Sfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016
|
|
- Kristen Frederiksen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6
2 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter Den retvinklede sfæriske treknt Beregning f sider og vinkler i den retvinklede sfæriske treknt Den generelle sfæriske treknt Cous reltionen for den sfæriske treknt Sinus reltionerne for den sfæriske treknt Arelet (overflden) f en sfærisk treknt Eksempler og opgver i den lmindelige sfæriske treknt Den homogene ligning f første grd i osx og x Plngeometrien som grænsetilfælde for den sfæriske geometri Opgver...9
3 Sfærisk geometri Forord Jeg gik i det mtemtiske gymnsium fr Her lærte vi foruden den lmindelige geometri også sfærisk geometri. Den sfæriske geometri forsvndt imidlertid ud f pensum for mtemtikerne med reformen fr 958, som blev implementeret i gymnsiet ved skolestrt i 96. Jeg læste efter Professor JUL. Petersens system, som bestod f 7 bøger. Bøgerne vr hverken i fremstillingen eller typogrfien særlige læsevenlige. De gnge jeg før 5, hr forsøgt mig med t give en f bøgerne til elevernes store opgve, hr de rystet på hovedet. Selv om sfærisk geometri hr været ude f pensum i mere end 5 år, så hr det lige siden 988 været et tilbgevendende emne for de større opgver, også - men i lngt mindre grd - efter 5. En f grundene er, t den sfæriske geometri simpelthen er for svær. Hvilket hænger smmen med, t det kn være overordentligt vnskeligt t flæse egenskber for geometriske figurer på en kugle, som er tegnet perspektivisk i to dimensioner. I nogle f de bøger, der blev skrevet op til reformen i 963, vr der stdigt et kpitel om sfærisk geometri, men denne gng vr ousreltionen udledt ved vektorregning i rummet, på smme måde som ousreltionen for en pln treknt elegnt kn udledes ved vektorregning. Første gng jeg stillede en (ret mbitiøs) opgve i sfærisk geometri, forsøgte jeg med den lærebog, jeg selv hvde hft i gymnsiet, men den blev erklæret for ulæselig f eleven. Siden hr jeg nvendt en bog fr det glimrende lærebogssystem, som dog ldrig slog igennem, f A.F. Andersen og Poul Mogensen. Ved nvendelse f de sider i den bog, hr lle de elever der hr fået stillet en opgve i sfærisk geometri få topkrkterer. Skulle findes ndre ordentlige fremstillinger f den sfæriske geometri, som kn nvendes på gymnsilt niveu, så er jeg i hvert fld ikke stødt på dem. Efter 5 er Andersen og Mogensen nok også blevet for svær i forhold til elevernes mtemtikkundskber. Derfor fldt det mig ind, t jeg skulle forsøge skrive nogle noter, der vr ordentlige dvs. med konsekvent udledning og bevisførelse for sætninger men dog mere tilgængelige for elever i gymnsiet nu om dge.. D jeg skulle vælge mellem den rent geometriske fremstilling og en fremstilling med nvendelse f vektorer, vlgte jeg lligevel den rent geometriske fremstilling, ligesom de trigonometriske formler vel stdig udledes uden brug f vektorer og regning med koordinter. Denne fremstilling f den sfæriske geometri læner sig derfor stærkt op f JUL. Petersens lærebog i Stereometri, som jeg selv hvde i gymnsiet, men den er berbejdet, så den trods lt skulle være mere læsevenlig overfor gymnsieelever, der tør binde n med den sfæriske geometri som SRP opgve.
4 Sfærisk geometri. Geometri på en kugle I plngeometrien ved vi t den korteste vej mellem to punkter er et ret liniestykke. På en vilkårlig to dimensionl flde, er sgen mere komplieret. Det område f geometrien, der beskæftiger sig med dette kldes differentilgeometri, men det er en gnske komplieret del f mtemtikken. Hvis flden er givet ved en prmeterfremstilling i rummet P( u, u) ( x( u, u), y( u, u), z( u, u)) udleder mn i differentilgeometrien en (overordentlig komplieret) differentilligning for den korteste vej mellem to punkter. En sådn kurve kldes for en geodæt. D geo betyder jord, henfører begrebet til den korteste vej mellem to punkter på jorden, eller mere generelt på en kugleflde. Siden hr differentilgeometrien udviklet sig til geometri på en vilkårlig flde, og generliseret til rum med flere end 3 dimensioner. I den generelle reltivitetsteori hr rumtiden 4 dimensioner ( t, x, y, z), hvor t er tiden og er lysets hstighed. I denne teori er rummet ikke Euklidsk, men krumt og geodæterne er ikke rette linier, men derimod de kurver som lyset følger på deres vej gennem rummet. Af rumlige flder er kuglen næst efter plnen den simpleste geometriske flde. Figur () Figur () Hvis mn skærer en kugleflde med en pln, får mn en irkel, som vist på figuren til venstre. Hvis plnen går gennem entrum f kugleflden, får mn en såkldt storirkel, som vist på figuren til højre. Hvis plnen ikke går gennem entrum f kugleflden kldes skæringskurven for en lilleirkel. I differentilgeometrien kn mn vise, (men det er gnske komplieret) t en storirkelbue ltid er den korteste vej mellem to punkter på kuglen. Således er storirkelbuen på figuren til højre den korteste vej mellem punkterne A og B smt B og C. I plngeometrien beskæftiger mn sig figurer begrænset f rette linier, og i den sfæriske geometri beskæftiger mn sig f smme grund med figurer begrænset f storirkler. Storirklerne er således de rette linier i den sfæriske geometri. En storirkel er entydigt bestemt f to punkter på kugleflden, der ikke ligger dimetrlt modst. To storirkler skærer hinnden i to dimetrlt modstte punkter, svrende til skæringslinien (dimeteren) mellem de to plner, hvis skæringslinier med kugleflden er storirklerne.
5 Sfærisk geometri 3 Ved vinklen mellem to storirkler forstår mn vinklen mellem deres skæringsplner. Se figur (.). Af figuren til højre fremgår, t buen A B = 8 - AB. Den dimeter (ksen), der står vinkelret på den pln, der hører til storirklen, skærer kugleflden i to dimetrlt modstte punkter P og P, som kldes for polerne til storirklen. Når den ene f to storirkler går gennem polerne for den nden, står de to storirkler vinkelret på hinnden, som vist på figuren nedenfor. Figur (3) Figur (4). Sfæriske toknter og treknter En sfærisk treknt er en del f kugleflde, begrænset f tre forskellige storirkelbuer, som kldes trekntens sider. Siderne måles ligesom vinklerne i grder eller rdin. Længden f en side fås ved t gnge rdintllet α for siden med kuglefldens rdius R, så = αr. Bogstverne, b, nvendes dog oftest for rdintllet (eller grdtllet) for siden. Skæringspunkterne mellem storirklerne er vinkelspidserne i den sfæriske treknt. Vinklerne der ligger overfor siderne, b, betegnes ligesom i plngeometrien med A,B,C. Tegner mn hlvlinier fr kuglefldens entrum og ud til vinkelspidserne, fremkommer der et tresidet hjørne. Sider og vinkler i den sfæriske treknt er prvis lig med sider og vinkler i det tresidede hjørne. Begreberne ligebenet og ligesidet treknt er de smme, som i plngeometrien. En højde i treknten er en storirkelbue fr en vinkelspids, som står vinkelret på den modstående side. Vinkelhlveringslinie og midtnorml hr smme betydning, som i plngeometrien.
6 Sfærisk geometri 4 Figur (5) En retvinklet sfærisk treknt er en sfærisk treknt, som hr en ret vinkel. Kteter og hypotenuse hr smme betydning, som i plngeometrien, hvis treknten kun hr én ret vinkel. Figuren ABA C på figur (5) kldes en sfærisk toknt. I en sfærisk treknt er summen f vinklerne ltid større end 8. På figuren til venstre er vist en to-retvinklet treknt, hvis A også er 9, får mn en tre-retvinklet treknt med vinkelsum 7. D en vinkel i en sfærisk treknt ikke kn blive større end 8, er vinkelsummen i en sfærisk treknt større end 8 og mindre end 3 8 = 54.. Polrtreknter Ved polrtreknten til en sfærisk treknt forstår mn den treknt, hvis vinkelspidser er poler for siderne i den givne treknt. For eksempel er A polen for den storirkel, som indeholder siden. Figur (6) Figur(7) På figuren til venstre er konstrueret polen A til siden. På figuren til højre er hele polrtreknten A B C konstrueret, men som det fremgår, er det vnskeligt t overskue en rumlig tegning. F.eks. ligger både B og C på bgsiden f kuglen, mens A ligger i ppirets pln. Der gælder den simple, men ret uigennemskuelige sætning: Polrtreknten til en given treknts polrtreknt er den oprindelige treknt. Ld den givne treknt være ABC og polrtreknten A B C. Vi søger d polerne for B C. D B C går gennem en pol for hver f storirklerne AB og AC og der ifølge sætningen på side 3 gælder: Når den ene f to storirkler går gennem polerne for den nden, står de to storirkler vinkelret på hinnden, som vist på figuren ovenfor, Kn vi derfor slutte t AB og AC går gennem polerne for B C. Hermed er et f skæringspunkterne A. D endvidere AA < 9 ligger A på smme side f B C som A, så er A den pol, der skl
7 Sfærisk geometri 5 benyttes ved konstruktionen f polrtreknten til A B C. Et nlogt ræsonnement kn nvendes for konstruktion f polerne C og B til A B og A C. Endvidere gælder der den lidt overrskende sætning: Sider og vinkler i polrtreknten til en sfærisk treknt er supplementvinkler (vinkelsum lig med 8 ) til henholdsvis vinkler og sider i den oprindelige sfæriske treknt. D B og C ligger på normlerne til flderne svrende til siderne AC og AB og d vinklen mellem normlerne til to flder, der skærer hinnden med vinklen v, er lig med 8 v, og d A er vinklen mellem flderne svrende til siderne AC og AB, er B C = 8 A. Tilsvrende for de to øvrige vinkler. Idet vi nvender sætningen ovenfor, t polrtreknten til en polrtreknt er den oprindelige treknt finder mn: AB= = 8 C, eller C = 8 og tilsvrende for de to øvrige sider, hvormed t sætningen er bevist. Ved hjælp f sætningen om sider og vinkler i polrtreknten til en treknt, kn vi nu bevise, t summen f vinklerne i en sfærisk treknt er større end 8 og mindre end 54. Vi tænker os t konstruere polrtreknten til en sfærisk treknt ABC. Ifølge sætningen ovenfor er siderne i polrtreknten 8 A, 8 B, 8 C. D summen f siderne er mindre end 36, må der gælde: (.) 8 A+ 8 B+ 8 C < 36 A + B + C > 8 Endvidere er summen f siderne i polrtreknten større end : (.) 8 A+ 8 B+ 8 C > A + B + C < 54 Forskellen mellem vinkelsummen i en sfærisk treknt og 8 kldes den sfæriske exes. 3. Den retvinklede sfæriske treknt Figur(8) Ld treknten være ABC, hvor C = 9. O er entrum for kugleflden, og rdius i kuglen er, så liniestykkerne OA, OB og OC lle hr længden. D er projektionen f B på OC og E er projektionen f B på OA. Vi ntger først t kteterne og b er spidse, så D ligger mellem O og C, og E ligger mellem O og A. DE er vinkelret på OA, d ED er projektionen f BE på plnet OAC. D BE og ED begge er vinkelrette på OA er BED en vinkel mellem plnerne AOB og AOC, og hermed BED = A. Smtidig er hypotenusen = BOE. Vi skl i det følgende nvende formlerne for den plne retvinklede treknt, som derfor er repeteret nedenfor.
8 Sfærisk geometri 6 (3.) A os A b tn A b Sinus til en vinkel er lig med modstående ktete divideret med hypotenusen. Cous til en vinkel er lig med den hosliggende ktete divideret med hypotenusen. Tngens til en vinkel er lig med den modstående ktete divideret med hosliggende. For den sfæriske treknt på figuren, ses d t: OD OB os os og OE OD osb os osb Af den retvinklede treknt OEB fås endvidere: OE OB os os, ltså (3.) os os osb Af den retvinklede treknt OEB fås: OE OB os og f ΔBED fås: BD A men BD = og BE =, så BE (3.3) og nlogt med dette: (3.4) A ED b B, så BE b B Endvidere finder mn f BDE, t DE os A og d DE OD b os b, fås BE (3.5) os b os A og tilsvrende osb os B Vi hr udledt formlerne under den ntgelse, t begge vinklerne A og B er spidse. Hvis C= 9, og en ktete f.eks. = 9, er også A = 9, hvilket også fremgår f formlerne:
9 Sfærisk geometri 7 Figur (9) Figur () En sfærisk treknt kn tænkes fremkommet ved t en toknt, der forbinder polerne C og C, og hvor vinklerne C = C skæres med en storirkel, hvor skæringspunkterne er A og B. Sorirklen deler toknten i to sfæriske treknter, som kldes nbotreknter, og hvor C AB 8 CAB C BA 8 CBA. En sfærisk treknt hr tre nbotreknter, en for hver f siderne, b,. Hvis begge kteter i ABC er stumpe (større end 9 ), som det ses på figuren til venstre, betrgter vi nbotreknten ABC. I nbotreknten A B C, hvor punkterne A = A og B = B, er C = C og =, mens de øvrige vinkler og sider i A B C komplementer til vinkler og sider i ABC. A = 8 B, B = 8 B, C = C = C, = 8, b = 8 b, =. Så hvis begge kteter i ABC er stumpe, så er begge kteter i treknt A B C spidse, så derfor gælder formlerne (3.) til (3.5) (8 ) A (8 A) A (8 ) Idet (8 v) = v, ses det, t vi får de smme formler som vi hvde for treknt ABC os b os(8 )(8 b) os A os(8 A) os A (8 ) os b Endvidere er os os os(8 )os(8 b) os osb Men idet os(8 v) = - os v, ses t vi får de smme formler som for den spidsvinklede treknt. Hvis > 9 og b < 9, betrgter vi nbotreknten til siden b, (figuren til højre) A B C, som hr en vinkel på 9 og en spids vinkel, og der vil, ifølge det foregående, for denne treknt gælde.
10 Sfærisk geometri 8 os os(8 ) os(8 )osb os os osb (8 ) A (8 A) A (8 ) os b os(8 ) b os A os(8 A) os A (8 ) os b Formlerne for den retvinklede sfæriske treknt er derfor lmengyldige 4. Beregning f sider og vinkler i den retvinklede sfæriske treknt Af formlerne (3.) til (3.5) kn yderlige udledes nogle formler, som kn nvendes til beregning f ukendte sider og vinkler i den retvinklede sfæriske treknt, når to sider er kendte. Af os os osb os og osb os b b tn b os A osb tn (4.) Ved t dividere (4.) og den nloge formel tn b os A tn A med tn tn A b tn b tn B os b os A, får mn, tn A os b tn b Ved multipliktion f disse to ligninger fås: tn tn b b tn Atn B b os b osb os osb os (4.3) tn Atn B os tn A tn B Nedenfor er smlet lle formlerne hørende til den retvinklede sfæriske treknt:
11 Sfærisk geometri 9 (4.4) os os osb (4.5) (4.6) (4.7) A og os b os A og tn b os A tn og b B osb os B tn os B tn (4.8) tn Atn B os tn A tn B 4.9 Eksempel: = 35, b = 6. os = os os b = os 35 os 6 =,495 => = 66,8 35 A,687 65,8 b 6 B, ,8 A 38,96 B 7,68 4. Eksempel: = 4,5, =,56 os osb osb,4 os A,637 A 4,9 b B,9875 B 8,93 4. Eksempel: = 36,7, A = 5,83 b 3,89 A,77,64 A os osb osb,786 os 5 b 38,93,8 b B,796 B 5,77 4. Eksempel: A = 43,8, B = 8,59
12 Sfærisk geometri,76 tn A tn B A,676 b B, ,45,,86 5. Den generelle sfæriske treknt Figur() Figur() 5. Cous reltionen for den sfæriske treknt Vi skl herefter betrgte den generelle sfæriske treknt, som vist på figur (). Vi nedfælder højden fr en f vinkelspidserne f.eks. fr B. Højdens fodpunkt på b er D. Vi ntger i første omgng, t D ligger mellem A og C. Vi nvender herefter sætning (4.4) på ΔABD og ΔBDC. os x os h og os os hos( b x) Vi nvender derefter dditionsformlen: os( u v)osu os v u v på den sidste ligning. os os h os( b x) os hosbos x os h b x som ved hjælp f os x os h kn skrives: os osbos os h b x os b os h x Anvendes nu (4.6) os A på ΔABD fås os A os h x os A får mn ousreltionen for en sfærisk treknt: (5.) os osbos b os A
13 Sfærisk geometri (5.) hr (ligesom ousreltionen for den plne treknt) to nloge udtryk, som findes ved bogstvombytning. (5.) osb os os os B (5.3) os os osb bosc Cousreltioner kn nvendes til t beregne vinklerne i en sfærisk treknt, når siderne er kendte. Hvis højden fr B flder udenfor AC, som vist på figur (), følger nogle næsten identiske regninger: Af ΔABD fås som før f (4.4) : os hos x, og f ΔBDC fås: os os h os( x b) os h(os x osb x b) os hos x osb os h x b Heri indsættes udtrykket for os, så os osbos os h x b os b Ligesom før nvender vi (4.6) os A på ΔABD: os( 8 A) os h x, som indst i udtrykket overfor uforndret giver ousreltionen: os osbos b os A I modsætning til en treknt i plnen er siderne i en sfærisk treknt fuldstændig fstlgt, når de tre vinkler er kendte. At løse de tre ousreltioner med hensyn til de tre vinkler A,B,C er imidlertid er en ret krævende lgebrisk udfordring, men her minder vi om sætningen: I polrtreknten, som er dnnet f polerne til de tre storirkler, som indeholder de tre sider,b,, er vinklerne i polrtreknten A, B, C lig med supplementvinklerne (8 v) til siderne, b, i den oprindelige treknt og siderne i polrtreknten,b, er supplementvinkler til vinklerne A, B, C i den oprindelige treknt. Så hvis kun vinklerne er kendte i en sfærisk treknt, opskriver mn i stedet ousreltionerne for polrtreknten. (5.4) os osb b os A Som herefter giver os( 8 A ) os(8 B) os(8 C) (8 B)(8 C)os(8 ) os A ( os B)( os C) B C( os ) os A os B osc BC os
14 Sfærisk geometri Hvorf direkte kn bestemmes. Formlerne for b og opnås ved bogstvombytning. 5. Sinus reltionerne for den sfæriske treknt Anvender mn formlen (4.5): A for den retvinklede sfæriske treknt på ΔABD og ΔBDC på figur (), så gælder der, hvd enten højden fr C flder indenfor eller udenfor AC : h A og h C h A nd h C Hvorf følger A C Som giver usreltionerne for den sfæriske treknt. (5.5) A B b C Det midterste led er fremkommet ved bogstvombytning.. 6. Arelet (overflden) f en sfærisk treknt Overflden f en kugle med rdius R er: T = 4πR. På figuren er vist en sfærisk treknt ABC. Vi hr også indtegnet nbotreknten til siden : A BC, til siden b: AB C, og til siden : ABC. Punkterne: A og A, B og B og C og C ligger dimetrlt modst og en treknt og dens nbotreknt dnner tilsmmen en toknt med en vinkel, som er lig topvinklen. F.eks. dnner ABC og A BC tilsmmen en toknt med vinklen A. Arelet f en toknt med vinklen er /36 f kuglens rel, så relet f en toknt med vinklen v er v (6.) T v T 36 Herf følger, idet vi skriver T(ABC) for relet f ΔABC. A T ( ABC) T ( A BC) T 36 B T ( ABC) T ( ABC ) T 36 C (6.) T( ABC) T( ABC) T 36 A B C 36 (6.3) T ( ABC) T ( ABC) T ( A BC) T( AB C) T ( ABC ) T
15 Sfærisk geometri 3 Treknt C AB er symmetrisk med treknt CA B med hensyn til kuglens entrum, så de to treknter hr smme rel. Mn kn herf, (hvis mn betrgter figur (3)), slutte t de fire treknter i prentesen ovenfor i (6.3) dnner en hlvkugle, og leddene i prentesen i (6.3) hr derfor relet ½T. Vi får derfor ved ddition f de tre udtryk: (6.4) A B C 8 A B C T ( ABC) T T T ( ABC) T T A B C 8 T ( ABC) T 36 E E T( ABC) T T ( ABC) R 7 8 Dette er relet f en sfærisk treknt, hvor kldes den sfæriske exes. E A B C 8 4R er overflden f kuglen, og Det bemærkelsesværdige er, t relet f en sfærisk treknt ikke fhænger f størrelsen f vinkler og sider, men kun f den sfæriske exes. 7. Eksempler og opgver i den lmindelige sfæriske treknt Eksempel 7. Givet de tre sider: = 8, b =, = 65. (Lv en prøvetreknt, som godt må være pln) De tre vinkler A, B, C, kn beregnes ud fr ousreltionen: os osb b os A os osb os A b os osb os A b os8 os os 65, A,93 Og de to nloge formler, der findes ved bogstvombytning osb os os B 4654 B 7,74 osb osc,54 b C 57,5
16 Sfærisk geometri 4 Eksempel 7. Givet de tre vinkler: A = 8, B =, C = 65. Mn kn godt forsøge, t få isoleret en side ved hjælp f ous- og usreltionerne, men det vil ikke føre til noget. I stedet bør mn betrgte polrtreknten, hvor og så bestemme =8 - A, b = 8 B, =8 - C, A = 8 -, B =8 - b, C = 8 -. Med de vlgte vinkler vil opgven for polrtreknten være den smme som i eksempel (7.), og siderne vil derfor være: Eksempel ,7, , 6, , 49. For t det ikke skl ligne det rene hokuspokus, vil vi gennemføre beregningen vi med tre ndre værdier for vinklerne: A = 57, B = 75, C =. Vi opskriver d ousreltionen for polrtreknten, hvor = 8 - A, b =8 - B,, = 8 - C, for så t bestemme A, B, C. os osb b os A os(8 A) os(8 B)os(8 C) (8 B)(8 C)os(8 ) os A os BosC B C os os A os BosC os B C,553 58,3 Og ved bogstvombytning: os B os AosC osb AC,989 b 78,53 osc os Aos B A B,43 9,3
17 Sfærisk geometri 5 Eksempel 7.4 En vinkel og de to hosliggende sider: = 8, b = 43, C = 59. Siden bestemmes direkte ved ousreltionen: os osb bosc,876 6,7 B og C bestemmes herefter i prinippet bestemmes ved usreltionerne: A B b C B C b C B.5 B 3, B 66,99 b A C C A.86 A,84 A 59,6 Problemet er nturligvis, t vi får to løsninger, og i modsætning til plngeometrien hr vi ingen direkte måde t fgøre, hvilken der er den rigtige. Det svrer til t vi får vinklerne for treknten og nbotreknten til siden. Men vi hr ingen mulighed for t fgøre,(ndet end på en præis tegning), hvilke f de fire vinkler, der hører til nbotreknten eller treknten. I den sfæriske geometri er der ikke to løsninger til opgven, som det er tilfældet i plngeometrien. Løsningerne hører til to forskellige treknter. Svret på dette er også t beregne de to vinkler A og B ved ous reltionen. os osb os8 os43os6,7 os A,9345 b 436,7 A 59,6 osb os os os B.9774 B 66,98 Eksempel 7.5 Mens de hidtidige eksempler for såvel den retvinklede som den lmindelige sfæriske treknt, hr kunnet løses - omtrent på den smme måde, som for den plne treknt - kommer der problemer, hvis vi ser på tilfældene givet ved: En vinkel, den hosliggende og den modstående side, f.eks. A,, b Eller en side en hosliggende og en modstående vinkel. F.eks. A, B,. De to tilfælde viser sig t være det smme, idet vi i det første tilfælde kn beregne B f usreltionerne og i det ndet tilfælde kn beregne b f usreltionerne. Vi køber dog ind i det smme problem med de to løsninger til ligningen v = x.
18 Sfærisk geometri 6 I begge tilfælde hr vi gnske A, B,, b, men mngler t beregne og C. Problemet er nturligvis, t vi ikke, som det er tilfældet for den plne treknt, kn beregne C = 8 (A+B). Vi er ldt tilbge med t nvende ousreltionen, hvor vi gnske vidst kn opstille to ligninger, hvor siden er den ubekendte, men problemet er, t både og os optræder i ligningen. Forsøg med t nedfælde en højde og nvende formlerne for den retvinklede treknt fører til det smme resultt. Vi opskriver derfor ousreltionerne for os og os b. (7.5.) os osb b os A og osb os os B Vi løser herefter de to ligninger for og sætter resultterne lig med hinnden. os osb og bos A osb os os B Herefter får mn en ligning til bestemmelse f os os osb osb os bos A os B Hvorefter C kn beregnes f ousreltionerne. Der er imidlertid også en nden mulighed, idet hver f de to os-reltioner (7.5.) er en såkldt homogen ligning f første grd ligning i og os. 7.5 Den homogene ligning f første grd i osx og x Den generelle homogene ligning i os x og x skrives: (7.5.3) os x b x For t løse ligningen dividerer vi ligningen igennem med b. b os x b b x b og indfører nu vinklen y ved: os y b og y b b, det følger så: (7.5.4) ligningen bliver herefter b tn y
19 Sfærisk geometri 7 os y os x y x b Som omskrives ved hjælp f dditionsformlen for os(x - y) os( x y) b Ligningen hr kun løsninger, hvis. Mn bestemmer så x f : b x y os b. 8. Plngeometrien som grænsetilfælde for den sfæriske geometri Rdintllet α for en bue på en storirkel med rdius R, er givet ved:. R Hvis buerne i en sfærisk treknt er små i forhold til rdius, vil kuglen være næsten pln i det område, som den sfæriske treknt dækker, (jorden er fld) og vi skulle forvente t de sfæriske formler, i dette tilfælde ville svre til de plngeometriske trigonometriske formler. At dette er tilfældet, kn vises ved t rækkeudvikle α til første orden: orden: os i formlerne for de sfæriske treknter. og os α til. Den retvinklede sfæriske treknt: Vi indfører betegnelserne,,, for rdintllet for siderne, b, i den sfæriske treknt og ntger smtidig, t α <<, β <<, γ<<. I lle tilfælde er længden f buerne: = αr, b = βr, = γr. Formlen for den sfæriske geometri, nu skrevet med rdintl A R A R Som leverer formlen for den plne retvinklede treknt. A For den retvinklede sfæriske treknt gælder formlen: os os osb Skrevet med rdintl, fulgt f en rækkeudvikling
20 Sfærisk geometri 8 os os os ( )( ) R R R b Det ses således, t os os osb for den retvinklede sfæriske treknt svrer det den Pythgoræiske sætning b for den plne retvinklede treknt. Den lmindelige sfæriske treknt: Vi ser først på usreltionerne for den sfæriske treknt: A B b som skrevet med rdintl: A B C. Vi rækkeudvikler i næveren og dividerer igennem med R. C A B R R C R A B C b Som ses t være usreltionerne for den plne treknt. Vi vender os derefter til ousreltionen for den sfæriske treknt: os os osb bosc Som vi opskriver med rdintl for siderne: og rækkeudvikler os os os osc ( )( ) osc Hvis vi reduerer og kun beholder led indtil. orden får mn: osc osc Ved t gnge igennem med R, genfinder mn ousreltionen for den plne treknt. b bosc
21 Sfærisk geometri 9 9. Opgver. Oporto i Portugl og New York City ligger omtrent på smme bredde, idet vi sætter NYC = ( 4 45' n ; 74 ' w) (nordlig bredde; vestlig længde) og Oporto = (4 45' n ; 8 4' w). Skl mn sejle (eller flyve) fr Oporto til New York er det derfor måske mest nærliggende t sejle stik vest, indtil mn når frem. Forklr, hvorfor dette ikke er den korteste vej, og beregn hvor meget strækningen (i sømil nturligvis) fkortes ved t sejle den korteste vej, smmenlignet med søvejen stik vest. Det oplyses, t r jord = 637 km og sm =854 m. Københvn ligger på (55 4' n; 35' ø) og Los Angeles ligger på (34 ' n; 8 ' w). Beregn den sfæriske fstnd og fstnden i km mellem Kbh. og LA. Flyveruten Kbh. LA. går vi Søndre Strømfjord (66 ' n; 54 w ). Beregn fstndene Københvn - Søndre Strømfjord og Søndre Strømfjord - Los Angeles og smmenlign med fstnden Københvn - Los Angeles. 3. Bermud-treknten er et område der begrænses f: Mimi: (5 49' n ; 8 6' w) - Puerto-Rio: ( '; 63 ') og Bermud: (3 45' ; 65 ' ). Der ønskes ikke en redegørelse for Bermud trekntens mysterier, men kun en beregning f fstndene og vinklerne i Bermud-treknten, smt ngivelse f trekntens rel (i km ). Løsning til opgve. Alle de gnge, jeg hr stillet sfærisk geometri som stor opgve, hr jeg inkluderet opgve. Det er nu ldrig lykkes nogen elever t finde det korrekte svr (uden hjælp), så nu vælger jeg t skrive løsningen, som er gnske overrskende, med mindre mn nskuer det på en rigtig kugle. Længde og bredde er ngivet i grder og bueminutter, så det første vi gør, t dividere bueminutterne med 6 og gnge med. 4,45 = 4,75 og 8,4 = 8,67. Buerne og b er lig med 9-4,75 =49,5. Vinklen C =74-8,67 = 64,33. For t bestemme længden f storirkelbuen, nvender vi ous reltionen: os os osb bosc os 49,5os 49,5 49,5 49,5os 64,33, ,57 47,57 rd, 83 rd 8 Længden f findes ved t gnge rdintllet med jordens rdius R = 637 km: d =R =588 km = 588 sm sm
22 Sfærisk geometri Hvilket er strækningen mn skl tilbgelægge mellem Oporto og New York lngs en storirkelbue. Hvis mn derimod sejler stik vest, så sejler mn lngs en lilleirkel med rdius: r =R. Så denne rdius bliver r = ,5 km = 485 km. Den bue, der tilbgelægges er vinkelbuen mellem de to længdegrder. C 64,33, 8 rd. For t bestemme strækningen d r skl mn multipliere buen med rdius i lilleirklen r. d r = 485,8 km = 547 km = 9 sm. Forskellen i sømil mellem de to ruter er derfor = 69 sømil = 8 km.
Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereElementær Matematik. Plangeometri
Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs meregudmandsen.net Geometri C & B
gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereGEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y
GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereFigurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?
Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereTrigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v
Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereOversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2
geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mereElementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner
Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mere1. Eksperimenterende geometri og måling
. Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t
Læs mereProjekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN
Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Indhold Hvor kommer vektorerne fr? De komplekse tl og deres geometriske repræsenttion Findes
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereMichel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereFORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse
FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors
Læs mereImplicit differentiation Med eksempler
Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri
K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense
Læs mereImplicit differentiation
Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereKEGLESNIT OG BANEKURVER
KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereUGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC
UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereKrumningsradius & superellipsen
Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs mereMatematikken bag perspektivet I
Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereLinjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.
Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereProjekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereLukkede flader med konstant krumning
Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1
Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: 978-87-603-3238-8 (web udgve) Denne
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereFormelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11
Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mere