3 Operatorer på Hilbert rum

Save this PDF as:
Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "3 Operatorer på Hilbert rum"

Transkript

1 3 Opertorer på Hilbert rum 3.1 Eksempler på opertorer på Hilbert rum Vi vil i det følgende benytte betegnelsen lineær opertor (eller blot opertor) synonymt med lineær fbildning, specielt når der er tle om lineære fbildninger mellem uendeligdimensionle vektorrum, som hr vores hovedinteresse i disse noter. En lineær opertor fr et Hilbert rum H 1 til et ndet H 2 er således en fbildning A, der opfylder A(v + w) = Av + Aw og A(λv) = λ(av) (3.1) for lle v, w i definitionsmængden D(A) H 1 og lle sklrer λ. Ækvivlent hermed er, t A bevrer linerkombintioner, dvs. for v 1,..., v n i D(A) og sklrer λ 1,..., λ n gælder A(λ 1 v λ n v n ) = λ 1 Av λ n Av n, (3.2) jvf. Opgve 3.1. Vi hr her brugt betegnelsen Ax i stedet for A(x), som det er sædvne for opertorer. Når vi hr indført en særlig betegnelse for definitionsmængden D(A), også kldet domænet for A, skyldes det, t en række f de opertorer, der er f størst relevns for fysik, ikke kn defineres på hele Hilbert rummet H 1, men kun på et pssende stort underrum D(A). Med stort mener vi her mere præcist, t D(A) = {0}, (3.3) ltså t der ikke er ndre vektorer end nulvektoren, der står vinkelret på lle vektorer i D(A). Ld os se på nogle centrle eksempler. Eksempel 3.1. ) Differentition. Det er velkendt, t differentition er en lineær opertion, dvs. (f + g) = f + g og (λf) = λf, hvor f og g er differentible funktioner på et intervl [, b]. Derfor er fbildningen d dx : f f en lineær opertor fr L 2 ([, b]) til L 2 ([, b]), som dog ikke er defineret på hele L 2 ([, b]). Vlget f definitionsmængde er lngt fr entydigt. Et muligt vlg, og måske det umiddelbrt mest nærliggende, er underrummet C 1 ([, b]) bestående f de kontinuert differentible funktioner. En nden mulighed er underrummet bestående f stykkevis gltte funktioner. Men der findes ndre og, viser det sig, mere relevnte domæner. 30

2 Til illustrtion ser vi på tilfældet [, b] = [ π, π], hvor vi hr ortonormlbsen (1.26), hvis n te vektor er funktionen e n (x) = 1 2π e inx, n Z. (3.4) Disse funktioner er vilkårligt ofte differentible, og e n(x) = in 2π e inx = ine n (x). (3.5) For en (endelig) linerkombintion λ m e m + + λ n e n f vektorerne fr ortonormlbsen hr vi d dx (λ me m + + λ n e n ) = imλ m e m + + inλ n e n. (3.6) Hermed er d defineret på spn{e dx n n Z}. D enhver funktion f i L 2 ([ π, π]) hr en ortonormludvikling f = λ n e n, hvor λ n = e n, f, er det nturligt t spørge, om (3.6) kn udvides n Z til også t gælde for uendelige linerkombintioner, dvs. for ortonormludviklinger, således t d defineres ved dx ( ) d λ n e n = inλ n e n. (3.7) dx n Z n Z For t denne definition skl give mening kræves, t højresiden f (3.7) er konvergent i L 2 ([ π, π]), og ifølge Lemm 2.3 er dette tilfældet netop, hvis n λ n 2 <. n Z Men dette er ikke sndt for lle funktioner i L 2 ([ π, π]). Tg f.eks. funktionen f givet ved f = 1 n e n, hvor rækken er konvergent, d højresiden f (3.7) lig med rækken n Z\{0} n Z\{0} 1 n 2 n Z\{0} <. For denne funktion bliver i e n, som er divergent, d 1 n Z\{0} er divergent. Vi slutter derfor, t vi ikke ved (3.7) kn udvide opertoren d dx til hele L 2 ([ π, π]), men kun til domænet ( ) { d D = λ n e n } n λ n 2 < (3.8) dx n Z n Z 31

3 ved formlen (3.7). Dette er, som det ses, det mksimle underrum, hvorpå d kn defineres ved (3.7), og det kn vises, t det indeholder lle kontinuert dx differentible funktioner f, for hvilke f(π) = f( π), jvf. Opgve 3.2. På den nden side indeholder D( d ) ikke hele dx C1 ([ π, π]), d lle funktioner f i D( d ) ses t opfylde f( π) = f(π), mens der nturligvis findes funktioner i dx C 1 ([ π, π]), som ikke opfylder denne rndbetingelse. Det viser sig, t fysiske problemstillinger tit foreskriver det relevnte domæne for en lineær opertor i form f rndbetingelser kombineret med krv om t opertoren skl være selvdjungeret, et centrlt begreb vi skl definere i næste fsnit. I nærværende eksempel kunne vi således hve lgt ud med t betrgte opertoren i d på underrummet f lle dx C1 -funktioner f på [ π, π], for hvilke f(π) = f( π). Der findes d en entydig selvdjungeret udvidelse f denne til et større domæne, nemlig D( d ) givet ved (3.8). Uden rndbetingelse findes der ikke nogen selvdjungeret udvidelse. Noget tilsvrende gør sig dx gældende for mere generelle differentilopertorer, der indføres i d) nedenfor, og diskuteres yderligere i Eksempel 3.5 d-e) og i Eksemplerne b) Digonliserbre opertorer. Det foregående eksempel er et speciltilfælde f følgende mere generelle sitution. Antg, t H er et Hilbert rum, og t (e 1, e 2,... ) er en ortonormlbsis for H. Ld endvidere ( 1, 2,... ) være en følge f sklrer. Vi kn d definere en lineær opertora ved fstsættelsen og dermed ifølge (3.2) A e n = n e n, n N, (3.9) A(λ 1 e λ n e n ) = λ 1 1 e λ n n e n. (3.10) Herved er A defineret på spn{e 1, e 2,... }. Vi kn endd udvide definitionen til domænet D(A) = {v H n e n, v 2 < } (3.11) ved t udvide (3.10) til ( ) Av = A e n, v e n = n e n, v e n, (3.12) idet den sidste række i (3.12) er konvergent netop når v D(A). Det er ikke svært t indse, t D(A) er et underrum f H, som opfylder (3.3), jvf. Opgve 3.3. Det er værd t bemærke, t hvis ( 1, 2,... ) er en begrænset tlfølge, dvs. hvis der findes et C 0 så n C for lle n = 1, 2, 3,..., 32

4 d er Av C v (3.13) for lle v H (jvf. Opgve 3.3). Speciels er d D(A) = H, således t A i dette tilfælde er defineret på hele H. Bemærk også, t hvis n = 1 for lle n, d er A lig med identitetsopertoren I H på H, idet (3.12) giver Av = e n, v e n = v = I H v for lle v H. Opertorer f formen (3.12) kldes digonliserbre (se også Definition 3.12). Nærmere begrundelse for denne betegnelse gives i Afsnit 3.3. c) Multipliktionsopertorer på l 2 (N). Hvis vi i det foregående eksempel benytter H = l 2 (N) med den nturlige ortonormlbsis (ε 1, ε 2,... ) ntger (3.12) formen A(x 1, x 2,... ) = ( 1 x 1, 2 x 2,... ) (3.14) (overvej dette!) og domænet D(A) bliver { D(A) = (x 1, x 2,... ) } n x n 2 <. (3.15) Vi klder i dette tilfælde A for multipliktionsopertoren svrende til følgen ( 1, 2,... ) og betegner den med M (1, 2,... ). d) Multipliktionsopertorer på L 2 (I). Ld f være en (f.eks. kontinuert) funktion på intervllet I. Multipliktionsopertoren M f på L 2 (I) hørende til funktionen f er d givet ved M f g = f g, (3.16) hvor vi må sikre os, t højresiden tilhører L 2 (I), dvs. domænet for M f er D(M f ) = {g L 2 (I) f(x)g(x) 2 dx < }. (3.17) Igen bemærkes det (jvf. Opgve 3.4), t D(M f ) er et underrum f L 2 (I), og t hvis f er begrænset, dvs. hvis der findes C 0 så f(x) C for lle x I, I d er M f g C g, (3.18) 33

5 for lle g L 2 (I). Specielt er d D(M f ) = L 2 (I). I tilfældet I = R og f(x) = x, kldes M f = M x for stedopertoren for en kvntemeknisk prtikel i det endimensionle rum R, idet middelværdien f dens stedkoordint x i tilstnden ψ er givet ved ψ, M x ψ = x ψ(x) 2 dx. e) Differentilopertorer. Ved smmensætning f differentition og multipliktionsopertorer på L 2 ([, b]) fås mere generelle såkldte differentilopertorer. Vi nøjes på dette sted med t nævne nden ordens opertoren B = r(x) d2 dx 2 + s(x) d dx + t(x), hvor r, s, t er kontinuerte funktioner på [, b]. Denne opertor fbilder ltså en to gnge kontinuert differentibel funktion f i funktionen Bf = rf + sf + tf. Vi er llerede stødt på opertorer f denne slgs, f.eks. i forbindelse med Sturm-Liouville teorien i Afsnit 4.7 i AEM, og vender tilbge hertil i Eksempel 3.5 e) og Eksempel 3.17 nedenfor. f) Integrlopertorer. Modstykket til en differentilopertor er en integrlopertor. En sådn er givet ved en såkldt integrlkerne k(x, y), som er en kontinuert funktion f to vrible x, y [, b]. Den tilsvrende integrlopertor K på L 2 ([, b]) er d defineret ved (Kf)(x) = I k(x, y)f(y)dy. (3.19) Den er defineret på hele L 2 ([, b]), idet vi kn indse t højresiden tilhører L 2 ([, b]) for lle f L 2 ([, b]) på følgende vis. For fstholdt x [, b] kn højresiden f (3.19) opfttes som det indre produkt f funktionerne y k(x, y) og f. Cuchy-Schwrz giver derfor som også kn skrives k(x, y)f(y)dy 2 (Kf)(x) 2 k(x, y) 2 dy k(x, y) 2 dy f f(y) 2 dy,

6 Integreres m.h.t. x fås herf d dobbeltintegrlet Kf 2 k(x, y) 2 dydx f 2 <, (3.20) k(x, y) 2 dydx (3.21) er endeligt (og lig med volumenet under grfen for k(x, y) 2 ), d k er kontinuert på kvdrtet [, b] [, b]. Dette viser, t Kf L 2 ([, b]) for f L 2 ([, b]), og ltså t K er defineret på hele L 2 ([, b]). Ovenstående kn åbenbrt udvides til et vilkårligt (begrænset eller ubegrænset) intervl I, hvis blot k(x, y) 2 dydx <. I I Et konkret eksempel på en integrlopertor så vi i forbindelse med vrmeledningsligningen for en uendelig lng stng, jvf. Afsnit 11.6 i AEM. Vi fndt der, t løsningen u(x, t) til vrmeledningsligningen er givet ved u(x, t) = 1 4πt e (x y)2 4t f(y)dy for t > 0, hvor f ngiver begyndelsestemperturfordelingen. Dvs. vi hr, t u(x, t) = (K t f)(x), hvor K t er integrlopertoren på L 2 (R), hvis kerne er lig med vrmekernen k t (x, y) = 1 4πt e (x y)2 4t. t Begrænsede opertorer. I (3.20) ovenfor fndt vi for integrlopertoren K, Kf C f, f L 2 ([, b]), hvor konstnten C vr givet ved kvdrtroden f integrlet (3.21). Tilsvrende uligheder fndt vi i (3.13) og (3.18) for multipliktionsopertorer svrende til begrænsede tlfølger eller funktioner. Opertorer, der tilfredsstiller uligheder f denne slgs kldes begrænsede opertorer. 35

7 Definition 3.2. En lineær opertor A fr et Hilbert rum H 1 til et ndet H 2 er begrænset, hvis dens domæne er hele H 1, og der findes en konstnt C 0, så Av C v for lle v H 1. (3.22) Den mindste konstnt C, der opfylder (3.22) kldes normen f A og betegnes A. (Vi hr her benyttet smme betegnelse for normerne på H 1 og H 2.) At A er begrænset er p.gr.. lineriteten ækvivlent med t A er kontinuert, dvs. t der gælder A( lim n v n ) = lim n Av n (3.23) for enhver konvergent følge (v 1, v 2,... ) i H 1. Antg nemlig, t v n v for n, og t (3.22) gælder (hvor vi kn ntge C > 0). For givet ε > 0 findes d N N, således t v n v < ε for n > N, og derfor C Av n Av = A(v n v) C v n v C ε C = ε for n > N. Dette viser, t Av n Av for n, ltså t (3.23) holder. Det omvendte, ltså t (3.23) medfører (3.22), bedes du om t eftervise i Opgve 3.6. Generelt er begrænsede lineære opertorer lettere t rbejde med end ubegrænsede opertorer (dvs. opertorer, der ikke opfylder krvet i Definition 3.2). Mnge f de opertorer, der hr interesse i fysik eller i ndre smmenhænge er d også begrænsede. En vigtig undtgelse herfr er imidlertid differentilopertorerne. F.eks. hr vi med betegnelser som i Eksempel 3.1 ) ovenfor, t d dx e n = ine n = n e n for lle n N, hvilket klrt viser, t opertoren d ikke opfylder (3.22) for dx nogen konstnt C (og i øvrigt heller ikke er defineret på hele L 2 ([, b])). I mnge tilfælde hr, som vi også skl se, en differentilopertor en invers fbildning, som er en begrænset opertor, f.eks. en integrlopertor som vi skl se i Eksempel 3.19 nedenfor, se også Opgve 3.7. Mn kn derfor tit nvende resultter vedrørende begrænsede opertorer til t nlysere eksempelvis differentilopertorer. Vi vil derfor i det følgende ofte begrænse os til t formulere generelle resultter for begrænsede opertorer lene. Endelig bemærkes, t lineære opertorer defineret på endeligdimensionle Hilbert rum utomtisk er begrænsede, jvf. Opgve 3.8. Som følge herf forekommer f. eks. problemstillinger vedrørende kontinuitet og domæner for opertorer kun i det uendeligdimensionle tilfælde. 36

