3-ugers kursus. Topologioptimering. Katrine Andersen, s Jacob Andkjær, s Michael Elmegård Jensen, s Vejleder: Fridolin Okkels

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "3-ugers kursus. Topologioptimering. Katrine Andersen, s Jacob Andkjær, s Michael Elmegård Jensen, s Vejleder: Fridolin Okkels"

Transkript

1 3-ugers kursus Topologioptimering Katrine Andersen, s Jacob Andkjær, s Michael Elmegård Jensen, s Vejleder: Fridolin Okkels MIC Institut for Micro og Nanoteknologi Danmarks Tekniske Universitet 17 Januar 2005

2 Resumé I løbet af de sidste par årtier er det blevet meget lettere eksperimentielt at lave mikrosystemer, derfor er der et større behov for, at det teoretiske aspekt kan følge med. Et perspektiv med den nye teknologi er det såkaldte lab-on-a-chip system. Perspektivet ligger i at få udviklet mikrosystemer som kan diagnostisere sygdomme hos den enkelte læge selv med meget lidt prøvemateriel, eller at kunne lave omfattende laboratorieforsøg uden at skulle bruge en stor robot. Et andet perspektiv kunne være at fremstille den bedst mulige køling til et mikrosystem, som eksempel kunne tænkes på en CPU i en computer, selvom det måske ikke helt er på mikroskopisk niveau. Hvad enten man skal fremstille lab-on-a-chip eller køling til en CPU, er et vigtigt aspekt at få optimeret topologien, således at det mest hensigtsmæssige flow igennem systemet opnås. I det følgende lægges vægt på optimeringen af kølingen til en CPU. Optimeringen laves ved brug at et program, der laver numeriske beregninger i MatLab og FemLab. Katrine Andersen Jacob Andkjær Michael Elmegård Jensen MIC Institut for Micro og Nanoteknologi Danmarks Tekniske Universitet 19 januar 2005 ii

3 Indhold 1 Hydrodynamik Fluid Navier-Stokes Varmetransportligningen Strømning i kanal Péclets tal Topologioptimering Optimeringen Generelt Beskrivelse af parameteren γ Darcys lov Programmet Generelt Objektivfunktionen Specifik geometri Kanal Køling af CPU Analyse Indledning Trykfald, hastighed og temperatur for geometri Fast trykfald i forskellige geometrier Asymmetri Péclets tal og hastigheden Konklusion 26 iii

4 iv INDHOLD

5 Kapitel 1 Hydrodynamik 1.1 Fluid Både gasser og væsker kaldes fluider. Forskellen på gasser og væsker er molekyleafstanden. For gasser er afstanden mellem molekylerne ca. 3 nm, hvorimod den for væsker er omkring 0.3 nm. Gassers intermolekylære bevægelser kan derfor beskrives ved brug af statistik og sandsynlighedsregning, hvorimod det er sværere at beskrive væskers molykære bevægelser med samme systematik. På grund af den store molekyleafstand i gasser kan de komprimeres. Dette er dog næsten umuligt for væsker. Som eksempel kan det nævnes, at massefylden for vand kun er ændret 6% på bunden af Marianergraven, på trods af det store tryk vandet er udsat for. Derfor kan væsker for det meste antages at være inkompressible. Da vi i det følgende ser på mikroskopisk niveau, er det vigtigt at finde en korrekt størrelse af vores delområder. Hvert enkelt molekyle har sin egen hastighedsvektor. Derfor skal der vælges et område så stort, at det, der undersøges er gennemsnitshastigheden. Vælges et for stort område risikerer man at se på hele opstillingen, hvilket ikke giver nogle mening mikroskpisk set. Derfor vælges, at det er acceptabelt med en variation på 0.5%. For at finde antallet af molekyler i en fluidpartikel bruges kvadratrodsloven som overslagsregning. n n = 0, 005 (1.1) Løsningen til denne ligning giver n = 1 0, 005 = molekyler (1.2) For væsker er gennemsnitsafstanden mellem molekyler omkring 0,3 nm. Benævnes sidelængen i en mikroskopisk kasse λ, må der gælde ( ) λ 3 n = (1.3) 0, 3 nm 1

6 2 KAPITEL 1. HYDRODYNAMIK Dette giver en sidelængde på λ 10 nm (1.4) Dvs. vælges en sidelængde for ens underdomæner på omkring 10 nm, kan man kun forvente en afvigelse på 0,5% i gennemsnitsværdierne. 1.2 Navier-Stokes Fra den klassiske mekanik har vi Newtons anden lov: m dv dt = j F j (1.5) I behandlingen af fluid mekanik er det lettere at arbejde med massefylden end massen, derfor divideres med volumenet. Kraften skrives herefter med småt for at vise at den er volumenspecifik: ρd t v = j f j (1.6) Hastigheden i et mikroskopisk område af fluiden, altså hastigheden af en fluidpartikel, må være en funktion af sted og tid, dvs. v(r,t). Differentieres mht. tiden fås d t v = dv dt = tv + ( t r i ) i v = t v + v i i v. (1.7) Det lille i refererer til, at der skal summeres i alle retninger. At differentiere efter x,y og z -aksen er det samme som at bruge operatoren, og hastigheden v i kan ses som værende en vektor. t v + v i i v = t v + (v )v, (1.8) dvs. d t v = t v + (v )v. (1.9) Newtons 2. lov er på denne måde skrevet om til Navier-Stokes ligning ( ) ρ t v + (v )v = f j, (1.10) j Navier-Stokes ligning gælder for alle væsker. De kræfter, der virker på en væske kan nu

7 1.2. NAVIER-STOKES 3 findes. Befinder væsken sig inden for et gravitationsfelt, er det klart at den må påvirkes af dette felt. På Jorden må en væske selvfølgelig være påvirket af tyngdekraften f grav = ρg (1.11) Er væsken polariseret og udsættes for et elektrisk felt, vil den ligeledes påvirkes af en kraft f el = ρe (1.12) Derudover kan væsker være påvirket af en trykkraft. Man behøver bare at tænke på en haveslange for at indse dette. Kraften er givet ved f pres = p (1.13) Yderligere kan væsker også påvirkes af viskøse kræfter, der er givet ved f visc = η 2 v (1.14) summen af disse kræfter kan nu ses som værende lig den resulterende kraft. Hermed har vi, at Navier-Stokes ligning er givet ved: ( ) ρ t v + (v )v = p + η 2 v + ρ g + ρ el E, (1.15) Nedenstående ligning udtrykker en afgørende konsekvens for det faktum, at væsken antages at være inkompressibel. I og med at vi arbejder med stationære tilfælde, hvor kanalerne er jævne, dvs. at der ikke er nogen hastighed på tværs af kanalerne, og hastigheden i flowets retning er konstant, vil der netop gælde, at v = 0 (1.16) Dette medfører i de steady-state-flow tilfælde, vi beskæftiger os med, at ligningens venstreside er lig 0: 0 = j f j, (1.17) De kræfter, der er anført på højresiden af følgende ligning, er således nogle af dem, der ofte optræder i mikrofluidsystemer 0 = p + η 2 v + ρ g + ρ el E, (1.18)

8 4 KAPITEL 1. HYDRODYNAMIK 1.3 Varmetransportligningen Varmetransport er defineret som bevægelse af energi, der skyldes temperaturgradienter. Bevægelsen kan foregå på tre forskellige måder; ved varmeledning,ved konvektion og ved varmestråling. For os er det varmeledning og konvektion, der gør sig gældende. Varmeledning skyldes temperaturforskelle mellem to stationære væsker/fast materiel, der er i kontakt med hinanden. Konvektion skyldes temperaturforskelle mellem væsker/gasser, der strømmer forbi hinanden. Konvektion- og konduktionsmodellen for varmetransport vil vi i det videre arbejde kalde varmetransportligningen. Ligningen er givet ved δ t,s ρc p T t + ( k T + ρc put ) = Q (1.19) 1.4 Strømning i kanal I dette afsnit behandler vi strømning i en kanal for at få en forståelse for, hvilke fysiske betingelser vi i det senere skal tage højde for. Når væske strømmer forbi noget fast materiale, gælder der, at væsken helt ude ved kanten står stille dvs. v(r) = 0, for r Ω (no-slip). (1.20) Dette fænomen vil vi det følgende kalde for no-slip. Makroskopisk vil dette fænomen sjældent have nogen indflydelse, men på grund af de små størrelser vil det have stor indflydelse på mikroskopisk plan. Som eksempel ses på en kanal. Hastigheden helt ude ved kanterne vil være 0 og den vil stige indtil midten af kanalen (se nedenstående figur). Indlægger vi et koordinatsystem med x i strømmens retning og y ortogonalt på x-retningen, samt sætter y = 0 og y = h til væg, haves grænsebetingelserne v(0) = 0 v(h) = 0 v( 1 h) = U (1.21) 2 Med disse grænsebetingelser må hastigheden i x-retningen som funktion af y være: v(y) = 4Uy(h y) for v [0; h] (1.22) Man kan også se på et andet eksempel, hvor strømningen foregår mellem to planer. Det ene plan bevæger sig med hastigheden U, og den anden står stille. v(x, 0) = 0 v(x, h) = U (1.23)

9 1.5. PÉCLETS TAL 5 z v x (z) g x h α Med disse grænsebetingelser må hastigheden i x-retningen som funktion af y være: v(y) = U y h for v [0; h] (1.24) h z v x = v 0 v x (z) g 0 v x = 0 x Dette skal vi senere bruge, når vi sætter grænsebetingelser på væggen ved topologioptimeringen. 1.5 Péclets tal Vi vil nu gøre varmetransportligningen dimensionsløs og tilpasse den vores tilfælde. Igen ser vi på en kanal, hvorigennem der strømmer en væske. Varmetransportligningen er givet ved δ t,s ρc p T t + ( k T + ρc put ) = Q (1.25) Først tilpasses ligningen, så den bliver mere overskuelig. Da hastigheden gennem kanalen er konstant, fås for første led i ovenstående ligning Derudover multipliceres ind, hvilket giver δ t,s ρc p T t = 0 (1.26)

10 6 KAPITEL 1. HYDRODYNAMIK ( k T ) + (ρc p ut ) = Q. (1.27) Med nogle regneregler fås k 2 T + u ρc p T + ρc p T u = Q. (1.28) Da væsken er inkompressibel, gælder ρc p T u = 0. (1.29) Således giver ligningen nu u ρc p T = Q + k 2 T. (1.30) Hastighedsvektoren u har både en komposant i x- og y-retningen, kaldet henholdsvis u x og u y u x ρc p T x + u yρc p T y = Q + k 2 T. (1.31) Der gælder dog, at der ingen hastighed er i y-retningen u y = 0. (1.32) Derfor u x ρc p T x = Q + k 2 T (1.33) Nu er ligningen simplificeret for dette tilfælde. Herefter indføres de afdimensionaliserede størrelser, der alle er markeret med x = L x y = Lỹ t = t 0 t T = T 0 T (1.34) På denne måde kan hastigheden i x-retningen også gøres dimensionsløs u = x t = x x t x t t = L x t 0 t = u 0ũ (1.35) Denne måde at skrive hastigheden på sættes ind i ligningen, og skrives ud u 0 ũρc p T x = Q + k( 2 T x T y 2 ) (1.36)

11 1.5. PÉCLETS TAL 7 De dimensionsløse størrelser sættes ind u 0 T 0 ρc p ũ T L x = Q + kt 0 T L 2 ( 2 x T ỹ 2 ) (1.37) De afdimensionaliserede værdier flyttes over på venstre side af lighedstegnet Nu definerer man Pecklés tal på følgende måde u 0 ρc p L ũ T k x = L2 Q + 2 T (1.38) kt 0 P e = u 0ρC p L k (1.39) Hvorved ligningen bliver P e ũ T x = L2 kt 0 Q + 2 T (1.40) I det ovenstående er nogle fysiske love såsom Navier-Stokes ligning og varmetransportligningen blevet introduceret. Når der i det efterfølgende ses på topologioptimering af forskellige geometrier er det vigtigt at have dette teoretiske grundlag for at få hele det fysiske perspektiv med.

12 Kapitel 2 Topologioptimering 2.1 Optimeringen Generelt Det, der er målet med optimeringen er bedst mulig køling af vores emne, som eksempelvis kunne være en CPU. Selvsagt skal der i processen tages hensyn til en række fysiske betingelser, jvf. kapitel 1. Følgende figur illustrerer metoden; cirklerne forestiller løsningsrummet, mens linien repræsenterer den mængde af løsninger, der er fysisk tilladelige. 3 Ved optimeringen startes med et gæt der overholder de fysiske betingelser. Dette gæt er sandsynligvis langt fra den rigtige løsning. I dette punkt findes hældningskoefficienten, og tangenten følges et stykke, hvorved man overskrider de fysiske rammer. Nu bevæger man sig igen ind på den linie, der repræsenterer de tilladte løsninger. Dermed har man sit 2. gæt. Denne fremgangsgmåde gentages, indtil et globalt minimum er nået, og optimeringen er fuldført. Man skal dog være sikker på, at det fundne minimum rent faktisk er globalt og ikke bare lokalt. Dette gøres ved, at grafen helt i begyndelsen af optimeringen udglattes således, at man starter med at undersøge en udglattet graf. Når minimum af den udglattede graf er fundet, er man sikker på at have fundet det globale minimum. Herefter 8

13 2.1. OPTIMERINGEN 9 fører man trinvist grafen tilbage til sin oprindelige form, hvorved man forfiner det fundne resultat og sikrer sig, at det er korrekt. Denne metode hedder MMA; Method of Moving Asymptotes. Inkorporeret heri er den funktion, der bestemmer præcist hvor langt man bevæger sig ud af hver tangent Beskrivelse af parameteren γ Man laver et designområde, der i princippet er fyldt op med en svamp til at starte med. Altså noget, som er en blanding af fast materiel og intet materiel. Egenskaberne for fast hhv intet materiale er på forhånd defineret. Svampens egenskaber bliver således en blanding af de to materialers og varierer med blandingsforholdet mellem de to. Svampen kan nu udvikle sig til fast materiel eller intet materiel under optimeringen, dvs. at i visse områder sammenpresses svampen totalt, mens der i andre skabes kanaler. Det ligger allerede nu klart, at en parameter, der definerer forholdet mellem mængden af hhv. væg og kanal, vil være yderst anvendelig. Denne parameter kan vi kalde γ. γ sættes til 0 for fast materiel og 1 for intet materiel. Når optimeringen er færdig, skulle alle punkter i desigområdet gerne være enten væg eller kanal, og således antage enten værdien γ=1 eller γ=0. Det skal nævnes at der er en fejl i de tilfælde, der omhandles i det videre forløb. Det, der skal opfattes som væg, er stillestående væske. Dette er selvfølgelig ufysisk, men det ved MatLab ikke; den arbejder udelukkende ud fra værdien af γ. Fejlen laves bevidst for at simplificere optimeringen. Når et stort kendskab til programmet er opnået, er det en oplagt mulighed at indføre andre materialetyper til væggene, men dette vil ikke blive behandlet i det følgende. Det blev dog i starten af projektperioden forsøgt intensivt at få succes med en simulering, hvor emnet var sat sammen af flere forskellige materialer, men dette måtte dog desværre opgives, da simuleringerne ganske enkelt ikke fungerede; resultaterne var helt hen i vejret! Der er stor sandsynlighed for, at det har været undertegnede, der ikke var i stand til at opbygge en tilstrækkelig setup-fil, men det skal her også nævnes, at det var meget lidt gennemskueligt, hvad der var fejlen i opsætningen af problemet Darcys lov Når væske strømmer igennem svampen, må den være udsat for en kraft, denne kraft kaldes Darcys kraft og kan skrives således: f = αv (2.1) Her er α den inverse af den lokale permeabilitet. Det er klart, at α afhænger af hvor meget, der er væg og hvor meget, der er kanal. Dvs. at vi må kunne skrive α i et bestemt punkt som funktion af γ i punktet. Når alt er væske, kan vi sige, at α er α min og for fast materiel α max. Udfra dette kan α som funktion af γ opskrives α(γ) = α min + γ (α max α min ) for γ [0; 1] (2.2)

14 10 KAPITEL 2. TOPOLOGIOPTIMERING Når alt er fast materiel, skulle der helst ikke kunne være en strøm igennem det, hvilket vil sige at α max =. Dette kan programmet, der laver de numeriske beregninger dog ikke finde ud af, hvorfor α max sættes numerisk meget højt. For væske sættes α min = 0. Darcy tallet er givet som følger η Da = α max l 2, (2.3) Hvor l er en karakteristisk længde for systemet. Således er Da et udtryk for forholdet mellem viskøse og porøse friktionskræfter. 2.2 Programmet Generelt Til udførelse af optimeringen er benyttet FEMLab og MatLab. FEM står for Finite Element Method, og programmet løser givne og velspecificerede problemer numerisk. Dette foregår ved hjælp af et mesh, der danner nogle punkter. Disse punkter bruges til at løse problemet, således at der knyttes en værdi til hvert punkt. Løsningen findes ved hjælp af en på forhånd defineret løkke, hvor FEMlab foretager en række iterationer, og derved tilnærmer sig en optimal løsning. Nærmere beskrevet foregår det nogenlunde således: I FEMLab tegnes først geometrien af det emne, der ønskes analyseret, det være sig i korrekte mål. Videre defineres de enkelte emnedelområder, altså udspecificeres det, om der er flow gennem et givent afsnit, hastighedsprofilen for flowet indføres og det angives, hvilket materiale det består af. Desuden defineres egenskaberne for alle geometriens grænser, om der skal være et trykfald over en bestemt del, om en grænse skal have no-slip, eller om den skal negligeres. Når geometrien er fuldstændig defineret, gemmes den og overføres til MatLab. Filen skabt i FemLab overføres som en setup-fil og bliver i MatLab indført som en del af et større program udarbejdet af Fridolin Okkels og Laurits Olesen. For at få programmet til at virke indsættes som sagt setup-filen, og derudover er man nødt til at ændre lidt i selve programmet for at få hovedprogrammet kongruent med setup-filen. Programmet er bygget op med et main-script, der kalder på nogle andre scripts (GammaOn, mmasub, plotres, setup, solve og subsolve). Det er også i main-scriptet, at man definerer de enkelte konstanter. I Setupscriptet hentes geometrien som sagt. I gammaon hentes γ-funktionen ind i programmet. I solve-scriptet implementeres Navier-Stokes ligning og varmetransportligningen, således at vores løsning af problemet holder sig inden for de fysiske love. I Plotres-scriptet sættes parametrene for at plotte resultaterne selvfølgelig. I MMA-scriptet laves den funktion, der bestemmer, præcis hvor langt man bevæger sig ud af hver tangent. Herudover kalder dette script på subsolve, som løser endnu dybere.

15 2.3. SPECIFIK GEOMETRI Objektivfunktionen Det programmet optimerer er en objektivfunktion. Selve funktionen defineres på følgende måde φ = A ds + B ds + C Ω Ω δ 2 Ω Første led refererer til emneområderne, andet led til geometrigrænserne og tredje led til punkterne. Som beskrevet før kan der være forskellige ønsker til det, der skal optimeres. Således kan et eller flere af leddene være 0. MMA programmet vil helst arbejde med værdier af φ, der ligger mellem For at undgå at objektiv funktionen bevæger sig uden for dette interval, indføres en konstant φ 0, hvis værdi man selv kan fastsætte. Objektivfunktionen ser nu således ud φ = φ φ 0 Ved en korrekt fastsættelse af skaleringsfaktoren φ 0 kan man dermed netop undgå, at objektiv funktionen bevæger sig uden for førnævnte interval. Under optimeringen angives værdien φ for hver enkelt iteration, således man kan følge slagets gang og se, om optimeringen går den rigtige vej. Senere vil vi komme lidt mere ind på, hvordan φ for et specifikt eksempel fungerer. 2.3 Specifik geometri Kanal Som eksempel kan man optimere hastigheden i en kanal. Vores mål med forsøget er at få den mindst mulige hastighed i kanalen ved at ændre på geometrien. Et stykke af kanalen defineres til design-område, dvs. at det er inden for dette område, at programmet kan ændre strømningsmønster for at opnå den ønskede effekt. Centreret i designområdet defineres et punkt, c, og målet er at gøre fluidens hastighed mindst mulig i dette punkt. Objektivfunktionen ser, som beskrevet i ovenstående afsnit, generelt således ud. φ = A ds + B ds + C Ω Ω δ 2 Ω Første og andet led må give 0, da det kun er hastigheden i et enkelt punkt, c, der skal optimeres. Benævnes hastigheden i puntet c til u, fås φ = u Dermed er det jo netop angivet at det kun er hastigheden i et punkt, der skal optimeres Udover geometrien sættes også de fysiske betingelser, som programmet skal overholde.

16 12 KAPITEL 2. TOPOLOGIOPTIMERING I starten forsøger programmet at opnå en hastighed på 0 i punktet. Derfor lukkes kanalen helt til i punktet, så det er sværere at sende en strøm af væske igennem her. Samtidig åbnes kanaler på hver sin side af punktet, og dermed vil væsken søge at strømme denne vej.

17 2.3. SPECIFIK GEOMETRI 13 Efter nogle iterationer finder programmet ud af, at der findes en bedre løsning. Den kan gøre hastigheden negativ i punktet. Dette gøres ved at lave strømningen s-formet. Nu har programmet fundet den bedst mulige løsning overordnet set. De efterfølgende iterationer bruges til at forbedre denne løsning. Altså fandt programmet først en forholdsvis god løsning, og hvis grafen ikke var udglattet ville programmet måske netop have holdt fast i denne løsning. Nu var grafen udglattet, og derfor fandt løsningen ned til den negative hastighed. Det sjove er også, at skulle man selv have gættet på en løsning ud fra sin egen intuition, ville man med stor sandsynlighed ikke have gættet denne løsning. Dette viser styrken ved programmet; den har ingen intuition, den løser bare programmet og giver resultater, man måske ikke selv havde tænkt på Køling af CPU Under brug af en computer danner en CPU termisk energi. Kan CPUen ikke komme af med varmen, vil den brænde samme. Det er derfor vigtigt med et effektivt kølingssystem. I det følgende vil vi se på, hvordan man kan lave et kølesystem til en CPU bedst muligt. CPUen sætter vi til en kvadrat på 5 5 cm. Selve området, der danner varmemængden Q, defineres som et indre kvadrat på 3 3 cm. Derudover sættes et indløb og et udløb på systemet. Vi tager udgangspunkt i følgende geometri: Ω 3 Q Ω 1 Ω 2 Ω 4 Man kan se, hvorledes strømmen flyder. Desuden ses det, at vandet i form af det store kvadrat så at sige har fået frirum til at skabe det flow, der køler midterarealet bedst. Optimeringen skal dermed sænke gennemsnitstemperaturen så godt som muligt. I programmet gøres dette ved at sætte den varmemængde det inderste kvadrat (Ω 1 ) tilføres til Q, imens det store kvadrat (Ω 2 ), udløb (Ω 3 ) og indløb (Ω 4 ) generer en varmemængde på 0. Dette gøres ved at definere en variabel A således:

18 14 KAPITEL 2. TOPOLOGIOPTIMERING T for Ω 1 0 for Ω A = 2 0 for Ω 3 0 for Ω 4 Vores målfunktion φ kan nu defineres ved at integrere over hele området. Da områderne Ω 2, Ω 3 og Ω 4 er 0 giver disse intet bidrag, mens der fra området Ω 1 er et bidrag. Det giver næsten sig selv at grænserne/væggene intet bidrag har, og der er heller ingen bidrag fra punkter. Således bliver objektivfunktionen i dette tilfælde: φ = A ds + B ds + C = T ds Ω Ω δ 2 Ω Ω 1 Umiddelbart kan vi ændre på trykket af det vand vi sender igennem systemet, og vi kan ændre på, hvor indløb og udløb sidder på systemet. I næste kapitel vil vi netop for dette problem med køling af CPUen prøve at ændre på parametrene og derefter analysere resultaterne for eventuelt at finde sammenhænge.

19 Kapitel 3 Analyse 3.1 Indledning Vi har foretaget en række simuleringer af flowet i den før beskrevede opstilling, hvor det eneste, der er ændret for hver simulering, er trykfaldet dp. Herudover har vi afprøvet fire forskellige geometrier, hvor placeringen af in- og outlet er varieret, for at afgøre hvornår disse er placeret optimalt. Ved analysen og fortolkningen af resultaterne kan alle forhold sammenlignes, hvoraf nogle er mere fornuftige at undersøge end andre. Vi har valgt at se på følgende relationer: Gennemsnitstemperatur, <T>, som funktion af trykfald, dp. Gennemsnitshastighed ved indløb, <v>, som funktion af trykfald, dp. Gennemsnitstemperatur som funktion af gennemsnitshastighed ved indløb Størrelserne af gennemsnitstemperatur og gennemsnitshastighed ved indløb for forskellige geometrier med fast dp Péclets tal set i forhold til kanaltykkelse Forventningen til de valgte relationer er at afsløre eventuelle proportionalitetsforhold mellem køleområdets gennemsnitlige temperatur og flowets gennemsnitlige hastighed. Det er umiddelbart indlysende at forvente at jo højere tryk, des lavere temperatur, jo lavere tryk, des højere temperatur og sidst men ikke mindst jo højere flowhastighed, des lavere temperatur. Hvad det egentlige forhold er, kan man ikke bestemme direkte analytisk for de geometrier, vi arbejder med. Ud over hovedforsøget, hvor emnegeometrien er som beskrevet i kapitel 2, har vi også udført simuleringer for tre andre geometrier, hvor målene er de samme, men hvor ind- og udløb er placeret alternativt. Dette er gjort for at se, om der er en forudsigelig sammenhæng mellem geometrien, flowet og dermed kølingen. 15

20 16 KAPITEL 3. ANALYSE 3.2 Trykfald, hastighed og temperatur for geometri 1 Måleresultater for G 1 p 0,006 0,012 0,015 0,018 0,024 0,030 0,040 < T > 2,0736 1,2415 1,5197 1,2277 1,0034 0,8784 0,7442 < v > 6,3223e-4 1,0519e-3 8,6208e-4 1,0405e-3 1,3197e-3 1,5043e-3 1,7801e-3 Ovenstående tabel viser værdierne for trykfald, gns.hastighed og gns.temperatur for geometrien fra kapitel 2. I den videre behandling benævnes denne geometri som geometri 1 eller slet og ret G 1. Trykfaldet, dp, er en parameter, som ikke er udregnet, men direkte fastsat. l 0 < v > = v dl (3.1) l indløb < T > = Ω 1 T ds Ω 1 (3.2) Den gennemsnitlige temperatur over området Ω 1 er den størrelse, som vi forsøger at mindske mest muligt ved optimeringen, denne er en del af objektivfunktionen φ. Graferne (dp,<t>) og (dp,<v>) (se nedenfor) udseende stemmer grundlæggende overens med den intuitive forventning. <T> falder for stigende dp og på en måde, så det ligner, at den går mod en grænseværdi for <T> når dp. Dette er dog ufysisk og vil ikke ske, da det ikke-lineære led v 0 grundet, at der vil opstå turbulens for store trykfald. Det samme forhold gælder for <v>, dog med den forskel at den her stiger og går mod en <T> dp

21 3.2. TRYKFALD, HASTIGHED OG TEMPERATUR FOR GEOMETRI x <v> dp grænse, se figuren ovenfor. Måleresulterne siger derfor også, at man ikke bare kan skrue op for trykket for at få en betydelig bedre <T>. I intervallet mellem trykfaldene, dp = 0, 012 og dp = 0, 015 er der imidlertid en diskontinuitet, som bør undersøges nærmere, da denne stikker imod den intuitive forventning. <T> er mindre ved dp = 0, 012 end dp = 0, 015. Ved at studere de tilhørende kanalgeometri plot og flowspeed plot (for samtlige tryk) er det tydeligt, at kanalgeometrierne for dp [0, 006; 0, 012] er forholdsvist symmetriske og enkle med én bred kanal, som er lang, og nogle små, der løber på tværs. For dp [0, 015; 0, 040] er kanalgeometrierne pludseligt blevet mere komplekse og asymmetriske, med flere forgreninger(både store og små). Én grund til den højere <T> kan af kanalgeometriske grunde eventuelt forklares ved, at en større del af den kinetiske energi fra flowet vil blive omsat til varme ved den øgede friktion gennem de tyndere kanaler. Den forklaring fører så videre til et vigtigere spørgsmål, kan man være sikker på, at programmet har fundet den endeligt optimale løsning? Den fundne løsning kan evt. tilskrives, at flowet ville blive turbulent og derved tabe energi, hvilket kunne eftervises ved at se på Reynolds tallene for flowet i kanalerne. Dette virker dog usandsynligt med de lave flowhastigheder. Herudover kunne flere simuleringer med trykfald i intervallet dp [0, 012; 0, 015] foretages, og på den måde ville problemet kunne indesluttes. Yderligere kunne man have fastholdt den fundne optimale geometri fra dp = 0, 012 og dernæst have kørt en simulering med dp = 0, 015, hvor man konstruerede en lille kanal, der løb uafhængigt af resten af systemet. Altså kunne man tvinge systemet til at have et strømningsmønster som for dp = 0, 012, blot med en uvirksom, ekstra kanal løbende uden for designområdet. Hvis den havde vist sig at have en lavere < T >-værdi må optimeringsdelen altså have fejlet delvist.

22 18 KAPITEL 3. ANALYSE <T> <v> x 10 3 På figuren ovenfor ses temperaturen afbilledet som funktion af hastigheden. Nedenfor er anført en ligning på potensform for den tilnærmede graf for sammenhængen, og det ses, at tryk og hastighed er tilnærmelsesvist omvendt proportionale. Forventes en sammenhæng som denne, vil produktet af T og v vise sig at være en konstant, og på følgende figur ses det, at dette er meget tæt på at være tilfældet. 2.2 x <v><t> dp

23 3.3. FAST TRYKFALD I FORSKELLIGE GEOMETRIER 19 Ved brug af excel er regressionen for temperaturen som funktion af hastigheden fundet til T (v) = v 0,973 (3.3) 3.3 Fast trykfald i forskellige geometrier Ovenfor er et plot af flowet for hver enkelt af de fire geometrier. I tabellen nedenfor er anført værdien af integralerne < v > = l 0 v dl l indløb og < T > = Ω 1 T ds Ω 1 (3.4) for hver af de fire alternative forsøgsopstillinger. Det er ikke overraskende, at G 2 (jf. ovenstående figur) er den, der køler bedst idet det element, der skal køles er midt i kassen. Det er derimod ikke umiddelbart indlysende, hvorfor < T > for G 1 er bedre end for G 3, man kunne ønske sig at have set det modsatte i og med at G 3 er den, der mest ligner G 2. Det er derimod opløftende at se, at G 4 rent faktisk er den, der fungerer dårligst. Dette sker fordi fluiden skal rundt i svinget, hvorved der tabes kinetisk energi.

