Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker
|
|
- Kaj Jørgensen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ekstrktion f spektre og chromtogrmmer vh kemometriske teknikker Nogle kemometriske teknikker til seprtion f spektre og chromtogrmmer er undersøgt mhp utomtisering f dtehndlingen f NMR-chromtogrmmer Teknikkerne kn også ruges til ndre NMR-tidsserier som feks studiet f kinetik og stilitetsundersøgelser Af Clus Cornett, lektor, phd, Institut for Anlytisk og Frmceutisk Kemi, DFH, cc@dfhdk Ved HPLC-NMR-nlyser f ekstrkter og nlyser f tidsserier, feks i forindelse med nedrydnings- og stilitetsstudier, titreringer mv, producerer NMR-instrumenter ofte store dtmtricer estående f serier f spektre Disse chromtogrmmer eller tidsserier er ikke egentlige illeder Mn er derfor ikke interesseret i t uddrge illedelementer, men derimod enkelte spektre og deres tidsprofiler Den disciplin inden for kemometrien, der eskæftiger sig med dette prolem, kunne kldes multivrit kurveopløsning (multivrite curve resolution) Det interessnte er, t når mn hr fundet de enkelte spektre og deres tidsprofiler, hr mn en væsentlig del f de dt, der skl til for t estemme stoffernes struktur, smt hvor meget der er f de enkelte stoffer I denne smmenhæng er NMR jo en unik teknik, idet mn ikke er plget f forskellige molære sortionskoefficienter I det følgende vil jeg klde disciplinen for Multivrit Kurve Opløsning (MKO), mens de specifikke teknikker vil live omtlt ved deres engelske nvne og forkortelser Oprindeligt kldtes teknikken for Self Modeling Curve Resolution [], selvmodellerende kurveopløsning, d mn ikke nvender nogle ntgelser om linieform på toppene i de spektre, mn nlyserer Til dtehndlingen nvendes Mtl, et numerisk mtemtisk værktøj, der er populært i kemometrikredse Der findes grtis værktøjspkker (tooloxe) til Mtl på Internettet, og mn kn køe nogle kemometriske pkker Jeg hr selv udviklet en teknik, l for t få prolemstillingen»under huden«, og nskffet tre kommercielle kemometriværktøjsksser til Mtl D jeg strtede projektet, syntes jeg, t ideen om t nvende kemometri til t uddrge spektre fr NMR-tidsseriedt vr indlysende rigtig, og jeg undrede mig over, t der ikke vr ndre, der hvde fundet på det llerede Siden hr jeg fået kendsk til enkelte MKO-lignende nvendelser Den ene drejer sig om utomtisk seprtion f spektre og tidsprofiler for diffusionsdt og kldes DECRA [] Den nden nvender teknikken til t estemme ntllet f komponenter i fst octclciumphospht [3] Multivrit kurveopløsning nvendt på NMR-chromtogrmmer Først gennemgås de teknikker, jeg selv hr udviklet Dernæst smmenlignes resultterne med de resultter, jeg hr fået ved t nvende de kommercielle pkker som»plsthyldevrer«jeg hr ikke pillet i de enkelte værktøjskssers indre, selv om det i visse tilfælde er muligt, l fordi de fleste prgmtiske spektroskopikere egentlig helst er fri for t skulle pille for meget ved ndres softwre (det er ofte lettere t skrive noget nyt selv) Det grundlæggende prolem kn mtemtisk eskrives ved, t mn hr et dtsæt i en mtrix estående f spektre optget til en sædvnligvis konstnt stigende tid Er tiden ikke konstnt voksende, er mtemtikken»ligegld«, det komplicerer kun efterehndlingen en smule Jeg hr vlgt t orgnisere dtmtrixen, så hvert spektrum sættes i en række i mtrixen, med det første (tidligste) spektrum i række Det giver følgende mtrixligning: Øverst: NMR-chromtogrmmet opløses i spektre og chromtogrmmer for de enkelte komponenter = 3 * NMR Chromtogrm Koncentrtionsprofil f de enkelte komponenter Spektre f de enkelte komponenter Figur Illustrtion f seprtion f chromtogrmmer og spektre To stoffer med lidt forskellige retentionstider, men meget forskellige spektre NMR-chromtogrmmet til venstre (et ntl spektre optget efterhånden som stofferne eluerer) seperreres i to chromtogrmmer og to spektre Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9, 6
2 6 Tid Chemicl shift (dtpunkt nr) Figur Konturplot f NMR-chromtogrmmet i figur Ligesom et lndkort med højdekurver er det set ovenfr Det kn illustreres ved figur I figur er vist et konturplot f NMR-chromtogrmmet (set ovenfr) Umiddelrt ser det ud som en forholdsvis enkel prolemstilling, men d åde de»rene«spektre og chromtogrmmerne kn overlppe, er det lngt fr en triviel øvelse Nogle spektre, feks for sustituerede phenoler, vil ligne hinnden meget Hr mn kun dgng til den romtiske del f spektret, vil spektrene for niosol og ethylphenol ligne hinnden meget I nogle kun lt for relistiske NMR-chromtogrmmer, vil toppene åde fronte (ssymetrisk fortil) og tile (ssymetrisk gtil), d mn vil være tiløjelig til t sætte en stor prøvemængde på kolonnen for t opnå stof nok til ordentlige spektre Derfor hr jeg vlgt et testsystem, der estår f en lnding f phenolderivter, som vi sædvnligvis nvender ved test f»hjemmepkkede«chromtogrfiske kolonner Kolonnetesten er modificeret, så den psser til NMR (oks, side ) Det er min erfring, t dette system udgør en god systemtest for HPLC-NMR-pprtet Dvs, hvis chromtogrmmet ser rigtigt ud, fungerer lle dele f opstillingen tilfredsstillende En sådn systemtest hr stor etydning i forskningsmiljøer som DFH, idet der nvendes flere forskellige HPLC-pprter i forindelse med vores NMR-spektrometer De nvendelser, der er eskrevet i litterturen, omhndler i t N er ntllet f dtpunkter, spektret, xi er værdien (mplituden/»tophøjden«) for det enkelte dtpunkt Den solutte værdi eregnes f hensyn til logritmefunktionen og for t undgå, t feks to lige store, modstrettede dtpunkter ophæver hinnden Minusset i formel sikrer, t E liver positiv, division med n t E ligger mellem og Desuden er spektret levet normeret (lle værdier ligger mellem og, længden f dt etrgtet som vektor = ) Mtlfunktion skrevet til eregning f den konfigurtionelle entropi for et NMR spektrum: Figur 3 Beregning f den konfigurtionelle entropi 7 Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,
3 6 EFA -> EFA -> EFA -> EFA -> EFA < EFA <- 6 EFA < EFA <- 3? EFA -> 3? EFA -> EFA < EFA < Forlæns Evolving Fctor Anlysis Bglæns Evolving Fctor Anlysis Figur Evolving Fctor Anlysis nvendt på mit testdtsæt Pilene viser, hvor de enkelte fktorer opstår og forsvinder overvejende grd UV-spektrometri (ortset fr DECRA, octclciumphospht) Signlerne i UV-spektre er meget redere end signler i NMR-spektre, smtidig med t de som regel hr en lvere detljeringsgrd Det etyder, t det kn være vnskeligt t registrere, om en seprtion f spektre og chromtogrmmer er forløet tilstrækkeligt fuldstændigt Det første prolem er t estemme ntllet f komponenter i den lnding, mn nlyserer I de fleste interessnte tilfælde ved mn det ikke i forvejen og kn ikke ltid se det på dtene I kemometrien ruges flere mål for ntllet f komponenter, såkldte indiktorfunktioner (se feks [7], [8] eller [9]) Jeg hr vlgt t teste de mest lmindelige (egenværdier + reducerede egenværdier og de første fledede derf, smt F-værdier for de reducerede egenværdier) smt konfigurtionel entropi (formel i figur 3, side 7), der erfringsmæssigt hr vist sig nyttig inden for NMR Af de vlgte indiktorfunktioner fungerede den konfigurtionelle entropi (7 komponenter fundet) smt F-værdier (7 komponenter fundet) edst på testdtsættet ( komponenter), mens egenværdier smt reducerede egenværdier overvurderede ntllet f komponenter lidt mere (8 komponenter) Det er i virkeligheden slet ikke dårligt, d feks effekter min ppm Figur NMR-chromtogrm f testdt fr injektionen f prøven vil ses i spektret og på den måde ses som ekstr informtion/vrins og dermed ekstr komponenter I nlysen er de residuelle solventsignler udeldt, idet de selvom der er nvendt deuteret vnd og signlet fr cetonitrilen er undertrykt totlt dominerer informtionen i NMRchromtogrmmet De principle»komponenter«f dt (ofte kldet fktorer for ikke t forveksle dem med komponenter i lndingen) hr jeg fundet ved t lve en