Elementær Matematik. Differentialregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementær Matematik. Differentialregning"

Transkript

1 Eleetær Mtetik Dieretilrei Ole Witt-Hse Køe Gsiu 8

2 Idold Idold... Kp. Græseværdi o kotiuitet.... Græseværdi.... Rei ed ræseværdier...3. Græseværdier ed uedeli...5. Kotiuitet...5. Sætier o kotiuerte uktioer...6 Kp. Dieretiilitet...8. Dieretilkvotiet o tet...8. Dieretilkvotiet or ole siple uktioer Reereler or dieretitio Iiitesilrei. Dieretiler Historisk ote Dieretitio sest uktio Dieretitio ovedt uktio Dieretilkvotiet or ekspoetil- o potesuktioer Det pproierede. rds poloiu Dieretitio si, cos o t...4 Kp 3. Mootoiorold...7. Mootoe uktioer...7. Loklt iu o loklt iiu or e uktio Middelværdisætie Hovedsæti o dieretilkvotiet o ootoiorold Besteelse ootoioroldee or e dieretiel uktio Kp 4 Poloier Geerelle poloier Divisio ed ele tl Poloiers divisio Poloiers rødder Besteelse røddere i et poloiu rd større ed Kvliiceret rodæt Kp 5. Asptoter Asptoter til rer or e uktio Poloier o poloiusrøker or ±...49 Kp 6. Nuerisk løsi...5. liier...5. Bisektio...5. Reule lsi Newto Rpsos etode...5 Kp 7. Fuktiosudersøelse Udersø o te...53

3

4

5 Græseværdi o kotiuitet Kp. Græseværdi o kotiuitet. Græseværdi Mtetikke k rot set dele op i Aler o Alse. I lse veder oså ler, e tiløjer et væsetlit ere, so kldes ræseværdi. Græseværdiereet er elt ørede or udviklie dieretil- o iterlreie. Det er etop disse to disciplier, der er de est vedte i lle dre videsker, især sik, kei o økooi. Betrter vi uktioe ½ -, så er. Tæker vi os, t vi lder ære si til r øjre ee værdiere, ;, ;, ;, osv. eller r vestre,9 ;,99 ;,999 ;,9999 osv. så vil ikke overrskede ære si til tllet. Hvor lt dette ed k lde, så spejler det e rudlæede eesker ved de reelle tl. De reelle tl lier "uedeli tæt". Der er ikke é "eterøler" til et reelt tl. Melle to orskellie reelle tl, lier der uedeli e reelle tl. Noet tilsvrede k sies o de rtiole tl, e der er llievel e orskel. Dee orskel er ere sutil. For de reelle tl ælder eli, t ræseværdie vis de ides or e øle reelle tl er ltid et reelt tl. Det er deriod reltivt let lve e øle rtiole tl decilrøker, so ærer si til, es so ekedt ikke er et rtioel tl. Vi sier, t ½ -, r ræseværdie or åede od. Dette skrives tetisk:. or Det er lidt isvisede t sie, t k se dette på e r, ordi vi jo etop teer re, så or. Mes ræseværdie k ses elt l, så stiller se si elt derledes, vis uktioe ikke er deieret, der vor vi øsker t estee ræseværdie. Ser vi.eks. på uktioe: si ; Så er ikke deieret or, e deror k odt tle o e evetuel ræseværdi or åede iod. Vi uderstreer, t ikke re k idsætte på ' plds, idet er udeieret, i de orstd, t det k være ræseværdi or lle tl r ius uedeli til uedeli. si Hvis på rreere idsætter tl ær ved i på plus/ius ul, jo tættere er på tllet. Dette k vi skrive solsk. vil ide t jo tættere tllee er si or

6 Græseværdi o kotiuitet Beærk, t e uktio ikke eøver t være deieret i det "pukt", vor vil estee ræseværdie, o det er etop i såde tilælde, t ræseværdiereet k vedes i e ikke triviel seæ. For t e teorie op, er det ødvedit t orulere e præcis deiitio ræseværdi. Til deiitioe, skl vi vede ereet setriske oee. M r i dee oridelse trditio or t etee et lille tl ed de ræske ostver ε eller δ. Tlæde ω : - <ε - ε < < ε etees so e setrisk oe okri. E udprikket oe er e oe, vor r jeret. De k skrives so: ω' : < - < δ Forulerie t r ræseværdie, år år iod er d: Lieldi, vor lille e oe ω væler okri, så k estee e udprikket oe ω' okri, så år lot tilører ω' så tilører oee ω. Når skl orulere tetiske sætier, veder ote to vedier: For etvert ælder: Skrives solsk ed e lkvtor: : Der ides et or vilket det ælder: Skrives solsk ed e eksisteskvtor: : For solet. or vedes ote e ækvivlet skriveåde:.3 li Dette læses so "lies" er li ed, or åede od. Med vedelse lkvtor o eksisteskvtor, k vi u ive e ere kopkt deiitio ræseværdi..4 or ω : ω' : ω' li ω Det sidste læses so øler: For ever oe okri, eksisterer ides der e udprikket oe okri, så år lot tilører de udprikkede oe okri så tilører oee okri.

7 Græseværdi o kotiuitet 3 Der ides e de ækvivlet oruleri deiitio ræseværdi or ε > δ > : < < δ < ε Nedeor er vist 3 eksepler på e uktio, der lle r e ræseværdi i. Beærk især, t uktiosværdie i er ude etdi. Evetuelt er uktioe slet ikke er deieret i. I de ørste iur, er ræseværdie i li ed uktiosværdie. I de de iur er ikke deieret i. r ræseværdie or. I det tredje tilælde er. r ræseværdie or. Nedeor er vist 3 iurer, vor ikke r oe ræseværdi or.. Rei ed ræseværdier Givet t o er deieret i e udprikket oe, o t de er eræsede i e udprikket oe okri. "Beræset" ideærer, t der ides e oe ω, o tl M o K, således: ω < K o < M edvidere, t de to uktioer r e ræseværdi or åede od. Vi vil d vise, t or o or

8 4 Græseværdi o kotiuitet.6 or k k R k.7 or.8 or.9 or. or ælder så Hvis Vi vil ikke evise lle sætiere. Bevisere lier eet ide. Vi eviser ørst.7. Vi skl or et orelt ε estee et δ, således, t δ < ε < < k vurderes so øler: D o r ræseværdiere o, k vi estee et δ, således t: ε < o ε < Her øler < ε ε ε Hvorved sætie er evist. Vi viser deræst.9. Vi skl or et orelt ε estee et δ, således, t δ < ε < < k vurderes so øler: M D o r ræseværdiere o, k vi estee et δ, således t: < < δ ε M < o ε < Her øler M < ε ε ε M M

9 Græseværdi o kotiuitet 5 Hvorved sætie er evist.. Græseværdier ed uedeli Vi vil kort itroducere ølede orulerier o skriveåder, so ote støder på. D etdie disse soler er ret idlsede, øres lot de orelle deiitio. år iod uedeli or åede od or K δ : < < δ > K år iod ius uedeli or åede od - or K δ : < < δ < K år iod or åede od uedeli or ε > K : > K < ε år iod or åede od ius uedeli or - ε > K > : < K < ε. Kotiuitet Lidt løst oruleret, k sie, t kotiuitet e uktio etder t re æer se. E edu ere populær oruleri er, t E uktio er kotiuet, "vis k tee re, ude t løte lte r ppiret" Dette svrer til de tetiske deiitio, vor deierer kotiuitete i et pukt. Ld være deieret i e oe ω okri. Hvis er edepuktet or et itervl, å idskræke si til e øjre oe eller e vestre oe. er kotiueret i or ε > : δ > : < < δ < ε so udtrkker, t skl ve e ræseværdi i o uktiosværdie skl være li ed dee ræseværdi. Nedeor er vist de se 3 uktioer, so vi etrtede i sittet o ræseværdi. De ørste er kotiuert i, De de r e ræseværdi, e de er ikke kotiuert, d de ikke er deieret i. De tredje r oså e ræseværdi i, e de er ikke kotiuert, d ræseværdie i, ikke li ed uktiosværdie.