8 3.2 Selvdjungerede og unitære opertorer De vigtigste klsser f lineære opertorer, der er brug for i de fysiske fg, er de selvdjungerede, også kldt Hermiteske, opertorer og de unitære opertorer. For t kunne definere disse er det nødvendigt først t indføre begrebet djungeret opertor. Adjungeret opertor. Ld først A : H 1 H 2 være en lineær opertor mellem endeligdimensionle Hilbert rum og ld (e 1,..., e n ) og (f 1,..., f m ) være ortonormlbser for henholdsvis H 1 og H 2. Med hensyn til disse repræsenteres A f en m n-mtrix A, hvis mtrixelementer ij er givet ved (se Afsnit 6.3 i LA) ij = f i, Ae j (3.24) for i = 1,..., m, j = 1,..., n. Den djungerede opertor til A kn d defineres som opertoren A : H 2 H 1, som m.h.t. bserne (f 1,..., f m ) og (e 1,..., e n ) repræsenteres f den trnsponerede og kompleks konjungerede mtrix A, også kldet den Hermitesk konjungerede mtrix til A. A er ltså en n m-mtrix, hvis mtrixelementer ji er givet ved ji = ij (3.25) for i = 1,..., m, j = 1,..., n. D ji = e j, A f i, er (3.24) ensbetydende med f i, Ae j = e j, A f i = A f i, e j. For to vektorer v = λ 1 e λ n e n H 1 og w = µ 1 f µ m f m H 2 giver dette ved direkte udregning (jvf. Opgve 3.11), t w, Av = A w, v. (3.26) (Bemærk, t det indre produkt på venstresiden refererer til H 2, mens det på højresiden henviser til H 1, men vi bruger som sædvnlig smme betegnelse for de to indre produkter.) Det følger f (3.26), t opertoren A er ufhængig f vlget f de to ortonormlbser (Overvej dette!). I det generelle tilfælde, hvor H 1 og/eller H 2 er uendeligdimensionlt, er det mest bekvemt t tge ligningen (3.26) som udgngspunkt for definitionen f A. Dette gøres i følgende sætning. Sætning 3.3. For enhver begrænset lineær opertor A : H 1 H 2 findes en entydig opertor A, som opfylder (3.26) for lle v H 1, og w H 2. A kldes den djungerede opertor til A. Den er begrænset og A = A. 37

9 At A er entydig følger let: Hvis nemlig A og A begge opfylder (3.26) må der gælde, t (A A )w, v = 0 for lle v H 1 og w H 2. Altså må (A A )w H 1 = {0} og dermed A w = A w, for lle w H 2. Dette betyder jo t A = A. At A overhovedet findes skyldes et fktum, som bruges overlt i kvntemeknik, og som kn forklres som følger. For en given vektor u H 1, er fbildningen l u : v u, v som bekendt lineær fr H 1 til C og desuden begrænset som følge f Cuchy-Schwrz l n (v) u v. Begrænsede lineære fbildninger fr H 1 til C kldes linerformer på H 1 og mængden f disse kldes det dule rum til H 1. Ovennævnte fktum går så ud på, t enhver linerform på H 1 er f formen l u for en entydig vektor u H 1. Dette resultt er ikke overmåde svært t vise, men vi springer rgumentet over her. Hr mn først dette resultt, følger eksistensen f A w ved t bemærke, t venstresiden f (3.26) for fstholdt w H 2 er, som funktion f v, en begrænset linerform på H 1, nemlig lig med smmensætningen l w A, som er lineær og begrænset i følge Opgve 3.6. Derfor findes en entydig vektor i H 1, som vi klder A w, så (3.26) er opfyldt. Hermed er A defineret på H 2. I Opgve 3.12 skl det vises, t A er lineær og begrænset og t A = A. For to begrænsede lineære opertorer A og B fr H 1 til H 2 og λ C gælder, t (λa) = λa og (A + B) = A + B. Hvis endvidere C er en begrænset lineær opertor fr H 2 til H 3, er (CA) = A C, hvor vi, som det er sædvne for lineære opertorer, benytter betegnelsen CA i stedet for C A. De to første reltioner overldes til læseren t verificere. Den sidste ses f t v, CAw = C v, Aw = A C v, w for lle v H 3 og lle w H 1. Mn kn også definere djungerede til ubegrænsede lineære opertorer, men vi undlder t behndle det generelle tilfælde her og nøjes i stedet med specielle tilfælde, når vi får brug for det. Lidt om Dirc nottion. P.A.M. Dirc indførte i sin klssiker The Principles of Quntum Mechnics en særlig nottion for linerformen l v, nemlig v, 38

10 og kldte linerformer for br-vektorer. Tilsvrende betegnede hn vektorer med v i stedet for bre v og kldte vektorerne for ket-vektorer. Her henviser br, hhv. ket, til de første tre, hhv. sidste tre, bogstver i ordet brcket, som bruges for det indre produkt, der betegnes i stedet for,. I denne nottion betegner u v derfor både det indre produkt f u og v og værdien f linerformen u i v, ltså u ( v ). Tilsvrende skrives u A v i stedet for u, Av (eller A u, v ). I den kvntemekniske formlisme er fysisk målbre størrelser repræsenteret ved selvdjungerede opertorer, (jvf. f.eks. stedopertoren indført i Eksempel 3.1 c), og tllet v A v ngiver middelværdien (eller forventningsværdien) f den fysiske størrelse svrende til A i tilstnden v. Dette uddybes yderligere sidst i dette fsnit. Selvdjungerede opertorer. Vi er nu rede til t indføre de omtlte selvdjungerede opertorer. Definition 3.4. En begrænset lineær opertor A : H H på et Hilbert rum H siges t være selvdjungeret, hvis A = A. For t frembringe nogle eksempler på selvdjungerede opertorer ser vi først på, hvordn den djungerede kn bestemmes i nogle konkrete tilfælde. defi- Eksempel 3.5. ) Den djungerede til multipliktionsopertoren M f neret i (3.16) kn flæses f følgende regning, hvor g, h L 2 (I): g, M f h = g, f h = g(x)f(x)h(x)dx I = f(x) g(x)h(x)dx I = M f g, h, hvor f er den kompleks konjungerede funktion. Herf ses, t M f = M f. (3.27) Specielt er M f selvdjungeret, netop hvis f er en reel funktion. Det bemærkes, t hvis f også er en ubegrænset funktion (dvs, ntger vilkårlig store positive eller negtive værdier), d er M f en ubegrænset selvdjungeret opertor. 39

11 b) Tilsvrende fås for multipliktionsopertoren M (1, 2,... ) defineret ved (3.14) på l 2 (N), t M ( 1, 2,... ) = M (1, 2,... ) (jvf. Opgve 3.15). Specielt er M (1, 2,... ) selvdjungeret, netop hvis tlfølgen ( 1, 2,... ) er reel. c) For integrlopertoren K defineret ved (3.19) gælder f, Kg = = = = = f(x)(kg)(x)dx ( f(x) k(x, y)g(y)dy ( f(x)k(x, y)g(y)dydx k(x, y)f(x)g(y)dydx ) dx ) k(x, y)f(x)dx g(y)dy, hvor vi i sidste skridt hr benyttet, t ombytning f rækkefølgen f integrtionerne er tilldt. Herf kn vi nu flæse, t K er givet ved (K f)(y) = dvs. K er integrlopertoren med kerne k(x, y)f(x)dx, k (x, y) = k(y, x). Specielt er K selvdjungeret, netop hvis kernen k opfylder k(x, y) = k(y, x) for x, y [, b]. d) For differentilopertoren d i Eksempel 3.1 ) får vi, når f og g er dx kontinuert differentible funktioner på [ π, π], d π f, dx g = f(x)g (x)dx π = f(π)g(π) f( π)g( π) π π f (x)g(x)dx, 40

