Projekt 10.3 Terningens fordobling

Transkript

1 Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der er i Euklids Elementer, llerede ligger gemt nede i ksiomerne. Der er ikke tle om n viden, vi skl lot fdække den. Dette sn på, hvd mtemtik er, og i redere forstnd hvd sndhed er, demonstreres i Pltons dilog Menon. Men hvordn udvikler mtemtik sig d? For prksis viser, t der opstår nt. Det kn illustreres f de tre uløste prolemer. Disse er følgende: Kn mn lene ved hjælp f psser og linel konstruere en løsning på:. Terningens fordoling? Givet en terning. Konstruer en n terning med det doelte rumfng. 2. Vinklens tredeling? Givet en vinkel. Del den i tre lige store dele. 3. Cirklens kvdrtur? Givet en irkel. Konstruer et kvdrt, der hr smme rel som irklen. Vi vil her se på det første prolem. De ndre vender vi tilge til på A-niveu. Øvelse Argumenter for følgende: Når der spørges: Kn mn lene med hjælp f psser og linel konstruere, så svrer det til t spørge, om disse prolemer kn løses på grundlg f Euklids ksiomer. vret på lle tre spørgsmål er: Nej, det kn mn ikke. Men det slutter ikke historien, tværtimod er det som med eventrene, hvor mn siger en n kn egnde. øgen efter svr skte en n mtemtik. Geometrisk lger Vi skl nu se, hvorledes vi i geometrisk lger opererer åde med de fire regningsrter +,, og / og med. Ld to positive tl og, 0 være givet, der egge repræsenteres f linjestkker med længderne og. Og ld endvidere være givet et linjestkke f længden. Konstruktion f + og f (hvis > ) Forlæng linjestkket i en ret linje, og tegn med entrum i et f s endepunkter en irkel med rdius. Herved fskæres henholdsvis + og på linjen: 20 L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk

2 Hvd er mtemtik? C, i-og A AB = B l + Konstruktion f (konstruktion f»fjerdeproportionlen«) Konstruktionen gger på følgende forhold: æt =. Opgven er en speiel udgve f den generelle konstruktion f fjerdeproportionlen til tre kendte stkker, d og e: d e Det gøres som følger: A d D P e E C Afsæt i en vilkårlig vinkel stkket d ud d det ene en og e ud d det ndet. Forind DE. Afsæt ud d smme en som e, og tegn igennem punktet C en linje prllel med DE. Øvelse 2 Gør det! dvs. flt vinklen værktøjsprogrm). AED ned i C (ved rug f psser og linel, som mn kn i et Nu er de to treknter AED og ACP ensvinklede, og derfor gælder det ønskede: d e 20 L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 2

3 Hvd er mtemtik? C, i-og Øvelse 3 Udfør nu selv konstruktionen f. Konstruktion f Konstruktionen gger på følgende forhold: og udntter metoden til konstruktion f fjerdeproportionlen, hvor C P A : Q B Treknt ABC er ensvinklet med treknt PQC, derf det ønskede. Terningens fordoling Vi hr givet en terning med sidelængde. Den hr rumfng 3. Kn vi ud fr konstruere siden i en terning med rumfng 2 3? Med vore dges etegnelser er spørgsmålet: Kn vi konstruere 3 2? De græske mtemtikere kunne konstruere kvdrtrødder, så hvorfor ikke tredjerødder? Konstruktion f kvdrtrødder med psser og linel Konstruktionen f kvdrtrødder er en speiel vrint f den generelle konstruktion f mellemproportionler: d Afsæt og d i forlængelse f hinnden ud d en ret linje, find midtpunktet M f dette linjestkke, og tegn med M som entrum og fstnden MC som rdius en hlvirkel over CB. Oprejs i D den vinkelrette på linjen, og kld skæringspunktet med hlvirklen for A: 20 L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 3

4 Hvd er mtemtik? C, i-og A C M D d B Øvelse 4 ) Vis, t treknterne ABD og CAD er ensviklede. d ) Vis, t ) Argumenter for, t stkket DA liver lig med d. Øvelse 5 Anvend metoden ovenfor til t konstruere 3 og 2, idet du udntter, t 3 3 osv. Ifølge overleveringen viste mtemtikeren Hippokrtes, t terningens fordoling svrer til prolemet med t konstruere to smmenhørende mellemproportionler, der går ud på følgende: Givet linjestkkerne og d. Konstruer to ndre linjestkker og, så der gælder: d Det er en nærliggende tnke, t vi kn løse dette, når vi kn konstruere lmindelige mellemproportionler. Et rgument for, t Hippokrtes hr ret, kunne være følgende: Vi egnder med en terning med kntlængde. Ld os et øjelik sige, vi kunne konstruere en doelt så stor terning med kntlængde. Kn vi gøre det én gng, kn vi også gentge det, så vi lver nu en terning doelt så stor som -terningen, nu med kntlængde. å er det klrt, t s forstørrelse i forhold til, må være det smme som s forstørrelse i forhold til. Altså: Vi gentger proessen, nu med -terningen, der fordoles til en terning med kntlængde d. Igen må derfor gælde: d Men nu hr vi jo fordolet den oprindelige terning tre gnge, så den er 2 3 = 8 gnge så stor som - terningen. Derfor må den hve kntlængden 2, idet der jo gælder, t (2) 3 = 8 3. Altså: 20 L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 4

5 Hvd er mtemtik? C, i-og d 2 som indsættes i ligningen ovenfor, så vi lt i lt får: 2 (*) og 2 kender vi. Konklusion: Kn vi løse prolemet med konstruktion f smmenhørende mellemproportionler, er opgven derfor løst. Det, vi får i en sådn konstruktion, er den ønskede kntlængde. Det skulle vise sig, t det heller ikke vr muligt t løse denne udgve f prolemet lene med rug f psser og linel. Men rejdet vr dog lngt fr spildt. Dels kom der en række prktiske løsninger ud f det, som f.eks. følgende, der efter overleveringen skulle være det pprt, Akdemiet konstruerede til løsning f det deliske prolem: N U M O P U R Kilde: Poul L Cour, Historisk mtemtik. tkket OM er, og stkket OR er 2. I pprtet skdes U-stkket på plds, så det kommer til t ligge som vist på tegningen. Ved t se på ensvinklede treknter finder vi så: OR OP ON OP ON OM 20 L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 5

6 Hvd er mtemtik? C, i-og ættes OP og ON, står der ltså 2. Men vigtigere for mtemtikkens udvikling vr det, t undersøgelser over de smmenhørende mellemproportionler førte frem til opdgelsen f prler, ellipser og hperler. Det vr en nden f de store før Euklid, mtemtikeren Menihmos (. 350 f.kr.), der nåede frem til dette. Med moderne ligninger og koordintsstemer er det let nok t se. Dengng vr det uhre komplieret. Øvelse 6 Vi ser på ligningen med de tre forhold og klder de søgte stkker for og (mellemproportionlerne) og dem, vi kender, for og. Vi skl ltså finde og ud fr følgende: Der står fktisk tre ligninger her: ) 2) 3) Omskriv disse til: 2 ) 2) 2 3) Disse ligninger fremstiller følgende kurver i koordintsstemet:. Den første er en lmindelig prel. 2. Den nden er en prel, der ligger ned, dvs. den er smmetrisk om -ksen. 3. Den tredje er en hperel. Argumenter for, t dette etder, t vi kn finde og som skæringspunkterne mellem to prler ) og 2) eller som skæringspunkt mellem en prel og en hperel ) og 3) eller 2) og 3): L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 6

7 Hvd er mtemtik? C, i-og Hermed vr prolemet overst til følgende: Hvis vi kn konstruere prler og hperler med psser og linel, så kn vi også konstruere en løsning til terningens fordoling. Vi kn imidlertid ikke tegne prler og hperler med rug f psser og linel lene. Men et nt område f geometrien vr under udvikling. Godt 00 år senere vr denne teori llerede drevet så vidt, t en tredje stor mtemtiker i oldtiden (ved siden f Euklid og Arhimedes), nemlig Appolonius ( f.v.t.), kunne skrive et værk om keglesnittene, der vr lige så imponerende på sit felt som Elementerne. Øvelse 7. Arklimedes krigsmskiner og uddrgning f den tredje rod Pltons Akdemi fulgte mskinsporet med deres løsning og konstruktionen f det sindrige pprt. Det skulle vise sig, t dette værktøj fndt videre nvendelser helt ndre steder. Arhimedes er i historien lndt meget ndet kendt for sine idrg til t udvikle krigsmskiner, hvormed grækerne kunne forsvre sig mod de ekspnderende romere. Arklimedes oede selv i en græsk koloni på iilien. Hn konstruerede f ktpulter. Men hvordn gør mn disse mest effektive. I rejdet med dette optræder pludselig prolemet: t finde den tredje rod. Og i rejdet med t løse dette inddrges et værktøj som det ovenfor gengivne. Du kn læse om denne fntstiske historie i en rtikel fr ientifi Amerin, som du kn finde her. 20 L&R Uddnnelse A/ Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lru.dk 7