Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker"

Transkript

1 Ekstrktion f spektre og chromtogrmmer vh kemometriske teknikker Nogle kemometriske teknikker til seprtion f spektre og chromtogrmmer er undersøgt mhp utomtisering f dtehndlingen f NMR-chromtogrmmer Teknikkerne kn også ruges til ndre NMR-tidsserier som feks studiet f kinetik og stilitetsundersøgelser Af Clus Cornett, lektor, phd, Institut for Anlytisk og Frmceutisk Kemi, DFH, Ved HPLC-NMR-nlyser f ekstrkter og nlyser f tidsserier, feks i forindelse med nedrydnings- og stilitetsstudier, titreringer mv, producerer NMR-instrumenter ofte store dtmtricer estående f serier f spektre Disse chromtogrmmer eller tidsserier er ikke egentlige illeder Mn er derfor ikke interesseret i t uddrge illedelementer, men derimod enkelte spektre og deres tidsprofiler Den disciplin inden for kemometrien, der eskæftiger sig med dette prolem, kunne kldes multivrit kurveopløsning (multivrite curve resolution) Det interessnte er, t når mn hr fundet de enkelte spektre og deres tidsprofiler, hr mn en væsentlig del f de dt, der skl til for t estemme stoffernes struktur, smt hvor meget der er f de enkelte stoffer I denne smmenhæng er NMR jo en unik teknik, idet mn ikke er plget f forskellige molære sortionskoefficienter I det følgende vil jeg klde disciplinen for Multivrit Kurve Opløsning (MKO), mens de specifikke teknikker vil live omtlt ved deres engelske nvne og forkortelser Oprindeligt kldtes teknikken for Self Modeling Curve Resolution [], selvmodellerende kurveopløsning, d mn ikke nvender nogle ntgelser om linieform på toppene i de spektre, mn nlyserer Til dtehndlingen nvendes Mtl, et numerisk mtemtisk værktøj, der er populært i kemometrikredse Der findes grtis værktøjspkker (tooloxe) til Mtl på Internettet, og mn kn køe nogle kemometriske pkker Jeg hr selv udviklet en teknik, l for t få prolemstillingen»under huden«, og nskffet tre kommercielle kemometriværktøjsksser til Mtl D jeg strtede projektet, syntes jeg, t ideen om t nvende kemometri til t uddrge spektre fr NMR-tidsseriedt vr indlysende rigtig, og jeg undrede mig over, t der ikke vr ndre, der hvde fundet på det llerede Siden hr jeg fået kendsk til enkelte MKO-lignende nvendelser Den ene drejer sig om utomtisk seprtion f spektre og tidsprofiler for diffusionsdt og kldes DECRA [] Den nden nvender teknikken til t estemme ntllet f komponenter i fst octclciumphospht [3] Multivrit kurveopløsning nvendt på NMR-chromtogrmmer Først gennemgås de teknikker, jeg selv hr udviklet Dernæst smmenlignes resultterne med de resultter, jeg hr fået ved t nvende de kommercielle pkker som»plsthyldevrer«jeg hr ikke pillet i de enkelte værktøjskssers indre, selv om det i visse tilfælde er muligt, l fordi de fleste prgmtiske spektroskopikere egentlig helst er fri for t skulle pille for meget ved ndres softwre (det er ofte lettere t skrive noget nyt selv) Det grundlæggende prolem kn mtemtisk eskrives ved, t mn hr et dtsæt i en mtrix estående f spektre optget til en sædvnligvis konstnt stigende tid Er tiden ikke konstnt voksende, er mtemtikken»ligegld«, det komplicerer kun efterehndlingen en smule Jeg hr vlgt t orgnisere dtmtrixen, så hvert spektrum sættes i en række i mtrixen, med det første (tidligste) spektrum i række Det giver følgende mtrixligning: Øverst: NMR-chromtogrmmet opløses i spektre og chromtogrmmer for de enkelte komponenter = 3 * NMR Chromtogrm Koncentrtionsprofil f de enkelte komponenter Spektre f de enkelte komponenter Figur Illustrtion f seprtion f chromtogrmmer og spektre To stoffer med lidt forskellige retentionstider, men meget forskellige spektre NMR-chromtogrmmet til venstre (et ntl spektre optget efterhånden som stofferne eluerer) seperreres i to chromtogrmmer og to spektre Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9, 6

2 6 Tid Chemicl shift (dtpunkt nr) Figur Konturplot f NMR-chromtogrmmet i figur Ligesom et lndkort med højdekurver er det set ovenfr Det kn illustreres ved figur I figur er vist et konturplot f NMR-chromtogrmmet (set ovenfr) Umiddelrt ser det ud som en forholdsvis enkel prolemstilling, men d åde de»rene«spektre og chromtogrmmerne kn overlppe, er det lngt fr en triviel øvelse Nogle spektre, feks for sustituerede phenoler, vil ligne hinnden meget Hr mn kun dgng til den romtiske del f spektret, vil spektrene for niosol og ethylphenol ligne hinnden meget I nogle kun lt for relistiske NMR-chromtogrmmer, vil toppene åde fronte (ssymetrisk fortil) og tile (ssymetrisk gtil), d mn vil være tiløjelig til t sætte en stor prøvemængde på kolonnen for t opnå stof nok til ordentlige spektre Derfor hr jeg vlgt et testsystem, der estår f en lnding f phenolderivter, som vi sædvnligvis nvender ved test f»hjemmepkkede«chromtogrfiske kolonner Kolonnetesten er modificeret, så den psser til NMR (oks, side ) Det er min erfring, t dette system udgør en god systemtest for HPLC-NMR-pprtet Dvs, hvis chromtogrmmet ser rigtigt ud, fungerer lle dele f opstillingen tilfredsstillende En sådn systemtest hr stor etydning i forskningsmiljøer som DFH, idet der nvendes flere forskellige HPLC-pprter i forindelse med vores NMR-spektrometer De nvendelser, der er eskrevet i litterturen, omhndler i t N er ntllet f dtpunkter, spektret, xi er værdien (mplituden/»tophøjden«) for det enkelte dtpunkt Den solutte værdi eregnes f hensyn til logritmefunktionen og for t undgå, t feks to lige store, modstrettede dtpunkter ophæver hinnden Minusset i formel sikrer, t E liver positiv, division med n t E ligger mellem og Desuden er spektret levet normeret (lle værdier ligger mellem og, længden f dt etrgtet som vektor = ) Mtlfunktion skrevet til eregning f den konfigurtionelle entropi for et NMR spektrum: Figur 3 Beregning f den konfigurtionelle entropi 7 Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,

