TALTEORI x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Transkript

1 TALTEORI x-lassene Gammel Helleup Gymnasium Mats 09 ; Michael Szymansi ; mz@ghg.

2 Inholsfotegnelse FORORD... 3 INDLEDNING... 3 Kapitel : DIVISION (hele tal)... 4 Kapitel : RESTKLASSER (hele tal)... 7 Kapitel 3: FÆLLES DIVISORER (hele tal)... 8 Kapitel 4: SÆTNINGER OM STØRSTE FÆLLES DIVISORER (hele tal)... Kapitel 5: EUKLIDS ALGORITME... 5 Kapitel 6: PRIMTAL... 9 Kapitel 7: EUKLIDS VERSION... 3 Kapitel 8: DIOFANTISKE TREKANTER Kapitel 9: SPECIELLE SÆTNINGER Kapitel 0: EULERS -FUNKTION Kapitel : TALOPGAVER FRA GEORG MOHR-KONKURRENCERNE: Kapitel : FACITLISTE... 56

3 FORORD Talteoi e ofte meget abstat og tæne hjenen til at tæne sapt, og isse note e ie sevet me henbli på anvenelse i en fysise veen, men me uneholning fo øje. Tallene unesøges fo ees egen syl. Som filosoffen Immanuel Kant engang sev, sal man hanle, så menneset alig opfattes som miel, men som mål i sig selv. Og enne test behanle altså i enne henseene tallene, som mennese bø behanles. Til opgavene e e en facitliste bagest. Øvelsene e uen facitliste og lægge sommetie op til lassegennemgang. Kapitel inehole esta opgave af lit støe svæhesga en e fleste af apitlenes opgave. Nå u læse bevise fo sætninge, e et vigtigt, at u IKKE ønse at blive ovebevist om en sætnings igtighe. Ovevej selv hvofo! INDLEDNING En af veenshistoiens helt stoe begavelse Cal Fieich Gauss ( ) sev: Matemati e onningen af alle viensabe, og talteoi e matematiens onning. Pythagoas (ca. 580 fvt. ca. 500) og hans sole e ent fo sætningen: Alt e tal. Som uitis mennese må man natuligvis tage såanne utalelse fa så stoe autoitete fo goe vae. Talteoi hanle gunlæggene om at fostå og fine nye egensabe fo tal. Da tal e en ie uvæsentlig el af matemati, e et ie oveasene, at talteoi bee sig og ingå i ane omåe af matematien. Da tal esuen buges i alle ultue, enes sætninge og opagelse fa mange ele af veen Enelig ha tal væet ent i flee tusine å, så et an helle ie væe oveasene, at e føste talteoetise unesøgelse gå langt tilbage i tien. Omvent an et måse vie oveasene, at talteoi staig e et stot fosningsomåe inen fo matemati, og at e e asillige sætninge, e ennu ie e bevist. Voes vien om tal e sto, og vi ene til mange ting, vi ie ve. Men hvo meget, vi ie ve, et ve vi ie. I talteoi besæftige man sig ofte me e hele tal. Mange sætninge og egensabe vie og på samme måe inen fo e natulige tal, hvilet vi sal se senee. Man an også abeje me støe talmænge, men i ovesiften til hvet apitel stå hvilen talmænge, e abejes me i et pågælene apitel. Nå u sal abeje me hele tal, e et vigtigt, at u e opmæsom på, at bøstege IKKE esistee! Det samme gæle ecimale i tal. Så ommae esistee helle ie. Vi omme in på et tispunt, hvo aition, subtation og multipliation e på plas, og vi sal nu læe om 3

4 Kapitel : DIVISION (hele tal) Definition.: Et tal n siges at væe ivisibelt me tallet, hvo 0, hvis e fines et tal, så n Tilføjelse.: At n e ivisibelt me utyes også ve gå op i n, hvilet sives n. Betegnelse: n ~ ivien ~ iviso ( fato buges også, men iviso e specifit nyttet til talteoi) ~ votient Esemple: a) Tallet 4 e ivisibelt me tallet 7, foi man an fine tallet, hvo 4 7. Tallet 4 e ivien, tallet 7 e iviso og tallet e votient. b) 65 e ivisibelt me -3, foi 65 ( 5) ( 3). He e votienten altså negativ. c) -7 e ie ivisibelt me 5, a man ie an fine et tal, så 7 5. Bemæning: Alle tal fosellige fa 0 e ivisible me sig selv og (begge tal ). Defo ales og tallet selv fo tivielle ivisoe. Opgave.3: Bestem ivisoene til 4 og e mulige votiente. Opgave.4: Bestem ivisoene til - og e mulige votiente. Opgave.5: Bestem ivisoene til 3 og e mulige votiente. Opgave.6: Bestem ivisoene til og e mulige votiente. Opgave.7: Efte ovenståene unne et væe fistene at age onlusionen, at e mulige votiente også alti vil væe ivisoe i et pågælene tal. Men e et igtigt? Opgave.8: Alle tallene fa opgavene.3-.6 ha et lige antal ivisoe. Fines e et elle flee tal me et ulige antal ivisoe? Øvelse.9: Vis, at et tal e ivisibelt me 3, netop hvis ets tvæsum e ivisibel me 3. 3 Øvelse.0: Vis, at et fo alle tal n gæle, at n n e ivisibelt me 6. Efte at have efineet et at væe ivisibelt me et tal sal vi nu se nogle sætninge, e behanle enne egensab: Sætning.: a) Hvis b a, så gæle fo alle tal c, at a ( b c) a, netop hvis ( a c) ( b c) b) b. fo alle tal c 0. c) Hvis a b og b c, så gæle a c ) Hvis a b og a c, så gæle a ( b x + c y) fo alle x og y. 4

5 Bevis: a) Dette e en Hvis.., så.. -sætning. De e flee måe at bevise såan en sætning, men en iete måe e at antage hvis-elen og u fa enne antagelse vise så-elen. Så vi antage, at a b. Altså fines e et tal, så b a. Dette usagn e staig sant, hvis man gange me c på begge sie (også selvom c e 0), vs. ( c b) ( c ) a. Men ette vise netop, at a ( b c) hvo votienten så e ( c ). Det e unevejs benyttet, at fatoenes oen e ligegylig. b) Dette e en.netop hvis. -sætning. Det svae til b vise begge veje i biimpliationen. La c væe et tal foselligt fa 0. Man ha så: a a ( a c) ( b c) b b a fo et tal ( efinition.) c b c a ( a c 0) ( b c) ( a c) ( fatoenes oen e ligegylig) ( a c) ( b c) ( efinition.) Da e e benyttet biimpliationspile hele vejen, e sætningen altså bevist. c) og ) usyes til øvelse.,. Man sal altså Opgave.: Gæle sætning..a) også omvent, hvis c 0? Dvs. gæle e, at a ( b c) a b? Hvis u mene, at et gæle, sal u fine et bevis fo et. Hvis u ie mene, at et gæle, sal u fine et moesempel. Øvelse.3: Hva sal e gæle om a, b og c, fo at man sabe et moesempel på sætningen fa opgave.? Øvelse.4: Fin på bevise fo sætningene. c) og ). Det e jo un 0, e ha uenelig mange ivisoe, og man ha også bug fo at unne abeje me tal, e ie nøvenigvis e ivisoe. Så he følge en mee geneel sætning om ivision: Sætning.5: La n væe et vilåligt tal og et positivt tal. De fines så entyigt bestemte tal og, hvoom et gæle, at: n + ; 0. Esemple: ) La n 3 og 4. Da , ha man 5 og 3, hvo et sal bemæes, at e et sant usagn. ) La n 47 og. He e e entyigt bestemte tal 4og, a man ha , hvo et igen bemæes, at 0 e et sant usagn. 3) La n 60 og 5. Da 60 5 e og 0. Og atte bemæes et, at 0 0 5e et sant usagn. 5

6 Tilføjelse og ovevejelse.6: ) Me efinition. og sætning.5 e begebet ivision ommet på plas. Tallet i sætning.5 ales fo votienten ligesom i efinition.. ) Me e et anelees. He gæle, at fa sætning.5 ales iviso i n, netop hvis 0 (ovevej selv ette). 3) Sætning.5 give altså en måe at afgøe, om et tal e iviso i et anet tal (vs. om et gå op i tallet): Man se, om esten e 0. Me esemplene ovenfo ses et altså, at: 4 e ie iviso i 3, a esten e 3. e ie iviso i -47, a esten e. 5 e iviso i -60, a esten e 0. Inen sætning.5 bevises, omme føst nogle ovevejelse: Det e væsentligt at bemæe, at og sal væe entyigt bestemte, og at lemmes ine mellem 0 og. Fo elles ville sætningen ie væe så svæ at bevise. F.es. ville tallene 0 og n væe løsninge til ligningen (ovevej ette). Og e ville væe flee mulighee, som ette onete esempel vise: La n 3 og 5. Så vil følgene talpa (,) væe nogle blant ueneligt mange, e e løsninge til ligningen: (0, 3), (, 8), (3, 8), (4,3), (6,-7), (9, -), (-, 8), (-3, 38). Kontollé nogle af em. Øvelse.7: Fin flee talpa, e e løsninge til ligningen. Alle e tal, e e en el af såanne talpa, ales fo este. Mens et entyigt bestemte tal fa sætning.5 ales fo en pincipale est. Bevis fo sætning.5: La n væe et vilåligt tal og et positivt tal. Se så på en uenelige følge, -4, -3, -, -, 0,,, 3, Tallet n vil enten væe lig me et af tallene i følgen elle væe placeet mellem onseutive tal i følgen (no ie en sapeste iagttagelse, men og alligevel vigtig fo et følgene). La nu væe bestemt som et tal, hvoom et gæle, at: n ( + ) 0 n Bemæ, at enne e en velefineet måe at bestemme tallet på. Me ette an man nu fastsætte som: n Heme e: 0. Og isse tal og opfyle utyet, a + + ( n ) n. Det e altså nu vist, at en pågælene metoe e en velefineet måe at bestemme og. Men et vise jo ie, at e ie unne væe ane metoe, hvo man unne bestemme ane talpa, e også opfyle sætningens betingelse. Vi antage altså nu, at vi ha funet et passene talpa, og et sal så vises, at et må væe et tiligee funne: La altså n + ; 0. Så e n, og eme 0 n n ( + ), og ette vise, at (,) e et talpa (,), e blev bestemt ve en pågælene metoe. 6

7 Opgave.8: Fin (evt. me bug af Maple) votienten og en pincipale est i følgene tilfæle: a) n 493 og 8 b) n 858 og 37 c) n 7 og 5 ) n 555 og 5 Opgave.9: Kot fomuleing: Fin mængen A beståene af alle e tal, e give samme pincipale est ve ivision me 7 som 43 gø. Lang fomuleing: Nå man iviee 43 me 7, få man en est (e e et af tallene 0 6). De e ane tal en 43, e ivieet me 7 give esten. Fin alle isse tal opsevet som en mænge. Opgave.0: Fin mængen B beståene af alle e tal, e give samme pincipale est ve ivision me 7 som 4 gø. Opgave.: Fin mængen C beståene af alle e tal, e give en pincipale est 0 ve ivision me 7. Opgave.: Fin tal ét i mængen A og ét i mængen B hvis sum IKKE ligge i mængen C. Opgave.3: Hva e fælles fo alle e tal, man få, hvis man subtahee et element fa mængen B fa et element fa mængen A? Kapitel : RESTKLASSER (hele tal) De afsluttene opgave i foige apitel sulle gene have givet en fonemmelse fo inholet af en følgene efinition, e buges til at æe tal me en bestemt egensab sammen. Definition.: La væe et positivt tal. Så ales to tal a og b onguente moulo, hvis e give samme pincipale est ve ivision me, og man sive: a b ( mo ). Opgave.: Bestem mængen D af tal, e e onguente me 4 moulo 5. Opgave.3: Bestem mængen E af tal, e e onguente me -3 moulo 6. Opgave.4: Bestem mængen F af tal, e e onguente me 7 moulo. Opgave.5: Hva e fælles fo alle e tal, man få, hvis elemente fa D subtahees? Opgave.6: Hva e fælles fo alle e tal, man få, hvis elemente fa E subtahees? Øvelse.7: Fin et bevis fo, at følgene usagn a) og b) e ensbetyene (bemæ altså, at ette e et netop hvis -usagn): a) a og b give samme pincipale est ve ivision me. a b b) ( ) Det va Gauss, e i 80 i sit væ Disquisitiones Aithmeticae inføte betegnelsene fa efinition. (blant en masse ane ting). Man have tiligee abejet me pobleme af en slags, fo e opstå helt natuligt, nå vi opele agene i uge og månee (onguens moulo 7 og onguens moulo ), men Gauss systematiseee et og bugte et til at ulee og bevise en hel el sætninge (heiblant en inesise estlassesætning som u selv må fine, hvis u vil vie, hva en gå u på). 7

8 Nu an begebet estlasse inføes: Definition.8: La væe et givet positivt tal. Så e estlassen a : a b b a ( mo ) Bemæ sammenhængen mellem enne efinition og opgavene.-.6. Esempel.9: Fo 9 e 7...,,,7,6,5,... &5..., 3, 4,5,4,3, Bemæning.0: Ligesom man inføte en pincipale est blant uenelig mange mulige este, 0. Disse estlasse an man så egne me så begænse man sig også til estlassene efte nogle bestemte egle. Kapitel 3: FÆLLES DIVISORER (hele tal) Definition 3.: Tallet ales en fælles iviso fo a og b, hvis a og b. Esemple: ) La a og b 9: Tallet 3 gå op i båe a og b, og efo e 3 en fælles iviso fo og 9. ) La a og b 9: Tallet -4 gå op i a, men et gå ie op i b. Deme e -4 ie en fælles iviso fo a og b. 3) La a 37 og b -7. Tallet 3 gå hveen op i a elle b og e efo ie en fælles iviso fo a og b. Bemæning 3.: Alle tal botset fa 0 ha et begænset antal ivisoe, og e iviso i alle tal. Så hvis a og b ie begge e 0, e mængen af fælles ivisoe hveen tom elle inehole ueneligt mange elemente. Deme må e væe et støste tal blant isse fælles ivisoe, og et ales en støste fælles iviso fo a og b. Man sive ette tal som sf(a,b), gc(a,b) elle bae (a,b). Esempel: La a 5 og b. Divisoene til A e elementene i mængen A 5, 5, 3,,,3,5,5. Divisoene til B e elementene i mængen, 6, 4, 3,,,,,3,4,6, De fælles ivisoe e så elementene i C 3,,,3. B. Og af isse ivisoe e 3 en støste, og eme e sf(5,) 3 Følgene efinition passe natuligt in efte bemæning 3., og efo inføes en, selvom en føst sal buges senee. Definition 3.3: To tal a og b ales (inbyes) pimise, hvis sf(a,b) 8

9 Esemple: ) Fa esemplet ovenfo ha man, at sf(5,) 3, og 5 og e eme ie inbyes pimise. ) Se på a og b 0. A, 7, 3,,,3,7,. Divisoene til A e elementene i mængen Divisoene til B e elementene i mængen B 0, 5,,,,,,5,0. De fælles ivisoe e så elementene i C,. Og af isse ivisoe e en støste, og eme e sf(,0). Altså e og 0 inbyes pimise. Bemæ, at ingen af em e pimtal (se evt. efinitionen i apitel 6). Opgave 3.4: Hvile af neenståene sætninge e IKKE igtige fo a og b fosellige fa 0: a) sf(a,b) b) sf(a,b) sf(b,a) c) sf(a,0) a ) sf(a,b) sf(a,-b) e) sf(a,0) sf(b,0) f) sf ( a, b) a g) sf ( a, b) ( a b) Og så sal vi også lige have en efinition, e ie e specielt nyttet til talteoi, men som oftest fine anvenelse i ligningssysteme, vetoegning og iffeentialligninge. Den sal benyttes i et eftefølgene, og vi ha alleee stiftet beentsab me en i sætning. ). Definition 3.5: La a og b væe to givne tal. En lineaombination af isse tal e et uty af fomen x a + y b, hvo x og y e to tal, e ales lineaombinationens oefficiente. Esempel 3.6: En lineaombination af tallene -3 og 8 unne væe 4 ( 3) + ( ) 8 30 Det unne også væe 0 ( 3) Bemæning 3.7: Man an lave lineaombinatione af flee en to tal, og man an lave et af funtione elle ane uty. Gæt selv hvoan. Øvelse 3.8: Bestem sf(6,4) ; sf(,) ; sf(7,45) ; sf(70,) ; sf(-66,90) og sf(37,0). Øvelse 3.9: I Maple an u sive gc(7,45) fo at fine sf(7,45). Kontollé ine sva. Esempel: Man an lave alle mulige lineaombinatione af to tal. Me ugangspunt i tallene 6 og 4 fa øvelse 3.8 og en ommene øvelse 3.0 an man bl.a. anne følgene lineaombinatione: De e ie noget specielt ve isse lineaombinatione. Det e bae esemple som inlening til følgene øvelse: 9

