Projekt Det udelukkede tredjes princip

Transkript

1 ISBN Projekter: Kitel 10 Projekt Det udelukkede tredjes rinci Indhold Indirekte beviser... Eksemel 1. Bevis for t ikke kn skrive som en brøk, dvs er inkommensurbel med tllet 1... Eksemel. Påstnd: i en retvinklet treknt er kteternes sum større end hyotenusen b c... 3 Eksistensbeviser... 4 Eksemel 1. Euklids eksistensbevis vedr. mængden f rimtl Eksemel. Eksistensbevis vedr. irrtionle tl... 5 Brug f det udelukkede tredjes rinci i ndre fg og ndre smmenhænge... 5 En dør kn ikke både være åben og lukket. En mnd kn ikke både være skldet og hve hår å hovedet. Dette grundlæggende logiske rinci eller ksiom, der kldes modsigelsesrinciet, er lle enige om. Det indirekte bevis i mtemtik bygger å et nært beslægtet, men dog mere vidtgående rinci indenfor logik, der kldes for det udelukkede tredjes rinci. I gmle dge, hvor videnskbsmænd kommunikerede å ltin, kldtes rinciet for Tertium non Dtur (dvs: Ingen tredje mulighed findes). Dette rinci eller ksiom siger, t for en given åstnd gælder ltid, t enten er åstnden snd eller den modstte åstnd er snd. Der er ikke en tredje mulighed. Selv om mn i dglig tle hr et begreb som hlvdød, så er der ingen tilstnd midt imellem. Men i sådnne sørgsmål - og endnu mere i etiske og æstetiske sørgsmål kn mn ofte være uenige om definitionerne. Det er nturligvis heller ikke sikkert vi kn fgøre hvilken f to muligheder, der er den rigtige. Øvelse 1 Er den nklgede skyldig i mord? Selv om vi ikke kn fgøre det med 100 % sikkerhed i en retssg, så er der normlt et svr, og det er enten j eller nej. Er det ltid sådn? illustrer dit svr med eksemler. I mtemtik er de mest omstridte nvendelse f rinciet henholdsvist de indirekte beviser og de såkldte eksistensbeviser, hvor vi fx beviser, t der findes et tl, som ofylder det og det, uden t vi ngiver tllet. 017 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde 11 DK-1148 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

2 ISBN Projekter: Kitel 10 Indirekte beviser Eksemel 1. Bevis for t Hvis tllet ikke kn skrive som en brøk, dvs er inkommensurbel med tllet 1 kn skrives som en brøk, så findes der hele tl og, så Ved t kvdrere og bgefter gnge over får vi:. Beviset kn nu fortsætte i to versioner: (1) 1. version Det er en grundlæggende egenskb ved de hele tl, t ethvert helt tl kn skrives som rodukt f rimtl, og t dette kun kn gøres å én måde: Hvis vi forestiller os, t rodukt f rimtl, så indeholder Det smme gælder for Øvelse Udnyt nu dette til t rgumentere for, t ligningen (1) ikke kn stemme. Konklusion: Den orindelige ntgelse, t der findes hele tl og, så. version Vi strter med t forkorte brøken Se å ligningen (1): Her står, t går o i de smme rimtl, blot to f hver:, må være forkert. mest muligt, så der nu ikke er noget helt tl, der går o i både g.. Dvs er et lige tl. Så er også et lige tl. Øvelse 3 Vis det ved t vise følgende: - hvis er et lige tl, dvs. kn skrives å formen k, hvor k er et helt tl, så er et lige tl - hvis er et ulige tl, dvs. kn skrives å formen k + 1, hvor k er et helt tl, så er et ulige tl. Nu hr vi rgumenteret for t er et lige tl. Dvs. der findes et helt tl n, så: n n n kvdrer å begge sider n n indsæt i (1) n n forkort væk 017 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde 11 DK-1148 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

3 ISBN Projekter: Kitel 10 Som før ser vi nu, t er et lige tl, og derfor t er et lige tl. Men vi strtede jo med t sige, t brøken ikke kunne forkortes. Nu ser vi den kn forkortes. Begge ting kn ikke sse. Konklusion: Den orindelige ntgelse, t der findes hele tl og, så, må være forkert. Øvelse 4 Argumenter for t 3 er irrtionl. Beviset for, t ikke kn skrives som en brøk er et såkldt indirekte bevis. Mn rgumentere for en åstnd ved t ntge den modstte åstnd er snd. Her ntog vi, t kn skrives som en brøk. Gennem omskrivninger og logiske rgumenter når vi derefter frem til noget, der er indlysende forkert. Men så må ntgelsen være forkert. Læg mærke til, t denne bevismetode bygger å det grundlæggende ksiom: Enten er åstnden snd eller den modstte åstnd er snd. I mtemtik er indirekte beviser meget nvendt, men der findes også en skole der fviser metoden. Eksemel. Påstnd: i en retvinklet treknt er kteternes sum større end hyotenusen. Klder vi kteterne og b og hyotenusen c, kn den sroglige form oversættes til symbolsk form: b c Antg det modstte og foretg følgende udregninger, hvor du rgumenter for hver enkelt omskrivning: b c b c b b c c b b b c c b b c c c Konklusion: D dette er åbenlyst forkert, må den orindelige åstnd være snd. 017 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde 11 DK-1148 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