10 6 Græseværdi o kotiuitet. Sætier o kotiuerte uktioer Der ælder ole vitie sætier o kotiuerte uktioer. Bevisere or disse sætier er iidlertid ret "tekiske", så vi æver lot sætiere ude evis.. For e kotiuert uktio ælder det, t illedæde et itervl er et itervl. Specielt.3 Billedæde or et lukket itervl er et lukket itervl. A de sidste sæti øler æste uiddelrt.4 E kotiuert uktio r i et lukket itervl e størsteværdi o e idsteværdi..5 Hvis e kotiuert uktio r såvel e størsteværdi so e idsteværdi, så ter de lle værdier elle disse størsteværdie o idsteværdie. Nedeor er vist rere or ole uktioer, so illustrerer sætiere. til.5

11 Græseværdi o kotiuitet 7

12 8 Dieretiilitet Kp. Dieretiilitet. Dieretilkvotiet o tet For t orklre dieretiilitet e uktio er, så r vi ru or to ereer, eli, uktiostilvækst or e uktio ud r et pukt : o tet til re or e uktio. Tet r idtil ku været idørt, so cirkeltet. M deierer i lidelied e cirkeltet, so e liie, der ku skærer cirkle i et pukt. E sekt deriod er e liie, der skærer cirkle i to pukter. M k u eerlisere tetereet til t otte lle kurver, o dered oså re or e uktio. Gee det ste pukt, vor øsker t estee tete tees e sekt. Sekte skærer kurve i det ste pukt o i et vrielt pukt. Hvis lder det vrile pukt evæe si e iod det ste pukt, vil sekte dreje okri det ste pukt o i lidelied ve e ræsestilli, år de to pukter lder se til et pukt. Dee ræsestilli vis de ides o er de se, år ærer si r ee sider kldes e tet til kurve i det ste pukt. Se iurere edeor. Vi stiller os u de opve, t estee ældiskoeiciete or tete i et pukt re or e uktio. Ld det ste pukt være P,. Vi iver u e tilvækst, vorved vi år puktet P,. Fuktiostilvækste er, svrede til tilvækste. Liie, der orider P, ed P, er e sekt til re or Hældiskoeiciete or sekte er or lle :. sekt Dee røk kldes or diereskvotiete. Tæker vi os u, t vi lder å iod, vil diereskvotiete til stdied være ældiskoeiciete or sekte.

13 Dieretiilitet 9 Hvis sekte r e ræsestilli år år iod, så er tete dee ræsestilli or sekte. Hældiskoeiciete or tete vil d være ræseværdie or sektes ældiskoeiciet. Der vil d ælde:.3 t et ' li Græseværdie ' vis de eksisterer kldes or dieretilkvotiete i, o de læses " ærke " eller de ledede i. Uæi de eoetriske ortolki tete so ræsestilli or e sekt, deierer u i l lidelied..4 Ld være deieret i e oe. Hvis røke diereskvotiete r e ræseværdi or åede od, sies t være dieretiel i ed dieretilkvotiete li ed dee ræseværdi. ' li Vores pror er u, t estee dieretilkvotiete or lle de uktioer, vi keder, e ørst vil vi se på et ekelt eksepel, vor vi direkte veder deiitioe. Når skl ide dieretilkvotiete or e uktio, deler ote opve i 3 tri, er vet 3-trisrele. Beste uktiostilvækste D diereskvotiete: 3 Fid ræseværdie ' li, vis de eksisterer or..5 Eksepel. Ld ½ - 3. er e prel ed toppukt i,. Vi vil estee e lii til tete til re or i. Vi væler ørst t estee dieretilkvotiete or i et vilkårlit pukt. M veder 3-tris rele ½ ½. ½

14 Dieretiilitet 3. li li ½ A de sidste lii kokluderer vi, t ' -. 3 Vi ider d tetliie or. Hældiskoeiciete er ' -. o. Tetliie liver d 3 5 iøle orle: eller - På iure edeor er re or o liie teet. M ser, t det er e tet i 3 o - Liie or liie ee puktet,, o so r ældiskoeiciete er so ekedt: Tete ee,, o so r ældiskoeiciete ', er deror:..6 ' ' Før vi år i ed t estee dieretilkvotieter or orskellie uktioer, viser vi ølede ikke særli overrskede sæti:.5 Hvis er dieretiel i, så er oså kotiuert i. At er kotiuert i, k vi udtrkke or Vi sætter or or or At er dieretiel i, k vi udtrkke: ' or Her øler:

15 Dieretiilitet ' or or so viser kotiuitete i. Dieretilkvotiet or ole siple uktioer Vi vil vise t uktioe k kostt er dieretiel or lle o t '. Vi veder 3-trisrele: k k 3 li Vi vil vise t uktioe er dieretiel or lle o t '. Vi veder 3-trisrele. 3 li Vi vil vise t uktioe er dieretiel or lle o t '. Vi veder 3-trisrele: 3 li Vi vil vise t uktioe ; er dieretiel o t ' Vi veder 3-trisrele: 3 li li Vi vil vise t uktioe ; er dieretiel or > o t Vi veder 3-trisrele: ' Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie diereskvotiete, så vi lver ølede oskrivi, idet vi er ed i tæller o æver, o veder kvdrtsætie - -.

16 Dieretiilitet or ordi er kotiuert! Vi år deror 3 li li 3. Reereler or dieretitio Ld der være ivet, t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ' o t er dieretiel i ed dieretilkvotiete '. Der ælder således: ' or o ' or Vi vil d vise, t er dieretiel i ed 3. ' ' ', er dieretiel i ed 3. ' ' ', Disse to sætier k settes i orulerie: M k dieretiere ledvis. De æste sæti viser, t e ktor sættes udeor ved dieretitio Hvis k R, så er k dieretiel i ed 3.3 k ' k ', M k deriod ikke dieretiere "produktvis" eller "kvotietvis". Der ælder deriod: er dieretiel i ed 3.4 ' ' ',

17 Dieretiilitet 3 Hvis så er dieretiel i ed 3.5 ' ' ', I evisere or disse sætier, år det ud på t oskrive dieres-kvotiete, så vi k udtte, t ' or o ' or Bevis or dieretiilite ' ' li li li Ved eviset r vi vedt t ræseværdie e su er li ed sue ræseværdiere. Beviset or - orløer elt lot. Bevis or dieretiilite k ved jælp tretrisrele. k k k k k k k 3 ' li li k k Bevis or dieretiilite ved jælp tretrisrele. Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie, vis vi veder dette udtrk, så vi lver e oskrivi, idet vi dderer o sutrerer størrelse

18 4 Dieretiilitet 3 li li li ' ' li Vi r ved ræseovere vedt reerelere or ræseværdier, st t or Hvilket øler, t er kotiuert i, ordi er tet dieretiel i. Her ås reerele or dieretitio et produkt to uktioer ' ' ' Bevis or dieretiilite. Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie, vis vi veder dette udtrk, så vi sætter på e ælles røkstre, o sutrerer o dderer størrelse 3 li li li li ' ' ',

19 Dieretiilitet 5 Vi r ved ræseovere vedt reerelere or ræseværdier, st t or, vilket øler t er kotiuert i, ordi er tet dieretiel i. 3.6 Eksepel. Vi vil vede reerelere til t ide dieretilkvotiete or uktioe ½ - 3, so vi så på i eksepel.5, vor vi estete de ud r tretrisrele. Vi dieretierer ledvis o sætter kosttere udeor ved dieretitio. ' Hvilket er det se resultt, so vi tidliere dt direkte. 3.7 Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete or uktioe ; >. Iøle reerele ' ' ' ed ' o ' år : ' Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete or uktioe ; >. Iøle reerele Med ' ' ' ' o ' 3 ' 3.9 Eksepel. Vi vil vise, t dieretilkvotiete ; N, er '. Diressio Vi ør dette ved et såkldt iduktiosevis. Ld os te t er e orel, der æer. Det kue.eks. være sue lle ele positive tle r til. 3. Vi påstår, t.. Det ses uiddelrt, t orel er riti or, idet.. Vi ter u, t orle er riti or p, o vis vi uder dee telse k vise t orle oså er riti or p, slutter vi, 3. t de er riti or lle. Hvis orle eli er ldi or, r vi evist, t de oså er ldi or, o vis de er ldi or, så er de oså ldi or 3, osv. I det kokrete tilælde er et eet let t evise..

20 6 Dieretiilitet Vi veder u tile til dieretitio ; N. Forle er riti or, idet vi r vist t ' - o vi ter, t der ælder '. Vi dieretierer u eter produktrele. ' ' D orle er riti or, k vi slutte, t de er riti or 3.osv. Med dee orel er vi i std til t dieretiere et vilkårlit poloiu,.eks ' Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete ; ; N. Vi veder røkrele ' ; ; N ' Beærk, t det er de se reereel, so vi vde or ; N 4. Iiitesilrei. Dieretiler 4. Historisk ote Historisk set er dieretilreie udviklet prllelt Newto o Leiitz. A dee rud ides der stdi to orskellie åder t etee dieretilkvotiete på. Skriveåde ' skldes Newto, idet do est vedte skriveåde s& t or dieretilkvotiet st ed es til tide. Læses s-pukt. Dee ottio vedes stdi ldt sikere. Fr Leiitz ster eteelse iiitesilrei, so er sot ed "dieretil" o "iterlrei". d So erudet edeor eteede Leiitz ' ed solet, vor d o d etees so d dieretiler eoldsvis o. På dee åde liver dieretilkvotiete skrevet so e kvotiet elle to dieretiler. Hvis vi i diereskvotiete skriver i stedet or vilket ktisk er ere turlit, k ed dee ottio opskrive to idetiske deiitioer på dieretilkvotiet. ' li d li d

21 Dieretiilitet 7 d Beteelse r ltid været proletisk i itroducerede kurser i dieretilrei. Nole d øer væler t sie, t det er ét sol or ', der ikke k skilles d. For dereter llievel, t skille solet d, år koer til iterlreie. d Hvis deriod optter solet, so e kvotiet elle d o d, så liver ødt til t d orklre, vorledes d o d skl opttes. Proleet lier i, t ved dieretitio, ser på ræseværdie oroldet elle uktiostilvækste - o tilvækste, so vi or korteds skld r kldt, år år iod ul. Altså ræseværdie or /, år o dered år iod. I ræse er såvel so li ed ul, o Leiitz, so er ee dieretilreies ædre, idørte eteelsere d o d or ræseværdiere o. d o d lev eteet so iiitesile, dvs. uedeli så tilvækster, svrede til de edelie tilvækster o. Græseværdiere o d o d er ee ul, e llievel reer ed de, so o de vr edelie størrelser. Leiitz reede selv uekret ed iiitesile størrelser, o det jorde tetikere i c. år eter, e odere tetikere r ikke været så eejstrede or t ree ed de lere rude. For eksepel ideærer det, t er o dividerer ed størrelser, der ktisk er ul, so o de vr edelie. Reerelere or iiitesile størrelser er do oså lidt derledes, ed rei ed reelle tl. Hvis der.eks. står d d så er det li ed d, ordi d er øjere orde! M k iidlertid vise, t rei ed iiitesile størrelser koer ud på det se, so t ree ed edelie tilvækster, år til slut dividerer ed o ter ræseværdie or åede iod d. So st så der odere tetikere ikke rei ed iiitesile størrelser, e llievel r evret solere d o d. I de leste dre turvidesker, især i sik, reer uldstædi uekret ed iiitesile størrelser. Det er ordi det er lt urtiere o lettere ed de tuere, e ekskte ræseover. 4.. Eksepler r tetikke. Vi vil estee dieretilkvotiete 3 ved iiitesilrei. Vi udreer deror d d d d d 3 d 3d d 3 d 3 d Vi r i udtrkket oveor st lle "øjere ordes led" i d li ed ul. Resulttet er, so ser korrekt. 4.. Eksepler r sikke. Hvis s st eteer positioe på e kse o t eteer tide. K estee stiede okri tidspuktet t, s s t t s t ds so v vor uiddelrt slutter, ved t lde t v s' t. t t dt v dv Helt tilsvrede k or ccelertioe deiitioe slutte t t dt

22 8 Dieretiilitet M deierer i tetikke dieretilet d e uktio, so dieretilkvotiete e d. 4. d ' d Dette er e deiitio d, e vd er d? Her vier eleetære læreøer e del. I e tetik o, k ikke skrive t det er e iiitesil størrelse, so ør det i sik o lle dre turvideskeli seæe. Tricket k d være, t ider d or uktioe. Så ider : d d d, o d d d d, iøle deiitioe. Altså d d, er et sol, der er ivet ved si ee deiitioslii. Mtetisk set er dette elt kosistet, e eresæssit skl ok tæke på e iiitesil størrelse, år skriver d. Fordele ved t vede dieretiler er de, t e el del sætier liver idlsede, år veder dieretiler. Sætier, der ellers kræver et læere o ikke ltid ukopliceret evis. 5. Dieretitio sest uktio Ld der været ivet uktioere o z, således t V D. M k så de de sestte uktio 5. o 5. Sæti. At u t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ', t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ' '. Vi vil d vise, t o er dieretiel i ed dieretilkvotiete o ' ' ' ' ' Ved rei ed dieretiler er sætie eet let t "evise". Der ælder eli: o ered 5.3 d ' d dz ' d dz ' ' d dz d o ' ' ' ' ' dz d dz d d d Dieretitiosrele 5.3 kldes ote or kæderele, idet vi lot r idskudt d i tæller o æver. Rele udsier, t dieretierer o ved ørst t dieretiere ed es til, o dereter dieretiere ed es til. 5.5 Eksepel. 5 Vi vil ide dieretilkvotiete 3 7. Fuktioe er sest 5 o 3-7. Vi ider deror: ' ''

23 Dieretiilitet 9 Meet urtit older op ed t idøre e jælpevriel, e dieretiere ed es til et uktiosudtrk, so o det vr e vriel. Dette er søt vist i det æste eksepel 5.6 Eksepel Vi vil estee dieretilkvotiete Fuktioe er sest o 4 6. M dieretierer "uder". De ørste uktio er kvdrtrodsutioe. De dieretierer "ed es til det der står uder kvdrtrode", so o det vr e ekelt vriel. Deræst er ed dieretilkvotiete et so står uder kvdrtrodsteet. ' Eksepel M koer ote ud or uktioer, der er sest ere ed to uktioer. Reele er iidlertid de se, dieretierer uktioere "uder" o er dieretilkvotietere se idtil år til. Vi vil estee dieretilkvotiete Fuktioe er sest, 3 o. 3. I dee rækkeøle, ed dieretilkvotieter:, 3 o. Vi år deror dieretilkvotiete: ' 3 6 Vi vil u ive et tetiske korrekt evis or kæderele. Beteelsere er de se, so i strte dette sit. For t lve et evis, er det ødvedit t ive deiitioe dieretiilitet e lidt de oruleri. Hertil r vi ru or et t ere, kldet e epsilo-uktio. E epsilo-uktio skrives: ε eller ε er e uktio, der er deieret i e udprikket oe okri o so r ræseværdie i. Der ælder ltså: 5.8 ε or Ever uktio, so r dee eesk kldes e epsilo uktio. Vi k d oskrive lidt på deiitioe dieretiilitet. ' or ' or

24 Dieretiilitet e eplilouktio er ' ε 5.9 ' ' ' ε ε ε Vi viser u diretiilitete o på sædvli vis ved ørst t udree uktiostilvækste z. z o o o Dette idsættes i udtrkket or z. D er tet dieretiel i, k z skrives, ved vedelse e ε-uktio. z ' ε Hereter ider ed divisio ed. ' ' ' ' ' ' or z ε Vi r er vedt, t or, ordi er kotiuert i, de er dieretiel i. Dette viser t ' ' li z 6. Dieretitio ovedt uktio Lieso der ælder e reereel or dieretitio sest uktio, ælder der e reel or dieretitio ovedt uktio. Vi ider o, t vis er e ijektiv uktio r de e ovedt uktio reeorskrit, so etees -., o vor der ælder ølede: 6. - eller ved t otte o - o - r se riske illede., er jo det se pukt, d de to liier e esetdede, es rere or o - reår ide ved spejli i liie. Ved dee spejli, vil, etop live ildet i,. Det er deror ikke særli overrskede, t vis er dieretiel i o o ' o, så vil - være dieretiel i det tilsvrede. D dieretilkvotiete o er ældiskoeiciete or tete, o d dee ældiskoeiciet k erees ud r to pukter so - / -, så å kue ide ældisko-

25 Dieretiilitet eiciete or spejlie dee tet i, so å være tete til - i ved t tte o på o. Dette er søt illustreret på iure edeor. Ud r e eoetrisk etrti, urde der så ælde: - - / - / o. Dette vil vi u evise, idet vi viser sætie: Ld være e ijektiv uktio, so er dieretiel i ed. De ovedte uktio - er d dieretiel i ed: 6.3 ' vor ' vilket ske riti ser lidt idviklet ud. Ved vedelse rei ed dieretiler er sætie æste triviel, idet d d ' o d ' d d ' vor d d d ' Bevis: Vi ider o r sittet o dieretitio sest uktio, t er dieretiel i - ε vor ε er e epsilouktio, dvs. ε or.

26 Dieretiilitet Vi vil u skrive i stedet or. er det se so. Liie liver d er dieretiel i ε ' li For de ovedte uktio - vil tilsvrede ælde vis de er dieretiel i.:. ' li vor Vi vil d evise, vis vi ter. Vi der diereskvotiete or - ud r puktet. ' ' ε ε eller ved t orkorte røke ed Vi eærker or det ørste, t ævere ikke k live ul or tilstrækkelie så, det iøle telse o ε or. Edvidere ælder det, t or, d - er kotiuert. De ovedte uktio til e kotiuert uktio er kotiuert. Vi ider deror. li li o dered ' ' ε ' ' vor Hvored sætie er evist. 6.4 Eksepel Vi vil u vede sætie på uktioe: l, so r de ovedte uktio e. I iterlreie viser, t l er e stuktio til, vilket etder, t 6. l' ; > Vi skl vede dette resultt, år vi skl ide dieretilkvotiete - e, o vor l /, o old så st! e, so er de ovedte uktio til l. ' e o ered e ' e eller e ' ' Fuktioe e r de elt specielle eesk, t de er si ee dieretilkvotiet. Det er de eeste uktio, so r dee eesk. 6.5 Øvelser:. Fid de ovedte uktio til or >. Fid deræst dieretilkvotiete til dee uktio.. t er ooto i itervllet ]-π/, π/[, o de r deror e ovedt uktio i dette itervl, so kldes or e

27 Dieretiilitet 3 rct. Vis t rct 3. si er ooto i itervllet ]-π/, π/[, o de r deror e ovedt uktio i dette itervl, so kldes or rcsi. Vis t rcsi 6. Dieretilkvotiet or ekspoetil- o potesuktioer E ekspoetilutio 6.6 ' l Dette øler oskrivie er dieretiel or lle ed e l ' e l l l E potesutio vor > er dieretiel or lle ed 6.7 ' Dette øler oskrivie e l ' e l Beærk især, t rele or dieretitio e potesukto er de se, so vi tidliere udledte or eltllie ekspoeter. 7. Det pproierede. rds poloiu Dee lidt oruroliede oruleri, er iidlertid lot over e de åde t orulere tetliie på. Udspuktet er iidlertid lidt derledes. Vi eridrer r sit 5. o, vorledes k orulerer dieretiilitete e uktio ved jælp e epsilo uktio. er dieretiel i <> ' ε Hvor ε er e epsilo uktio: ε or. Hvis er "lille" er ε "lille" øjere orde, o k i de ørste tilærelse til t eree vede udtrkket: 7. ' Det er i lidelied dette udtrk eteer so det pproierede. rds poloiu, idet til tilærer pproierer i oee.

28 4 Dieretiilitet Idører iidlertid i udtrkket o -. år tetliie i. 7. ' Tidliere vedte det pproierede. rds poloiu til t eree tilærede uktiosværdier. 7.3 Eksepel Vi øsker t estee e tilæret værdi or 4,, o vi veder 7,. 4, 4, 4 '4,,,5,5 4 Et opsl på e loereer viser, t et øjtit resultt er, Dieretitio si, cos o t si er deieret på ele de reelle kse. Vi vil vise, t si er dieretiel or lle, o t si ' cos For t evise dieretiilitete si er det do ørst ødvedit t vise, t si 8. or Dette vises d eoetrisk vej, idet vi på iure edeor r teet e eedscirkel ed cetru i O, vor vi r st viklere o -, st teet lvteter i de to retispukter P o P. Tetere skærer ide på -kse i puktet Q på rud setrie okri -kse. Hvert stkkere P Q o P Q er li ed t, so det ses ud r de retviklede trekt OP R. For e cirkel ælder det, t perietere or e idskreve polo er idre e cirkles perieter, so ie er idre ed perietere or e oskreve polo.

29 Dieretiilitet 5 Aveder dette på cirkelue r P til P, so r læde, år or < < π uliede: 8. si < < t si < < t si si si si < < < cos < cos si cos < < Hvis - π < <, så er uliede uordret idet si- -si o cos- cos, så si si cos < < cos < < Hvis vi lder å iod ul, vil uliede ælde uder ele ræseovere, idet der do odt k ælde liedste i ræse. licos si li li si li si A de sidste ulied reår t år iod, år år iod. Vi vil u vise t si er dieretiel i. Diereskvotiete er cos si si si cos si Vi r ved de ørste oskrivi vedt de loritiske orel or dditio/sutrktio to u v u v si-uktioer: siu si v cos si. I det sidste led ltter vi ktore ed i ævere so ½. cos si cos si si cos Det sidste udtrk k vi ide ræseværdie, vis vi veder t, si or si på rud, or

30 6 Dieretiilitet si 8.3 li licos li cos cos Hvilket viser, t si er dieretiel or lle o t si ' cos. π Vi k u vise dieretiilitete cos ved oskrivie: cos si si-uktioe so e sest uktio. o dieretiere π π 8.4 cos ' si ' cos si Hvilket viser, t cos er dieretiel or lle o t cos ' - si. Vi k d vise t t er dieretiel i ele si deiitiosæde o t ' t. cos si Vi viser dette ved t vede røkrele or dieretitio på t cos cos cos si si cos si t ' t cos cos cos 8.5 Eksepel Nedeor vises dieretilkvotiete ole uktioer, der er sestte uktioer ed de triooetriske. Vi ter, t eider si i deiitiosæde or uktioe. 3. si ' 3si cos. 3 3 si ' cos 3 3. si ' cos si 4. lcos ' si t cos

31 Mootoiorold 7 Kp 3. Mootoiorold. Mootoe uktioer E uktios ootoiorold drejer si o, vorvidt e uktio er voksede eller tede eller ie delee. Vi ider o ole deiitioer r. Deiitio: E uktio er voksede i et itervl I, vis der or lle, I ælder: < < Deiitio: E uktio er tede i et itervl I, vis der or lle, I ælder: < > Geoetrisk etder dette, t re or evæer si eoldsvis "opd" eller "edd". Edvidere ider vi o ereere iu o iiu, oså kldet størsteværdi o idsteværdi. Miu o iiu or e uktio, skrives o i. Deiitio: sies t være størsteværdi eller iu or e uktio i et itervl I, vis der or lle I ælder: Miiu deieres elt tilsvrede. Ikke lle uktioer r et iu eller iiu, o e uktio k odt ve lere i eller ii ktisk uedeli e. Eksepel: ; R, r iiu, e de r itet iu. / ; > r verke iu eller iiu. er edd eræset, es ikke er eræset. Der ælder iidlertid ølede vitie sæti, so r været otlt i idledie til dieretilreie, e ikke evist. Et tetisk evis ville kræve e præcis tetisk deiitio ereet kotiuitet, so vi ikke r til rådied, så eviset udeldes, e sæties idold er illustreret ed ole eksepler edeor. Sæti: Hvis e uktio er kotiuert i et lukket itervl I [, ], så r såvel e størsteværdi so e idsteværdi i itervllet.

32 8 Mootoiorold De ørste iur oplder etielsereor såvel so i. De de iur r ie størsteværdi, ordi de ikke er overlt kotiuert, o de sidste iur r ie idsteværdi, ordi itervllet ikke er lukket.. Loklt iu o loklt iiu or e uktio Vi skl u deiere ereere loklt iu o loklt iiu. Til dette r vi ru or edu et ere, eli e oe okri et pukt. E oe okri, skrives ω. Deiitio: E oe ω okri er et itervl, so r so idre pukt. dvs. ikke et edepukt. Eksepel: Hvis -, så er itervllere ]-½,-½], ]-3, -,75[ o [-,5, -,5] lle oee okri. Deiitio: E uktio r loklt iu loklt iiu i, vis der ides e oe okri, så er iu iiu i dee oe. Altså, der ides e oe ω,okri, således t ω Bereere loklt. o loklt i. er illustreret edeor. r loklt i. i, 4, 6 o 8. r loklt. i 3, 5, 7. r lolt. i 7. r lolt i. i. Vi vil d vise ølede eet vitie sæti.

33 Mootoiorold 9 Ld være e uktio, der er dieretiel i e oe okri. Hvis r loklt. eller loklt i. i, så er '. Bevis: Vi eviser sætie or loklt i i, eviset or loklt orløer elt lot. Hvis r loklt i, så vil der or pssede så værdier e tilvækst ælde: > < Her ider vi: - Uæit 's orte. Her øler ved divisio ed : or > o or < Bee røker er iidlertid diereskvotiete / or eoldsvis > o <. D er orudst dieretiel i, r disse to røker se ræseværdi or. Det øler iidlertid uliedere oveor, t li o li o ered Hvored sætie er evist. ' li li Sætie r e sipel eoetrisk ortolki, idet ' etder, t re or r e vdret tet i Når ' sies uktioe t ve ekstreu i. Vi r set, t r ekstreu i et loklt. eller loklt i., e det viser si, t der oså er to dre ulieder. A sætie øler, t vi k estee puktere, vor e dieretiel uktio r loklt. eller loklt i. ved t løse liie. ' ed es til Ser vi.eks. på iure side 8 er ikke dieretiel i 4 o 5, så disse ekstreuspukter k ikke estees ved t løse liie '. Til eæld ses, t ', vor der verke er loklt. eller i. I dette tilælde sies t ve e vdret vedetet.

34 3 Mootoiorold Oveståede sæti, k dres i vedelse, år øsker t estee værdiæde or e kotiuert uktio i et lukket itervl. A sætie o. o i. or e kotiuert uktio i et lukket itervl øler eli, t vi ku eøver t udree uktiosværdie i edeståede 3 tper pukter: Edepuktere or itervllet [,]: o. Pukter vor ' :,,... Pukter, vor ikke er dieretiel, e vor odt k ve loklt eller loklt i. Eksepel:. Vi vil estee værdiæde or uktioe - ; [,]. o - ' / - ; ' / - 4 er dieretiel or >, så V [-, 8 ] Ld os te, t r e, o øsker t lve e rektulær idei ed det størst ulie rel. Kldes de ee sidelæde på ideie or, er de de sidelæde -/ -. Arelet A ideie er A - - ; < < A A. A' - ; A' ½ A er overlt dieretiel, så A A½ 4. Hvis skl ide værdiæde i et ået itervl, er situtioe ikke eet orskelli r oveståede, idet så lot skl ide ræseværdie vis de eksisterer i edepuktere or det åe itervl. Der ælder eli sætie:.4 Billedæe et itervl or e kotiuert uktio er et itervl. Vi illustrerer sætie ed et pr eksepler. 3. Vi vil estee værdiæde or e -, vor [, [. Vi dieretierer deror o løser '. ' e e e ' ; 4e ; o or Værdiæde er deror [,4e - ] 3. Middelværdisætie Rolles sæti: Hvis e uktio er kotiuert i det lukkede itervl [,] o dieretiel i det åe ],[ således t, så ides der idst et pukt c, vor 'c.

35 Mootoiorold 3 Oveor er Rolles sæti illustreret ved 3 eksepler. Bevis: D er kotiuert i [,] r åde e størsteværdi o e idsteværdi i itervllet. Hvis åde o i er i edepuktere er de ee, o er kostt li ed i [,]. Her øler, t ' i [,], o sætie er trivielt opldt i dette tilælde. Hvis ikke åde o i er i edepuktere er idst e de i et idre pukt c ],[. Her r iidlertid loklt ekstreu, o iøle e tidliere sæti er 'c, voreter sætie er vist. Rolles sæti er i si selv ikke så iteresst, e de vedes til t evise de eet vitie iddelværdisæti. Middelværdisætie: Ld e uktio være kotiuert i det lukkede itervl [,] o dieretiel i det åe ],[. Der ides d idst et idre pukt c ],[, vor ' c Geoetrisk udtrkker iddelværdisætie, t der ides idst et idre pukt i itervllet [,], vor re or r e tet, so er prllel ed liie der orider edepuktere, o, or re. Dee liies ældiskoeiciet er eli li ed øjre side liie oveor. Bevis:

36 3 Mootoiorold Vi idører e jælpeuktio l, so er de lieære uktio, so orider edepuktere, o, or re. Det er et t opstille et reeudtrk or l, e det er ikke ødvedit or eviset. Der ælder trivielt, t l o l. Vi ser d på uktioe - l. O dee uktio ælder -l o -l. er kotiuert i [,], d åde o l er det. O er dieretiel i ],[, d åde o l er det. oplder således etielsere or Rolles sæti i itervllet [,], o der ides deror idst et c ],[, således t 'c. Vi ider ved dieretitio ' ' - l ' ' 'c ' c ' c vored sætie er evist 4. Hovedsæti o dieretilkvotiet o ootoiorold Ved vedelse iddelværdisætie er vi u i std til t evise e ovedsæti o seæe elle ootoiorold o orteet or dieretilkvotiete or dieretile uktioer. I det ølede vil vi ed I o I etee et itervl o det tilsvrede åe itervl. Hvis I [,] er I ],[ 4. Sæti: Ld e uktio være kotiuert i et itervl I o dieretiel i det tilsvrede åe itervl I. Hvis der or lle I ælder: ' > ' < > voksede i I > tede i I ' > kostt i I Bevis: Vi eviser ku sæties. del.. o 3. del evises elt lot. Ld o være vilkårlie tl i itervllet I, o <. Iøle iddelværdisætie vedt ed o, ides der idst et c ], [, således t: ' c D ' > i I iøle telse, ælder der t 'c >. Uæi elieede o, vil der deror ælde uliede

37 Mootoiorold 33 > A dee ulied k d slutte: - > - > Hvis røke o ævere er positive, så er tællere oså positiv. Eller ved t oskrive lidt: < < vilket er deiitioe på t er voksede, vored sætie er evist. 4. Besteelse ootoioroldee or e dieretiel uktio. Ld være e vilkårli uktio, der er deieret o dieretiel i et itervl, evetuelt på ær et edelit tl pukter, vor de ete ikke er deieret eller ikke dieretiel. For t udersøe ootoioroldee, er det iøle ovedsætie tilstrækkelit t udersøe orteet or '. I prksis øres dette ltid ved t: Udree ' Løse liie: ' Lve e ortesvritio or '. Ld os te t e uktio i et itervl [,] ikke er deieret i 3 o 5, o t ' r løsiere,, 4,o 6. Vi lver d e ortesliie, so vist edeor: ': - - o - o o o > : Ove over ortesliie er skitseret res orlø okri ulpuktere or '. Forteee or ootoitervllere er udet ete ved t etrte uktiosudtrkket or ', eller ved t idsætte e værdi i itervllet o udree '. Vi k d iøle de oreåede sæti slutte, t: er voksede i itervllere [, ], [ 4, 5 [, ] 5, ]. er tede i itervllere [, 3 [ o ] 3, 4 ]. r loklt i o r loklt i i 4. r e vdret vedetet i o i 6.

38 34 Mootoiorold 4. Eksepel Vi vil estee ootoioroldee or uktioe e ; D R. Vi udreer dieretilkvotiete iøle produktrele: ' e e e ' Fortesliie liver deror: ' > A ortesvritioe or ' slutter vi, t er tede i itervllere [-, ] o [, [ er voksede i itervllet [, ] D > or lle, o ses, t r loklt o lolt iiu or, r loklt or. Edvidere ses det, vilket erudes edeor t or - o or Værdiæde or er deror [, [ Fktisk r vi ikke ørt et orelt evis or t e - år iod or åede od uedeli, e dette k evises. Vi ser ørst på edeståede eksepel. Eksepel l 4. Vi vil estee værdiæde or ; >. Vi dieretierer o sætter ' l l ' ; ' l e Vi ser, t ' > or ],e [, så er voksede ],e ], tilsvrede er tede [e, [. r dered si størsteværdi or e o e /e <. l Vi ser d på ; > l l l or e l or Hereter k vi vise, t l or or > ved oskrivie:

39 Mootoiorold 35 l l l or i det or, år > Vi ser d på uktioe: or, år > e l l l l e Når de turlie lorite e uktio år iod ius uedeli, år selve uktioe od. Vi slutter d, t or, år > e Ved jælp oskrivie l e er det lie så let t vise, t or, år > o >. Resulttere k løst oruleres so, t e potesuktio ltid vider over e loriteuktio o t e ekspoetiluktio ltid vider over e potesuktio. Dette k id ielle være lidt overrskede. Ser vi.eks. på, så vil dette iøle sætie å iod ul or.. Vi vil udersøe, vor stor skl være or t røke er idre ed. Ved t løse liie. lo lo lo. lo lo. på e rreer,. ider t 738,7.

40 36 Mootoiorold

41 Poloier 37 Kp 4 Poloier. Geerelle poloier Et poloiu er et udtrk e uktio ore. P o Hvor, -, -,...,, o er reelle tl, so kldes or poloiets koeicieter. Ved poloiets rd orstår det største or vilket. Med dee deiitio er.eks. P - 3 et ørsterdspoloiu ed koeicietere o o -3. P -½ er et derdspoloiu ed koeicietere -½, o o. P 5 E kostt er et ulterdspoloiu ed o 5.. Øvelse Aiv rde o koeicietere or poloiet: P Fuktioe P kldes or ulpoloiet. Nulpoloiet tillæes ikke oe rd. Der ides jo itet or vilket. Et poloiu, so ikke er ulpoloiet, kldes et eetlit poloiu. Læ ærke til, t ulpoloiet ikke er det se so et ulterdspoloiet. Et ulterdspoloiu er e kostt orskelli r ul.. Divisio ed ele tl. Før vi orklrer, vd orstår ved poloiers divisio, vil vi se på lideli divisio ed ele tl. Når vi.eks. skl dividere 7 ed 3, etder det tetisk t estee to tl, eli 5 kvotiete o reste, således t der ælder divisiosliie 7 5 3

42 38 Poloier At dividere p dividede ed d divisor etder t estee to tl q kvotiete o r reste, således t der ælder divisiosliie, o således, t reste r er idre ed divisor d. p q d r o r < d Hvis specielt r, reste er li ed ul, sies divisioe t å op. Ved divisio ed større tl, r lært e etode, so kldes or divisioslorite til t udøre divisioe. Vi viser edeor de est lidelie vrit etode, idet vi vil dividere 46 ed op i 4 er e 3. o Vi tiløjer et ul o trækker 39 r 46 o år reste 6, so ikke er idre ed 3. Vi ortsætter deror divisioe 3 op i 6 er e iver reste 3, so er idre ed divisor 3, o divisioe k ikke ortsættes. Kvotiete ved divisioe er 3 o reste er 3, så vi k opskrive divisiosliie: Det er lidt ostædelit, t redeøre or, voror divisioslorite ører til de korrekte divisioslii, så det udlder oreløit eviset, e ter det op ie, år vi ser på poloiers divisio, der på e åder ider o divisio ed ele tl. Vi eærker i øvrit, t divisiosliie k opskrives, selv o divisor er større ed dividede. I dette tilælde liver kvotiete eli, o reste li ed dividede. F.eks. 7 divideret ed k skrives: Poloiers divisio. Vi orulerer u e sæti o poloiers divisio: For to eetlie poloier P o D rd p o d, er det ltid ulit t estee to poloier Q o R rd q o r, således t der ælder divisiosliie or poloier P QD R, vor r < d ltså således t rde reste R er idre ed rde divisor D. M veder de se eteelser divided, divisor, kvotiet o rest so or ele tl. Hvis R ulpoloiet, sies divisioe t å op, o sier d t P er delelit ed D. For overskueliedes skld, vil vi eeøre divisioslorite ed et eksepel, e uderstree, t de k eeøres or vilkårlie poloier. So eksepel væler vi