12 hvor vi i sidste skridt hr brugt prtiel integrtion. Antges t f(π) = f( π) og g(π) = g( π) udgår de første to led og vi får d d f, dx g = dx f, g. Gnges med i på begge sider fås f, i d dx g = i d dx f, g. (3.28) D bsisfunktionerne e n, der indgår i (3.7) hr smme værdi i π og π gælder (3.28) fktisk for lle f og g tilhørende domænet D ( d dx) givet ved (3.8), og kn også verificeres direkte ved brug f (3.7), jvf. Opgve I denne forstnd er opertoren i d et eksempel på en ubegrænset selvdjungeret opertor som llered nævnt i Eksempel 3.1 ). Vi understreger igen vigtigheden dx f rndbetingelsen, for t opertoren er selvdjungeret, et fænomen som gentger sig i det følgende eksempel. Som nævnt er disse rndbetingelser ofte dikteret f den fysiske problemstilling. e) I Sturm-Liouville teorien diskuterede vi differentilligninger f formen (rf ) + q f = λp f, (3.29) hvor r er en differentibel funktion og q og p kontinuerte funktioner på intervllet [, b]. Ydermere krævedes rndbetingelser f formen } k 1 f() + k 2 f () = 0 l 1 f(b) + l 2 f (3.30) (b) = 0 opfyldt. Vi ser på den tilhørende Sturm-Liouville opertor L givet ved Lf = 1 p [(rf ) + q f] (3.31) for funktioner f i Hilbert rummet L 2 ([, b], p), som er to gnge kontinuert differentible, og hvor vi ntger, t p > 0 på [, b]. Bemærk, t L er defineret, således t (3.29) kn skrives på formen Lf = λf. (3.32) Det er klrt, t der er tle om en nden ordens differentilopertor. Ved prtiel integrtion finder vi f, Lg p = f(x) [ (r(x)g (x)) + q(x)g(x)] dx = r()f()g () r(b)f(b)g (b) + [ r(x)f (x)g (x) + q(x)f(x)g(x) ] dx. 41

13 Tilsvrende finder mn Lf, g p = r()f ()g() r(b)f (b)g(b) + [ r(x)f (x)g(x) + q(x)f(x)g(x) ] dx. Antges yderligere, t f og g opfylder rndbetingelserne (3.30) ses, jvf. Opgve 3.17, t rndleddene på højresiderne f disse ligninger stemmer overens, således t f, Lg p = Lf, g p for funktioner f, g, der opfylder rndbetingelserne. I denne forstnd er L en selvdjungeret (ubegrænset) opertor på L 2 ([, b], p). Vi vender tilbge til Sturm-Liouville problemet i Eksempel Unitære opertorer. Disse er generelt f en helt nden krkter end de selvdjungerede og defineres som følger. Definition 3.6. En lineær opertor U : H 1 H 2 mellem Hilbert rum er unitær, hvis den er begrænset og dens inverse eksisterer og er lig med U, dvs. hvis U U = I H1 og UU = I H2. (3.33) Eksempel 3.7. ) Ld os fgøre, for hvilke kontinuerte funktioner f på intervllet I multipliktionsopertoren M f defineret ved (3.16) er unitær. Hertil bemærkes først, t M f M f = M fm f = M f 2, hvor vi hr benyttet t M f = M f og t M f M g = M f g, jvf. Opgve 3.18, for vilkårlige kontinuerte funktioner f og g på I. Tilsvrende er M f M f = M f 2. Altså er M f unitær netop hvis M f 2 er lig med identitetsopertoren på L 2 (I), hvilket er tilfældet hvis og kun hvis f 2 = 1, dvs. f(x) = 1 for lle x I, jvf. Opgve ) Tilsvrende finder mn, t multipliktionsopertoren M (1, 2,... ) defineret ved (3.14) er unitær netop hvis n = 1 for lle n N. 42

14 Flere eksempler på unitære opertorer følger nedenfor, men det er nyttigt først t se på nogle f deres generelle egenskber. Den måske vigtigste f disse er, t en unitær opertor U : H 1 H 2 bevrer det indre produkt i den forstnd, t Uv, Uw = v, w (3.34) for lle v, w H 1. Dette følger f (3.33), idet Uv, Uw = U Uv, w = I H1 v, w = v, w. Sættes v = w i (3.34) fås specielt Uv = v, v H, (3.35) dvs. U er normbevrende og dermed også fstndsbevrende, hvilket mn også udtrykker ved t sige, t U er isometrisk. Af ( ) følger klrt, t hvis (e 1, e 2,... ) er et ortonormlsæt i H 1, d er (Ue 1, Ue 2,... ) et ortonormlsæt i H 2. Der gælder endd, t hvis (e 1, e 2,... ) er en ortonormlbsis for H 1, d er (Ue 1, Ue 2,... ) en ortonormlbsis for H 2. Antg nemlig, t y {Ue 1, Ue 2,... }, dvs. t y, Ue n = 0 for lle n N. Vi skl så indse t y = 0. Sættes x = U y, er Ux = UU y = I H2 y = y i følge (3.33). Altså er Ux, Ue n = y, Ue n = 0 for lle n N. Men d Ux, Ue n = x, e n, følger herf t x {e 1, e 2,... }, og derfor t x = 0 ifølge Definition 2.5 f ortonormlbsis. Men så er y = Ux = U0 = 0, som vi skulle vise. Vi hr ltså, t unitære opertorer fbilder ortonormlbser i ortonormlbser. Det foregående kn smmenfttes mere præcist som følger: Sætning 3.8. For en begrænset opertor U : H 1 H 2 er følgende fire betingelser ækvivlente: i) U er unitær. ii) U er bijektiv og bevrer det indre produkt. iii) U er bijektiv og isometrisk. iv) U fbilder ortonormlbser i ortonormlbser. 43

15 Vi hr ovenfor indset i) ii) iii) og i) iv), eftersom krvet om bijektivitet netop sikrer t U 1 : H 2 H 1 eksisterer. At eftervise de omvendte impliktioner er overldt til Opgve Eksempel 3.9. Ld (e 1, e 2,... ) være en ortonormlbsis for et Hilbert rum H. D er (e 2, e 1, e 4, e 3,... ) oplgt også en ortonormlbsis for H. Der defineres d en unitær opertor U på H ved fstsættelsen Ue 1 = e 2, Ue 2 = e 1, Ue 3 = e 4, Ue 4 = e 3,... Dens virkning på en vilkårlig vektor v = e n, v e n i H er givet ved Uv = e n, v Ue n = e 1, v e 2 + e 2, v e 1 + e 3, v e 4 + e 4, v e , hvor det ses, t højresiden er konvergent ifølge Lemm 2.3 med normkvdrt Uv 2 = e n, v 2 = v 2. Eksempel For en given ortonormlbsis (e 1, e 2,... ) for et Hilbert rum H hves som bekendt ifølge ( ) og v = e n, v e n, e n, v 2 = v 2. Følgen ( e 1, v, e 2, v,... ) i l 2 (N) kldes pssende for koordintfølgen for v m.h.t. ortonormlbsen (e 1, e 2,... ). Afbildningen U : H l 2 (N), der fbilder en vektor v i dens koordintfølge, ltså Uv = ( e 1, v, e 2, v,... ) er unitær, fordi den fbilder ortonormlbsen (e 1, e 2,... ) for H i den nturlige ortonormlbsis (ε 1, ε 2,... ) for l 2 (N) (overvej dette!). 44

16 Eksempel Fouriertrnsformtionen F på R defineredes i Afsnit i AEM ved formlen (Ff)(w) = 1 2π f(x)e iwx dx (3.36) for integrble funktioner f. Det er klrt t Ff er lineær i f, se AEM p. 572 Theorem 1. Der gælder, hvis f også er kvdrtisk integrbel, t ltså t Ff(w) 2 dw = f(x) 2 dx, (3.37) Ff = f, (3.38) hvor betegner normen på L 2 (R). (Desværre står (3.37) ikke eksplicit i AEM, men vi begrundede den ved brug f Prsevls ligning for Fourier rækker (2.15)). Af (3.38) fremgår, t F er en isometri på mængden f funktioner på R, der både er integrble (for t (3.36) er veldefineret) og kvdrtisk integrble (for t integrlerne i (3.37) er endelige). Der er en stndrd måde, som vi ikke skl redegøre for her, t udvide F til hele L 2 (R), hvorved F bliver en unitær opertor på L 2 (R). Vi bemærker, t hvis ψ er bølgefunktionen for en kvntemeknisk prtikel i det endimensionle rum R, d er F ψ(w) bølgefunktionen i impulsvriblen w, således t Fψ(w) 2 er sndsynlighedstætheden for impulsen w. Eksempel Vi skl nu se et eksempel på en opertor, der er isometrisk uden t være unitær, idet den ikke opfylder bijektivitetskrvet i Sætning 3.8 iii). Ld (e 1, e 2,... ) være en ortonormlbsis for Hilbert rummet H og definer opertoren S : H H, kldet skiftopertoren, ved Dette betyder for en vektor v H, t S e n = e n+1 for n N. Sv = e n, v e n+1. Her er rækken på højresiden konvergent ifølge Lemm 2.3 og Sv 2 = e n, v 2 = v 2. 45

17 Altså er S en isometri, men er ikke bijektiv, idet f.eks. vektoren e 1 ikke er billede f nogen vektor i H. Dette fænomen kn ikke forekomme i det endeligdimensionle tilfælde, jvf. Opgve Lineære opertorer i kvntemeknik. Relevnsen f selvdjungerede opertorer i kvntemeknik skyldes, t de repræsenterer fysisk målbre størrelser, idet ψ, Aψ er lig med middelværdien f den fysiske størrelse svrende til opertoren A, når prtiklen befinder sig i tilstnden ψ. Dette er endnu et f kvntemeknikkens postulter. Et eksempel er stedopertoren M x nævnt i Eksempel 3.1 d). Et ndet vigtigt eksempel er impulsopertoren i d, defineret på domænet bestående dx f funktioner i L 2 (R), hvis fledede er kvdrtisk integrbel. I tilstnden ψ er dens middelværdi givet ved ψ, i d dx ψ = Fψ, ifψ = Fψ, wfψ = w Fψ(w) 2 dw, hvor vi i første lighedstegn hr benyttet, t F bevrer det indre produkt, og ndet lighedshedstegn følger f (Fψ )(w) = iw(fψ)(w), jvf. AEM p.573. Altså er middelværdien f impulsen i tilstnden ψ lig med middelværdien f w i tilstnden F ψ i overensstemmelse med bemærkningerne sidst i Eksempel 3.11 Både sted- og impulsopertoren er eksempler på ubegrænsede, selvdjungerede opertorer. Generelt medfører A = A, t ψ, Aψ = Aψ, ψ = ψ, Aψ, dvs. t middelværdien ψ, Aψ er reel, som den skl være for enhver fysisk størrelse. Unitære opertorer er derimod tit relterede til symmetriopertioner, såsom rottioner eller trnsltioner, f det kvntemekniske system. Dette skyldes især isometriegenskben i Sætning 3.8 iii). Hvis således et kvntemeknisk system eksempelvis roteres eller trnslteres, vil dets oprindelige tilstnd ψ ændres til en ny tilstnd Uψ. Men som følge f sndsynlighedsfortolkningen f bølgefunktionens numeriske kvdrt er normen f enhver fysisk reliserbr tilstnd lig med 1 (= den totle sndsynlighed). Derfor må Uψ = ψ = 1. 46

18 Mn kn rgumentere for, t fbildningen U må være lineær på Hilbert rummet f (ikke nødvendigvis normerede) tilstnde (dette gjorde E.P. Wigner i 1939). Det følger d, t Uψ = ψ gælder for lle tilstnde ψ. U må også være bijektiv, fordi den inverse fbildning U 1 svrer til den inverse opertion (rottion eller trnsltion) på systemet. Dermed er U unitær ifølge Sætning Egenværdier, egenvektorer og digonlisering For lineære fbildninger på endeligdimensionle vektorrum er begreberne egenværdi og egenvektor velkendte fr Mtemtik 1 og overføres uændret til det uendeligdimensionle tilfælde. Således siges en sklr t være egenværdi for en opertor A på Hilbert rummet H, hvis der findes en vektor v 0 i domænet for A, således t Av = v, (3.39) og vektorer v 0, der opfylder (3.39), kldes egenvektorer for A hørende til egenværdien. Smmen med nulvektoren udgør disse egenrummet hørende til. Egenværdier og egentilstnde i kvntemeknik. Ovenfor nævnte vi, t der i den kvntemekniske formlisme svrer en selvdjungeret opertor A på Hilbert rummet f tilstnde til hver fysisk målelig størrelse. Vi kn nu præcisere dette yderligere, idet de mulige udfld f en måling f størrelsen svrende til A netop er A s egenværdier. Ydermere gælder, t hvis resulttet f en måling er egenværdien, d befinder systemet sig efter målingen i en egentilstnd, dvs. tilstnden er en egenvektor, hørende til, og når systemet befinder sig i denne egentilstnd vil en måling f størrelsen med sndsynlighed 1 give resulttet. Ifølge bemærkningerne om måleprocessen og det indre produkt i Afsnit 2.2 skulle dette betyde, t egenvektorer hørende til egenværdier forskellige fr må være vinkelrette på egenvektorer hørende til. Desuden skulle egenværdierne for A gerne være reelle, d fysisk målbre størrelser (f.eks. stedkoordinter og impuls) er reelle. Begge disse egenskber sikres f, t A er selvdjungeret, som følgende sætning viser. Sætning Hvis A er en selvdjungeret opertor på et Hilbert rum H, d er lle dens egenværdier reelle og egenvektorer hørende til forskellige egenværdier er ortogonle. Antg nemlig t Av = v, hvor v 0. D er v, v = v, v = v, Av = Av, v = v, v = v, v, 47

19 hvor vi i tredie lighedstegn hr brugt t A = A. D v, v = v 2 0 følger herf t =, ltså t er et reelt tl. Antg dernæst, t Av 1 = 1 v 1 og Av 2 = 2 v 2, hvor nu 1 og 2 er reelle. D er 2 v 1, v 2 = v 1, 2 v 2 = v 1, Av 2 = Av 1, v 2 = 1 v 1, v 2 = 1 v 1, v 2, hvorf følger t ( 1 2 ) v 1, v 2 = 0. Hvis 1 2, må derfor v 1, v 2 = 0, som påstået. Digonliserbre opertorer. De foregående bemærkninger viser den fgørende rolle, som egenværdier og egenvektorer spiller i kvntemeknik. Ufhængig herf er det p.gr.. en opertors simple virkning på sine egenvektorer generelt f stor nytte med henblik på t gennemskue opertorens egenskber t kende dens egenvektorer og egenværdier, og jo flere des bedre. Det mest gunstige tilfælde i så henseende er, hvis opertoren er digonliserbr i følgende forstnd. Definition En lineær opertor A på et Hilbert rum H er digonliserbr, hvis der findes en ortonormlbsis for H bestående f egenvektorer for A. Den omtlte ortonormlbsis siges d t digonlisere A. Ld os for t se, hvd denne definition indebærer, ntge, t A er en digonliserbr opertor på H, og t (e 1, e 2,... ) er en ortonormlbsis, der digonliserer A. Betegnes de tilsvrende egenværdier med 1, 2,..., er ltså Ae n = n e n for n N. Vi ser, t dette netop er det i Eksempel 3.1 b) beskrevne tilfælde. Hvis A er en begrænset opertor, er følgen f egenværdier 1, 2,... også begrænset, og der gælder for v H, t ( ) Av = A e n, v e n = e n, v Ae n = n e n, v e n, jvf. Opgve 3.21, ltså t A er givet ved formlen (3.12). Dette viser, t A kn udtrykkes lene ved sine egenvektorer og egenværdier. Også for de ubegrænsede digonliserbre opertorer A f fysisk relevns i det følgende gælder, t de er givne ved (3.12) på domænet D(A) defineret i (3.11). Specielt følger f Eksempel 3.1 ), t opertoren d på D ( d dx dx) givet ved (3.8), er digonliserbr med egenværdier in, n Z. Hvis specielt H er endeligdimensionlt, og A : H H er digonliserbr, d gælder, t mtricen A, der repræsenterer A m.h.t. en digonliserende ortonormlbsis (e 1,..., e n ) ifølge (3.24) hr mtrixelementer ij givet ved { j hvis i = j ij = e i, Ae j = e i, j e j = j e i, e j = 0 hvis i j, 48

