pa Mo og derfor er produktet For A E R og a E M er rrekke (Aa ) koverget, defieret. Dermed er M orgaiseret som vektorrum. Pa grud af vurderige er rwkke (ab ) absolut koverget, og vi ka derf'or defiere det idre produkt 00 ~ a b =1 Vi idser umiddelbart gyldighede af' regereglere a. b = b 0 a " (: +02) = aob + aoc A(.": ) = A~ob = aoab, A E It 0 Vi seet ter u

454 MA 8.24.Af Cauchy-Schwarz's ulighed i' lger N ~ a b =1 N 2 N 2 v( ~ a ~ b ) ~ : 11, =1 =1 og i'or N ~ 00 i'ar vi Dette er Cauchy-Schwarz I ulighed f'or f'~51ge. Vi ka u umiddelbart kopiere reste ~f' de regiger, vi udf' rte f'or R. Vi har saledes orgaiseret e mregde af' tali' lger med e geometrisk struktur, der i mage heseeder mider om geometrie pa R. Def'ii ti o Det ove f' 01' omtal te ormerede vel~torrum, hv:l s ukter er talf' lger a = (a) f'or hvilke rrokke (a ) J::;' -- ' er koverget, kaldes Hilberts talf' lgerum og beteges Roo. For korthedl3 skyld vii vi of'test blot ImIde Roo Hilbert rummet, me det ej> ulwrrekt, idet betegelse Hilbertrum avedes om o meget me:re omf'attede klasse af' ormerede vektorrum. SSJti.a 8.3). Hilberts tal:f' lgerum er f'uldstamdigt. BE~vi s. Lad (a ) 1 hvor a = (a k IkE i~) vrere e fudame- - - talf'0lgc i Hilberl~rummeto er opf'yj.dt: Dette betyder, at f' lgede betigelse Pa gruc_ at' uiighe,de

455 MA 8.25 far vi for ethvert ken, at V8 > 0 3N E N Vm, ~ N(/a mk - a k / ~ 8), hvilket viser, at (ak/ E N) er e fudametalfplge, og derfor koverget med e grresevrerdi a k Lad u a vrere et positivt tal. Vi vrelger N E N saledes at hvilket mere udfprligt skrives Vm,? N( ~ (a k - a k ) ~ 8 ) k=1 m Lad p vrere et aturligt tal. Vi har da p 2 2 Vm, ~ N( ~ (a mk - a k ) ~ 8 ). k=1 Lad vrere et aturligt tal. Ulighede i parete se er da gyldig for ethver men og vi ka foretage grreseovergage m ~ 00, som giver Da dette grelder for aile pen, ka vi u lade p ga mod 00, hvilket giver V ~ N( ~ (ak-a k ) ~ 8 ) k=1 Heraf f lger, at for ~ N er (ak-ak/k E N) et pukt i Hilbertrummet. Da (ak/k E N) ogsa er et pukt i Hilbertrummet, er summe Q = (a k ) et pukt i Hilbertrummet, og de sidste relatio ka skrives Dermed har vi vist, at (~) ~ ~, altsa at Roo er et fuldstredigt rum.

456 Eksempel. Hvis ~ = (a) er et pukt i ROO gar f lge ( I ai) mod 0, og de har derfor et st rste elemet II~II'. Det er let at vise 9 at II~"! er e orm pa vektorrummet Roo, og de sva- - rer abebart til e afstadsfuktio aalog med dist' for R Da t ~ giver II all " e grovere topologi pa Roo ed II. :.II. Da e ved II~II < 8 defieret kugle abebart ikke ideholder oge kugle dcfieret ved e ulighed af forme II~I/t < 8, er de ved 1 II. :.II f defierede topologi effekti vt grovere ed de ved I/. :.II defierede. De to afstadsfuktioer er altsa ikke rekvivalete. Det skal tilf jes, at 1/ 11' er defieret pa hele vektorrummet af begrwsede reelle taif lger, og det vektorrum har jo abebart Roo som regte uderrum. E orm defieret ved II. :.II If = ~ I a I eksisterer ku pa det regte uderrum af Roo, der omfatter de absolut kovergete f lger, og pa dette uderrum defierer I/Q.I/" e topologi, der er effektivt fiere ed delrumstopologie. Udarbejdelse af beviser for de i dette eksempel fremsqtte pastade vii blive stillet som velsesopgaver. Defiitio Lad T = (M,dist) vrere et metrisk rum. E afbildig ~:T id i T kaldes strerkt afstadsformidskede, hvis der fides et tal k E ]0,1[, saledes at Vx,y E T(dist(~(x),~(y)) ~ k dist(x,y)) Eksempel. De tidligere omtalte projektioer er afstadsformidskede ude at vrere strerkt afstadsformidskede. Vi er iteresserede i at bestemme l sigere til ligige ~(x) = x, hvor ~ er de i defiitio 8.34 omtalte afbildig. Ehver l sig til ~(x) = x kaldes et fixpukt for af'bildige

457 MA 8.27 Samme med cp vii vi ogsa betragte de itererede afbild- 2 iger 3 cp = cpocp,cp = cpocpocp,, Det er klart, at et fixpukt for cp ogss. er fixpukt for ehver af de itererede afbildiger. Scetig'8.35. E stcerkt afstadsformidskede afbildig cp :rf id i T, hvor T er et fuldstcedigt metrisk rum, har etop et fixpukt, og for yet kovergerer f lge (cp(y)) mod dette fixpukt. Bevis. Vi beytter betegelsere fra defiitio 8.34, og k E ]O,1[ tcekes valgt i overesstemmelse hermed. Lad u a og b vcere fixpukter for cp. Sa er altsa (1-k)dist(a,b) ~ O. Heraf f~lger imidlertid dist(a,b) ~ 0, altsa a = b. Dermed har vi bevist, at cp h jst har et fixpukt. Lad u y vcere et vilkarligt pukt af T. For E N har vi da dist(cp+1(y),cp+2(y)) = dist(cp(cp(y)),cp(cp+1(y))) ~ k di s t ( cp ( y ), cp + 1 (y ) ) Ved ~etage avedelse af dette resultat far vi For E N, pen far vi heraf efter getage avedelsg af tre katsulighede. c1ist(cp(y),cp+ p (y)) ~ P;1dist(cp+j(y),cp+j+1 (y)) ~ j=o p ~ k + J c1ist(y,cp(y)) ~ kdist(y,cp(y)) ~ k J = k=o k=o k di s t ( y 2 P (y ) ) 1-k

458 MA 8.28 ';": ':', Det sidste udtryk kovergerer mod 0 for ~ 00 Vi har saledes vist, at.. Ve > 0 3N E N V ~ N Vp E N(dist(~(y),~+1(y)) ~ e) Vi har dermed vist, at (~()(y)) er e fudametalf lge. Da T er fuldstredigt, kovergerer (~()(y)) mod et grresepukt a E T. For E N fadt vi ovefor hvilket ogsa ka skrives Da ~ er afstadsformidskede, er ~ kotiuert. Fa TxT grelder derfor og da dist er kotiuert, grelder Ved grwseovergage ~' 00 giver (2) derfor dist(a,~(a)) = 0, hvilket viser, at a er fixpukt. Dermed er sffitige bevist. Eksempelo For e E ]0,1[ betragter vi de ved ~(x) = a,-- e si x defierede afbildig ~:R id i R. Vi har for x,y E H, at ~(y) - ~(x) = e(si x - si y) = 2e cos X;y si X;y, altsa I~(y) - ~(x)1 ~ ely - xl

459 MA 8.29 AltSQ er ~:R id i R strerkt a~stads~ormidskede. Af sretig 8036 ~ lger der~or, at ligige x + e si x = a har e og ku e l sig, og at (~(x)) kovergerer mod deel sig. Det er i dette til~relde let at vise, at ligige har eto:p e l sig, da ~uktioe :pa vestre side er stregt vokaede 08 kotiuert og vokse ~ra -00 til 00 Det iteressate ep~ at vi ogss. far at vide, hvorledes vi ka dae e tal~ lge, der kovergerer mod l sige~

460 MA 8 Opgaver 1. Lette opgaver. 1. Lad ~:R id i R vrere e stregt voksede fuktio. Vis, at de ved dist(x,y) :::: I~(Y) - ~(x)1 defierede afbildig er e afstadsfuktio pa R. 2. Teg skitser af kugleomege i R2 svarede til hver af de tre afstadsdefiitioer (hvor ~ :::: (x 1,x 2 ), ~ :::: (Y1'Y2)): dist(~9y) = V((Y1-X1)2 + (y 2 -x 2 )2) di s t ' ( x, ~ ) :::: sup fly 1 - x 1 I, 1 Y 2 -x 21 1 dist"(x,y) :::: IY 1 - X ly2-x21 3. Lad ~:[0900[ id i [o,oo[ vrere e voksede fuktio, som tilfredsstiller betigelsere 1). ~(o) = 0 2). Vx > 0 (~(x) > 0) Lad M vrere e vilkarlig mregde, og lad dist:mxm id i R vrere e afstadsfuktio pa M. Vis, at ~Odist:MxM afstadsfuktio pa M. id i R er e 4. Uders g, hvilke af betigelsere d1),,d4) der tilfredsstilles af de ved dist(x,y) = Iy-xl + ~(y-x) defierede afbildig dist:rxr id i R. 5. Vis, at det for hvilket som heist valg af 3 bladt betigelsere d1),,d4) er muligt at fide e mregde M og e af-

461 MAS Opgaver 2. bildig dist:mxm id i R, saledes at de 3 valgte betigel-, ser er opryldt, me des de rjerde ikke grelder (opgave 4 giver e l sig i det vaskeligste tilrrelde). 6 8 Lad dist I ~ dist":mxm id i R vrere arstadsruktioer pa samme mrogde M. Vis, at de ved di s t ( x, y) = sup f di s t ' ( x, y ), di s t " ( x, y ) 1 derierede afbildig dist:mxm id i R er e arstadsruktio. Pr v at erstatte sup med idr og uders g, om de derved rremkome pastad er rigtig. 7. Lad dist':mxm id i R vrere e afbildig, som tilrredsstiller d1), d2) og d4). Vis, at de ved dist(x,y) = supfdist'(x,y), dist'(y,x)j derierede afbildig er e arstadsfuktio. 8. E afbildig dist:mxm id i R, som tilf'redsstiller d1), d3) og d4), kaldes e prro-arstad. Vis, at betigelse dist(x,y) = 0 er e rukvivalesrelatio, og at det ror rokvivalesklasser A og B grolder at dist(x,y) ror x A, Y B ikke arhroger ar valget ar.:x;, og y. Beyt dette til pa aturlig made at idr re e af'st~dsf'uktio pa mrogde ar rekv1- valesklasser. E mrogde meg. e prro-af'stad kaldes et prremetrisk rum. Et sadat f'rem~riger altsa altid et metrisk rum pa klassere i e passede ~lasseiddelig. 9. E af'bildig dist':mxm id i som tilf'redsstiller d1),,d4) kaldes e uegetligaf'stadsruktio, og

462 MA8 Opgaver 3 T = (M,dist') kaldes et uegetligt metrisk rum. Vis, at dist'(x,y) < 00 er e rekvivalesrelatio, at e restriktio af dist' til e rekvivalesklasse er e afstadsfuktio pa dee, og at pukter fra forskellige rekvivalesklasser har uedelig stor afstad Lad ~:[O,ooJ id i [O,oo[ vrere e voksede fuktio, som tilfreds'stiller betigelsere 1),2) og 3) i opgave 3. Lad, ~~ dist':mxm id i R vrere e uegetlig afstadsfuw{tio (se opgave 9). Vi s, a t ~ di s t ' : IvIxM id i :R er e at's tadsfuktio. 11. Lad T = (M,dist) vrere et metrisk rum, hvis afstadsfuru~tio tilt'redsstiller de skrerpede trekatsulighed. "Ix, y, z E T ( di s t ( x, z) ~ ill s t ( x, y) v di s t ( x, z). ~ di s t (y, z ) ) Vis, at (lidt uprrecist formuleret) alle trekater i rummet er ligebeede med beee midstsa lage som grudliie. Vis, at det for ethvert r E ]O,oo[ gmlder, at kugleomegee med radius r udg r e klasseiddelig af T. Vis ogsa, at de klasseiddelig, der svarer til r 1 E JO, r[, er e videredelig af de, der svarer til r. 12. For E N beteger vi med '/\() det st rste aturlige tal p, for hvilket pi er divisor.i. For x,y E Z sretter vi dist(x,y) = [ 0, hvis x = y 1 h. '/\(!y-x!)' VlSX Vis, at dist er e afstadsfuktio, som tilfredsstiller de skmrpede ulighed (se opgave 11).

463 MA 8 Opgaver Lad p vrere et primtal. Ethvert tal q E Q\fol ka pa e og l~u e made skri yes pa :forme q = p" %~ hvor " E Z 9 a E Z~ b E N~ og hvor p hverke gar op i a eller i b. Vi sretter I qlp =p -" og IOlp = O. Vis relatioere I q1 +q2' ~ sup f I q1 I,I q21 J, p p p 02, vis derruest, at dist(x,y) = I y-xl de:fierer e afstads- p fuktio pa Q, og at dee afstads:fuktio til:fredsstiller de skrorpede trekatsulighed (se opgave 11). 14. Lad JIiI vrore e mrogde og <p:mxm id i [O,oo[ e ai'bildig, som til:fredsstiller betigelsere 2) Vx~y E M(<p(x,y) = <p(y~x)). For x~y E M sretter vi di st(x, y) = i:ff ~ <p (zk_1,zk) I EN; z ~ o,z EM; z =x; 0 k=1 Vis, at dist er e prroa:fstad pa M (se opgave 8). z =yj. 15. Det atages, at dist t og di st" i opgave 6 er idbyrdes rokvivalete. Vis, at dist er rekvivalet med demo 16. Vis~ at a:fstadsfuktioere og <p dist i opgave 3 er idbyrdes rekvivalete.

464 MA.8 Opgaver 5 w * IvIed arctg~'::r id i [-2ff'21T] beteger vi de ved arctg * x = --br i'or x = -00 arctg x i'or x E :R 1 2fT i'or x = 00..,..: >'''' dei'ierede af'bildig. Vis, at dist(x,y) = larctg~y-arctg"xl. "'- er e ai'stadsf'uktio pa :R~1 og at de i'rembriger de sred- ';c valige topologi pa R' Udled herai', at restriktioe ai' dist til R er e ai's ta dsi'ukt i o rekvivalet med de sredvalige ai'stadsi'uktio pa R. 18. Lad T = (M 1 dist) vrere et metrisk rum. Vis at ai'slutige ai' kugleomege K(a,r) er e delmregde ai' fxetldist(a~x)~rj. Vis 1 at det ka vrere e regte delmregde i'or passede valg ai' T. Vis 1 at ethvert pukt i T har e omegsbasis~ der bestar. ai' ai'sluttede mregder. Vis, at det i'or a E T? A ~ T, a A og A a:fsluttet greider, at der :fides abe mregder 01 og 2, saledes at a E 01' A ~ 02~ = 0 (adskillelsesaksiom T 3 ) 19. Vis, at e mregde A i et metrisk rum T er begrreset 1 hvis og ku hvis ehver umerabel delmregde ai' A er begrreset. 21. Er det rigtigt? at e i' lge (a ) i et metrisk rum T er be grreset, hvis og ku hvis ehver deli' lge ai' (a) har e begrreset deli' lge? 22. Vis, at ehver pukti' lge pa R* har e koverget f lge.

465 MA 8 Opgaver Uders g, om f lgede puktfplger i det i opgave 12 omtalte rum er kovergete: 24. Er det rigtigt, at et metrisk rum er fuldstredigt, hvis og ku hvis ehver afsluttet delmregde er et fuldstredigt rum. 25. I det i opgave 13 omtalte rum betragter vi fplge (a )~ hvor 2 a = 1 + p + p p Vis, at (a) er e fudametalf lge. Er de koverget? m opgave 25 for det i opgave 12 omtalte rum og med a = 1! ! + + l 27. Vis, at ligigssystemet x = ~(six + silly) + p y = ~(cosx + cosy) + q, hvor p og q er reelle tal, har etop e reel l sig. (Vis, at de ved ~(x,y) = (~(six + siy)+p, ~(cosx + cosy)+q) defierede afbildig ~:R2 id i R2 er strerk afstadsfor midskede. Vaskeligere opgaver. 28. Geeraliser resultatet i opgave r. 6 til e vilkarlig mregde af afstadsfuktioer.

466 MA8 Opgaver 7 A 29. For ~,~ E 0([0,1],R) sretter vi dist(~,~) = supf I~(x) - ~(x)1 Ix E RJ. A Vis, at dist er e ai'stadsfuktio, og at 0([0,1 ],R) derved bliver et fuldstredigt, metrisk rum. Vis, at e pukti'~lge (~) " pa 0([0,1],R) er koverget, hvis og ku hvis fuktiosi'01te (~) er ligelig koverget pa itervallet [0,1]. 30. Vis, at der f'ides e umerabel, overalt tret puktmregde i, 00 R Lad e vrere et reelt tal. Vis, at de ved C e = f (cose cos~, cose si~, sig cosy, sig si~) I ~ E Rl bestemte puktmregde i R4 er e cirkel med cetrum i Q (d. v.s. de ligger i et 2-dimesioalt uderrum, og aile des pukter har samme ai'stad fra e). For hvilke G 1, 8 2 E R har pukter frelles? Hvad er U C? eer e 32. Vis, at ehedskugle i ROO ikke ka drekkes med edelig mage kugler med radius ~ 33. Por a E: '00 R og x E: J-1, 1 [ sretter vi 00 f(.,x) = :B a x =1 Vis, at vi de:coved defierer e kotiuert af'bildig f:r oo, x J-1, 1 [ id i R. 34. Vis, at der fides e og ku e reel tali'~lge (x ), som til fredsstiller betigelsere

467 MA 8 Opgaver 8 2 1) ZX < Lad Ai og A2 vrere disjukte, a~sluttede mregder i et metrisl: rum T. Vis, at der ~ides disjukte, abe mregder 01 og 02' saledes at Ai ~ 01' A2 ~ 02 (adskillelsesaksiom T4). 36. Lad T = (M,dist) Vffire et metrisk rum. Lad F vrere mregde a~ ~udametal~ lger pa T. Lad (x ) og (y ) vrere elemeter a~ F. Vis, at ~ lge (dist(x,y» er koverget. Vi beteger grwsevffirdie med Dist«x),(y». ViS, at Dist er e prrea~stad (se opgave 8) pa F. Som i opgave 8 vrelger vi pa F c~ klasseiddelig, saledes at Dist bliver e a~stads~uktio pa mffigde M a~ klasser. Derved de~ieres et metrisk rum T = (M,Dist). Vis, at der ~ides e isometrisk a~ildig j:t id i T, saledes at T ka op~attes som e udvidelse af T. Vis, at T er et ~uldstredigt rum. Vis, at ethvert ~ldst~digt metrisk rum, der har et delrum, som er isometrisk mad T ogsa ideholder et delrum, der er isometrisk med T. tv Rummet T kaldes ~uld,btredigg relse af T. 37. Lad T = (M,dist) vrere et metrisk rum, og lad A og B vrere Qisjukte, a~sluttede puktmregder i T. Vis, at dist(x9a) ~ ( x ) = dist(x,a) + dist(x,b) dei'ierer e kotiuert a~bildig ~: T id i [0,1], og at Vx E: A(~(x) = 0) og \:;fx E: B(~(x) = 1).

468 MA 8 Opgaver Lad T vrure et fuldstredigt metriak rum, og lad (K(a,r ;1) vrere e ~ lge a~ kugleomege pa T. Det atages, at V E N(a 1EK (a,r )Ar 1<r - dist(a,a 1» Edvidere atages det, at (r ) ~ har etop et ~relles pukt. 0. Vis, at kugleomegee 39. Lad (O) vrere e ~ lge a~ abe mregder pa et ~uldstredigt metrisk rum T. Det atages, at = 0. Vis, at der ~ides EN e kugleomeg K(a,r) i T samt et tal E N, saledes at (Fors g at geem~ re et idirekte bevis, idet opgave 38 beyttes). Resultatet ka ogsa udtrykkes pa ~ lgede made: Hvis e a~tagede ~ lge a~ abe mregder i et ~uldstredigt metrisk rum har tomt geemsit, er mamgdere ~ra et vist tri ikke overalt trette i rummet. Oversret dette resultat til e sretig om a~sluttede mregder (Baires sretig). Svrere opgaver" 40. Lad T vrere et ~uldstredigt metrisk rum ude isolerede pukter. Lad (O) vrere e a~tagede ~ lge a~ abe mregder pa T med e ~rellesmregde, som er overalt tret i T. Vis, at dee ~ffillesmregde opgave 38). ikke er umerabel (idirekte bevis, baseret pa 41. Vis, at mregde a~ irratioale tal i et iterval ildce er i- detisk med mregde a~ diskotiuitetspukter ~or oge reel ~uktio pa dette iterval.