4 ISBN Projekter: Kitel 10 Eksistensbeviser Eksemel 1. Euklids eksistensbevis vedr. mængden f rimtl. Vi ønsker t bevise følgende sætning f Euklid: Der er flere rimtl end ethvert forelgt ntl. Bevis (Vi følger den dnske oversættelse f Euklid, men skriver tl I stedet for linjestykker) Ld tllene, og r være de forelgte rimtl. Jeg åstår d, t der er flere rimtl end, og r. Ld nemlig s være det mindste tl, som både, og r går o i. Øvelse Hvd er s for et tl? Giv evt. tleksemler. Betrgt tllet t =s + 1. Enten er t et rimtl, eller også er det ikke et rimtl. Antg først t er et rimtl. Så er der fundet flere rimtl end, og r, nemlig end,, r og t. Men ntg så, t t ikke er et rimtl. Så findes der et rimtl, der går o i t. Ld u være et rimtl der går o i t. Jeg åstår d, t u ikke kn være et f tllene, og r. Thi hvis det vr, så ville u gå o i s. Men desuden går u o i t = s + 1. Derfor vil u gå o i forskellen, som er 1, hvilket er urimeligt. Øvelse 3 Argumenter for, t hvis et tl z går o i to forskellige tl, så går det også o i forskellen. Giv tleksemler. Tegn å en tllinje: Hvis eksemelvis 7 går o i et tl n, så er n med i 7-tbellen. Anvend dette til et generelt rgument Altså kn u ikke være det smme som et f tllene, og r. Og det vr givet, det er et rimtl. Altså er der fundet flere rimtl end, og r, nemlig end,, r og u Øvelse 4 Illustrer gngen i beviset med nogle forskelle vlg f de tre tl, og r. Øvelse 5 Euklid gør ikke selv omærksom å det, men hvor i beviset nvender Euklid det udelukkede tredjes rinci. 017 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde 11 DK-1148 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

5 ISBN Projekter: Kitel 10 Eksemel. Eksistensbevis vedr. irrtionle tl Vi ønsker t bevise følgende sætning: Der findes irrtionle tl og b, så tllet Bevis. Vi ved fr tidligere, t Betrgt nu tllet er irrtionl. b er rtionl.. Ifølge det udelukkede tredjes rinci er dette tl enten rtionl eller irrtionl. Hvis det er et rtionlt tl er vi færdige, for så vil b ofylde sætningen. Hvis det er et irrtionlt tl, så sættter vi Dvs tllet b b og er rtionl. b. Det er to irrtionle tl, og der gælder: Konklusion: Vi hr hermed ved hjæl f det udelukkede tredjes rinci vist, t enten er også er rtionl. (Men vi ved ikke hvilket f dem det er!) rtionl, eller Brug f det udelukkede tredjes rinci i ndre fg og ndre smmenhænge Nedenfor er gengivet en række citter. Vælg nogle f dem ud og giv et svr å følgende: I hvilken forstnd kn mn sige t det udelukkede tredjes rinci er i sil i ågældende citt. Og hvis det er, er der så tle om et rimeligt brug f rinciet, eller er der tle om et misbrug f rinciet. Hvis øvelsen gennemføres i et smrbejde med ndre fg, inddrg så gerne større citter til en mere grundig smmenhængende nlyse med brug f ågældende fgs nlysemetoder. ) Præsident George W. Bush I tlen til kongressen 0 Setember 001: Our resonse involves fr more thn instnt retlition nd isolted strikes. Americns should not exect one bttle, but lengthy cmign, unlike ny other we hve seen. It my include drmtic strikes, visible on television, nd covert oertions, secret even in success. We will strve terrorists of funding, turn them one ginst nother, drive them from lce to lce, until there is no refuge or rest. And we will ursue ntions tht rovide id or sfe hven to terrorism. Every ntion, in every region, now hs decision to mke. Either you re with us, or you re with the terrorists. From this dy forwrd, ny ntion tht continues to hrbor or suort terrorism will be regrded by the United Sttes s hostile regime. Hele tlen findes her. b) George Orwell skrev I 194 et essy med titlen Pcifism nd the Wr, "If you hmer the wr effort of one side you utomticlly hel tht of the other. Nor is there ny rel wy of remining outside such wr s the resent one. In rctice, he tht is not with me is ginst me. The ide tht you cn somehow remin loof from nd suerior to the struggle, while living on food which British silors hve to risk their lives to bring you, is bourgeois illusion bred of money nd security." c) I den fsluttende eisode f filmen Str Wrs Eisode III: Revenge of the Sith, siger Drth Vder til Obi- Wn Kenobi, "If you're not with me, then you're my enemy." Obi-Wn resonds, "Only the Sith dels in bsolutes." 017 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde 11 DK-1148 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

6 ISBN Projekter: Kitel 10 d) Ifølge Mttæus evngeliet k. 1 hedder det, efter t Jesus skulle hve uddrevet en ond ånd: D frisæerne hørte det sgde de: Det kn kun være ved hjæl f Beelzebub, de onde ånders fyrste, t hn uddriver de onde ånder D Jesus kendte deres tnker sgde hn til dem: Ethvert rige, der er kommet i slid med sig selv, lægges øde; og ingen by og intet hjem, der er kommet i slid med sig selv kn bestå. Og hvis Stn uddriver Stn, så er hn kommen i slid med sig selv; hvorledes kn hns rige d bestå. Og hvis jeg uddriver onde ånder ved Beelzebub, ved hvis hjæl uddriver så jeres egne tilhængere dem? Derfor skl de være jeres dommere. Men hvis det er ved Guds ånd, jeg uddriver onde ånder, så er jo Guds rige kommet til jer Den som ikke er med mig, er imod; og den som ikke smler med mig sreder. e) I diskussioner om fx økonomisk olitik, siges der ofte: Der er to veje i den økonomiske olitik Find selv eksemler å dette. 017 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde 11 DK-1148 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk