Øvelser til fremme af forståelsen af den kvantemekaniske bølgemekanik

Transkript

1 Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet Øvelser til fremme af forståelse af de kvatemekaiske bølgemekaik FY521, projekt r.1 Simo Holst Traberg-Larse og Søre Emil Weger Peterse d. 15. februar 2013 Dette projektdokumet har til formål at geemgå de grudlæggede egeskaber ved de kvatemekaiske bølgemekaik. Dette gøres igeem matematiske udlediger, umeriske aalyser og fysiske overvejelser.

2 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet Idholdsfortegelse 1 Schrödigerligige De statioære Schrödigerligig De dimesiosløse form af SE Bølgefuktioe, betigelser og geometrisk opførsel Specifikke eksempler WKB approksimatioe Numeriske resultater Edelig firkatet brød Trekatspotetiale WKB approksimatioe Egefuktioer til Hamiltooperatore og variatiosmetode Egeskaber ved egefuktioere til Hamiltooperatore Variatiosmetode Aalytisk eksempel på variatiosmetode Numeriske resultater af variatiosmetode Sammefatig Appediks Appediks A Appediks A Appediks A Side 2 af 30

3 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 1 Schrödigerligige 1.1 De statioære Schrödigerligig Ψ(r, t) iħ = ħ2 2 Ψ(r, t) t 2m r 2 + V(r)Ψ(r, t) 1.1 Et kvatemekaisk system er bestemt vha. de tidsafhægige Schrödigerligig (SE): hvor Ψ(r, t) er bølgefuktioe, V(r) er et udtryk for de potetielle eergi, m er partikles masse og ħ er Placks kostat, h, divideret med 2π. Igeem dee del af projektet, vil SE blive brugt til at løse flere forskellige problemstilliger. Projektet vil desude belyse omfaget af SE. λ = h p 1.2 Kostate, ħ, har samme dimesio som drejigsmomet. Dette ses ifølge de Broglies sætig h = λp = [L M L S 1 ] = [ML 2 S 1 ] 1.3 hvor λ er bølgelægde og p er impulsmomet (bevægelsesmægde). Dimesioer M, L og S svarer hhv. til masse, lægde og tid. Ehede ka også skrives kg m2 [h] = = N m s = J s s Produktet ħω har ehede fordi [ω] = s 1. [ħω] = Nm = J 1.4 Ligig 1.1 medfører umiddelbart, at alle løsiger er tidsafhægige. Dette er dog ikke altid tilfældet, hvilket ka ses, hvis ligig 1.1 løses ved separatio af de variable. Det atages, at løsige til ligig 1.1 ka skrives Ψ(r, t) = T(t)Ψ(r) 1.5 Når ligig 1.5 substitueres id i ligig 1.1 og de variable separeres fås iħ dt(t) dt = ET(t) 1.6 og ħ2 d 2 Ψ(r) 2m dr 2 + V(r)Ψ(r) = EΨ(r) 1.7 hvor E er e kostat, der udtrykker partikles eller systemets eergi. Udledige af både de tidsafhægige og positiosafhægige løsig fides i Appediks A1, afsit 6.1. Det er værd at udersøge, om løsiger på forme i ligig 1.5 har tidsuafhægige sadsylighedstætheder. Dette er ku tilfældet, hvis T(t) har tidsuafhægige sadsylighedstætheder, da Ψ(r) per Side 3 af 30

4 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet defiitio er tidsuafhægig. T(t) bestemmes ved at løse de almidelige differetialligig i ligig 1.6. Hvis de variable heri separeres fås dt(t) T(t) = E iħ dt = ie ħ dt 1.8 Når der itegreres på begge sider (mht. T(t) på vestre side og t på højre side) fås l T(t) = ie ħ t + C eller T(t) = e ie ħ t+c 1 = e ie ħ t e C 1 = C 2 e ie ħ t 1.10 hvor C 2 er e arbitrær itegratioskostat. Sadsylighedstæthede er givet ved ρ = T(t) T(t) 1.11 hvor T(t) beteger de komplekst kojugerede af T(t). Dette giver vha. ligig 1.10, at ρ = C 2 e ie ħ t C e ie 2 ħ t = C 2 C hvilket viser, at sadsylighedstæthede er tidsuafhægig. Løsigere hertil ka derfor kaldes statioære og tilhører statioære tilstade. Det ses fra ligig 1.10, hvorledes statioære bølgefuktioer er tidsafhægige, idet der huskes på, at Ψ(r, t) = T(t)Ψ(r). Sadsylighedstæthede, ρ, skal forstås således, at de beskriver sadsylighede for at observere e partikel på et givet sted. Derfor gælder der, at ρ dr = Ψ(r) 2 = hvor Ψ(r) 2 kaldes ormkvadratet af Ψ(r). Dette resultat giver god meig, da sadsylighede for at fide e partikel et hvilket som helst sted er lig med 1. For e fri partikel, dvs. år potetialet V(r) = 0, ka det vises, at løsige til ligig 1.6 og 1.7 svarer til de for e pla bølge. Differetialligige 1.6 er allerede løst i ligig Tilbage er de tidsuafhægige differetialligig, Ψ(r). ħ2 d 2 Ψ(r) 2m dr 2 + V(r)Ψ(r) = EΨ(r) 1.14 Side at V(r) = 0 vil det adet led ikke have oge betydig. Differetialligige omformuleres: ħ 2 d 2 Ψ(r) 2m dr 2 = 2mE ħ 2 Ψ(r) = k2 Ψ(r) 1.15 Side 4 af 30

5 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet Når eergie E > 0 haves der oscillerede løsiger på forme De samlede løsig Ψ(r, t) ka altså sammesættes til Ψ(r) = e ±ikr 1.16 Ψ(r, t) = T(t)Ψ(r) = e ie ħ t e ±ikr = e i(±kr ωt) 1.17 hvor der bruges relatioe E/ħ = ω. Det ses, at løsige svarer til e pla bølge, der bevæger sig begge veje pga. ±-ledet. Partikles eergi er via ligig 1.15 defieret som E = k2 ħ 2 2m 1.18 Side der er tale om e fri partikel er de totale mekaiske eergi lig med partikles kietiske eergi E ki = E = mv2 2 = p2 2m 1.19 hvor p er impulsmometet og v hastighede. Derfor haves fra ligig 1.18 og 1.19, at k 2 ħ 2 2m = p2 2m 1.20 p = kħ 1.21 Det ses, at k repræseterer plabølges bølgetal, og følgede relatio gælder: k = 2π λ 1.22 Når ligig 1.22 substitueres id i 1.21 fås λ = 2πħ p = h p 1.23 hvor ħ = h/2π. Dee relatio kedes også som de Broglie relatioe. Side 5 af 30

6 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 1.2 De dimesiosløse form af SE For at lave umeriske beregiger på SE, skal dee ligig omformes til e dimesiosløs form. Dette gøres ved at trasformere hver del med e dimesiosfaktor således at følgede ligig bliver gældede: hvor følgede gælder for de trasformerede størrelser: d2 ψ(x) dx 2 + v(x)ψ(x) = εψ(x) 1.24 x = r L, V(xL) v(x) = E, ε = E E, ψ(x) = Ψ(x)(xL) L 1.25 Her er L er e karakteristisk lægde af systemet, fx bredde af potetialet, og E er e karakteristiske eergi. Dee ka vises at være E = Udledige fremgår i Appediks A2, afsit 6.2. Ma ka opskrive de dimesiosløse SE for e uedelige brød med bredde 2a udelukkede ved at defiere det dimesiosløse potetiale, v(x). Først idses det, at V(r) = { 0 Ved at avede substitutioe x = r/l fra ligig 1.25 med L = a fås de øvre græsebetigelse til 2: ħ2 2mL < r < 2a ellers 1.27 x = r L = 2a a = og det dimesiosløse potetiale v(x) fås til v(x) = { 0 0 < x < 2 ellers 1.29 Når potetialebrøde ikke er uedelig, me har e dybde V 0 defieres de dimesiosløse brød ved at bestemme det dimesioløse edelige potetiale, v o (x) v 0 = V 0 E = 2mL2 V 0 ħ hvis lægdeehede vælges til a bliver det dimesiosløse potetiale 0 0 < x < 2 v(x) = { 2ma 2 V 0 ellers ħ Hvis der betragtes et harmoisk potetiale mω 2 r 2 /2 ka dette skrives dimesiosløst hvis eergiehede sættes til ħω, E = ħω. Side 6 af 30

7 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet v(x) = mω2 r 2 2ħω = mωr2 2ħ 1.32 Ligeledes ka ma bestemme det dimesiosløse Coulombpotetiale for et hydrogeatom. Coulombpotetialet er givet ved V c (r) = e2 1 4πε 0 r 1.33 Hvis ma som lægdeehed bruger a: og aveder substitutiosreglere i ligig 1.25: fås: a = 4πε o ħ 2 e 2 0,5Å 1.34 m r = xa og v(x) = V(xL) E 1.35 V(xa) = e2 e 2 m 1 4πε 0 4πε 0 ħ 2 x = e4 m 1 (4πε 0 ) 2 ħ 2 x 1.36 Herefter divideres med E for at opå det dimesiosløse potetiale v(x) = V(xa) E De to pareteser skrives ud: = e 4 m 1 (4πε 0 ) 2 ħ 2 x ħ 2 2m ( 4πε 0 ħ 2 2 e 2 m ) 4πε = e4 m 2m ( 0 ħ 2 (4πε 0 ) 2 ħ 2 2 e 2 m ) 1 ħ 2 x πe4 mħ 4 2 mε πe 4 mħ 2 ħ 2 2 mε 0 x = 2 x 1.38 Hvilket er det dimesiosløse Coulombpotetiale. Side 7 af 30

8 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 1.3 Bølgefuktioe, betigelser og geometrisk opførsel Det er værd at udersøge, om de afledte bølgefuktio ψ er kotiuert eller diskotiuert i pukter, hvor potetialet v(x) er hhv. kotiuert og har e edelig diskotiuitet. Der beyttes først og fremmest, at bølgefuktioe ψ er kotiuert for alle x. De dimesiosløse SE ka omskrives til Ligig 1.39 itegreres fra x ε til x + ε (NB: ε ε): Vestreside er kotiuert fordi de går imod 0 år ε 0. Dermed er højreside også kotiuert. Hvis potetialet v(x) har e uedelig stor diskotiuitet, f.eks. hvis v(x) = v 0 δ(x) vil højreside af ligig 1.40 blive dψ(x + ε) dx dψ(x + ε) dx dψ(x + ε) dx d 2 ψ(x) dx 2 = (v(x) ε)ψ(x) 1.39 dψ(x ε) dx dψ(x ε) dx dψ(x ε) dx x+ε = [v(x) ε]ψ(x) dx 1.40 x ε x+ε = [v 0 δ(x) ε]ψ(x) dx 1.41 x ε x+ε = v 0 δ(x)ψ(x) x ε dx x+ε εψ(x) hvor det adet led, som ideholder Diracs deltafuktio, blot giver v 0 ψ(0). Det betyder, at bølgefuktioe, ψ(x), er kotiuert, også år potetialet er uedelig diskotiuert og at bølgefuktioe er 0 i puktet x = 0, ψ(0) = 0. I tilfælde, hvor potetialet v(x) er symmetrisk omkrig x = 0, udviser bølgefuktioe ψ(x) særlige egeskaber. Hvis x = x substitueres i SE fås x ε dx 1.42 d 2 ψ( x ) d( x ) 2 = (v( x ) ε)ψ( x ) 1.43 Herefter idføres defiitioe ψ 2 (x) = ψ 1 ( x ) og der fås d 2 ψ 2 (x) dx 2 = (v(x) ε)ψ 2 (x) 1.44 Ved sammeligig af ligig 1.44 og 1.39 ses det, at de fremkome SE er idetisk med de opridelige. Derfor eksisterer der ku é uafhægig løsig, hvortil alle adre løsiger er proportioale ψ 2 (x) = k ψ 1 (x) 1.45 For at bestemme kostate k betragtes ormkvadratet af ψ 2 (x) Side 8 af 30

9 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet år ligig 1.45 substitueres id i ligig 1.46 ses det, at ψ 2 (x) 2 dx = k 2 ψ 1 (x) 2 dx = Eftersom det atages, at både løsig ψ 2 og ψ 1 er komplette løsiger, der har sadsylighed 1 år der itegreres over ormkvadratet for x ±, må det gælde, at 1 k 2 = ψ 1(x) 2 dx = k 2 = eller k = ± Dee egeskab er meget iteressat, da de atyder, at i symmetriske potetialer ka bølgefuktioere være ete lige eller ulige (de har paritet ±1). Dvs. ψ(x) = ±ψ( x) I SE idgår bølgefuktioes ade afledte. Des betydig er væsetlig for forståelse af bølgemekaikke. Typisk beteger e fuktios ade afledte fuktioes krumig. E positiv krumig har retig væk fra x-akse mes e egativ krumig har retig imod x-akse. Sammehæge mellem e partikels krumig og eergi ka deduceres fra SE: d 2 ψ(x) dx 2 = (v(x) ε)ψ(x) 1.51 Her agiver v(x) ε eergidifferese mellem de potetielle eergi og de kietiske eergi. Bølgefuktioes geometriske egeskaber ka visualiseres i fire situatioer, som er vist i Tabel 1.1. To af de fire forskellige bølgefuktioer giver problemer: fordi de samlede sadsylighed ψ(x) 2 dx = 1 må bølgefuktioe ikke være voksede år x ±. Tværtimod, bølgefuktioe skal stabiliseres på ψ(x) = 0 for x ±. Det ses fra Tabel 1.1, at der ikke ka eksistere e statioær tilstad, hvor ε < v mi (x), da dette vil medføre e evigt voksede bølgefuktio. Side 9 af 30

10 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet ε > v(x) ψ > 0 ψ < 0 ε < v(x) Tabel 1.1: Bølgefuktioes geometriske opførsel. For e fri partikel i e uedelig brød er v(x) = 0. Derfor er krumige kostat og krumige giver aledig til e sius eller cosius. Hvis krumige hæves, skal de hæves så meget at bølgefuktioe rammer ψ = 0 ved potetialets væg. Hvis ψ 0 ved potetialets væg ses det fra SE ligig 1.51, at eergidifferese går imod ±, hvorfor krumige går imod ±, hvilket ikke er i overesstemmelse med kravet om e samlet sadsylighed på 1 (e krumig på ± betyder, at bølgefuktioe stiger eller falder uedelig hurtigt). Det viser sig altså, at eergie af e bølge er karakteriseret af krumige af dee. Jo flere ulpukter der skal være på bølgefuktioe, jo større krumig skal der være på bølgefuktioe, for at dette ka opås. Derfor ka atallet af ulpukter af bølgefuktioe bruges til at karakterisere eergie for e bølge. Jo flere ulpukter, jo større eergi. Der eksisterer ikke statioære tilstade imellem to eergiiveauer, og dette giver idledige til kvatesprig, hvor kvatespriget er ædrige af eergie fra e bølgefuktio til e ade. I e uedelig brød er det vist, at ψ(x) = 0 på potetialets væg. Dette er ikke ødvedigvis tilfældet for e edelig brød, hvor bølgefuktioe ka have e hale, der befider sig ude for vægge og seere kovergerer imod 0. Dee kedsgerig betyder, at eergiere er større i de uedelige brød ed i de edelige, fordi bølgefuktioes krumig ikke ødvedigvis er lige så stor i de edelige brød som i de uedelige. Ma ka hypotetisk atage, at ma graver et hul i e brød med e i forveje statioær bølgefuktio. Et hul skal i dee forstad betyde, at potetialet v(x) sækes. Når v(x) sækes bliver differese v(x) ε større, hvilket korrespoderer til e større eergi. Side 10 af 30

11 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 1.4 Specifikke eksempler I e uedelig brød, der strækker sig fra x = 0 til x = 2, ka ma bestemme bølgefuktioere og eergiere vha. SE, som ka skrives d 2 ψ dr 2 = E2m ħ 2 ψ = k2 ψ 1.52 hvor k = E2m/ħ. Dee adeordes differetialligig har geerelle løsiger på forme ψ = A cos kr + B si kr 1.53 Vha. radbetigelsere ψ(0) = ψ(l) = 0 (bølgefuktioe er 0 ved vægge i e uedelig brød, j.f. afsit 1.3), hvor L er de højre væg, fås ψ(0) = A = og ψ(l) = B si kl = Da B 0 for ikke-trivielle løsiger, må si kl = 0. Dette idtræder, år kl = π for = 1, 2, 3,, dvs. k = π L, = 1, 2, 3, 1.56 Hvis E isoleres i k = E2m/ħ og ligig 1.56 substitueres for k haves Hvis lægdeehede vælges til L ka der skrives E = k2 ħ 2 2m = 2 π 2 ħ 2 2mL E = 2 π 2 ħ 2 2m(2L) 2 = 2 π 2 ħ 2 8mL De dimesiosløse eergi er defieret ved ε = E/E, hvor E = ħ 2 /2mL. Derfor fås, at ε = 2 π 2 ħ 2 8mL 2mL ħ 2 = 2 π 2 4, = 1, 2, 3, 1.59 Partikles eergiiveauer, ε, er altså bestemt af atal halve bølgelægder,. Kostate B ka bestemmes, hvis ma betragter itegralet af ormkvadratet af bølgefuktioe for 0 < r < 2L L (B si kr) 2 dr = Side 11 af 30

12 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet B 2 (si πr 2 L ) dr = L B 2 L 2 = eller B = 2/L 1.63 SE har altså løsiger ψ (x) = 2/L si π L r 1.64 Heraf ses det, at hvis bølgelægde λ idsættes på r s plads giver idholdet i sius 2π: πλ L = 2π 1.65 λ = 2L 1.66 Det er det samme som at skrive kλ = 2π λ = 2π k 1.67 hvor k beteger bølgetallet. Hvis impulsmometet p = ε bliver produktet af bølgelægde og impulsmometet λp = 2π k ε = 2π k π = 2π2 k 1.68 Hvis k substitueres i ligig 1.68 fås λp = 2πL 1.69 Herefter ka der multipliceres med E for at fjere dimesiosløshede ħ λp = 2πL 2mL = h 2m 1.70 hvilket blot er de Broglies relatio for e fri partikel med e faktor 1/ 2m. Hvis potetialet ikke har form som e (uedelig) brød, me i stedet er beskrevet bedst ved e deltafuktio, v(x) = v 0 δ(x), Side 12 af 30

13 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet fås der løsigere forskellige fra dem i forrige eksempel. Først opskrives SE, me ledet hidrørede potetialet er i dette tilfælde ærværede: ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 v 0 δ(x)ψ(x) = Eψ(x) 1.71 Når ma studerer de bude tilstade for x < 0 er potetialet imidlertid v(x) = 0. Derfor gælder der for x < 0, at d 2 ψ dx 2 = E2m ħ 2 ψ = κ2 ψ 1.72 hvor det er ataget, at E < 0 fordi der kigges på bude tilstade. Derfor er κ positiv og reel og er givet ved Differetialligig 1.72 har geerelle løsiger på forme κ = E2m ħ ψ = Ae κx + Be κx 1.74 Hér ses det, at år x vil e κx, hvorfor A = 0. For x < 0 haves det geerelt, at ψ = Be κx, x < Samme fremgagsmåde udføres for x > 0 og ma ka vise, at ψ = Fe κx, x > Hvis ma betragter tilfældets radbetigelser, ses det at ψ altid er kotiuert (ma skal forestille sig e voksede ekspoetialfuktio for x < 0 og e aftagede for x > 0. dψ/dx er kotiuert udtage i pukter, hvor potetialet er uedelig. Kosekvese af disse radbetigelser er for det første, at B = F, såda at de samlede løsig ka skrives ψ = { Beκx, x 0 Be κx, x Det er iteressat at udersøge diskotiuitete af dψ/dx. Dette gøres ved at itegrere SE fra ε til +ε og derefter studere græseværdie år ε 0. +ε 2m d2 +ε ψ dx + v(x)ψ dx = E dx ħ2 ε ε +ε ψ ε dx 1.78 Højreside er tydeligvis 0, og ligig 1.78 reducerer til Side 13 af 30

14 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet [ dψ +ε dx ] = 2m +ε ε ħ 2 v(x)ψ ε dx 1.79 og +ε lim [dψ ε 0 dx ] ε = 2m ħ 2 lim ε 0 ε +ε v(x)ψ dx 1.80 Normalt er højreside lig med 0, fordi potetialet er kotiuert, me i dette tilfælde, hvor potetialet er Diracs deltafuktio, er højreside forskellig fra 0. Når v(x) = v 0 δ(x) substitueres i ligig 1.79 fås pga. regereglere for Diracs deltafuktio [ dψ +ε dx ] = Δ ( dψ ε dx ) = 2mv 0 ħ 2 ψ(0) 1.81 Størrelse Δ(dψ/dx) ka bestemmes vha. ligig 1.77 til Δ ( dψ dx ) = dψ dx dψ x>0 dx = Bκ Bκ = 2Bκ 1.82 x<0 Fordi ψ(0) = B og med hjælp fra ligig 1.81 og 1.82 ses det, at Ifølge defiitioe i ligig 1.73 ka eergiere bestemme til 2Bκ = 2mv 0B ħ 2 κ = mv 0 ħ E = κ2 ħ 2 2m = m2 v 2 0 ħ 2 ħ 4 2m = mv 2 0 Kostate B ka bestemmes, år itegralet af ormkvadratet betragtes for x ± : ψ(x) 2 2ħ dx = (2B 2 e 2κx ) dx = 2B 2 [ e 2κx 0 2κ ] = B2 κ = dvs. B = κ = mv 0 ħ 1.86 De edelige løsig er således ψ(x) = mv mv 0 0 x ħ e ħ Side 14 af 30

15 1. Schrödigerligige Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 1.5 WKB approksimatioe Idtil videre er der set på brøde, som har uedelige vægge år eergie for e bølge skal udreges aalytisk, som gjort i 1.4. I tilfælde hvor potetialet ku giver e uedelig væg ved de ee græse, eller hvor der ige uedelige vægge er tilstede, ka følgede approksimatio avedes: L 2 ( 1/4)πħ for et potetiale med e uedelig væg p(x)dx = { ( 1/2)πħ for et potetiale ude uedelig væg L Dee approksimatio er daet ud fra betigelse af at e bølge i e uedelig brød, er ødsaget til at være e ståede bølge, se del 1.4. L 1 og L 2 er for tilfælde hvor der ikke er 2 uedelige vægge, vedepuktere for bølgefuktioe. Ud over disse græser vil potetialefuktioe få e større værdi ed eergie af bølge. Resultatet er at p(x) kommer til at blive et komplekst tal, da: p(x) = 2m(E V(x)) 1.89 Derved ka vedepuktere fides, år V(x) = E for de potetialevægge som ikke er uedeligt høje. Når vedepuktere er fudet idsættes disse på eergies (E) plads i udtrykket for p(x), og dee itegreres. Når itegratiosværdie er fudet bruges kvatiserigsbetigelsere, bestemt ud fra om der er e eller ige uedelige vægge, til at fide de eergier som WKB approksimatioe giver. For et harmoisk potetiale, dvs. V(r) = mω 2 r 2 /2, ka eergie i vedepukktere r i = r 1 og r 2 skrives E = mω2 r i Ifølge ligig 1.88 gælder der følgede for det harmoiske potetiale: r 2 p(r) dr = ( 1 r 1 2 ) πħ 1.91 hvor der i de semiklassiske beskrivelse gælder, at p(r) = 2m(E V(r)) 1.92 Når vestreside af ligig 1.91 udledes fås (udledig fremgår i Appediks A3, afsit 6.3) r 2 p(r) r 1 dr = 2mωr i 2 π = Eπ 4 ω 1.93 Når dette substitueres i ligig 1.91 fås sammehæge E = ( 1 2 ) ωħ 1.94 Side 15 af 30

16 2. Numeriske resultater Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 2 Numeriske resultater 2.1 Edelig firkatet brød I opgave blev det udledt, hvorda eergiere for bølgere i e uedelig brød med bestemt dimeio, hæger samme med bølgetallet, : E = 2 π 2 4 Udledige af dee sammehæg ka fides i appediks. Bølgetallet skal være et aturligt tal, og de edelige brød, som skal testes, har højde 50. Derfor er de maksimale eergi som bølge ka atage 50. For de uedelige brød testes det, hvorår bølge får e eergi over 50. Det testes derefter i Maple, om disse eergier også gælder for de edelige brød. I Maple er to operatioer brugt, som ka bestemme eergie for bølgere i brøde. Ved at bruge de såkaldte Shoot, tilærmes e øvre og edre værdi for bølgeeergie. AutoShoot bruges herefter til de to fude værdier, og bølge og des tilhørede bølgeeergi samt sadsylighedstæthed bliver oplyst. Følgede resultater er opået: E for de uedelige brød E for de edelige brød Ædrig fra uedelig brød til edelig i procet 1 2,47 1,89 23,5 2 9,87 7,53 23,7 3 22,20 16,77 24,5 4 39,48 29,29 25,8 5 61,69 44,03 28,6 Det ses derfor at der ku ka være 4 bølger i de uedelige brød, da eergie ellers vil være for høj. Sammeliges dette med værdiere for de uedelige brød, ligger eergiere for de edelige brød kosekvet uder værdiere for de uedelige brød. Dette er også forvetet da bølgere i de edelige brød, ikke skal ede i 0 på græse, og derfor får disse e lavere krumig, derved e lavere eergi. På Figur 2.2 ses det at bølge ikke eder i 0 ved græse, me går ud over dee. Ædrige af forskelle i procet fra de uedelige brød, til de edelige, vokser i størrelse. Dette skyldes at e større del af bølge går over græse i stedet for at stoppe i 0, jo større bølgetallet bliver. Sammeholdes Figur 2.1 med Figur 2.2 ses dee tedes. 2.1 Figur 2.2: Bølgefuktioe med =3, de sorte streg agiver bølgefuktioe og de grøe sadsylighedstæthede Figur 2.1: Bølgefuktio med =1, de sorte streg agiver bølgefuktioe og de grøe sadsylighedstæthede det ses desude at der er midre af bølge som går over græse ed ved =3 Side 16 af 30

17 2. Numeriske resultater Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 2.2 Trekatspotetiale For at vise hvorda sadsylighedstæthede fordeler sig, er samme metode som i de edelige firkatede brød blevet brugt, me u med e ade potetialefordelig. For at dae et trekatspotetiale er de absolutte værdi blevet brugt, samt e skalerigsfaktor. V(x) = 1 10 x 2.2 Ved ige at bruge Shoot og AutoShoot er følgede resultater blevet fudet for trekatspotetialet: Figur 2.4: Trekatspotetiale med =1 Figur 2.3: Trekatspotetiale med =3 Det ses ved sammeligig af Figur 2.3 og Figur 2.4 at sadsylighedstæthede ædrer sig. Hvad der er vigtigt at bemærke er, at sadsylighede for at fide partikle bliver større ved græse af potetialet, jo højere at eergie bliver for bølge. Sadsylighedstæthede kommer derfor til at lige e harmoisk svigig, jo højere eergie er for bølge. Side 17 af 30

18 2. Numeriske resultater Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 2.3 WKB approksimatioe E tilærmelse til eergiere ka daes ved WKB approksimatioe. Metode for WKB er forklaret i afsit 1.5. Ved hjælp af fuktioe WKB i Maple vides det at eergiere for e fuktio: v(x) = x Beskrives ved: ε = Dette testes ved shootig metode i Matlab og sammeliges. For potetialet med sammehæge x2 er det fudet at: Shootig WKB Forskel i procet 1 0,5 2, ,5 5, ,5 + 1, , ,5 + 1, , ,5 + 3, ,5 1, ,5 + 3, ,5 7, , , ,5 + 3, ,5 5, Det viser sig, at WKB metode er e meget præcis approksimatio. For de ulige tilstade gælder det at deres usikkerhed ligger lavere ed de lige tilstade. Desude er det værd at bemærke at de første tilstad ligger over shootig metode, ellers er approksimatioes eergier e smule lavere ed de faktiske værdier. De mest præcise del er de ade tilstad, som ku afviger med 10 6 %. 4 Side 18 af 30

19 3. Egefuktioer til Hamiltooperatore og variatiosmetode Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 3 Egefuktioer til Hamiltooperatore og variatiosmetode 3.1 Egeskaber ved egefuktioere til Hamiltooperatore De statioære tilstade er bestemt af løsigere til de statioære Schrödigerligig (SE). På dimesiosløs form ka dee skrives [ d2 dx 2 + v(x)] ψ (x) = ε ψ (x) 3.1 eller blot Hψ (x) = ε ψ (x) 3.2 hvor H beteger Hamiltooperatore. Notatioe i ligig 3.2 atyder, at ψ (x) er e egefuktio til H med egeværdi ε. E vigtig egeskab i kvatemekaikke er superpositiospricippet, som betyder, at ehver bølgefuktio ka skrives som e superpositio af de statioære bølgefuktioer ψ(x) = c ψ (x) 3.3 hvor c geerelt er komplekse, me ka være reelle. Sadsylighede for at observere eergie ε er lig med c 2. Det ka vises at to bølgefuktioer ψ og ψ k, der korrespoderer til forskellige eergier ε ε k, er orthogoale, og at de ka være orthoormale. For de to bølgerfuktioer ka der skrives [ d2 dx 2 + v(x)] ψ (x) = ε ψ (x) 3.4 og [ d2 dx 2 + v(x)] ψ k (x) = ε k ψ k (x) 3.5 hvis ligig 3.4 multipliceres med de kompleks kojugerede af de egefuktio ψ k (ligig 3.5) og itegreres for x ±, mes der huskes, at udtrykket i firkatparetese fugerer som operator, og der gøres det tilsvarede for ligig 3.5, blot med ψ i stedet for ψ k fås ψ k (x) [ d2 dx 2 + v(x)] ψ (x) dx = ε ψ (x)ψ k (x) dx 3.6 og ψ (x) [ d2 dx 2 + v(x)] ψ k (x) dx = ε k ψ k (x)ψ (x) dx 3.7 Efterfølgede ka ligig 3.6 og 3.7 trækkes fra hiade. Først ses det, at potetiale-leddet, v(x), udgår fra begge ligiger og tilbage står der Side 19 af 30

20 3. Egefuktioer til Hamiltooperatore og variatiosmetode Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet ψ k (x) d2 dx 2 ψ (x) dx ψ (x) d2 dx 2 ψ k (x) dx = ψ (x)ψ k (x)(ε ε k ) dx 3.8 Ved at beytte partiel itegratio på de to itegraler, I 1 og I 2, på vestre side af ligig 3.8 ses dette, at give I 1 = ψ k (x) [ d dx ψ (x)] og (forteget fora itegratiosteget er ikke iddraget) I 2 = ψ (x) [ d dx ψ k (x)] Når I 2 trækkes fra I 1 ses det, at ligig 1.38 reduceres til d dx ψ k (x) d dx ψ (x) d dx ψ (x) d dx ψ k (x) dx 3.9 dx 3.10 ψ (x) [ d dx ψ k (x)] ψ k (x) [ d dx ψ (x)] = ψ (x)ψ k (x)(ε ε k ) dx 3.11 hvor det er klart, at de første afledte af de to bølgefuktioer ψ k og ψ evalueret i græseværdiere x ± giver 0 (da bølgefuktioe ψ(± ) 0). Derfor haves der fra højreside af ligig 3.11, at ψ (x)ψ k (x)(ε ε k ) dx = Heraf ka der erkedes to egeskaber. Hvis = k, så er ψ (x)ψ (x) dx = og så må ε ε = 0, hvilket medfører, at eergiere ε i er reelle. Hvis k, så er ε ε 0, hvorfor der må gælde, at ψ (x)ψ k (x) dx = hvilket betyder, at bølgefuktioeres idre produkt er lig med 0, som geometrisk betyder, at bølgefuktioere er orthogoale. Bølgefuktioere ka også skrives orthoormale, så det er vist, at ψ (x)ψ k (x) dx = δ,k 3.15 Side 20 af 30

21 3. Egefuktioer til Hamiltooperatore og variatiosmetode Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet I ligig 3.3 itroduceres størrelse c, hvortil der gælder P = c hvor P er sadsylighede for at observere eergie ε. Når alle ψ (x) er ormerede ses det, at 1 = ψ ψ = c ψ c k k ψ k = c c k ψ ψ k k = c c k ψ ψ k k 3.17 Det viste sig i ligig 3.15 at bølgefuktioere ψ og ψ k er orthogoale, så 1 = c c k δ,k = c c k = c hvor det idses, at deltaotatioe ku giver 1, år = k. Geemsitseergie i e statioær tilstad er ifølge statistisk teori ε = P ε 3.19 Når ligig 3.16 substitueres i ligig 3.19 fås ε = c 2 ε 3.20 Det ka vises, at itegralet hvor H er Hamiltooperatore defieret i ligig 3.1 og 3.2. Når sidstævte defiitio idsættes i ligig 3.21 fås Herefter udyttes superpositiospricippet i ligig 3.3, så H ψ H ψ = ψ Hψ dx = ε 3.21 H = ψ ε ψ dx = ε 3.22 H = (c ψ ) (c ψ ) ε dx = ε 3.23 ψ ψ = 1 og c c = c 2, så det fremkommer, at H = c 2 ε = ε 3.24 Side 21 af 30

22 3. Egefuktioer til Hamiltooperatore og variatiosmetode Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet Hvilket er i overesstemmelse med ligig Eftersom grudtilstades eergi aldrig ka være midre ed miimumspotetialet vil det geemsitslige iveau, ε, altid være større ed eller lig med grudtilstades, ε gs H = c 2 ε c 2 ε gs = ε gs 3.25 hvilket er e meget vigtig relatio i variatiosregig til bestemmelse af grudtilstades eergier. 3.2 Variatiosmetode I variatiosmetode forsøger ma, at bestemme grudtilstades eergi. De grudlæggede filosofi i variatiosmetode er, at vælge e test-bølgefuktio, hvor ma bereger forvetigsværdie af Hamiltooperatore, H, som altid vil være større ed eller lig med grudtilstadseergie. Herefter miimerer ma H for at komme så tæt på ε gs som muligt. Formalistisk ka det skrives, at H = c ψ H m c m ψ m 3.26 dvs. H = c c m ψ Hψ m m 3.27 Når Hψ m = ε m ψ m substitueres fås H = c c m ε m ψ ψ m m 3.28 hvor ψ ψ m = δ,m, så H = c c ε = c 2 ε ε gs 3.29 Typisk efterlader ma e kostat i H, som ma seere ka bruge til at miimere udtrykket med. 3.3 Aalytisk eksempel på variatiosmetode E partikel er budet i et édimesioelt potetiale på forme V(x) = {, x < 0 αx, x > Ma ka opstille følgede testfuktioer: ψ 1 (x) = e βx2, x > 0 ψ 2 (x) = xe βx2, x > 0 ψ 3 (x) = x 2 e βx2, x > ψ i (x) = 0, x < 0 i Side 22 af 30

23 3. Egefuktioer til Hamiltooperatore og variatiosmetode Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet Visse af disse fuktioer er ikke fysisk acceptable. F.eks. vil ψ 1 år x 0. Både ψ 2 og ψ 3 er acceptable, idet polyomiumsleddee fora ekspoetialleddee sørger for, at fuktioe går imod 0, år x 0. ψ i er e triviel fuktio for x > 0, me de er gyldig for x < 0. Bladt de fire testfuktioer ka ma forvete, at ψ 2 har størst lighed med de eksakte. Dette skyldes, at ψ 2 peaker tidligere ed ψ 3 samt at krumige af ψ 2 stemmer bedre overes med de kedsgerig, at de ee væg i potetialet er uedelig. Figur 3.1: Illustratio af testbølgefuktioere 2 og 3. Variatiosmetode ka beyttes på ψ 2 (x), som først skal ormeres. Der implemeteres således e ormerigskostat, A ψ 2 (x) = Axe βx2, x > Normerige forløber vha. ψ 2 ψ 2 = 1, så A 2 x 2 e 2βx2 dx = 1, x > så 1 A 2 = 8 2β3 2 π 3.34 Hamiltooperatore H er summe af de to eergi bidrag (kietisk og potetiel) d 2 H = [ ħ2 2m dx + αx] = K + V 3.35 Forvetigsværdie af de kietiske eergi er derfor 2 K = ħ2 d 2 2m A 2 xe βx2 0 dx 2 xe βx2 dx = 3 ħ 2 β 2 m 3.36 Tilsvarede ka forvetigsværdie af de potetielle eergi bestemmes 1 Itegralet er løst i Mathematica 2 Itegralet er løst i Mathematica Side 23 af 30

24 3. Egefuktioer til Hamiltooperatore og variatiosmetode Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet V = α A 2 x 3 e 2βx2 0 dx = 2α πβ 3.37 så der i alt fås H = K + V = 3ħ2 β 2m + 2α πβ 3.38 Af dette resultater ses det, at de kietiske eergi stiger, år β stiger, og omvedt for de potetielle eergi. Dette giver god meig, eftersom β bestemmer hældige på bølgefuktioe ψ 2. Jo større e hældig, jo større e krumig og dermed e større kietisk eergi. Når β falder bliver ψ 2 geometrisk bredere således at der vil være e større sadsylighed for at observere partikle lægere væk fra x = 0, altså stiger de potetielle eergi. For at berege det bedste estimat på grudtilstadseergie skal forvetigsværdie H miimeres. Hvis de første afledte af dee mht. variatiosvariable β sættes lig 0, ka der bestemmes de β, hvortil geemsitsværdie er midst. d 3ħ2 H = dβ 2m α 2πβ 3 = β 3 2 = 3 2πħ2 2mα β = ( 3 2πħ2 3 2mα ) 3.41 Når dette idsættes i ligig 3.39 fås de miimerede forvetigsværdier, H mi 2 H mi = 3ħ2 3 2m (3 2πħ2 2mα ) + 2α 1 1 π 3 ( 3 2πħ mα ) eller H mi = 3 α2 3 ħ 2 3 ( 3 1 π ) m 1 3 Side 24 af 30

25 4. Numeriske resultater af variatiosmetode Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 4 Numeriske resultater af variatiosmetode Side 25 af 30

26 5. Sammefatig Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 5 Sammefatig Side 26 af 30

27 6. Appediks Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 6 Appediks 6.1 Appediks A1 Udledige af de tidsafhægige og statioære løsig af SE gøres ved separatio af de variable. Ved først at defiere bølgefuktioe til at være produktet af e stedafhægig og e tidsafhægig fuktio, ka separatio af de variable foregå Ψ(r, t) = T(t)Ψ(r) 6.1 Dette sættes u id i bølgeligige iħ T(t)Ψ(r) t = ħ2 2 T(t)Ψ(r) 2m r 2 + V(r)T(t)Ψ(r) 6.2 Der differetieres u med hesy til de gældede variabel. De del af ligige som ikke har med de gældede variabel at gøre, betragtes som e kostat. Fuktioer differetieret med hesy til tide markeres med prikker mes fuktioer differetieret med hesy til positioe markeres med apostroffer: iħt (t)ψ(r) = ħ2 T(t)Ψ(r) + V(r)T(t)Ψ(r) 6.3 2m Herefter isoleres udtryk som er afhægige af tide på vestreside og udtryk som har med positioe på højreside: iħt (t) T(t) = ħ 2 2m Ψ(r) Ψ(r) + V(r) 6.4 Det ses u at dee ligig på være lig med e kostat, da vestreside ku afhæger af tide og højreside af positioe. Kostat beteges E. Der ka u skrives iħt (t) T(t) = E 6.5 og ħ 2 2m Ψ(r) Ψ(r) + V(r) = E 6.6 Herefter gages der igeem med ævere i ligig 6.5 og 6.6 så der fås: iħt (t) = ET(t) 6.7 og Side 27 af 30

28 6. Appediks Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet hvor ligig 6.7 er de tidsafhægige løsig og 6.8 er de statioære løsig, der er afhægig af positio. 6.2 Appediks A2 De dimesiosløse SE er givet ved ligig Først opskrives bølgeligige (SE): Ved at erstatte følgede størrelser id i ligig 6.10 ħ2 2m Ψ(r) + V(r)Ψ(r) = EΨ(r) 6.8 d2 ψ(x) dx 2 + v(x)ψ(x) = εψ(x) 6.9 ħ2 2 Ψ(r) 2m r 2 + V(r)Ψ(r) = EΨ(r) 6.10 x = r L, V(xL) v(x) = E, ε = E E, ψ(x) = Ψ(x)(xL) L 6.11 ka de dimesiosløse form af SE opås ħ2 d 2 Ψ(r) 2mE dr 2 Ved sammeligig af ligig 6.14 og 6.9 ses det, at E og L er altså ikke uafhægige, og ma ka ku frit vælge é af dem. + V(r) E Ψ(r) = E Ψ(r) E 6.12 ħ2 d 2 ψ(x) 1 2mE d(xl) 2 L + v(x) ε ψ(x) = L L ψ(x) 6.13 ħ2 d 2 ψ(x) 2mE L 2 dx 2 + v(x)ψ(x) = εψ(x) 6.14 ħ 2 2mE L 2 = E = ħ2 2mL Side 28 af 30

29 6. Appediks Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet 6.3 Appediks A3 Der haves følgede ligig, hvor itegralet på vestreside skal evalueres: r 2 2m(E V(r)) dr = ( 1 r 1 2 ) πħ 6.17 hvor V(r) = mω2 r og E = mω2 r i Når ligigere 6.18 og 6.19 idsættes i ligig 6.17 fås r 2 2m ( 1 2 mω2 (r 2 i r 2 )) dr = ( 1 ) πħ 6.20 r 1 2 r 2 2mω r 2 i r 2 dr = ( ) πħ 6.21 Der udføres e substitutio, hvor r = r i si θ så dr/dθ = r i cos θ 2mω π 2 0 r i 2 (1 si 2 θ) cos θ r i dθ = ( 1 ) πħ si 2 θ = cos 2 θ ifølge idiotformle, så π 2 2mω r i 2 0 cos 2 θ dθ = ( 1 ) πħ r i 2 er kostat, så de ka trækkes ud af itegratioe og tilbage får ma hvor vestreside er det samme som π 2 2mωr i 2 cos 2 θ 0 dθ = ( 1 ) πħ mωr i 2 π 4 = Eπ ω 6.25 Side 29 af 30

30 6. Appediks Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet Side 30 af 30