H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE
|
|
- Olivia Lauritsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede. K behav,1966.
2 Mat 1, M.A.Forordo Disse ~orelresigsoter er grudlaget ~or matematik 1, matematisk aalyse. De ~ rste kapitler er omredigerede, saledes at de bygger pa det matematikpesum, der ~orudsrettes i gymasiets ye lresepla. Matematikpesum ~ra gymasiets biologiske liie er i om~ag tilstrrekkeligt som grudlag ~or dette kursus, me studeter ~ra dee liie ra rege med at m de vaskeligheder, ~ordi de ikke har de samme matematiske trreig som studeter ~ra de matematisk- ~ysiske liie.
3 M.A. Idledig 1q Me hvad briger Dig til at smile? Der er aldeles ikke oget Forlystede ved Mathematik -- tvertimod I - Fra tekst til e tegig af Fritz Jurgese. Matematik er e deduktiv videskab. Det betyder~ at matematiske udsag ku ases for sade, ar der er f rt et bevis for demo Matematiske beviser bygger pa udsag, som tidligere er bevista Beviste (og derfor sade) udsag kaldes seetiger eller formler. B r opdager tidligt, at ma ka stille sp rgsmalet "hvorfortl~ Derfor ka ma ikke bevis ;:; aile udsag. De fudametale udsag, der ude bevis aerkedes som sade, kaldes aksiomer. De matematiske begreber ma defieres ud fra tidligere idf rte matematiske begreber, me de aller f rste matematiske begreber ka ikke defieres. Ud over de udefierede grudleeggede begreber og aksiomere ma vi ogsa tro pa de logiske slutigsregler, vi beytter i bevisere. De matematiske logik, begrebet "lig med", leere om meegder~ afbildiger og relatioer, teorie for ordede meegder, samt de aturlige tal udg r tilsamme matematikkes grudlag. Disse tilsyeladede forskelligartede emer lader sig ku meget ufuldsteedigt behadle hver for sig. Matematikkes udviklig f rer bade opad og edad. I toppe udledes stadig ye resultater pa basis af vor aktuelle vide. I
4 Mat 1~ M.A. Idledig 2. bude crbejdes der videre mod e stedse klarere f'orstaelse af' grudlaeets ature Desude g res der et stort arbejde f'or at af' korte veje f'ra b~de til toppe. Ude dette revisiosarbejde ville toppe hurtigt blive reserveret f'or et meget lille atal store geier. I pricippet er hele grudlaget udskif'teligt, saledes at ehver bar mulighed f'or at opbygge si ege matematik pa sit eget grudlag~ me det er etop det f'relles grudlag, der giver mulighed f'or mat8matikkes h je udviklig. Selvf'olgelig iddeles matematikke i mage disciplier, og det ka ",odt somme tider se Ud, som om disse hviler pa hver sit grudle,g og i det store og hele virker uaf'hregigt af' hiade. De virkelig store f're-skridt as imidlertid etop ved kombiatio af' f'orskelligartede dlsciplier. Fo::- de uge som lrerer matematik er det vigtigt at ha ikke bli ve::- hregede i matera tikl{es grudlag, me f'ar e chace f'or ogsa at f'a kedskab til arbejdet med de aktuelle problemer i t1toppeh, Derf'or v:u vi i dette kursub bygge pa det grudlag, der kedes f':'a udervi:3ige i gymasiet. Edvidere udbygig af' dette grud:"ag vii f'ide sted, ef'terhade som det b1iver dvedigt. Vi vii i det store og hele beytte de f'ra gymasiet kedte betegeler. De me~st i jef'aldede f'orskel er, at vi ikke beytter de buede af'bilcligspil. E af'bildig f' af' e mregde A id i e mreg:de B skri ves f':a id i Beller f':a ~ B Af'bildige kaldes ijektiv~ hvis origialmregde f'-1(b) til et elemet elemet vilkarligt b E B bestar af' h jst et De kaldes surjekti v 9 hvis bj_lledmregde f'(a) er idetisk med B. De kaldes
5 Mat 1, M.A. Idledig 3. bijektiv, hvis de er bade ijektiv og surjektiv. Vi vii avede de logiske syrboler v (eller) 1\ (og) "* (rc.edf' rer) $=} (alkvivalet red) i (ikke) De f'ire f' rste er bimre relatiosteg. De ra ku smttes reller relatioer - det er s~uedes ukorrekt at skrive 5 1\ 7, gr v r d. Derirod er det korrekt at skrive x 2-4x + 3 = 0 x = 1 v x = 3. Teget ""1 ka soot te s f'ora e relatio, f'. eks. i(x 2 _ 4x + 3 = 0) $=} i(x = 1) 1\ i(x = 3), me det er selvf' lgelig rimeligere at skrive dette pa f'orme x 2-4x + 3 to$=} x t 1 1\ X t 3. Negatio af' et relatiosteg beteges of'test ved geemstregig af' teget, dog aldrig ved ulighedsteg og iklusiosteg. I mmgdeloore beytter vi de soodvalige teg E:9c'~9::)';>9u,rl, samt teget \ f'or overskudsmoogde A\B (moogde af' elemeter, der tilh rer A)me ikke B) og teget C f'or komplemetmrmmgde, altsa A\B = ArICB. De moogdeteoretiske teg, de algebraiske teg +,-,.,:, ordigstegee <9~'>'~' lighedsteget, f'uktiossyrbolere cos, si, log etc, dif'f'eretiatiosteg, itegralteg o.s.v. avedes altid i f'orbidelse med udtryk og aldrig i f'orbidelse red relatioer.
6 Mat 1~ M.A. Idledig 4& e relatio mellem to udtryk. De adre teg er fuktioelle 9 idet de beyttes til fremstillig af mere sammesatte udtryk. Visse bogstaver reserveres som betegelse for kostater 7 saledes at disse specielle bogstaver altid har samme betydig. De t samme grulde'r sel vf lgelig tal tegee 7 heruder ogsa grudtallet e for de aturlige logaritmer samt tallet 7To Vi vil dog tillade os, at avede bogstavere e og 7T i ade betydig~ hvor dot ikke ka bevirke misforstaelser. Srerlig betydig hal' ogle kos t,"'tter, der beteger mregder: N (de aturlige tal, dov.s. de positive,hele tal) Z (de 1}.ele tal) Q (de ratioale tal) R (de reelle tal) C (de kompleksa tal) 0 I di sse tilfrelde har vi foretrukket at scette e accet ovor bog-- stavet 9 " '" i~~z'~~9r ar det avedes i de faste betydig. Derved. bliver og C frie til ade brug. E ade vigtig kostat or o (de torme mmgde). Ellers beyttes de fleste bogstaver sor betegelso for variable y hvilket betyder, at del' idefor visse gramser Im substi tueres adre syr'!joler for dem, evetuel t lwstater, evetuelt sammesatte udtryk~ hvori del' iugar flere variable. Det skal selvf01gelig altid vrere prreciseret (f.eks. ved at det fremgar af' sammehamge), hvilke symboler d.er Im substi tueres.:lo):i hver ekel t variabel. Kvatorere V og :3 er lllatematiske -ceg y som avedes pa
7 Mat 1, M.Ao Idlec1ig 5. rglatioer~ der ideholder variable. Kvatorer er of test betigec1e, idet de variabel or budot til e oller ade mregde. 3QX(X2+2<3x) betyder~ at der eksisterer et ratioalt tal x, saledes at x 2 +2<3xo Nu er det upraktisk at tumle med for mage idices, sa vi vii i regle foretrrekke at skrive ( 1 ) 3x E Q (x < 3x). Tilsvarede (2) Vx E R ( x > x ) Her er (1) og (2) relatioer, som ikke mere afhreger af e variabel, idet kvatorere bevirker, at x far ophrevet si status som variabel. Relatioe (1) berettiger os til at vrelgo et ratio- 2 alt tal p, saledos at p + 2 < 3p. Symbolet fx E Q I x < xj boteger m~gde af ratioale tal X9 for hvilke x < x Symbolet or e kostat, og vi bemrerk.or, at det redrer e relatio til et w..1tryk. Dar Im gives mage adre eksempler pa udtryk og relatioerjl der ideholder betegelser for e variabel, hvoraf urltrykkot eller relatioe ikke afhreger: b 1 f(x)dx afhreger ikke af x, a ~ a k afhreger ikke af k k=1 Det or ude betyc1ig om vi udskifter betegelse for e sada flpassivil variabel med et adet bogstav. Det er altid sil~rest at betegc e tlpassiv" variabel mod et bogstav, der ikke forekommer uclofor (let symbol, i hvi s betegelse de passive variable idgar.
8 Mat 1y M.A. Idledig 6. :avis dette symbol "dumper ed fra himle" med de "passive" variable beteget med et bog8tav~ der ogsa forekommer udei'or teg - ot y er det sikrest at skifte betegelse, da ma ellers fristes til at bega fejl. Saledes er forkert. Derimod er - l.} k(-k) = k k=1 k=1 l.} (-k) = 1 (-1) 2 1 k l.} k(-k) k=1 = ~ l.} j(-j) = j=1 Vi skal ikke opholde os mere ved sp rgsmalet om de matematislw symbolik. Det vii vcere forkert at slutte idledige u- de et fors g pa E't forklare, hvad matematisk aalyse er. Det er imidlertid ikke sa let, som ma skulle trot Lad os jes med at sige~ at matematisk aalyse beskceftiger sig med kotiuitet og grreseovergag. Nu skal vi imidlertid ikke udelukkede beskceftige os med matematisk aalyse. Al modere matematik beskceftiger sig med mregder~ som pa e eller ade made er orgaiserede. Algebra boskceftiger sig med mcegder, der er orgaiserede ved regeoperatioero Topologi beskbftiger sig med mregder, der er orgaiserec1e, saledes at begrebet "kotiuert af'bildig" far meig. E topologisk orgaisatio bestar i, at visse scerlig udmrerkede delmreg- Jer fremhreves, f.eks. omege af et elemet af mregde. Matematisk aalyse hadler om mregder, som har bade algebraisk og topologisk strulctur. Derfor er det aturligt 9 at vi ogsa taler om topologi.
9 Mat 1, ~,LA. Idleciig 7. For de$ som skal lrere matematik 9 er det vigtigt at Eors ge selv at skabe matematik. Matematikke udvikler rutiemetoder' til l sig af specielle typeopgaver. Avedelse af sadae rutiemetoder er ikke matematik. Udviklige af rutiemetodere er matematik. Ikke al matematik er svcer. DerEor er dot muligt at suppi ere et kursus som det Eoreliggede med et meget stort atal lette velsesopgaver. Ku Ea ae disse or velse i brug ae rutiemetoder. DerEor skaoer ma matematik y ar' ma l ser opgavere og fider frem til e pre Eormulerig ae l sigere. Det h rer ~ed til spillereglere i matematikke? at ma ku prceseterer det Ecerdige produkt. Overvejelser, ideer, Eorel bige bevisskitser? redaktiosarbejde Eoregar i d lgsmal, og ku det E~rJibe bevis publiceres. I disse forelresigsoter vii vi ikke altid overholde diese regler, me lejlighedsvis E lge de meget upcedagogiske metode, der tillader eleve at opdage, hvorda lrerere selv fumier med problemere. Metematikke bliver aldrig E~rdig. Ogsa dette kursus eeterlader utallige l se eder. Der vii blive spudet videre pa ogle ae disse i de E lgede kurser. Bladt de l se eder Eides ogsa virkelibe ui ste problemer. De reldste ae disse stammer Era oldtide. Arbejdet pa de matematiske bygigs top giver os stadig Ye opdagelser, og disse virker tilbage og ispirerer amdriger bade i matematikudervisige og i de metoder? med hvilke ma agriber de klassiske ui ste problemer u Saledes er matematikke altid levede og Eoraderlig
10 Mat 1, N.A.1.1 Nous croyos que la mathematique est destiee a survivre. N.Bourbaki Kapi tel 1. Tal. De reelle tal blev idf rt i gymasieudervisige~ og vi vii her idskrreke os til e skitsemressig geemgag af de fra gymasiet kedte tig Qg e mere grudig behadlig af ogle tilf jelser. Vi vii dog f rst omtale begrebere kompositiol1srogel og gruppe~ samt lidt mere udr rligt begrebere rig og legeme~ som ku behadles i gymasiets matematisk-fysiske liie. Def'iitio 1.1. Ved e kompositiosregel pa e mregde M forstas e ai'bildig cp: M x Mid i ~.1. Vi f'oretrrekker at udtrykke kompositiosregle vcc1 et teg~ f'.eks. +, altsa skrive cp(x~y) = x + y Defiitio 1.2. Kompositiosregle + kaldes associativ~ hvis Vx,y,z E M((x+y)+z) = x+(y+z)). Hvis + er associativ har xi + + x e gaske bestomt betydig~ saledes at pareteser slet ige rolle spiller. Derimou al'hreger ud trykket af leddee s rrekkef lge. Defiitio 1.3. Et elemet u E M kaldes eutralelemet for kompositiosregle +, Bafremt Vx E M (x + u = u + x = x) ka DetVvises, at e kompositiosregel har h jst et eutralelemet o
11 Mat 1, M.A. 1.2 Def'iitio 1.4. Lad + vwre e kompositiosregel pa Iv! med eutr8.1elemet u. To elemeter x,x 1 E Iv! med hesy til +, saf'remt kaldes hia-des iverse L8.d os atage, at + tillige er associativ. Det ka da vises, at hvcrt elemet har h jst et iverst. Hvis a,b E M og 8. har et iverst elemet a, 1 ka det vises, 8.t ligige a + x = b har a 1 + b som si eeste l sig, og at x + a = b har b + a 1 som si eeste l s±g. Def'iitio 1.5. E mwgde G med e kompositiosregel + kaldes e gruppe, hvis + er associativ og med eutralelemet, og edviclere hvert elemet af' Ghar et iverst elemet. Eksempel. Mwgde F(A,A) af' 8.11e bijektive af' bildiger f' :_t icl i A, idet A er e vilkarlig mwgde, udg r e gruppe med sammesmtige f' 0 g som kompositiosregel. De idetiske 8.f'- bildig er eutralelemet, og de iverse af'bildig bliver ogsa det iverse elemet af' gruppe. Def'iitio 1.~. E kompositiosregel + pa e mamgde Iv! kaldes kommutl1tiv, saf'remt Vx,y E M (x + y = y + x). x 1 + Hvis + er bade associativ og kommutativ, af'hwger.. 0+ x ikke af' elemeteres rwkkef' lge. E gruppe G)hvis kompositiosregel er kommutativ, kaldes e kommutativ gruppe eller e abelsk gruppe. I det f' lgede beskwf'tiger vi os med e abelsk gruppo G med kompositiosregel + og eutralelemet 0 (ulelemetet). Det iverse clemet til a beteges -a, og b +(-.) skrives b - fl.
12 M.A. 1.3 Vi kaljer -a det modstte elemet. Vi vii treke os, at der pa G er 8du e komposi tiosregel.vi vii ot'te udelade det adet kompositiosteg. Det'iitio 1.7. Vi siger, at. er distributiv med hesy til +, sat'remt Vx~y~z E G ((x+y)z = Xz+yz A X(Y+Z) = xy+xz) s@tig 1.S. Hvis' er distributiv med hesy til +9 grelder VX,y E G(O x = x'o = 0 1\ - x y = x'-y = -(xy)i\-x _y=xy). Bevis. At' O'x + O'x = (O+O)x = O'x t' lger, at O x =0 9 idet O'x + y = O x ikke h8r adre l siger ed y = O. Aalogt vises x'o = O. At' -x'y + x'y = (-x+x)y = O'y = 0 f lger9 at -x'y og xy er modsatte elemeter, altsa -x'y = -(xy). A~logt vises, at X'-y = -(xy). Herat' t' lger edelig -x _y = -(x'-y) = -(-xy) = xy, idet -(xy) ku har et modsat elemet, emlig xy. Vi skl ikke opholde os ved beviset t'or, at (x-y)z = xz-yz og z(x-y) = zx-zy. De distributive loy giver os mulighed t'or at multiglicere summer et'ter regle (x+y)(z+v) = xz+xv+yz+yv. Rreklcet' lge at' de t'ire led er ude iili'lydelse pa summe, me ombytig at' t'aktorere i de ekelte led ka tcekes at redre derme. Mere geerelt har vi t'or t'lerleddede summer m ~ x. ~ y. = j=1 J j=1 J m ~x. j=1 J k=1 ~Yk= m ~ Z x'yk j=1 k=1 J L.:.eg mffirke til, at vi t' rst s rger t'o: at bruge t'orskellige sum-
13 Mat M.Ao 1.4 matiosidices i de to summer. Det sidste udtryk agiver summe a.f aile produkter x j y k, hvor j er et a.f tallee 1' lim? medes k er et a.f tallee 1,,. Deriitio 1.9. De abelske gruppe G med de ekstra kom-.qositiosregel ' kaldes e rig, hvis er distributiv med hesy til + samt associativ. Eksempel. E gruppe G bli ver til e rig ved de.fii tioe 'l/x,y E: G(xy = 0). E rig med. dee trivielle produktde.fiitio kaldes e ulrig. Eksempel. Mregde a.f polyomier med hele tal (ratioale tal, reelle tal) som koe.f.ficieter og med operatiosreglere + og uc1g r e rig. Det'ii ti o E rig G kalde s et legeme 9 hvi s er komrutativ9 har et eutralelemet, og hvis yderligere ethvert elemet udtage 0 har et iverst. Neutralelemetet beteges 1 (etele:8t) og iverse elemeter kal de s reciprolce. Det iverse elemet til x beteges x- 1 For a t 0 har ax = b altsa etop e l sig, og de beteges b eller b/a ejler b:a a Sretig 1. 1'_. Lad G vrere et Ie geme. Vi har da Vx,y E: G (xy = 0 ~ (x = 0 v y = 0)) Bevis. At' x;r = 0 og x t 0 t' lger y = 1'y = (x- 1 x)y = x- 1 (XY) = x- 1 0 = O. Eksempel. Et legere ideholc1er i hvert.fald de to elemeter 0 og 1, og med disse to elemeter reges altid et'ter reglere 0+0 = 0; 0+1 = 1+0 = 1 0'0 = 0'1 = 1"0 = 0; 1'1 = 1.
14 Mat M.A. 1.5 Tilbage er blot 1+1. Det m~ grelde, at 1+1 ~ 1+0 = 1, me det t'orhidrer ikke, at 1+1= 0 0 sam et legeme. Ved dette valg orgaiseres f0911 Hvis M er e mregde med e kompositiosregel cp:m x Mid i M 9 som sl{ri ves cp (X9 y) = x+y, og A og B er delmamgde r at' M I er det a turligt at betege billedmamgde cp (A x B) med A+:S. I overesstemmelse hermed det'ierer vi ~et'iitio Lad G vrere et legeme, og lad A og B vrere delmwgder at' G. Vi defierer da A+B = fx+y I x E A AyE BJ -A = f-x x E Al; A-B = A+(-B); AB = f xy x E A AyE BJ, og t'or 0 A edvidere For 8. E: M skriver vi a+b og ab istedet t'or f8.j + B og fajb Eksempler: 0+A = 0A = -1 = 0. O+A = A; O'A = foj; 1"A = A; -1'A = -A Dut'ii tio ":.13. Et legeme G kaldes et ordet legeme 9 hvi s der foruligger e klasseiddelig af G\foJ i to klasser G+ og G_ 9 s~ledes at f lgecle 2 betigelser er opt'yldt: 1 ) Vx E G (-x E G ) - + 2)
15 M.A. 1.6 Elemotere i G+ kaldes positive og elemetere i G kalc1es egative. St:etig Hvis G er et orde~ legeme, grolder Vx E G (-x E G ). + -, Vx E G+Vy E G_(xy E G_) Vx, Y E G _ (x+y E 2 G /\ xy E G+); Vx E G(x=O v x E G ).1 E + ) G+ Bevis. Af x E G+ f lger x ~ O~ altsa -x ~ 0, altsa -x E G+ eller -x E G Me -x E G ville medf re 0 = (-x+x) E G, hvil ket il{ke er rigtigt. Altsa grelder -x E G_ o M x E G+ y y E G_ f lger -y C' G+, alts3. -xy = x'-y E G+, al tsa xy E G_o M x~y E G_ f lger '-x, -y E G+, al tsa -x-y E G +' al tsa x+y E G Edvidere xy = -x'-y E G+o,[;ilor x E G+ oller x E Ghar vi altsa x 2 E G+, og spe',clel~~ gj31de~ 1 = 12 E G+ o Dermed er alle pastadee bevist. D :::fii ti olj.2. For x, y E G, hvor G er et ordet legeme y deficrjs relatio~e x < y ved x < y <=> y-x E G + Vi skr-i "ler x ~ y i stedet for x<y v x=y. Rela tioe x < y skri yes ogsa y ) x og x ~ y skrives ogsa y ~ x.!atj.!lb 1.1 ii. For et ordet legeme G grelder Vx 9 y,z E G(x < Y <=> x + z < Y + z) E G 'liz E G (x < y <=> xz < yz). + B(~vis" De :' rste pastad f lger at', at y-x = (y+z)-(x+z). :0 Af x < ~r9 Y < z fljlger y-x E G+ 9 z-y E G+, al tsa z x = (:~-y)+(y-x) E G+, altsa x < z. Af x < y og z E G+ f lger tilsvarudo zy-zx = z(y-x) E G Af sretig 1.14 f lger u~ da 1 t?- t -X )y. l!!eclf.yj.r~!:1 z - 'z = 1 E G 9 rr; z-1 E: G 9 al~xzz 1< yzz eller x < y. Der + + med or fl33tige l Jevisto
16 Mat 1~ M.A. 107 Dermed har vi vist, at de fra gymasiet kedte regler for regig med uligheder er gyldige. Vi skal seere berige disse regler ved at bevise ogle mere dybtliggede uligheder. Defiitio Lad x vrere et elemet fra et ordet legeme G. Elemetet kaldes de umeriske vrerdi af x., x, hvis x E G + Ixl = J 0, hvis x = 0 \ [, -x, hvis x E G Scetig For et ordet legeme gcelder Vx E G (x ~ 0 => I xl > 0) Vx,y E G (jlxl-iyii ~ Ix+y/ ~ I xl + Iyl) Vx,y E G (Ixyl = Ixl I yl ). Bevi s. De f rste pas tad f lger umiddel bart af c1efii tio- e. De sidste f lger af scetig 1.8. Ai' x ~ lxi, y ~ Iyl f lger x+y ~ Ixl+lyl. Af -x ~ lxi, -y ~ Iyl f lger -(x+y)~lxl+iyi 0 Dermo~ har vi vist, at Ix+yl ~ Ixl+lyl. Her~f f lger Ixl = Ix+y +(-y)1 ~ Ix+yl + IYI, altsa Ixl-Iyl ~ Ix+ylo Aalogt fas Iyl - Ixl ~ Ix+YI. Dermed er scetige bevist. Vi svidlede ved at idf' re betegelsere 0 og 1 for de to eutrlelemeter i e rig og dermed i et legeme. Der er selvf lgelig itet i veje for, at f'orskellige rige (eller legemer) kg h~ve forskellige eutralelemeter, og sa er det forkert at 8.vee-:'e samme betggelse. De slags u jagtigheder i matematik hcever sig ved)at der seere i teorie optrceder resultater, som er idbyrdes modstridede, og dermed bliver hele teorie gaske yttel s. Forsydelser som de her omtalte optrceder imidlertid
17 Mat meget hyppigt i matematik - i det foreliggede tilfrelde ka vi a lagt, ude at forsydelse vil virke geerede, og sa lrege det gar godt, vil forsydelse spare os e del skriveri. Vi oterer os, at ogsa elemetere 1+1, 1+1+1, bliver frolles for alle rige og legemer. I et ordet legeme bliver disse elemeter alle idbyrdes forskellige (eksemplet efter sretig 1.11 viser, at dette ikke beh ver at grelde for ikke ordede legerer, og dermed tillige,,qt vort esartede valg af betegelser var uberettiget). Elemetere 1, 1+1, 1+1+1, udg r mregde N af ~turlige tal. Vi uderstreger, at N er e gaske bestemt mregdc 9 og de her omtal te delmamgde af et ordet legeme er stregt taget ikke mamgde N, me e "kopi II af de e mregde. Mamgde 2 = fi IJ r oj tj - N er mamgde af hele tal, og det ordede legeme ic1eholder ogsa e kopi af de e mamgde. Med regeoperatioe + er Z e gruppe. Produktet af to elemeter fra N er ige et ele-, met fra N, og heraf f lger, at det tilsvarede grelder for elemetor fra 29 Altsa er Z e rig. Ovestaede er selvf lgelig ikke e tilfredsstillede idf\drelse af N og Z. Vi ka ikke behaclle summere ude at kue trelle, hvor mage ettaller der er, og dertil beh ver vi etop de aturlige tal. Idf relse af N h rer med til matematikkes grudlag, me vi vil her ga ud fra, at vi ka stole pa vor ituitive'forstaelse af de aturlige tal. For det ordede legeme Ghar vi u N c 2 c Go For a E N, b E Z har ligige ax = b e l sig i G. Hvis a 1 x = b 1 og a 2 x = b 2 har de samme l sig x, far vi a 2 b 1 = R 1 R 2 x = a 1 b 2o Pa de ade side har a 1 x = b 1 de samme
18 Mat M.A. 1.9 som 1 sigva1a2x :; a 2 b 1 og a 2 x ::: b 2 har de samme l sig som a 1 a 2 x ::: a 1 b 2, og a~ a 2 b 1 ::: a 1 b 2 ~ lger der~or, at de to ligiger har de samme l sig. Hermed begruder ma let br kregige og Mregde a~ br ker med treller ~ra Z og wver ~ra N udg r legemet ~ a~ de ratioale tal. Det er ideholdt i ethvert ordet legeme. Det er meget let at vise, at e br k ka briges pa ~orkortelig ~orm. Det er ret vaskeligt at vise~ at dette ku ka g res pa e made, me det er bevist i gymasiet~ og sp rgsmalet vil blive diskuteret mere grudigt i matematik 2. De~iitio Ved e ~ lge pa G ~orstar vi e a~ildig ~:N id i G. Vi skriver ~() = a E G og beteger ~ lge (a). De~iitio F lge (a) siges at kovergere mod a E: G 9 hvis ~ lgede betigelse er op~yldt og vi skriver da (a) ~ a(midre korrekt a ~ a). F lge (a) kaldes koverget, hvis der eksisterer et a E G 9 saledes at (a ) ~ a~ Hvis dette ikke er til~reldet, kaldes ~ lge diverget. Eksempel. Hvis ~ ::: a ~or alle E: N)grelder (a) ~ a. Fa visse ordede legemer har ehver ~ lge ~ra et vist tri lig a. (a) ~ a alle elemeter 1 o < '2B < B Af ~ 2 = 1 og 1-~ = ~ sluttes 0 < ~ < 1 og ~or B > 0 altsa
19 Mat 1, Smtig Lad (a) vmre e f lge pa G. Af (a) ~ a og (a) ~ b f lger a = b. Bevis. For 8 E G+ ka vi vmlge 1 saledes at la-ai ~ ~8 og Ib-al ~ ~8. Heraf f lger imidlertid Ib-al~lb-al+la-al ~ 8. Dermed har vi bevist 1 at Ib-al er ~ ethvert elemet i G+o Af Ib-al E G+ ville f lge ~lb-aie G+ og ~Ib-al Ib-al = O. Dermed er sretihge bevist. < Ib-al. Altsa er Defiitio E f lge (a ) pa G kaldes voksede, hvis - "I E.: N(a ~ a + 1 L stregt voksede 1 hvis V E N(a < a _ 1 ). Aalogt defieres aftagede og stregt aftagede. Elcsempel. () Og(~1) er st~gt voksede f lgero Hvis (a) er (stregt)voksede 1 er (-a)(stregt)aftagede. Defiitio Lad A ~ G vrere e delmmgde. Et elemet a E G kaldes majorat for A, hvis Vx E A(a ~ x). Hvis A c Ghar e majorat, kaldes A opad begrmset. Aalogt defieres miorat og edad begrmset. Hvis A er bade opad og edad begrreset, kaldes A begrmset. Ved e majorat (miorat) fer e f lge (a) pa G forstas e majorat (miorat) for mmgde fa I E Nl. F lge (a) Imldes begrmset (opad, edad)1 hvis mregde fal E NJ er begrreset (opad 9 edad). Eksempel. F lge (-1L1) har 1 som majorat og 0 + som mio rat? og er s~uedes begrreset. P lge () har 0 som miorat og er S~lledes edad begrmset. Itet elemet af Q er mrjorat for (), me det ka trekes, at () har e majorat i G. Mmgde G er hverke opad eller edad begrmset. Smtig Ehver koverget f lge er begramset. Bevis. Af (a) ~ a f lger, at der eksisterer tal N E N9
20 Mat 1, M.A. 1~11 saledes at V N(la-al ~ i). For ~ N grelder da, at a-1 ~ a ~ a + i. Heraf f lger, at det midste af elemetere a-1,a,,a _ er e miorat, og at det st rste af elemetere 1 N 1 a + 1, a,,a _ er e majorat 0 1 N 1 Defiitio Et elemet beg kaldes supremum for mregde A ~ G, og vi skriver b = sup A, hvis b er de midste majorat for A. Et elemet a E G kaldes ifimum for A ~ G, og vi skrivcr a = if A, hvis a er de st rste miorat for A. Det fremgar heraf, at e mregde, som har et supremum (ifimum) or opad (edad) begrreset. Det er edvidere klart, at it A og sup A er etydigt fastlagte ved de foreskreve egeskaber, hvi s de overhovedet eksisterer. Dksempel. I legemet Q har mregde f~1 I E N1 supremum 1 og ifimum 1. Mregde N har ifimum 1 me itet supremum. Mregde fx E Qlx 2 < 21 har hverke ifimum eller supremum. Sretig N dvedigt og tilstrrekkeligt for, at beg er supremum for A ~ G or, at f lgede betigelser er opfyldt Vx E A(b ~ x),.aalogt for ifimum. V8 E G 3x E A (x > b - 8). + Bevis. De f rste betigelse udtrykker, at b er majorat for..:\., og de ade betigelse udtrykker, at itet midre tal er m8jorat for A. Deraf f lger pastade umiddelbart. Vi bemrerker, at lighedsteget i de f rste betigelse er v@sctligt, idet b = sup A ka vrere et elemet af A. Derimod er det ude betydig, om der i de sidste betigelse krreves > ellor ~. Tilsvarede er det uvresetligt, om der de to steder i
21 Mat 1~ M.Ao 1.12 de~iitio 1.20 skrives >«) eller (~). De~iitio Et par (A~B) a~ delmregder A ~ G, B ~ G kaldes et sit i G~ ss.~remt ~ lgede betigelser er 0:9~yldt: A ~ 0, B ~ 0, A u B = G Vx E A Vy E B(x < y). Sittet (A~B) siges at vrere bestemt a~ elemetet c E G, sa~remt c cr dct st rste elemet i A eller det midste elemet i B. Hvis c er det st rste elemet i A, bestar B etop ~ alle elemeter, som er st rre ed c, og B har da itet midste elemet. Hvis B har et midste elemet~ ses aalogt, at A ikke har et st rste elemet. Et sit er der~or bestemt a~ h jst et elemet a~ G, og et elemet at' G bestemmer' jagtigt 2 si to Dar ka evotuclt eksistere sit i G, som i~ce er bestemt a~ oget elemet a~ G. Sretig Hvis et ordet legeme Ghar e a~ ~ lgede tre egeskaber, har Galle tre egeskaber: 1 ). Ehver opad begrreset ikke tom delmregde a~ Ghar et supremum. 2)0 Ethvert sit i G er bestemt a~ et elemet a~ Go 3). Ehver voksede, opad begrreset ~ lge pa G er koverget. Bevis. Sretige udtaler, at pastadee 1),2) og 3) or 10- gisk rekvivaleto, altss. at ehver a~ dem med~ rer de to adre. Dette vil v~re bevist, hvis det lykkes at vise implikatioere 1) =>2), 2) => 3) og 3) => 1). Vi agriber e ad gage.
22 Mat 1, M.A ) - 2). Vi atager at 1) gmlder. Lad (A,B) vmre et sit i U. Ethvert elemet i B er e majorat for A. Af 1) ~ lg8r derfor eksistese af et elemet 0 = sup A. Da 0 er majorat for A, er o ~ ethvert elemet i A. Da 0 er de midste majorat for A~ er o ~ cthvert elemet i B. Da 0 tilh rer A eller B, cr c det st rste clemet i A eller det midste elemet i B. Dermed bar vi vist pas tde. 2) - 3). Vi atager~ at 2) grelder. Lad (a) vmre e voksede, opad begrmset f lge pa G. Lad B vrere mmgde af majorater for (a)' og lad A vmre overskudsmmgde G\B (mmgde af elemeter af G, som ikke er elemeter af B). Vi har abebart A t 0, B ~ og A IJ B = G. Af a A f lger, at a ikke er majorat for (a)' Der ~ides altsa et, sa a < ao Me for b B er a < b. Altsa er a < b. Dermed har vi vist, at (A,B) er et sit. Af 2) f lger u, at der fides et elemet 0, som er st rst i A eller midst i B. Vi vii Vise, at (a) -+ o. Lad 8 vrere et elemet af G+. Vi har da 0-8 A, 0+8 B. Altsa er 0+8 majorat for a 9 og vi har 'V N(a ~ OH:: ). Da 0-8 ikke er majorat for a' eksisterer N N, sa an > 0-8. Me da (a ) er voksede, f rer dette 'V ~ N(a > 0-8). Dermed har vi vist, at 'V? N(/a-a / ~ 8). Dermed har vi vist pastade. med- 3) - 1). Dette bevis er e hel del mere subtilt ed de to foregaede. Vi bemrerker f rst, at f lge () ikke er koverget. At () -+ 0 G f lger emlig, at vi ka vrelge, saledes at I-oj ~ ~ og /+1-01 ~ ~, me det ville medf re, at 1 ~ /(+1-o) + (o-)/ ~ /+1-o/+/o-/ ~ ~, hvilket ik.ke er rigtigt. Lad os u atage, at 3) gmlder o Vi ka
23 Mat 1, IvI.Ao da slutte? at f lge () ikke er opad begrffiset. Lad u A ~ G vrore opad begrceset. Der eksisterer da e majorat b for A. Me b er ildw majorat for () 0 Al tsa ka vi vrolge N E N, salede s at h < N, og sa er N e majorat for A. Da () ikke er opad begrreset, er (-) ikke edad begrreset, og vi far derfor aalogt~ hvert j E N betragter vi aile tallee ~, hvor. 2 J P ~ - 2 J N 1 er -lj ikke majorat for A, me for p 2 at vi lea vrelge N1 E N, sa -N 1 ikke er majorat for A. For etp E Z. For jorat for Ao Heraf f lger, at vi for hvert j E N ka vrelge det st rste tal p. E Z, for hvilket ~ ikke er majorat for A. p. 2- J 2 j er ~ = ~ Pj+1 2 J 2 j+1 ' og det medf rer, at Pj+1 ~ 2pj eller j+t? 2 :g. Altsa or (~) e voksede f lge pa G, og da itet af des ele- 2 J meter er majorat for A, er de opad begrroset og derfor koverget mod e grrosevrerdi a. For b > a er b-1- ikke majorqt for -a (), og vi ka derfor vrolge E N, sa > b2a,altsa ~ < b-a. Me sa &q vi ogsa vrolge j E N, :p. ytter, at ~ S a at 2 J -, sa 1 < b-a. Sa far vi, idet vi ud- 2 j p.+1 og da ~ er e majorat for A, er b e majorat for A. Altsa 2 J er itet elemet af II. st rre ed a. Dermed har vi vist, at a er e majorat for A. For b < a ser vi gaske aalogt, at vi lea vcelge j E N, saledes at _1 < a - b, og vi far da, idet vi udytp.+1 ter, at...l- er majorqt for A, og derfor ~ a, at 2 j 2 j ~ 2 j = Pj ~2 a > b 2 j - j, J hvilket viser, at b ikke er majorat for A. Dermed har vi vi st:
24 Mat M.A at a er de midste majorat ~or A9 altsa9 at a = sup A~ og dermed er sretige bevist. A~ bevisets sidste a~sit ~remgar u, at de ordede legemer, der har de i sretig 1.28 omtalte egeskaber, tillige har de i ~ lgede de~iitio omtalte egeskab. De~iitio Et ordet legeme G kaldes Archimedesk, hvis delmregde NeG ikke er opad begrreset. Dot kommer ud pa det samme at ~orlage~ at ~ lge () ikke er begrreset, og det er ige esbetydede med, at der til ethvert elemet a~ G svarer et aturligt tal som er st rre. Dette er ige esbetydede med, at (~) ~ o. Aksiom Mregde R a~ reelle tal or et ordet legeme, som har de i sretig 1.28 omtalte egeskaber. Dette er ikke e defiitio. For det ~ rste, er det ikke pa ~orhad klart, at der eksisterer ordede legemer med de omtalte ogeskaber. Fa de ade side er det klart, at der ~ides mage, hvis der ~ides et. De ~ rste vaskelighed kue overvides ved kostrukti vt at opbygge et legeme med de slwde e- ge11.s1~aljor som e udvidelse a~ ~~, der ige kue opbygges som e udvidelse a~ N. Dette er virkelig geem~ rligt9 me ret tidskr@vodo o Det ville ogsa klare de ade vaskelighed9 idet kostrlli~tioe ville give et gaske bestemt ordet legeme o Dot er imidlertid ogsa rigtigt~ at alle legemer, der har de i sretig 1.28 omtalte egeskabor, i e vis forstad or es, sa det ilti~e spiller oge rolle, hvilket a~ dem vi udrever til R. Elemetere a~ R kaldes (reelle) tal. Vi siger reol tal ~ lge i stedet ~or ~ lge pa R. Nar e tal~ lge (a) kovergorer mod a E R kaldos a grresevrerdi ~or (a ). Vi siger ovortal og 11.
25 Mat 1, M.A udertal i stedet for majorat og miorat. Lejlighedsvis beytter vi topologisk ispirgrede betegelser og kalder R de reelle talliio eller talakse, og et tal a E R kaldes da ogsa et pukt af de reelle talakse. Sretig Hvis e mregde A ~ R er edad begrreset, eksisterer if A og if A = -sup(-a). Ehver aftagede, edad begrwsot f lge pa R er koverget. BGvis. Hvis a E R er udertal for A er -a overtal for -A. Heraf f lger de f rste pastad umiddelbart. Hvis (a ) er afta gede og edad begrreset, er (-a) voksede og opad begrreset, altsa koverget. Heraf f lger de ade pastad. Defii tio )'~ Ved de udvidede reelle talakse R' f'or-, ~:( star vi mamgde R =:R tj f - oo,ooj ordet, saledes at ordige stemmer med ordige pa R, og saledes at 00 er det st rste og - 00 det midste elemet. Regeoperaloere pa :R udvides delvis til R~;;, idet vi sretter a + 00 = = 00 for a E R og a - 00 = = -00 for a E R samt a 00 = 00 '00 -a. 00 = = -00, a. -00 = = -00 og -a -00 = =00 for a E R + "( Nu er 00 majorat og -00 miorat for ehver delmregde af ft", og det bevirker, at sup A og if A bliver defierede for ehver >;' iklm tom mregde A c;: R'. Hvi s A har et overtal, der tilh rer R, bliver sup A det samme som f r. I modsat fald bliver sup A = 00 Aalogt for ifimum. Vi bemrerker, at de tomme mregde ~j far et- >!< hvert tal i R som bade overtal og udertal, og derfor far de -00 som supremum og 00 som ifimum. Vi vii foretrrekke ku at defiere if A og sup A for A 1 0, sa vi altid har if A ~ sup A.
Elementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereKompendie Komplekse tal
Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereGeorg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mere1. De karakteristiske egenskaber ved de tre mest almindelige talsystemer, og... 2
Projekt 0.3 Galois-legemere GF p - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og.... De kommutative, associative og distributive lov
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereForslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende
Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereOm Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.
IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs merej 0 1 -x dx = -log( 1-b) - k~1 -k-.
KBENHAVNS UNIVERSI'I'E'I' Naturvideskabelig embedseksame sommere 1975. MA'I'EMATIK 1 2 Skriftlig p~ve. Alle hjrelpemidlcr ka medbl~iges. Opgve r. 1 1 Lad b E [,1 [. Vis, st for =,1,2, grelder (b x+1 ~1
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereDe Platoniske legemer De fem regulære polyeder
De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Februar 09 ; Michael Symaski ; m@ghg.dk Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereA14 4 Optiske egenskaber
A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereNanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold
F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler
Læs mereIntroduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem
Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereBeregning af prisindeks for ejendomssalg
Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereTIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og
TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs mereTrygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS
Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereBegreber og definitioner
Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mereProjekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.
Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises
Læs mereBørn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd
Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs merea b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )
Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos()
Læs mereKomplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal
Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.
Læs mereCykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel
Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple
Læs mereDifferentiation af potensfunktioner
Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser
Læs mereSituationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q
3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig
Læs mereGENEREL INTRODUKTION.
Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.
Læs mereMed PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad)
Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad) To r s d a g m o r g e n G d a n s k - sol og vin d fra N o r d. H a v d e aft al t m e d ha v n e k o n t o r e t at bet al e ha v n e p e n g e n e
Læs mere17 B 17 A 19 B 1 9 C A. Antal boliger: 37 Bolig størrelse: m2. 12 J 7000aa 31 J F 3 31 N 31 M. Tiltag:
000p bb cg u F C D L z C ay ac bt 0af ae bi Nav: Tøreha resse: Søgae tal bolig: olig størrelse: - m 0ao s 0am bq 0p Nav: øgeha resse: Tøre -J tal bolig: 0 olig størrelse: m bl bx H y G br 000ak 0l bk bv
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereUdtrykkelige mængder og Cantorrækker
Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis
Læs mere