Elementær Matematik. Differentialregning

Transkript

1 Eleetær Mtetik Dieretilrei Ole Witt-Hse Køe Gsiu 8

2 Idold Idold... Kp. Græseværdi o kotiuitet.... Græseværdi.... Rei ed ræseværdier...3. Græseværdier ed uedeli...5. Kotiuitet...5. Sætier o kotiuerte uktioer...6 Kp. Dieretiilitet...8. Dieretilkvotiet o tet...8. Dieretilkvotiet or ole siple uktioer Reereler or dieretitio Iiitesilrei. Dieretiler Historisk ote Dieretitio sest uktio Dieretitio ovedt uktio Dieretilkvotiet or ekspoetil- o potesuktioer Det pproierede. rds poloiu Dieretitio si, cos o t...4 Kp 3. Mootoiorold...7. Mootoe uktioer...7. Loklt iu o loklt iiu or e uktio Middelværdisætie Hovedsæti o dieretilkvotiet o ootoiorold Besteelse ootoioroldee or e dieretiel uktio Kp 4 Poloier Geerelle poloier Divisio ed ele tl Poloiers divisio Poloiers rødder Besteelse røddere i et poloiu rd større ed Kvliiceret rodæt Kp 5. Asptoter Asptoter til rer or e uktio Poloier o poloiusrøker or ±...49 Kp 6. Nuerisk løsi...5. liier...5. Bisektio...5. Reule lsi Newto Rpsos etode...5 Kp 7. Fuktiosudersøelse Udersø o te...53

3

4

5 Græseværdi o kotiuitet Kp. Græseværdi o kotiuitet. Græseværdi Mtetikke k rot set dele op i Aler o Alse. I lse veder oså ler, e tiløjer et væsetlit ere, so kldes ræseværdi. Græseværdiereet er elt ørede or udviklie dieretil- o iterlreie. Det er etop disse to disciplier, der er de est vedte i lle dre videsker, især sik, kei o økooi. Betrter vi uktioe ½ -, så er. Tæker vi os, t vi lder ære si til r øjre ee værdiere, ;, ;, ;, osv. eller r vestre,9 ;,99 ;,999 ;,9999 osv. så vil ikke overrskede ære si til tllet. Hvor lt dette ed k lde, så spejler det e rudlæede eesker ved de reelle tl. De reelle tl lier "uedeli tæt". Der er ikke é "eterøler" til et reelt tl. Melle to orskellie reelle tl, lier der uedeli e reelle tl. Noet tilsvrede k sies o de rtiole tl, e der er llievel e orskel. Dee orskel er ere sutil. For de reelle tl ælder eli, t ræseværdie vis de ides or e øle reelle tl er ltid et reelt tl. Det er deriod reltivt let lve e øle rtiole tl decilrøker, so ærer si til, es so ekedt ikke er et rtioel tl. Vi sier, t ½ -, r ræseværdie or åede od. Dette skrives tetisk:. or Det er lidt isvisede t sie, t k se dette på e r, ordi vi jo etop teer re, så or. Mes ræseværdie k ses elt l, så stiller se si elt derledes, vis uktioe ikke er deieret, der vor vi øsker t estee ræseværdie. Ser vi.eks. på uktioe: si ; Så er ikke deieret or, e deror k odt tle o e evetuel ræseværdi or åede iod. Vi uderstreer, t ikke re k idsætte på ' plds, idet er udeieret, i de orstd, t det k være ræseværdi or lle tl r ius uedeli til uedeli. si Hvis på rreere idsætter tl ær ved i på plus/ius ul, jo tættere er på tllet. Dette k vi skrive solsk. vil ide t jo tættere tllee er si or

6 Græseværdi o kotiuitet Beærk, t e uktio ikke eøver t være deieret i det "pukt", vor vil estee ræseværdie, o det er etop i såde tilælde, t ræseværdiereet k vedes i e ikke triviel seæ. For t e teorie op, er det ødvedit t orulere e præcis deiitio ræseværdi. Til deiitioe, skl vi vede ereet setriske oee. M r i dee oridelse trditio or t etee et lille tl ed de ræske ostver ε eller δ. Tlæde ω : - <ε - ε < < ε etees so e setrisk oe okri. E udprikket oe er e oe, vor r jeret. De k skrives so: ω' : < - < δ Forulerie t r ræseværdie, år år iod er d: Lieldi, vor lille e oe ω væler okri, så k estee e udprikket oe ω' okri, så år lot tilører ω' så tilører oee ω. Når skl orulere tetiske sætier, veder ote to vedier: For etvert ælder: Skrives solsk ed e lkvtor: : Der ides et or vilket det ælder: Skrives solsk ed e eksisteskvtor: : For solet. or vedes ote e ækvivlet skriveåde:.3 li Dette læses so "lies" er li ed, or åede od. Med vedelse lkvtor o eksisteskvtor, k vi u ive e ere kopkt deiitio ræseværdi..4 or ω : ω' : ω' li ω Det sidste læses so øler: For ever oe okri, eksisterer ides der e udprikket oe okri, så år lot tilører de udprikkede oe okri så tilører oee okri.

7 Græseværdi o kotiuitet 3 Der ides e de ækvivlet oruleri deiitio ræseværdi or ε > δ > : < < δ < ε Nedeor er vist 3 eksepler på e uktio, der lle r e ræseværdi i. Beærk især, t uktiosværdie i er ude etdi. Evetuelt er uktioe slet ikke er deieret i. I de ørste iur, er ræseværdie i li ed uktiosværdie. I de de iur er ikke deieret i. r ræseværdie or. I det tredje tilælde er. r ræseværdie or. Nedeor er vist 3 iurer, vor ikke r oe ræseværdi or.. Rei ed ræseværdier Givet t o er deieret i e udprikket oe, o t de er eræsede i e udprikket oe okri. "Beræset" ideærer, t der ides e oe ω, o tl M o K, således: ω < K o < M edvidere, t de to uktioer r e ræseværdi or åede od. Vi vil d vise, t or o or

8 4 Græseværdi o kotiuitet.6 or k k R k.7 or.8 or.9 or. or ælder så Hvis Vi vil ikke evise lle sætiere. Bevisere lier eet ide. Vi eviser ørst.7. Vi skl or et orelt ε estee et δ, således, t δ < ε < < k vurderes so øler: D o r ræseværdiere o, k vi estee et δ, således t: ε < o ε < Her øler < ε ε ε Hvorved sætie er evist. Vi viser deræst.9. Vi skl or et orelt ε estee et δ, således, t δ < ε < < k vurderes so øler: M D o r ræseværdiere o, k vi estee et δ, således t: < < δ ε M < o ε < Her øler M < ε ε ε M M

9 Græseværdi o kotiuitet 5 Hvorved sætie er evist.. Græseværdier ed uedeli Vi vil kort itroducere ølede orulerier o skriveåder, so ote støder på. D etdie disse soler er ret idlsede, øres lot de orelle deiitio. år iod uedeli or åede od or K δ : < < δ > K år iod ius uedeli or åede od - or K δ : < < δ < K år iod or åede od uedeli or ε > K : > K < ε år iod or åede od ius uedeli or - ε > K > : < K < ε. Kotiuitet Lidt løst oruleret, k sie, t kotiuitet e uktio etder t re æer se. E edu ere populær oruleri er, t E uktio er kotiuet, "vis k tee re, ude t løte lte r ppiret" Dette svrer til de tetiske deiitio, vor deierer kotiuitete i et pukt. Ld være deieret i e oe ω okri. Hvis er edepuktet or et itervl, å idskræke si til e øjre oe eller e vestre oe. er kotiueret i or ε > : δ > : < < δ < ε so udtrkker, t skl ve e ræseværdi i o uktiosværdie skl være li ed dee ræseværdi. Nedeor er vist de se 3 uktioer, so vi etrtede i sittet o ræseværdi. De ørste er kotiuert i, De de r e ræseværdi, e de er ikke kotiuert, d de ikke er deieret i. De tredje r oså e ræseværdi i, e de er ikke kotiuert, d ræseværdie i, ikke li ed uktiosværdie.

10 6 Græseværdi o kotiuitet. Sætier o kotiuerte uktioer Der ælder ole vitie sætier o kotiuerte uktioer. Bevisere or disse sætier er iidlertid ret "tekiske", så vi æver lot sætiere ude evis.. For e kotiuert uktio ælder det, t illedæde et itervl er et itervl. Specielt.3 Billedæde or et lukket itervl er et lukket itervl. A de sidste sæti øler æste uiddelrt.4 E kotiuert uktio r i et lukket itervl e størsteværdi o e idsteværdi..5 Hvis e kotiuert uktio r såvel e størsteværdi so e idsteværdi, så ter de lle værdier elle disse størsteværdie o idsteværdie. Nedeor er vist rere or ole uktioer, so illustrerer sætiere. til.5

11 Græseværdi o kotiuitet 7

12 8 Dieretiilitet Kp. Dieretiilitet. Dieretilkvotiet o tet For t orklre dieretiilitet e uktio er, så r vi ru or to ereer, eli, uktiostilvækst or e uktio ud r et pukt : o tet til re or e uktio. Tet r idtil ku været idørt, so cirkeltet. M deierer i lidelied e cirkeltet, so e liie, der ku skærer cirkle i et pukt. E sekt deriod er e liie, der skærer cirkle i to pukter. M k u eerlisere tetereet til t otte lle kurver, o dered oså re or e uktio. Gee det ste pukt, vor øsker t estee tete tees e sekt. Sekte skærer kurve i det ste pukt o i et vrielt pukt. Hvis lder det vrile pukt evæe si e iod det ste pukt, vil sekte dreje okri det ste pukt o i lidelied ve e ræsestilli, år de to pukter lder se til et pukt. Dee ræsestilli vis de ides o er de se, år ærer si r ee sider kldes e tet til kurve i det ste pukt. Se iurere edeor. Vi stiller os u de opve, t estee ældiskoeiciete or tete i et pukt re or e uktio. Ld det ste pukt være P,. Vi iver u e tilvækst, vorved vi år puktet P,. Fuktiostilvækste er, svrede til tilvækste. Liie, der orider P, ed P, er e sekt til re or Hældiskoeiciete or sekte er or lle :. sekt Dee røk kldes or diereskvotiete. Tæker vi os u, t vi lder å iod, vil diereskvotiete til stdied være ældiskoeiciete or sekte.

13 Dieretiilitet 9 Hvis sekte r e ræsestilli år år iod, så er tete dee ræsestilli or sekte. Hældiskoeiciete or tete vil d være ræseværdie or sektes ældiskoeiciet. Der vil d ælde:.3 t et ' li Græseværdie ' vis de eksisterer kldes or dieretilkvotiete i, o de læses " ærke " eller de ledede i. Uæi de eoetriske ortolki tete so ræsestilli or e sekt, deierer u i l lidelied..4 Ld være deieret i e oe. Hvis røke diereskvotiete r e ræseværdi or åede od, sies t være dieretiel i ed dieretilkvotiete li ed dee ræseværdi. ' li Vores pror er u, t estee dieretilkvotiete or lle de uktioer, vi keder, e ørst vil vi se på et ekelt eksepel, vor vi direkte veder deiitioe. Når skl ide dieretilkvotiete or e uktio, deler ote opve i 3 tri, er vet 3-trisrele. Beste uktiostilvækste D diereskvotiete: 3 Fid ræseværdie ' li, vis de eksisterer or..5 Eksepel. Ld ½ - 3. er e prel ed toppukt i,. Vi vil estee e lii til tete til re or i. Vi væler ørst t estee dieretilkvotiete or i et vilkårlit pukt. M veder 3-tris rele ½ ½. ½

14 Dieretiilitet 3. li li ½ A de sidste lii kokluderer vi, t ' -. 3 Vi ider d tetliie or. Hældiskoeiciete er ' -. o. Tetliie liver d 3 5 iøle orle: eller - På iure edeor er re or o liie teet. M ser, t det er e tet i 3 o - Liie or liie ee puktet,, o so r ældiskoeiciete er so ekedt: Tete ee,, o so r ældiskoeiciete ', er deror:..6 ' ' Før vi år i ed t estee dieretilkvotieter or orskellie uktioer, viser vi ølede ikke særli overrskede sæti:.5 Hvis er dieretiel i, så er oså kotiuert i. At er kotiuert i, k vi udtrkke or Vi sætter or or or At er dieretiel i, k vi udtrkke: ' or Her øler:

15 Dieretiilitet ' or or so viser kotiuitete i. Dieretilkvotiet or ole siple uktioer Vi vil vise t uktioe k kostt er dieretiel or lle o t '. Vi veder 3-trisrele: k k 3 li Vi vil vise t uktioe er dieretiel or lle o t '. Vi veder 3-trisrele. 3 li Vi vil vise t uktioe er dieretiel or lle o t '. Vi veder 3-trisrele: 3 li Vi vil vise t uktioe ; er dieretiel o t ' Vi veder 3-trisrele: 3 li li Vi vil vise t uktioe ; er dieretiel or > o t Vi veder 3-trisrele: ' Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie diereskvotiete, så vi lver ølede oskrivi, idet vi er ed i tæller o æver, o veder kvdrtsætie - -.

16 Dieretiilitet or ordi er kotiuert! Vi år deror 3 li li 3. Reereler or dieretitio Ld der være ivet, t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ' o t er dieretiel i ed dieretilkvotiete '. Der ælder således: ' or o ' or Vi vil d vise, t er dieretiel i ed 3. ' ' ', er dieretiel i ed 3. ' ' ', Disse to sætier k settes i orulerie: M k dieretiere ledvis. De æste sæti viser, t e ktor sættes udeor ved dieretitio Hvis k R, så er k dieretiel i ed 3.3 k ' k ', M k deriod ikke dieretiere "produktvis" eller "kvotietvis". Der ælder deriod: er dieretiel i ed 3.4 ' ' ',

17 Dieretiilitet 3 Hvis så er dieretiel i ed 3.5 ' ' ', I evisere or disse sætier, år det ud på t oskrive dieres-kvotiete, så vi k udtte, t ' or o ' or Bevis or dieretiilite ' ' li li li Ved eviset r vi vedt t ræseværdie e su er li ed sue ræseværdiere. Beviset or - orløer elt lot. Bevis or dieretiilite k ved jælp tretrisrele. k k k k k k k 3 ' li li k k Bevis or dieretiilite ved jælp tretrisrele. Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie, vis vi veder dette udtrk, så vi lver e oskrivi, idet vi dderer o sutrerer størrelse

18 4 Dieretiilitet 3 li li li ' ' li Vi r ved ræseovere vedt reerelere or ræseværdier, st t or Hvilket øler, t er kotiuert i, ordi er tet dieretiel i. Her ås reerele or dieretitio et produkt to uktioer ' ' ' Bevis or dieretiilite. Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie, vis vi veder dette udtrk, så vi sætter på e ælles røkstre, o sutrerer o dderer størrelse 3 li li li li ' ' ',

19 Dieretiilitet 5 Vi r ved ræseovere vedt reerelere or ræseværdier, st t or, vilket øler t er kotiuert i, ordi er tet dieretiel i. 3.6 Eksepel. Vi vil vede reerelere til t ide dieretilkvotiete or uktioe ½ - 3, so vi så på i eksepel.5, vor vi estete de ud r tretrisrele. Vi dieretierer ledvis o sætter kosttere udeor ved dieretitio. ' Hvilket er det se resultt, so vi tidliere dt direkte. 3.7 Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete or uktioe ; >. Iøle reerele ' ' ' ed ' o ' år : ' Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete or uktioe ; >. Iøle reerele Med ' ' ' ' o ' 3 ' 3.9 Eksepel. Vi vil vise, t dieretilkvotiete ; N, er '. Diressio Vi ør dette ved et såkldt iduktiosevis. Ld os te t er e orel, der æer. Det kue.eks. være sue lle ele positive tle r til. 3. Vi påstår, t.. Det ses uiddelrt, t orel er riti or, idet.. Vi ter u, t orle er riti or p, o vis vi uder dee telse k vise t orle oså er riti or p, slutter vi, 3. t de er riti or lle. Hvis orle eli er ldi or, r vi evist, t de oså er ldi or, o vis de er ldi or, så er de oså ldi or 3, osv. I det kokrete tilælde er et eet let t evise..

20 6 Dieretiilitet Vi veder u tile til dieretitio ; N. Forle er riti or, idet vi r vist t ' - o vi ter, t der ælder '. Vi dieretierer u eter produktrele. ' ' D orle er riti or, k vi slutte, t de er riti or 3.osv. Med dee orel er vi i std til t dieretiere et vilkårlit poloiu,.eks ' Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete ; ; N. Vi veder røkrele ' ; ; N ' Beærk, t det er de se reereel, so vi vde or ; N 4. Iiitesilrei. Dieretiler 4. Historisk ote Historisk set er dieretilreie udviklet prllelt Newto o Leiitz. A dee rud ides der stdi to orskellie åder t etee dieretilkvotiete på. Skriveåde ' skldes Newto, idet do est vedte skriveåde s& t or dieretilkvotiet st ed es til tide. Læses s-pukt. Dee ottio vedes stdi ldt sikere. Fr Leiitz ster eteelse iiitesilrei, so er sot ed "dieretil" o "iterlrei". d So erudet edeor eteede Leiitz ' ed solet, vor d o d etees so d dieretiler eoldsvis o. På dee åde liver dieretilkvotiete skrevet so e kvotiet elle to dieretiler. Hvis vi i diereskvotiete skriver i stedet or vilket ktisk er ere turlit, k ed dee ottio opskrive to idetiske deiitioer på dieretilkvotiet. ' li d li d

21 Dieretiilitet 7 d Beteelse r ltid været proletisk i itroducerede kurser i dieretilrei. Nole d øer væler t sie, t det er ét sol or ', der ikke k skilles d. For dereter llievel, t skille solet d, år koer til iterlreie. d Hvis deriod optter solet, so e kvotiet elle d o d, så liver ødt til t d orklre, vorledes d o d skl opttes. Proleet lier i, t ved dieretitio, ser på ræseværdie oroldet elle uktiostilvækste - o tilvækste, so vi or korteds skld r kldt, år år iod ul. Altså ræseværdie or /, år o dered år iod. I ræse er såvel so li ed ul, o Leiitz, so er ee dieretilreies ædre, idørte eteelsere d o d or ræseværdiere o. d o d lev eteet so iiitesile, dvs. uedeli så tilvækster, svrede til de edelie tilvækster o. Græseværdiere o d o d er ee ul, e llievel reer ed de, so o de vr edelie størrelser. Leiitz reede selv uekret ed iiitesile størrelser, o det jorde tetikere i c. år eter, e odere tetikere r ikke været så eejstrede or t ree ed de lere rude. For eksepel ideærer det, t er o dividerer ed størrelser, der ktisk er ul, so o de vr edelie. Reerelere or iiitesile størrelser er do oså lidt derledes, ed rei ed reelle tl. Hvis der.eks. står d d så er det li ed d, ordi d er øjere orde! M k iidlertid vise, t rei ed iiitesile størrelser koer ud på det se, so t ree ed edelie tilvækster, år til slut dividerer ed o ter ræseværdie or åede iod d. So st så der odere tetikere ikke rei ed iiitesile størrelser, e llievel r evret solere d o d. I de leste dre turvidesker, især i sik, reer uldstædi uekret ed iiitesile størrelser. Det er ordi det er lt urtiere o lettere ed de tuere, e ekskte ræseover. 4.. Eksepler r tetikke. Vi vil estee dieretilkvotiete 3 ved iiitesilrei. Vi udreer deror d d d d d 3 d 3d d 3 d 3 d Vi r i udtrkket oveor st lle "øjere ordes led" i d li ed ul. Resulttet er, so ser korrekt. 4.. Eksepler r sikke. Hvis s st eteer positioe på e kse o t eteer tide. K estee stiede okri tidspuktet t, s s t t s t ds so v vor uiddelrt slutter, ved t lde t v s' t. t t dt v dv Helt tilsvrede k or ccelertioe deiitioe slutte t t dt

22 8 Dieretiilitet M deierer i tetikke dieretilet d e uktio, so dieretilkvotiete e d. 4. d ' d Dette er e deiitio d, e vd er d? Her vier eleetære læreøer e del. I e tetik o, k ikke skrive t det er e iiitesil størrelse, so ør det i sik o lle dre turvideskeli seæe. Tricket k d være, t ider d or uktioe. Så ider : d d d, o d d d d, iøle deiitioe. Altså d d, er et sol, der er ivet ved si ee deiitioslii. Mtetisk set er dette elt kosistet, e eresæssit skl ok tæke på e iiitesil størrelse, år skriver d. Fordele ved t vede dieretiler er de, t e el del sætier liver idlsede, år veder dieretiler. Sætier, der ellers kræver et læere o ikke ltid ukopliceret evis. 5. Dieretitio sest uktio Ld der været ivet uktioere o z, således t V D. M k så de de sestte uktio 5. o 5. Sæti. At u t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ', t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ' '. Vi vil d vise, t o er dieretiel i ed dieretilkvotiete o ' ' ' ' ' Ved rei ed dieretiler er sætie eet let t "evise". Der ælder eli: o ered 5.3 d ' d dz ' d dz ' ' d dz d o ' ' ' ' ' dz d dz d d d Dieretitiosrele 5.3 kldes ote or kæderele, idet vi lot r idskudt d i tæller o æver. Rele udsier, t dieretierer o ved ørst t dieretiere ed es til, o dereter dieretiere ed es til. 5.5 Eksepel. 5 Vi vil ide dieretilkvotiete 3 7. Fuktioe er sest 5 o 3-7. Vi ider deror: ' ''

23 Dieretiilitet 9 Meet urtit older op ed t idøre e jælpevriel, e dieretiere ed es til et uktiosudtrk, so o det vr e vriel. Dette er søt vist i det æste eksepel 5.6 Eksepel Vi vil estee dieretilkvotiete Fuktioe er sest o 4 6. M dieretierer "uder". De ørste uktio er kvdrtrodsutioe. De dieretierer "ed es til det der står uder kvdrtrode", so o det vr e ekelt vriel. Deræst er ed dieretilkvotiete et so står uder kvdrtrodsteet. ' Eksepel M koer ote ud or uktioer, der er sest ere ed to uktioer. Reele er iidlertid de se, dieretierer uktioere "uder" o er dieretilkvotietere se idtil år til. Vi vil estee dieretilkvotiete Fuktioe er sest, 3 o. 3. I dee rækkeøle, ed dieretilkvotieter:, 3 o. Vi år deror dieretilkvotiete: ' 3 6 Vi vil u ive et tetiske korrekt evis or kæderele. Beteelsere er de se, so i strte dette sit. For t lve et evis, er det ødvedit t ive deiitioe dieretiilitet e lidt de oruleri. Hertil r vi ru or et t ere, kldet e epsilo-uktio. E epsilo-uktio skrives: ε eller ε er e uktio, der er deieret i e udprikket oe okri o so r ræseværdie i. Der ælder ltså: 5.8 ε or Ever uktio, so r dee eesk kldes e epsilo uktio. Vi k d oskrive lidt på deiitioe dieretiilitet. ' or ' or

24 Dieretiilitet e eplilouktio er ' ε 5.9 ' ' ' ε ε ε Vi viser u diretiilitete o på sædvli vis ved ørst t udree uktiostilvækste z. z o o o Dette idsættes i udtrkket or z. D er tet dieretiel i, k z skrives, ved vedelse e ε-uktio. z ' ε Hereter ider ed divisio ed. ' ' ' ' ' ' or z ε Vi r er vedt, t or, ordi er kotiuert i, de er dieretiel i. Dette viser t ' ' li z 6. Dieretitio ovedt uktio Lieso der ælder e reereel or dieretitio sest uktio, ælder der e reel or dieretitio ovedt uktio. Vi ider o, t vis er e ijektiv uktio r de e ovedt uktio reeorskrit, so etees -., o vor der ælder ølede: 6. - eller ved t otte o - o - r se riske illede., er jo det se pukt, d de to liier e esetdede, es rere or o - reår ide ved spejli i liie. Ved dee spejli, vil, etop live ildet i,. Det er deror ikke særli overrskede, t vis er dieretiel i o o ' o, så vil - være dieretiel i det tilsvrede. D dieretilkvotiete o er ældiskoeiciete or tete, o d dee ældiskoeiciet k erees ud r to pukter so - / -, så å kue ide ældisko-

25 Dieretiilitet eiciete or spejlie dee tet i, so å være tete til - i ved t tte o på o. Dette er søt illustreret på iure edeor. Ud r e eoetrisk etrti, urde der så ælde: - - / - / o. Dette vil vi u evise, idet vi viser sætie: Ld være e ijektiv uktio, so er dieretiel i ed. De ovedte uktio - er d dieretiel i ed: 6.3 ' vor ' vilket ske riti ser lidt idviklet ud. Ved vedelse rei ed dieretiler er sætie æste triviel, idet d d ' o d ' d d ' vor d d d ' Bevis: Vi ider o r sittet o dieretitio sest uktio, t er dieretiel i - ε vor ε er e epsilouktio, dvs. ε or.

26 Dieretiilitet Vi vil u skrive i stedet or. er det se so. Liie liver d er dieretiel i ε ' li For de ovedte uktio - vil tilsvrede ælde vis de er dieretiel i.:. ' li vor Vi vil d evise, vis vi ter. Vi der diereskvotiete or - ud r puktet. ' ' ε ε eller ved t orkorte røke ed Vi eærker or det ørste, t ævere ikke k live ul or tilstrækkelie så, det iøle telse o ε or. Edvidere ælder det, t or, d - er kotiuert. De ovedte uktio til e kotiuert uktio er kotiuert. Vi ider deror. li li o dered ' ' ε ' ' vor Hvored sætie er evist. 6.4 Eksepel Vi vil u vede sætie på uktioe: l, so r de ovedte uktio e. I iterlreie viser, t l er e stuktio til, vilket etder, t 6. l' ; > Vi skl vede dette resultt, år vi skl ide dieretilkvotiete - e, o vor l /, o old så st! e, so er de ovedte uktio til l. ' e o ered e ' e eller e ' ' Fuktioe e r de elt specielle eesk, t de er si ee dieretilkvotiet. Det er de eeste uktio, so r dee eesk. 6.5 Øvelser:. Fid de ovedte uktio til or >. Fid deræst dieretilkvotiete til dee uktio.. t er ooto i itervllet ]-π/, π/[, o de r deror e ovedt uktio i dette itervl, so kldes or e

27 Dieretiilitet 3 rct. Vis t rct 3. si er ooto i itervllet ]-π/, π/[, o de r deror e ovedt uktio i dette itervl, so kldes or rcsi. Vis t rcsi 6. Dieretilkvotiet or ekspoetil- o potesuktioer E ekspoetilutio 6.6 ' l Dette øler oskrivie er dieretiel or lle ed e l ' e l l l E potesutio vor > er dieretiel or lle ed 6.7 ' Dette øler oskrivie e l ' e l Beærk især, t rele or dieretitio e potesukto er de se, so vi tidliere udledte or eltllie ekspoeter. 7. Det pproierede. rds poloiu Dee lidt oruroliede oruleri, er iidlertid lot over e de åde t orulere tetliie på. Udspuktet er iidlertid lidt derledes. Vi eridrer r sit 5. o, vorledes k orulerer dieretiilitete e uktio ved jælp e epsilo uktio. er dieretiel i <> ' ε Hvor ε er e epsilo uktio: ε or. Hvis er "lille" er ε "lille" øjere orde, o k i de ørste tilærelse til t eree vede udtrkket: 7. ' Det er i lidelied dette udtrk eteer so det pproierede. rds poloiu, idet til tilærer pproierer i oee.

28 4 Dieretiilitet Idører iidlertid i udtrkket o -. år tetliie i. 7. ' Tidliere vedte det pproierede. rds poloiu til t eree tilærede uktiosværdier. 7.3 Eksepel Vi øsker t estee e tilæret værdi or 4,, o vi veder 7,. 4, 4, 4 '4,,,5,5 4 Et opsl på e loereer viser, t et øjtit resultt er, Dieretitio si, cos o t si er deieret på ele de reelle kse. Vi vil vise, t si er dieretiel or lle, o t si ' cos For t evise dieretiilitete si er det do ørst ødvedit t vise, t si 8. or Dette vises d eoetrisk vej, idet vi på iure edeor r teet e eedscirkel ed cetru i O, vor vi r st viklere o -, st teet lvteter i de to retispukter P o P. Tetere skærer ide på -kse i puktet Q på rud setrie okri -kse. Hvert stkkere P Q o P Q er li ed t, so det ses ud r de retviklede trekt OP R. For e cirkel ælder det, t perietere or e idskreve polo er idre e cirkles perieter, so ie er idre ed perietere or e oskreve polo.

29 Dieretiilitet 5 Aveder dette på cirkelue r P til P, so r læde, år or < < π uliede: 8. si < < t si < < t si si si si < < < cos < cos si cos < < Hvis - π < <, så er uliede uordret idet si- -si o cos- cos, så si si cos < < cos < < Hvis vi lder å iod ul, vil uliede ælde uder ele ræseovere, idet der do odt k ælde liedste i ræse. licos si li li si li si A de sidste ulied reår t år iod, år år iod. Vi vil u vise t si er dieretiel i. Diereskvotiete er cos si si si cos si Vi r ved de ørste oskrivi vedt de loritiske orel or dditio/sutrktio to u v u v si-uktioer: siu si v cos si. I det sidste led ltter vi ktore ed i ævere so ½. cos si cos si si cos Det sidste udtrk k vi ide ræseværdie, vis vi veder t, si or si på rud, or

30 6 Dieretiilitet si 8.3 li licos li cos cos Hvilket viser, t si er dieretiel or lle o t si ' cos. π Vi k u vise dieretiilitete cos ved oskrivie: cos si si-uktioe so e sest uktio. o dieretiere π π 8.4 cos ' si ' cos si Hvilket viser, t cos er dieretiel or lle o t cos ' - si. Vi k d vise t t er dieretiel i ele si deiitiosæde o t ' t. cos si Vi viser dette ved t vede røkrele or dieretitio på t cos cos cos si si cos si t ' t cos cos cos 8.5 Eksepel Nedeor vises dieretilkvotiete ole uktioer, der er sestte uktioer ed de triooetriske. Vi ter, t eider si i deiitiosæde or uktioe. 3. si ' 3si cos. 3 3 si ' cos 3 3. si ' cos si 4. lcos ' si t cos

31 Mootoiorold 7 Kp 3. Mootoiorold. Mootoe uktioer E uktios ootoiorold drejer si o, vorvidt e uktio er voksede eller tede eller ie delee. Vi ider o ole deiitioer r. Deiitio: E uktio er voksede i et itervl I, vis der or lle, I ælder: < < Deiitio: E uktio er tede i et itervl I, vis der or lle, I ælder: < > Geoetrisk etder dette, t re or evæer si eoldsvis "opd" eller "edd". Edvidere ider vi o ereere iu o iiu, oså kldet størsteværdi o idsteværdi. Miu o iiu or e uktio, skrives o i. Deiitio: sies t være størsteværdi eller iu or e uktio i et itervl I, vis der or lle I ælder: Miiu deieres elt tilsvrede. Ikke lle uktioer r et iu eller iiu, o e uktio k odt ve lere i eller ii ktisk uedeli e. Eksepel: ; R, r iiu, e de r itet iu. / ; > r verke iu eller iiu. er edd eræset, es ikke er eræset. Der ælder iidlertid ølede vitie sæti, so r været otlt i idledie til dieretilreie, e ikke evist. Et tetisk evis ville kræve e præcis tetisk deiitio ereet kotiuitet, so vi ikke r til rådied, så eviset udeldes, e sæties idold er illustreret ed ole eksepler edeor. Sæti: Hvis e uktio er kotiuert i et lukket itervl I [, ], så r såvel e størsteværdi so e idsteværdi i itervllet.

