H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE"

Transkript

1 H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede. K behav,1966.

2 Mat 1, M.A.Forordo Disse ~orelresigsoter er grudlaget ~or matematik 1, matematisk aalyse. De ~ rste kapitler er omredigerede, saledes at de bygger pa det matematikpesum, der ~orudsrettes i gymasiets ye lresepla. Matematikpesum ~ra gymasiets biologiske liie er i om~ag tilstrrekkeligt som grudlag ~or dette kursus, me studeter ~ra dee liie ra rege med at m de vaskeligheder, ~ordi de ikke har de samme matematiske trreig som studeter ~ra de matematisk- ~ysiske liie.

3 M.A. Idledig 1q Me hvad briger Dig til at smile? Der er aldeles ikke oget Forlystede ved Mathematik -- tvertimod I - Fra tekst til e tegig af Fritz Jurgese. Matematik er e deduktiv videskab. Det betyder~ at matematiske udsag ku ases for sade, ar der er f rt et bevis for demo Matematiske beviser bygger pa udsag, som tidligere er bevista Beviste (og derfor sade) udsag kaldes seetiger eller formler. B r opdager tidligt, at ma ka stille sp rgsmalet "hvorfortl~ Derfor ka ma ikke bevis ;:; aile udsag. De fudametale udsag, der ude bevis aerkedes som sade, kaldes aksiomer. De matematiske begreber ma defieres ud fra tidligere idf rte matematiske begreber, me de aller f rste matematiske begreber ka ikke defieres. Ud over de udefierede grudleeggede begreber og aksiomere ma vi ogsa tro pa de logiske slutigsregler, vi beytter i bevisere. De matematiske logik, begrebet "lig med", leere om meegder~ afbildiger og relatioer, teorie for ordede meegder, samt de aturlige tal udg r tilsamme matematikkes grudlag. Disse tilsyeladede forskelligartede emer lader sig ku meget ufuldsteedigt behadle hver for sig. Matematikkes udviklig f rer bade opad og edad. I toppe udledes stadig ye resultater pa basis af vor aktuelle vide. I

4 Mat 1~ M.A. Idledig 2. bude crbejdes der videre mod e stedse klarere f'orstaelse af' grudlaeets ature Desude g res der et stort arbejde f'or at af' korte veje f'ra b~de til toppe. Ude dette revisiosarbejde ville toppe hurtigt blive reserveret f'or et meget lille atal store geier. I pricippet er hele grudlaget udskif'teligt, saledes at ehver bar mulighed f'or at opbygge si ege matematik pa sit eget grudlag~ me det er etop det f'relles grudlag, der giver mulighed f'or mat8matikkes h je udviklig. Selvf'olgelig iddeles matematikke i mage disciplier, og det ka ",odt somme tider se Ud, som om disse hviler pa hver sit grudle,g og i det store og hele virker uaf'hregigt af' hiade. De virkelig store f're-skridt as imidlertid etop ved kombiatio af' f'orskelligartede dlsciplier. Fo::- de uge som lrerer matematik er det vigtigt at ha ikke bli ve::- hregede i matera tikl{es grudlag, me f'ar e chace f'or ogsa at f'a kedskab til arbejdet med de aktuelle problemer i t1toppeh, Derf'or v:u vi i dette kursub bygge pa det grudlag, der kedes f':'a udervi:3ige i gymasiet. Edvidere udbygig af' dette grud:"ag vii f'ide sted, ef'terhade som det b1iver dvedigt. Vi vii i det store og hele beytte de f'ra gymasiet kedte betegeler. De me~st i jef'aldede f'orskel er, at vi ikke beytter de buede af'bilcligspil. E af'bildig f' af' e mregde A id i e mreg:de B skri ves f':a id i Beller f':a ~ B Af'bildige kaldes ijektiv~ hvis origialmregde f'-1(b) til et elemet elemet vilkarligt b E B bestar af' h jst et De kaldes surjekti v 9 hvis bj_lledmregde f'(a) er idetisk med B. De kaldes

5 Mat 1, M.A. Idledig 3. bijektiv, hvis de er bade ijektiv og surjektiv. Vi vii avede de logiske syrboler v (eller) 1\ (og) "* (rc.edf' rer) $=} (alkvivalet red) i (ikke) De f'ire f' rste er bimre relatiosteg. De ra ku smttes reller relatioer - det er s~uedes ukorrekt at skrive 5 1\ 7, gr v r d. Derirod er det korrekt at skrive x 2-4x + 3 = 0 x = 1 v x = 3. Teget ""1 ka soot te s f'ora e relatio, f'. eks. i(x 2 _ 4x + 3 = 0) $=} i(x = 1) 1\ i(x = 3), me det er selvf' lgelig rimeligere at skrive dette pa f'orme x 2-4x + 3 to$=} x t 1 1\ X t 3. Negatio af' et relatiosteg beteges of'test ved geemstregig af' teget, dog aldrig ved ulighedsteg og iklusiosteg. I mmgdeloore beytter vi de soodvalige teg E:9c'~9::)';>9u,rl, samt teget \ f'or overskudsmoogde A\B (moogde af' elemeter, der tilh rer A)me ikke B) og teget C f'or komplemetmrmmgde, altsa A\B = ArICB. De moogdeteoretiske teg, de algebraiske teg +,-,.,:, ordigstegee <9~'>'~' lighedsteget, f'uktiossyrbolere cos, si, log etc, dif'f'eretiatiosteg, itegralteg o.s.v. avedes altid i f'orbidelse med udtryk og aldrig i f'orbidelse red relatioer.

6 Mat 1~ M.A. Idledig 4& e relatio mellem to udtryk. De adre teg er fuktioelle 9 idet de beyttes til fremstillig af mere sammesatte udtryk. Visse bogstaver reserveres som betegelse for kostater 7 saledes at disse specielle bogstaver altid har samme betydig. De t samme grulde'r sel vf lgelig tal tegee 7 heruder ogsa grudtallet e for de aturlige logaritmer samt tallet 7To Vi vil dog tillade os, at avede bogstavere e og 7T i ade betydig~ hvor dot ikke ka bevirke misforstaelser. Srerlig betydig hal' ogle kos t,"'tter, der beteger mregder: N (de aturlige tal, dov.s. de positive,hele tal) Z (de 1}.ele tal) Q (de ratioale tal) R (de reelle tal) C (de kompleksa tal) 0 I di sse tilfrelde har vi foretrukket at scette e accet ovor bog-- stavet 9 " '" i~~z'~~9r ar det avedes i de faste betydig. Derved. bliver og C frie til ade brug. E ade vigtig kostat or o (de torme mmgde). Ellers beyttes de fleste bogstaver sor betegelso for variable y hvilket betyder, at del' idefor visse gramser Im substi tueres adre syr'!joler for dem, evetuel t lwstater, evetuelt sammesatte udtryk~ hvori del' iugar flere variable. Det skal selvf01gelig altid vrere prreciseret (f.eks. ved at det fremgar af' sammehamge), hvilke symboler d.er Im substi tueres.:lo):i hver ekel t variabel. Kvatorere V og :3 er lllatematiske -ceg y som avedes pa

7 Mat 1, M.Ao Idlec1ig 5. rglatioer~ der ideholder variable. Kvatorer er of test betigec1e, idet de variabel or budot til e oller ade mregde. 3QX(X2+2<3x) betyder~ at der eksisterer et ratioalt tal x, saledes at x 2 +2<3xo Nu er det upraktisk at tumle med for mage idices, sa vi vii i regle foretrrekke at skrive ( 1 ) 3x E Q (x < 3x). Tilsvarede (2) Vx E R ( x > x ) Her er (1) og (2) relatioer, som ikke mere afhreger af e variabel, idet kvatorere bevirker, at x far ophrevet si status som variabel. Relatioe (1) berettiger os til at vrelgo et ratio- 2 alt tal p, saledos at p + 2 < 3p. Symbolet fx E Q I x < xj boteger m~gde af ratioale tal X9 for hvilke x < x Symbolet or e kostat, og vi bemrerk.or, at det redrer e relatio til et w..1tryk. Dar Im gives mage adre eksempler pa udtryk og relatioerjl der ideholder betegelser for e variabel, hvoraf urltrykkot eller relatioe ikke afhreger: b 1 f(x)dx afhreger ikke af x, a ~ a k afhreger ikke af k k=1 Det or ude betyc1ig om vi udskifter betegelse for e sada flpassivil variabel med et adet bogstav. Det er altid sil~rest at betegc e tlpassiv" variabel mod et bogstav, der ikke forekommer uclofor (let symbol, i hvi s betegelse de passive variable idgar.

8 Mat 1y M.A. Idledig 6. :avis dette symbol "dumper ed fra himle" med de "passive" variable beteget med et bog8tav~ der ogsa forekommer udei'or teg - ot y er det sikrest at skifte betegelse, da ma ellers fristes til at bega fejl. Saledes er forkert. Derimod er - l.} k(-k) = k k=1 k=1 l.} (-k) = 1 (-1) 2 1 k l.} k(-k) k=1 = ~ l.} j(-j) = j=1 Vi skal ikke opholde os mere ved sp rgsmalet om de matematislw symbolik. Det vii vcere forkert at slutte idledige u- de et fors g pa E't forklare, hvad matematisk aalyse er. Det er imidlertid ikke sa let, som ma skulle trot Lad os jes med at sige~ at matematisk aalyse beskceftiger sig med kotiuitet og grreseovergag. Nu skal vi imidlertid ikke udelukkede beskceftige os med matematisk aalyse. Al modere matematik beskceftiger sig med mregder~ som pa e eller ade made er orgaiserede. Algebra boskceftiger sig med mcegder, der er orgaiserede ved regeoperatioero Topologi beskbftiger sig med mregder, der er orgaiserec1e, saledes at begrebet "kotiuert af'bildig" far meig. E topologisk orgaisatio bestar i, at visse scerlig udmrerkede delmreg- Jer fremhreves, f.eks. omege af et elemet af mregde. Matematisk aalyse hadler om mregder, som har bade algebraisk og topologisk strulctur. Derfor er det aturligt 9 at vi ogsa taler om topologi.

9 Mat 1, ~,LA. Idleciig 7. For de$ som skal lrere matematik 9 er det vigtigt at Eors ge selv at skabe matematik. Matematikke udvikler rutiemetoder' til l sig af specielle typeopgaver. Avedelse af sadae rutiemetoder er ikke matematik. Udviklige af rutiemetodere er matematik. Ikke al matematik er svcer. DerEor er dot muligt at suppi ere et kursus som det Eoreliggede med et meget stort atal lette velsesopgaver. Ku Ea ae disse or velse i brug ae rutiemetoder. DerEor skaoer ma matematik y ar' ma l ser opgavere og fider frem til e pre Eormulerig ae l sigere. Det h rer ~ed til spillereglere i matematikke? at ma ku prceseterer det Ecerdige produkt. Overvejelser, ideer, Eorel bige bevisskitser? redaktiosarbejde Eoregar i d lgsmal, og ku det E~rJibe bevis publiceres. I disse forelresigsoter vii vi ikke altid overholde diese regler, me lejlighedsvis E lge de meget upcedagogiske metode, der tillader eleve at opdage, hvorda lrerere selv fumier med problemere. Metematikke bliver aldrig E~rdig. Ogsa dette kursus eeterlader utallige l se eder. Der vii blive spudet videre pa ogle ae disse i de E lgede kurser. Bladt de l se eder Eides ogsa virkelibe ui ste problemer. De reldste ae disse stammer Era oldtide. Arbejdet pa de matematiske bygigs top giver os stadig Ye opdagelser, og disse virker tilbage og ispirerer amdriger bade i matematikudervisige og i de metoder? med hvilke ma agriber de klassiske ui ste problemer u Saledes er matematikke altid levede og Eoraderlig

10 Mat 1, N.A.1.1 Nous croyos que la mathematique est destiee a survivre. N.Bourbaki Kapi tel 1. Tal. De reelle tal blev idf rt i gymasieudervisige~ og vi vii her idskrreke os til e skitsemressig geemgag af de fra gymasiet kedte tig Qg e mere grudig behadlig af ogle tilf jelser. Vi vii dog f rst omtale begrebere kompositiol1srogel og gruppe~ samt lidt mere udr rligt begrebere rig og legeme~ som ku behadles i gymasiets matematisk-fysiske liie. Def'iitio 1.1. Ved e kompositiosregel pa e mregde M forstas e ai'bildig cp: M x Mid i ~.1. Vi f'oretrrekker at udtrykke kompositiosregle vcc1 et teg~ f'.eks. +, altsa skrive cp(x~y) = x + y Defiitio 1.2. Kompositiosregle + kaldes associativ~ hvis Vx,y,z E M((x+y)+z) = x+(y+z)). Hvis + er associativ har xi + + x e gaske bestomt betydig~ saledes at pareteser slet ige rolle spiller. Derimou al'hreger ud trykket af leddee s rrekkef lge. Defiitio 1.3. Et elemet u E M kaldes eutralelemet for kompositiosregle +, Bafremt Vx E M (x + u = u + x = x) ka DetVvises, at e kompositiosregel har h jst et eutralelemet o

11 Mat 1, M.A. 1.2 Def'iitio 1.4. Lad + vwre e kompositiosregel pa Iv! med eutr8.1elemet u. To elemeter x,x 1 E Iv! med hesy til +, saf'remt kaldes hia-des iverse L8.d os atage, at + tillige er associativ. Det ka da vises, at hvcrt elemet har h jst et iverst. Hvis a,b E M og 8. har et iverst elemet a, 1 ka det vises, 8.t ligige a + x = b har a 1 + b som si eeste l sig, og at x + a = b har b + a 1 som si eeste l s±g. Def'iitio 1.5. E mwgde G med e kompositiosregel + kaldes e gruppe, hvis + er associativ og med eutralelemet, og edviclere hvert elemet af' Ghar et iverst elemet. Eksempel. Mwgde F(A,A) af' 8.11e bijektive af' bildiger f' :_t icl i A, idet A er e vilkarlig mwgde, udg r e gruppe med sammesmtige f' 0 g som kompositiosregel. De idetiske 8.f'- bildig er eutralelemet, og de iverse af'bildig bliver ogsa det iverse elemet af' gruppe. Def'iitio 1.~. E kompositiosregel + pa e mamgde Iv! kaldes kommutl1tiv, saf'remt Vx,y E M (x + y = y + x). x 1 + Hvis + er bade associativ og kommutativ, af'hwger.. 0+ x ikke af' elemeteres rwkkef' lge. E gruppe G)hvis kompositiosregel er kommutativ, kaldes e kommutativ gruppe eller e abelsk gruppe. I det f' lgede beskwf'tiger vi os med e abelsk gruppo G med kompositiosregel + og eutralelemet 0 (ulelemetet). Det iverse clemet til a beteges -a, og b +(-.) skrives b - fl.

12 M.A. 1.3 Vi kaljer -a det modstte elemet. Vi vii treke os, at der pa G er 8du e komposi tiosregel.vi vii ot'te udelade det adet kompositiosteg. Det'iitio 1.7. Vi siger, at. er distributiv med hesy til +, sat'remt Vx~y~z E G ((x+y)z = Xz+yz A X(Y+Z) = xy+xz) 1.S. Hvis' er distributiv med hesy til +9 grelder VX,y E G(O x = x'o = 0 1\ - x y = x'-y = -(xy)i\-x _y=xy). Bevis. At' O'x + O'x = (O+O)x = O'x t' lger, at O x =0 9 idet O'x + y = O x ikke h8r adre l siger ed y = O. Aalogt vises x'o = O. At' -x'y + x'y = (-x+x)y = O'y = 0 f lger9 at -x'y og xy er modsatte elemeter, altsa -x'y = -(xy). A~logt vises, at X'-y = -(xy). Herat' t' lger edelig -x _y = -(x'-y) = -(-xy) = xy, idet -(xy) ku har et modsat elemet, emlig xy. Vi skl ikke opholde os ved beviset t'or, at (x-y)z = xz-yz og z(x-y) = zx-zy. De distributive loy giver os mulighed t'or at multiglicere summer et'ter regle (x+y)(z+v) = xz+xv+yz+yv. Rreklcet' lge at' de t'ire led er ude iili'lydelse pa summe, me ombytig at' t'aktorere i de ekelte led ka tcekes at redre derme. Mere geerelt har vi t'or t'lerleddede summer m ~ x. ~ y. = j=1 J j=1 J m ~x. j=1 J k=1 ~Yk= m ~ Z x'yk j=1 k=1 J L.:.eg mffirke til, at vi t' rst s rger t'o: at bruge t'orskellige sum-

13 Mat M.Ao 1.4 matiosidices i de to summer. Det sidste udtryk agiver summe a.f aile produkter x j y k, hvor j er et a.f tallee 1' lim? medes k er et a.f tallee 1,,. Deriitio 1.9. De abelske gruppe G med de ekstra kom-.qositiosregel ' kaldes e rig, hvis er distributiv med hesy til + samt associativ. Eksempel. E gruppe G bli ver til e rig ved de.fii tioe 'l/x,y E: G(xy = 0). E rig med. dee trivielle produktde.fiitio kaldes e ulrig. Eksempel. Mregde a.f polyomier med hele tal (ratioale tal, reelle tal) som koe.f.ficieter og med operatiosreglere + og uc1g r e rig. Det'ii ti o E rig G kalde s et legeme 9 hvi s er komrutativ9 har et eutralelemet, og hvis yderligere ethvert elemet udtage 0 har et iverst. Neutralelemetet beteges 1 (etele:8t) og iverse elemeter kal de s reciprolce. Det iverse elemet til x beteges x- 1 For a t 0 har ax = b altsa etop e l sig, og de beteges b eller b/a ejler b:a a Sretig 1. 1'_. Lad G vrere et Ie geme. Vi har da Vx,y E: G (xy = 0 ~ (x = 0 v y = 0)) Bevis. At' x;r = 0 og x t 0 t' lger y = 1'y = (x- 1 x)y = x- 1 (XY) = x- 1 0 = O. Eksempel. Et legere ideholc1er i hvert.fald de to elemeter 0 og 1, og med disse to elemeter reges altid et'ter reglere 0+0 = 0; 0+1 = 1+0 = 1 0'0 = 0'1 = 1"0 = 0; 1'1 = 1.

14 Mat M.A. 1.5 Tilbage er blot 1+1. Det m~ grelde, at 1+1 ~ 1+0 = 1, me det t'orhidrer ikke, at 1+1= 0 0 sam et legeme. Ved dette valg orgaiseres f0911 Hvis M er e mregde med e kompositiosregel cp:m x Mid i M 9 som sl{ri ves cp (X9 y) = x+y, og A og B er delmamgde r at' M I er det a turligt at betege billedmamgde cp (A x B) med A+:S. I overesstemmelse hermed det'ierer vi ~et'iitio Lad G vrere et legeme, og lad A og B vrere delmwgder at' G. Vi defierer da A+B = fx+y I x E A AyE BJ -A = f-x x E Al; A-B = A+(-B); AB = f xy x E A AyE BJ, og t'or 0 A edvidere For 8. E: M skriver vi a+b og ab istedet t'or f8.j + B og fajb Eksempler: 0+A = 0A = -1 = 0. O+A = A; O'A = foj; 1"A = A; -1'A = -A Dut'ii tio ":.13. Et legeme G kaldes et ordet legeme 9 hvi s der foruligger e klasseiddelig af G\foJ i to klasser G+ og G_ 9 s~ledes at f lgecle 2 betigelser er opt'yldt: 1 ) Vx E G (-x E G ) - + 2)

15 M.A. 1.6 Elemotere i G+ kaldes positive og elemetere i G kalc1es egative. St:etig Hvis G er et orde~ legeme, grolder Vx E G (-x E G ). + -, Vx E G+Vy E G_(xy E G_) Vx, Y E G _ (x+y E 2 G /\ xy E G+); Vx E G(x=O v x E G ).1 E + ) G+ Bevis. Af x E G+ f lger x ~ O~ altsa -x ~ 0, altsa -x E G+ eller -x E G Me -x E G ville medf re 0 = (-x+x) E G, hvil ket il{ke er rigtigt. Altsa grelder -x E G_ o M x E G+ y y E G_ f lger -y C' G+, alts3. -xy = x'-y E G+, al tsa xy E G_o M x~y E G_ f lger '-x, -y E G+, al tsa -x-y E G +' al tsa x+y E G Edvidere xy = -x'-y E G+o,[;ilor x E G+ oller x E Ghar vi altsa x 2 E G+, og spe',clel~~ gj31de~ 1 = 12 E G+ o Dermed er alle pastadee bevist. D :::fii ti olj.2. For x, y E G, hvor G er et ordet legeme y deficrjs relatio~e x < y ved x < y <=> y-x E G + Vi skr-i "ler x ~ y i stedet for x<y v x=y. Rela tioe x < y skri yes ogsa y ) x og x ~ y skrives ogsa y ~ x.!atj.!lb 1.1 ii. For et ordet legeme G grelder Vx 9 y,z E G(x < Y <=> x + z < Y + z) E G 'liz E G (x < y <=> xz < yz). + B(~vis" De :' rste pastad f lger at', at y-x = (y+z)-(x+z). :0 Af x < ~r9 Y < z fljlger y-x E G+ 9 z-y E G+, al tsa z x = (:~-y)+(y-x) E G+, altsa x < z. Af x < y og z E G+ f lger tilsvarudo zy-zx = z(y-x) E G Af sretig 1.14 f lger u~ da 1 t?- t -X )y. l!!eclf.yj.r~!:1 z - 'z = 1 E G 9 rr; z-1 E: G 9 al~xzz 1< yzz eller x < y. Der + + med or fl33tige l Jevisto

16 Mat 1~ M.A. 107 Dermed har vi vist, at de fra gymasiet kedte regler for regig med uligheder er gyldige. Vi skal seere berige disse regler ved at bevise ogle mere dybtliggede uligheder. Defiitio Lad x vrere et elemet fra et ordet legeme G. Elemetet kaldes de umeriske vrerdi af x., x, hvis x E G + Ixl = J 0, hvis x = 0 \ [, -x, hvis x E G Scetig For et ordet legeme gcelder Vx E G (x ~ 0 => I xl > 0) Vx,y E G (jlxl-iyii ~ Ix+y/ ~ I xl + Iyl) Vx,y E G (Ixyl = Ixl I yl ). Bevi s. De f rste pas tad f lger umiddel bart af c1efii tio- e. De sidste f lger af scetig 1.8. Ai' x ~ lxi, y ~ Iyl f lger x+y ~ Ixl+lyl. Af -x ~ lxi, -y ~ Iyl f lger -(x+y)~lxl+iyi 0 Dermo~ har vi vist, at Ix+yl ~ Ixl+lyl. Her~f f lger Ixl = Ix+y +(-y)1 ~ Ix+yl + IYI, altsa Ixl-Iyl ~ Ix+ylo Aalogt fas Iyl - Ixl ~ Ix+YI. Dermed er scetige bevist. Vi svidlede ved at idf' re betegelsere 0 og 1 for de to eutrlelemeter i e rig og dermed i et legeme. Der er selvf lgelig itet i veje for, at f'orskellige rige (eller legemer) kg h~ve forskellige eutralelemeter, og sa er det forkert at 8.vee-:'e samme betggelse. De slags u jagtigheder i matematik hcever sig ved)at der seere i teorie optrceder resultater, som er idbyrdes modstridede, og dermed bliver hele teorie gaske yttel s. Forsydelser som de her omtalte optrceder imidlertid

17 Mat meget hyppigt i matematik - i det foreliggede tilfrelde ka vi a lagt, ude at forsydelse vil virke geerede, og sa lrege det gar godt, vil forsydelse spare os e del skriveri. Vi oterer os, at ogsa elemetere 1+1, 1+1+1, bliver frolles for alle rige og legemer. I et ordet legeme bliver disse elemeter alle idbyrdes forskellige (eksemplet efter sretig 1.11 viser, at dette ikke beh ver at grelde for ikke ordede legerer, og dermed tillige,,qt vort esartede valg af betegelser var uberettiget). Elemetere 1, 1+1, 1+1+1, udg r mregde N af ~turlige tal. Vi uderstreger, at N er e gaske bestemt mregdc 9 og de her omtal te delmamgde af et ordet legeme er stregt taget ikke mamgde N, me e "kopi II af de e mregde. Mamgde 2 = fi IJ r oj tj - N er mamgde af hele tal, og det ordede legeme ic1eholder ogsa e kopi af de e mamgde. Med regeoperatioe + er Z e gruppe. Produktet af to elemeter fra N er ige et ele-, met fra N, og heraf f lger, at det tilsvarede grelder for elemetor fra 29 Altsa er Z e rig. Ovestaede er selvf lgelig ikke e tilfredsstillede idf\drelse af N og Z. Vi ka ikke behaclle summere ude at kue trelle, hvor mage ettaller der er, og dertil beh ver vi etop de aturlige tal. Idf relse af N h rer med til matematikkes grudlag, me vi vil her ga ud fra, at vi ka stole pa vor ituitive'forstaelse af de aturlige tal. For det ordede legeme Ghar vi u N c 2 c Go For a E N, b E Z har ligige ax = b e l sig i G. Hvis a 1 x = b 1 og a 2 x = b 2 har de samme l sig x, far vi a 2 b 1 = R 1 R 2 x = a 1 b 2o Pa de ade side har a 1 x = b 1 de samme

18 Mat M.A. 1.9 som 1 sigva1a2x :; a 2 b 1 og a 2 x ::: b 2 har de samme l sig som a 1 a 2 x ::: a 1 b 2, og a~ a 2 b 1 ::: a 1 b 2 ~ lger der~or, at de to ligiger har de samme l sig. Hermed begruder ma let br kregige og Mregde a~ br ker med treller ~ra Z og wver ~ra N udg r legemet ~ a~ de ratioale tal. Det er ideholdt i ethvert ordet legeme. Det er meget let at vise, at e br k ka briges pa ~orkortelig ~orm. Det er ret vaskeligt at vise~ at dette ku ka g res pa e made, me det er bevist i gymasiet~ og sp rgsmalet vil blive diskuteret mere grudigt i matematik 2. De~iitio Ved e ~ lge pa G ~orstar vi e a~ildig ~:N id i G. Vi skriver ~() = a E G og beteger ~ lge (a). De~iitio F lge (a) siges at kovergere mod a E: G 9 hvis ~ lgede betigelse er op~yldt og vi skriver da (a) ~ a(midre korrekt a ~ a). F lge (a) kaldes koverget, hvis der eksisterer et a E G 9 saledes at (a ) ~ a~ Hvis dette ikke er til~reldet, kaldes ~ lge diverget. Eksempel. Hvis ~ ::: a ~or alle E: N)grelder (a) ~ a. Fa visse ordede legemer har ehver ~ lge ~ra et vist tri lig a. (a) ~ a alle elemeter 1 o < '2B < B Af ~ 2 = 1 og 1-~ = ~ sluttes 0 < ~ < 1 og ~or B > 0 altsa

19 Mat 1, Smtig Lad (a) vmre e f lge pa G. Af (a) ~ a og (a) ~ b f lger a = b. Bevis. For 8 E G+ ka vi vmlge 1 saledes at la-ai ~ ~8 og Ib-al ~ ~8. Heraf f lger imidlertid Ib-al~lb-al+la-al ~ 8. Dermed har vi bevist 1 at Ib-al er ~ ethvert elemet i G+o Af Ib-al E G+ ville f lge ~lb-aie G+ og ~Ib-al Ib-al = O. Dermed er sretihge bevist. < Ib-al. Altsa er Defiitio E f lge (a ) pa G kaldes voksede, hvis - "I E.: N(a ~ a + 1 L stregt voksede 1 hvis V E N(a < a _ 1 ). Aalogt defieres aftagede og stregt aftagede. Elcsempel. () Og(~1) er st~gt voksede f lgero Hvis (a) er (stregt)voksede 1 er (-a)(stregt)aftagede. Defiitio Lad A ~ G vrere e delmmgde. Et elemet a E G kaldes majorat for A, hvis Vx E A(a ~ x). Hvis A c Ghar e majorat, kaldes A opad begrmset. Aalogt defieres miorat og edad begrmset. Hvis A er bade opad og edad begrreset, kaldes A begrmset. Ved e majorat (miorat) fer e f lge (a) pa G forstas e majorat (miorat) for mmgde fa I E Nl. F lge (a) Imldes begrmset (opad, edad)1 hvis mregde fal E NJ er begrreset (opad 9 edad). Eksempel. F lge (-1L1) har 1 som majorat og 0 + som mio rat? og er s~uedes begrreset. P lge () har 0 som miorat og er S~lledes edad begrmset. Itet elemet af Q er mrjorat for (), me det ka trekes, at () har e majorat i G. Mmgde G er hverke opad eller edad begrmset. Smtig Ehver koverget f lge er begramset. Bevis. Af (a) ~ a f lger, at der eksisterer tal N E N9

20 Mat 1, M.A. 1~11 saledes at V N(la-al ~ i). For ~ N grelder da, at a-1 ~ a ~ a + i. Heraf f lger, at det midste af elemetere a-1,a,,a _ er e miorat, og at det st rste af elemetere 1 N 1 a + 1, a,,a _ er e majorat 0 1 N 1 Defiitio Et elemet beg kaldes supremum for mregde A ~ G, og vi skriver b = sup A, hvis b er de midste majorat for A. Et elemet a E G kaldes ifimum for A ~ G, og vi skrivcr a = if A, hvis a er de st rste miorat for A. Det fremgar heraf, at e mregde, som har et supremum (ifimum) or opad (edad) begrreset. Det er edvidere klart, at it A og sup A er etydigt fastlagte ved de foreskreve egeskaber, hvi s de overhovedet eksisterer. Dksempel. I legemet Q har mregde f~1 I E N1 supremum 1 og ifimum 1. Mregde N har ifimum 1 me itet supremum. Mregde fx E Qlx 2 < 21 har hverke ifimum eller supremum. Sretig N dvedigt og tilstrrekkeligt for, at beg er supremum for A ~ G or, at f lgede betigelser er opfyldt Vx E A(b ~ x),.aalogt for ifimum. V8 E G 3x E A (x > b - 8). + Bevis. De f rste betigelse udtrykker, at b er majorat for..:\., og de ade betigelse udtrykker, at itet midre tal er m8jorat for A. Deraf f lger pastade umiddelbart. Vi bemrerker, at lighedsteget i de f rste betigelse er idet b = sup A ka vrere et elemet af A. Derimod er det ude betydig, om der i de sidste betigelse krreves > ellor ~. Tilsvarede er det uvresetligt, om der de to steder i

21 Mat 1~ M.Ao 1.12 de~iitio 1.20 skrives >«) eller (~). De~iitio Et par (A~B) a~ delmregder A ~ G, B ~ G kaldes et sit i G~ ss.~remt ~ lgede betigelser er 0:9~yldt: A ~ 0, B ~ 0, A u B = G Vx E A Vy E B(x < y). Sittet (A~B) siges at vrere bestemt a~ elemetet c E G, sa~remt c cr dct st rste elemet i A eller det midste elemet i B. Hvis c er det st rste elemet i A, bestar B etop ~ alle elemeter, som er st rre ed c, og B har da itet midste elemet. Hvis B har et midste elemet~ ses aalogt, at A ikke har et st rste elemet. Et sit er der~or bestemt a~ h jst et elemet a~ G, og et elemet at' G bestemmer' jagtigt 2 si to Dar ka evotuclt eksistere sit i G, som i~ce er bestemt a~ oget elemet a~ G. Sretig Hvis et ordet legeme Ghar e a~ ~ lgede tre egeskaber, har Galle tre egeskaber: 1 ). Ehver opad begrreset ikke tom delmregde a~ Ghar et supremum. 2)0 Ethvert sit i G er bestemt a~ et elemet a~ Go 3). Ehver voksede, opad begrreset ~ lge pa G er koverget. Bevis. Sretige udtaler, at pastadee 1),2) og 3) or 10- gisk rekvivaleto, altss. at ehver a~ dem med~ rer de to adre. Dette vil v~re bevist, hvis det lykkes at vise implikatioere 1) =>2), 2) => 3) og 3) => 1). Vi agriber e ad gage.

22 Mat 1, M.A ) - 2). Vi atager at 1) gmlder. Lad (A,B) vmre et sit i U. Ethvert elemet i B er e majorat for A. Af 1) ~ lg8r derfor eksistese af et elemet 0 = sup A. Da 0 er majorat for A, er o ~ ethvert elemet i A. Da 0 er de midste majorat for A~ er o ~ cthvert elemet i B. Da 0 tilh rer A eller B, cr c det st rste clemet i A eller det midste elemet i B. Dermed bar vi vist pas tde. 2) - 3). Vi atager~ at 2) grelder. Lad (a) vmre e voksede, opad begrmset f lge pa G. Lad B vrere mmgde af majorater for (a)' og lad A vmre overskudsmmgde G\B (mmgde af elemeter af G, som ikke er elemeter af B). Vi har abebart A t 0, B ~ og A IJ B = G. Af a A f lger, at a ikke er majorat for (a)' Der ~ides altsa et, sa a < ao Me for b B er a < b. Altsa er a < b. Dermed har vi vist, at (A,B) er et sit. Af 2) f lger u, at der fides et elemet 0, som er st rst i A eller midst i B. Vi vii Vise, at (a) -+ o. Lad 8 vrere et elemet af G+. Vi har da 0-8 A, 0+8 B. Altsa er 0+8 majorat for a 9 og vi har 'V N(a ~ OH:: ). Da 0-8 ikke er majorat for a' eksisterer N N, sa an > 0-8. Me da (a ) er voksede, f rer dette 'V ~ N(a > 0-8). Dermed har vi vist, at 'V? N(/a-a / ~ 8). Dermed har vi vist pastade. med- 3) - 1). Dette bevis er e hel del mere subtilt ed de to foregaede. Vi bemrerker f rst, at f lge () ikke er koverget. At () -+ 0 G f lger emlig, at vi ka vrelge, saledes at I-oj ~ ~ og /+1-01 ~ ~, me det ville medf re, at 1 ~ /(+1-o) + (o-)/ ~ /+1-o/+/o-/ ~ ~, hvilket ik.ke er rigtigt. Lad os u atage, at 3) gmlder o Vi ka

23 Mat 1, IvI.Ao da slutte? at f lge () ikke er opad begrffiset. Lad u A ~ G vrore opad begrceset. Der eksisterer da e majorat b for A. Me b er ildw majorat for () 0 Al tsa ka vi vrolge N E N, salede s at h < N, og sa er N e majorat for A. Da () ikke er opad begrreset, er (-) ikke edad begrreset, og vi far derfor aalogt~ hvert j E N betragter vi aile tallee ~, hvor. 2 J P ~ - 2 J N 1 er -lj ikke majorat for A, me for p 2 at vi lea vrelge N1 E N, sa -N 1 ikke er majorat for A. For etp E Z. For jorat for Ao Heraf f lger, at vi for hvert j E N ka vrelge det st rste tal p. E Z, for hvilket ~ ikke er majorat for A. p. 2- J 2 j er ~ = ~ Pj+1 2 J 2 j+1 ' og det medf rer, at Pj+1 ~ 2pj eller j+t? 2 :g. Altsa or (~) e voksede f lge pa G, og da itet af des ele- 2 J meter er majorat for A, er de opad begrroset og derfor koverget mod e grrosevrerdi a. For b > a er b-1- ikke majorqt for -a (), og vi ka derfor vrolge E N, sa > b2a,altsa ~ < b-a. Me sa &q vi ogsa vrolge j E N, :p. ytter, at ~ S a at 2 J -, sa 1 < b-a. Sa far vi, idet vi ud- 2 j p.+1 og da ~ er e majorat for A, er b e majorat for A. Altsa 2 J er itet elemet af II. st rre ed a. Dermed har vi vist, at a er e majorat for A. For b < a ser vi gaske aalogt, at vi lea vcelge j E N, saledes at _1 < a - b, og vi far da, idet vi udytp.+1 ter, at...l- er majorqt for A, og derfor ~ a, at 2 j 2 j ~ 2 j = Pj ~2 a > b 2 j - j, J hvilket viser, at b ikke er majorat for A. Dermed har vi vi st:

24 Mat M.A at a er de midste majorat ~or A9 altsa9 at a = sup A~ og dermed er sretige bevist. A~ bevisets sidste a~sit ~remgar u, at de ordede legemer, der har de i sretig 1.28 omtalte egeskaber, tillige har de i ~ lgede de~iitio omtalte egeskab. De~iitio Et ordet legeme G kaldes Archimedesk, hvis delmregde NeG ikke er opad begrreset. Dot kommer ud pa det samme at ~orlage~ at ~ lge () ikke er begrreset, og det er ige esbetydede med, at der til ethvert elemet a~ G svarer et aturligt tal som er st rre. Dette er ige esbetydede med, at (~) ~ o. Aksiom Mregde R a~ reelle tal or et ordet legeme, som har de i sretig 1.28 omtalte egeskaber. Dette er ikke e defiitio. For det ~ rste, er det ikke pa ~orhad klart, at der eksisterer ordede legemer med de omtalte ogeskaber. Fa de ade side er det klart, at der ~ides mage, hvis der ~ides et. De ~ rste vaskelighed kue overvides ved kostrukti vt at opbygge et legeme med de slwde e- ge11.s1~aljor som e udvidelse a~ ~~, der ige kue opbygges som e udvidelse a~ N. Dette er virkelig geem~ rligt9 me ret o Det ville ogsa klare de ade vaskelighed9 idet kostrlli~tioe ville give et gaske bestemt ordet legeme o Dot er imidlertid ogsa rigtigt~ at alle legemer, der har de i sretig 1.28 omtalte egeskabor, i e vis forstad or es, sa det ilti~e spiller oge rolle, hvilket a~ dem vi udrever til R. Elemetere a~ R kaldes (reelle) tal. Vi siger reol tal ~ lge i stedet ~or ~ lge pa R. Nar e tal~ lge (a) kovergorer mod a E R kaldos a grresevrerdi ~or (a ). Vi siger ovortal og 11.

25 Mat 1, M.A udertal i stedet for majorat og miorat. Lejlighedsvis beytter vi topologisk ispirgrede betegelser og kalder R de reelle talliio eller talakse, og et tal a E R kaldes da ogsa et pukt af de reelle talakse. Sretig Hvis e mregde A ~ R er edad begrreset, eksisterer if A og if A = -sup(-a). Ehver aftagede, edad begrwsot f lge pa R er koverget. BGvis. Hvis a E R er udertal for A er -a overtal for -A. Heraf f lger de f rste pastad umiddelbart. Hvis (a ) er afta gede og edad begrreset, er (-a) voksede og opad begrreset, altsa koverget. Heraf f lger de ade pastad. Defii tio )'~ Ved de udvidede reelle talakse R' f'or-, ~:( star vi mamgde R =:R tj f - oo,ooj ordet, saledes at ordige stemmer med ordige pa R, og saledes at 00 er det st rste og - 00 det midste elemet. Regeoperaloere pa :R udvides delvis til R~;;, idet vi sretter a + 00 = = 00 for a E R og a - 00 = = -00 for a E R samt a 00 = 00 '00 -a. 00 = = -00, a. -00 = = -00 og -a -00 = =00 for a E R + "( Nu er 00 majorat og -00 miorat for ehver delmregde af ft", og det bevirker, at sup A og if A bliver defierede for ehver >;' iklm tom mregde A c;: R'. Hvi s A har et overtal, der tilh rer R, bliver sup A det samme som f r. I modsat fald bliver sup A = 00 Aalogt for ifimum. Vi bemrerker, at de tomme mregde ~j far et- >!< hvert tal i R som bade overtal og udertal, og derfor far de -00 som supremum og 00 som ifimum. Vi vii foretrrekke ku at defiere if A og sup A for A 1 0, sa vi altid har if A ~ sup A.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

17 B 17 A 19 B 1 9 C A. Antal boliger: 37 Bolig størrelse: m2. 12 J 7000aa 31 J F 3 31 N 31 M. Tiltag:

17 B 17 A 19 B 1 9 C A. Antal boliger: 37 Bolig størrelse: m2. 12 J 7000aa 31 J F 3 31 N 31 M. Tiltag: 000p bb cg u F C D L z C ay ac bt 0af ae bi Nav: Tøreha resse: Søgae tal bolig: olig størrelse: - m 0ao s 0am bq 0p Nav: øgeha resse: Tøre -J tal bolig: 0 olig størrelse: m bl bx H y G br 000ak 0l bk bv

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad)

Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad) Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad) To r s d a g m o r g e n G d a n s k - sol og vin d fra N o r d. H a v d e aft al t m e d ha v n e k o n t o r e t at bet al e ha v n e p e n g e n e

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71.

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71. Beslutig FÆLLES GÅRDHAVE Gothesgade kaée Nasesgade 94-96, Gothesgade 155-159, Nøe Faimagsgade 65-71. Bogeepæsetatioe ha XX. XX 20XX tuffet byfoyelsesbeslutig om idetig af e fælles gådhave. De fælles gådhave

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Studiepartitur - A Tempo

Studiepartitur - A Tempo Himle ortæller om Guds herlighed ørge Grave Nielse 99 Sl 9 v - v -0 q = ca 9 ( gag) (ved DC) hæ - ders værk; c c c c S S A A ( gag) (ved DC) cresc (ved DC) Him - le or-tæl-ler om Guds Ó Kao: cresc (ved

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Bilag 4 DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 4 DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 4 DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET TBER 2011 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data evelopet

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

2. februar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 9. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

2. februar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 9. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. . februar 006 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 9. februar 006 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Register. I. U d s e n d e l s e r. Rettelser til tjenestedokumenter.

Register. I. U d s e n d e l s e r. Rettelser til tjenestedokumenter. Register I. U d s e n d e l s e r T j e n e s t e d o k u m e n t e r. R e g le m e n t I, b i l a g s b o g e n...9 9, R e g le m e n t V... R e g le m e n t V I I I... P o s t g i r o b o g e n... V

Læs mere