Elementær Matematik. Differentialregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementær Matematik. Differentialregning"

Transkript

1 Eleetær Mtetik Dieretilrei Ole Witt-Hse Køe Gsiu 8

2 Idold Idold... Kp. Græseværdi o kotiuitet.... Græseværdi.... Rei ed ræseværdier...3. Græseværdier ed uedeli...5. Kotiuitet...5. Sætier o kotiuerte uktioer...6 Kp. Dieretiilitet...8. Dieretilkvotiet o tet...8. Dieretilkvotiet or ole siple uktioer Reereler or dieretitio Iiitesilrei. Dieretiler Historisk ote Dieretitio sest uktio Dieretitio ovedt uktio Dieretilkvotiet or ekspoetil- o potesuktioer Det pproierede. rds poloiu Dieretitio si, cos o t...4 Kp 3. Mootoiorold...7. Mootoe uktioer...7. Loklt iu o loklt iiu or e uktio Middelværdisætie Hovedsæti o dieretilkvotiet o ootoiorold Besteelse ootoioroldee or e dieretiel uktio Kp 4 Poloier Geerelle poloier Divisio ed ele tl Poloiers divisio Poloiers rødder Besteelse røddere i et poloiu rd større ed Kvliiceret rodæt Kp 5. Asptoter Asptoter til rer or e uktio Poloier o poloiusrøker or ±...49 Kp 6. Nuerisk løsi...5. liier...5. Bisektio...5. Reule lsi Newto Rpsos etode...5 Kp 7. Fuktiosudersøelse Udersø o te...53

3

4

5 Græseværdi o kotiuitet Kp. Græseværdi o kotiuitet. Græseværdi Mtetikke k rot set dele op i Aler o Alse. I lse veder oså ler, e tiløjer et væsetlit ere, so kldes ræseværdi. Græseværdiereet er elt ørede or udviklie dieretil- o iterlreie. Det er etop disse to disciplier, der er de est vedte i lle dre videsker, især sik, kei o økooi. Betrter vi uktioe ½ -, så er. Tæker vi os, t vi lder ære si til r øjre ee værdiere, ;, ;, ;, osv. eller r vestre,9 ;,99 ;,999 ;,9999 osv. så vil ikke overrskede ære si til tllet. Hvor lt dette ed k lde, så spejler det e rudlæede eesker ved de reelle tl. De reelle tl lier "uedeli tæt". Der er ikke é "eterøler" til et reelt tl. Melle to orskellie reelle tl, lier der uedeli e reelle tl. Noet tilsvrede k sies o de rtiole tl, e der er llievel e orskel. Dee orskel er ere sutil. For de reelle tl ælder eli, t ræseværdie vis de ides or e øle reelle tl er ltid et reelt tl. Det er deriod reltivt let lve e øle rtiole tl decilrøker, so ærer si til, es so ekedt ikke er et rtioel tl. Vi sier, t ½ -, r ræseværdie or åede od. Dette skrives tetisk:. or Det er lidt isvisede t sie, t k se dette på e r, ordi vi jo etop teer re, så or. Mes ræseværdie k ses elt l, så stiller se si elt derledes, vis uktioe ikke er deieret, der vor vi øsker t estee ræseværdie. Ser vi.eks. på uktioe: si ; Så er ikke deieret or, e deror k odt tle o e evetuel ræseværdi or åede iod. Vi uderstreer, t ikke re k idsætte på ' plds, idet er udeieret, i de orstd, t det k være ræseværdi or lle tl r ius uedeli til uedeli. si Hvis på rreere idsætter tl ær ved i på plus/ius ul, jo tættere er på tllet. Dette k vi skrive solsk. vil ide t jo tættere tllee er si or

6 Græseværdi o kotiuitet Beærk, t e uktio ikke eøver t være deieret i det "pukt", vor vil estee ræseværdie, o det er etop i såde tilælde, t ræseværdiereet k vedes i e ikke triviel seæ. For t e teorie op, er det ødvedit t orulere e præcis deiitio ræseværdi. Til deiitioe, skl vi vede ereet setriske oee. M r i dee oridelse trditio or t etee et lille tl ed de ræske ostver ε eller δ. Tlæde ω : - <ε - ε < < ε etees so e setrisk oe okri. E udprikket oe er e oe, vor r jeret. De k skrives so: ω' : < - < δ Forulerie t r ræseværdie, år år iod er d: Lieldi, vor lille e oe ω væler okri, så k estee e udprikket oe ω' okri, så år lot tilører ω' så tilører oee ω. Når skl orulere tetiske sætier, veder ote to vedier: For etvert ælder: Skrives solsk ed e lkvtor: : Der ides et or vilket det ælder: Skrives solsk ed e eksisteskvtor: : For solet. or vedes ote e ækvivlet skriveåde:.3 li Dette læses so "lies" er li ed, or åede od. Med vedelse lkvtor o eksisteskvtor, k vi u ive e ere kopkt deiitio ræseværdi..4 or ω : ω' : ω' li ω Det sidste læses so øler: For ever oe okri, eksisterer ides der e udprikket oe okri, så år lot tilører de udprikkede oe okri så tilører oee okri.

7 Græseværdi o kotiuitet 3 Der ides e de ækvivlet oruleri deiitio ræseværdi or ε > δ > : < < δ < ε Nedeor er vist 3 eksepler på e uktio, der lle r e ræseværdi i. Beærk især, t uktiosværdie i er ude etdi. Evetuelt er uktioe slet ikke er deieret i. I de ørste iur, er ræseværdie i li ed uktiosværdie. I de de iur er ikke deieret i. r ræseværdie or. I det tredje tilælde er. r ræseværdie or. Nedeor er vist 3 iurer, vor ikke r oe ræseværdi or.. Rei ed ræseværdier Givet t o er deieret i e udprikket oe, o t de er eræsede i e udprikket oe okri. "Beræset" ideærer, t der ides e oe ω, o tl M o K, således: ω < K o < M edvidere, t de to uktioer r e ræseværdi or åede od. Vi vil d vise, t or o or

8 4 Græseværdi o kotiuitet.6 or k k R k.7 or.8 or.9 or. or ælder så Hvis Vi vil ikke evise lle sætiere. Bevisere lier eet ide. Vi eviser ørst.7. Vi skl or et orelt ε estee et δ, således, t δ < ε < < k vurderes so øler: D o r ræseværdiere o, k vi estee et δ, således t: ε < o ε < Her øler < ε ε ε Hvorved sætie er evist. Vi viser deræst.9. Vi skl or et orelt ε estee et δ, således, t δ < ε < < k vurderes so øler: M D o r ræseværdiere o, k vi estee et δ, således t: < < δ ε M < o ε < Her øler M < ε ε ε M M

9 Græseværdi o kotiuitet 5 Hvorved sætie er evist.. Græseværdier ed uedeli Vi vil kort itroducere ølede orulerier o skriveåder, so ote støder på. D etdie disse soler er ret idlsede, øres lot de orelle deiitio. år iod uedeli or åede od or K δ : < < δ > K år iod ius uedeli or åede od - or K δ : < < δ < K år iod or åede od uedeli or ε > K : > K < ε år iod or åede od ius uedeli or - ε > K > : < K < ε. Kotiuitet Lidt løst oruleret, k sie, t kotiuitet e uktio etder t re æer se. E edu ere populær oruleri er, t E uktio er kotiuet, "vis k tee re, ude t løte lte r ppiret" Dette svrer til de tetiske deiitio, vor deierer kotiuitete i et pukt. Ld være deieret i e oe ω okri. Hvis er edepuktet or et itervl, å idskræke si til e øjre oe eller e vestre oe. er kotiueret i or ε > : δ > : < < δ < ε so udtrkker, t skl ve e ræseværdi i o uktiosværdie skl være li ed dee ræseværdi. Nedeor er vist de se 3 uktioer, so vi etrtede i sittet o ræseværdi. De ørste er kotiuert i, De de r e ræseværdi, e de er ikke kotiuert, d de ikke er deieret i. De tredje r oså e ræseværdi i, e de er ikke kotiuert, d ræseværdie i, ikke li ed uktiosværdie.

10 6 Græseværdi o kotiuitet. Sætier o kotiuerte uktioer Der ælder ole vitie sætier o kotiuerte uktioer. Bevisere or disse sætier er iidlertid ret "tekiske", så vi æver lot sætiere ude evis.. For e kotiuert uktio ælder det, t illedæde et itervl er et itervl. Specielt.3 Billedæde or et lukket itervl er et lukket itervl. A de sidste sæti øler æste uiddelrt.4 E kotiuert uktio r i et lukket itervl e størsteværdi o e idsteværdi..5 Hvis e kotiuert uktio r såvel e størsteværdi so e idsteværdi, så ter de lle værdier elle disse størsteværdie o idsteværdie. Nedeor er vist rere or ole uktioer, so illustrerer sætiere. til.5

11 Græseværdi o kotiuitet 7

12 8 Dieretiilitet Kp. Dieretiilitet. Dieretilkvotiet o tet For t orklre dieretiilitet e uktio er, så r vi ru or to ereer, eli, uktiostilvækst or e uktio ud r et pukt : o tet til re or e uktio. Tet r idtil ku været idørt, so cirkeltet. M deierer i lidelied e cirkeltet, so e liie, der ku skærer cirkle i et pukt. E sekt deriod er e liie, der skærer cirkle i to pukter. M k u eerlisere tetereet til t otte lle kurver, o dered oså re or e uktio. Gee det ste pukt, vor øsker t estee tete tees e sekt. Sekte skærer kurve i det ste pukt o i et vrielt pukt. Hvis lder det vrile pukt evæe si e iod det ste pukt, vil sekte dreje okri det ste pukt o i lidelied ve e ræsestilli, år de to pukter lder se til et pukt. Dee ræsestilli vis de ides o er de se, år ærer si r ee sider kldes e tet til kurve i det ste pukt. Se iurere edeor. Vi stiller os u de opve, t estee ældiskoeiciete or tete i et pukt re or e uktio. Ld det ste pukt være P,. Vi iver u e tilvækst, vorved vi år puktet P,. Fuktiostilvækste er, svrede til tilvækste. Liie, der orider P, ed P, er e sekt til re or Hældiskoeiciete or sekte er or lle :. sekt Dee røk kldes or diereskvotiete. Tæker vi os u, t vi lder å iod, vil diereskvotiete til stdied være ældiskoeiciete or sekte.

13 Dieretiilitet 9 Hvis sekte r e ræsestilli år år iod, så er tete dee ræsestilli or sekte. Hældiskoeiciete or tete vil d være ræseværdie or sektes ældiskoeiciet. Der vil d ælde:.3 t et ' li Græseværdie ' vis de eksisterer kldes or dieretilkvotiete i, o de læses " ærke " eller de ledede i. Uæi de eoetriske ortolki tete so ræsestilli or e sekt, deierer u i l lidelied..4 Ld være deieret i e oe. Hvis røke diereskvotiete r e ræseværdi or åede od, sies t være dieretiel i ed dieretilkvotiete li ed dee ræseværdi. ' li Vores pror er u, t estee dieretilkvotiete or lle de uktioer, vi keder, e ørst vil vi se på et ekelt eksepel, vor vi direkte veder deiitioe. Når skl ide dieretilkvotiete or e uktio, deler ote opve i 3 tri, er vet 3-trisrele. Beste uktiostilvækste D diereskvotiete: 3 Fid ræseværdie ' li, vis de eksisterer or..5 Eksepel. Ld ½ - 3. er e prel ed toppukt i,. Vi vil estee e lii til tete til re or i. Vi væler ørst t estee dieretilkvotiete or i et vilkårlit pukt. M veder 3-tris rele ½ ½. ½

14 Dieretiilitet 3. li li ½ A de sidste lii kokluderer vi, t ' -. 3 Vi ider d tetliie or. Hældiskoeiciete er ' -. o. Tetliie liver d 3 5 iøle orle: eller - På iure edeor er re or o liie teet. M ser, t det er e tet i 3 o - Liie or liie ee puktet,, o so r ældiskoeiciete er so ekedt: Tete ee,, o so r ældiskoeiciete ', er deror:..6 ' ' Før vi år i ed t estee dieretilkvotieter or orskellie uktioer, viser vi ølede ikke særli overrskede sæti:.5 Hvis er dieretiel i, så er oså kotiuert i. At er kotiuert i, k vi udtrkke or Vi sætter or or or At er dieretiel i, k vi udtrkke: ' or Her øler:

15 Dieretiilitet ' or or so viser kotiuitete i. Dieretilkvotiet or ole siple uktioer Vi vil vise t uktioe k kostt er dieretiel or lle o t '. Vi veder 3-trisrele: k k 3 li Vi vil vise t uktioe er dieretiel or lle o t '. Vi veder 3-trisrele. 3 li Vi vil vise t uktioe er dieretiel or lle o t '. Vi veder 3-trisrele: 3 li Vi vil vise t uktioe ; er dieretiel o t ' Vi veder 3-trisrele: 3 li li Vi vil vise t uktioe ; er dieretiel or > o t Vi veder 3-trisrele: ' Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie diereskvotiete, så vi lver ølede oskrivi, idet vi er ed i tæller o æver, o veder kvdrtsætie - -.

16 Dieretiilitet or ordi er kotiuert! Vi år deror 3 li li 3. Reereler or dieretitio Ld der være ivet, t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ' o t er dieretiel i ed dieretilkvotiete '. Der ælder således: ' or o ' or Vi vil d vise, t er dieretiel i ed 3. ' ' ', er dieretiel i ed 3. ' ' ', Disse to sætier k settes i orulerie: M k dieretiere ledvis. De æste sæti viser, t e ktor sættes udeor ved dieretitio Hvis k R, så er k dieretiel i ed 3.3 k ' k ', M k deriod ikke dieretiere "produktvis" eller "kvotietvis". Der ælder deriod: er dieretiel i ed 3.4 ' ' ',

17 Dieretiilitet 3 Hvis så er dieretiel i ed 3.5 ' ' ', I evisere or disse sætier, år det ud på t oskrive dieres-kvotiete, så vi k udtte, t ' or o ' or Bevis or dieretiilite ' ' li li li Ved eviset r vi vedt t ræseværdie e su er li ed sue ræseværdiere. Beviset or - orløer elt lot. Bevis or dieretiilite k ved jælp tretrisrele. k k k k k k k 3 ' li li k k Bevis or dieretiilite ved jælp tretrisrele. Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie, vis vi veder dette udtrk, så vi lver e oskrivi, idet vi dderer o sutrerer størrelse

18 4 Dieretiilitet 3 li li li ' ' li Vi r ved ræseovere vedt reerelere or ræseværdier, st t or Hvilket øler, t er kotiuert i, ordi er tet dieretiel i. Her ås reerele or dieretitio et produkt to uktioer ' ' ' Bevis or dieretiilite. Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie, vis vi veder dette udtrk, så vi sætter på e ælles røkstre, o sutrerer o dderer størrelse 3 li li li li ' ' ',

19 Dieretiilitet 5 Vi r ved ræseovere vedt reerelere or ræseværdier, st t or, vilket øler t er kotiuert i, ordi er tet dieretiel i. 3.6 Eksepel. Vi vil vede reerelere til t ide dieretilkvotiete or uktioe ½ - 3, so vi så på i eksepel.5, vor vi estete de ud r tretrisrele. Vi dieretierer ledvis o sætter kosttere udeor ved dieretitio. ' Hvilket er det se resultt, so vi tidliere dt direkte. 3.7 Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete or uktioe ; >. Iøle reerele ' ' ' ed ' o ' år : ' Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete or uktioe ; >. Iøle reerele Med ' ' ' ' o ' 3 ' 3.9 Eksepel. Vi vil vise, t dieretilkvotiete ; N, er '. Diressio Vi ør dette ved et såkldt iduktiosevis. Ld os te t er e orel, der æer. Det kue.eks. være sue lle ele positive tle r til. 3. Vi påstår, t.. Det ses uiddelrt, t orel er riti or, idet.. Vi ter u, t orle er riti or p, o vis vi uder dee telse k vise t orle oså er riti or p, slutter vi, 3. t de er riti or lle. Hvis orle eli er ldi or, r vi evist, t de oså er ldi or, o vis de er ldi or, så er de oså ldi or 3, osv. I det kokrete tilælde er et eet let t evise..

20 6 Dieretiilitet Vi veder u tile til dieretitio ; N. Forle er riti or, idet vi r vist t ' - o vi ter, t der ælder '. Vi dieretierer u eter produktrele. ' ' D orle er riti or, k vi slutte, t de er riti or 3.osv. Med dee orel er vi i std til t dieretiere et vilkårlit poloiu,.eks ' Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete ; ; N. Vi veder røkrele ' ; ; N ' Beærk, t det er de se reereel, so vi vde or ; N 4. Iiitesilrei. Dieretiler 4. Historisk ote Historisk set er dieretilreie udviklet prllelt Newto o Leiitz. A dee rud ides der stdi to orskellie åder t etee dieretilkvotiete på. Skriveåde ' skldes Newto, idet do est vedte skriveåde s& t or dieretilkvotiet st ed es til tide. Læses s-pukt. Dee ottio vedes stdi ldt sikere. Fr Leiitz ster eteelse iiitesilrei, so er sot ed "dieretil" o "iterlrei". d So erudet edeor eteede Leiitz ' ed solet, vor d o d etees so d dieretiler eoldsvis o. På dee åde liver dieretilkvotiete skrevet so e kvotiet elle to dieretiler. Hvis vi i diereskvotiete skriver i stedet or vilket ktisk er ere turlit, k ed dee ottio opskrive to idetiske deiitioer på dieretilkvotiet. ' li d li d

21 Dieretiilitet 7 d Beteelse r ltid været proletisk i itroducerede kurser i dieretilrei. Nole d øer væler t sie, t det er ét sol or ', der ikke k skilles d. For dereter llievel, t skille solet d, år koer til iterlreie. d Hvis deriod optter solet, so e kvotiet elle d o d, så liver ødt til t d orklre, vorledes d o d skl opttes. Proleet lier i, t ved dieretitio, ser på ræseværdie oroldet elle uktiostilvækste - o tilvækste, so vi or korteds skld r kldt, år år iod ul. Altså ræseværdie or /, år o dered år iod. I ræse er såvel so li ed ul, o Leiitz, so er ee dieretilreies ædre, idørte eteelsere d o d or ræseværdiere o. d o d lev eteet so iiitesile, dvs. uedeli så tilvækster, svrede til de edelie tilvækster o. Græseværdiere o d o d er ee ul, e llievel reer ed de, so o de vr edelie størrelser. Leiitz reede selv uekret ed iiitesile størrelser, o det jorde tetikere i c. år eter, e odere tetikere r ikke været så eejstrede or t ree ed de lere rude. For eksepel ideærer det, t er o dividerer ed størrelser, der ktisk er ul, so o de vr edelie. Reerelere or iiitesile størrelser er do oså lidt derledes, ed rei ed reelle tl. Hvis der.eks. står d d så er det li ed d, ordi d er øjere orde! M k iidlertid vise, t rei ed iiitesile størrelser koer ud på det se, so t ree ed edelie tilvækster, år til slut dividerer ed o ter ræseværdie or åede iod d. So st så der odere tetikere ikke rei ed iiitesile størrelser, e llievel r evret solere d o d. I de leste dre turvidesker, især i sik, reer uldstædi uekret ed iiitesile størrelser. Det er ordi det er lt urtiere o lettere ed de tuere, e ekskte ræseover. 4.. Eksepler r tetikke. Vi vil estee dieretilkvotiete 3 ved iiitesilrei. Vi udreer deror d d d d d 3 d 3d d 3 d 3 d Vi r i udtrkket oveor st lle "øjere ordes led" i d li ed ul. Resulttet er, so ser korrekt. 4.. Eksepler r sikke. Hvis s st eteer positioe på e kse o t eteer tide. K estee stiede okri tidspuktet t, s s t t s t ds so v vor uiddelrt slutter, ved t lde t v s' t. t t dt v dv Helt tilsvrede k or ccelertioe deiitioe slutte t t dt

22 8 Dieretiilitet M deierer i tetikke dieretilet d e uktio, so dieretilkvotiete e d. 4. d ' d Dette er e deiitio d, e vd er d? Her vier eleetære læreøer e del. I e tetik o, k ikke skrive t det er e iiitesil størrelse, so ør det i sik o lle dre turvideskeli seæe. Tricket k d være, t ider d or uktioe. Så ider : d d d, o d d d d, iøle deiitioe. Altså d d, er et sol, der er ivet ved si ee deiitioslii. Mtetisk set er dette elt kosistet, e eresæssit skl ok tæke på e iiitesil størrelse, år skriver d. Fordele ved t vede dieretiler er de, t e el del sætier liver idlsede, år veder dieretiler. Sætier, der ellers kræver et læere o ikke ltid ukopliceret evis. 5. Dieretitio sest uktio Ld der været ivet uktioere o z, således t V D. M k så de de sestte uktio 5. o 5. Sæti. At u t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ', t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ' '. Vi vil d vise, t o er dieretiel i ed dieretilkvotiete o ' ' ' ' ' Ved rei ed dieretiler er sætie eet let t "evise". Der ælder eli: o ered 5.3 d ' d dz ' d dz ' ' d dz d o ' ' ' ' ' dz d dz d d d Dieretitiosrele 5.3 kldes ote or kæderele, idet vi lot r idskudt d i tæller o æver. Rele udsier, t dieretierer o ved ørst t dieretiere ed es til, o dereter dieretiere ed es til. 5.5 Eksepel. 5 Vi vil ide dieretilkvotiete 3 7. Fuktioe er sest 5 o 3-7. Vi ider deror: ' ''

23 Dieretiilitet 9 Meet urtit older op ed t idøre e jælpevriel, e dieretiere ed es til et uktiosudtrk, so o det vr e vriel. Dette er søt vist i det æste eksepel 5.6 Eksepel Vi vil estee dieretilkvotiete Fuktioe er sest o 4 6. M dieretierer "uder". De ørste uktio er kvdrtrodsutioe. De dieretierer "ed es til det der står uder kvdrtrode", so o det vr e ekelt vriel. Deræst er ed dieretilkvotiete et so står uder kvdrtrodsteet. ' Eksepel M koer ote ud or uktioer, der er sest ere ed to uktioer. Reele er iidlertid de se, dieretierer uktioere "uder" o er dieretilkvotietere se idtil år til. Vi vil estee dieretilkvotiete Fuktioe er sest, 3 o. 3. I dee rækkeøle, ed dieretilkvotieter:, 3 o. Vi år deror dieretilkvotiete: ' 3 6 Vi vil u ive et tetiske korrekt evis or kæderele. Beteelsere er de se, so i strte dette sit. For t lve et evis, er det ødvedit t ive deiitioe dieretiilitet e lidt de oruleri. Hertil r vi ru or et t ere, kldet e epsilo-uktio. E epsilo-uktio skrives: ε eller ε er e uktio, der er deieret i e udprikket oe okri o so r ræseværdie i. Der ælder ltså: 5.8 ε or Ever uktio, so r dee eesk kldes e epsilo uktio. Vi k d oskrive lidt på deiitioe dieretiilitet. ' or ' or

24 Dieretiilitet e eplilouktio er ' ε 5.9 ' ' ' ε ε ε Vi viser u diretiilitete o på sædvli vis ved ørst t udree uktiostilvækste z. z o o o Dette idsættes i udtrkket or z. D er tet dieretiel i, k z skrives, ved vedelse e ε-uktio. z ' ε Hereter ider ed divisio ed. ' ' ' ' ' ' or z ε Vi r er vedt, t or, ordi er kotiuert i, de er dieretiel i. Dette viser t ' ' li z 6. Dieretitio ovedt uktio Lieso der ælder e reereel or dieretitio sest uktio, ælder der e reel or dieretitio ovedt uktio. Vi ider o, t vis er e ijektiv uktio r de e ovedt uktio reeorskrit, so etees -., o vor der ælder ølede: 6. - eller ved t otte o - o - r se riske illede., er jo det se pukt, d de to liier e esetdede, es rere or o - reår ide ved spejli i liie. Ved dee spejli, vil, etop live ildet i,. Det er deror ikke særli overrskede, t vis er dieretiel i o o ' o, så vil - være dieretiel i det tilsvrede. D dieretilkvotiete o er ældiskoeiciete or tete, o d dee ældiskoeiciet k erees ud r to pukter so - / -, så å kue ide ældisko-

25 Dieretiilitet eiciete or spejlie dee tet i, so å være tete til - i ved t tte o på o. Dette er søt illustreret på iure edeor. Ud r e eoetrisk etrti, urde der så ælde: - - / - / o. Dette vil vi u evise, idet vi viser sætie: Ld være e ijektiv uktio, so er dieretiel i ed. De ovedte uktio - er d dieretiel i ed: 6.3 ' vor ' vilket ske riti ser lidt idviklet ud. Ved vedelse rei ed dieretiler er sætie æste triviel, idet d d ' o d ' d d ' vor d d d ' Bevis: Vi ider o r sittet o dieretitio sest uktio, t er dieretiel i - ε vor ε er e epsilouktio, dvs. ε or.

26 Dieretiilitet Vi vil u skrive i stedet or. er det se so. Liie liver d er dieretiel i ε ' li For de ovedte uktio - vil tilsvrede ælde vis de er dieretiel i.:. ' li vor Vi vil d evise, vis vi ter. Vi der diereskvotiete or - ud r puktet. ' ' ε ε eller ved t orkorte røke ed Vi eærker or det ørste, t ævere ikke k live ul or tilstrækkelie så, det iøle telse o ε or. Edvidere ælder det, t or, d - er kotiuert. De ovedte uktio til e kotiuert uktio er kotiuert. Vi ider deror. li li o dered ' ' ε ' ' vor Hvored sætie er evist. 6.4 Eksepel Vi vil u vede sætie på uktioe: l, so r de ovedte uktio e. I iterlreie viser, t l er e stuktio til, vilket etder, t 6. l' ; > Vi skl vede dette resultt, år vi skl ide dieretilkvotiete - e, o vor l /, o old så st! e, so er de ovedte uktio til l. ' e o ered e ' e eller e ' ' Fuktioe e r de elt specielle eesk, t de er si ee dieretilkvotiet. Det er de eeste uktio, so r dee eesk. 6.5 Øvelser:. Fid de ovedte uktio til or >. Fid deræst dieretilkvotiete til dee uktio.. t er ooto i itervllet ]-π/, π/[, o de r deror e ovedt uktio i dette itervl, so kldes or e

27 Dieretiilitet 3 rct. Vis t rct 3. si er ooto i itervllet ]-π/, π/[, o de r deror e ovedt uktio i dette itervl, so kldes or rcsi. Vis t rcsi 6. Dieretilkvotiet or ekspoetil- o potesuktioer E ekspoetilutio 6.6 ' l Dette øler oskrivie er dieretiel or lle ed e l ' e l l l E potesutio vor > er dieretiel or lle ed 6.7 ' Dette øler oskrivie e l ' e l Beærk især, t rele or dieretitio e potesukto er de se, so vi tidliere udledte or eltllie ekspoeter. 7. Det pproierede. rds poloiu Dee lidt oruroliede oruleri, er iidlertid lot over e de åde t orulere tetliie på. Udspuktet er iidlertid lidt derledes. Vi eridrer r sit 5. o, vorledes k orulerer dieretiilitete e uktio ved jælp e epsilo uktio. er dieretiel i <> ' ε Hvor ε er e epsilo uktio: ε or. Hvis er "lille" er ε "lille" øjere orde, o k i de ørste tilærelse til t eree vede udtrkket: 7. ' Det er i lidelied dette udtrk eteer so det pproierede. rds poloiu, idet til tilærer pproierer i oee.

28 4 Dieretiilitet Idører iidlertid i udtrkket o -. år tetliie i. 7. ' Tidliere vedte det pproierede. rds poloiu til t eree tilærede uktiosværdier. 7.3 Eksepel Vi øsker t estee e tilæret værdi or 4,, o vi veder 7,. 4, 4, 4 '4,,,5,5 4 Et opsl på e loereer viser, t et øjtit resultt er, Dieretitio si, cos o t si er deieret på ele de reelle kse. Vi vil vise, t si er dieretiel or lle, o t si ' cos For t evise dieretiilitete si er det do ørst ødvedit t vise, t si 8. or Dette vises d eoetrisk vej, idet vi på iure edeor r teet e eedscirkel ed cetru i O, vor vi r st viklere o -, st teet lvteter i de to retispukter P o P. Tetere skærer ide på -kse i puktet Q på rud setrie okri -kse. Hvert stkkere P Q o P Q er li ed t, so det ses ud r de retviklede trekt OP R. For e cirkel ælder det, t perietere or e idskreve polo er idre e cirkles perieter, so ie er idre ed perietere or e oskreve polo.

29 Dieretiilitet 5 Aveder dette på cirkelue r P til P, so r læde, år or < < π uliede: 8. si < < t si < < t si si si si < < < cos < cos si cos < < Hvis - π < <, så er uliede uordret idet si- -si o cos- cos, så si si cos < < cos < < Hvis vi lder å iod ul, vil uliede ælde uder ele ræseovere, idet der do odt k ælde liedste i ræse. licos si li li si li si A de sidste ulied reår t år iod, år år iod. Vi vil u vise t si er dieretiel i. Diereskvotiete er cos si si si cos si Vi r ved de ørste oskrivi vedt de loritiske orel or dditio/sutrktio to u v u v si-uktioer: siu si v cos si. I det sidste led ltter vi ktore ed i ævere so ½. cos si cos si si cos Det sidste udtrk k vi ide ræseværdie, vis vi veder t, si or si på rud, or

30 6 Dieretiilitet si 8.3 li licos li cos cos Hvilket viser, t si er dieretiel or lle o t si ' cos. π Vi k u vise dieretiilitete cos ved oskrivie: cos si si-uktioe so e sest uktio. o dieretiere π π 8.4 cos ' si ' cos si Hvilket viser, t cos er dieretiel or lle o t cos ' - si. Vi k d vise t t er dieretiel i ele si deiitiosæde o t ' t. cos si Vi viser dette ved t vede røkrele or dieretitio på t cos cos cos si si cos si t ' t cos cos cos 8.5 Eksepel Nedeor vises dieretilkvotiete ole uktioer, der er sestte uktioer ed de triooetriske. Vi ter, t eider si i deiitiosæde or uktioe. 3. si ' 3si cos. 3 3 si ' cos 3 3. si ' cos si 4. lcos ' si t cos

31 Mootoiorold 7 Kp 3. Mootoiorold. Mootoe uktioer E uktios ootoiorold drejer si o, vorvidt e uktio er voksede eller tede eller ie delee. Vi ider o ole deiitioer r. Deiitio: E uktio er voksede i et itervl I, vis der or lle, I ælder: < < Deiitio: E uktio er tede i et itervl I, vis der or lle, I ælder: < > Geoetrisk etder dette, t re or evæer si eoldsvis "opd" eller "edd". Edvidere ider vi o ereere iu o iiu, oså kldet størsteværdi o idsteværdi. Miu o iiu or e uktio, skrives o i. Deiitio: sies t være størsteværdi eller iu or e uktio i et itervl I, vis der or lle I ælder: Miiu deieres elt tilsvrede. Ikke lle uktioer r et iu eller iiu, o e uktio k odt ve lere i eller ii ktisk uedeli e. Eksepel: ; R, r iiu, e de r itet iu. / ; > r verke iu eller iiu. er edd eræset, es ikke er eræset. Der ælder iidlertid ølede vitie sæti, so r været otlt i idledie til dieretilreie, e ikke evist. Et tetisk evis ville kræve e præcis tetisk deiitio ereet kotiuitet, so vi ikke r til rådied, så eviset udeldes, e sæties idold er illustreret ed ole eksepler edeor. Sæti: Hvis e uktio er kotiuert i et lukket itervl I [, ], så r såvel e størsteværdi so e idsteværdi i itervllet.

32 8 Mootoiorold De ørste iur oplder etielsereor såvel so i. De de iur r ie størsteværdi, ordi de ikke er overlt kotiuert, o de sidste iur r ie idsteværdi, ordi itervllet ikke er lukket.. Loklt iu o loklt iiu or e uktio Vi skl u deiere ereere loklt iu o loklt iiu. Til dette r vi ru or edu et ere, eli e oe okri et pukt. E oe okri, skrives ω. Deiitio: E oe ω okri er et itervl, so r so idre pukt. dvs. ikke et edepukt. Eksepel: Hvis -, så er itervllere ]-½,-½], ]-3, -,75[ o [-,5, -,5] lle oee okri. Deiitio: E uktio r loklt iu loklt iiu i, vis der ides e oe okri, så er iu iiu i dee oe. Altså, der ides e oe ω,okri, således t ω Bereere loklt. o loklt i. er illustreret edeor. r loklt i. i, 4, 6 o 8. r loklt. i 3, 5, 7. r lolt. i 7. r lolt i. i. Vi vil d vise ølede eet vitie sæti.

33 Mootoiorold 9 Ld være e uktio, der er dieretiel i e oe okri. Hvis r loklt. eller loklt i. i, så er '. Bevis: Vi eviser sætie or loklt i i, eviset or loklt orløer elt lot. Hvis r loklt i, så vil der or pssede så værdier e tilvækst ælde: > < Her ider vi: - Uæit 's orte. Her øler ved divisio ed : or > o or < Bee røker er iidlertid diereskvotiete / or eoldsvis > o <. D er orudst dieretiel i, r disse to røker se ræseværdi or. Det øler iidlertid uliedere oveor, t li o li o ered Hvored sætie er evist. ' li li Sætie r e sipel eoetrisk ortolki, idet ' etder, t re or r e vdret tet i Når ' sies uktioe t ve ekstreu i. Vi r set, t r ekstreu i et loklt. eller loklt i., e det viser si, t der oså er to dre ulieder. A sætie øler, t vi k estee puktere, vor e dieretiel uktio r loklt. eller loklt i. ved t løse liie. ' ed es til Ser vi.eks. på iure side 8 er ikke dieretiel i 4 o 5, så disse ekstreuspukter k ikke estees ved t løse liie '. Til eæld ses, t ', vor der verke er loklt. eller i. I dette tilælde sies t ve e vdret vedetet.

34 3 Mootoiorold Oveståede sæti, k dres i vedelse, år øsker t estee værdiæde or e kotiuert uktio i et lukket itervl. A sætie o. o i. or e kotiuert uktio i et lukket itervl øler eli, t vi ku eøver t udree uktiosværdie i edeståede 3 tper pukter: Edepuktere or itervllet [,]: o. Pukter vor ' :,,... Pukter, vor ikke er dieretiel, e vor odt k ve loklt eller loklt i. Eksepel:. Vi vil estee værdiæde or uktioe - ; [,]. o - ' / - ; ' / - 4 er dieretiel or >, så V [-, 8 ] Ld os te, t r e, o øsker t lve e rektulær idei ed det størst ulie rel. Kldes de ee sidelæde på ideie or, er de de sidelæde -/ -. Arelet A ideie er A - - ; < < A A. A' - ; A' ½ A er overlt dieretiel, så A A½ 4. Hvis skl ide værdiæde i et ået itervl, er situtioe ikke eet orskelli r oveståede, idet så lot skl ide ræseværdie vis de eksisterer i edepuktere or det åe itervl. Der ælder eli sætie:.4 Billedæe et itervl or e kotiuert uktio er et itervl. Vi illustrerer sætie ed et pr eksepler. 3. Vi vil estee værdiæde or e -, vor [, [. Vi dieretierer deror o løser '. ' e e e ' ; 4e ; o or Værdiæde er deror [,4e - ] 3. Middelværdisætie Rolles sæti: Hvis e uktio er kotiuert i det lukkede itervl [,] o dieretiel i det åe ],[ således t, så ides der idst et pukt c, vor 'c.

35 Mootoiorold 3 Oveor er Rolles sæti illustreret ved 3 eksepler. Bevis: D er kotiuert i [,] r åde e størsteværdi o e idsteværdi i itervllet. Hvis åde o i er i edepuktere er de ee, o er kostt li ed i [,]. Her øler, t ' i [,], o sætie er trivielt opldt i dette tilælde. Hvis ikke åde o i er i edepuktere er idst e de i et idre pukt c ],[. Her r iidlertid loklt ekstreu, o iøle e tidliere sæti er 'c, voreter sætie er vist. Rolles sæti er i si selv ikke så iteresst, e de vedes til t evise de eet vitie iddelværdisæti. Middelværdisætie: Ld e uktio være kotiuert i det lukkede itervl [,] o dieretiel i det åe ],[. Der ides d idst et idre pukt c ],[, vor ' c Geoetrisk udtrkker iddelværdisætie, t der ides idst et idre pukt i itervllet [,], vor re or r e tet, so er prllel ed liie der orider edepuktere, o, or re. Dee liies ældiskoeiciet er eli li ed øjre side liie oveor. Bevis:

36 3 Mootoiorold Vi idører e jælpeuktio l, so er de lieære uktio, so orider edepuktere, o, or re. Det er et t opstille et reeudtrk or l, e det er ikke ødvedit or eviset. Der ælder trivielt, t l o l. Vi ser d på uktioe - l. O dee uktio ælder -l o -l. er kotiuert i [,], d åde o l er det. O er dieretiel i ],[, d åde o l er det. oplder således etielsere or Rolles sæti i itervllet [,], o der ides deror idst et c ],[, således t 'c. Vi ider ved dieretitio ' ' - l ' ' 'c ' c ' c vored sætie er evist 4. Hovedsæti o dieretilkvotiet o ootoiorold Ved vedelse iddelværdisætie er vi u i std til t evise e ovedsæti o seæe elle ootoiorold o orteet or dieretilkvotiete or dieretile uktioer. I det ølede vil vi ed I o I etee et itervl o det tilsvrede åe itervl. Hvis I [,] er I ],[ 4. Sæti: Ld e uktio være kotiuert i et itervl I o dieretiel i det tilsvrede åe itervl I. Hvis der or lle I ælder: ' > ' < > voksede i I > tede i I ' > kostt i I Bevis: Vi eviser ku sæties. del.. o 3. del evises elt lot. Ld o være vilkårlie tl i itervllet I, o <. Iøle iddelværdisætie vedt ed o, ides der idst et c ], [, således t: ' c D ' > i I iøle telse, ælder der t 'c >. Uæi elieede o, vil der deror ælde uliede

37 Mootoiorold 33 > A dee ulied k d slutte: - > - > Hvis røke o ævere er positive, så er tællere oså positiv. Eller ved t oskrive lidt: < < vilket er deiitioe på t er voksede, vored sætie er evist. 4. Besteelse ootoioroldee or e dieretiel uktio. Ld være e vilkårli uktio, der er deieret o dieretiel i et itervl, evetuelt på ær et edelit tl pukter, vor de ete ikke er deieret eller ikke dieretiel. For t udersøe ootoioroldee, er det iøle ovedsætie tilstrækkelit t udersøe orteet or '. I prksis øres dette ltid ved t: Udree ' Løse liie: ' Lve e ortesvritio or '. Ld os te t e uktio i et itervl [,] ikke er deieret i 3 o 5, o t ' r løsiere,, 4,o 6. Vi lver d e ortesliie, so vist edeor: ': - - o - o o o > : Ove over ortesliie er skitseret res orlø okri ulpuktere or '. Forteee or ootoitervllere er udet ete ved t etrte uktiosudtrkket or ', eller ved t idsætte e værdi i itervllet o udree '. Vi k d iøle de oreåede sæti slutte, t: er voksede i itervllere [, ], [ 4, 5 [, ] 5, ]. er tede i itervllere [, 3 [ o ] 3, 4 ]. r loklt i o r loklt i i 4. r e vdret vedetet i o i 6.

38 34 Mootoiorold 4. Eksepel Vi vil estee ootoioroldee or uktioe e ; D R. Vi udreer dieretilkvotiete iøle produktrele: ' e e e ' Fortesliie liver deror: ' > A ortesvritioe or ' slutter vi, t er tede i itervllere [-, ] o [, [ er voksede i itervllet [, ] D > or lle, o ses, t r loklt o lolt iiu or, r loklt or. Edvidere ses det, vilket erudes edeor t or - o or Værdiæde or er deror [, [ Fktisk r vi ikke ørt et orelt evis or t e - år iod or åede od uedeli, e dette k evises. Vi ser ørst på edeståede eksepel. Eksepel l 4. Vi vil estee værdiæde or ; >. Vi dieretierer o sætter ' l l ' ; ' l e Vi ser, t ' > or ],e [, så er voksede ],e ], tilsvrede er tede [e, [. r dered si størsteværdi or e o e /e <. l Vi ser d på ; > l l l or e l or Hereter k vi vise, t l or or > ved oskrivie:

39 Mootoiorold 35 l l l or i det or, år > Vi ser d på uktioe: or, år > e l l l l e Når de turlie lorite e uktio år iod ius uedeli, år selve uktioe od. Vi slutter d, t or, år > e Ved jælp oskrivie l e er det lie så let t vise, t or, år > o >. Resulttere k løst oruleres so, t e potesuktio ltid vider over e loriteuktio o t e ekspoetiluktio ltid vider over e potesuktio. Dette k id ielle være lidt overrskede. Ser vi.eks. på, så vil dette iøle sætie å iod ul or.. Vi vil udersøe, vor stor skl være or t røke er idre ed. Ved t løse liie. lo lo lo. lo lo. på e rreer,. ider t 738,7.

40 36 Mootoiorold

41 Poloier 37 Kp 4 Poloier. Geerelle poloier Et poloiu er et udtrk e uktio ore. P o Hvor, -, -,...,, o er reelle tl, so kldes or poloiets koeicieter. Ved poloiets rd orstår det største or vilket. Med dee deiitio er.eks. P - 3 et ørsterdspoloiu ed koeicietere o o -3. P -½ er et derdspoloiu ed koeicietere -½, o o. P 5 E kostt er et ulterdspoloiu ed o 5.. Øvelse Aiv rde o koeicietere or poloiet: P Fuktioe P kldes or ulpoloiet. Nulpoloiet tillæes ikke oe rd. Der ides jo itet or vilket. Et poloiu, so ikke er ulpoloiet, kldes et eetlit poloiu. Læ ærke til, t ulpoloiet ikke er det se so et ulterdspoloiet. Et ulterdspoloiu er e kostt orskelli r ul.. Divisio ed ele tl. Før vi orklrer, vd orstår ved poloiers divisio, vil vi se på lideli divisio ed ele tl. Når vi.eks. skl dividere 7 ed 3, etder det tetisk t estee to tl, eli 5 kvotiete o reste, således t der ælder divisiosliie 7 5 3

42 38 Poloier At dividere p dividede ed d divisor etder t estee to tl q kvotiete o r reste, således t der ælder divisiosliie, o således, t reste r er idre ed divisor d. p q d r o r < d Hvis specielt r, reste er li ed ul, sies divisioe t å op. Ved divisio ed større tl, r lært e etode, so kldes or divisioslorite til t udøre divisioe. Vi viser edeor de est lidelie vrit etode, idet vi vil dividere 46 ed op i 4 er e 3. o Vi tiløjer et ul o trækker 39 r 46 o år reste 6, so ikke er idre ed 3. Vi ortsætter deror divisioe 3 op i 6 er e iver reste 3, so er idre ed divisor 3, o divisioe k ikke ortsættes. Kvotiete ved divisioe er 3 o reste er 3, så vi k opskrive divisiosliie: Det er lidt ostædelit, t redeøre or, voror divisioslorite ører til de korrekte divisioslii, så det udlder oreløit eviset, e ter det op ie, år vi ser på poloiers divisio, der på e åder ider o divisio ed ele tl. Vi eærker i øvrit, t divisiosliie k opskrives, selv o divisor er større ed dividede. I dette tilælde liver kvotiete eli, o reste li ed dividede. F.eks. 7 divideret ed k skrives: Poloiers divisio. Vi orulerer u e sæti o poloiers divisio: For to eetlie poloier P o D rd p o d, er det ltid ulit t estee to poloier Q o R rd q o r, således t der ælder divisiosliie or poloier P QD R, vor r < d ltså således t rde reste R er idre ed rde divisor D. M veder de se eteelser divided, divisor, kvotiet o rest so or ele tl. Hvis R ulpoloiet, sies divisioe t å op, o sier d t P er delelit ed D. For overskueliedes skld, vil vi eeøre divisioslorite ed et eksepel, e uderstree, t de k eeøres or vilkårlie poloier. So eksepel væler vi

43 Poloier 39 P o D 3 - Vi lver d e opstilli, so ved divisioslorite or ele tl. Alorite er orklret edeor. Q Q Q Q D R P - Q D Q D R R - Q D Q 3 D R 3 R - Q 3 D Vi eærker, t vi r stdset, år rde reste R 3, er idre ed reste divisor. For t lære t udøre lorite, k i ørste o se ort r de tiløjelser, so er skrevet til øjre or divisiosskeet. M dividerer u øjesterdsleddet i divisor op i øjesterdsleddet i dividede divideret ed er 3. Dee kvotiet kldes Q. Q ultipliceres d ed divisor, o resulttet skrives uder dividede. Q D , so sutreres r dividede. Herved ås reste R Beærk t øjesterdsleddet 6 4 år ud ved sutrktioe, så R er idst e rd lvere ed dividede P. M eter u elt de se procedure, lot ed R i stedet or P. Q : -. Således ortsættes, idtil år e rest, so r lvere rd ed divisor. Det er tilstrækkelit, t k eeøre divisioslorite or poloier, e er vil vi u odtøre evise, t divisiosliie P QD R ktisk er opldt, vis vi væler

44 4 Poloier Q Q Q Q o R R 3 A opstillie oveor reår: R P - Q D R R - Q D R 3 R - Q 3 D P Q D R R Q D R R Q 3 D R 3 Idsætter u i liiere til øjre udtrkket or R i de de lii o deræst udtrkket or R i de ørste lii ider : P Q D Q D Q 3 D R 3 P Q Q Q 3 D R 3 Idsættes eri Q Q Q Q 3 o R R 3 ider divisiosliie P QD R, vor r < d D divisioslorite k eeøres ed vilkårlie poloier, o d de ltid k ortsættes idtil rde reste er idre ed rde divisor, er sætie evist. 3. Øvelse. Geeør poloiers divisio ed ølede poloier: : : 3-3 c : - 3 d : Poloiers rødder. Et tl α sies t være rod i poloiet P, vis Pα ltså vis liie P r e løsi α. Et ørsterdspoloiu r etop é rod, idet det P øler P - /

45 Poloier 4 So ekedt r et.rdspoloiu øjst rødder. Røddere ides på sædvli vis ved t løse e.rdslii. Der ides e løsisorel or 3.rdsliier, e løsisorle er ret kopliceret o ivolverer såkldte koplekse tl. For liier rd øjere ed 4 ides der ie løsisorler. Det etder iidlertid ikke, t ltid er skåret r t løse såde liier. Dette vil de ølede sætier else. 4. Sæti: α er rod i P vis o ku vis P er delelit ed -α Bevis: Iøle vores sæti o poloiers divisio, k vi dividere P ed - α, vd ete α er rod i P eller ej. Divisiosliie liver: P Q - α R Reste R å være e kostt, idet restpoloiet er e rd lvere evetuelt ulpoloiet ed - α, so r rde. Vi sætter deror R R "Hvis o ku vis..." etder, t de to uds er esetdede, o sætie deror skl vises ee veje. Vi viser ørst " " Pα Qαα - α R R R, så P er delelit ed - α. Vi viser deræst " " o ter ltså t P er delelit ed - α. Hvis dette er tilældet er reste R, så der ælder liie P Q - α Ved t idsætte α, ses uiddelrt t Pα Qαα - α, så α er rod i P. Sætie k ldt det vedes til t estee stlie rødder i et poloiu rd større ed. Dette vil vi vede tile til. Vi er u i std til t evise sætie: 4. Sæti: Et poloiu 'te rd r øjst rødder. Bevis: Ld P være et poloiu 'te rd. Hvis P r rode α er P delelit ed - α P - α Q Q er d et poloiu rd -. Hvis Q r rode α er Q delelit ed - α Q - α Q Idsættes dette i udtrkket or P, år P - α - α Q

46 4 Poloier Her er Q et poloiu rd -. På dee åde ortsætter idtil ete Q-poloiet er rd o deror ikke r oe rødder eller, t eter t ve udet p-rødder, år et poloiu Q p, so ikke r oe rødder. P - α - α... - α p- - α p Q p Q p er et poloiu rd - p >, so iøle telse ikke r oe rødder. Det er u et t idse, t lle tllee α, α,..., α p-, α p er rødder i P. Hvis idsætter et disse tl i øjreside udtrkket or P, vil etop e ktorere være ul. Ovedt k idse, t P ikke k ve dre rødder, idet idsætter eli et tl α so er orskellit r α, α,..., α p-, α p, ider : Pα α - α α - α... α - α p- α - α p Q p α Alle ktorere er orskellie r ul, d α vr tet orskelli r lle røddere o Q p α, d Q p iøle telse ikke vde oe rødder. P r deror etop røddere α, α,..., α p-, α p o ie dre. D - p > p <. At er tllet rødder p er idre ed poloiets rd, øler det, t et poloiu 'te rd øjst r rødder. So e kosekves dee sæti øler uiddelrt: 4.3 Sæti: Nulpoloiet er ikke et eetlit poloiu. Nulpoloiet r eli uedeli e rødder, o k deror ikke være restilles ved et poloiu rd. 4.4 Sæti: Idetitetssætie or poloier To poloier er idetiske uktioer, vis o ku vis de r lle koeicieter es. Dee sidste sæti k ses overlødi, e de er ktisk viti. M kue eli orestille si t se uktio kue restilles ved et poloiu på lere orskellie åder. Vi ter deror t et poloiu k restilles på to åder: P o o Ved t ltte leddee på øjre side over på de vestre, o sle leddee ed es poteser, ider så. Hvis, r vi tet t > o - o

47 Poloier 43 D dette poloiu restiller ulpoloiet er lle koeicieter. Nulpoloiet er ikke et eetlit poloiu. Der å således ælde:, -, -, - - -, -, o - o Hvor øler, t stlie koeicieter er idetiske, vored sætie er evist. 5. Besteelse røddere i et poloiu rd større ed Der ides ie orler til esteelse røddere i et poloiu rd større ed 4. Udledie orle or røddere i et 3.rds poloiu er lt over siepesu. Vi skl deriod vise, t vis k "ætte" - rødder i et 'te rds poloiu, k estee stlie rødder. Vi illustrerer dette ved et pr eksepler. 5. Eksepel. Løs liie Vi vil o et øjelik ive e etode til "kvliiceret" rodæt, e oreløi vil vi ætte på,, ½,..?. Vi ider P ; P ; P ! er ltså rod i poloiet. Me så er poloiet delelit ed - iøle sæti 4.. Poloiers divisio iver: Poloiet k d skrives divisiosliie: Idet.rdsliie ikke r løsier. P v Kvliiceret rodæt. For poloier ed eltllie koeicieter, ides der et pr ttie reler, so vi ører edeor. 6. Sæti: Hvis p er e eltlli rod i et poloiu P o ed eltllie koeicieter, så år p op i. Bevis: Hvis p er rod ælder: Pp p - p -... p o

48 44 Poloier Ved t sætte p udeor e pretes i de ørste led o ltte o over på de de side ås: p p - - p o På øjre side står et elt tl o på vestreside står produktet det ele tl p o et elt tl. Her slutter vi t p år op i o. Hvis vil udersøe o et poloiu ed eltllie koeicieter r eltllie rødder, k ltså idskræke si til t udersøe de eltl, so år op i kosttleddet. 6. Eksepel Vi vil løse liie Hvis poloiet r eltllie rødder, skl de søes ldt divisorere i 9, so er ±, ±3, ±9 Ved idsæti ses t er rod. Ved divisio ed - ås: Iøle divisiosliie er O de opridelii er deror iøle ulrele esetdede ed Røddere i.rdsliie er udet på sædvli vis eller ved rodæt o Sætie o eltllie rødder i et poloiu k skærpes til: 6.3 Sæti: Hvis q p er rod i et poloiu, P ed eltllie koeicieter, o vor q p er e uorkorteli røk, så år p op i o q år op i Beviset or dee sæti orløer eter elt de se retisliier, so eviset or de siplere sæti, ortset r e ekelt tlteoretisk detlje. p er rod i q p q... p q p q... Vi er iee ed q

49 Poloier 45 p p q... pq q Vi ltter p ude or e pretes på vestre side p p p q... q q På øjre side står et elt tl, so på vestre side er skrevet so p e et elt tl. Altså å p å op i øjreside q. Idet p/q er tet uorkorteli, er p o q idrdes priiske. Her slutter vi, t p å å op i. Beolder vi i stedet p på vestreside o ltter de øvrie led over på øjreside o sætter de ælles ktor q ude or e pretes, ider. p p q... pq q p q p... pq q På se åde so ør, k vi se, t op i er skrevet, so et produkt q o et elt tl. Altså år q p p. D p o q er idrdes priiske, år q op i, vored ee sæties dele er evist. 6.4 Eksepel. Vi vil løse liie: Vi ætter på rtiole rødder ore p/q. Iøle sætie oveor, skl der ælde p ±, ± 3 o q ±, ± o deror: p/q ±, ± /, ± 3, ± 3/. Ie etive tl k være rod i liie, or idsættes et etivt tl liver lle led etive. er ikke rod, e vi ider P½ ½ 3 - ½ ½ - 3, så ½ er rod. Ved poloiers divisio: Løsie til liie er således: -½ d 5-3 5± 3/ Beærk, t sætie o rtiole rødder i et poloiu ed eltllie koeicieter ikke udsier oet o, vorvidt såde rødder ides, e vis der ides rtiole rødder, så ælder sætie. Sætie k i øvrit udvides til t ælde or lle poloier ed rtiole koeicieter, idet koeicietere k øres eltllie ved t ultiplicere ed ællesævere or de røker, der udør koeicietere.

50 46 Asptoter Kp 5. Asptoter. Asptoter til rer or e uktio E sptote er ltid e ret liie, so uktioe "i e eller de ræse" tilærer si til. M deler sptoter op i 3 tilælde: Lodrette sptoter, vdrette sptoter o skrå sptoter. E vdret sptote r liie. Vdrette o skrå sptoter orekoer ku or eller -. Hvis der o e uktio ælder, t orskelle elle o, år iod ul or åede od uedeli eller ius uedeli, så r e vdret sptote: Opskrevet ere orelt, så skl der ælde, år r e vdret sptote or. - or eller - Tilsvrede sier, t r e skrå sptote or, vis. - or eller - Beærk, t det er orskelle elle o e lieær uktio, der skl å iod ul. Der iver ikke ei t sie t to uktioer ærer si til ide, vis de ee år iod uedeli eller ius uedeli. E lodret sptote, k ku orekoe i et pukt, vor ikke er deieret. Dette skrives.3 or eller or - eller - or eller - or - So eksepel, skl vi se på re or uktioe ; Vist edeor So det ses re, "ser" re or si op d liie. Edvidere "ser" re si or store o så, si ls ed liie. Dette vil udtrkke eter t ve ørt evis or det. Gre or r e lodret sptote ed lii. Gre or r e vdret sptote ed lii or eller - Der ides to udetle reler, år vi skl ide ræseværdier or e røk.3 Hvis eller - o er eræset år verke od uedeli eller ius uedeli, så år røke od..4 Hvis, o ikke år iod, så år røke od uedeli eller ius uedeli..

51 Asptoter 47 Ved t vede disse to reler, k vi se t: or r øjre or r vestre Hvor vi slutter, t re or r e lodret sptote ed lii. For de vdrette sptote lver vi opskrivie, idet vi dividerer ed i tæller o æver or ± Hvor vi slutter, t r e vdret sptote ed lii or ± Vi vil u se på et eksepel på e uktio, der r e lodret o e skrå sptote.

52 48 Asptoter Oveor er vist re or uktioe 4 ; 8 Tællere er or -4 li ed 6, så -4 er ikke et ulpukt or tællere. Her øler det: 4 8 or 4 8 or Hvor vi slutter, t re or r e lodret sptote ed lii - 4. Gre idikerer, t uktioe oså r e skrå sptote. For t estee dee, oreter vi poloius divisio. Vi viser ikke udreie, e vi år kvotiete ½ - o reste 6. Føleli er: Vi lver dereter de siple oskrivi:

53 Asptoter 49 ± or 8 6 Forskelle elle o de lieære uktio år iod or åede od plus eller ius uedeli, vilket vi slutter: Gre or r e skrå sptote ± or. Poloier o poloiusrøker or ± Vi vil ørst vise, t et poloiu rd > vil å iod eller - ku æit orteet or øjesterdsleddet. Ld... ed Hvis vi sætter ude or e pretes, år vi ølede oskrivi;.... ed Hvis ±, vil orteet or det der står ide i pretese være det se, so orteet or, idet lle de øvrie led vil å iod ul. Poloiet vil deror "opøre si so" or ±. Vi ser d på e poloiusrøk, vor rde tællere er større e rde ævere ed Vi dividerer d i tæller o æver ed. Hered år vi. ed > Nævere vil å iod or ±, o tællere vil "opøre si so" or ±. Hvis specielt tælleres rd er e større es æveres rd, vil poloiusrøke opøre si so et ørsterdspoloiu e lieær uktio, vilket etder, t poloiusrøke vil ve e skrå sptote. Det vr etop det, so vr tilældet ed det det de idledede eksepler. Hvis æveres rd er li ed tællerees rd, ltså vis, er poloiusrøke:

54 5 Asptoter Vi dividerer røke i tæller o æver ed o år: ± or år ltså iod e kostt, vilket etder, t r e vdret sptote.3 ± or Hvis æveres rd er større ed tælleres rd, ltså vis >, oreter vi de se oskrivi so i. ed < Når < er lle ekspoetere etive i udtrkket oveor. Dette etder ie t lle leddee vil å iod or ±. Vi slutter deror. Hvis æveres rd er større ed tælleres rd >, r poloiusrøke e vdret sptote or ±. Dette vr etop tilældet i det ørste de idledede eksepler.

55 Nuerisk løsi liier 5 Kp 6. Nuerisk løsi. liier Der er e liier, der ikke r e ltisk løsi. Hvilket er det se so, t der ikke ides e løsisorel. Liier rd >, k pricipielt løses, e der er ie kedt løsisorel or liier rd > 4. I siet lærer so ekedt ku løsisorler or ørsterdsliier o derdsliier. I tetikke tler o trcedete tl. Hvilket etder tl, so ikke er rod i et poloiu ed eltllie eller rtiole koeicieter. So eksepler på trcedete tl er π o e, voriod.eks. 3 er et irrtiolt tl dvs. ikke e røk, e ikke et trcedet tl, idet 3 er rod i poloiet -3. Trcedete uktioer er.eks. si, cos, t, l o e. E rtioel uktio er et poloiu eller e poloiusrøk ed eltllie eller rtiole koeicieter. Til liier, der pricipielt ikke k løses ltisk ører de trcedete liier. Hvilket vil sie liier, der åde ideolder e rtiol uktio o e trcedet uktio.. Eksepel E sipel trcedet lii kue.eks. være e. De leste odere rreere, r e etode til t løse såde liier, o vis orsøer ider,46. Bisektio Bisektio, etder t lvere, o det er oså etode til uerisk ulpuktsesteelse. Ld os te t r e kotiuert uktio i et itervl [, ] o der ælder <, således t o r orskellit orte. Så å i idst et pukt elle o. Vi ter t < M udreer u uktiosværdie i idtpuktet [, ] ½. Hvis, r udet ulpuktet ellers, vis > lier der et ulpukt i itervllet [, ] ellers lier der et ulpukt i itervllet [, ]. Hereter eter processe ed det e itervl, o såd ortsætter, idtil r lokliseret ulpuktet tilstrækkelit øjtit. Eter lverier itertioer, er ulpuktet estet ed e øjtied på -/. Bisektio er let t vede på e coputer, e er reltiv lso, t vede uelt.. Reule lsi Forudsætiere er de se so or isektio, e idee er de t tilærer uktioe ed e lieær uktio i itervllet [, ] o esteer de lieære uktios skærispukt ed. kse. De lieære uktio, so år ee, o, er I dee lii sætter vi o ider ørste tilærelse til skærispuktet:

56 5 Nuerisk løsi liier På se åde so ør, vis, r udet ulpuktet ellers, vis > lier der et ulpukt i itervllet [, ] ellers lier der et ulpukt i itervllet [, ]. Her eter eter processe ed det e itervl, o såd ortsætter, idtil r lokliseret ulpuktet tilstrækkelit øjtit. Reule lsi kovererer lt urtiere e isektio, o dee etode vedes e coputere o rreere. M stdser i rele, år r udet to værdier, vis std er idre ed de øskede øjtied..3 Newto Rpsos etode Dee etode er eet elet, e kræver kedsk til uktioes dieretilkvotiet. De kræver ikke, t keder uktioe i to værdier, vor <, e de kræver t r et æt, der ikke lier "lt or lt r" ulpuktet. Idee er sipel. M tilærer uktioe ed det pproierede. rds poloiu tetliie, o ider ulpuktet or dee so e tilærelse til ulpuktet or. M iver e tilvækst, o esteer, således t rer ulpuktet i dee pproitio ' ' M sætter så. Hvis, er ulpuktet udet, eller eter ' processe or t estee et. M sætter så ' ' ', o såd ortsættes, idtil r opået e tilstrækkeli øjtied. Newto Rpsos etode kovererer urtit, år lot er i ærede ulpuktet, o ' er orskelli r i. Eller ikke koer i ærede et ulpukt or '. I dette tilælde k live klet edo eet lt væk r ulpuktet.

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Modellering og simulering af dynamiske systemer Opgave nr. 2 Valgfri modelleringsopgave DC motor. se v s = 0,001 H = 0,026 H

Modellering og simulering af dynamiske systemer Opgave nr. 2 Valgfri modelleringsopgave DC motor. se v s = 0,001 H = 0,026 H geiørhøjskole Oese Tekiku Díel Sigurbjörsso 394 Sektor or ortios- og Elektrotekologi 6. seester - 4. Mrs 004 Pi Møller ese Moellerig og siulerig yiske systeer Opgve r. Vlgri oellerigsopgve DC otor leig:

Læs mere

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01 .-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.

Læs mere

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Geometrisk Optik. Teori og forsøg

Geometrisk Optik. Teori og forsøg Geometrik Optik Teori og orøg Køge Gmaium 004-005 Ole Witt-Hae Idold Kap. Geometrik Optik.... Strålegage i toer.... relekio i et plat pejl... 3. elekio i et kokavt ulpejl... 4. elekio i et kovekt ulpejl...6

Læs mere

5-9-102 VINDMØLLEPARK VED LYNGDRUP UGGERHALNE

5-9-102 VINDMØLLEPARK VED LYNGDRUP UGGERHALNE 5-9-102 VINDMØLLEPARK VED LYNGDRUP UGGERHALNE Lokalplaes ørisperiode på iiu 8 uer offetliøres i presse o på www.aalborkoue.dk/lokalplaer Idsielser, beærkier o ærere oplsier: Aalbor Koue Tekik- o Miljøforvaltie

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Bilag 4 DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 4 DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 4 DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET TBER 2011 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data evelopet

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Studiepartitur - A Tempo

Studiepartitur - A Tempo Himle ortæller om Guds herlighed ørge Grave Nielse 99 Sl 9 v - v -0 q = ca 9 ( gag) (ved DC) hæ - ders værk; c c c c S S A A ( gag) (ved DC) cresc (ved DC) Him - le or-tæl-ler om Guds Ó Kao: cresc (ved

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Taylors Formel og Rækkeudviklinger

Taylors Formel og Rækkeudviklinger Tylors Formel og Ræeuviliger Køge Gymsium Ole Wi-Hse Iol. Tylors ormel... Ræeuviliger or e.. Ræeuviliger or si og cos.. Ræeuviliger or l... Ræeuviliger or + α 6. Ræeuviliger or si - og -..6 Tylors Formel.

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

B # n # # # #

B # n # # # # 1 3Somm i Tyrol Teor 1 Teor aritoe q 0 3 0 3 Л 0 som - m - sol ved "De hvi - de hest" ag al - e - ro - s-es som - m - sol ved "De hvi - de hest" ag al - e - ro - s-es ass som - m - sol ved "De hvi - de

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Densitet (= massefylde, massetæthed, engelsk: mass density )

Densitet (= massefylde, massetæthed, engelsk: mass density ) Densitet ( assefylde, assetæthed, enelsk: ass density ) Eksepel: 100 kbikcentieter rent ld vejer 1928 ra. Det er 19,28 ra pr kbikcentieter. Generelt definerer vi densiteten for et stof ved ρ, hvor er stoffets

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Ds ese Uestet Sde sde Stlg pøe pøe, /, / og 3/, Kusus ys Kusus. //4 Vghed: 4 te lle hjælpedle: Ige hjælpedle "Vægtg": Beselse bedøes so e helhed. Alle s sl begudes ed de det e get. Alle elleegge sl eges.

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

A. Valg af udførelsesmetode og materiel

A. Valg af udførelsesmetode og materiel A. Val af udførelseseode o aeriel I dee kapiel beskrives, vorledes ovedakivieerne udføres, sa vilke aeriel der benyes. I dee kapiel benyes der ænder. A.1 Val af raveaskiner I forbindelse ed val af askine

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Kommentarer til VARIABLE

Kommentarer til VARIABLE Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede

Læs mere

Transportarmerede betonelementvægge Før og nu

Transportarmerede betonelementvægge Før og nu Bjarne Cr. Jensen Side 1 Transportarerede betoneleentvægge Før og nu Bjarne Cr. Jensen 13. august 007 Bjarne Cr. Jensen Side Introduktion Betoneleentoreningen ar de senere år stået bag udviklingsarbejder

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Hvordan måler man præcist?

Hvordan måler man præcist? Hvordan åler an præcist? Mål din højde. Hvor høj er du? = Hvor høje er Oscar o Aalie? = 00 = 00 0 = 0 TALBY 0 0 0 0 00 0 0 TI VOL I DU SKAL VÆRE SÅ HØJ FOR AT PRØVE SLANGEN TALBY 0 0 0 0 00 0 0 TI VOL

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Note til Stikprøveteori Teoretisk Statistik, 2. årsprøve Erik Bennike og Frederik Silbye. Formeloversigt til stikprøveteori

Note til Stikprøveteori Teoretisk Statistik, 2. årsprøve Erik Bennike og Frederik Silbye. Formeloversigt til stikprøveteori ote til Stiprøveteori Teoreti Statiti,. årprøve Eri Beie og Frederi Silbye Foreloverigt til tiprøveteori Alterativ variatio Kotiert variatio Sipel tilældig dvælgele ote Pt Pt Geerel tratiiceret dvælgele

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

m D Precision Fedt Petro-Ca n a d a ' s M u l ti -f u n k ti on el l e E P- f ed ter er en s eri e h ø j k v a l i tets -, l i th i u m k om p l ek s f ed ter f orm u l eret ti l a t g i v e eg et h ø

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

1 skaren af exp = den naturlige

1 skaren af exp = den naturlige EKSPONENTIAL- OG LOGARITMEFUNKTIONER REPETITION (primært.-klss-sto, supplrt md dirtilrgigs-ovrvjlsr) Fuktiosskr ( ) p ( ) stlæggr or R \{ } kspotiluktior. Spcilt klds ( ) p( ) kspotiluktio. Rrc: GDS, s.

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Lokalplan nr. 391. Ringkøbing-Skjern Kommune

Lokalplan nr. 391. Ringkøbing-Skjern Kommune Lokalpla r. 391 For et område til erhvervsformål ved Tøstrupvej syd for Ådum o Tillæ r. 59 til Kommuepla 2013-2025 Rikøbi-Skjer Kommue Ortofoto@Rikøbi-Skjer Kommue Rikøbi-Skjer Kommue 12. april 2016 Lokalplae

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

SAMPLE. Potpourri over sange af Carl Nielsen for blandet kor og klaver. œ œ œ j œ J œ. œ œ œ j œ. œ J œ. . j. J œ J œ. œ œ œ J. œ œ. œ œ. œ œ œ.

SAMPLE. Potpourri over sange af Carl Nielsen for blandet kor og klaver. œ œ œ j œ J œ. œ œ œ j œ. œ J œ. . j. J œ J œ. œ œ œ J. œ œ. œ œ. œ œ œ. otoui ove sange a Cal Nielsen o landet ko klave Klave Bedt mildt c c n a Lasse Tot Eiksen, 2015 S A T B A 1 Den 2 Så 1 Den 2 Så danske sang e en ung lond ige, hun gå nyn i Danmaks hus, syng da, Danmak,

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Dage i København. En film om det, der gør en by. A f Max Kestner

Dage i København. En film om det, der gør en by. A f Max Kestner Drømme i København (Max Kestner, 2009). Foto: Henrik Bohn Ipsen. Upfront Films. Dage i København En film om det, der gør en by A f Max Kestner J e g e ls k e r K ø b e n h a v n. J e g e r f ø d t o g

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

LOKALPLAN 01-026 LANDOMRÅDE SYDVEST HASSERIS SKOV AALBORG KOMMUNE

LOKALPLAN 01-026 LANDOMRÅDE SYDVEST HASSERIS SKOV AALBORG KOMMUNE LOKALPLAN 01-026 HASSERIS SKOV LANDOMRÅDE SYDVEST AALBORG KOMMUNE TEKNIK- OG MILJØFORVALTNINGEN AUGUST 2007 Nærere oplsier Aalbor Koue Tekik- o Miljøforvaltie Stisbor Bre 5, Postboks 219 9400 Nørresudb

Læs mere

landinspektøren s meddelelsesblad maj 1968 udsendes kun til Den danske Landinspektørforenings redaktion: Th. Meklenborg Kay Lau ritzen landinspektører

landinspektøren s meddelelsesblad maj 1968 udsendes kun til Den danske Landinspektørforenings redaktion: Th. Meklenborg Kay Lau ritzen landinspektører landinspektøren s meddelelsesblad udsendes kun til Den danske Landinspektørforenings medlemmer redaktion: Th. Meklenborg Kay Lau ritzen landinspektører indhold: L a n d in s p e k t ø r lo v e n o g M

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ Graisk Desin OPGAVEN Je skulle lave en plakat som projektplan over Randerup branddam. Dammen skulle nemli laves om til et hyelit adekær. Der var tenet en skitse over runden, med noter til hvad der skulle

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Kap 5 - beviser - matematikb2011

Kap 5 - beviser - matematikb2011 Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere