6.1 VURDERING AF VAR MODELLER VED HJÆLP AF STATISTISKE TEST

Transkript

1 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 8 6 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER De er af sor ieresse for fiasielle akører a vurdere de avede VaR model. Ikke blo er de vigig a vide, hvor øjagig de avede model er ud fra e øske om så god e ier korol med de fiasielle risici som mulig de lovbeseme kapialkrav il solves baseres, som beskreve i kapiel 5, eksplici på de avede VaR models øjagighed. Der er således e klar økoomisk iciame for fiasielle akører il a opimere deres VaR model, så de bliver så øjagig som mulig. I kapiel 4 blev de saisiske karakerisika ved fiasielle markedsafkas udersøg. Be- og afkræfelse af forskellige aagelser føre il e ideifikaio af forskellige VaR modeller. Ved hjælp af disse VaR modeller geereres daglige VaR værdier. VaR værdiere er imidlerid a opfae som esimaer, il hvilke der kyer sig e vis usikkerhed. leraiv ka e VaR esima opfaes som e forudsigelse af de eferfølgede dags egaive afkas. Således ka VaR modelleres øjagighed afdækkes ved a sammeholde VaR esimaere med de realiserede daglige markedsafkas. Dee kaldes ofe for backesig, fordi modelleres forudsigelsesegeskaber udersøges i e give foridig periode. Forudsigelsesegeskabere for de i kapiel 4 udvalge VaR modeller er eme for ærværede kapiel. Formåle med kapile er således a aalysere og sammelige modelleres øjagighed med hesy il forudsigelse af (egaive) fiasielle markedsafkas. Edvidere aalyseres så vid mulig årsagere il eveuelle uøjagigheder. Edelig øskes de mes øjagige VaR model ideificere for hver ideks/sekor. 6.1 VURDERING F VR MODELLER VED HJÆLP F STTISTISKE TEST I dee afsi vurderes forskellige VaR modellers forudsigelsesegeskaber på baggrud af saisiske es. De 1 VaR modeller, der blev udvalg i afsi 4.5, øskes vurdere. De 1 modeller er: 1. JVGG(0) 6. HS(10) 10. GRCH(p,q). JVGG(60) 7. HS(40). IGRCH(p,q) OP = Opimere IGRCH 3. JVGG(10) 8. HS(480) 1. IGRCH(1,1) RM = RiskMerics, α 0 = 0 og λ = 0, JVGG(40) 9. HS(960) 5. JVGG(480)

2 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 83 Model r. 1-9 og 1 kosrueres på samme måde for alle ideks, mes model r. 10 og afviger som følge af, a parameree p og q esimeres ved hjælp af forskellige d aa. GRCH(p,q) og IGRCH(p,q) modellere, der idgår i vurderige, blev ideificere i afsi og er paramericere på følgede måde: 10. GRCH(p,q) GRCH(1,1) KFX, KVX, Maerialer, Idusri Kommercielle services, Idusri Traspor, Sudhedspleje, Fiasierigsselskaber, Forsikrig og Ejedomsselskaber sam Forsyig GRCH(1,) Idusri Varer, Baker, Telekommuikaio GRCH(,1) Forbrugsgoder, Kosumevarer og IT. IGRCH(p,q) OP = Opimere IGRCH IGRCH(1,1) KFX, KVX, Maerialer, Idusri Kommercielle services, Idusri Traspor, Kosumevarer, Sudhedspleje, Fiasierigsselskaber, Forsikrig og Ejedomsselskaber, IT IGRCH(1,) Idusri Varer, Baker, Forbrugsgoder, Telekommuikaio og Forsyig Følgede spørgsmål søges afdække i de sammeligede og vurderede aalyse: Hvilke beydig har aagelser vedrørede de saisiske fordelig af de geomeriske afkas for VaR modelleres øjagighed? Gør de e forskel, om de geomeriske afkas aages a være ormal- eller -fordele? Hvor gode er modelleres forudsigelsesegeskaber på forskellige kofidesiveauer? Har kofidesiveaue beydig for, hvilke Value a Risk model, der vurderes a være mes øjagig? Hvorda opfører modellere sig i forhold il hiade? Hvilke modeller er mes øjagige for de ekele ideks/sekorer? Er der sigifika forskel i øjagighede i VaR esimaere i I-sample periode og Ou -of-sample periode? De sidse puk relaerer sig udelukkede il de esimerede parameriske modeller (model r. 10 og ), for hvilke udersøgelse således uaceres geem e sammeligig af VaR esimaeres øjagighed i heholdsvis I -sample og Ou -of-sample periode 1. 1 I -sample og Ou -of-sample periodere blev agive i afsi i kapiel 4. I -sample periode for heholdsvis KFX, KVX og CSE sekorere er heholdsvis , og , mes Ou -of-sample periode for alle ideks/sekorer er

3 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 84 På baggrud af svaree på ovesåede spørgsmål foreages for hver ideks/sekor e vurderig af, hvilke VaR model der ka siges a være mes hesigsmæssig i relaio il målig af de fiasielle markedsrisici. På uværede idspuk er o saisiske esmeoder il vurderig af VaR modeller fremhe r- skede. Biomialmeode, der blev iroducere af Kupiec i 1995, abefales af ieraioale lovgivede isiuioer på de fiasielle område, og de beyes i dag som sadard af disse i både US og Europa (Lopez, 1998, s. 1). De ade meode, Chrisofferses meode il iervalforudsigelse (Chrisofferse, 1996), er i realiee blo e udvidelse af biomialmeode, således a uafhægighede mellem overskridelser af VaR esimaere også eses. Jose Lopez har for ylig formulere e yderligere udvidelse af esmeode, således a der ages højde for sørrelse af VaR overskridelsere (Lopez, 1998). I de følgede geemgås Chrisofferses og Lopez bidrag, og derefer giver jeg mi ege bud på, hvorledes vurderige af VaR modellers øjagighed yderligere ka uaceres. Både Kupiec (1995), Chrisofferse (1996) og Lopez (1998) aveder Likelihood Raio ess i forbidelse med evaluerige af VaR modeller Biomialmeode Som ofes bereges VaR esimae ved hadelsdages lukig og opfaes derefer som e forudsigelse af de kommede dags eveuelle egaive afkas. Således ka de ved a sammeholde de daglige VaR værdier med de fakisk realiserede daglige afkas afdækkes, i hvor høj grad der er overessemmelse mellem model og realieer (Crouhy, Mark & Galai, 0, s. 47). De realiserede absolue afkas ( de arimeiske afkas agive i proce) give ved ligig i afsi 4..1, R, sammeliges derfor med Value a Risk værdie berege ved hadel s- dages lukig dage før, de vil sige VaR -1. På baggrud af dee sammeligig kosrueres e idikaorvariabel, der aager værdie 0, hvis VaR esimae ikke overskrides, de vil sige R VaR 1, og 1 såfrem der er ale om e < overskridelse, de vil sige R VaR 1. Idikaorvariable er således give ved:

4 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 85 I 0 = 1 hvis hvis R R VaR < VaR 1 1 Eferfølgede ælles aalle af overskridelser, og adele af overskridelser i forhold il de samlede aal observaioer, NX, bereges. dele af overskridelser ka opfaes som sadsylighede for, a e VaR esima overskrides, og derfor er de releva a ese, hvorvid de beregede overskridelsessadsylighed afviger sigifika fra de kofidesiveau, som VaR esimaere er basere på. Ide idikaorvariable er kosruere som e diskre biær variabel, der ku ka aage væ r- die 0 eller 1, ka overskridelser af VaR værdier opfaes som uafhægige ræk fra e bi o- mialfordelig med sadsylighedsparameere sa lig med de avede sigifikasiveau, α. E fuldkomme øjagig VaR model er således kedeege ved, a des ubeigede øjagighed er give ved: X N = α = p Er der eksempelvis berege 1 VaR esimaer på e 5% sigifikasiveau, må aalle af overskridelser ikke være sørre ed 5, for a modelle ka siges a være ubeige øjagig. Sadsylighede for a observere X overskridelser i e daamaeriale besåede af N observaioer er: Pr N X X N X ( X ) = p (1 p) N N! hvor biomialkoefficiee er give ved b( N, X ) ( ) = X!( N X )! X = (Lopez, 1998, s. 6-7 og derse e al., 198, s. 131). Øskes således hypoese om a X = N = α p ese overfor de aleraive hypoese om ulighed (de vil sige p ), avedes Likelihood Raio essørrelse for ubeige øjagighed: X N α LR UN X X X N X X N X [ ) (1 ) ) l( p (1 p) )] = l(( χ (s-1) = χ (1) N N

5 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 86 hvor s er aalle af værdier som idikaorvariable ka aage, i dee ilfælde o (0 og 1). Bemærk a sidse del af ligige agiver de sade sadsylighed for a obse rvere e overskridelse (give de valge sigifikasiveau), mes de førse del af ligige agiver de fakisk observerede sadsylighed basere på aalle af overskridelser (Lopez, 1998, s 6-7 og Chrisofferse, 1996, s. 5-6). alle af overskridelser af de daglige VaR esima og LR UN essørrelse for de 15 ideks/sekorer er agive i heholdsvis abel.1.15 og B.1 B.15 i bilag J. I abel K.1 i bilag K er resulaere vedrørede de udersøge VaR modellers ubeigede øjagighed sammefae. Tabelle samler de esseielle resulaer fra - og B-abellere i bilag J. I abel K.1 agives for hver ideks/sekor de re mes ubeige øjagige VaR modeller på heholdsvis e 95%, 97,5% og e 99% kofidesiveau. De empiriske resulaer vedrørede VaR modelleres øjagighed præseeres samle uder é i sluige af afsi Chrisofferses Iervalforudsigelseses I sede for a opfae e VaR værdi som e pukesima ka de opfaes som e esidig i - ervalforudsigelse af de lavese fiasielle markedsafkas. Dee er udgagspuke for Peer Chrisofferses udvidelse af Likelihood Raio ese il også a omfae beige øjagighed. Iervalforudsigelser ka vurderes beige eller ubeige de vil sige med eller ude referece il e give iformaiosmægde hvilke har væselig beydig i ilfælde af, a d a- amaeriale er karakerisere ved skifede volailie. Mere formel er de beigede øjagighed kye il e iervalforudsigelse (e VaR esima) give ved: E[I ψ -1 ] = α = p, hvor ψ -1 er iformaiosmægde, som idikaore I er beige af (Chrisofferse, 1996, s. 4). De ses, a biomialese fra forrige afsi svarer il a ese øjagighede beige af de omme iformaiosmæ gde, ψ -1 = Ø, de vil sige E[I ] = p, (Chrisofferse, 1996, s. 5). Biomialese ka opfaes som e geemsisberagig, ide aalle af overskridelser i hele periode opælles ude oge yderligere aagelser eller beigelser. Biomialese siger

6 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 87 f.eks. ie om, hvorvid overskridelsere af VaR esimaere er uafhægige af hiade de vil sige, om overskridelsere ka siges a være ilfældig fordel over observaiosperiode. I ilfælde af skifede volailie, hvilke ofe observeres i fias ielle idsrækker, er de i høj grad releva a ese, hvorvid VaR overskridelsere er uafhægige af hiade. VaR foru d- sigelser, der ikke ager højde for skifede volailie, ka emlig god være ubeige øjagige og samidig være beige uøjagige (Lopez, 1998, s. 7-8). Med adre ord ka aalle af overskridelser være ilsrækkelig lav il a VaR modelle ud fra e geemsisberagig opfaes som ubeige øjagig, selvom de fakisk er beige uøjagig i de forsad, a de ikke ager højde for, a overskridelsere er afhægige af hiade og kommer i klu m- per. Hypoese om seriel uafhægighed mellem VaR overskridelsere ka eses overfor e ale r- aiv hypoese om, a afhægighede følger e førseordes Markovkæde (Chrisoff erse, 1996, s. 7). Der ages i førse omgag udgagspuk i Markovkædes marice af overgagssadsyligh e- der: 1 p P = 1 1 p p p hvor p ij = Pr(I = j I -1 = i), de vil sige sadsylighede for, a idikaorvariable il idspuk aager værdie j, give a de i de umiddelbar foregåede periode, -1, aog værd i- e i (Chrisofferse, 1996, s. 7). Således agiver p i marices øverse højre hjøre sadsylighede for a observere e overskridelse efer a have observere e ikke-overskridelse, de vil sige sadsylighede for e overgag fra I = 0 il I = 1, Pr(I = 1 I -1 = 0). På ilsvarede vis agiver - p sadsylighede for a observere o overskridelser i ræk, de vil sige Pr(I = 1 I -1 = 1). - 1 p sadsylighede for a observere o ikke-overskridelser i ræk, de vil sige Pr(I = 0 I -1 = 0). - 1 p sadsylighede for a observere e ikke-overskridelse efer a have observere e overskridelse, de vil sige Pr(I = 0 I -1 = 1).

7 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 88 Defieres u ij som de aal gage, der observeres e overgag fra værdie i il værdie j de vil sige, a er de aal gage, idikaorvariable ædres fra 0 il 1 er de approksimaive likelihoodfukio give ved (Chrisofferse, 1996, s. 7): L(P 1 10 I 1, I,, I T ) = (1 p ) p (1 p p ) Maksimeres likelihoodfukioe fås marice af ML esimaer for overgagssadsylighedere: ˆ ˆ 1 p P = 1 1 pˆ pˆ pˆ = Ligige ka forolkes således, a p s ML esima er lig med og ilsvarede for de øvrige elemeer i marice. alle af siuaiosskif for de 15 ideks/sekorer er agive i abel C1.1 C1.15 og abel C.1 C.15 i bilag J. Fokuseres u på siuaioe give ulhypoese, der siger, a overskridelsere er uafhægige, er likelihoodfukioe give ved : + L(P 10 + I 1, I,, I T ) = (1 p p ) og dermed er ML esimae give ved 3 : Pˆ =. 10 Ide marice af overgagssadsyligheder er P = 1 p 1 p 3 L = P ( )( ) ( ) ( + ) 10 p (Chrisofferse, 1996, s. 8). p p p 1 p p = 0 Pˆ = 10

8 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER Give ulhypoese L(P I 1, I,, I T ) = (1 p p og de aleraive hypoese 10 L(P 1 I 1, I,, I T ) = (1 p ) p (1 p p, er Likelihood Raio ese for uafhægighed give ved: ) ) LR UF = [ LN( (1 p ) p ) LN( (1 p ) p (1 p p )] LN 1 LN 1 10 χ ((s-1) ) = χ (1). ) = Likelihood Raio essørrelse for uafhægighed, LR UF, er for de 15 ideks/sekorer agive i abel D.1 D.15 i bilag J. De empiriske resulaer vedrørede uafhægighede mellem VaR overskridelsere kommeeres ærmere for hver ideks/sekor i abel K. i bilag K. Chrisofferse viser, a e samle LR es, der samidig eser for både ubeige øjagighed og seriel uafhægighed, blo er summe af LR UN og LR UF. Likelihood Raio ese for beige øjagighed er således give ved (Chrisofferse, 1996, s. 8-9): LR BN = LR UN + LR UF χ (s(s-1)) = χ (). Som de ses af ligige, er de mulig for e give VaR model, a afgøre om de eveuelle uøjagighed skyldes afhægighede mellem overskridelsere ( LR UF ), eller a der er for mage VaR overskridelser (LR UN ). På dee måde giver Chrisofferses iervalforudsigelseses e grudlag for eveuelle forbedriger af de avede VaR model. Likelihood Raio essørrelse for beige øjagighed, LR BN, er for de 15 ideks/sekorer agive i abel E.1 E.15 i bilag J. I abel K. i bilag K er resulaere vedrørede de udersøge VaR modellers beigede øjagighed sammefae. I abelle agives for hver ideks/sekor de re VaR modeller, der udviser de sørse beigede øjagighed på heholdsvis e 95%, 97,5% og e 99% kofidesiveau. Edvidere kommeeres modelleres egeskaber for hver ideks/sekor heruder

9 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 90 afdækkes, i hvor høj grad e eveuel accep eller afvisig af de beigede øjagighed ka ilskrives effeke af accepe/afvisige af heholdsvis de ubeigede øjagighed og/eller uafhægighede mellem VaR overskridelsere. Tabel K. samler således de esse ielle resulaer fra D- og E-abellere i bilag J. I abel 5.1 heruder sammefaes resulaere fra abel K.1 og K. i bilag K de vil sige de empiriske resulaer af de re likelihood raio ess af heholdsvis ubeige øjagighed, uafhægighed mellem VaR overskridelsere og beige øjagighed. Tabel 5.1 VaR modelleres ubeigede og beigede øjagighed LR UN LR BN MODEL 95% 97,5% 99% 95% 97,5% 99% KFX JVGG(40) HS(960) JVGG(60) Ige JVGG(0) JVGG(60) KVX HS(10) HS(40) JVGG(480) RiskMerics JVGG(480) JVGG(480) Maerialer RiskMerics JVGG(60) NIGRCH JVGG(0) JVGG(60) HS(480) (1,1) Idusri, Varer RiskMerics RiskMerics JVGG(0) JVGG(0) JVGG(480) JVGG(0) Idusri, Kommercielle JVGG(480) JVGG(40) HS(960) Ige HS(40) HS(480) services Idusri, Traspor JVGG(60) HS(960) HS(960) JVGG(10) HS(960) HS(960) Forbrugsgoder -GRCH JVGG(480) RiskMerics -GRCH -IGRCH JVGG(60) (,1) (,1) (1,) Kosumevarer JVGG(480) JVGG(60) HS(960) HS(960) JVGG(60) HS(960) Sudhedspleje JVGG(60) RiskMerics HS(960) -GRCH -IGRCH RiskMerics (1,1) (1,1) Baker JVGG(0) RiskMerics HS(960) HS(960) RiskMerics HS(960) Fiasierigsselskaber JVGG(60) JVGG(60) HS(960) JVGG(10) HS(960) HS(960) Forsikrig & JVGG(60) JVGG(480) HS(960) JVGG(0) JVGG(480) HS(960) Ejd.selskaber IT JVGG(60) RiskMerics JVGG(60) JVGG(0) RiskMerics JVGG(60) Telekommuikaio JVGG(40) NIGRCH JVGG(10) JVGG(0) RiskMerics JVGG(10) (1,) Forsyig JVGG(10) HS(960) HS(40) RiskMerics HS(960) HS(40) MODEL NTL INDEKS MODELLEN ER DEN MEST NØJGTIGE FOR JVGG(0) JVGG(60) JVGG(10) JVGG(40) JVGG(480) HS(10) HS(40) HS(480) HS(960) RiskMerics IGRCH(p,q) GRCH(p,q) Kilde: Ege ilvirkig på baggrud af abel K.1 og K. i bilag K.