3 6 EFA -> EFA -> EFA -> EFA -> EFA < EFA <- 6 EFA < EFA <- 3? EFA -> 3? EFA -> EFA < EFA < Forlæns Evolving Fctor Anlysis Bglæns Evolving Fctor Anlysis Figur Evolving Fctor Anlysis nvendt på mit testdtsæt Pilene viser, hvor de enkelte fktorer opstår og forsvinder overvejende grd UV-spektrometri (ortset fr DECRA, octclciumphospht) Signlerne i UV-spektre er meget redere end signler i NMR-spektre, smtidig med t de som regel hr en lvere detljeringsgrd Det etyder, t det kn være vnskeligt t registrere, om en seprtion f spektre og chromtogrmmer er forløet tilstrækkeligt fuldstændigt Det første prolem er t estemme ntllet f komponenter i den lnding, mn nlyserer I de fleste interessnte tilfælde ved mn det ikke i forvejen og kn ikke ltid se det på dtene I kemometrien ruges flere mål for ntllet f komponenter, såkldte indiktorfunktioner (se feks [7], [8] eller [9]) Jeg hr vlgt t teste de mest lmindelige (egenværdier + reducerede egenværdier og de første fledede derf, smt F-værdier for de reducerede egenværdier) smt konfigurtionel entropi (formel i figur 3, side 7), der erfringsmæssigt hr vist sig nyttig inden for NMR Af de vlgte indiktorfunktioner fungerede den konfigurtionelle entropi (7 komponenter fundet) smt F-værdier (7 komponenter fundet) edst på testdtsættet ( komponenter), mens egenværdier smt reducerede egenværdier overvurderede ntllet f komponenter lidt mere (8 komponenter) Det er i virkeligheden slet ikke dårligt, d feks effekter min ppm Figur NMR-chromtogrm f testdt fr injektionen f prøven vil ses i spektret og på den måde ses som ekstr informtion/vrins og dermed ekstr komponenter I nlysen er de residuelle solventsignler udeldt, idet de selvom der er nvendt deuteret vnd og signlet fr cetonitrilen er undertrykt totlt dominerer informtionen i NMRchromtogrmmet De principle»komponenter«f dt (ofte kldet fktorer for ikke t forveksle dem med komponenter i lndingen) hr jeg fundet ved t lve en Singulr Vlue Decomposition, hvilket er ekstremt simpelt i Mtl Mn skriver lot [U,S,V] = svd(dt) Dt er en mtrix indeholdende NMR-chromtogrmmet, V er egenvektorerne, svrende til de principle komponenter, og S er en (digonl) mtrix indeholdende egenværdierne svrende til de principle komponenter Egenværdierne (med tilhørende egenfunktioner) er sorteret efter fldende størrelse, så den største er S, den mindste S nn Se feks en eskrivelse f SVD i Numericl Recipes [] Et meget nvendt trick i denne smmenhæng er t følge udviklingen f komponenter/fktorer efterhånden, som de»opstår«det kn feks gøres ved følgende procedure, hvor mn successivt inddrger flere spektre fr NMR-chromtogrmmet (svrende til t tidsksen i chromtogrmmet er): [U(),S(),V()] = svd(dt(mxkomponenter,strtfrekvensstopfrekvens)) [U(),S(),V()] = svd(dt(mxkomponenter+,strtfrekvensstopfrekvens)) [U(),S(),V()] = svd(dt(ntl spektre i NMRchromtogrmmet,strtfrekvensstopfrekvens)) Udfører mn denne nlyse, kn mn på en fildning f egenværdi() mod»tid«se, hvornår den første komponent kn registreres i chromtogrmmet Tilsvrende vil mn f de resterende egenværdier mod»tiden«se, hvornår de næste komponenter kn registreres Desværre kn mn ikke se, hvornår de forsvinder igen, men heldigvis kn mn få denne informtion ved t lve nlysen gfr, så mn strter med de sidste spektre i chromtogrmmet og tålmodigt rejder sig frem til det første Ved t filde egenværdierne på smme måde som ved den forlæns nlyse, kn mn se, hvornår de enkelte komponenter forsvinder Dvs, t den sidste komponent, der opstår i den forlæns nlyse, er den første, der opstår i Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9, 8

4 den glæns nlyse Sådn udføres en Evolving Fctor Anlysis (EFA) I figur er vist en forlæns og en glæns nlyse for testdtsættet I figur er et konturplot f testdtsættet vist Den»utomtiske«detektion f komponenter vh EFA fungerer ikke optimlt på dette dtsæt Derfor er Mtl-progrmmerne st op til, t detektionsintervllerne defineres mnuelt Desuden fungerer de, så hver komponent trækkes fr NMR-chromtogrmmet, så snrt den er detekteret Dermed interfererer den ikke med detektionen f de resterende komponenter Derudover defineres de intervller, hvor komponenterne skl trækkes fr NMRchromtogrmmet Det er illustreret i figur 6 Figur 6 viser de specificerede detektionsintervller, figur 6 de intervller, hvor de fundne fktorer skl frtrækkes D toppene i chromtogrmmet fronter en del, hr jeg vlgt t lde nlysen køre fr genden f chromtogrmmet I figur 7, side er resulttet f den første cyklus vist Figur 7 viser de første 6 principle fktorer i detektionsintervl Fktor ligner spektret f en monosustitueret phenol (phenetol) Figur 7 viser det chromtogrm, der opstår, når mn eregner chromtogrmmet for fktor Det gøres ved t normere fktor (etrgte den som en vektor og dividere lle koordinterne med længden) og dernæst udregne det sklære produkt (prikke den smmen med) hvert enkelt spektrum i chromtogrmmet Som det ses, kunne der også se ud til t være fktor tilstede i det, der liver til detektionsintervl Det skyldes, t den romtiske del f spektrene for phenetol (ethylphenolt) og nisol (methylphenolt) ligner hinnden utroligt meget (se også figur 8, side ) Kemiske strukturformler ses i oksen I figur 7c er fktor trukket fr NMR-chromtogrmmet i det specifi- t min min ppm ppm Figur 6 Øverst () de detektionsintervller jeg hr defineret Anlysen foretges gfr Hver fktor trækkes fr dtsættet, før den næste defineres Nederst () de intervller, hvor de fktorer frtrækkes 9 Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,

5 Figur 7 Detektion f den første fktor (), svrende til detektionsintervl i figur 6 () viser det chromtogrm, mn opnår for den første fktor Den røde jælke viser sutrktionsintervllet, svrende til sutrktionsintervl i figur 6 (c) viser NMR-chromtogrmmet efter sutrktion f den første fktor Det kn være lidt vnskeligt t se konturerne i den nederste hlvdel, d de er vlgt, så mn kn se støjen i spektret (d) viser kontroldt for detektionsintervl, hvor detektion f fktorer er forsøgt igen, efter frtrækning f den første fktor Figur 8 Det færdige resultt, de fktorer/spektre er ekstrheret og deres tilhørende chromtogrmmer er vist Ved smmenligning med spektrene i oks ses, t spektrene er f fin kvlitet, og signl-støj-forholdet er edre cerede sutrktionsintervl (figur 6) Derfor hr jeg vlgt t gøre det muligt kun t trække en fktor fr i et egrænset intervl Processen gentges for intervl - Resulttet ses i figur 8 Bemærk igen, hvor meget de to første spektre ligner hinnden Ved smmenligning f chromtogrmmer og strukturer i oksen ør mn huske på, t spektrene med tilhørende chromtogrmmer er vist i omvendt rækkefølge, d nlysen er kørt»glæns«det videre rejde går ud på t utomtisere detektions- og sutrktionsintervller for fktorer Smmenligning med ndre metoder Multivrite Curve Resolution (MCR, [,]) er en umiddelrt lovende metode til utomtisk seprtion f spektre og chromtogrmmer En f de værktøjsksser PLS_toolox fr Eigenvector reserch, jeg hr nskffet til Mtl, indeholder MCR, som en færdig dtnlysemetode Anvendelsen f MCR er testet i denne form på mit testdtsæt, og resulttet er ikke helt håløst, men heller ikke godt nok, se figur 9 De tre første fktorer er tydeligvis ikke ordentligt sepreret fr hinnden, men er dog seprret fr de to sidste Hvorvidt disse to er tilstrækkeligt sepreret fr hinnden er svært t vurdere, d spektrene ligner hinnden så meget Implementeringen i PLS_toolox kræver et strtgæt på chromtogrmmerne for de enkelte komponenter, så heller ikke denne procedure kn siges t være fuldutomtisk Jeg hr eksperimenteret med nogle forskellige måder t»gætte«strtværdien f chromtogrmmerne på Den procedure, der fungerer edst, er t udregne et»informtionschromtogrm«ved t nvende entropiformlen formel (figur 3) på hvert enkelt spektrum og filde resulttet som funktion f tiden Resulttet ses i figur 9 Retentionstiderne svrende til de højeste toppe ruges så til t konstruere»chromtogrmmer«estående f nuller ortset fr det punkt, der svrer til mximum Desuden hr jeg specificeret, t spektre og koncentrtioner ikke kn være negtive Min konklusion er, t det jeg mngler ved denne»dåseruti- x x x x 6 t Figur 9 Entropichromtogrm () og MCR nvendt på testdtsættet () 3 x Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,

6 Figur Spexf nvendt på testdtsættet med lle spektre inddrget () og de første spektre udeldt for t undgå injektionsrtefkter () x - x x - x x x x x x x Figur Autowf nvendt på testdt Hhv 6 komponenter og 7 fktorer og 7 komponenter og 8 fktorer Chromtogrm No - Chromtogrm 3 No Chromtogrm 3 No Chromtogrm 3 No Chromtogrm No Chromtogrm 3 No ne«er en mulighed for t specificere, i hvilke intervller de enkelte fktorer skl detekteres, og i hvilke de skl»trækkes fr«jævnfør ovenstående Mn kn sndsynligvis opnå noget f dette ved t specificere områder, hvor intensitet i spektre og chromtogrmmer er, men det kræver indgre fr opertøren Jeg hr som udgngspunkt prøvet t nvende de f MCRrutinen fundne chromtogrmmer for de enkelte fktorer til t estemme, hvilke områder fktoren kn forekomme i Det er gjort ved t sætte Mtl til t lægge den egrænsning ind, t er værdien til et givet tidspunkt f chromtogrmmet for en enkelt fktor mindre end % f den største værdi i chromtogrmmet, må fktoren ikke forekomme Dette gv ikke mærkrt edre seprtion f de enkelte fktorer En nden værktøjspkke, Fctor Anlysis Toolox, fr Applied Chemometrics, indeholder to mtlprogrmmer, der kn nvendes til mit formål Den ene kldes Spectrl Isoltion Fctor Anlysis (spexf, [6]) og kræver, t spektret hørende til en komponent i den nlyserede lnding hr mindst ét unikt punkt, dvs komponenten sorerer mindst ét sted, hvor ingen f lndingens ndre komponenter sorerer Denne erkendelse går helt tilge til grundlæggelsen f disciplinen [] Den nden er en implementering f Evolving Fctor Anlysis, der utomtisk selv finder komponentvinduer og koncentrtionsprofiler, kldet Auto Window Fctor Anlysis (utowf) Spexf giver følgende resultt (figur ) De første 3 komponenter og den dskilles fint Der er vrøvl med den komponent, der ser ud til t være ilndet lidt f den komponent Prolemet ser ud til være relteret til et injektionsrtefkt (figur ) I figur er de første spektre, indeholdende injektionen f prøven, udeldt Det giver et etydeligt edre resultt, dog indeholder komponent lidt f komponent 3 og komponent lidt f hvert, men ellers er komponenterne edre sepret Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,

7 Systemtest til HPLC-NMR Systemtesten ygger på det testsystem, vi ruger på DFH, når der skl testes hjemmepkkede eller indkøte omvendtfsekolonner Grundlæggende er systemet: - Moil fse: Methnol:Vnd : - Flow: ml/min - UV-detektion ved nm (injicerer mn store stofmængder kn det være nødvendigt t detektere ved en højere ølgelængde, feks 9 nm) - μl f testlnding injiceres Testlndingen estår f cetone, phenol (top ), p-cresol (top ), OH 3,-xylenol (top 3), nisol (top ) og phenetol (top ) Stmopløsningen er c mg/ml f hver, normlt injiceres en fortyndet opløsning på c mg/ml f hver - Antllet f teoretiske O unde for den sidste top ør være over 3- for en god kolonne Ved HPLC-NMR udskiftes den moile fse med O en lnding estående f: DO:CH3CN 6:3 Desuden injiceres μl OH OH ufortyndet testopløsning Figuren viser et UV-chromtogrm for en sådn injektion f μl mg/ml testopløsning smmen med spektre for de enkelte stoffer UV-detektion ved 6 nm Kolonnen er en Wters Novpk C8, 39 x mm, μm Spektrene er trukket ud f et NMR-chromtogrm svrende til en injektion f μl mg/ml testopløsning, uden yderligere dtehndling Strukturerne f stofferne i testlndingen er ligeledes vist i figuren ret, og chromtogrmmerne ser relistiske ud Spexf fungerer lidt edre end MCR, er en del hurtigere og mere utomtisk Autowf giver, med omhyggeligt udvlgte inputprmetre, et ud på komponentprofilerne, der så kn nvendes ved videre eregninger Anvendt med 6 komponenter og 7 fktorer fås koncentrtionsprofilerne i figur Med 7 komponenter og 8 fktorer fås figur Figur (side ) illustrerer tydeligt fren ved t overmodellere (figur ), mens en kørsel med kun komponenter ikke får den top med i chromtogrmmet (ikke vist) En modellering med én ekstr komponent er åenrt nok til t modellere injektionsrtefkten Så heller ikke i dette tilfælde kn mn opnå fuldstændig utomtik Afrunding Ud over selve eregningerne hr jeg skrevet nogle mtlrutiner, der gør det muligt t importere NMR-spektre fr Brukerinstrumenter Konklusionen er, t med lidt omtnke kn mn ekstrhere rene spektre f god kvlitet fr NMR-chromtogrmmer, om end de færdigpkkede progrmmer til Mtl kræver lidt mere udvikling, før de liver rigtigt nyttige Under lle omstændigheder kræver de ekstrherede spektre en kritisk vurdering før videre nvendelse Et ndet spekt, der er værd t ide mærke i, er, t mn skl tge sig i gt for injektionsrtefkter Der findes visse muligheder for t kompensere for dem i NMR, men det vil føre for vidt t komme ind på dem her Under lle omstændigheder ør mn udvikle sine chromtogrfiske metoder, så ingen stoffer f interesse eluerer med solventfronten Et positivt resultt er dog, t mn opnår spektre f en edre kvlitet (signl-støj, renhed) end ved lot t kominere enkeltspektre fr NMR-chromtogrmmet, idet mn inddrger flere spektre og enytter principl komponent nlysen til t seprere noget f støjen fr spektrene Desuden en dyfølt tk til Bruker for t låne os en flowproe til vores NMR Referencer Artikler Lwton, W H og Sylvestre, E A»Self Modeling Curve Resolution«Technometrics, 3, 97, Antlek, B, og Windig, W»Generlized Rnk Annihiltion Method Applied to Single Multicomponent Pulsed Grdient Spin Echo NMR Dt Set«J Am Chem Soc,8, 996, Kormos, D W Og Wugh, J S Anl Chem,, 983, Tuler, R og B Kowlski Anl Chem, 6,993, -7 Tuler, R, Izquierdo-Ridors, A og Cssss, E»Simultneous Anlysis of Severl Spectroscopic Titrtions with Self-Modeling Curve Resolution«Chemo And Intell L Sys, 8, 993, Mlinowski, E R»Otining the Key Set of Typicl Vectors y Fctor Anlysis nd Susequent Isoltion of Component Spectr«Anl Chim Act, 3, 98, 9-37 Kemometriøger 7 Mlinowski, E R»Fctor Anlysis in Chemistry«Second edition Wiley 99 ISBN Adms, M J»Chemometrics in nlyticl Spectroscopy«RSC Anlyticl Monogrphs 99 ISBN Krmer, R Chemometric Techniques for Quntittive Anlysis Mrcel- Dekker (998) ISBN Press, W H, Flnnery, B P, Teukolsky, S A og Vetterling, W T»Numericl Recipes in C«Cmridge 988 (3rd reprint 99) ISBN X Wedresser Applied chemometrics: Eigenvector Reserch, Inc: Mtl: //wwwcomsoldk Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter Vitminer, minerler og foderværdi f græsmrksrter Kren Søegrd, Søren K. Jensen og Jko Sehested Det Jordrugsvidenskelige Fkultet, Arhus Universitet Smmendrg Med det formål t undersøge mulighederne for selvforsyning

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Otoer 1, 2 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Introduktion Otoer 1, 2 Introduktion Anvendelse Denne rpport må udelukkende tolkes f kvlifierede rugere under overholdelse

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f - 77 - Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Monteringsvejledning

Monteringsvejledning ver. 1.1 5 x 6 meter flytr hytte Stykliste til flytr hytte 5 x 6 m [0500-000] 2 stk sideundrmmer 590 m [0500-110] 2 stk gvlundrmmer 500 m [0500-100] 4 stk hjørnevinkler [0500-150] 4 stk lsker til smling

Læs mere

BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE

BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE MEDDELELSE NR. 057 Med % benzoesyre i foder til smågrise er det muligt t nedbringe niveuet f kobber i foderet mrknt og smtidig bevre smme produktivitet

Læs mere

SAMLEANVISNINGER. Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80. Danish - 68463. web site: www.jemfix.com e-mail: info@jemfix.com

SAMLEANVISNINGER. Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80. Danish - 68463. web site: www.jemfix.com e-mail: info@jemfix.com SAMLEANVISNINGER Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80 Dnish - 68463 we site: www.jemfix.com e-mil: info@jemfix.com VIGTIGT Læs instruktionerne omhyggeligt, inden du egynder t smle dette drivhus.

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Forelæsningsnote 5. Om store tynde ( sparse ) matricer og LAPACK

DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Forelæsningsnote 5. Om store tynde ( sparse ) matricer og LAPACK øenhvns niversitet et nturvidenskelige kultet TO ntroduktion til cientific omputing orelæsningsnote Om store tynde sprse ) mtricer og P fter stndrdmetoden for generelle mtricer dvs fktorisering med prtiel

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Tak fordi du valgte et Brother-produkt. Dit Brother-produkt er udviklet og fremstillet efter de højeste standarder til at levere pålidelig ydelse.

Tak fordi du valgte et Brother-produkt. Dit Brother-produkt er udviklet og fremstillet efter de højeste standarder til at levere pålidelig ydelse. Hurtig instlltionsvejledning Strt her HL-3140CW / HL-3150CDN HL-3150CDW / HL-3170CDW Tk fordi du vlgte et Brother-produkt. Dit Brother-produkt er udviklet og fremstillet efter de højeste stndrder til t

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 23. novemer 20 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

netsikker nu! Alder ingen hindring

netsikker nu! Alder ingen hindring netsikker nu! O k t o e r 2 0 0 7 Alder ingen hindring Flere og flere seniorer tger internettet til sig. De hr nemlig opdget, t internettet yder på et utl f muligheder. Derfor sætter denne udgve f netsikker

Læs mere

Start her. Hurtig installationsvejledning. maskinen ud, og kontroller delene DCP-9015CDW DCP-9020CDW

Start her. Hurtig installationsvejledning. maskinen ud, og kontroller delene DCP-9015CDW DCP-9020CDW Hurtig instlltionsvejledning Strt her DCP-9015CDW DCP-9020CDW Læs Produktsikkerhedsguide først, læs derefter denne Hurtig instlltionsvejledning for den korrekte opsætningsog instlltionsproedure. For t

Læs mere

Z600 Series Color Jetprinter

Z600 Series Color Jetprinter Z600 Series Color Jetprinter Brugervejledning til Windows Fejlfinding f instlltionsprogrmmet En kontrolliste til rug ved løsning f lmindelige instlltionsprolemer. Printeroversigt Lær om printerdelene og

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Installatørvejledning

Installatørvejledning Instlltørvejledning Dikin Altherm jordvrmepumpe Instlltørvejledning Dikin Altherm jordvrmepumpe Dnsk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Generelle sikkerhedsfornstltninger 3 1.1 Om dokumenttionen...

Læs mere

Brug af regneark til beregninger, statistik og grafisk afbildning. Excel 97

Brug af regneark til beregninger, statistik og grafisk afbildning. Excel 97 Brug f regnerk til eregninger, sttistik og grfisk filning Exel 97 pril 2003 * St Om vurering f tlmterile sie 1 I Definitioner BLOK En eller flere eller eller rækker eller kolonner MARKER BLOK Peg på øverste

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Det rå mod det løde, det vrme mod det kolde - og den smukke løende forndring når tingene lndes. Det er ofte mest tydeligt, der hvor hvet møder lndet - og

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål

Læs mere

Micro-USB-kabel SD-hukommelseskort Hurtig installationsvejledning Dvd-rom

Micro-USB-kabel SD-hukommelseskort Hurtig installationsvejledning Dvd-rom Hurtig instlltionsvejledning DSmoile 820W Strt her DSmoile 820W DSmoile 920DW Tk, fordi du hr vlgt t køe et Brother-produkt. Inden du ruger din mskine, skl du læse denne Hurtig instlltionsvejledning for

Læs mere

Overvågningssystem for levnedsmidler 1993-1997. Del 1.

Overvågningssystem for levnedsmidler 1993-1997. Del 1. Næringsstoffer Overvågningssystem for levnedsmidler 1993-1997. Del 1. Udrejdet f: Toren Leth Pi Knuthsen Erik Huusfeldt Lrsen Institut for Fødevreundersøgelser og Ernæring Overvågningssystem for levnedsmidler

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Montage Brugsanvisning

Montage Brugsanvisning Montge Brugsnvisning Mythos 6'0' - TwinWll Glzing 3108509cm / 122"x72¾"x82¼" Dnish_72394 We site: www.jemogclix.dk E-mil: kundeservice@jemfix.com www.plrmpplictions.com DA VIGTIGT Læs disse instruktioner

Læs mere

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution: Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...

Læs mere

Installationsvejledning

Installationsvejledning Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer Dnsk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Om dokumenttionen. Om dette dokument... Om kssen.

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Center for Kvalitet Region Syddanmark

Center for Kvalitet Region Syddanmark Version 4.0 Side 1 f 64 Forftter Udgivelsesdto 27-03-2014 Version Version 4.0 Historik Overlæge, dr.med. Ulrik Gerdes Version 1.0 fr14-06-2013: Dele f indholdet i dette nott fndtes i en version 7.0 f et

Læs mere

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1 for udrejdelse f dokumenttion til rug for registrering efter ilg 8 i registreringsekendtgørelsen 1 Af nedenstående skemer fremgår, hvilke oplysninger Plntedirektortet hr rug for ved vurdering f, om virksomheden

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Exitforløb for kriminalitetstruede unge

Exitforløb for kriminalitetstruede unge Exitforløb for kriminlitetstruede unge Exit Nu tilbyder et exitforløb til kriminlitetstruede unge i lderen 15-29 år. Vi rbejder indenfor lovgivningen omkring fst kontktperson, efterværn, bostøtte og mentorstøtte

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord!

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord! LYSTEJENDOM ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS Hesteejendom med nyere hestestld og 20 h jord! For sælger Hos Thoms Risger A/S ved vi godt, t boliger er mere end blot mursten og kvdrtmeter. Vi ved, t boliger

Læs mere

Medfølgende blækpatroner. Strømkabel Brugere i Danmark Brugere i Finland, Norge og Sverige Det påmonterede stik er et jordforbundet trebensstik.

Medfølgende blækpatroner. Strømkabel Brugere i Danmark Brugere i Finland, Norge og Sverige Det påmonterede stik er et jordforbundet trebensstik. Hurtig instlltionsvejledning Strt her MFC-J470DW Læs Produktsikkerhedsguiden, før du konfigurerer din mskine. Læs derefter denne Hurtig instlltionsvejledning for korrekt opsætning og instlltion. ADVARSEL

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori og dermed p f (p ) + p 2 f (p 2 ) p f (p + x) + p 2 f (p 2 x). Først ser vi t hvis x = p p 2 så får vi og dermed p f (p ) + p 2 f (p 2 ) p f (p 2 ) + p 2 f (p ) (p 2 p ) (f (p 2 ) f (p )), hvilket viser

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

SLRTV Beretning 2009. Dagsorden side 2. Forslag til forretningsorden side 3. Politisk beretning side 4. Organisatorisk beretning side 12

SLRTV Beretning 2009. Dagsorden side 2. Forslag til forretningsorden side 3. Politisk beretning side 4. Organisatorisk beretning side 12 Indhold Dgsorden side 2 Forslg til forretningsorden side 3 Politisk eretning side 4 Orgnistorisk eretning side 12 Vedtægter side 13 1 Dgsorden 1 Vlg f dirigent(er) og referent(er) 2 Godkendelse f forretningsorden

Læs mere

Ftalater i produkter, som børn har direkte kontakt med. Kathe Tønning, Eva Jacobsen, Eva Pedersen og Nils H. Nilsson Teknologisk Institut

Ftalater i produkter, som børn har direkte kontakt med. Kathe Tønning, Eva Jacobsen, Eva Pedersen og Nils H. Nilsson Teknologisk Institut Ftlter i produkter, som ørn hr direkte kontkt med Kthe Tønning, Ev Jcosen, Ev Pedersen og Nils H. Nilsson Teknologisk Institut Kortlægning f kemiske stoffer i forrugerprodukter Nr. 109 2010 Miljøstyrelsen

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI 2013 RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI INDHOLDSFORTEGNELSE 02 Indholdsfortegnelse 03 Indledning 04 Resumé 04 Oversigt over målopfyldelse

Læs mere

Kortfattet vejledning FB 5100

Kortfattet vejledning FB 5100 Kortfttet vejledning FB 00 Vndniveu! Kortfttet vejledning til displymeddelelser Meddelelse Mulig årsg Mulig hndling Hvis fejlen ikke kunne fhjælpes Vndtnken fyldes ikke inden for min. Sluk for utomten,

Læs mere