10 Øvelse 3.0: Du sal nu fine en lineaombination af følgene talpa, e give et lavest mulige positive tal: a) 6 og 4 b) og c) 7 og 45 ) 70 og e) -66 og 90 f) 37 og 0 En matematipofesso fa matematis institut på KU ha engang sagt: De fines to slags matematise sætninge: De tivielle og e foete. Den følgene sætning e ie foet. Sætning 3.: La a og b væe tal, e ie begge e 0. Så fines e en lineaombination af a og b, så: sf ( a, b) a x + b y Bevis: La a og b væe tal, e ie begge e 0, og la L væe mængen beståene af e lineaombinatione af a og b, e e positive. Det e vigtigt at bemæe, at mængen L ie an væe tom, fo man an alti fine en positiv lineaombination (f.es. vil a a + 0b 0, hvis a ie e 0, og hvis a e 0, vælge man blot at multiplicee b me b). L e ie begænset opa til, men en må inehole et minste element, a en e begænset nea til (Dette e en af e egensabe, e gæle fo natulige tal, men ie fo eelle tal). La m væe ette minste element. Dvs. man ha: m x a + y b og m. Vi sammenligne sf(a,b) og m. Da sf( a, b) a og sf( a, b) b, følge et af sætning. ), at sf ( a, b) m, hvilet igen føe til, at sf ( a, b) m. Vi an nu gennemføe beviset me et iniete bevis (mostisbevis): Vi antage efo, at m IKKE gå op i a. Og la os så se, hva et føe til: Ifølge sætning.5 fines så og, så a m + ; 0 m. Bemæ altså, at antagelsen føte til, at > 0. Man ha så: a m a x a + y b x a + y. ( ) ( ) ( ) b Men hov! He stå jo en lineaombination af a og b, og a > 0, så må ligge i L. Men a vi også ha, at m, omme vi i mosti me, at m e et minste element i L. Vi an altså se, at voes antagelse om, at m ie gå op i a, ha føt til en mosti. Deme må enne antagelse væe foet, og altså må m gå op i a. Pæcis samme agumentation an gennemføes me b, så man ha altså, at m a og m b. Dvs. at m e en fælles iviso i a og b. Men a sf(a,b) e STØRSTE fælles iviso, så ve man, at m sf ( a, b). Da vi også ve, at sf ( a, b) m, an vi altså se, at sf ( a, b) m, og heme e sætningen vist. 0

11 He følge så oollae. Et oolla e en sætning, e følge lige efte en anen sætning og æve intet elle un et lille bevis. Det an følge iete af en foegåene sætnings oly evt. ombineet me en anen sætning elle en efinition elle af beviset fo en foegåene sætning. Det føste oolla følge af beviset fo sætning 3.: Koolla 3.: Det minste, positive tal, e an femomme ve en lineaombination af a og b, e sf(a,b). Dette oolla an sætte en stoppe fo et evigt fosøg på at fine mine positive tal i opgave som øvelse 3.0. Det anet oolla følge af efinition 3.3 og oolla 3. (vs. sætning 3. samt beviset fo enne sætning): Koolla 3.3: a og b e inbyes pimise, netop hvis e fines en lineaombination x a + y b Esempel: Man ha, at ( 3) 33. Heaf an man onluee, at 5 og 33 e inbyes pimise. Men ie blot et. Fatoenes oen e jo ligegylig, så man ha også, at: 0 og 33 e inbyes pimise og 0 og -3 e inbyes pimise og 5 og -3 e inbyes pimise. Øvelse 3.4: Det an væe meget fint me en sætning som sætning 3.. Men pøv engang at fine sf(776,856) uen bug af Maple og bagefte at fine en lineaombination af tallene, e give enne støste fælles iviso. Som et gene sulle femgå af ovenståene, fotælle sætning 3. un noget om, at e esistee en lineaombination, e give en støste fælles iviso. Det e en såalt Esistens-sætning. Men en an ie buges til at fine hveen støste fælles iviso elle en søgte lineaombination. De fines imileti en såan metoe, e ha væet ent i ove 000 å. Den stå i apitel 7 i sin opinelige (ovesatte) oly. Men i føste omgang gennemgås en i apitel 5. He omme føst nogle sætninge om støste fælles ivisoe: Kapitel 4: SÆTNINGER OM STØRSTE FÆLLES DIVISORER (hele tal) I matemati an man sagtens fomulee og bevise sætninge, foi man ha lyst. De behøve ie at væe et fomål me et. Desvæe e et ie tilfælet me e 4 sætninge i ette apitel. De føste buges til at vise e siste, og e siste buges ie til at vise e føste, fo en slags gå un inen fo pseuoviensabe, men til at vise sætninge i apitlene 5 og 6. Og hvem ve, måse sal e pluselig buges i ane apitle til at ee os u af en håbløs situation? Det gø jeg, og et sal e ie.

12 Sætning 4.: Alle fælles ivisoe fo a og b gå op i sf(a,b) Esemple: ) La a 30 og b 4. Divisoene i a e elementene i A 30, 5, 0, 6, 5, 3,,,,,3,5, 6,0,5,30. Divisoene i b e elementene i 4,, 4, 7, 6, 3,,,,,3,6,7,4,,4 De fælles ivisoe e så elementene i C 6, 3,,,,,3,6. B. Deme e sf(30,4) 6. Og som et bemæes, så e samtlige elemente i C ivisoe i 6, hvilet e i oveensstemmelse me sætning 4.. ) La a -3 og b 7. Divisoene i a e elementene i A 3,,,3. Divisoene i b e elementene i 7, 9, 3,,,3,9, 7 De fælles ivisoe e så elementene i C,. B. Deme e sf(-3,7). Og a - og begge e ivisoe i, så e e igen oveensstemmelse me sætning 4.. Bevis: Sætning 3. sige, at e fines en lineaombination af a og b, så Hvis f e en fælles iviso fo a og b (vs. f (, ) sf a b. sf ( a, b) x a + y b. a og b ), så følge af sætning. ), at Hvis u mene, at beviset ie e fylestgøene elle inehole fejl, så gå til øvelse 4.. Hvis u efte nøje ovevejelse og me in itise sans fule bug mene, at beviset og eme sætningen e igtigt, så gå til øvelse 4.3 Øvelse 4.: Fin to tal a og b og en fælles iviso fo isse, e IKKE gå op i sf(a,b). Øvelse 4.3: Fin samtlige fælles ivisoe fo 4 og 8 og se, at e gå op i en støste af em. Opgave 4.4: Fin tal, hvo samtlige fælles ivisoe e følgene 4 tal,, 3, 4, 6, 9,. Opgave 4.5: Fin e minste, fosellige, positive tal, hvo samtlige fælles ivisoe e følgene 8 tal,, 5, 0 Sætning 4.6: Fo ethvet positivt tal c gæle sf ( c a, c b) c sf ( a, b) f f Esempel: La a 0, b 0 og c 7. Du an evt. buge Maple til at vise: c a 40 c b 770 sf ( a, b) sf ( 0,0) 0 sf ( c a, c b) sf ( 40,770) 70 Og ve insættelse ses ette at væe i oveensstemmelse me sætning 4.6, a man ha et sane usagn:

13 He følge to et fosellige bevise fo sætning 4.6. Bevis : I ette bevis benyttes en femgangsmåe, e elvist blev benyttet i siste el af beviset fo sætning 3.. Sætningen vises nemlig ve, at e føst gøes ee fo, at højesien e iviso i venstesien, og eefte at venstesien e iviso i højesien: Man ha, at sf ( a, b) a og sf ( a, b) b. Og a c e positivt, ha man altså ifølge sætning. b), at c sf ( a, b) c a og c sf ( a, b) c b. Dette vise, at c sf ( a, b) e iviso i båe c a og c b, vs. et e en fælles iviso fo c a og c b c sf ( a, b) sf ( c a, c b). Det e oplagt, at fælles iviso fo gæle ifølge efinition., at Da. Og ifølge sætning 4. gæle altså, at c c a og c c b (votientene e henholsvis a og b). Men heme e c en c a og c b. Ifølge sætning 4. ha man altså, at c sf ( c a, c b) sf ( c a, c b) c. c altså e en støste fælles iviso fo c a og b. Deme c, så gæle specielt, at c c a og c c b. Men så an sætning. b) jo buges igen! Da c ie e nul, gæle altså: a og b. Dvs. e fælles iviso fo a og b, og eme sf ( a, b) (sætning 4.). Og he omme sætning. b) in igen. Den give, at c c sf ( a, b). Og nu ene vi jo alleee c fa tiligee, så vi ha: sf ( c a, c b) c sf ( a, b). Og sammenholes e unestegee onlusione, e sætningen vist. Bevis : Dette bevis e bygget op oming oolla 3.: Ifølge sætning 3. fines e tal x og y, så sf( c a, c b) c a x + c b y c ( a x + b y) Da sf( ca, c b) 0og c 0, e også lineaombinationen a x + b y 0. Men vi ve fa oolla 3., at a x b y sf( a, b) Hvis man i steet tage ugangspunt i c sf ( a, b) +, og eme sf( ca, cb) c sf ( a, b), sige sætning 3., at e fines tal xog y (fatis e et e samme tal som x og y, men et an man føst vie, nå beviset e gennemføt), sålees at c sf ( a, b) c ( a x + b y ) ( c a) x + ( c b) y. Da sf( a, b) 0og c 0, e også lineaombinationen ( ) ( ) Så ve vi fa oolla 3., at ( c a) x + ( c b) y sf ( c a c b). Deme e sf( c a, c b) c sf ( a, b), c a x + c b y. 0 Sammenlignes e to unestegee usagn, ha man sf ( c a, c b) c sf ( a, b) Øvelse 4.7: E et nøvenigt, at tallet c e positivt? Kan et ie bae væe foselligt fa 0? Øvelse 4.8: Hvo i bevis benyttes implicit, at c e positivt? Esempel: Sætning 4.6 give en metoe til at fine støste fælles ivisoe (som nævnt følge ennu en i apitel 5). Så la os pøve at fine støste fælles iviso fo 660 og 780: sf (660,780) sf (330,390) sf (65,95) 3 sf (55,65) 35 sf (,3) Denne metoe an selvfølgelig un buges, nå et e nemt at fine tal, e gå op i båe a og b. 3

14 Øvelse 4.9: Fin uen bug af Maple en støste fælles iviso fo følgene talpa og ontollé eefte me Maples gc : a) 84 og 36 b) 408 og 600 c) 50 og 55 ) 756 og 97 Sætning 4.0: c a b sf ( c, b) c a I o sige sætningen altså, at hvis c e iviso i et pout af fatoe og inbyes pimis me en ene fato, så e en iviso i en anen fato. Esempel: La a 33, b 5 og c. Så ha man a b Og nu se man så på olyen af sætning 4.0: Man an se, at c a b, og esuen e sf(,5), så betingelsene e opfylt. Deme sal e gæle, at c a, og et passe. Men nu vise et esempel jo ie, om en sætning e igtig, så he omme et pa bevise: Bevis : La Bevis : La c a b sf ( c, b). Sætning 4.6 give a sf ( c, b) a sf ( a c, a b) a (ovevej numeistegnet!). Heme e en ene fousætning benyttet. Man ha, at c a c, og ifølge fousætningen gæle også c a b. Dvs. at c e fælles iviso fo a c og a b, og eme gæle altså ifølge sætning 4., at c e iviso i sf ( a c, a b). Men heme må c altså også væe iviso i a, a et evt. fotegn ie æne ve ivisoene. c a b sf ( c, b). Da b og c e inbyes pimise, følge af oolla 3.3, at e fines tal x og y, så: c x + b y og eme a c x + a b y a Da ab e ivisibelt me c (ifølge antagelsen), fines et tal, sålees at a b c Deme ha man: ac x + c y c( a x + y) a Men støelsen ine i paentesen e et tal, så ifølge efinition. gæle altså c a. Øvelse 4.: Du få oplyst, at 7 e iviso i Benyt sætning 4.0 til at vise, at 7 også e iviso i Og he følge så til sist en sætning, e sal buges i næste apitel. Sætning 4.: La væe en pincipale est ve ivision af b me a. Så e sf ( a, b) sf ( a, ) 4

15 Esempel: La a 6435 og b Da , e en pincipale est altså Og man an evt. ve bug af Maple vise, at e gæle: Sf(6435,57460) 65 og sf(6435,5980) 65. Esempel: La a og b Da , e en pincipale est altså I ette tilfæle e b, og så e sætningens onlusion oplagt. Øvelse 4.3: Afpøv, om sætning 4. hole i situationene: a) b 7 og a 30 b) b 9 og a 5 c) b 8479 og a 573 ) b 8446 og a 8 e) b 00 og a 50 Bevis fo sætning 4.: La og væe e entyigt bestemte tal ifølge sætning.5. Så e: b a + ; 0 a Da sf(a,) e iviso i båe a og, følge af sætning..), at sf(a,) e iviso i b. Og a sf(a,) efo e fælles iviso fo a og b, så følge af sætning 4., at sf ( a, ) sf ( a, b). Se nu på sf(a,b): Man an omsive utyet b a + til b a, og a sf(a,b) e iviso i båe a og b, følge af sætning..), at sf(a,b) e iviso i. Og a sf(a,b) efo e fælles iviso fo a og, følge af sætning 4., at sf ( a, b) sf ( a, ). Ve at betagte e unestegee uty ses et, at sætningen e vist. Opgave 4.4: De e noget ovefløigt i sætningens fomuleing, e også give sig uty i, at e e en betingelse i beviset, e fatis ie buges til noget. Hva e et? Kapitel 5: EUKLIDS ALGORITME (natulige tal) Bemæ!!! Algoitme: En algoitme e en fosift fo en følge af beegningstin, e an buges på nogle onete ata til at omme fem til et ønset esultat. Dvs. man besive en æe meanise tin, e sal foetages ofte igen og igen intil et bestemt esultat femomme. En compute e go til såanne beegninge, e ie æve, at man sal tæne, og efo benyttes algoitme meget inen fo atalogi. Eulis algoitme an benyttes til at fine en støste fælles iviso fo tal (a og b), og en an esuen onstuee en lineaombination, e e lig me en støste fælles iviso. De ses i føste omgang un på en el af algoitmen, e give en støste fælles iviso. Hvoan man fine lineaombinatione, besives senee. 5

16 EUKLIDS ALGORITME Placé b som ivien n og a som et tal, e sal iviees me. Foetag ivisionen mellem n og : Hvis >0 Hvis 0 La væe ny ivien og nyt tal, e sal iviees me: e sf(a,b) n Bemæning 5.: At ette vielig føe til en støste fælles iviso fo a og b ses på følgene måe. Nå 0, ha man, at n og eme sf (, n). Hvis ivisionen gi op i føste sit, e et a og b, e svae til og n. Men elles e et og fa et tiligee sit (hus, at n og ). Men ifølge sætning 4. e sf (, n) sf (, ), vs. man vil i alle sit have, at en støste fælles iviso fo ivienen og tallet, e iviees me, e en samme som fo tallet, e iviees me, og esten. Og i siste ene e et altså støste fælles iviso fo a og b. Esempel 5.: Man sal fine støste fælles iviso fo 805 og 688. Føst sættes 688 som ivien og 805 som tallet, e iviees me (a 688 > 805). Så foetages ivisionen, e give: Da 578 > 0, sætte man nu 805 som ny ivien og 578 som nyt tal, e sal iviees me, og en ny ivision uføes: Da 493 > 0, sættes 578 som ny ivien og 493 som nyt tal, e sal iviees me: Da 85 > 0, sal man foetage samme sit igen: Da 68 > 0, fotsættes: Da 7 > 0, fotsættes: He e esten 0, og a 7 e en sist anvente iviso, ha man sf ( 805,688) 7 Fatis e et ie vigtigt, om man placee a elle b som ivien elle som tal, e sal iviees me. Hvis et støste tal havne som tal, e sal iviees me, vil algoitmen blot sulle øe ét sit mee som følgene esempel vise: 6

17 Esempel 5.3: Man sal fine støste fælles iviso fo 030 og Dvs. at e sf(030,754) Øvelse 5.4: Benyt Eulis algoitme til uen Maples gc - at fine støste fælles iviso fo følgene talpa og ontollé eefte esultate me Maple: a) 4 og 30 b) 9 og 7 c) 8479 og 573 ) 8 og 8446 e) og f) 9878 og 9873 g) 073 og 553 Me bogstave omme opsivningen til at se sålees u: b a + Hvo altså m sf ( a, b). a m m m 3 m+ + m 3 m 4 + m Hvis bemæning 5. va svæ at ovesue, blive et måse nemmee ve at se på ovenståene følge. Igen sal e agumentees fo, at algoitmen føe fem til sf(a,b). Ve gentagen bug af sætning 4. på ovenståene begynene fa toppen få man: sf a, b) sf ( a, ) sf (, ) sf (, ) sf (, )... sf (, ) sf (,0) ( m m m m 7

18 8 Nu sal vi så se på, hvoan man fine lineaombinationen, e give sf(a,b). Fo ovesueligheens syl ses på en mine følge, hvo man esuen isolee estene: a a a b a b Man begyne så neefa i følgen til høje og få ve gentagne insættelse af en ovenståene linjes højesie (unevejs inføes nogle nye onstante q fo at gøe opsivningen simplee): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b q a q b q a q q a b q a q q a q q a q a q q b a sf ), ( Og vupti! He e så en søgte lineaombination. Som et ses, an man uvie metoen til æe af vilålig længe. He omme et onet esempel, hvo man benytte uegningen fa esempel 5.: Esempel 5.5: Føst ses på æen fa esempel 5., hvo estene e isoleet: Og som u måse eine, e sf(688,805) 7. Man få så følgene uegning, e følge ovennævnte metoe: ( ) ( ) ( ) ( ) Så he e en ønsee lineaombination. Kontollé selv, at et passe. Opgave 5.6: Benyt Eulis algoitme til at fine støste fælles iviso og benyt eefte metoen fa Esempel 5.5 til at fine lineaombinationen i følgene tilfæle: a) 05 og 54 b) 307 og 85 c) Tallene fa Esempel 5.3

19 Kapitel 6: PRIMTAL (natulige tal botset fa 6.8 ene) Føst sal et lige efinees, hva et pimtal e (hus, at vi nu abeje me natulige tal): Definition 6.: Et pimtal e et tal p >, e un ha tivielle ivisoe. Opgave 6.: Man unne også fine ane fomuleinge af efinitionen. Hvilen elle hvile af neenståene e og IKKE igtige: a) Et pimtal e et tal me netop ivisoe. b) Et pimtal e et tal, e un ha tivielle ivisoe. c) Et pimtal e et tal, hvo un og tallet selv e ivisoe. ) Et pimtal e et tal støe en, e ie an sives som pout af tal uen at e en ene fato. Opgave 6..a: Fin et minste pimtal p, e ha en egensab, at p e et helt tal. Definition 6.3: Et tal s >, e ie e et pimtal, ales et sammensat tal. Vi sal nu se på en måe at fine pimtallene op til et givet tal. Metoen ales Eatosthenes si, og et e en algoitme. Den gå u på følgene: Eatosthenes si 6.4: ERATOSTHENES SI Opsiv alle tallene fa op til et givne tal på en æe. Sæt steg une føste tal i æen, e ie alleee e steg une, og slet alle e tal, som et pågælene tal e iviso til (e blive siet fa) Hvis e e tal tilbage i æen uen steg une. Gå tilbage og ufø samme poceue vs. yst sien igen. Hvis e ie e tal tilbage i æen uen steg une. Tallene me steg une e e søgte pimtal Esempel: Pimtallene une 30 sal fines: Dvs. at pimtallene op til 30 e:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3 og 9 9

20 Øvelse 6.5: Bestem antallet af pimtal une 5 og tje, at e e 5. Som u måse unne få en fonemmelse af, så e ette oplagt et abeje fo en compute, elle en Weeenøvelse 6.5.a: Fin alle pimtallene op til 0000, og tje, at e e 9 e selv e et pimtal! Vi e nu nået til en af e helt stoe sætninge inen fo talteoi: Aitmetiens Funamentalsætning. Aitmeti betye på gæs egneunst, så aitmetien an betagtes som en el af talteoien. En funamentalsætning e en yest vigtig sætning, e buges meget inen fo stot set hele et pågælene omåe (i ette tilfæle aitmetien). Men inen vi vise en, sal vi føst vise et såalt Lemma, e e en hjælpesætning, e oftest inføes lige inen beviset fo en støe sætning (i ette tilfæle Aitmetiens Funamentalsætning), og som buges i beviset fo enne. Det smate ve lemmae e, at e gø bevisene fo e støe sætninge mee ovesuelige, og esuen fungee et lemma som en alminelig sætning (a et bevises), så man an henvise til et senee. Lemma 6.6: Fo ethvet pimtal p gæle: p a b p a p b. Esemple: ) La p væe pimtallet 7, og la a 3 og b 39. Da 7 hveen e iviso i 3 elle 39, an 7 helle ie væe iviso i , fo HVIS 7 va iviso i 897, så ville en ifølge sætningen væe iviso i 3 elle 39. ) Ve en tilfælighe ha man funet u af, at et om pimtallet 93 gæle, at , og man ve natuligvis, at Fa sin weeenøvelse 6.5.a huse man, at 9 e et pimtal, så 93 an ie gå op i 9. Man an efo ve hjælp af lemma 6.6 onluee, at , hvilet alti e at at vie. Lemma 6.6 an bevises ve at buge oolla 3.3 og antage, at p ie e iviso i enten a elle b (følge som en øvelse), men et an gøes ennu nemmee ve at buge sætning 4.0. Så inen u læse beviset neenfo, så tag et ig tilbage og tæn ove inholet af enne sætning. Bevis: La p væe et pimtal, og la p a b. Hvis p a, passe sætningen. Så nu antage vi, at p IKKE e iviso i a. Da p e et pimtal, ha et un ivisoene og p, så man ha sf(a,p), og så sige sætning 4.0, at p b. Tæn lit ove et og opag, at beviset e føt. Øvelse 6.7: Ovevej, om enne sætning an uvies til at gæle fo flee tal, vs. Øvelse 6.8: Fomulé en pågælene sætning og fin et bevis fo en. p a b c. Spøgsmål 6.9: Kan u føe et bevis fo, at sætningen også gæle fo Hvis ja, så gå til øvelse 6.0. Hvis nej, så gå til øvelse p a... a a3 an? Øvelse 6.0: Fomulé sætningen og gennemfø beviset. Du vil no esplicit elle implicit omme til at buge et såalte inutionsasiom. Øvelse 6.: Fin et bevis fo lemma 6.6, hvo u buge oolla 3.3.

21 Aitmetiens Funamentalsætning 6.: Ethvet tal n > e enten et pimtal elle an sives 3 s entyigt som et pout af pimtal n p p p3... p s gæle, at pi e et pimtal, og i j pi p j., hvo et fo allei, j,,3,..., s Det e væsentligt at bemæe, at sætningen bestå af en esistens-el (oet an ) og en entyighes-el. Inen selve beviset sal vi se lit på isse to ele i helt onete tilfæle. At fine 3 s en opsivning n p p p3... p s ales også at opløse tallet i pimfatoe. Øvelse 6.3: Esistens. Opløs følgene tal i pimfatoe: 6, 65, 4, 0, og Øvelse 6.4: Entyighe. Hvile opløsninge om lassens eleve fem til? Øvelse 6.5: Maple an fine såanne fatoiseinge. Det foegå ve at sive ifacto(***). Pøv ette på tallene fa øvelse 6.3. Ovenståene øvelse sulle gene have givet ig en ié om inholet af enne funamentale sætning. Og nu omme så beviset: Bevis fo 6.: Føst ses på esistensen. La n væe et tal støe en. Hvis n e et pimtal, e e ie noget at vise, fo så sige sætningen ie noget. Så la n væe et sammensat tal. Det an efo sives som et pout n aaaf tal støe en. Tallene a og a an nu hve isæ væe et pimtal elle et sammensat tal. Hvis et e et pimtal, gø man ie mee ve et, men hvis et e sammensat, sives et som et pout af to tal støe en. Antag f.es., at a e et sammensat tal og a et pimtal. Så få man nu n a a a. Samme poceue anvenes nu på a og a. Hvis tallet e et pimtal øes et ie, men hvis et e sammensat sives et som pout af to tal støe en. Hvis f.es. båe a og a e sammensatte tal, få man n a a a a a. Og såan fotsættes, så længe e e minst ét sammensat tal blant fatoene. Og he omme så pointen: Denne opløsning må nøvenigvis stoppe på et tispunt, a e sammensatte tals fatoe e mine en tallet selv, så tallet n an i hvet fal ie opløses mee en n gange ve enne poces (fatis langt mine - antallet af fatoiseinge an ie ovestige ln( n) - men et væsentlige e at have en øve gænse). ln() Til sist ha man altså fået opsevet n som et pout af pimtal, f.es. n a a a a a a a a a a Alle isse pimtal omøbes nu og ones (fatoenes oen e ligegylig), så e minste pimtal stå til venste. Nogle af isse pimtal an got væe ens, f.es. unne a a, og i 3 s så fal sives e som potense. På en måe femomme n p p p3... p s

22 Nu gæle et så entyigheen af enne opløsning: 3 s 3 t La n p p p3... p s væe en funet opløsning. La n q q q3... q t væe en anen funet opløsning. Det ønses nu vist, at isse to opløsninge nøvenigvis må væe ens. 3 3 Man ha:... s t p p p p q q q... q. 3 s 3 Vi se nu på et minste pimtal, e optæe i enne ligning. Det e enten p elle q (vi vise lige om lit, at p q, så fatis e et båe-og, og man an fit vælge et af em). Antag, at et e p. Det e iviso i venstesien, og et må efo også væe iviso i højesien. Men så må p ifølge Lemma 6.6 (på fomen fa Spøgsmål 6.9) også væe iviso i en af fatoene q i på højesien. Men q i e jo et pimtal, så et ha un tivielle ivisoe. Så eme må p q i, og altså qi q, a ingen af q ene va mine en p. Hvis man have taget ugangspunt i q, va man også ommet fem til p q me samme agumente. Denne fato an altså footes væ fa begge sie, og man uføe samme poceue på en nye ligning. Heme vise et sig, at, fo hvis et af pimtallene p og q blev footet helt væ fø et anet, ville man få en mosti. Såan fotsættes, og man få eftehånen footet alle e fatoe, e femomme på begge sie, væ fa ligningen, sålees at e ie e flee pimtal tilbage på en ene sie, vs. un tallet stå tilbage. Men så må et samme gæle på en anen sie af lighestegnet, fo elles ville usagnet ie væe sant, og man ha eme vist, at e to opløsninge e ientise. t Esempel 6.6: Sætning 6. an buges til at bestemme ivisoene, hvis man an fine pimfatoopløsningen. Hvis man f.es. ene pimfatoopløsningen , an man ve alle e mulige ombinatione af e 3 pimfatoe fine ivisoene, e altså e (hus, at vi nu ha begænset os til natulige tal):

23 Esempel 6.7: Et anet esempel e , e ha ivisoene: Benyt i e følgene te opgave Maple til at opløse tallet i pimfatoe og bestem eefte : Opgave 6.8: ivisoene i Opgave 6.9: ivisoene i Opgave 6.0: ivisoene i 479. Opgave 6.: Et tal n an opløses i pimfatoene n p p, hvo pimtallene e fosellige. Hvo mange ivisoe ha tallet? Opgave 6.: Et tal n an opløses i pimfatoene n p p p3, hvo pimtallene e fosellige. Hvo mange ivisoe ha tallet? Opgave 6.3: Et tal n an opløses i pimfatoene n p p, hvo pimtallene e fosellige. Hvo mange ivisoe ha tallet? Opgave 6.4: Et tal n an opløses i pimfatoene n p p p3, hvo pimtallene e fosellige. Hvo mange ivisoe ha tallet? Opgave 6.5: Et tal n an opløses i pimfatoene Opgave 6.6: Et tal n an opløses i pimfatoene n n 4 p 7 p. Hvo mange ivisoe ha tallet?. Hvo mange ivisoe ha tallet? Opgave 6.7 (fa Geog Moh 006): Et natuligt tal n, som højst e 500, ha en egensab, at nå man vælge et tal m tilfæligt blant tallene,, 3,, 499, 500, så e sansynligheen fo at m gå op i n. Bestem en støst mulige væi af n. 00 3

24 Som u no huse fa ovesiften til apitlet, gå vi nu fo en ot stun væ fa begænsningen til natulige tal og se på nogle sætninge (i aglig tale omtalt som 6.8 ene), hvoaf en føste egentligt i sin oly e ovefløig, a en - som u snat vil se - e et simpelt oolla til sætning 6.8.b. Men et e et heligt bevis, så alene af en gun omme en he: Sætning 6.8: e et iationelt tal. Bevis: Sætningen bevises ve et iniete bevis (mostisbevis). Antag, at e ationelt, vs. at et an sives som en ufootelig bø: n. m m an ie væe, a man så ha n, vs. så sulle et væe et natuligt tal, hvilet vi ve, at et ie e. n an helle ie væe, fo så give bøen et tal mine en, og vi ve, at e et tal støe en. Dvs. at n og m begge e støe en. n og m an ifølge Aitmetiens Funamentalsætning begge sives som et pout af pimfatoe, og a bøen e ufootelig, ha e ingen fælles fatoe. Dvs: s p p... ps q q... q p p... p q q... q p p... p t q q... q t t s t s t s t s Men så må et af pimtallene på højesien hvis e e onet, e et p væe tallet, fo et gå jo op i venstesien og må efo også gå op i et af pimtallene på højesien (jævnfø beviset fo AF elle lemma 6.6). Vi an efo foote me tallet på begge sie, og a p, få man altså... t s q q q p p... p. t Men nu an vi altså se, at et af pimtallene på venstesien må væe (hvis e e onet, e et q), fo e jo iviso i højesien. Dette e i mosti me, at n og m ie ha fælles fatoe, fo e ha jo begge fatoen. Voes antagelse om at et onluees, at e et iationelt tal. s e ationelt, må altså væe foet. Deme an Det gi jo meget nemt. Sal vi så ie fotsætte me at bevise, at også e et iationelt tal? Nej, et e langt fa så let. Det blev føst vist i 76 af Johann Heineich Lambet, a han abejee me tangensfuntionen. Man have egnet me, at va iationelt, men beviset have laet vente på sig. Samme å ugav Lambet esuen et væ om stjene og galase. Så han have gang i lit fosellige ting. Men la os vene tilbage til vaatøene. E e noget specielt i, at e iationelt, elle gæle et fo ane vaatøe? Det e jo ie svæt at fine vaatøe, e e natulige tal. He tage man bae alle vaattallene som aiane. Men fines e natulige tal, hvis vaatøe e ationelle, men ie natulige, tal? Øvelse 6.8.a: Pøv at fine et elle flee natulige tal, hvis vaatøe e ationelle men ie natulige tal, og nå u e ommet fem til, at et ie an lae sig gøe, an u gå viee til sætning 6.8.b. og blive beæftet i in fomoning. Sætning 6.8.b: Hvis n e et natuligt tal, e n enten et natuligt tal elle et iationelt tal. 4

25 Bevis: Sætningen bevises ennu en gang me et mostisbevis, og et mine om beviset fo 6.8. La os antage, at n e et natuligt tal, og n e et ationelt men ie et natuligt tal. a De fines så inbyes pimise (hele) tal a og b, hvo b, og hvo n. b Tælle og nævne an opløses i pimtal ifølge Aitmetiens Funamentalsætning, så man ha: s p p... ps n nq q... q p p... p t q q... q t t s t s hvo e e minst ét q, men hvo man evt. ha a, vs. fomelt s 0 i tælleen, a e så ie e nogen pimtal i tælleen. Og a a og b e inbyes pimise, e e ingen fælles pimtal i tælle og nævne. Men he e e så en mosti, fo e to sie i ligningen e jo samme tal, men venstesiens opløsning i pimfatoe inehole minst ét pimtal q, og ette pimtal ingå ifølge antagelsen om inbyes pimise tal IKKE på højesien. Men a pimfatoopløsningen e entyig ifølge Aitmetiens Funamentalsætning, så an høje- og venstesien ie væe ens. Voes antagelse om, at n e et ationelt tal, føe altså til en mosti, så sætningen e bevist. Og så tilbage til pimtallene! Du sal væe opmæsom på, at Maple ha en test af pimtal ispime", e fotælle, om et tal e et pimtal. F.es. vil "ispime(7)" give svaet "tue". Hvis man se på pimtallene onet efte støelse og stillet op på en æe, an man snat opage, at tætheen af em som helhe hutigt blive mine og mine. Det vie no ie så mæeligt, a et stot tal alt anet lige må have flee mulighee fo at have ie-tivielle ivisoe. Men pøve man at tælle viee, vil man opage, at antallet af pimtal inen fo et vist inteval afgjot ie an besives på en simpel måe. Se på neenståene tabel, e angive antallet af pimtal i 0 intevalle på 000 tal: Tallene Antal pimtal Føst ses et lat fal, men eefte blive et mee yptis. Så la os i steet se på noget, man ha mee sty på: Sætning 6.9: De e uenelig mange pimtal. Det e vist mest almineligt at bevise ette me et iniete bevis hvilet an have histoise åsage, som vi sal se i næste apitel - og et følge som Bevis A. De e og en vigtig pointe i et anet iete bevis, så et følge som Bevis B : Bevis A fo sætning 6.9: Det antages, at e IKKE e uenelig mange pimtal. Samtlige pimtal an efo sives som en enelig følge p, p, p3,,pn. Se nu på tallet: P p p p... p. Dette tal e enten et pimtal elle an opløses i pimfatoe ifølge 3 n + Aitmetiens Funamentalsætning. Men et siste an ie væe muligt, fo ingen af pimtallene p, p, p3,,pn an væe iviso i P, a e e ivisoe i p p p3... pn, men ie i. Deme må P væe et pimtal. Men et e i mosti me, at p, p, p3,..., p n ugjoe samtlige pimtal. Voes antagelse om eneligt mange pimtal må efo væe foet., 5

26 Øvelse 6.30: I beviset benyttes P p p p... p til at sabe et nyt pimtal. Kan man alti 3 n + sabe et nyt pimtal på enne måe u fa elle flee pimtal? Hvis ja, gå til øvelse 6.3. Hvis nej, gå til Opgave 6.3. Øvelse 6.3: Pøv at buge metoen på e 6 laveste pimtal. Gå eefte til Opgave 6.3. Opgave 6.3: Hvoan an et gå galt, nå et gi got i beviset? E e noget, vi ha oveset i beviset, elle hvo e fejlen? Opgave 6.33: Bestem et minste pimtal sabt på enne måe, e IKKE e et pimtal. Men vi sal nu se, hvoan man fatis KAN sabe et nyt pimtal. Bevis B fo sætning 6.9: La e væe givet n fosellige pimtal p, p, p3,..., p n. Nu onstuees ennu et pimtal på en sneig måe. Se som fø på tallet p p... p. n + La nu P væe en minste pimfato i ette tal. En såan fines nøvenigvis, fo enten e tallet et pimtal og e efo selv en minste pimfato, elle også an tallet ifølge Aitmetiens Funamentalsætning opløses i pimfatoe, hvoaf én e en minste. At enne pimfato e fosellig fa alle pimtallene p, p,..., pn følge af, at e alle e ivisoe i p p... p n, men ie i. P e altså et nyt pimtal, og me samme metoe hvo P inluees blant pimtallene an man altså blive ve me at onstuee nye pimtal, vs. e må væe uenelig mange pimtal. Opgave 6.34: E et nøvenigt, at man netop vælge en minste pimfato? Esempel 6.34.a: Efte i opgave 6.34 at have ovebevist sig selv om, at man unne vælge en hvilen som helst af pimfatoene, an man natuligvis lige så got tage sitet fult u og sige, at man benytte samtlige fosellige pimfatoe som nye pimtal. Så blive femstillingen af pimtal jo mee effetiv. Så la os se på, hvoan metoen fa bevis B fungee i pasis. Hetil ha vi bug fo et elle flee pimtal som ugangspunt. La os begyne helt fa bunen, så vi nøjes me ét. Og nu ha vi jo bug fo et vilåligt pimtal, så jeg tage min tyvesiee tening og slå, intil jeg få et pimtal..et blev 3. Så nu begyne femstillingen: Vi sal tage poutet af alle voes pimtal (he blot 3) og lægge til: e et sammensat tal, e an pimfatoopløses: 4 7 Dvs. og 7 e e nye pimtal, og heme ha man pimtallene 3, og 7. Så tage vi igen poutet og lægge til: Dette e et sammensat tal me pimfatoopløsningen: Dvs. at listen me pimtal nu e 3,, 7, 3 og 6. Pocessen øe igen: Ny pimtalsliste:, 3, 7, 3, 9, 6 og

27 Ny pimtalsliste:, 3, 7, 3, 9, 6, 97, 753 og Og he e så et tilfæle, hvo et femomne tal fatis ER et pimtal, som i ette tilfæle ugø et esta pimtal, så listen nu lye:, 3, 7, 3, 9, 6, 97, 753, og Og såan fotsætte man. Bemæ at e femomne pimfatoe alti e nye pimtal, hvilen jo også femgi af beviset. Du sulle gene have bemæet, at esempel 6.34.a angive en algoitme til at femstille flee og flee pimtal. Den unne lye: ALGORITME TIL FREMSTILLING AF PRIMTAL Vælg ét elle flee fosellige pimtal og stil em op på æe. La tallet n væe summen af og poutet af alle pimtallene på æen. Opløs n i ets pimfatoe. (Hvis n e et pimtal, e et selv en pimfato ) Tilføj pimfatoene til æen af pimtal. Esempel 6.34.b: Nu buge jeg algoitmen me pimtallet som ugangspunt. Jeg sive un e femomne liste op, så u an selv pøve algoitmen, hvis u vil ontollee et:, 3, 3, 7, 3, 7, 43, 3, 7, 3, 43, 39, 3, 7, 3, 43, 39, , 3, 7, 3, 43, 39, 547, 607, 033, 305, , 3, 7, 3, 43, 39, 547, 607, 033, 988, 305, 67003, , 995,

28 Esempel 6.34.c: Me tallet 5 som ugangspunt fås: 5, 3, 5, 3, 5, 3, 3, 5, 7, 9, 3, 3, 5, 7, 9, 3, 37, 3343, 3, 5, 7, 9, 3, 37, 79, 3343, , 3, 5, 7, 9, 3, 37, 79, 3343, 449, 65060, , Esempel 6.34.: Me pimtallene 3, 7 og som ugangspunt fås: 3, 7,, 3, 7,, 9, 3, 7,, 9, 3399, 3, 7,, 9, 3399, , 3, 7,, 9, 307, 673,3399, 8493, , Esempel 6.34.e: Me pimtallene, 3, 5, 7,, 3 og 7 som ugangspunt fås:, 3, 5, 7,, 3, 7, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 97, 77, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 67, 97, 09, 77, , 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 67, 97, 09, 5, 77, , , Opgave 6.34.f: Benyt algoitmen me 3 som ugangspunt. Hva e et støste pimtal, u ha fået sabt, nå u i alt ha 5 pimtal? Opgave 6.34.g: Benyt algoitmen me som ugangspunt. Hva e et støste pimtal blant e føste 6 pimtal, u ha sabt? Hvis u fi lavet opgave 6.34.g, ha u fået fobeet ine fousætninge fo at unne gennemføe øvelsene Bemæ manglen på system i ovenståene æe af pimtal. Elle måse an u se et system i tallene? Hvis u an, e e temmelig mange univesitete, e gene vil høe fa ig. Esemplene og opgavene i 6.34-seien lægge op til en el spøgsmål: Fines e et ugangspunt af ét elle flee pimtal, e føe til pimtallet 995? He ene vi og svaet, a vi i esempel 6.34.b så, at ugangspuntet føe til ette tal. Men hva me pimtallet 9843? Elle geneelt: Vil alle pimtal unne femstilles på enne måe? Tallet og tallet 3 som ugangspunt fo algoitmen føe til e samme pimtal. E e flee tal, e efte et vist antal sit omme in på samme spo og eefte føe til samme pimtal? Og e e ueneligt mange? Nu e e ie mee plas på sien, så fin selv på flee spøgsmål. De foegå en løbene jagt på støe og støe pimtal. Computees egneaft ha gjot ette abeje muligt. Det støst ente pimtal va i 999 tallet , e e et tal me cife. I 008 va man nået op på 43609, e ha cife. Fem å senee blev et ovegået me , e ha cife. I 06 lyees et så at fine 74078, e ha cife. I begynelsen af 990 ene va et 609, et tal e ie længee e blant e 00 støste, ente pimtal. 8

29 De 0 støste, ente pimtal e alle såalte Mesenne-pimtal (se apitel 9). Men nu mele et vigtige spøgsmål sig så: Øvelse 6.35: Nå man an snae om et støste, ente pimtal, an e så fines en metoe til at onstuee nye pimtal? Hvis ja, så gå til øvelse Hvis nej, gå til øvelse Øvelse 6.36: Men hvis e fines en såan metoe, hvofo buge man en så ie til at onstuee et pimtal, e e støe en et støst ente? Hvis et syles, at metoen blot give et nyt pimtal, men ie nøvenigvis et stot pimtal, så gå til øvelse Hvis u nu ha ænet mening og an se, at e ie an væe en metoe, så gå til øvelse Hvis u mene, at u ha en ie omtalt folaing, så gå til øvelse Øvelse 6.37: Men i bevis B fo sætning 6.9 og i alle esemple og opgave i 6.34-seien viste vi jo netop en algoitme til at onstuee nye pimtal. Hvis u mene, at e e noget i beviset elle algoitmen, e ie hole, så gå til øvelse Hvis u ha ænet mening, så u nu mene, at e fines en såan metoe, så gå til øvelse Øvelse 6.38: Men e et ie blot et spøgsmål om at buge metoen igen og igen, intil e ie e flee fosellige pimtal mine en et støste, ente pimtal, hvoefte et næste pimtal nøvenigvis må væe støe? Hvis u mene, at et æve fo mange uegninge, så gå til øvelse 6.4. Hvis u ha ænet in mening, så gå tilbage til øvelse Øvelse 6.39: Fola in læe, hva u mene, e e galt. Hvis in folaing e foet, så gå tilbage til øvelse Hvis in folaing e go, ha u vunet, og an spinge ne til efte øvelsene. Øvelse 6.40: Fola in læe, hva e e galt i beviset. Hvis et lyes, så ha u vunet. Hvis et ie lyes, så gå tilbage til øvelse Øvelse 6.4: Det e en go pointe, men et e ie åsagen i ette tilfæle. Gå tilbage til øvelse De e noget fascineene ve metoen i Bevis B fo sætning 6.9. Den give fatis en metoe til at bestemme nye pimtal, men et e en metoe, e KUN fungee, HVIS man e i stan til at opløse et pågælene tal i pimfatoe. Man ve, at e fines såan en pimfatoopløsning, fo et sige Aitmetiens Funamentalsætning, men en sige ie noget om, HVORDAN man fine en såan opløsning. Og et vise sig fatis at væe temmelig svæt, nå tallene blive stoe. Hvis u ie fi lavet opgave 6.34.g, ha u intil viee benyttet Maples ifacto -funtion uen pobleme, men pøv at benytte en på følgene tal (ét tal p. linje), e alle bestå af pimfatoe: Tje tiene fo Maples behanling. Det teje tal tage lit længee ti en et anet tal, selvom ette e længee. Det hænge sammen me, at et bestå af et elativt lille pimtal ganget me et elativt stot pimtal, mens e ane tal bestå af pimtal af nogenlune samme støelse. Det næstsiste tal unne en lommeegne ie lae. En elev pøvee me helt nye batteie i en julefeie, og batteiene blev bugt op, uen at et esultat blev nået. Det bestå af 0 cife. Det siste tal e femstillet af matematieen Anes Thoup fa KU u fa pimtal me 60 cife. Han hævee, at ingen læse nogensine ville væe i stan til at opløse ette tal me 0 cife i sine pimfatoe. At han unne hæve ette så såsiet syles, at antallet af tests fo pimfatoe, e sal gennemføes, vose esponentielt me tallets støelse. Så et løbe helt løbs, og selvom computees egneaft også vose volsomt, så unne han no got egne me, at egneaften ie ville blive sto no. 9

30 Nu viste et sig imileti, at en guppe matematiee i apil 003 alligevel fi fatoiseet ette tal ve at lae en meget aftig compute egne uafbut i 0 age. Så i ette tilfæle va matematieen lit fo y. Men fatis behøve han ie at væe så e af et, fo me en fobeee egneaft, vil han nemt unne fine to nye pimtal me f.es. 70 cife, og hvis han gange em sammen få han et nyt tal, som en pågælene compute alig an lae. Det væsentlige i alt ette e nemlig, at et e nemmee at onstuee et tal, e e et pout af to pimtal, en et e at fatoisee et pågælene tal. Dette buges inen fo ypteing, og et e et af e omåe, man mene et bevis fo ét af e mest beømte uløste matematise pobleme Riemann-hypotesen vil unne belyse. Men hvis u vil vie mee om ette, må u selv fine mee infomation. Som afslutning på ette apitel ses på ennu en anvenelse af pimfatoopløsninge, nemlig hvoan man nemt an bestemme et minste fælles multiplum. Metoen fungee og un, HVIS man an fine pimfatoopløsninge, så e e som nævnt ovenfo nogle begænsninge. Men føst sal begebet multiplum lige efinees: Definition 6.4: Et multiplum af et tal a e et tal, e ha a som iviso. Bemæning 6.43: Man an også fine betegnelsen mangefol bugt i steet fo multiplum. Det e oplagt, at e e ueneligt mange multipla af et tal a, nemlig tallene: a, a, 3 a, 4 a, 5 a, 6 a,... Bemæning 6.44: Betegnelsen multiplum an også buges om anet en tal, hvo iviso så sal estattes af fato, men så e et jo ie længee talteoi.. Som beent e et ie svæt at fine et fælles multiplum fo elle flee tal. Man multiplicee bae e pågælene tal (en metoe e an buges, nå man sal fine fællesnævne fo bøe). Men hvis man nu gene vil fine et minste fælles multiplum (og et unne væe at, hvis bøene sal blive så ovesuelige som muligt), så an man se på tallenes pimfatoopløsninge. Esempel: Man vil fine et minste fælles multiplum fo tallene 6700, 000 og 7480, e ha pimfatoopløsningene: Hvis man bae multiplicee tallene, få man , e altså e et fælles multiplum. Men nu sal et minste fælles multiplum fines: Begyn me et føste tals pimfatoopløsning: Hvis et anet tal sal væe iviso i et søgte tal, mangle e to -talle og tallet 3, e efo tilføes: Og som et ses inehole ovenståene alle e pimfatoe (også egnet me multiplicitet vs. antallet af gange et pågælene pimtal optæe), som et teje tal bestå af, så et e iviso i ovenståene. Deme e minste fælles multiplum.

31 Det e lat, at man egentlig sal bevise, at ovenståene føe til et minste fælles multiplum, men et usættes til øvelse Opgave 6.45: Bestem et minste fælles multiplum fo følgene talsæt (u må gene buge Maple til at fine pimfatoopløsninge): a) , og b) , og c) og 8000 ) og Opgave 6.46: Du sal nu tæne ig fem til hvile af følgene sætninge, e e igtige: a) Fo alle talsæt beståene af n tal, hvo n >, fines et minste fælles multiplum. b) Det minste fælles multiplum fo et talsæt e iviso i alle fælles multipla fo talsættet. c) Hvis et talsæt bestå af tal, e alle e inbyes pimise, så e et minste fælles multiplum poutet af alle tallene. ) Hvis tallene a og b ha et minste fælles multiplum b, så e a iviso i b. Øvelse 6.47: Pøv at fine bevise fo nogle af ovenståene sætninge. Øvelse 6.48: Vis, at en gennemgåee metoe føe til et minste fælles multiplum. Kapitel 7: EUKLIDS VERSION (natulige tal næsten) Euli va som beent en gæs matematie, e samlee, vieeuvilee og systematiseee en sto el af sin tis matemati i flee væe, hvoaf nogle e bevaet, og blant isse e Elemente et mest ente. Han levee oming 300 fvt. Dette e fastsat u fa, hvem han levee samtiigt me, fo man ene hveen hans ale, føsels- elle øså. Det fotælles, at han på ong Ptolemaios I s foespøgsel i fobinelse me læsningen af Elemente, om e ie fantes en lettee måe at læe matematien på, sulle have svaet, at e fines ingen ongevej til geometien. Kong Ptolemaios I egeee Ægypten fa 33 fvt. til 83 fvt., og Euli levee i Alexania, e på en ti va samlingsste fo vien inen fo mange omåe. Hva en gæe lavee i en by, e nu ligge i Ægypten, og om al enne vien befant sig i hoveene på mennese elle måse i et elle anet bibliote elle evt. begge ele, ja, et e en længee histoie, som u selv må gave i, hvis u vil vie mee. Eulis ommenta til ong Ptolemaios e natuligvis guf fo matematiee, men Ptolemaios have nu fat i noget, fo Elemente e vielig ie så let tilgængelig som moene unevisningsbøge i matemati. Den bestå af 3 bøge, e behanle fosellige emne. Føste bog inlees me 3 efinitione, e fastlægge begebe inen fo geometi (bl.a. punt, linje, ciel og teante), 5 postulate og 5 asiome, e e påstane elle sætninge, e ie an bevises, men som egnes fo at væe så oplagte, at alle an gotage em. 3

32 Deefte omme føste sætning me eftefølgene bevis, så næste sætning me bevis, osv. Og føste bog slutte me sætningene 47 og 48 (e e Pythagoas læesætning). Anen bog begyne me nye efinitione, hvoefte e følge flee sætninge. Og såan fotsættes. Nøvenige begebe efinees, og sætninge inføes og bevises. Alig ommentae, esemple, opgave elle pespetiveing. Alt e en matemati. Egentlig an man ie bae spinge in mit i Elemente, fo sætningene basees hele tien på et foegåene. Men et gø vi nu alligevel.. Vi sal se på, hvoan Euli besev flee af e sætninge elle egensabe, som vi alleee ha væet ine på. I ette histoise tilbagebli omme vi in i begynelsen af Elementenes bog 7. Euli inføe ingen stee nye postulate elle asiome, vs. han abeje hele tien me e 5 postulate og 5 asiome fa begynelsen af føste bog. Men han inføe som nævnt nye efinitione i begynelsen af bøgene, og a han efte at have abejet me geometise figue i e 6 foegåene bøge nu e nået til tallene, ha han bug fo en æe nye efinitione, e følge he og e 0 af em uelat: Eulis efinitione i begynelsen af bog VII:. Enheen e et, i aft af hvilet enhve ting benævnes én.. Et tal e en af enhee sammensat mænge. 3. Et mine tal e el af et støe tal, nå et måle et. 4. Og en samling ele, nå et ie måle et. 5. Og et støe e mangefol af et mine, nå et måles af et mine. 6. Et lige tal e et, som an halvees. 7. Et ulige tal e et, som ie an halvees, elle hvis fosel fa et lige tal e enheen.. Et pimtal e et tal, som un måles af enheen.. Inbyes pimise tal e em, e alene måles af enheen som fælles mål. 3. Et sammensat tal e et, som måles af et elle anet tal. 4. Inbyes sammensatte tal e em, e måles af et tal som fælles mål.. Et pefet tal e et, e e lige me ets ele. Som et ses, inføe Euli mange af e samme begebe, som vi alleee ha gennemgået. Men e e nogle væsentlige foselle, som e følgene opgave omhanle. Opgave 7.: Hvilet elle hvile tal, som vi abejee me i støsteelen af afsnit 6, betagte Euli IKKE som et tal? Opgave 7.: I hvile af efinitionene femgå ette? Euli folae ie, hva e menes me, at et tal måles af et anet tal. Måse e et et uty fo en geometis tanegang, hvo et linjestye fastsat som en enhe an buges til at umåle, hvo mange enhee et givent linjestye ugø. Det benyttes tyeligvis sammen me begebet el til at besive ivisibilitet som i efinition.. Dog me én væsentlig fosel: Euli betagte ie et tal som en el af sig selv, hvo vi betagte et tal som iviso i sig selv. Det femgå implicit af efinition 3, hvo han esplicit lae e to tal væe fosellige. På samme måe femgå et af efinition 5. Det blive og helt tyeligt i efinition, hvo han efinee et pimtal som et tal, e un an måles af enheen. Enelig femgå et også af efinition. Ie esto mine sal u lægge mæe til, at han fatis lae et tal måle sig selv i beviset fo sætning 7.8 senee i ette apitel. 3

33 Nå man ie abeje me tal, buge man staig betegnelsen mål i steet fo iviso. En lille pusig etalje e efinition 7, hvo Euli give to fosellige efinitione fo et samme. Den siste af em e muligvis af æle ato en en føste. Aistoteles itisee enne efinition (og Aistoteles levee fø Euli) fo at væe ålig, a en efinee ulige u fa lige. Og så an man jo også nye efinition. Det e ie sot sna, men et e vist næmee filosofi en matemati. Opgave 7.3: Hva menes i voes spog me et pefet tal? Opgave 7.4: Bestem e laveste pefete tal. Og nu gå et så løs me sætninge. Vi begyne me Eulis. sætning fa bog VII. Eulis sætning bog VII 7.5: La to ie ens tal væe givet, og la et minste vevaene subtahees fa et støste. Hvis et tal, e blive tilbage, ie måle tallet fø et intil en enhe blive tilbage, e e opinelige tal inbyes pimise. Det e no et svæt at tole, hva Euli egentlig mene. Men måse unne u genene Eulis algoitme i et sælige tilfæle, hvo e to tal e inbyes pimise? Hvis ie, så gå tilbage og epeté enne algoitme og pøv at genene en i sætningen. Eulis bevis: Ve vevaene subtation af et minste af to ie ens tal AB, CD fa et støste, la a et tal, e e tilbage, alig måle tallet fø ette intil en enhe blive tilbage. Jeg sige så, at AB, CD e inbyes pimise, vs. at et un e enheen, e måle AB, CD. Fo hvis AB, CD ie e inbyes pimise, så e e et tal, e måle em. La et tal måle em, og la et væe E. La CD målene BF eftelae FA mine en sig selv. La AF målene DG eftelae GC mine en sig selv og la GC målene FH eftelae en enhe HA. Eftesom E måle CD, og CD måle BF, måle E også BF. Men et måle også hele BA. Defo vil et også måle esten AF. Men AF måle DG. Defo måle E også DG. Men et måle også hele DC. Defo vil et også måle esten CG. Men CG måle FH. Defo måle E også FH. Men et måle også hele FA. Defo vil et også måle esten, enheen AH, selvom et e et tal, hvilet e umuligt. Defo vil intet tal måle tallene AB, CD. Defo e AB, CD inbyes pimise. Opgave 7.6: Vi ha set enne type bevis fø. Hva e et fo en slags? Det e væ at bemæe, at Euli ie buge æfte på at folae, at e ie e noget specielt i, at et netop e AH, e e en enhe. Han lae et væe op til læseen at se, at agumentationen an føes på samme måe, uanset hvonå enheen optæe som esten ve en subtation. Men et an måse væe svæt at læse beviset, a notationen e anelees en nomalt. Så nu sal u pøve at gøe et lettee tilgængeligt: Øvelse 7.7: Tegn tallene AB og CD som linjestye og lav en sitse som illustation af beviset. Du sal unne gennemføe beviset på tavlen ve hjælp af sitsen. 33

34 Ovenståene va som nævnt et, vi nu ale Eulis algoitme benyttet på inbyes pimise tal. I sætningen lige efte omme så selve algoitmen: Sætning bog VII 7.8: Givet to ie inbyes pimise tal, hvoan et støste fælles mål fines. Eulis bevis: La AB, CD væe e to givne, ie inbyes pimise tal. Det æves så at fine ees støste fælles mål. Hvis CD måle AB og et måle også sig selv e CD et fælles mål fo CD, AB. Og et e åbenbat, at et også e et støste. Fo intet tal støe en CD vil måle CD. Men, hvis CD ie måle AB, så vil et minste af tallene AB, CD vevaene subtaheet fa et støste eftelae et tal, e vil måle tallet fø ette. Fo en enhe vil ie blive eftelat. Fo så ville AB, CD væe inbyes pimise, hvilet e i mosti me antagelsen. Defo vil e eftelaes et tal, e måle tallet fø ette. La nu CD målene BE eftelae EA mine en sig selv, og la EA målene DF eftelae FC mine en sig selv. Og la CF måle AE. Eftesom CF måle AE, og AE måle DF, vil CF også måle DF. Men et måle også sig selv. Defo vil et også måle hele CD. Men CD måle BE. Defo måle CF også BE. Men et måle også EA. Defo vil et også måle hele BA. Men et måle også CD. Defo måle CF tallene AB, CD. Defo e CF et fælles mål fo AB, CD. Jeg sige enæst, at et også e et støste. Fo hvis CF ie e et støste fælles mål fo AB, CD, så vil et tal støe en CF måle tallene AB, CD. La såan et tal måle em, og la et væe G. Eftesom G måle CD, mens CD måle BE, måle G også BE. Men et måle også hele BA. Defo vil et også måle esten AE. Men AE måle DF. Defo vil G også måle DF. Men et måle også hele DC. Defo vil et også måle esten CF, vs. en støe vil måle en minste, hvilet e umuligt. Defo e e intet tal støe en CF, e måle tallene AB, CD. Defo e CF et støste fælles mål fo AB, CD. Poisme: U fa ette e et åbenbat, at hvis et tal måle to tal, så vil et også måle ees støste fælles mål. Man an sige, at e ie va nogen gun til at se ette bevis, a vi alleee ha bevist sætningen tiligee. Men nu fi u Eulis vesion og ha måse fået en fonemmelse fo hans måe at tæne på. Opgave 7.9: Hvilet o ha vi tiligee bugt om et, Euli ale et poisme. 34

35 Eulis næste sætning beøe noget, vi ie tiligee ha væet ine på: Sætning 3 bog VII 7.0: Givet te ie pavis pimise tal, hvoan et støste fælles mål fines. Han gennemgå altså en metoe til at fine en støste fælles iviso fo 3 tal, e ie e pavis pimise, og han bevise selvfølgelig også, at en vie. Men føst sal u pøve at fine en metoe: Øvelse 7.: Kan u fine en metoe til at bestemme såan en støste fælles iviso? Hvis ja, så gå til opgave 7.. Hvis nej, så gå til folaing 7.3. Opgave 7.: Bestem en støste fælles iviso fo følgene taltiple: a) 94, 380 og b) 3349, 6435 og c) , og Folaing 7.3: Metoen gå u på, at man føst bestemme en støste fælles iviso fo af tallene, og eefte bestemme man en støste fælles iviso fo og et siste tal. Bug metoen til at løse opgave 7.. Øvelse 7.4: Kan u agumentee fo, at in elle Eulis metoe ent fatis give en støste fælles iviso? Hvis ja, så mel ig til at gå til tavle og give in folaing. Euli abeje så viee me en æe sætninge og omme lit senee til følgene: Sætning 6 bog VII 7.5: Hvis to tal ve multipliatione me hinanen give nogle bestemte tal, så vil isse af e føste bestemte tal væe lige stoe. Opgave 7.6: Hvoan utye vi nomalt enne sætning? At Euli bevise såan en sætning, vise noget om gæenes syn på matemati. De fæeste mennese ville no have tænt på, at man unne elle sulle bevise enne sætning. Gæene fosøgte at omme helt ne og få sty på matematiens gunlag. I beviset benytte Euli tiligee sætninges esultate, så vi spinge et ove. Lit senee følge en æe sætninge om pimtal og pimise tal, men vi tage nu et sping to bøge fem til en velent sætning på en ie velent fom: Sætning 0 bog IX 7.7: De e flee pimtal en et hvilet som helst fastsat antal pimtal. Opgave 7.8: Hvilen sætning fa apitel 6 svae enne sætning til? Nå Euli ie buge betegnelsen uenelig, hænge et sammen me gæenes movilje ove fo ette begeb. Bemæ fosellen mellem e fomuleinge. Men bevise mine meget om bevis A fo sætning 6.9, e som u måse eine va et iniete bevis: 35

36 Eulis bevis: La A, B, C væe et fastsatte antal pimtal. Jeg sige så, at e e flee pimtal en A, B, C. Fo la et minste tal, e måles af A, B, C væe funet, og la et væe DE. La enheen DF blive lagt til DE. Så e EF enten et pimtal elle ie et pimtal. La et føst væe et pimtal. Så ha man funet tallene A, B, C, EF, hvilet e flee en A, B, C. La eefte EF ie væe et pimtal. Det måles så af et pimtal [Dette e inholet af Eulis sætning 3 i bog VII. Bemæ at såan en sætning følge af aitmetiens funamentalsætning, men at et omvente ie gæle.]. La EF væe målt af pimtallet G. Jeg sige så, at G ie e et samme som et af tallene A, B, C. Fo, hvis et va muligt, så la et væe såan. Nu gæle A, B, C måle DE. Defo vil G også måle DE. Men et måle også EF. Defo vil G, e e et tal, måle esten, e e enheen DF, og et e en mosti. Defo e G ie et samme som et af tallene A, B, C. Og u fa hypotesen e et altså et pimtal. Defo ha man funet pimtallene A, B, C, G, hvilet e flee en et fastsatte antal A, B, C. Hvis man se på ette bevis og beviset fo sætning 7.5, bemæe man måse, at nå Euli sal vise, at noget gæle fo et vilålig stot, fastsat antal tal elle sit, så vise han et fo 3 tal elle sit. Det unne mine lit om talemåen En, to, mange. Matematiee e ie længee tilfese me en slags bevise. De vil nomalt buge et inutionsbevis, e som ugangspunt anvenes, hvis man sal vise, at et usagn e sant fo alle natulige tal: ) Man vise føst, at sætningen gæle fo tallet (nogle sætninge gæle måse un fo n >, og så vise man i steet, at et gæle fo tallet 3). ) Så vise man, at HVIS sætningen gæle fo tallet n, SÅ gæle en også fo tallet n +. Pøv at oveveje, hvoan ette an bevise en sætning, e sal gæle fo alle natulige tal. Øvelse 7.9: Hvoan an man buge metoen til at vise sætninge, e gæle fo alle hele tal? Men hvoan bevise man så, at et inutionsbevis ent fatis e tillat som bevis? Svaet e, at et gø man ie fo et KAN man ie. Man betagte et som en ubeviselig egensab ve e natulige tal, og man ale et så fo inutionsasiomet. Du få ingen inutionsbevise at se he. Hvis u vil vie mee om em, må u selv fine yeligee infomatione elle pøve at onstuee ine egne inutionsbevise. 36

37 Kapitel 8: DIOFANTISKE TREKANTER (natulige tal) Diofant menes at væe føt mellem 00-4 evt., og han levee ligesom Euli i Alexania e staig va centum fo vien. Han sev bl.a. væet Aithmetia, e besto af 3 bøge, hvoaf 6 e bevaet. I ette væ abeje han me ligninge, e ha hele elle ationelle tal som løsninge. Det va usævanligt, a gæene ie tiligee have anset bøe som igtige tal. Diofant fi senee tilnavnet Algebaens fae. Som et ses ovenfo, ve man ie, hvonå han blev føt. Men man egne me at ene hans leveale, a han ingå i en samling af talgåe fa et 5. åhunee: Opgave 8.: Diofants ungom vaee en sjetteel af hans liv; efte en syveneel mee blev han gift; han fi sæg efte ennu en tolvteel. Fem å senee fi han en søn, som levee halvt så længe som faeen, og Diofant øe fie å efte sønnen. Hvo gammel blev Diofant? Man ha så senee me henvisning til Aithmetia inføt betegnelsen iofantise ligninge om ligninge, hvo man un søge heltalsløsninge. Man an og også opleve betegnelsen bugt om ligninge, hvo man søge ationelle løsninge. Vi vil he buge betegnelsen iofantis i en heltallige vesion, og nå vi ifølge ovesiften sal unesøge nogle iofantise teante, e et altså teante, hvo sielængene e hele tal. Et esempel unne væe en velente etvinlee teant me sielængene 3, 4 og 5. Føst se vi lige på en Pythagoæise Læesætning og en Omvente Pythagoæise Læesætning (som nævnt Eulis sætninge 47 og 48 fa føste bog i Elemente). Den føste sige som beent, at i en etvinlet teant e vaatet på hypotenusen lig me summen af atetenes vaate (oftest sevet a + b c ), mens en anen sige, at hvis teantens sielænge a, b og c, hvo c e en støste, tilfesstille ligningen a + b c, så e en etvinlet me en ette vinel C. Men ette e jo geometise sætninge, så hvo omme talteoi in i billeet? Det gø et, nå vi tage ligningen a + b c u af sammenhængen og betagte en som en iofantis ligning, vs. vi vil pøve at fine heltalsløsninge til ligningen. Det føe så bagefte til, at vi an bestemme samtlige pythagoæise talsæt vs. samtlige iofantise, etvinlee teante, men så e vi igen tilbage til geometien, og igen ha Euli på sin hjemmebane givet et bevis fo en sætning, vi nu sal bevise ent talteoetis. Egentlig ønse vi un at fine e løsninge til a + b c, e e natulige tal, men u an selv tæne lit ove et og se, at et ie spille en stoe olle. Vi unne såan set gå iete til sætningen, men fo at gøe beviset mee ovesueligt inføes føst en æe lemmae. Og hus: Vi abeje i ette apitel me natulige tal. Lemma 8.: Fo vilålige tal p og q gæle ( p + q ) ( p q ) + ( p q) Øvelse 8.3: Bevis lemma 8.. Øvelse 8.4: La p og q væe to tal, hvo p > q. Fines e en fast æefølge i støelsen af tallene ( p q ); ( p + q ) og ( p q) 37? Elle måse e e ét af tallene, e alti e minst? Pøv evt. me fosellige tal og se, om u an fine noget, e gæle geneelt. Pøv evt. også, om u an fine et bevis fo in påstan.

38 Lemma 8.5: Fo alle tal p og q, hvo p > q, gæle ( p + q ) p q og ( p q ) ( p q ) +. Bevis: Det e oplagt, at siste el af lemmaet gæle. Fo q e positiv, og nå man lægge noget positivt til et tal, p, så blive esultatet støe, en hvis man tæe et fa. Så la os se på føste el. Og la os ennu engang gibe til et iniete bevis. Så vi antage, at ( p + q ) p q p, hvilet føe til: ( p ) 0 + q p q 0 q Men a p > q, e utyet i paentesen ie 0, så venstesien e positiv, hvove vi ha en søgte mosti, og lemmaet e altså bevist. Bemæ, at lemmaet ie sige noget om en sammenligning af tallene ( q ) p og ( p q). Det syles, at e ie gæle en lignene veloning. Så man an altså un sige, hva et støste af e 3 nævnte tal e, og et e ( q ) p +. Som u måse e ve at fonemme, vil en ommene sætning besæftige sig me tallene ( p q), ( p + q ) og ( q ) p. Øvelse 8.6: Pøv nu at se på e siste af ovennævnte tal. Hvis u fi at vie, at e begge va ulige, ville u så unne sige noget om p og q me hensyn til lige/ulige? Hvis ja, så pøv at bevise in påstan. Hvis nej, så pøv ig fem me fosellige tal og se, om u an fine et system. Lemma 8.7: Hvis tallene ( p + q ) og ( q ) p e ulige, så e netop et af tallene p og q lige. Bevis: Det an isutees, hvo meget e sal gøes u af følgene bevis, fo egentlig an et gøes meget ot: En sum elle iffeens af tal blive ulige, netop nå netop ét af tallene e lige, og et vaat p e ulige, netop nå p e ulige. Deme e sætningen vist. Men man an også gå mee systematis til væs. F.es. bevise Euli i bog XI af Elemente (sætningene 4-7), hva man få ve at tæe lige/ulige fa lige/ulige. Et bevis fo påstanen om, at vaatet på et lige tal, give et lige tal, mens vaatet på et ulige tal, give e ulige tal, unne væe: p n p 4 n n p e lige p e lige ( ) p n + p 4 n + 4n + n + n + p e ulige p e ulige ( ) Opgave 8.8: I linjene 3 og 4 i beviset ingå oene lige/ulige 4 gange. Hvilen elle hvile af e 4 gange an man IKKE buge et anet af oene (vs. usifte lige me ulige elle omvent)? Det e no ie sælig nemt at se, hvo isse lemmae føe hen, fo hvofo an et væe inteessant, om tal e lige elle ulige? Svaet på et følge senee. Nu sal vi føst fo en stun vene tilbage til ligningen a + b c, fo et må ie glemmes, at et e en, et hele eje sig om. 38

39 Hvis man ha et pythagoæise talsæt ( a, b, c) ( 3,4,5) ( a, b, c) ( 6,8,0), ( a, b, c) ( 9,,5) og ( a, b, c) ( 300,400,500) a n + b a c + n b ( n a) + ( n b) ( n c) n c, e et lat, at også talsættene e pythagoæise, fo man ha jo: Dvs. hvis man ha funet ét pythagoæis talsæt, så an man sabe vilåligt mange sæt ve enten at folænge sættet me et natuligt tal elle foote et me en evt. fælles iviso. Øvelse 8.9: Tag ugangspunt i et pythagoæise talsæt (0, 4, 6). Pøv at se, hvo mange pythagoæise talsæt, u an sabe på ½ minut, og pøv eefte at slå in egen eo. Opgave 8.0: Hva gæle om alle e etvinlee teante (me hensyn til vinle), u e ommet fem til i øvelse 8.9? Det e oftest ie så inteessant me alle e esta pythagoæise talsæt, man an sabe ve ovenståene metoe. Så man inføe en betegnelse, e femhæve gunstammen blant alle såanne talsæt (lit ligesom man tiligee femhævee en pincipale est): Definition 8.: Et pimitivt talsæt e et talsæt, e ie ha ane fælles fatoe en. Esemple: ) Talsættet (3,6,7) e pimitivt, fo got no inehole 3 og 6 begge fatoen 3, men en e ie en fato i 7. Så e e ie ane fælles fatoe en. ) Talsættet (4,0,) e ie pimitivt, fo alle te tal inehole fatoen. Opgave 8.: Hvile af følgene talsæt e pimitive? a) (,7,9) b) (,,4) c) (3,4,5) ) (6,8,0) e) (5,,3) f) (5,36,39) g) (,35,37) h) (,3,5,5) Opgave 8.3: Hvile af talsættene fa opgave 8. e pythagoæise talsæt? Opgave 8.4: Hvile af talsættene fa opgave 8. e pimitive pythagoæise talsæt? Øvelse 8.5: Pøv at fine et talsæt ( a, b, c), e opfyle ligningen a + b c, og hvo netop af tallene ha en fælles fato. Pøv evt. også at fine et bevis fo, hvo mange af en slags talsæt, e fines. Hvis u gå ø i enne øvelse, så sping hastigt viee til næste lemma, e behanle ette poblem. Lemma 8.6: La talsættet ( a, b, c) opfyle ligningen a fato, så inehole et teje tal også enne fato. + b c. Hvis af tallene ha en fælles 39

40 Bevis: De to tal a og b stå på samme måe i ligningen, så man sal un unesøge e mulighee, at et e a og b, e ha en fælles fato, elle at et e a og c. Antag, at a og b ha en fælles fato, og la en væe. Så gæle a a og b b. Man ha så: a + b a c + b c ( ) + ( ) c ( + ) c a a + b b Agumentet une vaatoen e et natuligt tal, så vi ve ifølge sætning 6.8.b, at vaatoen enten e et natuligt tal elle et iationelt tal. Og som et ses af ovenståene, e et ie iationelt, a et an sives som en bø me hele tal i tælle og nævne, så et må væe et natuligt tal. Og et næstsiste uty af ovenståene vise så, at også e iviso i c. Heefte antages, at a og c ha en fælles fato, og man få på samme måe som ovenfo: a + b c c a b ( ) + b ( ) ( ) b a c a Og så an man buge samme agument som ovenfo, hvo man lige sal bemæe, at agumentet une vaatoen e positivt. Bemæ også, at et gennem hele beviset ie e noget poblem, hvis. Øvelse 8.6.b: Gennemfø beviset fo lemma 8.6 ve hjælp af Aitmetiens Funamentalsætning, så u ungå e "fobute" vaatøe og bøe. Øvelse 8.7: Pøv at se på et pimitivt pythagoæis talsæt ( a, b, c). Kan man sige noget om, hvo c mange af tallene, e e lige, og evt. hvilet elle hvile, et må væe? Pøv at bevise in påstan. Igen sal u gå viee til et følgene lemma, hvis u gå ø i øvelsen. a c b a c b Lemma 8.8: La ( a, b, c) væe et pimitivt pythagoæis talsæt, hvo af tallene lige, og et e a elle b. a + b c. Så e netop ét Bevis: La ( a, b, c) væe et pimitivt pythagoæis talsæt, hvo a 40 + b c. Hvis alle te tal e lige, så inehole e fatoen, vs. et e ie et pimitivt talsæt. Hvis to af tallene e lige, så inehole e fatoen, og ifølge lemma 8.6 inehole et teje tal også fatoen, vs. igen e talsættet ie pimitivt. Alle tallene an ie væe ulige, fo hvis a og b e ulige, så e a og b også ulige, og eme e ees sum c lige, hvofo c e lige. Deme må netop ét af tallene væe lige. Og så omme en vanseligste el af beviset. Vi sal nu se, at et ie an væe c, e e lige. Fo hvis c e lige, ha man: c c 4, vs. at 4 e iviso i c. Og hvis c e lige, så må a og b væe ulige, og man ha så: a ( n + ) + ( m + ) 4n + 4n + + 4m + 4m + 4 ( n + n + m + ) + + b m Det ses heme, at tallet 4 IKKE gå op i a + b, a ivisionen give esten. Og a 4 som nævnt e iviso i c, ha vi altså en mosti. Det må altså væe ét af tallene a og b, e e lige.

41 4 Lemma 8.9: Hvis to tal x og y e inbyes pimise, og ees pout e et vaattal, så e x og y selv vaattal (vs. ), ( z y z x z y x y x sf ). Øvelse 8.0: Pøv selv at bevise ovenståene lemma. Det an ofte væe en go ié at inage Aitmetiens Funamentalsætning. Hvis u gå helt i stå, an u få hjælp i beviset neenfo. Bevis: Vi antage altså, at ), ( z y x y x sf. Ifølge Aitmetiens Funamentalsætning an z opløses i pimfatoe, og man få så: ( ) s s p p p y x p p p y x. Pimtallene på højesien e altså enten fatoe i x, y elle begge. Men a x og y e inbyes pimise, inehole e ingen fælles pimfatoe, vs. hvis pi e iviso i x, så e en ie iviso i y, og eme må begge pi væe en el af pimfatoopløsningen af x. Samme sætning an siges me ombytninge af x og y. De enelte pimfatoe an altså nyttes til enten x elle y, hvilet fomelt an gøes på følgene måe. Man an bytte unt på højesiens pimfatoe, som man vil, vs. nummeeingen af pimtallene e vilålig. Man an efo sive: ( ) ( ) s t hvo p p p y p p p y p p p x p p p x s t t s t t t t , (Hvis t 0 e x, og hvis t s e y ) Heme e et vist, at båe x og y e vaattal. Og så mangle vi lige siste lemma inen sætningen. Føst som øvelse: Øvelse 8.: Pøv at bevise følgene lemma. Lemma 8.: Hvis b og c e ulige, inbyes pimise tal, hvo c > b, så e tallene c + b og c b også inbyes pimise. Bevis: Bemæ føst, at tællene i e to bøe e lige tal, a b og c e ulige, så bøene e natulige tal, og eme e lemmaet ie meningsløst. La altså b og c væe inbyes pimise. Ennu engang benyttes et iniete bevis. Antag at c + b og c b ie e inbyes pimise, vs. e ha en fælles iviso > : b c og b c + Men se så på følgene uegninge: ( ) ( ) b b vs b b b c b c b c b c c c vs c c b c b c b c b c Dette vise, at så også ville væe iviso i b og c, men e e jo inbyes pimise, så he e en søgte mosti.

42 Og nu e tien så ommet fo sætningen, som lemmaene ha føt hen mo. Den ales sommetie Eulis sætning, a en følge af Eulis sætning 8 i bog II af Elemente (e og e en geometis og ie en talteoetis sætning). Eulis sætning 8.3: De pimitive pythagoæise talsæt ( a b, c) ( pq, p q, p + q ), e netop talsættene af fomen, hvo p og q e inbyes pimise tal, hvoaf netop et ene e lige, og p > q. Opgave 8.4: Hvilen elle hvile af neenståene sætninge unne estatte netop et ene e lige i sætningen? a) Netop et ene e ulige. b) Ie begge e lige. c) Ie begge e ulige. Opgave 8.5: Hvilen elle hvile af neenståene fome unne også buges som talsæt i sætningen? a) ( pq, p + q, p q ) b) ( p q, pq, p + q ) c) ( p + q, p q, pq) Bevis: Bemæ, at sætningen sige to ting. ) Hvis et talsæt sal opfyle + b c, sal et væe af fomen ( pq, p q, p + q ) a ) Hvis et talsæt e af fomen ( pq, p q, p + q ), så opfyle et a + b c. Del ) følge iete af lemma 8.. Så vi mangle nu un at vise el ). a, b, c, og så ve vi ifølge lemma 8.8, Vi antage altså, at vi ha et pimitivt pythagoæis talsæt ( ) at netop ét af tallene e lige, og at et e a elle b. Da man ie an selne mellem a og b i Pythagoas Læesætning, an vi selv vælge, hvilet af tallene vi vil lae væe lige. Fo at få et til at passe me olyen af sætningen, lae vi et væe a (et e jo pq, e e et lige tal i talsættet, så hvis vi lo b væe et lige tal, ville et svae til fomuleingen b) fa opgave 8.5). Deme an følgene omsivning foetages: b a c + b c a + b c a c b a ( c + b) ( c b) I siste sit e e ivieet me 4 på begge sie af lighestegnet. Og he e et vigtigt at bemæe, at ette KUN an lae sig gøe, foi tallene a, c+b og c-b e lige. Elles ville vi jo have fået ie-natulige tal ve ivisionen me. Ifølge lemma 8.6 e b og c inbyes pimise, fo hvis e ie va, ville e have en fælles iviso støe en, e også ville væe iviso i a, hvilet ville væe i mosti me, at talsættet e pimitivt. c + b Men lemma 8. give så, at og Og a ees pout e et vaattal c b e inbyes pimise. a Deme fines e altså hele tal p og q så:, e e ifølge lemma 8.9 selv vaattal. c + b p og c b q, hvo p q. 4

43 Da c + b og c b e inbyes pimise, e altså p og q inbyes pimise, og eme e p og q inbyes pimise. Fo hvis p og q ineholt en fælles fato >, så ville p og q inehole en fælles fato. Men ovenståene fastsættelse give så: c + b c b + p + q c p + q c + b c b p q b p q Da b og c e ulige, e ifølge lemma 8.7 netop et af tallene p og q lige. Nu mangle vi blot at vise, at a p q følge af ovenståene: a c + b c b Og heme e sætningen bevist. a p q a p q a p q Vi e altså nu ommet fem til, hvoan man onstuee pimitive pythagoæise talsæt. Esempel: 6 og e inbyes pimise tal, 6 e lige og ulige, og > 6. Deme sættes p og q 6, og man ha så: a p q 6 3 b p c p q + q (3,85,57) e altså et pimitivt pythagoæis talsæt. Og (85,3,57) e et samme sæt. Esempel: 568 og 435 e inbyes pimise tal, 568 e lige og 435 ulige, og 568 > 435. Deme sættes p 568 og q 435, og man ha så: a p q b p c p q + q ( , , ) e altså et pimitivt pythagoæis talsæt. Du an selv ontollee, at talsættet e båe pimitivt og pythagoæis. Opgave 8.6: Hvile af neenståene talpa an buges til at onstuee pimitive pythagoæise talsæt? a) 5 og b) 8 og c) 3 og 9 ) 5 og 6 e) og 7 f) 4 og 7 g) 6 og 8 h) 7 og 3 i) og 0 j) 00 og 43

