TALTEORI x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Transkript

1 TALTEORI x-lssene Gmmel Helleup Gymnsium

2 Inholsfotegnelse FORORD... 3 INDLEDNING... 3 Kpitel : DIVISION (hele tl)... 4 Kpitel : RESTKLASSER (hele tl)... 7 Kpitel 3: FÆLLES DIVISORER (hele tl)... 8 Kpitel 4: SÆTNINGER OM STØRSTE FÆLLES DIVISORER (hele tl)... Kpitel 5: EUKLIDS ALGORITME... 5 Kpitel 6: PRIMTAL... 9 Kpitel 7: EUKLIDS VERSION... 3 Kpitel 8: DIOFANTISKE TREKANTER Kpitel 9: SPECIELLE SÆTNINGER Kpitel 0: EULERS -FUNKTION Kpitel : TALOPGAVER FRA GEORG MOHR-KONKURRENCERNE: Kpitel : FACITLISTE... 56

3 FORORD Tlteoi e ofte meget bstt og tæne hjenen til t tæne spt, og isse note e ie sevet me henbli på nvenelse i en fysise veen, men me uneholning fo øje. Tllene unesøges fo ees egen syl. Som filosoffen Immnuel Knt engng sev, sl mn hnle, så menneset lig opfttes som miel, men som mål i sig selv. Og enne test behnle ltså i enne henseene tllene, som mennese bø behnles. Til opgvene e e en fcitliste bgest. Øvelsene e uen fcitliste og lægge sommetie op til lssegennemgng. Kpitel inehole est opgve f lit støe svæhesg en e fleste f pitlenes opgve. Nå u læse bevise fo sætninge, e et vigtigt, t u IKKE ønse t blive ovebevist om en sætnings igtighe. Ovevej selv hvofo! INDLEDNING En f veenshistoiens helt stoe begvelse Cl Fieich Guss ( ) sev: Mtemti e onningen f lle viensbe, og tlteoi e mtemtiens onning. Pythgos (c. 580 fvt. c. 500) og hns sole e ent fo sætningen: Alt e tl. Som uitis mennese må mn ntuligvis tge sånne utlelse f så stoe utoitete fo goe ve. Tlteoi hnle gunlæggene om t fostå og fine nye egensbe fo tl. D tl e en ie uvæsentlig el f mtemti, e et ie ovesene, t tlteoi bee sig og ingå i ne omåe f mtemtien. D tl esuen buges i lle ultue, enes sætninge og opgelse f mnge ele f veen Enelig h tl væet ent i flee tusine å, så et n helle ie væe ovesene, t e føste tlteoetise unesøgelse gå lngt tilbge i tien. Omvent n et måse vie ovesene, t tlteoi stig e et stot fosningsomåe inen fo mtemti, og t e e sillige sætninge, e ennu ie e bevist. Voes vien om tl e sto, og vi ene til mnge ting, vi ie ve. Men hvo meget, vi ie ve, et ve vi ie. I tlteoi besæftige mn sig ofte me e hele tl. Mnge sætninge og egensbe vie og på smme måe inen fo e ntulige tl, hvilet vi sl se senee. Mn n også beje me støe tlmænge, men i ovesiften til hvet pitel stå hvilen tlmænge, e bejes me i et pågælene pitel. Nå u sl beje me hele tl, e et vigtigt, t u e opmæsom på, t bøstege IKKE esistee! Det smme gæle ecimle i tl. Så omme esistee helle ie. Vi omme in på et tispunt, hvo ition, subttion og multiplition e på pls, og vi sl nu læe om 3

4 Kpitel : DIVISION (hele tl) Definition.: Et tl n siges t væe ivisibelt me tllet, hvo 0, hvis e fines et tl, så n Tilføjelse.: At n e ivisibelt me utyes også ve gå op i n, hvilet sives n. Betegnelse: n ~ ivien ~ iviso ( fto buges også, men iviso e specifit nyttet til tlteoi) ~ votient Esemple: ) Tllet 4 e ivisibelt me tllet 7, foi mn n fine tllet, hvo 4 7. Tllet 4 e ivien, tllet 7 e iviso og tllet e votient. b) 65 e ivisibelt me -3, foi He e votienten ltså negtiv. c) -7 e ie ivisibelt me 5, mn ie n fine et tl, så 7 5. Bemæning: Alle tl fosellige f 0 e ivisible me sig selv og (begge tl ). Defo les og tllet selv fo tivielle ivisoe. Opgve.3: Bestem ivisoene til 4 og e mulige votiente. Opgve.4: Bestem ivisoene til - og e mulige votiente. Opgve.5: Bestem ivisoene til 3 og e mulige votiente. Opgve.6: Bestem ivisoene til og e mulige votiente. Opgve.7: Efte ovenståene unne et væe fistene t ge onlusionen, t e mulige votiente også lti vil væe ivisoe i et pågælene tl. Men e et igtigt? Opgve.8: Alle tllene f opgvene.3-.6 h et lige ntl ivisoe. Fines e et elle flee tl me et ulige ntl ivisoe? Øvelse.9: Vis, t et tl e ivisibelt me 3, netop hvis ets tvæsum e ivisibel me 3. Øvelse.0: Vis, t et fo lle tl n gæle, t 3 n n e ivisibelt me 6. Efte t hve efineet et t væe ivisibelt me et tl sl vi nu se nogle sætninge, e behnle enne egensb: Sætning.: ) Hvis b, så gæle fo lle tl c, t b c, netop hvis c b c b) b. fo lle tl c 0. c) Hvis b og b c, så gæle c ) Hvis b og c, så gæle ( b x c y) fo lle x og y. 4

5 Bevis: ) Dette e en Hvis.., så.. -sætning. De e flee måe t bevise sån en sætning, men en iete måe e t ntge hvis-elen og u f enne ntgelse vise så-elen. Så vi ntge, t b. Altså fines e et tl, så b. Dette usgn e stig snt, hvis mn gnge me c på begge sie (også selvom c e 0), vs. c b c. Men ette vise netop, t b c hvo votienten så e c,. Det e unevejs benyttet, t ftoenes oen e ligegylig. b) Dette e en.netop hvis. -sætning. Det sve til b vise begge veje i biimplitionen. L c væe et tl foselligt f 0. Mn h så: c b c b b fo et tl efinition. c b c c 0 b c c ftoenes oen e ligegylig c b c efinition. D e e benyttet biimplitionspile hele vejen, e sætningen ltså bevist. c) og ) usyes til øvelse.. Mn sl ltså Opgve.: Gæle sætning..) også omvent, hvis c 0? Dvs. gæle e, t b c b? Hvis u mene, t et gæle, sl u fine et bevis fo et. Hvis u ie mene, t et gæle, sl u fine et moesempel. Øvelse.3: Hv sl e gæle om, b og c, fo t mn sbe et moesempel på sætningen f opgve.? Øvelse.4: Fin på bevise fo sætningene. c) og ). Det e jo un 0, e h uenelig mnge ivisoe, og mn h også bug fo t unne beje me tl, e ie nøvenigvis e ivisoe. Så he følge en mee geneel sætning om ivision: Sætning.5: L n væe et vilåligt tl og et positivt tl. De fines så entyigt bestemte tl og, hvoom et gæle, t: n ; 0. Esemple: ) L n 3 og 4. D , h mn 5 og 3, hvo et sl bemæes, t e et snt usgn. ) L n 47 og. He e e entyigt bestemte tl 4og =, mn h 47 4, hvo et igen bemæes, t 0 e et snt usgn. 3) L n 60 og = 5. D 60 5 e og 0. Og tte bemæes et, t 0 0 5e et snt usgn. 5