43 Poloier 39 P o D 3 - Vi lver d e opstilli, so ved divisioslorite or ele tl. Alorite er orklret edeor. Q Q Q Q D R P - Q D Q D R R - Q D Q 3 D R 3 R - Q 3 D Vi eærker, t vi r stdset, år rde reste R 3, er idre ed reste divisor. For t lære t udøre lorite, k i ørste o se ort r de tiløjelser, so er skrevet til øjre or divisiosskeet. M dividerer u øjesterdsleddet i divisor op i øjesterdsleddet i dividede divideret ed er 3. Dee kvotiet kldes Q. Q ultipliceres d ed divisor, o resulttet skrives uder dividede. Q D , so sutreres r dividede. Herved ås reste R Beærk t øjesterdsleddet 6 4 år ud ved sutrktioe, så R er idst e rd lvere ed dividede P. M eter u elt de se procedure, lot ed R i stedet or P. Q : -. Således ortsættes, idtil år e rest, so r lvere rd ed divisor. Det er tilstrækkelit, t k eeøre divisioslorite or poloier, e er vil vi u odtøre evise, t divisiosliie P QD R ktisk er opldt, vis vi væler

44 4 Poloier Q Q Q Q o R R 3 A opstillie oveor reår: R P - Q D R R - Q D R 3 R - Q 3 D P Q D R R Q D R R Q 3 D R 3 Idsætter u i liiere til øjre udtrkket or R i de de lii o deræst udtrkket or R i de ørste lii ider : P Q D Q D Q 3 D R 3 P Q Q Q 3 D R 3 Idsættes eri Q Q Q Q 3 o R R 3 ider divisiosliie P QD R, vor r < d D divisioslorite k eeøres ed vilkårlie poloier, o d de ltid k ortsættes idtil rde reste er idre ed rde divisor, er sætie evist. 3. Øvelse. Geeør poloiers divisio ed ølede poloier: : : 3-3 c : - 3 d : Poloiers rødder. Et tl α sies t være rod i poloiet P, vis Pα ltså vis liie P r e løsi α. Et ørsterdspoloiu r etop é rod, idet det P øler P - /

45 Poloier 4 So ekedt r et.rdspoloiu øjst rødder. Røddere ides på sædvli vis ved t løse e.rdslii. Der ides e løsisorel or 3.rdsliier, e løsisorle er ret kopliceret o ivolverer såkldte koplekse tl. For liier rd øjere ed 4 ides der ie løsisorler. Det etder iidlertid ikke, t ltid er skåret r t løse såde liier. Dette vil de ølede sætier else. 4. Sæti: α er rod i P vis o ku vis P er delelit ed -α Bevis: Iøle vores sæti o poloiers divisio, k vi dividere P ed - α, vd ete α er rod i P eller ej. Divisiosliie liver: P Q - α R Reste R å være e kostt, idet restpoloiet er e rd lvere evetuelt ulpoloiet ed - α, so r rde. Vi sætter deror R R "Hvis o ku vis..." etder, t de to uds er esetdede, o sætie deror skl vises ee veje. Vi viser ørst " " Pα Qαα - α R R R, så P er delelit ed - α. Vi viser deræst " " o ter ltså t P er delelit ed - α. Hvis dette er tilældet er reste R, så der ælder liie P Q - α Ved t idsætte α, ses uiddelrt t Pα Qαα - α, så α er rod i P. Sætie k ldt det vedes til t estee stlie rødder i et poloiu rd større ed. Dette vil vi vede tile til. Vi er u i std til t evise sætie: 4. Sæti: Et poloiu 'te rd r øjst rødder. Bevis: Ld P være et poloiu 'te rd. Hvis P r rode α er P delelit ed - α P - α Q Q er d et poloiu rd -. Hvis Q r rode α er Q delelit ed - α Q - α Q Idsættes dette i udtrkket or P, år P - α - α Q

46 4 Poloier Her er Q et poloiu rd -. På dee åde ortsætter idtil ete Q-poloiet er rd o deror ikke r oe rødder eller, t eter t ve udet p-rødder, år et poloiu Q p, so ikke r oe rødder. P - α - α... - α p- - α p Q p Q p er et poloiu rd - p >, so iøle telse ikke r oe rødder. Det er u et t idse, t lle tllee α, α,..., α p-, α p er rødder i P. Hvis idsætter et disse tl i øjreside udtrkket or P, vil etop e ktorere være ul. Ovedt k idse, t P ikke k ve dre rødder, idet idsætter eli et tl α so er orskellit r α, α,..., α p-, α p, ider : Pα α - α α - α... α - α p- α - α p Q p α Alle ktorere er orskellie r ul, d α vr tet orskelli r lle røddere o Q p α, d Q p iøle telse ikke vde oe rødder. P r deror etop røddere α, α,..., α p-, α p o ie dre. D - p > p <. At er tllet rødder p er idre ed poloiets rd, øler det, t et poloiu 'te rd øjst r rødder. So e kosekves dee sæti øler uiddelrt: 4.3 Sæti: Nulpoloiet er ikke et eetlit poloiu. Nulpoloiet r eli uedeli e rødder, o k deror ikke være restilles ved et poloiu rd. 4.4 Sæti: Idetitetssætie or poloier To poloier er idetiske uktioer, vis o ku vis de r lle koeicieter es. Dee sidste sæti k ses overlødi, e de er ktisk viti. M kue eli orestille si t se uktio kue restilles ved et poloiu på lere orskellie åder. Vi ter deror t et poloiu k restilles på to åder: P o o Ved t ltte leddee på øjre side over på de vestre, o sle leddee ed es poteser, ider så. Hvis, r vi tet t > o - o

47 Poloier 43 D dette poloiu restiller ulpoloiet er lle koeicieter. Nulpoloiet er ikke et eetlit poloiu. Der å således ælde:, -, -, - - -, -, o - o Hvor øler, t stlie koeicieter er idetiske, vored sætie er evist. 5. Besteelse røddere i et poloiu rd større ed Der ides ie orler til esteelse røddere i et poloiu rd større ed 4. Udledie orle or røddere i et 3.rds poloiu er lt over siepesu. Vi skl deriod vise, t vis k "ætte" - rødder i et 'te rds poloiu, k estee stlie rødder. Vi illustrerer dette ved et pr eksepler. 5. Eksepel. Løs liie Vi vil o et øjelik ive e etode til "kvliiceret" rodæt, e oreløi vil vi ætte på,, ½,..?. Vi ider P ; P ; P ! er ltså rod i poloiet. Me så er poloiet delelit ed - iøle sæti 4.. Poloiers divisio iver: Poloiet k d skrives divisiosliie: Idet.rdsliie ikke r løsier. P v Kvliiceret rodæt. For poloier ed eltllie koeicieter, ides der et pr ttie reler, so vi ører edeor. 6. Sæti: Hvis p er e eltlli rod i et poloiu P o ed eltllie koeicieter, så år p op i. Bevis: Hvis p er rod ælder: Pp p - p -... p o

48 44 Poloier Ved t sætte p udeor e pretes i de ørste led o ltte o over på de de side ås: p p - - p o På øjre side står et elt tl o på vestreside står produktet det ele tl p o et elt tl. Her slutter vi t p år op i o. Hvis vil udersøe o et poloiu ed eltllie koeicieter r eltllie rødder, k ltså idskræke si til t udersøe de eltl, so år op i kosttleddet. 6. Eksepel Vi vil løse liie Hvis poloiet r eltllie rødder, skl de søes ldt divisorere i 9, so er ±, ±3, ±9 Ved idsæti ses t er rod. Ved divisio ed - ås: Iøle divisiosliie er O de opridelii er deror iøle ulrele esetdede ed Røddere i.rdsliie er udet på sædvli vis eller ved rodæt o Sætie o eltllie rødder i et poloiu k skærpes til: 6.3 Sæti: Hvis q p er rod i et poloiu, P ed eltllie koeicieter, o vor q p er e uorkorteli røk, så år p op i o q år op i Beviset or dee sæti orløer eter elt de se retisliier, so eviset or de siplere sæti, ortset r e ekelt tlteoretisk detlje. p er rod i q p q... p q p q... Vi er iee ed q

49 Poloier 45 p p q... pq q Vi ltter p ude or e pretes på vestre side p p p q... q q På øjre side står et elt tl, so på vestre side er skrevet so p e et elt tl. Altså å p å op i øjreside q. Idet p/q er tet uorkorteli, er p o q idrdes priiske. Her slutter vi, t p å å op i. Beolder vi i stedet p på vestreside o ltter de øvrie led over på øjreside o sætter de ælles ktor q ude or e pretes, ider. p p q... pq q p q p... pq q På se åde so ør, k vi se, t op i er skrevet, so et produkt q o et elt tl. Altså år q p p. D p o q er idrdes priiske, år q op i, vored ee sæties dele er evist. 6.4 Eksepel. Vi vil løse liie: Vi ætter på rtiole rødder ore p/q. Iøle sætie oveor, skl der ælde p ±, ± 3 o q ±, ± o deror: p/q ±, ± /, ± 3, ± 3/. Ie etive tl k være rod i liie, or idsættes et etivt tl liver lle led etive. er ikke rod, e vi ider P½ ½ 3 - ½ ½ - 3, så ½ er rod. Ved poloiers divisio: Løsie til liie er således: -½ d 5-3 5± 3/ Beærk, t sætie o rtiole rødder i et poloiu ed eltllie koeicieter ikke udsier oet o, vorvidt såde rødder ides, e vis der ides rtiole rødder, så ælder sætie. Sætie k i øvrit udvides til t ælde or lle poloier ed rtiole koeicieter, idet koeicietere k øres eltllie ved t ultiplicere ed ællesævere or de røker, der udør koeicietere.

