Vektorer og Carbon nanotubes.

Transkript

1 Vektorer og Crbo otubes. Af: Morte Lurse Ileig til otubes: Efter et forerg f Lektor Peter Bøggil fr Istitut for Mikro- og Notekologi på DTU o otekologi blev jeg iteresseret i ette ee. Der er ege fokus på eet otekologi eller osciece. i øjeblikket. E eget fi itrouktio til eet er ugivet f Århus Uiversitet e title: Notekologi historier o e yeste ske oforskig. Notekologi er et ee er lægger op til et fgligt sspil elle fysik/kei/biologi og et er erfor iteresst o tetik k irges på et for elevere pssee iveu. Ofte beyttes krystllers rulige struktur so e veelse f vektorer i ruet, e et er ret svært. vis vi ku betrgter grfitlg er et tilstrækkeligt e brug f vektorer i ple. Målgruppe er elever i g i e turvieskbelig stuieretig og er lægges op til t tetik geegår vektorer i ple først. vert fsit ieholer så ktiviteter, klet projekter, er k være uleiger f forler eller beregiger. I et første fsit gives e lille itrouktio til keiske biiger for forskellige Crbokofigurtioer. Det k spriges over, hvis ku er iteresseret i geoetrie. Afsittet o trsltiosvektore og hvor ge crbotoer er er i et hexgolt gitter k også ules eller bruges f elevere til viere stuier i grupper. Kei og biiger: Grubyggesteee for otubes er grfit er er opbygget f crbo-hexgoer (se fig. ) Figur. Øverst ses e ekel hexgo fr grfitgitteret. er er bolæge 0,4. Neerst ses et usit f et grfitgitter, er til forvekslig liger etskere i et fobolål.

2 Bolæge beteget elle to crbotoer er 0,4. Projekt 0. I følgee øvelse skl u først bestee Det er velket t grfit er opbygget i lg. Melle e forskellige lg er biige (v er Wls kræfter) eget svg, hvilket gør t blyter (grfit) er ieelle til skrive e, fori lgee et k rives løs fr hie. Det ekelte lg er buet op ve såklte sp - covlete biiger (klet hybriiserig) er er ket i keie. Det gør lget eget stærkt. Crbo står so beket i fjere hovegruppe i et perioisk syste og består f i lt 6 elektroer, er foreler sig på følgee elektroorbitler (eller elektroskyer): s, s og p. På fig. ses eksepler på s- og p-orbitler. Iefor et skrveree oråe er er eget stor chce for t fie elektroere. Figur. E s-orbitl hr for so e kugle, ees e p-orbitl hr sløjfefor. De yerste 4 elektroer kles i keie for vleselektroer, er er ere løseligt buet e e ierste to elektroer. Vleselektroere giver leig til følgee orbitler: s, p x, p y og p z og eergiforskelle elle e lveste s-orbitl og e højeste p-orbitl er eget lille, så k er ske e ixig f s- og p x - orbitlere. Det er ee ixig er kles for hybriiserig. Crbo er eget speciel fori flere forer for hybriiserig fies:

3 sp-hybriiserig er kees fr cetyle eller ethy (fig. b) er er buet op e e tripelbiig. E f isse er e sig-biig, er er et u fr e covlet biig elle e to orbitler vist i fig. c. De re er e lgt svgere pi-biiger (vikelret på olekylet), et f p y - og p z - orbitlere. C C Figur b. Acetyle er opbygget f e tripelbiig. I fig. c ses e to hybiiseree orbitler: Figur c. sp-orbitler er et u fr e blig f s- og p x -orbitler. De øverste svrer til t be er forskut u e positive x-kse, ees e eerste er forskut lgs e egtive x-kse. sp -hybriiserig so kees fr polycetyle (fig. ), Fullere (fig. ) og otubes (fig. ). er er er tre sig-biiger (trigol biig) til æreste boto og e pi-biig (vikelret på olekylet). Figur. Del f polycetyle.

4 og eelig ses eth (Fig. e) og it (ikke vist) so er e sp - hybri. Alle fire er sig-biiger (tetrgol biig). Figur e. Meth e ets fire ekeltbiiger. Notubes: For t e e otube rulles et grfitlg op ligeso et kylligeet til t e e cylirisk for e e såklt Buckybll i hver ee (se fig. og fig. ). Figur. Dette billee, er viser tre eksepler på otubes, er ulåt fr e rtikel i Physicsweb 988 so i øvrigt giver e go første itrouktio til eet otekologi. E så kofigurtio kles også for e Sigle-Wlle NoTube forkortet SWNT. Typiske otubes hr e ieter på c. 5 og k hve e ustrækig på op til flere ikroeter. Dee for er ekstret stor brustyrke og k optræe so e elektrisk leer æste ue ost i visse tilfæle, ikke t forveksle e e superleer. Oprieligt hve først uviklet såklte Multi Wlle Notubes (MWNT)so består f SWNT s viklet i i hie so e russisk ukke (Bbuschk). 4

5 Figur. E Buckybll består typisk f 60 crbotoer bygget op so e fobol e vekslee petgoer og hexgoerog er opklt efter e Aerikske rkitekt Buckister Fuller, er esigee kupler. Afhægig f hvor er rulles op fås tre forskellige uligheer, er vil blive forklret i æste fsit: På fig. ses e Archir-SWNT øverst E Zigzg-SWNT i ite Og eelig e Chirl-SWNT eerst. Det hexgole gitters geoetri: Det hexgole gitter (lle vikler i e hexgo er 60 o ) er krkteriseret ve to vektorer klet og (se fig. 4). På figure ses e to vektorer so ugår fr et tilfæligt vlgt pukt i et hexgole gitter. Figur. 4. Gruvektorere i et hexgole gitter. 5

6 6 Norlt i tetikuervisige beyttes bsisvektorer so går lgs x- og y- ksere, e på gru f e hexgole struktur er et hesigtsæssigt t beytte og i steet. Forålet er t bestee ietere i e SWNT og et sker ve først t bestee kooritsæt, læger og sklrproukter f isse vektorer. Det er klrt fr fig. 4 t lægere f isse to vektorer er es. Projekt. Gør ree for t: NAN(.) Projekt. Gør ree for t vektoreres kooriter i kooritsysteet er givet ve følgee utryk. NAN(.)

7 De chirle vektor eller rollup vektor: Vi skl u stuere oprulige. På fig. 5 er iteget et usit f et grfitlg e uggspukt i puktet O. De lge pil er prllel e vektor og er e vikel på 0 o e x-kse. B' B O A O Figur 5. Defiitio f e chirle vektor og trsltiosvektor OB T. M ruller op o ee kse. Vi ifører u e såklte rollup vektor også klet e chirle vektor er går fr O til A. Sistævte pukt er på fig.5 et ve t tge vektor fire gge plus vektor to gge. Nu teges e lije vikelret på gee O. Puktet B svrer til t gitteret getger sig selv. Vektor BB er prllel e vektor. Tubekse OB også klet trsltiosvektore T, et vil sige e kse so grfitgitteret rejes o er vikelret på vektor. De veer vi tilbge til. Nu rulles op, så t O rører A og B rører B. Voil så hr vi e otube f type SWNT! Vektor er geerelt bestet f tlprret (,) hvor og er hele tl så t: 7

8 NAN(.) På fig. 5 er ltså: (,) (4,) NAN(.4) Projekt. Beste vektor s kooriter. M k iele i følgee tre tilfæle: vis kles et for e Archir. vis f.eks. 0 er et e Zigzg. Ellers kles et for Chirlt. Oveståee figur er ltså chirlt. Neefor i fig. 6 ses e Archir e: (,) (,) NAN(.5) 8

9 O B O B' A Figur 6. E Archir (,) kofigurtio. Projekt 4. Beste vektor s kooriter for ee Archir. Oprulige sker her okrig y-kse eller vektor OB. Eelig ses og e Zigzg i fig. 7 : (,) (,0) NAN(.6) 9

10 Oprulige sker her okrig e skrå kse er er vikle 0 o e x-kse. B' B A O O Figur 7. E Zigzg (,0) kofigurtio. Projekt 5. Beste vektor s kooriter for e Zigzg. Vi vil fie u f hvor stor ietere er utrykt ve hjælp f tllee og. Fr vektorregig fås for læge f rollup vektore: 0

11 cos(60) NAN(.7) Det giver ifølge NAN(.) ) ( NAN(.7b) Dere fås for ietere f otube: π π NAN(.7c) Specielt for e rchir er: π NAN(.8) og for e zigzg: π NAN(.9)

12 Projekt 6. Beste ietere i oeter for e tre ævt tilfæle. Fr vektorregig fås for vikle elle rollup vektore og vektore: cos(v) NAN(.0) cos(v) Projekt 6b. Gør ree for t et fører til følgee resultt: cos(v) / NAN(.0b) Projekt 6c. For rchir er. Gør ree for NAN(.) og t vikel v er 0 grer. cos( v) NAN(.) Projekt 6. For zigzg er 0. gør ree for NAN(.) og t vikel v er 0 grer. cos( v) NAN(.) Projekt 6e. Beste vikle i et chirle tilfæle ævt tiligere.

13 Projekt 6f. Gør ree for t i et chirle tilfæle vil vikle ligge elle ul og 0 grer. it: sæt i NAN(.0b) og iteg på loeregere utrykket for cos(v) og beste iiu ht.. Fysiske forhol for SWNT: Der gæler ogle iteresste fysiske forhol for såe SWNT. M k vise t hvis: q NAN(.) hvor q er et helt tl, så vil e SWNT opføre sig so et etl (stof so er leee) og ellers so e hlvleer (stof er er leee/isoleree ve forskellige påvirkiger). Projekt 7. Gør ree for t ehver rchir SWNT å opføre sig so et etl. Projekt 7b. Uersøg o er er ogle -værier er fører til et etl for e zigzg SWNT. Projekt 7c. Det chirle tilfæle vist på fig. 5. Opfører et sig so et etl eller hlvleer? Projekt 7. Lv e chirl SWNT er ugør et etl. Et proble ve frestillige er t ikke lle tubes skbes efter se øster, e so e blig f f.eks. rchir og zigzg SWNT s. Trsltiosvektore*: Tubekse også klet trsltiosvektore T er vikelret på vektor. Vektor T er bestet f tlprret (t,t ) hvor t og t er hele tl så t: NAN(.4) T t t

14 Dee vektor svrer til et første gitterpukt hvor systeet getges. D e chirle vektor og trsltiosvektore er vikelrette på hie gæler: T 0 NAN(.5) Det giver: ( ) (t t ) 0 NAN(.6) og ere: t t ( t t ) 0 NAN(.7) Beyttes NAN(,) fås efter lit regerier: ( ) t ( ) 0 t NAN(.8) e løsig er: t t R R NAN(.9) vor R er største fælles ivisor for () og (). 4

15 Regeeksepel.. Det chirle tilfæle (,) (4,). Vi fier () 0 og () 8. De største fælles ivisor er. Det giver: t 4 og t - 5. Og ere: T 9 NAN(.0) Projekt 8. Gør ree for t e Archir (,) hr: t og t - og beste vektor T. Projekt 8b. Gør ree for t e Zigzg (,0) hr: t og t - og beste vektor T. For læge f T fier vi so uer NAN(.7): T t t t t NAN(.) Det giver ifølge NAN(.7b) : T (t t t t ) NAN(.) Projekt 9. Vis t et fører til følgee utryk. er skl u hole tuge lige i ue og kue håtere kvrtet på e toleet størrelse. T ( R ) NAN(.) Det giver i lt: 5

16 T ( R NAN(.4) vor stort er egetlig relet f OBB A og hvor ge hexgoer er er egetlig? Projekt 0. Gør først ree for t et(, ) NAN(.5) Projekt 0. Gør ree for (it: vektor og T er orthogole): et(,t) ( R ) NAN(.6) Projekt. Beste relet for e tre eksepler. Det giver følgee resultt for tllet f hexgoer: et(,t) et(, ) ( R ) NAN(.7) D er er crbotoer for hver hexgo (overvej et ve t rkere på e figur f grfit) fås eelig tllet f toer: 4 ( R ) NAN(.8) Projekt. Beste for e tre eksepler tllet f crbotoer for hver hexgo. 6

17 Et pr goe referecer: Litertur. Physicl Properties of Crbo Notubes. R. Sito et l, Iperil College Press. 7