24 20 KAPITEL 3. ANALYSE Geometrianalyse G 1 G 2 G 3 G 4 < T > 1,5197 1,1760 1,5908 1,5938 < v > 8,6208e-4 1,2709e-3 9,2638e-4 8,6884e-4 Ud over at undersøge geometri 1, som var udgangspunktet for forsøgene, er også sammenhængen mellem flowhastighed og temperatur i geometri 2 undersøgt. Dette er gjort, fordi G 2 i undersøgelsen af de fire forskellige geometrier ved dp = 0, 015 viste sig at være den, der kølede langt bedst. Vi har for forsøgsopstilling G 2 gennemført en række simuleringer ved de samme tryk som for G 1, hvilket er vist i nedenstående tabel. Måleresultater for G 2 p 0,006 0,012 0,015 0,018 0,024 0,030 0,040 < T > 3,7155 1,2935 1,1760 1,0012 0,6442 0,6646 0,4143 < v > 4,414e-4 1,1285e-3 1,2709e-3 1,4498e-3 2,2672e-3 2,0955e-3 3,218e-3 For de fleste tryk ses at G 2 køler emnet bedre end det var tilfældet for G 1. Men ved de helt lave tryk bliver G 2 overraskende nok dårligere til at køle emnet end G 1 havde været ved selvsamme tryk! Lige som for G 1 viser temperaturen og hastigheden for G 2 sig at være stort set omvendt proportionale. Ved regression i excel fås resultatet: T (v) = v 1,0937 (3.5) Dette er dog en lidt dårligere tilnærmelse end det var tilfældet for G Asymmetri Da G 2 først var blevet lavet, var der forventninger om, at symmetrien i geometrien ville medføre, at i stedet for at bruge hele emnet under simuleringen ville det være nok blot at undersøge halvdelen, det være sig enten højre eller venstre side. Vi har derfor under simuleringerne noteret os, hvorledes symmetrien af strømningsmønsteret er ved forskellige tryk, og følgende kan konkluderes: figuren herunder viser en simulering for dp= 0, 024, og allerede her anes asymmetri.

25 3.4. ASYMMETRI 21 Hæves trykkefaldet efterfølgende til dp= 0, 040, fås følgende flow: Mistanken om, hvorfor de endelige løsninger for strømningen gennem en symmetrisk geometri bliver asymmetrisk faldt først på meshet, og der var formodninger om at ved at gøre dette uendelig fint, ville man opnå et symmetrisk mønster. Efter diskussion er det dog blevet besluttet at den overvejende årsag til fænomenet er spontant symmetribrud; har

26 22 KAPITEL 3. ANALYSE programmet på et givent tidspunkt et underrum af løsninger at vælge imellem, eksempelvis fire, er det meget muligt at den, der vælges, er asymmetrisk. 3.5 Péclets tal og hastigheden Figuren nedenfor viser hastighedsprofilen for en lige kanal, og z-retningen antages for værende translationsinvariant, den har uendelig længde. De to figurer til højre illustrerer to ideelle kanaler, der henvises til senere i afsnittet. W p = p 0 x L L l y p = p 0 + p W w Af Navier-Stokes ligning for flow i de betragtede geometrier t v + (v )v = p + η 2 v (3.6) Jf. massebevarelse og inkompressibilitet reduceres udtrykket til 2 v x y 2 = p ηl (3.7) Yderligere fås vha. randbetingelsen v x (y) = by 2 + a (3.8) v(± w 2 ) = 0, for ± w 2 Ω (no-slip). (3.9) Løsningen findes let ved hjælp af geometriske overvejelser v x (y) = a(y 2 ( w 2 )2 ) (3.10)

27 3.5. PÉCLETS TAL OG HASTIGHEDEN 23 2 v x y 2 p = 2a = ηl (3.11) a = p 2ηL (3.12) v x (y) = p 2ηL (W 2 )2 (1 y2 ) (3.13) W 2 4 v x (y) = pw 2 8ηL (1 ( W 2 y2 )2 ) (3.14) Ved energiovervejelser kan man komme frem til, at for at en løsning er optimal skal temperaturen, hvor to kanaler mødes være ens. Det vil sige, at hvis man tænker sig et eksempel, hvor to kanaler starter og slutter det samme stede, skal T l T L = 0, hvor T l er vandets temperaturændring henover den korte kanal. Der må samtidig være samme trykfald henover kanalerne, p l p L = 0. Hvis temperaturen ved mødet skal være ens, må der gælde at tiden en fluidpartikel befinder sig i de to kanaler må være ens, da fluiden begge steder ideelt antages at modtage varmeeffekten Q overalt. Idealiseringen i det tænkte eksempel er, at midten af de tynde kanaler ikke bliver opvarmet hurtigere en midten af de brede pga. randeffekter. Derudover er kanalernes hastighed regnet for lige kanaler, denne idealisering antages for værende forsvarlig ved lave flowhastigheder. Altså er et idealiseret mønster for hastigheder i optimale kanaler T l T L = 0 p l p L = 0 t 1 = t 2 (3.15) v 1 (y) = l t 1 v 2 (y) = L t 2 (3.16) t 1 = t 2 så T = 0 (3.17) t 1 = l = ( pw2 ) 1 l = 8η v 1 8ηl p ( l w )2 (3.18) t 2 = 8η p ( L W )2 (3.19)

28 24 KAPITEL 3. ANALYSE l w = L W v x (y) = p 8η (w )w (3.20) l v x w (3.21) P e v x w w 2 (3.22) Det er hermed vist, at ved en ideel betragtning af optimeringen, er hastigheden lineært proportional med kanalbredden, og en god konsekvens af dette resultat, er at Péclets tal er lineært proportionalt med kvadratet på kanalbredden. Denne ideelle betragtning kan delvist understøttes af nedenstående graf for (Pé,w 2 ). Det er tydeligt, at der er en tendens til at dette stemmer, hvilket betyder at man nu har mulighed for at få en pejling om, hvor optimal en løsning er ved blot at lave dette simple plot. En grund til afvigelserne fra en ret linie skal findes ved, at Péclet-tallet er konstant gennem en kanal selvom w ikke er det og det medfører at Pé w 2 naturligvis ikke vil passe helt. At Péclet-tallet er konstant i kanaler er et resultat af massebevarelsen, og kommer af at vw=konstant. At Pé er konstant i kanaler underbygges af den nederste graf, fordi Péclet-tallet, som er op ad 2-aksen, lægger sig i niveauer. At (Pé,w 2 ) viser en tendens til at være en ret linie må derfor betyde, at bredden af de enkelte kanalerne stort set er konstant, hvilket også fremgår ved nærmere studie af de fundne optimale kanalgeometrier. 1.6 x x 10 3

29 3.5. PÉCLETS TAL OG HASTIGHEDEN

30 Kapitel 4 Konklusion Samlet set er en række ting blevet erfaret. De første otte dage af projektperioden gik med at lære, at det er forholdsvist kompliceret at skulle gennemføre simuleringer i MatLab med emner, der er sammensat af flere forskellige materialer. Dette må siges at være ærgerligt, da hverken CPUer eller chips er lavet udelukkende af vand! Ydermere har forsøget med at køle samme emne på forskellige måder ved at ændre placeringerne af in- og outlet, gjort det klart hvilke faktorer, der spiller ind for at foretage en god køling; at kølevæsken skal kunne opnå en vis hastighed for at kunne lede varmen bort fra emnet, og at størrelsen af trykfaldet over emnet er afgørende for, hvorvidt der skabes forgreninger i strømningsmønsteret. 26

Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning 3-ugers kursus, s011337 og s011394 Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning Peter Jensen og Caspar Ask Christiansen Vejleder: Fridolin Okkels MIC Institut for mikro- og nano-teknologi

Læs mere

Optimering af multifysisk-systemer

Optimering af multifysisk-systemer Optimering af multifysisk-systemer DANSIS, 29. marts 2006, DTU Fridolin Okkels, Laurits H. Olesen, og Henrik Bruus MIC Institut for Mikro- og Nanoteknologi Danmarks Tekniske Universitet www.mic.dtu.dk/research/mifts

Læs mere

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2.

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2. Ohms lov Vi vil samle os en række byggestene, som kan bruges i modelleringen af fysiske systemer. De første to var hhv. en spændingskilde og en strømkilde. Disse elementer (sources) er aktive og kan tilføre

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Bernoulli s lov. Med eksempler fra Hydrodynamik og aerodynamik. Indhold

Bernoulli s lov. Med eksempler fra Hydrodynamik og aerodynamik. Indhold Bernoulli s lov Med eksempler fra Indhold 1. Indledning...1 2. Strømning i væsker...1 3. Bernoulli s lov...2 4. Tømning af en beholder via en hane i bunden...4 Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2008 Bernoulli

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Modeldannelse og simulering

Modeldannelse og simulering Modeldannelse og simulering Tom S. Pedersen, Palle Andersen tom@es.aau.dk pa@es.aau.dk Aalborg Universitet, Institut for Elektroniske Systemer Automation and Control Modeldannelse og simulering p. 1/21

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Energitekniske grundfag 5 ECTS

Energitekniske grundfag 5 ECTS Energitekniske grundfag 5 ECTS Kursusplan 1. Jeg har valgt energistudiet. Hvad er det for noget? 2. Elektro-magnetiske grundbegreber 3. The Engineering Practice 4. Elektro-magnetiske grundbegreber 5. Termodynamiske

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen STÅLSØJLER Mads Bech Olesen 30.03.5 Centralt belastede søjler Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til siden. Denne form for instabilitet

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Opdrift i vand og luft

Opdrift i vand og luft Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag A Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag B Støbeforløb for V1-V5 og NØ Figur B-1 viser et eksempel på temperaturudviklingen

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5. Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g

Læs mere

Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer

Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Introduktion Strømningsmønsteret i kemiske reaktorer modelleres ofte gennem to ydertilfælde, Ideal stempelstrømning, hvor

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2.

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2. 2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Hastighedsprofiler og forskydningsspænding

Hastighedsprofiler og forskydningsspænding Hastighedsprofiler og forskydningsspænding Formål Formålet med de gennemførte forsøg er at anvende og sammenligne 3 metoder til bestemmelse af bndforskydningsspændingen i strømningsrenden. Desden er formålet,

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere