Elementær Matematik. Differentialligninger Parameterkurver Keglesnit

Transkript

1 Elemenæ Memik Dieenilligninge Pmeekuve Keglesni Ole Wi-Hnsen Køge Gmnsium 8

2 Indhold Indhold... Kp. Dieenilligninge.... Dieenilligninge øse oden.... Føse odens dieenilligninge.... Eksemple på. odens dieenilligninge Fuldsændige løsning il den lineæe dieenilligning øse oden...7. Dieenilligninge nden oden...8. Wonski-deeminnen...9. Endighed en løsning Eksemple på poleme, de øe il dieenilligninge Tkkes hængighed højden ove jodovelden Kædelinien Numeisk inegion dieenilligninge Dieenilligningsmodelle Foløe en inluenz epidemi Dieenilligning o vekselvikning mellem o dee Konkueende e...7 Kp. Pmeekuve...3. Indledende egninge...3. Vekounkione Tngen il en pmeekuve Lodee, vndee ngene og spidse Undesøgelse pmeekuve Kuvelængde og ovesøge el...43 Kp 3. Keglesni indledning Ellipsen Ellipsens ligning Ellipsens pmeeemsilling Ellipsengen Ellipsens ledelinie Hpelen Hpelens smpoe Hpeolske unkione. Hpelens pmeeemsilling Plen En sæning om ændsålen og nomlen Keglesni Ellipse Pel Hpeel...59

3 Dieenilligninge Kp. Dieenilligninge. Dieenilligninge øse oden En dieenilligning øse oden e en ligning, hvo de ouden en unkion = indgå dieenilkvoienen denne unkion ' = '. Hvis også den. ledede '' = '' indgå, så siges dieenilligningen væe. oden. Vi minde om skivemåden:. ' d d sm deiniionen dieenile en unkion. d ' d. Fomel kn mn sige, dieenile d ås ved "gnge ove med" d i.. En øseodens dieenilligning, kn skives: d H,, d hvo H e en vilkålig koninue unkion og. A løse dieenilligningen vil sige esemme lle de unkione: =, de oplde ' = H,. Vi illusee dee med e eksempel:.3 Eksempel. d Vi se på dieenilligningen:. Dieenilligningen kn ikke umiddel løses, men vi gæe på d løsningen: = n. Vi dieeniee: ' n n n n De e heee nem indse, lle unkionene: = n+c. e løsninge il dieenilligningen oveno. De e hel kkeisisk, løsningene il en. odens dieenilligning, kun e esem på næ én inegionskonsn. Eksemple oveno e ikke kkeisisk o de dieenilligninge vi skl se på, men de vise lo, hvoledes mn kn undesøge om en unkion e løsning.. Føse odens dieenilligninge Vi h lleede se på dieenilligninge, hvo ikke opæde i ligningen, dvs. en ligning omen:

4 Dieenilligninge d.4 d De som ekend h løsningen:.4 d elle F c; c R, hvo F' = En lineæ dieenilligning.oden e en ligning, hvo ' og kun opæde i. poens lineæ. En sådn ligning kn skives: d g g h d Hvis vi indskænke os il inevlle, hvo g, kn vi dividee med g og ligningen å d udseende: d.5 g h d hvis h = siges ligningen væe homogen: d g d Mn kn ngive den uldsændige løsning il en. odens dieenilligning, men ø vi vise dee, skl vi se på dieenilligninge, hvo mn kn sepee hængigheden og på hve side lighedsegne. Vi skive en sådn ligning: d.6 g h, hvo g og h e koninuee unkione. d Ld G væe en smunkion il g og H væe en smunkion il h. De gælde lså: G'=g og H'=h. Vi vil d vise ølgende: Hvis e esem ved ligningen G=H + c, så e en løsning il dieenilligningen.6. Hvis = e en løsning, så iledssille den ligningen: G = H + c. Nå vi h vis dee, h vi evis smlige løsninge il dieenilligningen e give ved: G = H + c. Vi vise øs, ide vi dieeniee G=H + c ee eglene o dieeniion smmens unkion: d G' '= H' g' = h g h d

5 Dieenilligninge 3 Som vise, esem ved G = H + c e løsning il dieenilligningen. Vi vise denæs, ide =, nges væe en løsning. Vil d vise G = H + c, hvo c e en konsn, elle G - H = c. Vi dieeniee vensesiden ligningen G - H = G' ' - H' = g ' - h =g h = Vi h i de sidse udk nvend, = e en løsning, så g' = h. Dieenilkvoienen G-H e idenisk nul, hvilke medøe : hvomed sæningen evis. G - H=c G = H + c, I pksis løses ligningen.6 ved sepion de vile og inegion i ølgende skid: d.7 h d g d h d g d h d g G = H +c Hvo edningen G og H e den smme som ø. Vi kn heved se, vi ved sepion og inegion, neop nå em il den uldsændige løsning. Nå vi ikke sen gjode dee e de odi egning med dieenile e memisk "ulden". Bemæk ilsedevæelsen inegionskonsnen c. c esemmes ved løsningen = skl gå gennem e punk,, lså så =..8 Mn kn vise ølgende men vi undlde evise, d de e e sk: Eksisens- og endighedssæning o dieenilligninge øseoden. Hvis h e deinee og koninue i e inevl I og g e deinee og koninue i e inevl J, så indes de neop en løsning =, som gå gennem punke,, hvo I J..7 epæsenee den geneelle meode il løsning øse odens dieenilligninge, de kn sepees.. Eksemple på. odens dieenilligninge.8 Eksempel. Vi vil esemme løsningene il dieenilligningen d.9 k d hvo k e en eel konsn oskellig.

6 Dieenilligninge 4 F dieenilegningen ved vi, eksponenielle unkione h den egensk, dieenilkvoienen e popoionl med unkionen selv. Vi gæe deo på løsningen = c e k.. Ved dieeniion ås: ' = ce k k = k ce k = k Som vise = c e k e løsning il ligningen. Vi vil nu løse ligningen mee omel og demed godgøe = c e k hvo. c R Vi sepee deo ligningen som de e vis i.7. Vi dele løsningen op i ilælde: Mn se umiddel = e løsning il dieenilligningen. Denne løsning kldes o nulløsningen.. Mn udegne ineglene på egge side. d k d kd d kd d ln kc c k c c e e k k c e e e e e k k.9 ce, c R Den sidse omskivning e emkomme, ide e R og c = sve il nulløsningen. c Denne opdeling e kkeisik o de lese denne pe dieenilligninge, og mn vil i lmindelighed ikke genge deljene, nå mn opskive løsningen. Dog e de vigig, mn huske nulløsningen.. Eksempel Dieenilligningen oveno e en de mes hppige i mnge videnske. Fsik, økonomi og isæ iologi. I disse videnske vil oe men ikke lid eegne iden. Nå mn dieeniee med hensn il iden, esemme mn hsigheden,.eks. vækshsigheden o en populion. Smmenlign.eks. med deiniionsligningene o hsighed og cceleion: s v v og, som i gænsen, hvo live il en dieenilkvoien. ds s v lim d og ds d v lim Nå e en hsighed skives ligningen og dens løsning d: d k.9 k ce, c R d. Eksempel. Eksponeniel væks. Fo en populion keie, en eolkning med uegænse dgng il øde, kn mn med god ilnæmelse nge, o små idsum nge ilvæksen i populionen e popoionl med populionens søelse og med. Dee kn mn udkke: k k Ved lde gå imod nul, geninde mn dieenilligningen.9

7 Dieenilligninge 5 d d k k ce, c R Hvis en populion h en væks, de øe il dieenilligningen.9 le mn om eksponeniel væks. De vise sig lige iologiske ognisme, heunde eolkningsvæks i en egænse idspeiode kn eskives ved eksponeniel væks. De e lige så kl, smmenhængen vil de smmen på e elle nde idspunk, d en eksponenilunkion gå huig mod uendelig. I snie om eksponenilunkione, så vi, mn kn eegne odolingskonsnen T ln k.. Eksempel. Vi skl nu se på en pe dieenilligning, de minde mege om.9, og som løses på smme måde. d.3 d Indøe vi hjælpevilen z z gælde: dz d og hemed: d d d d d z d z ce ce Vi se løsningen sve il eksponeniel væks, lo plleloskud på -ksen..3 Eksempel En sø, som h e volumen V, å ilø u lie ouene vnd p. døgn, økdelen ouening eegnes q. F søen udledes den smme mængde vnd u p. døgn. Vi vil opsille en dieenilligning, de ngive den økdel, som søen e ouene med. Den hsighed d/d, hvomed søen ouenes h o idg: De iløe, som e d u u d u Dieenilligningen live heee: q q d V V d V u q, og de lede, som e V De ses umiddel dieenilligningen e pen.3, hvoo vi dieke kn opskive løsningen: u ce V q Ange vi søen e en il idspunke =, inde mn, = c + q c = -q, hvoee vi kn opskive løsningen: u qe V q u q e V u D e V o, vil søen ende med hve den smme oueningsgd som de iløe spildevnd. Vi vil nu esemme oueningsgden, nå de e ilø ouene vnd, svende il hlvdelen søens volumen. Hemed e u = ½V, så vi inde q e.393q svende il 39,3%.4 Eksempel. Logisisk væks. Angelsen om uegænse dgng il øde e kun elisisk i egænsede idsum. En mee elisisk model å mn, hvis mn nge vækshsigheden e popoionl med populionens søelse som ved eksponeniel væks, men også popoionl med snden il en øve gænse M o populionens søelse. Hvovid denne model spejle en populions udvikling, kn mn kun gøe ved pøve modellen på en vikelig populion. D vi eksplici le om væks, nvende vi iden som uhængig viel. u. V

8 Dieenilligninge 6 Vi kn nu opskive dieenilligningen: d.5 M d Hvo M e snden il den øve gænse o populionen. Ligningen løses som ø ved sepion, ide mn emæke = og = M egge e ivielle løsninge il ligningen. d d M De øse inegl e ikke så ligeil løse, men de udegnes ved en eknik, de kldes o udvikling på piløke. Vi osøge således skive inegnden, som en sum o øke, hve kun med en ko. p q p M q pm q p M M M M Hvis denne idenie skl gælde o lle ølge de q = p og pm =, så M, opnå vi dieenilligningen: p q M. Ide vi gnge igennem med d Md M ln ln M M k Vi h he nge > og < M, som v oudsæningen o modellen. Ved edukion ved hjælp logimeegneegle å mn: ln ln M M k ln M k M M Mk e k Løse vi denne ligning med hensn il, og sæe e c, hvo c e en posiiv konsn å mn løsningen:.5 M e cm ce M cm e M c Oe se mn i løsningen c ese med /c, hvoee løsningen å den simple om:.5 M ce M og M e slg ud modellen, mens c e slg ved populionens søelse på e give idspunk..5 Eksempel I en sø e osokoncenionen en unkion = iden. I en model oudsæes de de p. døgn udledes en konsn mængde oso il søen, mens den mængde de ledes o søen e popoionl med koncenionen. Mn kn opsille en dieenilligning, de udkke, den elive ilvæks i osokoncenion i idsumme e en konsn gngen minus en konsn gnge gnge. Ved lde gå imod nul å mn en dieenilligning, som mn geninde som den logisiske ligning.

9 Dieenilligninge 7 d d Fo den pågældende sø e =, og / =. Endvidee oplde ligningen 475 = 7. Besem en oski o, og eegn, sm vækshsigheden o osokoncenionen il =. Ved indsæe 475 = 7 i løsningsomlen.5 inde mn: 7 ce,475 7 ce, c 7e,95, Løsningen live d,e, med 54,e Vækshsigheden e d/d, og den esemmes ved dieke indsæelse i dieenilligningen. d d,, 54 54,78.3 Fuldsændige løsning il den lineæe dieenilligning øse oden Vi vil løse ligningen: d.6 g h d Hvo vi nge g og h e koninuee unkione, så de h en smunkion. Hvis G eegne en smunkion il g, så G = g, gnge vi ligningen igennem med G e, heved å mn e G d d e Omskivningen ølge : G g e G h d d e G e G h d d e G e G d e d G G' e G d e d G g Ligningen d d e G e G h kn umiddel inegees il G G G.7 e e h d e e G h d

10 Dieenilligninge 8 Hvilke e den uldsændige løsning, ide mn huske på de ueseme inegl lid kæve en iæ konsn inegionskonsn..8 Eksempel. Besem den løsning il dieenilligningen: Vi inde dieke d, hvo > og som gå gennem,-3. d G dln så e G e ln og e G e ln Ved indsæning i løsningsomlen inde mn d: 4 d c c c Løsningen gennem,-3 indes ved indsæelse,=,-3 i løsningsomelen: 3 c 4 3. Dieenilligninge nden oden En dieenilligning nden oden e en ligning, hvo den nden ledede en unkion indgå. Vi vil indskænke os il ege ligninge omen d. k, hvo k d Tilælde k = ses umiddel give løsningen = c + c Denne pe ligninge, kn ikke løses på smme måde som øse odens ligninge, men opgven e den smme, undesøge om de indes løsninge og i give ld inde dem lle smmen. Vi vise øs sæningen: Hvis og e løsninge il dieenilligningen., så e enhve linekominion:. = c + c også en løsning. Vi skive nu dieenilligningen på omen d.3 m d, hvo m = k Vi dieeniee nu. o gnge og å iølge egneeglene o dieeniion. = c + c

11 Dieenilligninge 9 d såvel og e løsning il.3, gælde de: = m og = m, hvo ølge: = c + c = c m + c m =mc + c =m hvilke vise, e en løsning il dieenilligningen.3.. Wonski-deeminnen I de ølgende å vi ug o løsningsomlen o o lineæe ligninge med o uekende med deeminnmeoden. Ligningssseme.4 c c h deeminnen D Hvis D, h ligningssseme,4 neop en løsning give ved.5 c c c c og c c c c Fo esemme smlige løsninge il dieenilligningen: m d d, indøe mn den såklde Wonski-deeminn o dieenile unkione:.6 g g g g g W ' ' ' ',.7 Eksempel Wonski-deeminnen kn udegnes o o vilkålige dieenile unkione. F.eks. = og g = sin. g W sin cos cos sin, I lmindelighed e Wonski-deeminnen en unkion, men vi vil nu vise den lid oveskende sæning:.8 Hvis og e løsninge il dieenilligningen.3, så e Wonski-deeminnen konsn.

12 Dieenilligninge W, = c <=> W, = Dieeniee mn W, = - ee podukeglen o dieeniion o de o koe ås: ' ' '' ' ' '' '' ' ' ' ' ', ' W Anvende mn nu, og e løsninge il dieenilligningen.3, således =m og =m inde mn: '' '', ' m m m W så Wonski-deeminnen e konsn o o vilkålige løsninge il.3. Vi e d kl il vise hovedsæningen om dieenilligningen.3. Hvis og e løsninge il dieenilligningen m d d Fo hvilke de gælde W, en konsn oskellig, så kn smlige løsninge = skives som en linekominion de o løsninge. = c + c Vi h lleede vis, = c + c e løsning, hvis og e løsninge, så vi mngle lo, vise lle løsninge kn skives på denne om. Hvis mn ikke sille kv om, c og c e konsne, så kn mn lid esemme unkione c og c, de iledssille ligningssseme: ' ' ' c c c c Deeminnen o ligningssseme e jo neop ' ', W, som vi h ouds oskellig nul. Løsningene c =c nd c = c kn iølge løsningsomlen o ligningssseme skives:

13 Dieenilligninge ' ' c W, W, W, c ' ' W, W, W, D, og lle e nge væe løsninge, e lle de indgåede deeminne konsne iølge den idligee sæning og demed e c og c konsne, hvilke vi skulle evise. Vi vil nu løse dieenilligningen d d m o m > og m <.. 8 Eksempel m>: Vi sæe m = k., hvoee dieenilligningen live: d d k. Funkione, hvis nden ledede e popoionl med unkionen selv e enen eksponenilunkione elle sin, cosunkione. Nå konsnen e posiiv e de eksponenilunkione. Ved dieke indsæning ses e k og e k e løsninge, ide k k e ' ke og k k k e '' ke ' k e. Vi udegne d Wonski-deeminnen o de o løsninge., e k e k W ' ' k k k ke k ke k D Wonski-deeminnen e oskellig, kn vi opskive den uldsændige løsning:.8 k k c e c e. 9 Eksempel m < : Vi sæe m =- k d., hvoee dieenilligningen live: k. d Funkione, hvis nden ledede e popoionl med unkionen selv e enen eksponenilunkione elle sin, cosunkione. Nå konsnen e negiv e de sin elle cos-unkione. Ved dieke indsæning ses cosk og sin k e løsninge. Vi nøjes med vise de o cos k cos k' k sin k og cos k' ' k sin k' k cos k. Vi udegne d Wonski-deeminnen o de o løsninge. cos k sin k W, k cos k k sin k kcos k sin k k ' ' k sin k k cos k D Wonski-deeminnen e oskellig, kn vi opskive den uldsændige løsning:.8 c cos k c sin k

14 Dieenilligninge. Endighed en løsning Ved e linieelemen, oså mn e punk, som løsningen gå gennem, sm kuvens dieenilkvoien i dee punk. E linieelemen kn.eks. skives,, α. Hvis en løsning gå gennemlinieelemene gælde således: = og = α. De gælde ølgende Sæning: Til ehve linieelemen,, α indes de en løsning il dieenilligningen d m, som gå gennem dee linieelemen. d Vi skl lså vise, de indes en løsning =, som oplde = og = α. Smlige løsninge il dieenilligningen kn skives = c + c hvo og e o løsninge, hvis Wonski-deeminn e oskellig. Løsningseingelsene = og = α kn deo skives: c c ' c c ' Dee kn eges som e ligningsssem med de uekende c og c. Ligningssseme deeminn e imidleid: ' ', som neop e Wonski-deeminnen o de o løsninge, som vi h vis e konsn, og som vi h oudsg e oskellig nul. D ligningsssemes deeminn e oskellig nul, h ligningene neop en løsning c og c, hvilke vi skulle vise.. Eksempel Besem il dieenilligningen ' ' den løsning, hvis g gå genne A,6 og i punke A h en ngen med 4 hældning. Ligningen e omen '' k med k, så vi kn dieke opskive løsningen. c e c e og ' c e c e Løsningseingelsene: 6 og ' c e c e Løsningen live heee c c 6 c c c 4 c 4e e. Eksempel Besem il dieenilligningen '' 9 den løsning, hvis g gå genne P, 9 3 og i punke P h en ngen med hældning -6.

15 Dieenilligninge 3 Ligningen e omen ' ' k med k 3, så vi kn dieke opskive løsningen. c cos3 c sin 3 med 3c sin 3 3c cos3 Løsningseingelsene: 3 og ' 6 c cos3 c sin 3 3 3c sin 3 3c cos c cos c sin 3 3c sin 3c cos c c 3 c c c c c 3 c 4 Ligningene løses lees, ved gnge den sidse ligning med - 3 og lægge ligningene smmen, heved å mn: Løsningen live heee Dieenilligningen 4c 8 3 c 3 c 3 cos3 sin 3 k d h den uldsændige løsning: d c cosk c sin k Vi ønske esemme vædimængden o denne unkion. Dee opnås ved esemme l A og φ, således c og c kn skives på omen: c =Acosφ og c =Asinφ Asin c A de o ligninge, å mn ved division n φ = Acos c Kvdees de o ligninge og ddees å mn A cos sin c c, Hvo mn inde : A c c. Indsæe mn de undne udk o c og c i udkke o løsningen, å mn denæs: Acos cosk sin sin k Acos k

16 Dieenilligninge 4 De sidse udk skldes en omskivning ved hjælp den øse de ddiionsomle, de lev udled i vekoegningen. cos cos cos sin sin Bemækning: I sikken, hvo løsningen il dieenilligningen e løsningen il en hmonisk svingning, og hvo e ese med iden, skive mn i lmindelighed løsningen som: Acos cosk sin sin k Acos k Dee sve il mn h ese φ med φ i den øvese ligning, hvilke dog hvde vike lid kunsig på dee sed Hvd enen mn nvende de ene elle de nde udk, så e de indlsende vædimængden o løsningen e [-A, A], d vædimængden o cosinus e [-, ]. A kldes o mpliuden i svingningen og φ kldes o egndelsessen. k + φ kldes d o sen og φ kldes o egndelsessen.

17 Dieenilligningsmodelle 5 3. Eksemple på poleme, de øe il dieenilligninge I lle nuvidenske, men også i iologi og økonomi, opæde dieenilligninge, som sv på poleme. Vi vil he give nogle eksemple, hene sikken. 3. Tkkes hængighed højden ove jodovelden Vi ege e ksseome udsni mosæen. Aele endeldene eegnes A. Kssen einde sig i højden ove jodovelden. Kssen h højden Δ. Tkke på oveside og undeside eegnes p+ Δ og p. Msselden o luen i højden h eegnes ρ. Vi minde om ken på en lde med el A e F = pa, hvo p e kke på lden. Vi udkke nu, oskellen i ken på undeside og oveside e lig med ngden den lu, de einde sig i kssen. Dee odi luen i kssen e i hvile. p p dp 3. g d pa - p+ ΔA = m lu g= ρv lu g = ρa Δg Dividees denne ligning med AΔ å mn: Fo løse dieenilligningen 3., må vi imidleid kende endnu en smmenhæng mellem ρ og p. Den kn vi imidleid å :. ilsndsligningen o idele gsse: PV = nrt, m. deiniion molmsse m nm n, sm M m 3. deiniion msselde: m V. V Indsæes nemlig de o sidse ligninge i ilsndsligningen inde mn: PV nrt m M RT V M RT M RT P Dee udk o msselden indsæes så i 3., som heee give: dp Mg 3. p d RT Som ekend ge empeuen c. med o C o hve m, mn komme il vejs, men vi nge øs, empeuen e konsn op igennem mosæen. Løsningen il dieenilligningen 3. e kend, så vi inde:

18 Dieenilligningsmodelle p p e Mg RT Indsæes de kende vædie o konsnene: M =9 g/mol, g = 9.8 m/s, R= 8.3 J/molK og T = 73 K, inde mn: 3.4 p 4.6 pe hvo skl måles i m. Dee give e kld på,3% p. m og % p. m. Vi se denæs på løsningen il dieenilligningen, hvis empeuen ge lineæ med C, p. m. Tempeuen ved jodovelde sæes il C = 93 K. Tempeuen i højden e deo: T = T = 93 /. Dieenilligninge live heee: dp Mg 3.5 p d R93 Denne ligning løses på sædvnlig vis ved sepion og inegees: p p dp p Mg R d 93 p p dp p Mg 93R d med 93 Ligningen inegees il give: 3.6 Mg p Mg R ln p p 93 p R 93 ln Udegnes kke ee 3.6 give de kun nledning il vigelse 3.4 på,, %. 3. Kædelinien

19 Dieenilligningsmodelle 7 Kædelinien e eegnelsen o den kuve =, som en kæde ov, kel dnne, nå den e ophæng i o punke. F eegne den ngenielle k, som kæden e påvike ved. Den vndee komposn F e uhængig, d kæden e i hvile i vnde ening. Den lodee komposn ken F = i minimumspunke =, d ken F e vnde i dee punk. A dee ølge, F e lig med ngdeken, de vike på kæden il. Fo længden kuven, give ved =, il, h vi i ineglegningen udled udkke 3.7 l ' d Hvis kædens msse p. længdeenhed e μ, e ngden skke μ l g, hvo g som sædvnlig eegne ngdecceleionen g = 9,8 m/s. Ken F = F nθ, hvo θ eegne ngenhældningen, og demed F = F. Vi smmene dee. l ' d og F F F ' g ' d g 3.8 ' d F ' ' l g A denne dieenilligning ses, ' e en smunkion il deo: 3.9 g '' F ' ' k ' ', hvo g F ', som e en dieenilligning pen: g k e en posiiv konsn. F og de gælde Fo løse den sæe vi z = og demed z =. Hee e ligningen educee il ølgende.odens dieenilligning: 3. z' k z Ligningen 3. kn løses, men de kæve kendsk il de såklde hpeolske unkione. 3. Eksempel. Hpeolske unkione. Mn deinee hpeolsk cosinus skives cosh og hpeolsk sinus skives sinh, ved ligningene: 3. cosh e e og sinh e e nvne o disse unkione komme, de h mnge egenske, som ligne dem vi kende sin og cos. Fo eksempel å mn ved dieeniion:

20 Dieenilligningsmodelle cosh ' sinh og sinh ' cosh Endvidee gælde gundelionen mellem cos og sin i en lid modiicee om: cosh sinh e e e e 4e De gælde lså 3.4 cosh sinh Vi løse nu dieenilligningen 3. ved sepion. e z' k z dz k d z dz kd z dz z kd Fo udegne inegle på vense side, oege vi susiuionen z=sinh => dz=coshd og = sinh - z. Vi å deee dz cosh d kd kd z sinh cosh dkc dkc kc cosh sinh z k c z sinh k c Ide = z inegees den sidse ligning il cosh kc c k g Susiuee vi nu ilge i den opindelige ligning k inde mn sluelig: F F 3.5 g cosh c c g F De sidse udk vise, den kuve som en kæde indsille sig ee e en hpeolsk cosinus-unkion. Konsnene c og c esemmes ved egndelseseingelsene. 4. Numeisk inegion dieenilligninge Som oml i indledningen snie om dieenilligninge, e de kun å pe ligninge, de h en nlisk løsning. De sidse ede, mn kn esemme en oski = udk med lmindelige unkionsegn, som iledssille dieenilligningen. I nde ilælde, e mn henvis il løse ligningen numeisk, hvilke ede, se med en egndelseseingelse og egne sig em i små skid h. De indes dskillige meode il løse en dieenilligning numeisk. Disse meode e en del den memiske disciplin, de kldes numeisk nlse.

21 Dieenilligningsmodelle 9 Ande eksemple på numeisk nlse e.eks. nulpunke o en unkion ved Newon-Rphsons meode elle numeisk udegning inegle ved Simpsons omel. Vi skl kun se på den mese simple meode, som også kldes o Eules meode. Eules meode e see på de ppoimeende. gds polnomium, som lev oml i dieenilegningen. En unkion = e dieeniel i 4. +h = + h+ εhh, hvo εh e en epsilonunkion deinee ved: εh > o h >. I de ppoimeende. gds polnomium e +h ppoimee ved 3 led. De øse e nule oden i h konsn, de næse e øse oden i h h og de sidse e nden oden i h h på gund epsilon unkionen. Hvis h e e lille l,.eks. h=,, så e h = -4, den gund å de sidse led minde edning, og edningen ge med gende h. Ld os nge, vi h give en dieenilligning: ' = g, Eules meode e deo ppoimee = +h med + h. Dee vil give ølgende vædie: = 4. = = +h = + h = + g, h = = +h = + h = + g, h Fejlen i hve skid e popoionl med h, men hvis h smme oegn, vil ejlene kkumulee., dvs. ække i den smme ening. Numeisk løsning dieenilligninge ske nu om dge lid på en Compue.

22 Dieenilligningsmodelle En ede meode, som ilskives Aiken, kn ngives, hvis mn som egndelsesvædie kende og h. h kn.eks. væe unde ved hjælp Eules meode ud. Mn esemme nu h på ølgende måde: h g h h h h, ' h g h h h h, ' Og sådn emdeles. Mn kn vise, ejlen ved denne meode hve skid e popoionl med h 3. Oveno e de o meode osøg illusee gisk. I pksis nvende mn endnu mee vnceede meode. De lese pogmme nvende nu den såklde Runge-Ku 4. odens meode, hvo ejlen e popoionl med h 4. Nedeno e vis den nliske og den numeiske løsning dieenilligningen d d eksempel.3. Mn se kun en kuve, så den numeiske meode e mege god i dee ilælde. 5. Dieenilligningsmodelle Nå mn le om en model, mene mn oe e memisk udk, de kn eskive nogle d, som i lmindelighed også e ehæe med sisisk usikkehed. Nå mn nvende ode model, så e de i lmindelighed, odi eskivelsen ikke e den uldsændige sndhed, men lo e see

23 Dieenilligningsmodelle på nogle imelige oe simple ngelse. Fo de smme ænomen, kn mn oe opsille lee modelle, de hve o sig eskive dele d med imelighed. Heimod le mn om en eoi, nå de eges som den uldsændige eskivelse e ænomen. En eskivelse, de ikke kn oedes deligee. Som eksempel på en eoi, kn mn i memikken.eks. nævne plngeomeien, dieenil- og ineglegningen og i den klssiske sik.eks. Newons gviionslov og Einseins elivieseoi, hvoimod ilsndsligningen o idele gsse e eoi, hvis idelgsse eksiseede i nuen, hvilke de næsen gø, men smme gund nogen gnge eegnes som en model. De eksemple vis skl se på he e imidleid egenlige modelle, som lng umme lle deljene de, som de epæsenee. 5. Foløe en inluenz epidemi. Udedelse en epidemi e i lmindelighed en mege komplicee poces, de skldes ilældighede. Den dødelige SARS, de lev uded i lee lnde, væs i Kin og i den veslige veden Cnd, skldes den omsændighed, en jekæ-hndle ovenede på e inenionl hoel, hvoee sgdommen huig lev sped il lee lnde gennem luhvnseminle mv. De ligge i sgens nu, mn ikke kn opsille en memisk model o en sådn udedelse. E ede eksempel e de inluenz epidemie, de med jævne mellemum mme Euop og USA. He kn mn god opsille en simpel model o udedelsen i en æ populion med N individe. De kn væe en so. D inluenz smie oveøes ved dåe inekion udånding, e de væsenlig hele populionen h mulighed dieke elle indieke væe i sisk konk med hinnden. Vi indøe øs nogle eegnelse: R = Rske: Anlle pesone, de endnu ikke e smiede il idspunke S = Sge: Anlle pesone, de e smiede, og som kn oveøe smien il idspunke. I = Immune: Anlle pesone, de h væe sge, og som e leve immune idspunke. De vil il ehve idspunk gælde: R+ S + I = N D modellen e see på e sndsnlighedsgumen, indøe vi også de ilsvende økdele: R Bøkdelen ske pesone. N S s Bøkdelen sge pesone. N I i Bøkdelen immune pesone. N De vil il ehve idspunk gælde: + s + i = Som lid ngive dieeniion med hensn il iden hsigheden, hvomed en søelse ændes. Hvis, de e minds en sg vil væe en gende unkion. Hsigheden, hvomed den ge vil unde den mes simple ngelse, væe popoionl med sndsnligheden o en sk møde

24 Dieenilligningsmodelle en sg. Denne e igen popoionl med nlle økdelen sge gnge nlle økdelen ske. Vi kn således skive, hvo e en popoionlieskonsn: d 5. s d D en sg peson ee e idsum live sk elle dø, må hsigheden, hvomed mn live immun væe popoionl med s, med en popoionlieskonsn. di 5. s d Fo opsille en dieenilligning o s, nvende vi nomliseingseingelsen + s + i =, som vi dieeniee: d ds di d d d ds d d d di d ds 5.3 s s d Mn kn også dieke indse 5.3, ide en peson, de ikke længee e sk, e leve sg. Så økdelen sge vokse med den smme ko s, men ge smidig popoionl med s, d en sg live sk elle dø ee en vis peiode. De 3 kolede dieenilligninge h ikke nogen kend nlisk løsning. Dieenilligningene løses imidleid le på en Compue og e pssende memikpogm. Pogmme, som vise løsningene på nedensående ge, e mi ege, klde Mhem, som e e ælde DOS-see pogm, skeve i Tuo Pscl 7. Fssæelsen konsnene og, kn.eks. ske ved smmenligne med kuelle d, he h vi e vilkålig vlg, sæe =.5 og =.33. Den sidse konsn kn egundes ved en smie peson kn oveøe smie i 3 dge, så en edjedel=.333 live immune ove e døgn. På den næse g h vi igen s =.5, men nge peioden, hvo mn kn smie e 7 dge, så =.4 =/7. I egge ilælde se mn nlle sge vokse op, o deee lde igen. Bemæk, mn i modellen nge sgdommen udvikle sig hel i, og mn ikke vccinee elle isolee de sge, som de v ilælde med SARS. I de øse ilælde e de mimle nl sge 8%, mens de i de nde ilælde e c. 38% - en mege væsenlig oskel. I de øse ilælde live c. 58% smiede, mens de i de nde ilælde e hel oppe på 96%. Hvis mn jusee på, å mn nuligvis hel nde kuve.

25 Dieenilligningsmodelle 3

26 Dieenilligningsmodelle 4 Modellen kn nvendes, hvis mn i sen en epidemi h nok indsmle d il kunne skønne ove og, så kn mn å e skøn ove hvo længe epidemien vil ve og hvo mnge sgdomsilælde, mn kn ovene. 5. Dieenilligning o vekselvikning mellem o dee En de mee kende memiske modelle e den, som eskive vekselvikningen mellem o dee. Vi vil he ehndle o oskellige pe vekselvikning, nemlig ovd-e og o e, de konkuee om smme dgng il øde. Som i de oige ilælde, gge modellen på nogle hel simple ngelse, de sle ikke ge højde o delje elle ilældighede, hvilke lid e ilælde i nuen. Alligevel kn modellen given en geneel eskivelse nogle ilælde i nuen. Ld os nge, de i en skov leve æve og mus. Anlle æve il idspunke, eegne vi, mens vi eegne nlle mus il idspunke med m. Hvis de v le om uegænse dgng il øde o egge pe, og hvis ingen ene v ed o en nde, så ville såvel og m udvikle sig eksponeniel, og deo iledssille dieenilligningene: d dm 5.4 k og kmm d d Nu e dgngen il øde o ævene hængig nlle mus, men dee vil vi på den mes simple måde indgge i modellen ved gøe k = k m il en unkion m= m, nlle mus.

27 Dieenilligningsmodelle 5 Hvodn k m hænge m, kn vi ikke vide, nde end k m må væe en voksende unkion m. Den mes simple ngelse e deo, k m e en voksende lineæ unkion m, således, 5.5 k m = m -, hvo og e posiive konsne, de e esem hvd modellen skl nvendes på. På hel ilsvende vis kn mn gumenee o k m = k m e en gende unkion =, nlle æve. Vælge vi også he en lineæ smmenhæng 5.6 k m = c - d å mn o ne dieenilligninge: d dm 5.7 m og c d m d d Bemæk ligheden med den logisiske ligning. Begge ligninge ville nemlig væe logisiske, hvis mn esede m med i den øse ligning og med m i den nden ligning. Ligningene h helle ikke nogen nlisk løsning, men de kn løses numeisk på smme måde, som vi gjode de i de øse eksempel. Nedeno e vis en løsning, hvo vi h vlg egndelsesvædiene m, = 9, 354, indsmle en svensk skov. De indgående konsne e slg ved =,, =.8, c =, d =.. Mn se delig, en peiode med mnge mus å esnden æve il vokse, som deee å esnden mus il lde, som å esnden æve il lde, som å esnden mus il vokse. De e e cklisk olø, og de o e leve i en slgs økologisk smiose. De emækelsesvædige e, selv om de e ovd og ed, så kn ingen dem oveleve uden den nden. Hvis mn uddde lle ævene, vil musenes nl vokse ud ove den gænse, hvo de kn inde øde. Resule e evenuel, de lle dø. Figuen nedeno vise smidig esnden æve og esnden mus, som unkion iden

28 Dieenilligningsmodelle 6 Dividee vi den sidse dieenilligningene 5.7 op i den øse inde vi ølgende ligning 5.8 d dm m c d m Denne ligning kn imidleid sepees il give: c d m 5.9 d dm m Ligningen kn nu inegees. c m 5. d d dm cln d m ln m Hvo k e en inegionskonsn, de e esem egndelseseingelsene. Ligningen 5. e nscenden og kn deo hveken løses mh. il elle m. Mn kn dog se nogle geneelle egenske ud 5.9. Fo c m e dm=, og h oegnsviionen +,, -, hvis d e posiiv og -,, + hvis d e negiv. Dee vise m h såvel e mimum og e minimum og evæge sig mellem disse o vædie. Noge hel ilsvende kn siges om. I sede o nvende 5., o slægge smmenhængen mellem og m gisk, vil vi igen løse de o dieenilligninge 5.7, men ilde, m som en pmeekuve. Nedensående e øs vis indd il memikpogmme og denæs,m gen. k

29 Dieenilligningsmodelle 7 Ovensående g e sådn se ikke oveskende, men den indeholde mnge delje, som mn ikke kn slue sig il uden nvendelsen en memisk model. 5.3 Konkueende e Vi skl nu se på e eksempel på en model, de eskive o de e, de konkuee om en egænse mængde øde. Vi vil holde de o populione nonme, og eegne dem med og, så eegne nlle individe il idspunke og eegne nlle individe il idspunke. Den logisiske ligning e en model o en populion, hvis søelse h en øve gænse. Dee e.eks. ilælde, hvis de kun e en egænse mængde øde il ådighed. De e deo imelig i øse omgng, opsille den logisiske ligning o de o populione. d d 5. M og M d d Imidleid hæmme de o populione hinnden væks, så vi iløje e hæmmende led o den nden populion i hve de o ligninge. d d 5. M og M d d Fø vi se på eksemple på en numeisk løsning, vil vi lve nogle geneelle egninge. Besnden e konsn, de e ligevæg, hvis d/d = =. Tilsvende o esnden. Dee øe il ligningene. 5.3 M og M Ligninge h ud ove de ivielle løsninge: Løsningene M elle M 5.3 M og M elle M og M De o ligninge emsile hve en e linie i - plnen. Hvis liniene h e skæingspunk, h vi en smidig ligevæg o de o populione. Ligningsssemes deeminn e imidleid D = -, så D. Hvis = elle < elle < e de ingen ælles ligevægsilsnd nde end den ivielle = elle = o de o populione. Selv om de indes en ligevægsilsnd, så e de ikke sikke, den e sil. Silie kæve, en oskdning ligevægssilsnden øe ilge il ligevægsilsnden og ikke længee o den. Som eksempel på en sil ligevæg, kn mn ænke på en old, de ligge i unden en hlvkugleome skål. En oskdning ligevægsilsnden vil øe kuglen ilge mod unden. Som eksempel på en usil ligevæg, kn mn ænke på e lncenumme. En oskdning lnceilsnden vil øe sngen længee o ligevægsilsnden.

30 Dieenilligningsmodelle 8 Nedeno e vis 4. ge ig. 5.5 il ig. 5.8, hvo de o linie 5.3 e indegne o oskellige vædie de indgående pmee. Endvidee e oegnene o d/d og d/d mkee med pile. Som mn se, e de ingen ligevæg i de o øse igue. Enhve oskdning vil øe il udddelse den ene. På ig 5.7 e de e ælles punk med ligevæg, men denne ligevæg e ikke sil. I ig. 5.8, deimod e de en sil ligevægsilsnd, som kn oolkes på ølgende måde: Hvis de o egge e gælde, den ene hæmme den nden minde end den hæmme sig selv, så e de en mulighed o sil ligevæg. Nedeno e vis eksemple på en numeisk løsning på dieenilligningene. Dee e med vædiene: M = ; =,; =,8; M = 6; =,5 ; =,5. Bemæk, disse vædie oplde eingelsene på ig Øves e vis en løsning, hvo mn h s,, men hvo mn h se med 5 oskellige egndelsesvædie. Som de emgå, konvegee løsningen i lle ilælde mod den smme ligevægsilsnd 84, 5.

31 Dieenilligningsmodelle 9 Nedeno e vis o sepe ge o og, svende il en gene oveno. Ee nogle e hidsige ændinge i egndelsen silise de sig ved de smme konvegenspunk, som vis på den øse g.

32

33 Pmeekuve 3 Kp. Pmeekuve. Indledende egninge Nå vi hidil h ehndle unkione, så h de lid væe unkione, hvo deiniionsmængde og vædimængde e delmænge de eelle l. Funkionsegee e imidleid e specililælde de mee geneelle ildningsege. Deiniion. Ld de væe give o ikke omme mængde A og B. Ved en ildning A ind i B, som skives: : A B osås en oski, som il ehve elemen i en delmængde A, kne e og kun e elemen i B. De elemene i A, som h e illede i B, kldes o deiniionsmængden o ildningen, og de elemene i B, som e illede e elemen i A, kldes o illedmængden. De elemen i B, som e kne il e elemen i A ved ildningen, kldes o illede og skives = Hvis de o vilkålig o elemene og i A, gælde: siges ildningen væe injekiv, og hvis ehve elemen i B e illede e elemen i A, siges ildningen væe sujekiv. Hvis en ildning e åde injekiv og sujekiv siges den væe en ijekion.

34 Pmeekuve 3. Vekounkione Ld V eegne mængden vekoe i plnen. En vekounkion e d en ildning R ind i V. Hvis eegne iden, og e punk P evæge sig und i plnen, vil punke eskive en kuve. D de e neop en posiion P il ehve idspunk, e dee en ildning R ind i mængden punke i plnen. Hvis OP e sedvekoen il dee punk, kn vi deinee en vekounkion på ølgende måde:. OP Vi å dog ug o e sndsege mellem o vekoe. Ved snden mellem o vekoe og, oså mn længen dees dieensveko. Med denne deiniion, e vi nu i snd il deinee, en vekounkion h en gænsevædi, den e koninuee og dieeniel.. Deiniion: gå imod o gående mod, som skives o :.3 Deiniion: e koninue i o

35 Pmeekuve 33.4 Deiniion: e dieeniel i hvis og kun hvis øken: h en gænsevædi o gående mod. Gænsevædien, hvis den eksisee eegnes dieenilkvoienen i. Dee kn skives mee kompk:.5 lim ' ' og kldes o Behndlingen vekounkione ligne på mnge måde ehndlingen eelle unkione, ide en veko unkion kn opes som de o eelle koodinunkione. Uden så mege omsvø, vil vi deo sslå:.6 en vekounkion e koninue, hvis og kun hvis egge koodinunkionene e koninuee..7 en vekounkion e dieeniel, hvis og kun hvis egge koodinunkionene e dieenile. Regneeglene o koninuie og dieeniilie ølge egneeglene o eelle unkione. 3. Tngen il en pmeekuve På iguen nedeno e illusee egee ngen o en pmeekuve =. De o nopunke P og P sve il unkionsvædiene i og sve il en sekn på kuven. Fo > e vekoen. Vekoen

36 Pmeekuve 34 emdee, dvs. ensee med vekoen. Fo < e vekoen gudee, mens sdig vil væe emdee. Hvis = e dieeniel, vil gænsevædien ' lim væe lig med dieenilkvoienen. Smidig vil gænsesillingen hvis den ikke e nul-vekoen væe en emdee ngenveko il kuven. 3. Dee øe il ølgende deiniion: Hvis = e dieeniel i, og nulvekoen, så siges gen o hve en emdee hlvngen i. 3. Eksempel. Smmenhængen mellem kinemik evægelseslæe og pmeekuve. Hvis eegne iden, så sve = il en evægelse i plnen. Dieenilkvoienen v = vil væe hsigheden i evægelsen og = vil væe cceleionen. F sikken h mn ovege den konvenion mn eegne længden en veko med de smme ogsv uden vekoseg ove. Fen i evægelsen e længden hsighedsvekoen v = v. Søelsen cceleionen e give ved længden cceleionsvekoen: = 3.3 Eksempel. Jævn eline evægelse. En jævn eline evægelse e give ved en pmeeemsilling: Mn inde hsigheden ved dieeniion koodinunkionene: 4 3 ' ' ' v Mn se hsigheden e en konsn veko. Fen e v = I nogle ilælde, kn mn opnå en ligning o pmeekuven ved elimininion. I dee ilælde e de mege simpel, ide mn inde: = 3 3 = /3 + inds i = 4 + => = 4/3 +5. Hvilke mn genkende som ligningen o en e linie. 3.4 Eksempel. Skå ks. Bevægelse i ngdeele. Vi ege en evægelse e give ved en pmeeemsilling: Mn inde hsigheden ved dieeniion koodinunkionene: 6 8 ' ' ' v Begndelseshsigheden o = e 6 8 v og egndelseshsigheden e 6 8 v Acceleionen e konsn ee nedd lig med ngdecceleionen ' v Bevægelsen se,. Vi vil esemme de idspunk, hvo piklen igen mme -ksen., 6 5.

37 Pmeekuve 35 Vi indsæe de sidse idspunk i udkke o = 9,6. Denne vædi kldes o ksevidden. Sighøjden indes ved sæe v = 6, 6, som indsæes i ,6, 8 v 6 Endelig kn mn eegne ksevinklen som n 36,9 v 8 Til slu vil vi esemme ligningen o nekuven ved eliminee Vi genkende udkke som ligningen o en pel. En såkld ksepel. På gen nedeno e nekuven vis smmen med hsighedsvekoene i nogle punke Eksempel. Jævn cikelevægelse. 3cos Vi ege en evægelse e give ved en pmeeemsilling: 3sin A nekuven e en cikel ses le ved udegne 9cos 9sin 9cos sin 9. Bnekuven e en cikel med ligningen 9. Hsighedsvekoen indes ved dieeniion: ' 6sin v ' ' 6 cos De emækes, ', hsighedsvekoen e vinkele på dius veko, ee lngs ngenen.

38 Pmeekuve 36 Vi inde denæs cceleionsvekoen: '' cos v' '' '' sin Hvo ses, cceleionen il sdighed e ee mods, lså mod cenum, hvoo cceleionen eegnes cenipelcceleionen. Dee v idligee en del sikpensum på den memiske linie. 3. Lodee, vndee ngene og spidse. Hvis en pmeekuve e dieeniel i og ', så gælde de, hvis =, så h kuven en lode ngen i. hvis =, så h kuven en vnde ngen i. Hvis ikke e dieeniel i, men dieeniel høje og vense, lså, hvis åde ' lim og ' lim eksisee, men ' ', så siges pmeekuven hve en spids i. Dee e.eks. ilælde på kuven vis nedeno, Nå mn vil eegne spidsens åningsvinkel, ngive mn de ikke som vinklen mellem ' og ' men som vinklen mellem ' og '. Vinklen eegnes ved lmindelig veko egning, som: ' cosv ' ' '

39 Pmeekuve Undesøgelse pmeekuve En undesøgelse en pmeekuve udøes i pincippe på smme måde som en unkionsundesøgelse, oskellen ligge i, hvoledes mn oolke esulene.. Skæing med koodinksene. Fo esemme skæingen med -ksen skl mn løse ligningen =. Ld os nge, mn inde løsningene Tilsvende o esemme skæingen med -ksen skl mn løse ligningen =. Ld os nge, mn inde løsningene Mn lve d en oegnsviion som vis på nedensående igu. De mn kn læse oegnsviionene ud ove skæinge med ksene e hvilke kvdn kuven oløe i. Dee e mkee på den øvese llinie. Hvis > og <, oløe kuven.eks. i 4. kvdn. Tilsvende esemme mn posiionen evenuelle lodee og vndee ngene ved løse ligningene = og =. Ld os nge, ' 6 7 og ' 8 9 Mn lve d ligesom ø en oegnsviion o og. Vis nedeno på iguen.

40 Pmeekuve 38 Ud ove kunne se, hvo de e lodee og vndee ngene, så kn mn læse i hvilken ening kuven oløe i hve monooniinevllene. Uden kende il egenlige søepunke, kn mn heee å e ovelik ove kuvens olø. Nedeno e egne gen o en pmeekuve, som oplde kvene de o oegnsviione: 4. Eksempel. Nedeno e vis en Compuelve kuveundesøgelse, en pmeekuve, som ligne kuven oveno. Blnd nde e skæingen med ksene og de lodee og vndee ngene esem, endelig e gen egne.

41 Pmeekuve Eksempel. Fikløve. Hvoo denne pmeekuve h åe dee nvn, emgå iguen nedeno. Pmeeemsillingen e: sin cos 3sin sin 3sin cos 3sin Pmeekuven kn opes som en jævn cikelevægelse, men med en dius, som viee mellem og 3 med en peiode på π. Nedeno e vis en Compuelve kuveundesøgelse, sm gen o pmeekuven. 4.3 Eksempel. Ckloiden. Ckloiden e en klssisk pmeekuven. De e den kuve som e punk ælgen på e hjul eskive, nå hjule illes sed. Fo esemme pmeeemsillingen, eges nedensående igu. A iguen emgå: CP OC OP cos sin 3 sin 3 cos

42 Pmeekuve 4 Pmeeemsillingen live d: sin cos Bege vi ckloiden, som en unkion =, så ses de den e peiodisk med peioden π. Dieenilkvoienen live: ' cos ' ' sin Ide ' h ckloiden ingen ngen o =. Fo lligevel å e indlik i kuvens olø omking, kn vi ' ege oholde o gående mod høje og vense. Dee ohold e nemlig ngenhældningen i ' punke. sin cos cos ' sin. ' cos sin sin ' ' He ses, lim og lim ' ' Vi slue he, ckloiden h en lode spids i punkene = pπ, p =, ±, ±, Nedeno e vis en compue undesøgelse ckloiden eeulg en g. De e også udegne e ovesøge el, hvilke vi skl vende ilge il. 4.4 Eksempel. Akimedes spil. Akimedes spil, emkomme ved mn udøe en jævn cikelevægelse, smidig med dius vokse cos popoionl med dejningsvinklen. Lde vi sin e så gælde de e ' sin e cos I sin mes simple om e pmeeemsillingen deo

43 Pmeekuve 4 e sin cos og mee geneel sin cos Fo hsigheden inde vi: cos sin sin cos ' ' ' e v Nedeno e vis gen o en Akimedes spil. Også på denne igu e de egne e p ngene, sm mkee e ovesøge el. 4.5 Eksempel. Logimisk spil. Den logimiske spil e en spil, hvo dien vokse popoionl med, mens dejningsvinklen vokse popoionl med logimen il. Den logimiske spil e deo næsen uendelig lng id om oege en omgng. Nedeno e vis en compueundesøgelse en logimisk spil med pmeeemsillingen. sin ln. cos ln.

44 Pmeekuve Eksempel. Uådsjg. Åsgen il den logimiske spil e medge e, den komme ud som løsning i en esem slgs poleme. Ld os nge en desoe og en uåd å visuel konk, hvo de einde sig i snden d hinnden. Uåden dkke sks ned og ge lugen uden ænde kus med en esem hsighed u. Desoeen kn sejle med en v. De nges, v > u. Poleme e nu, om desoeen kn sejle på en sådn måde, den vil møde uåden ligegldig, hvilken kus uåden h ge. Siuionen e illusee nedeno, hvo de også e indlg e pssende koodinssem.

45 Pmeekuve 43 Uåden vil einde sig på en cikelpeiei med dius = u. Løsningen o desoeen e, den skl sejle på den smme peiei indil den h nåe en omgng. D hsigheden v > u, skulle dee pincipiel væe mulig. Føs skl desoene sejle dieke mod uåden il e punk, på den cikelpeiei, hvo uåden einde sig. Dee e nem inde, ide de må gælde: u + v = d, så =d/u+v. Vi egnde nlsen ud dee punk, som vi sæe il =. Opgven simpliicees, hvis vi skive desoeens posiion, i polæe koodine. De e kend igonomeien, ehve punks koodine kn skives som:, cos, sin Vi skive d desoeens pmeeemsilling som cos sin De e kl, dilhsigheden e. Den ue ds, de ovesges, nå vinklen oøges med d e ds = d. ds d He ølge de, ngenilhsigheden e ' d d D desoeen il sdighed skl einde sig på smme cikelpeiei, skl den sejle med smme dilhsighed u. He ølge, = u elle = u. Desoeens e kvdoden kvdsummen dil og ngenilhsighed. Vi å således: v u u' som kn løses mh. ' il give. v u v u ' ln hvo vi h s u u e de idspunk, hvo jgen lngs peieien egnde. =d/u+v. Fo simpelheds skld sæe vi = og inde: ln. Vi indsæe nu dee i pmeeemsillingen og se, desoeens ne neop vil væe en logimisk spil. u cos ln u sin ln Vi kn osigig osøge vudee, hvo lng id de vil ge desoeen o sejle en hel omgng, og hvo lng væk uåden så e komme. Vi nge deo u = kno og v = 5 kno. Vi inde d α =,83. Vi skl d løse ligningen: αln = π,83ln = π. => = 3,98, på hvilke idspunk uåden h sejle 3,98 sm = 37,8 sømil = 689 km. 5. Kuvelængde og ovesøge el Figuen nedeno nde, hvoledes vi vil inde længden en kuve og de el som ovesge mellem o idspunke. Fomlene udledes ved ininiesimlegning. Ved eegningen kuvelængden ege vi uen ds, svende il den ininiesimle ilvæks d. Fo ininiesimle ilvækse, vil de gælde: ds d d d d ds d ' ' d d d Vi inde således omlen

46 Pmeekuve ds ' ' d s ' ' d Hvis mn skl esemme ele mellem kuven og -ksen, så kn de gøes på o oskellige måde.. Hvis mn kn inde en ligning o kuven: = ved elimine pmeeen, så kn ele mellem kuven og -ksen udegnes som e lmindelig inegl. 5. A d. Selv om mn ikke kn eliminee pmeeen, kn mn i nogle ilælde lligevel esemme ele mellem kuven og -ksen, ide mn opskive 5.3 A d ' d Hvis mn deimod ønske esemme de ovesøgne el mellem pmeevædiene og, se vi iguen oveno, de ininiesimle el da, som ovesge i idsumme d, så e de hlvdelen de pllelogm, som udspændes d d. Dee el, kn igen udkkes på lee måde:

47 Pmeekuve 45 d d d d d da ', de, de Skl mn udegne ele med denne omel, så må mn dele op i inevlle, hvo deeminnen h de smme oegn, og så iløje e minusegn, de hvo den e negiv. Mn inde d ølgende omel: 5.4 ' ' d A d da 5.5 Eksempel. Vi vil undesøge pmeekuven give ved pmeeemsillingen:. 3 R Skæing med -ksen: = Skæing med -ksen: = Foegnsviion: Dieenilkvoien:. 3 ' ' ' R Lode ngen: = 3 - = = ± Vnde ngen: = + = = - Foegnsviion:

48 Pmeekuve 46 Til høje e egne en kuve, som e i oveenssemmelse med de o oegnsviione. Som de ses, h kuven e doelpunk, lså o oskellige -vædie, de give de smme,. E doelpunk kn pincipiel esemmes ved løse de o ligninge med de o uekende og. = og =. D ligninge ldig e lineæe så h kuven nemlig ikke e doelpunk, e mn henvis il gæe sig em. Hvis vi gæe den ene -vædi, kn mn oe inde den nden. Vi gæe se gen nedeno på =, som give, = -6,8. Denæs løse vi ligningen: = 8 4 8, som inds give, = -6,8. Vi ønske eegne vinklen mellem ngenene i doelpunke ' 6 ' 3 ' og He inde mn 99, ' 4 ' ' 4 ' cos v v Nedeno e vis kuveundesøgelsen med e memikpogm, sm den igige g. Kuven egænse e omåde plnen. Vi ønske esemme ele dee omåde. De e ud de oegående kl, nden omåde gennemløes = -4 il =. Vi nvende deo lo omlen 5.4. ' d A ' D udkke ses, væe negiv i inevlle [-4, ] skl vi skie oegn. Vi å d d A 9,6 Hvilke e de smme esul, som memikpogmme å. De o minusegn e en minde ejl i pogmme

49 Pmeekuve 47

50 Keglesni 48 Kp 3. Keglesni. indledning Keglesni e en eegnelse o e oskellige geomeiske igue, nemlig ellipse, hpele og ple. Gunden il ælleseegnelsen keglesni e nuligvis, de lle e kn eminges som snikuve mellem en pln og en kegle. Fø vi vise dee sidse, vil vi give en leniv deiniion de e kuve.. Ellipsen En cikel deinees som de geomeiske sed o de punke P som h den smme snd e give punk C. Punke C eegnes cenum og snden o dius.. Tilsvende deinees en ellipse, som de geomeiske sed o de punke P, hvis snde o givne punke F og F h en given sum, sndene egne posiive. F og F eegnes som ellipsens ændpunke. På iguene oveno, h vi indlg e koodinssem, med -ksen gennem F og F, mens - ksen dele linieskke F F, således OF = OF. I dee koodinssem må ellipsen, således væe smmeisk med hensn il såvel som -ksen. Punkene A,B,C og D nges væe på ellipsens skæingspunke med de o koodinkse. De gælde således.eks. F A + F A = og F B + F B = Speciel må F A = F B, på gund smmeien, hvo ølge F A + F A = = F B + F A = AB =, så A = -, og B=,. kldes o ellipsens hlve sokse. Bege vi punke C ellipsens ene skæing med -ksen, så må de på gund smmeien gælde: F C = F C =, ide F C + F C =, d C ligge på ellipsen. Vi sæe = OC = OD, hvomed C og D å koodinene: C=, og D=, -,. kldes o ellipsens hlve lillekse. Vi give endvidee F og F koodinene F = -e, og F = e,,

51 Keglesni 49 hvo < e < e e l, som kldes o ellipsens eccenicie. e e e mål o ldkningen ellipsen i ohold il cikelomen, som nås, nå e =. d e nemlig F = F. Nå e =, ude ellipsen il en e linie. A den evinklede ekn OCF å mn umiddel: e e e. Ellipsens ligning Svende il ciklens ligning, vil vi nu esemme en ligning o ellipsen. Dee gøes lees ved inde e udk o de o ændsåle il e punk P, på ellipsen. Ved nvendelsen sndsomlen inde mn: He ås: F P e og F P e F P F P 4e, ide lle de øvige led gå ud mod hinnden. Ved en omskivning med en kvdsæningene å mn d F P F P F P F P 4e Smidig gælde de, d P ligge på ellipsen: F P F P Ved dividee denne ligning op i ovensående, å mn de o ligninge: F P F P e og F P F P som nem løses il give: F P e og F P e Indsæe mn nu de øse udk i ligningen: F P e å mn: e e som ee kvdeing og edukion give: e e e ide e øe dee il ellipsens ligning,.

52 Keglesni 5 Fo esemme skæingspunkene med ksene sæe mn = elle =, heved å mn umiddel og, som vi vidse i ovejen. Hel på smme måde, som de gælde o en cikel, kn mn inde ligningen o en ellipse med cenum i,..3. Ellipsens pmeeemsilling Sæe vi cos og sin, [, ], e dee en pmeeemsilling o en kuve. Vi vil vise kuven e en ellipse. Mn inde nemlig: cos og sin, hvo ølge: cos sin. Punke, ligge på ellipsen. cos.4, [, ] sin kldes o ellipsens pmeeemsilling. Bedningen pmeeen e imidleid ikke hel indlsende, som vis på iguen nedeno Fouden ellipsen, h vi egne en cikel med cenum i ellipsens cenum og dius lige med ellipsens hlve sokse. Hvis Q =,= cos, sin e e punk på ellipsen e P = cos, sin e punk på ciklen, som vis på iguen. e således ikke eningsvinklen o punke Q, som mn måske umiddel skulle o. kldes o ellipsens ecceniske nomli..3 Ellipsengen Mn kn god esemme en ngenligning o ellipsen ved isolee i ellipsens ligning, og dieeniee de o udk, men de øe il lid uoveskuelige egninge. Mege leee e de, esemme ngenvekoen il pmeekuven. Vi vil esemme ngenligningen i punke, ' sin ' ' cos Ide cos og sin inde mn: ' sin og ' cos, og ' hemed ngenhældningen: ' Tngenligningen indes heee på sædvnlig vis :, hvis mn insæe hældningen α, å mn således:

53 Keglesni 5 De sidse lighedsegn emkomme, odi, ligge på ellipsen. Ligningen o en ngen il ellipse, gennem punke, e deo.5.4 Ellipsens ledelinie De vise sig, mn kn give en leniv deiniion en ellipse. En ellipse e de geomeiske sed o de punke, hvo oholde mellem sndene e give punk og en given linie e konsn lig med e <. På iguen e egne en ellipse, sm en linie med ligningen = /e. De høje ændpunk F = e,. Vi vil esemme de punke, hvo oholde mellem snden il F og snden il en linie e lig med e <. e e e Hvis mn kvdee og odne ligningen inde mn: e e e e e e Unødvendig sige, så h ellipsen o ledelinie, som sve il hve si ændpunk 3. Hpelen En hpeel e de geomeiske sed o de punke, hvis snde o givne punke F og F, h en konsn numeisk dieens. Kldes Hpelen o H, gælde de således: P F F P H P

54 Keglesni 5 Hvis de o ændpunke F og F e eliggende på -ksen, smmeisk om -ksen, så må hpelen ud deiniionen væe smmeisk mh. -ksen og -ksen. Den må endvidee eså o dskile gene på gund numeisk egne. F P F P F P F P F P F P Hpeelen skæe -ksen i o punke A og B, odi ligningen oveno h o løsninge på -ksen. På gund smmeien gælde endvidee: F A F. He ølge: B F B F B F B F A AB, så AB. A og B h deo koodinene -, og,. Vi give F og F koodinene: F =-e, og F = e,, hvo e >. Dee il oskel ellipsen hvo < e <. Udledningen hpelens ligning ølge deo uldsændig udledningen ellipsens ligning, og udegningene kn oveges dieke, indil mn nå ligningen: e e He huske mn e >, så den omskives, så lle led e posiive. e e e Fo hpelen deinee mn: e, hvoee vi kn skive hpelens ligning. 3. Bemæk den omelle lighed med ellipsens ligning. Den enese men væsenligse oskel e minusegne mellem de o led på vense side.

55 Keglesni 53 På smme måde, som o ellipsen, indes en leniv deiniion hpelen. 3.3 En hpepel e de geomeiske sed o de punke, hvo oholde mellem sndene e give punk og en given linie e konsn lig med e >. Udledningen dee ske hel på den sme måde som o ellipsen, ved opsille oholde. e e e med e >. 3. Hpelens smpoe På iguen med plen oveno e indegne o linie med ligningene. Vi vil vise disse o linie e smpoe il hpeelen. Vi minde om: Linien = + e en skå smpoe il gen o =, hvis og kun hvis: + o elle - Hvis mn løse hpelens ligning mh. inde mn:. Fo > og >, se vi d på oskellen: o Hvilke vise e skå smpoe il o. De øvige ilælde vises på hel smme måde. Med indøelsen smpoene, kn vi også eskive, hvo mn kn læse. Linien =, skæe nemlig smpoen i, ide:. 3. Hpeolske unkione. Hpelens pmeeemsilling I memikken deinee mn hpeolsk cosinus og hpeolsk sinus ved udkkene: sinh cosh e e og e e Selv om gene o cosh og sinh e mege oskellige gene o cos og sin, så h de en ække egenske, som minde sæk om hinnden. cosh og sinh e dog ikke peiodiske. Gundelionen o cos og sin sin cos live.eks. il sinh cosh