44 Opgave 8.7: Benyt talpaene fa a), b), i) og j) i ovenståene til at onstuee et pågælene pimitive pythagoæise talsæt. Opgave 8.8: Hvile talpa (p,q) e bugt til at onstuee e pimitive pythagoæise talsæt: a) (3,4,5) b) (5,,3) c) (7,4,5) ) (33,56,65) Hvis man ønse at sabe et ovebli ove e pimitive pythagoæise talsæt, må man gå systematis til væs. Man an begyne me at fastsætte p og eefte fine e q, e an buges. Det give et sema, e an fotsættes, intil (egne-)æftene slippe op: p Mulige q-væie Nu va e jo en masse lemmae, e lete fem til Eulis sætning 8.3. Så e e heligvis også lit esta infomation at hente fa sætningen: Koolla 8.9: Pythagoæise teante ha alti et heltalligt aeal. Opgave 8.30: Hvoan følge ette af Eulis sætning 8.3? Som afslutning på ette apitel se vi på nogle ane iofantise teante, e hvis u sulle have glemt et efte alle lemmaene e teante me heltallige sielænge. Føst sal vi følge op på oolla 8.9 ve at inføe såalte heonise teante. De e opalt efte Heon, e levee i et føste åhunee evt., og som e mest ent fo sin sætning om at fine en teants aeal T ve: ( s a) ( s b) ( s c) T s, hvo a, b og c e teantens sielænge og s en halve omes. Da enne fomel give en måe at bestemme en teants aeal, folae en opinelsen til følgene efinition: Definition 8.3: En iofantis teant me et heltalligt aeal ales en heonis teant. En anen slags iofantis teant inføes me følgene efinition: 44

45 Definition 8.3: En iofantis teant, hvo aeal og omes e lige stoe, ales en pefet teant. Øvelse 8.33: Hvofo give efinition 8.3 ie mening som geometis efinition elle hvis man abeje me enhee på tal? Esempel: Teanten me sielængene 3, 4 og 5 e iofantis. Da e en ie etvinlet. Men Heons aealfomel give: s T ( 3) ( 4) ( 5) 84 Defo e teanten heonis. Da omesen e 4 og altså fosellig fa aealet, e teanten ie pefet. Esempel: Teanten me sielængene 5, og 3 e iofantis. Da 5 + 3, e en også etvinlet. Heons aealfomel give: s 5 T 5 ( 5 5) ( 5 ) ( 5 3) 30 Så en e også heonis. Da omesen e 30 ligesom aealet, e en også pefet. Konlusion: Det e en helig teant! Det e ie en efinition. Opgave 8.34: Afgø om teantene me følgene sie e iofantise, etvinlee, heonise og/elle pefete: a) 6, 8 og 0 b), 35 og 37 c) 5, 6 og 7 3 ), 5 og 6 e) 6, 5 og 9 Opgave 8.35: Hvile af følgene usagn e sane? a) Hvis en teant e iofantis, e en også heonis. b) Hvis en teant e heonis, e en også iofantis. c) Hvis en teant e pythagoæis, e en også heonis. ) Hvis en teant e heonis, e en også pythagoæis e) Hvis en teant e pefet, e en også heonis. f) Hvis en teant e heonis, e en også pefet. g) Hvis en teant e etvinlet og heonis, e en også pefet. h) Hvis en teant e pefet, e en også pythagoæis. i) Hvis en teant e pythagoæis, e en også pefet. De fines ie mange pefete teante. Fatis fines e un 5 hvilet an bevises. U ove e 3, e e benyttet i et foegåene, e et teantene givet ve talsættene (9,0,7) og (7,5,0). 45

46 Kapitel 9: SPECIELLE SÆTNINGER (natulige tal) Dette apitel e helliget en æe fosellige ente sætninge elle fomoninge om tal. Det vil i mosætning til e foegåene apitle ie inehole bevise hvilet hænge got sammen me begebet fomoning. Piee e Femat (60-665): Femat va uannet og enæee sig som juist, hvilet p. efinition give ham betegnelsen amatø, nå man betagte ham som matematie. Han ugav alig nogle af sine esultate, men han oesponeee me mange af atiens matematiee, hvo han fotalte om sine sætninge og sommetie sitseee iée til bevise. Han uvilee selv fosellige metoe. F.es. uvilee han en metoe til at fine masimum fo visse uve, hvilet va en foløbe fo iffeentialegningen. Han biog også sammen me Blaise Pascal til sansynlighesegningens intog. Men han e mest ent fo sine biag til talteoien, bl.a. foi han femsatte en masse sætninge, e føst blev bevist elle mobevist (vi sal se et esempel på hve slags) mange å efte hans ø. He omme føste esempel (bemæ, at Femat un abejee me natulige tal ligesom ovesiften sige): Sætning 9.: Ligningen a n n n + b c ha ingen løsninge fo n >. Dette e et esempel på en iofantis ligning. Vi ene en alleee fo n, hvo vi i Eulis sætning 8.3 så, at e va uenelig mange løsninge, e ie blot va folængelse af hinanen. Så at e ie fines en eneste løsning, nå n >, an måse vie oveasene elle an et? Femat an jo ie have ment, at et va så oveasene, fo han femsatte sætningen sansynligvis uen at have et bevis fo en. Elle måse toee han, at han have et bevis? Femat ugav som nævnt alig sine esultate, og ofte sev han blot i maginen på e væe, han sa og læste. Og om netop enne sætning sev han følgene meget beømte ommenta i maginen på Diofants Aithmetia (se apitel 8): Det e umuligt at ele en tejepotens i to tejepotense, elle en fjeepotens i to fjeepotense, elle geneelt, en vilålig potens støe en i to af e samme potense. Jeg ha opaget et ganse bemæelsesvæigt bevis fo ette, som maginen e fo smal til at inehole. Dette bemæelsesvæige bevis ha man alig funet. Femat beviste selv sætningen i et sælige tilfæle n 4, og efte hans ø blev e gennemføt bevise fo n 3 og en hel masse pimtal (a et an vises, at man un behøve at vise sætningen fo pimtal og tallet 4). Men et afgøene bevis om føst i 993, a et efte mange ås ihæigt abeje, e byggee på en masse nye esultate inen fo matemati, lyees fo Anew Wiles at bevise sætningen. Toee han! Fo beviset viste sig at inehole en fejl. Denne fejl lyees et og fo Wiles at ette, så han unne levee et bevis fo sætningen i 994. De gi altså ca. 350 å fa sætningen blev femføt, til en blev bevist. Øvelse 9.: Unesøg, om ie sulle væe en løsning til ligningen fa sætning 9.. Øvelse 9.3.a: Hvis et ie lyees at mobevise sætning 9. me ovenståene, må håee mile tages i bug. Pøv me

47 Øvelse 9.3.b: Fin et ans ospog, e besive øvelsene 9. og 9.3.a. Øvelse 9.4: Femat beviste sætningen i tilfæle n 4 ve at vise, at HVIS e va en løsning, så unne man alti fine en ny løsning me mine tal en en opinelige. Begun, at ette bevise sætningen i tilfælet n 4. Sætning 9. ales Femats stoe sætning elle Femats siste sætning (foi et va en siste af Femats mange sætninge, e manglee at blive bevist elle mobevist). Nå e e en sto sætning, må e vel også væe en lille sætning? Ja, et e e, og et va også en sætning, som Femat femføte uen bevis. Den blev bevist af G.W. Leibniz (ie offentliggjot) og senee i af Leonha Eule (offentliggjot). He e en vesion af sætningen, men u an også fine en i ane vesione bl.a. én me estlasse: Sætning 9.5: Hvis p e et pimtal og a et tal, e e pimis me p, så e p iviso i a p. Øvelse 9.5.a: Afpøv enne sætning me fosellige tal, e opfyle betingelsene og u an evt. også pøve me tal, e ie opfyle em. Sætning 9.5 anvenes ofte som en ie ufejlbalig pimtalstest alet Femats pimtalstest. Man unesøge, om p e iviso i a p, og hvis et ie e, så e p ie et pimtal. Men hvis et e, så KAN p væe et pimtal. De e og også sammensatte tal n, e opfyle ovenståene fo alle tal a, som e e pimise me. Disse tal ales Camichael tal (efte en ameianse matematie Robet Camichael ( )), og e en speciel slags pseuopimtal, e e sammensatte tal, e ele egensabe me pimtallene. De fines ueneligt mange af såanne pseuopimtal. Men u sal have væet meget helig, hvis u ha funet nogle, a u abejee me øvelse 9.5.a De fines også ueneligt mange Camichael tal. Det blev bevist i 99. Følgene sætning an buges til at ontollee, om et tal e et Camichael tal hvis man altså e i stan til at fine pimfatoopløsningen, hvilet som beent e et af e helt stoe pobleme inen fo talteoien, hvis tallene blive meget stoe. Sætning 9.6: Et sammensat tal n e et Camichael tal, netop hvis et ie inehole vaate, og p i n. et fo alle pimfatoene pi i tallet gæle, at ( ) ( ) At n ie inehole vaate, an også utyes ve, at alle pimfatoene i pimfatoopløsningen e fosellige. Esempel: Tallet 56 e et minste Camichael tal. Sætning 9.6 buges til at ontollee, at et fatis e et Camichael tal. Føst tjees et, at et fatis e et sammensat tal, og pimfatoopløsningen bestemmes: Det ses altså, at 56 e sammensat, og e e ingen pimfatoe, e optæe mee en én gang. Så ontollees anen el af sætningen: Deme e et vist, at tallet e et Camichael tal. ( 3 ) ( 56) 560 sant ( ) ( 56 ) sant ( 7 ) ( 56) sant 47

48 Esempel: La os pøve om 75 e et Camichael tal. Føst tjees et, at et fatis e et sammensat tal, og pimfatoopløsningen bestemmes: Det ses altså, at 75 e sammensat, og e e ingen pimfatoe, e optæe mee en én gang. Så ontollees anen el af sætningen: ( 5 ) ( 75 ) 4 74 fals Da ette usagn e fals, behøve man ie at unesøge mee, men an sige, at tallet IKKE e et Camichael tal. Esempel: La os nu pøve me 9. Det vise sig at væe et pimtal (hvilet u siet eine, hvis u ha lavet weeenøvelse 6.5.a). Deme e et ie et Camichael tal. Esempel: Nu sal 793 tjees. Det vise sig at væe sammensat me pimfatoopløsningen Som et ses, inehole pimfatoopløsningen to 7-talle (hvilet i fomuleingen af sætning 9.6 vil sige, at et inehole vaatet 7 ), og eme e et IKKE et Camichael tal. Opgave 9.6.a: Afgø, hvile af neenståene tal, e e Camichael tal: a) 969 b) 05 c) 33 ) 637 e) 79 f) 03 g) 404 Den siste af Femats sætninge, som vi sal se på he, e: Sætning 9.7: Alle tal på fomen n F +, hvo n e et ie-negativt heltal, e pimtal. n Det an lige bemæes, at vi altså he bevæge os lige uen fo e natulige tal, a 0 inages. Femat beviste ie enne sætning. Opgave 9.8: Bestem e føste 9 Femat-tal (vs. tal funet på ovenståene måe). Øvelse 9.9 (fivillig): Fin en fejl, e e placeet i facit til ovenståene opgave. Øvelse 9.0: Benyt Maples pimtalstest (ispime) til at ontollee sætningens igtighe fo så mange af Femat-tallene, som Maple an lae. Øvelse 9.: Pøv at pimfatoopløse så mange af Femat-tallene, som Maple an lae. Som u no opagee, e et fatis un e føste 5 Femat-tal, e e pimtal i hvet fal af em som Maple unne teste. Leonha Eule ( ) fant i 73 pimfatoopløsningen fo F5 (som u også fant i øvelse 9.). Eule fi egnet meget i sin leveti, men han abejee og ie helt på må og få. Han viste nemlig, at e eneste mulige fatoe va af fomen a 64+, hvo a e et natuligt tal. Så he va altså en sætning, e viste sig ie at væe igtig. 48

49 Øvelse 9.: Tje, at e to tal i pimfatoopløsningen e af en pågælene fom, som Eule abejee u fa. Man ha pøvet at fine flee pimtal en e 5 føste blant Femat-tallene, men et e ennu ie lyees. Man ha på nuvæene tispunt (septembe 05) fået fatoiseet alle Femat-tallene F5-F fulstænigt, mens man bl.a. ha funet fatoe i Femat-tallene F-F9. F33 e et minste Femattal støe en F4, e an vise sig at væe et pimtal. På følgene hjemmesie an man følge me i uvilingen: Så man an sige, at enne sætning af Femat ha fået en noget anen oly, men man ve ie, hvilen elle hvile af neenståene sætninge, e e sane: ) De fines un 5 pimtal blant Femat-tallene. ) De fines uenelig mange pimtal blant Femat-tallene. 3) De fines uenelig mange sammensatte tal blant Femat-tallene. Opgave 9.3: E e nøvenigvis minst én af ovenståene sætninge, e e sane? Én af em, som Femat oesponeee me, va Main Mesenne, e ha lagt navn til: Definition 9.4: Et tal på fomen M n ales et Mesenne-tal. n Det an vises, at hvis n ie e et pimtal, så e Mn et helle ie. Men e gæle ie, at hvis n e et pimtal, så e Mn også et pimtal. I så fal ville man have en effetiv og ufejlbalig måe at sabe vilåligt stoe pimtal. Øvelse 9.4.a: Hvoan ville man unne sabe vilåligt stoe pimtal, hvis et have væet sant men et e et ie at hvis n e et pimtal, så e Mn også et pimtal. Man e ofte mest inteesseet i pimtallene blant Mesenne-tallene, og efo buges betegnelsen Mesenne-tal sommetie om e af ovenståene tal, hvo n e et pimtal. Og man ale et pimtal på fomen fa efinition 9.4 fo et Mesenne-pimtal. Det e oftest blant Mesenne-tallene, at man søge efte pimtal, nå man pøve at fine støe og støe pimtal. Det syles ie, at enne fosift e specielt go til at sabe pimtal, men mee at man ha goe metoe til at unesøge, om såanne tal e pimtal. Vigtig bemæning 9.5: Sætning 9.7 og efinition 9.4 e begge metoe til at sabe vilåligt stoe tal. Hvis sætning 9.7 have væet san, have man slet ie unnet snae om et støste ente pimtal, fo man unne jo bae sætte støe og støe tal in og onstuee vilåligt stoe pimtal. Mesenne ha lagt navn til isse tal, foi han lavee en liste ove pimtallene blant enne type tal op til og me M57. Det va imponeene, men han sulle no væe stoppet lit fø, fo netop M57 egnee han fejlagtig som et pimtal. Det samme gjalt fo M67, mens han have oveset M6, M89 og M07. Og et an vi jo sagtens pege finge af me hjælp fa voes lommeegnee og computee. 49

50 Opgave 9.6: Bug Maple til at fine e 4 minste Mesenne-tal (fostået på fomen, hvo n e et pimtal), e IKKE e pimtal. Inen åtusinsiftet have man funet e føste 38 pimtal blant Mesenne-tallene. Sien a e e ca. funet ét nyt Mesenne-pimtal om ået, så man i 007 va nået op på 44 ente Mesennepimtal. De føste 39 ligge tæt, vs. man ve, at e ie fines ane en e 38 ente Mesennepimtal mine en et 39. i æen. Man ve ie, om e e ueneligt mange pimtal blant Mesenne-tallene. Golbachs fomoning Vesion I 9.7: Ethvet tal støe en an sives som summen af 3 pimtal. Chistian Golbach ( ) sev i 74 til Leonha Eule om enne sætning. Øvelse 9.8: Pøv at se, om u an fine et elle flee moesemple på ovenståene. Øvelse 9.9: Kan u give en folaing på, hvoan Golbach unne omme me såan en fomoning, nå et så let an vises, at en ie e igtig? Hvis ie, så begyn at læse viee. Golbach egnee som et pimtal (et e jo et efinitionsspøgsmål). Men sætningen an såan set staig buges. Den sal bae omfomulees til: Golbachs fomoning Vesion II 9.0: Ethvet tal støe en 5 an sives som summen af 3 pimtal. Øvelse 9.: Pøv at fine et elle flee moesemple på enne sætning. Det va fatis Eule, e sev tilbage og foeslog en sapee vesion (a en opinelige vesion I simpelt unne ulees fa en sapee), e nu e en vesion, vi ale: Golbachs fomoning (Enelig Vesion) 9.: Ethvet lige tal støe en an sives som summen af pimtal. Øvelse 9.3: Afpøv sætningen fo alle lige tal op til og me 30. E e pågælene pimtal entyigt bestemt? Golbachs fomoning egnes fo at væe san, men en e alig bevist. Du an evt. pøve at tæne ove, hvofo en så simpel sætning an væe så svæ at bevise. Den 3. maj 03 publiceee Haal Helfgott et bevis fo en svage ugave (9.0). Det se u til at væe accepteet. Definition 9.4: En pimtalstvilling bestå af pimtal, hvis iffeens e. Opgave 9.5: Bestem e 5 minste pimtalstvillinge. Øvelse 9.6: Ovevej, om e fines ueneligt mange pimtalstvillinge. 50

51 Dette e ennu et uaflaet spøgsmål. Man ve ie, om antallet af pimtalstvillinge e ueneligt. Det mest næliggene e at to et, men e mangle et bevis. Definition 9.7: En pimtalstilling bestå af 3 fosellige pimtal, hvo iffeensen mellem et støste og et minste e 4. Øvelse 9.8: Pøv at se, hvo mange pimtalstillinge, u an fine. Definitionene 9.4 og 9.7 unne sagtens væe anelees. Man unne også i efinition 9.4 sige, at et va to pimtal, e netop have ét anet tal imellem sig. Øvelse 9.9: Bevis, at e fines netop én pimtalstilling? Definition 9.30: Et fulomment tal e et tal, e e lig me summen af sine ivisoe sig selv ie meegnet. Man ale sommetie også enne slags tal fo pefete tal. Det gjoe Euli f.es. i sin efinition i apitel 7. Definition 9.30 af fulomne tal an esuen buges til at opele e natulige tal ve at inføe betegnelsen efetivt tal om e tal, hvo en pågælene sum e mine en tallet selv, og betegnelsen excessivt tal om e tal, hvo en pågælene sum e støe en tallet selv. Opgave 9.30.a: Kan man sige noget om, hvovit pimtal alti vil væe enten efetive, fulomne elle excessive? Og i beæftene fal: Hvilen af isse slags tal høe alle pimtal til? Opgave 9.30.b: Opel tallene une i efetive, fulomne og excessive? Det femgå af opgave 9.30.b, at 80% af tallene op til og me 0 e efetive, 5% e fulomne og 5% e excessive. Opgave 9.30.c: Ovevej, om enne pocentfoeling vil æne sig maant, hvis man se på alle natulige tal. Og hvis u mene, at en vil æne sig, hvile pocentele vil så gå op, og hvile vil gå ne? Øvelse 9.30.: Pøv at folae, hvofo svaet på opgave 9.30.c IKKE betye, at e ie e nogen fulomne tal ove en vis støelse. Øvelse 9.30.e: Ovevej, om e mon fines ulige, excessive tal? Svaet følge i bemæning 9.35.a. Platon abejee me e fulomne tal, men et e fa Euli, at man ene følgene sætning: n+ n Sætning 9.3: Tallene ( ) n+ e fulomne, hvis e et pimtal. Opgave 9.3: E tallet fulomment? Opgave 9.33: Fin e 4 minste fulomne tal, e an fines me Eulis sætning. 5

52 Det lyees senee Leonha Eule at vise, at e fulomne tal, e femomme ve sætning 9.3, også e e eneste, lige fulomne tal. Opgave 9.34: Bug in vien om Mesenne-tallene til at svae på følgene: Ve man, om e fines ueneligt mange lige, fulomne tal? Bemæning 9.34.a: Fatis følge et af ovenståene, at e e en én-til-én elation mellem Mesenne-pimtallene og e lige, fulomne tal. Man fant efo også n. 44 i æen af lige, fulomne tal i septembe 006, a man fant et 44. Mesenne-pimtal. Relationen begyne: Mesenne pimtal Lige, fulomment tal Og hefa an u no fonemme, at tallene vose volsomt. De 4 føste af ovenståene lige, fulomne tal ha væet ent sien oltien. Det ha føt til nogle antagelse, som, u ve at igge på en opsevne el af elationen an se, e foete. F.es. blev et foeslået, at et 5. fulomne tal ville have 5 cife (ovevej selv hvofo), samt at et siste ciffe i tallene siftevis ville væe Men mon e lige, fulomne tal alti slutte på enten 6 elle 8? Bemæning 9.35.: Man ha alig funet et ulige, fulomment tal, og man ve ie, om et såant fines. Bemæning 9.35.a: Det unne måse væe fistene at to, at e så helle ie e funet ulige, excessive tal, men et e e fatis. Pøv selv at tjee 945. He e summen af e egentlige ivisoe (altså ivisoene faegnet 945) 975. Det e et minste, ulige, excessive tal. Bemæ esuen pimfatoopløsningen af 945. Den sulle gene give ig en ié om, hva e æves af pimfatoopløsninge, hvis et tal sal væe excessivt. Som afslutning på ette apitel se vi på en sætning, e blev postuleet i 845: Sætning 9.36: Betans postulat: Mellem n og n ligge alti et pimtal fo n >. Bemæ, at e ie stå netop ét, men bae et pimtal. Øvelse 9.37: Afpøv sætningen fo e 5 minste væie af n. Postulatet blev bevist og eme gjot til en sætning i 85 af en ussise matematie Pafnuty Chebyshev. Så et e ie alle postulate, e sal vente flee hunee å på at blive bevist. 5

53 Kapitel 0: EULERS -FUNKTION (natulige tal og 0) I ette siste teoetise og et ote apitel sal vi se på en speciel funtion: Definition 0.: Eules -funtion ( n) angive antallet af tal, e e inbyes pimise me og mine en n, hvo n e et natuligt tal. Bemæ, at 0 e blant e tal, e abejes me, selvom et un ha betyning fo n. Opgave 0.: Bestem væiene af Eules -funtion fo n-væiene op til og me 0. Opgave 0.3: Hvile af neenståene sætninge e igtige: p p a) Hvis p e et pimtal, e ( ) b) ( n) e lige fo n > c) Hvis p e et pimtal, e ( ) ( ) p p ) Hvis p e et pimtal, e ( p ) p e) Hvis p e et pimtal, e ( p ) p ( p ) f) Hvis p og q e fosellige pimtal, e ( p q) ( p ) ( q ) g) Hvis p og q e fosellige pimtal, e ( p q) p ( q ) h) Fo alle n > gæle ( n) ( n) i) Fo alle n > gæle ( n) ( n) j) Fo alle ulige pimtal p gæle ( p) ( p) ) Fo alle pimtal p gæle ( p) ( p) Øvelse 0.4: Fin bevise (elle folainge) på e igtige sætninge. En vigtig sætning, e unne have væet bugt til at bevise nogle af ovenståene sætninge, men som he femføes uen bevis e: Sætning 0.5: Fo tallet n, hvo n p... a a a3 as p p3 ps, hvo p ene e fosellige pimtal, e ( n) n... p p p3 p s Egentlig an enne sætning ie opsives på enne måe inen fo e natulige tal, a bøene ie blive natulige tal. Ve at gange n (angivet ve sin pimfatoopløsning) in i paentesene an man og hutigt inse, at man alti ene me et natuligt tal hvilet man selvfølgelig også sal, hvis sætningen e san. Esempel: Man ha, at Deme e: ( )

54 Afsluttene bemæning 0.6: Og he unne man måse så fohaste sig til at tæne, at et e uhye let at bestemme ( n) fo alle n. Men a! Igen stoppes man af manglen på en effetiv metoe til at bestemme pimtalsopløsninge fo stoe tal. Absolut afsluttene bemæning 0.7: En af e i øjebliet væsentligste anvenelse af talteoi e ypteing. RSA-ypteing e en metoe til at yptee meelelse, e blev opfunet i 977, og som buges i bl.a. anot og siing ve uvesling af infomatione ove intenettet. Den e nøje hængt op på poblemene me at fine pimfatoopløsningen fo meget stoe tal, men hvis u pøve at sætte ig mee in i ette emne, sal u væe fobeet på, at u ha bug fo mee vien om estlasse en gennemgået i apitel. Kapitel : TALOPGAVER FRA GEORG MOHR-KONKURRENCERNE: I ette apitel få u lov at slippe eativiteten løs. Det inehole en æe opgave, e ha væet stillet til Geog Moh-onuencene, vs. u ha un papi og blyant til åighe. Det e natuligvis un opgave omhanlene tal. Måse an u buge nogle af tanene fa e 0 foegåene apitle, måse fine u selv på veje elle måse an u fine hjælp i e hints, e angives une opgavene. Men la væe me at give op fo tiligt! Opgave.: Geog Moh 004 Vis, at hvis a og b e hele tal, og me. a + b + 9ab e elelig me, så e a b elelig Føste hint: Pøv at få omsevet utyet me e 3 le, så et omme til at inehole leet ab, hvo jo e iviso. Og vué så hva u an ulee u fa et. Anet hint: Hvis et pimtal gå op i et vaattal, hva an man så onluee? Løsning: Man ha a b + 9ab ( a b) + ab +, hvilet an tjees ve uegning. Hvis venstesien e elelig me, e højesien også, og a et anet le he e eleligt me, så e et føste også. Da e iviso i vaatet ( a b) og samtiig et pimtal, e også iviso i ( a b), og eme i a b ( a + b) ( a b). 54

55 Opgave.: Geog Moh 006 Af tallene,, 3,, 006 sal utages 0 fosellige. Vis, at man an utage 0 fosellige tal me sum støe en 0039 på flee måe en man an utage 0 fosellige tal me sum mine en Føste hint: Tæn på hva tallene n og (007 n) ha me hinanen at gøe. Anet hint: Hvis u an utage n til n0 på m måe. Hvo mange måe an u så utage (007 n) til (007 n0) på? Teje hint: Hvis en føste måe blive et tal mine en 0030, hva blive så en tilsvaene anen måe? Fjee hint: Fines e 0 tal blant e 006 mulige, hvis sum e 0040? Løsning: De to måe nævnt i anet hint svae til at begyne i hve sin ene af talæen fa til 006. Så e e lige mange måe. Hvis en ene måe give une 0030, an man egne sig fem til, at en anen tilsvaene måe give ove Dvs. e e lige så mange måe, e give une 0030, som e give ove Og a et ie e synelig svæt at fine 0 tal (pøv selv), e give 0040, så ve man altså, at e e flee, e give ove 0039 en mine en Opgave.3: Geog Moh 003 Bestem e hele tal n, hvo n + 9n + 4 e et pimtal. Føste hint: Fin fatoe at opsive utyet i. Anet hint: De to fatoe e en paentes me n plus fie, og en anen paentes e to gange n plus. Tæn så på hva e æves, fø ette e et pimtal. Løsning: n + 9n + 4 ( n + 4) ( n + ). Hvis et sal væe et pimtal, så sal nøvenigvis én af fatoene væe elle -. Dette e og ie tilstæeligt, men et an afpøves. De 4 n- væie, e gø en af fatoene til elle -, e: 0, -, -3 og -5. Ve insættelse ses, at et un e - og -3, e gø tallet til et pimtal, så et e e eneste mulighee fo n. 55

56 Kapitel : FACITLISTE Opgave.3: Divisoe: -4, -, -4, -7, -6, -3, -, -,,, 3, 6, 7, 4,, 4 Kvotiente: -4, -, -4, -7, -6, -3, -, -,,, 3, 6, 7, 4,, 4 Opgave.4: Divisoe: -, -6, -4, -3, -, -,,, 3, 4, 6, Kvotiente: -, -6, -4, -3, -, -,,, 3, 4, 6, Opgave.5: Divisoe: -3, -,, 3 Kvotiente: -3, -,, 3 Opgave.6: Divisoe: - og Kvotiente: - og Opgave.7: Det e ie igtigt. F.es. ha tallet 0 ivisoen 6, hvo votienten blive 0, men 0 e ifølge efinition. ie en mulig iviso. Opgave.8: Nej. Opgave.: Et moesempel e a 5, b 7 og c 0. Opgave.8: a) 6 5 b) c) 4 3 ) 37 0 Opgave.9: A..., 0, 3, 6,, 8, 5,, 9, 36, 43, 50, 57,... Opgave.0: B..., 5, 8,, 6, 3, 0, 7, 34, 4, 48, 55, 6,... Opgave.: C...,, 4, 7, 0, 7, 4,, 8, 35, 4, 49, 56,... Opgave.: Det an ie lae sig gøe. Opgave.3: Man få et tal, e give esten ve ivision me 7 (vs. tallene 7 m + ) Opgave.: D..., 6,,4,9,4,9,4,9,... Opgave.3: E..., 5, 9, 3, 7,,5,,7,... Opgave.4: F..., 3,,,0,,,3,4,... Opgave.5: 5 gå op i em. Opgave.6: 6 gå op i em. Opgave 3.4: c og e Opgave 4.4: Det an man ie, a 9 ie gå op i (jf. sætning 4.) Opgave 4.5: 0 og 0 Opgave 4.4: Det behøve ie at væe en pincipale est. Enhve est an buges. 56

57 Opgave 5.5: a) b) c) Opgave 6.: b) og c) Opgave 6..a: Såan et pimtal fines ie, fo hvis p n, hvo n>, e p n n vs. et sammensat tal. Opgave 6.8:, 953, 49 og 9937 Opgave 6.9:, 3, 8, 543, 769, 307, 3989 og Opgave 6.0:,, 7, 3, 9, 87, 53, 39, 39, 493, 667, 430, 543, 7337, 339, 479 Opgave 6.: 4 Opgave 6.: 8 Opgave 6.3: 6 Opgave 6.4: 8 Opgave 6.5: 5 Opgave 6.6: 8 Opgave 6.7: 8 Opgave 6.3: Voes antagelse i beviset va foet (hvilet va hele pointen), og eme an vi helle ie buge onlusionen. Opgave 6.33: 5 Opgave 6.34: Nej. Opgave 6.34.f: Opgave 6.34.g: Opgave 6.45: a) 9594 b) c) ) Opgave 6.46: a) Ja b) Ja c) Ja ) Ja Opgave 7.: Opgave 7.:, 3 og 4 Opgave 7.3: Det e et tal, hvo summen af alle ets positive ivisoe botset fa tallet selv e lig me tallet selv. Man buge båe betegnelsene pefet og fulomment. Opgave 7.4: 6 og 8 Opgave 7.6: Iniete bevis Opgave 7.9: Koolla. Opgave 7.: a) b) 73 c) 589 Opgave 7.6: Fatoenes oen e ligegylig. Opgave 7.8: Sætning

58 Opgave 8.: 84 å Opgave 8.8:. gang. Opgave 8.0: De e ensvinlee Opgave 8.: a, b, c, e, g og h Opgave 8.3: c,, e, f og g Opgave 8.4: c, e og g Opgave 8.4: a og c Opgave 8.5: b Opgave 8.6: a, b, f, i og j Opgave 8.7: a) (0,9,69) b) (6,63,65) i) (0,,) j) (00,9999,000) Opgave 8.8: a) (,) b) (3,) c) (4,3) ) (7,4) Opgave 8.30: En etvinlet teants aeal e T ½ a b, og a a e lige, blive ½a e helt tal. Opgave 8.34: a) Diofantis, etvinlet, heonis og pefet. b) Diofantis, etvinlet og heonis. c) Diofantis. ) e) Diofantis, heonis og pefet. Opgave 8.35: b, c og e Opgave 9.6.a: b, e og g Opgave 9.8: Opgave 9.3: Ja. Opgave 9.6: M, M3, M9 og M37. Opgave 9.5: 3 og 5 5 og 7 og 3 7 og 9 9 og 3 Opgave 9.30.a: Ja, alle pimtal høe til e efetive tal. Opgave 9.30.b: Defetive:,, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 0,, 3, 4, 5, 6, 7 og 9 Fulomne: 6 Excessive:, 8 og 0 Opgave 9.30.c: Foelingen e 75,% efetive, 0% fulomne og 4,8% excessive. Opgave 9.3: Nej. Opgave 9.33: 6, 8, 496 og 88 Opgave 9.34: Nej. Opgave 0.: 58

59 ( ) ; ( ) ; ( 3) ; ( 4) ; ( 5) 4 ; ( 6) ; ( 7) 6 ; ( 8) ( 9) 6 ; ( 0) 4 ; ( ) 0 ; ( ) 4 ; ( 3) ; ( 4) 6 ; ( 5) ( 6) 8 ; ( 7) 6 ; ( 8) 6 ; ( 9) 8 ; ( 0) 8 Opgave 0.3: a), b), e), f) og j) 4 ; 8 ; 59

60 60