6 Tilføjelse og ovevejelse.6: ) Me efinition. og sætning.5 e begebet ivision ommet på pls. Tllet i sætning.5 les fo votienten ligesom i efinition.. ) Me e et nelees. He gæle, t f sætning.5 les iviso i n, netop hvis = 0 (ovevej selv ette). 3) Sætning.5 give ltså en måe t fgøe, om et tl e iviso i et net tl (vs. om et gå op i tllet): Mn se, om esten e 0. Me esemplene ovenfo ses et ltså, t: 4 e ie iviso i 3, esten e 3. e ie iviso i -47, esten e. 5 e iviso i -60, esten e 0. Inen sætning.5 bevises, omme føst nogle ovevejelse: Det e væsentligt t bemæe, t og sl væe entyigt bestemte, og t lemmes ine mellem 0 og. Fo elles ville sætningen ie væe så svæ t bevise. F.es. ville tllene = 0 og = n væe løsninge til ligningen (ovevej ette). Og e ville væe flee mulighee, som ette onete esempel vise: L n = 3 og = 5. Så vil følgene tlp (,) væe nogle blnt ueneligt mnge, e e løsninge til ligningen: (0, 3), (, 8), (3, 8), (4,3), (6,-7), (9, -), (-, 8), (-3, 38). Kontollé nogle f em. Øvelse.7: Fin flee tlp, e e løsninge til ligningen. Alle e tl, e e en el f sånne tlp, les fo este. Mens et entyigt bestemte tl f sætning.5 les fo en pinciple est. Bevis fo sætning.5: L n væe et vilåligt tl og et positivt tl. Se så på en uenelige følge, -4, -3, -, -, 0,,, 3, Tllet n vil enten væe lig me et f tllene i følgen elle væe plceet mellem onseutive tl i følgen (no ie en speste igttgelse, men og lligevel vigtig fo et følgene). L nu væe bestemt som et tl, hvoom et gæle, t: n ( ) 0 n Bemæ, t enne metoe give en entyig måe t bestemme tllet på. Me ette n mn nu entyigt bestemme som: n Heme e: 0. Og isse tl og opfyle utyet, n n. Det e ltså nu vist, t en pågælene metoe give entyige måe t bestemme og. Men et vise jo ie, t e ie unne væe ne metoe, hvo mn unne bestemme ne tlp. Vi ntge ltså nu, t vi h funet et pssene tlp, og et sl så vises, t et må væe et tiligee funne: L ltså n ; 0. Så e n, og eme 0 n n ( ), og ette vise, t (,) e et tlp (,), e blev bestemt ve en pågælene metoe. 6

7 Opgve.8: Fin (evt. me bug f Mple) votienten og en pinciple est i følgene tilfæle: ) n = 493 og = 8 b) n = 858 og = 37 c) n 7 og = 5 ) n 555 og = 5 Opgve.9: Kot fomuleing: Fin mængen A beståene f lle e tl, e give smme pinciple est ve ivision me 7 som 43 gø. Lng fomuleing: Nå mn iviee 43 me 7, få mn en est (e e et f tllene 0 6). De e ne tl en 43, e ivieet me 7 give esten. Fin lle isse tl opsevet som en mænge. Opgve.0: Fin mængen B beståene f lle e tl, e give smme pinciple est ve ivision me 7 som 4 gø. Opgve.: Fin mængen C beståene f lle e tl, e give en pinciple est 0 ve ivision me 7. Opgve.: Fin tl ét i mængen A og ét i mængen B hvis sum IKKE ligge i mængen C. Opgve.3: Hv e fælles fo lle e tl, mn få, hvis mn subthee et element f mængen B f et element f mængen A? Kpitel : RESTKLASSER (hele tl) De fsluttene opgve i foige pitel sulle gene hve givet en fonemmelse fo inholet f en følgene efinition, e buges til t æe tl me en bestemt egensb smmen. Definition.: L væe et positivt tl. Så les to tl og b onguente moulo, hvis e give smme pinciple est ve ivision me, og mn sive: b mo. Opgve.: Bestem mængen D f tl, e e onguente me 4 moulo 5. Opgve.3: Bestem mængen E f tl, e e onguente me -3 moulo 6. Opgve.4: Bestem mængen F f tl, e e onguente me 7 moulo. Opgve.5: Hv e fælles fo lle e tl, mn få, hvis elemente f D subthees? Opgve.6: Hv e fælles fo lle e tl, mn få, hvis elemente f E subthees? Øvelse.7: Fin et bevis fo, t følgene usgn ) og b) e ensbetyene (bemæ ltså, t ette e et netop hvis -usgn): ) og b give smme pinciple est ve ivision me. b b) Det v Guss, e i 80 i sit væ Disquisitiones Aithmetice inføte betegnelsene f efinition. (blnt en msse ne ting). Mn hve tiligee bejet me pobleme f en slgs, fo e opstå helt ntuligt, nå vi opele gene i uge og månee (onguens moulo 7 og onguens moulo ), men Guss systemtiseee et og bugte et til t ulee og bevise en hel el sætninge (heiblnt en inesise estlssesætning som u selv må fine, hvis u vil vie, hv en gå u på). 7

8 Nu n begebet estlsse inføes: Definition.8: L væe et givet positivt tl. Så e estlssen : b b mo Bemæ smmenhængen mellem enne efinition og opgvene.-.6. Esempel.9: Fo = 9 e 7...,,,7,6,5,... &5..., 3, 4,5,4,3, Bemæning.0: Ligesom mn inføte en pinciple est blnt uenelig mnge mulige este, så begænse mn sig også til estlssene 0. Disse estlsse n mn så egne me efte nogle bestemte egle. Kpitel 3: FÆLLES DIVISORER (hele tl) Definition 3.: Tllet les en fælles iviso fo og b, hvis og b. Esemple: ) L = og b = 9: Tllet 3 gå op i båe og b, og efo e 3 en fælles iviso fo og 9. ) L = og b = 9: Tllet -4 gå op i, men et gå ie op i b. Deme e -4 ie en fælles iviso fo og b. 3) L = 37 og b = -7. Tllet 3 gå hveen op i elle b og e efo ie en fælles iviso fo og b. Bemæning 3.: Alle tl botset f 0 h et begænset ntl ivisoe, og e iviso i lle tl. Så hvis og b ie begge e 0, e mængen f fælles ivisoe hveen tom elle inehole ueneligt mnge elemente. Deme må e væe et støste tl blnt isse fælles ivisoe, og et les en støste fælles iviso fo og b. Mn sive ette tl som sf(,b), gc(,b) elle be (,b). Esempel: L = 5 og b =. Divisoene til A e elementene i mængen A 5, 5, 3,,,3,5,5. Divisoene til B e elementene i mængen, 6, 4, 3,,,,,3,4,6, De fælles ivisoe e så elementene i C 3,,,3. B. Og f isse ivisoe e 3 en støste, og eme e sf(5,) = 3 Følgene efinition psse ntuligt in efte bemæning 3., og efo inføes en, selvom en føst sl buges senee. Definition 3.3: To tl og b les (inbyes) pimise, hvis sf(,b) = 8

9 Esemple: ) F esemplet ovenfo h mn, t sf(5,) = 3, og 5 og e eme ie inbyes pimise. ) Se på = og b = 0. A, 7, 3,,,3,7,. Divisoene til A e elementene i mængen Divisoene til B e elementene i mængen B 0, 5,,,,,,5,0. De fælles ivisoe e så elementene i C,. Og f isse ivisoe e en støste, og eme e sf(,0) =. Altså e og 0 inbyes pimise. Bemæ, t ingen f em e pimtl (se evt. efinitionen i pitel 6). Opgve 3.4: Hvile f neenståene sætninge e IKKE igtige fo og b fosellige f 0: ) sf(,b) b) sf(,b) = sf(b,) c) sf(,0) = ) sf(,b) = sf(,-b) e) sf(,0) = sf(b,0) f) sf(, b) g) sf(, b) b Og så sl vi også lige hve en efinition, e ie e specielt nyttet til tlteoi, men som oftest fine nvenelse i ligningssysteme, vetoegning og iffeentilligninge. Den sl benyttes i et eftefølgene, og vi h lleee stiftet beentsb me en i sætning. ). Definition 3.5: L og b væe to givne tl. En lineombintion f isse tl e et uty f fomen x y b, hvo x og y e to tl, e les lineombintionens oefficiente. Esempel 3.6: En lineombintion f tllene -3 og 8 unne væe Det unne også væe Bemæning 3.7: Mn n lve lineombintione f flee en to tl, og mn n lve et f funtione elle ne uty. Gæt selv hvon. Øvelse 3.8: Bestem sf(6,4) ; sf(,) ; sf(7,45) ; sf(70,) ; sf(-66,90) og sf(37,0). Øvelse 3.9: I Mple n u sive gc(7,45) fo t fine sf(7,45). Kontollé ine sv. Esempel: Mn n lve lle mulige lineombintione f to tl. Me ugngspunt i tllene 6 og 4 f øvelse 3.8 og en ommene øvelse 3.0 n mn bl.. nne følgene lineombintione: De e ie noget specielt ve isse lineombintione. Det e be esemple som inlening til følgene øvelse: 9

10 Øvelse 3.0: Du sl nu fine en lineombintion f følgene tlp, e give et lvest mulige positive tl: ) 6 og 4 b) og c) 7 og 45 ) 70 og e) -66 og 90 f) 37 og 0 En mtemtipofesso f mtemtis institut på KU h engng sgt: De fines to slgs mtemtise sætninge: De tivielle og e foete. Den følgene sætning e ie foet. Sætning 3.: L og b væe tl, e ie begge e 0. Så fines e en lineombintion f og b, så: sf, b x b y Bevis: L og b væe tl, e ie begge e 0, og l L væe mængen beståene f e lineombintione f og b, e e positive. Det e vigtigt t bemæe, t mængen L ie n væe tom, fo mn n lti fine en positiv lineombintion (f.es. vil 0b 0, hvis ie e 0, og hvis e 0, vælge mn blot t multiplicee b me b). L e ie begænset op til, men en må inehole et minste element, en e begænset ne til (Dette e en f e egensbe, e gæle fo ntulige tl, men ie fo eelle tl). L m væe ette minste element. Dvs. mn h: m x y b og m. Vi smmenligne sf(,b) og m. D sf(, b) og sf(, b) b, følge et f sætning. ), t sf(, b) m, hvilet igen føe til, t sf(, b) m. Vi n nu gennemføe beviset me et iniete bevis (mostisbevis): Vi ntge efo, t m IKKE gå op i. Og l os så se, hv et føe til: Ifølge sætning.5 fines så og, så m ; 0 m. Bemæ ltså, t ntgelsen føte til, t > 0. Mn h så: m x y b x y. b Men hov! He stå jo en lineombintion f og b, og > 0, så må ligge i L. Men vi også h, t m, omme vi i mosti me, t m e et minste element i L. Vi n ltså se, t voes ntgelse om, t m ie gå op i, h føt til en mosti. Deme må enne ntgelse væe foet, og ltså må m gå op i. Pæcis smme gumenttion n gennemføes me b, så mn h ltså, t m og m b. Dvs. t m e en fælles iviso i og b. Men sf(,b) e STØRSTE fælles iviso, så ve mn, t m sf(, b). D vi også ve, t sf(, b) m, n vi ltså se, t sf(, b) m, og heme e sætningen vist. 0

11 He følge så oolle. Et ooll e en sætning, e følge lige efte en nen sætning og æve intet elle un et lille bevis. Det n følge iete f en foegåene sætnings oly evt. ombineet me en nen sætning elle en efinition elle f beviset fo en foegåene sætning. Det føste ooll følge f beviset fo sætning 3.: Kooll 3.: Det minste, positive tl, e n femomme ve en lineombintion f og b, e sf(,b). Dette ooll n sætte en stoppe fo et evigt fosøg på t fine mine positive tl i opgve som øvelse 3.0. Det net ooll følge f efinition 3.3 og ooll 3. (vs. sætning 3. smt beviset fo enne sætning): Kooll 3.3: og b e inbyes pimise, netop hvis e fines en lineombintion x y b Esempel: Mn h, t Hef n mn onluee, t 5 og 33 e inbyes pimise. Men ie blot et. Ftoenes oen e jo ligegylig, så mn h også, t: 0 og 33 e inbyes pimise og 0 og -3 e inbyes pimise og 5 og -3 e inbyes pimise. Øvelse 3.4: Det n væe meget fint me en sætning som sætning 3.. Men pøv engng t fine sf(776,856) uen bug f Mple og bgefte t fine en lineombintion f tllene, e give enne støste fælles iviso. Som et gene sulle femgå f ovenståene, fotælle sætning 3. un noget om, t e esistee en lineombintion, e give en støste fælles iviso. Det e en sålt Esistens-sætning. Men en n ie buges til t fine hveen støste fælles iviso elle en søgte lineombintion. De fines imileti en sån metoe, e h væet ent i ove 000 å. Den stå i pitel 7 i sin opinelige (ovestte) oly. Men i føste omgng gennemgås en i pitel 5. He omme føst nogle sætninge om støste fælles ivisoe: Kpitel 4: SÆTNINGER OM STØRSTE FÆLLES DIVISORER (hele tl) I mtemti n mn sgtens fomulee og bevise sætninge, foi mn h lyst. De behøve ie t væe et fomål me et. Desvæe e et ie tilfælet me e 4 sætninge i ette pitel. De føste buges til t vise e siste, og e siste buges ie til t vise e føste, fo en slgs gå un inen fo pseuoviensbe, men til t vise sætninge i pitlene 5 og 6. Og hvem ve, måse sl e pluselig buges i ne pitle til t ee os u f en håbløs sitution? Det gø jeg, og et sl e ie.

12 Sætning 4.: Alle fælles ivisoe fo og b gå op i sf(,b) Esemple: ) L = 30 og b = 4. Divisoene i e elementene i A 30, 5, 0, 6, 5, 3,,,,,3,5,6,0,5,30. Divisoene i b e elementene i 4,, 4, 7, 6, 3,,,,,3,6,7,4,, 4 De fælles ivisoe e så elementene i C 6, 3,,,,,3,6. B. Deme e sf(30,4) = 6. Og som et bemæes, så e smtlige elemente i C ivisoe i 6, hvilet e i oveensstemmelse me sætning 4.. ) L = -3 og b = 7. Divisoene i e elementene i A 3,,,3. Divisoene i b e elementene i 7, 9, 3,,,3,9, 7 De fælles ivisoe e så elementene i C,. B. Deme e sf(-3,7) =. Og - og begge e ivisoe i, så e e igen oveensstemmelse me sætning 4.. Bevis: Sætning 3. sige, t e fines en lineombintion f og b, så Hvis f e en fælles iviso fo og b (vs. f sf, b. sf(, b) x y b. og b ), så følge f sætning. ), t Hvis u mene, t beviset ie e fylestgøene elle inehole fejl, så gå til øvelse 4.. Hvis u efte nøje ovevejelse og me in itise sns fule bug mene, t beviset og eme sætningen e igtigt, så gå til øvelse 4.3 Øvelse 4.: Fin to tl og b og en fælles iviso fo isse, e IKKE gå op i sf(,b). Øvelse 4.3: Fin smtlige fælles ivisoe fo 4 og 8 og se, t e gå op i en støste f em. Opgve 4.4: Fin tl, hvo smtlige fælles ivisoe e følgene 4 tl,, 3, 4, 6, 9,. Opgve 4.5: Fin e minste, fosellige, positive tl, hvo smtlige fælles ivisoe e følgene 8 tl,, 5, 0 Sætning 4.6: Fo ethvet positivt tl c gæle sf( c, c b) c sf(, b) f f Esempel: L 0, b 0 og c 7. Du n evt. buge Mple til t vise: c 40 c b 770 sf(, b) sf( 0,0) 0 sf( c, c b) sf( 40,770) 70 Og ve insættelse ses ette t væe i oveensstemmelse me sætning 4.6, mn h et sne usgn:

13 He følge to et fosellige bevise fo sætning 4.6. Bevis : I ette bevis benyttes en femgngsmåe, e elvist blev benyttet i siste el f beviset fo sætning 3.. Sætningen vises nemlig ve, t e føst gøes ee fo, t højesien e iviso i venstesien, og eefte t venstesien e iviso i højesien: Mn h, t sf(, b) og sf(, b) b. Og c e positivt, h mn ltså ifølge sætning. b), t c sf(, b) c og c sf(, b) c b. Dette vise, t c sf(, b) e iviso i båe c og c b, vs. et e en fælles iviso fo c og c b c sf(, b) sf( c, c b). Det e oplgt, t fælles iviso fo gæle ifølge efinition., t D. Og ifølge sætning 4. gæle ltså, t c c og c c b (votientene e henholsvis og b). Men heme e c en c og c b. Ifølge sætning 4. h mn ltså, t c sf( c, c b) sf( c, c b) c. c ltså e en støste fælles iviso fo c og b. Deme c, så gæle specielt, t c c og c c b. Men så n sætning. b) jo buges igen! D c ie e nul, gæle ltså: og b. Dvs. e fælles iviso fo og b, og eme sf(, b) (sætning 4.). Og he omme sætning. b) in igen. Den give, t c c sf(, b). Og nu ene vi jo lleee c f tiligee, så vi h: sf( c, c b) c sf(, b). Og smmenholes e unestegee onlusione, e sætningen vist. Bevis : Dette bevis e bygget op oming ooll 3.: Ifølge sætning 3. fines e tl x og y, så sf( c, c b) c x c b y c x b y D sf( c, c b) 0og c 0, e også lineombintionen x b y 0. Men vi ve f ooll 3., t x b y sf(, b) Hvis mn i steet tge ugngspunt i c sf, b, og eme sf( c, c b) c sf, b, sige sætning 3., t e fines tl xog y (ftis e et e smme tl som x og y, men et n mn føst vie, nå beviset e gennemføt), sålees t, c sf b c x b y c x c b y. D sf(, b) 0og c 0, e også lineombintionen Så ve vi f ooll 3., t c x c b y sf c, c b. Deme e sf( c, c b) c sf, b c x c b y. 0 Smmenlignes e to unestegee usgn, h mn sf( c, c b) c sf(, b) Øvelse 4.7: E et nøvenigt, t tllet c e positivt? Kn et ie be væe foselligt f 0? Øvelse 4.8: Hvo i bevis benyttes implicit, t c e positivt? Esempel: Sætning 4.6 give en metoe til t fine støste fælles ivisoe (som nævnt følge ennu en i pitel 5). Så l os pøve t fine støste fælles iviso fo 660 og 780: sf(660,780) sf(330,390) sf(65,95) 3 sf(55,65) 35 sf(,3) Denne metoe n selvfølgelig un buges, nå et e nemt t fine tl, e gå op i båe og b. 3

14 Øvelse 4.9: Fin uen bug f Mple en støste fælles iviso fo følgene tlp og ontollé eefte me Mples gc : ) 84 og 36 b) 408 og 600 c) 50 og 55 ) 756 og 97 Sætning 4.0: c b sf c, b c I o sige sætningen ltså, t hvis c e iviso i et pout f ftoe og inbyes pimis me en ene fto, så e en iviso i en nen fto. Esempel: L = 33, b = 5 og c =. Så h mn b Og nu se mn så på olyen f sætning 4.0: Mn n se, t Deme sl e gæle, t c b, og esuen e sf(,5) =, så betingelsene e opfylt. c, og et psse. Men nu vise et esempel jo ie, om en sætning e igtig, så he omme et p bevise: Bevis : L Bevis : L c b sf c, b. Sætning 4.6 give sf( c, b) sf( c, b) (ovevej numeistegnet!). Heme e en ene fousætning benyttet. Mn h, t c c, og ifølge fousætningen gæle også c b. Dvs. t c e fælles iviso fo c og b, og eme gæle ltså ifølge sætning 4., t c e iviso i sf( c, b). Men heme må c ltså også væe iviso i, et evt. fotegn ie æne ve ivisoene. c b sf c, b. D b og c e inbyes pimise, følge f ooll 3.3, t e fines tl x og y, så: c x b y og eme c x b y D b e ivisibelt me c (ifølge ntgelsen), fines et tl, sålees t b c Deme h mn: c x c y c x y Men støelsen ine i pentesen e et tl, så ifølge efinition. gæle ltså c. Øvelse 4.: Du få oplyst, t 7 e iviso i Benyt sætning 4.0 til t vise, t 7 også e iviso i Og he følge så til sist en sætning, e sl buges i næste pitel. Sætning 4.: L væe en pinciple est ve ivision f b me. Så e sf(, b) sf(, ) 4

15 Esempel: L = 6435 og b = D , e en pinciple est ltså Og mn n evt. ve bug f Mple vise, t e gæle: Sf(6435,57460) = 65 og sf(6435,5980) = 65. Esempel: L = og b = D , e en pinciple est ltså I ette tilfæle e = b, og så e sætningens onlusion oplgt. Øvelse 4.3: Afpøv, om sætning 4. hole i situtionene: ) b = 7 og = 30 b) b = 9 og = 5 c) b = 8479 og = 573 ) b =8446 og = 8 e) b = 00 og = 50 Bevis fo sætning 4.: L og væe e entyigt bestemte tl ifølge sætning.5. Så e: b ; 0 D sf(,) e iviso i båe og, følge f sætning..), t sf(,) e iviso i b. Og sf(,) efo e fælles iviso fo og b, så følge f sætning 4., t sf(, ) sf(, b). Se nu på sf(,b): Mn n omsive utyet b til b, og sf(,b) e iviso i båe og b, følge f sætning..), t sf(,b) e iviso i. Og sf(,b) efo e fælles iviso fo og, følge f sætning 4., t sf(, b) sf(, ). Ve t betgte e unestegee uty ses et, t sætningen e vist. Opgve 4.4: De e noget ovefløigt i sætningens fomuleing, e også give sig uty i, t e e en betingelse i beviset, e ftis ie buges til noget. Hv e et? Kpitel 5: EUKLIDS ALGORITME (ntulige tl) Bemæ!!! Algoitme: En lgoitme e en fosift fo en følge f beegningstin, e n buges på nogle onete t til t omme fem til et ønset esultt. Dvs. mn besive en æe menise tin, e sl foetges ofte igen og igen intil et bestemt esultt femomme. En compute e go til sånne beegninge, e ie æve, t mn sl tæne, og efo benyttes lgoitme meget inen fo tlogi. Eulis lgoitme n benyttes til t fine en støste fælles iviso fo tl ( og b), og en n esuen onstuee en lineombintion, e e lig me en støste fælles iviso. De ses i føste omgng un på en el f lgoitmen, e give en støste fælles iviso. Hvon mn fine lineombintione, besives senee. 5

16 EUKLIDS ALGORITME Plcé b som ivien n og som et tl, e sl iviees me. Foetg ivisionen mellem n og : Hvis >0 Hvis = 0 L væe ny ivien og nyt tl, e sl iviees me: e sf(,b) n Bemæning 5.: At ette vielig føe til en støste fælles iviso fo og b ses på følgene måe. Nå = 0, h mn, t n og eme sf(, n). Hvis ivisionen gi op i føste sit, e et og b, e sve til og n. Men elles e et og f et tiligee sit (hus, t n og ). Men ifølge sætning 4. e sf(, n) sf(, ), vs. mn vil i lle sit hve, t en støste fælles iviso fo ivienen og tllet, e iviees me, e en smme som fo tllet, e iviees me, og esten. Og i siste ene e et ltså støste fælles iviso fo og b. Esempel 5.: Mn sl fine støste fælles iviso fo 805 og 688. Føst sættes 688 som ivien og 805 som tllet, e iviees me ( 688 > 805). Så foetges ivisionen, e give: D 578 > 0, sætte mn nu 805 som ny ivien og 578 som nyt tl, e sl iviees me, og en ny ivision uføes: D 493 > 0, sættes 578 som ny ivien og 493 som nyt tl, e sl iviees me: D 85 > 0, sl mn foetge smme sit igen: D 68 > 0, fotsættes: D 7 > 0, fotsættes: He e esten 0, og 7 e en sist nvente iviso, h mn sf ( 805,688) 7 Ftis e et ie vigtigt, om mn plcee elle b som ivien elle som tl, e sl iviees me. Hvis et støste tl hvne som tl, e sl iviees me, vil lgoitmen blot sulle øe ét sit mee som følgene esempel vise: 6

17 Esempel 5.3: Mn sl fine støste fælles iviso fo 030 og Dvs. t e sf(030,754) Øvelse 5.4: Benyt Eulis lgoitme til uen Mples gc - t fine støste fælles iviso fo følgene tlp og ontollé eefte esultte me Mple: ) 4 og 30 b) 9 og 7 c) 8479 og 573 ) 8 og 8446 e) og f) 9878 og 9873 g) 073 og 553 Me bogstve omme opsivningen til t se sålees u: b Hvo ltså m sf(, b). m m 3 4 m 3 m m 3 m 4 m Hvis bemæning 5. v svæ t ovesue, blive et måse nemmee ve t se på ovenståene følge. Igen sl e gumentees fo, t lgoitmen føe fem til sf(,b). Ve gentgen bug f sætning 4. på ovenståene begynene f toppen få mn: sf, b) sf(, ) sf(, ) sf(, ) sf(, )... sf(, ) sf(,0) ( m m m m 7

18 8 Nu sl vi så se på, hvon mn fine lineombintionen, e give sf(,b). Fo ovesueligheens syl ses på en mine følge, hvo mn esuen isolee estene: b b Mn begyne så neef i følgen til høje og få ve gentgne insættelse f en ovenståene linjes højesie (unevejs inføes nogle nye onstnte q fo t gøe opsivningen simplee): b q q b q q q b q q q q q q q q b sf ), ( Og vupti! He e så en søgte lineombintion. Som et ses, n mn uvie metoen til æe f vilålig længe. He omme et onet esempel, hvo mn benytte uegningen f esempel 5.: Esempel 5.5: Føst ses på æen f esempel 5., hvo estene e isoleet: Og som u måse eine, e sf(688,805) = 7. Mn få så følgene uegning, e følge ovennævnte metoe: Så he e en ønsee lineombintion. Kontollé selv, t et psse. Opgve 5.6: Benyt Eulis lgoitme til t fine støste fælles iviso og benyt eefte metoen f esempel 5.4 til t fine lineombintionen i følgene tilfæle: ) 05 og 54 b) 307 og 85 c) Tllene f esempel 5.3

19 Kpitel 6: PRIMTAL (ntulige tl botset f 6.8 ene) Føst sl et lige efinees, hv et pimtl e (hus, t vi nu beje me ntulige tl): Definition 6.: Et pimtl e et tl p >, e un h tivielle ivisoe. Opgve 6.: Mn unne også fine ne fomuleinge f efinitionen. Hvilen elle hvile f neenståene e og IKKE igtige: ) Et pimtl e et tl me netop ivisoe. b) Et pimtl e et tl, e un h tivielle ivisoe. c) Et pimtl e et tl, hvo un og tllet selv e ivisoe. ) Et pimtl e et tl støe en, e ie n sives som pout f tl uen t e en ene fto. Opgve 6..: Fin et minste pimtl p, e h en egensb, t p e et helt tl. Definition 6.3: Et tl s >, e ie e et pimtl, les et smmenst tl. Vi sl nu se på en måe t fine pimtllene op til et givet tl. Metoen les Etosthenes si, og et e en lgoitme. Den gå u på følgene: Etosthenes si 6.4: ERATOSTHENES SI Opsiv lle tllene f op til et givne tl på en æe. Sæt steg une føste tl i æen, e ie lleee e steg une, og slet lle e tl, som et pågælene tl e iviso til (e blive siet f) Hvis e e tl tilbge i æen uen steg une. Gå tilbge og ufø smme poceue vs. yst sien igen. Hvis e ie e tl tilbge i æen uen steg une. Tllene me steg une e e søgte pimtl Esempel: Pimtllene une 30 sl fines: Dvs. t pimtllene op til 30 e:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3 og 9 9

20 Øvelse 6.5: Bestem ntllet f pimtl une 5 og tje, t e e 5. Som u måse unne få en fonemmelse f, så e ette oplgt et beje fo en compute, elle en Weeenøvelse 6.5.: Fin lle pimtllene op til 0000, og tje, t e e 9 e selv e et pimtl! Vi e nu nået til en f e helt stoe sætninge inen fo tlteoi: Aitmetiens Funmentlsætning. Aitmeti betye på gæs egneunst, så itmetien n betgtes som en el f tlteoien. En funmentlsætning e en yest vigtig sætning, e buges meget inen fo stot set hele et pågælene omåe (i ette tilfæle itmetien). Men inen vi vise en, sl vi føst vise et sålt Lemm, e e en hjælpesætning, e oftest inføes lige inen beviset fo en støe sætning (i ette tilfæle Aitmetiens Funmentlsætning), og som buges i beviset fo enne. Det smte ve lemme e, t e gø bevisene fo e støe sætninge mee ovesuelige, og esuen fungee et lemm som en lminelig sætning ( et bevises), så mn n henvise til et senee. Lemm 6.6: Fo ethvet pimtl p gæle: p b p p b. Esemple: ) L p væe pimtllet 7, og l = 3 og b = 39. D 7 hveen e iviso i 3 elle 39, n 7 helle ie væe iviso i , fo HVIS 7 v iviso i 897, så ville en ifølge sætningen væe iviso i 3 elle 39. ) Ve en tilfælighe h mn funet u f, t et om pimtllet 93 gæle, t , og mn ve ntuligvis, t F sin weeenøvelse 6.5. huse mn, t 9 e et pimtl, så 93 n ie gå op i 9. Mn n efo ve hjælp f lemm 6.6 onluee, t , hvilet lti e t t vie. Lemm 6.6 n bevises ve t buge ooll 3.3 og ntge, t p ie e iviso i enten elle b (følge som en øvelse), men et n gøes ennu nemmee ve t buge sætning 4.0. Så inen u læse beviset neenfo, så tg et ig tilbge og tæn ove inholet f enne sætning. Bevis: L p væe et pimtl, og l p b. Hvis p, psse sætningen. Så nu ntge vi, t p IKKE e iviso i. D p e et pimtl, h et un ivisoene og p, så mn h sf(,p)=, og så sige sætning 4.0, t p b. Tæn lit ove et og opg, t beviset e føt. Øvelse 6.7: Ovevej, om enne sætning n uvies til t gæle fo flee tl, vs. Øvelse 6.8: Fomulé en pågælene sætning og fin et bevis fo en. p b c. Spøgsmål 6.9: Kn u føe et bevis fo, t sætningen også gæle fo Hvis j, så gå til øvelse 6.0. Hvis nej, så gå til øvelse p... 3 n? Øvelse 6.0: Fomulé sætningen og gennemfø beviset. Du vil no esplicit elle implicit omme til t buge et sålte inutionssiom. Øvelse 6.: Fin et bevis fo lemm 6.6, hvo u buge ooll 3.3.