20 hvor 1,..., n betegner egenværdierne. Altså er A en digonlmtrix med egenværdierne stående i digonlen. Dette er nturligvis årsgen til betegnelsen digonliserbr. Eksempel Ortogonl projektion. Ld os se på et ortonormlsæt (e 1, e 2,... ) i et Hilbert rum H og ld U = spn{e 1, e 2,... } være det fsluttede underrum udspændt f sættets vektorer. Ved den ortogonle projektion, eller blot projektionen, på U forstås fbildningen P, der fbilder en vektor v H i dens projektion på U. Dvs. ifølge (2.7) P v = e n, v e n. (3.40) Det er oplgt, t P er lineær, og ifølge Bessels ulighed (2.9) er P v v, så P er begrænset med norm 1. Fktisk er P = 1, d jo Desuden er P v = v for lle v U. P v = 0 for lle v U ifølge (3.40), d e n, v = 0 for lle n N i dette tilfælde. Af de to sidste ligninger følger, t lle vektorer i U \ {0} er egenvektorer for P med egenværdi 1, mens vektorerne i U \ {0} er egenvektorer med egenværdi 0. At der ikke findes ndre egenvektorer skl du vise i Opgve Vi kn ltid supplere (e 1, e 2,... ) med et ortonormlsæt i U, så de tilsmmen udgør en ortonormlbsis for H. I konkrete tilfælde er det som regel klrt, hvordn dette skl gøres, så vi undlder t give et generelt bevis for denne påstnd. Dette viser, t P er digonliserbr, og (3.40) er i dette tilfælde identisk med (3.12), idet bidrgene svrende til egenværdien 0 i (3.12) udgår. Digonliserbrhed f selvdjungerede opertorer. Ld nu A være en selvdjungeret opertor svrende til en fysisk målbr størrelse, eksempelvis energien f et kvntemeknisk system, og ld os ntge, t de mulige udfld f en måling f energien, dvs. A s egenværdier, er λ 1, λ 2,..., smt, for simpelheds skyld, t lle tilhørende egenrum er endimensionle. Lder vi e n være en normeret egentilstnd svrende til egenværdien λ n, d er (e 1, e 2,... ) et ortonormlsæt ifølge Sætning Hvis dette ikke vr en ortonormlbsis, fndtes der en tilstnd ψ, så e n, ψ = 0 for lle n. Men dette betyder, t sndsynligheden e n, ψ 2 for, t systemet i tilstnden ψ hr energien λ n, er lig med 0 for lle n, hvilket er i modstrid med, t energien kn måles. Altså må egenvektorerne for A udgøre en ortonormlbsis, dvs. A må være 49

21 digonliserbr. Denne observtion begrunder relevnsen f t kunne fgøre, hvilke selvdjungerede opertorer der er digonliserbre. Som den følgende diskussion viser, er svret simpelt i det endeligdimensionle tilfælde, mens det uendeligdimensionle tilfælde er mere kompliceret. Et f hovedresultterne fr første års lineære lgebr vr Theorem 8.24 i LA, som siger, t enhver selvdjungeret lineær fbildning på et reelt endeligdimensionlt indre produkt rum er digonliserbr. (I LA bruges betegnelsen symmetrisk i stedet for selvdjungeret, jvf. Definition 8.20 i LA.) Dette resultt gælder med næsten uændret bevis også for komplekse vektorrum: Sætning Enhver selvdjungeret opertor på et endeligdimensionlt reelt eller komplekst Hilbert rum er digonliserbr. Eksempel Ld H være et todimensionlt komplekst Hilbert rum og ld (e 1, e 2 ) være en vilkårlig ortonormlbsis for H. Med A betegner vi den lineære fbildning på H, der m.h.t. bsen (e 1, e 2 ) repræsenteres f mtricen ( ) 1 i A =. i 1 D A = A er A selvdjungeret. Vi finder A s egenværdier ved t løse ligningen det(a λi) = 0 (hvor I er enhedsmtricen), idet dette ligesom for reelle mtricer betyder, t ligningssystemet (A λi)x = 0 hr en ikke-triviel løsning x = ( x 1 ) x 2, hvilket igen er ensbetydende med, t vektoren x = x1 e 1 + x 2 e 2 opfylder Ax = λx. Ligningen lyder ( ) 1 λ i det = (1 λ) 2 1 = 0, i 1 λ hvilket giver λ = 0 eller λ = 2. For λ = 0 fås t ligningen (A λi) ( x 1 ) x 2 = 0 er ækvivlent med x 1 + ix 2 = 0, hvis løsninger er f formen t ( 1 i), hvor t C. For λ = 2 fås tilsvrende løsningerne t ( 1 i), t C. Egenvektorerne for A er ltså f formen t(e 1 + ie 2 ) eller t(e 1 ie 2 ), hvor ( t C\{0}. Ved normering fås ortonormlbsen m.h.t. hvilken A repræsenteres f digonlmtricen ( ) (e 1 + ie 2 ), 1 2 (e 1 ie 2 ) Mn kn med god grund spørge om Sætning 3.16 mon også er gældende i det uendeligdimensionle tilfælde. Svret herpå er et kvlificeret j. Mn kn 50 ),

22 fktisk formulere den såkldte spektrlsætning om selvdjungerede opertorer på et vilkårligt Hilbert rum, som generliserer Sætning 3.16, men det vil kræve en generlisering f begrebet digonliserbrhed i forhold til Definition 3.14, som vi vil fholde os fr i dette kursus. Men lidt mere herom senere. Der findes dog vigtige klsser f opertorer, for hvilke en simpel generlisering f Sætning 3.16 er mulig. En nyttig generlisering er følgende, hvis bevis vi ikke skl komme ind på her (se f.eks. 5 i [3]). Sætning Enhver integrlopertor K på L 2 (I), hvor I er et intervl, med integrlkerne k(x, y), som opfylder (jvf. Eksempel 3.1 e) og Eksempel 3.5 c)) k(x, y) = k(y, x), og er digonliserbr. k(x, y) 2 dxdy <, I I Denne sætning kn bl.. bruges til t udlede de fundmentle resultter vedrørende regulære Sturm Liouville problemer, idet det viser sig, t Sturm-Liouville opertoren L, jvf. Eksempel 3.5 e), hr en invers opertor K som i Sætning Dens egenvektorer er netop egenfunktionerne for Sturm- Liouville problemet, mens dens egenværdier er de inverse f egenværdierne for Sturm-Liouville problemet. Dette illustreres f følgende eksempel. Eksempel Vi ser på følgende Sturm-Liouville problem på [0, π]: u u = 2λu u(0) = u(π) = 0. Den tilhørende Sturm-Liouville opertor er (se Eksempel 3.5 e)) L = 1 2 d 2 dx Denne opfylder u, Lv = Lu, v, når u, v er to gnge kontinuert differentible funktioner på [0, π], som opfylder rndbetingelserne, og λ er en egenværdi for Sturm-Liouville problemet med tilhørende egenfunktion u netop hvis λ er egenværdi for L med tilhørende egenvektor u ifølge (3.32). Ved t løse problemet finder mn (gør dette!), t egenværdierne er λ n = 1 2 (1 + n2 ), n N 51

23 med tilhørende normliserede egenfunktioner 2 e n (x) = sin nx, π i L 2 ([0, π]). Disse udgør en ortonormlbsis for L 2 ([0, π]), jvf. Opgve 2.7. Altså er L digonliserbr og 1 Lu = (1 + 2 n2 ) e n, u e n. (3.41) Ligesom for d i Eksempel 3.1 ) fremgår herf, t L er ubegrænset og defineres ved (3.41) på domænet D(L) bestående f de funktioner u, for hvilke dx højresiden er konvergent. Ld nu K være opertoren på L 2 ([0, π]) der hr smme egenvektorer som L men inverse egenværdier, dvs. 2 Ku = 1 + n e n, u e 2 n. (3.42) Denne er åbenbrt begrænset i modsætning til L, d 0 < 2 1 for n N. 1+n 2 Desuden gælder KLu = for u D(L), og tilsvrende = 1 2 (1 + n2 ) e n, u Ke n e n, u e n = u LKu = u for u L 2 ([0, π]). Altså er K den inverse opertor til L. Vi kn endd indse, t K er en integrl opertor, idet (3.42) ved udregning giver (Ku)(x) = 2 ( 2 π ) u(y) sin ny dy sin nx π 1 + n 2 = 4 π = 4 π π π 0 0 ( n 0 2 sin nx sin ny u(y)dy 1 sin nx sin ny 1 + n2 52 ) u(y)dy,

24 hvor vi i sidste skridt hr tilldt os t ombytte integrtion og summtion. Hertil er det vigtigt t bemærke, t rækken k(x, y) = 4 π er konvergent for lle x og y, d sin nx sin ny 1 og 1 sin nx sin ny (3.43) 1 + n2 1 er konvergent. 1+n 2 Dette viser, t K er en integrlopertor med kerne k(x, y), som kn vises t være kontinuert og er reel og symmetrisk i x og y. Bemærk, t vi ikke kunne hve gennemført det tilsvrende for L, d rækken i (3.43) d hvde indeholdt (1 + n 2 ) i stedet for (1 + n 2 ) 1, som ville give nledning til konvergensproblemer. Som mn vil kunne gætte sig til fr dette eksempel, gælder for et generelt regulært Sturm-Liouville problem med egenværdier λ 1, λ 2,... og tilhørende normliserede egenfunktioner e 1, e 2,..., t integrlkernen for den inverse til Sturm-Liouville opertoren er givet ved k(x, y) = 1 λ n e n (x)e n (y), (3.44) hvor det for konvergensen er fgørende, t λ n for n. (Der gælder fktisk t λ n c n 2 for en konstnt c > 0.) Eksempel Det forrige eksempel er tæt beslægtet med beskrivelsen f en kvntemeknisk prtikel, der er begrænset til intervllet [0, π] f uendelig høje potentilbrrierer udenfor dette intervl. Den til energien hørende opertor (Hmilton opertoren) er H = 1 2 d 2 dx 2 (pånær fktoren 2 /m, som vi ser bort fr). D bølgefunktionen ψ skl være nul udenfor [0, π] pålægges rndbetingelserne ψ(0) = ψ(π) = 0, hvorved vi finder, t egenværdierne for H (dvs. de mulige energiniveuer) bliver med tilhørende egenfunktioner E n = 1 2 n2, n N, ψ n (x) = 2 sin nx. π 53

25 Ser vi i stedet på opertoren svrende til stedkoordinten x, dvs. multipliktionsopertoren M x, d er denne selvdjungeret (og begrænset), men den hr øjensynlig ingen egenværdier. At M x ψ = ψ betyder nemlig xψ(x) = ψ(x), dvs. (x )ψ(x) = 0, for (næsten lle) x [, b]. Men d x 0 for x betyder dette, t ψ(x) = 0 for (næsten lle) x [0, π], dvs. ψ = 0. Altså er ikke egenværdi for noget C. I en vis forstnd er lle [0, π] dog tæt på t være egenværdier. Vælges nemlig en bølgefunktion, der er koncentreret nær [0, π], dvs. ψ(x) = 0 for x ε for et lille ε > 0, d er M x ψ ψ 2 = π 0 π x 2 ψ(x) 2 dx ε 2 ψ(x) 2 dx = ε 2, så fstnden mellem M x ψ og ψ kn gøres vilkårlig lille for pssende normliserede vektorer ψ. Hvis vr en egenværdi, kunne denne fstnd gøres til 0 ved t vælge ψ til t være en egentilstnd. Generelt siges C t tilhøre spektret σ(a) for en selvdjungeret opertor A på et Hilbert rum, hvis der for hvert ε > 0 findes en vektor v H med v = 1 så Av v ε. Spektret består således dels f egenværdierne, som siges t udgøre punktspekret og de generliserede egenværdier, som udgør det kontinuerte spektrum. Således hr M x kun et kontinuert spektrum, nemlig [0, π]. Mn kn vise, t σ(a) R for enhver selvdjungeret opertor A. Generelt skl det kontinuerte spektrum inkluderes i de mulige værdier, som den til opertoren svrende fysiske størrelse kn ntge. Det er netop forekomsten f det kontinuerte spektrum, som nødvendiggør den tidligere omtlte generlisering f digonliserbrhedsbegrebet for t formulere den generelle spektrlsætning, som dog ligger udenfor progrmmet i dette kursus. 0 54

26 Opgver Opgve 3.1. Eftervis, t lineritetskrvene (3.1) og (3.2) er ækvivlente. Opgve 3.2. Antg, t f er en kontinuert differentibel funktion på [ π, π], dvs. f er differentibel med kontinuert differentilkvotient f, og således t f(π) = f( π). Brug prtiel integrtion til t vise, t der gælder in e inx, f = e inx, f, og brug Bessels ulighed for f og Lemm 2.3 til t slutte, t f D ( d dx) givet ved (3.8). Opgve 3.3. Begrund, t der for en tlfølge ( 1, 2,... ) og en ortonormlbsis (e 1, e 2,... ) for et Hilbert rum H gælder, t D(A) = {v H n e n, v 2 < } er et underrum f H. Vis (3.13), hvis følgen ( 1, 2,... ) er begrænset. Opgve 3.4. Begrund, t der for en kontinuert funktion på intervllet I gælder, t D(M f ) = {g L 2 (I) f(x)g(x) 2 dx < } er et underrum f L 2 (I). Vis (3.18), hvis f er en begrænset funktion. Opgve 3.5. Eftervis, t der for enhver kontinuert funktion f på intervllet [, b] gælder, t u(x) = e x y f(y)dy = er en løsning til differentilligningen ( 1 2 og opfylder rndbetingelserne x I d 2 dx e y x f(y)dy + ) u = f u() u () = 0, u(b) + u (b) = 0. x e x y f(y)dy (Det er tilldt t differentiere m.h.t. x under integrltegnet ovenfor.) 55

27 Opgve 3.6. Antg, t den lineære opertor A : H 1 H 2 er kontinuert i 0, dvs. t A opfylder (3.22) for lle følger (v 1, v 2,... ) i H 1, som konvergerer imod 0. Ækvivlent hermed er, idet A0 = 0, t der for ethvert ε > 0 findes et δ > 0, så Av < ε for v < δ. Vælg her ε = 1 og et tilhørende δ = δ 1, og vis t Av δ 1 1 v for lle v H 1, og dermed t A er begrænset. Vis dernæst, t hvis A : H 1 H 2 og B : H 2 H 3 er to begrænsede opertorer, d er BA : H 1 H 3 også begrænset og BA B A. Opgve 3.7. Ld den lineære opertor A på Hilbert rummet H være givet ved (3.12) på domænet D(A) defineret ved (3.11), hvor vi ntger t n 0 for lle n N. Ld tilsvrende A 1 være defineret på D(A 1 ) ved t ersttte n med 1 n for lle n N. Eftervis, t A 1 fktisk er den inverse fbildning til A, dvs. t A 1 Af = f og AA 1 g = g for f D(A) og g D(A 1 ). Giv et eksempel på en ubegrænset opertor, der hr en begrænset invers, og på en ubegrænset opertor, der hr en ubegrænset invers. Opgve 3.8. Ld A : H 1 H 2 være en lineær fbildning mellem to endeligdimensionle Hilbert rum. Vælg en ortonormlbsis (e 1,..., e n ) for H 1 og vis, t Av ( Ae Ae n ) v for lle v H 1, og dermed t A er begrænset. Opgve 3.9. På Hilbert rummet l 2 (N) (med sædvnligt indre produkt) betrgtes fbildningen A givet ved A(x 1, x 2,... ) = (ix 1, i 2 x 2, i 3 x 3,... ). ) Gør rede for, t Ax = x for lle x l 2 (N). b) Vis, t A er en begrænset lineær opertor og bestem A. c) Gør rede for t A 4 = I H, (hvor A 4 som sædvnlig betegner A A A A). 56