50 46 Asptoter Kp 5. Asptoter. Asptoter til rer or e uktio E sptote er ltid e ret liie, so uktioe "i e eller de ræse" tilærer si til. M deler sptoter op i 3 tilælde: Lodrette sptoter, vdrette sptoter o skrå sptoter. E vdret sptote r liie. Vdrette o skrå sptoter orekoer ku or eller -. Hvis der o e uktio ælder, t orskelle elle o, år iod ul or åede od uedeli eller ius uedeli, så r e vdret sptote: Opskrevet ere orelt, så skl der ælde, år r e vdret sptote or. - or eller - Tilsvrede sier, t r e skrå sptote or, vis. - or eller - Beærk, t det er orskelle elle o e lieær uktio, der skl å iod ul. Der iver ikke ei t sie t to uktioer ærer si til ide, vis de ee år iod uedeli eller ius uedeli. E lodret sptote, k ku orekoe i et pukt, vor ikke er deieret. Dette skrives.3 or eller or - eller - or eller - or - So eksepel, skl vi se på re or uktioe ; Vist edeor So det ses re, "ser" re or si op d liie. Edvidere "ser" re si or store o så, si ls ed liie. Dette vil udtrkke eter t ve ørt evis or det. Gre or r e lodret sptote ed lii. Gre or r e vdret sptote ed lii or eller - Der ides to udetle reler, år vi skl ide ræseværdier or e røk.3 Hvis eller - o er eræset år verke od uedeli eller ius uedeli, så år røke od..4 Hvis, o ikke år iod, så år røke od uedeli eller ius uedeli..

51 Asptoter 47 Ved t vede disse to reler, k vi se t: or r øjre or r vestre Hvor vi slutter, t re or r e lodret sptote ed lii. For de vdrette sptote lver vi opskrivie, idet vi dividerer ed i tæller o æver or ± Hvor vi slutter, t r e vdret sptote ed lii or ± Vi vil u se på et eksepel på e uktio, der r e lodret o e skrå sptote.

52 48 Asptoter Oveor er vist re or uktioe 4 ; 8 Tællere er or -4 li ed 6, så -4 er ikke et ulpukt or tællere. Her øler det: 4 8 or 4 8 or Hvor vi slutter, t re or r e lodret sptote ed lii - 4. Gre idikerer, t uktioe oså r e skrå sptote. For t estee dee, oreter vi poloius divisio. Vi viser ikke udreie, e vi år kvotiete ½ - o reste 6. Føleli er: Vi lver dereter de siple oskrivi:

53 Asptoter 49 ± or 8 6 Forskelle elle o de lieære uktio år iod or åede od plus eller ius uedeli, vilket vi slutter: Gre or r e skrå sptote ± or. Poloier o poloiusrøker or ± Vi vil ørst vise, t et poloiu rd > vil å iod eller - ku æit orteet or øjesterdsleddet. Ld... ed Hvis vi sætter ude or e pretes, år vi ølede oskrivi;.... ed Hvis ±, vil orteet or det der står ide i pretese være det se, so orteet or, idet lle de øvrie led vil å iod ul. Poloiet vil deror "opøre si so" or ±. Vi ser d på e poloiusrøk, vor rde tællere er større e rde ævere ed Vi dividerer d i tæller o æver ed. Hered år vi. ed > Nævere vil å iod or ±, o tællere vil "opøre si so" or ±. Hvis specielt tælleres rd er e større es æveres rd, vil poloiusrøke opøre si so et ørsterdspoloiu e lieær uktio, vilket etder, t poloiusrøke vil ve e skrå sptote. Det vr etop det, so vr tilældet ed det det de idledede eksepler. Hvis æveres rd er li ed tællerees rd, ltså vis, er poloiusrøke:

54 5 Asptoter Vi dividerer røke i tæller o æver ed o år: ± or år ltså iod e kostt, vilket etder, t r e vdret sptote.3 ± or Hvis æveres rd er større ed tælleres rd, ltså vis >, oreter vi de se oskrivi so i. ed < Når < er lle ekspoetere etive i udtrkket oveor. Dette etder ie t lle leddee vil å iod or ±. Vi slutter deror. Hvis æveres rd er større ed tælleres rd >, r poloiusrøke e vdret sptote or ±. Dette vr etop tilældet i det ørste de idledede eksepler.

55 Nuerisk løsi liier 5 Kp 6. Nuerisk løsi. liier Der er e liier, der ikke r e ltisk løsi. Hvilket er det se so, t der ikke ides e løsisorel. Liier rd >, k pricipielt løses, e der er ie kedt løsisorel or liier rd > 4. I siet lærer so ekedt ku løsisorler or ørsterdsliier o derdsliier. I tetikke tler o trcedete tl. Hvilket etder tl, so ikke er rod i et poloiu ed eltllie eller rtiole koeicieter. So eksepler på trcedete tl er π o e, voriod.eks. 3 er et irrtiolt tl dvs. ikke e røk, e ikke et trcedet tl, idet 3 er rod i poloiet -3. Trcedete uktioer er.eks. si, cos, t, l o e. E rtioel uktio er et poloiu eller e poloiusrøk ed eltllie eller rtiole koeicieter. Til liier, der pricipielt ikke k løses ltisk ører de trcedete liier. Hvilket vil sie liier, der åde ideolder e rtiol uktio o e trcedet uktio.. Eksepel E sipel trcedet lii kue.eks. være e. De leste odere rreere, r e etode til t løse såde liier, o vis orsøer ider,46. Bisektio Bisektio, etder t lvere, o det er oså etode til uerisk ulpuktsesteelse. Ld os te t r e kotiuert uktio i et itervl [, ] o der ælder <, således t o r orskellit orte. Så å i idst et pukt elle o. Vi ter t < M udreer u uktiosværdie i idtpuktet [, ] ½. Hvis, r udet ulpuktet ellers, vis > lier der et ulpukt i itervllet [, ] ellers lier der et ulpukt i itervllet [, ]. Hereter eter processe ed det e itervl, o såd ortsætter, idtil r lokliseret ulpuktet tilstrækkelit øjtit. Eter lverier itertioer, er ulpuktet estet ed e øjtied på -/. Bisektio er let t vede på e coputer, e er reltiv lso, t vede uelt.. Reule lsi Forudsætiere er de se so or isektio, e idee er de t tilærer uktioe ed e lieær uktio i itervllet [, ] o esteer de lieære uktios skærispukt ed. kse. De lieære uktio, so år ee, o, er I dee lii sætter vi o ider ørste tilærelse til skærispuktet:

56 5 Nuerisk løsi liier På se åde so ør, vis, r udet ulpuktet ellers, vis > lier der et ulpukt i itervllet [, ] ellers lier der et ulpukt i itervllet [, ]. Her eter eter processe ed det e itervl, o såd ortsætter, idtil r lokliseret ulpuktet tilstrækkelit øjtit. Reule lsi kovererer lt urtiere e isektio, o dee etode vedes e coputere o rreere. M stdser i rele, år r udet to værdier, vis std er idre ed de øskede øjtied..3 Newto Rpsos etode Dee etode er eet elet, e kræver kedsk til uktioes dieretilkvotiet. De kræver ikke, t keder uktioe i to værdier, vor <, e de kræver t r et æt, der ikke lier "lt or lt r" ulpuktet. Idee er sipel. M tilærer uktioe ed det pproierede. rds poloiu tetliie, o ider ulpuktet or dee so e tilærelse til ulpuktet or. M iver e tilvækst, o esteer, således t rer ulpuktet i dee pproitio ' ' M sætter så. Hvis, er ulpuktet udet, eller eter ' processe or t estee et. M sætter så ' ' ', o såd ortsættes, idtil r opået e tilstrækkeli øjtied. Newto Rpsos etode kovererer urtit, år lot er i ærede ulpuktet, o ' er orskelli r i. Eller ikke koer i ærede et ulpukt or '. I dette tilælde k live klet edo eet lt væk r ulpuktet.