Singulr Vlue Decomposition, hvilket er ekstremt simpelt i Mtl Mn skriver lot [U,S,V] = svd(dt) Dt er en mtrix indeholdende NMR-chromtogrmmet, V er egenvektorerne, svrende til de principle komponenter, og S er en (digonl) mtrix indeholdende egenværdierne svrende til de principle komponenter Egenværdierne (med tilhørende egenfunktioner) er sorteret efter fldende størrelse, så den største er S, den mindste S nn Se feks en eskrivelse f SVD i Numericl Recipes [] Et meget nvendt trick i denne smmenhæng er t følge udviklingen f komponenter/fktorer efterhånden, som de»opstår«det kn feks gøres ved følgende procedure, hvor mn successivt inddrger flere spektre fr NMR-chromtogrmmet (svrende til t tidsksen i chromtogrmmet er): [U(),S(),V()] = svd(dt(mxkomponenter,strtfrekvensstopfrekvens)) [U(),S(),V()] = svd(dt(mxkomponenter+,strtfrekvensstopfrekvens)) [U(),S(),V()] = svd(dt(ntl spektre i NMRchromtogrmmet,strtfrekvensstopfrekvens)) Udfører mn denne nlyse, kn mn på en fildning f egenværdi() mod»tid«se, hvornår den første komponent kn registreres i chromtogrmmet Tilsvrende vil mn f de resterende egenværdier mod»tiden«se, hvornår de næste komponenter kn registreres Desværre kn mn ikke se, hvornår de forsvinder igen, men heldigvis kn mn få denne informtion ved t lve nlysen gfr, så mn strter med de sidste spektre i chromtogrmmet og tålmodigt rejder sig frem til det første Ved t filde egenværdierne på smme måde som ved den forlæns nlyse, kn mn se, hvornår de enkelte komponenter forsvinder Dvs, t den sidste komponent, der opstår i den forlæns nlyse, er den første, der opstår i Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9, 8
4 den glæns nlyse Sådn udføres en Evolving Fctor Anlysis (EFA) I figur er vist en forlæns og en glæns nlyse for testdtsættet I figur er et konturplot f testdtsættet vist Den»utomtiske«detektion f komponenter vh EFA fungerer ikke optimlt på dette dtsæt Derfor er Mtl-progrmmerne st op til, t detektionsintervllerne defineres mnuelt Desuden fungerer de, så hver komponent trækkes fr NMR-chromtogrmmet, så snrt den er detekteret Dermed interfererer den ikke med detektionen f de resterende komponenter Derudover defineres de intervller, hvor komponenterne skl trækkes fr NMRchromtogrmmet Det er illustreret i figur 6 Figur 6 viser de specificerede detektionsintervller, figur 6 de intervller, hvor de fundne fktorer skl frtrækkes D toppene i chromtogrmmet fronter en del, hr jeg vlgt t lde nlysen køre fr genden f chromtogrmmet I figur 7, side er resulttet f den første cyklus vist Figur 7 viser de første 6 principle fktorer i detektionsintervl Fktor ligner spektret f en monosustitueret phenol (phenetol) Figur 7 viser det chromtogrm, der opstår, når mn eregner chromtogrmmet for fktor Det gøres ved t normere fktor (etrgte den som en vektor og dividere lle koordinterne med længden) og dernæst udregne det sklære produkt (prikke den smmen med) hvert enkelt spektrum i chromtogrmmet Som det ses, kunne der også se ud til t være fktor tilstede i det, der liver til detektionsintervl Det skyldes, t den romtiske del f spektrene for phenetol (ethylphenolt) og nisol (methylphenolt) ligner hinnden utroligt meget (se også figur 8, side ) Kemiske strukturformler ses i oksen I figur 7c er fktor trukket fr NMR-chromtogrmmet i det specifi- t min min ppm ppm Figur 6 Øverst () de detektionsintervller jeg hr defineret Anlysen foretges gfr Hver fktor trækkes fr dtsættet, før den næste defineres Nederst () de intervller, hvor de fktorer frtrækkes 9 Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,
5 Figur 7 Detektion f den første fktor (), svrende til detektionsintervl i figur 6 () viser det chromtogrm, mn opnår for den første fktor Den røde jælke viser sutrktionsintervllet, svrende til sutrktionsintervl i figur 6 (c) viser NMR-chromtogrmmet efter sutrktion f den første fktor Det kn være lidt vnskeligt t se konturerne i den nederste hlvdel, d de er vlgt, så mn kn se støjen i spektret (d) viser kontroldt for detektionsintervl, hvor detektion f fktorer er forsøgt igen, efter frtrækning f den første fktor Figur 8 Det færdige resultt, de fktorer/spektre er ekstrheret og deres tilhørende chromtogrmmer er vist Ved smmenligning med spektrene i oks ses, t spektrene er f fin kvlitet, og signl-støj-forholdet er edre cerede sutrktionsintervl (figur 6) Derfor hr jeg vlgt t gøre det muligt kun t trække en fktor fr i et egrænset intervl Processen gentges for intervl - Resulttet ses i figur 8 Bemærk igen, hvor meget de to første spektre ligner hinnden Ved smmenligning f chromtogrmmer og strukturer i oksen ør mn huske på, t spektrene med tilhørende chromtogrmmer er vist i omvendt rækkefølge, d nlysen er kørt»glæns«det videre rejde går ud på t utomtisere detektions- og sutrktionsintervller for fktorer Smmenligning med ndre metoder Multivrite Curve Resolution (MCR, [,]) er en umiddelrt lovende metode til utomtisk seprtion f spektre og chromtogrmmer En f de værktøjsksser PLS_toolox fr Eigenvector reserch, jeg hr nskffet til Mtl, indeholder MCR, som en færdig dtnlysemetode Anvendelsen f MCR er testet i denne form på mit testdtsæt, og resulttet er ikke helt håløst, men heller ikke godt nok, se figur 9 De tre første fktorer er tydeligvis ikke ordentligt sepreret fr hinnden, men er dog seprret fr de to sidste Hvorvidt disse to er tilstrækkeligt sepreret fr hinnden er svært t vurdere, d spektrene ligner hinnden så meget Implementeringen i PLS_toolox kræver et strtgæt på chromtogrmmerne for de enkelte komponenter, så heller ikke denne procedure kn siges t være fuldutomtisk Jeg hr eksperimenteret med nogle forskellige måder t»gætte«strtværdien f chromtogrmmerne på Den procedure, der fungerer edst, er t udregne et»informtionschromtogrm«ved t nvende entropiformlen formel (figur 3) på hvert enkelt spektrum og filde resulttet som funktion f tiden Resulttet ses i figur 9 Retentionstiderne svrende til de højeste toppe ruges så til t konstruere»chromtogrmmer«estående f nuller ortset fr det punkt, der svrer til mximum Desuden hr jeg specificeret, t spektre og koncentrtioner ikke kn være negtive Min konklusion er, t det jeg mngler ved denne»dåseruti- x x x x 6 t Figur 9 Entropichromtogrm () og MCR nvendt på testdtsættet () 3 x Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,
6 Figur Spexf nvendt på testdtsættet med lle spektre inddrget () og de første spektre udeldt for t undgå injektionsrtefkter () x - x x - x x x x x x x Figur Autowf nvendt på testdt Hhv 6 komponenter og 7 fktorer og 7 komponenter og 8 fktorer Chromtogrm No - Chromtogrm 3 No Chromtogrm 3 No Chromtogrm 3 No Chromtogrm No Chromtogrm 3 No ne«er en mulighed for t specificere, i hvilke intervller de enkelte fktorer skl detekteres, og i hvilke de skl»trækkes fr«jævnfør ovenstående Mn kn sndsynligvis opnå noget f dette ved t specificere områder, hvor intensitet i spektre og chromtogrmmer er, men det kræver indgre fr opertøren Jeg hr som udgngspunkt prøvet t nvende de f MCRrutinen fundne chromtogrmmer for de enkelte fktorer til t estemme, hvilke områder fktoren kn forekomme i Det er gjort ved t sætte Mtl til t lægge den egrænsning ind, t er værdien til et givet tidspunkt f chromtogrmmet for en enkelt fktor mindre end % f den største værdi i chromtogrmmet, må fktoren ikke forekomme Dette gv ikke mærkrt edre seprtion f de enkelte fktorer En nden værktøjspkke, Fctor Anlysis Toolox, fr Applied Chemometrics, indeholder to mtlprogrmmer, der kn nvendes til mit formål Den ene kldes Spectrl Isoltion Fctor Anlysis (spexf, [6]) og kræver, t spektret hørende til en komponent i den nlyserede lnding hr mindst ét unikt punkt, dvs komponenten sorerer mindst ét sted, hvor ingen f lndingens ndre komponenter sorerer Denne erkendelse går helt tilge til grundlæggelsen f disciplinen [] Den nden er en implementering f Evolving Fctor Anlysis, der utomtisk selv finder komponentvinduer og koncentrtionsprofiler, kldet Auto Window Fctor Anlysis (utowf) Spexf giver følgende resultt (figur ) De første 3 komponenter og den dskilles fint Der er vrøvl med den komponent, der ser ud til t være ilndet lidt f den komponent Prolemet ser ud til være relteret til et injektionsrtefkt (figur ) I figur er de første spektre, indeholdende injektionen f prøven, udeldt Det giver et etydeligt edre resultt, dog indeholder komponent lidt f komponent 3 og komponent lidt f hvert, men ellers er komponenterne edre sepret Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,
7 Systemtest til HPLC-NMR Systemtesten ygger på det testsystem, vi ruger på DFH, når der skl testes hjemmepkkede eller indkøte omvendtfsekolonner Grundlæggende er systemet: - Moil fse: Methnol:Vnd : - Flow: ml/min - UV-detektion ved nm (injicerer mn store stofmængder kn det være nødvendigt t detektere ved en højere ølgelængde, feks 9 nm) - μl f testlnding injiceres Testlndingen estår f cetone, phenol (top ), p-cresol (top ), OH 3,-xylenol (top 3), nisol (top ) og phenetol (top ) Stmopløsningen er c mg/ml f hver, normlt injiceres en fortyndet opløsning på c mg/ml f hver - Antllet f teoretiske O unde for den sidste top ør være over 3- for en god kolonne Ved HPLC-NMR udskiftes den moile fse med O en lnding estående f: DO:CH3CN 6:3 Desuden injiceres μl OH OH ufortyndet testopløsning Figuren viser et UV-chromtogrm for en sådn injektion f μl mg/ml testopløsning smmen med spektre for de enkelte stoffer UV-detektion ved 6 nm Kolonnen er en Wters Novpk C8, 39 x mm, μm Spektrene er trukket ud f et NMR-chromtogrm svrende til en injektion f μl mg/ml testopløsning, uden yderligere dtehndling Strukturerne f stofferne i testlndingen er ligeledes vist i figuren ret, og chromtogrmmerne ser relistiske ud Spexf fungerer lidt edre end MCR, er en del hurtigere og mere utomtisk Autowf giver, med omhyggeligt udvlgte inputprmetre, et ud på komponentprofilerne, der så kn nvendes ved videre eregninger Anvendt med 6 komponenter og 7 fktorer fås koncentrtionsprofilerne i figur Med 7 komponenter og 8 fktorer fås figur Figur (side ) illustrerer tydeligt fren ved t overmodellere (figur ), mens en kørsel med kun komponenter ikke får den top med i chromtogrmmet (ikke vist) En modellering med én ekstr komponent er åenrt nok til t modellere injektionsrtefkten Så heller ikke i dette tilfælde kn mn opnå fuldstændig utomtik Afrunding Ud over selve eregningerne hr jeg skrevet nogle mtlrutiner, der gør det muligt t importere NMR-spektre fr Brukerinstrumenter Konklusionen er, t med lidt omtnke kn mn ekstrhere rene spektre f god kvlitet fr NMR-chromtogrmmer, om end de færdigpkkede progrmmer til Mtl kræver lidt mere udvikling, før de liver rigtigt nyttige Under lle omstændigheder kræver de ekstrherede spektre en kritisk vurdering før videre nvendelse Et ndet spekt, der er værd t ide mærke i, er, t mn skl tge sig i gt for injektionsrtefkter Der findes visse muligheder for t kompensere for dem i NMR, men det vil føre for vidt t komme ind på dem her Under lle omstændigheder ør mn udvikle sine chromtogrfiske metoder, så ingen stoffer f interesse eluerer med solventfronten Et positivt resultt er dog, t mn opnår spektre f en edre kvlitet (signl-støj, renhed) end ved lot t kominere enkeltspektre fr NMR-chromtogrmmet, idet mn inddrger flere spektre og enytter principl komponent nlysen til t seprere noget f støjen fr spektrene Desuden en dyfølt tk til Bruker for t låne os en flowproe til vores NMR Referencer Artikler Lwton, W H og Sylvestre, E A»Self Modeling Curve Resolution«Technometrics, 3, 97, Antlek, B, og Windig, W»Generlized Rnk Annihiltion Method Applied to Single Multicomponent Pulsed Grdient Spin Echo NMR Dt Set«J Am Chem Soc,8, 996, Kormos, D W Og Wugh, J S Anl Chem,, 983, Tuler, R og B Kowlski Anl Chem, 6,993, -7 Tuler, R, Izquierdo-Ridors, A og Cssss, E»Simultneous Anlysis of Severl Spectroscopic Titrtions with Self-Modeling Curve Resolution«Chemo And Intell L Sys, 8, 993, Mlinowski, E R»Otining the Key Set of Typicl Vectors y Fctor Anlysis nd Susequent Isoltion of Component Spectr«Anl Chim Act, 3, 98, 9-37 Kemometriøger 7 Mlinowski, E R»Fctor Anlysis in Chemistry«Second edition Wiley 99 ISBN Adms, M J»Chemometrics in nlyticl Spectroscopy«RSC Anlyticl Monogrphs 99 ISBN Krmer, R Chemometric Techniques for Quntittive Anlysis Mrcel- Dekker (998) ISBN Press, W H, Flnnery, B P, Teukolsky, S A og Vetterling, W T»Numericl Recipes in C«Cmridge 988 (3rd reprint 99) ISBN X Wedresser Applied chemometrics: Eigenvector Reserch, Inc: Mtl: //wwwcomsoldk Tillæg til dnsk kemi, 8, nr 9,
Simple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereMere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)
Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.
Læs mereSpil- og beslutningsteori
Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereInternational økonomi
Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs merePlantehoteller 1 Resultater og konklusioner
Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereSetup til kalibrering af Clamp on-flowmålere
Setup til klirering f Clmp on-flowmålere Decemer 2018 Rpportforftter: Anders Niemnn, Teknologisk Institut Introduktion Ultrlyds-clmp-on flowmåling er en teknik, hvor mn ved hjælp f to trnsducere monteret
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler
ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis
Læs mereUGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC
UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele
Læs mereEksemplificering af DEA-metodens vægtberegning
nlyseinstitut for Forskning Finlndsgde DK-800 rhus N Tel + 89 9 Fx: + 89 99 Mil: fsk@fsk.u.dk Web:.fsk.u.dk Eksemplificering f DE-metodens vægtberegning Peter S. Mortensen Kmm Lngberg Crin Sponholtz Nott
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereVitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter
Vitminer, minerler og foderværdi f græsmrksrter Kren Søegrd, Søren K. Jensen og Jko Sehested Det Jordrugsvidenskelige Fkultet, Arhus Universitet Smmendrg Med det formål t undersøge mulighederne for selvforsyning
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereDødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie
Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mereDANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule
DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet
Læs mereProj.nr Direkte tilsætning af planteprotein til suppeboller
Rpport 7. juni 2018 Proj.nr. 2006272 Direkte tilsætning f plnteprotein til suppeoller Version 1 LLHR/MT Louise Hededl Hofer Bggrund og formål I projektet Nye proteinkomintioner med plnte- og kødproteiner
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereProj.nr Tilsætning af ekstruderet ærteprotein til suppeboller
Rpport 4. juli 2018 Proj.nr. 2006272 Tilsætning f ekstruderet ærteprotein til suppeoller Version 1 LHHR/JEGE/MT Rpport 1/2 Louise Hofer og Jesper Geuer Bggrund I projektet Nye proteinkomintioner med plnte-
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereProj.nr Tilsætning af ekstruderet ærteprotein i suppeboller
Rpport 4. juli 2018 Proj.nr. 2006272 Tilsætning f ekstruderet ærteprotein i suppeoller Version 1 LHHR/JEGE/MT Rpport 2/2 Louise Hofer og Jesper Geuer Bggrund I projektet Nye proteinkomintioner med plnte-
Læs mereTolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT
Tolkningsrpport Ell Explorer Otoer 1, 2 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Introduktion Otoer 1, 2 Introduktion Anvendelse Denne rpport må udelukkende tolkes f kvlifierede rugere under overholdelse
Læs mereAnalyse 30. januar 2015
30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs merePleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?
Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereElementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner
Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....
Læs mereMonteringsvejledning
ver. 1.1 5 x 6 meter flytr hytte Stykliste til flytr hytte 5 x 6 m [0500-000] 2 stk sideundrmmer 590 m [0500-110] 2 stk gvlundrmmer 500 m [0500-100] 4 stk hjørnevinkler [0500-150] 4 stk lsker til smling
Læs mereIntegralregning. Erik Vestergaard
Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mere- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f
- 77 - Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereTlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk
Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste
Læs mereSAMLEANVISNINGER. Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80. Danish - 68463. web site: www.jemfix.com e-mail: info@jemfix.com
SAMLEANVISNINGER Multi Line 6 x10 315x193x203cm / 124 x76 x80 Dnish - 68463 we site: www.jemfix.com e-mil: info@jemfix.com VIGTIGT Læs instruktionerne omhyggeligt, inden du egynder t smle dette drivhus.
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereBilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:
Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs merePust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi
Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At
Læs mereBENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE
BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE MEDDELELSE NR. 057 Med % benzoesyre i foder til smågrise er det muligt t nedbringe niveuet f kobber i foderet mrknt og smtidig bevre smme produktivitet
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger
Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5
Læs mereDen europæiske købekraftsundersøgelse - PPP
Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker
INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER...
Læs mere114 Matematiske Horisonter
114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen
Læs mereRapport 2. Sensorisk profil af kødboller tilsat tekstureret ærteprotein. 6. maj Proj.nr Init. ASNI/MT.
Rpport 2 6. mj 2019 Sensorisk profil f kødoller tilst tekstureret ærteprotein Astrid Nielsen Proj.nr. 2007094 Init. ASNI/MT Bggrund Smmendrg I projektet Nye komintioner med kød- og plnteproteiner ønsker
Læs merehvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.
!#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet
Læs mereOpstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning
1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3
Læs mereStamfunktion & integral
PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mereSAMMEN ER BEBOERE I AFDELINGSBESTYRELSER I ORGANISATIONSBESTYRELSE I MEDARBEJDERE VI STÆRKE
PGAVE- RUPPER 3B SAMMEN ER BEBOERE I AFDELINGSBESTYRELSER I ORGANISATIONSBESTYRELSE I MEDARBEJDERE VI STÆRKE I 1 I BAGGRUND 3B s orgnistionsestyrelse nedstte i efteråret 2016 en række opgvegrupper i forindelse
Læs mereInstallatørvejledning
Instlltørvejledning Dikin Altherm jordvrmepumpe Instlltørvejledning Dikin Altherm jordvrmepumpe Dnsk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Generelle sikkerhedsfornstltninger 3 1.1 Om dokumenttionen...
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereProjekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer
Projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer (Dette projekt forudsætter, t mn hr rbejdet med logritmefunktionerne, f i kpitel 3 eller i projekt 8.4, så mn er fortrolig med logritmereglerne)
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mereIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIII IIIIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIII. CIRKELVÆRKTØJ Brugsanvisning
IIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIII IIIIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIII CIRKELVÆRKTØJ Brugsnvisning INDHOLD Om cirkelværktøjet... 2 Medfølgende tilehør... 2 Montering f cirkelværktøjet... 3
Læs mereFælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.
5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper
Læs mereDen grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi
Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12
Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi
Læs mereTak fordi du valgte et Brother-produkt. Dit Brother-produkt er udviklet og fremstillet efter de højeste standarder til at levere pålidelig ydelse.
Hurtig instlltionsvejledning Strt her HL-3140CW / HL-3150CDN HL-3150CDW / HL-3170CDW Tk fordi du vlgte et Brother-produkt. Dit Brother-produkt er udviklet og fremstillet efter de højeste stndrder til t
Læs mereDATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Forelæsningsnote 5. Om store tynde ( sparse ) matricer og LAPACK
øenhvns niversitet et nturvidenskelige kultet TO ntroduktion til cientific omputing orelæsningsnote Om store tynde sprse ) mtricer og P fter stndrdmetoden for generelle mtricer dvs fktorisering med prtiel
Læs mere(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1
SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret
Læs mereIntegrationsteknikker
Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1
Læs mere