21 Aitmetiens Funmentlsætning 6.: Ethvet tl n > e enten et pimtl elle n sives 3 s som et pout f pimtl n p p p3... p s, hvo et fo lle i gæle, t pi e et pimtl, og i j pi p j, og enne opsivning e entyig på næ pemuttione f ftoene, vs. t 3 t hvis e fines en nen opsivning n q q q3... q t, hvo et fo lle i gæle, t qi e et pimtl, og i j qi q j, så e s = t, og fo lle i se pi qiog i i. Det e væsentligt t bemæe, t sætningen bestå f en esistens-el og en entyighes-el. Inen selve beviset sl vi se lit på isse to ele i helt onete tilfæle. At fine en opsivning 3 s n p p p3... p s les også t opløse tllet i pimftoe. Øvelse 6.3: Esistens. Opløs følgene tl i pimftoe: 6, 65, 4, 0, og Øvelse 6.4: Entyighe. Hvile opløsninge om lssens eleve fem til? Øvelse 6.5: Mple n fine sånne ftoiseinge. Det foegå ve t sive ifcto(***). Pøv ette på tllene f øvelse 6.3. Ovenståene øvelse sulle gene hve givet ig en ié om inholet f enne funmentle sætning. Og nu omme så beviset: Bevis fo 6.: Føst ses på esistensen. L n væe et tl støe en. Hvis n e et pimtl, e e ie noget t vise, fo så sige sætningen ie noget. Så l n væe et smmenst tl. Det n efo sives som et pout n f tl støe en. Tllene og n nu hve isæ væe et pimtl elle et smmenst tl. Hvis et e et pimtl, gø mn ie mee ve et, men hvis et e smmenst, sives et som et pout f to tl støe en. Antg f.es., t e et smmenst tl og et pimtl. Så få mn nu n. Smme poceue nvenes nu på og. Hvis tllet e et pimtl øes et ie, men hvis et e smmenst sives et som pout f to tl støe en. Hvis f.es. båe og e smmenstte tl, få mn n. Og sån fotsættes, så længe e e minst ét smmenst tl blnt ftoene. Og he omme så pointen: Denne opløsning må nøvenigvis stoppe på et tispunt, e smmenstte tls ftoe e mine en tllet selv, så tllet n n i hvet fl ie opløses mee en n gnge ve enne poces (ftis lngt mine - ntllet f ftoiseinge n ie ovestige ln( n) - men et væsentlige e t hve en øve gænse). ln() Til sist h mn ltså fået opsevet n som et pout f pimtl, f.es. n Alle isse pimtl omøbes nu og ones (ftoenes oen e ligegylig), så e minste pimtl stå til venste. Nogle f isse pimtl n got væe ens, f.es. unne, og i 3 s så fl sives e som potense. På en måe femomme n p p p3... p s

22 Nu gæle et så entyigheen f enne opløsning: 3 s 3 t L n p p p3... p s væe en funet opløsning. L n q q q3... q t væe en nen funet opløsning. Det ønses nu vist, t isse to opløsninge nøvenigvis må væe ens. 3 3 Mn h:... s t p p p p q q q... q. 3 s 3 Vi se nu på et minste pimtl, e optæe i enne ligning. Det e enten p elle q (vi vise lige om lit, t p q, så ftis e et båe-og, og mn n fit vælge et f em). Antg, t et e p. Det e iviso i venstesien, og et må efo også væe iviso i højesien. Men så må p ifølge lemm 6.6 (på fomen f øvelse 6.0) også væe iviso i en f ftoene q i på højesien. Men q i e jo et pimtl, så et h un tivielle ivisoe. Så eme må p q i, og ltså qi q, ingen f q ene v mine en p. Hvis mn hve tget ugngspunt i q, v mn også ommet fem til p q me smme gumente. Denne fto n ltså footes væ f begge sie, og mn uføe smme poceue på en nye ligning. Sån fotsættes, og mn få eftehånen footet lle e ftoe, e femomme på begge sie, væ f ligningen, sålees t e ie e flee pimtl tilbge på en ene sie, vs. un tllet stå tilbge. Men så må et smme gæle på en nen sie f lighestegnet, fo elles ville usgnet ie væe snt, og mn h eme vist, t e to opløsninge e ientise. t Esempel 6.6: Sætning 6. n buges til t bestemme ivisoene, hvis mn n fine pimftoopløsningen. Hvis mn f.es. ene pimftoopløsningen , n mn ve lle e mulige ombintione f e 3 pimftoe fine ivisoene, e ltså e (hus, t vi nu h begænset os til ntulige tl):

23 Esempel 6.7: Et net esempel e , e h ivisoene: Benyt i e følgene te opgve Mple til t opløse tllet i pimftoe og bestem eefte : Opgve 6.8: ivisoene i Opgve 6.9: ivisoene i Opgve 6.0: ivisoene i 479. Opgve 6.: Et tl n n opløses i pimftoene n p p, hvo pimtllene e fosellige. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.: Et tl n n opløses i pimftoene n p p p3, hvo pimtllene e fosellige. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.3: Et tl n n opløses i pimftoene n p p, hvo pimtllene e fosellige. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.4: Et tl n n opløses i pimftoene n p p p3, hvo pimtllene e fosellige. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.5: Et tl n n opløses i pimftoene 4 n p. Hvo mnge ivisoe h tllet? 7 Opgve 6.6: Et tl n n opløses i pimftoene n p. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.7 (f Geog Moh 006): Et ntuligt tl n, som højst e 500, h en egensb, t nå mn vælge et tl m tilfæligt blnt tllene,, 3,, 499, 500, så e snsynligheen fo t m gå op i n. Bestem en støst mulige væi f n. 00 3

24 Som u no huse f ovesiften til pitlet, gå vi nu fo en ot stun væ f begænsningen til ntulige tl og se på nogle sætninge (i glig tle omtlt som 6.8 ene), hvof en føste egentligt i sin oly e ovefløig, en - som u snt vil se - e et simpelt ooll til sætning 6.8.b. Men et e et heligt bevis, så lene f en gun omme en he: Sætning 6.8: e et itionelt tl. Bevis: Sætningen bevises ve et iniete bevis (mostisbevis). Antg, t e tionelt, vs. t et n sives som en ufootelig bø: n. m m n ie væe, mn så h n, vs. så sulle et væe et ntuligt tl, hvilet vi ve, t et ie e. n n helle ie væe, fo så give bøen et tl mine en, og vi ve, t e et tl støe en. Dvs. t n og m begge e støe en. n og m n ifølge Aitmetiens Funmentlsætning begge sives som et pout f pimftoe, og bøen e ufootelig, h e ingen fælles ftoe. Dvs: s p p... ps q q... q p p... p q q... q p p... p t q q... q t t s t s t s t s Men så må et f pimtllene på højesien hvis e e onet, e et p væe tllet, fo et gå jo op i venstesien og må efo også gå op i et f pimtllene på højesien (jævnfø beviset fo AF elle lemm 6.6). Vi n efo foote me tllet på begge sie, og p, få mn ltså... t s q q q p p... p. t Men nu n vi ltså se, t et f pimtllene på venstesien må væe (hvis e e onet, e et q), fo e jo iviso i højesien. Dette e i mosti me, t n og m ie h fælles ftoe, fo e h jo begge ftoen. Voes ntgelse om t et onluees, t e et itionelt tl. s e tionelt, må ltså væe foet. Deme n Det gi jo meget nemt. Sl vi så ie fotsætte me t bevise, t også e et itionelt tl? Nej, et e lngt f så let. Det blev føst vist i 76 f Johnn Heineich Lmbet, hn bejee me tngensfuntionen. Mn hve egnet me, t v itionelt, men beviset hve let vente på sig. Smme å ugv Lmbet esuen et væ om stjene og glse. Så hn hve gng i lit fosellige ting. Men l os vene tilbge til vtøene. E e noget specielt i, t e itionelt, elle gæle et fo ne vtøe? Det e jo ie svæt t fine vtøe, e e ntulige tl. He tge mn be lle vttllene som ugngspunt. Men fines e ntulige tl, hvis vtøe e tionelle, men ie ntulige, tl? Øvelse 6.8.: Pøv t fine et elle flee ntulige tl, hvis vtøe e tionelle men ie ntulige tl, og nå u e ommet fem til, t et ie n le sig gøe, n u gå viee til sætning 6.8.b. og blive beæftet i in fomoning. Sætning 6.8.b: Hvis n e et ntuligt tl, e n enten et ntuligt tl elle et itionelt tl. 4

25 Bevis: Sætningen bevises ennu en gng me et mostisbevis, og et mine om beviset fo 6.8. L os ntge, t n e et ntuligt tl, og n e et tionelt men ie et ntuligt tl. De fines så inbyes pimise (hele) tl og b, hvo b, og hvo n. b Tælle og nævne n opløses i pimtl ifølge Aitmetiens Funmentlsætning, så mn h: s p p... ps n nq q... q p p... p t q q... q t t s t s hvo e e minst ét q, men hvo mn evt. h, vs. fomelt s = 0 i tælleen, e så ie e nogen pimtl i tælleen. Og og b e inbyes pimise, e e ingen fælles pimtl i tælle og nævne. Men he e e så en mosti, fo e to sie i ligningen e jo smme tl, men venstesiens opløsning i pimftoe inehole minst ét pimtl q, og ette pimtl ingå ifølge ntgelsen om inbyes pimise tl IKKE på højesien. Men pimftoopløsningen e entyig ifølge Aitmetiens Funmentlsætning, så n høje- og venstesien ie væe ens. Voes ntgelse om, t n e et tionelt tl, føe ltså til en mosti, så sætningen e bevist. Og så tilbge til pimtllene! Du sl væe opmæsom på, t Mple h en test f pimtl ispime", e fotælle, om et tl e et pimtl. F.es. vil "ispime(7)" give svet "tue". Hvis mn se på pimtllene onet efte støelse og stillet op på en æe, n mn snt opge, t tætheen f em som helhe hutigt blive mine og mine. Det vie no ie så mæeligt, et stot tl lt net lige må hve flee mulighee fo t hve ie-tivielle ivisoe. Men pøve mn t tælle viee, vil mn opge, t ntllet f pimtl inen fo et vist intevl fgjot ie n besives på en simpel måe. Se på neenståene tbel, e ngive ntllet f pimtl i 0 intevlle på 000 tl: Tllene Antl pimtl Føst ses et lt fl, men eefte blive et mee yptis. Så l os i steet se på noget, mn h mee sty på: Sætning 6.9: De e uenelig mnge pimtl. Det e vist mest lmineligt t bevise ette me et iniete bevis hvilet n hve histoise åsge, som vi sl se i næste pitel - og et følge som Bevis A. De e og en vigtig pointe i et net iete bevis, så et følge som Bevis B : Bevis A fo sætning 6.9: Det ntges, t e IKKE e uenelig mnge pimtl. Smtlige pimtl n efo sives som en enelig følge p, p, p3,,pn. Se nu på tllet: P p p p... p. Dette tl e enten et pimtl elle n opløses i pimftoe ifølge 3 n Aitmetiens Funmentlsætning. Men et siste n ie væe muligt, fo ingen f pimtllene p, p, p3,,pn n væe iviso i P, e e ivisoe i p p p3... pn, men ie i. Deme må P væe et pimtl. Men et e i mosti me, t 3,,,..., n p p p p ugjoe smtlige pimtl. Voes ntgelse om eneligt mnge pimtl må efo væe foet., 5

26 Øvelse 6.30: I beviset benyttes P p p p... p til t sbe et nyt pimtl. Kn mn lti 3 n sbe et nyt pimtl på enne måe u f elle flee pimtl? Hvis j, gå til øvelse 6.3. Hvis nej, gå til øvelse 6.3. Øvelse 6.3: Pøv t buge metoen på e 6 lveste pimtl. Gå eefte til øvelse 6.3. Opgve 6.3: Hvon n et gå glt, nå et gi got i beviset? E e noget, vi h oveset i beviset, elle hvo e fejlen? Opgve 6.33: Bestem et minste pimtl sbt på enne måe, e IKKE e et pimtl. Men vi sl nu se, hvon mn ftis KAN sbe et nyt pimtl. Bevis B fo sætning 6.9: L e væe givet n fosellige pimtl p, p, p3,..., p n. Nu onstuees ennu et pimtl på en sneig måe. Se som fø på tllet p p... p. n L nu P væe en minste pimfto i ette tl. En sån fines nøvenigvis, fo enten e tllet et pimtl og e efo selv en minste pimfto, elle også n tllet ifølge Aitmetiens Funmentlsætning opløses i pimftoe, hvof én e en minste. At enne pimfto e fosellig f lle pimtllene p, p,..., pn følge f, t e lle e ivisoe i p p... p n, men ie i. P e ltså et nyt pimtl, og me smme metoe hvo P inluees blnt pimtllene n mn ltså blive ve me t onstuee nye pimtl, vs. e må væe uenelig mnge pimtl. Opgve 6.34: E et nøvenigt, t mn netop vælge en minste pimfto? Esempel 6.34.: Efte i opgve 6.34 t hve ovebevist sig selv om, t mn unne vælge en hvilen som helst f pimftoene, n mn ntuligvis lige så got tge sitet fult u og sige, t mn benytte smtlige fosellige pimftoe som nye pimtl. Så blive femstillingen f pimtl jo mee effetiv. Så l os se på, hvon metoen f bevis B fungee i psis. Hetil h vi bug fo et elle flee pimtl som ugngspunt. L os begyne helt f bunen, så vi nøjes me ét. Og nu h vi jo bug fo et vilåligt pimtl, så jeg tge min tyvesiee tening og slå, intil jeg få et pimtl..et blev 3. Så nu begyne femstillingen: Vi sl tge poutet f lle voes pimtl (he blot 3) og lægge til: 3 + = 4 4 e et smmenst tl, e n pimftoopløses: 4 7 Dvs. og 7 e e nye pimtl, og heme h mn pimtllene 3, og 7. Så tge vi igen poutet og lægge til: Dette e et smmenst tl me pimftoopløsningen: Dvs. t listen me pimtl nu e 3,, 7, 3 og 6. Pocessen øe igen: Ny pimtlsliste:, 3, 7, 3, 9, 6 og

27 Ny pimtlsliste:, 3, 7, 3, 9, 6, 97, 753 og Og he e så et tilfæle, hvo et femomne tl ftis ER et pimtl, som i ette tilfæle ugø et est pimtl, så listen nu lye:, 3, 7, 3, 9, 6, 97, 753, og Og sån fotsætte mn. Bemæ t e femomne pimftoe lti e nye pimtl, hvilen jo også femgi f beviset. Du sulle gene hve bemæet, t esempel ngive en lgoitme til t femstille flee og flee pimtl. Den unne lye: ALGORITME TIL FREMSTILLING AF PRIMTAL Vælg ét elle flee fosellige pimtl og stil em op på æe. L tllet n væe summen f og poutet f lle pimtllene på æen. Opløs n i ets pimftoe. (Hvis n e et pimtl, e et selv en pimfto ) Tilføj pimftoene til æen f pimtl. Esempel 6.34.b: Nu buge jeg lgoitmen me pimtllet som ugngspunt. Jeg sive un e femomne liste op, så u n selv pøve lgoitmen, hvis u vil ontollee et:, 3, 3, 7, 3, 7, 43, 3, 7, 3, 43, 39, 3, 7, 3, 43, 39, , 3, 7, 3, 43, 39, 547, 607, 033, 305, , 3, 7, 3, 43, 39, 547, 607, 033, 988, 305, 67003, , 995,

28 Esempel 6.34.c: Me tllet 5 som ugngspunt fås: 5, 3, 5, 3, 5, 3, 3, 5, 7, 9, 3, 3, 5, 7, 9, 3, 37, 3343, 3, 5, 7, 9, 3, 37, 79, 3343, , 3, 5, 7, 9, 3, 37, 79, 3343, 449, 65060, , Esempel 6.34.: Me pimtllene 3, 7 og som ugngspunt fås: 3, 7,, 3, 7,, 9, 3, 7,, 9, 3399, 3, 7,, 9, 3399, , 3, 7,, 9, 307, 673,3399, 8493, , Esempel 6.34.e: Me pimtllene, 3, 5, 7,, 3 og 7 som ugngspunt fås:, 3, 5, 7,, 3, 7, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 97, 77, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 67, 97, 09, 77, , 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 67, 97, 09, 5, 77, , , Opgve 6.34.f: Benyt lgoitmen me 3 som ugngspunt. Hv e et støste pimtl, u h fået sbt, nå u i lt h 5 pimtl? Opgve 6.34.g: Benyt lgoitmen me som ugngspunt. Hv e et støste pimtl blnt e føste 6 pimtl, u h sbt? Hvis u fi lvet opgve 6.34.g, h u fået fobeet ine fousætninge fo t unne gennemføe øvelsene Bemæ mnglen på system i ovenståene æe f pimtl. Elle måse n u se et system i tllene? Hvis u n, e e temmelig mnge univesitete, e gene vil høe f ig. Esemplene og opgvene i 6.34-seien lægge op til en el spøgsmål: Fines e et ugngspunt f ét elle flee pimtl, e føe til pimtllet 995? He ene vi og svet, vi i esempel 6.34.b så, t ugngspuntet føe til ette tl. Men hv me pimtllet 9843? Elle geneelt: Vil lle pimtl unne femstilles på enne måe? Tllet og tllet 3 som ugngspunt fo lgoitmen føe til e smme pimtl. E e flee tl, e efte et vist ntl sit omme in på smme spo og eefte føe til smme pimtl? Og e e ueneligt mnge? Nu e e ie mee pls på sien, så fin selv på flee spøgsmål. De foegå en løbene jgt på støe og støe pimtl. Computees egneft h gjot ette beje muligt. Det støst ente pimtl v i 999 tllet , e e et tl me cife. I 008 v mn nået op på 43609, e h cife. Fem å senee blev et ovegået me , e h cife. I 06 lyees et så t fine 74078, e h cife. I begynelsen f 990 ene v et 609, et tl e ie længee e blnt e 00 støste, ente pimtl. 8

29 De 0 støste, ente pimtl e lle sålte Mesenne-pimtl (se pitel 9). Men nu mele et vigtige spøgsmål sig så: Øvelse 6.35: Nå mn n sne om et støste, ente pimtl, n e så fines en metoe til t onstuee nye pimtl? Hvis j, så gå til øvelse Hvis nej, gå til øvelse Øvelse 6.36: Men hvis e fines en sån metoe, hvofo buge mn en så ie til t onstuee et pimtl, e e støe en et støst ente? Hvis et syles, t metoen blot give et nyt pimtl, men ie nøvenigvis et stot pimtl, så gå til øvelse Hvis u nu h ænet mening og n se, t e ie n væe en metoe, så gå til øvelse Hvis u mene, t u h en ie omtlt foling, så gå til øvelse Øvelse 6.37: Men i bevis B fo sætning 6.9 og i lle esemple og opgve i 6.34-seien viste vi jo netop en lgoitme til t onstuee nye pimtl. Hvis u mene, t e e noget i beviset elle lgoitmen, e ie hole, så gå til øvelse Hvis u h ænet mening, så u nu mene, t e fines en sån metoe, så gå til øvelse Øvelse 6.38: Men e et ie blot et spøgsmål om t buge metoen igen og igen, intil e ie e flee fosellige pimtl mine en et støste, ente pimtl, hvoefte et næste pimtl nøvenigvis må væe støe? Hvis u mene, t et æve fo mnge uegninge, så gå til øvelse 6.4. Hvis u h ænet in mening, så gå tilbge til øvelse Øvelse 6.39: Fol in læe, hv u mene, e e glt. Hvis in foling e foet, så gå tilbge til øvelse Hvis in foling e go, h u vunet, og n spinge ne til efte øvelsene. Øvelse 6.40: Fol in læe, hv e e glt i beviset. Hvis et lyes, så h u vunet. Hvis et ie lyes, så gå tilbge til øvelse Øvelse 6.4: Det e en go pointe, men et e ie åsgen i ette tilfæle. Gå tilbge til øvelse De e noget fscineene ve metoen i Bevis B fo sætning 6.9. Den give ftis en metoe til t bestemme nye pimtl, men et e en metoe, e KUN fungee, HVIS mn e i stn til t opløse et pågælene tl i pimftoe. Mn ve, t e fines sån en pimftoopløsning, fo et sige Aitmetiens Funmentlsætning, men en sige ie noget om, HVORDAN mn fine en sån opløsning. Og et vise sig ftis t væe temmelig svæt, nå tllene blive stoe. Hvis u ie fi lvet opgve 6.34.g, h u intil viee benyttet Mples ifcto -funtion uen pobleme, men pøv t benytte en på følgene tl (ét tl p. linje), e lle bestå f pimftoe: Tje tiene fo Mples behnling. Det teje tl tge lit længee ti en et net tl, selvom ette e længee. Det hænge smmen me, t et bestå f et eltivt lille pimtl gnget me et eltivt stot pimtl, mens e ne tl bestå f pimtl f nogenlune smme støelse. Det næstsiste tl unne en lommeegne ie le. En elev pøvee me helt nye btteie i en julefeie, og btteiene blev bugt op, uen t et esultt blev nået. Det bestå f 0 cife. Det siste tl e femstillet f mtemtieen Anes Thoup f KU u f pimtl me 60 cife. Hn hævee, t ingen læse nogensine ville væe i stn til t opløse ette tl me 0 cife i sine pimftoe. At hn unne hæve ette så såsiet syles, t ntllet f tests fo pimftoe, e sl gennemføes, vose esponentielt me tllets støelse. Så et løbe helt løbs, og selvom computees egneft også vose volsomt, så unne hn no got egne me, t egneften ie ville blive sto no. 9

30 Nu viste et sig imileti, t en guppe mtemtiee i pil 003 lligevel fi ftoiseet ette tl ve t le en meget ftig compute egne ufbut i 0 ge. Så i ette tilfæle v mtemtieen lit fo y. Men ftis behøve hn ie t væe så e f et, fo me en fobeee egneft, vil hn nemt unne fine to nye pimtl me f.es. 70 cife, og hvis hn gnge em smmen få hn et nyt tl, som en pågælene compute lig n le. Det væsentlige i lt ette e nemlig, t et e nemmee t onstuee et tl, e e et pout f to pimtl, en et e t ftoisee et pågælene tl. Dette buges inen fo ypteing, og et e et f e omåe, mn mene et bevis fo ét f e mest beømte uløste mtemtise pobleme Riemnn-hypotesen vil unne belyse. Men hvis u vil vie mee om ette, må u selv fine mee infomtion. Som fslutning på ette pitel ses på ennu en nvenelse f pimftoopløsninge, nemlig hvon mn nemt n bestemme et minste fælles multiplum. Metoen fungee og un, HVIS mn n fine pimftoopløsninge, så e e som nævnt ovenfo nogle begænsninge. Men føst sl begebet multiplum lige efinees: Definition 6.4: Et multiplum f et tl e et tl, e h som iviso. Bemæning 6.43: Mn n også fine betegnelsen mngefol bugt i steet fo multiplum. Det e oplgt, t e e ueneligt mnge multipl f et tl, nemlig tllene:,, 3, 4, 5, 6,... Bemæning 6.44: Betegnelsen multiplum n også buges om net en tl, hvo iviso så sl estttes f fto, men så e et jo ie længee tlteoi.. Som beent e et ie svæt t fine et fælles multiplum fo elle flee tl. Mn multiplicee be e pågælene tl (en metoe e n buges, nå mn sl fine fællesnævne fo bøe). Men hvis mn nu gene vil fine et minste fælles multiplum (og et unne væe t, hvis bøene sl blive så ovesuelige som muligt), så n mn se på tllenes pimftoopløsninge. Esempel: Mn vil fine et minste fælles multiplum fo tllene 6700, 000 og 7480, e h pimftoopløsningene: Hvis mn be multiplicee tllene, få mn , e ltså e et fælles multiplum. Men nu sl et minste fælles multiplum fines: Begyn me et føste tls pimftoopløsning: Hvis et net tl sl væe iviso i et søgte tl, mngle e to -tlle og tllet 3, e efo tilføes: Og som et ses inehole ovenståene lle e pimftoe (også egnet me multiplicitet vs. ntllet f gnge et pågælene pimtl optæe), som et teje tl bestå f, så et e iviso i ovenståene. Deme e minste fælles multiplum.