10 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 91 Tabelle viser de mes øjagige ubeigede såvel som beigede VaR model for hver ideks/sekor. Edvidere viser abelle for hver VaR model, hvor mage ideks/sekorer modelle har være de mes øjagige for. I abelle er af pladshesy ku vis resulaere i relaio il LR UN - og LR BN -ese, ide LR UF, jf. ligig, svarer il forskelle mellem disse o Vurderig af VaR modelleres ubeigede øjagighed På e 95% kofidesiveau er de mes ubeige øjagige model for de flese ideks/sekorer ( ud af 15) e af de jæv vægede glidede geemsismodeller, af hvilke modelle med e observaiosperiode på 60 hadelsdage (3 mdr.) ofes forerækkes (JVGG(60) modelle er de mes ubeige øjagige model for 5 af de 15 ideks/sekorer). KVX-idekse og sekorere Maerialer, Idusri Varer og Forbrugsgoder skiller sig ud. De mes ubeige øjagige model for KVX-idekse på e 95% kofidesiveau er modelle, der aveder hisorisk simulaio basere på e observaiosperiode på 10 hadelsdage (½ hadelsår). Tilsvarede er de mes ubeige øjagige modeller for sekorere Maerialer, Idusri Varer og Forbrugsgoder heholdsvis RiskMerics IGRCH model bas e- re på ormalfordelige for de o førsæve sekorer og de esimerede GRCH( p,q) model basere på Sudes -fordelig, de vil sige -GRCH(,1) modelle, for de sidsæve sekor. På e 97,5% kofidesiveau er koklusioe vedrørede de ubeigede øjagighed midre klar. Ideksee/sekorere deler sig i re grupper med hesy il, hvilke modelyper, der er mes ubeige øjagige. For KFX- og KVX-idekse sam sekorere Idusri Traspor og Forsyig er modellere, der aveder hisorisk simulaio de mes ubeige øjagige. Borse fra KVX-idekse, hvor HS modelle med e observaiosperiode på 40 hadelsdage er de mes ubeige øjagige model, er de HS modelle med e observaiosperiode på 960 hadelsdage, der er de mes ubeige øjagige model. RiskMerics IGRCH model er de mes ubeige øjagige model for sekorere Idusri Varer, Sudhedspleje, Baker og IT, mes de for sekore Telekommuikaio er de esimerede IGRCH(1,) model basere på ormalfordelige, der er mes ubeige øjagige. For de øvrige sekorer er de e af JVGG modellere, der er de mes ubeige øjagige, me de opimale observaiosperiode er ikke eydig på værs af sek orere.

11 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 9 På e 99% kofidesiveau er de mes ubeige øjagige model for de flese ideks/sekorer (8 ud af 15) e af de hisorisk simulerede modeller, af hvilke modelle med e observaiosperiode på 960 hadelsdage (4 hadelsår) i udpræge grad forerækkes (HS960 er mes ubeige øjagig for 7 af de 15 ideks/sekorer). For ku o sekorer Maerialer og Forbrugsgoder er e af GRCH modellere de mes ubeige øjagige model. For de øvrige sekorer er e af JVGG modellere de mes ubeige øjagige model Vurderig af VaR modelleres beigede øjagighed På e 95% kofidesiveau er de mes beige øjagige model for de flese ideks/sekorer (7 ud af 15) e af de jæv vægede glidede geemsismodeller, af hvilke modelle med de mege kore observaiosperiode på ku 0 hadelsdage (1 mdr.) ofes forerækkes (JVGG(0) er de mes beige øjagige model fo r 5 af de 15 ideks/sekorer). Omved er de mes beige øjagige VaR model for sekorere Kosumevarer og Baker modelle, der aveder hisorisk simulaio basere på de mege lage observa i- osperiode på 960 hadelsdage (4 hadelsår). Edelig er de lige som de var ilfælde i fo r- bidelse med de ubeigede øjagighed også -GRCH(,1) modelle, der er de mes beige øjagige for sekore Forbrugsgoder. Tilsvarede er de mes beige øjagige modeller for KVX-idekse og sekorere Forsyig og Sudhedspleje heholdsvis RiskMerics IGRCH model basere på ormalfordelige for de o førsæve og de esimerede GRCH(p,q) model basere på ormalfordelige, de vil sige -GRCH(1,1) modelle, for de sidsæve sekor. For KFX-idekse og sekore Idusri Kommercielle Services afvises hypoese om beige øjagighed for samlige modeller, og VaR mode l- lere ka derfor ikke ragordes. Ide de er mulig a ideificere de mes ubeige øjagige VaR model, skyldes afvisige af de beigede øjagighed, a VaR overskridelsere ikke ka siges a forekomme uafhægig af hiade. Selv ikke GRCH modellere har alså være i sad il a fage dee afhægi ghed. På e 97,5% kofidesiveau er koklusioe vedrørede de beigede øjagighed midre klar. Ideksee/sekorere deler sig i re grupper med hesy il, hvilke modelyper der er mes beige øjagige. For 6 ideks/sekorer er de e af de jæv vægede glidede ge - emsismodeller, der er de mes beige øjagige, mes de for adre 5 ideks/sekorer er e af GRCH modellere, der er mes beige øjagig. For de reserede 4 ideks/sekorer er de e af VaR modellere, der aveder hisorisk simulaio, som er mes beige øjagig.

12 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 93 På e 97,5% kofidesiveau er valge af VaR model således i høj grad afhægig af, hvilke ideks eller sekor der er ale om. På e 99% kofidesiveau er de mes beige øjagige model for de flese ideks/sekorer (8 ud af 15) e af de hisorisk simulerede modeller, af hvilke modelle med e observaiosperiode på 960 hadelsdage (4 hadelsår) i udpræge grad forerækkes (HS(960) er de mes beige øjagige model for 5 af de 15 ideks/sekorer). Ku for sekore Su d- hedspleje er RiskMerics IGRCH model de me s beige øjagige model. For de øvrige sekorer er de e af JVGG modellere, der er de mes beige øjagige model ude a de i øvrig ka kokluderes, hvilke observaiosperiode der er de opimale. l i al ses e edes il, a de korsigede modeller, der aveder e jæv væge glidede geemsi, er a forerække, hvis e 95% kofidesiveau avedes, mes modeller, der baseres på hisorisk simulaio, er a forerække, såfrem e 99% kofidesiveau avedes. Der ka argumeeres for, a avedelse af e 95% kofidesiveau simulerer ormale markedsforhold, ide de daglige VaR esima forvees overskrede é gag hver 0. hadelsdag (ca. 1 gag om måede), mes avedelse af e 99% kofidesiveau i højere grad simulerer sjælde hædelser (é gag hver 1. hadelsdag ca. 1 gag hver ½ år). På dee baggrud giver de meig a avede e korsige JVGG model il ormale markedsforhold og e lagsige model basere på hisorisk simulaio i forbidelse med mere sjæl de hæ delser Geerelle kommearer vedrørede avedelse af saisisk fordelig f abel K.1 i bilag K ses, a avedelse af ormalfordelige i de flese ilfælde resulerer i mere ubeige øjagige modeller, ed hvis -fordelige avedes. På baggrud af abel.1.15 i bilag J ka de imidlerid erfares, a aagelse om ormalfordele geomeriske afkas geerel resulerer i flere overskridelser ed kofidesiveaue ilsiger (de vil sige, a adele af VaR overskridelser er sørre ed heholdsvis 5%,,5% og 1%), mes de omvede gør sig gældede, såfrem de geomeriske afkas aages a være -fordele. Dee er dog ikke overraskede, da -fordelige per defiiio gør Value a Risk esimaere mere forsigige, ide koefficiee som volailiee mulipliceres med er sørre, ed år ormalfordelige avedes. Følgelig udervurderer ormalfordelige il e vis grad de reelle fiasielle risici, mes -fordelige overvurderer dem.

13 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 94 ormalfordelige resulerer i mere ubeige øjagige VaR modeller er således e udryk for, a grade, hvormed ormalfordelige udervurderer de fiasielle risici, er midre ed grade, hvormed -fordelige overvurderer selvsamme risici. De yder således på, a besemmes aalle af -fordeliges frihedsgrader ved e visuel vurderig på baggrud af frakildiagrammer (såda som de blev gjor i kapiel 4), bliver resulae for forsigige VaR esimaer. E mere præcis besemmelse af aalle af frihedsgrader vil således poeiel kue resulere i mere ubeige (og dermed også beige) øjagige VaR modeller basere på - fordelige Lopez og Hedricks ilgag il vurderig af VaR modeller Chrisofferses iervalforudsigelseses er ok så iformaiv, me de er sadig udryk for e geemsisberagig de er de samlede aal overskridelser og de samlede aal overgage fra f.eks. siuaio i il siuaio j, der avedes i ese. Heril ka ilføjes hvad der i høj grad er releva for såvel lovgivede isiuioer som fiasielle akører a LR BN ese ikke ager højde for, a sørrelse af VaR overskridelsere ka være forskellig. Tese regisr e- rer ku, hvorvid VaR esimae overskrides eller ej, og om overskridelsere er uafhæ gige. Lopez (1998, s. ) foreslår på følgede måde a jusere idikaorvariable, så der ages højde for sørrelse af VaR overskridelsere: L = 1 + R 0 ( ) VaR 1 hvis hvis R R VaR < VaR 1 1 Som de ses af ligige, ilføjes de kvadrerede afvigelse i forhold il VaR esimae, i ilfæ l- de af a dee overskrides. De umeriske værdi af L er derfor sørre, jo sørre overskridelse er de vil sige, a jo sørre L = 1 ( agiver observaiosperiodes lægde) er, jo mere uø j- agig er VaR modelle (Lopez, 1998, s. 7 og ). Umiddelbar ser de således ud il, a overskridelseres sørrelse em ka ikluderes i e likelihood raio es. Som Lopez selv poierer (Lopez, 1998, s. 8), er der imidlerid e væselig problem i a give idikaorvariable ove - såede form. Overskridelse af e give VaR esima ka i pricippe være uedelig sor, og dermed ka L i pricippe aage alle posiive værdier fra ul il uedelig med adre ord gælder, a L [0;+ ). De beyder, a aalle af frihedsgrader i forbidelse med LR-ese bliver uedelig sor, s = +, hvorved ese bryder samme. Idikaorvariable L ka dog

14 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 95 sadigvæk bruges il a vurdere de relaive øjagighed af é VaR model i forhold il adre VaR modeller, ide modelle med de lavese L værdi er de mes øjagige. Darryll Hedricks aveder i e arikel fra 1996 (Hedricks, 1996, s. 51-5) e ligede mål for VaR modellers øjagighed. Ha bereger de geemsilige afvigelse i forhold il VaR esimae: H = VaR 1 0 R hvis hvis R R VaR < VaR 1 1 De geemsilige afvigelse er da give ved 1 N H N = 1, hvor N agiver aalle af VaR overskridelser. Bemærk a selvom R og VaR -1 hver især måles i proce, måles H, som jo er differese mellem o proceer, i procepoi. Ligesom de er ilfælde ved Lopez mål for overskridelsesgrade, gælder de også for Hedricks mål, a mere uøjagige VaR modeller udviser e sørre geemsilig afvigelse RV Relaiv fvigelse i forhold il VaR Ispirere af Lopez og Hedricks ideer vedrørede målig af sørrelse af overskridelsere af VaR esimae giver jeg heruder mi bud på e mål, der både udrykker de geemsilige overskridelsesgrad og de geemsilige uderskridelsesgrad i de ilfælde, hvor VaR esimae er for forsigig og overvurderer de fiasielle risici. Jeg har valg a kalde måle for RV, hvilke er e forkorelse for de Relaive fvigelsesgrad i forhold il VaR esimae. RV agives i proce: RV 0 = VaR 1 R VaR 1 1 hvis R hvis R = VaR 1 < 0 og R VaR 1 De ses, a e overskridelse af VaR esimae resulerer i, a RV aager e egaiv værdi, mes e uderskridelse ( < R 0 > og R VaR 1 ) resulerer i e posiiv værdi. Hvis eksempelvis VaR -1 = -5%, og der regisreres e ab på 8% (de vil sige e overskridelse), er

15 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 96 RV 5 ( 8) = 1% = 0,6 1% = 60%, mes RV i ilfælde a f e ab på 3% (u- 5 5 ( 3) derskridelse) er give ved RV = 1% = 0,4 1% = + 40%. 5 Bemærk a RV beiges midre ed ul de vil sige, a RV ikke er defiere for posiive markedsafkas ( R > 0 ). Dee skyldes, a VaR er e esidig esima for egaive markedsafkas (ab). VaR esimaer prøver ikke a forudsige posiive markedsafkas, og derfor medages afvigelse i forhold il disse ikke. De aggregrede RV sørrelse, 1 N N = 1 RV, hvor N er aalle af ee over- eller ude r- skridelser, er således e udryk for de geemsilige grad af overskridelse eller uderskridelse af VaR esimae. I praksis bereges således o geemsi é geemsi for VaR overskridelsere (geemsie af egaive RV værdier) og é geemsi for VaR ude r- skridelsere (geemsie af posiive RV værdier). RV værdiere med heblik på overskridelsere af VaR esimaere er for hver i - deks/sekor agive i abel F.1 F.15 i bilag J. Tilsvarede er RV værdiere med heblik på uderskridelsere agive i abel G.1 G.15 i bilag J. Hedricks aalyserer i si arikel 8 forskellige valuakurser i forhold il de amerikaske dollar US$/, US$/CN$, US$/FF, US$/DM, US$/IL, US$/, US$/CHF og US$/Duch guilders. Ha kokluderer blad ade, a for de flese VaR modeller ligger de geemsilige overskridelse af VaR esimae på 30-40% (Hedricks, 1996, s. 5). I abel F.1 F.15 erfares, a Hedricks koklusioer ka gefides i daske akieideks og sekorer blo ligger de geemsilige relaive overskridelse af VaR esimae ærmere 30-55% ed 30-40%. De saisiske fordelig har e beydig i dee sammehæg, ide RV værdie er højere, år ormalfordelige avedes (35-60%), ed år -fordelige avedes (5-45%). Uase hvilke saisisk fordelig, der avedes, er de dog e fakum, a år VaR esimae overskrides, er de i høj grad sadsylig, a de sker med over 5%, hvilke vurderes a være e marka overskridelse.

16 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 97 Med hesy il de geemsilige relaive uderskridelse af VaR esimae som Darryll Hedricks jo alså ikke har berege ka de på baggrud af abel G.1 G.15 i bilag J kokluderes, a de geemsilige relaive uderskridelse af VaR esimae ligger på 70-75%. Også for uderskridelsere har de saisiske fordelig e beydig, ide RV værdie er lavere, år ormalfordelige avedes (65-70%), ed år -fordelige avedes (75-80%) alså lige modsa edese for overskridelsere. Uase hvilke saisisk fordelig, der avedes, er de imidlerid give, a år VaR esimae uderskrides, er de i høj grad sadsylig, a de sker med over 65%, hvilke vurderes a være e væselig uderskridelse. Dee vide om sørrelse af over- og uderskridelser af VaR esimae er yig i forbidelse med kosrukio af risikosyrigssysemer og eveuelle beredskabsplaer. Me hvorfor er de ieressa også a iddrage uderskridelser af VaR esimae, år dee svarer il, a der avedes e forsigig model? Som beskreve i afsi 5.3 i kapiel 5 og som æv idledigsvis i dee kapiel baseres de lovbeseme kapialkrav il solves på øja g- ighede i de fiasielle akørers ege VaR modeller. Jo mere uøjagig VaR modelle er, jo højere er kapialkrave i form af e højere muliplikaiosfakor k. Me de omvede gør sig ikke gældede muliplikaiosfakore k reduceres ikke, hvis e forsigig model avedes. Nøjagighede måles p.. ved hjælp af biomialmeode, der ka kriiseres for hverke a age højde for seriel afhægighed mellem VaR over skridelsere eller sørrelse af disse. Beregigsmeodere i forbidelse med fassæelse af kapialkravee il solves har være diskuere iesiv i de seese par år. I forlægelse af RV måle for grade af afvigelse i forhold il VaR kokluderes, a de må være rimelig, a kapialkrave ide dee forøges i ilfælde af for mage VaR overskridelser også reduceres i ilfælde af for få VaR overskr i- delser. De vil sige, a der bør gives e kapialkravsraba, såfrem e mere forsigig VaR model avedes. Som e miimum bør de lovbeseme kapialkrav il solves baseres på likelihood raio ese for beige øjagighed, eveuel supplere med RV. 6. SMMENFTNING Meodere i afsi 6.1 il målig af VaR modellers øjagighed giver mulighed for a opsille e procedure, hvormed e samle vurderig af e give VaR model ka geemføres:

17 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 98 På baggrud af e likelihood raio es for beige øjagighed, LR BN, kokluderes, hvorvid VaR modelle er - overvurdere/forsigig i forhold il de realiserede markedsafkas (LR BN er lav og isigifika) eller - udervurdere/uforsigig forhold il de realiserede markedsafkas (LR BN er høj og sigifika). På baggrud af e likelihood raio es for uafhægighed, LR UF, og ubeige øjagighed, LR UN, ideificeres årsagere il over- eller udervurderige. Edelig suppleres koklusioe vedrørede VaR modelles øjagighed med RV sørrelse, ud fra hvilke der gives e vurderig af grade af over- eller udervurderig. Foreages e samle vurderig på baggrud af disse re puker er de mi opfaelse, a vurderige af e give VaR models øjagighed sker på e mere uacere og veldokumeere grudlag, ed hvis ku biomialmeode avedes. Behove for e uacerede juserig af de gældede lo vgivig vedrørede fiasielle risici er hermed påpege. Me hvad der er mere kosrukiv der gives i ovesåede e forslag il, hvad e såda uacerede juserig kue beså i. I lyse af ovesåede procedure ka de på baggrud af de empiriske resulaer i afsi 6..1 og 6.. edvidere kokluderes, a - valge af kofidesiveau har væselig beydig for, hvilke Value a Risk model, der vurderes som de mes øjagige. Geerel er Value a Risk modeller, der aveder jæv vægede glidede geemsi a forerække på e 95% kofidesiveau, mes Value a Risk modeller, der aveder hisorisk simulaio (med lage observaiosperioder), er a forerække på e 99% kofidesiveau. Dee er i overessemmelse med økoomisk l o- gik, ide avedelse af e 95% kofidesiveau simulerer ormale markedsforhold, ide de daglige VaR esima forvees overskrede é gag hver 0. hadelsdag (ca. 1 gag om måede), mes avedelse af e 99% kofidesiveau i højere grad simulerer sjælde hædelser (é gag hver 1. hadelsdag ca. 1 gag hver ½ år).

18 SMMENLIGNING F VLUE T RISK MODELLER 99 - de har væselig beydig for VaR modellers øjagighed, hvilke saisisk fordelig der avedes. vedes ormalfordelige er der e edes il a udervurdere de fiasielle risici, mes de forholder sig omved, hvis Sudes -fordelig avedes. Årsage il a ormalfordelige i dee speciale resulerer i mere øjagige VaR modeller ed - fordelige er, a grade, hvormed de fiasielle risici overvurderes, år ormalfordelige avedes, er midre ed grade, hvormed de fiasielle risici overvurderes, år - fordelige avedes. Med adre ord er -fordelige udryk for e mere forsigig holdig il de fiasielle risici, ed ormalfordelige er udryk for e uforsigig. - Darryll Hedricks koklusioer vedrørede de geemsilige relaive overskridelse af daglige VaR esimaer for valuakurser gefides i daske akieideks og sekorer. Uase hvilke saisisk fordelig der avedes, er de e fakum, a år VaR esimae overskrides, er de i høj grad sadsylig, a de sker med over 5%, hvilke er e marka overskridelse. - de geemsilige relaive uderskridelse af daglige VaR esimaer for daske akieideks og sekorer er i sørrelsesordee 65-75%. Beregige af de geemsilige relaive uderskridelse er mi ege bud på e yderligere uacerig af målige af VaR modellers øjagighed. Uase hvilke saisisk fordelig der avedes, er de give, a år VaR esimae uderskrides, er de i høj grad sadsylig, a dee sker med over 65%. - vide om sørrelse af over- og uderskridelser af VaR esimae er yig i forbidelse med kosrukio af risikosyrigssysemer og eveuelle beredskabsplaer. - der i de flese ilfælde ikke er sigifika forskel på hverke de beigede eller ubeigede øjagighed i VaR esimaere i I-sample periode og Ou -of-sample periode. Dee koklusio semmer i øvrig overes med koklusioe fra e idligere speciale, hvor dee aspek også er bleve udersøg (Bisgaard, 0, s. 77).