28 Opgve Eftervis, t mtrix-elementerne ij i mtricen, der repræsenterer en lineær fbildning A : H 1 H 2 mellem to endeligdimensionle Hilbert rum m.h.t. to bser (e 1,..., e n ) og (f 1,..., f m ) er givet ved (3.24): (se Afsnit 6.3 i LA). ij = f i, Ae j Opgve Gennemfør udregningen, der leder til (3.26). Opgve Vis, for en begrænset opertor A : H 1 H 2, t og A = sup{ Av v 1} A = sup{ u, Av u 1, v 1}, og brug det sidste udtryk til t indse, t A = A. Opgve Ld H være et 3-dimensionlt komplekst Hilbert rum og ld A være opertoren, der m.h.t. en given ortonormlbsis (e 1, e 2, e 3 ) repræsenteres f mtricen i 2i i 1 i 2 Bestem mtricen, der repræsenterer A m.h.t. smme bsis og beregn A (e 1 + ie 2 e 3 ). Opgve Ld A være opertoren på C 3, der m.h.t. den nturlige bsis repræsenteres f mtricen 2 0 i i 0 2 Begrund, t A er selvdjungeret, bestem dens egenværdier smt en ortonormlbsis for C 3, der digonliserer A. Opgve Eftervis, t der for multipliktionsopertoren M (1, 2,... ) på l 2 (N) gælder, t M ( 1, 2,... ) = M (1, 2,... ). Opgve Eftervis identiteten (3.28) direkte ved brug f (3.7). 57

29 Opgve Fuldfør udregningerne i Eksempel 3.5 e) ved t bruge rndbetingelserne i Sturm-Liouville problemet til t vise, t f, Lg p = Lf, g p, hvor L er Sturm-Liouville opertoren (3.31). Opgve Vis, t der for multipliktionsopertorer M f og M g på L 2 (I) gælder, t M f M g = M fg, og t M f er unitær, netop hvis f(x) = 1 for lle x I. Opgve Eftervis impliktionerne iii) ii) i) og iv) i) i Sætning 3.8. Til den første kn mn bruge polriseringsidentiteten fr Opgve 1.9. Opgve Begrund, t bijektivitetskrvet i ii) og iii) i Sætning 3.8 er overflødigt i det endeligdimensionle tilfælde, forudst dimh 1 = dimh 2. Opgve Godtgør, t hvis A : H 1 H 2 er en begrænset opertor og v n er en konvergent række i H 1, d er ( ) A v n = Av n. Opgve Vis, t fbildningen U : L 2 (I, ρ) L 2 (I) givet ved er unitær. Uf = ρ 1/2 f, f L 2 (I, ρ), Opgve Godtgør, t hvis A er en digonliserbr opertor på H 1 og U : H 1 H 2 er unitær, d er opertoren U A U også digonliserbr med smme egenværdier som A. Opgve Eftervis, t der for enhver egenværdi for en unitær opertor U : H H gælder, t = 1, smt t egenvektorer hørende til forskellige egenværdier er ortogonle. Opgve En lineær opertor A : H H siges t være positiv, hvis f, Af > 0 58

30 for f 0 i domænet for A. ) Eftervis, t enhver egenværdi for en positiv opertor er positiv. b) Begrund, t en digonliserbr opertor er positiv, netop hvis lle dens egenværdier er positive. c) Vis, t egenværdierne for det regulære Sturm-Liouville problem, dvs. for p > 0, q 0, r > 0 og k 1 k 2 0, l 1 l 2 0, lle er positive, pånær hvis k 1 = l 1 = 0, i hvilket tilfælde 0 også forekommer som egenværdi med tilhørende egenrum bestående f de konstnte funktioner. (Brug udregningerne i Eksempel 3.5 e) til t indse, t Sturm-Liouville opertoren er positiv, når bortses fr sidstnævnte tilfælde.) Opgve Vis, t projektionen P i Eksempel 3.15 ikke hr ndre egenværdier end 0 og 1. Opgve 3.27 Bestem den djungerede S til skiftopertoren i Eksempel 3.12, og beregn S S og SS. Opgve 3.28 Vis, t hvis U : H 1 H 2 og V : H 2 H 3 er unitære opertorer, d er V U : H 1 H 3 også unitær. Giv et eksempel på (begrænsede) selvdjungerede opertorer A og B på et Hilbert rum H, således t AB ikke er selvdjungeret. Litterturhenvisninger 1. R. Cournt og D. Hilbert: Methods of Mthemticl Physics I, II. Interscience Publishers, New York, 1953 og P.A.M. Dirc: The Principles of Quntum Mechnics. Oxford University Press B. Durhuus: Hilbert rum med nvendelser HCØ-tryk J. von Neumnn: Mthemtische Grundlgen der Quntenmechnik. Springer Verlg, Berlin, M. Reed og B. Simon: Methods of Modern Mthemticl Physics I, II. Acdemic Press, New York, 1980 og H.F. Weinberger: A First Course in Prtil Differentil Equtions. Xerox Publishing Compny, Lexington, Msschusetts,

ANALYSE 1, 2015, Uge 2

ANALYSE 1, 2015, Uge 2 ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2

Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2 Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej 7 9220 Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

2 Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration

Integration ved substitution og delvis (partiel) integration DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning 9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et stykke f en

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

INFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker

INFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER...

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Elementær Matematik. Analytisk geometri

Elementær Matematik. Analytisk geometri Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Det dobbelttydige trekantstilfælde

Det dobbelttydige trekantstilfælde Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression

FUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Eksemplificering af DEA-metodens vægtberegning

Eksemplificering af DEA-metodens vægtberegning nlyseinstitut for Forskning Finlndsgde DK-800 rhus N Tel + 89 9 Fx: + 89 99 Mil: fsk@fsk.u.dk Web:.fsk.u.dk Eksemplificering f DE-metodens vægtberegning Peter S. Mortensen Kmm Lngberg Crin Sponholtz Nott

Læs mere

Projekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer

Projekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer Projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer (Dette projekt forudsætter, t mn hr rbejdet med logritmefunktionerne, f i kpitel 3 eller i projekt 8.4, så mn er fortrolig med logritmereglerne)

Læs mere

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne

Læs mere

Grundlæggende funktioner

Grundlæggende funktioner Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst

Læs mere

Kap. 3: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Differential- og integralregning.

Kap. 3: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Differential- og integralregning. - 94 - Kp. 3: Logritme-, eksponentil- og potensfunktioner. Differentil- og integrlregning. 3.. Differentition f logritmefunktioner. Sætning 3... ) Enhver logritmefunktion er differentibel ) Den nturlige

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Dgens emner fsnit 3.5 og 4. oissonfordelingen Sndsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Mtemtik og Computer Science Dnmrks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Dnmrk Emil: bfni@dtu.dk Kontinuerte

Læs mere

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometri

Elementær Matematik. Trigonometri Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Projekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN

Projekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Indhold Hvor kommer vektorerne fr? De komplekse tl og deres geometriske repræsenttion Findes

Læs mere