32 8 Mootoiorold De ørste iur oplder etielsereor såvel so i. De de iur r ie størsteværdi, ordi de ikke er overlt kotiuert, o de sidste iur r ie idsteværdi, ordi itervllet ikke er lukket.. Loklt iu o loklt iiu or e uktio Vi skl u deiere ereere loklt iu o loklt iiu. Til dette r vi ru or edu et ere, eli e oe okri et pukt. E oe okri, skrives ω. Deiitio: E oe ω okri er et itervl, so r so idre pukt. dvs. ikke et edepukt. Eksepel: Hvis -, så er itervllere ]-½,-½], ]-3, -,75[ o [-,5, -,5] lle oee okri. Deiitio: E uktio r loklt iu loklt iiu i, vis der ides e oe okri, så er iu iiu i dee oe. Altså, der ides e oe ω,okri, således t ω Bereere loklt. o loklt i. er illustreret edeor. r loklt i. i, 4, 6 o 8. r loklt. i 3, 5, 7. r lolt. i 7. r lolt i. i. Vi vil d vise ølede eet vitie sæti.

33 Mootoiorold 9 Ld være e uktio, der er dieretiel i e oe okri. Hvis r loklt. eller loklt i. i, så er '. Bevis: Vi eviser sætie or loklt i i, eviset or loklt orløer elt lot. Hvis r loklt i, så vil der or pssede så værdier e tilvækst ælde: > < Her ider vi: - Uæit 's orte. Her øler ved divisio ed : or > o or < Bee røker er iidlertid diereskvotiete / or eoldsvis > o <. D er orudst dieretiel i, r disse to røker se ræseværdi or. Det øler iidlertid uliedere oveor, t li o li o ered Hvored sætie er evist. ' li li Sætie r e sipel eoetrisk ortolki, idet ' etder, t re or r e vdret tet i Når ' sies uktioe t ve ekstreu i. Vi r set, t r ekstreu i et loklt. eller loklt i., e det viser si, t der oså er to dre ulieder. A sætie øler, t vi k estee puktere, vor e dieretiel uktio r loklt. eller loklt i. ved t løse liie. ' ed es til Ser vi.eks. på iure side 8 er ikke dieretiel i 4 o 5, så disse ekstreuspukter k ikke estees ved t løse liie '. Til eæld ses, t ', vor der verke er loklt. eller i. I dette tilælde sies t ve e vdret vedetet.

34 3 Mootoiorold Oveståede sæti, k dres i vedelse, år øsker t estee værdiæde or e kotiuert uktio i et lukket itervl. A sætie o. o i. or e kotiuert uktio i et lukket itervl øler eli, t vi ku eøver t udree uktiosværdie i edeståede 3 tper pukter: Edepuktere or itervllet [,]: o. Pukter vor ' :,,... Pukter, vor ikke er dieretiel, e vor odt k ve loklt eller loklt i. Eksepel:. Vi vil estee værdiæde or uktioe - ; [,]. o - ' / - ; ' / - 4 er dieretiel or >, så V [-, 8 ] Ld os te, t r e, o øsker t lve e rektulær idei ed det størst ulie rel. Kldes de ee sidelæde på ideie or, er de de sidelæde -/ -. Arelet A ideie er A - - ; < < A A. A' - ; A' ½ A er overlt dieretiel, så A A½ 4. Hvis skl ide værdiæde i et ået itervl, er situtioe ikke eet orskelli r oveståede, idet så lot skl ide ræseværdie vis de eksisterer i edepuktere or det åe itervl. Der ælder eli sætie:.4 Billedæe et itervl or e kotiuert uktio er et itervl. Vi illustrerer sætie ed et pr eksepler. 3. Vi vil estee værdiæde or e -, vor [, [. Vi dieretierer deror o løser '. ' e e e ' ; 4e ; o or Værdiæde er deror [,4e - ] 3. Middelværdisætie Rolles sæti: Hvis e uktio er kotiuert i det lukkede itervl [,] o dieretiel i det åe ],[ således t, så ides der idst et pukt c, vor 'c.

35 Mootoiorold 3 Oveor er Rolles sæti illustreret ved 3 eksepler. Bevis: D er kotiuert i [,] r åde e størsteværdi o e idsteværdi i itervllet. Hvis åde o i er i edepuktere er de ee, o er kostt li ed i [,]. Her øler, t ' i [,], o sætie er trivielt opldt i dette tilælde. Hvis ikke åde o i er i edepuktere er idst e de i et idre pukt c ],[. Her r iidlertid loklt ekstreu, o iøle e tidliere sæti er 'c, voreter sætie er vist. Rolles sæti er i si selv ikke så iteresst, e de vedes til t evise de eet vitie iddelværdisæti. Middelværdisætie: Ld e uktio være kotiuert i det lukkede itervl [,] o dieretiel i det åe ],[. Der ides d idst et idre pukt c ],[, vor ' c Geoetrisk udtrkker iddelværdisætie, t der ides idst et idre pukt i itervllet [,], vor re or r e tet, so er prllel ed liie der orider edepuktere, o, or re. Dee liies ældiskoeiciet er eli li ed øjre side liie oveor. Bevis:

36 3 Mootoiorold Vi idører e jælpeuktio l, so er de lieære uktio, so orider edepuktere, o, or re. Det er et t opstille et reeudtrk or l, e det er ikke ødvedit or eviset. Der ælder trivielt, t l o l. Vi ser d på uktioe - l. O dee uktio ælder -l o -l. er kotiuert i [,], d åde o l er det. O er dieretiel i ],[, d åde o l er det. oplder således etielsere or Rolles sæti i itervllet [,], o der ides deror idst et c ],[, således t 'c. Vi ider ved dieretitio ' ' - l ' ' 'c ' c ' c vored sætie er evist 4. Hovedsæti o dieretilkvotiet o ootoiorold Ved vedelse iddelværdisætie er vi u i std til t evise e ovedsæti o seæe elle ootoiorold o orteet or dieretilkvotiete or dieretile uktioer. I det ølede vil vi ed I o I etee et itervl o det tilsvrede åe itervl. Hvis I [,] er I ],[ 4. Sæti: Ld e uktio være kotiuert i et itervl I o dieretiel i det tilsvrede åe itervl I. Hvis der or lle I ælder: ' > ' < > voksede i I > tede i I ' > kostt i I Bevis: Vi eviser ku sæties. del.. o 3. del evises elt lot. Ld o være vilkårlie tl i itervllet I, o <. Iøle iddelværdisætie vedt ed o, ides der idst et c ], [, således t: ' c D ' > i I iøle telse, ælder der t 'c >. Uæi elieede o, vil der deror ælde uliede

37 Mootoiorold 33 > A dee ulied k d slutte: - > - > Hvis røke o ævere er positive, så er tællere oså positiv. Eller ved t oskrive lidt: < < vilket er deiitioe på t er voksede, vored sætie er evist. 4. Besteelse ootoioroldee or e dieretiel uktio. Ld være e vilkårli uktio, der er deieret o dieretiel i et itervl, evetuelt på ær et edelit tl pukter, vor de ete ikke er deieret eller ikke dieretiel. For t udersøe ootoioroldee, er det iøle ovedsætie tilstrækkelit t udersøe orteet or '. I prksis øres dette ltid ved t: Udree ' Løse liie: ' Lve e ortesvritio or '. Ld os te t e uktio i et itervl [,] ikke er deieret i 3 o 5, o t ' r løsiere,, 4,o 6. Vi lver d e ortesliie, so vist edeor: ': - - o - o o o > : Ove over ortesliie er skitseret res orlø okri ulpuktere or '. Forteee or ootoitervllere er udet ete ved t etrte uktiosudtrkket or ', eller ved t idsætte e værdi i itervllet o udree '. Vi k d iøle de oreåede sæti slutte, t: er voksede i itervllere [, ], [ 4, 5 [, ] 5, ]. er tede i itervllere [, 3 [ o ] 3, 4 ]. r loklt i o r loklt i i 4. r e vdret vedetet i o i 6.

38 34 Mootoiorold 4. Eksepel Vi vil estee ootoioroldee or uktioe e ; D R. Vi udreer dieretilkvotiete iøle produktrele: ' e e e ' Fortesliie liver deror: ' > A ortesvritioe or ' slutter vi, t er tede i itervllere [-, ] o [, [ er voksede i itervllet [, ] D > or lle, o ses, t r loklt o lolt iiu or, r loklt or. Edvidere ses det, vilket erudes edeor t or - o or Værdiæde or er deror [, [ Fktisk r vi ikke ørt et orelt evis or t e - år iod or åede od uedeli, e dette k evises. Vi ser ørst på edeståede eksepel. Eksepel l 4. Vi vil estee værdiæde or ; >. Vi dieretierer o sætter ' l l ' ; ' l e Vi ser, t ' > or ],e [, så er voksede ],e ], tilsvrede er tede [e, [. r dered si størsteværdi or e o e /e <. l Vi ser d på ; > l l l or e l or Hereter k vi vise, t l or or > ved oskrivie:

39 Mootoiorold 35 l l l or i det or, år > Vi ser d på uktioe: or, år > e l l l l e Når de turlie lorite e uktio år iod ius uedeli, år selve uktioe od. Vi slutter d, t or, år > e Ved jælp oskrivie l e er det lie så let t vise, t or, år > o >. Resulttere k løst oruleres so, t e potesuktio ltid vider over e loriteuktio o t e ekspoetiluktio ltid vider over e potesuktio. Dette k id ielle være lidt overrskede. Ser vi.eks. på, så vil dette iøle sætie å iod ul or.. Vi vil udersøe, vor stor skl være or t røke er idre ed. Ved t løse liie. lo lo lo. lo lo. på e rreer,. ider t 738,7.

40 36 Mootoiorold

41 Poloier 37 Kp 4 Poloier. Geerelle poloier Et poloiu er et udtrk e uktio ore. P o Hvor, -, -,...,, o er reelle tl, so kldes or poloiets koeicieter. Ved poloiets rd orstår det største or vilket. Med dee deiitio er.eks. P - 3 et ørsterdspoloiu ed koeicietere o o -3. P -½ er et derdspoloiu ed koeicietere -½, o o. P 5 E kostt er et ulterdspoloiu ed o 5.. Øvelse Aiv rde o koeicietere or poloiet: P Fuktioe P kldes or ulpoloiet. Nulpoloiet tillæes ikke oe rd. Der ides jo itet or vilket. Et poloiu, so ikke er ulpoloiet, kldes et eetlit poloiu. Læ ærke til, t ulpoloiet ikke er det se so et ulterdspoloiet. Et ulterdspoloiu er e kostt orskelli r ul.. Divisio ed ele tl. Før vi orklrer, vd orstår ved poloiers divisio, vil vi se på lideli divisio ed ele tl. Når vi.eks. skl dividere 7 ed 3, etder det tetisk t estee to tl, eli 5 kvotiete o reste, således t der ælder divisiosliie 7 5 3

42 38 Poloier At dividere p dividede ed d divisor etder t estee to tl q kvotiete o r reste, således t der ælder divisiosliie, o således, t reste r er idre ed divisor d. p q d r o r < d Hvis specielt r, reste er li ed ul, sies divisioe t å op. Ved divisio ed større tl, r lært e etode, so kldes or divisioslorite til t udøre divisioe. Vi viser edeor de est lidelie vrit etode, idet vi vil dividere 46 ed op i 4 er e 3. o Vi tiløjer et ul o trækker 39 r 46 o år reste 6, so ikke er idre ed 3. Vi ortsætter deror divisioe 3 op i 6 er e iver reste 3, so er idre ed divisor 3, o divisioe k ikke ortsættes. Kvotiete ved divisioe er 3 o reste er 3, så vi k opskrive divisiosliie: Det er lidt ostædelit, t redeøre or, voror divisioslorite ører til de korrekte divisioslii, så det udlder oreløit eviset, e ter det op ie, år vi ser på poloiers divisio, der på e åder ider o divisio ed ele tl. Vi eærker i øvrit, t divisiosliie k opskrives, selv o divisor er større ed dividede. I dette tilælde liver kvotiete eli, o reste li ed dividede. F.eks. 7 divideret ed k skrives: Poloiers divisio. Vi orulerer u e sæti o poloiers divisio: For to eetlie poloier P o D rd p o d, er det ltid ulit t estee to poloier Q o R rd q o r, således t der ælder divisiosliie or poloier P QD R, vor r < d ltså således t rde reste R er idre ed rde divisor D. M veder de se eteelser divided, divisor, kvotiet o rest so or ele tl. Hvis R ulpoloiet, sies divisioe t å op, o sier d t P er delelit ed D. For overskueliedes skld, vil vi eeøre divisioslorite ed et eksepel, e uderstree, t de k eeøres or vilkårlie poloier. So eksepel væler vi

43 Poloier 39 P o D 3 - Vi lver d e opstilli, so ved divisioslorite or ele tl. Alorite er orklret edeor. Q Q Q Q D R P - Q D Q D R R - Q D Q 3 D R 3 R - Q 3 D Vi eærker, t vi r stdset, år rde reste R 3, er idre ed reste divisor. For t lære t udøre lorite, k i ørste o se ort r de tiløjelser, so er skrevet til øjre or divisiosskeet. M dividerer u øjesterdsleddet i divisor op i øjesterdsleddet i dividede divideret ed er 3. Dee kvotiet kldes Q. Q ultipliceres d ed divisor, o resulttet skrives uder dividede. Q D , so sutreres r dividede. Herved ås reste R Beærk t øjesterdsleddet 6 4 år ud ved sutrktioe, så R er idst e rd lvere ed dividede P. M eter u elt de se procedure, lot ed R i stedet or P. Q : -. Således ortsættes, idtil år e rest, so r lvere rd ed divisor. Det er tilstrækkelit, t k eeøre divisioslorite or poloier, e er vil vi u odtøre evise, t divisiosliie P QD R ktisk er opldt, vis vi væler

44 4 Poloier Q Q Q Q o R R 3 A opstillie oveor reår: R P - Q D R R - Q D R 3 R - Q 3 D P Q D R R Q D R R Q 3 D R 3 Idsætter u i liiere til øjre udtrkket or R i de de lii o deræst udtrkket or R i de ørste lii ider : P Q D Q D Q 3 D R 3 P Q Q Q 3 D R 3 Idsættes eri Q Q Q Q 3 o R R 3 ider divisiosliie P QD R, vor r < d D divisioslorite k eeøres ed vilkårlie poloier, o d de ltid k ortsættes idtil rde reste er idre ed rde divisor, er sætie evist. 3. Øvelse. Geeør poloiers divisio ed ølede poloier: : : 3-3 c : - 3 d : Poloiers rødder. Et tl α sies t være rod i poloiet P, vis Pα ltså vis liie P r e løsi α. Et ørsterdspoloiu r etop é rod, idet det P øler P - /

45 Poloier 4 So ekedt r et.rdspoloiu øjst rødder. Røddere ides på sædvli vis ved t løse e.rdslii. Der ides e løsisorel or 3.rdsliier, e løsisorle er ret kopliceret o ivolverer såkldte koplekse tl. For liier rd øjere ed 4 ides der ie løsisorler. Det etder iidlertid ikke, t ltid er skåret r t løse såde liier. Dette vil de ølede sætier else. 4. Sæti: α er rod i P vis o ku vis P er delelit ed -α Bevis: Iøle vores sæti o poloiers divisio, k vi dividere P ed - α, vd ete α er rod i P eller ej. Divisiosliie liver: P Q - α R Reste R å være e kostt, idet restpoloiet er e rd lvere evetuelt ulpoloiet ed - α, so r rde. Vi sætter deror R R "Hvis o ku vis..." etder, t de to uds er esetdede, o sætie deror skl vises ee veje. Vi viser ørst " " Pα Qαα - α R R R, så P er delelit ed - α. Vi viser deræst " " o ter ltså t P er delelit ed - α. Hvis dette er tilældet er reste R, så der ælder liie P Q - α Ved t idsætte α, ses uiddelrt t Pα Qαα - α, så α er rod i P. Sætie k ldt det vedes til t estee stlie rødder i et poloiu rd større ed. Dette vil vi vede tile til. Vi er u i std til t evise sætie: 4. Sæti: Et poloiu 'te rd r øjst rødder. Bevis: Ld P være et poloiu 'te rd. Hvis P r rode α er P delelit ed - α P - α Q Q er d et poloiu rd -. Hvis Q r rode α er Q delelit ed - α Q - α Q Idsættes dette i udtrkket or P, år P - α - α Q

46 4 Poloier Her er Q et poloiu rd -. På dee åde ortsætter idtil ete Q-poloiet er rd o deror ikke r oe rødder eller, t eter t ve udet p-rødder, år et poloiu Q p, so ikke r oe rødder. P - α - α... - α p- - α p Q p Q p er et poloiu rd - p >, so iøle telse ikke r oe rødder. Det er u et t idse, t lle tllee α, α,..., α p-, α p er rødder i P. Hvis idsætter et disse tl i øjreside udtrkket or P, vil etop e ktorere være ul. Ovedt k idse, t P ikke k ve dre rødder, idet idsætter eli et tl α so er orskellit r α, α,..., α p-, α p, ider : Pα α - α α - α... α - α p- α - α p Q p α Alle ktorere er orskellie r ul, d α vr tet orskelli r lle røddere o Q p α, d Q p iøle telse ikke vde oe rødder. P r deror etop røddere α, α,..., α p-, α p o ie dre. D - p > p <. At er tllet rødder p er idre ed poloiets rd, øler det, t et poloiu 'te rd øjst r rødder. So e kosekves dee sæti øler uiddelrt: 4.3 Sæti: Nulpoloiet er ikke et eetlit poloiu. Nulpoloiet r eli uedeli e rødder, o k deror ikke være restilles ved et poloiu rd. 4.4 Sæti: Idetitetssætie or poloier To poloier er idetiske uktioer, vis o ku vis de r lle koeicieter es. Dee sidste sæti k ses overlødi, e de er ktisk viti. M kue eli orestille si t se uktio kue restilles ved et poloiu på lere orskellie åder. Vi ter deror t et poloiu k restilles på to åder: P o o Ved t ltte leddee på øjre side over på de vestre, o sle leddee ed es poteser, ider så. Hvis, r vi tet t > o - o

47 Poloier 43 D dette poloiu restiller ulpoloiet er lle koeicieter. Nulpoloiet er ikke et eetlit poloiu. Der å således ælde:, -, -, - - -, -, o - o Hvor øler, t stlie koeicieter er idetiske, vored sætie er evist. 5. Besteelse røddere i et poloiu rd større ed Der ides ie orler til esteelse røddere i et poloiu rd større ed 4. Udledie orle or røddere i et 3.rds poloiu er lt over siepesu. Vi skl deriod vise, t vis k "ætte" - rødder i et 'te rds poloiu, k estee stlie rødder. Vi illustrerer dette ved et pr eksepler. 5. Eksepel. Løs liie Vi vil o et øjelik ive e etode til "kvliiceret" rodæt, e oreløi vil vi ætte på,, ½,..?. Vi ider P ; P ; P ! er ltså rod i poloiet. Me så er poloiet delelit ed - iøle sæti 4.. Poloiers divisio iver: Poloiet k d skrives divisiosliie: Idet.rdsliie ikke r løsier. P v Kvliiceret rodæt. For poloier ed eltllie koeicieter, ides der et pr ttie reler, so vi ører edeor. 6. Sæti: Hvis p er e eltlli rod i et poloiu P o ed eltllie koeicieter, så år p op i. Bevis: Hvis p er rod ælder: Pp p - p -... p o

48 44 Poloier Ved t sætte p udeor e pretes i de ørste led o ltte o over på de de side ås: p p - - p o På øjre side står et elt tl o på vestreside står produktet det ele tl p o et elt tl. Her slutter vi t p år op i o. Hvis vil udersøe o et poloiu ed eltllie koeicieter r eltllie rødder, k ltså idskræke si til t udersøe de eltl, so år op i kosttleddet. 6. Eksepel Vi vil løse liie Hvis poloiet r eltllie rødder, skl de søes ldt divisorere i 9, so er ±, ±3, ±9 Ved idsæti ses t er rod. Ved divisio ed - ås: Iøle divisiosliie er O de opridelii er deror iøle ulrele esetdede ed Røddere i.rdsliie er udet på sædvli vis eller ved rodæt o Sætie o eltllie rødder i et poloiu k skærpes til: 6.3 Sæti: Hvis q p er rod i et poloiu, P ed eltllie koeicieter, o vor q p er e uorkorteli røk, så år p op i o q år op i Beviset or dee sæti orløer eter elt de se retisliier, so eviset or de siplere sæti, ortset r e ekelt tlteoretisk detlje. p er rod i q p q... p q p q... Vi er iee ed q

49 Poloier 45 p p q... pq q Vi ltter p ude or e pretes på vestre side p p p q... q q På øjre side står et elt tl, so på vestre side er skrevet so p e et elt tl. Altså å p å op i øjreside q. Idet p/q er tet uorkorteli, er p o q idrdes priiske. Her slutter vi, t p å å op i. Beolder vi i stedet p på vestreside o ltter de øvrie led over på øjreside o sætter de ælles ktor q ude or e pretes, ider. p p q... pq q p q p... pq q På se åde so ør, k vi se, t op i er skrevet, so et produkt q o et elt tl. Altså år q p p. D p o q er idrdes priiske, år q op i, vored ee sæties dele er evist. 6.4 Eksepel. Vi vil løse liie: Vi ætter på rtiole rødder ore p/q. Iøle sætie oveor, skl der ælde p ±, ± 3 o q ±, ± o deror: p/q ±, ± /, ± 3, ± 3/. Ie etive tl k være rod i liie, or idsættes et etivt tl liver lle led etive. er ikke rod, e vi ider P½ ½ 3 - ½ ½ - 3, så ½ er rod. Ved poloiers divisio: Løsie til liie er således: -½ d 5-3 5± 3/ Beærk, t sætie o rtiole rødder i et poloiu ed eltllie koeicieter ikke udsier oet o, vorvidt såde rødder ides, e vis der ides rtiole rødder, så ælder sætie. Sætie k i øvrit udvides til t ælde or lle poloier ed rtiole koeicieter, idet koeicietere k øres eltllie ved t ultiplicere ed ællesævere or de røker, der udør koeicietere.

50 46 Asptoter Kp 5. Asptoter. Asptoter til rer or e uktio E sptote er ltid e ret liie, so uktioe "i e eller de ræse" tilærer si til. M deler sptoter op i 3 tilælde: Lodrette sptoter, vdrette sptoter o skrå sptoter. E vdret sptote r liie. Vdrette o skrå sptoter orekoer ku or eller -. Hvis der o e uktio ælder, t orskelle elle o, år iod ul or åede od uedeli eller ius uedeli, så r e vdret sptote: Opskrevet ere orelt, så skl der ælde, år r e vdret sptote or. - or eller - Tilsvrede sier, t r e skrå sptote or, vis. - or eller - Beærk, t det er orskelle elle o e lieær uktio, der skl å iod ul. Der iver ikke ei t sie t to uktioer ærer si til ide, vis de ee år iod uedeli eller ius uedeli. E lodret sptote, k ku orekoe i et pukt, vor ikke er deieret. Dette skrives.3 or eller or - eller - or eller - or - So eksepel, skl vi se på re or uktioe ; Vist edeor So det ses re, "ser" re or si op d liie. Edvidere "ser" re si or store o så, si ls ed liie. Dette vil udtrkke eter t ve ørt evis or det. Gre or r e lodret sptote ed lii. Gre or r e vdret sptote ed lii or eller - Der ides to udetle reler, år vi skl ide ræseværdier or e røk.3 Hvis eller - o er eræset år verke od uedeli eller ius uedeli, så år røke od..4 Hvis, o ikke år iod, så år røke od uedeli eller ius uedeli..

51 Asptoter 47 Ved t vede disse to reler, k vi se t: or r øjre or r vestre Hvor vi slutter, t re or r e lodret sptote ed lii. For de vdrette sptote lver vi opskrivie, idet vi dividerer ed i tæller o æver or ± Hvor vi slutter, t r e vdret sptote ed lii or ± Vi vil u se på et eksepel på e uktio, der r e lodret o e skrå sptote.

52 48 Asptoter Oveor er vist re or uktioe 4 ; 8 Tællere er or -4 li ed 6, så -4 er ikke et ulpukt or tællere. Her øler det: 4 8 or 4 8 or Hvor vi slutter, t re or r e lodret sptote ed lii - 4. Gre idikerer, t uktioe oså r e skrå sptote. For t estee dee, oreter vi poloius divisio. Vi viser ikke udreie, e vi år kvotiete ½ - o reste 6. Føleli er: Vi lver dereter de siple oskrivi:

53 Asptoter 49 ± or 8 6 Forskelle elle o de lieære uktio år iod or åede od plus eller ius uedeli, vilket vi slutter: Gre or r e skrå sptote ± or. Poloier o poloiusrøker or ± Vi vil ørst vise, t et poloiu rd > vil å iod eller - ku æit orteet or øjesterdsleddet. Ld... ed Hvis vi sætter ude or e pretes, år vi ølede oskrivi;.... ed Hvis ±, vil orteet or det der står ide i pretese være det se, so orteet or, idet lle de øvrie led vil å iod ul. Poloiet vil deror "opøre si so" or ±. Vi ser d på e poloiusrøk, vor rde tællere er større e rde ævere ed Vi dividerer d i tæller o æver ed. Hered år vi. ed > Nævere vil å iod or ±, o tællere vil "opøre si so" or ±. Hvis specielt tælleres rd er e større es æveres rd, vil poloiusrøke opøre si so et ørsterdspoloiu e lieær uktio, vilket etder, t poloiusrøke vil ve e skrå sptote. Det vr etop det, so vr tilældet ed det det de idledede eksepler. Hvis æveres rd er li ed tællerees rd, ltså vis, er poloiusrøke:

54 5 Asptoter Vi dividerer røke i tæller o æver ed o år: ± or år ltså iod e kostt, vilket etder, t r e vdret sptote.3 ± or Hvis æveres rd er større ed tælleres rd, ltså vis >, oreter vi de se oskrivi so i. ed < Når < er lle ekspoetere etive i udtrkket oveor. Dette etder ie t lle leddee vil å iod or ±. Vi slutter deror. Hvis æveres rd er større ed tælleres rd >, r poloiusrøke e vdret sptote or ±. Dette vr etop tilældet i det ørste de idledede eksepler.

55 Nuerisk løsi liier 5 Kp 6. Nuerisk løsi. liier Der er e liier, der ikke r e ltisk løsi. Hvilket er det se so, t der ikke ides e løsisorel. Liier rd >, k pricipielt løses, e der er ie kedt løsisorel or liier rd > 4. I siet lærer so ekedt ku løsisorler or ørsterdsliier o derdsliier. I tetikke tler o trcedete tl. Hvilket etder tl, so ikke er rod i et poloiu ed eltllie eller rtiole koeicieter. So eksepler på trcedete tl er π o e, voriod.eks. 3 er et irrtiolt tl dvs. ikke e røk, e ikke et trcedet tl, idet 3 er rod i poloiet -3. Trcedete uktioer er.eks. si, cos, t, l o e. E rtioel uktio er et poloiu eller e poloiusrøk ed eltllie eller rtiole koeicieter. Til liier, der pricipielt ikke k løses ltisk ører de trcedete liier. Hvilket vil sie liier, der åde ideolder e rtiol uktio o e trcedet uktio.. Eksepel E sipel trcedet lii kue.eks. være e. De leste odere rreere, r e etode til t løse såde liier, o vis orsøer ider,46. Bisektio Bisektio, etder t lvere, o det er oså etode til uerisk ulpuktsesteelse. Ld os te t r e kotiuert uktio i et itervl [, ] o der ælder <, således t o r orskellit orte. Så å i idst et pukt elle o. Vi ter t < M udreer u uktiosværdie i idtpuktet [, ] ½. Hvis, r udet ulpuktet ellers, vis > lier der et ulpukt i itervllet [, ] ellers lier der et ulpukt i itervllet [, ]. Hereter eter processe ed det e itervl, o såd ortsætter, idtil r lokliseret ulpuktet tilstrækkelit øjtit. Eter lverier itertioer, er ulpuktet estet ed e øjtied på -/. Bisektio er let t vede på e coputer, e er reltiv lso, t vede uelt.. Reule lsi Forudsætiere er de se so or isektio, e idee er de t tilærer uktioe ed e lieær uktio i itervllet [, ] o esteer de lieære uktios skærispukt ed. kse. De lieære uktio, so år ee, o, er I dee lii sætter vi o ider ørste tilærelse til skærispuktet:

56 5 Nuerisk løsi liier På se åde so ør, vis, r udet ulpuktet ellers, vis > lier der et ulpukt i itervllet [, ] ellers lier der et ulpukt i itervllet [, ]. Her eter eter processe ed det e itervl, o såd ortsætter, idtil r lokliseret ulpuktet tilstrækkelit øjtit. Reule lsi kovererer lt urtiere e isektio, o dee etode vedes e coputere o rreere. M stdser i rele, år r udet to værdier, vis std er idre ed de øskede øjtied..3 Newto Rpsos etode Dee etode er eet elet, e kræver kedsk til uktioes dieretilkvotiet. De kræver ikke, t keder uktioe i to værdier, vor <, e de kræver t r et æt, der ikke lier "lt or lt r" ulpuktet. Idee er sipel. M tilærer uktioe ed det pproierede. rds poloiu tetliie, o ider ulpuktet or dee so e tilærelse til ulpuktet or. M iver e tilvækst, o esteer, således t rer ulpuktet i dee pproitio ' ' M sætter så. Hvis, er ulpuktet udet, eller eter ' processe or t estee et. M sætter så ' ' ', o såd ortsættes, idtil r opået e tilstrækkeli øjtied. Newto Rpsos etode kovererer urtit, år lot er i ærede ulpuktet, o ' er orskelli r i. Eller ikke koer i ærede et ulpukt or '. I dette tilælde k live klet edo eet lt væk r ulpuktet.