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Geometrisk Optik. Teori og forsøg

Geometrisk Optik. Teori og forsøg Geometrik Optik Teori og orøg Køge Gmaium 004-005 Ole Witt-Hae Idold Kap. Geometrik Optik.... Strålegage i toer.... relekio i et plat pejl... 3. elekio i et kokavt ulpejl... 4. elekio i et kovekt ulpejl...6

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Transportarmerede betonelementvægge Før og nu

Transportarmerede betonelementvægge Før og nu Bjarne Cr. Jensen Side 1 Transportarerede betoneleentvægge Før og nu Bjarne Cr. Jensen 13. august 007 Bjarne Cr. Jensen Side Introduktion Betoneleentoreningen ar de senere år stået bag udviklingsarbejder

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Ds ese Uestet Sde sde Stlg pøe pøe, /, / og 3/, Kusus ys Kusus. //4 Vghed: 4 te lle hjælpedle: Ige hjælpedle "Vægtg": Beselse bedøes so e helhed. Alle s sl begudes ed de det e get. Alle elleegge sl eges.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ Graisk Desin OPGAVEN Je skulle lave en plakat som projektplan over Randerup branddam. Dammen skulle nemli laves om til et hyelit adekær. Der var tenet en skitse over runden, med noter til hvad der skulle

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Fedtstoffer. Kemi B - Dansk A. Navne: Ugur Kitir, Devran Kucukyildiz og Mathias Turac. Vejleder: Anja Bochart og Birgitte Madsen. Skole: HTX Roskilde

Fedtstoffer. Kemi B - Dansk A. Navne: Ugur Kitir, Devran Kucukyildiz og Mathias Turac. Vejleder: Anja Bochart og Birgitte Madsen. Skole: HTX Roskilde Fedtstoffer Kemi B - Dansk A Navne:, Devran Kucukyildiz o Vejleder: Anja Bochart o Biritte Madsen Skole: HTX Roskilde Klasse: 2.4 Dato: 06/05 2009 Indholdsfortenelse 1. Indlednin... 3 1.2 Definition af

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Ledighedsstatistik, maj 2013

Ledighedsstatistik, maj 2013 Ledighedssttistik, mj 3 Fld i kdemikerledighede i mj me reelt tle m e lille stigig Stigede tl lgtidsledige dimitteder Akdemikerledighede er fldet med fr ril til mj g er u å.53 svrede til e ledighedsrcet

Læs mere

Resultat af spørgeskema til Friskolens elever

Resultat af spørgeskema til Friskolens elever Resultat af spøreskema til Friskolens Filskov Friskole & Børnehave Skoleyden 4, 700 Grindsted F o r m å l e t m e d d e n n e u n d e r s ø e l s e e r a t f å v i d e n o m, h v a d I s o m e l e v e

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg.

Læs mere

Ledighedsstatistik, juli 2013

Ledighedsstatistik, juli 2013 Ledighedssttistik, li Stigig i kdemikerledighede i li str stigig i dimittedledighede Akdemikerledighede er steget med fr i til li g er u å.9 svrede til e ledighedsrcet å 4, ct. Stærk stigede dimittedledighed

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

NANO-SCIENCE CENTER KØBENHAVNS UNIVERSITET. Se det usynlige. - øvelsesvejledninger

NANO-SCIENCE CENTER KØBENHAVNS UNIVERSITET. Se det usynlige. - øvelsesvejledninger Se det usynlige - øvelsesvejledninger INDHOLDSFORTEGNELSE OG KOLOFON "Se det usynlige" øvelsesvejledninger Indholdsfortegnelse Undersøg laserlysets interferensønster... 3 Beste tykkelsen af et hår... 7

Læs mere

Trekantsområdets kystlejrpladser

Trekantsområdets kystlejrpladser Gl.Å bo v Selum Stederup Søderskov De østyske forde,, og forde, byder på uikke atur ser lags kyste. Alle e. Favetræspladse Jorde er god, og skove er derfor frodig og varieret. De markerede rute, der går

Læs mere

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard Det srå ast - ed luftodstand Eri Vestergaard Eri Vestergaard www.ateatisider.d Eri Vestergaard, Haderslev 9. Eri Vestergaard www.ateatisider.d 3. Indledning Denne note an danne udgangspunt for et 3g-projet

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

bioteket Om aftenen er Bioteket et iøjenfaldende fyrtårn for Smag på Århus med frisk mynte til din Moijito.

bioteket Om aftenen er Bioteket et iøjenfaldende fyrtårn for Smag på Århus med frisk mynte til din Moijito. bteet I Natue fdes de e le le elle sape æse. I ødet ed eeset blev atue tlpasset dyet sle æe. Bteet fdle dette øde, ed et atets udty de ved hjælp af le le plate æe, sabe et løst dffust u. E vea fe f e æse.

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

Psykosocialt arbejdsmiljø

Psykosocialt arbejdsmiljø ARBEJDSMILJØ I DANMARK 2005 HERMANN BURR Psykosocialt arbejdsmiljø Hvem har indflydelse på sit arbejde, hvem får stillet hvilke krav, o hvordan er de sociale relationer? Både positiv o neativ udviklin

Læs mere

Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad)

Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad) Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad) To r s d a g m o r g e n G d a n s k - sol og vin d fra N o r d. H a v d e aft al t m e d ha v n e k o n t o r e t at bet al e ha v n e p e n g e n e

Læs mere

Diskret møde på Rådhuspladsen i København. Bundfald (Palle Kjærulff-Schmidt, 1956). Framegrab. ASA.

Diskret møde på Rådhuspladsen i København. Bundfald (Palle Kjærulff-Schmidt, 1956). Framegrab. ASA. Diskret møde på Rådhuspladsen i København. Bundfald (Palle Kjærulff-Schmidt, 1956). Framegrab. ASA. Det homoseksuelle København Fra Bundfald og Kispus til i dag A f Niels Henrik Hartvigson 56 S t o r b

Læs mere

Hospitalsstandardiseret Mortalitetsratio (HSMR) Mortalitets audit 50 seneste dødsfald

Hospitalsstandardiseret Mortalitetsratio (HSMR) Mortalitets audit 50 seneste dødsfald Hospitalsstandardiseret Mortalitetsratio (HSMR) Steffen Christensen, MD, Malene Engebjerg Msc Jacob Jacobsen Msc Mette Nørgaard, MD, Phd Pr ogram Få generelle betragtninger HSMR Baggrund for HSMR Styrker

Læs mere

BYG-ERFA tema "Fundamenter, sokler og kælderkonstruktioner" Opstigende grundfugt. Michael Vesterløkke 3. JUNI 2014 BYGERFA

BYG-ERFA tema Fundamenter, sokler og kælderkonstruktioner Opstigende grundfugt. Michael Vesterløkke 3. JUNI 2014 BYGERFA BYG-ERFA tema "Fundamenter, sokler og kælderkonstruktioner" Opstigende grundfugt Michael Vesterløkke 1 Fugtkilder eliminering Kilde: 3. JUNI SBS/GI, 2014 Martin L. B. Schulze 2 Fugtmønster 3 Målemetoder

Læs mere

U LT R A L O W E N E R G Y

U LT R A L O W E N E R G Y U LT R A L O W E N E R G Y WINDOWS R VINDUER FRA ULSTED Nye Low Energy Windows ra ScandiWood A/S Windows Ulsted Low Energy Windows har skabt nye muligheder or arkitekter til at designe passivhuse. Den

Læs mere

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER Brugervejledning RS-216 - AIA kl. 1 RS-224 - AIA kl. 2 RS-232 - AIA kl. 3 Indholdsortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE...2 1. INTRODUKTION...3 1. System oversigt:...3

Læs mere

Bryd frem mit hjertes trang at lindre

Bryd frem mit hjertes trang at lindre Bryd lad frem n mt tet hj for tes hæng Bryd frem mt hjtes trang at lndre trang me at re ln hn dre, dre sol, stol; du ar me synd res dag mn nd gang tl vor nå de Sv.Hv.Nelsen Februar 2005 lad lad den d k

Læs mere

DR mang ler mod til at for - mid le lit te ra tur hi sto rie

DR mang ler mod til at for - mid le lit te ra tur hi sto rie DR mang ler mod til at for - mid le lit te ra tur hi sto rie AF JAN NIE IWAN KOW SØ GAARD 18. ja nu ar 2014 00:01 Dig te ren Mi cha el Strun ge, der om nogen blev sy no nym med 1980 ernes poesi, holdt

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

ENTREPRENØR KARAKTERBOG Side 1/3

ENTREPRENØR KARAKTERBOG Side 1/3 ENTREPRENØR KARAKTERBOG Side 1/3 Virksomheden har i forbindelse med download af dette dokument erklæret, at alle dens evaluerede sager indgår i karakterbogen. Byggeriets Evaluerings Center har registreret

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt:

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt: Kirsten Isager, perspektivkasse 1 Projektopgave nr 2: Geoetri, Perspektivkasse. uet skal være et snydeperspektiv. Først tager vi ålene i det virkelige ålestoksforhold. Forudsætninger: øjet står 2 foran

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

- t elefonint erview s m ed 1.3 0 1. m.v. Decem ber 1999

- t elefonint erview s m ed 1.3 0 1. m.v. Decem ber 1999 Diabetikernes rygevaner - t elefonint erview s m ed 1.3 0 1 diabet ikere om rygevaner, rygest op m.v. Decem ber 1999 DI ABETESFORENI NGEN RAPPORT 7 Filosofgangen 2 4, 50 0 0 Odense C, telf. 66 1 2 9 0

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere