H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

Transkript

1 H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede. K behav,1966.

2 Mat 1, M.A.Forordo Disse ~orelresigsoter er grudlaget ~or matematik 1, matematisk aalyse. De ~ rste kapitler er omredigerede, saledes at de bygger pa det matematikpesum, der ~orudsrettes i gymasiets ye lresepla. Matematikpesum ~ra gymasiets biologiske liie er i om~ag tilstrrekkeligt som grudlag ~or dette kursus, me studeter ~ra dee liie ra rege med at m de vaskeligheder, ~ordi de ikke har de samme matematiske trreig som studeter ~ra de matematisk- ~ysiske liie.

3 M.A. Idledig 1q Me hvad briger Dig til at smile? Der er aldeles ikke oget Forlystede ved Mathematik -- tvertimod I - Fra tekst til e tegig af Fritz Jurgese. Matematik er e deduktiv videskab. Det betyder~ at matematiske udsag ku ases for sade, ar der er f rt et bevis for demo Matematiske beviser bygger pa udsag, som tidligere er bevista Beviste (og derfor sade) udsag kaldes seetiger eller formler. B r opdager tidligt, at ma ka stille sp rgsmalet "hvorfortl~ Derfor ka ma ikke bevis ;:; aile udsag. De fudametale udsag, der ude bevis aerkedes som sade, kaldes aksiomer. De matematiske begreber ma defieres ud fra tidligere idf rte matematiske begreber, me de aller f rste matematiske begreber ka ikke defieres. Ud over de udefierede grudleeggede begreber og aksiomere ma vi ogsa tro pa de logiske slutigsregler, vi beytter i bevisere. De matematiske logik, begrebet "lig med", leere om meegder~ afbildiger og relatioer, teorie for ordede meegder, samt de aturlige tal udg r tilsamme matematikkes grudlag. Disse tilsyeladede forskelligartede emer lader sig ku meget ufuldsteedigt behadle hver for sig. Matematikkes udviklig f rer bade opad og edad. I toppe udledes stadig ye resultater pa basis af vor aktuelle vide. I

4 Mat 1~ M.A. Idledig 2. bude crbejdes der videre mod e stedse klarere f'orstaelse af' grudlaeets ature Desude g res der et stort arbejde f'or at af' korte veje f'ra b~de til toppe. Ude dette revisiosarbejde ville toppe hurtigt blive reserveret f'or et meget lille atal store geier. I pricippet er hele grudlaget udskif'teligt, saledes at ehver bar mulighed f'or at opbygge si ege matematik pa sit eget grudlag~ me det er etop det f'relles grudlag, der giver mulighed f'or mat8matikkes h je udviklig. Selvf'olgelig iddeles matematikke i mage disciplier, og det ka ",odt somme tider se Ud, som om disse hviler pa hver sit grudle,g og i det store og hele virker uaf'hregigt af' hiade. De virkelig store f're-skridt as imidlertid etop ved kombiatio af' f'orskelligartede dlsciplier. Fo::- de uge som lrerer matematik er det vigtigt at ha ikke bli ve::- hregede i matera tikl{es grudlag, me f'ar e chace f'or ogsa at f'a kedskab til arbejdet med de aktuelle problemer i t1toppeh, Derf'or v:u vi i dette kursub bygge pa det grudlag, der kedes f':'a udervi:3ige i gymasiet. Edvidere udbygig af' dette grud:"ag vii f'ide sted, ef'terhade som det b1iver dvedigt. Vi vii i det store og hele beytte de f'ra gymasiet kedte betegeler. De me~st i jef'aldede f'orskel er, at vi ikke beytter de buede af'bilcligspil. E af'bildig f' af' e mregde A id i e mreg:de B skri ves f':a id i Beller f':a ~ B Af'bildige kaldes ijektiv~ hvis origialmregde f'-1(b) til et elemet elemet vilkarligt b E B bestar af' h jst et De kaldes surjekti v 9 hvis bj_lledmregde f'(a) er idetisk med B. De kaldes

5 Mat 1, M.A. Idledig 3. bijektiv, hvis de er bade ijektiv og surjektiv. Vi vii avede de logiske syrboler v (eller) 1\ (og) "* (rc.edf' rer) $=} (alkvivalet red) i (ikke) De f'ire f' rste er bimre relatiosteg. De ra ku smttes reller relatioer - det er s~uedes ukorrekt at skrive 5 1\ 7, gr v r d. Derirod er det korrekt at skrive x 2-4x + 3 = 0 x = 1 v x = 3. Teget ""1 ka soot te s f'ora e relatio, f'. eks. i(x 2 _ 4x + 3 = 0) $=} i(x = 1) 1\ i(x = 3), me det er selvf' lgelig rimeligere at skrive dette pa f'orme x 2-4x + 3 to$=} x t 1 1\ X t 3. Negatio af' et relatiosteg beteges of'test ved geemstregig af' teget, dog aldrig ved ulighedsteg og iklusiosteg. I mmgdeloore beytter vi de soodvalige teg E:9c'~9::)';>9u,rl, samt teget \ f'or overskudsmoogde A\B (moogde af' elemeter, der tilh rer A)me ikke B) og teget C f'or komplemetmrmmgde, altsa A\B = ArICB. De moogdeteoretiske teg, de algebraiske teg +,-,.,:, ordigstegee <9~'>'~' lighedsteget, f'uktiossyrbolere cos, si, log etc, dif'f'eretiatiosteg, itegralteg o.s.v. avedes altid i f'orbidelse med udtryk og aldrig i f'orbidelse red relatioer.

6 Mat 1~ M.A. Idledig 4& e relatio mellem to udtryk. De adre teg er fuktioelle 9 idet de beyttes til fremstillig af mere sammesatte udtryk. Visse bogstaver reserveres som betegelse for kostater 7 saledes at disse specielle bogstaver altid har samme betydig. De t samme grulde'r sel vf lgelig tal tegee 7 heruder ogsa grudtallet e for de aturlige logaritmer samt tallet 7To Vi vil dog tillade os, at avede bogstavere e og 7T i ade betydig~ hvor dot ikke ka bevirke misforstaelser. Srerlig betydig hal' ogle kos t,"'tter, der beteger mregder: N (de aturlige tal, dov.s. de positive,hele tal) Z (de 1}.ele tal) Q (de ratioale tal) R (de reelle tal) C (de kompleksa tal) 0 I di sse tilfrelde har vi foretrukket at scette e accet ovor bog-- stavet 9 " '" i~~z'~~9r ar det avedes i de faste betydig. Derved. bliver og C frie til ade brug. E ade vigtig kostat or o (de torme mmgde). Ellers beyttes de fleste bogstaver sor betegelso for variable y hvilket betyder, at del' idefor visse gramser Im substi tueres adre syr'!joler for dem, evetuel t lwstater, evetuelt sammesatte udtryk~ hvori del' iugar flere variable. Det skal selvf01gelig altid vrere prreciseret (f.eks. ved at det fremgar af' sammehamge), hvilke symboler d.er Im substi tueres.:lo):i hver ekel t variabel. Kvatorere V og :3 er lllatematiske -ceg y som avedes pa

7 Mat 1, M.Ao Idlec1ig 5. rglatioer~ der ideholder variable. Kvatorer er of test betigec1e, idet de variabel or budot til e oller ade mregde. 3QX(X2+2<3x) betyder~ at der eksisterer et ratioalt tal x, saledes at x 2 +2<3xo Nu er det upraktisk at tumle med for mage idices, sa vi vii i regle foretrrekke at skrive ( 1 ) 3x E Q (x < 3x). Tilsvarede (2) Vx E R ( x > x ) Her er (1) og (2) relatioer, som ikke mere afhreger af e variabel, idet kvatorere bevirker, at x far ophrevet si status som variabel. Relatioe (1) berettiger os til at vrelgo et ratio- 2 alt tal p, saledos at p + 2 < 3p. Symbolet fx E Q I x < xj boteger m~gde af ratioale tal X9 for hvilke x < x Symbolet or e kostat, og vi bemrerk.or, at det redrer e relatio til et w..1tryk. Dar Im gives mage adre eksempler pa udtryk og relatioerjl der ideholder betegelser for e variabel, hvoraf urltrykkot eller relatioe ikke afhreger: b 1 f(x)dx afhreger ikke af x, a ~ a k afhreger ikke af k k=1 Det or ude betyc1ig om vi udskifter betegelse for e sada flpassivil variabel med et adet bogstav. Det er altid sil~rest at betegc e tlpassiv" variabel mod et bogstav, der ikke forekommer uclofor (let symbol, i hvi s betegelse de passive variable idgar.

8 Mat 1y M.A. Idledig 6. :avis dette symbol "dumper ed fra himle" med de "passive" variable beteget med et bog8tav~ der ogsa forekommer udei'or teg - ot y er det sikrest at skifte betegelse, da ma ellers fristes til at bega fejl. Saledes er forkert. Derimod er - l.} k(-k) = k k=1 k=1 l.} (-k) = 1 (-1) 2 1 k l.} k(-k) k=1 = ~ l.} j(-j) = j=1 Vi skal ikke opholde os mere ved sp rgsmalet om de matematislw symbolik. Det vii vcere forkert at slutte idledige u- de et fors g pa E't forklare, hvad matematisk aalyse er. Det er imidlertid ikke sa let, som ma skulle trot Lad os jes med at sige~ at matematisk aalyse beskceftiger sig med kotiuitet og grreseovergag. Nu skal vi imidlertid ikke udelukkede beskceftige os med matematisk aalyse. Al modere matematik beskceftiger sig med mregder~ som pa e eller ade made er orgaiserede. Algebra boskceftiger sig med mcegder, der er orgaiserede ved regeoperatioero Topologi beskbftiger sig med mregder, der er orgaiserec1e, saledes at begrebet "kotiuert af'bildig" far meig. E topologisk orgaisatio bestar i, at visse scerlig udmrerkede delmreg- Jer fremhreves, f.eks. omege af et elemet af mregde. Matematisk aalyse hadler om mregder, som har bade algebraisk og topologisk strulctur. Derfor er det aturligt 9 at vi ogsa taler om topologi.

9 Mat 1, ~,LA. Idleciig 7. For de$ som skal lrere matematik 9 er det vigtigt at Eors ge selv at skabe matematik. Matematikke udvikler rutiemetoder' til l sig af specielle typeopgaver. Avedelse af sadae rutiemetoder er ikke matematik. Udviklige af rutiemetodere er matematik. Ikke al matematik er svcer. DerEor er dot muligt at suppi ere et kursus som det Eoreliggede med et meget stort atal lette velsesopgaver. Ku Ea ae disse or velse i brug ae rutiemetoder. DerEor skaoer ma matematik y ar' ma l ser opgavere og fider frem til e pre Eormulerig ae l sigere. Det h rer ~ed til spillereglere i matematikke? at ma ku prceseterer det Ecerdige produkt. Overvejelser, ideer, Eorel bige bevisskitser? redaktiosarbejde Eoregar i d lgsmal, og ku det E~rJibe bevis publiceres. I disse forelresigsoter vii vi ikke altid overholde diese regler, me lejlighedsvis E lge de meget upcedagogiske metode, der tillader eleve at opdage, hvorda lrerere selv fumier med problemere. Metematikke bliver aldrig E~rdig. Ogsa dette kursus eeterlader utallige l se eder. Der vii blive spudet videre pa ogle ae disse i de E lgede kurser. Bladt de l se eder Eides ogsa virkelibe ui ste problemer. De reldste ae disse stammer Era oldtide. Arbejdet pa de matematiske bygigs top giver os stadig Ye opdagelser, og disse virker tilbage og ispirerer amdriger bade i matematikudervisige og i de metoder? med hvilke ma agriber de klassiske ui ste problemer u Saledes er matematikke altid levede og Eoraderlig

10 Mat 1, N.A.1.1 Nous croyos que la mathematique est destiee a survivre. N.Bourbaki Kapi tel 1. Tal. De reelle tal blev idf rt i gymasieudervisige~ og vi vii her idskrreke os til e skitsemressig geemgag af de fra gymasiet kedte tig Qg e mere grudig behadlig af ogle tilf jelser. Vi vii dog f rst omtale begrebere kompositiol1srogel og gruppe~ samt lidt mere udr rligt begrebere rig og legeme~ som ku behadles i gymasiets matematisk-fysiske liie. Def'iitio 1.1. Ved e kompositiosregel pa e mregde M forstas e ai'bildig cp: M x Mid i ~.1. Vi f'oretrrekker at udtrykke kompositiosregle vcc1 et teg~ f'.eks. +, altsa skrive cp(x~y) = x + y Defiitio 1.2. Kompositiosregle + kaldes associativ~ hvis Vx,y,z E M((x+y)+z) = x+(y+z)). Hvis + er associativ har xi + + x e gaske bestomt betydig~ saledes at pareteser slet ige rolle spiller. Derimou al'hreger ud trykket af leddee s rrekkef lge. Defiitio 1.3. Et elemet u E M kaldes eutralelemet for kompositiosregle +, Bafremt Vx E M (x + u = u + x = x) ka DetVvises, at e kompositiosregel har h jst et eutralelemet o

11 Mat 1, M.A. 1.2 Def'iitio 1.4. Lad + vwre e kompositiosregel pa Iv! med eutr8.1elemet u. To elemeter x,x 1 E Iv! med hesy til +, saf'remt kaldes hia-des iverse L8.d os atage, at + tillige er associativ. Det ka da vises, at hvcrt elemet har h jst et iverst. Hvis a,b E M og 8. har et iverst elemet a, 1 ka det vises, 8.t ligige a + x = b har a 1 + b som si eeste l sig, og at x + a = b har b + a 1 som si eeste l s±g. Def'iitio 1.5. E mwgde G med e kompositiosregel + kaldes e gruppe, hvis + er associativ og med eutralelemet, og edviclere hvert elemet af' Ghar et iverst elemet. Eksempel. Mwgde F(A,A) af' 8.11e bijektive af' bildiger f' :_t icl i A, idet A er e vilkarlig mwgde, udg r e gruppe med sammesmtige f' 0 g som kompositiosregel. De idetiske 8.f'- bildig er eutralelemet, og de iverse af'bildig bliver ogsa det iverse elemet af' gruppe. Def'iitio 1.~. E kompositiosregel + pa e mamgde Iv! kaldes kommutl1tiv, saf'remt Vx,y E M (x + y = y + x). x 1 + Hvis + er bade associativ og kommutativ, af'hwger.. 0+ x ikke af' elemeteres rwkkef' lge. E gruppe G)hvis kompositiosregel er kommutativ, kaldes e kommutativ gruppe eller e abelsk gruppe. I det f' lgede beskwf'tiger vi os med e abelsk gruppo G med kompositiosregel + og eutralelemet 0 (ulelemetet). Det iverse clemet til a beteges -a, og b +(-.) skrives b - fl.

12 M.A. 1.3 Vi kaljer -a det modstte elemet. Vi vii treke os, at der pa G er 8du e komposi tiosregel.vi vii ot'te udelade det adet kompositiosteg. Det'iitio 1.7. Vi siger, at. er distributiv med hesy til +, sat'remt Vx~y~z E G ((x+y)z = Xz+yz A X(Y+Z) = xy+xz) s@tig 1.S. Hvis' er distributiv med hesy til +9 grelder VX,y E G(O x = x'o = 0 1\ - x y = x'-y = -(xy)i\-x _y=xy). Bevis. At' O'x + O'x = (O+O)x = O'x t' lger, at O x =0 9 idet O'x + y = O x ikke h8r adre l siger ed y = O. Aalogt vises x'o = O. At' -x'y + x'y = (-x+x)y = O'y = 0 f lger9 at -x'y og xy er modsatte elemeter, altsa -x'y = -(xy). A~logt vises, at X'-y = -(xy). Herat' t' lger edelig -x _y = -(x'-y) = -(-xy) = xy, idet -(xy) ku har et modsat elemet, emlig xy. Vi skl ikke opholde os ved beviset t'or, at (x-y)z = xz-yz og z(x-y) = zx-zy. De distributive loy giver os mulighed t'or at multiglicere summer et'ter regle (x+y)(z+v) = xz+xv+yz+yv. Rreklcet' lge at' de t'ire led er ude iili'lydelse pa summe, me ombytig at' t'aktorere i de ekelte led ka tcekes at redre derme. Mere geerelt har vi t'or t'lerleddede summer m ~ x. ~ y. = j=1 J j=1 J m ~x. j=1 J k=1 ~Yk= m ~ Z x'yk j=1 k=1 J L.:.eg mffirke til, at vi t' rst s rger t'o: at bruge t'orskellige sum-

13 Mat M.Ao 1.4 matiosidices i de to summer. Det sidste udtryk agiver summe a.f aile produkter x j y k, hvor j er et a.f tallee 1' lim? medes k er et a.f tallee 1,,. Deriitio 1.9. De abelske gruppe G med de ekstra kom-.qositiosregel ' kaldes e rig, hvis er distributiv med hesy til + samt associativ. Eksempel. E gruppe G bli ver til e rig ved de.fii tioe 'l/x,y E: G(xy = 0). E rig med. dee trivielle produktde.fiitio kaldes e ulrig. Eksempel. Mregde a.f polyomier med hele tal (ratioale tal, reelle tal) som koe.f.ficieter og med operatiosreglere + og uc1g r e rig. Det'ii ti o E rig G kalde s et legeme 9 hvi s er komrutativ9 har et eutralelemet, og hvis yderligere ethvert elemet udtage 0 har et iverst. Neutralelemetet beteges 1 (etele:8t) og iverse elemeter kal de s reciprolce. Det iverse elemet til x beteges x- 1 For a t 0 har ax = b altsa etop e l sig, og de beteges b eller b/a ejler b:a a Sretig 1. 1'_. Lad G vrere et Ie geme. Vi har da Vx,y E: G (xy = 0 ~ (x = 0 v y = 0)) Bevis. At' x;r = 0 og x t 0 t' lger y = 1'y = (x- 1 x)y = x- 1 (XY) = x- 1 0 = O. Eksempel. Et legere ideholc1er i hvert.fald de to elemeter 0 og 1, og med disse to elemeter reges altid et'ter reglere 0+0 = 0; 0+1 = 1+0 = 1 0'0 = 0'1 = 1"0 = 0; 1'1 = 1.

14 Mat M.A. 1.5 Tilbage er blot 1+1. Det m~ grelde, at 1+1 ~ 1+0 = 1, me det t'orhidrer ikke, at 1+1= 0 0 sam et legeme. Ved dette valg orgaiseres f0911 Hvis M er e mregde med e kompositiosregel cp:m x Mid i M 9 som sl{ri ves cp (X9 y) = x+y, og A og B er delmamgde r at' M I er det a turligt at betege billedmamgde cp (A x B) med A+:S. I overesstemmelse hermed det'ierer vi ~et'iitio Lad G vrere et legeme, og lad A og B vrere delmwgder at' G. Vi defierer da A+B = fx+y I x E A AyE BJ -A = f-x x E Al; A-B = A+(-B); AB = f xy x E A AyE BJ, og t'or 0 A edvidere For 8. E: M skriver vi a+b og ab istedet t'or f8.j + B og fajb Eksempler: 0+A = 0A = -1 = 0. O+A = A; O'A = foj; 1"A = A; -1'A = -A Dut'ii tio ":.13. Et legeme G kaldes et ordet legeme 9 hvi s der foruligger e klasseiddelig af G\foJ i to klasser G+ og G_ 9 s~ledes at f lgecle 2 betigelser er opt'yldt: 1 ) Vx E G (-x E G ) - + 2)

15 M.A. 1.6 Elemotere i G+ kaldes positive og elemetere i G kalc1es egative. St:etig Hvis G er et orde~ legeme, grolder Vx E G (-x E G ). + -, Vx E G+Vy E G_(xy E G_) Vx, Y E G _ (x+y E 2 G /\ xy E G+); Vx E G(x=O v x E G ).1 E + ) G+ Bevis. Af x E G+ f lger x ~ O~ altsa -x ~ 0, altsa -x E G+ eller -x E G Me -x E G ville medf re 0 = (-x+x) E G, hvil ket il{ke er rigtigt. Altsa grelder -x E G_ o M x E G+ y y E G_ f lger -y C' G+, alts3. -xy = x'-y E G+, al tsa xy E G_o M x~y E G_ f lger '-x, -y E G+, al tsa -x-y E G +' al tsa x+y E G Edvidere xy = -x'-y E G+o,[;ilor x E G+ oller x E Ghar vi altsa x 2 E G+, og spe',clel~~ gj31de~ 1 = 12 E G+ o Dermed er alle pastadee bevist. D :::fii ti olj.2. For x, y E G, hvor G er et ordet legeme y deficrjs relatio~e x < y ved x < y <=> y-x E G + Vi skr-i "ler x ~ y i stedet for x<y v x=y. Rela tioe x < y skri yes ogsa y ) x og x ~ y skrives ogsa y ~ x.!atj.!lb 1.1 ii. For et ordet legeme G grelder Vx 9 y,z E G(x < Y <=> x + z < Y + z) E G 'liz E G (x < y <=> xz < yz). + B(~vis" De :' rste pastad f lger at', at y-x = (y+z)-(x+z). :0 Af x < ~r9 Y < z fljlger y-x E G+ 9 z-y E G+, al tsa z x = (:~-y)+(y-x) E G+, altsa x < z. Af x < y og z E G+ f lger tilsvarudo zy-zx = z(y-x) E G Af sretig 1.14 f lger u~ da 1 t?- t -X )y. l!!eclf.yj.r~!:1 z - 'z = 1 E G 9 rr; z-1 E: G 9 al~xzz 1< yzz eller x < y. Der + + med or fl33tige l Jevisto

16 Mat 1~ M.A. 107 Dermed har vi vist, at de fra gymasiet kedte regler for regig med uligheder er gyldige. Vi skal seere berige disse regler ved at bevise ogle mere dybtliggede uligheder. Defiitio Lad x vrere et elemet fra et ordet legeme G. Elemetet kaldes de umeriske vrerdi af x., x, hvis x E G + Ixl = J 0, hvis x = 0 \ [, -x, hvis x E G Scetig For et ordet legeme gcelder Vx E G (x ~ 0 => I xl > 0) Vx,y E G (jlxl-iyii ~ Ix+y/ ~ I xl + Iyl) Vx,y E G (Ixyl = Ixl I yl ). Bevi s. De f rste pas tad f lger umiddel bart af c1efii tio- e. De sidste f lger af scetig 1.8. Ai' x ~ lxi, y ~ Iyl f lger x+y ~ Ixl+lyl. Af -x ~ lxi, -y ~ Iyl f lger -(x+y)~lxl+iyi 0 Dermo~ har vi vist, at Ix+yl ~ Ixl+lyl. Her~f f lger Ixl = Ix+y +(-y)1 ~ Ix+yl + IYI, altsa Ixl-Iyl ~ Ix+ylo Aalogt fas Iyl - Ixl ~ Ix+YI. Dermed er scetige bevist. Vi svidlede ved at idf' re betegelsere 0 og 1 for de to eutrlelemeter i e rig og dermed i et legeme. Der er selvf lgelig itet i veje for, at f'orskellige rige (eller legemer) kg h~ve forskellige eutralelemeter, og sa er det forkert at 8.vee-:'e samme betggelse. De slags u jagtigheder i matematik hcever sig ved)at der seere i teorie optrceder resultater, som er idbyrdes modstridede, og dermed bliver hele teorie gaske yttel s. Forsydelser som de her omtalte optrceder imidlertid

17 Mat meget hyppigt i matematik - i det foreliggede tilfrelde ka vi a lagt, ude at forsydelse vil virke geerede, og sa lrege det gar godt, vil forsydelse spare os e del skriveri. Vi oterer os, at ogsa elemetere 1+1, 1+1+1, bliver frolles for alle rige og legemer. I et ordet legeme bliver disse elemeter alle idbyrdes forskellige (eksemplet efter sretig 1.11 viser, at dette ikke beh ver at grelde for ikke ordede legerer, og dermed tillige,,qt vort esartede valg af betegelser var uberettiget). Elemetere 1, 1+1, 1+1+1, udg r mregde N af ~turlige tal. Vi uderstreger, at N er e gaske bestemt mregdc 9 og de her omtal te delmamgde af et ordet legeme er stregt taget ikke mamgde N, me e "kopi II af de e mregde. Mamgde 2 = fi IJ r oj tj - N er mamgde af hele tal, og det ordede legeme ic1eholder ogsa e kopi af de e mamgde. Med regeoperatioe + er Z e gruppe. Produktet af to elemeter fra N er ige et ele-, met fra N, og heraf f lger, at det tilsvarede grelder for elemetor fra 29 Altsa er Z e rig. Ovestaede er selvf lgelig ikke e tilfredsstillede idf\drelse af N og Z. Vi ka ikke behaclle summere ude at kue trelle, hvor mage ettaller der er, og dertil beh ver vi etop de aturlige tal. Idf relse af N h rer med til matematikkes grudlag, me vi vil her ga ud fra, at vi ka stole pa vor ituitive'forstaelse af de aturlige tal. For det ordede legeme Ghar vi u N c 2 c Go For a E N, b E Z har ligige ax = b e l sig i G. Hvis a 1 x = b 1 og a 2 x = b 2 har de samme l sig x, far vi a 2 b 1 = R 1 R 2 x = a 1 b 2o Pa de ade side har a 1 x = b 1 de samme

18 Mat M.A. 1.9 som 1 sigva1a2x :; a 2 b 1 og a 2 x ::: b 2 har de samme l sig som a 1 a 2 x ::: a 1 b 2, og a~ a 2 b 1 ::: a 1 b 2 ~ lger der~or, at de to ligiger har de samme l sig. Hermed begruder ma let br kregige og Mregde a~ br ker med treller ~ra Z og wver ~ra N udg r legemet ~ a~ de ratioale tal. Det er ideholdt i ethvert ordet legeme. Det er meget let at vise, at e br k ka briges pa ~orkortelig ~orm. Det er ret vaskeligt at vise~ at dette ku ka g res pa e made, me det er bevist i gymasiet~ og sp rgsmalet vil blive diskuteret mere grudigt i matematik 2. De~iitio Ved e ~ lge pa G ~orstar vi e a~ildig ~:N id i G. Vi skriver ~() = a E G og beteger ~ lge (a). De~iitio F lge (a) siges at kovergere mod a E: G 9 hvis ~ lgede betigelse er op~yldt og vi skriver da (a) ~ a(midre korrekt a ~ a). F lge (a) kaldes koverget, hvis der eksisterer et a E G 9 saledes at (a ) ~ a~ Hvis dette ikke er til~reldet, kaldes ~ lge diverget. Eksempel. Hvis ~ ::: a ~or alle E: N)grelder (a) ~ a. Fa visse ordede legemer har ehver ~ lge ~ra et vist tri lig a. (a) ~ a alle elemeter 1 o < '2B < B Af ~ 2 = 1 og 1-~ = ~ sluttes 0 < ~ < 1 og ~or B > 0 altsa

19 Mat 1, Smtig Lad (a) vmre e f lge pa G. Af (a) ~ a og (a) ~ b f lger a = b. Bevis. For 8 E G+ ka vi vmlge 1 saledes at la-ai ~ ~8 og Ib-al ~ ~8. Heraf f lger imidlertid Ib-al~lb-al+la-al ~ 8. Dermed har vi bevist 1 at Ib-al er ~ ethvert elemet i G+o Af Ib-al E G+ ville f lge ~lb-aie G+ og ~Ib-al Ib-al = O. Dermed er sretihge bevist. < Ib-al. Altsa er Defiitio E f lge (a ) pa G kaldes voksede, hvis - "I E.: N(a ~ a + 1 L stregt voksede 1 hvis V E N(a < a _ 1 ). Aalogt defieres aftagede og stregt aftagede. Elcsempel. () Og(~1) er st~gt voksede f lgero Hvis (a) er (stregt)voksede 1 er (-a)(stregt)aftagede. Defiitio Lad A ~ G vrere e delmmgde. Et elemet a E G kaldes majorat for A, hvis Vx E A(a ~ x). Hvis A c Ghar e majorat, kaldes A opad begrmset. Aalogt defieres miorat og edad begrmset. Hvis A er bade opad og edad begrreset, kaldes A begrmset. Ved e majorat (miorat) fer e f lge (a) pa G forstas e majorat (miorat) for mmgde fa I E Nl. F lge (a) Imldes begrmset (opad, edad)1 hvis mregde fal E NJ er begrreset (opad 9 edad). Eksempel. F lge (-1L1) har 1 som majorat og 0 + som mio rat? og er s~uedes begrreset. P lge () har 0 som miorat og er S~lledes edad begrmset. Itet elemet af Q er mrjorat for (), me det ka trekes, at () har e majorat i G. Mmgde G er hverke opad eller edad begrmset. Smtig Ehver koverget f lge er begramset. Bevis. Af (a) ~ a f lger, at der eksisterer tal N E N9

20 Mat 1, M.A. 1~11 saledes at V N(la-al ~ i). For ~ N grelder da, at a-1 ~ a ~ a + i. Heraf f lger, at det midste af elemetere a-1,a,,a _ er e miorat, og at det st rste af elemetere 1 N 1 a + 1, a,,a _ er e majorat 0 1 N 1 Defiitio Et elemet beg kaldes supremum for mregde A ~ G, og vi skriver b = sup A, hvis b er de midste majorat for A. Et elemet a E G kaldes ifimum for A ~ G, og vi skrivcr a = if A, hvis a er de st rste miorat for A. Det fremgar heraf, at e mregde, som har et supremum (ifimum) or opad (edad) begrreset. Det er edvidere klart, at it A og sup A er etydigt fastlagte ved de foreskreve egeskaber, hvi s de overhovedet eksisterer. Dksempel. I legemet Q har mregde f~1 I E N1 supremum 1 og ifimum 1. Mregde N har ifimum 1 me itet supremum. Mregde fx E Qlx 2 < 21 har hverke ifimum eller supremum. Sretig N dvedigt og tilstrrekkeligt for, at beg er supremum for A ~ G or, at f lgede betigelser er opfyldt Vx E A(b ~ x),.aalogt for ifimum. V8 E G 3x E A (x > b - 8). + Bevis. De f rste betigelse udtrykker, at b er majorat for..:\., og de ade betigelse udtrykker, at itet midre tal er m8jorat for A. Deraf f lger pastade umiddelbart. Vi bemrerker, at lighedsteget i de f rste betigelse er v@sctligt, idet b = sup A ka vrere et elemet af A. Derimod er det ude betydig, om der i de sidste betigelse krreves > ellor ~. Tilsvarede er det uvresetligt, om der de to steder i

21 Mat 1~ M.Ao 1.12 de~iitio 1.20 skrives >«) eller (~). De~iitio Et par (A~B) a~ delmregder A ~ G, B ~ G kaldes et sit i G~ ss.~remt ~ lgede betigelser er 0:9~yldt: A ~ 0, B ~ 0, A u B = G Vx E A Vy E B(x < y). Sittet (A~B) siges at vrere bestemt a~ elemetet c E G, sa~remt c cr dct st rste elemet i A eller det midste elemet i B. Hvis c er det st rste elemet i A, bestar B etop ~ alle elemeter, som er st rre ed c, og B har da itet midste elemet. Hvis B har et midste elemet~ ses aalogt, at A ikke har et st rste elemet. Et sit er der~or bestemt a~ h jst et elemet a~ G, og et elemet at' G bestemmer' jagtigt 2 si to Dar ka evotuclt eksistere sit i G, som i~ce er bestemt a~ oget elemet a~ G. Sretig Hvis et ordet legeme Ghar e a~ ~ lgede tre egeskaber, har Galle tre egeskaber: 1 ). Ehver opad begrreset ikke tom delmregde a~ Ghar et supremum. 2)0 Ethvert sit i G er bestemt a~ et elemet a~ Go 3). Ehver voksede, opad begrreset ~ lge pa G er koverget. Bevis. Sretige udtaler, at pastadee 1),2) og 3) or 10- gisk rekvivaleto, altss. at ehver a~ dem med~ rer de to adre. Dette vil v~re bevist, hvis det lykkes at vise implikatioere 1) =>2), 2) => 3) og 3) => 1). Vi agriber e ad gage.

22 Mat 1, M.A ) - 2). Vi atager at 1) gmlder. Lad (A,B) vmre et sit i U. Ethvert elemet i B er e majorat for A. Af 1) ~ lg8r derfor eksistese af et elemet 0 = sup A. Da 0 er majorat for A, er o ~ ethvert elemet i A. Da 0 er de midste majorat for A~ er o ~ cthvert elemet i B. Da 0 tilh rer A eller B, cr c det st rste clemet i A eller det midste elemet i B. Dermed bar vi vist pas tde. 2) - 3). Vi atager~ at 2) grelder. Lad (a) vmre e voksede, opad begrmset f lge pa G. Lad B vrere mmgde af majorater for (a)' og lad A vmre overskudsmmgde G\B (mmgde af elemeter af G, som ikke er elemeter af B). Vi har abebart A t 0, B ~ og A IJ B = G. Af a A f lger, at a ikke er majorat for (a)' Der ~ides altsa et, sa a < ao Me for b B er a < b. Altsa er a < b. Dermed har vi vist, at (A,B) er et sit. Af 2) f lger u, at der fides et elemet 0, som er st rst i A eller midst i B. Vi vii Vise, at (a) -+ o. Lad 8 vrere et elemet af G+. Vi har da 0-8 A, 0+8 B. Altsa er 0+8 majorat for a 9 og vi har 'V N(a ~ OH:: ). Da 0-8 ikke er majorat for a' eksisterer N N, sa an > 0-8. Me da (a ) er voksede, f rer dette 'V ~ N(a > 0-8). Dermed har vi vist, at 'V? N(/a-a / ~ 8). Dermed har vi vist pastade. med- 3) - 1). Dette bevis er e hel del mere subtilt ed de to foregaede. Vi bemrerker f rst, at f lge () ikke er koverget. At () -+ 0 G f lger emlig, at vi ka vrelge, saledes at I-oj ~ ~ og /+1-01 ~ ~, me det ville medf re, at 1 ~ /(+1-o) + (o-)/ ~ /+1-o/+/o-/ ~ ~, hvilket ik.ke er rigtigt. Lad os u atage, at 3) gmlder o Vi ka

23 Mat 1, IvI.Ao da slutte? at f lge () ikke er opad begrffiset. Lad u A ~ G vrore opad begrceset. Der eksisterer da e majorat b for A. Me b er ildw majorat for () 0 Al tsa ka vi vrolge N E N, salede s at h < N, og sa er N e majorat for A. Da () ikke er opad begrreset, er (-) ikke edad begrreset, og vi far derfor aalogt~ hvert j E N betragter vi aile tallee ~, hvor. 2 J P ~ - 2 J N 1 er -lj ikke majorat for A, me for p 2 at vi lea vrelge N1 E N, sa -N 1 ikke er majorat for A. For etp E Z. For jorat for Ao Heraf f lger, at vi for hvert j E N ka vrelge det st rste tal p. E Z, for hvilket ~ ikke er majorat for A. p. 2- J 2 j er ~ = ~ Pj+1 2 J 2 j+1 ' og det medf rer, at Pj+1 ~ 2pj eller j+t? 2 :g. Altsa or (~) e voksede f lge pa G, og da itet af des ele- 2 J meter er majorat for A, er de opad begrroset og derfor koverget mod e grrosevrerdi a. For b > a er b-1- ikke majorqt for -a (), og vi ka derfor vrolge E N, sa > b2a,altsa ~ < b-a. Me sa &q vi ogsa vrolge j E N, :p. ytter, at ~ S a at 2 J -, sa 1 < b-a. Sa far vi, idet vi ud- 2 j p.+1 og da ~ er e majorat for A, er b e majorat for A. Altsa 2 J er itet elemet af II. st rre ed a. Dermed har vi vist, at a er e majorat for A. For b < a ser vi gaske aalogt, at vi lea vcelge j E N, saledes at _1 < a - b, og vi far da, idet vi udytp.+1 ter, at...l- er majorqt for A, og derfor ~ a, at 2 j 2 j ~ 2 j = Pj ~2 a > b 2 j - j, J hvilket viser, at b ikke er majorat for A. Dermed har vi vi st:

24 Mat M.A at a er de midste majorat ~or A9 altsa9 at a = sup A~ og dermed er sretige bevist. A~ bevisets sidste a~sit ~remgar u, at de ordede legemer, der har de i sretig 1.28 omtalte egeskaber, tillige har de i ~ lgede de~iitio omtalte egeskab. De~iitio Et ordet legeme G kaldes Archimedesk, hvis delmregde NeG ikke er opad begrreset. Dot kommer ud pa det samme at ~orlage~ at ~ lge () ikke er begrreset, og det er ige esbetydede med, at der til ethvert elemet a~ G svarer et aturligt tal som er st rre. Dette er ige esbetydede med, at (~) ~ o. Aksiom Mregde R a~ reelle tal or et ordet legeme, som har de i sretig 1.28 omtalte egeskaber. Dette er ikke e defiitio. For det ~ rste, er det ikke pa ~orhad klart, at der eksisterer ordede legemer med de omtalte ogeskaber. Fa de ade side er det klart, at der ~ides mage, hvis der ~ides et. De ~ rste vaskelighed kue overvides ved kostrukti vt at opbygge et legeme med de slwde e- ge11.s1~aljor som e udvidelse a~ ~~, der ige kue opbygges som e udvidelse a~ N. Dette er virkelig geem~ rligt9 me ret tidskr@vodo o Det ville ogsa klare de ade vaskelighed9 idet kostrlli~tioe ville give et gaske bestemt ordet legeme o Dot er imidlertid ogsa rigtigt~ at alle legemer, der har de i sretig 1.28 omtalte egeskabor, i e vis forstad or es, sa det ilti~e spiller oge rolle, hvilket a~ dem vi udrever til R. Elemetere a~ R kaldes (reelle) tal. Vi siger reol tal ~ lge i stedet ~or ~ lge pa R. Nar e tal~ lge (a) kovergorer mod a E R kaldos a grresevrerdi ~or (a ). Vi siger ovortal og 11.

25 Mat 1, M.A udertal i stedet for majorat og miorat. Lejlighedsvis beytter vi topologisk ispirgrede betegelser og kalder R de reelle talliio eller talakse, og et tal a E R kaldes da ogsa et pukt af de reelle talakse. Sretig Hvis e mregde A ~ R er edad begrreset, eksisterer if A og if A = -sup(-a). Ehver aftagede, edad begrwsot f lge pa R er koverget. BGvis. Hvis a E R er udertal for A er -a overtal for -A. Heraf f lger de f rste pastad umiddelbart. Hvis (a ) er afta gede og edad begrreset, er (-a) voksede og opad begrreset, altsa koverget. Heraf f lger de ade pastad. Defii tio )'~ Ved de udvidede reelle talakse R' f'or-, ~:( star vi mamgde R =:R tj f - oo,ooj ordet, saledes at ordige stemmer med ordige pa R, og saledes at 00 er det st rste og - 00 det midste elemet. Regeoperaloere pa :R udvides delvis til R~;;, idet vi sretter a + 00 = = 00 for a E R og a - 00 = = -00 for a E R samt a 00 = 00 '00 -a. 00 = = -00, a. -00 = = -00 og -a -00 = =00 for a E R + "( Nu er 00 majorat og -00 miorat for ehver delmregde af ft", og det bevirker, at sup A og if A bliver defierede for ehver >;' iklm tom mregde A c;: R'. Hvi s A har et overtal, der tilh rer R, bliver sup A det samme som f r. I modsat fald bliver sup A = 00 Aalogt for ifimum. Vi bemrerker, at de tomme mregde ~j far et- >!< hvert tal i R som bade overtal og udertal, og derfor far de -00 som supremum og 00 som ifimum. Vi vii foretrrekke ku at defiere if A og sup A for A 1 0, sa vi altid har if A ~ sup A.